Левоинвариантные внутренние метрики на группах Ли и плоские изопериметрические задачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Зубарева, Ирина Александровна

• Зубарева, Ирина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зубарева, Ирина Александровна

Введение

1. Необходимые сведения из выпуклой геометрии

1.1. Общие утверждения о двойственных выпуклых телах.

1.2. О регулярности границ двойственных выпуклых тел

1.3. Кривизны Гаусса-Кронекера границ двойственных выпуклых тел

1.4. Плоскости Радона-Минковского.

2. Квазигиперболическая плоскость

2.1. Левоинвариантные внутренние метрики и их геодезические на группе Г.

2.2. Линейный элемент и геодезические квазигиперболической плоскости

2.3. Нарушение выпуклости малых шаров в квазигиперболической плоскости.

3. Сферы некоторых неголономных левоинвариантных внутренних метрик на 50(3) и 51/2 (.К)

3.1. Общее описание рассматриваемых метрик.

3.2. Сферы на расслоении единичных векторов плоскости Римана.

3.3. Сферы на расслоении единичных векторов плоскости Лобачевского.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Левоинвариантные внутренние метрики на группах Ли и плоские изопериметрические задачи»

В последние три десятилетия активно изучаются однородные (т.е. допускающие транзитивную группу изометрий) римановы многообразия. Их естественными обобщениями являются однородные финслеровы многообразия. Различие между ними заключается в том, что первое ведет себя в бесконечно малом как евклидово, а второе - как нормированное векторное пространство.

Аксиомы (^-пространства Буземана аккумулируют свойства финслеровых пространств с "хорошим" поведением геодезических. Г. Буземан в книге "Геометрия геодезических" (см. [9]) показал, что аксиом локальной продолжаемости кратчайшей и единственности такого продолжения в локально компактном полном пространстве с внутренней метрикой достаточно для получения многих нетривиальных результатов в геометрии. В [6] доказано, что всякое однородное О-пространство Буземана является топологическим многообразием, а группа всех его движений — группой Ли.

Естественными обобщениями однородных ^-пространств Буземана являются однородные многообразия с внутренней метрикой (т.е. расстояние между любыми двумя точками многообразия равно точной нижней грани длин кривых в этом многообразии, соединяющих данные точки). В последние годы идет бурное развитие теории гладких связных п-многообразий (М, йс) с внутренней метрикой Карно-Каратеодори. Последняя задается парой (Ф, Д), где Ф : ТЫ —> Я - финслерова непрерывная метрическая функция на касательном расслоении ТМ (т.е. ограничение Ф на касательное пространство ТтМ, т Е М, есть норма), А - вполне неголономное гладкое распределение ^-плоскостей на М, к < п (йс есть финслерова метрика на М в случае к — п). Вполне неголономность распределения А означает, что векторные поля, принадлежащие А, в каждой точке т Е М вместе со всеми своими коммутаторами порождают ТтМ. Расстояние йс(р^) между двумя точками р, д Е М определяется по формуле 2 с(р,я) = / и где т£ берется по всем кусочно дифференцируемым путям а = а(£), <1 < ¿2, соединяющим точки р и д, и таким, что а(¿) для почти всех t принадлежит Д. Конечность метрики йс следует из классического результата П. К. Рашевского [24] и В. Л. Чжоу [34], которые установили, что любые две точки связного гладкого многообразия, снабженного вполне неголономным распределением, можно соединить кусочно непрерывно дифференцируемым путем, касающимся данного распределения. Если (М, йс) однородно, то пара (Ф, Д) инвариантна относительно группы изометрий многообразия М. В случае, когда М есть связная группа Ли G, А должно быть лево-инвариантным распределением на G, таким, что векторное подпространство Lq = Д(е) алгебры Ли L группы G порождает L, а лево-инвариантная норма Ф на А определяется нормой Fo на -Lq формулой Ф(и) = Fo(dlg-i(u)), и Е TgG, и 1д-1 — левый сдвиг G на элемент д~1.

На сегодняшний день существует целое направление в геометрии, исследующее свойства геодезических на этих многообразиях (см., например, работы [1], [10], [11], [13] — [15], [40] - [41], [43] - [44], [48], [49]). Так, в работах [10], [13] A.M. Вершиком и В .Я. Гершкови-чем найдены двусторонние точные по показателю верхние и нижние гельдеровские оценки левоинвариантных неголономных римановых метрик на группах Ли. Нахождение геодезических неголономных римановых и финслеровых метрик на однородных пространствах тесно связана с математической теорией оптимального' управления (см. [6], [28], [38]). В работе [6] доказано, что кратчайшие на однородных многообразиях с внутренней метрикой есть решения некоторой линейной по управлению задачи оптимального быстродействия. В [48], [49] нахождение геодезических в неголономных римановых многообразиях сводится к решению системы уравнений Гамильтона-Якоби.

В [3] доказано, что всякое однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой является метрическим проективным пределом последовательности однородных многообразий с внутренней метрикой. Последние, в свою очередь (см. [4]), изометричны фактор-пространствам С/Я связных групп Ли С по их компактным подгруппам Я, снабженным некоторой инвариантной относительно канонического действия на й/Н метрикой Карно-Карате-одори (может быть, неголономной). В настоящее время неизвестно, является ли всякое О-пространство Буземана конечномерным. По-видимому, конечномерное однородное ^-пространство Буземана не может быть неголономным. Этот результат доказан, с одной стороны, в компактном случае в [5], с другой стороны, в размерностях < 3 (см. [1]). Отметим, что неголономные однородные многообразия характеризуются условием "фрактальности", т.е. их размерность Хаусдорфа больше топологической (см. [35]).

В диссертации рассматриваются три основные темы: 1) регулярность границ двойственных выпуклых тел в Яп+2) квазигиперболическая плоскость; 3) формы сфер специальных неголоном-ных левоинвариантных внутренних метрик на группах Ли 50(3) и

Приведем основные результаты, изложенные в диссертации.

В главе 1 доказываются некоторые утверждения о регулярности и кривизнах Гаусса-Кронекера границ двойственных выпуклых тел в евклидовом пространстве. Выпуклым телом и в #га+1, п > 1, будем называть ограниченное замкнутое выпуклое множество, содержащее начало координат в качестве своей внутренней точки.

В §1.1 дано определение двойственного тела (поляры) II* выпуклого тела II и приводятся доказательства известных результатов о двойственных выпуклых телах в Rn+1, которые будут нужны во второй главе. В частности (см. работы [39], [42]), что граница dU выпуклого тела U дифференцируема тогда и только тогда, когда U* строго выпукло. Формулировка и доказательство результатов приводятся в терминах функции расстояния и опорной функции Минковского тела U.

В § 1.2 дано определение двойственной точки и* для точки и, лежащей на границе 8U выпуклого тела U. Основной результат этого параграфа (и первой главы в целом) составляет теорема о регулярности границ двойственных выпуклых тел.

Теорема 1.1. Пусть U - выпуклое тело в Rn+1, п > 1, с границей dU класса Ст, т > 2, и кривизна Гаусса-Кронекера поверхности dU всегда положительна. Тогда граница dU* двойственного тела U* имеет класс С™.

Для доказательства этой теоремы существенно используется предложение 1.4.

Предложение 1.4. Пусть U - строго выпуклое тело в Rn+1, п > 1, с дифференцируемой границей dU, U* - двойственное тело тела U с границей dU*. Тогда отображение f, сопоставляющее точке и £ dU двойственную ей точку и* Е dU*, определяет гомеоморфизм поверхности dU на dU*. Если г - радиус-вектор точки и Е dU, п - единичный вектор внешней нормали к поверхности dU в точке и, то радиус-вектор двойственной для и точки и* равен

R = A. п-г

В §1.3 найдено геометрическое соотношение между кривизнами Гаусса-Кронекера границ двойственных выпуклых тел. Именно, доказана

Теорема 1.2. Пусть II - выпуклое тело в Яп+1, п > 1, с границей 811 класса С171, т > 2. Предположим; что кривизна Гаусса-Кронекера К (и) поверхности 811 всегда положительна. Тогда для кривизны Гаусса-Кронекера К*(и*) границы 811* двойственного тела 11* справедлива формула

К*(и*)К(и) = соз7г+2а, (1) где и - произвольная точка поверхности 811 с радиус-вектором г (и), п{и) - единичный вектор внешней нормали к поверхности 811 в точке и, а - угол между г(и) и п{и), и* £ 817* - единственная двойственная точка для и.

Равенство, эквивалентное равенству (1), было ранее получено в статье [36].

Из теоремы 1.2 следует (см. теорему 1.3), что для любой точки и € 811 справедливо неравенство

К(и)К*(и*)<1, (2)

Tmax/ где гт1П и гтах - наименьшее и наибольшее расстояния от начала ко/ N п+2 ординат до точек поверхности ди. Равенство ( ^Ч = К {и) К* (и*) выполнено тогда и только тогда, когда 811 - сфера с центром в начале координат. Равенство К (и) К* (и*) = 1 выполнено тогда и только тогда, когда векторы г(и) и п(и) коллинеарны.

Из неравенства (2) и результатов работы [37] следует Теорема 1.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.2. Если эллипсоидом, вписанным в поверхность ди и ограничивающим тело максимального объема, является сфера с центром в начале координат, то выполнены неравенства если II - центрально симметричное тело.

В главе 2 диссертации рассматриваются все левоинвариантные внутренние метрики на группе порожденной параллельными переносами вдоль оси х и подобиями с центром в нуле в полуплоскости у > 0 плоскости К2. Иначе Г можно описать как связную компоненту группы всех подобий числовой прямой.

Из общего результата статьи [6], следует, что всякая левоинва-риантная внутренняя метрика р на Г финслерова. В §2.1 доказано (см. лемму 2.1), что линейный элемент метрики р имеет вид п+2

К(и)К*(и*) < 1 в общем случае, и

Г : х' = ах + (3, у' = ау, а > 0, — оо < (3 < оо, йв — у ^{¿х, йу), у > 0, —ОО < X < оо,

3) где функция 42) удовлетворяет обычным условиям нормы, т.е. есть положительная при (гА^г^) Ф (0,0), положительно однородная 1-ой степени симметричная выпуклая функция.

Далее с помощью принципа максимума Понтрягина [23] найдены все геодезические как оптимальные по быстродействию решения некоторой управлямой системы. Доказано, что в рассматриваемом случае принцип максимума Понтрягина оказывается не только необходимым, как в общем случае, но и достаточным условием гео-дезичности траектории. Более того, найденные с помощью этого принципа кривые являются прямыми пространства (Г, р), т.е. всякий отрезок такой кривой является кратчайшей. Эти результаты составляют суть теоремы 2.1.

Параграф 2.2 посвящен выделению всех таких метрик р, что (Г,р) есть (^-пространство Буземана, т.е. локально компактное полное пространство с внутренней метрикой, удовлетворяющее аксиомам локальной продолжаемости кратчайшей и единственности такого продолжения. В этом случае (Г, р) называется квазигиперболической плоскостью.

Буземан в книге [9, (52.7)] доказал, что единственными однородными С-пространствами Буземана являются плоскость с метрикой Минковского или квазигиперболической, цилиндр и тор с метрикой Минковского, сфера и проективная плоскость со сферической метрикой. В § 2.2 доказана

Теорема 2.2. Линейный элемент квазигиперболической плоскости может быть записан в виде (3), причем функция Р(и1,и2) удовлетворяет условиям: р) ^(«1, и2) > 0 при (щ, и2) ф (О, О); и) Р(кщ,ки2) =| к | Р(щ,и2) для любого вещественного к;

111) Р выпукла; гу) Р дифференцируема, за исключением точки (0,0); у) касательные к кривой Р(щ,и2) = 1, параллельные прямой и2 — 0, касаются этой кривой в единственной точке.

Обратно, каждый линейный элемент вида (3) с функцией Р(щ, и2), удовлетворяющей перечисленным условиям, определяет квазигиперболическую геометрию.

Определим функцию Р*(х,у) по формуле тах (ущ - хи2). (4)

Р(щ,и2)<1

Геодезическими квазигиперболической плоскости с линейным элементом (3) являются пересечения с полуплоскостью у > 0 кривых Р*(х — а, у) = к, к > 0, —оо < а < ос, и касательных к этим кривым в точках пересечения последних с осью х. Через две различные точки квазигиперболической плоскости проходит только одна геодезическая.

Эта теорема была ранее получена Г. Буземаном в статье [29] в 1955 году. Доказательство теоремы, приведенное в диссертации, существенно отличается от доказательства Г. Буземана и использует математическую теорию оптимального управления, которая появилась уже после работы [29].

Из [31] следует, что кривые F*(x — а,у) = к, к > 0, —оо < а < оо, есть те решения изопериметрической задачи для плоскости Минков-ского с расстоянием F(x — х',у — у') между точками (х,х'), (у,у'), чьи центры лежат на оси х.

Из результатов § 1.4 вытекает, что если перпендикулярность прямых в плоскости Минковского с расстоянием F{x — х', у — у') между точками (у, у1) симметрична (такие плоскости будем называть плоскостями Радона-Минковского, см. [45]), то геодезическими квазигиперболической плоскости с линейным элементом (2) являются пересечения с полуплоскостью у > 0 кривых F(x — а, у) = к, к > а, а £ R, и касательных к этим кривым в точках пересечения последних с осью х.

В § 2.3 исследованы свойства выпуклости открытых шаров в квазигиперболической плоскости.

Определение 2.2. Множество V в пространстве М с внутренней метрикой называется выпуклым, если любые точки х,у £ V соединимы в М кратчайшей и всякая такая кратчайшая лежит в V.

Известно, что в римановом и "регулярном" финслеровом пространствах (М, р) (см. [50]) для каждой точки р £ М существует такое 6(р) >0 (S(p) может быть равно +оо), что открытые шары U(p,d) при d < 8{р) выпуклы, а при d > 6(р) не являются выпуклыми. Если пространство (М,р) однородно, то S(p) не зависит от точки р.

Г. Буземан в [29] высказал предположение, что если функция F(u\,u2) не является строго выпуклой, то все открытые шары квазигиперболической плоскости с линейным элементом (3) не являются выпуклыми. Доказательство не было приведено. Позднее в совместной работе [33] Г. Буземана и Б. Б. Фадке построен пример прямого двумерного G-пространства с однопараметрической группой движений, в котором нарушается условие выпуклости открытых шаров.

В § 2.3 доказано утверждение Буземана в несколько ослабленной формулировке.

Теорема 2.3. Пусть кривая С = {(х,у) Е R2 | F*(x,y) = 1} не является дифференцируемой в точке (х*,у*), у* = max у, причем правая и левая касательные к кривой С в этой точке не параллельны оси х. Тогда шары В(р,р) квазигиперболической плоскости с линейным элементом (3) не являются выпуклыми при любом р.

В [2] доказано, что выпуклость малых открытых шаров в G-пространстве есть достаточное условие конечномерности этого пространства. Теорема 2.3 показывает, что это условие не является необходимым.

В [32] показано, что различие между выпуклостью малых открытых шаров в римановом и финслеровом пространствах и возможным отсутствием этой выпуклости в (^-пространствах появляется из различия между предельными сферами в касательных пространствах римановых и финслеровых пространств, с одной стороны, и предельными сферами в произвольных (^-пространствах, с другой стороны.

Третья глава диссертации посвящена нахождению точных формул для сфер некоторых неголономных левоинвариантных внутренних метрик на трехмерных группах Ли 50(3) и Метрики специально подобраны так, что можно с помощью несложных геометрических рассуждений (без использования принципа максимума Понтрягина или уравнений Гамильтона-Якоби для нахождения геодезических) свести задачу к решению изопериметрических задач для плоскостей постоянной ненулевой гауссовой кривизны. Подобная связь неголономных вариационных и изопериметрических задач была приведена в [12]. Отметим, что ранее в многих случаях были составлены уравнения и найдены геодезические (см.работы [10], [11], [14], [48], [49]), но явного вида сфер неголономных метрик найдено не было.

В §3.1 приведено описание рассматриваемых метрик, которые имеют самостоятельное геометрическое значение ввиду естественности определяющей их геометрической конструкции.

Пусть У% — расслоение единичных векторов над пространством Мк, где Мк — ориентированная плоскость Лобачевского гауссовой кривизны К (тогда = БЬъ(Я)) или ориентированная плоскость Римана гауссовой кривизны К (тогда У к = 30(3)), со связностью Леви-Чивита. Расстояние с1к(уд,ув) между элементами уа,ув £ Ук определяется по формуле йк(х,у) = т {(1(1),

5), где т£ берется по всем кривым I в Мк, чьи горизонтальные лифты соединяют элементы у а и у в- Тогда <1% - неголономная метрика Карно-Каратеодори пространства Ук-, определяемая метрикой Са-саки [46], [47] и горизонтальным распределением связности Леви-Чивита.

Далее в Ук вводится система координат {(г,а,/3) \ г > 0,—ж < а < ж, — ж < Р < ж} с центром в некотором фиксированном элементе у о- Элемент у а £ Ук (если Мк — плоскость Римана, то А не является диаметрально противоположной точкой для О) имеет координаты {г, а,/3}, где г - расстояние между точками О и А, а - угол от вектора, полученного параллельным переносом вектора у о вдоль единственной кратчайшей О А, к вектору у а, ¡3 - угол от вектора уд к единичному касательному вектору кривой О А в точке О. Считаем, что при этом отождествлены элементы, имеющие соответственно координаты (г, —7г, /?) и (г, 7Г, /?), (г, а,—ж) и (г, а, ж)

Лемма 3.1. Если элемент у а, имеющий координаты (г, принадлежит сфере пространства Ук с центром Уо некоторого радиуса Т, и 1оа — проекция кратчайшей пространства Ук, соединяющей элементы у о и у а, то г = (1(0А), | а |= , Т = й(10А) где О — двуугольник, ограниченный кривой 1оа и кратчайшей О А пространства Мк, соединяющей точки О и А.

Кривая 1оа пространства Мк имеет постоянную геодезическую кривизну.

В §3.2 рассматривается случай, когда Мк есть плоскость Ри-мана. Доказывается, что отображение {(г,а,(3) | 0 < г < 7г, — 7г < а < 7Г, —7г < (3 < 7г} -> Ук можно непрерывным образом продолжить в случае г = 7Г.

Основной результат § 3.2 составляет

Теорема 3.1. Диаметр пространства Ук, К = а~2, снабженного метрикой (5), равен л/Зпа.

Введем в Ук систему координат {г, а,/3} с началом в некотором элементе Уо- В этой системе координат сфера с центром г>о радиуса у/Зпа есть точка (0,7Г,0). Сфера с центром Уо радиуса Т < у/Зтто есть поверхность вращения вокруг оси а той части кривой Бт, определяемой параметрическими уравнениями г — ±2crarcsin -sin— , а = áza(t), 1 < t < t 2сг/ 1 которая расположена в полосе —п < а < тт на плоскости (3 = 0, • причем

1. Если 0 < Т < тгсг, то

1 . Tí

2тгсг r(t) = 2о arcsin , 1 <t< .и/ ^ ^ Т а(£)

X.

2а

То-т • \Л2-1ят л . , 1 — агсэт—7=—, если 1 < £

У2-8"1 В ~

-Г • ч/Ь^Тэт^

1 — агсэт . . , % у , Если то жа <Т < у/Зжа л л . /1 . Г£\ г(г) = 2(7 агсйт - вт — , 1 < £ < V t 2сг/ и-2 ^ ) ' Т < £ < •

2<7 /

27Г(7 т;

1 Т г^—- .

7Г--— 1 ~ аГСБШ —,

2(7 /¿2 8т2 ^

1 < £ <

2<г /

27Г<7 а(1) при Т == тгсг определяется по непрерывности и равно ж.

На основе теоремы 3.1 даны топологическая и дифференциальная характеристики сфер пространства У^, А' > 0.

Случай, когда Мк есть плоскость Лобачевского, рассмотрен в § 3.3. Доказана

Теорема 3.2. Введем в пространстве Уц, К = —сг~2, снабженном метрикой (5), систему координат {г, а,/3} с началом в некотором элементе уо- В этой системе координат сфера с центром уд произвольного радиуса Т есть поверхность вращения вокруг оси а той части замкнутой кривой Б?, определяемой совокупностью параметрических уравнений ±г(£), а = ±а(0, 0<£<

2ТП7 г = ±г(и), а = ±о;(гг), 0 < и < 1, которая расположена в полосе — 7Г < а < ж на плоскости (3 = 0, где г(£) = 2(71п

1 . тг 1

-81П---1- -л г 2а Л

2 + ^2 вт

II

2а о < г <

2па

2 Г- агС51п I

2<т

•у/<2+зт:

2 74 2<7 . есл« О < 1 < Щ,

74

2ст . если у1 < £ < Т

2-7ГСГ

Т ' причем при £ = О значения г (О), а(О) определяются по непрерывности. \ п , , 1 , Ти 1

Г {и) = 2(7 111 — БД--1-у ; и 2(7 и и2 + вЬ5

Ти 2(7 О < и < 1, а(и) = 2

ГуТ и'

2(7 агсвт

УГ у

О < и < 1.

На основе теоремы 3.2 дана топологическая характеристика сфер пространства Ук, К < 0.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7], [16]-[21], [51].

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XXXVII Международной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1999), Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 1999), Международной конференции "Геометрия и приложения", посвященной 70-летию профессора В.А. Топоногова (Новосибирск, 2000), а также на семинарах кафедры математического моделирования Омского государственного университета и семинаре отдела геометрии и анализа Института Математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Новосибирск, 2000).

Автор благодарит своего научного руководителя д.ф.-м.н., профессора В.Н. Берестовского за постановку задач и внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зубарева, Ирина Александровна, 2000 год

1. Берестовский В.Н. Геодезические неголономных левоинвари-антных метрик на группе Гейзенберга и изопериметриксы плоскости Минковского // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, N 1. С. 3-11.

2. Берестовский В.Н. К проблеме конечномерности С-простран-ства Буземана // Сиб. мат. журн. 1977. Т. 18, N 6. С. 219-221.

3. Берестовский В.Н. Однородные пространства с внутренней метрикой. Дис. . д-ра. физ.-мат. наук. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1990. 269 с.

4. Берестовский В.Н. Однородные пространства с внутренней метрикой. I // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29, N 6. С. 17-29.

5. Берестовский В.Н. Однородные пространства с внутренней метрикой. II // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, N 2. С. 14-28.

6. Берестовский В.Н. Однородные О-пространства Буземана // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, N 2. С. 3-15.

7. Берестовский В.Н., Зубарева И.А. Кривизны Гаусса-Кронекера границ двойственных тел // Вестник Омского университета. Омск: ОмГУ, 1999. N. 4. С. 19-22.

8. Брычков Ю.А., Маричев О.И., Прудников А.П. Таблицы неопределенных интегралов. М.: Наука, 1986.

9. Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: Физматгиз, 1962.

10. Вершик A.M., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 16. С. 5-85. (Итоги науки и техники).

11. Вершик A.M., Гершкович В.Я. Неголономные геодезические потоки на SL2R // Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. Зап. науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. 1986. Т. 155, С. 7-17.

12. Вершик A.M., Граничина O.A. Редукция неголономных вариационных задач к изопериметрическим и связности в главных расслоениях // Мат. заметки. 1991. Т. 49, N 5. С. 37-44.

13. Гершкович В.Я. Двусторонние оценки метрик, порожденных абсолютно него лоно мными распределениями на римановых многообразиях // Докл. АН СССР. 1984. Т. 278, N. 5. С. 1040-1044.

14. Гершкович В.Я. Вариационная задача с неголономной связью на 50(3) // Геометрия и топология в глобальных нелинейных задачах. Воронеж, 1984. С. 149-152.

15. Гершкович В.Я. Метод штрафных метрик в задачах с него-лономными связями // Применение топологии в современном анализе. Воронеж: Изд.-во ВГУ, 1985. С. 138-144.

16. Грибанова И.А. Гауссовы кривизны двойственных поверхностей // Математические структуры и моделирование. Омск: ОмГУ, 1998. Вып. 2.

17. Грибанова И.А. Гауссовы кривизны двойственных поверхностей // Материалы XXXVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика. /Новосиб. ун-т/. Новосибирск, 1999. С. 31-32.

18. Грибанова И.А. Квазигиперболическая плоскость 11 Алгебра, геометрия, анализ и метематическая физика: 12-я Сибирская школа, Новосибирск, 20-24 июля 1998 г. Новосибирск, Изд-во Института математики, 1999. С. 140.

19. Грибанова И.А. Квазигиперболическая плоскость // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, N 2. С. 288-301.

20. Грибанова И.А. О возможном нарушении выпуклости в квазигиперболической плоскости Буземана / Уч. совет мат. фак. ОмГУ. Омск, 1996. 18с. Деп. в ВИНИТИ 08.10.96, N 2971-В96.

21. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: В 2 Т. М.: Наука, 1981. Т. 2.

22. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

23. Рашевский П.К. О соединимости любых двух точек вполне не-голономного пространства допустимой линией // Учен. Зап. Моск. гос. пед. ин.-та им. К.Либкнехта. Сер. физ.-мат. 1938. Т. 3, N. 2. С. 83-94.

24. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.

25. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1982.

26. Ball K. An Elementary Introduction to Modern Convex Geometry // Flavors of Geometry (ed. S Levy). MSRI Publications. Cambridge University Press, 1997. V. 31. P. 1-58.

27. Bellazche A. The tangent space in sub-Riemannian geometry // Progress in Mathematics. V. 144: Sub-Riemannian Geometry (ed. Bellai'che A., Risler J.J.). Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1996. P. 1-78.

28. Busemann H. Quasihyperbolic geometry // Rend. Circ. Mat. Palermo (2). 1955. V. 4. P. 256-267.

29. Busemann H. Resent Synthetic Differential Geometry. Berlin Heidelberg - New York, Springer-Verlag, 1970.

30. Busemann H. The isoperimetric problem in the Minkowski plane // Am. Jour. Math. 1947. V. 69. P. 863-871.

31. Busemann H., Phadke B.B. Novel results in the geometry of geodesies // Adv. Math. 1993. V. 101, N. 2. P. 180-219.

32. Busemann H., Phadke B.B. Nonconvex spheres in G-spaces //J. Indian Math. Soc. 1980. V. 44. P. 39-50.

33. Chow W.L. Über Systeme Von Linearen Partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung // Math. Ann. 1939. V. 117. P. 98-105.

34. Gromov M. Carnot-Caratheodory spaces seen from within // Progress in Mathematics. V. 144: Sub-Riemannian Geometry (ed.Bellai'che A., Risler J.J.). Basel, Boston, Berlin: Birkhauser, 1996. P. 79-324.

35. Hug D. Curvature relations and affine surface area for a general convex body and its polar // Result. Math. 1996. V. 29, N 3-4. P. 232-248.

36. Jonh F. Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions // Studies and essys presented to R. Courant on his 60th birthday (Jan. 8, 1948). Interscience, New Jork, 1948. P. 187-204.

37. Jurdjevic. Optimal Control, Geometry, and Mechanics // Mathematical Control Theory (ed. Baillieul J., Willems J. C.). New York: Springer-Verlag, 1999. P. 227-267.

38. Cudia D.F. Rotundity // Convexity (ed. Klee V.). Proceedings of Simposia in Pure Mathematics. 1963. V. 7. P.73-97.

39. Liu W., Sussmann H.J. Shortest Paths for Sub-Reimannian Metrics on Rank-Two Distributions // Memoirs of the AMS. 1995. V. 118. N. 564.

40. Mitchell J. On Carno-Caratheodory Metrics //J. Differential Geometry. 1985. V. 21, N. 1. P. 35-45.

41. Megginson R.E. An introduction to Banach space theory // Graduate Texts in Mathematics. 1983. New York: Springer, 1998.

42. Montgomery R. Abnormal minimizer // SIAM J. Control Optim. 1994. V. 32. N. 6. P. 1605-1620.

43. Montgomery R. Survey of singular geodesies Sub-Reimannian geometry. Birkhauser, Basel, 1996. (Progr. Math.; 144. P. 325-339).

44. Radon J. Uber eine besondere Art ebener konvexer Kurven // Ber. Sachs. Akad. Wiss. Leizig. 1916. V. 68. P. 131-134.

45. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Rie-mannian manifolds. // Tohoku Math. J., 1958. V. 10. P. 338-345.

46. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Rie-mannian manifolds.II// Tohoku Math. J., 1962. V. 14. P. 146-155.

47. Strichartz R. Sub-Reimannian geometry //J. Differential Geometry. 1986. V. 24, N. 2. P. 221-262.

48. Strichartz R. Correction to "Sub-Reimannian geometry" //J. Differential Geometry. 1989. V. 30. P. 595-596.

49. Whitehead J.H.C. The Weierstrass E-function differential metric geometry // Quart. J. Math. Oxford Ser. 1933. V. 4. P. 291-296.