Строение полупростых алгебр Хопфа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Мухатов, Руслан Бактылбаевич

• Мухатов, Руслан Бактылбаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мухатов, Руслан Бактылбаевич

Содержание

Введение

Глава 1. Описание полупростых алгебр Хопфа с одним неодномерным неприводимым представлением

1.1. Определения и формулировки основных теорем

1.2. Ограничения на структуру алгебры

1.3. Описание алгебр Хопфа при помощи неприводимых проективных представлений абелевых групп

Глава 2. Строение полу простых алгебр Хопфа с одним неодномерным неприводимым представлением

2.1. Введение

2.2. Подалгебры и идеалы Хопфа

2.3. Групповые элементы

Глава 3. Полу простые алгебры Хопфа с неприводимыми неодномерными представлениями разных размерностей

3.1. Введение

3.2. Групповые элементы

3.3. Разложение модулей

3.4. Подалгебры и идеалы Хопфа в случае нескольких матричных компонент

Литература

Публикации автора по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Строение полупростых алгебр Хопфа»

Введение

Актуальность работы

Диссертация посвящена исследованию в области теории алгебр Хопфа. Рассматривается структура конечномерных полупростых алгебр Хопфа при некоторых ограничениях на количество и размерность их неприводимых представлений как алгебр.

Понятие алгебры Хопфа было введено и изучалось алгебраическими топологами как обобщение структуры из работы Хопфа [1] о многообразиях, допускающих операцию умножения (таких, как группы Ли). И большинство изучаемых в то время алгебр Хопфа представляли либо коммутативный, либо ко коммутативный случай. Но с появлением теории квантовых групп в 1980-х годах важной задачей стало изучение некоммутативных и некокоммутатив-ных алгебр Хопфа.

Математический объект под названием «квантовая группа» появился в работах П.П. Кулиша, Н.Ю. Решетихина [2], Е.К. Склянина [3] и Л.Д. Фадеева, Л.А. Тахтаджяна [4]. Квантовые группы применяются как в конкретных вычислительных приложениях в некоторых моделях статистической физики и квантовой механики, так и в крайне абстрактных приложениях в теории алгебраических групп, комбинаторике и геометрии над полями простой характеристики.

В работах В.Г. Дринфельда [5-8] квантовые группы рассмотрены как объекты, полученные в результате квантования групп Ли, так превращенных в пуассоново многообразие, что скобка Пуассона согласована с групповым умножением. Также в результате применения этого подхода был получен обширный запас так называемых квантовых /¿-матриц, т.е. матриц размера

п2 х п2, удовлетворяющих квантовому уравнению Янга-Бакстера

г> 12 п23 г)12 _ г>лб г)1г г>1б

Л Л Л — ДЛЯ,

где Я12 = Я ® 1 и Я23 = 1 <8) Я.

Результаты применения этого подхода удобно формулировать в терминах алгебр Хопфа.

Мы будем рассматривать алгебры Хопфа над алгебраически замкнутым полем к. По определению, кроме умножения т : Я 0 Я —)• Я и единицы и : к —>■ Я в алгебре Хопфа Я заданы /с-линейные операции коумножения Д : Я —> Я 0 Я, согласованного с т, и коединицы £ : Я —/с, а также антипода 5 : Я —>• Я, согласованного с умножением и коумножением, а именно, коммутативны следующие диаграммы. Ассоциативность алгебры с единицей:

т®г(1

23 п12 п23

Я 0 Я 0 Я

гс1<Е>т

н®н—

н®н

я® я

А;® Я

т

Я

Я 0 /с

Коассоциативность коалгебры с коединицей:

Я

я®я

гс£®Д

я® я® я

/с 0 Я

Я ® /с

Согласованность умножения и коумножения:

Я 0 Я

Я

д®д

Н ® Н ® Н ® Н

н®н

т®т

н ® н ® н ® н

Условия на единицу и коединицу:

Я® Я

Н®Н

к®к = к Условия на антипод:

к

¡а

Я

к ® к = к к

Наряду с содержательными (топологическими) примерами алгебр Хопфа имеются и тривиальные примеры, а именно, с каждой группой С ассоциируется ее групповая алгебра кС, с каждой алгеброй Ли Ь ассоциируется ее универсальная обертывающая алгебра II(Ь). В первом случае коумноже-ние Д получается продолжением по линейности соотношений А (д) = д ® д, 3{э) = 9~1 Для всех 9 £ С, а во втором случае для каждого х из Ь полагаем А(х) — 1 ® ж + а; <£) 1, 5(ж) = — х и продолжаем А на всю алгебру II(Ь) по мультипликативности. Таким образом, мы получаем примеры ко коммутативных алгебр Хопфа. Кроме того, алгебраические группы могут быть описаны в терминах алгебр Хопфа регулярных функций. Такие алгебры Хопфа являются коммутативными. Некоммутативной алгебре Хопфа отвечает «некоммутативное многообразие», удовлетворительно описать которое с топологической точки зрения пока не представляется возможным.

Теория квантовых групп дает примеры некоммутативных и некокомму-тативных алгебр Хопфа, являющихся в некотором смысле деформациями коммутативных алгебр функций на группах и, соответственно, кокоммута-тивных универсальных обертывающих алгебр Ли этих групп. Популярность теории квантовых групп повлияла на развитие теории алгебр Хопфа и ее приложений. В частности, весьма актуальной задачей стало описание и классификация конечномерных алгебр Хопфа, не являющихся ни коммутативными, ни ко коммутативными.

Среди алгебр Хопфа выделяются два больших класса — точечные и полупростые алгебры. В классификации конечномерных точечных алгебр Хопфа получен существенный прогресс Н. Андрушкиевичем и Х.Ю. Шнейдером. В настоящей работе рассматриваются полупростые конечномерные алгебры Хопфа, имеющие как алгебры неодномерные неприводимые представления разных размерностей. В некотором смысле это минимальный некоммутативный и некокоммутативный случай.

В области описания и классификации полупростых конечномерных алгебр Хопфа уже получено много существенных результатов. Из работ [9-12] известно, что полупростые алгебры Хопфа размерности р, и рд, где р, д — различные простые числа, над алгебраически замкнутым полем к нулевой характеристики являются тривиальными, то есть изоморфны либо некоторой групповой алгебре, либо дуальной к групповой алгебре. В статье [13] показано, что полупростые алгебры Хопфа размерности р3 распадаются на р + 8 классов изоморфизма.

На алгебре Хопфа Н определяются левое и правое действия / х и х / элементов / Е Н* на х € Н, которые задаются по следующему правилу: если

х

то / -А х = Х(1) (/, Х{2)) 5 Ж ^ / = ^ (/; Ж(1)) Ж(2).

Теорема 0.1 ([13]). Для нечетного простого числа р существует р + 8 классов изоморфизма полупростых алгебр Хопфа размерности р3 над полем С.

Единственной нетривиальной полупростой алгеброй Хопфа размерности 8 над полем С является алгебра Каца из работ [14, 15], обладающая как алгебра четырьмя одномерными представлениями и одним двумерным неприводимым представлением.

А именно, Н = ф5€сА;е5фМа1(2, к), где С = Ъ2 = (а)2 х (Ь)2. Пусть Ад — неприводимое проективное представление группы задаваемое сле-

(о г\ Л) Л

дующими равенствами: Аа = , Аь = . Тогда коумножение

V1 Ч V V

А, коединица е и антипод 5 определяются выражениями:

л(ез) = + Ад, Ад £ М&Ь{2,к) <8) Ма1(2, /с),

Д(ж) = х) ® ед + ед ® (х д)], х е Ма^2, к),

дес

е(ед) = 6дЛ, е(х) = 0, жGMat(2,A;),

5(У) = Iе»"" У = 3е°

[V, уеМйф,к),

где для всех д £ С выполняется:

д X = АдхАа-1

х^д = ьАдх1Аа-1.

д-ьлд-1,

Ат

Для формулировки следующих теорем напомним понятие скрещенного

произведения. Пусть Н и Т — алгебры Хопфа, . : Н ® Т —> Т — левое слабое действие алгебры Хопфа Н на Т, то есть

/¿.(¿в) = {ЫА){1ь2 .в),

/1.1 = е(/г)1, 1.* =

для всех /г 6 Я. 5 6 Т. Пусть также а : Н (£) Н Т — нормализованный 2-коцикл, а именно

сг(М) = сг(1, Л,) =£(/г)1, [/г1.сг(/ь т1)]сг(/г2; ¿2га2) = а^Л^а^Ь.т) для всех /г, т Е Я, таких что

для всех £ Е Т, /г, /, га € Н.

Тогда векторное пространство Т®Н становится алгеброй с умножением

{гфЬ){и№) = ¿(/гьиМ/гзЛ^Мг,

для всех и Е Т, /г, / Е Н. Единица алгебры — 1#1. Здесь через обозначается элемент £ <8> /г Е Т <§) Н.

Пусть теперь выполняются условия:

£ о ст = £ 0

Ат{Ь.Ь) = /^.г1 0 /г2.£2, = г{К)е{1) для всех КеН^еТ,

/г2 0 /г-1 = Ь,\® НчЛ, для всех /г Е £ Е Т, /г2/2 ® <т(/гь /1) = 0 сг(/г2. /2) для всех КЛ Е Н,

A(a(h, l)) = a(hi, l\) (g) a(h2, /2) Для всех h,l E H,

S(t#h) = a-1(1S(/i3)>4)(5(/i2).5'r(i))#5(/i1) для всех h E H,t E T.

Векторное пространство T ® H с этой структурой называется скрещенным произведением алгебр Хопфа, оно является алгеброй Хопфа и обозначается через ТфаН.

Классификация полупростых алгебр Хопфа размерности pqr над полем С, где р, g, г — различные простые числа, получена в работе [16].

Теорема 0.2 ([16, Следствие 9.4]). Пусть H — полупростая алгебра Хопфа размерности pqr над полем С; где р < q < г — простые числа. Тогда существует конечная группа G порядка pqr и точная факторизация G = KL группы G в произведение подгрупп, такие что H является расщепляемым абелевым расширением H(G, К, L, 1,1,1) = С [К] xFun(L); ассоциированным с данной факторизацией.

В статье [17] получено уточнение этой классификации в частном случае, когда H не является простой как алгебра Хопфа, р < q < г — простые числа и pq < г.

Теорема 0.3 ([17, Теорема 3.5]). Пусть H — полупростая алгебра Хопфа размерности pqr над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, где р < q < г — простые числа и pq < г. Пусть H не является простой как алгебра Хопфа. Если H нетривиальна, то г = l(mod pq) и H изоморфна одной из алгебр Ar(p,q) или Ar(p,q)* Ar(q,p), где Ar(p.q) задается конструкцией из работы [18]:

Пусть G.T. N — циклические группы порядка q.r и р соответственно. Пусть mut— такие числа, что m.t Ф l(mod р) и тя = f = l(mod р). Пусть [а ] E H2(G, Г). Тогда алгебра H = kN xi ^ является нетри-

виальной алгеброй Хопфа размерности pqr со следующими умножением и

коумножением:

(хг^6и^д1)(хк#8ифдк) = хг+кт1 А(х1#6и1#д1) = хгЩифд1 ® хи~е#ёи«#д1

5+о;=^(тос1 г)

для всех 0 ^ г. к ^ р — 1, О ^ ^ г — 1, О ^ /г ^ д — 1, где

обозначает элемент, обратный к ^ в (Х/(п))х.

Полупростая алгебра Хопфа Н называется фробениусовой, если размерность любого простого //-модуля делит размерность алгебры Н. И. Каплан-ский выдвинул гипотезу о том, что все полу простые алгебры Хопфа являются Фробениусовыми. В общем случае эта задача остается открытой, хотя получен утвердительный ответ в квазитреугольном случае [19]. В следующих работах, классифицирующих полупростые алгебры Хопфа определенных размерностей, предположение о том, что алгебра является фробениусовой, играет существенную роль.

В статьях [20, 21] классифицированы полупростые алгебры Хопфа размерности рд2, где р, д — различные простые числа.

Теорема 0.4 ([22, Теорема 5.4.2]). Пусть Н — полупростая алгебра Хопфа размерности рд2 над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, где р > д — различные простые числа. Предположим, что алгебры Н и Н* являются фробениусовыми. Тогда р = 1(тос1 д) и Н изоморфна одной из самодвойственных алгебр Хопфа Л1, 0 ^ I ^ д — 1.

Здесь алгебра Хопфа Л1 строится следующим образом. Рассмотрим изоморфизм ^/д ~ Н2(Z/g.Z/g); определенный отображениями I > [07], где : х Х/д —^Ъ/ц — это 2-коцикл, определенный соотношением

<71(9\93)= Ф13;

для всех 0 ^ г,] ^ ¿7 — 1- Здесь — частное от 1 + 3 при делении на ц. Пусть Г = - единственная с точностью до изоморфизма

неабелева группа порядка рд, Г = (Ь,а : ЬР = а4 = 1 \aba~1 = Ъг), где £ — первообразный корень степени д из единицы по модулю р. Тогда алгебра Хопфа А[ изоморфна скрещенному произведению

Л = кТ^а1кЪ/д,

соответствующему действию групповыми автоморфизмами о : Г х Z/g —> Г; определенному соотношениями:

Ь <1 д — Ьт. а<зд = а,

где д — порождающий элемент группы и т — некоторый фиксированный первообразный корень степени д из единицы по модулю р.

Алгебра Хопфа Н называется полуразрешимой снизу, если существует конечная последовательность подалгебр Хопфа Нп+\ = к С Нп С ... С Н\ = Н, такая что Нг+\ — нормальная подалгебра Хопфа в Нг для всех г, и все факторалгебры Нг := Н1+\/тривиальны.

Аналогично, алгебра Хопфа Н называется полуразрешимой сверху, если существует конечная последовательность факторалгебр Хопфа Н(0) = Н Нщ —»•...—>• Н(п) — к, такая что каждое из отображений —> Н^

нормально, и все факторалгебры Нг := Н^^ тривиальны. Здесь, —

пространство коинвариантов отображения ттг.

В работе [23] описаны возможные конструкции алгебр Хопфа размерности. меньшей 60, и показано, что все они являются полуразрешимыми сверху или снизу с точностью до перестановки коцикла.

Теорема 0.5 ([23, Теорема 1]). Пусть Н — полупростая алгебра Хопфа раз-

мерности < 60. Тогда Н полуразрешима либо сверху, либо снизу с точностью до перестановки коцикла.

В статьях [24] и [25] получены результаты, касающиеся классификации полу простых алгебр Хопфа размерности рд3.

Пусть Н — алгебра Хопфа на полем к с биективным антиподом. Векторное пространство V над полем к называется левым модулем Йеттера-Дрин-фельда над Н, если:

• {V,.) — левый Я-модуль, где . : Н ® V —»• V обозначает левое действие Н на У;

• (V, 5) — левый Н-комодулъ, где 5 -.V —ь Н ®У обозначает левое кодей-ствие Н на У;

• отображения . и 6 удовлетворяют условию д(Ь.ь) = /г(1)г;(_1)5(^(з)) <8> ^(2)^(0) Для всех ^ £ н, v £ v,

где (А ® гё)А(Н) = ® Н^) ® е Н ® Н ® Н и д(ь) = г;(-1) ®

Моноидальная категория, состоящая из всех модулей Йеттера-Дринфель-да над алгеброй Хопфа Н с биективным антиподом, называется категорией Йеттера-Дринфельда и обозначается через дУТ>. Модуль Йеттера-Дринфель-да называется сплетенной алгеброй Хопфа в категории Йеттера-Дринфельда нУТ>, если:

• (Я,.,?]) — унитальная ассоциативная алгебра, причем . и г] являются гомоморфизмами модулей Йеттера-Дринфельда;

• (Л,Д,<е) — коассоциативная коалгебра с коединицей е, причем А и £ являются гомоморфизмами модулей Йеттера-Дринфельда;

• отображения Ли е являются гомомофизмами алгебр в категории ^УТ>, где структура алгебры Я®Я задается единицей г]®г] и умножением (Я® Я)х(Я®Я) ->• {Я®Я), (гфвЛфи) ^ и ф<8>£) = 52г£г<8> йг; здесь с — каноническое сплетение в категории Йеттера-Дринфельда

а именно с(г> <8) гу) = И(_1).и) ® г>(о);

• существует морфизм модулей Йеттера-Дринфельда Б : Я Я, такой что = для всех г Е Д.

Бипроизведением Рэдфорда алгебр Хопфа Д и Я в ^УТ> называется сплетенная алгебра Хопфа ЯфН, содержащая в качестве подалгебры и Н в качестве подалгбры Хопфа. Как векторное простанство, Я#Н = Я® Н. Структура алгебры задается соотношением

(г#/1)(г/#/г/) = г(/г(1)У)#/1{ 2)Л',

где г,г' £ Я, Н, Н' £ Н, . : Н ® Я ^ Я — левое действие Н на Я. Копроизве-дение определяется соотношением

Д(г#/0 = (г^^г^ад ® 2)), геялен.

Теорема 0.6 ([25, Теорема 3.6]). Пусть Н — полупростая алгебра Хопфа размерности рд3; где р. д — простые числа, р > д3. Тогда Н либо полуразрешима (сверху или снизу), либо изоморфна бипроизведению Рэдфорда ЯфА, где А — полупростая алгебра Хопфа размерности д2,, Я — полупростая алгебра Хопфа Йеттера-Дринфельда размерности р в категории дУТ>.

Тем не менее задача описания полупростых алгебр Хопфа в общем виде еще далека от полного разрешения. В связи с этим важной задачей является получение различных примеров полупростых алгебр Хопфа.

В настоящей работе изучаются алгебры Хопфа, обладающие как алгебры одним неприводимым неодномерным представлением и максимальным порядком группы групповых элементов в дуальной алгебре Хопфа. Изучение таких алгебр Хопфа мотивировано следующим результатом, полученным в теории комплексных представлений конечных групп.

р-группа 6? называется экстраспециальной, если = р и

является нетривиальной элементарной абелевой ^-группой, то есть р-группой, каждый нетривиальный элемент которой имеет порядок р.

Группа С называется группой Фробениуса, если она является транзитивной группой перестановок на конечном множестве, такой что ни один нетривиальный элемент не оставляет неподвижной более, чем одну точку, и при этом некоторый нетривиальный элемент оставляет неподвижной ровно одну точку. Фробениусовым дополнением называется подгруппа группы С?, состоящая из элементов, оставляющих неподвижной хотя бы одну точку. Фробениусовым ядром называется подгруппа группы С, состоящая из единичного элемента и всех элементов группы С, не попадающих ни в одну из подгрупп группы С, сопряженных с фробениусовым дополнением.

Теорема 0.7 ([26]). Пусть — неабелева группа, такая что для любого п > 1 существует не более одного неприводимого представления группы размерности п. Тогда С является одной из следующих групп.

1. С является экстраспециальной 2-группой порядка 22т+1; обладающей ровно одним неприводимым представлением размерности 2т.

2. С является 2-транзитивной фробениусовой группой порядка д-^ (д-^ — 1); где д — простое число, с фробениусовым ядром С порядка дЛ Группа С имеет д^ — 1 одномерных представлений и одно представление размерности д-^ — 1.

3. G является 2-транзитивной фробениусовой группой порядка 12 с фро-бениусовым ядром F. Группа G/F — группа кватернионов порядка 8. Группа G имеет 4 одномерных представления и два неприводимых представления размерностей 2 и 8.

Кроме того, заметим, что компактные группы §U(2,C), SO(3.R) также обладают не более, чем одним неприводимым представлением для любой заданной размерности представления.

Теоретическая и практическая ценность

Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах высшей алгебры, алгебраической геометрии, линейной алгебры, теории групп.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Рассмотрены полу простые конечномерные алгебры Хопфа с одним неприводимым неодномерным представлением и максимальным порядком группы групповых элементов в дуальной алгебре Хопфа, получено их описание с помощью неприводимых проективных представлений абелевых групп (теоремы 1.4, 1.7). Описаны их факторалгебры Хопфа (теоремы 2.1, 2.4) и групповые элементы при некоторых условиях на антипод S (теорема 2.6). При рассмотрении их подалгебр Хопфа получены новые серии алгебр Хопфа.

2. Рассмотрены полупростые конечномерные алгебры Хопфа, у которых неодномерные неприводимые Н-модули одной размерности изоморфны. Получена характеризация групповых элементов таких алгебр (теорема 3.4). Описаны факторалгебры Хопфа таких алгебр (теорема 3.8). Получено уточнение для случая с двумя неодномерными неприводимыми

//-модулями разных размерностей (теорема 3.9).

3. Разработаны методы исследования строения полупростых алгебр Хопфа с использованием матричных градуировок (теоремы 3.4, 3.6).

Благодарность

Автор благодарит своего научного руководителя, доктора физико-математических наук, профессора Артамонова Вячеслава Александровича, за постановку интересной задачи и внимание к работе, а также всех сотрудников кафедры высшей алгебры за творческую атмосферу, способствующую научной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мухатов, Руслан Бактылбаевич, 2013 год

Литература

1. Hopf Н. Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen // Ann. of Math. 1941. Vol. 42. P. 22-52.

2. Кулиш П. П., Решетихин Н. Ю. Квантовая линейная задача для уравнения синус-Гордона и высшие представления // Зап. научн. семин. Jle-нингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. 1981. Т. 101. С. 101-110.

3. Склянин Е. К. О некоторых алгебраических структурах, связанных с уравнением Янга-Бакстера // Функц. анализ и его прил. 1982. Т. 16, № 4. С. 27-34.

4. Faddeev L. D., Takhtajan L. А. А Liouville modell on the lattice // Lect. Notes Math. Phys. 1986. Vol. 246. P. 166-179.

5. Дринфельд В. Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрический смысл классических уравнений Янга-Бакстера // Доклады АН СССР. 1983. Т. 268, № 2. С. 285-287.

6. Дринфельд В. Г. О постоянных квазиклассических решениях квантового уравнения Янга-Бакстера // Доклады АН СССР. 1983. Т. 273, № 3. С. 531-535.

7. Дринфельд В. Г. Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера // Доклады АН СССР. 1985. Т. 283, № 5. С. 1060-1064.

8. Дринфельд В. Г. Квантовые группы // Зап. научн. семин. Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. 1986. Т. 155. С. 19-49.

9. Etingof Р., Gelaki S. Semisimple Hopf Algebras of Dimension pq are Trivial // J. Algebra. 1998. Vol. 210. P. 66-669.

10. Gelaki S., Westreich S. On semisimple Hopf algebras of dimension pq // Proc. Amer. Math. Soc. to appear.

11. Masuoka A. Semisimple Hopf algebras of dimension 2p // Comm. Algebra. 1995. Vol. 23. P. 1931-1940.

12. Zhu Y. Hopf algebras of prime dimension // Internat. Math. Res. Notices. 1994. Vol. 1. P. 53-59.

13. Masuoka A. Self-dual Hopf algebras of dimension p3 obtained by extension // J. Algebra. 1995. Vol. 178. P. 791-806.

14. Кац Г. И. Расширения групп, являющиеся кольцевыми группами // Мат. сб. 1968. Т. 76(118), № 3. С. 473-496.

15. Кац Г. И., Палюткин В. Г. Конечные кольцевые группы // Тр. ММО. 1966. Т. 15. С. 224-261.

16. Etingof P., Nikshych D., Ostrik V. Weakly group-theoretical and solvable fusion categories // ArXiv e-prints. 2008. arXiv/0809.3031.

17. Dong J., Dai L. Classification of a class of semisimple Hopf algebras. //J. Qufu Norm. Univ., Nat. Sci. 2011. Vol. 37, no. 3. P. 15-20.

18. Andruskiewitsch N., Natale S. Examples of self-dual Hopf algebras //J. Math. Sci., Tokyo. 1999. Vol. 6, no. 1. P. 181-215.

19. Etingof P., Gelaki S. Some properties of finite-dimensional semisimple Hopf algebras // Math. Res. Lett. 1998. Vol. 5. P. 191-197.

20. Natale S. Semisimple Hopf algebras of dimension pq2 //J. Algebra. 1999. Vol. 221. P. 242-278.

21. Natale S. On Semisimple Hopf Algebras of Dimension pq2, II // Algebras and Representation Theory. 2001. Vol. 4, no. 3. P. 277-291.

22. Natale S. On Semisimple Hopf Algebras of Dimension pqr // Algebras and Representation Theory. 2004. Vol. 7, no. 2. P. 173-188.

23. Natale S. Semisolvability of semisimple Hopf algebras of low dimension. Memoirs of the American Mathematical Society. American Mathematical Society, 2007.

24. Dong J., Dai L. Semisimple Hopf algebras of dimension 2q3 // ArXiv e-prints. 2011. arXiv/1105.4398.

25. Dong J. Structure theorems for semisimple Hopf algebras of dimension pq3 // ArXiv e-prints. 2011. arXiv/1102.3770.

26. Berkovich Y., Chillag D., Herzog M. Finite Groups in which the Degrees of the Nonlinear Irreducible Characters are Distinct // Proceedings of the American Mathematical Society. 1992. Vol. 115, no. 4. P. 955-959.

27. Артамонов В. А. О полупростых конечномерных алгебрах Хопфа // Мат. сб. 2007. Т. 198, № 9. С. 3-28.

28. Artamonov V. A., Chubarov I. A. Dual algebras of some semisimple finite dimensional Hopf algebras // Modules and Comodules. Trends in Mathematics. Basel/Switzerland: BirkhEauser Verlag, 2008. P. 65-85.

29. Artamonov V. A., Chubarov I. A. Properties of some semisimple Hopf alge bras // Algebras, representations and applications. A conference in honour of Ivan Shestakov's 60th birthday, August 26 — September 1, 2007, Mare-sias, Brazil / Ed. by I. К. V. Futorny, V. Kac, E. Zelmanov. Vol. 483 of Contemporary Mathematics. Providence: Amer. Math. Soc., 2009. P. 23-36.

30. Tambara D., Yamagami S. Tensor categories with fusion rules of self-duality for finite abelian groups // J.Algebra. 1998. Vol. 209. P. 692-707.

31. Жмудь E. M. Симплектические геометрии и проективные представления конечных абелевых групп // Мат. сб. 1972. Т. 87(129), № 1. С. 3-17.

32. Пунинский Е. Г. Групповые элементы некоторых полупростых конечномерных алгебр Хопфа // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2010. № 5. С. 15-20.

33. Artamonov V. A. On semisimple Hopf algebras with few representations of dimension greater than one // Revista de la Union Matematica Argentina. 2010. Vol. 51, no. 2. P. 91-105.

34. Montgomery S. Hopf Algebras and Their Actions on Rings. Iss. Regional Conference Series in Mathematics, no. 82. Providence RI: Conference Board of the Mathematical Sciences, 1993.

35. Natale S., Plavnik J. Y. On fusion categories with few irreducible degrees // Algebra and Number Theory. 2012. Vol. 6, no. 6. P. 1171-1197.

36. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: М.: Наука. 1969.

Публикации автора по теме диссертации

37. Мухатов Р. В. О полу простых конечномерных алгебрах Хопфа / / Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2011. № 1. С. 60-63.

38. Мухатов Р. Б. Подалгебры и идеалы Хопфа некоторых полупростых алгебр Хопфа // Матем. заметки. 2012. Т. 92, № 6. С. 904-911.

39. Мухатов Р. Б. О полу простых конечномерных алгебрах Хопфа // Фунд. и прикл. матем. 2009. Т. 15, № 2. С. 133-143.

40. Мухатов Р. Б. О структуре полупростых алгебр Хопфа // Рукопись деп. в ВИНИТИ 17.10.2012, № 405-В2012. - 17 с.