Математическое моделирование взаимодействия пульсирующего сдавливаемого слоя жидкости с упругими трехслойными элементами гидроопор тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Христофорова, Алевтина Владимировна

• Христофорова, Алевтина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Христофорова, Алевтина Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

1. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДИНАМИКИ УПРУГИХ

ТРЕХСЛОЙНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ СО

СЖИМАЕМЫМ И НЕСЖИМАЕМЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ.

1.1. Уравнения равновесия и динамики упругого трехслойного стержня с несжимаемым и сжимаемым заполнителем.

1.2. Уравнения равновесия и динамики круглой упругой трехслойной пластины с несжимаемым заполнителем.

2. ГИДРОУПРУГОСТЬ ВИБРООПОРЫ С УПРУГИМ ТРЕХСЛОЙНЫМ

СТЕРЖНЕМ С НЕСЖИМАЕМЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ ПРИ НАЛИЧИИ

ГАРМОНИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ В

РАБОЧЕМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ.

2Л. Основные положения и допущения.

2.2. Описание гидроопоры с упругим трехслойным стержнем с несжимаемым заполнителем и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости.

2.3. Математическая модель гидроопоры с упругим трехслойным стержнем и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости.

2.4. Формулирование задачи в безразмерном виде.

2.4.1. Переход к безразмерным переменным и выделение малых параметров задачи.

2.4.2. Гидромеханическая сила, действующая на вибратор опоры со стороны слоя жидкости.

2.5. Выбор метода решения нелинейной динамической задачи гидроупругости трехслойного стержня, взаимодействующего с абсолютно твердым телом и слоем вязкой несжимаемой жидкости

2.6. Решение задач гидроупругости трехслойного стержня, взаимодействующего с абсолютно твердым телом и слоем вязкой несжимаемой жидкости методом возмущений.

2.6.1. Асимптотическое разложение гидромеханической силы, действующей со стороны сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости на абсолютно жесткий вибратор опоры.

2.6.2. Определение гидродинамического давления в сдавливаемом слое вязкой несжимаемой жидкости.

2.6.3. Определение упругих перемещений трехслойного статора опоры

2.6.4. Определение гидромеханической силы, действующей на абсолютно жесткий вибратор опоры. Закон движения вибратора опоры.

2.7. Амплитудные и фазовые частотные характеристики вибратора и трехслойного статора с легким несжимаемым заполнителем.

2.8. Исследование амплитудных частотных характеристик гидроопоры с трехслойным упругим стержнем с легким несжимаемым заполнителем при наличии гармонически изменяющегося противодавления в слое жидкости.

3. ГИДРОУПРУГОСТЬ ГИДРООПОРЫ С КРУГЛЫМ ТРЕХСЛОЙНЫМ УПРУГИМ СТАТОРОМ С НЕСЖИМАЕМЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ГАРМОНИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ

ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ В РАБОЧЕМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ.

3.1. Основные положения и допущения.

3.2. Описание гидроопоры с круглой упругой трехслойной пластиной с несжимаемым заполнителем и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости.

3.3. Математическая модели гидроопоры.

3.4. Формулирование задачи в безразмерном виде.

3.5. Решение задачи гидроупругости гидроопоры с круглым трехслойным упругим статором с несжимаемым заполнителем при наличии гармонически изменяющегося противодавления в слое жидкости методом возмущений.

3.5.1. Определение параметров течения в сдавливаемом слое вязкой несжимаемой жидкости.

3.5.2. Определение упругих перемещений круглой трехслойной пластины (статора) с несжимаемым легким заполнителем.

• 3.5.3. Определение гидромеханической силы, действующей на абсолютно жесткий вибратор опоры. Закон движения вибратора опоры.

3.6. Амплитудные и фазовые частотные характеристики вибратора и трехслойного статора с легким несжимаемым заполнителем.

3.7. Исследование амплитудных частотных характеристик гидроопры с круглым трехслойным статором с легким несжимаемым заполнителем при наличии гармонически изменяющегося противодавления в слое жидкости.

4. ГИДРОУПРУГОСТЬ ГИДРООПОРЫ С ТРЕХСЛОЙНЫМ УПРУГИМ СТЕРЖНЕМ СО СЖИМАЕМЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ ПРИ НАЛИЧИИ ГАРМОНИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ В

СЛОЕ ЖИДКОСТИ.

4.1. Основные положения и допущения.1164.2. Описание объекта исследования. 4.3. Математическая модель гидроопоры с упругим трехслойным стержнем и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости .119 4.4. Формулирование задачи в безразмерном виде.

4.5. Решение задач гидроупругости трехслойного стержня со сжимаемым заполнителем, взаимодействующего с абсолютно твердым телом и слоем вязкой несжимаемой жидкости методом возмущений.

4.5.1. Определение гидродинамического давления в сдавливаемом слое вязкой несжимаемой жидкости.

4.5.2. Определение упругих перемещений трехслойного стержня (статора) со сжимаемым заполнителем.

4.5.3. Гидромеханическая сила, действующая на абсолютно жесткий вибратор опоры. Закон движения вибратора опоры.

4.6. Амплитудные и фазовые частотные характеристики вибратора и трехслойного статора со сжимаемым заполнителем.

4.7. Исследование амплитудных частотных характеристик гидроопоры с трехслойным упругим стержнем со сжимаемым заполнителем при наличии гармонически изменяющегося противодавления в слое жидкости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование взаимодействия пульсирующего сдавливаемого слоя жидкости с упругими трехслойными элементами гидроопор»

Актуальность работы. Запросы современной техники привели к необходимости построения и исследования математических моделей упругих многослойных, и в том числе трехслойных, элементов конструкций. Для различных изделий современной техники характерно все более широко использование различных композитных материалов, и в частности' многослойных упругих элементов конструкций. К данным элементам, прежде всего, следует отнести стержни и пластины, имеющие слоистую структуру. При этом материалы, из которых выполнены слои данных конструкций, как правило, обладают существенно различными физико-механические свойствами. Например, несущие слои выполняют из материалов высокой прочности и жесткости, так как именно они предназначены для восприятия основных динамических и статических нагрузок. Связующие слои служат для обеспечения монолитности конструкции, и обеспечивают распределение усилий между несущими* слоями. Кроме того, слои могут быть предназначены для защиты от тепловых, химических, радиационных и ряда других агрессивных воздействий на конструкцию.

Обычно выбирается такое сочетание слоев, которое позволяет обеспечить надежную работу различных изделий в неблагоприятных условиях окружающей среды при сохранении высокой прочности, жесткости и относительно малой массы конструкции. Например, упругие трехслойные конструкции, состоящие из двух несущих слоев и заполнителя нашли широкое распространение в авиакосмической промышленности [31, 32, 62, 77-79].

Вопросы моделирования линейного деформирования трехслойных элементов конструкций при силовых статических нагрузках достаточно хорошо изучено. Однако, их поведёние при динамическом взаимодействии с жидкостью исследовано крайне мало. В тоже время в современной техники широко применяются различные жидкости с целью осуществления охлаждения, снижения трения, восприятия динамических нагрузок,' гидродинамического и поплавкового подвеса и т.д. В реальных конструкциях, жидкость, как правило, находится во взаимодействии с упругими тонкостенными элементами конструкции [2, 3, 8-11, 13-15, 22-25, 28-31, 34-44, 47-49, 53, 57-61, 65-72, 75, 80-90, 92, 93-105]. Движение жидкости в различных гидравлических системах обеспечивается насосами различных видов. При этом в потоке может наблюдаться существенные пульсации давления. Стенки каналов, в которых находится жидкость, все чаще, изготавливают из слоистых материалов.

Следовательно, уже на этапе проектирования различных современных' изделий машиностроения возникает потребность в расчете и оценке поведения упругих трехслойных конструкций взаимодействующих с жидкостью, что сопряжено с необходимостью построения и исследования математических моделей систем «упругий трехслойный элемент конструкции-жидкость». При этом на базе данных моделей, становится возможным и решение новых прикладных задач современной техники.

В связи с вышесказанным, представляет несомненный научный и практический интерес разработка подходов для математического моделирования динамики взаимодействия трехслойных стержней и' пластинок с жидкостью, в которой поддерживается гармонически изменяющееся давление, применительно к гидродинамическим виброопорам.

Существенный вклад в развитие механики упругих слоистых, в том числе и трехслойных, элементов конструкций внесли работы

A.Я. Александрова, С.А. Амбарцумяна, В.В. Болотина, Л.Э. Брюккера,

B.В. Васильева, К.З. Галимова, А.Г. Горшкова, Э.И. Григолюка, Я.М. Григоренко, А.В.Дятлова, В.И.Королева, Л.М. Куршина, А.П. Прусокова, Э.И. Старовойтова, Г.А. Тетере, С.П. Тимошенко,

Н.Г. Ченцова, А.П. Чулкова, А.В. Яровой, М.Р. Bieniek, A.M. Freudenthal, J.K. Ebsiogly, А.С. Eringen, J.I. Foss, J. Mayers, L.M. Habip, E.J. Plantemma, E. Reisser, J. Solvey, K.P. Soldatos, M. Stein, C.-T. Wang [4„18, 32, 77, 78, 79].

Вопросы разработки математических моделей для исследования динамических задач гидроупругости хорошо изучены для однородных упругих элементов в работах К.П. Андрейченко, А.С. Вольмира, А.Г. Горшкова, Э.И. Григолюка, М.А. Ильгамова, Д.А. Индейцева, С.Ф. Коновалов, В.В. Кузнецова, Л.И. Могилевича, В.И. Морозова,-М.С. Натанзона, А.Т. Пономарева, B.C. Попова, И.М. Рапопорта, Д.В. Тарлаковского, Ф.Н. Шклярчука, М. Amabili, R.C. Ertekin, J.W. Kim, М.Р. Pandoussis, F. Pellicano и др. [2, 3, 8-11, 22-25, 28-38, 41-44, 57-61, 65-72, 92-103]. В большинстве работ данного направления исследована динамика однородных упругих элементов конструкций, заполненных жидкостью, а также динамика их в акустической среде.

С другой стороны, известно значительное число работ, в которых рассматриваются задачи динамики взаимодействия жидкости с твердыми или упругими элементами конструкций применительно к опорам и демпферам с-тонкими слоями жидкости, а также к поплавковым приборам навигации [511,47-49, 60,61,65-73].

Первоначально приближенный учет влияния упругих элементов конструкции при построении математических моделей жидкостного t демпфирования проводился в работах [48, 49] применительно к поплавковым гироскопическим приборам. В работе [48] исследовано влияние упругой деформации сильфона и кронштейна выносного элемента на вибрационные погрешности акселерометра. В работе [49] проводится приближенный учет упругой податливости корпуса поплавкового акселерометра. При этом-прогиб корпуса прибора моделируется при помощи двухзвенных балок с прямолинейными звеньями и точкой излома при жесткой заделке обоих концов.

Постановка и решение задач динамики взаимодействия упругого корпуса поплавка и демпфирующего слоя жидкости в поплавковом гироскопическом приборе рассмотрена в работах [8-10, 47, 60]. Данный подход, связан с совместным использованием теории однородным цилиндрических оболочек [16, 22-24, 31, 55, 47, 60] для оболочки-корпуса поплавка и современных методов гидродинамики [21, 31, 51, 52, 54, 56, 76, 91] для поддерживающего слоя жидкости. В рамках данного подхода упругие тонкостенные элементы конструкции прибора рассматриваются как цилиндрическая оболочка [8-11, 47, 60]. При этом в указанных работах показано крайне существенное влияние упругой податливости элементов конструкции поплавковых приборов на их динамические характеристики и точность.

При разработке математических моделей гидроопор и гидродемпферов с тонкими слоями жидкости необходимо учесть влияние инерции жидкости. В ранних работах [26, 48, 49, 94] инерция поддерживающего и демпфирующего слоя жидкости либо совсем не учитывалась, что соответствует ползущим течениям при числе Рейнольдса стремящимся к нулю, либо учитывалась с помощью метода итераций, что соответствует малому по сравнению с единицей числу Рейнольдса.

В работах [5-7] применен метод осреднения инерционных членов уравнения динамики жидкости с введением поправочных коэффициентов, учитывающих нестационарность профиля скорости. Но данный метод является приближенным и затруднено его обоснование. Так в работе [11], данный метод использован для моделирования динамики гидродинамической виброопоры с упругим стержнем. Более точно учет влияния инерции поддерживающего жидкости, взаимодействующей с упругим корпусом поплавка гироскопического прибора, осуществлен в работах [8-11, 47, 60] для режима установившихся гармонических колебаний.

Работ посвященных математическому моделированию динамики взаимодействия трехслойных упругих конструкций с жидкостью практически нет. Одними из первых работ в данном направлении можно считать работы Л.И. Могилевича, B.C. Попова и Э.И. Старовойтова [58]. В данной работе рассмотрена гидроопора с упругим трехслойным статором при наперед заданном гармоническом законе движения абсолютно твердого статора. Однако вопросы влиянии, гармонически изменяющегося по времени противодавления в рабочем слое жидкости, наличия у вибратор опоры подвеса (например, магнитного или пружинного) и определения закона движения вибратора в данной работе не освещены.

Учитывая вышесказанное, следует отметить, что актуальными являются вопросы построения математических моделей гидроопор, состоящих из разнородных тел, и имеющих в своем составе трехслойные упругие конструкции, взаимодействующие с жидкостью, при наличии в последней гармонически изменяющегося давления. Исследование данных моделей неразрывно сопряжено с необходимостью постановки и решения новых динамических задач гидроупругости трехслойных элементов конструкций. Таким образом, можно определить цель исследования и сформулировать главные задачи исследования.

Целью работы является разработка математических моделей гидроупругости трехслойных элементов конструкций, взаимодействующих с пульсирующим сдавливаемым слоем вязкой жидкости, построение и исследование на их основе амплитудных и фазовых частотных характеристик гидроопор.

Согласно указанной цели сформулированы следующие задачи диссертационного исследования:

1. Разработка математической модели для исследования механической системы, состоящей из упругого трехслойного стержня и абсолютно твердого вибратора, взаимодействующие друг с другом через сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости, в котором поддерживается t противодавление гармонически изменяющиеся во времени.

2. Разработка математической модели для исследования механической системы, состоящей из упругой трехслойной круглой пластины и абсолютно твердого вибратора, взаимодействующие друг с другом через сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости, в котором поддерживается противодавление, гармонически изменяющиеся во времени.

3. Решение динамических задач гидроупругости трехслойных упругих элементов конструкций, входящих в состав гидроопор с гармонически пульсирующим противодавлением в рабочем слое жидкости и построение на I их основе, амплитудных и фазовых частотных характеристик (АЧХ иФЧХ).

4. Исследование путем математического моделирования АЧХ и ФЧХ гидроопор с упругими трехслойными статорами прямоугольной и круглой формы на базе найденного решения динамических задач гидроупругости.

Научная новизна. Главной особенностью предлагаемой работы является развитие нового подхода для математического моделирования динамики взаимодействия упругих трехслойных элементов со слоем вязкой несжимаемой жидкости, в которой поддерживается гармонически изменяющееся противодавление применительно к гидроопорам и I гидродемпферам. Данный подход позволяет в широком диапазоне параметров, наиболее полно анализировать динамический отклик рассматриваемых конструкций на динамические нагрузки. Разработанные в работе математические модели дают возможность получения новых результатов, служащих ключом к пониманию причин и условий возникновения резонанса колебаний в гидроопорах и гидродемпферах и, как следствие, кавитационного износа тел, окруженных жидкостью, а также позволяют синтезировать наиболее оптимальные их конструкции. Новые научные результаты работы состоят в следующем:

1. Предложена математическая модель гидроопоры, отличающаяся учетом упругих свойств круглого трехслойного статора с несжимаемым заполнителем, взаимодействующего через слой вязкой несжимаемой жидкости, с гармонически изменяющимся давлением, с абсолютно жестким вибратором опоры, имеющим упругий подвес.

2. Предложены математические модели гидроопоры, в которой статор представляется упругим трехслойным стержнем (балкой-полоской) со сжимаемым или несжимаемым заполнителем, взаимодействующим через слой вязкой несжимаемой жидкости, с гармонически изменяющимся давлением, с абсолютно жестким вибратором опоры, имеющим упругий подвес.

3. На основе предложенных математических моделей и полученных аналитических решений в среде Maple-12 разработан комплекс программ для исследования и построения АЧХ и ФЧХ гидроопор с трехслойными элементами конструкций.

4. Показано наличие двух резонансных частот у вибратора и статора на главной моде для режима установившихся вынужденных гармонических колебаний в опорах с трехслойным статором с несжимаемым заполнителем. При этом выявлено, что использование трехслойного статора с несжимаемым заполнителем приводит к сдвигу резонансных частот в низкочастотную область по сравнению с однородным статором.

5. Установлено, что применение в опоре трехслойного статора со сжимаемым заполнителем существенно искажает форму колебаний на главной моде вибратора и статора и приводит к удвоению числа резонансных частот. При этом расчеты показали существенный сдвиг значений резонансных частот в высокочастотную область до 1-2 порядков и снижение амплитуд колебаний до 2-3 порядков по сравнению с однородным статором и трехслойным статором с несжимаемым заполнителем.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением классических математических методов и известных методов возмущений, использованием апробированных подходов теории многослойных стержней и пластинок, механики жидкости и теории упругости. Полученные результаты, в частных случаях, полностью совпадают с известными результатами, других авторов, не противоречат имеющимся физическим представлениям.

Практическая ценность и реализация результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут найти применение при математическом моделировании динамики сложных механических систем, включающих в себя упругие трехслойные конструкции, абсолютно жесткие и жидкость. В частности, данные модели применимы для определения резонансных частот колебаний упругих трехслойных конструкций, взаимодействующих с жидкостью, в которой поддерживается гармонически изменяющееся со временем противодавление.

Полученные в работе результаты и математические модели позволяют разработчикам машин и приборов уже на этапе проектирования, исходя из известного частотного диапазона противодавления, выявить наиболее оптимальные параметры данных изделий и оценить возможность возникновения вибрационной кавитации. Найденные в диссертации аналитические решения динамических задач гидроупругости трехслойных стержня и круглой пластины дает возможность при использовании ЭВМ существенно увеличить скорость расчетов и строить высокоэффективные САПР сложных механических систем. Кроме того, проводить математическое моделирование, нацеленное на определение влияние различных факторов на динамику и точность разрабатываемых изделий.

Работа выполнена в рамках комплексной внутривузовской программы 11.В.01 «Совершенствование методов гидравлического расчета водопропускных, дорожно-транспортных и коммунальных очистных сооружений» Саратовского государственного технического университета (СГТУ).

Результаты диссертационной работы использованы:

- при выполнении проекта СГТУ-181, проводимого в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ СГТУ;

- при выполнении проекта СГТУ-196, проводимого в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ СГТУ;

- при выполнении проекта СГТУ-236, проводимого в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ СГТУ;

- при выполнении грантов РФФИ № 06-08-00043а, №08-01-12051-офи, а .также грантов Президента РФ МД-234.2007.8. и МД-551.2009., (См. Приложение 1)

- имеется акт о внедрении.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались, обсуждались и были одобрены на: конференции молодых ученых СГТУ (Саратов, 2007), Международной конференции «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (РАН Институт проблем точной механики и управления, Саратов, 2007), XIV Международном симпозиуме «Динамические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Москва-Ярополец, МАИ, 2008), конференции молодых ученых СГТУ (Саратов, СГТУ 2007), Второй Всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций (Нижний Новгород, 2007).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 11 научных работ [80-90], из них 5 работ в периодических научных изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатских диссертаций [80, 81, 83, 85, 89].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Математические модели гидроопор, которые позволяют учитывать влияние упругого трехслойного статора, круглого или прямоугольного в плане, с несжимаемым заполнителем, совместно с учетом упругой податливости подвеса абсолютно жесткого вибратора и инерционных свойств жидкости с гармонически пульсирующим давлением на АЧХ и ФЧХ гидроопор. Данные модели позволяют осуществить переход к исследованию гидроупругих колебаний в опорах с однородными упругими статорами прямоугольной и круглой формы.

2. Математическая модель гидроопоры, которая позволяет производить оценку влияния сжимаемости заполнителя трехслойного статора совместно с учетом упругой податливости подвеса абсолютно жесткого вибратора и инерционных свойств жидкости с гармонически пульсирующим давлением при исследовании АЧХ и ФЧХ гидроопоры.

3. Построенные амплитудные и фазовые частотные характеристики рассматриваемых опор с учетом упругой податливости трехслойных элементов их конструкций, возможности сжатия заполнителя данных элементов и инерции движения жидкости с гармонически пульсирующим давлением позволяют оценивать резонансные частоты колебаний гидроопор и их элементов, и амплитуды их колебаний при резонансе. Найденные резонансные частоты колебаний дают возможность оценивать критические частоты, при которых возможна вибрационная кавитация в жидкости.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы и приложений. Объем диссертации: 171 страница, из них 4 страниц приложений. В работе 18 рисунков и 22 таблицы. Список литературы включает 105 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Христофорова, Алевтина Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное в рамках представленной диссертационной работы исследование позволяет на основе полученных результатов сделать следующие выводы.

В работе представлены модели механических систем, состоящей из упругой трехслойной пластины (прямоугольной в плане или круглой) со сжимаемым или несжимаемым заполнителем, взаимодействующей с твердым телом, имеющим упругий подвес, через слой вязкой несжимаемой жидкости, в котором поддерживается гармонически пульсирующее давление. Разработанные модели позволяют в рамках предложенного единого подхода исследовать динамику взаимодействия сдавливаемого слоя жидкости с упругой трехслойной (или однородной) пластиной применительно к гидроопорам (демпферам). Сформулированы основные положения и допущения для построения математических моделей рассматриваемых механических систем и постановки для них динамических задач гидроупругости.

Выполненный обзор литературных источников по исследованию задач статики и динамики трехслойных элементов конструкций, позволил сделать выбор необходимых уравнений динамики упругих трехслойных элементов конструкции, полученных на основе использования вариационного принципа Лагранжа с учетом работы сил инерции. Данный подход видится наиболее предпочтительным при выводе уравнений, так как использование вариационных принципов позволяет физически и математически корректно получить как сами уравнения динамики (статики) упругой трехслойной конструкции, так и оценить возможные варианты граничных и начальных условий, получаемых уравнений.

В диссертационной работе разработаны и исследованы математические модели механических систем, состоящих из трехслойной пластины (прямоугольной в плане или круглой), взаимодействующей с абсолютно жестким телом, имеющим упругий подвес, через сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости с гармонически пульсирующим давлением. При рассмотрении прямоугольных трехслойных статоров-пластин осуществлен переход к исследованию плоской задачи, с учетом того, что длина пластины-статора считается существенно большей ее ширины (или прогиб статора цилиндрический). При рассмотрении статора круглой формы исследуются трехмерная осесимметричная задача. Осуществлена постановка новых динамических задач гидроупругости трехслойных элементов конструкции, применительно к гидроопорам с прямоугольными и круглыми вибраторами и статорами. При этом рассмотрены случаи несжимаемого заполнителя трехслойной упругой конструкции и в качестве отдельной задачи рассмотрена опора с прямоугольным статором со сжимаемым заполнителем. Проведен анализ разномасштабных динамических процессов в гидроопоре, который позволил выделить малые параметры поставленных задач гидроупругости, при этом была решена задача по формированию комплексов безразмерных переменных для исследуемых задач гидроупругости. В качестве малые параметров предложено принимать относительную толщину рабочего слоя жидкости и относительную амплитуду колебаний абсолютно твердого вибратора опоры.

Осуществлено решение поставленных связанных нелинейных задач гидроупругости опоры с упругим трехслойным статором. Для решения задач использован метод возмущений и рассмотрен режим установившихся вынужденных гармонических колебаний вибратора и статора под действием заданного на торцах гармонически пульсирующего давления в слое вязкой несжимаемой жидкости. Показано, что для исследования динамики гидроопоры достаточно рассмотрения одночленного асимптотического разложения по относительной амплитуде колебаний вибратора. Получена запись реакции, действующей со стороны слоя вязкой несжимаемой жидкости на абсолютно жесткий вибратор опоры прямоугольной и круглой формы. Найдено решение сформулированных задач гидроупругости для первого члена асимптотического разложения и определены: закон распределения гидродинамического давления в сдавливаемом слое вязкой несжимаемой жидкости опоры, упругие перемещения трехслойного статора опоры, а также закон движения вибратора опоры. Используя найденное решение задач гидроупругости построены амплитудные и фазовые частотные характеристики гидроопор упругими трехслойными статорами прямоугольной и круглой формы. При этом рассмотрено, в качестве отдельных задач, моделирование динамических процессов в опорах со статорами прямоугольной формы, имеющими сжимаемый и несжимаемый заполнитель.

Следует отметить, что построенные математические модели позволяют, как частный случай, осуществить переход к рассмотрению процессов динамики взаимодействия упругих однородных пластин-статоров со слоем вязкой несжимаемой жидкости и абсолютно твердым вибратором.

Проведено математическое моделирование резонансных колебаний гидродинамических опор с различными статорами. Осуществлено сравнение модели опоры с упругим трехслойным статором с несжимаемым заполнителем (трехслойной балкой-полоской) с моделью, в которой статор, считается однородным и выполненным из материала несущих слоев. Также при моделировании рассмотрен вопрос о влиянии на колебания вибратора и статора опоры замены материала несущего слоя статора взаимодействующего с жидкостью.

Данное моделирование показало наличие двух резонансных частот у вибратора и статора. Первая резонансная частота, как вибратора, так и статора в основном определяется инерционными свойствами слоя вязкой несжимаемой жидкости и упругими свойствами статора. Вторая резонансная частота вибратора определяется жесткостью подвеса вибратора и его массой, а также жесткостью статора. При этом резонансные частоты вибратора и статора практически совпадают, что объясняется «переговорами» вибратора и статора.

Выявлено, что использование трехслойного прямоугольного статора с несжимаемым заполнителем приводит к сдвигу резонансных частот в низкочастотную область по сравнению с однородным статором (резонансные частоты уменьшаются до 3-3,5 раз). Данная особенность характерна как для статора, так и для вибратора. При этом изменение материала первого несущего слоя статора незначительно (до 10-12%) изменяет резонансную частоту и амплитуду колебаний трехслойной конструкции. Наибольший сдвиг наблюдается на низких частотах. Указанная особенность объясняется, тем, что жесткость трехслойной конструкции оказывается меньше по сравнению с однородной. Проведенные расчеты показали снижение значений коэффициентов динамичности трехслойной конструкции по сравнению с однородной на в низкочастотном диапазоне.

Моделирование процесса вынужденных гидроупругих колебаний на основной моде в опоре с круглым . вибратором и круглым упругим. трехслойным статором с несжимаемым заполнителем показало, как и в случае опоры со статором в виде трехслойной балки-полоски, наличие двух резонансных частот у вибратора и статора. При этом замена материала, первого несущего слоя круглого трехслойного статора фактически не сказывается на резонансных частотах и коэффициентах динамичности. Расчеты показали, что при замене однородного статора трехслойным происходит существенное уменьшение (до 10 раз) значений первых резонансных частот вибратора и статора опоры. Вторая резонансная частота при этом практически не изменяется и совпадает со второй резонансной частотой для случая опоры с однородным статором.

Проведенное исследование влияния учета! сжимаемости заполнителя в опоре с прямоугольным упругим трехслойным статором показало, что применение сжимаемого заполнителя приводит существенному изменению параметров вынужденных колебаний элементов опоры. В частности, на главной моде наблюдаются четыре резонансные частоты, как для вибратора, так и для статора. Значения резонансных частот вибратора и статора практически совпадают и оказываются значительно большими, чем значения резонансных частот для случая однородного статора (до 9,5 раз) и статора с несжимаемым заполнителем (до 33 раз). Моделирование позволило выявить, что применение трехслойного статора со сжимаемым заполнителем позволяет более эффективно демпфировать амплитуды колебаний, данный факт проявляется в существенном, снижении (до 2-3 порядков) значений коэффициентов динамичности (и амплитуд колебаний) вибратора и статора на резонансных частотах.

Использование жидкостей с низкой вязкостью приводит к существенному возрастанию амплитуд колебаний во всех рассмотренных моделях. Например, моделирование с заменой рабочей жидкости на воду (уменьшение вязкости в 100 раз) приводит к возрастанию амплитуд колебаний (и коэффициентов динамичности) свыше 20 раз. Резонансные частоты при этом возрастают на 30-50%, что можно объяснить увеличением плотности рабочей жидкости. Также, расчеты показали, что уменьшение толщины слоя жидкости ведет к эффективному подавлению амплитуд колебаний. Так уменьшение рабочего зазора в 2 раза приводит к уменьшению амплитуд колебаний (и коэффициентов динамичности) от 3 до 10 раз. При этом в ходе моделирования показано, что расчётные значения амплитуд колебаний вибратора не превышают десятков микрон, т.е. путём численных расчетов подтверждена правомерность введения в качестве малого параметра относительной амплитуды колебаний вибратора.

Проведенное, в соответствии с поставленной целью, диссертационное исследование позволило решить все сформулированные в работе задачи на основе предложенного единого подхода к постановке, решению и математическому моделированию динамических задач гидроупругости трехслойных элементов конструкций применительно к гидродинамическим опорам. Результаты диссертационной работы могут найти применение для дальнейшего развития математического моделирования динамики сложных механических систем, включающих в себя абсолютно жесткие, упругие трехслойные конструкции и вязкую жидкость, а также для математического моделирования условий возникновения кавитации слое жидкости взаимодействующей с упругими, в том числе и трехслойными стенками и расчета критических частот колебаний, соответствующих этим условиям.

155

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Христофорова, Алевтина Владимировна, 2009 год

1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга. - М. : Наука, 1978.-287 с.

2. Алексеев, В. В. Колебания упругой пластины контактирующей со свободной поверхностью тяжелой жидкости / В. В. Алексеев, Д. А. Индейцев, Ю. А. Мочалова // Журнал технической физики. 2002. - Т. 72.5. С. 16-21.

3. Алексеев, В. В. Резонансные колебания упругой мембраны на дне бассейна с тяжелой жидкостью / В. В. Алексеев, Д. А. Индейцев, Ю. А. Мочалова // Журнал технической физики. 1999. — Т. 69. — № 8. — С. 37-43.

4. Амбарцумян, С. А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания / С. А. Амбарцумян. — М. : Наука, 1987. — 360 с.

5. Андрейченко, К. П. Исследование сдавливания тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в зазоре подшипника / К. П. Андрейченко // Машиноведение. 1978. - № 4. - С. 117-122.

6. Андрейченко, К. П. К теории демпферов с тонкими слоями жидкости / К. П. Андрейченко // Машиноведение. 1978. - № 1. - С. 69-75.

7. Андрейченко, К.П. К теории жидкостного демпфирования в поплавковых приборах / К. П. Андрейченко // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. - № 5. -С. 13-23.

8. Андрейченко, К. П. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом / К. П. Андрейченко, JI. И. Могилевич. — Саратов: Изд-во. Сарат. гос. ун-та, 1987, 160 с.

9. Андрейченко, К. П. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом поплавка при торцевом истечении жидкости / К. П. Андрейченко, Л. И. Могилевич // Машиноведение. 1987. - № 1. - С. 3341.

10. Арзуманов, Э. С. Кавитация в местных гидравлических сопротивлениях / Э. С. Арзуманов. М. : Энергия, 1978. - 304 с.

11. Балакирев, Ю. Г. Нелинейные автоколебания регулируемых систем, содержащих оболочки с жидкостью / Ю. Г. Балакирев, В. Г. Григорьев, В. П. Шмаков // Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций. — М. : Изд-во МГУ, 1986. С. 6-19.

12. Башта, Т. М. Машиностроительная гидравлика : справ, пособие / Т. М. Башта. М. : Машиностроение, 1971. - 672 с.

13. Березняк, И. С. Вынужденные колебания элементов пластинчато. оболочечной цилиндрической конструкции, погруженной в жидкость /

14. Блехман, И. И. Механика и прикладная математика / И. И. Блехман, А. Д. Мышкис, Я. Г. Пановко. М. : Наука, 1983. - 328 с.

15. Болотин, В. В. Механика многослойных конструкций / В. В. Болотин, Ю. Н. Новичков. -М. : Машиностроение, 1980. 375 с.

16. Борщевский, Ю. Т. Повышение кавитационной стойкости двигателей внутреннего сгорания / Ю. Т. Борщевский, А. Ф. Мирошниченко, Л. И.

17. Погодаев. Киев : Вища школа, 1980. — 208 с.

18. Бургвиц, А. Г. О влиянии сил инерции смазочного слоя на устойчивость движения шипа в подшипнике конечной длины / А. Г. Бургвиц, Г. А. Завьялов // Изв. вузов. Машиностроение. 1963. — № 12. - С. 38-48.

19. Ван-Дайк, М. Методы возмущений в механике жидкости / М. Ван-Дайк / Пер. с англ. М. : Мир, 1967. - 310 с.

20. Взаимодействие пластин и оболочек с жидкостью и газом / под ред. А. Г. Горшкова. М. : Изд-во МГУ, 1984. - 168 с.

21. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости / А. С. Вольмир. М. : Наука, 1976. - 416 с.

22. Вольмир, А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости / А. С. Вольмир. М. : Наука, 1979. — 320 с.

23. Вольмир А. С. Колебания оболочки с протекающей жидкостью / А. С. Вольмир, М. С. Грач // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. - № 6. - С. 162-166.

24. Городецкий, О. М. Исследование возмущающих моментов сил вязкого трения в подвесе поплавкового гироскопа / О. М. Городецкий // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. —№ 1. - С. 10-16.

25. Городецкий О. М. О применимости квазистационарного метода для изучения динамики гироскопа с жидкостным подвесом / О. М. Городецкий, Д. М. Климов // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. - № 4. - С. 1020.

26. Горшков, А. Г. Динамическое взаимодействие оболочек и пластин с окружающей средой / А. Г. Горшков // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. - № 2. -С. 165-178.

27. Горшков, А. Г. Нестационарное взаимодействие пластин и оболочек со сплошными средами / А. Г. Горшков // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. - № 4. -С. 177-189.

28. Горшков, А. Г. Динамические контактные задачи с подвижными границами / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский. М. : Наука, 1995. - 351 с.

29. Горшков, А. Г. Аэрогидроупругость конструкций / А. Г. Горшков, В.И. . Морозов, А. Т. Пономарев, Ф. Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000.591 с.

30. Горшков, А.Г. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций / А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая. М.: Физматлит, 2005. — 576 с.

31. Гривнин, Ю. А. Кавитация на поверхности твердых тел / Ю. А. Гривнин, С.П. Зубрилов. JI. : Судостроение, 1985. - 124 с.

32. Григолюк, Э. И. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение) / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков. Л. : Судостроение, 1976.- 199 с.

33. Григолюк, Э.И. Динамика твердых тел и тонких оболочек вращения, взаимодействующих с жидкостью / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков. — М. : Изд-во МГУ, 1975.- 179 с.

34. Григолюк, Э. И. Нестационарная гидроупругость оболочек / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков. Л. : Судостроение, 1974. — 208 с.

35. Григолюк, Э. И., Уравнения возмущенного движения тела с тонкостенной упругой оболочкой, частично заполненной жидкостью / Э. И. Григолюк, Ф. Н. Шклярчук // ПММ. 1970. - Т. 34. - Вып. 3. - С. 401-411.

36. Григолюк, Э. И. Об одном методе расчета колебаний жидкости, частично заполняющей упругую оболочку вращения / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков, Ф. Н. Шклярчук // Изв. АН СССР: МЖГ. 1968. - № 3. -С. 7480.

37. Епишкина, И. Н. Математическое моделирование вынужденных колебаний гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания / И. Н. Епишкина, Л. И. Могилевич, В. С. Попов, А. А. Симдянкин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2001. - № 4. - С. 19-26.

38. Иванченко, Н. Н. Кавитационные разрушения в дизелях / Н. Н. Иванченко, А. А. Скуридин, М. Д. Никитин. Л. : Машиностроение, 1970.-152 с.

39. Ильгамов, М. А. Введение в нелинейную гидроупругость / М. А.

40. Ильгамов. М. : Наука, 1991. - 200 с. 42. Ильгамов, М. А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и. газ / М. А. Ильгамов. - М. : Наука, 1969. -184 с.

41. Ильгамов, М. А. Свободные и параметрические колебания цилиндрической оболочки бесконечной длины в акустической среде / М. А. Ильгамов, А. 3. Камалов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1966. -№ 4.-С. 41-50.

42. Козырев, С. П. Гидроабразивный износ металлов при кавитации / С. П. Козырев. -М. : Машиностроение, 1971.-221 с.

43. Кондратов, Д. В. Упругогидродинамика машин и приборов на транспорте / Д. В. Кондратов, Л. И. Могилевич. М.: Изд-во РГОТУПС, 2007, 169 с.

44. Коновалов, С. Ф. Влияние упругих деформаций сильфона и кронштейна выносного элемента на виброустойчивость поплавкового прибора / С. Ф. Коновалов, А. А. Трунов // Прикладная гидродинамика поплавковых приборов : тр. МВТУ. 1982. -№ 372. - С. 25-59.

45. Коновалов, С. Ф. Теория виброустойчивости акселерометров / С. Ф. Коновалов. -М. : Машиностроение, 1991. -272 с.

46. Коул, Дж. Методы возмущений в прикладной математике/ Дж. Коул; пер. с англ. М. : Мир, 1972. - 276 с.

47. Кочин, Н. Е. Теоретическая гидромеханика / Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе. — M.-JI. : ОГИЗ, 1948.-Т. L-536c.

48. Кочин, Н. Е. Теоретическая гидромеханика / Н. Е. Кочин, И. А. Кибель,

49. Н. В. Розе. — M.-JI. : ОГИЗ, 1948.-Т. 2.-612 с.

50. Кубенко, В. Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой / В. Д. Кубенко. Киев: Наукова думка, 1979. - 184 с.

51. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. М. : Наука, 1986.-376 с.

52. Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. М. : Наука, 1962.-202 с.

53. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. — М. : Дрофа, 2003.-840 с.57". Мнев, Е. Н. Гидроупругость оболочек / Е. Н. Мнев, А. К. Перцев. Л. : Судостроение, 1970. -365 с.

54. Могилевич, Л. И. Гидроупругость виброопры с трехслойной круглой упругой пластиной с несжимаемым заполнителем / Л. И. Могилевич, В. С. Попов, Э.И. Старовойтов // Наука и техника транспорта. — 2006. — №2. — С. 56-63.

55. Могилевич, Л. И. Динамика взаимодействия цилиндропоршневой группы двигателя внутреннего сгорания и слоя охлаждающей жидкости / Л. И. Могилевич, В. С. Попов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003.-№1.-С. 79-88.

56. Могилевич, Л. И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л. И. Могилевич, В. С. Попов. Саратов : Изд-во Сарат. гос. агр. ун-та им. Н.И. Вавилова, 2003. - 156 с.

57. Могилевич, Л .И. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости / Л. И. Могилевич, В. С. Попов // Изв. РАН. МТТ. 2004. -№ 5. - С. 179-190.

58. Морозов, В. И. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем / В. И. Морозов, А. Т. Пономарев, О. В. Рысев. М. : Физматлит, 1995.-736 с.

59. Пановко Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем / И. И.

60. Губанова, Я. Г. Пановко. — М. : Наука, 1964. — 336 с.

61. Перник, А. Д. Проблемы кавитации / А.Д. Перник. JI. : Судпромгиз, 1966.-439 с.

62. Попова А.А. Исследование динамических характеристик гидродинамической опоры с ребристым статором / А.А. Попова // Молодые ученые — науке и производству: материалы конференции молодых ученых. Саратов: РИЦ СГТУ, 2007. - С. 173-175.

63. Попова А.А. Математическое моделирование динамических процессов в виброопоре с упругими элементами конструкции / А.А. Попова // Вестник Саратовского государственного технического университета. №4. — 2007. -С. 25-31.

64. Попова А.А. Динамическая задача гидроупругости виброопоры с упругой ребристой пластиной / Л.И. Могилевич, А.А. Попова // Наука и техника транспорта- №4. 2007. - С. 55-61.

65. Прецизионные газовые подшипники / Ю.Я. Болдырев, Б.С. Григорьев, Н.Д. Заблоцкий, Г.А. Лучин, Т.В. Панич, И.Е. Сипенков, А.Ю. Филиппов — СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2007. 504 с.

66. Рождественский, В. В. Кавитация / В.В. Рождественский. Л. : Судостроение, 1977. - 247с.

67. Симдянкин, А. А. Контактно-силовое взаимодействие деталей цилиндро-поршневой группы / А.А. Симдянкин. Саратов : ФГОУ ВПО "Саратовский ГАУ", 2003. - 144 с.

68. Слезкин, Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости / Н. А. Слезкин. — М. : Гостехиздат, 1955. — 520 с.

69. Старовойтов, Э.И. Вязкоупругопластические слоистые пластины и оболочки / Э.И. Старовойтов. Гомель.: РИО БелГУТ, 2002. 344 с.

70. Старовойтов, Э.И. Деформирование трехслойных элементов конструкций на упругом основании / Д.В. Леоненко, Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая. М.: Физматлит, 2006. 380 с.

71. Старовойтов, Э.И. Локальные и импульсные нагружения трехслойных элементов конструкций / Д.В. Леоненко, Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая. Гомель.: РИО БелГУТ, 2003. 367 с.

72. Христофорова А.В. Математическое моделирование демпфирования колебаний в ДВС / B.C. Попов, А.А. Симдянкин А.П. Уханов,

73. A.В. Христофорова // Тракторы и сельскохозяйственные машины. —2007 — №8. С.45-48.

74. Христофорова А.В. Математическое моделирование динамических процессов в гидродинамической опоре с трехслойным статором /

75. B.C. Попов, А.В. Христофорова // Вестник Саратовского государственного технического университета. — 2007. — №3. — С.38-45.

76. Христофорова А.В. Гидроупругость виброопоры с трехслойной круглой пластиной с несжимаемым заполнителем при наличии противодавления /

77. B.C. Попов, А.В. Христофорова // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. - №4. - С. 18-25.

78. Христофорова А.В. Гидроупругость демпфера с трехслойным упругим стержнем при наличии противодавления в слое жидкости / B.C. Попов, А.В. Христофорова // НТТ наука и техника транспорта- №1. - 2008. - С. 43-49.

79. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. М. : Наука, 1974.-711 с.

80. Шклярчук, Ф. Н. Колебания упругой оболочки, содержащей жидкость систочником / Ф.Н. Шклярчук // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. - № 6. -С. 153-166.

81. Amabili, М. Non-Linear Dynamics and Stability of Circular Cylindrical Shells Conveying Flowing Fluid / M. Amabili, F. Pellicano, M.P. Pandoussis // Computers & Structures. 2002. - Vol. 80. - P. 899-906.

82. Bar-Joseph, P. The effect of Inertia on Flow Between Misaligned Rotation Disks / P. Bar-Joseph, A. Solan, J. Blech // Journal of Fluids Engineering. -1981.-Vol. 103.-P. 82-87.

83. Chen, S.S. Added mass and damping of vibrating rod in confined viscous fluids / S.S. Chen, M.W. Wamberganss, J.A. Jendrzeczyk // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1976. - Vol. 43. - No.2. - P. 325-329.

84. Knapp, R.T. Cavitation / R.T. Knapp , J.W. Daily , F.G. Hammitt. New-York : Mcgraw-Hill book company, 1970.

85. Kumar, R. Flexural vibration of fluid-filled cylindrical shells / R. Kumar // Acoustica 1971. - Vol. 24. - No. 3. - P .241 -247.

86. Lucey, A.D. The nonlinear hydroelastic behaviour of flexible walls / A.D. Lucey, G.J. Cafolla, P.W. Carpenter, M. Yang // Journal of Fluids and Structures.- 1997.-Vol. 11.-P. 717-744.

87. Lucey, A.D. The hydroelastic stability of three-dimensional disturbances of a finite compliant panel / A.D. Lucey, P.W. Carpenter // Journal of Sound and Vibration. 1993. - Vol. 163(3). - P. 527-552.

88. Misra, A.K. Dynamics and Stability of Pinned-Clamped and Clamped-Pinned Cylindrical Shells Conveying Fluid / A.K. Misra, S.S.T. Wong, M.P. Pandoussis // Journal of Fluids and Structures. 2001 - Vol. 15. - P. 11531166.

89. Nguyen, V.B. A CFD-Based Model for the Study of the Stability of Cantilevered Coaxial Cylindrical Shells Conveying Viscous Fluid / V.B. Nguyen, M.P. Pandoussis, A.K. Misra // Journal of Sound and Vibration. -1994.-Vol. 176.-P. 105-125.

90. Shiang, A. H. Hydroelastic instabilities in viscoelastic flow past a cylinder confined in a channel / A. H. Shiang, A. Eztekin, J.-C. Lin, D. Rockwell // Experiments in Fluids.- 2000.-Vol. 28.- P. 128-142.

91. Shock and vibration handbook. New York, 1961. - Vol. 1-2.

92. Stein, R.A. Vibration of pipes containing flowing fluids / R.A. Stein, M.W. . Tobriner // Journ. Appl. Mech. 1970. - No.4. - P. 906-916.t