Математическая модель квантового детектора гравитационных волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Чуркин, Андрей Валерьевич

• Чуркин, Андрей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чуркин, Андрей Валерьевич

Введение

Построение математической модели квантового детектора гравитационных волн

1.1 Схема детектирования гравитационных волн.

1.2 Квантовая эволюция возмущенного осциллятора

1.3 Вывод уравнения для функции Вигнера и его численное решение.

1.4 Модель стационарного шума.

1.5 Анализ эволюции наблюдаемой.

Точно решаемая задача для стохастического уравнения Шредингера в двумерном случае

2.1 Стохастическое уравнения Шредингера для гравитационной антенны

2.2 Решение стохастического уравнения Шредингера в двумерном случае.

2.3 Особенности решения стохастического уравнения Шредингера: стабилизация дисперсии волновой функции

2.4 Влияния процедуры измерения на среднее значение наблюдаемой

2.5 Оценки параметров гравитационной антенны с точки зрения уменьшения влияния процедуры измерения

3 Вычисление резонансного квантового предела для интерференционной гравитационной антенны.

3.1 Решение уравнения Шредингера для гравитационной антенны в представлении вторичного квантования

3.2 Вывод формулы для оператора наблюдамой в представлении вторичного квантования

3.3 Явный вид оператора наблюдаемой в представлении вторичного квантования.

3.4 Чувствительность гравитационной антенны при отсутствии дисперсии числа фотонов.

3.5 Чувствительность гравитационной антенны при ненулевой дисперсии числа фотонов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая модель квантового детектора гравитационных волн»

Настоящая диссертация посвящена исследованию математических методов моделирования квантового интерферометрического детектора гравитационных волн. Задача экспериментального детектирования гравитационнных волн связана с необходимостью измерять столь малое перемещение макроскописеских тел, что для математического описания такого измерения приходится использовать формализм квантовой механики.

Постулаты квантовой механики заставляют по-новому взглянуть на описание измерительного процесса. Если в классическом случае измерительный прибор может совершать измерение не оказывая влияния на измеряемую систему, то с точки зрения квантовой механики и измеряемая система, и измерительный прибор составляют единую взаимосвязанную квантовую систему. Во второй половине XX века вопросы теории квантовых измерений оказались среди наиболее актуальных вопросов современной физики. Современная теоретическая физика предлагает несколько способов описания процесса квантового измерения. В данной работе применительно к модели гравитационн-ного детектора рассматриваются метод вероятностного представления решения задачи Коши для уравнения Шредингера, метод стохастического уравнения Шредингера и метод вторичного квантования. Основная цель настоящей работы заключается в анализе применимости этих методов для описания процесса детектирования гравитационной волны путем получения качественных и количественных оценок чувствительности модели гравитационного детектора и сравнения этих оценок с экспериментальными данными для реальных приборов. При этом на примере модели интерференционного гравитационного детектора удается проследить основные закономерности, предсказываемые квантовой теорией измерений.

Конечность скорости распространения всех видов физических взаимодействий является основным постулатом общей теории относительности. Как указывал еще в 1918 году Альберт Эйнштейн [1], из этого постулата следует возможность существования несвязанного с телами свободного гравитационного поля, которое по аналогии с электромагнетизмом называют гравитационными волнами. Экспериментальное обнаружение гравитационных волн стало бы не только прямым подтверждением этой теории, но и дало бы человечеству принципиально новый инструмент для исследования вселенной.

Согласно общей теории относительности, любое ускоренно движущееся тело является источником гравитационных волн, так же, как любое ускоренно движущееся заряженное телр испускает электромагнитные волны. Однако вследствие слабости гравитационного взаимодействия мощность гравитационного излучения гораздо меньше, чем электромагнитного. Так, если в качестве лабораторного генератора гравитационных волн выбрать брусок длинной г = 10 м и массой т = 100 тонн и вращать его с постоянной угловой скоростью 100 рад/с, то излучаемая мощность гравитационных волн составит примерно Ю-29 Дж/с [2]. Поэтому в качестве источников гравитационных волн обычно рассматривают массивные космические объекты.

Астрофизики делят источники гравитационных волн на три класса: ударные гравитационные волны, возникшие в результате космических катастроф, периодические гравитационные волны, излучаемые системами нейтронных звезд и черных дыр, и стохастическое фоновое гравитационное излучение. На рис. 1 схематично представлены основные характеристики различных источников гравитационных волн: по горизонтальной оси отложен логарифм частоты, а по вертикальной - максимальная амплитуда искривления метрики. Из схемы видно, что наибольшей амплитудой обладают волны, приходящие от взрывов сверхновых в нашей галактике, однако вероятность таких событий мала. Более вероятны взрывы сверхновых в соседних галактиках и образование гравитационных коллапсов в соседних скоплениях галактик, но амплитуда таких гравитационных волн на 2-3 порядка меньше. Периодические источники гравитационных волн имеют меньшую частоту. Двойные нейтронные звезды излучают гравитационные волны в диапазоне до 500 герц, более высокочастотные системы двойных нейтронных звезд встречаются редко. В диапазоне от 30 до 1000 герц излучают асимметричные нейтронные звезды. Более удаленные источники гравитационного излучения создают стохастический гравитационный шум (ниже пунктирной линии), амплитуда которого лежит за пределом чувствительности современных гравитационных детекторов.

Образование гравитационного коллапса при взрыве сверхновой должно сопровождаться излучением достаточно мощной ударной гравитационной волны, однако, вероятность того, что в радиусе 10 килопарсек (в пределах нашей галактики) возникнет гравитационный коллапс невелика, по приблизительным оценкам такие события происходят один раз в 1000 лет [3]. Вероятность регистрации всплесков гравитационного излучения еще более удаленных объектов возрастает, существует принципиальная возможность регистрации следов таких космических катастроф, как столкновения галактик и образования гигантских черных дыр в наблюдаемой части вселенной. Таким образом, в случае экспериментального обнаружения гравитационных волн астрономы получат новый источник сведений об удаленных объектах вселенной. Например, вероятность возникновения гравитационного коллапса в радиусе 20 мегапарсек (расстояние до крупного скопления галактик в созвездии Девы) соответствует приблизительно десяти событиям в год. Расчеты, проведенные в работе [4] показывают, что безразмерная амплитуда искривления метрики, возникающая при таких событиях, равна от 10"17 при взрыве сверхновой в пределах нашей галактики, до Ю-21 при взрыве в радиусе log h» •18 •

-19

-HO'

-22

-23

•24звезды несимметричные звезды взрывы снерхнотгых н радиусе 10 кис гравитационный стохастическое и

2 3

Рис. 1.

Характерные амплидуды основных источников гравитационных волн. log ©с

-17

-18 19 -20 -21 -22 -23 -24 log h, сейсмические шумы скп дробовой, шум тепловые шумы л log си0

Рис. 2.

Зависимость .эффективной амплитуды шумов, от собственной частоты детектора.

10 мегапарсек. При этом излучается несколько цугов ударной гравитационной волны, частота которых лежит в диапазоне от 10 до нескольких тысяч герц, однако точное значение частоты и форма цугов зависит от конкретной модели взрыва. Весьма перспективными с точки зрения обнаружения гравитационного излучения являются процессы слияния компонентов двойных черных дыр и нейтронных звезд. Согласно К. Торну [4], амплитуда гравитационных волн, излучаемых при слиянии двойных звезд, оцениваются по формуле: где Я - расстояние до Земли в мегапарсеках, М - приведенная масса системы по отношению к массе Солнца Мс, М2 - массы компонентов двойной системы, со^ - основная частота излучаемого цуга в герцах.

Стохастическое фоновое гравитационное излучение представляет собой рябь метрики пространства времени, вызванную взрывами сверхновых и образованием черных дыр в огромном даже по космологическим меркам объеме. Предположим, в радиусе Л гигапарсеков происходит N подобных взрывов в секунду и средняя длинна излучаемого взрывом цуга равна т. Тогда сверхновые в радиусе II/(Мт) создадут постоянный фоновую гравитационную рябь. Так как крупные звездные скопления распространены неизотропно относительно наблюдателя на Земле, то используя гравитационный детектор фоновое гравитационное излучение может быть обнаружено. Для этого, согласно [5], можно использовать два гравитационных детектора, расположенных на небольшом (меньше половины длинны волны) расстоянии друг от друга. Рассматривая корреляции получаемых сигналов, появляется возможность выделить фоновое гравитационное излучение, испускаемое крупными скоплениями галактик. Ожидаемая амплитуда фонового гравитационного излучения лежит в пределах от Ю-22 до Ю-25, что несколько ниже порога чувствительности современных детекторов, но оставляет надежду для детекторов следующего поколения.

Существование реликтового гравитационного излучения, возникшего в результате большого взрыва при образовании вселенной обсуждается в [6], однако, мощность такого излучения (амплитуда искривления метрики около Ю-35) явно недостаточна для обнаружения в обозримом будущем.

Быстро вращающиеся асимметричные нейтронные звезды могут служить источником достаточно сильных периодических гравитационных волн. Согласно [7], амплитуду таких волн можно оценить по формуле: 4.21 х 1(Г21 / П /П / 1 ^ / 6 ^ rj vio38; Vio-6;'

Здесь Р -период обращения звезды в секундах, е - коэффициент аксиальной деформации, I -момент инерции (для нейтронных звезд порядка / = 1038 кг-м ), Д-расстояние до Земли в мегапарсеках. Возможные механизмы возникновения аксиальной деформации нейтронной звезды подробно рассмотрены в [8].

При рождении новой нейтронной звезды ее форма существенно изменяется, что с учетом большой массы звезды так же приводит к заметному гравитационному излучению. Амплитуда получаемого искривления метрики в этом случае оценивается в работе [9]:

2isém^ где r - расстояние до Земли в мегапарсеках, м - приведенная масса системы по отношению к массе Солнца Мс, г о - радиус звезды в километрах, шд -частота излучаемого цуга. Самыми многочисленными источниками периодических гравитационных волн являются двойные системы. По разным оценкам до половины всех звезд входит в состав двойных или кратных систем [10]. Как известно из общей теории относительности, мощность квадрупольного излучения для слабого источника гравитационных волн выражается формулой:

45с5 V dt* ) ' 1 J где G - гравитационная постоянная, с - скорость распространения гравитационного и электромагнитного излучения (скорость света в вакууме), Daß - квадрупольный момент масс источника. Открытие более 25 лет назад Р. Халсом и Дж. Тейлором [11] двойной нейтронной звезды пульсара PSR 1913+16 дало толчок к интенсивным исследованиям возможного гравитационного излучения от данного источника. Длительные наблюдения за этой системой показали, что потери энергии и, как следствие, замедление вращения и увеличение периода пульсаций в точности (с погрешностью до 1%) описываются формулой (0.1), что является важным косвенным подтверждением существования гравитационного излучения. Частота гравитационных волн, испускаемых двойными звездами, на несколько порядков ниже частоты цугов ударного гравитационного излучения, что приводит к определенным проблемам при регистрации периодического гравитационного излучения. Однако этот недостаток компенсируется гораздо большей распространенностью двойных звезд по сравнению с редкими вспышками сверхновых. Список наиболее перспективных низкочастотных периодических источников, составленный по обзорам [6], [7], приведен в таблице 1. Из таблицы видно, что амплитуда гравитационных волн, испускаемых высокочастотными периодическим источниками на несколько порядков ниже, чем для низкочастотных. Оценки, приведенные в таблице, получены путем наблюдения замедления вращения нейтронной звезды, вызванного излучением. Однако то, какая часть энергии излучения приходится на гравитационные волны сильно зависит от внутренних параметров звезды - ее асимметрии, интенсивности внутренних ядерных реакций, наличия собственного магнитного поля или прецессионного вращения [6]. Поэтому приведенные в таблице оценки максимальной амплитуды гравитационной волны нуждаются в экспериментальной проверке.

Таблица 1.

Характеристики двойных нейтронных звезд, являющихся источниками гравитационных волн.

Название звезды Расстояние до Земли, килопарсек Частота гравитационной, волны, Герц Амплитуда гравитационной волны

PSR1913+16 0.5 0.03 1 • ю-21

Вила 0.5 11 1.9 • Ю-24

Крабовая 2 30 1.4-Ю-24

Джеминга 0.16 4.2 1.1 • ю-24

В1957+20 1.5 621 1.7 • Ю-25

J0437-4715 0.14 174 2.6 • Ю-27

С другой стороны, в случае успешной регистрации гравитационных волн появится возможность получить разнообразную информацию о весьма удаленных космических объектах, подтвердить или опровергнуть многочисленные теории эволюции звездных систем, галактик и вселенной в целом.

В начале 60-х годов Дж. Вебер [12] обратил внимание на принципиальную возможность создания наземных или околоземных гравитационных антенн, которые могли бы регистрировать всплески гравитационного излучения. В последующие годы были предложены различные модели гравитационных детекторов, однако чрезвычайная слабость гравитационных полей создает серьезные проблемы при выделении гравитационных волн из окружающих шумовых сигналов.

В настоящее время существует несколько международных проектов лазерных гравитационных антенн [13]. В рамках проекта "Glasgow" 2 марта 1989 года начали работу два прототипа гравитационных детекторов, один в университете Глазго в Великобритании, другой - в

Институте квантовой оптики имени Макса Планка в Германии [14]. В течении 100 часов они вели поиск гравитационных волн, исходящих из района центра нашей галактики. Вероятность возникновения гравитационного коллапса в радиусе 1 килопарсек за 100 часов невелика - примерно 10~5 — 10~6, однако эксперимент позволял на практике изучить процедуру регистрации гравитационных волн, протестировать систему обработки данных и освоить метод одновременного детектирования гравитационных волн двумя детекторами по схеме совпадений. Работы по проекту начались еще в 1977 году. Детектор "Glasgow" представляет собой интерферометр Фабри-Перро с длинной плеча 10 метров и способен зарегистрировать вызванное гравитационной волной относительное искривление метрики вплоть до 5 • Ю-16 в диапазоне частот от 800 до 1250 герц. В результате эксперимента были получены данные о распределении спектра шумов различной природы (см. рис.2), которые были использованы в последующих проектах для оптимизации процедуры измерения.

Рассчитанный на 7 лет проект "TAMA" стартовал в 1995 году [15]. В рамках этого проекта в Токио был построен гравитационный детектор, основанный на интерферометре Фабри-Перро с плечом сначала 20 м (ТАМА-20), а позднее, в 1998 году с плечом 300 м (ТАМА-300). Летом 2000 года была проведена серия экспериментов, в ходе которых была достигнута чувствительность 5 • 10~2l(Hz)~ll2. В течении 160 часового наблюдения был исследован район центра нашей галактики с целью обнаружения гравитационных волн от двойных нейтронных звезд. В ходе эксперимента удалось достичь соотношения сигнал/шум от 20 до 30 в диапазоне частот от 10 до 1000 герц. В результате последних наблюдений удалось обнаружить и устранить до 100 новых источников различных шумовых помех, связанных с сейсмическими шумами и влиянием различной контрольно-измерительной аппаратуры. Полученные таким образом результаты и накопленный опыт учитываются при строительстве детекторов нового поколения с длиной плеча в несколько километров.

В рамках одного из таких проектов недалеко от итальянского города Пиза идет строительство детектора "VIRGO" на основе интерферометра Майкельсона с длинной плеча 3 километра [16]. Благодаря использованию зеркал особого качества стало возможным использовать схему с многократным переотражением лазерного луча, что позволило увеличить эффективную оптическую длину детектора до 120 километров. Рабочие частоты детектора "VIRGO" лежат в диапазоне от 10 до 6000 герц, характерном для гравитационного излучения от двойных нейтронных звезд, черных дыр и сверхновых, расположенных как в нашей галактике, так и за ее пределами. Одним из возможных источников гравитационных волн за пределами нашей галактики считаются крупные быстро вращающиеся эллиптические галактики в скоплении Девы (Virgo), в честь которого проект получил свое название.

20 октября 2000 года был проведен первый пробный пуск детектора "LIGO I", построенного в лаборатории Ханфорда в США и изображенного на рис. 3. Проект "LIGO" - Laser Interferometer Gravitational Observatory - предусматривает в перспективе создание двух 4-х километровых детекторов в Ханфорде и в Ливингстоне (LIGO II). Основой детектора "LIGO II" служит интерферометр Фабри-Перро с длинной плеча 4000 метров и лазером с длинной волны 1064 нм с оптической мощностью 125 Вт. Для увеличения оптической длины интерферометра используется схема с 16 кратным отражением. В качестве тестовой массы используется сапфировое зеркало диаметром 28.5 см и массой 30 кг. Упрощенная схема детектора LIGO II показана на рис. 4. Основной целью детектора является регистрация гравитационных волн, испускаемых двойными нейтронными звездами. Благодаря сложной системе подвеса удалось снизить максимальную амплитуду сейсмических и тепловых шумов до 10~19 м [17].

Таблица 2.

Основные характеристики гравитационных детекторов.

Проект Расположение Длина, м Чувствительность, 1 / л/ Нх Частотный диапазон, Ш

Glasgow Глазго, Великобритания 10 5 • Ю-16 800-1250

С1Т Пасадена, США 40 ю-17 100-1000

ЕВАЯ-ЮО Токио, Япония 100 1.2- Ю-18 100-2000

ТАМА-20 Токио, Япония 20 2 • 10~17 10-1000

ТАМА-300 Токио, Япония 300 5 • Ю-21 10-1000

ОЕО-бОО Ганновер, Германия 600 ю-21 50-1500

УПШО Пиза, Италия 3000 5 • Ю-22 10-6000

ЬГСО Ханфорд, США 4000 2 • Ю-22 10-1000

АСГСА Перт, Австралия 4000 ю-22 10-1000

ЫБА Космическая орбита 5 • 109 ю-20 0.03-0.07

Рж\ 3. шуий вщ детектора LIGO,

Сапфировое зеркало Ж

Шт.

Сплнттер у 1 Фото детектор

Сапфировое зеркало

Рис. 4.

Схема детектора LIGO.

Дальнейшее увеличение чувствительности, а значит и размеров гравитационных детекторов, связано с возможностью установки лазерного оптического интерферометра на космической орбите с увеличением L до 109 м (проект "LISA"). В рамках этого проекта предполагается запустить три спутника так, чтобы они образовывали равносторонний треугольник со стороной 5 миллионов километров. Для учета зависимости влияния солнечного ветра и других возмущений орбит спутников предполагается использовать специальные калибровочные массы, максимально изолированные от внешних воздействий. Тогда дополнительные возмущения, вызванные солнечным ветром, могут быть вычислены и скорректированы [18]. Несмотря на то, что стандартный квантовый предел для такого детектора гораздо меньше, чем для наземных конструкций, чувствительность космического детектора гравитационных волн оказывается ограничена технологическими возможностями измерения сверхмалых смещений. На сегодняшний день проект "LISA" предполагает возможность измерения смещений космических аппаратов с точностью до Ю-9 м, что позволяет зарегистрировать гравитационную волну с амплитудой Ю-19 —Ю-21. Однако благодаря отсутствию низкочастотных сейсмических шумов появляется возможность регистрировать низкочастотные источники гравитационных волн, которые, как было указано выше, весьма широко распространены в нашей галактике.

Наиболее перспективные современные проекты имеют принципиальную возможность зарегистрировать периодическую гравитационную волну от наиболее мощных космических источников. При этом на первый план выходит проблема выделения этой волны из окружающих шумов. Этого можно добиться выделяя периодическую составляющую и подбирая собственную частоту детектора максимально близко к ожидаемой частоте гравитационной волны так, чтобы зафиксировать резонансный пик на соответствующей частоте и тем самым зарегистрировать гравитационное излучение.

Построению математической модели такого детектора посвящен первый раздел настоящей работы. Математическая модель детектора гравитационных волн описывается гамильтонианом квантового осциллятора, возмущенного периодическим потенциалом. Эволюция возмущенного осциллятора описывается функцией Вигнера, играющую роль матрицы плотности для данной квантовой системы. Стохастическое представление функции Вигнера в виде математического ожидания функционала скачкообразного пуассоновского процесса используется для вычисления квантовой динамики измерительного прибора и анализа выходного сигнала. Основным преимуществом стохастического подхода является возможность построения точного решения уравнения квантовой эволюции для матрицы плотности с учетом влияния шумов различной природы.

Идея использования вероятностного представления для решения задач квантовой механики зародилась в 70-х годах. Ее развитие представлено в работах [19]-[26]. Современное состояние вычислительной техники дает возможность использования этого подхода для получения наглядных результатов при изучении актуальных физических моделей. Теория стохастического представления решения задачи Ко-ши для уравнения Шредингера представлена в работах [21], [24]-[26]. В данной работе аналогичный подход применяется при получении стохастического представления решения задачи Коши для уравнения эволюции функции Вигнера. Полученное точное решение записывается в виде математического ожидания пуассоновского случайного скачкообразного процесса в фазовом пространстве. Численный расчет эволюции значений функции Вигнера проводится методом Монте-Карло. Пуассоновский скачкообразный процесс, связанный с гамильтонианом гравитационного детектора, моделируется на компьютере для каждой квантовой траектории. Результат вычисляется как среднее по большому (число траекторий порядка 106 ограничено возможностями современных вычислительных машин) набору траекторий в соответствии с методикой, разработанной в [21]. Получаемое значение функции Вигнера используется для построения зависимости от времени среднего значения выходного сигнала детектора [27]-[28].

Рассматриваемый в данной модели гамильтониан гравитационного детектора представляет собой сумму гамильтонианов двух независимых квантовых осцилляторов, возмущенных периодическим сигналом гравитационной волны: т = (дЖ1+дЖ2) + ^ ((Х1 - ш?+(*2 - 6М)2)+

GiMLcos(ujgt + кгхi) + G2MLcos(cügt Hh к2х2), (0.2) где М - масса осцилляторов, cc¿ (i=l,2) - координаты осцилляторов, üjq - собственная частота детектора, G¡ - коэффициенты, зависящие от амплитуды гравитационной волны и ориентации детектора, L - длина плеча детектора, шд и кг - частота и проекция волнового вектора гравитационной волны на направление г-того плеча детектора. Положение равновесия осцилляторов подвергается возмущению со стороны дополнительного случайного процесса отождествляемого с воздействием сейсмических шумов. Полученная в результате численного эксперимента зависимость от времени выходного сигнала анализируется с использованием быстрого преобразования Фурье для определения возможности выделения полезного сигнала из шума в зависимости от исходных технических характеристик детектора, падающей гравитационной волны и амплитуды сейсмического шума. В качестве исходных параметров выбраны характеристики детектора типа LIGO и гравитационной волны от предполагаемого источника в Крабовид-ной туманности. Рассматривается область допустимых параметров гравитационного детектора, в которой обнаружение периодической гравитационной волны становится возможным при заданной средней амплитуде сейсмических шумов. Интересные результаты дает сравнение с классическим решением для аналогичной модели. Основным результатом первой главы настоящей работы является вывод о том, что квантовый режим работы гравитационного детектора приводит к значительному снижению чувствительности по сравнению с классическими оценками, что необходимо учитывать при разработке детекторов нового поколения.

В результате экспериментов с детекторами первого поколения (с длинной плеча до 100 метров) был получен спектр шумов различной природы, влияющих на результаты измерения. График на рис. 2, (по материалам [29]) представляет зависимость эффективной амплитуды шумов ho от их характерной частоты coq. Синим цветом показана амплитуда сейсмических шумов, желтым - температурные шумы, зеленым - дробовой шум, красным - влияние процедуры измерения. Амплитуда сейсмических шумов зависит от качества демпфирующей системы, температурные шумы могут быть снижены путем охлаждения прибора, дробовой шум зависит от свойств фотодетектора. Ограничения чувствительности, вызванные влиянием процедуры измерения, носят фундаментальный характер и зависят от выбора измерительной схемы.

Согласно рис. 2 на частотах свыше 500 герц сейсмические шумы перестают доминировать в общем шумовом спектре. Километровые детекторы нового поколения позволяют уменьшить влияние температурных и дробных шумов, таким образом, на передний план выходят шумы, возникающие в следствии влияния процедуры измерения.

Во втором разделе диссертации изучается модель влияния процедуры интерферометрического измерения на измеряемую квантовую систему гравитационного детектора. В конце 80-х годов для описания процесса непрерывного измерения состояния квантовой системы рядом авторов [30]-[38] было предложено использовать стохастическое уравнение Шредингера: i ^ Л,, ,.„2

-a(t))V(t)dQ(t), (0.3) (--Я -~(A-a{t)Y)4!{t)dt + ^ где Й -гамильтониан системы, А -оператор наблюдаемой, a(t) — (Ф, ЛФ)

-среднее значение наблюдаемой, Л -коэффициент связи квантовой системы с измерительным прибором, -винеровский процесс. Во второй главе диссертации построено точное решение задачи Коши для уравнения (0.3) в случае интерферометрического детектора гравитационных волн с гамильтонианом (0.2). В качестве оператора наблюдаемой выбирается оператор разности координат двух квантовых осцилляторов.

Для волновой функции, полученной в результате решения уравнения (0.3), наблюдается явление стабилизации дисперсии, впервые обнаруженное в работе [31] .В данной диссертации исследуется зависимость уровня стабилизации дисперсии от параметра Л, который в свою очередь зависит от характеристик измерительного прибора. Явление стабилизации волновой функции позволяет записать среднее значение оператора наблюдаемой в явном виде и изучить его спектральные характеристики на предмет выявления гравитационного сигнала. В результате среднее значение наблюдаемой представляет собой сумму трех слагаемых: классического решения уравнений Гамильтона для осциллятора, возбужденного внешней периодической силой, слагаемого, отвечающего вкладу сейсмических шумов, и стохастического слагаемого, связанного с воздействием измерительной системы [39]—[40]. Сравнение величины квадрата среднего значения наблюдаемой и ее дисперсии позволяет установить величину квантового предела чувствительности гравитационной антенны. Данный подход также позволяет вычислить корреляционную функцию выходного сигнала и оценить максимальную интенсивность лазерного луча, необходимую для регистрации гравитационной волны.

Третий раздел настоящей работы посвящен получению и анализу оценок для квантово-механических ограничений чувствительности гравитационного детектора. Существование этих ограничений следует из базисных принципов квантовой механики. С конца шестидесятых годов группой ученых под руководством В. Б. Брагинского был опубликован целый ряд работ, посвященных оценкам стандартного квантового предела для различных схем измерения слабых воздействий [41]—[49], и в частности, для гравитационной антенны [43], [45]-[47]. При этом величина стандартного квантового предела выводилась исходя из соотношений неопределенности Гайзенберга [42]. В настоящей работе удалось получить аналогичное выражение для стандартного квантового предела точности измерения положения квантового осциллятора в резонансном и нерезонансном случаях исходя из естественного условия о том, что среднее значение выходного сигнала должно превосходить квадратный корень из дисперсии выходного сигнала. При этом среднее значение выходного сигнала и его дисперсия получены исходя из точного решения задачи Коши для уравнения Шредингера с гамильтонианом гравитационного детектора в представлении вторичного квантования (см. [50]—[52]). Для системы простейшего интерферометрического детектора такой гамильтониан записывается в виде тензорного произведения в пространстве состояний ¿2 <8> W = tf0 + #int, (0.4) где Н0 - сумма гамильтонианов осциллятора и лазерного поля:

Н0 = TiDa)a <g) I -f- loq <g> b^b, a H-mt -сумма гамильтонианов взаимодействия осциллятора с лазером (соответствует световому давлению) и осциллятора с гравитационной волной, вызывающей силу f(t):

Hh& = -{g<Ja + f{t))®(tf + b).

Здесь a, aJ - операторы рождения и уничтожения фотонов, 6, tf - операторы рождения и уничтожения для осциллятора,

LO

9 = ~ с

2ти)о ио - частота лазерного луча, шо - собственная частота осциллятора, т - масса осциллятора.

Оператор наблюдаемой, соответствующий интенсивности при интерференции двух лазерных лучей в представлении вторичного квантования, выбирается в виде:

I = Wai - ei9{b4b)). (0.5)

Используя точное решения задачи Коши для уравнения Шрединге-ра с гамильтонианом (0.4) и рассматривая среднее значение и дисперсию наблюдаемой (0.5) удалось не только получить выражение для стандартного квантового предела, совпадающее с полученным в работах [41]—[47], но и вывести более общую формулу для квантово-механических ограничений при интерферометрическом измерении координаты квантового объекта, учитывающую дисперсию числа фотонов в интерферометре. Полученная формула совпадает с вычисленным во второй главе квантовым пределом чувствительности гравитационной антенны, что доказывает адекватность применения метода стохастического уравнения Шредингера для описания квантового детектора гравитационных волн.

В заключении приводится анализ полученных результатов и вычисление числовых оценок чувствительности для существующих и проектируемых гравитационных антенн. Обсуждаются возможные пути повышения чувствительности детекторов с учетом квантово-механических ограничений. Согласно полученным результатам, существует возможность регистрации периодических гравитационных волн современными детекторами при условии проведения длительных (от нескольких месяцев до нескольких лет) серий наблюдений.

Основные результаты, изложенные в данной работе, отражены в публикациях [27]-[28], [39]-[40], [50]-[52]. Материалы диссертации представлялись в научных докладах на:

- научной конференции "Ломоносов 98" в Москве, в 1998 году;

- всемирном математическом конгрессе ICM'98 International Congress of Mathematicians, в Берлине, в 1998 году;

- международном семинаре International Seminar on Infinite Dimensional Stochastic Analysis, в Москве, в 1998 году;

- международном семинаре по квантовой вероятности QP-Meeting в Сигмундсбурге в 1998 году;

- международном семинаре XX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models в Люблине в 1999 году;

- международном семинаре Quantum Probability and Infinite Dimensional Analysis в Котбусе в 2001 году;

- научной конференции Ломоносовские чтения в Москве в 2001 году;

- международном симпозиуме 5th IFAC Symposium Nonlinear Control Systems NOLCOS'Ol в Санкт-Петербурге в 2001 году.

Автор выражает глубокую благодарность профессору А. М. Чеботареву и всему коллективу кафедры Квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ за помощь и поддержку в написании данной работы.

1 Построение математической модели квантового детектора гравитационных волн

Чрезвычайная слабость гравитационных полей создает серьезные проблемы при выделении гравитационных волн из окружающих шумовых сигналов. В [6] показано, что в наиболее перспективном с точки зрения возможности регистрации гравитационных волн диапазоне частот от 1 до 100 герц основную роль играют так называемые "сейсмические шумы", являющиеся результатом техногенных воздействий и естественных процессов, происходящих в земной коре. В данном разделе диссертации описывается статистическое моделирование квантового гравитационного детектора с учетом воздействия шумов и выявление условий, при которых возможна регистрация гравитационных волн в предполагаемом диапазоне частот.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Чуркин, Андрей Валерьевич

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему.

1. Рассмотрены методы математического моделирования интерференционного детектора гравитационных волн, состоящего из двух квантовых осцилляторов, возмущенных периодическим сигналом с учетом влияния сейсмических шумов.

2. Используя метод Маслова для стохастического представления решений уравнений Шредингера, вычислены точные решения уравнения Шредингера и уравнения для функции Вигнера гравитационной антенны с учетом воздействия сейсмического шума. Полученные решения записаны в виде математического ожидания пуассонов-ского скачкообразного случайного процесса. Разработана программа численного моделирования соответствующего пуассоновского скачкообразного случайного процесса, позволяющая определить значение функции Вигнера на отрезках времени, достаточных для применения Фурье-анализа. Используя найденные значения функции Вигнера, вычислена зависимость от времени среднего значения выходного сигнала модели гравитационного детектора, изучен спектр выходного сигнала на предмет возможности обнаружения гравитационной волны при различной величине соотношения сигнал/шум. Результаты сравнения квантовой и классической модели гравитационного детектора показывают, что квантовый характер взаимодействия детектора с гравитационной волной приводит к значительному снижению чувствительности детектора.

3. Построено точное решение стохастического уравнения Шредингера для гравитационной антенны в двумерном случае. Анализ решения стохастического уравнения Шредингера позволил в рамках принятой модели оценить зависимость минимальной погрешности детектора, вызванной влиянием измерительной процедуры, от параметров интерферометра. Получены оценки среднего значения выходного сигнала, допустимой интенсивности лазерного луча и оптимального времени измерения. Исходя из сравнения квадрата среднего значения и дисперсии наблюдаемой разности координат осцилляторов получено выражение для квантового предела чувствительности гравитационного детектора. Полученная оценка при отсутствии дисперсии числа фотонов совпадает с известным стандартным квантовым пределом.

4. Вычислен оператор квантовой эволюции для модели интерферо-метрической гравитационной антенны в представлении вторичного квантования. Найдено точное решение задачи о квантовой эволюции модели интерферометра с подвижным зеркалом. Исходя из точного решения уравнения Шредингера в представлении вторичного квантования получены оценки чувствительности модели гравитационного детектора в резонансном и не резонансном случаях. Сравнение результатов моделирования процесса квантового интерферометричес-кого измерения методом вторичного квантования и методом стохастического уравнения Шредингера доказывает адекватность использования стохастического уравнения Шредингера для описания модели гравитационной антенны.

Математическая модель квантового детектора гравитационных волн была построена в результате комплексного применения методов математической физики, стохастического анализа и квантовой теории измерений. Можно ожидать, что использование методов стохастической аппроксимации в сочетании с методами квантовой теории измерений позволит расширить диапазон применения численных методов решения задач моделирования эволюции реальных систем, для которых существенно влияние квантовых эффектов. Использованный в первой главе метод стохастического моделирования дает возможность исследовать поведение гравитационного детектора при воздействии шумов различной природы. Универсальность разработанного в диссертации алгоритма позволяет использовать его в качестве основы для дальнейших исследований слабых стационарных и нестационарных воздействий, сейсмических и температурных шумов. Результаты моделирования дают возможность оценить вероятность регистрации периодических гравитационных волн от конкретных источников для реально существующих и проектируемых детекторов. Расчеты, проведенные на основании данной модели, показывают принципиальную возможность регистрации гравитационного излучения из источника в крабовидной туманности на детекторе класса LIGO.

Во второй главе подробно рассмотрен вопрос влияния процедуры измерения на измеряемую квантовую систему. Полученное решение стохастического уравнения Шредингера дает представление о механизме возникновения квантовой неопределенности при измерении координаты осциллятора. Показано, что в процессе измерения происходит стабилизация дисперсии волновой функции системы на некотором уровне, зависящем от параметра Л, входящую в стохастическое уравнение Шредингера (2.1) и характеризующего измерительную процедуру. В результате среднее значение положения осциллятора может быть определено на выходе детектора со стохастической погрешностью, определяемой формулой (2.49). Как следует из формулы (2.49) эта погрешность пропорциональна величине у/Х.

Сделанное в конце второй главы предположение о том, что величина Л, пропорциональна квадрату числа фотонов, отражающихся от осциллятора в единицу времени, нашло подтверждение в третьей главе. В результате рассмотрения упрощенной модели детектора, представляющую собой интерферометр Фабри-Перро с осциллирующим зеркалом, получена точная зависимость амплитуды выходного сигнала от времени. Сравнивая формулы (2.56) и (3.24) видно, что выходной сигнал детектора, вычисленный методом стохастического уравнения Шредингера по форме в целом совпадает с точным решением вторично-квантованной модели. Имеющиеся различия связаны с различным выбором исходных наблюдаемых величин (а именно, начального сдвига фаз между лазерными лучами и учетом постоянных составляющих интенсивности сигнала и светового давления).

В результате можно сделать вывод о том, что причина квантовой неопределенности положения осциллятора заключается в возникновении в процессе измерения дополнительной дисперсии выходного сигнала. Если квадратный корень из дисперсии оказывается больше среднего значения выходного сигнала, измерение станет невозможным, так как разброс получаемых результатов окажется больше измеряемой величины. Таким образом, для данной модели удалось обосновать существование стандартного квантового предела и выявить условия, при которых гравитационная волна может быть зарегистрирована, несмотря на влияние измерительной процедуры.

Совпадение оценок максимальной чувствительности гравитационной антенны, сделанных исходя из решения стохастического уравнения Шредингера во второй главе (2.62) и исходя из решения уравнения Шредингера с учетом наличия поля лазера в третьей главе (3.32) позволяет сделать вывод о том, что стохастическое уравнение Шредингера адекватно описывает процесс измерения в гравитационном детекторе если в качестве наблюдаемой выбрана разность координат осцилляторов, а в качестве параметра А - квадрат среднего числа фотонов в лазере.

Полученное условие регистрируемости гравитационной волны на интерферометрическом детекторе (3.32) и аналогичное ему условие (3.35) имеют простую физическую интерпретацию. Пусть требуется зарегистрировать сдвиг массивного тела, приводящий к возникновению разности хода лучей лазера Ах. Тогда так как Вг — кАх: д — к^где к = а;/с~волновое число лазерного луча, то неравенство (3.32) примет вид: П

Ах\ >

2тш()

С другой стороны, согласно гипотезе де Бройля, любому массивному движущемуся телу можно сопоставить длины волны XD = где т-и-импульс тела. Так как максимальная скорость колеблющегося с частотой coq тела равна v = Axcuq, то неравенство (15) записывается в виде

Д*| > f.

Таким образом, для того, чтобы зарегистрировать влияние гравитационной волны, необходимо выполнение следующего условия: разность хода лучей лазера, вызываемая влиянием гравитационной волны, должна быть больше половины длинны волны де Бройля для детектора. Это условие согласуется с полученными в [42] - [49], [63] - [64] оценками и является весьма общим условием осуществимости квантовых интерферометрических измерений. Заметим, что при большом числе фотонов для осуществления этого условия необходимо выполнение неравенства (3.35). В случае небольшого числа фотонов, например при N=1 - (в среднем 1 фотон в секунду) правая часть неравенства (3.35) для малых g обратится в единицу, и измерение малых сдвигов станет невозможным.

Используя явление резонанса, удается уменьшить стандартный квантовый предел (3.33) за счет увеличения времени измерения. С классической точки зрения при резонансе происходит постоянное линейное по времени увеличение амплитуды колебаний до того уровня, когда их можно будет зарегистрировать (при условии отсутствия шумов и высокой добротности осциллятора). С квантовой точки зрения по прошествии некоторого времени координата осциллятора может сместиться на величину hgQL, и это смещение можно будет обнаружить. Для этого необходимо, чтобы частота падающей гравитационной волны (гравитационного всплеска) совпала с собственной частотой осциллятора, подобно тому, как квант света может быть поглощен (и зарегистрирован) атомом с подходящей структурой энергетических уровней. Таким образом, подставляя реальные параметры детектора LIGO в оценку (3.33) получаем, что прибор сможет за время t зарегистрировать периодическую гравитационную волну с безразмерной амплитудой искривления метрики /го, удовлетворяющей следующему условию:

1 П , 24

ЫсОг\ \ П тсо о ~ Ю" если частота приходящей волны совпадет с собственной частотой детектора и для числа фотонов в лазере справедливо ограничение (3.35).

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чуркин, Андрей Валерьевич, 2001 год

1. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Т 1. Москва, Наука, 1965.

2. Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация. Айнштайн, 1997.

3. Bethe Н., Brown G. Astronomical Jornal, 506, 1998, стр. 580.

4. Thorne К. Sources of gravitational waves and prospects for their detection. Resent Advances in General Relativity, Boston: Birkhauser, 1992.

5. Flanagan E. E. Sensitivity of the laser interferometer gravitational wave observatory to a stochastic background and its dependence on the detector orientations.// Physical review D, 48, 1993, стр. 2389.

6. Ju L., Blair D. G., Zhao C. Detection of gravitational waves, Reports of Progress Physics, 63, 2000, стр. 1317-1427.

7. Giazotto A., Bonazzola S., Gourgoulhon. E. On gravitational waves emitted by an ensemble of rotating neutron stars.// Препринт LANL gr-qs N 9611188, 1996.

8. Bonazzola S., Frieben J., Gourgoulhon. E. Triaxial neutron stars a possible sourse of gravitational radiation.// Препринт LANL astro-qs N 9607123, 1996.

9. Lai D., Shapiro S. L. Hydrodynamics of coalescing binary neutron stars: ellipsoidal treatment.// Astrophysical Jornal, 443, 1995, стр. 705.

10. Аллен К. Астрофизические величины. Москва, Иностр. литература, 1960.

11. Hulse R. A., Taylor J. Н. Discovery of a pulsar in a binary system.// Astrophysical Jornal, 195, 1975, L51.

12. Вебер. Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны. Москва, Иностр. литература, 1962 г.

13. Allen В. Gravitational wave detector sites.// Препринт LANL gr-qs N 9607075, 1996.

14. Nicholson D., Robertson D. I., Danzmann K. Results of the first coincident observations by two laser-interferometric gravitational wave detectors.// препринт LANL gr-qs/9605048 1996.

15. Официальный сайт проекта TAMA в интернете, http://mars.mtk.nao.ac.jp/

16. Caron В., Dominjon A., Flaminio R., Marion F., Massonnet L., Мог and R., Mours В., Verkindt D., Yvert M. A simulation program for the Virgo experiment.// Nuclear instruments and methods in phys. res., ser A, V.360, N1-2, 1995.

17. P. R. Brady et al. Searching for periodic sources with LIGO< / / препринт LANL gr-qc/9702050, 1997.

18. Официальная страница проекта LISA на сайте NASA в интернете. http://lisa.jpl.nasa.gov/

19. Маслов В. П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Феймана. М.: Наука, 1976

20. Маслов В. П., Чеботарев А. М. Скачкообразные процессы и их применение в квантовой механике.// Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей, математическая статистика, теоретическая кибернетика. М.: ВИНИТИ, Т. 15, 1978, стр. 5-78.

21. Чеботарев А. М. О представлении уравнения Шредингера в виде математического ожидания функционалов скачкообразного процесса.// Мат. заметки, Т. 24, N 5, 1978, стр. 699-706.

22. Маслов В. П. Уравнение Колмогорова-Феллера и вероятностная модель квантовой механики.// Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятностей, математическая статистика, теоретическая кибернетика. М.: ВИНИТИ, Т. 19, 1982, стр. 55-84.

23. Чеботарев А. М. Достаточные условия регулярности скачкообразных марковских процессов.// Теория вероятностей и ее применение,.^ 33, N 1, 1988,стр. 25-39.

24. Chebotarev А. М., Sobolevski А. V. Monte-Carlo regularization of Feynman path integral in the momentum representation. COSMEX'89 International Conference on Stochastic in Experimental Sci. Wroclaw, 1989, p. 13-14.

25. Chebotarev A. M., Konstantinov A. A., Maslov V. P. Probabilistic representation of solution of the Cauchy problem for Schrodinger, Pauli, and Dirac equations.// Russian Math. Surv., vol. 45, N 6, 1990, p. 3-24.

26. Chebotarev A. M., Quezada-Batalla R. Stochastic approach to time-dependent quantum tunneling. Russian jornal of mathematical physics, vol. 4, N 3, 1996, p.275-286.

27. Чеботарев A. M., Чуркин А. В. Математическая модель квантового детектора гравитационных волн.// Математическое моделирование, том.11, N 8, 1999. стр. 32-44.

28. Tchourkin A.V. Quantum stochastic model of gravitational wave interferometer detector. ICM'98 International Congress of Mathematicians. Berlin, 1998, V 2, p.246.

29. Официальный сайт проекта GE0600 в интернете, http: / / www. geo600 .uni-hannover. de /

30. Belavkin V. P. A posterior Schrodinger equation for continuous observation. // Phys Letters A, vol. 140, N 78, 1990, p. 2930-2934.

31. Belavkin V. P. Nondemolition measurments, nonlinear filtering and dynamic programming of quantum stochastic process. In: Lecture Notes in Control and Information, Springer, V.121, Berlin, 1988, p. 245-265.

32. Belavkin V. P., Barchielli A. Measurements continuous in time and posteriori states in quantum mechanics.// J. Phys. A Math. Gen. vol. 24, 1991, p.1495-1514.

33. Belavkin V. P. A dynamical theory of quantum measurement and spontaneous localization.// Russian Journal of Mathematical Physics, vol.3, N 1, 1995, p. 3-24.

34. Diosi L. Continnous quantum measurment and Ito formalism.// Phys. Lett., A 129, 1988, p. 419-423.

35. Mensky M. B. Decoherence and the theory of continuous measurments. //LANL preprint quant-ph/9812017, 1998.

36. Gisin N. Quantum measurment and stochastic processes.// Phys. Rev. Lett., V.52, 1998, p. 1657-1660.

37. Kolokoltsov V. N. Application of the quasyclassical methods to the investigation of the Belavkin quantum filtering equation.// Math. Notes, 1999, p. 153-156.

38. Presilla C, Onofrio R, Patriarca M, Classical and quantum measurements of position.// Journal of Physics A-Mathematical and General, 1997, Vol.30, No.21, p.7385-7411

39. Tchourkin A. V. Mathematical model of gravitational wave interferometer detector, XX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Lublin-Naleczow, 1999, p.152-153.

40. Чуркин А. В. Точно решаемая задача для стохастического уравнения Шредингера в двумерном случае.// Математические заметки, том.69, N 5, 2001. стр. 740-750.

41. Брагинский В. Б. Классические и квантовые ограничения при обнаружении слабых воздействий на макроскопический осциллятор.// ЖЭТФ, Т. 53, Вып.4(10), 1967, стр.1434-1441.

42. Брагинский В. Б., Воронцов Ю. И. Квантовомеханические ограничения в макроскопических экспериментах и современная экспериментальная техника.// УФН, N 9, Т. 114, Вып.1, 1974, стр.4152.

43. Брагинский В. Б., Воронцов Ю. И., Халили Ф. Я. Оптимальные квантовые измерения в детекторах гравитационного излучения.// Письма в ЖЭТФ, Т. 27, выпуск 5, 1978, стр. 296-301.

44. Брагинский В. Б., Халили Ф. Я. Оптимальные квантовые измерения и надежность передачи информации.// ЖЭТФ, Т. 84, Вып.6, 1983, стр. 1930-1935.

45. Брагинский В. Б. Разрешение в макроскопических измерениях: достижения и перспективы.// УФН, N 9, Т. 156, Вып.1, 1988, стр.93-115.

46. Braginsky V. В., Gorodetsky М. L., Khalili F. Ya. Quantum limits and symphotonic states in free-mass gravitational-wave antennae.// Препринт LANL gr-qc/9806081, 1998.

47. Брагинский В. Б. Гравитационно-волновая астрономия: новые методы измерений.// УФН, N 7, Т. 170, Вып.1, 2000, стр.743-752.

48. Воронцов Ю. И. Теория и методы макроскопических измерений. Москва, Наука, 1989.

49. Брагинский В. Б. Физические эксперименты с пробными телами. Москва, Наука, 1970.

50. Чеботарев А. М., Чуркин А. В., Рыжаков Г. В., Синев А. М. О резонансном квантовом пределе для интерференционной гравитационной антенны.// Вестник МГУ, Серия 3. Физика. Астрономия, N 5, 2001. стр. 33-37.

51. Чеботарев А. М., Чуркин А. В. О резонансном квантовом пределе для интерференционной гравитационной антенны., научная конференция Ломоносовские чтения, 2001. стр. 52-54.

52. Tcebotarev А. М., Tchourkin А. V. The estimations of maximum sensitivity for quantum model of gravitational wave antenna. 5th IFAC Symposium Nonlinear Control Systems NOLCOS'Ol, 2001. стр. 129-130.

53. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том 2. Теория поля. Москва, Наука, 1988.

54. Владимиров Ю. С., Мицкевич Н. В., Хорски Я. Пространство, время, гравитация. Москва, Наука, 1984.

55. Фейман Р., Хиббс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. Москва, Мир, 1968.

56. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории, Москва, Мир, 1968.

57. Belavkin V. P. A quantum nonadapted Ito formula and non stationary evolution in Fock space, In: Quantum probability and related topics, World Scientifics, Singapore, 1991, N 1, p. 137-180.

58. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов, Москва, Мир, 1971.

59. S. Bose, К. Jacobs and P. L. Knight,// Phys.Rev., A 56, 1997, p.4175.

60. A. M Chebotarev, Is it possible to estimate the oscillating sum Z — e~N ехр{г(^ + for N = Ю23 ?// Препринт LANL, math.na 0101029, 2001.

61. A. M. Chebotarev, Lectures on quantum probability, Sociedad Matematica Mexicana, Aportaciones Matematicas, Vol. 14, Mexico, 2000.

62. Pati A. K., Observability of relative phases of macroscopic quantum states.// препринт LANL quant-ph/9804019, 1998

63. Pace A. F., Collett M. J. Quantum limits in interferometric detection of gravitational radiation.// Phys. Rev., ser. A, V 47, N 4B, 1993, p.3173-3189.

64. C. Brif, A. Mann, Quantum statistical properties of the radiation field in a cavity with a movable mirror.// препринт LANL quant-ph/9902050, 1999.