Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Файзуллин, Рамиль Рашитович

• Файзуллин, Рамиль Рашитович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Файзуллин, Рамиль Рашитович

Содержание Введение Общие сведения

1 Прямые методы решения вариационных задач.

2 Метод вариаций для функционалов.

3 Условный экстремум.

I Связи неголономной метрики группы Гейзенберга и плоскости Грушина.

1.1 Геодезические плоскости Грушина.

1.2 Сферы метрики Грушина.

1.3 Дополнительные исследования плоскости Грушина.

1.4 Связь метрик группы Гейзенберга и плоскости Грушина

1.5 Доказательства теорем.

II Вариационная задача на плоскости Лобачевского

II. 1 Неголономное распределение на расслоенном пространстве единичных касательных векторов.

11.2 Нахождение уравнений Эйлера-Лагранжа функционала для плоскости Лобачевского.

11.3 Исследование решений уравнений Эйлера-Лагранжа.

V Уравнения для экстремалей функционала / на евклидовой плоскости.

IV.1 Выполнимость уравнений Эйлера-Пуассона для экстремали.

1У.2 Экстремали на расслоении единичных касательных векторов над евклидовой плоскостью.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инвариантные вариационные задачи на специальных однородных пространствах»

Актуальность темы. Задачи оптимального управления на группах Ли имеют прикладное и теоретическое значение, в первую очередь в плане выбора экстремальных (оптимальных) решений проблем. Реальные проблемы очень часто ведут к поиску наилучших решений в непрерывном множестве допустимых.

Определение 1. Метрическое пространство называется пространством с внутренней метрикой, если расстояние между двумя его точками есть точная нижняя грань длин спрямляемых кривых, соединяющих эти точки

Определение 2. Пространство М с внутренней метрикой р называется однородным, если группа всех дви'жений(изомет.рий) С пространства М действует транзитивно на М.

Любая точка х однородного пространства М определяет подгруппу = {дг € СУ|дх = х} группы движений С. Она называется стабилизатором точки х. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе С с помощью внутренних автоморфизмов. С замкнутой подгруппой Я вида группы С связано некоторое однородное пространство с группой изометрий С? - множество

М = С/Я левых классов смежности группы С по подгруппе Я, на котором С действует по формуле д(аН) = (да)Н\д,а £ С

Это однородное пространство называется фактор-пространством группы С по подгруппе Я, а подгруппа Я становится стабилизатором точки еН = Я этого пространства, где е - единица группы С.

Любое однородное пространство М с группой изометрий С можно отождествить с фактор-пространством группы С по подгруппе Я = С^., являющейся стабилизатором фиксированной точки х е М.

Вариационные задачи имеют обширную предысторию, потому здесь ограничимся упоминанием недавних работ, связанных с решавшейся проблемой. Так в работах [7, б] изучение метрического строения однородных многообразий с внутренней метрикой доставило следующий результат: однородные пространства М с внутренней метрикой - это в точности фактор-пространства С/Я связных групп Ли (7 по их компактным подгруппам Я, снабженные некоторой инвариантной относительно канонического действия группы G на G/Я метрикой Карно-Каратеодори-Финслера. Всякая такая метрика dc задается вполне неголономным G-инвариантным распределением Д на пространстве M = G/H и G-инвариантной (финслеровой) нормой на линейном подпространстве Д(р) касательного к Л/ в точке р пространства Мр.

Условие вполне неголономности распределения Л вследствие теоремы Рашевского-Чжоу можно выразить требованием, того чтобы любые две точки из М можно было соединить кусочно непрерывно дифференцируемым путем, касающимся распределения Л, также такой путь называется горизонтальным.

В иной формулировке это требование означает, что бесконечно дифференцируемые касательные к распределению Л векторные поля своими линейными комбинациями и коммутаторами порождают алгебру Ь = Х°°{М) бесконечно дифференцируемых касательных к М векторных полей, а их линейная оболочка И ф Ь, т.е. Д ф Т(М), тривиальному касательному распределению над М. На языке алгебры это требование можно выразить совпадением наименьшего модуля над С°°(М), содержащего бесконечно дифференцируемые касательные к расслоению Д векторные поля и их скобки Ли, с Х°°(М) , при том, что Д ф Т(М).

Метрика Лс определяется формулой где Срд -множество всех кусочно непрерывно дифференцируемых горизонтальных путей в М = С?/Я, заданных на отрезке [0,1] и соединяющих точки р, д из М. Финслеровы метрики йс характеризуются дополнительным условием спрямляемости регулярных СЯ-путей в С/Я относительно метрики (1С. Если, кроме того, любые два таких пути с общим началом имеют между собой угол по Александрову, то (С?/Я,с?с) изометрично однородному риманову многообразию с внутренней метрикой.

Инвариантность вариационной задачи означает, что соответствующий функционал инвариантен относительно некоторой транзитивной группы движений рассматриваемого однородного риманова пространства, см. [10], [19], [13].

F = F(p,-)-,peG/H 5

Условия применимости методов теории оптимального управления на группах Ли исследовались в работе В.Н. Берестовского [5], где также перечислены все (связные) группы Ли, на которых всякая левоинвариантная внутренняя метрика будет финслеровой. Как следствие упомянутых результатов, левоинвариантные внутренние метрики групп Ли в точности являются левоиивариаитиыми метриками

Карно-Каратсодори-Финслера.

Возможно, всякое однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой, удовлетворяющее условию локальной единственности кратчайших - однородное финслерово многообразие. Этот результат установлен по крайней мере для компактных пространств.

В недавних работах [35, 24] решены задачи, связанные с проблемами дифференциальных уравнений, однородных пространств и группового анализа. В частности в [24] исследовалась задача о геодезических потоках на однородных пространствах. В работе [25] исследовалась задача нахождения минимума функционала f* F(x,y,yx)dx в пространстве гладких функций, удовлетворяющих некоторым граничным условиям.

Группы Ли с левоиивариаитной иеголономной метрикой, порождающейся квадратичной формой на касательном вполне неголономном подрасслоении рассматривались в работах P.C. Стричардса [38], А.М.Вершика и В.Я.Гершковича [13, 39], В.Н.Берестовского [9].

В работах [8], [9] В.Н.Берестовским исследовались геодезические неголономных левоинвариантных метрик на группе Гейзенберга и на группе движений евклидовой плоскости Е2. Был проведен поиск экстремалей вариационной задачи для функционала: на плоскости Е2, где к-геодсзическая кривизна кусочно регулярной кривой х(з) , параметризованной длиной дуги , с помощью построения левоиивариаитной пеголоиомной римановой метрики на группе Ли собственных движений рассматриваемого пространства, нахождения её геодезических и установления соответствия между ними и искомыми экстремалями. Также высказано было мнение о целесообразности подобного исследования для плоскости Лобачевского. е

В свое время А.М.Вершик указал, что естественные вариационные задачи для гладких кривых с функционалом, зависящим от высших производных, могут привести к однородным многообразиям с внутренней метрикой.

Сложности, возникающие при решении задач с производными высших порядков в исследуемых функционалах, снимаются тем, что естественной областью определения вышеупомянутой метрики является подмногообразие касательного расслоения первого и высшего порядков над исходным многообразием, и, принимая производные за новые переменные, удается получить новый функционал от производных не выше первого порядка и метрической функцией Финслера на упомянутом подмногообразии при описании однородного многообразия. Вероятно, необходимым является неголономный характер получаемой метрики.

Вариационные задачи на многих пространствах интересны возможностью применения методов, связанных в первую очередь с принципом максимума Понтрягина.

Цель работы.

1. Ставится вопрос о связях геодезических группы Гейзенберга с геодезическими и сферами плоскости Грушина, исследуются их свойства. Плоскость Грушина, двумерное пространство с метрическим элементом хг

2. Также исследуются две инвариантные вариационные задачи -на расслоенном пространстве единичных касательных векторов над плоскостями Лобачевского и Евклида , связанные с поисками экстремальных кривых х(э) (с заданными направлениями в начальной и конечной точках) функционалов § у/1+ кЦ{})с1з и /(1+ «*(*))&.

3. Проводится проверка уравнением Эйлера-Пуассона решения инвариантной вариационной задачи для функционала / у/1+ «2(5)6^ на кривых плоскости Евклида.

Методы исследования. В доказательствах использовались методы метрической геометрии, принцип максимума Понтрягина, свойства неголономных метрик, методы теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы состоит в следующем: 7

1. Найдены в явном виде уравнения Эйлера-Лагранжа для экстремалей функционала на расслоении над плоскостью Лобачевского.

2. Проведено исследование свойств решений, часть их найдена в явном виде.

3. Проведено методом принципа максимума Понтрягина исследование вариациоиной задачи для функционала jyi + «2(s)ds

4. Найдены геодезические плоскости Грушина,

5. Показана субметричность проекции группы Гейзенберга на модифицированную плоскость Грушина с метрикой ds2 = dr2 4- Adz21 г2, сохранение проекцией длин спрямляемых кривых.

6. Доказано, что геодезические группы Гейзенберга Н с началом на оси z отображаются проекцией на геодезические модифицированной плоскости Грушина.

7. Сферы группы Гейзенберга с центром в единице группы доставляются вращением сфер модифицированной метрики ds2 = dr2 + Adz2/г2 Грушина с центром в нуле плоскости.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа имеет теоретическое значение. Результаты могут быть использованы для исследований вариационных задач на пространствах с определенными свойствами.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 5-и печатных работах [31], [29], [33], [32],[34]. Одна работа опубликована издательством Челябинского научного центра [30].

Апробация работы проведена на следующих конференциях: 37-й региональной молодёжной конференции ( ЗО-янв.-З февр. 2006 , Урал ) , XLIII международной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (НГУ, 2005) , Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю. Г. Решетняка (30 авг. - 3 сент. 2004, Новосибирск, Ин-т математики СО РАН ) .

Структура и объем работы.

Диссертационная работа , содержащая 61 страницу, состоит из введения, четырех глав и списка использованной литературы, составляющего 39 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Файзуллин, Рамиль Рашитович, 2007 год

1.. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гос. издат. тех.-теор. лит. ,1955

2. Беллман Р.Процессы регулирования с адаптацией. М. Наука 1964

3. Беллман Р.,Кук. К. Дифференциально-разностные уравнения //М. 1967

4. В.Н. Берестовский Субметрии пространственных форм неотрицательной кривизны //Сиб.мат. журн. 1987 т. 28, N 4, С. 45-49

5. Берестовский В.Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. I // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29, № 6. С. 17-29.

6. Берестовский В.Н. Однородные пространства с внутренней метрикой // Докл. АН СССР. 1988. Т. 301, № 2. С. 268-271.

7. Берестовский В.Н. Однородные многообразия с внутренней метрикой. II // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 2. С. 14-28.

8. Берестовский В.Н. Геодезические иеголономных левоинвариантных внутренних метрик на группе Гейзенберга и изопериметриксы пространства Минковского // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 1. С. 3-12.

9. Берестовский В.Н. Геодезические левоипвариантной неголономной римановой метрики на группе движений евклидовой плоскости // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 6. С. 1223- 1230.

10. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. M.-JL: Гос. тех. теор. изд-во, 1933.

11. Математическая энциклопедия //т.4 изд-во М. Наука

12. Л.С.Понтрягин , В.Г. Болтянский,Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко Математическая теория оптимальных процессов Ц М. Наука, 1969

13. Вершик А.М., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления // М.: ВИНИТИ. 1987.

14. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление // М.: Физматгиз, 1961.

15. Файзуллин P.P., Берестовский В.Н. Проблемы теоретической и прикладной математики. // Труды 37-й региональной молодежной конференции (30 января 3 февраля 2006 г.). Екатеринбург: Ин-т механики и математики УрО РАН, 2006. С. 88.

16. Берестовский В.Н, Файзуллин P.P. Расслоение над плоскостью Лобачевского // Известия Челябинского научного центра. Январь-март 2007. Вып. 1 (35). С. 27-32.go

17. Файзуллин P.P. О связи неголономной метрики на группе Гейзенберга с метрикой Грушина // Сиб. мат. журнал. 2003. Т. 44, № 6. С. 1377-1384.

18. Файзуллин P.P. О расслоении над плоскостью Лобачевского // Материалы XLIII международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2005. С. 87.

19. Файзуллин P.P. Инвариантные вариационные задачи на некоторых однородных пространствах. // Вестник Омского университета. 2007. № 3. С. 17-21.

20. Bellaiche A.The tangent space in Sub-Riemannian geometry //Progress in Mathematics. V.144: Sub-Riemannian Geometry (ed. Bellaiche A., Risler J.-J.) .Basel; Boston; Berlin:Birkhauscr, 1996. P. 1-78.

21. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Rie-mannian manifolds // Tohoki Math. J. (2) 1958. V. 10 P. 338-345;II 1962. V. 14 P. 146-155

22. Strichartz R.S. Sub-Riemannian Geometry // J. Diff. Geom. 1986. N 24. P. 221-264.

23. Vershik A.M., Berestovskii V.N. Manifolds with intrinsic metric and nonholonomic spaces // Advances in Soviet Mathematics. 1992. N 9. P. 253-267.6i