О дифференцированиях и лиевых изоморфизмах первичных колец тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Чеботарь, Михаил Александрович
- Специальность ВАК РФ01.01.06
- Количество страниц 75
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чеботарь, Михаил Александрович
Введение.
1 Дифференцирования в первичных кольцах
1.1 Основные понятия.
1.2 О композиции дифференцирований.
1.3 Подкольца, порожденные дифференциальными коммутаторами х].
1.4 Подкольца, порожденные дифференциальными коммутаторами [ж0*, х\п.
2 Лиевы изоморфизмы первичных колец
2.1 Некоторые результаты из теории функциональных тождеств
2.2 Лиевы изоморфизмы простых колец.
2.3 Лиевы изоморфизмы первичных колец с инволюцией
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Функциональные тождества в кольцах и их приложения2004 год, доктор физико-математических наук Чеботарь, Михаил Александрович
Дифференцирования параболических подколец в матричных кольцах и регулярность присоединенной группы в радикальном случае2011 год, кандидат физико-математических наук Мальцев, Николай Владимирович
О двух теоремах для групп лиева типа и ассоциированных колец2008 год, кандидат физико-математических наук Радченко, Оксана Владимировна
δ-дифференцирования простых йордановых и лиевых супералгебр2010 год, кандидат физико-математических наук Кайгородов, Иван Борисович
Первичные дифференциальные алгебры и ассоциированные с ними алгебры Ли2016 год, кандидат наук Погудин Глеб Александрович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О дифференцированиях и лиевых изоморфизмах первичных колец»
Начиная с шестидесятых годов этого века задачи, связанные с дифференцированиями и лиевыми изоморфизмами первичных колец, привлекали внимание многих математиков. Из первых работ о дифференцированиях колец отметим статью Познера [59]. Он показал, что композиция двух ненулевых дифференцирований первичного кольца не может быть ненулевым дифференцированием, если характеристика кольца отлична от 2, и что ненулевое дифференцирование первичного кольца Я является коммутирующим отображением (то есть [хл, х\ = — О для всех х £ Я) тогда и только тогда, когда кольцо Я - коммутативно. Эти результаты имели многочисленные обобщения. Отметим только некоторые из них. Вопрос о том, когда композиция трех дифференцирований первичного кольца является дифференцированием, был исследован Лански [41]. В случае положительной характеристики (р > 0) первичного кольца задача о композиции р дифференцирований была рассмотрена Чуангом [32].
Вукманом [63] было доказано, что ненулевое дифференцирование с? некоммутативного первичного кольца Я характеристики, отличной от 2, не может удовлетворять тождеству ж]2 = [[х^,ж],ж] = 0 для всех х € Я. Лански [43] обобщил этот результат, показав, что ненулевое дифференцирование й некоммутативного первичного кольца Я не может удовлетворять тождеству [х(1, х\п — [. ж],., х] = 0 для всех х € Я, одновременно сняв ограничения на характеристику. Наконец, Брешаром и Вукманом [31] была решена задача о том, когда подкольцо некоммутативного первичного кольца Я, порожденного коммутаторами [ж^,ж], где с1 - ненулевое дифференцирование кольца Я, х £ Я, содержит ненулевой односторонний идеал кольца Я.
Вопросы описания коммутирующих отображений, решенные Познером для дифференцирования, Вукманом для отображения [хл, х] и Лански для отображения х]п, имеют самое непосредственное отношение к задачам о лиевых изоморфизмах. Мэйн [57] получил аналог теоремы Познера для коммутирующих автоморфизмов. Его результат также многократно обобщался различными авторами. Из этих работ следует выделить статью Брешара [18], который описал все коммутирующие отображения первичных колец, то есть все аддитивные отображения / : Я —> Я, удовлетворяющие тождеству [/(ж), ж] = 0 для всех х £ Я. Более общий результат об аддитивных отображениях / : Ь —> Я левого идеала Ь в первичное кольцо Я, удовлетворяющих тождеству [., [[/(ж), хк1], хк2\,., хкп] — 0 был получен Бейдаром, Фонгом, Ли и Вонгом [6]. Описание Брешаром [17] биаддитивных коммутирующих отображений стало ключевым результатом в решении им проблемы Хер-стейна о лиевых изоморфизмах первичных колец. Аналогично, описание триаддитивных коммутирующих отображений в кольцах с инволюцией Бейдаром, Мартиндейлом и Михалевым [9] привело их к решению проблемы Херстейна о лиевых изоморфизмах первичных колец с инволюцией. Наиболее общие результаты об п-аддитивных коммутирующих отображениях были получены Ли, Лин, Вонг и Ванг [46], их существенное развитие дает теорема Бейдара о функциональных тождествах [5]. Результаты об п-аддитивных коммутирующих отображениях в кольцах с инволюцией могут быть получены как следствия теоремы Бейдара-Мартиндейла о функциональных тождествах в кольцах с инволюцией [8].
Из первых работ о лиевых изоморфизмах важно отметить статью Хуа [38], где была рассмотрена задача описания лиевых автоморфизмов для колец матриц порядка п > 3 над телом в случае характеристики, отличной от 2 и 3.
В случае простых колец Я характеристики 2 задача описания лиевых изоморфизмов была исследована Херстейном и Клейнфельдом [36] при дополнительном предположении о том, что лиев изоморфизм ф сохраняет третью степень, то есть ф(х3) = ф(х)3 для всех х Е Я.
В 1961 году Херстейном [33] были сформулированы две следующие проблемы:
1). Всякий ли лиев автоморфизм ф простого ассоциативного кольца Я имеет вид <т+т, где а - автоморфизм или взятый со знаком "—" антиавтоморфизм кольца Я, а г - отображение кольца Я во множество элементов, коммутирующих с элементами из Я1
2). Пусть Я - простое кольцо с инволюцией * и К - лиево кольцо кососимметрических элементов (то есть К = {х £ Я \ х* = —ж}). Всякий ли лиев автоморфизм ф кольца К индуцирован автоморфизмом кольца Л?
В случае характеристики, отличной от 2 и 3, задача 1) была исследована Мартиндейлом (в 1963 г. для примитивных колец с дополнительным предположением о существовании трех ортогональных идемпотентов, сумма которых равна 1 [49]; в 1969 г. для простых и первичных колец с предположением о существовании двух ортогональных идемпо-тентов, сумма которых равна 1 [50, 52]). В 1993 году была опубликована работа Брешара [17], в которой опущено предположение об ортогональных идемпотентах, но были сделаны следующие ограничения: рассматриваются первичные кольца характеристики, отличной от 2, и кольца не удовлетворяющие стандартному тождеству St 4. Как сообщил автору Мартиндейл, его студент Блау изучил лиевы изоморфизмы первичных колец, удовлетворяющих стандартному тождеству St4 [13].
Для инволюции второго рода частный случай проблемы 2) был изучен Роузен [61]. Для инволюции первого рода при дополнительном предположении, что характеристика отлична от 2 и 3, проблема была решена Бейдаром, Мартиндейлом и Михалевым [9].
Современное состояние теории дифференцирований и лиевых изоморфизмов в первичных кольцах отражено в книгах [10] и [39].
Цель данной работы состоит в решении ряда открытых проблем, возникших при исследовании дифференцирований и лиевых изоморфизмов первичных колец.
В работе используются методы и результаты теории колец с обобщенными полиномиальными, обобщенными дифференциальными и функциональными тождествами.
Краткое содержание работы.
В первой главе решаются задачи, связанные с дифференцированиями в первичных кольцах. Первый параграф посвящен изложению основных понятий теории колец с обобщенными полиномиальными тождествами, дается определение правого и симметрического мартиндейловского кольца частных, расширенного центроида, Х-внутреннего дифференцирования, приводятся необходимые результаты теории первичных колец с обобщенными дифференциальными тождествами.
Во втором параграфе доказывается
Теорема 1 Пусть R - первичное кольцо. Пусть композиция d = di . dn ненулевых дифференцирований d\,. ., dn, п > 1, является дифференцированием кольца R. Предположим, что характеристика кольца R больше п или равна 0. Тогда:
1) По крайней мере три дифференцирования из набора {di,.,dn} являются X-внутренними.
2) d - Х-внутреннее дифференцирование.
S) Если ,., dik, 1 < ii < . < ik < n, к < n, - все X-внутренние дифференцирования из набора {<¿1,. ,dn}, то di j . dj^ — 0.
В доказательстве используются результаты Харченко [2] и Мартин-дейла [51].
Третий параграф посвящен доказательству следующего результата:
Теорема 2 Пусть R - некоммутативное первичное кольцо характеристики, отличной от 2, и пусть D - ненулевое дифференцирование кольца R. Тогда подкольцо U кольца R, порожденное всеми коммутаторами [xD,x],x G R, содержит ненулевой двусторонний идеал кольца R.
Помимо упомянутых выше результатов Харченко и Мартиндейла, в доказательстве используется результат Брешара и Вукмана [31].
Заметим, что результат Познера [59] о том, что ненулевое дифференцирование первичного кольца R является коммутирующим отображением (то есть [xd,x] = xdx — xxd = 0) тогда и только тогда, когда кольцо коммутативно, переносится на коммутаторы более высоких порядков: результат Лански [43] утверждает, что ненулевое дифференцирование d некоммутативного первичного кольца R не может удовлетворять тождеству \xd,x\n — [. . ,ж] = 0 для всех ж G Д. Однако, получить аналогичный "перенос" для подкольца, порожденного коммутаторами [xd,x]n без дополнительных ограничений не удается. Для х,у £ R положим [у,х]г = [у,х] — ух - ху, [y,x]k+i = [[у,х]к,х], к = 1,2,. В четвертом параграфе доказывается
Теорема 3 Пусть R - некоммутативное первичное кольцо, Q - симметрическое мартиндейловское кольцо частных, С - расширенный центроид. Пусть D - дифференцирование кольца R и п > 2 - целое число. Предположим, что D ф ad(a) (то есть D не является X-внутренним дифференцированием, определяемым элементом a G Q) ни для какого а Е Q, удовлетворяющего условию (а + с)2 = 0 для некоторого с € С, и пусть характеристика кольца R больше п или равна 0. Тогда подкольцо U кольца R, порожденное коммутаторами {[xD,x\n-\ | х G i?}, содержит ненулевой двусторонний идеал кольца R.
Приводятся примеры, оправдывающие сделанные ограничения.
Глава 2 посвящена лиевым изоморфизмам. Первый параграф начинается с изложения некоторых результатов теории функциональных тождеств в первичных кольцах, появившихся в начале 90-х годов в работах Брешара [17], [22] и завершается формулировкой общей теоремы Бейдара-Мартиндейла [8] о функциональных тождествах в кольцах с инволюцией.
Во втором параграфе с помощью основного результата из [22] доказывается
Теорема 4 Пусть R и R! - первичные кольца, и пусть кольцо R! не имеет нетривиальных обобщенных полиномиальных тождеств. Тогда всякий лиев изоморфизм ф: R —> R' имеет вид а + т; где а - мономорфизм или взятый с противоположным знаком антимономорфизм кольца R в кольцо R'C' + С' и т - аддитивное отображение кольца R в расширенный центроид С' кольца R', обращающее коммутаторы в 0.
Для колец без обобщенных полиномиальных тождеств этот результат является обобщением теоремы Брешара о лиевых изоморфизмах из [17]. Для простых колец характеристики 2 с единицей задача описания лиевых автоморфизмов с помощью структурных теорем сводится к описанию лиевых автоморфизмов колец матриц над алгебраически замкнутым полем. Получен следующий результат:
Теорема 5 Пусть R = Мп(С), п > 3, - кольцо матриц над алгебраически замкнутым полем С характеристики 2. Тогда всякий лиев автоморфизм ф: R R имеет вид а т; где а - автоморфизм или антиавтоморфизм кольца Rur - аддитивное отображение кольца R в поле С, обращающее коммутаторы в 0.
Для колец матриц порядка тг = 2 построен пример, когда это утверждение не выполняется.
Во третьем параграфе доказывается следующая
Теорема 6 Пусть R и R' - первичные кольца с инволюцией первого рода характеристики, отличной от 2. Пусть К и К' - лиевы кольца ко со симметрических элементов, и пусть С и С' - расширенные центроиды колец R и R' соответственно. Предположим, что dimc(RC) ф
1,4,9,16,25,64. Тогда всякий лиев изоморфизм а : К —> К' может быть продолжен единственным образом до ассоциативного изоморфизма (К) —> {К'), ассоциативных подколец порожденных подмножествами К и К' соответственно.
Контрпримеры, иллюстрирующие необходимость ограничений на размерность, могут быть найдены в работе Мартиндейла [53].
В случае характеристики 2 вопрос о продолжении лиева автоморфизма ф кольца К до ассоциативного автоморфизма простого кольца Я остается открытым.
Основные результаты работы следующие:
1. Получен частичный ответ на вопрос о том, когда композиция произвольного числа дифференцирований является дифференцированием (поставленный Лански в [41]).
2. Доказано, что подкольцо некоммутативного первичного кольца Я характеристики, отличной от 2, порожденного коммутаторами [хг1: ж], где д - ненулевое дифференцирование, х £ Я, содержит ненулевой двусторонний идеал кольца Я (что отвечает положительно на вопрос Брешара и Вукмана из [31]).
3. Исследован более общий вопрос о том, когда подкольцо некоммутативного первичного кольца Д, порожденного коммутаторами [хй,х]п, где й - ненулевое дифференцирование, I £ й, содержит ненулевой двусторонний идеал кольца Я.
4. Выяснено, когда в случае характеристики 2 лиев автоморфизм ф простого ассоциативного кольца с 1 имеет вид <т + т, где <т - автоморфизм или антиавтоморфизм простого кольца Я, а т - отображение кольца Я в центр Я, обращающее [Я, Я] в ноль, (что, ввиду [17] и [13], дает полный ответ на вопрос Херстейна из [33] и одновременно обобщает результат Херстейна и Клейнфельда из [36]).
5. Получено новое доказательство теоремы Бейдара - Мартиндейла -Михалева из [9], выясняющей, когда лиев автоморфизм ф кольца К косо-симметрических элементов первичного кольца Я с инволюцией первого рода индуцирован автоморфизмом кольца Я (включающее неизвестный ранее случай характеристики 3 в проблеме из Херстейна [33]).
Все полученные результаты являются новыми, и могут быть использованы при исследовании некоторых вопросов теории колец.
Результаты диссертации докладывались на конференции "Ring Theory Conference" в Мишкольце (Венгрия) в 1996, на конференции, посвященной памяти Д.К. Фаддеева в Петербурге в 1997, на конференции, посвященной памяти А.Г. Куроша в Москве в 1998, на конференции по фундаментальной и прикладной математике в Гаосюне (Тайвань) в 1999, на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры механико -математического факультета МГУ, на алгебраических семинарах Ма-риборского университета (Марибор, Словения), Тайваньского государственного университета (Тайбэй, Тайвань), Тайваньского государственного педагогического университета (Чанг Хуа, Тайвань) и университета им. Ченг - Кунга (Тайнань, Тайвань).
Основные результаты опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце диссертации.
Диссертация состоит из введения, 2 глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации - 74 страницы, библиография включает 68 наименований.
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами2014 год, кандидат наук Аткарская, Агата Сергеевна
Производные алгебраические системы некоторых колец2005 год, кандидат физико-математических наук Середа, Владимир Александрович
Градуированные кольца частных2013 год, кандидат наук Канунников, Андрей Леонидович
Неприводимые ковры аддитивных подгрупп над полями2021 год, кандидат наук Франчук Светлана Константиновна
Групповые свойства разрешимых алгебраических групп1997 год, доктор физико-математических наук Пономарев, Константин Николаевич
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чеботарь, Михаил Александрович, 1999 год
1. К.И. Бейдар, Кольца с обобщенными тождествами 1.I, Вестник Моск. Увив. Сер. I Мат. Мех., 33 (1978), 66-73.
2. В.К. Харченко, Дифференциальные тождества первичных колец, Алгебра и логика, 17 (1978), 220-238.
3. P. Ara, М. Mathieu, An application of local multipliers to centralizing mappings of C*—algebras, Quart. J. Math. Oxford, 44 (1993), 129-138.
4. R. Banning, M. Mathieu, Commutativity preserving mappings on semiprime rings, Comm. Algebra, 25 (1997), 247-265.
5. K.I. Beidar, On functional identities and commuting additive mappings, Comm. Algebra, 26 (1998), 1819-1850.
6. K.I. Beidar, Y. Fong, P.-H. Lee, T.-L. Wong, On additive maps of prime rings satisfying the Engel condition, Comm. Algebra, 25 (1997), 3889-3902.
7. K.I. Beidar, Y. Fong, X.K. Wang, Posner and Herstein theorems for derivations of 3-prime near-rings, Comm. Algebra, 24 (1996), 1581— 1589.
8. K.I. Beidar, W.S. Martindale 3-rd, On functional identities in prime rings with involution, J. Algebra, 203 (1998), 491-532.
9. K.I. Beidar, W.S. Martindale 3-rd, A.V. Mikhalev, Lieisomorphisms in prime rings with involution, J. Algebra, 169 (1994), 304-327.
10. K.I. Beidar, W.S. Martindale 3-rd, A.V. Mikhalev, Rings with generalized identities, Marcel Dekker, Inc., New York / Basel/ Hong Kong, 1996.
11. H.E. Bell, W.S. Martindale III, Centralizing mappings of semiprime rings, Can. Math. Bull., 30 (1987), 92-101.
12. H.E. Bell, W.S. Martindale III, Semiderivations and commutativity in prime rings, Can. Math. Bull., 31 (1988), 500-508.
13. P. Blau, Lie isomorphisms of prime rings satisfying St4, PhD thesis, Univ. of Massachusetts, 1996.
14. M. Bresar, Centralizing mappings on von Neumann algebras Proc. Amer. Math. Soc., Ill (1991), 501-510.
15. M. Bresar, On a generalization of the notion of centralizing mappings, Proc. Amer. Math. Soc., 114 (1992), 641-649.
16. M. Bresar, On skew-commuting mappings of rings, Bull. Austral. Math. Soc., 47 (1993), 291-296.
17. M. Bresar, Commuting traces of biadditive mappings, commutativity preserving mappings, and Lie mappings, Trans. Amer. Math. Soc. 335 (1993), 525-546.
18. M. Bresar, Centralizing mappings and derivations in prime rings, J. Algebra, 156 (1993), 385-394.
19. M. Bresar, Derivations of noncommutative Banach algebras II, Arch. Math., 63 (1994), 56-59.
20. M. Bresar, On certain pairs of functions of semiprime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 120 (1994), 709-713.
21. M. Bresar, On generalized biderivations and related maps, J. Algebra, 172 (1995), 764-786.
22. M. Bresar, Functional identities of degree two, J. Algebra, 172 (1995), 690-720.
23. M. Bresar, Applying the theorem on functional identities, Nova Journal of Mathematics, Game Theory, and Algebra, 4 (1) (1995), 43-54.
24. M. Bresar, On a certain identity satisfied by a derivation and an arbitrary additive mapping II, Aequationes Math., 51 (1996), 83-85.
25. M. Bresar, B. Hvala, On additive maps of prime rings, Bull. Austral. Math. Soc., 51 (1995), 377-381.
26. M. Bresar, W.S. Martindale III, C.R. Miers, Centralizing maps in prime rings with involution, J. Algebra 161 (1993), 342-357.
27. M. Bresar, C.R. Miers, Strong commutativity preserving maps of semiprime rings, Can. Math. Bull., 37 (1994), 457-460.
28. M. Bresar, C.R. Miers, Commuting maps on Lie ideals, Comm. Algebra, 23 (1995), 5539-5553.
29. M. Bresar, J. Skarabot, J. Vukman, On a certain identity satisfied by a derivation and an arbitrary additive mapping, Aequationes Math., 45 (1993), 219-231.
30. M. Bresar, J. Vukman, On left derivations and related mappings, Proc. Amer. Math. Soc., 110 (1990), 7-16.
31. M. Bresar and J. Vukman, On certain subrings of prime rings with derivations, J. Austral. Math. Soc. Ser. A., 54 (1993), 133-141.
32. C.L. Chuang, On composition of derivations of prime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 180 (1990), 647-652.
33. I.N. Herstein, Lie and Jordan structures in simple associative rings, Bull. Amer. Math. Soc., 67 (1961), 517-531.
34. I.N. Herstein, Topics in Ring Theory, Univ. of Chicago Press, Chicago, 1969.
35. I.N. Herstein, A note on derivations, Canad. Math. Bull., 21 (1978), 369-370.
36. I.N. Herstein, E. Kleinfeld, Lie mappings in characteristic 2, Pacific J. Math., 10 (1960), 843-852.
37. I.N. Herstein, L. Small, Some comments on prime rings, J. Algebra, 60 (1979), 223-228.
38. L. Hua, A theorem on matrices over an sfield and its applications, J. Chinese Math. Soc., 1 (1951), 110-163.
39. V.K. Kharchenko, Automorphisms and derivations of associative rings and its applications (Soviet Series). Kluwer Academic Publishers, Dordrecht / Boston / London, 1991.
40. C. Lanski, Differential identities, Lie ideals, and Posner's theorems, Pacific J. Math., 134 (1988), 275-297.
41. C. Lanski, Differential identities of prime rings, Kharchenko theorem, and applications, Contemp. Math., 124 (1992), 101-128.
42. C. Lanski, Derivations nilpotent on subsets of prime rings, Comm. Algebra, 20 (1992), 1427-1446.
43. C. Lanski, An Engel condition with derivation, Proc. Amer. Math. Soc., 118 (1993), 731-734.
44. C. Lanski, S. Montgomery, Lie structure of prime rings of characteristic 2, Pacific J. Math., 42 (1972), 117-136.
45. P.—H. Lee, T.—K. Lee, Linear identities and commuting maps in rings with involution, Comm. Algebra, 25 (1997), 2881-2895.
46. P.-H. Lee, J.-S. Lin, R.-J. Wang T.-L. Wong, Commuting traces of multiadditive mappings, J. Algebra, 193 (1997), 709-723.
47. T.—K. Lee, Derivations and centralizing mappings in prime rings, Taiwanese J. Math., 1 (1997), 333-342.
48. T.—K. Lee, T.—C. Lee, Commuting additive mappings in semiprime rings, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, 24 (1996), 259-268.
49. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of primitive rings, Proc. Amer. Math. Soc., 14 (1963), 909-916.
50. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of prime rings, Trans. Amer. Math. Soc., 142 (1969), 437-455.
51. W.S. Martindale 3-rd, Prime rings satisfying a generalized polynomial identity, J. Algebra, 12 (1969), 576-584.
52. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of simple rings, J. London Math. Soc., 44 (1969), 213-221.
53. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of the skew elements of a prime ring with involution, Comm. Algebra, 4 (1976), 927-977.
54. W.S. Martindale 3-rd, C.R. Miers, Herstein's Lie theory revisited, J. Algebra, 98 (1986), 14-37.
55. M. Mathieu, G.J. Murphy, Derivations mapping into the radical, Arch. Math., 57 (1991), 469-474.
56. M. Mathieu, V. Runde, Derivations mapping into the radical, II, Bull. London Math. Soc., 24 (1992), 485-487.
57. J. Mayne Centralizing automorphisms of prime rings, Can. Math. Bull., 19 (1976), 113-115.
58. C.R. Miers, Centralizing mappings of operator algebras, J. Algebra, 59 (1979), 56-64.
59. E.C. Posner, Derivations in prime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 8 (1957), 1093-1100.
60. A. Richoux, A theorem for prime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 77 (1979), 27-31.
61. M.P. Rosen, Isomorphisms of a certain class of prime Lie rings, J. Algebra, 89 (1984), 291-317.
62. V. Runde, Range inclusion results for derivations on noncommutative Banach algebras, Studia Math., 105 (1993), 159-172.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.