Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Аткарская, Агата Сергеевна

• Аткарская, Агата Сергеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Аткарская, Агата Сергеевна

Оглавление

Введение

1 Основные понятия

1.1 Основные понятия теории линейных групп

1.2 Предварительные сведения об унитарных группах

1.3 Предварительные сведения о градуированных кольцах и модулях

2 Изоморфизмы общих линейных групп над ассоциативными кольцами

2.1 Вспомогательные определения и утверждения

2.2 Доказательство основной теоремы (теоремы 3)

2.3 Доказательство вспомогательных предложений 3 и 4

2.4 Обобщение основной теоремы на случай градуированного кольца Я

3 Изоморфизмы стабильных линейных групп

3.1 Вспомогательные результаты

3.2 Построение изоморфизма между кольцами (Е(5')) и (Е(51)),

где ^ = /иМаЬ 00(5)/и

3.3 Доказательство основной теоремы

4 Изоморфизмы стабильных унитарных групп

4.1 Обозначения и соглашения

4.2 Предварительные результаты

4.3 Построение изоморфизма между кольцами (11(5')) и (и (¿>1)),

где = •гпА^г.ооС^')^!

4.4 Доказательство основной теоремы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами»

Введение

Работа посвящена изучению изоморфизмов между линейными группами над ассоциативными кольцами. Кроме классической полной линейной группы СЬ п(В), рассматриваются также группы над ассоциативными градуированными кольцами, стабильные линейные группы и стабильные унитарные группы. Описывается действие изоморфизма между данными группами на соответствующих элементарных подгруппах.

Изучение автоморфизмов линейных групп началось с работы Шрайера и Ван-дер-Вардена [29], в которой были описаны автоморфизмы группы Р8ЬП, п ^ 3, над произвольным полем. Затем примененный в этой работе метод был обобщен в работе [16], и с его помощью Хуа были описаны автоморфизмы симплектических групп над полем характеристики, не равной 2. Далее в 1950х Дьёдонне и Риккартом был введен метод инволюций. С его помощью в работах [14], [26] и [27] были исследованы автоморфизмы группы СЬП, п ^ 3, а также унитарных и симплектических групп над телами характеристики, не равной 2.

Затем Хуа и Райнером [17] было получено описание автоморфизмов группы СЬП(Й). В работах [19](Лэндин, Райнер) и [30](Вань Чжесянь) их результат был обобщен на некоммутативные области главных идеалов.

В 1960х О'Мирой был разработан метод вычетных пространств. При помощи данного метода были изучены автоморфизмы СЬП, п ^ 3, над областями целостности, [24], и автоморфизмы симплектических групп специального вида над полями (так называемые группы, богатые трансвекциями), [25]. Независимо с помощью метода инволюций Янь Щицзянем [28] также были описаны автоморфизмы группы ЕП(Я), п ^ 3, где Я — область целостности характеристики ф 2.

В работе [21] Макдональдом и Помфрэ были исследованы автоморфизмы СЬП, п ^ 3, над коммутативным локальным кольцом с Далее, Уотерха-узом [31] было получено описание автоморфизмов группы СЬП, п ^ 3, над

произвольными коммутативными кольцами с Затем В.М. Петечуком [8] изучены автоморфизмы GLn, п ^ 3, над коммутативным локальным кольцом с После этого при помощи разработанного им метода локализации В.М. Петечук [9] получил описание автоморфизмов GLn, п ^ 4, над произвольным коммутативным кольцом. Изучались также группы автоморфизмов свободных модулей бесконечного ранга. В работе [20] Ли Фуанем был описан вид автоморфизмов стабильных линейных групп над произвольными коммутативными кольцами.

Макквин и Макдональд в [22] получили описание автоморфизмов групп Spn размерности ^ 6 над коммутативным локальным кольцом, содержащим Продолжая работу в этом направлении, в 1980 году В.М Петечуком [10] были исследованы автоморфизмы симплектических групп над произвольным коммутативным локальным кольцом. А затем, в 1983 году, применив метод локализации, В.М Петечук в [11] обобщил результаты работ [22] и [10] на случай Spn(R),n ^ 6 над произвольным коммутативным кольцом R.

И.З. Голубчиком и А.В Михалёвым было дано описание изоморфизмов группы GL n(R) в случае ассоциативного кольца R с | (без предположения о коммутативности) при п ^ 3 в работе [3], и независимо в то же время подобные результаты (другими методами) были получены Е.И. Зельмановым в работе [5]. В этих работах доказана следующая

Теорема 1. Пусть R и S — ассоциативные кольца, содержащие п^т^ 3 и (р : GL n(R) —> GLm(S') — изоморфизм групп. Пусть также GEn(.R) = {Е + reij, diag [ai, а2,...] | i ^ j,r 6 G R*). Тогда существуют цен-

тральные идемпотенты е и f колец Matn(i?) и Matm(5) соответственно, кольцевой изоморфизм

01 : eMatn(.R) —► /MatTO(S), кольцевой антиизоморфизм

в2 : (1 - e)Mat„(fl) —> (1 - /)Matm(5) и групповой гомоморфизм

X:GEn(R)-^Z(GLm(S)),

такие, что

для всех A g GEn(i2).

Далее, в 1997 году в работе [2] И.З. Голубчиком описание изоморфизмов GL n{R) было продолжено на случай произвольного ассоциативного кольца при п ^ 4.

В 1983 году И.З. Голубчиком и A.B. Михалёвым в работе [4] были исследованы изоморфизмы унитарных групп над произвольными ассоциативными кольцами, содержащими с некоторыми ограничениями на размерность группы и ранг формы. Пусть на кольце Mat n(R) задана невырожденная форма

Q= ^ ••• qt j £),

(на пустых местах в матрице предполагаются нулевые элементы).

Пусть на кольце R задана инволюция г (антиавтоморфизм порядка 2). Тогда на кольце Matn(i?) можно определить инволюция по правилу Ат = Q~l{a]i)Q- Тогда Un(R,r,Q) = {А в GLn(R) | АтА = Е]. Определим унитарную элементарную подгруппу следующим равенством

EUn(Ä) = (Е + епА(Е - еи) - (еиА(Е - еп))т-- \{епА{Е - ец))(ецА(Е - еп))т, Е + (Е - еи)Аеп - ((Е - еп)Аеп)У-

- \{{Е - еп)АепУ{{Е - еп)Аеи) | А е Matn(R))

Результат, полученный в [4], может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 2. Пусть R и S — ассоциативные кольца с г — инволюция на R, £ — инволюция на S. Пусть U n(R,r,Q), t > 2, U m(S, e,Q\) — соответствующие унитарные группы, п,т ^ 5, ip : U n(R,r,Q) —> U m(S,e,Q) — изоморфизм унитарных групп. Пусть также существует обратимый элемент ß 6 Z(R), для которого ßßT — 1 обратим. Тогда Matm(5') = S\ © S2 и существует изоморфизм колец

Matn(R) Si,

такой, что

ip(A) = в{А) + Е- в{Е) для всех А е EU n(R).

Если —Е € Е11 п{Я), тогда в(Е) = Е, то есть [р{А) = в(А) для всех А е ЕЙ „(Л).

Если п = 2к и гиперболический ранг формы ф максимален (то есть равен к), то автоморфизмы группы и „(Л, т, О), к ^ 3 были описаны в 1985 году другими методами Е.И Зельмановым, [5].

Таким образом, данная работа продолжает начатое в конце XX в. изучение изоморфизмов и автоморфизмов линейных групп над некоммутативными кольцами.

Целью данной работы является описание изоморфизмов классических линейных групп, а также стабильных линейных групп над различными классами ассоциативных колец.

Основными в представленной работе являются следующие результаты:

• модифицированное доказательство теоремы И.З. Голубчика об изоморфизме между полными линейными группами над ассоциативными кольцами;

• продолжение теоремы И.З. Голубчика об изоморфизме между полными линейными группами на случай линейных групп над ассоциативными градуированными кольцами;

• описание действия изоморфизмов между стабильными линейными группами над кольцами, содержащими на стабильной элементарной подгруппе;

• описание действия изоморфизмов между стабильными унитарными группами над кольцами, содержащими на стабильной унитарной элементарной подгруппе.

В диссертации используются методы классической теории колец и модулей над кольцами, а также специальные методы, разработанные для описания действия изоморфизмов между линейными группами, в том числе метод инволюций.

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в решение задачи описания изоморфизмов линейных групп над кольцами.

Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

— VII международная алгебраическая конференция на Украине (Харьков,

— международный алгебраический симпозиум, посвященный 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А.В. Михалёва (Москва, 2010);

а также на следующих семинарах кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ:

— научно-исследовательский семинар по алгебре;

— семинар "Алгебра и теория моделей";

— семинар "Теория групп".

Результаты диссертации опубликованы в работах [32] — [36].

Работа состоит из четырех глав. Глава 1 имеет вспомогательный характер, в ней вводятся необходимые для работы базовые понятия и обозначения. В разделе 1.1 мы вводим обозначения для используемых матричных колец, определяем понятия системы матричных единиц и элементарной подгруппы. Мы называем Ма^^) множество матриц со счетным числом строк и столбцов, у которых вне главной диагонали есть лишь конечное число ненулевых элементов, а также существует такой номер п, что для любого г ^ п элементы матрицы Гц = а, а € Я. Вводится следующее определение.

Определение. Если А 6 СЬП(Л), то можно отождествить А с элементом из Ма100(Л) по следующему правилу: матрицу А запишем в левый верхний угол, начиная с позиции (п, п), на диагонали запишем 1, а на всех остальных местах запишем 0. Положим вЬ (Я) = У СЬп{Я) (СЬП(Л) С Ма^(Д)).

Это подгруппа группы обратимых элементов кольца Ма^^). Назовем ее стабильной линейной группой.

Аналогичным образом определяется стабильная элементарная подгруппа.

В разделе 1.2 даются необходимые сведения об унитарных группах. Мы обозначаем через Mat2)oo(Л) кольцо Ма1г(Ма1;оо(Л)), через Дх> — единич-

2009);

ную матрицу счетного размера. Если А =

принадлежит U 2п(Я)

X, Y,V,W G Mat n(-R), то ее можно отождествить с элементом из Mat 2,00(-R) по правилу

Вводится следующее определение.

Определение. Положим и (Я) = У V 2п{Я) (и 2п(Я) Я Ма12,оо(Д)). Это подгруппа группы обратимых

элементов кольца Mat2,oo(-fi')• Назовем ее стабильной унитарной группой.

Затем стандартным способом определяется стабильная унитарная элементарная подгруппа.

Раздел 1.3 посвящен необходимым сведениям из теории градуированных колец и модулей. Даются определения градуированного кольца, градуированного модуля, градуированного морфизма. Вводится понятие градуированного кольца эндоморфизмов градуированного модуля и понятие хорошей градуировки на кольце матриц.

В главе 2 дается модифицированное автором доказательство следующей теоремы И.З Голубчика [2] об изоморфизме между линейными группами над ассоциативными кольцами.

Теорема (теорема 3). Пусть Я и Б — ассоциативные кольца с п ^ 4, т ^ 2 и (р : СЬП(7?) —у СЬт(Б) — изоморфизм групп. Тогда существуют центральные идемпотенты ей/ колец Ма^(Д) и Ма^(5) соответственно, кольцевой изоморфизм

X Y V W

01 : eMatn(i?) /Matm(S)

и кольцевой антиизоморфизм

02 : (1 - e)Mat„CR) (1 - /)Matm(S)

такие, что

у{А) = в1{еА) + в2{{1-е)А-1)

для всех A G En(i?).

В разделе 2.1 вводится определения кольца частных и канонического гомоморфизма и доказываются вспомогательные утверждения. Раздел 2.2 посвящен доказательству основного результата. Также в этом разделе автором сформулирована и доказана теорема, описывающая действие изоморфизма линейных групп на подгруппе GE n(R). При доказательстве используются методы работы [3]. В разделе 2.3 приводится подробное доказательство вспомогательных технически сложных предложений, которые использовались при доказательстве основного результата. Раздел 2.4 посвящен изучению изоморфизма линейных групп над асооциативными градуированными кольцами. Автором вводится следующее определение

Определение (определение 10). Пусть R = ф Rg, S = ф Sg ~ ассоци-

geG geG

ативные градуированные кольца с 1, Mat n(R), Mat^S) - градуированные кольца матриц с хорошей градуировкой. Изоморфизм групп ip : GL n(R) —> GLm(5) назовем изоморфизмом, согласованным с градуировкой, если

<р(GL „(Я) П Mat n(R)e) С GL m(S) П Mat m(S)e

и выполнено свойство:

если А- Е е Mat„(E)ff, то <р(А) -Ее Mat m{S)g.

Доказана теорема

Теорема (теорема 5). Пусть G — группа с нейтральным элементом е, R — ф Rg, S = ф Sg — ассоциативные градуированные кольца с едини-

geG geG

цей, Matn(i?); Matm(5') — градуированные кольца матриц с хорошей градуировкой, п ^ 4, т ^ 2, и <р : GLn(i?) —> GL m(S) — изоморфизм групп, согласованный с градуировкой. Пусть изоморфизм ср~1 тоже согласован с градуировкой. Тогда существуют центральные идемпотенты q и f колец Matn(#) и MatTO(5) соответственно, q б Matn(R)e,f £ Matm(<S')e; кольцевой изоморфизм

6>i : qMa,tn(R) —> /Matm(S) и кольцевой антиизоморфизм

в2:(1- g)Mat„(fl) —► (1 - /)Matm(S),

сохраняющие градуировку, такие, что

<р(А) = е1(дА)+в2((1-д)А-1)

для всех A g еn(R).

Глава 3 посвящена описанию изоморфизма между стабильными линейными группами над ассоциативными кольцами, содержащими Основной результат этой главы продолжает описание изоморфизма линейных групп, полученный И.З. Голубчиком и А.В. Михалёвым, [3]. Доказана следующая

Теорема (теорема 6). Пусть RuS — ассоциативные кольца c\,ip : GL (R) —> GL (S) — изоморфизм стабильных групп. Тогда существуют центральные идемпотенты hue колец Mat (R) и Mat (S) соответственно, кольцевой изоморфизм

в\ : h(GL (R)) —> e(GL (S)) и кольцевой антиизоморфизм

в2 : (1 - h)(GL(R)) -> (1 - e)(GL (S)),

такие, что

ip(A) = e1(hA)+92((l-h)A~1)

для всех AgE (R).

Доказательство теоремы ведется с использованием модифицированного метода инволюций. В разделе 3.1 приводятся необходимые для дальнейшего доказательства вспомогательные утверждения, а также строится система матричных единиц {fij,i,j g N} кольца Mat (S), обладающая свойством ср(Е — 2ец) = Е — 2fa,г € N. Далее в разделе 3.2 строится изоморфизм между кольцами (Е (S)) и (Е (<Si)), Si = /nMat00(5)/n, что позволяет нам в дальнейшем записывать элементы GL (5) удобным способом. Затем в разделе 3.3 мы описываем образы элементов из Е (R) при изоморфизме (р и строим кольцевые отображения 9i и в2, обладающие необходимыми свойствами. Это завершает доказательство теоремы.

В главе 4 описывается действие изоморфизма между стабильными унитарными группами над ассоциативными кольцами, содержащими на стабильной элементарной подгруппе. Результат этой главы продолжает описание изоморфизма унитарных групп, полученное И.З. Голубчиком и А.В. Михалёвым, [4]. Основным результатом является следующая

Теорема (теорема 8). Пусть Я и 5 — ассоциативные кольца с г — инволюция (антиавтоморфизм порядка два) на Я, £ — инволюция на Б, (р : и (Я) —> и (5) — изоморфизм стабильных унитарных групп. Пусть также существует обратимый элемент ¡3 £ 2(Я), такой, что Д5Т — 1 обратим. Тогда существует кольцевой изоморфизм

такой, что

ср(А) = в (А) для всех А € ЕЙ (Я).

При доказательстве теоремы используется модифицированный метод инволюций. Раздел 4.1 посвящен введению необходимых для доказательства дополнительных обозначений и соглашений. В разделе 4.2 даются необходимые вспомогательные результаты и производятся предварительные вычисления. Также вводится система матричных единиц 6 КиК'}, обладающая

свойством (р(Е — 2(ец + е^/)) = Е — 2{гц + хуу). Затем в разделе 4.3 строится изоморфизм между кольцами (и (б1)) и (11(61)), = ^пИ^/^г.оо^'гш что позволяем нам далее записывать элементы из и (5) в удобном виде. В разделе 4.4 мы описываем образы элементов из ЕЙ (Я) и строим кольцевой изоморфизм 9, удовлетворяющий условию теоремы. Это завершает рассмотрение в главе 4.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным научным руководителям Александру Васильевичу Михалёву и Елене Игоревне Буниной за постановку задач, руководство работой и поддержку.

Глава 1

Основные понятия

1.1 Основные понятия теории линейных групп

Все кольца в работе предполагаются ассоциативными с нейтральным элементом 1. Основные сведения о стабильных группах могут быть найдены в книге [15] и статье [1]. Через Mat П(Я) будем обозначать кольцо матриц размера п х п над кольцом R, через GLn(i?) будем обозначать группу обратимых элементов этого кольца. Определения, касающиеся колец матриц бесконечной размерности и стабильных линейных групп, могут быть найдены в работах [15] и [13].

Подгруппу, порожденную элементами E+reij, г G R, будем называть элементарной подгруппой и обозначать через Е П(Я). Через БП(Я) будем обозначать подгруппу GLn(jR), порожденную диагональными матрицами, через GE n(R) будем обозначать группу, порожденную группами ЕП(Я) и Dn (Я).

Обозначим через Mat (R) матрицы со счетным числом строк и столбцов, такие, что в каждом столбце содержится лишь конечное число ненулевых элементов (кольцо эндоморфизмов свободного правого Я-модуля V счетного ранга при фиксации базиса).

Назовем Ма^(Я) множество матриц со счетным числом строк и столбцов, у которых вне главной диагонали есть лишь конечное число ненулевых элементов, а также существует такой номер п, что для любого г ^ п элементы матрицы Гц = а, а € Я. Ясно, что Mat (R) — это кольцо.

Будем обозначать через FCRMat (R) подкольцо кольца Mat (Я), состоящее из матриц, имеющих конечное число ненулевых элементов в каждой строке и в каждом столбце. Через FMat (Я) будем обозначать подкольцо кольца Mat (Я), состоящее из матриц, имеющих конечное число ненулевых элемен-

тов.

Подмножество {Д,}, i,j е N, кольца Mat „(Л) (кольца Mat (Л)) называется системой матричных единиц, если fijfst — djsfit символ Кро-некера). Простой пример системы матричных единиц можно получить, если положить элемент равным матрице, у которой стоит 1 на месте (г, j) и О на всех остальных местах. В дальнейшем такую систему матричных единиц мы будем называть стандартной.

Пусть A G GL n(R). Мы можем отождествить А с элементом из Ма^(Я) по следующему правилу: матрицу А запишем в левый верхний угол, начиная с позиции (п,п), на диагонали запишем 1, а на всех остальных местах запишем 0.

Сохраним обозначение GL П(Я) для получившихся подмножеств Ма^(Я). Ясно, что GL n(R) — подгруппы группы обратимых элементов кольца Mat oo(-R), а также, что для т ^ п мы имеем, что GLn(.R) С GLm(i?).

Определение 1. Положим GL (Я) = |J GL „(Я) (GL n(R) С Mat«, (Я)).

Это подгруппа группы обратимых элементов кольца Ма^(Я). Назовем ее стабильной линейной группой.

Аналогично группам GLn(.R) в Ма^(Я) можно вложить подгруппы элементарных матриц ЕП(Я).

Определение 2. Положим Е(Я) = |J Еn(R) (Еn(R) С Mat«,(Я)). Это

подгруппа группы обратимых элементов кольца Mat00(Я). Назовем ее стабильной элементарной группой.

Операцию транспонирования матриц будем обозначать через t. Отметим, что операция транспонирования определена не только для элементов кольца Ма^(Я), но и для элементов колец Mat ос (Я), FMat (Я) и FCRMat (Я).

1.2 Предварительные сведения об унитарных группах

Основные определения, касающиеся унитарных групп, могут быть найдены в работах [15] и [6].

Инволюцией на кольце Я называется антиавтоморфизм порядка 2. Пусть

R — кольцо с инволюцией т и

Qn = (~вп f) ■

Инволюция т индуцирует инволюцию на кольце Mat2U(^) по правилу

(d{j) I—у Qn {xij)Qni%ij = aji-

Будем обозначать это отображения также через т.

Унитарной группой U2n{R) над кольцом R с инволюцией т называется группа матриц A G Mat2n(R) таких, что АТА = Е2П-

Обозначим через Mat 2,00 {R) кольцо Mat2(Matoo(i?)), через Е^ — единичную матрицу счетного размера. Пусть А = ^^ принадлежит U2n(R),

X,Y,V,W GMat n(R)- Отождествим ее с элементом из Mat2,oo(-R) по правилу

ffX 0 \ (Y 0\ \ Ej \0 О) (V 0\ (W 0 \ \\0 0j \0 ДJ J

Сохраним обозначение U2n{R) для получившихся подмножеств Mat2,00(Я). Ясно, что U 2n{R) — подгруппы группы обратимых элементов кольца Mat 2,00(R), а также, что для ш ^ п мы имеем U2n(R) Q U2m(R)-

Определение 3. Положим U (R) = [J V 2n(R) (U2n(R) Q Mat2,oo(-R)). Это

подгруппа группы обратимых элементов кольца Mat2,oo(-R)- Назовем ее стабильной унитарной группой.

На кольце Mat 2,00 определим инволюцию по правилу

(^ о-1 ((xTji) {vTji)\ о О - ( 0 Е°Л ГШ

vk) ко; g Wa) ну Q,Q~ v-^00 о J ■ {1Л)

Это отображение будем обозначать также через т. Несложно видеть, что для любого элемента A G U (R) мы получаем

АТА = Е.

'X У\

У w

Определение 4. Пусть {Е^ | i,j e N} — стандартная система матричных единиц кольца Mat (Я). Подгруппу в группе U (Я), порожденную матрицами

w,r = (Еоо + гЕ^ 0 \ /Я«, гEi:i + гтЕЛ ij V 0 Еоо - rTEji) ' ^ V 0 ^оо J '

Е°° vr -fEoo гЕЛ r = rar _(Е00 0 \

ъ [г Eij + rTEji Еж J >Pii \ О Е0о ; 'г г'9й E^) '

будем обозначать через EU (Я) и называть стабильной элементарной подгруппой.

1.3 Предварительные сведения о градуированных кольцах и модулях

Основные определения, касающиеся градуированных колец и градуированных колец эндоморфизмов, могут быть найдены в работах [23] и [1]. Предполагается, что фиксирована некоторая группа С.

Определение 5. Кольцо Я называется С-градуированным (или градуированным по группе (7), если Я = 0 Я9, где {Я9 | д € С} — семейство аддитивных подгрупп кольца Я и Я^Я/г С ЯдН для всех д,Н Е С?. Если при этом Я3Ян = Яяк для всех з, к € С, то кольцо называется строго градуированным.

пример 1.1. Примером градуированного кольца является кольцо многочленов к[х]. На нем можно ввести градуировку группой Ъ следующим образом:

к[х]п = (хп)к,п^ 0.

пример 1.2. Еще один пример градуированного кольца — это групповое кольцо Я(7. Для него можно ввести градуировку группой С7 такую, что однородные компоненты имеют вид

(ВО)н = {Н} я.

Два С-градуированных кольца Я и 5 называются gт-изоморфными, если существует такой изоморфизм колец / : Я —У 5, что /(Я5) = Бд для всех д Е (2. Изоморфизм / в данном случае называется gr-изоморфизмом, градуированным изоморфизмом или изоморфизмом, сохраняющим градуировку.

Заметим, что изоморфизм градуированнных колец не обязан быть §г-изо-морфизмом.

Пример 1.3. Рассмотрим кольцо многочленов к[х] с градуировкой, описанной в примере 1. Рассмотрим отображение а : к[х] —У к[х], определенное по правилу а(х^) = (1 + х)К Ясно, что а — изоморфизм колец, но также понятно, что оно не является gr-изoмopфизмoм колец.

Определение 6. Правый Л-модуль М называется С-градуированным, если

М = ф Мд, где {Мд | д € (?} — семейство аддитивных подгрупп в М таких, дев

что М^Яд С Мнд для всех Н,д € С.

Определение Т. Д-линейное отображение / : М —>• N правых С-градуиро-ванных Я-модулей называется градуированным морфизмом степени д, если /(Мн) С Ыдн для всех Н е С. Градуированные морфизмы степени д образуют аддитивную подгруппу НОМд(М, группы Нот д(М, ЛГ).

Определение 8. Положим ЕШд(М) := ф НОМ К(М,М)д. Это градуи-

зеС

рованное кольцо называется градуированным кольцом эндоморфизмов градуированного Я-модуля М.

Градуированный правый Я-модуль М называется gr-свободным, если он

обладает базисом, состоящим из однородных элементов.

Известно (см., например, [23]), что если Я = ф Яд — градуированное

<?еС

кольцо, то градуированное кольцо эндоморфизмов Ец(М) конечно порожденного gr-cвoбoднoгo правого Я-модуля М с базисом, состоящим из однородных элементов г^,...,ип с г^ е = 1,... ,п), изоморфно градуированному кольцу матриц

Мп{Я){д 1, ...,дп) = 0М„(Д)Л(01,.. .,дп),

кйв

где

/Чг1** Яд:1Ьд2 ••• Яд^1гдп\

Мп{Я\{д1,..., дп) =

Назовем С-градуировку на кольце матриц Макп(Я) хорошей,еели существует такой конечно порождённый gr-cвoбoдный правый Я-модуль М, что

Matn(Д)^ENDл(Vr)

(как градуированные кольца).

Глава 2

Изоморфизмы общих линейных групп над ассоциативными кольцами

Данная глава посвящена описанию изоморфизмов общих линейных групп над ассоциативными кольцами. В разделах 2.1-2.3 приводится дополненное доказательство следующей теоремы, доказанной И.З. Голубчиком в его работе [2]:

Теорема 3. Пусть R и S — ассоциативные кольца с 1, п ^ 4, m ^ 2, и <р : GLn(i?) —у GLm(5) — изоморфизм групп. Тогда существуют центральные идемпотенты е и f колец Matn(i?) и MatTO(S); соответственно, кольцевой изоморфизм

6>i : eMatn(i?) -> /Matm(S) и кольцевой антиизоморфизм

02 : (1 - e)Matn(i?) (1 - /)Matm(S),

такие, что

<р(А) = в1(еА) + в2((1-е)А-1)

для всех A g е n(R).

В разделе 2.4 будет доказано продолжение этой теоремы на случай общих линейных групп над ассоциативными градуированными кольцами.

2.1 Вспомогательные определения и утверждения

Пусть А — подмножество кольца R. Тогда А называется мультипликативным, если ab g А для всех а € A, b g А.

Определение 9. Пусть ф : Я —> S — гомоморфизм колец и А — мультипликативное подмножество кольца R. Тогда S называется правым кольцом частных кольца R относительно А, если выполнены следующие условия:

1. если ф(г) = 0, то найдется а 6 А, такой, что га = О,

2. ф(А) состоит из обратимых элементов кольца S,

3. кольцо S состоит из элементов вида ф(г)ф(а)~1, где г £ Я, а £ А.

Отображение ф в данном случае называется каноническим гомомрфиз-мом.

Пусть также [А, В] = А~1В~1АВ, [А, В, С] = [[А, В], С]. Лемма 2.1. Пусть R — ассоциативное кольцо с 1, {fy \ г ^ i,j ^ п}

__п

— полная система матричных единиц, R = {^2fnrfu \ г £ R}. Тогда R = Matn(i?).

Доказательство. Пусть г £ Я. Тогда

п п п п

r = = fiirfn = ]С /ii/i^'/ii/ij =

i=1 j=1 i,j=1 i',i=l

n n n

= ^ //cl/li^ fjlflk)fij — ^ CLijfij, aij e Я.

__n

Определим отображение а; : Matn(i?) —> R. Положим а(а^) = ^ a>ijfij-

_ i,j=i

Очевидно, что a — гомоморфизм колец, потому что R коммутирует с fy. Отображение а сюръективно, потому что, как показано выше, для всех г £ Я

п _

имеет место представление г = aijfij,aij € Я. Очевидно также, что а

i,j=1

инъективно. Значит, а — изоморфизм. Лемма 2.1 доказана. Предложение 2.1. Пусть S — ассоциативное кольцо с 1, п ^ 4;

{ofj | 1 < г ф j ^ п} С 5

и

а^Щк = а^аы — 0, а^а^ = О, (2.1)

— а8уйгд (2.2)

для всех различных г,.?*, от 1 до п и к ф Тогда существует система матричных единиц {Д,- | 1 ^ ^ п} кольца Б и идемпотент е кольца

п

{X) /г1г/нк £ такие, что а^ = еД/ — (1 — е)/^ для всех от 1 до п,

г=1

Доказательство. Будем строить д^, 1 ^ г, у ^ п так, что

д^вг = /ьг^г? = 0, дцдць = дjsgit, Н^К^ = 5jsh.it (2-3)

для всех г, в, £ от 1 до п.

Сначала покажем, что из (2.1) и (2.2) можно получить

(2.4)

для всех различных г, к, у, т от 1 до гг.

Действительно, имеют место равенства = =

гт^к{)0'тк — Щк^-кт^тк — (&1тп~^~0,ктЩк)0,тпк — Щт^тпк-

(2.4)

Из (2.4) = а^а^ для % ф у, так как выполнены равенства а^а^ =

(22) , _ . (2Л) (2А)

Положим = а1ка^, = акга]к) дц = gijgji, Нц = hijhji, 1 ^ г ф у ^ п. Элементы д^, Нц корректно определены в силу последнего доказанного равенства и соотношений (2.4).

Прямым вычислением с использованием равенств (2.1), (2.2), (2.4) получаем, что равенства (2.3) выполнены для всех г, от 1 до п. Положим

Л? ~ 9ц + Ь,^. (2.5)

Тогда {Д? | 1 ^ г, у ^ п} — система матричных единиц кольца Б. Положим

п п п

е = Т, да- Тогда е2 = е и е = X) 1и9п/и, т. е. е е /цг/ц | г € 5}.

г=1 г=1 г=1

Кроме того, получаем е/^-(1-е)/^ = е/у+е/^-/^ = gij+gji-gji-hji = 9гз ~ ^зг = а1з- Предложение доказано.

Предложение 2.2. Пусть R и S — ассоциативные кольца с 1, п ^ 4, т ^ 1,<р : Еn(R) —> GLm(S) — гомоморфизм групп и

{ip{E + raj) - E){ip(E + sekp) - E) = 0 (2.6)

для всех r,s S R и всех i,j, k,p таких, что гфзлфк,кфр,рф1.

Тогда существуют идемпотент f € MatTO(S'); кольцевой гомоморфизм

01 : Mat „(Л) —> /Matm(5)/

и кольцевой антигомоморфизм

02 : Matn(tf) —> (Е - /)Matm(S)(£ - /),

такие, что

(р{А) = 6i(A) + в2(А~1) + Е- 0Х(Е) - 92{Е) для всех А 6 En(R).

Доказательство. Положим ip(E+reij) = Е-\-х^(г), г е R, 1 ^ г ф j < п. Из равенства Е + rseij = [Е + re^, Е + sekj], i ф j, к ф i, j Ф k и условия (2.6) получаем, что

Xij(rs) = xik(r)xkj(s) - xkj(s)xik(r), (2.7)

где кфг, j ф к.

Соотношения (2.7) выводятся следующим образом. Выполнены равенства:

(Е + sekj)(E + reik)(E + rseij) = (Е + reik)(E + sekj), (p(E + sekj)(p(E + reik)(p(E + rseij) = v{E + reik)(p(E + sekj), (E + xkj(s){E + xik(r))(E + Xij(rs)) = {E + xik{r)){E + xkj(s)), (E + xkj(s) + xik(r) + xkj(s)xik(r)){E -f Xij(rs)) = E + xik(r) + xkj(s) + xik(r)xkj(s).

Из условия (2.6) получаем, что xij(r)xkp(s) = 0 при i ф j, j ф к, к ф р, р ф г. Значит, Е + xkj(s) + xik(r) + xkj(s)xik(r) + Xij(rs) = E + xik(r) + xkj(s) + xik{r)xkj{s), откуда следует равенство (2.7).

Положим а^j — со 2 j{ 1). Из (2.6), (2.7) и предложения 2.2 получаем, что в S существуют — система матричных единиц и идемпотент /, такие, что

^(1) = ffij -(Е- f)fji. (2.8)

В силу равенств (2.6) и (2.7) получаем

Яу(г) = хгк(г)ху(1) - Хк](1 )Хгк(г) =

— xik{т){.xk^niX)X'fnзiX) ЗСт] хтк(.т)х{т( 1)) =

= Х1к{г)хкт{1)хт^\)+хкртк{г)хгт{1) = (хгт{1)хтк(г)-хтк{г) + (хк (1) (1)- тпз (1)хкт(1))хтк(г)

(1)

(1)хтк(г)хкт(1) •ьтз (1)"

~ Х^(1)хкт(1)Хтк(г)(х1к(1)хкт(1) - хкт(1)х1к(1)) =

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Аткарская, Агата Сергеевна, 2014 год

Литература

[1] Балаба И.Н. Изоморфизмы градуированных колец эндоморфизмов прообразующих. Фундамент, и прикл. матем. — 2007. — 13, №1. — 3-10.

[2] Голубчик И.З. Линейные группы над ассоциативными кольцами. Докт. дис. Уфа. - 1997.

[3] Голубчик И.З., Михалёв A.B. Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом. Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. — 1983. — т. - 61-72.

[4] Голубчик И.З., Михалёв A.B. Изоморфизм унитарных групп над ассоциативными кольцами. Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. - 1983. - 132. - 97-109.

[5] Зельманов Е.И. Изоморфизмы линейных групп над ассоциативным кольцом. Сиб. мат. журн. — 1985. — 26, №4. — 49-67.

[6] Клейн И.С., Михалёв A.B. Ортогональная группа Стейнберга над кольцом с инволюцией. Алгебра и Логика. — 1970. — 9, №2. — 145-166.

[7] Клейн И.С., Михалёв A.B. Унитарная группа Стейнберга над кольцом с инволюцией. Алгебра и Логика. — 1970. — 9, №5. — 510-519.

[8] Петечук В.М. Автоморфизмы групп SLn; GLn над некоторыми локальными кольцами. Матем. заметки. — 1980. — 28, №2. — 187-206.

[9] Петечук В.М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами. Матем. сборник. — 1982. — 117, №4. — 534-547.

[10] Петечук В.М. Автоморфизмы симплектической группы Sp n(R) над некоторыми локальными кольцами. Деп. ВИНИТИ. — №2224-80.

[11] Петечук В.М. Изоморфизмы симплектических групп над коммутативными кольцами. Алгебра и Логика. — 1983. — 22, №5. — 551-562.

[12] Фейс. К. Кольца, модули, категории. М.: Мир, 1979.

[13] Abrams. G. Infinite matrix types which determine Morita equivalence. Archiv der Mathematik. - 1986. — 46, №1. - 33-37.

[14] Dieudonne J. On the automorphisms of the classical groups. Mem. Amer. Math. Soc. - 1951. - 2. - 1-95.

[15] Hahn A.J., O'Meara O.T. The Classical Groups and K-Theory. Berlin, N. Y.: Springer-Verlag, 1989.

[16] Hua L.K. On the automorphisms of the symplectic group over any field. Ann. of Math. - 49, №4. - 1948. - 739-759.

[17] Hua L.K., Reiner I. Automorphisms of the unimodular group. Trans. Amer. Math. Soc. - 1951. - 71. - 331-348.

[18] Johnson A.A. The automorphisms of the unitary groups over infinite fields. Amer. J. Math. - 1973. - 95, №1. - 87-107.

[19] Landin J., Reiner I. Automorphisms of the general linear group over a principal ideal domain. Ann. Math. — 1957. — 65, №3. — 519-526.

[20] Li Fuan. Infinite Steinberg Groups. Acta Mathematica Sinica. — 1994. — 10, №2. - 149-157.

[21] McDonald B.R., Pomfret J. Automorphisms of GLn(i?); R a local ring. Trans. Amer. Math. Soc. - 1972. - 173. - 379-388. (Русский перевод в кн.: Автоморфизмы классических групп. М.: Мир, 1976. — 176-187.)

[22] McQueen L., McDonald B.R. Automorphisms of the symplectic group over a local ring. J. Algebra. - 1974. - 30, №1-3. - 485-495.

[23] Nastasescu C., van Oystaeyen F. Graded Ring Theory. Amsterdam: North-Holland, 1982.

[24] O'Meara O.T. Lectures on linear groups. Providence, Rhode Island, 1974.

[25] О'Меага О.Т. The automorphisms of the standard symplectic group over any integral domain. J. Reine Angew. Math. — 1968. — 230. — 103-138.

[26] Rickart C.E. Isomorphic groups of linear transformations, I. Amer. J. Math.

- 1950. - 72. - 451-464.

[27] Rickart C.E. Isomorphic groups of linear transformations, II. Amer. J. Math.

- 1951. - 73. - 697-716.

[28] Yan Shi-jian. Linear groups over a ring. Chinese Math. — 1965. — 7, №2. — 163-179.

[29] Schreier O., Waerden B.L. van der. Die Automorphismen der projektiven Gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. - 1928. - 6. - 303-322.

[30] Wan C.H. On the automorphism of linear group over a noncommutative principal ideal domain of characteristic Ф 2. Acta Math. Sinica. — 1957.

- 7. - 533-573.

[31] Waterhouse W.C. Automorphisms ofGLn(R). Proc. Amer. Math. Soc. — 1980. - 79, №. - 347-351.

Работы автора по теме диссертации

[32] Аткарская А.С., Бунина Е.И., Михалёв А.В. Изоморфизмы общих линейных групп над ассоциативными кольцами, градуированными абелевой группой. Доклады Академии наук. — 2011. — 437, №3. — 295-296.

[33] Аткарская А.С. Изоморфизмы стабильных линейных групп над ассоциативными кольцами, содержащими Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ.

- 2014, №. - с. 28-32.

[34] Аткарская А.С. Стабильные группы над ассоциативными кольцами с

Описание изоморфизмов стабильных линейных групп. Фундамент, и прикл. матем. - 2013. — 18, №1. — 3—20.

[35] Аткарская А.С. Стабильные группы над ассоциативными кольцами с

Описание изоморфизмов стабильных унитарных групп. Фундамент, и прикл. матем. - 2013. — 18, №4. - 3—21.

[36] Аткарская A.C., Бунина Е.И., Михалёв A.B. Изоморфизмы общих линейных групп над ассоциативными кольцами, градуированными абелевой группой. Фундамент, и прикл. матем. — 2010. — 16, №3. — 5—40.