Кольца формальных матриц и их изоморфизмы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Тапкин, Даниль Тагирзянович

• Тапкин, Даниль Тагирзянович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Тапкин, Даниль Тагирзянович

Оглавление

Введение

1 Кольца формальных матриц

1.1 Предварительные сведения

1.2 Кольца формальных матриц со значением в кольце

1.3 Группа внешних автоморфизмов

2 Кольца формальных матриц с нулевыми идеалами следа

2.1 Предварительные сведения

2.2 Кольца формальных матриц с нулевыми идеалами следа

2.3 Автоморфизмы колец формальных матриц

3 Кольца инцидентности формальных матриц

3.1 Алгебры инцидентности

3.2 Обобщенные алгебры инцидентности

3.3 Проблема изоморфизма

3.4 Классификация алгебр инцидентности порядка не выше 4

3.5 Изоморфизмы колец инцидентности формальных матриц

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кольца формальных матриц и их изоморфизмы»

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Диссертационная работа посвящена исследованию проблемы изоморфизма колец формальных матриц и исследованию смежной проблемы, нахождению общего вида автоморфизмов колец формальных матриц. В настоящей работе исследованы кольца формальных матриц со значением в кольце, кольца верхнетреугольных формальных матриц и близкие им кольца.

Одной из классических проблем современной алгебры является проблема гомологической классификации колец, а именно изучение связей между свойствами колец и категории модулей над ними. В связи с этим актуальной является проблема описания эквивалентности категорий модулей, которая была исследована и решена К. Мори та в статье [33] в терминах существования контекста Мориты. Это упорядоченная шестерка (Я, М, Ж, р, ф)7 где Д, £ - кольца, М, N - 6и.модули, и они связаны между собой с помощью би.модульных гомоморфизмов риф.

естественными операциями матричного сложения или умножения. Такие кольца называются кольцами контекста Мориты или кольцами формальных матриц порядка 2. Аналогично можно определить и кольца формальных матриц произвольного порядка п. Если какое-либо кольцо Я содержит нетривиальный идемпотент е, то кольцо Я можно рассматривать как кольцо формальных матриц

является кольцом формальных матриц. Все это подтверждает целесообразность изучения колец формальных матриц. Особо широкое развитие изучение теоретико-кольцевых свойств колец формальных матриц и модулей над ними получило в последнее время (см. [25], [9], [3], [4], [1] ).

Важным классом колец формальных матриц являются кольца верхнетреугольных формальных матриц (см. [25], [27]). Эти кольца часто

Имея контекст Мориты, можно задать кольцо матриц

с

еЯе еЯ(1 - е)

(1 - е)Яе (1 - е)Я( 1 - е)

. Так кольцо эндоморфизмов разложимого модуля

используют для построения колец с асимметричными свойствами (к примеру, нетерово слева, но не справа кольцо). При изучении верхнетреугольных колец формальных матриц был поставлен вопрос восстановления диагональных колец по кольцу формальных матриц (см. [30]). В рамках этой проблемы в работах [30], [11] был получен явный вид изоморфизма верхнетреугольных колец контекста Мориты сначала с условием, что диагональные кольца не содержат идемпотентов, а затем, когда диагональные кольца - полуцентральные приведенные. В статье [19] был получен явный вид изоморфизма уже для колец контекста Мориты с нулевыми идеалами следа. В статье [12] был получен критерий изоморфизма для колец верхнетреугольных матриц, но в итеративной форме: для цепочки колец существует цепочка изоморфизмов. Проблема описания общего вида изоморфизмов осталась открытой.

Естественным частным случаем колец формальных матриц являются кольца контекста Мориты со значением в кольце R, т.е. кольца формальных матриц { R R\

вида I ^ ^ I. Впервые такие кольца были введены и изучены П.А. Крыловым

в статье [2]. Эти кольца получили обозначение KS(R)7 ще s - центральный элемент кольца Л, определяющий произведение в кольце формальных матриц. Для них была поставлена и решена проблема изоморфизма: при каких условиях па элементы s и t кольца KS(R) и Kt(R) изоморфны? При определенных ограничениях па кольцо R изоморфизм имеет место в том и только в том случае, когда элементы s и t с точностью до автоморфизма отличаются на обратимый элемент. Эта статья инициировала целый ряд исследований. Так в статье [43] этот критерий изоморфизма был перенесен на более широкий класс колец Л, а в статье [42] был введен уже новый класс колец формальных матриц порядкап, для которых также выполняется аналогичное условие. Для колец формальных матриц со значением в кольце было введено понятие определителя, характеристического многочлена, доказана теорема Гамильтона Кэли. Была рассмотрена проблема изоморфизма для еще более широкого класса колец матриц (см. [4]). Были изучены группы Гротендика и Уайтхеда. Всестороннее исследование колец формальных матриц можно найти в монографии [5].

Так как кольца формальных матриц естественным образом обобщают обыкновенные матричные кольца, то на них стали переносить уже рассмотренные ранее проблемы для матричных колец. Так широко известным следствием из теоремы Сколема-Нетер является тот факт, что все автоморфизмы алгебры матриц над полем являются внутренними. При исследовании группы автоморфизмов матричных алгебр, стало ясно, что над коммутативным кольцом автоморфизмы не обязаны быть внутренними. В качестве меры того, насколько они не внутренние, была изучена группа внешних автоморфизмов. В статье [28] было показано, что любой автоморфизм алгебры матриц над коммутативным кольцом в некоторой фиксированной степени, зависящей от конкретной алгебры, обязан быть внутренним.

Если группа автоморфизмов матричных алгебр устроена достаточно сложно, то простым фактом является то, что изоморфизм матричных колец М2(Я) = М2(Б), над коммутативными кольцами ^^ равносилен изоморфизму колец Д и б*. Для некоммутативного случая это уже неверно. Этот вопрос изучался, в частности, в статьях [41], [38], [20], где были приведены различные примеры достаточно хороших колец Следующим шагом было

рассмотрение алгебр инцидентности, которые уже являют собой частный случай колец формальных матриц.

Алгебры инцидентности I(X, К) (см. [39]) локально-конечного частично упорядоченного множества X над коммутативным кольцом Я были введены Жан-Карло Рота в статье [35] в качестве естественного инструмента для решения комбинаторных проблем. Так в них была определена функция Мебиуса, доказаны формула обращения Мебиуса и принцип включения-исключения. Однако, вскоре стало ясно, что введенный объект интересен и сам по себе. К примеру, он включает в себя декартово произведений копий кольца Я и кольцо верхнетреугольных матриц над Я. Р. П. Стэнли поставил и решил (см. [40], [23]) проблему изоморфизма алгебр инцидентности над полем для частично упорядоченных множеств. Оказалось, что I(X, Г) = I(У, Г) влечет изоморфизм порядков X и У. Р. В. Белдинг [16] обобщил эту теорему па предпорядки, хотя бы один из которых конечен. Это привело к целому ряду работ (см. [6], [44], [26], [22],

[10]). Обзор результатов можно найти в статье [10]. Однако, далеко не всегда можно восстановить исходный порядок. Так в статье [22] было построено кольцо Д, которое изоморфно кольцам М2(Я), Т2(Я), Я 0 Я. Также изучалась проблема изоморфизма на языке группоидов (см. [7]), для алгебр инцидентности над полукольцами (см. [8]). В ряде работ был получен общий вид автоморфизма алгебр инцидентности (см. [15], [21], [39]).

В диссертационной работе продолжается исследование проблемы изоморфизма для колец формальных матриц со значением в кольце. При изучении материала исследования стало понятно, что имеет смысл изучить даже более широкий объект - кольца формальных матриц, где каждый бимодуль равен либо 0, либо фиксированному кольцу Я. По аналогии с кольцами инцидентности, этот объект был назван кольцами инцидентности формальных матриц.

Первая глава посвящена основным определениям и изучению непосредственно классов колец формальных матриц со значением в кольце. В частности, в первом параграфе приводится определение кольца формальных матриц и основные свойства, приводится теорема Крылова о изоморфизме колец вида К ¡(Я). Во втором параграфе рассматриваются специальные классы колец формальных матриц. Вводится новый класс колец формальных матриц, включающий в себя как кольца Крылова, так и кольца из работы [42]. Для некоторых случаев, впрочем полностью покрывающих и заметно дополняющих приведенные ранее, решается проблема изоморфизма. В третьем параграфе исследуются автоморфизмы колец Крылова со значением в кольце целых чисел.

Во второй главе изучаются автоморфизмы колец формальных матриц. В первом параграфе второй главы приводится история вопроса и последние известные результаты. Во втором параграфе второй главы получен уже явный вид изоморфизма как для колец верхнетреугольных матриц, так и для колец формальных матриц порядка п с нулевыми идеалами следа. И если для первого класса колец проблема изоморфизма была ранее решена в итеративной форме, то для второго класса колец рассматривался только случай п = 2. С помощью полученных результатов, были исследованы автоморфизмы колец формальных матриц с нулевыми идеалами следа, у которых каждый бимодуль

либо 0, либо дДн, для фиксированного кольца Я. В этом случае снова для каждой компоненты связности выполняется условие теоремы Крылова. В третьем параграфе второй главы полученные ранее результаты применяются для изучения группы автоморфизмов. Был получен класс колец верхнетреугольных матриц, все Л-автоморфизмы которого "почти" внутренние. Более того, они являются внутренними для случая дедекиндова и факториального кольца.

Третья глава посвящена исследованию проблемы изоморфизма для колец формальных матриц со значением в кольце.В первом параграфе третьей главы вводится понятие алгебры инцидентности. Приводятся основные свойства и известные результаты. Во втором параграфе третьей главы вводится понятие кольца инцидентности формальных матриц и обобщенной алгебры инцидентности. Рассматриваются их основные свойства. В третьем параграфе третьей главы решается проблема изоморфизма для обобщенных алгебр инцидентности над коммутативным локальным кольцом. Показано, что результат, аналогичный результату теоремы Крылова, выполняется только в одну сторону, а именно изоморфизм алгебр инцидентности влечет совпадение мультипликативных коэффициентов, с точностью до обратимых элементов и перестановки. В четвертом параграфе третьей главы, в дополнении к предыдущему параграфу, получена полная классификация обобщенных алгебр инцидентности порядка не выше 4, с точностью до изоморфизма. В пятом параграфе третьей главы результаты переносятся сначала на кольца формальных матриц, тем самым частично отвечая на вопросы, поставленные в статье [4], а затем и на кольца инцидентности формальных матриц.

Цели и задачи диссертационного исследования. Целями

диссертационной работы являются:

1. исследование проблемы изоморфизма колец формальных матриц;

2. нахождение явного вида автоморфизмов колец формальных матриц.

Можно выделить следующие основные задачи диссертационного исследования:

1. исследование зависимости между наличием изоморфизма колец

формальных матриц и мультипликативными коэффициентами, в частности, выполняются ли условия аналогичные условиям в теореме Крылова;

2. нахождение явного вида изоморфизма колец верхнетреугольных формальных матриц и колец формальных матриц со значением в кольце;

3. классификация колец формальных матриц с точностью до изоморфизма;

4. исследование автоморфизмов колец формальных матриц, нахождение необходимых и достаточных условий для автоморфизмов являться внутренними, нахождение группы внешних автоморфизмов.

Выносимые на защиту положения. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационного исследования:

1. Решена проблема изоморфизма для колец формальных матриц вида Мдо,...,о(Д) и М^д...,^(Я) для специальных классов колец.

2. Получен явный вид изоморфизма колец верхнетреугольных формальных матриц и формальных матриц с нулевыми идеалами следа. Найдена зависимость между мультипликативными коэффициентами. В качестве следствия были описаны автоморфизмы ряда алгебр верхнетреугольных матриц над кольцом.

3. Введено и исследовано естественное обобщение алгебр инцидентности на кольца формальных матриц.

4. Решена проблема изоморфизма для колец инцидентности формальных матриц над коммутативным локальным кольцом. Получено обобщение теоремы Крылова на этот случай. Для матриц порядка 3 над коммутативным локальным кольцом и для матриц порядка 4 над полем получены контрпримеры.

5. Получена классификация, с точностью до автоморфизма, обобщенных алгебр инцидентности порядка не более 4.

Научная новизна результатов исследования. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно. В совместных с научным руководителем публикациях А.Н. Абызову принадлежат не включенные

в диссертацию разделы, постановки задач и разработка методов исследования, в нераздельном сотрудничестве получены предложения 1.1.15 и 1.2.10, Д.Т. Тапкину принадлежат все остальные включенные в диссертацию результаты и их доказательства. В заключении диссертационной работы изложены итоги выполненного исследования, а также некоторые перспективы для дальнейшей разработки темы.

Методология и методы исследования. В диссертации использованы классические методы теории колец. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории колец.

Степени достоверности результатов и их апробация. Все основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 9 (девяти) работах [45]-[53], из которых 4 (четыре) работы [45]-[48] опубликованы в журналах, которые содержатся в "Перечне ВАК при Минобрнауки России рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук".

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Результаты диссертационной работы носят теоретический характер. Полученные в работе результаты могут найти свое применение в дальнейших теоретических исследованиях в рамках теории колец и модулей. Кроме того, результаты диссертационной работы могут использоваться при написании учебных пособий и монографий, а также при чтении специальных курсов по теории колец и модулей в высших учебных заведениях Российской Федерации.

Результаты диссертационного исследования по мере их получения были доложены автором: на международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения" (Россия, г. Тула, 25-30 мая 2015 г.), на всероссийских молодежных школах-конференциях "Лобачевские чтения-2015" (Россия, г. Казань, 22-27 октября 2015 г.) и "Лобачевские чтения-2017" (Россия, г. Казань, 24-29 ноября 2017 г.), на международной конференции по "Алгебре, анализу и геометрии" (Россия, г.

Казань, 26 июня 2 июля 2016 г.), на международной конференции "Мальцевские чтения" (Россия, г. Новосибирск, 21-25 ноября 2016 г.). Кроме того, результаты докладывались на научном семинаре кафедры алгебры механико-математического факультета Национального исследовательского Томского Государственного Университета в 2016 г., на научном семинаре кафедры алгебры механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова в 2017 г., на научных семинарах и итоговых конференциях кафедры алгебры и математической логики Института математики и механики им. H.H. Лобачевского Казанского (Приволжского) Федерального Университета в 2015—2018 гг.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация включает в себя введение, три главы, каждая из которых разбита на параграфы, заключение и список литературы, содержащий 53 (пятьдесят три) наименования, включая список работ, опубликованных автором по теме диссертации. Общий объем диссертации - 156 (сто пятьдесят шесть) страниц.

Автор выражает огромную благодарность и глубокую признательность своему научному руководителю доценту кафедры алгебры и математической логики КФУ Аделю Наилевичу Абызову за постановку задач, поддержку в работе и интерес к исследованиям автора.

и

Глава 1

Кольца формальных матриц

В этой главе вводятся основные понятия и свойства колец формальных матриц. Ставится проблема изоморфизма и изучаются кольца формальных матриц со значением в некотором кольце. Исследуется группа автоморфизмов колец Крылова со значением в кольце целых чисел.

§1.1 Предварительные сведения

Пусть даны кольца Д, а также Д-£-бимодуль М и £-Д-бимодуль N. Рассмотрим множество матриц

.. г т

К =

г е Я,т е М,п е N,8, е

п в

Если ввести на матрицах из К операцию поэлементного сложения, то К становится абелевой группой. Чтобы ввести аналог матричного умножения на элементах К, необходимо научиться перемножать элементы бимодулей М и N. Предположим, что нам даны бимодульные гомоморфизмы р : М N ^ Я ж 'ф : N 0д М ^ Б. Будем писать тп := 0 п) и пт := ф(п 0 т) для всех т е М, п е N. Теперь мы можем определить произведение элементов в К как произведение в матричном кольце:

( г т \ ( г' т' \ I гг' + тп' гт' + те' \ \п в ) \ п' в' ) I пг' + вп' пт' + бб' I

где г, г' е Я, в, в' е 3,п,п' е К,т,т' е М. При этом стоит уточнить, что под произведениями гт\ тг\ пв' понимаются соответствующие модульные произведения. Дополнительно потребуем, чтобы для всех т,т' е М и п,п' е N выполнялись равенства: (тп)т' = т(пт'), (пт)п' = п(тп'). Непосредственная проверка показывает, что относительно введенных выше операций сложения и умножения К становится кольцом. Верно и обратное, что если К является кольцом, то из свойства ассоциативности вытекают приведенные выше равенства.

Определение 1.1.1 (см. [5]). Определенное выше кольцо называется кольцом формальных матриц К(<р,ф) или кольцом контекста Мориты (Я,М,Ы,Б). Идеалы I = МЫ С Я и 3 = ЫМ С Б называют идеалами следа кольца формальных матриц.

Пример 1.1.2. Очевидно, что матричное кольцо М2(Я) является кольцом формальных матриц. Вообще говоря, пусть Я - произвольное кольцо, и пусть Я содержит нетривиальный идемпотент е € Я. Тогда из разложения Пирса получаем наличие изоморфизма

п -- ^(1 - ¿)

( еЯе еЯ(1 - е) \

\ (1 - е)Яе (1 - е)Я(1 - е) ) '

(1 - е)Яе (1 - е)Я(1 - е) Отдельно выделим частный случай. А именно, пусть

Я Я

I я я\ \я я ) '

К = К (р,ф) = ,

к к

Рассмотрим отображение : дДд 0д дДд ^ Я. Из свойств тензорного произведения получаем, что для произвольных х, у € дДд выполняется

р(1 0 1) ху = р(1 0 ху) = р(х 0 у) = р(ху 0 1) = хур(1 0 1).

Таким образом, элемент в := р(х0у) лежит в центре кольца Я и р(х0у) = вху. Аналогично и ф(х 0 у) = Ьху, Ь := ф(1 0 1) € С (Я). Обратимся к свойству ассоциативности в кольце К(р,ф)7 а именно

р(х 0 у) г = хф(у 0 г), х,у,х € дДд.

Для х = у = х = 1 находим, что

в = р(101) 1 = 1Ф (1 01) = г.

Итак, мы получили, что в кольце К(<р,ф) произведение матриц устроено следующим образом:

(а ь)(е 1) = (ае +зЬд а/ + ш ). \cdi\g к! \ се + (1д ее/ + &К )

Определение 1.1.3 (см. [5]). Рассмотренное кольцо К(р,ф) будем обозначать К8(Я), а элемент й будем называть мультипликативным коэффициентом.

В статье [2] авторами была поставлена и решена проблема изоморфизма: если й и £ - два центральных элемента кольца Я7 то при каких условиях кольца К8 и Кг будут изоморфны? Ответом служат следующие два утверждения:

Предложение 1.1.4 ([2, лемма 2, лемма 3]). Пусть Я - произвольное кольцо, з, г е С (Я). Тогда:

(1) если а - автоморфизм кольца Я и V е и (Я), то

К8(Я) = КУЗ(Я) = Ка{а)(Я) ^ КМз)(Я);

(2) если кольцо Я не является кольцом формальных матриц, то К0(Я) = К 3(Я) для любого ненулевого центральное о элемента в.

Теорема 1.1.5 ([2, теорема 1]). Пусть кольцо Я коммутативно и хотя бы один из элементов е Я отличен от нуля. Тогда, кольца Ка(Я) и Кг(Я) изоморфны в точности тогда, когда Ь = уа(з), для некоторого автоморфизма а кольца Я и

V е и (Я).

Тем самым проблема изоморфизма сводится к простому соотношению на следствие.

Следствие 1.1.6 ([2, следствие 2]). Пусть Я - либо коммутативная область, либо коммутативное локальное кольцо из^ е Я. Тогда кольца Ка(Я) и Кг(Я) изоморфны в точности тогда, когда Ь = уа(з), для некоторого автоморфизма а кольца Я и V е и (Я).

В статье [43] были подробно изучены свойства колец формальных матриц. Так было рассмотрено какие свойства колец Я, сохраняет кольцо формальных матриц (к ^). Отдельный параграф статьи был посвящен и проблеме изоморфизма, а именно следствие 1.1.6 было обобщено на более широкий класс колец Я.

Следствие 1.1.7 ([43, следствие 4.8]). Пусть Я - коммутативное кольцо, такое что Z(Я) С 3(Я) и 8,Ь € Я. Тогда кольца К3(Я) и Щ(Я) изоморфны в точности тогда, когда Ь = уа(з), для некоторого автоморфизма а кольца Я и V € и (Я).

Как было отмечено выше, любое кольцо Я7 которое содержит хотя бы один нетривиальный идемпотент, можно представить в виде кольца формальных матриц (^ ^). Поэтому естественно, что изучение этих колец является важной задачей. Однако, в общем случае кольца Я, Б и бимодули М, N могут быть достаточно плохими. К примеру, если рассмотреть матричное кольцо Мп(Я)7 то его можно представить в виде кольца формальных матриц следующим образом:

М„(Я) =

Я •• • я я •• • Е\

я •• • я я •• • я

я •• • я я •• • я

я •• • я я •• • д/

Кольца А и И являются матричными кольцами. Поэтому, даже если кольцо Л достаточно хорошее, то хотя бы в одном из колец А и V уже встретятся делители нуля, ненулевой радикал Джекобсона и т.д. При рассмотрении более сложно устроенных колец, соответствующие кольца становятся еще более сложно

устроенными. Поэтому наряду с введенным ранее определением, по аналогии с матричным кольцом, рассматривают и кольца формальных матриц порядка п.

Определение 1.1.8 (см. [5], [42]). Пусть Я^ Я2, Яп - кольца, а М^ -(Я1,Я^ )-бнмодулп, при чем Мц = Я^ для вс ех 1 < г,] < п. Пусть также Рцк : Мц 0е. Mjk ^ Мц. будут (Ri,Rk)-бимодульными гомоморфизмами, с той оговоркой, что и ^^ - канонические изоморфизмы для всех 1 < г,] < п. Введем обозначение а о Ь = (а 0 Ь) для а € М^, Ь € М^к. За К обозначим множество всех п х п-матриц (т^) с элементами т^- € М^ для всех 1 < г,] < п. Простая проверка показывает, что относительно обычных операций сложения и умножения К будет кольцом, если и только если а о (Ъ о с) = (а о Ъ) о с для всех

а е Ь е Мы, с е М^, 1 < г,к,1,] < п. Полученное кольцо К называется кольцом формальных матриц порядка п и обозначается К({М^}; {^¡^})•

Как и в приведенном ранее примере с матричным кольцом, легко видеть, что кольцо формальных матриц порядка п можно представить и в виде кольца (§ ^). Таким образом, это просто уточнение введенной ранее конструкции. И если кольца контекста Мориты были связаны с разложением Пирса, то в общем случае уже наблюдается связь с разложением 1 в сумму нескольких ортогональных идемпотентов.

Предложение 1.1.9 ([4, предложение 3.1]). Кольцо К является кольцом формальных матриц порядка п > 2 в точности тогда, когда в К существует полная ортогональная система из п ненулевых идемпотентов.

Определение 1.1.10 (см. [5], [42]). Кольцо формальных матриц К({Мц} : {^р^}) порядка п, в котором М.^ = Я для всех 1 < г,] < п, называется кольцом формальных матриц над (со значением в кольце) Я порядка п и обозначается Кп(Я) жлж Кп(Я : })•

Пусть Кп(Я : {(рф}) будет кольцом формальных матриц над Я порядка п. Положим Щк = 1 0 1) для всех 1 < г,1,к < п. Тогда а оЬ = (а 0 Ь) = Щк аЬ для всех а,Ь е Я. Для любого а е Я имеем а Щк = (ах 1) = (10 а) = Щк а. Таким образом, Щк е С(Я)7 и выполняются условия:

1) Члз = тзз = 1, 1 < Ь3<п,

2) ЩкШ = ЩШзЫ, 1 < ЬЗ, к, I <П.

Первое условие выполняется в силу того, что и

о

Щк Щы аЬс = Щ1 щы аЬс для всех а,Ь,с е Я. Положи в а=Ь=с=1и получаем второе условие.

В то же время, для любого набора {Щк | 1 < Ь3,к < п} центральных элементов Я7 удовлетворяющих первому и второму условию, можно положить Р^к(а 0 Ь) = ЩкаЬ для всех а,Ь е Я. Непосредственная проверка показывает, что Кп(Я : {ф^з}) будет кольцом формальных матриц над Я порядка п. Таким

образом, кольцо формальных матриц Кп(Я : {р^}) однозначно определяется набором центральных элементов {щк | 1 < Ь3,к < п}- В этом случае, кольцо формальных матриц Кп(Я : {р,^}) мы будем обозначать через Кп(Я : {^¡^})•

Определение 1.1.11. Пусть К = Кп(Я : {^¡^^}) - кольцо формальных матриц. Множество ^ = {щк^} будем называть набором мультипликативных коэффициентов (или мультипликативной системой) и будем писать К = Кп(Я; п).

Дополнительно стоит указать еще два свойства мультипликативных коэффициентов, непосредственно вытекающих из приведенных выше свойств.

3) Щг = Чю, 1 < г,] < п,

4) Щг = ЩкЦ3гк = ЦкгзЦк3г, 1 < 1,3, к < П.

Эти свойства легко вытекают из свойства 2. Частным случаем свойства 3 является совпадение элементов в = р(101) и £ = ф(101) при рассмотрении ранее кольца К(р,ф). Что касается свойства 4, то оно нам потребуется в дальнейшем.

Визуально, кольца формальных матриц Кп(Я; г]) являются обобщениями матричных колец. Естественно задаться вопросом, насколько они близки матричным кольцам. А именно, какие свойства матричных колец можно перенести на кольца формальных матриц? Начнем с того, как устроен центр колец формальных матриц со значением в кольце. Следующее предложение доказывается непосредственной проверкой.

Предложение 1.1.12. С (Кп(Я; ц)) = {гЕ | г € С (Я)}.

Фактор-кольца колец формальных матриц - снова фактор кольца.

Предложение 1.1.13. Пусть К = Кп(Я; г}) - кольцо формальных матриц порядка п над Я I = (1^) - идеал в кольце К. Тогда,

(1) Кп({Я/1ц} : {ф'-^з}) - кольцо формальных матриц, где ф : Я/Тц® Я/1^к ^ Я,/1гк определяется по формуле ф^к((101)) = Щк аЪ+Т^к, 1 < Ь3,к < п;

(2) К/1 = Кп({Я/1ц} : {ф1]к})•

Доказательство. 1) Показывается непосредственной проверкой.

2) Отображение Ф : К ^ Кп({Я/1^} : {ф^к})7 действующее по правилу Ф((а^-)) = (сц ^ + 1^), есть эпиморфизм колец с ядром Кег(Ф) = I. □

Ограничимся теперь случаем коммутативного кольца Я. Нам потребуется следующий гомоморфизм. Пусть кольцо Я коммутативно и М = Кп(Я; ц) -кольцо формальных матриц. Фиксируем некоторый индекс 1 < I < пи положим = для всех 1 < %,з < п. Определим отображение

а : Кп(Я; г}) ^ Мп(Я), (аг]) ^ (и^а^).

Предложение 1.1.14 ([4, предложение 5.2]). (1) Отображение а является кольцевым гомоморфизмом.

(2) Если для всех 1,3, к коэффициент ц^& делится на или, то Кег(а) -нильпотентный идеал индекса нильпотентности 2.

(3) Отображение а ишективно в точности тогда, когда всещк ~ неделители нуля.

(4) Гомоморфизм ц будет изоморфизмом в точности тогда, когда все щь обратимы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тапкин, Даниль Тагирзянович, 2018 год

Список литературы

[1] Абызов, А.Н. Формальные матрицы и кольца, близкие к регулярным / А.Н. Абызов, A.A. Туганбаев // Фундамент, и прикл. матем. - 2016. - Т.21 - № 1. _ с. 5—21.

[2] Крылов, П.А. Об изоморфизме колец обобщенных матриц / П.А. Крылов // Алгебра и логика. - 2008. - Т.47 - № 4. - С. 456 463.

[3] Крылов, П.А. Модули над кольцами формальных матриц / П.А. Крылов, A.A. Туганбаев // Фундамент, и прикл. матем. - 2009. - Т.15 - № 8. - С. 145—211.

[4] Крылов, П.А. Формальные матрицы и их определители / П.А. Крылов, A.A. Туганбаев // Фундамент, и прикл. матем. - 2014. Т. 19 ..Vo 1. - С. 65 119.

[5] Крылов, П.А. Кольца формальных матриц и модули над ними / П.А. Крылов, A.A. Туганбаев. - Москва: МЦНМО, 2017. - 192 с.

[6] Начев, H.A., Кольца инцидентности / Н. А. Начев // Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, механика. - 1977. Т. 32 С. 29 34.

[7] Шматков, В.Д. Изоморфизмы алгебр инцидентности / В.Д. Шматков // Дискрет, матем. - 1991. - т. 3. - № 1. - С. 133 144.

[8] Шматков, В.Д. Изоморфизмы и автоморфизмы матричных алгебр над полукольцами / В.Д. Шматков // Фундамент, и прикл. матем. - 2014. - т. 19. Л" 6. С. 251 260.

[9] Ярлыков. Е.Ю. Модули над кольцами обобщенных матриц: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.06 / Ярдыков Егор Юрьевич // Томск. - 2009. - 80 с.

[10] Abrams, G. The isomorphism problem for incidence rings / G. Abrams, J. Haefner, A. del Rio // Pacific Journal of Mathematics. - 2002. - V. 207. - P. 497 506.

[11] Anh, P.N. Automorphism group of generalized triangular matrix rings / P.N. Anh, L. van Wyk // Linear Algebra and its Appl. - 2011. - V. 434. - P. 1018^1026.

[12] Anh, P.N. Isomorphisms between strongly triangular matrix rings /P.N. Anli, L. van Wyk // Linear Algebra and its Appl. - 2013. - V. 438. - P. 4374 4381.

[13] Azumaya, G. On maximally central algebras / G. Azumaya // Nagoya Math. J. - 1951. - V. 2. - P. 119—150.

[14] Akkurt, M. Automorphisms of structural matrix algebras / M. Akkurt, E. Akkurt, G.P. Barker // Operators and Matrices. - 2013. - V. 7. - № 2. - P. 431 439.

[15] Baclawski, K. Automorphisms and derivations of incidence algebras / K. Baclawski // Proc. AMS. - 1972. - V. 36. - 351^356.

[16] Belding, W.R. Incidence rings of ore-ordered sets / W.R. Belding // Journal of Formal Logic. - 1973. - V. 14. - P. 482^509.

[17] Birkenmeier, G.F. Triangular matrix representations / G.F. Birkenmeier, H.E. Heatherly, J.Y. Kim, J.K. Park //J. Algebra. - 2000. - V. 230. - P. 558^595.

[18] Birkenmeier, G.F. Extensions of Rings and Modules / G.F. Birkenmeier, J.K. Park, S.T. Rizvi. - New York: Birkhauser, 2013. - 432 p.

[19] Boboc, C. Isomorphisms between Morita context rings / C. Boboc, S. Dascalescu, L. van Wyk // Linear and Multilinear Algebra. - 2012. - V. 60. - P. 545 563.

[20] Chatters, A.W. Nonisomorphic rings with isomorphic matrix rings / A.W. Chatters // Proc. Edinburgh Math. Soc. - 1993. - V. 36. - № 2. - P. 339 348.

[21] Coelho, S. P. The automorphism group of structural matrix algebra / S.P. Coelho // Linear Algebra and its Appl. - 1993 V. 95 P. 35 58.

[22] Dascalescu, S. Do Isomorphic Structural Matrix Rings have Isomorphic Graphs? / S. Dascalescu, L. van Wyk // Proc. Amer. Math. Soc. - 1996. - V. 124. - № 5. _ p. 1385—1391.

[23] Doubilet, P. On the foundations of combinatorial theory IV: The idea of generating function / P. Doubilet, G.-C. Rota, R.P. Stanley // New York: Academic Press, 1975.

[24] Drozd, Y. Automorphisms of incidence algebras / Y. Drozd, P. Kolesnik // Commun. Algebra. - 2007. - V. 35. - P. 3851-3854.

[25] Goodearl, K.R. Ring Theory / K.R. Goodearl. - New York-Basel: Dekker, 1976.

[26] Haack, J.K. Isomorphisms of incidence rings / J.K. Haack // Illinois J. Math.

1984. - V. 28. - № 4. - P. 676 683.

[27] Harada, M. Hereditary semi-primary rings and triangular matrix rings / M. Harada // Nagoya Math J. -1966. - V. 27. - P. 463 484.

[28] Isaacs, I.M. Automorphisms of Matrix Algebras Over Commutative Rings / I. M. Isaacs // Linear Algebra and its Appl. - 1980. - V. 31. - P. 215—231.

[29] Kezlan, T.P. A note on algebra automorphisms of triangular matrices over commutative rings / T.P. Kezlan // Linear Algebra and its Appl. - 1990. - V. 135. -P. 181—184.

[30] Khazal, R. Isomorphisms of generalized triangular matrix-rings and recovery of tiles / R. Khazal, S. Dascalescu, L. van Wyk // Internat. J. Math. Math. Sci. -2003. - V. 2003. ..V" 9. P. 533 538.

[31] Khripchenko, N.S. Finitary incidence algebras / N.S. khripchenko, B.V. Novikov // Comm. in Algebra. - 2009. - V. 37. - P. 1670-1676.

[32] Leroux, P. Structure of incidence algebras of graphs / P. Leroux, J. Sarraille // Comm. Alg. - 1981. - V. 9. - 1479-1517.

[33] Morita, K. Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition / K. Morita // Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku. - 1958. - V. 6. - P. 83-142.

[34] Parmenter, M.M. Isomorphic incidence algebras / M.M. Parmenter, J. Schmerl, E. Spiegel // Advances in Math. - 1990 - V. 84 - P. 226-236.

[35] Rota, G.-C. On the foundations of combinatorial theory I: Theory of Mobius functions / G.-C. Rota // Z. Wahrscheinlichiketstheorie. - 1964. - V. 2. P. 340 368.

[36] Sands, A.D. Radicals and Morita contexts / A.D. Sands //J. Algebra. - 1973. -V. 24 - P. 335 345.

[37] Scharlau, W. Automorphisms and Involutions of Incidence Algebras / W. Scharlau // Lecture Notes in Mathematics. - 1975. - V. 488. - P. 340-350

[38] Smith, S.P. An example of a ring Morita equivalent to the Weyl algebra A1 / S.P. Smith // J. Algebra. - 1981. - V. 73. - № 2. - P. 552-555.

[39] Spigel, E. Incidence Algebras / E. Spigel, C.J. O'Donnell. - New York: Marcel Dekker, Inc., 1997.

[40] Stanley, R.P. Structure of incidence algebras and their automorphism groups // R.P. Stanley // Bull. AMS. - 1970. - V. 76 - P. 1936-1939.

[41] Swan, R.G. Projective modules over group rings and maximal orders / R. G. Swan // Ann. of Math. - 1962. Y. 76 № 2. P. 55 61.

[42] Tang, G. A class of formal matrix rings / G. Tang, Y. Zhou // Linear Algebra and its Appl. - 2013. - V. 438. - № 12. - P. 4672-4688.

[43] Tang, G. Study of Morita contexts / G. Tang, C. Li, Y. Zhou // Comm. in Algebra. - 2014. - V. 42. - № 4. - P. 1668-1681.

[44] Voss, E.R. On the isomorphism problem for incidence rings / E.R. Voss // Illinois J. Math. -1980. - V. 24 - P. 624-638.

Список публикаций автора по теме диссертации

[45] Абызов, А.Н. Кольца формальных матриц и их изоморфизмы / А.Н. Абызов, Д.Т. Тапкин // Сиб. мат. журнал. - 2015. - Т. 56. - С. 1199—1214.

[46] Абызов, А.Н. О некоторых классах колец формальных матриц /А.Н. Абызов, Д.Т. Тапкин // Изв. вузов. Матем. - 2016. Л'° 3. С. 3—14.

[47] Тапкин, Д.Т. Кольца формальных матриц и обобщение алгебры инцидентности / Д.Т. Тапкин // Чебышевский сб. - 2015. - Т. 16. - № 3 С. 422-449.

[48] Тапкин, Д.Т. Изоморфизмы колец инцидентности формальных матриц / Д.Т. Тапкин // Изв. вузов. Матем. - 2017. - № 12. - С. 84—91.

Тезисы конференций

[49] Тапкин, Д.Т. Кольца формальных матриц и обобщения алгебр инцидентности [Текст] / Д.Т. Тапкин // Материалы XIII Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения". - Тула: Тульский государственный педагогический университет; изд-во Тул. гос. пед. ун-та. - 2015. - С. 132—134.

[50] Тапкин, Д.Т. Обобщенные алгебры инцидентности [Текст] / Д.Т. Тапкин // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. - Казань: Изд -во Казан, матем. об-ва. - 2015. - Т. 52. - С. 143-145.

[51] Тапкин, Д.Т. Обобщенные алгебры инцидентности [Текст] / Д.Т. Тапкин // Материалы Международной конференции по Алгебре, Анализу и Геометрии. - Казань: Казанский университет; изд-во Академии наук РТ. - 2016. - С. 326-327.

[52] Тапкин, Д.Т. Кольца формальных матриц и обобщенные алгебры инцидентности [Текст] / Д.Т. Тапкин // Электронный сборник тезисов докладов международной конференции "Мальцевские Чтения". -Новосибирск: Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук. - 2016. - С. 160—160.

[53] Тапкин, Д.Т. Группа автоморфизмов колец формальных матриц [Текст] / Д.Т. Тапкин // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва. - 2017. - Т. 55. - С. 142—144.

Предметный указатель

Мебиуса функция, 99 алгебра инцидентности, 83 {0, 1]

обобщенная, специального типа, 103

обобщенная, 93 автоморфизм дробный, 90 мультипликативный, 89 перестановочный, 89 внутренний, 89 диаграмма алгебры инцидентности, 119 слабая, 119 элементы

сравнимые, 83, 94 связанные относительно кольца, 60

связанные, 140 группа

Нётер-Сколема, 46 внешних автоморфизмов, 32 идеал

следа, 12 идемпотент

левый триангулирующий, 51 полу центральный, 48 изоморфизм порядков, 86 частичный, 87

потенциальный, 87 коэффициент мультипликативный, 13, 16, 92 тривиальный, 92 кольцо

целостное, 29

формальных матриц порядка п, 15 формальных матриц с нулевыми

идеалами следа, 50, 55 формальных матриц со значением

в кольце, 15 формальных матриц, 12 инцидентности формальных

матриц, 92 контекста Мориты, 12 нормальное, 20

полуцентральное приведенное, 48 строго неразложимое, 48 компонента связности, 140 относительно кольца, 60 полный набор идемпотентов, 52 порядок

цепь, 94 положительная, 95

частично упорядоченный, 83 интервал, 85, 94 локально конечный, 83

полный ^-предпорядок, 92 предпорядок, 83 тривиальный порядок, 87 ребро диаграммы

накладывающее ограничение, 125 нулевое, 125

согласованное относительно частичной функции, 125

система мультипликативная, 16, 92 {0, 1}

значение частичной функции определенное из ребра через 125

определенное из ребра, 125 согласованное с поддиаграммой, 125