Дифференциально простые альтернативные и йордановы алгебры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Попов, Александр Александрович

• Попов, Александр Александрович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Попов, Александр Александрович

Оглавление

Введение

1 Предварительные сведения

§1 Дифференциально простые алгебры

§2 Альтернативные алгебры

§3 Йордановы алгебры

2 Дифференциально простые альтернативные алгебры

§1 Случай характеристики 0

§2 Случай характеристики р

3 Дифференциально простые йордановы алгебры

§1 Случай специальных алгебр

§2 Случай исключительных алгебр характеристики 0

§3 Случай исключительных алгебр характеристики р > 2

4 О свободе дифференциально простых алгебр как модулей над своими центрами

§1 Построение примеров в альтернативном и йордановом случае

§2 Общий подход к примерам с использованием супералгебр

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциально простые альтернативные и йордановы алгебры»

Введение

Как известно, основным вопросом в теории колец является описание простых колец (алгебр). В классификацию простых альтернативных алгебр основополагающий вклад внесли А.И. Ширшов, Р. Брак, Л.А. Скорняков, М. Слейтер, Э. Клейнфелд и другие. Так, например, Л.А. Скорняков в [12] доказал, что альтернативная неассоциативная алгебра с делением является алгеброй Кэли-Диксона. Э. Клейнфелд в [26] обобщил этот результат на произвольные простые альтернативные неассоциативные алгебры. Еще одним важным классом алгебр, близких к ассоциативным, являются йордаловы алгебры. Эти алгебры возникли как формализм описания аксиом квантовой механики в совместной работе П. Иордана, Дж. фон Неймана и Е. Вигнера [25], в которой были описаны конечномерные формально-вещественные йордановы алгебры. Они показали, что каждая такая алгебра, за одним исключением, является прямой суммой алгебр, близких к матричным алгебрам. Проблема описания простых йордановых алгебр была сформулирована Дж. фон Нейманом и являлась одной из самых трудных задач в теории йордановых алгебр. Исследованием этой проблемы занимались многие математики, например, Н. Джекобсон, Дж. Осборн, К. Маккриммон. Однако, описать простые йордановы алгебры удавалось только при дополнительных условиях. Даже не было понятно, как выглядят йордановы алгебры с делением. Эта проблема была сформулирована Н. Джекобсоном и решена Е.И. Зельмановым в [7]. Затем Е.И. Зельмапов [10] описал произвольные простые йордановы алгебры.

Дифференциально простые алгебры являются естественным обобщением простых алгебр и применялись еще X. Цассснхаусом в 1939 г. в работе [36] при изучении алгебр Ли, однако сам термин «дифференциально простая алгебра» (если более точно, £>-простая алгебра, где £> — множество всех дифференцирований данной алгебры) появился в 1953 г. в работе [16] и принадлежит А. Алберту, который применял дифференциально простые алгебры для исследования алгебр с ассоциативными степенями. В этой же работе, среди прочего, было доказано, что в случае характеристики р > 0 радикал ассоциативной коммутативной дифференциально простой алгебры с единицей является ее наибольшим идеалом и выделяется полупрямым слагаемым, причем все элементы радикала нильпотентны индекса р, а если характеристика основного поля равна 0, то данная алгебра будет простой. Также в работе [16] был приведен пример дифференциально простой конечномерной ассоциативно-коммутативной алгебры над полем ненулевой характеристики (алгебра усеченных многочленов), и уже в 1960 г. Л. Харпер в работе [20] доказал, что над алгебраически замкнутым полем нет других примеров.

Э. Познер продолжил изучение дифференциально простых алгебр (колец). В 1960 г. в работе [30] им было установлено, что дифференциально простое кольцо не является локально нильнотентным, а в случае характеристики 0 будет первичным или даже простым, если дополнительно потребовать наличие минимального идеала (здесь следует отметить, что по аналогии с центроидом, который для простых колец является полем, Э. Познером был введен дифференциальный центроид, являющийся полем в случае дифференциально простых колец, так что дифференциально простое кольцо всегда является алгеброй над некоторым полем); в этой же работе было доказано, что всякое ассоциативно-коммутативное дифференциально простое кольцо содержит единицу; исследовались расширения дифференциально простых колец. Далее в 1964 г. Ш. Юань в работе [35] существенно развил теорию дифференциально простых ассоциативно-коммутативных колец характеристики

р > 0 и, в частности, получил результаты аналогичные результатам Алберта: выделение радикала полупрямым слагаемым и нильпотентность (индекса, не превосходящего р) элементов радикала без условия конечномерности. В этой же работе Ш. Юань доказал, что дифференциально простая ассоциативно-коммутативная алгебра над нолем характеристики р > 0 локальна, и, если ее радикал (он будет единственным максимальным идеалом) нильпотентен, то сама алгебра изоморфна алгебре усеченных многочленов над основным полем, что является существенным улучшением упомянутого результата Л. Хариера. Следует отметить, что Ш. Юань использовал топологию, определяемую собственным идеалом дифференциально простого кольца.

Одним из наиболее важных п интересных результатов в теории дифференциально простых алгебр является следующая теорема, опубликованная Р. Блоком в 1969 г. в работе [18]:

Теорема. Пусть А — дифференциально простое (не обязательно ассоциативное) кольцо (или К-алгебра над ассоциативным коммутативным кольцом К с единицей), обладающее минимальным идеалом. Тогда либо А — простое кольцо (К-алгебра), либо

А = Б ®к В,^Р(К), где Б — простое кольцо характеристики р > 0 и

Вп#(К) = К[хи ..., хп]/{(11(хр1, ..., хрп) -

алгебра усеченных многочленов над полем К: здесь через гй',1 ..., хобозначен идеал, порожденный множеством {хр1: ..., х^}.

В этой же работе данный результат был применен к исследованию полупростых алгебр Ли.

В связи с теоремой Р. Блока И.П. Шестаковым была сформулирована

Проблема. Описать дифференциально простые алгебры, близкие к ассоциативным, не обладающие, вообгце говоря, минимальными идеалам,и.

Решению данной проблемы и посвящена настоящая диссертация. Иными словами, основная цель данной диссертации — распространить теорему Блока на случай алгебр без минимального идеала. Это удается сделать в случае альтернативных и йордановых алгебр характеристики р (в йордановом случае р > 2) благодаря развитой структурной теории соответствующих классов алгебр и, в особенности, теории простых йордановых и альтернативных алгебр. Следует отметить, что теорию дифференциально простых альтернативных и йордановых алгебр нельзя назвать развитой. Автору известна единственная работа [32] (Т. Равишанкар, 1970), посвященная вообще-то конечномерным £>-полупростым алгебрам, где упоминаются альтернативные дифференциально простые алгебры.

Теория дифференциально простых алгебр интересна еще и своими связями с теорией супералгебр. Так, например, Ш.-Дж. Ченг в работе [19] в 1995 г. обобщил результаты Р. Блока на случай дифференциально простых супералгебр характеристики 0 с минимальным идеалом. Дифференциально простые алгебры (и их обобщения) также были использованы И.П. Шестаковым в 1997 г. в работе [15] при исследовании первичных альтернативных супералгебр. Еще одним важным примером является работа 2001 г. Е.И. Зельмапова и К. Мартинез [28], в которой дифференциально простые алгебры применялись для описания простых конечномерных йордановых супералгебр простой характеристики. Также дифференциально простые алгебры возникают при исследовании некоммутативных йордановых супералгебр (см. [11]).

Следует также отметить, что теории дифференциально простых алгебр посвящен достаточно подробный обзор О.Д. Артемовича [1].

Автором получены следующие основные результаты:

Теорема 2.1.2. Альтернативная неассоциативная £)-простая алгебра А над полем Г характеристики 0 является кольцом Кэли-Диксона. Причем А квадратична над своим центром Z = Z(A), т. е. для всех х £ А выполнено

х2 — + п(ж) = 0, Ь{х), п(х) € Z,

здесь 1(х), п(х) определены однозначно, отображение I является Z-линейным, и п(ху) = п(х)п(у) для всех х, у £ А. Более того, Z это 1)'-простая алгебра, где ЗУ = {д\г(А) I д £ £>}; в частности, алгебра А обладает единицей. Здесь 2) — произвольное множество дифференцирований алгебры А.

Теорема 2.1.5. Пусть А 1)-простая альтернативная неассоциативная алгебра над полем, F характеристики 0, где 2) — некоторое множество дифференцирований алгебры А. Тогда А является конечнопорожденным проективным Z(А) -модулем ранга 8.

Теорема 2.2.4. Пусть Е — поле характеристики, р > О, А — альтернативная неассоциативная алгебра над Р, Т) - произвольное множество дифференцирований алгебры А. Тогда если А является £>-простой, то

А~В®кг(А),

где В = А/<5£{А), а К — поле, изоморфное образу Z(A) при каноническом, гомоморфизме А на В, Г С К С Z(A). При этом В имеет структуру алгебры Кэли-Диксона над К, а Z{A) является -простой алгеброй, где ЗУ — {д\г(А) I д £ £>}. Здесь через Л?(А) обозначен наибольший локально нильпотентный идеал алгебры А.

Теорема 3.2.1. Пусть 3 — Т>-простая исключительная йорданова алгебра над полем И характеристики 0; где 1) — семейство дифференцирований алгебры <7. Тогда 3 является кольцом Алберта, а ее центр Z{J) = Z будет 1)-простой

ассоциативной коммутативной алгеброй (в частности, в 3 есть единица). При этом каждый элемент алгебры 3 удовлетворяет кубическому уравнению над Z, т. е. для всех х £ 3 выполнено

где ¿, п : 3 —> Z, £ — Z-линейное отобраэюение, а п — однородное отображение над Z степени 3.

Теорема 3.3.1. Пусть 3 — йорданова алгебра над полем Р характеристики р > 2, ие являющаяся гомоморфным образом; специальной йордановой алгебры, Т) произвольное множество дифференцирований алгебры 3. Тогда если 3 является 1) -простой, то

где Н = 3/Л£(3), а К — поле, изоморфное образу Z = ^(,7) при каноническом гомоморфизме 3 на Н, Р С К С Z. При этом Н является простой конечномерной центральной исключительной йордановой, К-алгеброй, а Z является 1)-простой коммутативной ассоциативной алгеброй. Здесь через Л?(3) обозначен наибольший локально нильпотентный идеал алгебры 3.

Также автором были доказаны

Теорема 3.1.1. Пусть А £)-простая ассоциативная алгебра над полем Р характеристики не 2, где 2) — семейство дифференцирований алгебры А. Тогда - £>-простая йорданова алгебра.

Теорема 3.1.4. Пусть 3 -- Т)-простая специальная йорданова алгебра над полем характеристики не 2, где 2) -- произвольное множество дифференцирований алгебры 3. Тогда существует I)1 -простая ассоциативная алгебра А такая, что

(1) 3 является подалгеброй

з~н ®к ад

Впсдсшю

(2) множество 3 порождает А как ассоциативную алгсбу;

(3) множество ЗУ состоит из дифференцирований алгебры А, являющихся продолжениями дифференцирований из 3) на А.

Также в диссертации приведены примеры дифференциально простых альтернативных (неассоциативных) и йордановых (исключительных) алгебр, не являющихся свободными модулями над своими центрами:

Теорема 4.1.5. Пусть С = С(а, /3, 7) — алгебра Кэли-Диксона над полем В, вещественных чисел, а, /3, 7 Е Я, а/?7 ф 0. Тогда найдется такой базис ео, 61, .. •, 67 алгебры С, что подалгебра

Вп = | 0 врЦп)о (8> 0 (0 п)1 (8) е»

\ г=0 / \ г=4

алгебры 8рЬ,(п) ® С при п ^ 8 будет альтернативной Т>-простой алгеброй, не являющейся свободным модулем, над своим центром. Здесь гЗ : С —>■ С — тождественное отображение, тензорное произведение берется над полем Я,

8рк(п) = Щх о,

хп)/1Ш (жр + ... + х2п - 1) ,

дифференцирования Д; 1 ^ г ^ п, индуцируются преобразованиями

п д д Д: = .X','---

алгебры Т1[хо, ..., а £> — {Д 0 г с?, ..., Д, (8) гс£}.

Теорема 4.1.6. Я обозначениях теоремы 4-1-5 предполооюим, 'что отображение ~ : 8р1г(п) ¡8> С —»■ 8рК(п) ® С является естественным продолжением стандартной инволюции алгебры Кэли-Диксона С. Тогда алгебра

Г / \

СИ 1 Ъг Ъ2

{ \

Ь\ «2 Ь3 Ь2 Ь3 о;3

, где ац, а2, а3 € 5р/г(п)0; 61, Ъ2, 63 е Вп

ч

с умножением ХоY = -(XY+YX) будет исключительной йордановой алгеброй, дифференциально простой относительно множества естественных продолжений дифференцирований Di, ..., Dn алгебры Вп, действующих на элементах Л?{Вп,з) покомпонентно. При этом Z(Вп$)) ~ Sph{n)о и если п ^ 27, т.о не является свободным Z(r%?(Bn^))-модулем.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Публикации автора по теме диссертации приведены отдельным списком. Главы диссертации разбиты на параграфы. Нумерация всех формул сквозная. Нумерация всех утверждении тройная: первая цифра указывает номер главы, вторая — номер параграфа, а третья — порядковый номер утверждения. Нумерация формул двойная — первая цифра указывает номер главы, вторая — номер утверждения внутри главы.

Несколько слов о содержании диссертации. Во введении формулируется постановка задачи, дается обзор исследований по проблеме диссертации, приводятся формулировки результатов диссертации. Глава 1 (Предварительные результаты) содержит определения, формулировки результатов, необходимых в дальнейшем и доказательства некоторых простых утверждений о дифференциально простых алгебрах. Глава 2 (Дифференциально простые альтернативные алгебры) посвящена доказательству теорем 2.1.2, 2.1.5, 2.2.4. Глава 3 (Дифференциально простые йор-дановы алгебры) посвящена доказательству теорем 3.1.1, 3.1.4, 3.2.1 и 3.3.1. Глава 4 (О свободе дифференциально простых алгебр как модулей над своими центрами) посвящена доказательству теорем 4.1.5, 4.1.6 и описанию общего подхода, предложенного И.П. Шестаковым, к примерам дифференциально простых алгебр, не являющихся свободными модулями над своими центрами.

Все результаты опубликованы в форме статей в ведущих отечественных журналах [40], [41], [37] (последняя работа — в соавторстве с В.Н. Желябиным и

И.П. Шестаковым), входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук.

Результаты диссертации докладывались па международной алгебраической конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2012), па международной конференции по теории колец, посвященной 90-летпю со дня рождения А.И. Ширшова (Новосибирск, 2011), на молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2009), на международной конференции «Алгебра и математическая логика», посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова (Казань, 2011), на семинаре им А.И. Ширшова «Теория колец» ИМ СО РАН и на семинаре «Алгебра и логика» в Новосибирском государственном университете. По результатам диссертации автором был сделан пленарный доклад на международной конференции «Алгебра и логика: теория и приложения» (Красноярск, 2013).

Я хотел бы выразить глубокую благодарность И.П. Шестакову за постановку интересной задачи и внимание к работе, А.П. Пожидаеву за внимание к работе и неоценимую помощь при ее оформлении, В.Н. Желябипу за внимание к работе и полезные обсуждения. Я благодарю коллектив ИМ СО РАН и сотрудников кафедры алгебры и математической логики НГУ за создание творческой атмосферы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (09-01-00157, 11-01-00938-а), АВЦП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы» (2.1.1.419, 2.1.1.10726), Совета но грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты НШ-344.2008.1, НШ-3669.2010.1, МД-2438.2009.1), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (АЧ)2.740.11.5191).

Глава 1

Предварительные сведения

§1 Дифференциально простые алгебры

Пусть А — некоторая (вообще говоря, неассоциативная) алгебра над полем Р. Вообще, если не оговорено особо, то термин «алгебра» означает «алгебра над полем», хотя далее нам потребуются и алгебры над ассоциативными коммутативными кольцами с единицей.

Определение, ^-линейное отображение д : А —> А называется дифференцированием алгебры А, если д(ху) = д(х)у + хд(у) для всех х, у 6 А.

Пусть 2)ет(Л) — множество всех дифференцирований алгебры А. Зафиксируем некоторое 53 С £>ес(Л).

Определение. Идеал / алгебры А называется 2)-идеалом (обозначается /<¡2 А), если для любых д £ 2) и х Е / имеет место включение д(х) € I. Определение. Алгебра А называется 2)-простой (дифференциально простой относительно множества 2)), если А2 ф (0) и в А нет 2)-идеалов, отличных от (0) и А. В случае, когда 2) = 2)ег(А), говорят, что А дифференциально проста, однако в данной работе термин «дифференциально простая алгебра» будет употребляться как синоним термина «2)-простая алгебра», когда нет необходимости

явно указывать множество ©.

Через idl (М) будем обозначать идеал алгебры А, порожденный множеством М С А.

Некоторые примеры дифференциально простых алгебр.

(1) Всякая простая алгебра является дифференциально простой относительно любого множества дифференцирований.

(2) Алгебры многочленов F[X] и формальных степенных рядов от множества переменных X (конечного или бесконечного) над тюлем F характеристики 0 будут ©-простыми относительно множества дифференцирований Ъ = {£\хеХ}.

(3) Во введении упоминалась ал гебра F[xi, ..., xn]/idl (xpL, ..., х£) усеченных многочленов над полем F характеристики р, которая будет ©-простой алгеброй относительно множества дифференцирований ■ • •,

(4) В работе [37] доказано, что алгебра Sph(n) (см. введение или §1 главы 4) также является дифференциально простой.

(5) Пусть F — поле характеристики 0. Рассмотрим многочлен / = f(x, у) = х2 + у4 — 1 от переменных х. у. В [5] доказано, что алгебра F[x,y]/idl (/) является дифференциально простой относительно множества, состоящего из единственного дифференцирования, индуцированного отображением

D = 2у3^- - : F[x, у] F[x, у], их оу

(6) Если А и В — алгебры над нолем F, причем А дифференциально проста относительно множества дифференцирований ©, а В является центральной простой алгеброй, то алгебра A®f В будет дифференциально простой относительно множества дифференцирований {d ® id | <9 Е © }. Доказательство

этого факта полностью аналогично доказательству хорошо известного утверждения о том, что тензорное произведение простой алгебры и центральной простой алгебры есть снова простая алгебра, приведенному, например, в [3, глава V].

Напомним некоторые из обозначений, принятых в теории неассоциативных алгебр.

Определение. Элемент (ж, у, z) := (xy)z — x(yz) — ассоциатор элементов х, у, z; [ж, у] := ху — ух — коммутатор элементов х и у] х о у := ху + ух. Определение. Ассоциативным центром алгебры А называется множество

N{A) = {пеА | (п, А, А) = (А, А, п) = (А, п, А) = (0)},

а центром — множество

Z{A) = {7i е N(A) | [п, Л] = (0)}.

Если алгебра А обладает единицей и К — F-подалгебра Z(A), то через algx (М) будем обозначать if-подалгебру в Л, порожденную подмножеством М С А. Если речь идет об F-подалгсбрс (К = F), то индекс К будем опускать.

Как известно из [4, глава 7, следствие 1 леммы 1], Z(A) и N(A) — подалгебры алгебры А. Если d е £>et(А), то

д((х, у, г)) = {д(х), у, z) + (ж, д(у), z) + (ж, у, d(z)), (1.1)

д([х, у]) = [а(ж), у] + [ж, д(у)], (1.2)

д(х о у) — д(х) о у + х о д(у), (1.3)

в силу чего, N(A) и Z(Á) устойчивы относительно действия Эег(Л). По аналогии с работой [30] можно доказать следующую лемму:

Лемма 1.1.1. Пусть А — D-простая алгебра. Тогда А2 = А. Если х £ А такой, что хА = Ах = (0), то х = 0. Если А ассоциативна или (анти)коммутативна, то для равенства х = 0 достаточно одного из условии Ах = (0) или хА = (0).

Также имеет место

Лемма 1.1.2. £)-простая алгебра А не является локально нильпотеитной.

Доказательство. В ассоциативном случае данная лемма была доказана в [30], в общем — в [15. лемма 5]. Для полноты изложения приведем доказательство, опубликованное в [40].

Пусть А локально нильпотентна, а £ А. Положим

©(а) = {öi... dk(a) | di £ 2), к — натуральное число}, в частности, а £ £)(а).

Рассмотрим множество 1(а) всевозможных, в том числе со всевозможными расстановками скобок в слагаемых, конечных сумм вида

¿1 • • • hxyn ...гт, где /ь ..., 1к, гь ..., гт £ А, х, у £D(a). (1.4)

Легко видеть, что 1{а) А. Следовательно, /(а) = (0) или /(а) = А.

Предположим, что для любого а £ А выполнено /(а) = (0). Тогда а2 = 0, в частности, А антикоммутативна. Рассмотрим ненулевой а £ А и положим

J(a) = (... (xxi)x<2) ■ ■ -хг) | х £ 2)(а), х\, ..., хг £ А, г натуральное}.

Тогда J(a) <%) А. Но J(a) ф (0), так как а £ J(a), поэтому J(a) = А. Далее, ®(a)J(a) С 1(а) = (0), откуда D(а)А = (0), Ю(а) = (0) — противоречие. Таким образом, найдется а £ А такой, что /(о) ф (0), то есть /(а) = А. Запишем а в виде (1.4). Пусть д\, ..., дк — все элементы £>, встречающиеся в этой записи, а п — наибольшее число элементов д{, ..., дк, действующих на а. Можно считать, что п ф 0. Применив к а все отображения вида дч.. .д-н, 0 ^ I ^ 2п — 1, 1 ^

ij < к, 1 ^ j ^ I, получим (с некоторой расстановкой скобок, для всевозможных наборов (¿1, ..., ц))

ди (а) = ^ гр 1 ■ • • ЪА ■ ■ ■ <\(Фш, • ■ • ^. (1-5)

где суммирование ведется но всем наборам (71, ..., 1 ^ ^ ^ /с, 0 ^ д ^ 2п—1, а гР1, ..., Грт, , ..., £>'Шц — некоторые элементы алгебры А, которые, вообще говоря, могут быть различными для различных слагаемых. Заметим, что, поскольку отображение д^.-.дц применялось к разложению вида (1.4), в каждом слагаемом правой части (1.5) обязательно присутствует хотя бы один из гР1, ..., гРт, з.Ш1, ..., зи!у. Но подалгебра, порожденная всевозможными элементами гР1, ..., гРт, ..., зи!и, ... д]ч(а), нильпотентна. Применив несколько раз (1.5), получим а = 0. Противоречие. □

Через А# будем обозначать алгебру, полученную из А формальным присоединением единицы. Рассмотрим множество И (А) — 1(11 ((А, А, А)). Хорошо известно (см. [4, глава 8, предложение 8]), что И (А) — (А, А, А)А#. Также ясно, что О (А) А, поэтому, если А дифференциально проста и неассоциативиа, то О (А) — Д откуда следует, что все ненулевые гомоморфные образы А также будут неассоциативными.

Определение. Напомним, что наибольший локально нильпотентиый идеал алгебры А называется ее локально нильпотеитным радикалом, и обозначается через

В заключение данного параграфа приведем одну теорему из [14], играющую исключительно важную роль при исследовании дифференциально простых алгебр характеристики 0.

Теорема 1.1.3. Пусть А — алгебра характеристики 0, д : А —» А - дифференцирование, Л?(А) — локально-нильпотентный радикал алгебры А. Тогда д(^(А)) С^(А).

§2 Альтернативные алгебры

Определение. Алгебра А называется альтернативной, если в ней выполнены тождества

х2у = х(ху), ху2 = [ху)у.

Из определения легко следует, что в любой альтернативной алгебре ассоциатор является кососимметрической функцией своих аргументов и для всех х,у Е А имеет место равенство х(ух) = (ху)х (тождество эластичности).

Следующая лемма описывает хорошо известные свойства альтернативных алгебр, которые будут использованы при дальнейшем изложении.

Лемма 1.2.1. Пусть А — альтернативная, алгебра. Тогда выполнено:

(1) гЫ{А) :=1с11([ЩА), А]) = [М(А), А]А* = А];

(2) в алгебре А существует локально нильпотентпый радикал Л£(А), и при этом, фактор-алгебра А/^(А) не имеет локально иильпотентных идеалов;

(3) всякая двупорожденная подалгебра алгебры А ассоциативна, в частности всякая альтернативная алгебра является алгеброй с ассоциативными степенями]

(4) для всех х, у £ А элемент [ж, у]'1 лежит в АГ(А).

Доказательство. См. соответственно [4, глава 7, лемма 4], [4, глава 8, следствие предложения 7], [4, глава 2, теорема 2 (Артин)] и [4, глава 7, следствие 1 теоремы 4]. □

Справедливо

Предложение 1.2.2. Если А — £)-простая альтернативная алгебра, то имеет место равенство N(A) — %(А).

Доказательство. Рассмотрим ZN(A). Из леммы 1.2.1 следует, что ZN(A) А. Предположим, что ZN(A) = А. Лемма Слсйтера ([4, глава 7, лемма 5]) утверждает, что (ZN(A), А, А) С 1\(А), а из [4, глава 7, лемма 7] вытекает, что включение (а, А) С ЩА) влечет (г<И ((а, Ь, х)))2 = (0), где а, 6, х Е А. Это означает, что всякий ассоциатор алгебры А лежит в некотором нилыютентпом идеале, то есть (А, А, А) С По лемме 1.2.1, И (А) С Л? (А), но ранее установлено, что

О (А) = А. Следовательно, А = Л? (А), что противоречит лемме 1.1.2. Получается, что ZN{A) = (0), в частности, А] = (0). □

В настоящей работе используется теория Р1-алгебр над ассоциативно коммутативными кольцами с единицей. Приведем необходимые определения и утверждения, следуя [4, глава 5]. Пусть К — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. Через АН[Х] будем обозначать свободную альтернативную /^-алгебру от счетного множества X свободных порождающих.

Определение. Альтернативная ТС-алгебра называется РРалгеброй, если она удовлетворяет полиномиальному тождеству / = 0, где / Е >Ш[АГ] — многочлен со старшим коэффициентом, равным единице, образ которого при каноническом гомоморфизме /Ш[Х] на свободную ассоциативную /Г-алгебру не равен нулю.

Отмстим здесь, что так как для всех х, у Е А элемент [ж, у}4 лежит в АТ(А) и Х(А) = Z(A) по предложению 1.2.2, то в дифференциально простой Т^-алгебре А выполнено соотношение [[ж, у}4, г] = 0 для всех ж, у, г Е А. Иными словами, всякая дифференциально простая альтернативная алгебра является Р1-алгеброй. Определение. Алгебра А над К называется локально конечной, если всякая ее конечнопорожденная подалгебра является конечнопорожденным ТС-модулем.1 Определение. Элемент а /('-алгебры А с ассоциативными степенями называется алгебраическим (над К), если существуют натуральное число п и ..., а.п~\ Е

'В [1, глава 5] рассматривается более общая ситуация, нам же достаточно случаи алгебраичностп над всем кольцом К.

п-1

К такие, что ап = ^ ща1.

г=1

Определение. Алгебра А с ассоциативными степенями называется алгебраической (над К), если каждый ее элемент является алгебраическим над К. Перечислим необходимые результаты из [4] в следующей лемме.

Лемма 1.2.3.

(1) Если каждый элемент альтернативной PI-алгебры над ассоциативным коммутат,ивным, кольцом с единицей иильпотентен, то сама алгебра локально нильпотентна, то есть нильпотентна каждая ее конечнопорож-денная подалгебра.

(2) Если каждый элемент, альтернативной PI-алгебры над ассоциативным, коммутативным кольцом с единицей является алгебраическим, то сама, алгебра локально конечна.

Также имеет место

Предложение 1.2.4. Если А V-простая альтернативная алгебра, то в А не выполнено тождество [ж, у]'1 = 0 ни для какого натурального числа п.

Доказательство. Пусть существует натуральное число п такое, что [ж, у}" = О тождество алгебры А. Тогда из [4, глава 7, предложение 2] следует, что ниль-потентные элементы алгебры А образуют идеал, скажем Nil(A); в частности, [Л, А] С Nil(A). Значит A/Nil(A) коммутативна. Как известно из [4, глава 7, лемма 8], в коммутативной альтернативной алгебре выполнено (ж, у, z)2 = 0, откуда (ж, у, z)2 Е Nil(A) для всех ж, у, z £ А; следовательно, (ж, у, z) Е Nil(A). Получается, что Nil(A) — это идеал алгебры А, содержащий все ассоциаторы. Тогда А = D(A) С Nil(A), поэтому А = Nil(A).

Ранее отмечено, что А является PI-алгеброй, откуда ввиду леммы 1.2.3 следует, что А локально нильпотентна, а это противоречит лемме 1.1.2. □

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Попов, Александр Александрович, 2013 год

Литература

[1| Артемович О.Д. Дифференциально простые кольца: обзор // Математичш Студи. - 2005. - Т. 31; №2. - С. 115-128.

[2| Бурбаки Н. Коммутативная алгебра — М.: Мир, 1971. — 708 С.

[3] Джекобсон Н. — Строение колец. М.: Издательство иностранной литературы, 1961. - 392 с.

[4] Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. — М.: Наука, 1978. — 432 с.

[5] Желябин В.Н. Новые примеры простых йордановых супералгебр над произвольным полем характеристики ноль // Алгебра и анализ. — 2012. — Т. 24; №4. — С. 84-96.

[6] Зельманов Е.И. Абсолютные делители нуля и алгебраические йордановы алгебры // Сиб. мат журн. - 1982. - Т. 23; №6. - С. 100-116.

[7| Зельманов Е.И. Йордановы алгебры с делением // Алгебра и логика. — 1979. - Т. 18; №3. - С. 286-310.

[S] Зельманов Е.И. Йордановы алгебры с условием конечности // Алгебра и логика. - 1978. - Т. 17; №6. - С. 693-703.

[9] Зельманов Е.И. О первичных йордаповых алгебрах // Алгебра и логика. — 1979. - Т. 18; №2. - С. 162-175.

[10] Зельманов Е.И. О первичных йордаповых алгебрах II // Сиб. мат. журн. — 1983. - Т. 24; №1. - С. 93-104.

[11] Пожидаев А.П., Шестаков И.Г1. Некоммутативные йордановы еупералгебры степени п > 2 // Алгебра и логика. — 2010. — Т. 49; - С. 26-59.

[12] Скорняков Л.А. Альтернативные тела // Укр. матем. ж. — 1950. — Т. 2; №1.

- С. 70-85.

[13] Скосырский В. Г. Строго первичные некоммутативные йордановы алгебры // Исследования по теории колец и алгебр. Новосибирск: Наука, 1989. С. 131-163.

[14] Слинъко A.M. Замечание о радикалах и дифференциированиях колец // Сиб. мат. журн. - 1972. - Т. 13; №6. - С. 1395-1397.

[15] Шестаков PI.II. Первичные альтернативные супералгебры произвольной характеристики // Алгебра и логика. — 1997. — Т. 36; №6. — С. 675-716.

[L6] Albert A.A. On commutative power-associative algebras of degree two // Trans. Am. Math. So«. - 1953. - V. 74; .^2. - P. 323-343.

[17] Azumaya G. On maximally central algebras // Nagoya Math. J. — 1951. — V. 2.

- P. 119-150.

[18] Block R..E. Determination of the differentiably simple rings with a minimal ideal // Ann. of Math. - 1969. - V. 90; №3. - P. 433-459.

[19] Cheng S.-J. Differentiably Simple Lie Superalgebras and Representations of Semisimple Lie Superalgebras // J. Algebra. — 1995. - V. 173; №1. - P. 1-43.

[20| Harper L.R. On differentiably simple algebras // Trans. Am. Math. Soc. — 1960.

- V. 100; №1. - P. 63-72.

[211 Herstein I.N. Jordan Derivations of Prime Rings // Proc. Am. Math. Soc. — 1957. -V. 8; №6. - P. 1104-1110.

[22] Herstein I.N. On the Lie and Jordan Rings of a Simple Assosiative Ring // Amer. J. Math. - 1955. - V. 77; №2. - P. 279-285.

[23] Jacobson N. Structure and Representations of Jordan Algebras. AMS Colloquium Publications. - Providence: AMS, 1968. - V. 39. - 453 p.

[24] Jacobson N. Structure Theory of Jordan Algebras. The University of Arkansas Lecture Notes in Mathematics. — Arkansas: The University of Arkansas, 1981. — V. 5. - 312 p.

[25] Jordan P., von Neumann J., Wigner E. On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism // Ann. of Math. (2). — 1934. — V. 35; №1. — P. 29-64.

[26] Kleinfeld E. Simple alternative rings // Ann. of Math. - 1953. - V. 2; №58. -P. 544-547.

[27] Jacobson N. A Kronecker factorization theorem for Cayley algebras and the exceptional simple Jordan algebra // Amer. J. Math. - 1954. — V. 76; №2. — P. 447-452.

[28] Martinez C., Zelmanov E.I. Simple finite-dimensional Jordan superalgebras of prime characteristic // J. Algebra. - 2001. - V. 236; №2. - P. 575-629.

[29] McCrimmon K. A Taste of Jordan Algebras. — New York: Springer-Verlag, 2004.

- 562 p.

[30] Posner Е.С. Differentiably simple rings // Proc. Am. Math. Soc. — 1960. — V. 11; №3. - P. 337-343.

[31] Racine M.L. Central Polynomials for Jordan Algebras. I // J. Algebra. — 1976.

- V. 41; m. - P. 224-237.

|32] Raviankar T.S. On differentiably simple algebras // Рас. J. Math. — 1970. — V. 33; №3. - P. 725-735.

[33] Schafer R,.D. An introduction to nonassociative algebras — New York: Academic Press, 1966. - 166 p.

[34] Swan R.G. Vector bundles and projective modules // Trans. Amer. Math. Soc. — 1962. - V. 105; j\-2. - P. 264-277.

[35] Yuan S. Differentiably simple rings of prime characteristic // Duke Math. J. — 1964. - V. 31; №4. - P. 623-630.

[36] Zassenhaus H. Uber Liesche Ringe mit Primzahlcharakteristik (German) // Abh. Math. Sem. Hansische Univ. - 1939. - V. 13. - P. 1-100.

Работы автора по теме диссертации

[37] Попов A.A. Дифференциально простые альтернативные алгебры // Алгебра и логика. - 2010. - Т. 49; №5. - С. 670-689.

[38] Попов A.A. Дифференциально простые йордаповы алгебры // Сиб. ма.т. ж.

- 2013. - Т. 54; №4. - С. 890-901.

[39] Желябин В.Н., Попов A.A., Шестаков И.П. Координатное кольцо п-мерной сферы и некоторые примеры дифференциально простых алгебр // Алгебра и логика. - 2013. - Т. 52; №4.

(40] Жечябин В.Н., Попов A.A. Координатное кольцо n-мерной сферы и примеры дифференциально простых альтернативных алгебр. В кн.: Международная конференция Мальцевские чтения: тезисы докладов — Новосибирск: Институт математики им С.Л. Соболева СО РАН, 2012. — С. 106. — Режим доступа: http://www.matli.nsc.rU/conference/rrialmcet/l2/malmeet _2012.pdf.

[41] Попов A.A. Дифференциально простые альтернативные алгебры. В кн.: Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 39: Материалы Восьмой международной молодежной научной школы-конференции. — Казань: Казанское математическое общество, 2009. — С. 324.

[42| Popov A.A. Differentiably simple Jordan Algebras. В кн.: Международная конференция no теории колец, посвященная 90-летию со дня рождения А.И. Ширшова: тезисы докладов Новосибирск: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2011. - С. 40.

[43] Popo и A.A. Differentiably simple Jordan Algebras. В кн.: Алгебра и математическая логика: Материалы международной конференции, посвященной 100- ютию со дня рождения профессора В. В. Морозова — Казань: Казанский федеральный университет, 2011. — С. 228. — Режим доступа: http://www.vvmorozov2011.ksu.ru/bin_files/book_of_abstractsl56.pdf.