Использование фрактального формализма для описания кинетики фазовых превращений в конечных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Пелегов, Дмитрий Вячеславович

• Пелегов, Дмитрий Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пелегов, Дмитрий Вячеславович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Фрактальная геометрия как язык описания физических систем

1.1. Краткая история

1.2. Основные понятия теории фракталов

1.3. Фрактальные объекты и методы их построения

1.4. Методы определения фрактальной размерности

1.5. Примеры экспериментального исследования реальных фрактальных объектов методом малоуглового рассеяния

Постановка задачи

Глава 2. Использование фрактального формализма для описания кинетики фазовых превращений в пленках

2.1 Модели зародышеобразования и стадии полного фазового превращения в пленках

2.2 «Эффективная» фрактальная размерность фазовой границы

2.3 Стадия «зарастания нижней грани»

2.4 Стадия «движения стабильной фазовой границы»

2.5 Стадия «зарастания верхней грани»

2.6 Изменение фрактальной размерности фазовой границы фазовых превращениях в тонких пленках

2.7 Сравнение результатов моделирования с экспериментом данными по фазовому превращению пирохлор-перовскит в золь-гель пленках Р2Т

2.8 Краткие выводы главы

Глава 3. Фазовые превращения в конечных системах с равновероятным зарождением новой фазы во всем объеме

3.1 Эволюция кластерных структур при изменении доли новой фазы. Случай квадратной решетки

3.2 Учет конечности размеров системы. Случай квадратной решетки

3.3 Эволюция кластерных структур при изменении доли новой фазы. Случай кубической решетки

3.4 Фрактальные кластеры в PLZT керамике: эволюция в электрическом поле

3.5 Краткие выводы главы

Глава 4. Влияние ограниченного диапазона скэйлинга на величину фрактальной размерности профиля

4.1 Влияние изменения размера профиля на величину определяемой фрактальной размерности

4.2 Влияние изменения нижнего предела диапазона скэйлинга по амплитуде на величину определяемой фрактальной размерности (влияние «ошибки квантования»)

4.3 Использование результатов моделирования для анализа шумов тока переключения при движении плоской доменной стенки в молибдате гадолиния

Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Использование фрактального формализма для описания кинетики фазовых превращений в конечных системах»

1. Актуальность темы исследования.

В последнее время в связи с бурным ростом практического применения интегральных схем, содержащих сегнетоэлектрики, и широким использованием сегнетоэлектриков с размытым фазовым переходом (релаксоров) остро стоит проблема изучения кинетики фазовых превращений в сегнетоэлек-трических пленках и керамике. Важной задачей является развитие неповреж-дающих способов исследования фазовых превращений в таких системах.

Одним из наиболее простых и эффективных методов контроля сверхбыстрой эволюции различных систем является малоугловое рассеяние. Этот метод позволяет регистрировать изменения морфологии и структуры с высоким временным разрешением.

Известно, что процесс фазового превращения, как правило, представляет собой эволюцию сложных самоподобных структур [25]. Для количественного описания таких структур обычно используют фрактальный формализм [25,72]. Многочисленные исследования показали, что из величины фрактальной размерности объекта можно извлечь информацию о способе его построения [2,9,25,28,52,72]. Следует отметить, что в широком круге задач величина фрактальной размерности может быть определена непосредственно из измерений малоуглового рассеяния.

Формально фрактальный формализм применим только для описания объектов с бесконечным диапазоном скэйлинга (самоподобным поведением в бесконечно широком диапазоне размеров). Между тем, большой практический интерес представляет проблема изучения фазовых превращений именно в конечных системах с ограниченным диапазоном скэйлинга: пленках и керамике.

В связи с этим изучение применимости фрактального формализма для описания кинетики фазовых превращений в конечных системах является актуальной физической задачей.

2. Научная новизна.

Впервые кинетика фазовых превращений в конечных системах (пленках) исследовалась в терминах изменения фрактальной размерности фазовой границы D. При этом характеристикой процесса являлась зависимость D от времени.

Показано, что при фазовом превращении с зарождением фазы на границе пленка-подложка введение эффективной фрактальной размерности позволяет связать изменение D с изменением доли поверхности пленки, занятой новой фазой.

Получена дополнительная информация о кинетике фазового превращения пирохлор-перовскит в пленках PZT при использовании фрактального формализма к описанию изменения морфологии.

Предложена модель изменения гетерофазной структуры в дву- и трехмерных конечных системах с размытым фазовым переходом, позволяющая описать эволюцию различных типов кластеров вблизи и вдали от порога протекания в терминах изменения фрактальной длины корреляции (fractal cutoff).

Предложенный метод апробирован для анализа результатов измерения упругого рассеяния света при индуцированных полем фазовых превращений в прозрачной релаксорной PLZT керамике.

Изучено влияние ограниченного диапазона скэйлинга на величину определяемой фрактальной размерности профилей. Проведен сравнительный анализ методов определения фрактальной размерности шумов при ограничении диапазона скэйлинга.

3. Научная и практическая ценность, личный вклад.

Определена зависимость от времени изменения величины фрактальной размерности фазовой границы на различных стадиях фазового превращения в пленке с зарождением новой фазы на границе пленка-подложка.

Разработанный способ учета влияния ограниченного диапазона скэйлинга на фрактальную размерность конечных профилей может быть использован для изучения временных рядов различной природы.

Предложенный анализ угловых зависимостей рассеянного света применим при исследовании кинетики различных быстропротекающих фазовых превращений в сильнонеравновесных системах.

Разработанный метод математической обработки результатов углового рассеяния света был использован для неразрушающего контроля фазового превращения пирохлор-перовскит при быстром отжиге тонких пленок PZT и индуцированных полем фазовых превращений в релаксорной PLZT керамике.

Метод универсален и позволяет решить широкий круг задач по оптимизации технологии создания тонких пленок.

Все основные результаты работы получены лично автором. Обсуждение направления исследований, формулирование задач и обсуждение результатов осуществлялись совместно с научным руководителем В.Я. Шуром. Соавторы публикаций С.А. Негашев, А.Л. Субботин, Е.А. Борисова, Е.Б. Блан-кова и С. Тролиер-МакКинстри предоставили результаты экспериментов по отжигу пленок PZT, а Г.Г. Ломакин, В.П. Куминов, С.С. Белоглазов и C.B. Словиковский - по индуцированным полем фазовым превращениям в релаксорной PLZT керамике.

4. Научные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Из зависимости от времени фрактальной размерности фазовой границы в пленке, при фазовом превращении с образованием зародышей на границе пленка-подложка, могут быть определены основные параметры процесса роста фазы: скорость сквозного прорастания новой фазы, время зарастания границы и постоянная времени процесса.

2. Эволюция кластерной структуры при зарождении фазы во всем объеме может быть описана в терминах зависимости от времени фрактальной длины корреляции.

3. Учет ограниченности диапазона скэйлинга позволяет более точно определять величину фрактальной размерности конечных профилей.

5. Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на первом (1997, Москва, Россия) и втором (1999, Воронеж, Россия) Всероссийских семинарах «Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении», на XV Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков (1999, Ростов-на-Дону, Россия), на девяти международных конференциях: Materials Research Society (1995 - 1997, Fall Meeting, Boston, USA, 1996 и 1998, Spring Meeting, San Francisco, USA); 3rd European Conference on Applications of Polar Dielectrics, Bled, Slovenia, 1996; Ninth International Meeting on Ferroelectricity, Seoul, Korea 1997; International Symposium on Ferroic Domains and Mesoscopic Structures, State College, USA 1998 и 9th European Meeting on Ferroelectricity, Praha, Chech Republic 1999.

6. Публикации.

По материалам диссертации опубликована 21 работа, в том числе 4 статьи.

7. Объем и структура работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 120 страниц, включая 68 рисунков, 3 таблицы и библиографию из 86 наименований.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Пелегов, Дмитрий Вячеславович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученных в работе результаты позволяют сформулировать следующие основные результаты и выводы:

1. На основании проведенного моделирования роста фазы в пленке с образованием зародышей на границе пленка-подложка установлено, что зависимость фрактальной размерности фазовой границы D от времени позволяет исследовать кинетику процесса и выделить основные стадии эволюции фазовой границы. Анализ зависимости D(t) позволяет определить постоянную времени процесса и время зарастания границы пленка-подложка, а также скорость прорастания новой фазы.

2. Использование разработанного подхода позволило из мгновенных угловых зависимостей интенсивности рассеянного света определить параметры фазового превращения пирохлор-перовскит при быстром отжиге тонких пленок цирконата-титаната свинца.

3. На основании проведенного компьютерного моделирования было показано, что эволюция кластерной структуры при зарождении фазы во всем объеме может быть описана с использованием понятия о фрактальной длине корреляции.

4. С использованием предложенной методики проведено исследование индуцированных полем фазовых превращений в прозрачной релаксорной РЬгТ керамике. Показано, что использование фрактального формализма позволяет определять сценарии эволюции гетерофазного состояния в релаксорах при изменении температуры и воздействии электрического поля.

5. Исследовано влияние ограниченности диапазона скэйлинга на величину фрактальной размерности профиля.

6. Разработанный подход с применением фрактального формализма для изучения процессов зарождения и роста новой фазы может быть использован как метод неповреждающего контроля кинетики быстропротекающих фазовых превращений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пелегов, Дмитрий Вячеславович, 2000 год

1. Avrami M. Kinetics of Phase Change. I. General Theory // J.Chem.Phys., 1939, V. 73, pp. 1103-1112.

2. Bale H.D. and Schmidt P.W. Small-Angle X-Ray-Scattering Investigation of Submicroscopic Porosity with Fractal Properties // Phys.Rev.Lett., 1984, V. 53, pp. 596-599.

3. Borchardt H.J., Bierstedt P.E. // J. Appl. Phys., 1967, V. 38, N. 5, p. 2057.

4. Brooks K.G., Reaney I.M., Klissurska R., Huang Y., Bursill L. and Setter N. J. Setter Orientation of Rapid Thermally Annealed Lead Zirconate Titanate Thin Films on (111) Pt Substrates, // J. Mater. Res. 1994, V.9, N. 10, pp. 2540-2553.

5. Chen S.H. and Teixeira J. Structure and Fractal Dimension of Protein-Detergent Complexes // Phys. Rev. Lett. 1986, V. 57, pp. 2583-2586.

6. Chynoweth A.G. // J. Appl. Phys., 1959, V. 30, N. 3, p. 280.

7. Clark N.A., Bellini T., Malzbender R.M., Thomas B.N., Rappaport A.G., Muzny C.D., Schaefer D.W., and Hrubesh L. X-Ray Scattering Study of Smectic Ordering in a Silica Aerogel // Phys.Rev.Lett., 1993, V. 71, pp. 3505-3508.

8. Courtens E., Pelous J., Phalippou J., Vacher R., and Woignier T. Brillouin-Scattering Measurements of Phonon-Fracton Crossover in Silica Aerogels // Phys. Rev. Lett., 1987, V. 58, N. 2, pp. 128-131.

9. Courtens E., Vacher R., Stoll E. Fracton Observed // Physica D, 1989, V. 38, p. 41.

10. Cross L.E. Relaxor Ferroelectric: an Overview// Ferroelectrics, 1994, V. 151. p. 305.

11. Daccord G., Nittmann J., and Stanley H.E. Fractal Viscous Fingers: Experemental Results in On Growth and Form, eds. H.E.Stanley & N.Ostrowsky, Martinus Nijhoff, Dordrecht, 1986, pp. 203-210.

12. Dai X., Xu Z., Viehland D. The Spontaneous relaxor to Normal Ferroelectric Transformation in La-Modified Lead Zirconate Titanate // Phil. Mag. B. 1994, V. 70, p. 33.

13. Freltoft T., Kjems J.K., and Sinha S.K. Power-Law Correlation and Finite-Size Effects in Silica Particle Aggregates Studied by Small-Angle Neutron Scattering // Phys.Rev., 1986, V. B33, pp. 269-275.

14. Fricke J. and Emmerling A. Aerogels // J.Am. Ceram. Soc., 1992, V. 75, pp.2027-2036.

15. Griswold E.M., Weaver L., Sayer M., Cadler I.D. // J. Mater. Res. 1995, V. 10, pp. 3149-3159.

16. Hasmy A., Foret M., Pelous J., and Jullien R. Small-Angle Neutron-Scattering Investigation of Short-Range correlation in Fractal Aerogels: Simulations and Experiment // Phys. Rev., 1993-1, V. 48, pp. 9345-9353.

17. Huffman M., Gealy F. D., Kammerdiner L., Zürcher, P. Zhu J. G., Al-Jassim M. and Echer C. J. // Ferroelectrics, 1992, V. 134, p. 303.

18. Ivey M.D., Bolie V.W. // IEEE Trans. UFFC. 1991. V. 38. p. 579.

19. Klee M. and Larsen P. K. // J. Ferroelectrics, 1992, V. 133, p. 91.

20. Kumada A. // Phys. Lett., 1969, V. 30A, N. 3, p. 186.

21. Kumar C. V. R., Pascual R. and Sayer M. J. Appl. Phys., 1992, V. 71, N. 2, p. 864.

22. Larson B.C. and Bale H.D. A Small-Angle X-Ray Scattering Study of Radiation Damage to Silica Gels in Small Angle X-Ray Scattering, Wiley, New York, 1955, pp. 467-476.

23. Maloy K.J., Feder J., and Jossang T. Radial Viscous Fingering in a Hele-Shaw Cell, Report Series, Cooperative Phenomena Project, Department of Physics, University of Oslo, 85-10, 1985, pp. 1-15.

24. Maloy K.J., Feder J., and Jossang T. Viscous Fingering Fractals in Porous Media//Phys.Rev.Lett, 1985, 55, pp. 2688-2691.

25. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature, San Francisco, Freeman, 1983.

26. Porod G. Determination of General Parameters by Small-Angle X-Ray-Scattering in Small Angle X-Ray Scattering, Wiley, New York, 1955, pp.1-15.

27. Rojanski D., Huppert D., Bale H.D., Dacai X., Schmidt P.W., Farin D., Seri-Levy A., and Avnir D. Integrated Fractal Analysis of Silica: Adsorption, Electronic Energy Transfe, and Small-Angle X-Ray Scattering//Phys.Rev.Lett., 1986, 56, pp. 2505-2508.

28. Russ J.C. Fractal Surfaces, Plenum Press, NewYork, 1994, 309 p.

29. Schaefer D.W. and Keefer K.D. Fractal Geometry Silica Condensation Polymers // Phys. Rev. Lett., 1984, V. 53, pp. 1383-1386.

30. Schaefer D.W. and Keefer K.D. Structure of Random Porous Materials: Silica Aerogel // Phys. Rev. Lett., 1986, V. 56, pp. 2199-2202.

31. Schaefer D.W., Martin J.E., Wiltzius P., and Cannell D.S. Fractal Geometry of Colloidal Aggregates // Phys. Rev. Lett., 1984, V. 52, pp. 2371-2374.

32. Sempere R., Bourret D., Woignier T., Phalippou J., and Jullien R. Scaling Approach to Sintering of Fractal Matter // Phys. Rev. Lett., 1993, V. 71, pp. 3307-3310.

33. Shur V.Ya. // Phase Transitions. 1998, V. 65, p. 49.

34. Shur V.Ya. // Proc. 10th ISAF: IEEE (Piscataway, NJ, 1996) p. 233.

35. Shur V.Ya., Blankova E.B., Subbotin A.L., Borisova E.A., Pelegov D.V., Hoffmann S., Bolten D., Gerhardt R., and Waser R. Influence of

36. Crystallisation Kinetics on Texture of Sol-Gel PZT and BST Thin Films // J. Eur. Ceram. Soc., 1999, V.19, N.6-7, pp.1391-1395.

37. Shur V.Ya., Kuminov V.P., Lomakin G.G., Beloglazov S.S., Slovikovski S.V., Krumins A. and Sternberg A. // J. Kor. Phys. Soc. 1998, V. 32, p. S985.

38. Shur V.Ya., Kuminov V.P., Lomakin G.G., Beloglazov S.S., Sternberg A., Krumins A. // Abstracts of International Symposium on Ferroic Domains and Mesoscopic Structures, (Vienna, Austria, 1996) p. 110.

39. Shur V.Ya., Makarov S.D., Pelegov D.V., Sorkin I.L., and Ivanov R.K. Morphological Evolution of Sol-Gel Films During Crystallization // Abstracts of MRS SM'98, San Francisco, CA, April 12-17, 1998.

40. Shur V.Ya., Negashev S.A., Rumyantsev E.L., Subbotin A.L., Makarov S.D. // Ferroelectrics, 1995, V. 169, p. 63.

41. Shur V.Ya., Negashev S.A., Subbotin A.L. and Borisova E.A. // Ferroelectrics, 1997, V. 196, p. 183.

42. Shur V.Ya., Negashev S.A., Subbotin A.L., Borisova E.A. and Trolier-McKinstry S. // Materials Research Society Symposium Proceedings, 1996, V. 433, p. 351.

43. Shur V.Ya., Negashev S.A., Subbotin A.L., Borisova E.A., and Pelegov D.V., In Situ Characterization of Thin Film Morphology by Elastic Light Scattering // Abstracts of MRS FM'96, Boston, MA, December 2-6, 1996, p. 121.

44. Shur V.Ya., Rumyantsev E.L., Kuminov V.P., Lomakin G.G., Beloglazov S.S., Sternberg A., Krumins A. // Ferroelectrics. 1997, V. 199, p. 159.

45. Shur V.Ya., Rumyantsev E.L., Makarov S.D., Subbotin A.L. and Volegov V.V. // Integrated Ferroelectrics, 1995, V. 10, p. 223.

46. Shur V.Ya., Rumyantsev E.L., Volegov V.V., Pelegov D.V., Borisova E.A., and Zykov S.A. Evolution of the Fractal Surface of Amorphous Films during Crystallization // Abstracts of MRS FM'95, Boston, MA, November 27 December 1, 1995, p.403.

47. Shur V.Ya., Subbotin A.L., Borisova E.A., Pelegov D.V., Sorkin I.L., Ivanov R.K. and Trolier-McKinstry S. Evolution of Surface Morphology of Sol-Gel Films During Crystallization // Abstracts of the MRS FM'97, Boston, MA, December 1-5, 1997, p. 15.

48. Sinha S.K. // Physica D, 1989, V. 3 8, p. 310.

49. Trolier-McKinstry S., Chen J., Vedam K., and Newnham R. E. // J. Amer. Ceram. Soc., 1995, V. 78, p. 1907.

50. Vacher R., Woignier T., Pelous J., Courtens E. Structure and Self-Similarity of Silica Aerogels // Phys. Rev. B. 1988, V. 37, N. 11, p. 6500.

51. Wijnen P.W.J.G., Beelen T.P.M., Rummens K.P.J., De Haan J.W., Saeijs H.C.P.L., Van De Ven L.J.M., and van Santen R.A. The Molecular Basis of Ageing Aqueous Silica Gel // J.Coll. Interfac. Sci., 1991, V. 145, pp. 17-32.

52. Wijnen P.W.J.G., Beelen T.P.M., Rummens K.P.J., Saeijs H.C.P.L., and van Santen R.A. Silica Gel from Water Glass: a SAXS Study of the Formation and Ageing of Fractal Aggregates // J.Appl.Cryst., 1991, 24, pp. 759-764.

53. Zhou W., Sayers D.E., Paesler M.A., Bouchet-Fabre В., Ma Q., and Raoux D. Structure and Photoinduced Structural Changes in a-As2S3 ilms: A Study by Differential Anomalous X-Ray Scattering // Phys.Rev., 1993-11, B47, pp. 686-694.

54. Алексеев A.H., Злоказов M.B., Проклов А.Л., Тихомирова H.A., Шувалов JI.A. // Изв. АН СССР, Сер. физ., 1984, V. 48, N. 6, с. 1123.

55. Аллеи К. и Клуатр М. Оптические преобразования Фурье фракталов, Фракталы в физике, М.: Мир, 672 е., стр. 91-97, 1988.

56. Беленький В.З. Геометрико вероятностные модели зародышеобразования, М.: Наука, 1980, 88 с.

57. Градштейн И.С. и Рыжик И.М. Таблицы интегралов, изд.5-е, М.: Наука, 1971, 1108 с.

58. Гулд X. и Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике, М.: Мир, 1990, 400 с.

59. Жюльен Р. и Боте Р. Масштабно-инвариантные свойства поверхности в модели Идена, в Фракталы в физике, М.: Мир, 672 е., стр. 350-352, 1988.

60. Камзина Л.С., Крайник H.H., Коршунов О.Ю. // ФТТ, 1995, Т. 37, с. 2765.

61. Колмогоров А.Н. // Изв. АН СССР, Сер. Мат., 1937, Т. 3, с. 355.

62. Корженевский А.Л. // ФТТ. 1884, Т. 26,. с. 1223.

63. Корженевский А.Л., Камзина Л.С., Коршунов О.Ю. // Письма в ЖЭТФ. 1995. Т. 61. С. 2765.

64. Лайнс М., Гласс А. Сегнетоэлектрики и родственные им материалы, Мир, М., 1981,736 с.

65. Пронин И.П., Зайцева Н.В., Каптелов Е.Ю., Афанасьев В.П. // Изв. РАН, сер. физ., 1997, Т. 61, с. 379.

66. Рудяк В.М. Процессы переключения в нелинейных кристаллах, Наука, М., 1986, 243 с.

67. Сандер Jl. Континуальная ДОА: случайный фрактальный рост, порождаемый детерминистической моделью, в Фракталы в физике, Москва, изд.Мир, 672 е., стр. 336-344, 1988.

68. Федер Е. Фракталы, Изд.Мир, Москва, 1991, с.254.

69. Шефер Д. и Кефер К. Структура случайных силикатов: полимеры, коллоиды и твердые тела, в Фракталы в физике, Москва, изд.Мир, 672 е., стр. 62-71, 1988.

70. Шкловский Б.И., Эфрос A.JI. Электронные свойства легированных полупроводников, М. :Наука,1979,416 с.

71. Шур В. Я., Ломакин Г.Г., Куминов В.П., Пелегов Д.В., Белоглазов С. С., Словиковский С. В., Соркин И.Л. Кинетика фрактальных кластеров при фазовых превращениях в релаксорной PLZT керамике // ФТТ, 1999, Т.41, N.3, С. 505-509.

72. Шур В.Я., Кожевников B.JL, Пелегов Д.В., Николаева Е.В., Шишкин Е.И. Фрактальная природа скачков Баркгаузена в сегнетоэлектриках // Тезисы XV Всероссийской конференции по физике сегнетоэлектриков, Ростов-на-Дону, г. Азов, сентябрь 14-18, 1999, с. 70.

73. Шур В.Я., Ломакин Г.Г., Белоглазов С.С., Пелегов Д.В., Круминып А.Э., Штернберг А.Р. Фрактальные кластеры в ЦТСЛ керамике: эволюция в электрическом поле // Вестник ВГТУ. Сер. Материаловедение, 1999, вып.1.5., с.48-52.

74. Шур В.Я., Негашев С.А., Субботин А.Л., Пелегов Д.В., Борисова Е.А., БланковаЕ.Б., Тролиер-МакКинстри С. Эволюция фрактальной поверхности аморфных пленок цирконата-титаната свинца при кристаллизации // ФТТ, 1999, Т.41, N.2 , с. 306-309.

75. Эрнст М. Кинетика образования кластеров при необратимой агрегации в Фракталы в физике, Москва, изд. Мир, 672 е., стр. 399-429, 1988.