Исследование бифуркаций периодических траекторий вблизи негрубых гомоклинических орбит тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гонченко, Владимир Сергеевич

• Гонченко, Владимир Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гонченко, Владимир Сергеевич

Введение

1 Бифуркации двумерных диффеоморфизмов с гомокли-ническим касанием многообразий седловой точки нейтрального типа

1.1 Постановка задачи и основные результаты.

1.2 Свойства локального отображения.

1.3 Построение отображения первого возвращения. Доказательство леммы о рескейлинге.

1.4 Доказательство основных теорем (теорем 1.1 и 1.2)

1.5 Условия сосуществования однообходных периодических траекторий.

1.6 Исследование бифуркаций в обобщенном отображении

1.6.1 Определение типа устойчивости замкйутых инвариантных кривых.

1.6.2 Резонансы

2 Бифуркации трехмерных диффеоморфизмов с непростым гомоклиническим касанием

2.1 Постановка задачи и основные результаты.

2.2 Геометрия непростого гомоклинического касания

2.3 Нормальная форма локального отображения Т0.

2.4 Свойства глобального отображения Т\.

2.5 Доказательство основных теорем.

2.5.1 Доказательство леммы 2.3.3.

2.5.2 Приведение отображение Т\ для рейскейлинга. . 83 ^ 2.5.3 Доказательство теоремы 2.1.

2.5.4 Доказательство теоремы 2.2.

2.5.5 Доказательство теоремы 2.3.

2.5.6 Доказательство теоремы 2.4.

3 О бифуркациях трехмерных систем с гомоклиниче-ской петлей к состоянию равновесия типа седло-фокус с нулевой дивергенцией

3.1 Постановка задачи и основные результаты.

3.2 Вспомогательные результаты.

3.3 Доказательство теоремы 3.1 и 3.

3.3.1 Доказательство теоремы 3.1.

3.3.2 Доказательство теоремы 3.2.

3.4 Доказательство теоремы 3.3.

3.5 Гиперболические свойства потока

3.6 Доказательство теоремы 3.4.

3.7 Доказательство теоремы 3.5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование бифуркаций периодических траекторий вблизи негрубых гомоклинических орбит»

Основной темой диссертации является исследование бифуркаций многомерных динамических систем, имеющих негрубые гомоклини-ческие (двоякоасимптотические) траектории к периодическим траекториям или состояниям равновесия седлового типа. Такие гомоклини-ческие траектории называются также либо гомоклиническими петлями в случае состояний равновесия, либо негрубыми гомоклиническими орбитами Пуанкаре в случае седловых периодических траекторий. В последнем случае говорят также о гомоклинических касаниях, по

Н» скольку устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия сед-ловой периодической траектории пересекаются нетрансверсально в точках соответствующей гомоклинической орбиты.

Настоящая работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем - теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем.

Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-ого и начала 20-ого века в классических работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Теория бифуркаций, как самостоятельная математическая дисциплина офор-ftfi милась в работах A.A. Андронова, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, H.H.

Баутина. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости. Для них, в частности, было введено понятие грубой системы и указаны отличительные признаки грубых векторных полей на плоскости (Андронов, Понтрягин); для систем с конечным множеством особых траекторий построен полный топологический инвариант (Леонтович, Майер). Также были изучены бифуркации систем первой степени негрубости (Андронов, Леонтович). Уже для двумерных потоков эти бифуркации стали подразделяться на локальные и нелокальные. К основным локальным бифуркациям систем на плоскости относятся бифуркации состояний равновесий типа седло-узел и сложный фокус, а также бифуркации сложных (полуустойчивых) предельных циклов. Основные нелокальные бифуркации составляют бифуркация гомоклинической петли сепаратрисы седла, гомоклини-ческой петли сепаратрисы седло-узла, а также бифуркация сепаратрисы, идущей из седла в седло.

В 60-е годы началось бурное развитие качественной теории многомерных динамических систем (размерность фазового пространства которых не меньше трех для потоков и двух для отображений). При этом основным объектом исследования по началу стала теория грубых динамических систем, получившая наименование гиперболической теориия. Основы теории грубых многомерных динамических систем были заложены в работах Д.В. Аносова и С. Смейла. Здесь важную роль играли понятия гиперболичности и трансверсальности. Позднее, необходимые и достаточные условия грубости были найдены в работах Робинсона, Мане, Хаяши и др.

Что касается теории бифуркаций многомерных динамических систем, то основные локальные бифуркации составляют а) бифуркации состояний равновесия и периодических движений типа седло-узел или седло-седло; б) бифуркация состояния равновесия типа сложный фокус; в) бифуркация удвоения периода периодической траектории (когда у последней есть мультипликатор —1); г) бифуркация рождения инвариантного тора из периодической траектории (с мультипликаторами е±г<р, где 0<(,р<7ги(/?^7г/2, 27г/3). Таким образом, здесь по сравнению с локальными бифуркациями двумерных потоков по сути новыми являются два последних типа бифуркаций.

Основы теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем были заложены в работах Л.П.Шильникова. Так ещё в 60-х годах им были исследованы бифуркации гомоклинических петель к состояниям равновесия типа седло ([22, 27]), седло-узел ([22]), седло-седло с одной ([24]) и несколькими [28] гомоклиническими траекториями, а также были исследованы бифуркации гомоклинических петель состояний равновесия типа седло-фокус [23, 29].

В дальнейшем нелокальные бифуркации многомерных динамических систем изучались в работах В.С.Афраймовича, В.Н. Белых, Л.А. Белякова, В.В.Быкова, Н.К.Гаврилова, С.В.Гонченко, Ю.С.Ильяшен-ко, Л.М.Лермана, В.И.Лукьянова, С. Ньюхауса, Дж.Пэлиса, Ф.Такен-са, Д.В.Тураева и др.

В настоящей диссертации будут изучаться нелокальные бифуркации, приводящие к качественному изменению общего характера множества траекторий, целиком лежащих в некоторой окрестности исходной гомоклинической орбиты. Такие задачи хорошо изучены в случае бифуркаций коразмерности один. Здесь нужно отметить прежде всего глобальные бифуркации коразмерности один, ведущие от систем с простой структурой (системы Морса-Смейла) к системам со сложной структурой (со счетным множеством периодических траекторий). Примерами таких бифуркаций являются 1) бифуркация гомоклинической связки из двух или более гомоклинических петель состояния равновесия типа седло-седло (Шильников, [28]); 2) бифуркация гомоклинического касания в так называемом случае систем первого класса, получившая наименование "гомоклинического О-взрыва" (Гаврилов, Шильников, [8]; Ньюхаус, Пэлис, [44]; Стень-кин, Шильников, [19]); 3) глобальные бифуркации, связанные с исчезновением седло-узловой периодической траектории (Афраймович,

Шильников, [5]; Ньюхаус, Пэлис, Такенс, [45]; Тураев,Шильников, [20]); 4) некоторые многомерные бифуркации типа "катастрофа голубого неба" (Тураев, Шильников, [46]) и ряд других. Заметим, что последние два типа бифуркаций отвечают переходу от простого аттрактора к странному (соответственно, к "тор-хаосу" или к гиперболическому аттрактору).

Нелокальные бифуркации, приводящие к качественному изменению общего характера множества траекторий, могут происходить и в классе систем со сложной структурой. Примерами таких бифуркаций являются: бифуркации, связанные с исчезновением седло-узловой периодической траектории, имеющей трансверсальную гомоклиниче-скую орбиту (Лукьянов-Шильников, [16]); бифуркации гомоклиниче-ского касания в так называемом случае систем второго класса (Гаври-лов, Шильников, [8]). Приведенные выше примеры бифуркаций имеют коразмерность один.

В случае же коразмерности два наибольший интерес представляет исследование тех нелокальных бифуркаций, которые приводят к резкому изменению структуры или характеристических свойств неблуждающих множеств. В случае трехмерных потоков, допускающих го-моклинические петли состояний равновесия типа седло-фокус, такие бифуркации в критических случаях были изучены Л.А.Беляковым [31, 30]. Пусть трёхмерная система имеет гомоклиническую петлёй седло-фокуса, т.е. состояния равновесия с характеристическими числами 7 и —Л ± гсс>, где 7 > 0,А > 0 и и ^ 0. Как показано Шильнико-вым [23] для трехмерного случая и [29] для многомерного, структура множества N траекторий, целиком лежащих в окрестности петли, существенно зависит от того больше или меньше единицы седловой индекс V — —. Так, если V > 1, то N имеет тривиальную структуру 7 содержит только состояние равновесия и гомоклиническую траекторию), и бифуркации здесь, во-первых, не выводят из класса систем Морса-Смейла, и во-вторых, проходят по хорошо известному сценарию бифуркации петли сепаратрис "при а < 0", Шильников [22, 27]. Если же 0 < и < 1, то N имеет сложную структуру (содержит нетривиальные гиперболические подмножества, которые, вообще говоря всё N не исчерпывают). Беляковым [31, 30] были рассмотрены три критических случая, отвечающие тому, что в момент петли выполняются следующие условия: а) и — 0; б) А = 0; в) ь> = 1. Таким образом, им были изучены бифуркационные явления при переходах а) "от седла к седло-фокусу"; б) "от фокусу к сложному фокусу"; в) "от сложной структуры к простой" в системах, допускающих гомоклини-ческие петли седло-фокусов. Однако, здесь существует ещё один важный критический случай, именно, г^ = 1/2, который рассматривается в данной диссертации. Как показано Овсянниковым и Шильниковым [17], при 1/2<1/<1в окрестности петли грубые периодические траектории могут быть только седловыми и асимптотически устойчивыми, а при 0<г/<1/2 - только седловыми и вполне неустойчивыми. Таким образом здесь можно ожидать кардинального изменения тип устойчивости периодических траекторий, целиком лежащих в малой окрестности гомоклинической орбиты.

Возможность таких переходов "от устойчивой динамики к неустойчивой" или "от устойчивой к седловой" можно ожидать на основе анализа особенностей некоторых других хорошо известных гомоклиниче-ских бифуркаций коразмерности один. А именно, в настоящей работе рассматриваются нелокальные бифуркации следующих типов.

Первый класс составляют бифуркации двумерных диффеоморфизмов, имеющих негрубую гомоклиническую траекторию к седловой неподвижной точке. Пусть исходный диффеоморфизм / имеет сед-ловую неподвижную точку О с мультипликаторами А, 7, такими что |А| < 1 < |7|, и гомоклиническую к О траекторию Го в точках которой многообразия Ws(0) и Wu(0) имеют квадратичное касание. Хорошо известно, Гаврилов-Шильников, [8], что если седловая величина а = jА'у| меньше единицы, то бифуркации такого гомоклинического касания могут приводить к устойчивым периодическим траекториям, а если <7 > 1 - к вполне неустойчивым. Причем, в достаточно малой фиксированной окрестности гомоклинической орбиты при о < 1 нет вполне неустойчивых периодических траекторий, а при и > 1 -устойчивых. Таким образом, случай а = 1 естественно становится "переходным" между устойчивой и неустойчивой динамикой.

Второй класс задач составляют бифуркации многомерных диффеоморфизмов с простым гомоклиническим касанием. Характерным для наших целей являются такие трехмерные диффеоморфизмы, имеющие неподвижную точку О с мультипликаторами Ai,A2,7 такими, что |А21 < |Ai| < 1 < I7I и IA1A7I < 1, а также имеющие гомо-клиническзгю траекторию, в точках которой Ws(0) и Wu(0) имеют квадратичное касание. Как установили С.Гонченко, Тураев, Шиль-ников [13, 38], при |Ai7| < 1, бифуркации такого гомоклинического касания могут приводить к устойчивым периодическим траекториям; однако, когда |Ai7| > 1, при общих условиях ни сам диффеоморфизм, ни близкие не имеют устойчивых периодических траекторий (в малой окрестности гомоклинической орбиты). Если же эти общие условия нарушены (получаемое квадратичное гомоклиническое касание коразмерности два в этом случае называется обобщенным, или обобщенным - см. подробности в Главе 2), устойчивые периодические траектории могут возникать при бифуркациях.1

Третий класс задач составляют бифуркации гомоклинической петли состояния равновесия типа седло-фокус. Характерным примером

1 Частный случай трехмерных диффеоморфизмов, у которых |Aj7| > 1, IA27I < 1 и

1, рассматривался в работе Татжера [47] при дополнительном (излишнем) предположении, что диффеоморфизм в окрестности седловой неподвижной точки допускает достаточно гладкую линеаризацию. такой задачи является трёхмерная система с гомоклинической петлёй седло-фокуса. Как уже было сказано ранее, если седловой индекс г/ удовлетворяет соотношению 1/2<г/<1(в этом случае дивергенция векторного поля <72 = 7 — 2А, вычисленная в седло-фокусе, отрицательна), то бифуркации гомоклинической петли могут приводить, как показано Овсянниковым и Шильниковым [17], к устойчивым периодическим траекториям - при этом, вполне неустойчивых периодических траекторий в малой окрестности петли нет; если же 0 < ^ < 1/2 (дивергенция больше нуля), могут рождаться вполне неустойчивые периодические траектории, тогда как устойчивых нет. Очевидно, что случай V — 1/2 (что соответствует сг2 = 0) является "переходным" между устойчивой и неустойчивой динамикой.

В связи с вышеизложенным, возникают естественные задачи исследования пограничной динамики и соответственно бифуркаций потери устойчивости периодическими траекториями, которые и рассматриваются в настоящей диссертации.

Основная задача диссертации состоит в изучении и описании нелокальных бифуркаций, связанных с переходом от систем, имеющих в некоторой фиксированной малой окрестности негрубой гомоклинической орбиты асимптотически устойчивые периодические траектории (возможно даже бесконечно много), к системам, в которых такие траектории отсутствуют. При этом, принципиальным моментом является то, что в диссертации рассматриваются бифуркации, происходящие в классе систем, допускающих гомоклинические касания. Насколько нам известно, бифуркационные задачи в такой постановке ранее не рассматривались.

В этом случае исходные системы, бифуркации которых могут приводить к указанному явлению должны быть как минимум коразмерности два, поскольку помимо существования негрубой гомоклинической орбиты должно выполняться некоторое дополнительное уеловие. Обычно это условие связано либо со специальным характером особой точки, либо с тем, что гомоклиническая траектория находится не в общем положении. Например, условие может быть такого типа: дивергенция состояния равновесия равна нулю; якобиан неподвижной точки равен единице; гомоклиническое касание не является простым и т.п. Такого типа условия необходимы для того, чтобы переходная динамика (от устойчивых периодических траекторий к вполне неустойчивым или седловым) могла быть осуществима в принципе.

Более конкретно, в диссертации будет проведен бифуркационный анализ систем коразмерности два в следующих трех случаях.

1) Исходная система является двумерным диффеоморфизмом с квадратичным гомоклиническим касанием к седловой неподвижной точке с мультипликаторами Аи7(0<|А|<1<|7|) такими, что седловая величина и = |А'у| равна 1 (рис. 1а). Такая неподвижная точка называется седлом нейтрального типа.

2) Исходная система является трехмерным диффеоморфизмом с непростым квадратичным гомоклиническим касанием к неподвижной точке с мультипликаторами Аь Л2,7 такими, что 0 < |Аз| < ¡А^ < 1 < |7|, |АхА27| < 1 и |Ах7| ^ 1. О непростых гомоклинических касаниях см. подробнее в Главе 2. На рис. 1Ь представлен один из случаев такого касания.

3) Исходная система является трехмерным потоком с гомоклини-ческой петлей к состоянию равновесия типа седло-фокус с характеристическими корнями —А ±го; и 7 (А > 0,7 > 0,о; ^ 0) такими, что 2А = 7 (дивергенция потока в состоянии равновесия равна нулю). См. рис. 1с.

В диссертации представлены основные результаты, полученные автором при исследовании динамики и бифуркаций таких систем. В первых двух случаях решается задача исследования бифуркаций однообходных периодических траекторий из малой окрестности го

Рис. 1: а) Квадратичное гомоклиническое касание К2; Ь) непростое гомоклини-ческое касание(один из двух вариантов) в М3; с) гомоклиническая петля седло-фокуса моклинической орбиты. Особое внимание здесь обращается на исследование бифуркаций потери устойчивости такими траекториями. В третьем случае решается более глобальная задача. Помимо исследования собственно бифуркаций однообходных периодических траекторий, здесь также изучаются свойства динамики в целом и дается ответ на вопрос, когда в малой окрестности гомоклинической петли существуют устойчивые периодические траектории, и когда их нет.

Апробация результатов исследования По теме диссертации опубликовано 16 работ. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: V Международная конференция "Нелинейные колебания механических систем", 1999; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2000; VI сессия молодых ученых, Саров, 2001; Международная конференция, посвящена 100-летию A.A. Андронова "Progress in Nonlinear Science", Нижний Новгород, 2001; Конференция "Актуальные проблемы современности", Самара, 2001; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2002; Конференция, посвященная памяти В.Ф. Лазуткина, Санкт-Петербург, 2002; Международная конференция "Колмогоров и современная математика", Москва, 2003; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2004; Международная конференция, "Dynamics, Bifurcations and Chaos", Нижний Новгород, 2005.

По теме диссертации были также сделаны доклады на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете (руководитель - проф. Л.П.Шильников); на семинаре по дифференциальным уравнениям в институте Вейерштрасса (2002, руководитель - проф. К.Шнайдер), на семинаре факультета математики университета Утрехта (2003, руководитель - проф. Ю.А. Кузнецов), на семинаре по динамическим системам в Барселонском университете (2002,2004 руководители - проф. К.Симо, А.Делыпамс), на семинаре кафедры численного и функционального анализа Нижегородском государственном университете (руководитель - проф. Баландин Д.В.).

Результаты диссертации явились составной частью работы, выполненной при поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследовании (гранты No.04-01-00487, No.04-01-00483 и No.05-01-00558), Министерства образования и науки (грант '^Университеты России" No. 03.01.180) и гранта CRDF (No. RU-M1-2583-MO-04).

Публикации Всего по теме диссертации автором опубликовано 16 работ. Основные результаты являются новыми, принадлежат автору и изложены в работах [50]-[65]. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию вошли только результаты доказанные автором самостоятельно.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации: 147 стр., 19 рис., 65 наименований литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гонченко, Владимир Сергеевич, 2005 год

1. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд. — М.:Наука, 1978.

2. Теория бифуркаций / В.И. Арнольд, B.C. Афраймович, Ю.С. Ильяшенко, Л.П. Шильников. Динамические системы-5. В сб. "Современные проблемы математики (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)". М., 1985.

3. Афраймович, B.C. Об особых множествах систем Морса-Смей л а /B.C. Афраймович, Л.П. Шильников // Труды ММО.— 1973.- Т. 28. C. 181-214.

4. Афраймович, B.C. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца / B.C. Афраймович, В.В. Быков, Л.П. Шильников // Тр. ММО. 1982. - Т. 44. - С. 150-212.

5. Афраймович, B.C. Инвариантные торы, их разрушение и стохастичность / B.C. Афраймович, Л.П. Шильников // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр.— 1983.— С. 3 26.

6. Бирагов, В. С. О бифуркациях в двухпараметрическом семействе консервативных отображений, близких к отображению Эно /B.C. Бирагов // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр. — 1987. С. 10-23.

7. Бирагов, B.C. О бифуркациях петли седло-фокуса в трехмерной консервативной динамической системе / B.C. Бирагов, Л.П. Шильников // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб.науч.тр. — 1989. — С. 25-34.

8. Гаврилов, И.К. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой / Н.К. Гаврилов, Л.П. Шильников // Матем. сб.— 1) 1972, 88, No.4.- с.475-492; II) Матем. сб., 1973, 90, No.l.

9. Гонченко, C.B. Об арифметических свойствах топологических инвариантов систем с негрубой гомоклинической траекторией / C.B. Гонченко, Л.П. Шильников // Укр. мат. журнал. ~~ 1987! — Т. 39, № 1, — С. 21- 28.

10. Гонченко, C.B. Инварианты ^-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией / C.B. Гонченко, Л.П. Шильников // Укр. мат. журн. 1990. - Т. 42, № 2. - С. 153-159.

11. Гонченко, C.B. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Методы качественной теории и теории бифуркаций: Межвуз. тематич. сб.науч.тр. — 1991. — С. 3661.

12. Гонченко, C.B. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Л.П. Шильников // Изв. Focc.Акад.Наук, серия матем. 1992. - Т. 56, № 6. - С. 1165 1197. ■

13. Гонченко, C.B. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Докл. Росс. Акад. Наук. 1993. — Т. 330, № 2. - С. 144147.

14. Гонченко, C.B. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) / C.B. Гонченко, . Д.В., Л.П. Шильников // Докл. Росс.Акад.Наук, — 1993.— Т. 329, № 4. — С. 404-407.

15. Гонченко, C.B. Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром / C.B. Гонченко, Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Труды Мат. Инст. им. Стеклова. 1997. - Т. 216. - С. 76-125.

16. Лукьянов, В.И. О некоторых бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы седло-узла / . Лукьянов В.И., Л.П. Шильников // Докл. АН СССР. 1978. - Т. 243, № 1. - С. 26-29.

17. Овсянников, И.М. О системах с гомоклинической петлей седло-фокуса / И.М. Овсянников, Л.П. Шильников // Мат. сборник. — 1986. — Т. 130(172), № 4. С. 552-570.

18. Палис, Ж. Геометрическая теория динамических систем / Ж. Палис, В. Мелу. М: Мир, 1986.

19. Стенъкин, О.В. Гомоклинический Г2-взрыв и области гиперболичности / О.В. Стенькин, Л.П. Шильников // Матем. сб.- 1998,- Т. 189, № 4.-С. 125-144.

20. Тураев, Д. В. Бифуркации квазиаттракторов типа тор-хаос / Д.В. Тура-ев, Л.П. Шильников // в сб. "Математические механизмы турбулентности". 1986. - С. 113-121.

21. Тураев, Д.В. Пример дикого странного аттрактора / Д.В. Тураев, Л.П. Шильников // Матем. сб. 1998. - Т. 189, № 2. - С. 137-160.

22. Шильников, Л.П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий / Л.П. Шильников // Матем. сб.— 1963.— Т. 61, № 4. С. 433-466.

23. Шильников, Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений / Л.П. Шильников // ДАН СССР. — 1965. — Т. 160, № 3. — С. 558-561.

24. Шильников, Л.П. О рождении периодического движения из траектории, состояния равновесия седло-седло в него же / Л.П. Шильников // Докл. АН СССР. 1966. - Т. 170, № 1. - С. 48-52.

25. Шильников, Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа / Л.П. Шильников // Матем. сб. 1967. - Т. 74, № 4. - С. 378-397.

26. Шильников, Л.П. К вопросу о структуре окрестности гомоклинической трубы инвариантного тора / Л.П. Шильников // ДАН СССР. — 1968. — Т. 180, № 2. С. 286-289.

27. Шильников, Л.П. О рождении периодического движения из траектории, двоякоассимптотической к состоянию равновесия типа седло / Л.П. Шильников // Мат. сб. 1968. - Т. 77, № 3. - С. 461-472.

28. Шильников, Л.П. Об одном новом типе бифуркаций многомерных динамически систем / Л.П. Шильников j j Докл. АН СССР. 1969. - Т. 189, № 1. — С. 49 62.

29. Шилъников, Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус / Л.П. Шильников // Матем. сб. — 1970. Т. 81(123), № 1. - С. 92-103.

30. Belyakov, L. The bifurcation set in a system with a homoclinic saddle curve / L. Belyakov // Mat. Zametki. 1980. - Vol. 28. - P. 911.

31. Belyakov, L. Bifurcation of systems with homoclinic curve of a saddle-focus with saddle quantity zero / L. Belyakov // Mat. Zametki.— 1985.— Vol. 36(5).— Pp. 681-689.

32. Colli, E. Infinitely many coexisting strange attractors / E. Colli // Ann. Inst. Poincare. — 1998. Vol. 15, no. 5. - Pp. 539-579.

33. Complexity in the bifurcation structure of homoclinic loops to a saddle-focus / P. Gaspard, S. Gonchenko, N. G., D. Turaev // Nonlinearity. — 1997. -Vol. 10. Pp. 409-423.

34. Feroe, J. Homoclinic orbits in a parametrized saddle-focus system / J. Feroe // Physica D. — 1993. Vol. 62, no. 1-4. - Pp. 254-262.

35. Gonchenko, S. On two-dimensional analytic area-preserving diffeomorphisms with infinitely many stable elliptic periodic points / S. Gonchenko, L. Shilnikov // Regular and Chaotic Dynamics. — 1997. — Vol. 2, no. 3/4.— Pp. 106-123.

36. Gonchenko, S. On two-dimensional area-preserving diffeomorphisms with infinitely many elliptic islands / S. Gonchenko, L. Shilnikov // J.of Stat.Phys. — 2000. Vol. 101, no. 1/2. - Pp. 321-356.

37. Gonchenko, S. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable poincare homoclinic orbits / S. Gonchenko, L. Shilnikov, D. Turaev // Interdisc. J. CHAOS. 1996. - Vol. 6, no. 1: - Pp. 15-31.

38. Hirsch, M. Invariant manifolds / M. Hirsch, C. Pugh, S. M. — Springer-Verlag, Berlin, 1977. — Vol. 583 of Lecture Notes in Math.

39. Kuznetsov, Y. Elements of applied bifurcation theory / Y. Kuznetsov. — Springer-Ver lag, 1995.

40. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics, Part I / L. Shilnikov, A. Shilnikov, D. Turaev, L. Chua. — World Scientific, 1998.

41. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics, Part II / L. Shilnikov, * A. Shilnikov, D. Turaev, L. Chua. World Scientific, 2001.

42. Newhouse, S. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms / S. Newhouse // Publ.Math.IHES.- 1979.- Vol. 50.-Pp. 101-151.

43. Newhouse, S. Cycles and bifurcation theory / S. Newhouse, J. Palis // Asterisque. — 1976. — Pp. 44-140.

44. Newhouse, S. Bifurcations and stability of families of diffeomorphisms / S. Newhouse, J. Palis, F. Takens // Publ. Math. Inst. Haute Etudes Scientifiques. 1983. - Vol. 57. - Pp. 5-72.

45. Shilnikov, L. A new simple bifurcation of periodic orbit of "blue sky catastrophe" type / L. Shilnikov, D. Turaev // Methods of Qualitative Theory of DufferentialT Equations and Related Topics, AMS Translations2000.— T. 200, № 2.—C. 165-188.

46. Tatjer, J. Three-dimensional dissipative diffeomorphisms with homoclinic tangencies / J. Tatjer // Ergod.Th. & Dynam.Sys. — 2001.— Vol. 21, no. 1.— Pp. 249-302.

47. Tedeshini-Lalli, L. How often do simple dynamical processes have infinitely many coexisting sinks? / L. Tedeshini-Lalli, J. Yorke // Comm.Math.Phys.— 1995.— Vol. 106. Pp. 635-657.

48. Turaev, D. On dimension of non-local bifurcational problems / D. Turaev // Bifurcation and Chaos. 1996. - Vol. 6, no. 5. - Pp. 919-948.Основные публикации автора по теме диссертации-Т

49. Гонченко, B.C. О бифуркациях двумерных дифеоморфизмов с гомоклиническим касанием многообразий " нейтрального седла" /B.C. Гонченко // ТрудыМат. Инст. им. Стеклова. 2001. - Т. 236.- С. 86-93.

50. Гонченко, B.C. О бифуркациях рождения замкнутой инвариантной кривой в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями / С.В. Гонченко, B.C. Гонченко // Труды Математического Института им. Стек-лова. 2004. - Т. 244. - С. 86-93.

51. Gonchenko, V. Generalized Henon map and bifurcations of homoclinic tangencies / V. Gonchenko, Y. Kuznetsov, H. Meijer // SIAM Journal on App. Dyn. Sys. — 2005. Vol. 4. - Pp. 407-436.

52. Гонченко, B.C. Бифуркации рождения замкнутых инвариантных кривых в обобщенных отображениях Эно / B.C. Гонченко, И.И. Овсянников // Сб. статей "Математика и кибернетика". — 2003. — С. 98-100.

53. Gonchenko, V. On Andronov-Hopf bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies / S. Gonchenko, V. Gonchenko // Preprint No. 556. — 2000.

54. Gonchenko, V. Bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms with non-simple quadratic homoclinic tangencies and generalized Henon maps / S. Gonchenko, V. Gonchenko, J. Tatjer // Preprint IMUB-366. 2004.

55. Гонченко, В. С. О бифуркациях двумерных диффеоморфизмов с гомоклини-ческим касанием многообразий "нейтрального седла" / B.C. Гонченко // Тезисы Межд. Конф. по Дифф. уравнениям и Дин. системам. — 2000. — С. 124-125.

56. Гонченко, В. С. О появлении инвариантных торов при бифуркациях трехмерных потоков с негрубой гомоклинической траекторией / B.C. Гонченко // Тезисы межд. конф. "Progress in Nonlinear Science" посвящ. 100-летию А.А. Андронова. 2001. -С. 14.

57. Гонченко, B.C. О бифуркации Андронова-Хопфа двумерных диффеоморфизмов имеющих гомоклиническое касание седловой неподвижной точки "нейтрального типа" / B.C. Гонченко // Тезисы VI нижегородской сессии молодых ученых. — 2001. — С. 10.

58. Гонченко, B.C. О бифуркациях периодических траекторий в случае гомо-клииического касания инвариантных многообразий седловой неподвижной точки "нейтрального типа" / B.C. Гонченко // Тезисы конф. "Актуальные проблемы современной науки". — 2001. — С. 28.

59. Гонченко, В. С. On bifurcations of 3d-flow with saddle-focus with zero divergence / B.C. Гонченко // Тезисы межд. конф. по Дифф. уравнениям и дин. системам.— 2002. С. 56-57.

60. Гонченко, B.C. On homoclinic bifurcations in the case of 3d-flow with saddle-focus with zero divergence /B.C. Гонченко // Abstarcts of Workshop on Diff. Eq. dedicated to the memory of V.F. Lazutkin. — 2002. — Pp. 22-23.

61. Гонченко, В. С. Shilnikov's theorem in the case of saddle-focus with zero divergence / B.C. Гонченко // Тезисы межд. конф. Dynamics, Bifurcations and Chaos, 31 января 4 февраля. — 2005. — P. 2.