Вырождение подалгебр Бете в янгианах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Ильин Алексей Игоревич

• Ильин Алексей Игоревич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Ильин Алексей Игоревич

Оглавление

Введение

4

Список литературы

20

Заключение

22

Приложение A. Статья 1. "Degeneration of Bethe subalgebras in the Yangian

of gin"

Приложение B. Статья 2. "Bethe Subalgebras in Yangians and the Wonderful Compactification"

Приложение C. Статья 3. "О максимальности некоторых коммутативных подалгебр Янгианов"

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вырождение подалгебр Бете в янгианах»

Введение

Краткое содержание работы. Пусть g - произвольная простая комплексная алгебра Ли, G - соответствующая присоединённая группа. Янгиан Y(g) для простой алгебры Ли g - это алгебра Хопфа, деформация универсальной обёртывающей алгебры U (g[t]).

В настоящей работе определяется семейство коммутативных подалгебр Бете B(C) С Y(g),C G G. Доказывается, что если элемент C G G - регулярный, то подалгебры являются свободными, а если элемент C G G - регулярный полупростой, то максимальными коммутативными подалгебрами янгиана.

Исследуются два способа компактифицировать пространство параметров Greg подалгебр Бете - конструкция предельных подалгебр, дающая плоское семейство подалгебр и чудесная компактификация группы G, которая даёт неплоское семейство подалгебр. Описываются подалгебры, соответствующие общим точкам в каждом страте чудесной компак-тификации группы G.

В случае g = sln описано пространство параметров замыкания семейства подалгебр, параметризованных регулярными полупростыми элементами. Также описано устройство предельных подалгебр в терминах подалгебр Бете меньшего янгиана и алгебр сдвига аргумента универсальной обёртывающей алгебры.

В процессе доказательства также исследуются некоторые вопросы теории янгианов, недостаточно освещённые в литературе: связь различных фильтраций, вложение янгиана для подалгебры Леви в RTT-реализации, связь образующих в RTT реализации с ABC -образующими янгиана.

Историческая справка. Янгиан Y(g) для произвольной простой алгебры Ли g был определён В. Дринфельдом в его работе [D1], в то время как янгиан для алгебры sln (точнее, gln) появился несколько ранее в работах Л.Д. Фаддеева и ленинградской школы, см., например, [TF]. Отметим, что исторически открытие янгианов связано с построением рациональных решений уравнения Янга-Бакстера, см. параграф 1.8.

Подалгебры Бете в янгиане sln определены в работе [NO], см. также более ранние работы ленинградской школы, например, [KR]. В янгианах ортогональной и симплектической алгебр Ли эти подалгебры рассматривались в работе [M1]. См., также, [D2], [MO].

Постановка задачи описания предельных подалгебр восходит к работе Э. Б. Винберга

[Vi].

Приложения теории янгианов. Теория янгианов имеет множество различных приложений в математике. Отметим лишь некоторые из них:

• Квантовые интегрируемые системы, см. например [L];

• Геометрическая теория представлений, в частности, колчанные многообразия, алгебры Холла, квантование срезов в аффинном грассманиане, см. [MO], [SV], [KWWY];

• Представления классических алгебр Ли, см., например, [M2].

Это введение устроено следующим образом:

• Раздел 1 посвящен определению янгиана и не содержит результатов диссертации, кроме параграфа 1.27;

• Раздел 2 основан на работах [IR2], [I] и посвящён определению подалгебр Бете в янгиане Y(g), а также описанию некоторых свойств этих подалгебр;

• Разделы 3 и 4 основаны на работе [IR2] и посвящены двум естественным способам расширить пространство параметров подалгебр Бете;

• Раздел 5 основан на работе [IR] и содержит в себе описание некоторого класса предельных подалгебр в случае g = stn(gln).

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, Л.Г. Рыбникову, за постановку задачи и постоянную совместную работу. Автор благодарит НИУ ВШЭ и Международную лабораторию математической физики и теории представлений за создание условий для работы над диссертацией и поддержку поездок на научные конференции и стажировку. Автор также благодарен Р. Безрукавникову и П. Этингофу за предоставленную возможность весной 2017 года пройти стажировку на факультете математики MIT.

1. ЯНГИАН для простой АЛГЕБРЫ Ли. В этом разделе мы следуем работам [D1], [D3], [W], [CP], [ES].

1.1. Обозначения. Пусть g - простая комплексная алгебра Ли, h С g - картановская подалгебра, h С b С g - борелевская подалгебра, g[t] - соответствующая алгебра Ли токов, то есть алгебра Ли полиномиальных отображений C ^ g.

Пусть Ф обозначает соответствующую алгебре Ли g систему корней, Ф+ - положительные корни, {ai,..., ап} - простые корни, {wi,..., w„| - фундаментальные веса, (•, •) — инвариантное скалярное произведение такое, что (а, а) = 2 для коротких простых корней, ga - соответствующие корневые подпространства алгебры Ли g, xa G ga, x_ G g_a такие, что (xa,x_) = 1, tUi G h - элемент, соответствующий wi при помощи инвариантного скалярного произведения. Аналогично hi — это элемент соответствующий aj. Положим di = . Наконец, пусть ea G C[T] - мономиальная функция, заданная корнем а.

1.2. Определение янгиана. Янгиан Y (g) - это исторически один из первых примеров квантовых групп, то есть некоммутативных и некокоммутативных алгебр Хопфа, см. [D2]. Точнее, янгиан - это единственная однородная деформация универсальной обёртывающей алгебры U(g[t]) в классе алгебр Хопфа. Перейдем к точным формулировкам.

Пусть V - векторное пространство над C. Положим V[[h]] = {^n>0 vnhn}. Ясно, что V[[h]] естественным образом является С[[Л.]]-модулем.

Определение 1.3. Модуль M над C[[h]] называется топологически свободным, если M ~ V[[h]] для некоторого векторного пространства V.

Определение 1.4. Пусть A - алгебра Хопфа над полем комплексных чисел. Деформацией A в классе алгебр Хопфа называется алгебра Хопфа A0 над кольцом формальных степенных рядов C[[h]], такая что

1) A0 - топологически свободный C [[h]] -модуль;

2) A0/hA0 ~ A как алгебра Хопфа.

Пусть (A, Д) - деформация алгебры Хопфа U(g1), где g1 - произвольная алгебра Ли. Предложение 1.5. Алгебра Ли g1 обладает естественной структурой биалгебры Ли

¿(x) = Д(^ -ДОР(x) (mod h), h

где x - произвольное поднятие x в A.

Пусть теперь gi = g[t]. Известно, что на алгебре Ли g[t] имеется естественная структура биалгебры Ли, которую в дальнейшем будем обозначать А именно, пусть x G g[t]. Тогда

П

ix(u) »1 + 1 » adx(v) ' '

¿(x)(u, v) = (adx(„) »1 + 1 » adx(v)) ^)

Здесь И - элемент Казимира ит.е. И = ^2л жл <8> хл, где |жл}лел - произвольный ортонормированный базис g.

Будем называть деформацию универсальной обёртывающей алгебры и(д[4]) деформацией биалгебры Ли (д[4],6), если индуцированная структура биалгебры Ли на д[4] совпадает с 6.

Заметим, что д[4] - градуирована степенями 4 и 6 является однородным отображением степени -1.

Определение 1.6. Деформация и^(д[£]) биалгебры Ли (д[4],6) называется однородной, если она

1) Градуирована над кольцом C[[Н]](deg Н = 1);

2) и^(д[4])/Ни^(д[4]) — и (д[4]) как градуированная алгебра.

Теперь мы можем сформулировать утверждение об единственности.

Теорема 1.7. Существует единственная однородная деформация и^(д[£]) биалгебры Ли (д[4],6). Как ассоциативная алгебра с единицей эта алгебра топологически порождена {х, 7(х) | х € д} со следующими соотношениями

ху - ух = [х, у], 7([х,у]) = [7(ж), у], 7 (сх + ¿у) = с7 (х) + (у), [7(х), [7(у), г]] - [х, [7(у), 7(г)]] = Н2 ^ ([х,хА], [[у,хм], [г,х„]]){хА,хм, },

[[7(х), 7(у)], [г, 7Н]] + [[7(г), 7(ад)], [х, 7(у)]] = = Н2 (([х,хА], [[у, хм], [[г, ]]) + ([г,хА], [[ад,хм], [[х,у],х„]])) {хА,хм, 7(х„)}

для всех х, у, г, ад € д и с, й € С, где {хА}Аел некоторый ортонормированный базис д, {х1,х2,хз} = 24 2пее3 хп(1)хп(2)хп(з) для всех хьх2,хз € и^(д[г]).

Пусть О = ^2А хА ® хА € и(д) ® и(д),ш = ^А хА € и(д) - элементы Казимира, с0 -значение элемента Казимира ш на присоединённом представлении.

Структура алгебры Хопфа на и^(д[£]) задаётся следующими формулами

Дь(х) = х ® 1 + 1 ® х, Дь(7(х)) = 7(х) ® 1 + 1 ® 7(х) + 1 Н[х ® 1,0],

#ь(х) = -х, 5ь(7(х)) = -7(х) + 1 с0х, £ь(х) = £^(7 (х)) = 0.

Градуировка на и^(д [£]).'

deg(x) = 0, deg(J(х)) = 1.

Заметим, что определяющие соотношения и отображения Д^,$й,£й не содержат степенных рядов, поэтому мы можем положить Н равным любому комплексному числу. Если Н = 0, то ио(д[4]) — и(д[4]). Если Н = 0, то очевидно, что для любых С1, С2 € С имеет место изоморфизм ис1 (д[4]) — ис2 (д[4]). Положим Н =1 и обозначим через У (д) алгебру и1(д[4]).

1.8. J-реализация и универсальная R-матрица. Алгебра Y(g) - это J-реализация янгиана. Выбирая произвольный базис алгебры Ли g мы видим, что янгиан Y(g) - конеч-нопорождённая алгебра.

Для любого c € C определим автоморфизм тс алгебры Y(g) следующим образом:

x ^ x, J (x) ^ J (ж) + cx Vx € g.

Для любых a, b € C положим та ь := та < т&.

Одной из ключевых в теории янгианов и для наших целей является следующая

Теорема 1.9. Существует единственный ряд

R(u) = Id + ^ R(k)u-k € (Y(g) <g> Y(g))[[u-1]], fc^l

удовлетворяющий следующим свойствам

1) (id®Д)Д(м) = R12(u)R13(u);

2) то^Д0^) = R^)-1^^^))^) для любого x € Y(g), где Дор = ДоP, P(a<b) = b<a для всех a, b € Y(g).

Этот ряд называется универсальной R-матрицей и удовлетворяет квантовому уравнению Янга-Бакстера

R12(u - «)Д?1з(и)Д?2з(«) = Д2зНД1з(«).Й12(м - v),

а также

i?12(u)i?21(-u) = 1, та,ьД(м) = R(u + b — a),

R(u) = 1 + Пм-1 + ^ (J(xA) < xA — xA < J(xA)) u-2 + 1^2u-2 + O(u-3). л

Замечание. Пусть (p, V) - некоторое представления янгиана. Заметим, что вычисление универсальной R-матрицы в любом представлении янгиана даёт 'решение уравнения Янга-Бакстера с коэффициентами в End (V) < End (V)[[h-1]]. Известно, что с точностью до умножения на элемент кольца C[[u]] ряд (p < p)R(u) - рациональная функция, см. [D1]. Описание того, какие рациональные решения уравнения Янга-Бакстера получаются таким образом, см. [D1] или [CP].

1.10. Новая или токовая реализация янгиана. J-реализация янгиана позволяет задать янгиан конечным числом образующих и определить коумножение, но плохо подходит для изучения представлений. В связи с этим В. Дринфельд в своей работе [D3] вводит новую или токовую реализацию янгиана.

Определение 1.11. Янгиан - это алгебра Хопфа с единицей над полем С по-

рождённая элементами {е(г), | г = 1,..., п; г ^ 1} и следующими определяющими

соотношениями:

[h(s),hs)]=o, [e(r) ,if]= % h(r+s-1),

[Ь,(1),е<в)] = (а*,а:,. )ejs), [h(r+1),e(s)] — [h(r),e(s+1)] = ^ (hfj + ej>4(r)), [h((1),/js)] = —(«i,«j )/f,

[НГ^/Ь - [н(г),48+1)] = -^(н(г)( + (Н(г)), [е(г+1),е(.)] - [е(г),е(.+1)] = к^) +^М),

/г+1), (] - /(г), /¡в+1)] = - ^ (/(г ^+/((в)/Г)),

г = ¿, N =1 - а( ^ 8уш[е(Г1), [е(Г2), • • • [е(г-), в(8)] • • • ]] = 0,

г = .?, N =1 - ^ вуш[/^1), [/(Ч • • • [/(г -), /,(в)] • • • ]] = 0.

Недостатком этой реализации служит тот факт, что в этих образующих не известны явные формулы для коумножения. Тем не менее, эти образующие хорошо подходят для изучения представлений янгиана, см. 1.15.

Определение 1.12. Пусть Н С У(д) - подалгебра, порождённая всеми Н(г), 1 < г < п, 1 < г. Следуя [02], будем называть Н картановской подалгеброй янгиана.

Упорядочим произвольным образом простые корни и рассмотрим следующие элементы алгебры У„е-ш (д):

е(г) = „М

[еГД1^еч

/ (г) = /(г)

Л а^ ./г 7

[/(г) 4"(1)] = / (г) IV а ' а ] Л а

Здесь а - это минимальный положительный корень такой, что а = а - а снова положительный корень.

Теорема 1.13. Предложение 3.2]) Упорядоченные мономы (порядок произволь-

ный) от переменных

еаг), Н(г), /0аг), где а € Ф+, г € Д, г € ^>0, образуют базис янгиана УПеш(д).

Отметим, что теорема 1.13 определяет вложение и(д) ^ УПеш (д). Иными словами, элементы еа1), Н^1), /а1), где а € Ф+, г € Д, г € Z>0 порождают подалгебру, изоморфную

и (д).

Теорема 1.13 также позволяет задать фильтрацию на алгебре УПеш (д) следующей формулой

deg еаг) = deg /ОЯ = deg Н(г) = г.

Предложение 1.14. Подалгебра Н является максимальной коммутативной подалгеброй янгиана. Ряд Пуанкаре подалгебры Н имеет вид

тт 1 .

II (1 - ¿г )п

г>1 У '

1.15. Теория конечномерных представлений УПеш(g). Следуя [CP], кратко напомним теорию конечномерных представлений янгианов.

Пусть Л = {Aj,r | i = 1,..., n, r ^ 0, Aj,r € C} - это множество комплексных чисел, V -представление янгиана Y (g). Л-весовое пространство - это по определению подпространство Ул модуля V

Ул = {v € V | h(r)v = Aj,rv для всех i, r}.

Определение 1.16. Y(g)-модуль называется модулем старшего веса Л, если существует вектор w € Ул С V такой, что e(r) • w = 0 для всех i, r и V = Y(g) • w.

Предложение 1.17. Любой конечномерный неприводимый Y(g)-модуль — это модуль старшего веса.

Используя технику модулей Верма, несложно построить неприводимый модуль V(Л) старшего веса Л.

Теорема 1.18. Неприводимый Y(g)-модуль V(Л) конечномерный тогда и только тогда, когда существуют многочлены Pj(м) € C[u] такие, что

= 1 + t Л®'гu-r-1,

Pi(u)

\ ' r=0

где равенство понимается в том смысле, что разложение Лорана левой части в точке u = то равно правой части. Многочлены Pj(u) называются многочленами Дринфельда.

Определение 1.19. Конечномерный неприводимый Y(g)-модуль называется фундаментальным, если соответствующие многочлены Дринфельда имеют вид

р / ^ J1, j = i,

Pj (u) = S

l^u — a, j = i,

для некоторых i = 1,... n. Обозначим этот модуль через V(wj, a).

Замечание. Название фундаментальный можно мотивировать следующим наблюдением: любой неприводимый конечномерный модуль есть фактор некоторого подмодуля тензорного произведения фундаментальных модулей.

В дальнейшем, мы будем рассматривать модули V(Wj, 0). Известно, что при ограничении на U (g) эти модули имеют вид

v(wj, o) = v^ е 0 V®fc-,

где модуль V^ — это неприводимый U^)-модуль старшего веса а ^ < wj означает, что Wj — ^ — это сумма положительных корней.

1.20. RTT-реализация. Третья реализация янгиана также была представлена в работе В. Дринфельда [D1]. Тем не менее доказательство того, что заданная таким образом алгебра изоморфна Y(g) стало доступно лишь недавно в работе C. Wendlandt [W].

Пусть V - произвольное нетривиальное конечномерное представление янгиана, т.е. не сумма одномерных, p - соответствующий гомоморфизм Y(g) ^ End (V). Положим R(u) = (p < p)R(—u) € End (v) < End (V)[[u-1]].

Определение 1.21. YV(g) - это ассоциативная алгебра с единицей над полем C с образующими tj , 1 < i, j < dim V; r > 1 и определяющими соотношениями

Д(и - v)T(u)T2(v) = T2(v)Ti(m)R(m - v) в End (V)02 <g> YV(g)[[u-1, v-1]],

S 2(T (u)) = T(w +2 c ,(r)

где T(u) = (t(j(w))(.j=1,... dim v, t(j(u) = ^¿j + Sr>1 ¿¿^Г), c0 — значение элемента Казимира алгебры Ли g на присоединённом представлении.

Структура алгебры Хопфа задаётся следующим образом:

Д(Т (u)) = T[1] (u)T[2] (u), e(T (u)) = Id, S(T (u)) = T (u)-1.

Определение 1.22. Если в определении 1.21 опустить соотношение S2(T(u)) = T (u + 2c0) то полученная алгебра Хопфа называется 'расширенным янгианом и обозначается через Xv (g).

Теорема 1.23. [W] Расширенный янгиан Xy (g) изоморфен алгебре Yy (g)^C[x! ),..., x^ )], где r € Z>0, k = dimEnd Y(fl)V.

1.24. Теоремы об изоморфизме.

Теорема 1.25. ([D3], [GRW]) Отображение ф : inew(g) ^ Y(g) такое, что

Ф(^(1)) = hi, ф(^(2)) = J (hi) - V(, Ф(ег(1))= xa+, ф(е(2)) = J(x+ ) - w+,

Ф(/(1))= xa-: , Ф(/2)) = J(х-^) - w-.

задаёт изоморфизм между Y(g) и Ynew (g). Здесь

v(=4 ^(a a(){x+ x-} - 2h2,

аеф+

w± = ±4 £ {[x±, x±],x*}- 4{x±,h(},

а£ф+

Пусть как и в параграфе 1.21 пространство V - произвольное нетривиальное конечномерное представление янгиана, т.е. не сумма одномерных, р - соответствующий гомоморфизм Y(g) ^ End (V), а Д(и) = (р <g> р)Д(и) € End (V) <g> End (V)[[u-1]].

Теорема 1.26. ([D1], [W]) Отображение ф : YV(g) ^ Y(g) такое, что

ф : T(u) ^ (р <g> 1)R(-w)

задаёт изоморфизм между YV(g) и Y(g).

В дальнейшем мы будем отождествлять янгианы Y(g), Y,ew(g), Yy(g) посредством изоморфизмов теорем 1.25, 1.26.

1.27. Янгиан для подалгебры Леви l С g. Пусть Q — диаграмма Дынкина алгебры Ли g. Любой поддиаграмме I С Q сопоставим алгебру Ли l порождённую картановской подалгеброй и элементами, соответствующими простым корням подмножества I. Легко видеть, что l - редуктивная алгебра Ли. Обозначим через g/ полупростую часть l, то есть g/ = [l, l].

Определим янгиан Ynew(l) как подалгебру Ynew(g) порожденную элементами e(r),/¿(r)

(г)

для всех i € I, r € Z^o и , r > 1, г = 1,..., n.

Предложение 1.28. ([IR2, Предложение 3.1]) Алгебра Ynew (l) изоморфна Ynew(g/) <8> C[ajr)]jeA\/,rez>o •

Здесь ajr) это другие образующие картановской подалгебры H (ABC образующие, см. [GKLO]).

Заметим, что алгебра Ли l является централизатором элемента x = ¿ед\/ aj1) и x -центральный элемент алгебры Ynew (l). Используя элемент x можно разложить V в сумму inew (l)-подмодулей V = V/ ф W, см. [IR2, Раздел 3].

Теорема 1.29. ([IR2, Предложение 3.3]) Пусть Yv(l) _ подалгебра янгиана Yv(g), порожденная всеми коэффициентами Фурье элементов (u), где v € V/, в € V/. Тогда образ алгебры YV(l) в янгиане Ynew(g) - это Ynew(l).

Таким образом, теорема 1.29 реализует вложение Ynew(l) С Ynew(g) в BTT-реализации.

2. Подалгебры Бете.

Во введении обсуждалось, что подалгебры Бете для янгианов классических алгебр Ли рассматривались и ранее, но в полной общности (для любой простой алгебры Ли), насколько известно автору, подалгебры Бете определены в работе [IR2]. Работа [I] посвящена исследованию общих свойств подалгебр Бете в янгианах.

2.1. Определение подалгебр Бете. Пусть G (соотв. G) - соответствующая алгебре Ли g присоединённая (соотв. односвязная) группа, т.е. группа Ли с алгеброй Ли g такая, что Z(G) = {e}, где Z(G) - центр группы G (соотв. фундаментальная группа тривиальна). Определим T С G - максимальный тор, а также множества Treg с T и Greg С G регулярных элементов, то есть таких элементов, что размерность их централизатора в группе G минимальна.

Подалгебры Бете в янгиане представляют собой семейство коммутативных подалгебр, параметризованных группой G. Подалгебры Бете в янгиане для gln и скрученных янгианах исследовались в работе М. Назарова и Г. Ольшанского [NO].

Положим V = фi V(w¿, 0) - сумма фундаментальных представлений янгиана, см. параграф 1.15. Пусть p¿ : Y(g) ^ End V(w¿, 0) - i-ое фундаментальное представление янгиана Y ( g) . Пусть

П : V ^ V(Wi, 0)

- проекция на i-ое фундаментальное представление.

Пусть T®(u) = n¿T(u)n¿ - подматрица T(u), соответствующая i-му фундаментальному представлению янгиана.

Определение 2.2. ([IR2, Определение 4.2]) Пусть C € G. Подалгебра B(C) С Yv(g) это подалгебра, порождённая всеми коэффициентами Фурье следующих рядов с коэффициентами в Yv (g)

Ti(u,C) = tr v(Wi,o)Pí(C)T>), 1 < i < n.

Замечание. Заметим, что В(С) зависит только от класса элемента С в факторе С(С?). Таким образом, подалгебры Бете параметризованы элементами присоединённой группы С.

2.3. Результаты о подалгебрах Бете.

Предложение 2.4. Коэффициенты рядов тг(и, С) попарно коммутируют. Зададим фильтрацию на алгебре Уу (д) формулой

deg ( = г.

Фильтрация на Уу (д), заданная таким образом, совпадает с фильтрацией на УПеш(д) из параграфа 1.10, см. [Ш2, Предложение 2.24]. Отсюда следует, что

Теорема 2.5. ([KWWY, Теорема 3.9]) Присоединённая градуированная алгебра gr Уу(д) изоморфна 0(С1[[4-1]]) как алгебра Пуассона.

Теорема 2.6. (|1И2, Теорема 4.9]) Для любого элемента С € Сгед, подалгебра В(С) С Уу (д) является свободной полиномиальной алгеброй. Кроме того, ряд Пуанкаре алгебры В(С) совпадает с рядом Пуанкаре подалгебры Н.

Теорема 2.7. ([I, Теорема 1]) Для любого С € Тгед подалгебра В(С) — максимальная коммутативная подалгебра Уу (д).

Отсюда получаем следующее описание подалгебр Бете для С € Тгед.

Следствие. ([I, Следствие 2]) Для любого С € Тгед подалгебра В(С) янгиана У(д) порождена

^ ур(С)(р <8> 1)ВД, где (р, V) пробегает все конечномерные представления У (д).

По аналогии с работой [И,] теорему 2.7 можно уточнить. Через ф(С) обозначим квадратичную часть подалгебры В(С), то есть В(С) П ,Р2Уу(д), где ^2Уу(д) - подпространство элементов степени не выше 2 алгебры Уу (д).

Теорема 2.8. ([I, Теорема 3]) Пусть С € Тгед. Подалгебра В(С) совпадает с централизатором подпространства ^(С).

Пространство ^(С) может быть явно описано.

Предложение 2.9. ([I, Предложение 4]) Рассмотрим элементы

еа(С) + 1

(С)=27 ) - ^ еа(С) + 1(«,«»)хах- € У (g), а£Ф+ ( )

г = 1,..., п. Тогда ^(С) - линейная оболочка элементов <тг(С) и подпространства () • 1) +

2.10. Основные методы. В основе доказательства теорем предыдущего раздела лежат теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта для янгианов. Определим другую фильтрацию на ян-гиане Уу(д) формулой:

(г)

deg ( = г - 1.

Теорема 2.11. (^]) Присоединённая градуированная алгебра grУу(д) изоморфна и(д[4]).

Эта фильтрация используется в работе [I]. В частности, Предложение 2.12. ([I, Доказательство теоремы 1]) Пусть С € Тгед. Тогда gr В(С) =

и (&[*]).

Вернёмся к первой фильтрации на янгиане YV (g), которая заданна формулой

deg t(j = r.

Обозначим через gr' присоединённую градуированную по этой фильтрации. Пусть G[[t-1]] - группа С[[£-1]]-точек группы G. Определим G1[[t-1]] как ядро гомоморфизма G[[t-1]] ^ G. Алгебра O(G1[[t-1]]) - это алгебра полиномиальных функций на группе G1[[t-1]].

Теорема 2.13. ([KWWY]) Присоединённая градуированная алгебра gr'YV(g) изоморфна O(G1[[t-1]]).

Для доказательства теоремы 2.6 изучаются образы подалгебр B(C), C € Greg в алгебре O(G1[[t-1]]). В итоге, доказательство теоремы сводится к следующему утверждению.

Предложение 2.14. ([S]) Дифференциалы характеров фундаментальных представлений группы G в регулярной точке линейно независимы.

2.15. Приложения и возможные направления исследований. Подалгебры Бете интересны по следующим причинам:

• Подалгебры Бете янгиана Y(sln) связаны с КМОЗ (квантовый метод обратной задачи) и алгебраическим анзацем Бете, см., например, [TF], [KR];

• Образ подалгебр Бете для элемента C € Treg при действии янгиана на когомо-логиях колчанных многообразий есть подалгебра порожденная операторами квантового умножения на классы, при этом элемент C - это квантовый параметр, см. [MO];

• Ожидается, что подалгебры Бете для вещественного значения аргумента имеют простой спектр в некоторых неприводимых представлениях, см. [M]. Следуя работам [R2] и [HKRW], естественно ожидать возможность получить кристаллы Кириллова-Решетихина с помощью предельных подалгебр Бете, см. раздел 4.1.

3. Подалгебры Бете и чудесная компактификация.

Работа [IR2] посвящена определению подалгебр Бете в янгианах, а также связи подалгебр Бете c чудесной компактификацией присоединённой группы.

Есть по крайней мере два естественных способа расширить пространство параметров для подалгебр Бете. Опишем один из них - чудесную компактификацию группы.

3.1. Чудесная компактификация присоединённой группы. Следуя [EJ] напомним конструкцию G, чудесной компактификации Де Кончини-Прочези присоединённой группы Ли G. Пусть V - представление группы G. Отсюда получаем отображение

G ^ P(End V).

Известно (см., например, [CS]), что если V = VA, где VA - неприводимое представление с регулярным старшим весом А, то замыкание образа G в пространстве P(End V) не зависит от А и является гладким проективным многообразием, которое называется чудесной компактификацией Де Кончини-Прочези G.

Несложно видеть, что замыкание G в П( P(End (V(w(, 0))) изоморфно G, см. обсуждение в [IR2, 5.4]. Пусть X = (Xb...,X„) € G с П( P(End (V (Ш(, 0))).

Определение 3.2. Подалгебра Бете B(X) порождена коэффициентами Фурье рядов

Т((u,X)=tr y(Wi,o)X(T((u), 1 < i < n, где X( - произвольный представитель X( в пространстве End (V(w(, 0)).

Легко видеть, что все подалгебры вида B(X),X € G - коммутативны, см. [IR2].

3.3. Описание общих подалгебр Бете, параметризованных G. Чтобы сформулировать утверждение, необходимо обсудить стратификацию пространства G. Пусть I С Д. Обозначим через Pf, P— С G соответствующие противоположные параболические подгруппы, через pf, p— - их алгебры Ли, Lf = Pf П P—- соответствующая подгруппа Леви, Gf = Lf/Z (Lf). _

Имеется естественное действие G х G на G:

(01,02) • x = gixg-1.

Орбиты этого действия описываются следующим образом: имеется ровно 21 орбит, каждая орбита S? соответствует подмножеству I, при этом S° ^ (G х G) х^ хр- G f ^

S°, (g1,02, x) ^ g1xg-1, т.е. S°° — это однородное расслоение над G/Pf х G/Pf со слоем Gf. Обозначим через f : S? ^ G/Pf х G/P— проекцию, а также отождествим G/Pf (соотв. G/P—) с множеством параболических подалгебр, сопряженных pf (соотв. p—). Определим

s°°° = U ^-1(Р, Р-).

3SeG:Ad(g)p = pi ,Ad(g)p-=p-

В последней формуле Ad - это присоединённое действие группы на своей алгебре Ли.

В работе [IR2] показано, что замыкание тора T С G принадлежит |J/S?0. Более того, дано описание подалгебр Бете, соответствующих точкам У /S°°, в частности, T.

Пусть X = (g, g, x) G S°°, где g G G, x = x о pr f G P(End (Vf )),x G Gf. Здесь V/ это Lf-подпредставление в V, порождённое старшим вектором. Отображение pr I : V ^ Vf -это G-инвариантное вложение. Пусть l = Ad(g)pf П Ad(g)p— - соответствующая подалгебра Леви.

Теорема 3.4. ([IR2, Теорема 5.7]) Для любого X = (g,g, x) G S°°, соответствующая подалгебра B(X) совпадает с подалгеброй B(gxg-1) С YV (l) С YV (g), где x G L f такое, что класс [x] в L f/Z(Lf) совпадает с x.

Определение алгебры YV(l) и вложение YV(l) С YV(g), см. параграф 1.27.

4. Предельные подалгебры.

Второй способ естественно расширить пространство параметров - это рассматривать предельные подалгебры. Здесь мы следуем работам [Vi], [Sh].

4.1. Определение предельных подалгебр. Пусть C - элемент множества Greg. Напомним, что формула deg tj = r задаёт фильтрацию на YV(g). Пусть FY((r) - r-ая фильтрованная компонента. Рассмотрим B(r)(C) :=

FYVr) П B(C). В работе [IR2] (в доказательстве теоремы 2.6) показано, что образы T1(u, C),..., r„(u, C) свободно порождают подалгебру gr B(C) С gr YV(g). Поэтому размерность d(r) пространства B(r)(C) не зависит от C. Таким образом, для каждого r ^ 1 получаем отображение 0r из Greg в П!=1 Gr(d(i), dim Y^) такое, что C ^ (B(1)(C),..., B(r)(C)). Здесь Gr(d(i), dim Y^) - грассманиан подпространств размерности d(i) векторного пространства размерности dimРУу). Обозначим замыкание 0r(Greg) (в топологии Зарисского) через Zr. Рассмотрим проекции Cr : Zr ^ Zr—1 для всех r ^ 1. Обратный предел Z = ljm Zr - это про-алгебраическая схема, которая естественно расширяет пространство параметров для подалгебр Бете.

Действительно, каждая точка z G Z - это последовательность {zr } r^N, где Zr G Zr такая что Zr (zr) = Zr—1. Здесь Zr - это точка в Пг=1 Gr(d(i), dim Y^), т.е. набор подпространств

вГг)(г) С такой что вГг)(г) С В^+^г) для всех г < г. Так как (гг) = гг_1, то г) = вГ_1 )(^) для всех г < г. Определим подалгебру, отвечающую г € 2 через

ад := иг^ы

Предложение 4.2. ([ГО2, Предложение 4.11]) Для любого г € 2 В(г) является коммутативной подалгеброй янгиана Уу(д). Ряд Пуанкаре В(г) не меньше (лексикографически), чем ряд Пуанкаре подалгебры В(С) при С € Сгез. Мы называем подалгебры вида В(г) предельными подалгебрами.

Замечание. В 'работе [БИ] пределы подалгебр определяются в аналитической топологии, как пределы однопараметрических семейств подалгебр. Тем не менее, хорошо известно (см. [Бе]), что замыкания образа алгебраического многообразия при регулярном отображении в топологии Зарисского и в аналитической топологии совпадают. В нашей работе мы используем оба подхода.

4.3. Связь с чудесной компактификацией. Обозначим через 2 замыкание Сез в 2 х

С.

Предложение 4.4. ([ГО2, Предложение 5.6]) Для любой точки (г, X) € 2 С 2 х С верно, что В(Х) С В(г).

Гипотеза состоит в том, что схема 2 является разрешением чудесной компактификации С. Точная формулировка следующая

Гипотеза 4.5. ([ГО2, Гипотеза 5.9]) Проекция 2 на первую компоненту схемы 2 х С задаёт изоморфизм 2. Проекция на вторую компоненту задаёт бирациональное собственное отображение 2 — С.

Мы обсудим факты, позволяющие выдвинуть эту гипотезу, в параграфе 5.19.

5. Предельные подалгебры в случае д[„.

Работа [ГО] посвящена изучению предельных подалгебр в случае 0 = д1п.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ильин Алексей Игоревич, 2020 год

Список литературы

[AFV] L. Aguirre, G. Felder, A. Veselov Gaudin subalgebras and .stable rational curves. Compositio

Mathematica, 2011, Vol. 147, 1463-1478 [CG] C. De Concini, G. Gaiffi Projective Wonderful Models for Toric Arrangements. Advances in Mathematics

Vol. 327, 2018, pp. 390-409 [CP] V. Chari, A. Pressley A Guide to Quantum Groups. Cambridge University Press, 1995 [CS] C. De Concini, T. A. Springer Compactification of symmetric varieties, Transform. Groups, 4 (2-3):273-300, 1999

[DM] P. Deligne, D. Mumford The irreducibility of the space of curves of given genus. Publications

Mathematiques de l'Institut des Hautes Etudes Scientifiques, 1969, vol.36, iss. 1, pp. 75-109 [D1] В. Г. Дринфельд Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера., Докл. АН СССР, 283:5 (1985), 1060-1064

[D2] В. Г. Дринфельд, Квантовые группы. Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. VIII,

Зап. научн. сем. ЛОМИ, 155, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1986, 18-49 [D3] В.Г. Дринфельд Новая реализация янгианов и квантовых аффинных алгебр. ДАН СССР. 1988. Т. 36. стр. 212—216

[ES] P. Etingof, O. Schiffman Lectures on Quantum Groups. International Press of Boston, 2001 [EJ] S. Evens, B. Jones On the Wonderful Compactification. arXiv:0801.0456

[FFTL] B. Feigin, E. Frenkel and V. Toledano Laredo Gaudin models with irregular singularities. Advances in

Mathematics, 2010, Vol. 223, pp. 873-948 [FM] V. Futorny, A. Molev Quantization of the shift of argument subalgebras in type A. Advances in

Mathematics, 2015, Vol. 285, pp. 1358-1375 [GKLO] A. Gerasimov, S. Kharchev, D. Lebedev, S. Oblezin On a class of representations of the Yangian and

moduli space of monopoles. Communications in Mathematical Physics, 2005, 260(3):511-525 [GRW] N. Guay, V. Regelskis, C. Wendlandt Equivalences between three presentations of orthogonal and

symplectic Yangians. Letters in Mathematical Physics, 2019, Vol. 109, Iss. 2, pp. 327-379 [HKRW] I. Halacheva, J. Kamnitzer, L. Rybnikov, A. Weekes Crystals and monodromy of Bethe vectors. arXiv:1708.05105

[HL] W. J. Harvey, A. Lloyd-Philipps ¡Symmetry and moduli spaces for Riemann surfaces. Contemporary

Mathematics, Vol. 575, 2012 [I] А. Ильин О максимальности некоторых коммутативных подалгебр янгианов. Функциональный

анализ и его приложения, 53:4 (2019), 85-88 [IR] A. Ilin, L. Rybnikov Degeneration of Bethe subalgebras in the Yangian of gln. Letters in Mathematical

Physics. 2018. Vol. 108. No. 4. P. 1083-1107 [IR2] A. Ilin, L. Rybnikov Bethe Subalgebras in Yangians and the Wonderful Compactification. Commun. Math.

Phys., 2019, vol. 372, pp. 343-366 [KR] A. N. Kirillov, N. Yu. Reshetikhin The Yangians, Bethe Ansatz and combinatorics. Letters in

Mathematical Physics. 1986. Vol. 12, Iss. 3, pp. 199-208 [L] F. Loebbert Lectures on Yangian symmetry. Journal of Physics A: Math. and Theoretical, Vol. 49, N. 32 [KWWY] J. Kamnitzer, B. Webster, A. Weekes, O. Yacobi Yangians and quantizations of slices in the affine

Grassmannian. Algebra Number Theory 8 (2014), no. 4, 857-893 [M] I. Mashanova-Golikova Simplicity of spectra for Bethe subalgebras in Y(g^). arXiv:1906.09049 [MO] D. Maulik, A. Okounkov Quantum Groups and Quantum Cohomology. arXiv:1211.1287 [M1] A. Molev Feigin-Frenkel center in types B, C and D. Invent. Math. 191 (2013), 1-34 [M2] А. Молев Янгианы и классические алгебры Ли. МЦНМО, М., 2009

[NO] M. Nazarov, G. Olshanski Bethe Subalgebras in Twisted Yangians. Comm. Math. Phys. 178 (1996), 483506

[O] Г.И. Ольшанский Расширение алгебры U (g) для бесконечномерных классических алгебр Ли g и янгианы Y(gl(m)). Доклады Академии наук СССР. 297 (1987), 1050-1054 [PY] D. Panyushev, O.Yakimova The argument shift method and maximal commutative subalgebras of Poisson

algebras. Math. Res. Lett. 15 (2008), 239-249 [R] Л. Г. Рыбников Централизаторы некоторых квадратичных элементов в алгебрах Пуассона-Ли и

метод сдвига инвариантов. УМН, 60:2(362) (2005), 173-174 [R2] L. Rybnikov Cactus group and monodromy of Bethe vectors. IMRN, 2018, Iss. 1, pp. 202-235 [SV] O. Schiffmann and E. Vasserot On cohomological Hall algebras of quivers : Yangians., arXiv:1705.07491 [Se] J.-P. Serre Géométrie algébrique et géométrie analytique. Annales de l'Institut Fourier, Volume 6 (1956), p. 1-42

[Sh] В. В. Шувалов О пределах подалгебр Мищенко-Фоменко в алгебрах Пуассона полупростых алгебр

Ли. Функц. анализ и его прил., 36:4 (2002), 55—64 [S] R. Steinberg Conjugacy Classes in Algebraic Groups. Lecture Notes in Math, vol. 366, Springer, 1974 [T] А. А. Тарасов Максимальность некоторых коммутативных подалгебр в алгебрах Пуассона полупростых алгебр Ли. УМН, 57:5(347) (2002), 165-166 [T2] А. А. Тарасов О единственности поднятия максимальных коммутативных подалгебр из алгебры,

Пуассона-Ли в обертывающую алгебру. Матем. сб., 194:7 (2003), 155-160 [TF] Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзенберга.

УМН, 1979, том 34, выпуск 5(209), страницы 13-63 [Vi] Э. Б. Винберг О некоторых коммутативных подалгебрах универсальной обертывающей алгебры.

Изв. АН СССР. Сер. матем., 54:1 (1990), 3-25 [W] C. Wendlandt The R-matrix presentation for the Yangian of a simple Lie algebra. Communications in Mathematical Physics, 2018, Vol. 363, Issue 1, pp. 289-332

Заключение

Работа посвящена исследованию подалгебр Бете в янгианах. Определяются подалгебры Бете для С Е О и изучаются их свойства. Идея определния — использование ДТТ реализации в произвольном представлении. Основная идея доказательств — исследование образов подалгебры Бете в присоединённых градуированных алгебрах по разным фильтрациям и Предложение 2.14.

Исследуется естественные способы расширить пространство параметров - чудесная ком-пактификация и предельный переход.

Для янгиана в типе А описываются предельные подалгебры семейства, параметризованного регулярными полупростыми элементами. Основные результаты здесь это Теоремы 5.13 и 5.14. Основной метод - централизаторная конструкция и связь с алгебрами сдвига аргумента, см. Предложение 5.17.

Приложение A.

Статья 1.

Aleksei Ilin, Leonid Rybnikov "Degeneration of Bethe subalgebras in the Yangian of gln"

Letters in Mathematical Physics, 2018. Vol. 108. No. 4. P. 1083-1107

Разрешение на копирование: Согласно Соглашению о копирайте автор статьи может использовать полную журнальную версию статьи в своей диссертации при условии, что указан источник.

Lett Math Phys (2018) 108:1083-1107 https://doi.org/10.1007/s11005-017-1031-2

Degeneration of Bethe subalgebras in the Yangian of gln

Aleksei Ilin1 • Leonid Rybnikov12

#

CrossMark

Received: 2 June 2017 / Revised: 10 November 2017 / Accepted: 13 November 2017 / Published online: 1 December 2017

© Springer Science+Business Media B.V., part of Springer Nature 2017

Abstract We study degenerations of Bethe subalgebras B(C) in the Yangian Y(gln), where C is a regular diagonal matrix. We show that closure of the parameter space of the family of Bethe subalgebras, which parameterizes all possible degenerations, is the Deligne-Mumford moduli space of stable rational curves M0,n+2. All subalgebras corresponding to the points of M0,n+2 are free and maximal commutative. We describe explicitly the "simplest" degenerations and show that every degeneration is the composition of the simplest ones. The Deligne-Mumford space M0,n+2 generalizes to other root systems as some De Concini-Procesi resolution of some toric variety. We state a conjecture generalizing our results to Bethe subalgebras in the Yangian of arbitrary simple Lie algebra in terms of this De Concini-Procesi resolution.

Keywords Yangians ■ Bethe subalgebras ■ Deligne-Mumford compactification ■ Centralizer construction

Mathematics Subject Classification 17B37 ■ 17B63 ■ 17B80

B Leonid Rybnikov

[e-mail]

Aleksei Ilin [e-mail]

1 Department of Mathematics, National Research University Higher School of Economics, 6 Usacheva St, Moscow, Russian Federation 119048

2 Institute for Information Transmission Problems of RAS, Moscow, Russian Federation

1 Introduction

1.1 Bethe subalgebras in the Yangian

Yangian for gln is the associative algebra, historically one of the first examples of quantum groups. The Yangian Y(gln) is a Hopf algebra deforming the enveloping algebra U(gln[t]), where gln[t] is the (infinite-dimensional) Lie algebra of gln-valued polynomials. This algebra was considered in the works of L. Fadeev and St.-Petersburg school in the relation with the inverse scattering method, see, e.g., [14,17]. There is a family B(C) of commutative subalgebras in Y(gln) parameterized by complex matrices C e Matn called Bethe subalgebras. This family originates from the integrable models in statistical mechanics and algebraic Bethe ansatz. For details and links on Yangians, we refer the reader to the survey [4] and to the book [5] by Molev.

Denote by T the maximal torus in GLn, i.e., the subgroup of diagonal matrices in GLn. In the present paper we restrict ourselves to Bethe subalgebras with C e T. Let Treg be the set of regular elements of the torus, i.e., the set of matrices from T with pairwise distinct eigenvalues. We will frequently use the embedding GLn c gln = Matn and regard C as an element of the Cartan subalgebra h c gln. In [8] Nazarov and Olshanski showed that B(C) is a free polynomial algebra and that it is a maximal commutative subalgebra in Y(gln) for all C e Treg. For non-regular C e T\Treg, the subalgebra B(C) becomes smaller. But there is a natural way to assign a commutative subalgebra of the same size as for C e Treg to any C0 e h\Treg by taking some limit of B(C) as C ^ C0. For example, one can get the Gelfand-Tsetlin subalgebra of the Yangian as the t ^ 0 limit of some 1-parametric family of Bethe subalgebras with C(t) e Treg for t = 0 and C (0) = En. In general, such limit subalgebra limC^c0 B(C) is not unique since it depends on the 1-parametric family C(t) such that C(0) = C0. Our goal is to describe all possible limit subalgebras.

The images of Bethe subalgebras in the universal enveloping algebra U(gln) under the evaluation homomorphism are known as "shift of argument subalgebras." The problem of describing all limits for the shift of argument subalgebras was posed by Vinberg in late 1990-s. The answer was given by Shuvalov in [13] and later in more algebro-geometric terms by Aguirre et al. in [1]. Their description is roughly as follows. Shift of argument subalgebras themselves is parameterized by regular diagonal n x n-matrices up to proportionality and up to adding a scalar matrix. The latter can be regarded as the space of configurations of n pairwise distinct points on the complex line. It turns out that the limit shift of argument subalgebras are parameterized by the Deligne-Mumford closure of this space [1,13], all limit subalgebras are free [13] and maximal commutative [15], and moreover, there is an explicit inductive procedure generating the limit subalgebras from smaller shift of argument subalgebras assigned to smaller n. It is natural to expect a similar description for limit Bethe subalgebras in the Yangian.

1.2 Limits of Bethe subalgebras

The limit subalgebras can be defined in purely algebro-geometric terms (we will do this in Sect. 2). Roughly, the construction of Bethe algebras can be regarded as a regular map from Treg to the "Grassmannian" of subspaces in Y(gln) of the same "dimension" as B(C). The space Treg is non-compact while the Grassmannian is (in appropriate sense) compact. So we can take the closure of the image of this map and obtain new subalgebras with the same Poincare series. We call such subalgebras limit subalgebras.

Since the subalgebras B(C) do not change under dilations of C, the parameter space for the family B(C) is the quotient Treg/C* of the set of regular elements of the torus by the subgroup of scalar matrices. Following [1] we can regard the space Treg/C* as the moduli space M0,n+2 of rational curves with n + 2 marked points. (We can assign to a matrix C with the eigenvalues zi,...,zn the curve P1 with the marked points 0, zi,...,zn, to.) Therefore, the limit subalgebras of the family B(C) are parameterized by some compactification of the space M0 n+2. The main results of the present paper can be summarized as follows:

Main Theorem. The closure of Treg/C* which parameterizes the limit subalgebras is isomorphic to the Deligne-Mumford compactification M0,n+2. All limit subalgebras are free polynomial algebras and maximal commutative subalgebras in Y (gln).

In fact, we will describe all limit subalgebras as products of smaller Bethe subalgebras and some shift of argument subalgebras (which are the images of Bethe subalgebras in the universal enveloping algebra U(gln) under the evaluation map).

It is natural to expect this result from the perspective of bispectral duality of Mukhin et al. [7] which relates the image of Bethe algebra in a tensor product of evaluation representations with the algebra of higher Hamiltonians of the trigonometric Gaudin model for g = glk} The latter is the image of a Gaudin subalgebra in the tensor product of n + 1 copies of the universal enveloping algebra of gik. On the other hand in [11] we prove that the closure of the parameter space for this family of Gaudin algebras is M0,n+2. The problem in this approach is that we have to deal with the images of Bethe subalgebras in some specific representations of the Yangian, so the closure of the parameter space could be different from that of the subalgebras in the Yangian itself. We use different approach based on shift of argument subalgebras and the Olshanski centralizer construction of the Yangian.

The main idea of our proof is to reduce the problem of describing the closure to the similar one for the family of shift of argument subalgebras in U (glN) where N is big enough. For this we use on the one hand the Olshanski centralizer construction [9] which approximates the Yangian Y(gln) by the centralizer subalgebras of the form U(gln+k)glk, and, on the other hand, the results of Shuvalov [13] and Tarasov [15] which describe the limit subalgebras for the family of shift of argument subalgebras.

1 We thank Evgeny Mukhin for pointing this out.

1.3 Shift of argument subalgebras

Let F(C) c U(gln) be the image of B(C) c Y(gln) under the evaluation homomor-phism Y(gln) ^ U(gln). The subalgebra F(C) does not change after adding a scalar matrix to C. The associated graded of F(C) is a Poisson commutative subalgebra F(C) c S(flln) known as shift of argument subalgebra since it is generated by the adjoint invariants from S(g[n) shifted by tC for all t e C, see [8].

Suppose C is a diagonal matrix with pairwise distinct eigenvalues z1,..., zn. Then the algebra F(C) contains the quadratic elements Hi := = e—j which are the coefficients of (an appropriate version of) the KZ connection. Moreover, both F(C) and F(C) are uniquely determined by the subspace QC c S(flln) which is the linear span of the Hi's. Note that Hi do not change under simultaneous affine transformations of the z's, hence the space of parameters of the corresponding shift of argument subalgebras is naturally the configuration space of n pairwise distinct points on the affine line or, equivalently, the configuration space M0^n+1 of n + 1 pairwise distinct points on the projective line. From the results of Aguirre, Felder and Veselov [1] it follows that the closure of the family of subspaces QC c 5(gtn) is the Deligne-Mumford compactification M0,n+1, which is crucial for our proof.

1.4 Centralizer construction

Let A0 = C[E1, .] be the filtered polynomial algebra of infinitely many generators such that deg £i = i. The Olshanski centralizer construction [9] is the collection of surjectivehomomorphisms of filtered algebras Y (gln)® A0 ^ U (gln+k )glk generalizing the evaluation map. The intersection of kernels of such homomorphisms is known to be zero, so this collection of homomorphisms can be regarded as an asymptotic isomorphism, i.e., for each filtered component of Y(gln) ® A0 there is K e Z such that for any k > K the restriction of the above homomorphism to this filtered component is an isomorphism. The idea of our proof is to analyze the parameter spaces of the images of B(C) under the centralizer construction maps. Since centralizer construction is an asymptotic isomorphism, the closure of the parameter space stabilizes for k >> 0.

1.5 Plan of the proof

We prove that the image of B(C) ® A0 in the centralizer algebra U(gln+k)glk is contained in some non-regular shift of argument subalgebra F (C(k)) (Proposition 6.6), and moreover, F(C(k)) is asymptotically isomorphic to B(C) ® A0. We show that the closure of the parameter space for the subalgebras F(C(k)) is M0,n+2 (realized as a subvariety in M0,n+k+1 which parameterizes all limit shift of argument subalgebras in U(gln+k)). Since the closure of the parameter space for F(C(k)) does not depend on k, the closure of the parameter space for Bethe subalgebras in Y(gln) is M0,n+2 as well.

Next, we deduce from the results of Shuvalov and Tarasov that any limit of the algebras F (C(k)) is a free polynomial algebra and a maximal commutative subalgebra

in U(g1n+k)glk. Since B(C) ® A0 is asymptotically isomorphic to F(C(k)), the same is true for limit Bethe subalgebras corresponding to points of M0,n+2 (Theorem 5.1). Using Shuvalov's description of limit shift of argument subalgebras, we explicitly describe the simplest limits corresponding to generic points of codimension 1 strata in M0 n+2 in terms of Bethe subalgebras for smaller Yangians and shift of argument subalgebras for smaller Lie algebras (Theorem 5.3). Iterating this procedure we obtain the explicit description of all limit Bethe subalgebras.

1.6 Generalization to Yangians of other types

To any semisimple Lie algebra g (and even more generally, to any Kac-Moody algebra g), one can assign the Yangian Y(g), the quantum group generated by the rational R-matrix of g. To any element C of the Cartan torus T of the corresponding Lie group G one can assign a Bethe subalgebra generated by traces of the products of C with the R-matrix in all integrable representations. This is a commutative subalgebra which is expected to be maximal for regular C. The variety parameterizing all possible limits of such commutative subalgebras is a compactification of the set Treg of regular elements of the torus (well defined as a pro-algebraic scheme). Our Theorem 5.1 states that in the case g = g[n it is M0,n+2. The natural generalization of this statement to Lie algebras of other types is the De Concini-Procesi closure [2] of the complement to the following arrangement of subvarieties in a toric variety. Consider the toric variety X (acted on by the maximal torus T c G) which corresponds to the fan determined by the root hyperplanes. Equivalently, X is the closure of a generic T-orbit in the flag variety G/B .We can regard Treg as a complement of an arrangement of hypersurfaces in X. Following De Concini and Procesi [2], one can construct a compactification Mg of Treg by blowing up all indecomposable intersections of the hypersurfaces in X.

Conjecture Mg is the parameter space for limit subalgebras of the family of Bethe subalgebras in the Yangian Y(g).

Remark Note that M0,n+2 is the De Concini-Procesi closure of Treg for g = g[n.

Remark For infinite root systems (say, for affine Kac-Moody) Mg is not well defined as an algebraic scheme but is still well defined as a pro-algebraic scheme. On the other hand, in this case the Bethe subalgebras themselves live not in the Yangian but rather in its completion which is an inverse limit of some quotients of the Yangian. So we can generalize our conjecture to Yangians of infinite-dimensional Lie algebras by stating that two inverse limits are isomorphic.

1.7 Application to crystals

By analogy with the shift of argument algebras and Gaudin algebras, we expect that for real values of the parameter the corresponding (limit) Bethe algebra has simple spectrum in any irreducible finite-dimensional (or integrable) representation of the Yangian. Following [11], one can assign a covering of Mg(R) to any irreducible representation of Y(g). The fiber of such covering is just the set of joint eigenlines

for the elements of a Bethe algebra in this representation. For Kirillov-Reshetikhin modules, we expect a natural bijection of the fiber of this covering with the corresponding Kirillov-Reshetikhin crystal hence obtaining an action of the fundamental group n1 (Mg(R)) on the crystal. We also expect that this action can be described in purely combinatorial terms.

1.8 The paper is organized as follows

In Sect. 2 we recall some known facts about Yangians and Bethe subalgebras. In Sect. 3 we recall the definition of the moduli space M0,n+1. In Sect. 4 we discuss some facts about shift of argument subalgebras. In Sect. 5 we formulate the main theorems. In Sect. 6 we prove the main theorems.

2 Yangians and Bethe subalgebras 2.1 Definitions

We follow the notations and conventions of [5].

Definition 2.1 Yangianfor gln is a complex unital associative algebra with countably

t (1 t (2

many generators tij), tj\ ... where 1 < i, j < n, and the defining relations

t (r+1) t (s) ij , lkl

t (r ) t (s+1) lij , lkl

- t(r)t (s) _ t(s)t(r) = lkj lil lkj lil ,

where r, s > 0 and tj = Sij. This algebra is denoted by Y (Qln). It is convenient to consider the formal series

tij(u) = Sij + t(1)u-1 + tjf)u-2 + ... e Y(gln)[[«-1]].

We denote by T(u) the matrix whose ij-entry is tij(u). We regard this matrix as the following element of Y(gln)[[u-1]] ® End Cn:

n

T(u) = tij(u) ® etj, i,j = 1

where eij stands for the standard matrix units. Consider the algebra

Y (fltn )[[u-1]]® (End Cn fn. For any a e{1,..., n} there is an embedding

ia : Y(gln)[[u-1]] ® End Cn ^ Y(Qin)[[u-1]] ® (End Cn)®n

which is an identity on Y(gin)[[u-1]] and embeds End Cn as the a-th tensor factor in (End Cn)®n. Denote by Ta (u) the image of T(u) under this embedding.

The symmetric group Sn acts on Y(gin)[[u-1]] ® (End Cn)®n by permuting the tensor factors. This action factors through the embedding Sn ^ (End Cn)®n; hence, the group algebra C[Sn] is a subalgebra of Y(gin)[[u-1]] ® (End Cn)®n. Let Sm be the subgroup of Sn permuting the first m tensor factors. Denote by Am the antisymmetrizer

J2 (-1f° e C[Sm] C Y(gin)[[u-1]] ® (End Cn)®n.

a eSm

Let C be a C-valued n x n matrix. For any a e {1,...,n} denote by Ca the element ia(1 ® C) e Y(gin)[[u-1]] ® (End Cn)®n.

Definition 2.2 For any 1 < k < n introduce the series with coefficients in Y (gin) by

1

Tk (u, C) = - tr AkC1... CkTx(u) ...Tk (u - k + 1), k!

where we take the trace over all k copies of End Cn.

Remark Tn(u, C) = det C Tn(u, E), and hence, does not depend on C up to proportionality. The series n! ■ Tn(u, E) is called quantum determinant and usually denoted by qdet T(u).

The following result is classical (see, e.g., [5,8]):

Proposition 2.3 The coefficients of Tk (u, C), k = 1,...,n pairwise commute. The coefficients of qdet T(u) generate the center ofY(gin).

Definition 2.4 The commutative subalgebra generated by the coefficients of Tk (u, C) is called Bethe subalgebra. We denote it by B(C).

In [8] Nazarov and Olshanski proved the following theorem:

Theorem 2.5 Suppose that C e End Cn has pairwise distinct nonzero eigenvalues. Then the subalgebra B(C) in Y(gin) is maximal commutative. The coefficients of T\(u, C),..., Tn (u, C) are free generators of B(C).

From now on we suppose that C is diagonal and Caa = Xa, a = 1,..., n. Let us write Tk(u, C) explicitly in the generators tj(u). Straightforward computation gives the following well-known lemma:

Lemma 2.6 We have

Tk (u, c ) = v ...waia (u),

1^a1<...<ak ^n

where

t"k = E (-1)" ■ taa(1)b1 (u)... taa(k)bk (u - k + 1)

a eSk

= J2 (-1)a ' ta1ba(1)(u - k + 1)... takba(k) (u)

a eSk

are the quantum minors. 2.2 Filtration on Yangian

We define an ascending filtration on Y(gln) by setting the degree of the generators as

deg ti(jr ) = r.

Denote by Yr (gln) the vector subspace consisting of all elements with degrees not greater than r. Consider the associated graded algebra

CY(gln) = 0 Yr (gln )/Yr-№n )■ (1)

r

There is the following analog of PBW theorem for Y(gln) (see [4]):

-(r) -(r)

Theorem 2.7 CY(gln) is the algebra of polynomials in the variables tj , where tj is the image oftj) in Yr (gln)/Yr-1 (gln).

The polynomial algebra CY(gln) has a natural Poisson structure. For any two elements x, y e Y(gln) of degrees p, q, respectively, the Poisson bracket of their images x, y in CY(gln) is

{X, y} = [x, y] mod Yp+q-2(fltn).

2.3 Some homomorphisms between the Yangians

Let us define two different embedding of Y(gln) to Y(gln+k):

ik : Y(gln) ^ Y(gln+k); tj] ^ tjr n : Y(gln) ^ Y(gln+k); tj ^ t&k+j

According to PBW theorem, these maps are injective. Define a homomorphism nn : Y(gln) ^ U(gln); tij(u) ^ Sij + Eiju-1.

Here Eij are the standard generators of gin. nn is a surjective homomorphism from Y(gin) to U(gin) known as evaluation homomorphism. By definition, put

œn : Y (flln ) ^ Y (gin ); T (u ) ^ (T (-u - n))-1.

It is well known that œn is an involutive automorphism of Y (gin ). We define a homo-morphism

fk = œn+k ◦ ^k ◦ œn : Y (gin ) ^ Y (gin+k )■ Note that fk is injective.

Proposition 2.8 [5, Proposition 1.13.1] ik(Y(gin)) is centralized by fn(Y(gik)) in

Y (flln+k X

We will need a bit more precise statement:

Lemma 2.9 The homomorphisms ik and fn define an embedding ik ® fn : Y (gin ) ®

Y (gik ) ^ Y (gin+k )•

Proof It suffices to show that the associated graded gr (ik ®fn ):CY(gin )®CY(gik ) ^ CY(gin+k) is injective. But the latter is sends t(^ ® 1 to t(r^ and 1 ® t(^ to tn+j + L,

(s)

where L is an expression of tj with s < r. Hence it is clearly injective. □

2.4 Centralizer construction

Consider the map

®k : Y (gin ) ^ U (gin+k ) given by = nn+k ◦ œn+k ◦ ik ■ (2)

From [5, Proposition 8.4.2] it follows that Im $k c U(gin+k)glk. Here we use an embedding

gik ^ gin+k ; Eij ^ Ei+n, j +n ■

Let A0 = C[E1, E2,...] be the polynomial algebra of infinite many variables. Define a grading on A0 by setting deg E = i. For any k we have a surjective homo-morphism

Zk : Ao ^ Z(U(gin+k)); E ^ E(n+k)■

where £(n+k), i = 1, 2, 3,.. . are the following generators of Z(U(gin+k)) of degree i, see [5, Section 8.2]:

n+k

1 + J2 Eiu-i = nn+k (qdetT (U ))■ i = 1

Consider the algebra Y(gln) ® A0. This algebra has a well-defined ascending filtration given by

deg a ® b = deg a + deg b.

For any k > 0 we define homomorphisms of filtered algebras

nk ■ Y(gln) ® Ao ^ U(gln+k)3h; a ® b ^ (a) ■ Zk(b)

Denote by (Y(gln) ® A0)N the N-th filtered component, i.e., the vector space of the elements of degree not greater than N. From [5, Theorem 8.4.3] we have:

Theorem 2.10 The sequence {nk} is an asymptotic isomorphism. This means that for any N there exists K such that for any k > K the restriction of nk to the N-th filtered component (Y(gln) ® A0)N is an isomorphism of vector spaces (Y(gln) ® A0)N ~

U (gln+k )SNk.

According to Lemma 2.9, there is a tensor product of two commuting Yangians im(Y(gln—m)) and fn—m(Y(glm)) inside Y(gln). Let us see what happens with these two commuting Yangians under the centralizer construction map nk ■ Y(gln) ® A0 ^ U(gln+k)0tk. The algebra U(gln+k) is generated by Ej, 1 < i, j < n + k; glk is generated by Eij, n + 1 < i, j < n + k. The subalgebra U(glm+k) c U(gln+k) is generated by Eij, n — m + 1 < i, j < n + k. Hence U(glm+k)0tk and U(gln+k)glm+k are naturally subalgebras in U(flln+k)0tk.

Lemma 2.11 The restriction of nk to im(Y(gln—m)) is nk+m ■ Y(gln—m) ^ U (gln+k )5k+m. The restriction of nk to fn—m (Y (glm)) is nk ■ Y (glm) ^ U (glm+k )gtk.

Proof The first statement is immediate from the following commutative diagram:

Y (Qln—m) lm > Y (gln)

Y (gln+k)

To prove second statement, consider another diagram:

Y (&lm Y (gln)

Y(glm+k) mm Y(&n+k)

"m+k

"n+k

Y(glm+k) Y(gln+k)

The lower square is commutative by definition so it is enough to prove that upper square is commutative as well. But it follows from [5, Lemma 1.11.2]. □

2.5 Definition of limit subalgebras

It is possible to construct new commutative subalgebras as limits of Bethe subalgebras. We describe here what the "limit" means. Let Treg be the set of regular elements of the maximal torus T of GLn.Let C be an element of Treg. Consider Br(C) := Yr(gln) n B(C). In [8] it was proved that the images of the coefficients of r1(u, C),..., Tn (u, C) freely generate the subalgebra B(C) = gr B(C) c CY(gln). Hence the dimension d (r) of Br (C) does not depend on C. Therefore, for any r > 1we have a map 0r from Treg to xr=i Gr(d(i), dim Yi (gln)) such that C ^ (Bx(C),Br (C)). Denote the closure of 0r (Treg) (with respect to Zariski topology) by Zr. There are well-defined projections pr : Zr ^ Zr -1 for all r > 1. The inverse limit Z = lim Zr is well defined as a pro-algebraic scheme and is naturally a parameter space for some family of commutative subalgebras which extends the family of Bethe subalgebras.

Indeed, any point X e Z is a sequence {xr }reN where xr e Zr such that pr (xr) = xr-1. Every xr is a point in X r=1 Gr(d(i), dim Yi (gln)), i.e., a collection of subspaces Br,i (X) c Yi (gln) such that Br,i (X) c Br,i+1(X) for all i < r. Since pr (xr) = xr-1, we have Br i (X) = Br-1,i (X) for all i < r. Let us define the subalgebra corresponding to X e Z as B(X) := IJ^U Br,r (X). We claim that this subalgebra is commutative and we call it limit subalgebra. Indeed, B(X) is a commutative subalgebra because being a commutative subalgebra is a Zariski-closed condition: We have Br (C) ■ Bs (C) c Br+s (C) for all C e Treg for all r, s and this product is commutative, hence we get the same for the product Br,r (X) ■ Bs,s (X) = Br+s,r (X) ■ Br+s,s (X) c Br+s,r+s (X). Note that this subalgebra has the same Poincare series as B(C).

Remark In [13] the limits shift of argument subalgebras are defined in the analytic topology, just as limits of 1-parametric families of generic shift of argument subalgebras. But it is well known that the closure of an affine algebraic variety in a complex projective space with respect to Zariski topology coincides with its closure with respect to the analytic topology. So the closure of the parameter space is the same for both definitions of the limit. In our work we use both approaches.

3 Moduli spaces of stable rational curves

3.1 The space M0,n+1

Let M0,n+1 denote the Deligne-Mumford space of stable rational curves with n + 1 marked points. The points of M0,n+1 are isomorphism classes of curves of genus 0, with n + 1-ordered marked points and possibly with nodes, such that each component has at least 3 distinguished points (either marked points or nodes). One can represent the combinatorial type of such a curve as a tree with n + 1 leaves with inner vertices

representing irreducible components of the corresponding curve, inner edges corresponding to the nodes and the leaves corresponding to the marked points. Informally, the topology of M0,n+1 is determined by the following rule: when some k of the distinguished points (marked or nodes) of the same component collide, they form a new component with k +1 distinguished points. (The new one is the intersection point with the old component.) In particular, the tree describing the combinatorial type of the less degenerate curve is obtained from the tree corresponding to the more degenerate one by contracting an edge.

The space M0,n+1 is a smooth algebraic variety. It can be regarded as a compactifi-cation of the configuration space M0,n+1 of ordered (n + 1)-tuples (z1; z2,..., zn+1) of pairwise distinct points on CP1 modulo the automorphism group PGL2(C). Since the group PGL2(C) acts transitively on triples of distinct points, we can fix the (n + 1)-th point to be to e CP1 and fix the sum of coordinates of other points to be zero. Then the space M0,n+1 gets identified with the quotient Confn/C* where Confn ■= {(Z1, ...,Zn) e Cn | Zi = Zj, En=1 Zi = 0}, and the group C* acts by dilations. Under this identification of M0,n+1, the space M0,n+1 is just the GIT quotient of the iterated blowup of the subspaces of the form {Zi1 = Zi2 = ... = Zik} in Cn—1 by the natural C* action by dilations.

3.2 Stratification and operad structure on M0,n+1

The space M0,n+1 is stratified as follows. The strata are indexed by the combinatorial types of stable rational curves, i.e., by rooted trees with n leaves colored by the marked points Z1,..., Zn. (The root is colored by Zn+1 = to.) The stratum corresponding to a tree T lies in the closure of the one corresponding to a tree T' if and only if T' is obtained from T by contracting some edges.

The spaces M0,n+1 form a topological operad. This means that one can regard each point of the space M0,n+1 as an n-ary operation with the inputs at marked points Z1,...,Zn and the output at to. Then one can substitute any operation of this form to each of the inputs. More precisely, for any partition of the set {1,...,n} into the disjoint union of subsets M1,...,Mk with | Mi | = mi > 1 there is a natural substitution map Yk;M1,...,Mk ■ M0,k+1 ^ nk=1 M0,mi+1 ^ M0,n+1 which attaches the i-th curve Ci e M0,mi+1 to the i-th marked point of the curve C0 e M0,k+1 by gluing the mi + 1-th marked point of each Ci with the i-th marked point of C0. In fact, all substitution maps Yk;M1,..,Mk are compositions of the elementary ones with m 1 = ... = mk—1 = 1.

The compositions of the substitution maps are indexed by rooted trees describing the combinatorial type of the (generic) resulting curves. In particular, each stratum of M0,n+1 is just the image of the product of the open strata of appropriate ]"[ M0,m+1 under some composition of substitution maps. In particular, strata of codimension 1 are just the images of the open strata of M0,k+1 x M0,n—k+1 under the elementary substitution maps and can be obtained as the limit set when the points Z1,...,Zk collide and other points stay isolated. Since each substitution map is a composition of the elementary ones, generic point of each stratum can be obtained iterating this limiting procedure.

4 Shift of argument subalgebras 4.1 The algebras F(C)

Let g be a reductive Lie algebra. To any C e g* one can assign a Poisson commutative subalgebra in 5(g) with respect to the standard Poisson bracket (coming from the universal enveloping algebra U(g) by the PBW theorem). Let ZS(g) = S(g)g be the center of S(g) with respect to the Poisson bracket. The algebra F(C) c S(g) generated by the elements d£$, where $ e ZS(g), (or, equivalently, generated by central elements of S(g) = C[g*] shifted by tC for all t e C) is Poisson commutative and has maximal possible transcendence degree. More precisely, we have the following

Theorem 4.1 [6] For regular semisimple C e g the algebra F (C) is a free commutative subalgebra in S(g) with 1 (dim g + rk g) generators. (This means that F(C) is a commutative subalgebra of maximal possible transcendence degree.) One can take the elements d£ $k, k = 1,..., rk g, n = 0, 1,..., deg $k, where $k are basic g-invariants in S(g), as free generators of F (C).

Remark In particular for g = gln, the algebra F (C) has n - k generators of degree k for each k = 1,..., n.

Let h c g be a Cartan subalgebra of the Lie algebra g. Denote by A+ the set of positive roots of g. We assume that C is a regular semisimple element of the Cartan subalgebra h c g = g*. The linear and quadratic part of the subalgebras F(C) can be described as follows (see [18]):

F(C) n g = h, F(C) n S2(g) = S2(h) ® Qc, where Qc =

^ a,h) ,

y, 1-F7e« e—a |h e h

* (a, C)

aeA+

The results of Vinberg [18] and Shuvalov [13] imply that the limit subalgebra of the family F(C) is uniquely determined by its quadratic component. Hence the variety parameterizing limit shift of argument subalgebras in S(g) is just the closure of the family QC in the Grassmannian Gr(rkg, dim S2(g)). In [13] Shuvalov described the closure of the family of subalgebras F(C) c S(g) under the condition C e hreg (i.e., for regular C in the fixed Cartan subalgebra). In particular, the following holds:

Theorem 4.2 [13] Suppose that C (t) = C0 + tC1 + 12C2 +----e hreg for generic

t. Let zs(Ci) bethe centralizer of C in g. Set jk = Hk=0 ls(Ci), Z-1 = g. Thenwe have

(1) the subalgebra lim F (C (t)) c S(g) is generated by elements of S(zk)Zk and their

derivatives of any order along Ck+1 for allk = -1, 0,....

(2) lim F (C (t)) is a free commutative algebra. t ^0

Moreover, according to the results of Tarasov [15] the subalgebras discussed above (both F(C) and the limit ones) are maximal Poisson commutative subalgebras in S(g) (i.e., coincide with their Poisson centralizers).

4.2 Lifting to U (g)

In [12] the subalgebras F (C) were quantized, i.e., the existence of such commutative subalgebras F(C) c U(g) that gr F(C) = F(C) was proved. In [10] it is proved that F(C) is the Poisson centralizer of the space QC for generic C hence the lifting of F(C) to U(g) is unique for generic C. In the case g = gi„ we have a stronger statement due to Tarasov [16]: any subalgebra from this family (including the limit ones) can be uniquely lifted to the universal enveloping algebra and, moreover, there is a particular choice of the generators such that this lifting is just the symmetrization map on the generators. In particular, for g = gi„, the varieties parameterizing limit subalgebras of the families F(C) and F(C) are the same. In fact, we expect that the latter is true for arbitrary g.

In the case g = gi„ the subalgebra F (C) c U (gi„) is in fact the image of B(C) c Y (gi„) under the evaluation homomorphism Y (gi„) ^ U (gi„). (We can assume that C is non-degenerate since F (C) does not change after adding a scalar matrix to C.) This fact plays crucial role in what follows. Unfortunately this does not generalize to arbitrary g since there is no evaluation homomorphism in general.

4.3 M0,n+1 and shift of argument subalgebras

In [13] the explicit description of limit subalgebras is given together with a set-theoretical description of the parameter space. The results of Shuvalov in the gln case can be reformulated in the following way.

The shift of argument subalgebras in S(gi„) depends on a parameter C e Treg and do not change under the transformations C ^ aC + bE. So the parameter space for the subalgebras F (C) c S(gi„) can be regarded as M0,„+1.

Proposition 4.3 The closure of the parameter space for the shift of argument subalgebras in S(gi„) is M0,n+1. The same is true for the parameter space for the family F(C).

Proof For g = gi„ the regular Cartan element C is a diagonal matrix with pairwise distinct eigenvalues z1,...,zn. From the results of Shuvalov [13] and Vinberg [18], it follows that any limit subalgebra is uniquely determined by its quadratic graded component. According to the results of Tarasov [16], the lifting of any limit shift of argument subalgebra is unique hence uniquely determined by the quadratic component as well. Note that in this case QC is the linear span of the quadratic elements Hi := Y, j =i e-zr which are the coefficients of (an appropriate version of) the KZ connection. In particular the space QC does not change under simultaneous affine transformations of the z's, hence the space of parameters is naturally the configuration space of n pairwise distinct points on the affine line or, equivalently, the configuration space M0,n+1 of n + 1 pairwise distinct points on the projective line. In [1] Aguirre, Felder and Veselov considered the same subspaces QC universally (i.e., as subspaces in the Drinfeld-Kohno holonomy Lie algebra) and showed that the closure of the family QC is the Deligne-Mumford compactification M0,n+1. This means that the

parameter space for limit shift of argument subalgebras (both classical and quantum) for g = g^ is M0,n+1. □

One can define the subalgebra F (X) c S(gin) corresponding to a degenerate curve X e M0,n+1 recursively as follows. Let Xto be the irreducible component of X containing the marked point to. To any distinguished point X e Xto, we assign the number kX of marked points on the (reducible) curve XX attached to Xto at X. Let C be the diagonal matrix with the eigenvalues X of multiplicity kX for all distinguished points X e Xto. Then the corresponding shift of argument subalgebra F(C) c S(gin) is centralized by the Lie subalgebra 0X gikx in gin and contains the Poisson center

S(®X gU®X ^. The subalgebra corresponding to the curve X is just the product of F (C) c S(gin) and the subalgebras corresponding to XX in S(gikx) c S(gin) for all distinguished points X e Xto. (For this we need to define the point to on each XX—it is just the intersection with Xto.) Having a unique lifting of each F(C) to the universal enveloping algebra U(gin), we can do the same and attach a commutative subalgebra in U (gin) to any stable rational curve X e M0,n+1. Since every limit shift of argument subalgebra has a unique lifting to U(gin), every limit subalgebra of the family F (C) c U (gin) is of this form. Now we can make a precise statement:

Proposition 4.4 The subalgebra F (X) corresponding to a degenerate curve X is the tensor product F(C) ® ® Bik 0 F(XX). The same is true for the lifting

skX)X X X

F(X) c U(gin).

Proof In order to prove this proposition, we need the following Lemma: □

Lemma 4.5 Suppose that g is a reductive Lie algebra, g0—reductive subalgebra of g. Then the subalgebras U (g)g0 and U (g0) in U (g) are both free U (g0)g0-modules. Moreover, the product of these subalgebras in U (g) is:

U(g)g0 ■ U(g0) ~ U(g)g0 ®v(00)«> U(g0).

The same holds for the associated graded algebras. Namely, S(g)g0 and S(g0) are free S(g0)g0-modules, and

S(g)g0 ■ S(g0) ~ S(g)g0 ®S(g0)g0 S(g0).

Proof We can assume without loss of generality that g0 does not contain non-trivial ideals of g. Then this is a particular case of Knop's theorem on Harish-Chandra map for reductive group actions (see [3], Theorem 10.1 and items (d) and (e) of the Main Theorem). Indeed, the Main Theorem of [3] states that for any reductive H and any smooth affine H-variety X the algebra D(X)H of H-invariant differential operators and its commutant U (X) in the algebra D(X) are both free modules over the center of D(X)H. Moreover, the product D(X)H ■ U(X) c D(X) is the tensor product D(X)H ®ZD(X)H U(X) of D(X)H and U(X) over the center of D(X)H. To get the desired statement, we just apply this to the H = G x G0-action on X = G, where G acts from the right and G0 acts on from the left. For this case we have D(X)GxG0

is U(g)g0 and its commutant in D(X) is U(X) = U(g0) U(g) (generated by momenta of the left G0-action and the right G-action). By Theorem 10.1 of [3], the center of U (g)g0 is U(g0)g0 ®c U(g)g and the algebra U (X) contains U(g0)®c U (g)g as the subalgebra of (right) G-invariants. Hence, by Main Theorem of [3] we have the desired assertion. Theorems 9.4 and 9.8 of [3] imply the same for the associated graded algebras. (In fact, the Main Theorem of [3] is a consequence of the same fact for the associated graded algebras.) □

Now let us describe the simplest limit subalgebras corresponding to the case when all the curves Xx are irreducible.

Lemma 4.6 Let C0 = diag (X1,...,X1,...,Xl ,...,Xl) and C = diag

*1 kl

,..., mk) for i = 1,...,l such that Xr = Xs and for r = s.

■-V-'

ki

Then the element

C (t) := C0 +1 • diag (C1,...,Cl)

is regular (as an element of the Lie algebra gln) for small t. The subalgebra limtF (C (t)) is the tensor product

F(C0) ®z(S(fl[k1 ®...®fl(kl)) (F(C1) ® ... ® F(Cl)).

Here F(Ci) is a subalgebra in S(glki) c S(glk1 © ... © glkl). Moreover,

lim F(C(t)) n S(gi„)glk1 ®-®glkl = F(C0). t ^0

Here n = k1 + ••• + ki. The same holds for quantum shift of argument subalgebras F (C ).

Proof From [13] it follows that limt= F(C0) ■ (F(C1) ® ... ® F(Cl)). We know that F (Co) c S(0in )glki ®-®glki (because [9c , ad x ] = d[Cx ]) and ( F (Ci) ® ... ® F (Ci )) c 5(flikl ©... © flikl ). Moreover, from proof of [13, Lemma 1] it follows that F (Co ) n ( F (C1) ® ••• ® F(Ci )) = Z (S(glk1 © ••• © flikl )). Using Lemma 4.5 we obtain the result. □

Since the closure of the parameter space for subalgebras F (C) is Mo,«+i, any limit subalgebra can be obtained by iterating the above degeneration. Iterating limits from Lemma above we obtain Proposition 4.4. □

Lemma 4.6 implies the following formula for the Poincare series of F(C) for any diagonal C. Denote by Zk (x) the formal power series ]~[i=1 (1 - x*)-1. We set Pk(x) := nf^ Zi (x). Note that Pn(x) is the Poincare series of F(C) for regular C.

Lemma 4.7 Let C = diag (X1,. ..,X1,...,Xl, ...,Xi) such that Xr = Xs. Then

ki ki F (C) is a free polynomial algebra with the Poincare series

- (x) ,1=1 Pi ■

Proof Straightforward from Lemma 4.6. □

Lemma 4.8 Let A be a family of subalgebras of the form F (diag (C, 0,..., 0)), C e

k

Treg C GLn. Then

(1) Every limit subalgebra of the family A is a maximal commutative subalgebra of S(&ln+k )glk.

(2) Every limit subalgebra of this family is a free polynomial algebra with the following Poincare series:

i-r 1 1 1 1

P (x) = n

(1 - x)n+1 (1 - x2)n+1 (1 - xk )n+1 (1 - xk+1)n 11

(1 - xk+2)n-1 (1 - xn+k)'

(3) The closure of the parameter space for the family A is M0,n+2.

Proof Let a(t) belongs to Treg for small t and consider b(t) = diag (a(t), 0,..., 0).

k

Let D = (0,..., ... fik) and degree N such that N > dega(t) and c(t) =

n

b(t) + tND is regular for small t. Then

lim F(c(t)) = lim F(b(t)) ®z(S(sik)) F(D) (3)

t ^0 t ^0 k

is free and maximal commutative.

Suppose that limtF(b(t)) is not maximal. This implies that there exists an element x e S(gtn+k)glk such that {x, limtF(b(t))} = 0. This means that x commutes with every element from the limit subalgebra (3). But the limit subalgebra is maximal; therefore, x e limtF(c(t)) n S(gln+k)glk which is limtF(b(t)) by Lemma 4.6. Thus limtF(b(t)) is maximal.

The second assertion follows from the fact that Poincare series of limit subalgebra limtF(b(t)) is the same as for algebra F(b(t)) for generic t and from Lemma 4.7. To prove third assertion let fix C1 e glk and consider a family of subalgebras of the form

F(C0) ®z(S(gik)) F(Ci),

where C0 = diag (C, 0,...,0), C e hreg. This family is parameterized by

k

Yn+1\[1},[2},..,[n},[n+1,..,n+k}(M0,n+2 X {pt}) C Yn+1;{1},{2},...,{n},{n+1,...,n+k} (M0,n+2 X M0,k+l) C M0,n+k+1. But the closure of M0,n+2 x {pt} in M0,n+k+1 is M0n+2 x {pt}; therefore, the closure of the parameter space for the family A is M0,n+2. □

Corollary 4.9 The same results (Lemmas 4.6, 4.7 and 4.8) are true for the liftings of shift of argument subalgebras to the universal enveloping algebra U (gln).

Proof It follows from the fact that shift of argument subalgebras admits unique lifting to U(gln) [16]. □

5 The results

The subalgebra B(C) does not change under dilations of C, so the space of parameters for the family of Bethe subalgebras in the Yangian Y(gln) is Treg/C*. Let Z be the pro-algebraic scheme defined in Sect. 2.5 (note that Z is naturally a closure of Treg/C*). By analogy with the shift of argument subalgebras, we can regard Treg /C* as the moduli space M0,n+2, i.e., the space of rational curves with n + 2 marked points. More precisely, to any matrix C with the eigenvalues z1,..., zn, we can assign a rational curve P1 with the marked points 0, z1,..., zn, to. Our main result is the following

Theorem 5.1 (1) Z is a smooth algebraic variety isomorphic to M0,n+2. (2) For any point X e M0,n+2, the corresponding commutative subalgebra B(X) in Y (gln) is free and maximal commutative.

Next, the operad structure on the spaces M0,n+1 leads to a recursive description of the limit subalgebras analogous to that of the limit shift of argument subalgebras. Let Xto be the irreducible component of X e M0,n+2 containing the marked point to. We identify Xto with the standard CP1 in such a way that the marked point to is to and the point where the curve containing the marked point 0 touches Xto is 0. To any distinguished point X e Xto, we assign the number kx of marked points on the maximal (possibly reducible) curve Xx attached to Xto at X (we set kx = 1 if Xx is a (automatically, marked) point). Let C be the diagonal (n - k0) x (n - k0)-matrix with the eigenvalues X of multiplicity kx for all distinguished points 0 = X e Xto. Then the subalgebra ik0(B(C)) centralized by the Lie subalgebra 0x=0 glkx in gln-k0 C ik0(Y(flin-ko)) C Y(gln) and by the complement sub-Yangian fn-k0(Y(fl^,)). The subalgebras corresponding to boundary points of M0,n+2 can be inductively described as follows:

Theorem 5.2 (1) The limit Bethe subalgebra corresponding to the curve X e M0,n+2 is the product of the following 3 commuting subalgebras: first, ik0(B(C)) C ik0(Y(flin-k0)) C Y(gln), second, the subalgebra corresponding to X0 in the complement sub-Yangian fn-k0(Y(glk0)) C Y(gln), and third, the limit shift of

argument subalgebras F(XX) in U(flikX) c iko (Y(flin-ko)) c Y(gln) for all distinguished points X = 0 (again we define the point œ on each XX just as the intersection with Xœ). (2) iko(B(C)) contains the center of every U(flikX) c iko(Y(flin-ko)). The above product is in fact the tensor product

fn-ko(B(Xo)) ®c iko(B(C)) ®zu(0X=osk,)® F(Xx).

x=o

Theorem 5.3 (1) Let Co = diag (X1;..., Xn-k) and C1 = diag (¡1,..., xk). Suppose that C(t) = diag (Co, + t ■ diag (û,..^, C1) e Treg (i.e., both

k n- k

Co and C1 are regular and non-degenerate). Then

lim B(C(t)) = ik(B(Co)) ® fn-k(B(C1)).

t ^o

(2) LetCo = diag (X1, ...,X1,...,Xl, ...,Xl ) be a non-degenerate matrix and Ci = k1 ki

diag (¡xi,1,..., \xik )fori = 1,..., l such that Xr = Xsand = insforr = s.

1---V-^ ' '

ki

Let

C (t ) := Co + t ■ diag (C1,...,Ci ).

Then

l

lim B(C (t )) = B(Co ) ® l 6à F (Ci ),

t®Z(U(sk )) i =1

where F (c* ) is the shift of argument subalgebra in U (giki ) c U (gln ) c Y (gln ). (The copy of U(gln) in the Yangian Y(gln) is generated by t¡j ).)

Remark Theorems 5.2 and 5.3 are equivalent. Indeed, Theorem 5.3 is a particular case of Theorem 5.2. On the other hand, any degenerate curve X can be obtained from a non-degenerate one by, first, taking a limit from part 1 of Theorem 5.3 (m times where m is the number of irreducible components of X on the way between the marked points o and œ) and, second, taking a limit from part 2 of Theorem 5.3 for each of that m components. So Theorem 5.2 follows from Theorem 5.3.

Remark For example, Theorem 5.3 allows to describe explicitly the subalgebra corresponding to the degenerate curve which has exactly n components between the points o and œ with a unique marked point on each component (i.e., the so-called caterpillar curve). This subalgebra is the same as limtiB(diag (1, t1, t1t2,..., t1 ■... ■ tn-1)). According to Theorem 5.3, this limit subalgebra is the Gelfand-Tsetlin subalgebra of Y (gln ).

The opposite example is the degenerate 2-component curve such that one component contains 0 and to while the other component contains all other marked points. The subalgebras corresponding to such curve have the form limt^0 B(E diag (tA.i,..., tXn)) which is according to Theorem 5.3 the subalgebra generated by B( E) and F (diag (X1,...,Xn)).

6 Proof of the main Theorems

Let C = diag (Xi,. ..,X1,X2,.. .,X2,...,Xi ,...,Xl) e T be a non-regular element

k k2 ki from the maximal torus. Let di (C) be the number of homogeneous degree i generators of F(C) (i.e., the multiplicity of the factor (1 - xi) in the Poincare series of F(C)).

Proposition 6.1 (Lower bound for the size of Bethe subalgebra) There is a set of algebraically independent elements ofB(C) which consists of mind (C) + i - 1, n) elements of degree i for all i e Z>0.

Proof It is enough to check that in B(C) = gr B(C) c CY(gln) we have enough algebraically independent generators (see 2.2). The images of tl (u, C) are

Xl(u, C) = J2 Xi1 ...Xil | E ti1io(1)(U)...tilia(l)(U)\ . (4)

Vff eSl

l1<...<ll

Now we can change generators j ^ tj = Xit(]p) .Note that there is a filtration in CY(Qin) given by

degtj) = 1.

According to this filtration, the leading term of the coefficient of Tl(u, C) at u-p for p > l is

E X"1 •••X

E

A

(p1. pi )

P1+...+pi=p; P1,-,PI>0

= E

E

A

(p1~ pi ) i1.il '

Í1<„.<il p1 + ...+pl=p; p1,...,pl>0

Here we set

a( pijpm) = det

i1 ...im

/7(p\) t (F1) t(F1) \

hh ili2 . . . i1im

t (p2) t (p2) t (p2)

i2i1 i2i2 . . . i2im

.J (pm) J (pm) J (pm) .

imi1 imi2 imim

; A(piJpm) = det

i1 im

/7(p1) t(p1) 7(p1) \

hh hh ... him

7(p2) 7(p2) 7(p2)

lÍ2h i 2i 2 . . . him

. t(pm) f(pm) f(pm) ,

im i1 imi2 im im

(5) □

¡1<...<il

We see that, for p > l the leading terms of such coefficients do not depend on

~( p)

C if we change generators to tj . Moreover, we see that the leading terms of the

coefficients of t1(u, C) at u l consists of only ffP, coefficients of u l 1 of t1(u, C) contain tj and do not contain t\j\ p > 2 and so on. Generally, we have the following

Lemma 6.2 The leading term of the coefficient of Tl (u, C) at u tj+1) and does not contain tip), p > k + 1.

-l-k

does contain

j hence can be regarded as elements of 5(gin) c CY(gln) generated by til.

The leading terms of the coefficients of u p, p < l of tl (u, C) are polynomials in

(1)

ij

iJ

Lemma 6.3 The leading terms of the coefficients of u p, p < l of Tl(u, C), l = 1,...,n generate the shift of argument subalgebra F (C ) in 5(gin ).

Proof Set T(1) := J2i j j ® eij e 5(fltn) ® Matn. Then the generating function for the leading terms is Tr AlC(E + T(1)u-1 ) = Tr Al(CE + f (1)u-1) which is the generating function for the derivatives of the l-th coefficient of the characteristic polynomial. □

To see that the set of coefficients of u-l-k of xl (u, C ) are algebraically independent, let us compute differential at point tj = j-1, tj = 0. It is straightforward computation that

d A

( p1- pi ) h-h

(-1y-1 ■ d t.

Î^, pi = p - (l - 1), pl-1 = 1,. i2 = i1 + l, ■■■il = il-1 + 1 else.

p1 = 1,

Hence the differential of the coefficient of xl (u, C) at u l k is a nonzero linear combination of d tiJ+1 with J - i = l - 1. Hence differentials of all coefficients with

lJ J

p > l are linearly independent. Therefore, if we have algebraic dependence between some coefficients, then it can only consist of coefficients u-p with p < l.

The following tableaux shows the greater number r, such that there is some t, this coefficient:

at

u

-(n-1)

-(n+1)

T1(u, C ) T2(u, C) T3 (u, C )

n - 1 n - 2 n- 3

n-1 n-2

n + 1

n-1

Tn(u, C)

1

0

2

3

n

u

u

u

u

u

n

1

2

On the other hand, the coefficients of u-p, p < l of t1 (u, C), l = 1,..., n generate the shift of argument subalgebra F(C) in 5,(gi„); hence, we have the desired number of algebraically independent generators. □

Recall the following fact from [5]: Lemma 6.4 [5][Theorem 1.10.7] qdet T(u) • (j+l.j(-u + n - 1)) = sgnp • sgn q • t1!;;;m (u) where p = (1 * ; ; ), ? = U £ . Z) e S-

This implies the following Lemma 6.5 Suppose that C e T is non-degenerate. Then an(B(C)) = B(C-1).

Proof Note that the series qdet T(u) is invertible so multiplying by qdet T(u) is a bijection on a set of generators of B(C). Moreover, T(u) ^ T(u - c) is invertible automorphism of Y(gln) so we can consider tk(-u + n - 1) instead of tk(u, C) as a generators of B(C). By Lemma 6.4

(det C)-1 • qdet T(u) • Mn(rk(-u + n - 1, C)) = (det C)-1 • J2 xa1;;;xakqdet T(u) • mn(fc^ (-u + n - 1))

= (det C )-1 £ ka1 : : : ^ a^^ W