Исследование динамических опорных реакций в балочных, складчатых и ферменных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Алферов Иван Валерьевич

• Алферов Иван Валерьевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Алферов Иван Валерьевич

Введение

Глава 1. Динамические опорные реакции при свободных колебаниях

1.1. Балочные системы

1.1.1. Однопролетные балочные системы

1.1.2. Двухпролетные балочные системы

1.1.3. Трехпролетные балочные системы переменного сечения

1.1.4. Высшие формы колебаний балочных систем

1.2. Складчатые системы

1.3. Ферменные системы

Глава 2. Исследование горизонтальной опорной реакции для системы с классической схемой опорных закреплений при некоторых типичных видах динамических воздействий

2.1. Явная схема интегрирования уравнений движения

2.2. Алгоритм вычисления контактных сил

2.2.1. Вычисление контактных сил при торможении

2.3. Учет сил демпфирования с использованием обобщенной модели Прандтля

2.4. Динамические опорные реакции в мостовой ферме при движении подвижной нагрузки

2.5. Динамические опорные реакции в разрезной ферме при разнонаправленном движении подвижной нагрузки

2.6. Тормозная сила как динамическое воздействие на пролетное строение

2.6.1. Динамика взаимодействия поезда и пролетного строения при торможении

2.7. Динамические опорные реакции в мостовой ферме при воздействии землетрясения

2.8. Динамические опорные реакции в балке при ударном воздействии

2.8.1. Поперечный удар по балке грузами с различной выпуклостью

ударной поверхности

3. Учет массивных упругих опор для анализа динамических опорных реакций при свободных и вынужденных колебаниях

3.1. Динамические опорные реакции в плитно-балочных системах, совершающих свободные колебания, при совместной работе пролетного строения и опор

3.2. Совместная модель пролетного строения, подвижного состава и массивной опоры для анализа динамических опорных реакций

Глава 4. Динамическая модель - пролетное строение, подвижной состав, грунтовый массив насыпи

Основные результаты и выводы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование динамических опорных реакций в балочных, складчатых и ферменных системах»

ВВЕДЕНИЕ

В нашей работе исследуется появления горизонтальной составляющей опорной реакции в балочных, складчатых и ферменных системах, имеющих классические опорные закрепления в виде шарнирно -неподвижной и шарнирно-подвижной опоры. Рассматриваются собственные и вынужденные колебания ряда типичных для транспорта конструкций пролетных строений, где величина горизонтальной реакции определяется численно.

В работе рассматриваются, прежде всего, обычные поперечные колебания наиболее типичного объекта строительной механики - классической балки на двух опорах. Одна из опор шарнирно-неподвижная, а другая шарнирно-подвижная. Как показывают результаты выполненных нами исследований, в данном случае возникает горизонтальная опорная реакция. Условием появления этой реакции являются, прежде всего, колебания балки. Кроме того, шарнирно-неподвижная опорная часть балки должна быть расположена не на уровне нейтрального слоя балки, а иметь относительно этого уровня некоторое смещение. Отметим, что реальные схемы крепления балок за редким исключением отвечают этому требованию, так как опорные устройства располагаются под нижним поясом балки. Часто опорные устройства имеют значительную высоту, что еще больше усиливает эффект возникновения горизонтальной реакции. Сам факт появления горизонтальной опорной реакции является на первый взгляд неожиданным и с этой точки зрения представляет безусловный интерес.

Рассматриваемый эффект проявляется в полной мере уже при малых линейных колебаниях, поскольку он не обусловлен горизонтальными перемещениями, связанными с искривлением оси балки.

Коротко поясним причину возникновения горизонтальной опорной реакции на примере балки. Рассмотрим сначала статический прогиб от поперечной нагрузки (см. рисунок ниже).

<РА

А Т

Смещение балки направо при статическом прогибе

Прогиб будет сопровождаться поворотом опорного сечения, при этом сама балка сместится от шарнирно-неподвижной опоры направо на величину фИ, где ф - угол поворота опорного сечения, И - высота нейтрального слоя балки над опорным шарниром. Отметим, что смещение балки в сторону пролета имеет тот же порядок малости, что и прогиб, он пропорционален приложенной к балке нагрузке. При статическом загружении горизонтальное смещение не влияет на внутренние усилия в балке. Когда имеют место колебания, горизонтальное смещение происходит с ускорением, что неизбежно приводит к возникновению горизонтальной опорной реакции.

Как показывают результаты численных решений, величина горизонтальной динамической опорной реакции получается достаточно большой. Она несколько меняет привычную симметричную первую балочную форму колебаний, а также и другие формы колебаний.

Эффект появления горизонтальной опорной реакции по всей видимости впервые был отмечен В.Б. Зылевым [1, стр. 186-192] и продемонстрирован на модельном примере. Практическая важность этой задачи стимулировала наши более детальные исследования этого несколько необычного явления.

В многочисленных работах отечественных и зарубежных авторов [2-4, 10-12,

14, 17-23, 24, 25, 28, 30, 31, 36, 37, 53-58, 64, 65, 67-70, 75, 77, 79, 80-83, 89-91, 95,

96, 99-102] рассматриваются вопросы динамики конструкций различных сооружений.

В работах В.В. Болотина [18-21], И.И. Иванченко [53-56], Н.Г. Бондаря [24, 25], Ю.А. Радзиховского, З.Г. Ройтбурда, ЭМ. Тененбаума [77], ВМ. Круглова, С.Б. Косицына, В.Д. Потапова, Д.Б. Долотказина, M.A. Лукьянова [65], M.M. Gao, J.Y.Pan, [96] рассматриваются вопросы о статическом и динамическом расчете мостовых сооружений при воздействии подвижной нагрузки на мосты, а в публикациях И.И. Иванченко, А.В. Ивашкевича, Д.Г. Грошева [57, 58], H. Xia, N. Zhang, G.J. Sun [102], M. Tanabe, H. Wakui, M. Sogabe, N. Matsumoto, Y. Tanabe [100] исследуются вопросы о воздействии высокоскоростной подвижной нагрузки на мостовые конструкции.

В работах В.В. Болотина, В.П. Радина, В.П. Чиркова [22], И.И. Гольденблата, H.A. Николаенко [30], ЮМ. Сильницкого, A.M. Уздиной [80], M. Tanabe, N. Matsumoto, H. Wakui, H. Okuda, M. Sogabe, Y. Tanabe [101] рассмотрены вопросы расчета конструкций на сейсмическую нагрузку, в том числе, расчет мостов и железнодорожного пути на сейсмическое воздействие. В работах Ю.П. Назарова [69, 70] даны основы расчета сооружений на сейсмическое воздействие.

В работах О.В. Mкртычева, ГА. Джинчвелашвили [36, 67], Г.Э. Шаблинского, ДА. Зубкова, ГА. Джинчвелашвили [90] рассматривались вопросы сейсмики при строительстве зданий и сооружений.

Расчеты на ударное воздействие были рассмотрены в работах В.Г. Баженова, A.R Кибеца, И.Н. Цветковой, [10], A.R Родионова [79].

Взаимодействие пути и подвижного состава рассматривалось в работе M^. Вериго, A^. Когана [28].

В работе A3. Aлександрова, Б.Г. Гарбера [2] исследовался вопрос вынужденных колебания плитно-балочных конструкций при движении нагрузок, обладающих массой.

В книге ВМ. Бондаренко, В.И. Римшина [23] даны примеры расчетов и конструктивных решений элементов зданий и сооружений городского назначения массового применения.

В работе С.Е. Блохина [17] рассматриваются колебаниях вагонов на мостах.

Несмотря на достаточный интерес к вопросам динамики транспортных систем, нам не удалось обнаружить публикаций, в которых бы исследовался эффект появления горизонтальной опорной реакции.

Целью диссертационной работы является количественное исследование величины горизонтальной опорной реакции, которая возникает при колебаниях балочных, ферменных и плитных систем, имеющих классическое опорное закрепление в виде шарнирно-неподвижной и шарнирно-подвижной опоры при свободных и вынужденных колебаниях.

Основными задачами работы являются следующие:

1. Выбор параметров некоторых типичных систем балочного типа для анализа и создание математических моделей, позволяющих получать путем численного решения динамические значения опорных реакций.

2. Создание математических моделей, дающих возможность рассматривать колебания при типичных воздействиях: подвижная нагрузка, сейсмическое воздействие, воздействие торможения, ударное воздействии с определением значений опорных реакций.

3. Создание математических моделей, позволяющих рассматривать балочные или ферменные системы совместно с податливыми массивными опорами, земляной насыпью.

4. Разработка алгоритмов и программных модулей, позволяющих рассматривать тормозное воздействие как динамический фактор.

Научная новизна работы состоит в следующих научных достижениях:

1. Получены математические модели для исследования горизонтальной опорной реакции.

2. Получено аналитическое решение для значения горизонтальной опорной реакции при свободных колебаниях балки.

3. Получены значения амплитуд горизонтальной опорной реакции при свободных и вынужденных колебаниях систем с параметрами близкими к реальным конструкциям.

4. Предложена плоско-пространственная расчетная схема, позволяющая рассматривать пролетное строение, подвижную нагрузку, массивную упругую опору в рамках единой динамической задачи.

5. Выполнены численные решения для систем: подвижная нагрузка, пролетное строение, массивная опора; подвижная нагрузка, пролетное строение, насыпь с определением динамических значений горизонтальной опорной реакции.

6. Решена динамическая задача о торможении движущегося по пролетному строению экипажа путем рассмотрения системы, состоящей из экипажа и пролетного строения.

7. С учетом волновых процессов решена задача об ударе с определением динамических значений опорных реакций.

Практическая ценность работы заключается в:

1. Полученных численных значениях динамических опорных реакциях для различных систем (балочные, плитно-балочные, ферменные, грунтовый массив насыпи), совершающих свободные и вынужденные колебания.

2. Показано, что возникающая горизонтальная опорная реакция уже при обычных скоростях движения достигает весьма существенных значений, которые превышают горизонтальную опорную реакцию, возникающую, например, при торможении.

3. Выявлено, что с ростом скорости движения поезда экстремальные значения горизонтальной опорной реакции существенно возрастают.

Достоверность научных исследований подтверждается:

1. Обоснованной постановкой сформулированных задач.

2. Рассмотрением расчетных схем, содержащих большое количество степеней свободы.

2. Использованием при постановке задач гипотез, принятых в механике деформируемого твердого тела, строительной механике [1, 35, 62, 78, 84, 92].

3. Решением ряда тестовых примеров.

4. Сравнением численных результатов с данными аналитических решений.

4. Исследованием сходимости полученных результатов при уменьшении шага по времени и изменении размеров конечных элементов расчетной схемы.

Для решения задач при свободных колебаниях использовался метод конечных элементов, который позволяет получить интересующие нас динамические факторы для различных систем, оставаясь в рамках стандартных возможностей широко известных программных комплексов [13, 27, 29, 93].

Совершенно по-иному дело обстоит с задачами о вынужденных колебаниях. Эти задачи требуют применения численных шаговых методов решения, которые в свою очередь требуют индивидуального подхода к каждой задаче и не могут быть реализованы в рамках стандартных программных комплексов. Для решения этих задач мы пользуемся компьютерной программой, разработанной на кафедре «Строительная механика» МИИТ [38]. Авторами этой программы являются: В.Б. Зылев, А.В. Штейн, Н.А. Григорьев. Эта программа реализует оригинальный численный метод интегрирования уравнений движения, использующий явную вычислительную схему с экстраполяцией по Адамсу [39].

Некоторая работа по расширению возможностей программы [38] выполнена и нами при решении задачи о торможении экипажа, движущегося по пролетному строению.

Методы и алгоритмы решения контактных задач представлены в работах

A.В. Александрова [4], В.М. Александрова, М.И. Чебакова [3], Н.М. Бородачева [26], А.Г. Горшкова и Д.В. Тарлаковского [32], И.И. Иванченко [59],

B.Б. Мещерякова и Е.Н. Курбацкого [66], И.Б. Петрова [73, 74]. В работе А.Н. Бирбраера и И.А. Волкодава представлены методы расчетов на ударные воздействия [15].

В нашей работе контактные задачи представлены достаточно широко (задача о воздействии подвижной нагрузки, задача о торможении, задача о поперечном ударе по балке). Эти задачи решались нами в рамках упомянутой выше компьютерной программы [38], в которой предусмотрены соответствующие опции.

Вопросы расчета систем, при выключающихся из работы элементах рассмотрены в публикациях В.С. Федорова [87,88], В.И. Колчунова [63].

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы по мере их получения докладывались и обсуждались:

- на V Международной научно-практической конференции «Инженерные системы-2012». Москва, РУДН, 16-18 апреля 2012 г.

- на Научно-практической конференции «Наука МИИТа - транспорту». Москва, МИИТ, 2012 г.

- на Научно-практической конференции «Наука МИИТа - транспорту». Москва, МИИТ, 2013 г.

- на Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы и перспективы развития строительных конструкций: инновации, модернизация и энергоэффективность в строительстве» Казахстан, Алмата, КазГАСА, 19-20 декабря 2013 г.

- на VI Международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2013». Москва, РУДН, 2013 г.

- на 72-ой научно-методической и научно-исследовательской конференции. Секция надежности и проблем качества в автотранспортном комплексе. Подсекция «Строительная механика и теория надежности конструкций (с международным молодежным участием)». Москва, МАДИ, 29 января - 6 февраля 2014 г.

- на Научно-практической конференции «Наука МИИТа - транспорту». Москва, МИИТ, 2014 г.

- на IX Международной конференции по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте. Санкт-Петербург, ПГУПС, 27-28 мая 2014 г.

- на 73-ей научно-методической и научно-исследовательской конференции. Секция надежности и проблем качества в автотранспортном комплексе. Подсекция «Строительная механика машин и конструкций (с международным молодежным участием)». Москва, МАДИ, 2-7 февраля 2015 г.

- на II Международной научно-практической конференции «Проблемы механики и строительства транспортных сооружений», посвященной 80-летию Заслуженного деятеля науки и техники Казахстана, академика НАН РК, доктора технических наук, профессора Ш.М. Айталиева. Казахстан, Алмата, КазГАСА, 2015 г.

- на Научно-практической конференции «Наука МИИТа - транспорту». Москва, МИИТ, 2015 г.

Публикации. Основное содержание работы освещено в 16 работах, в том числе в 3 работах, рекомендованных ВАК.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, основной части (четыре главы), заключения, списка литературы. Общий объем диссертации составляет 115 стр., в том числе 92 стр. основного текста, 96 рисунков и 31 таблица, список литературы содержит 102 наименования.

ГЛАВА 1. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПОРНЫЕ РЕАКЦИИ ПРИ СВОБОДНЫХ

КОЛЕБАНИЯХ

1.1. Балочные системы

При использовании классических балочных расчетных схем нет возможности учесть фактическое расположение горизонтальной опорной связи. В реальных балках эта связь, как правило, располагается на уровне нижних волокон или даже ниже этого уровня за счет наличия опорной конструкции. С последним обстоятельством связано появление горизонтальной опорной реакции при колебаниях балки.

Для получения численных значений амплитуд горизонтальной опорной реакции при свободных колебаниях используется уточненная конечно-элементная расчетная схема, когда балка моделируется пластинчатыми конечными элементами.

В работе рассматривались одно- и двухпролетные балки, а также трехпролетные балки переменного сечения, совершающие свободные колебания по одной из собственных форм [5, 40].

В результате исследования был вычислен коэффициент k для шарнирно-неподвижной опоры, равный отношению амплитуды горизонтальной составляющей опорной реакции к амплитуде вертикальной составляющей. Для решения задач, рассмотренных в главе 1, мы используем программный комплекс NASTRAN-PATRAN [13, 27, 29, 93].

1.1.1. Однопролетные балочные системы

Для балочных систем применялся материал со следующими

-5

характеристиками: Е=35000 МПа, ц=0,2, р^2500 кг/м . На рисунке 1.1 представлена конечно-элементная модель однопролетной балки постоянного прямоугольного сечения. Пролет балки принимался в равным 16 м, высота балки - 1/10 от длины пролета, ширина балки - 0,2 м. В таблице 1.1 представлены

результаты расчета однопролетной балки. Положительные направления опорных реакций показаны на рисунке ниже.

Рисунок 1.1. Балка однопролетная. Конечно-элементная модель

Таблица 1.1

Результаты расчета. Б алка однопролетная

Длина пролета, м Амплитуда колебаний, м На, кН Уа, кН Уь, кН Коэффициент к

16 0,00387 33,8 61,5 64,4 0,55

Как видно из таблицы 1.1 амплитуда горизонтальной опорной реакции для однопролетной балочной системы при движении по первой форме собственных колебаний составляет половину от амплитуды вертикальной опорной реакции. Тот же самый результат наблюдался нами и для геометрически подобных балочных систем (высота балки принималась равной 1/10 от длины пролета).

\ у-........

> /

Нд к Уд -V. .. | С ..........- А

4 1

V,

в

Рисунок 1.2. Расчетная схема однопролетной балки

Для балки рассматриваемая задача может быть решена и аналитически, правда, с рядом упрощающих допущений (рисунок 1.2). Перечислим эти допущения: форма вертикальных перемещений балки принимается той же, что и в

классическом подходе, когда горизонтальная опорная связь установлена на уровне нейтральной оси балки; прогибы балки определяются без учета деформаций сдвига и местных деформаций; при определении горизонтальных перемещений точек оси балки не учитывается деформация растяжения; частота собственных колебаний имеет то же значение, что для балки, закрепленной на нейтральной оси (рисунок 1.2).

Классическое решение [1, с. 189] для движения по первой форме при свободных колебаниях дает:

у = v(x)sinюt = fsin п-sinюt (1.1)

В амплитудном состоянии:

__ „п3 ' f

VA = ад = Vх=oEJ = ^ Е], Vx=0 = -п (1.2)

Амплитудное горизонтальное перемещение (рис. 4) соответственно будет:

, f

А = V Ь = | пЬ (1.3)

Горизонтальное перемещение балки как жесткого диска и = Аsinюt,

" 9

соответственно амплитудное значение ускорения: и = Аю2.

Для круговой частоты собственных колебаний шарнирно опертой балки известна формула:

ю = П2 Л (1.4)

Тогда амплитудная сила инерции, которая равна амплитуде горизонтальной опорной реакции Н составит:

Н = Аю2т1, где (1.5)

т - погонная масса балки. Следовательно:

f , п4 Е^ , fп5ЬEJ , с

Н= Г пЬ ^тт1 = ""Т" (16)

Теперь найдем значение к из аналитического решения:

к= (1.7)

VA 1 V ^

Поскольку амплитудная сила инерции приложена с плечом Ь относительно точек крепления, она будет несколько менять значения вертикальных опорных реакций.

Используя уравнения равновесия для приращения реакции Ув, придем к формуле:

^В = ^Ъ=кЬ (1.8)

Vв Vв1 1 V 7

Теперь можно сравнить то, что дает метод конечных элементов (МКЭ) для к с результатами аналитического решения. Например, для однопролетной балки МКЭ дает коэффициент к = 0,55, аналитическое решение дает к = 0,5. Таким образом, имеем удовлетворительное совпадение полученного аналитического решения с численным.

Отметим, что идея выполнения аналитического решения родилась в ходе дискуссии по нашему докладу с профессором В. Н. Ивановым на конференции в Российском университете дружбы народов, проходившей 16-18 апреля 2012 г. Здесь мы выражаем ему благодарность.

В таблице 1.2 представлены результаты расчета однопролетной балки при неизменной длине пролета и меняющейся высоте балки.

Таблица 1.2

Высота балки, м Амплитуда колебаний, м На, кН Уа, кН УЬ, кН Коэффициент к

1,6 0,00386 34,1 61,3 64,1 0,556

2 0,0034 72,4 96,4 103,8 0,751

4 0,00209 441,4 178,6 270,5 2,471

На рисунке 1.3 представлен график зависимости коэффициента к от высоты балки при неизменной длине пролета.

0 1 2 3 4 5

Рисунок 1.3. График зависимости коэффициента к от высоты балки при неизменной длине пролета. Длина пролета равна 16 м. По оси ординат отложены значения коэффициента к, по оси

абсцисс - высота балки в метрах

Анализируя данные (таблица 1.2, рисунок 1.3) можно сделать вывод о том, что при увеличении высоты балки значение коэффициента к существенно увеличивается, так как увеличивается высота от опорной точки до нейтрального слоя балки.

Далее были рассмотрены однопролетные балки с консолями и верхним балансиром высотой 0,3 м (рисунок 1.4). В таблице 1.3 представлены результаты расчета однопролетной балки с консолями и верхним балансиром.

Рисунок 1.4. Балка однопролетная с консолями и верхним балансиром. Конечно-элементная

модель

Таблица 1.3

Результаты расчета. Балка однопролетная с консолями и верхним балансиром

Длина пролета, м Амплитуда колебаний, м На, кН Уа, кН УЬ, кН Коэффициент к Среднее значение коэффициента к

8 0,00743 114,7 94,6 112,3 1,212 0,923

16 0,00382 46,4 56,0 61,5 0,829

24 0,00256 28,3 38,9 41,9 0,728

На рисунке 1.5 представлен график зависимости коэффициента к от длины пролета.

1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

Рисунок 1.5. График зависимости коэффициента к от длины пролета. Балка однопролетная с консолями и верхним балансиром. По оси ординат отложены значения коэффициента к, по оси

абсцисс - длина пролета балки в метрах

Анализирую полученные данные (таблицы 1.1, 1.3 и рисунок 1.5) можно сделать вывод о том, что добавление балансира увеличивает значение коэффициента к, так как увеличивается высота от опорной точки до нейтрального слоя балки. Особенно это сказывается для балок с меньшим пролетом, так как в нашем расчете при увеличении длины пролета балки высота балансира оставалась постоянной.

1.1.2. Двухпролетные балочные системы

На рисунке 1.6 представлена конечно-элементная модель двухпролетной балки. Пролет балки принимался равным 16 м, высота балки - 1/10 от длины пролета, ширина балки - 0,2 м. Положительные направления опорных реакций показаны на рисунке ниже.

Рисунок 1.6. Балка двухпролетная. Конечно-элементная модель. Коэффициент к равняется 1,415

Анализируя полученные данные, приведенные на рисунке 1.6, можно сделать вывод о том, что амплитуда горизонтальной опорной реакции для двухпролетной балочной системы при движении по первой форме собственных колебаний превышает амплитуду вертикальной опорной реакции в 1,4 раза. Таким образом, для двухпролетной балки исследуемый нами феномен проявляется в существенно большей степени, чем для балки однопролетной.

Далее была рассмотрены двухпролетные балки с консолями и верхним балансиром высотой 0,3 м (рисунок 1.7).

В таблице 1.4 представлены результаты расчета двухпролетной балки с консолями и верхним балансиром.

.....д<|1Т""ТТ"Г*г--

Рисунок 1.7. Балка двухпролетная с консолями и верхним балансиром.

Конечно-элементная модель

Таблица 1.4

Результаты расчета. Балка двухпролетная с консолями и верхним балансиром_

Длина пролета, м

Амплитуда колебаний,

м

На, кН

Уа, кН

УЬ, кН

Ус, кН

Коэффи циент к

Среднее значение коэффициента к

8

0,0057

189,9

52,8

46,9

-61,5

3,597

16

0,00288

79,0

35,8

16,7

-37,3

2,207

2,57

24

0,00192

48,6

25,5

9,6

-26,1

1,906

Анализирую полученные данные (таблиц 1.4, рисунки 1.6, 1.7) можно сделать вывод о том, что добавление балансира увеличивает значение коэффициента к, так как увеличивается высота от опорной точки до нейтрального слоя балки. Особенно это сказывается для балок с меньшим пролетом, так как в нашем расчете при увеличении длины пролета балки высота балансира оставалась постоянной.

1.1.3. Трехпролетные балочные системы переменного сечения

На рисунке 1.8 представлена конечно-элементная модель трехпролетной балки переменного сечения. Средний пролет балки принимался равным 16 м, высота балки над опорами А и Б равняется 1/20 от длины пролета, высота балки над опорами В и С равняется 1/6,667 от длины пролета, ширина балки - 0,2 м. В таблице 1.5 представлены результаты расчета трехпролетной балки при разной густоте сетки конечных элементов. Положительные направления опорных реакций показаны на рисунке ниже. Шарнирно-неподвижной опорной является опора В.

НПППйКяэ» - ........■ и ■

■■¡¡§11 Р та?;: Г» | 1 -г 1 т!

Рисунок 1.8. Балка трехпролетная переменного сечения. Конечно-элементная модель

Таблица 1.5

Результаты расчета. Балка трехпролетная переменного _ сечения

Размер конечного элемента, м Амплитуда колебаний, м Уа, кН Нь, кН Уь, кН Ус, кН Уа, кН Коэффиц иент к

0,8 0,00278 -83,5 195,4 76,7 77,2 -44,4 2,548

0,4 0,00276 -80,7 190,5 73,9 74,3 -42,6 2,578

0,2 0,00273 -78,1 186,1 71,2 71,7 -41,0 2,614

0,1 0,0027 -76,1 182,9 69,3 70,0 -39,8 2,639

0,05 0,00268 -74,3 179,9 67,5 68,3 -38,7 2,665

0,025 0,00265 -72,6 177,1 65,8 66,7 -37,7 2,691

Анализируя данные таблицы 1.5 можно сделать вывод о том, что для данного примера размер конечного элемента равный 0,1 м дает приемлемую точность.

Дальнейшее уменьшение размера конечного элемента уже не вносит существенного уточнения в искомый результат.

Таким образом, в случае трехпролетной балки переменного сечения амплитуда горизонтальной опорной реакции превышает амплитуду вертикальной опорной реакции в 2,6 раза.

В таблице 1.6 представлены средние значения коэффициента к для различных балочных систем.

Таблица 1.6

Значения коэффициента к для различных балочных схем_

Балочная схема Среднее значение коэффициента к

Балка однопролетная с закрепление на уровне нижних волокон 0,55

Балка однопролетная с консолью и верхним балансиром 0,923

Балка двухпролетная с закреплением на уровне нижних волокон 1,415

Балка двухпролетная с консолью и верхним балансиром 2,57

Балка трехпролетная переменного сечения 2,639

В результате исследования было выявлено, что горизонтальная составляющая опорной реакции при движении по первой форме собственных колебаний составляет примерно половину от вертикальной составляющей, а в некоторых случаях превышает ее. Так, например, для двухпролетной балки горизонтальная составляющая опорной реакции превышает вертикальную составляющую в 1,4 раза, а в случае балки переменного сечения - в 2,6 раза. Приведенные значения показывают, что даже для первой формы колебаний исследуемый парадокс в значениях опорных реакций является весьма существенным, заслуживающим рассмотрения.

1.1.4. Высшие формы колебаний балочных систем

Теперь рассмотрим высшие формы собственных колебаний балочных систем.

Для расчета была взята балка с длиной пролета 16 м и высотой 1,6 м. Рассматривалось три варианта закрепления балок.

В первом варианте расчета балка была закреплена на уровне нейтральной оси (рисунки 1.8-1.11).

Рисунок 1. 8. Первая форма собственных колебаний. Балка закреплена на уровне нейтральной оси. Частота колебаний 10,4 Гц. Горизонтальная реакция равна нулю

Рисунок 1.9. Вторая форма собственных колебаний. Балка закреплена на уровне нейтральной оси. Частота колебаний 39,7 Гц. Горизонтальная реакция равна нулю

Рисунок 1.10. Третья форма собственных колебаний. Балка закреплена на уровне нейтральной оси. Частота колебаний 48,7 Гц. Отсутствует вертикальная реакция в шарнирно-неподвижной опоре. Значение коэффициента к формально равняется бесконечности, однако для нас этот случай не представляет особенного интереса, так как здесь мы имеем дело не с балочной

формой колебаний

Рисунок 1 .11. Четвертая форма собственных колебаний. Балка закреплена на уровне нейтральной оси. Частота колебаний 83,3 Гц. Горизонтальная реакция равна нулю

Как видно из рисунков 1.8-1.11 при таком способе закрепления горизонтальная реакция равна нулю, а вертикальные реакции получаются одинаковыми, симметрия не нарушается.

Приведенные на рисунках 1.8-1.11 расчеты мы выполнили для того, чтобы еще раз убедиться в правильности объяснения причины появления горизонтальной реакции при колебаниях - она связана с расположением горизонтального закрепления не на нейтральной оси.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алферов Иван Валерьевич, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А.В, Потапов В.Д, Зылев В.Б. Строительная механика. В 2-х книгах. Книга 2. Динамика и устойчивость упругих систем. М.: «Высшая школа», 2008 г. - 384 с.

2. Александров А.В., Гарбер Б.Г. Вынужденные колебания плитно-балочных конструкций при движении нагрузок, обладающих массой // Тр. ХИИТ, 1968. Вып. 34. - С. 252-263.

3. Александров В.М., Чебаков М.И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004. - 304 с.

4. Александров А.В. Численное решение линейных дифференциальных уравнений при помощи матрицы дифференцирования // Тр. МИИТ, 1961. Вып. 131. -С. 71-78.

5. Алферов И.В. Динамические опорные реакции в балочных системах при свободных колебаниях // Труды научно-практической конференции «Наука МИИТа - транспорту». М.: МИИТ, 2012. - С. 11-3.

6. Алферов И.В. Динамические опорные реакции в разрезной ферме при разнонаправленном движении подвижной нагрузки // Труды научно-практической конференции «Наука МИИТа - транспорту». М.: МИИТ, 2013. - С. 11-53.

7. Алферов И.В. Совместная модель пролетного строения, подвижного состава и массивной опоры для анализа динамических опорных реакций // Научно-технический журнал «Строительство и реконструкция». Орел: ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК», 2014. - №3 (53). - С. 3-6.

8. Алферов И.В. Динамическая модель - пролетное строение, подвижной состав, насыпь // Труды научно-практической конференции «Наука МИИТа -транспорту». М.: МИИТ, 2014. - С. 11-1-11-2.

9. Алферов И.В. Динамические опорные реакции в балке при ударном воздействии // Обзорно-аналитический и научно-технический журнал «Строительная механика инженерных конструкций и сооружений». М.: РУДН, 2015. - №2. - С. 61-65.

10. Баженов В.Г., Кибец А.И., Цветкова И.Н. Численное моделирование нестационарных процессов ударного взаимодействия деформируемых элементов конструкций // Пробл. Машиностроения и надежности машин, 1995. - №2. -С. 20-26.

11. Барченков А.Г., Котуков А.Н., Сафронов В.С., Орежова Л.Д. Моделирование на ЦВМ совместных колебаний упругих систем и подвижной нагрузки // Применение методов вычислительной математики и вычислительной техники для решения научно-исследовательских и народнохозяйственных задач, 1969. -Вып. 4. - С. 48-55.

12. Барченков А.Г. Динамический расчет автодорожных мостов. М.: Транспорт, 1976. - 200 с.

13. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982. - 447 с.

14. Безухов Н.И. Динамика сооружений в примерах и задачах. М.: Стройиздат, 1947. - 200 с.

15. Бирбраер А.Н., Волкодав И.А. Пробивание строительных конструкций разрушающимся летящим телом // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2009. - №2. - С. 24-28.

16. Блох М.В. Об ударе по рельсу // Вест. ВНИИЖТ, 1961. - №2. - С. 31-56.

17. Блохин С.Е. О колебаниях вагонов на мостах // Днепропетровск: ДИИТ, 1980.

- Вып.207/24. - С. 69-74.

18. Болотин В.В. О воздействии подвижной нагрузки на мосты // Тр. МИИТ, 1950.

- Вып.74. - С. 269-296.

19. Болотин В.В. Задача о колебаниях мостов под действием подвижной нагрузки // Изв. АН СССР ОТН. Механика и машиностроение, 1961. - №4. - С. 109-115.

20. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.

21. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. - 336 с.

22. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П. Динамика конструкций при многокомпонентных сейсмических воздействиях // Изв. РАН. Механика твердого тела, 2000. - №3. - С. 149-157.

23. Бондаренко В.М., Римшин В.И. Примеры расчета железобетонных и каменных конструкций. Учебное пособие. М.: Высшая школа, 2006. - 504 с.

24. Бондарь Н.Г. Основы динамики металлических пролетных строений железнодорожных мостов. Днепропетровск: ДИИТ, 1975. - 41 с.

25. Бондарь Н.Г., Козьмин Ю.Г., Тарасенко В.П. и др. Взаимодействие железнодорожных мостов с подвижным составом. М.: Транспорт, 1984. - 272 с.

26. Бородачев Н.М., Коренев Б.Г. Динамическая контактная задача для полупространства // Динамический расчет сооружений на специальные воздействия. - М: Стройиздат, 1981. - С. 129-135.

27. Вайнберг Д.В., Городецкий А.С., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел // Прикл. Механика, 1972. -Т.8. - №8. - С. 3-28.

28. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. М.: Транспорт, 1986. - 544 с.

29. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М: Мир, 1984. 428 с.

30. Гольденблат И.И., Николаенко Н.А. Расчет конструкций на действие сейсмических и импульсивных сил. М.: Стройиздат, 1961. - 320 с.

31. Гольденблат И.И. Динамическая устойчивость сооружений. М: Стройиздат, 1948. - 60 с.

32. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука Физматлит, 1995. - 352 с.

33. Григорьев Н.А. Разработка и исследование модели внутреннего трения для моделирования нелинейных динамических процессов // Тезисы XI Всероссийской научно-технической конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов «Научные исследования и разработки в области авиационных, космических и транспортных систем» (АКТ-2010). Воронеж, 2010. - С. 65-66.

34. Григорьев Н.А. Разработка и исследование модели внутреннего трения для моделирования нелинейных динамических процессов // Труды XI Всероссийской научно-технической конференции и школы молодых ученых, аспирантов и студентов «Научные исследования и разработки в области авиационных, космических и транспортных систем» (АКТ-2010). Воронеж, 2010. - С. 146-150.

35. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. М.: Высшая школа, 2010. - 656 с.

36. Джинчвелашвили Г.А., Мкртычев О.В. Эффективность применения сейсмоизолирующих опор при строительстве зданий и сооружений. // Транспортное строительство, 2003. - №9. - С. 15-19.

37. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия. Справочник проектировщика. Под. ред. Б.Г. Коренева, И.М. Рабиновича. М.: Стройиздат, 1981. - 215 с.

38. Зылев В.Б. Вычислительные методы в нелинейной механике конструкций. М.: НИЦ «Инженер», 1999. - 144 с.

39. Зылев В.Б., Штейн А.В. Численное решение задачи о нелинейных колебаниях системы нитей // Строительная механика и расчет сооружений, 1986. - №6. -С. 58-61.

40. Зылев В.Б., И.В. Алферов. Динамические опорные реакции в уточненных балочных схемах // Труды V Международной научно-практической конференции «Инженерные системы-2012». Под общей редакцией К.А. Пупкова. Москва, 16-18 апреля 2012 г. М.: РУДН, 2012. - С. 105-109.

41. Зылев В.Б., Алферов И.В. Динамические опорные реакции при свободных колебаниях плитно-балочных и ферменных систем // Сборник трудов «Инженерные сооружения на транспорте». М.: МИИТ, 2012. - Вып.4 - С. 69-71.

42. Зылев В.Б., Алферов И.В. Динамические опорные реакции в мостовой ферме при движении подвижной нагрузки // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университете. Серия: строительство и архитектура. Строительные науки. Волгоград: ВолгГАСУ, 2013. - Выпуск 31 (50), Ч.2. -С. 333-336.

43. Зылев В.Б., Алферов И.В. Тормозная сила как динамическое воздействие на пролетное строение // Сборник трудов «Инженерные сооружения на транспорте». Выпуск 5. М.: МИИТ, 2013. - С. 63-66.

44. Зылев В.Б., Алферов И.В. Динамика взаимодействия поезда и пролетного строения при торможении // Тезисы докладов. 72-я научно-методическая и научно-исследовательская конференция. Секция надежности и проблем качества в автотранспортном комплексе. Подсекция «Строительная механика и теория надежности конструкций (с международным молодежным участием)». 29 января - 6 февраля 2014 г. М.: МАДИ, 2014. - С. 22-23.

45. Зылев В.Б., Алферов И.В. Динамические опорные реакции в мостовой ферме при воздействии землетрясения //Сборник материалов международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы и перспективы развития строительных конструкций: инновации, модернизация и энергоэффективность в строительстве» 19-20 декабря 2013г. Алмата: КазГАСА, 2013. - Т.1. - С. 63-68.

46. Зылев В.Б., Алферов И.В. Опорные реакции в балке при импульсном воздействии // Тезисы докладов. 73-я научно-методическая и научно-исследовательская конференция. Секция надежности и проблем качества в автотранспортном комплексе. Подсекция «Строительная механика машин и конструкций (с международным молодежным участием)». 2 - 7 февраля 2015 г. М.: МАДИ, 2015. - С. 32-33.

47. Зылев В.Б., Алферов И.В. Поперечный удар по балке грузами с различной выпуклостью ударной поверхности // Труды II Международной научно-практической конференции «Проблемы механики и строительства транспортных сооружений», посвященной 80-летию Заслуженного деятеля науки и техники Казахстана, академика НАН РК, доктора технических наук, профессора Айталиева Ш.М. Алмата, 2015. - С. 411-415.

48. Зылев В.Б., Алферов И.В. Динамические опорные реакции в плитно-балочных системах, совершающих свободные колебания, при совместной работе пролетного строения и опор // Труды VI международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2013». М.: РУДН, 2013. - С. 21-24.

49. Зылев И.В., Алферов И.В. Горизонтальная опорная реакция при колебаниях балок, балочных ферм и складчатых систем // Сборник тезисов докладов IX Международной конференции по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, 27 - 28 мая 2014 г. Санкт-Петербург, 2014. - С. 34-36.

50. Зылев И.В., Алферов И.В. Горизонтальная опорная реакция при колебаниях балок, балочных ферм и складчатых систем // Сборник докладов IX Международной конференции по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте, 27 - 28 мая 2014 г. Санкт-Петербург, 2015. - С. 102-108.

51. Зылев В.Б., Григорьев Н.А.. Обобщенная модель Прандтля для учета сил внутреннего трения. Строительная механика и расчет сооружений, 2011. - №1. -С. 58-62.

52. Зылева Н.В. «Обобщенная модель А.Р. Ржаницына для решения динамических задач» // Труды международной научно-технической конференции «Вычислительная механика деформируемого твердого тела». М.: МИИТ, 2006. -Т.1. - С. 189-191.

53. Иванченко И.И. Метод расчета на подвижную нагрузку стержневых систем, моделирующих мосты // Изв. РАН. МТТ, 2001. - №4. - С. 151-165.

54. Иванченко И.И. Динамика мостовых и путевых конструкций при действии железнодорожной подвижной нагрузки // Изв. РАН. МТТ, 2005. - №4. -С. 158-177.

55. Иванченко И.И. К динамическому расчету мостов на подвижную нагрузку в виде железнодорожного состава // Строительная механика и расчет сооружений, 1989. - №6. - С. 26-31.

56. Иванченко И.И. Расчеты на подвижные и импульсивные нагрузки стержневых систем с распределенными параметрами // Прикл. механика, 1988. - Т.24. - №9. -С. 109-118.

57. Иванченко И.И. Динамическое взаимодействие мостов и высокоскоростных железнодорожных составов // Изв. РАН. Механика твердого тела, 2011. - №3. -С. 146-160.

58. Иванченко И.И., Ивашкевич А.В., Грошев Д.Г. Теоретические исследования воздействия высокоскоростной подвижной нагрузки на мостовые конструкции // Фундаментальные и поисковые научно-исследовательские работы в области железнодорожного транспорта. Тр. МИИТ, 2001. - Вып.928. - С. 72-74.

59. Иванченко И.И. Динамика транспортных сооружений. Высокоскоростные подвижные, сейсмические и ударные нагрузки. М.: Наука, 2011. - 574 с.

60. Иванченко И.И., Шаповалов С.Н. Воздействие подвижной нагрузки на железнодорожный путь, моделируемый балкой с переменными параметрами. Механика и трибология транспортных систем // Сборник докладов международной конференции. Ростовский государственный университет путей сообщения. Ростов на Дону, 2003. - С. 377-380.

61. Иванченко И.И., Шаповалов С.Н. Взаимодействие подвижной железнодорожной нагрузки с комбинированной системой, моделирующей верхнее строение пути // Сборник докладов международной научно-технической конференции: Вычисл. Механика деформируемого тела. М.: МИИТ, 2006. -С. 202-206.

62. Киселев В.А. Строительная механика. М.: Стройиздат, 1980. - 616 с.

63. Колчунов В.И. Прочность и деформативность железобетонных конструкций при запроектных воздействиях. М.: Издательство АСВ, 2004. - 216 с.

64. Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. Киев: Наукова думка, 1980. -231 с.

65. Круглов В.М., Косицын С.Б., Потапов В.Д., Долотказин Д.Б., Лукьянов М.А. Статические расчеты вантового моста с арочным пилоном // Строительная механика и расчет сооружений. - 2008. - №5. - С. 19-23.

66. Мещеряков В.Б., Курбацкий Е.Н. Приближенное определение контактной силы при ударе сосредоточенной массы по стержневой системе // Труды: Межвузовский сборник. Вопросы механики в применении к железнодорожному транспорту и строительству. М.: МИИТ, 1979. - Вып.643. - С. 21-25.

67. Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г.А. Проблемы учета нелинейностей в теории сейсмостойкости (гипотезы и заблуждения). Москва: МГСУ, 2012. -(Библиотека научных разработок и проектов МГСУ). - 192 с.

68. Муравский Г.Б., Поволоцкая М.Ф. К вопросу о действии подвижной нагрузки на деформируемые системы // Строительная механика и расчет сооружений, 1988. - №3. - С. 38-43.

69. Назаров Ю.П.. Расчетные модели сейсмических воздействий. М.: Наука, 2012. - 414 с.

70. Назаров Ю.П. Аналитические основы расчета сооружений на сейсмическое воздействие. М.: Наука, 2010. - 468 с.

71. Нгуен В.К. Автореф. дисс. канд. техн. наук: 05.23.11. М.: МИИТ, 2007. - 24 с.

72. Окамото Ш. Сейсмостойкость инженерных сооружений. М.: Стройиздат, 1980. - 344 с.

73. Петров И.Б., Холодов А.С. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно -характеристическим методом. // Журнал вычислительной математики и математической физики. -1984. - Т.24. - №5. - С. 722-739.

74. Петров И.Б. Численное моделирование динамических процессов в сложных конструкциях при их интенсивном динамическом нагружении // Вестник РГУ им. И.Канта, 2006. - Вып. 10. Физико-математические науки. - С. 36-49.

75. Портнов А.В. Моделирование взаимодействия бесстыкового пути с пролетными строениями методом конечных элементов. Вестник научно-исследовательского института железнодорожного транспорта, 2013. - №2. -С. 40-43.

76. Протасов К.Г., Теплицкий А.В., Крамарев С.Я., Никитин М.К. Металлические мосты. М: Транспорт, 1973. - 352 с.

77. Радзиховский Ю.А., Ройтбурд З.Г., Тененбаум Э.М. Взаимодействие подвижного состава с балочным пролетным строением железнодорожного моста. Тр. ДИИТ, 1973. Вып. 150. - С. 139-146.

78. Ржаницын А.Р. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1982. - 400 с.

79. Родионов А.И. К динамической теории удара деформируемых тел. Проблемы механика деформируемых систем. Новосибирск, 1985. - С. 86-94.

80. Сафронов В.С., Горячев В.Н., Нгуен Х.К. Методика расчета риска возникновения предельных состояний в железобетонных пролетных строениях автодорожных мостов при землетрясениях // Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Сер. Строительство и архитектура. Воронеж, 2008. - Вып.3 - С. 36-44.

81. Сильницкий Ю.М., Уздин А.М. Расчет мостов на сейсмические воздействия. Л.: ЛИИЖТ, 1977. - 41 с.

82. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебания сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1947. - 308 с.

83. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984. - 415 с.

84. Снитко Н.К. Строительная механика. М.: Высшая школа, 1980. - 431 с.

85. СНиП 2.05.03-84 «Мосты и трубы». Утверждены постановлением Госстроя СССР от 30 ноября 1984 г. № 200.

86. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Госстройиздат, 1960. - 131 с.

87. Федоров В.С., Меднов Е.А. Экспериментальные исследования нарезрезных двухпролетных стальных балок при запроектных воздействиях // Известия ОрелГТУ. Строительство и реконструкция, 2009. - №6/26. - С. 66-68.

88. Федоров В.С., Меднов Е.А. Влияние исходного напряженно-деформированного состояния и уровня загружения на возникающий динамический эффект при аварийном разрушении опоры в неразрезных стальных балках // Известия ОрелГТУ. Строительство и реконструкция, 2010. - №6/32. -С. 48-53.

89. Филиппов А.П., Кохманюк С.С. Динамическое воздействие подвижных нагрузок на стержни. Киев: Наукова думка, 1967. - 132 с.

90. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. - 734 с.

91. Шаблинский Г.Э., Зубков Д.А., Джинчвелашвили Г.А. Сейсмостойкость строительных конструкций атомных электростанций. М.: АСВ, 2010. - 252 с.

92. Шапошников Н. Н, Строительная механика транспортных сооружений. М.: Высшая школа, 1986. - 308 с.

93. Шимкович Д.Г. Femap & Nastran. Инженерный анализ методом конечных элементов. М.: ДМК, 2008. - 700 с.

94. Яковлева Т.Г. Основы устройства и расчетов железнодорожного пути. М.: Транспорт, 1990. - 367 с.

95. Якушев Н.З. Динамика деформируемых систем под воздействием движущихся нагрузок. Исслед. По теории пластин и оболочек. Казань: Казанский университет, 1972. - №8. - С. 3-42.

96. Gao M.M., Pan J.Y. Coupling vibration analysis for train-track-bridge system. Structural Dynamics. EURODYN, 2005. Paris. France, 4-7 September, 2005. -P. 1069-1075.

97. Ghayesh Mergen H., Kazemirad Siavash, Amabili Marco. Coupled longitudinal-transverse dynamics of an axially moving beam with an internal resonance. Mech. and Mach. Theory, 2012. - P. 18-34.

98. Iskhakov I., Ribakov Y., Resnik B. Vertical vibration of long span structures under dynamic loadings. Vienna Congress on Recent Advances in Earthquake Engineering and Structural Dynamics. 28-30 August 2013. - P. 70.

99. Ivanchenko I.I. Dynamic Interaction of High Speed Railway Train and DoubleTrack Bridges. Structural Dynamics. EURODYN, 2008. Southampton. United Kingdom, 7-10 July, 2008 - P. 36.

100. Tanabe M., Wakui H., Sogabe M., Matsumoto N., Tanabe Y. An efficient numerical model for dynamic interaction of high speed train and railway structure including post- derailment during an earthquake // Structural Dynamics, EURODYN, 2011. Leuven, Belgium, 2011. Book Abstr. - P. 47.

101. Tanabe M., Matsumoto N., Wakui H., Okuda H., Sogabe M., Tanabe Y. Dynamic interaction analysis of a Shinkansen train and the railway structure under seismic loads. EURODYN, 2005. Proc. 6th Int. Conf. on structural dynamics. Paris, France, 2005. -P. 1001-1007.

102. Xia H., Zhang N., Sun G.J. Experimental study of railway bridges under high speed trains. Structural Dynamics. EURODYN, 2005. Paris. France, 4-7 September, 2005. - P. 1083-1088.