Инволюции матричных колец тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кульгускин Иван Александрович

• Кульгускин Иван Александрович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Кульгускин Иван Александрович

1.1 Предварительные сведения

1.2 Классификация инволюций первого рода над полями характеристики

1.3 Классификация инволюций первого рода над булевыми кольцами

1.4 Классификация инволюций второго рода над конечными полями характеристики

2 Инволюции в алгебре верхнетреугольных матриц над кольцом целых алгебраических чисел квадратичных полей

2.1 Предварительные сведения

2.2 Классификация инволюций при d = 2,3 (mod 4)

2.3 Классификация инволюций при d = 1 (mod 4)

3 Инволюции в кольцах Крылова

3.1 Предварительные сведения

3.2 Группа внешних автоморфизмов

3.3 Инволюции в кольцах KS(R) специального вида

3.4 Инволюции в кольце Ks (R)

3.5 Эквивалентность инволюций

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инволюции матричных колец»

Введение Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Диссертационная работа посвящена исследованию инволюций в различных матричных кольцах. Описание инволюций в кольцах представляет собой одну из классических задач теории колец. Стандартными примерами инволюций являются транспонирование в матричной алгебре и сопряжения в поле комплексных чисел и алгебре кватернионов.

Инволюции в конечномерных центральных простых алгебрах впервые были систематически исследованы Альбертом в 30-е годы прошлого века на основе ранее развитой теории центральных простых алгебр в работах Альберта, Брауэра, Нётер и Хассе. Первое систематическое изложение теории центральных простых алгебр с инволюциями представлено в монографии Альберта [12]. К настоящему времени теория центральных простых алгебр с инволюциями достаточно глубоко развита и многие ее результаты представлены в монографиях [21], [23].

Инволюции в алгебрах инцидентности, которые являются важными примерами колец формальных верхнетреугольных матриц, были впервые изучены в работе Шарлау [25]. В работе Шпигеля [27] было показано, что алгебра инцидентности I(X, Г) обладет антиавтоморфизмом (соотв., инволюцией) в точности тогда, когда антиавтоморфизмом (соотв., инволюцией) обладает частично упорядоченное множество X. Обобщения этих результатов на случай финитарных алгебр инцидентности были получены в работе [16]. Пример алгебры инцидентности обладающей антиавтоморфизмом, но не обладающей инволюцией, приведен в работе [25]. В [17] показано, что всякая инволюция в алгебре инцидентности А = I(X, Г) представима в виде композиции 1пп(и) о М о а, где 1пп(и) - внутренний автоморфизм А, М - мультипликативный автоморфизм А и а - инволюция на А, индуцированная инволюцией а на частично упорядоченном множестве X. В работе [16] было показано, что аналогичное представление имеет место для инволюций финитарных алгебр инцидентности. В статье [14] найдены условия эквивалентности инволюций в алгебре инцидентности I(X, Г) в случае, когда характеристика поля Г не равна 2 и у частично упорядоченного множества

X существует элемент, сравнимый со всеми элементами из X.

Инволюции первого рода в алгебре верхнетреугольных матриц над полем характеристики, отличной от двух, были изучены в работе [30]. В этой статье было показано, что если СЬаг(^) = 2, то при нечетном п в алгебре иТп(Г) все инволюции эквивалентны и при четном п всякая инволюция иТп(Г) эквивалентна либо ортогональной, либо симплектической инволюции. Инволюции второго рода в алгебре иТп(Г) в случае, когда характеристика поля Г отлична от двух, были изучены в работе [29]. В [29] было показано, что для каждого автоморфизма а второго порядка поля Г с точностью до эквивалентности существует единственная инволюция второго рода на алгебре иТп(Г), ограничение которой на Г совпадает с а. С помощью этого результата в [29] были полностью описаны инволюции второго рода с точностью до эквивалентности в алгебре иТп(Г), в случае когда СЬаг(^) = 2. Инволюции второго рода в финитарных алгебрах были изучены в работе [19].

При классификации инволюций с точностью до их эквивалентности в алгебре А важным является описание группы внешних автоморфизмов ОШ;(А) алгебры А. В работе [30] был получен критерий эквивалентности двух инволюций произвольной алгебры А в случае, когда ОШ;(А) является единичной группой. О помощью этого критерия в этой работе была получена классификация инволюций в алгебре верхнетреугольных матриц над полем, характеристики отличной от двух. Таким образом, при изучении инволюций в различных классах матричных колец важным является нахождение условий, при которых все автоморфизмы таких колец являются внутренними. Автоморфизмы колец формальных матриц и условия, при которых у колец формальных верхнетреугольных матриц и близких к ним колец все автоморфизмы являются внутренними, в последнее время были изучены в работах Крылова П.А. и Туганбаева А.А. (см. [3, 5, 24]).

Как было отмечено выше, классификация инволюций с точностью до их эквивалентности в алгебрах инцидентности и, в частности, в алгебрах верхнетеругольных матриц была получена только в случае, когда характеристика основного поля отлична от двух. В связи с этим актуальной является проблема классификации инволюций в алгебре верхнетреугольных матриц над

полями характеристики 2. В данной работе были исследованы с точностью до эквивалентности инволюции первого рода в алгебрах верхнетреугольных матриц над коммутативными кольцами. В частности, исследованы инволюции в алгебрах врехнетругольных матриц над полями характеристики 2 и булевыми кольцами. Также исследованы инволюции в кольцах формальных матриц второго порядка со значением в коммутативном кольце.

Первая глава посвящена основным определениям и классификации инволюций в алгебре верхнетреугольных матриц над полями характеристики 2 и булевыми кольцами. В частности, в первом параграфе приводятся определения ортогональной и симплектической инволюций, а также критерий эквивалентности инволюций. Получены новые критерии эквивалентности инволюций в алгебре верхнетреугольных матриц над коммутативными кольцами. Вводятся специальные отношения эквивалентности, позволяющие в дальнейшем значительно упростить классификацию инволюций. Во втором параграфе проводится классификация с точностью до эквивалентности инволюций первого рода в алгебре верхнетреугольных матриц на полями характеристики 2. Получены необходимые и достаточные условия конечности классов эквивалентности инволюций в данной алгебре. В третьем параграфе получены похожие результаты классификации инволюций первого рода в случае булевых колец. Ставится проблема классификация инволюций в алгебре верхнетреугольных матриц над произвольными коммутативными кольцами, в которых 2 не является обратимым элементом. Четвертый параграф посвящен классификации инволюций второго рода над конечными полями характеристики 2.

Во второй главе изучается проблема классификации инволюций первого рода в алгебре верхнетреугольных матриц над кольцом целых алгебраических чисел квадратичных полей. В первом параграфе второй главы приводятся основные полученные результаты и получено утверждение, позволяющее свести классификацию инволюций в Тп(К) к классификации инволюций в Тп(К/2К). Во втором параграфе второй главы получено большое количество технических результатов, являющихся доказательством основных теорем данной главы. В частности найдены эквивалентные формулировки условий в рамках теории

уравнений Пелля [11].

Третья глава посвящена исследованию группы внешних автоморфизмов колец Крылова над факториальными кольцами, изучению описания инволюций первого рода в данном кольце и постановке проблемы их классификации с точностью до эквивалентности. В первом параграфе третьей главы приводятся определения кольца Крылова, группы внешних автоморфизмов, колец формальных матриц порядка п и приводится понятие определителя в кольцах формальных матриц. Получено описание группы внешних автоморфизмов кольца К8(Я). Во втором параграфе третьей главы получено описание инволюций в кольце К8(Я) в случае, когда в - обратимый элемент в Я или в = 0. В третьем параграфе третьей главы описываются все инволюции в кольце Крылова для й - необратимого и не равного нулю. В четвертом параграфе третьей главы проводится классификация инволюций в К8(Я).

Цели и задачи диссертационного исследования. Целями

диссертационной работы являются:

1. классификация инволюций в алгебре верхнетреугольных матриц над коммутативными кольцами;

2. описание инволюций в кольцах Крылова над факториальными кольцами.

Можно выделить следующие основные задачи диссертационного исследования:

1. получение критериев эквивалентности инволюций первого рода в алгебре верхнетреугольных матриц над коммутативными кольцами;

2. классификация инволюций первого рода в алгебре верхнетреугольных матриц над полями характеристики 2 и булевыми кольцами;

3. нахождение необходимых и достаточных условий конечности классов эквивалентности инволюций;

4. классификация инволюций второго рода в алгебре верхнетреугольных матриц над конечными полями характеристики 2;

5. сведение проблемы классификации инволюций в алгебре верхнетреугольных матриц Тп(Я) над коммутативными кольцами к классификации инволюций в Тп(Я/2Я) над фактор кольцом Я/2Я данного кольца;

6. исследование группы внешних автоморфизмов кольцах Крылова над факториальными кольцами;

7. получение явного вида инволюций в кольцах KS(R) в случае, когда s -обратим или равен нулю и для 0 = s € R\U(R).

Выносимые на защиту положения. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационного исследования:

1. Получена полная классификация инволюций первого рода в алгебре верхнетреугольных матриц над полями характеристики 2 и булевыми кольцами.

2. Получена полная классификация инволюций первого рода в алгебре верхнетреугольных матриц над кольцом целых алгебраических чисел квадратичных полей.

3. Получено описание инволюций в кольцах Крылова над факториальными кольцами.

Научная новизна результатов исследования. Все основные результаты работы являются новыми. Некоторые теоремы первой и третьей главы получены в нераздельном сотрудничестве с Д.Т. Тапкиным. В заключении диссертационной работы изложены итоги выполненного исследования, а также некоторые перспективы для дальнейшей разработки темы.

Методология и методы исследования. В диссертации использованы классические методы теории колец. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории колец.

Степени достоверности результатов и их апробация. Все основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 8 (восьми) работах [31]-[38], из которых 3 (три) работы [31]-[33] опубликованы в отечественных изданиях, которые входят в международные реферативные базы данных и системы цитирования (ВАК, Scopus / Web of Science).

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Результаты диссертационной работы носят теоретический характер. Полученные в

работе результаты могут найти свое применение в дальнейших теоретических исследованиях в рамках теории колец. Кроме того, результаты диссертационной работы могут использоваться при написании учебных пособий и монографий, а также при чтении специальных курсов по теории колец в высших учебных заведениях Российской Федерации.

Результаты диссертационного исследования по мере их получения были доложены автором: на всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2020» (Россия, г. Казань, 01-04 декабря 2020 г.), на международной конференции по «Алгебре, анализу и геометрии» (Россия, г. Казань, 22-28 августа 2021 г.), на всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2021» (Россия, г. Казань, 01-04 декабря 2021 г.), на международной конференции «Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории» (Россия, г. Тула, 17-21 мая 2022 г.), на международном воркшопе по «Кольцам, модулям и абелевым группам» (Россия, г. Казань, 28 ноября - 02 декабря 2022 г.), на международной конференции «Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории» (Россия, г. Тула, 26-29 сентября 2023 г.). Кроме того, результаты докладывались на научных семинарах и итоговых конференциях кафедры алгебры и математической логики Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета в 2020-2023 гг.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация включает в себя введение, три главы, каждая из которых разбита на параграфы, заключение и список литературы, содержащий 38 наименований, включая список работ, опубликованных автором по теме диссертации. Общий объем диссертации - 130 страниц.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. Абызову Аделю Наилевичу за постановку основных задач, постоянное внимание, ценные советы и критические замечания при выполнении настоящей работы, к.ф.-м.н. Тапкину Данилю Тагирзяновичу за полезные обсуждения, рекомендации и

действенную поддержку работы, коллективу кафедры алгебры и математической логики Института математики и механики им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета, в том числе, заведующему кафедрой д.ф.-м.н., профессору Марату Мирзаевичу Арсланову за создание благожелательной атмосферы и условий, способствовавших написанию диссертации.

Глава 1

Инволюции в алгебрах верхнетреугольных матриц

В этой главе вводятся основные понятия и свойства инволюций алгебры верхнетреугольных матриц. Проводится классификация инволюций в алгебре верхнетреугольных матриц над полями характеристики 2 и булевыми кольцами. Ставится проблема классификации инволюций в Тп(К) над произвольными коммутативными кольцами Я, в которых 2 не является обратимым элементом.

§1.1 Предварительные сведения

Пусть Я - коммутативное кольцо и А - произвольная Д-алгебра.

Определение 1.1.1. Д-линейное отображение 7 : А ^ А называется инволюцией, если Уа, Ь Е А: 7(аЬ) = 7(Ь)^(а) и 72(а) = а.

Определение 1.1.2. Инволюция 7 называется инволюцией первого рода, если 7 тождественно действует на центре алгебры А. В противном случае, инволюция 7 называется инволюцией второго рода.

В этом параграфе везде под инволюцией мы будем подразумевать инволюцию первого рода.

Стандартным примером инволюций в алгебре кватернионов ( —\ является

сопряжение:

х0 + х\% + х2] + х3к = х0 — х\% — х2] — х3к, где х0,х\,х2,х3 Е Р, Р - поле характеристики отличной от двух.

Теорема 1.1.3. Всякая инволюция в алгебре кватернионов является либо сопряжением, либо представима в виде композиции сопряжения и 1пЪ(и), где и - обратим и и = —и.

Первым к изучению инволюций в центральных простых алгебрах преступил Альберт.

Теорема 1.1.4 ([12]). В центральной простой алгебре А над полем Р существует инволюция тогда и только тогда, когда А антиизоморфна себе.

Достаточно много результатов относительно инволюций было получено в алгебрах инцидентности. Чтобы поведать о них, для начала напомним определение.

Определение 1.1.5. Пусть дано множество X и на нем задано бинарное отношение <. Будем говорить, что на множество X задан предпорядок, если выполняются следующие свойства:

(1) х < х для всех х Е X (рефлексивность);

(2) х < у, у < ^ влечет х < х для всех х,у,г Е X (транзитивность).

Предпорядок < на X называется локально конечным, если для всех х,у Е X конечно множество

{г Е X \х < г < у] .

Говорят, что множество X частично упорядоченно, если на X задан предпорядок < такой, что х < у, у < х влечет х = у для всех х,у Е X (антисимметричность).

Говорят, что два элемента х,у Е X сравнимы в X, если либо х < у, либо у < х.

Определение 1.1.6. Алгеброй инцидентности I(Х,Я) локально конечного предпорядка < на X над коммутативным кольцом Я называется множество отображений

I(X, Я) = {/ : X х X ^ Я \ /(х, у) = 0 если х< у] со следующими операциями сложения, умножения и умножения на скаляр из Я:

(/ + 9)(^ У) = Iу) + 9(х, y), (/ • 9)(х,у)=^2 /(х,г) g(z,y),

х<г<у

(г • /)(х,у) = г/(x,y),

для всех /,д Е I(X, Я), г Е Я и х,у,х Е X.

Сумма в определении алгебры инцидентности определена в силу локальной-конечности множества X. Непосредственная проверка показывает, что I(X, К) в самом деле является Д-алгеброй.

В 2005 году Шпигелю удалось установить связь между существованием инволюций в алгебре инцидентности и в соответствующем локально конечном частично упорядоченном множестве.

Теорема 1.1.7 ([26]). Пусть X - локально конечное частично упорядоченное множество и Р - поле. В алгебре I(X, Р) существует инволюция тогда и только тогда, когда в X существует инволюция.

В статье [14] исследовались инволюции в алгебре инцидентности I(X, Р) над полем Р характеристики не равной 2 и частично-упорядоченным множеством X. А именно, авторы исследовали какие инволюции эквивалентны с помощью внутреннего автоморфизма, а потом применяли классификацию автоморфизмов в I(X, Р) для исследования эквивалентности инволюций в целом.

Позже было получено описание инволюций в алгебрах инцидентности над полем.

Теорема 1.1.8 ([16]). Пусть X - локально конечное множество, Р -поле. Любую инволюцию 7 алгебры инцидентности А = I(X, Р) можно записать в виде 7 = Ф о М о р, где Ф - внутренний автоморфизм А, М - мультипликативный автоморфизм А, р - инволюция А, индуцированная инволюцией множества X.

Через Тп(Щ мы будем обозначать кольцо верхнетреугольных матриц порядка п над коммутативным кольцом Я, которое мы будем рассматривать как подкольцо Мп(Щ. Матричные единицы данного кольца обозначим через Е'у. Введем несколько специальных инволюций.

Для каждой матрицы А Е Тп(В) положим А* = JAT3-1, где

3 =

( о ... о 1 Л 0 ... 10

V1 ... 0 °/

12

Е Мп(Я).

Нетрудно видеть, что Ег]* = Еп+Х-¿п+1-г

Ясно, что отображение *, определенное выше и действующее по правилу А ^ З З—1, является инволюцией Тп(К), которая называется ортогональной.

То есть, под действием ортогональной инволюции матрица А переходит в матрицу А*, которая получается из исходной симметрией относительно побочной диагонали.

Пусть теперь п = 2т и т Е N. Возьмем е Е Я такой, что е1 = 1, и определим

матрицу И£ как [ т ] Е Тп(Я).

\ 0 £ 1т)

Отображение А ^ В£А*В£-1 алгебры Тп(В) называется е-симплектической инволюцией. При £ = 1 получаем ортогональную инволюцию, а при £ = —1 это определение совпадает с классическим определением симплектической инволюции, а имен но, отображения, действующего по правилу А ^ 0А*0—1,

где В = ('"I 0 ) Е Тп(Д).

\ 0 1 т I

Аналогично определяются ортогональная и симплектическая инволюции в полных матричных алгебрах.

Определение 1.1.9. Пусть (А, и (В, а) - две алгебры с инволюциями 7 и а. Говорят, что данные алгебры изоморфны как алгебры с инволюциями, если существует изоморфизм алгебр : А ^ В такой, что ^(^(а)) = а(ср(а)) для любого а Е А. Будем называть инволюции 7 и а алгебры А эквивалентными, если (А, и (А, а) изоморфны как алгебры с инволюциями.

Например, две инволюции в полной матричной алгебре являются эквивалентными, когда их действия совпадают, с точностью до выбора матричных единиц.

В частности, транспонирование в полной матричной алгебре эквивалентно ортогональной инволюции.

Теорема 1.1.10 ([13]). Пусть поле Р алгебраически замкнуто, А Е Мп(Р). Тогда

1. если п > 1 нечетно, то в алгебре Мп(Р) все инволюции попарно эквивалентны;

2. если п четно, то любая инволюция эквивалентна либо транспонированию, либо симплектической инволюции.

В [30, Proposi.ti.on 2.1] был получен критерий эквивалентности инволюций в алгебре, в которой все автоморфизмы внутренние. Согласно классическому результату [22], алгебра Тп(К) удовлетворяет этому условию для любого коммутативного кольца Я.

Предложение 1.1.11 ([30]). Пусть кольцо Я коммутативно и 7 и т -некоторые инволюции алгебры Тп(К).

1. Существует обратимая матрица В Е Тп(К) такая, что 1 (А) = Вт (А) В-1 для всех А Е Тп(В).

2. Инволюции 7 и т эквивалентны тогда и только тогда, когда существует обратимая матрица С Е Тп(В) такая, что 7(А) = Ст(С) т(А) (Ст(С))-1 для всех А Е Тп(К).

Также, была проведена классификация инволюций в алгебре верхнетреугольных матриц над полем отличной от 2 характеристики.

Теорема 1.1.12 ([30]). Пусть Р - поле характеристики отличной от 2, А Е Тп (Р). Тогда

1. если п > 1 нечетно, то в алгебре Тп(Р) все инволюции попарно эквивалентны;

2. если п четно, то любая инволюция эквивалентна либо ортогональной инволюции, либо симплектической инволюции.

В частности, любая инволюция алгебры Тп(К) должна иметь вид

А ^ В А* В-1

для некоторой обратимой матрицы В Е Тп(К). Обозначим такую инволюцию через 7в и выясним, каким свойством должна обладать матрица В. Также, используя предложение 1.1.11, получим критерий эквивалентности инволюций 7в и 7с в терминах матриц.

Лемма 1.1.13. Пусть кольцо Я коммутативно и матрицы В,С Е Тп(Я) обратимы. Отображение 7в, определенное как 7в (А) = В А* В—1, будет инволюцией тогда и только тогда, когда В* = В, где 1 = 1.

Более того, инволюции 7в и 7с эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют матрица У Е Тп(Я) и X Е и (Я) такие, что

УСУ * = ХВ.

Доказательство. 1) Непосредственно проверяется, что отображение 7в является антиавтоморфизмом. Поэтому 7в будет инволюцией тогда и только тогда, когда является тождественным отображением. Допустим, что ^ = 1. Для произвольной матрицы А Е Тп(Я)

А = 72В(А) = 1в(В А* В—1) = В (В А* В—1)* В—1 = (В(В—1)*) А (В*В—1).

Получаем, что матрица В*В—1 коммутирует со всеми матрицами из Тп(Я). Следовательно, найдется элемент £ Е и (Я) такой, что В *В—1 = еЕ. Или иначе, В * = еВ. Так как * является инволюцией, то

В = ( В*)* = ( В)* = 1 В.

В силу обратимости В, получаем 1 = 1. Непосредственно проверяется, что это условие достаточно для того, чтобы отображение 7в было инволюцией.

2) Рассмотрим две инволюции 7в и 7с и выразим одну через другую. Для любой матрицы А Е Тп(Я)

1в(А) = ВА* В—1 = (ВС—1) СА*С—1 (ВС—1)—1 = (ВС—1) 1с(А) (ВС—1)—1.

Так как центр алгебры Тп(Я) состоит из всех скалярных матриц, то в силу предложения 1.1.11, эквивалентность инволюций 7в и 7с равносильна существованию матрицы V Е Тп(Я) и X Е и (Я) таких, что У^с (V) = ХВС—1.

Последнее условие, очевидно, равносильно выполнению равенства УСУ * = ХВ. □

Таким образом, для каждого £ Е Я такого, что е2 = 1, у нас возникает свой класс инволюций 7в таких, что В * = еВ. Оказывается, что инволюции разных видов не могут быть эквивалентны.

Лемма 1.1.14. Пусть кольцо Я коммутативно и матрицы В,С Е Тп(Я) обратимы. Пусть также В * = еВ и С * = шС, где е,ш Е Я, е2 = 1, ш2 = 1 и е = ш. Тогда инволюции 7в и 7с не эквивалентны.

Доказательство. Будем рассуждать от противного. Допустим, 7в и 7с эквивалентны. Согласно лемме 1.1.13, найдутся обратимая матрица У Е Тп(Я) и Л Е и (Я) такие, что В = Х-1 (УСУ *). Получаем цепочку равенств

еВ = В * = (Х-1(УСУ *))* = Х-1(УС*У*) = шХ-1(УСУ*) = иВ,

что невозможно в силу обратимости В. □

Допустим, что в кольце Я существует элемент £ = 1 такой, что е2 = 1. Пусть также В Е Тп(Я) обратима и В * = еВ. В силу того, что матрица В верхнетреугольная обратимая, нетрудно видеть, что В должна быть четного порядка. Поэтому, согласно лемме 1.1.14, задача классификации инволюций распадается на две подзадачи:

1. классификация инволюций 7в, где В * = В;

2. классификация инволюций 7в, где В * = еВ для фиксированного £ =1.

Если, к примеру, Я - поле характеристики 2, то, естественно, остается лишь случай В * = В. Однако, уравнение е2 = 1 может иметь и бесконечно решений, что автоматически даст бесконечное число классов эквивалентности инволюций.

Пример 1.1.15. Пусть М - коммутативное кольцо характеристики 2, которое мы будем рассматривать как бимодуль над Ъ2. Рассмотрим кольцо матриц

/ Ж2 м\

о = I ^ / В качестве подкольца Я возьмем те элементы Я, у которых на главной диагонали стоят одинаковые элементы. Нетрудно убедиться, что Я -

коммутативное кольцо. При этом множество решений уравнения е1 = 1 в Я имеет 1 т

вид

0 1

теМ

Перейдем к классификации инволюций 7в. Отдельно рассмотрим случаи четной и нечетной размерности матрицы В. Для начала нам потребуется пара технических лемм. Введем следующее обозначение: квадратную матрицу размера пхп, на побочной диагонали которой стоят элементы а1,... ,ап (начиная с правого верхнего угла), будем обозначать через adiag(a1,... ,ап).

Пусть к Е N и обратимая матрица В Е Т2к+1(Я) такая, что В * = В, задает некоторую инволюцию 75. Так как по инволюции 73 матрица В определяется с точностью до обратимого множителя, то, не нарушая общности, можно считать, что матрица В имеет блочно верхнетреугольный вид

В =

^ X а

0 1 ь \°0 у/

Х,У Е Тк(Я).

Для удобства дальнейшего изложения введем обратную нумерацию элементов матрицы Z, начиная с правого верхнего угла, то есть

Z =

/

¿к-1,1 1,1

22,1

¿1,1

\

¿2,1 ¿1,1

%к,к-1 %к-\,к-1 . . . %1,к-1 %1,к-1

V

%к,к

%к- 1,к

%1,к %1,к

/

Матрицу Z с данной нумерацией элементов будем обозначать При этом

элемент на пересечении % строки и у столбца матрицы 2 равен

Лемма 1.1.16. Пусть кольцо Я коммутативно и к Е N. Пусть также даны обратимые матрицы В, В' Е Т2к+1(Я) такие, что В * = В и (В ')* = В', причем

В =

/ X а г \

0 1 ъ

0 0 X *

в' =

( У а' г' ^

0 1 Ъ' 0 0 У *

х,у е тк(я), г, г' е мк(я).

Тогда следующие условия эквивалентны:

1. инволюции 7в и 7в' эквивалентны;

2. Z = ), = (г'к+х_- ¡) и существуют элементы Сц Е и (Я),

вг, Сгп Е Я, для всех 1 < г < к и г < ] < к такие, что

I с2 + е2

+ е2 + ]Г 4Е 2Я.

з=»+1

Доказательство. Доказательство разобьем на два этапа. Для начала, сведем задачу к матрицам В и В' упрощенного вида. Положим

В =

( 1к 0 я^

V

0 1 0 0 0 1к

/

где Н = а&т^гп,... , гкк). Очевидно, что В * = В. Утверждается, что инволюции 7в и ^ эквивалентны. В самом деле, согласно лемме 1.1.13 достаточно привести такую матрицу У Е Т2к+1(Я), что УВУ* = В. Положим

V =

( 1к 0 С1Л

V

0 1 ъ

0 0 X *

/

где С13 Е Мк(Я) определяется из равенства С13 + С*3 = 2 — Н. Такая матрица существует, так как матрица 2 — Н симметрична относительно побочной диагонали, а сама побочная диагональ нулевая. Заметим также, что столбец а в матрице В получается из строки Ь путем транспонирования и обращения порядка элементов. Непосредственная проверка показывает, что

У * =

(

\

X а С

\

13

0 1 0 0 0 1к !

УВУ * =

( X а (Си + С*13) + Н \

0 1 ь

0 0 X*

\

= в.

/

Так как побочные диагонали матриц В и В совпадают, то достаточно доказать утверждение леммы для матриц в упрощенной форме. Итак, пусть инволюции 7в и 7в' заданы матрицами

В =

( Ь 0

V

010 0 0 1к )

в' =

( и 0 нЛ

1к 01

0

V

0 0 1к !

где Н = adiag(zl 1,...,Хкк), Н' = adiag(z| 1,...,х'кк). Согласно лемме 1.1.13, эквивалентность инволюций 7в и 7в' равносильна существованию матрицы У Е Т1к+1 (Я) и скаляра Л Е и (Я) такого, что УВУ * = ХВ'.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кульгускин Иван Александрович, 2024 год

Список литературы

[1] Абызов, А. Н. Кольца формальных матриц и их изоморфизмы / А. Н. Абызов, Д. Т. Тапкин // Сиб. мат. журнал. - 2015. - Т. 56. - С. 1199-1214.

[2] Крылов, П. А. Об изоморфизме колец обобщенных матриц / П. А. Крылов. // Алгебра и логика. - 2008. - Т. 47. - Вып. 4. - С. 456-463.

[3] Крылов, П. А. Автоморфизмы алгебр формальных матриц / П. А. Крылов, Ц. Д. Норбосамбуев // Сиб. мат. журнал. - 2018. - Т. 59. - Вып. 5. - С. 1116-1127.

[4] Крылов, П. А. Кольца формальных матриц и модули над ними / П. А. Крылов, А. А. Туганбаев. - Москва: МЦНМО, 2017. - 192 с.

[5] Крылов, П. А. Группы автоморфизмов колец формальных матриц / П. А. Крылов, А. А. Туганбаев // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. - 2019. - Т. 164. - С. 96-124.

[6] Крылов, П. А. Формальные матрицы и их определители / П. А. Крылов, А. А. Туганбаев // Фундамент. и прикл. матем. - 2014. - Т. 19. - Вып. 1. - С. 65-119

[7] Ленг, С. Алгебраические числа / С. Ленг - М.: Мир, 1966, - 224 с.

[8] Пирс, Р. Ассоциативные алгебры / Р. Пирс. - Москва: Мир, 1986. - 543 с.

[9] Тапкин, Д. Т. Изоморфизмы колец формальных матриц с нулевыми идеалами следа / Д. Т. Тапкин // Сиб. мат. журнал. - 2018. - Т. 59 - Вып. 3. - С. 659-675.

[10] Тапкин, Д. Т. Кольца формальных матриц и их изоморфизмы: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Д. Т. Тапкин // Казань. - 2018. - 156 с.

[11] Чанга, М. Е. Элементарная теория уравнений Пелля / М. Е. Чанга - Учебное пособие. - Москва: МПГУ, 2019. - 36 с.

[12] Albert, A. A. Structure of algebras / A. A. Albert. - Amer. Math. Soc. Colloquium Publ. 24 (AMS, Providence, R.I.), 1939. - 210 p.

[13] Beidar, K. I. Rings with Generalized Identities / K. I. Beidar, W. S. Martindale III, A. V. Mikhalev - Dekker, 1996. - 522 p.

[14] Brusamarello, R. Classication of involutions on incidence algebras / R. Brusamarello, E. Z. Fornaroli, E. A. Santulo Jr. // Comm. Alg. - 2011. - Vol. 39. - P. 1941-1955.

[15] Brusamarello, R. Classification of involutions on finitary incidence algebras / R. Brusamarello, E. Z. Fornaroli, E. A. Santulo Jr. // Internat. J. Algebra Comput. - 2014. - Vol. 24. - № 8. - P. 1085-1098.

[16] Brusamarello, R. Anti-automorphisms and involutions on (finitary) incidence algebras / R. Brusamarello, E. Z. Fornaroli, E. A. Santulo Jr. // Linear Multilinear Algebra. - 2012. - Vol. 60. - P. 181-188.

[17] Brusamarello, R. Automorphisms and involutions on incidence algebras / R. Brusamarello, D. W. Lewis // Linear and Multilinear Algebra. - 2011. - Vol. 59. - № 11. - P. 1247-1267.

[18] Fornaroli, E. Z. Anti-isomorphisms and involutions on the idealization of the incidence space over the finitary incidence algebra / E. Z. Fornaroli, R. E. M. Pezzott // Linear Algebra Appl. - 2022. - Vol. 637. - P. 82-109.

[19] Fornaroli, E. Z. Involutions of the Second Kind on Finitary Incidence Algebras / E. Z. Fornaroli // Bull. Braz. Math. Soc., New Series. - 2023. - Vol. 54.

[20] Isaacs, I. M. Automorphsm of matrix algebras over commutative rings / I. M. Isaacs. // Linear Algebra Appl. - 1980. - Vol. 31. - P. 215-231.

[21] Jacobson, N. Finite-dimensional division algebras over fields / N. Jacobson. -Springer-Verlag, Berlin, 1996. - 278 p.

[22] Kezlan, T. P. A note on algebra automorphisms of triangular matrices over commutative rings / T. P. Kezlan // Linear Algebra and it's Applications. - 1990. -Vol. 135. - P. 181-184.

[23] Knus, M. A. The Book of Involutions / M. A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost, J.-P. Tignol - Amer. Math. Soc. Colloquium Publ. 44 (AMS, Providence, R.I.), 1998.

- 593 p.

[24] Krylov, P. A. Automorphisms of Formal Matrix Rings / P. A. Krylov, A. A. Tuganbaev //J. Math. Sci. - 2021. - Vol. 258. - № 2. - P. 222-249.

[25] Scharlau, W. Automorphisms and involutions of incidence algebras / W. Scharlau // Lectures Notes in Mathematics. - 1975. - Vol. 488. - P. 340-350.

[26] Spiegel, E. Incidence Algebras / E. Spiegel, C. J. O'Donnell - Marcel Dekker, Inc., New York, 1997. - 354 p.

[27] Spiegel, E. Involutions in incidence algebras / E. Spiegel. // Linear Algebra App.

- 2005. - Vol. 405. - P. 155-162.

[28] Tang, G. Study of Morita contexts / G. Tang, C. Li, Y. Zhou // Comm. Algebra.

- 2014. - Vol. 42. - № 4. - P. 1668-1681.

[29] Urure, R. I. Q. Involutions of the Second Kind for Upper Triangular Matrix Algebras / R. I. Q. Urure, D. C. Silva // Comm. Algebra. - 2023. - Vol. 51. - № 6.

- P. 2326-2333.

[30] Vincenzo, O. M. Involutions for upper triangular matrix algebras / O. M. Vin-cenzo, P. Koshlukov, R. Scala // Advances in Applied Mathematics. - 2006. - Vol. 37. - P. 541-568.

Работы автора по теме диссертации в рецензируемых научных изданиях из перечня ВАК, Scopus / Web of Science

[31] Кульгускин, И. А. Инволюции в алгебре верхнетреугольных матриц / И. А. Кульгускин, Д. Т. Тапкин // Известия вузов. Математика. - 2023. - № 6. - С. 11-30.

[32] Кульгускин, И. А. Инволюции в алгебре верхнетреугольных матриц над кольцом целых алгебраических чисел квадратичных полей // Чебышевский сб. - 2023. - Т. 24. - Вып. 5. - С. 85-111.

[33] Kulguskin, I. A. Involutions of KS(R) / I. A. Kulguskin, D. T. Tapkin // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2024. - Т. 45. № 4. - С. 1644-1659.

Тезисы конференций

[34] Кульгускин, И. А. Инволюции в кольце KS(Z) / И. А. Кульгускин, Д. Т. Тапкин // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 59. Лобачевские чтения - 2020: материалы XIX Всероссийской молодежной научной школы-конференции (1-4 декабря 2020 г., Казань). - Казань: Изд-во Академии наук РТ, 2020. - С. 96-97.

[35] Кульгускин, И. А. Инволюции в алгебре верхнетреугольных матриц / И. А. Кульгускин, Д. Т. Тапкин // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 60. Материалы Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии 2021 (22-28 декабря 2021 г., Казань). - Казань: Изд-во Академии наук РТ, 2021. - С. 88-89.

[36] Кульгускин, И. А. Инволюции в алгебре верхнетреугольных матриц над коммутативными кольцами / И. А. Кульгускин, Д. Т. Тапкин // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.61. Лобачевские чтения - 2021: материалы XX Всероссийской молодежной научной школы-конференции (1-4 декабря 2021 г., Казань). - Казань: Изд-во Академии наук РТ, 2021. - С. 104-106.

[37] Кульгускин, И. А. Инволюции в алгебре верхнетреугольных матриц над кольцом целых алгебраических чисел квадратичных полей / И. А. Кульгускин, М. Е. Чанга // Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории: материалы XXI Международной конференции, посвящ. 85-летию со дня рождения А.А Карацубы (Тула, 17-21 мая 2022 г.). - Тула: Тул. гос. пед. ун-т им. Л.Н. Толстого, 2022. - С. 131-133.

[38] Кульгускин, И. А. Инволюции второго рода алгебры верхнетреугольных матриц / И. А. Кульгускин, Д. Т. Тапкин // Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории: материалы XXII Международной конференции, посвящ. 120-летию со дня рожд. академика А.Н. Колмогорова и 60-летию со дня открытия школы-интерната №18 при Московском университете (Тула, 26-29 сентября 2023 г.). - Тула: Тул. гос. пед. ун-т им. Л.Н. Толстого, 2023. - С. 93-95.