Симметрии и оптимальный синтез в левоинвариантных задачах оптимального управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Подобряев Алексей Владимирович

• Подобряев Алексей Владимирович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Подобряев Алексей Владимирович

Актуальность темы

Краткое содержание диссертации

Благодарности

1 Симметрии в задачах оптимального управления

1.1 Постановка задачи и обзор известных результатов

1.2 Продолжаемость симметрий

1.3 Доказательство теоремы о симметриях

1.4 Действие симметрий па полупрямых произведениях

2 Левоинвариантные римановы задачи

2.1 Постановка задачи и полученные результаты

2.2 Сведение к задаче оитималыюго управления

2.3 Параметризация геодезических

2.4 Симметрии экспоненциального отображения

3 Группа собственных движений сферы

3.1 Уравнения геодезических и симметрии

3.2 Компоненты множества Максвелла

3.3 Непрерывность времен Максвелла

3.4 Взаимное расположение стратов Максвелла

3.5 Сопряженное время

3.6 Множество разреза

3.7 Связь с субримаповой задачей

3.8 Симметричная риманова задача на группе Яи2

3.9 Некоторые геометрические приложения

3.9.1 Диаметр группы ЯО3

3.9.2 Диаметр сферы Берже

3.9.3 Аптшюдальпые точки сферы и диаметр

4 Группа собственных движений плоскости Лобачевского

4.1 Модель группы РЯЬ2(М)

4.2 Экспоненциальное отображение и симметрии

4.3 Страты Максвелла

4.4 Непрерывность времен Максвелла

4.5 Взаимное расположение стратов Максвелла

4.6 Сопряженное время

4.7 Множество разреза

4.8 Левоинвариантная риманова задача на ЯЬ2(М)

4.9 Связь с левошшарианпюй субримановой задачей

4.10 Радиус инъективности на группе РЯЬ2(М)

Список литературы

Введение

Геометрическая теория управления — один из важных и востребованных разделов современной математики, имеющий приложения в робототехнике и обработке изображений, активно развивающийся в нашей стране и за рубежом, см, книги А. А. Аграчева и Ю, Л, Сачкова |1|, A.A. Аграчева, Д. Барилари и У. Боскаипа |2|, В. Джарджеви-ча |3|, М. И. Зеликипа |4|, А. Изидори |5|, X. Ниймейера и А. вап дер Шафта |6|, обзор A.M. Вершика и В. Я. Гершковича |7|.

Настоящая диссертация посвящена центральному вопросу геометрической теории управления: оптимальному управлению, более точно, оптимальному синтезу. В диссертации исследуются левоин,вариантные задачи оптимального управления, на группах Ли. Динамика таких систем описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями па группах Ли, инвариантными относительно левых сдвигов. Функционал качества также предполагается инвариантным относительно левых сдвигов. Такого рода системы возникают при пи.иыютептпой аппроксимации управляемых систем, в рима-повой и субримаповой геометрии, а также при моделировании ряда прикладных задач механики (вращения и качения тел, движения роботов, теории упругости, задач квантовой механики), а также задач компьютерного зрения и обработки изображений.

Наличие богатой группы симметрий задачи часто дает возможность построить оптимальный синтез.

Первая глава диссертации посвящена описанию общего метода решения левоипва-риаптпых задач оптимального управления па группах Ли. Этот метод основан па изучении группы симметрий экспоненциального отображения задачи оптимального управления.

Во второй главе этот метод применен к серии римаповых задач па группах собственных движений сферы и плоскости Лобачевского.

Третья и четвертая главы содержат технические детали построения множеств разреза на группах собственных движений сферы и плоскости Лобачевского, соответственно, Кроме того, в этих главах рассматриваются геометрические приложения полученных результатов, полезные в спектральной геометрии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Симметрии и оптимальный синтез в левоинвариантных задачах оптимального управления»

Актуальность темы

Левоинвариантные управляемые системы на группах Ли изучаются с 1970-х годов. Эти исследования начались с работы Р, В, Брокетта |8|, который рассматривал некоторые прикладные задачи, пространство состояний которых реализовывалось матричными группами Ли, В, Джарджевич и X, Дж, Суссман |9| изучали вопросы управляемости и установили некоторые свойства орбит и множеств достижимости.

Построение оптимального синтеза в управляемых системах эквивалентно параметризации экстремальных траекторий и указанию времени и точек потери оптимальности (времени разреза и точек разреза). Для левоинвариантных систем на группах Ли это достаточно сделать дня траекторий, выходящих из единичного элемента группы, В основополагающей книге В, Джарджевича |10| описан гамильтонов формализм, восходящий к А, Пуанкаре, и сформулирован принцип максимума Понтрягина дня левоинвари-антных систем. Это позволяет получить дифференциальные уравнения, описывающие экстремали. При этом отдельного изучения требуют вопросы интегрируемости и дальнейшего исследования траекторий на оптимальность. Последнее зачастую оказывается возможным благодаря симметриям задачи. Дня этого описываются точки Максвелла, происходящие из симметрий задачи. Первое время Максвелла дает верхнюю оценку на время разреза. Остановимся подробнее на сделанном в этом направлении.

Отметим важный класс задач — субримановы задачи, которые характеризуются наличием него.нономных связей и линейностью но управлению. Управляемость таких систем следует из результатов П, К, Рашевского |11| и В, Чжоу |12|, а существование оптимального решения — из теоремы Филиппова |1|,

Имеется целый ряд непосредственно формулируемых экстремальных задач, которые могут быть поставлены как субримановы задачи и исследованы с привлечением геометрической теории управления. Одним из способов исследования субрнмановых

многообразий является пилыютептпая аппроксимация Митчелла-Громова |13|, при которой изучение окрестности регулярной точки сводится к .иевоинвариантной субри-мановой задаче на стратифицированной ни.иыютентной группе Ли, В этом ряду простейшей задачей является классическая изонериметрическая задача Дидоны, которая формулируется как .иевоинвариантная субриманова задача на ни.иыютентной группе Гейзепберга. Эта задача, рассмотренная AM. Вершиком и В. Я. Гершковичем |7|, служит краеугольным камнем субримановой геометрии. Субримановы задачи гейзенбер-гова тина изучались в работе К. Аутеприда и М. Годой Молила |14|, Дня свободной нильпотентной субримановой задачи с вектором роста (3, 6) полное решение получено О. Мясниченко |15|, а также А. Монтанари, Д. Морбиделли |16|. Гипотеза о структуре множества разреза в общем случае свободной двуступеппой пи.ныютептпой группы Ли выдвинута Л. Рицци и У. Серресом |17|. Обобщенная задача Дидоны, формулируемая как субриманова задача на группе Картана, исследована Ю. Л. Сачковым |18-20|, им получено описание точек Максвелла, возникающих из-за симметрии задачи, т.е. точек пересечения различных экстремальных траекторий с одинаковыми значениями функционала качества. Это описание позволяет получить верхние оценки времени разреза. Субриманова задача па группе Энгеля полностью решена в серии работ А. А. Ардеп-това и Ю. Л. Сачкова |21-24|, получено описание множества разреза. В нильпотентной субримановой задаче с вектором роста (2, 3, 5, 8) анормальные траектории исследованы Е. Ф. Сачковой |25,26|,

Ряд пепи.ныютептпых субримаповых задач малой размерности также хорошо изучен. Классификация левоинвариаитных субримаповых етрукутур па трехмерных группах Ли получена A.A. Аграчевым и Д. Барилари |27|, Лишь некоторые из соответствующих субримаповых задач решены полностью, т.е. описано множество разреза и построен оптимальный синтез. Симметричные субримановы задачи на группах SL2(R), SU2, а также PSL2(R) и SO3, т.е. группах собственных движений плоскости Лобачевского и сферы, полностью изучены в работах В. Н. Береетовекого и И. А. Зубаревой |28-30|, и независимо — У. Боскаипом и Ф. Росси |31|, Ими получены параметризация субримаповых геодезических, множество разреза, уравнения дня времени разреза. Изучение

SO3

Ю. Л. Сачкова |32|, в ней дана параметризация геодезических, получены описание не-

риодических геодезических, оценки на время разреза и диаметр субримановой метрики. Среди трехмерных унимодулярных групп Ли имеются также группа SE2 собственных движений плоскости и группа SH2 гиперболических движений плоскости. Соответствующие субримановы задачи полностью решены в работах Ю, Л, Сачкова, И, Моисеева 133-351 и Я, А, Бутта, Ю.Л, Сачкова и А, И, Бгатти |36,37|, соответственно.

Задачи более высокой размерности только начинают исследоваться. В задаче о качении сферы но плоскости без прокручивания и проскальзывания Ю.Л, Сачковым и А.П, Маштаковым |38,39| получены параметризация экстремальных траекторий и верхние оценки времени разреза, В субримановой задаче на группе SO3 А, П, Маштаковым и А. Ю. Поповым в специальном случае получены формулы дня управления |40|, Классификация субримановых структур энгелева тина была получена И, Бесчастным и А. Медведевым |41|.

Во всех перечисленных выше задачах решение было получено исходя из параметризации субримановых геодезических и дальнейшего их исследования па оптимальность с использованием симметрий задачи. Отметим два существенных ограничения этого метода.

Первое заключается в том, что явная параметризация экстремальных траекторий, как правило, невозможна. Л, В, Локуциевский и Ю.Л, Сачков |42| показали, что в субримановых задачах па свободных пи.ныютептпых группах Ли глубины 4 и больше гамильтонова система принципа максимума Поптрягипа пеиптегрируема но Лиувиллю, Другим ограничением метода является то, что причиной потери оптимальности могут быть не только симметрии задачи. Именно это происходит в классической задаче Эйлера об эластиках, которая формулируется как .невонпвариаптпая задача па группе SE2, аффинная но управлению. В этой задаче Ю. Л. Сачковым | , | исследованы сопряженные точки, получено описание множества Максвелла, т.о. исследована локальная оптимальность эйлеровых эластик и получены оценки па время потери оптимальности, A.A. Ардентов |45| числошю исследовал точки потери оптимальности, не происходящие из симметрий.

Под римаповой задачей понимается задача поиска кратчайших па римаповом многообразии, Множество разреза (множество точек, в которых геодезические перестают быть кратчайшими) содержит базовую информацию о топологической структуре рима-

нова многообразия. Хорошо известны множества разреза для стандартных римановых метрик на сферах, проективных пространствах, торах и квадриках в М3 [ ], для квадрик больших размерностей результат не известен. Некоторые общие свойства множеств разреза известны, В частности, множество разреза является замыканием множества Максвелла (см, книгу В, Клиигенберга |48|). В то же время множество разреза может быть устроено достаточно сложно. М, А. Бухнер |49| доказан, что дня аналогичной ри-маповой метрики множество разреза субапанитично. Он же описан локальную структуру множества разреза метрик общего положения дня многообразий размерности до шести |50|,

Риманову задачу на группе ЯО3 начал изучать еще Л, Эйлер, который вывел уравнения моментов дня свободного вращения закрепленного в точке твердого тола.

В серии работ Т, Сакаи и М, Таксучи |51-54| дня компактных симметрических однородных пространств множество разреза описано в алгебраических терминах систем корней. Этот результат полностью укладывается в парадигму, состоящую в том, что геометрические инварианты симметрических пространств определяются алгебраической структурой |46|,

Дня слабосимметрических пространств никакие общие факты о множествах разреза неизвестны, В качестве простейших примеров слабосимметрических пространств рассмотрим однородные пространства (ЯО3 х ЯО2)/ЯО2 и (РЯЬ2(М) х 8О2)/ЯО2, где стабилизатор вложен в прямое произведение антидиагональным образом (А. Сельберг |55|), Левоипвариаптпые римаповы метрики па этих однородных пространствах можно рассматривать как осесимметричпые .невоипвариаптпые римаповы метрики (т.о. метрики с двумя совпадающими собственными значениями) па группах собственных движений сферы и плоскости Лобачевского, соответственно, В работе Л. Бейтса и Ф, Фассо |56| изучена локальная оптимальность геодизических на группе ЯО3 для метрики с двумя совпадающими собственными значениями, другими словами, описаны сопряженные точки. Глобальная оптимальность геодезических ранее не исследовалась.

Отметим, что множество разреза на группе Яи2 для римановой метрики с собственными значениями Д = 12 < /3 получено Т. Сакаи [57], в случае 1\ = 12 > /3 имеется гипотеза М, Берже [ ] о множестве разреза. Общий случай 1\ < /2 < 13 не исследован.

Краткое содержание диссертации Цели работы

1, В левоинвариантных задачах оптимального управления на группах Ли для исследования экстремальных траекторий на оптимальность получить общую конструкцию, позволяющую строить симметрии экспоненциального отображения из симметрий сопряженной подсистемы принципа максимума Понтрягина,

2, Получить этим методом описание кратчайших в осесимметричных римановых задачах на группах собственных движений сферы и плоскости Лобачевского, В частности, описать время и множество разреза, построить оптимальный синтез,

3, На основе полученных результатов вычислить некоторые геометрические характеристики (диаметр, радиус инъективноети) рассматриваемых групп.

Основные результаты

1, Для левоинвариантных задач оптимального управления на группах Ли получены достаточные условия существования продолжения симметрии сопряженной подсистемы принципа максимума Понтрягина до симметрии экспоненциального отображения и построено такое продолжение,

2, Для римановых метрик с двумя совпадающими собственными значениями на группах Я03, РЯЬ2(К) и ЯЬ2(М) получено множество разреза и время разреза. То есть построен оптимальный синтез в соответствующей римановой задаче,

3, Доказана гипотеза М, Берже о множестве разреза для осесимметричных метрик на группе Яи2,

4, Найдены диаметры римановых метрик с двумя совпадающими собственными значениями на группах Я03 и Яи2,

5, Найден радиус инъективноети римановой метрики с двумя совпадающими собственными значениями на группе РЯЬ2(М),

Диссертация носит теоретический характер. Использованы методы геометрической теории управления, симнлектичеекой геометрии, теории груш: и алгебр Ли, Результаты могут быть полезны специалистам но геометрической теории управления, него.ноном-ной механике, римановой геометрии, спектральной геометрии.

Апробация работы

Результаты, включенные в диссертацию, докладывались на семинаре отдела дифференциальных уравнений Математического института имени В, А, Стеклова (2015, 2017), на семинаре но геометрической теории управления иод руководством М, И, Зелнкииа н Л, В, Локуциевского кафедры общих проблем управления механико-математического факультета МГУ имени М, В, Ломоносова (2015, 2016, 2018), па семинаре А, Т, Фоменко кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ имени М, В, Ломоносова (2017), семинаре Исследовательского центра процессов управления Института программных систем имени А, К, Айламазяна РАН (2014-2019).

Кроме того, результаты докладывались па следующих конференциях: международной школе-конференции «Управление и оптимизация пего.нопомпых систем» (Иерес-лавль-Занесский, 2013), конференции «Geometry & Control» (Москва, МИАН, 2014), конференции «Geometrie Analysis and Control Theory» (Новосибирск, 2016), Зимней геометрической школе (Иереславль-Залееекий, 2018), конференции но дифференциальным уравнениям и динамическим системам DIFF2018 (Суздаль, 2018), конференции «Scientific Heritage of Sergey A. Chaplygin: nonholonomic mechanics, vortex struetures and hydrodynamics» (Чебоксары, 2019), Всероссийском совещании но проблемам управления (Москва, ИПУ РАН, 2019),

Публикации

Все результаты диссертации опубликованы в семи работах |А1-А7| в журналах, входящих в международные базы цитирования. В работах, выполненных в соавторстве |А1-А3|, научному руководителю Ю. Л. Сачкову принадлежит постановка задачи и общее руководство работой. Все утверждения получены автором самостоятельно.

Краткое содержание

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

В главе 1 описан общий метод решения .невоинвариантных задач оптимального управления на группах Ли. Построение оптимального синтеза эквивалентно описанию экстремальных траекторий, времени разреза (времени потери оптимальности экстремальных траекторий) и точек разреза. Ключевую роль в оценке времени разреза играют точки Максвелла (точки, в которые одновременно приходят различные экстремальные траектории). Наличие точек Максвелла обычно обусловлено симметриями экспоненциального отображения задачи оптимального управления.

Глава 1 посвящена исследованию симметрий экспоненциального отображения. В силу .невоинвариантности задачи гамильтонова система принципа максимума Понтря-гина имеет треугольный вид, т.е. сопряженная подсистема не зависит от переменных состояния. Поэтому можно рассматривать симметриии экспоненциального отображения, индуцированные симметриями сопряженной подсистемы.

Получена общая конструкция и достаточные условия существования продолжения симметрий сопряженной подсистемы до симметрий экспоненциального отображения.

В главе 2 этот общий метод применяется к серии римановых задач на группах движений сферы и плоскости Лобачевского. Под римановой задачей понимается задача поиска кратчайших римановой метрики. Рассматривается серия римановых метрик с двумя совпадающими собственными значениями. В главе 2 приводятся полученные результаты: описано множество и время разреза. Получено единое геометрическое описание множеств разреза дня обеих групп. Оказывается, что множество разреза зависит от одного параметра ^ € М \ { — 1} причем полуоси, на которые точка —1 делит вещественную ось, соответствуют группам собственных движений плоскости Лобачевского и сферы. Перестройки топологического тина множества разреза возникают в симмет-

—1 —1 стороп в продело получаются множества разреза дня соответствующих субримаповых задач.

Глава 3 содержит технические детали доказательства основных теорем дня группы движений сферы. Кроме того, в параграфе 3.8 получено решение римановой задачи на двулистном накрытии группы ЯО3, т.е. группе ЯИг, или сфере Берже, При этом

имеется два случая. В одном из них множество разреза было известно — это результат Т. Сакаи |57|, в другом — имелась гипотеза М. Берже |46| относительно множества разреза, доказанная в параграфе 3.8.

Параграф 3.9 содержит геометрические приложения полученных результатов. Вычислены диаметры групп Я03 и Яи2 относительно рассматриваемых метрик. Построен пример трехмерной сферы, диаметр которой не реализуется расстоянием между парой аптиподальпых точек. Это дает отрицательный ответ па вопрос Ю. Г. Никопорова |47|.

В главе 4 приведены технические детали доказательства основных теорем дня группы собственных движений иное кости Лобачевского. В параграфе 4.8 построено множество разреза дня двулистного накрытия рассматриваемой группы, т.е. дня группы ЯЬ2(М). В параграфе вычислены радиусы инъективности рассматриваемых метрик.

Благодарности

Автор глубоко признателен своему научному руководителю Ю. Л. Сачкову за постоянное и пристальное внимание к работе.

Автор благодарен А. А. Аграчеву, А. А. Ардентову, В. Н. Береетовекому, И. Ю. Бесчастному, Э, Лаурету, Л. В. Локуциевскому, А. П. Маштакову, Ю. Г. Никонорову за полезные обсуждения.

Работа была выполнена в Институте программных систем имени А. К. Айламазяна РАН при поддержке гранта 17-11-01387 Российского научного фонда.

Симметрии в левоинвариантных задачах оптимального управления на группах Ли

В настоящей главе рассматриваются левоипвариаптпые задачи онтималыюго управления на группах Ли, При исследовании экстремальных траекторий на оптимальность ключевую роль играют симметрии экспоненциального отображения, которые индуцируются симметриями сопряженной подсистемы гамильтоповой системы принципа максимума Понтрягина, Для связных груш: Ли с конрисоединенными орбитами общего положения коразмерности не более одного и связным стабилизатором получена общая конструкция дня таких симметрий экспоненциального отображения. Результаты настоящей главы опубликованы в работах |А6,А7|,

1.1 Постановка задачи и обзор известных результатов

В геометрической теории управления (см., например, |1|) рассматриваются левоин-варнантные задачи оптимального управления на группе Ли С. Рассмотрим семейство левоинвариантных векторных полей аналитически зависящих от « € и С Мга, Пусть имеется левоинвариантная аналитическая функция (р : С х и ^ К, точк а д! € Си фиксированное время ¿1 > 0. Требуется найти управление и € Ь^([0,11],и) и липшицеву

12 ГЛАВА 1. СИММЕТРИИ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ кривую ди : [0,^] м С такие, что

[ <р(ди(г),и(г))М м шт, <!и(г) = Ри^)(ди($),

л (1.1)

ди(0) = дД^) = д1 € С.

Введем семейство функций Кии на кокасательном расслоении Т*С, зависящее от параметров и € и и и ^ 0:

К(\) = Х(Еи(п(Х))) — 1;ф(\),и), X € Т*С,

где л : Т*С м С — естественная проекция. Через к будем обозначать гамильтоново векторное поле, соответствующее гамильтониану к : Т*С м М.

Согласно принципу максимума Понтрягина [ , ] если управление и : [0,^1] м и оптимально и ди(¿) — соответствующая траектория, то существует пара (Х,и) = 0, где А : [0,^1] м Т*С — липшицева кривая, а V ^ 0, такая, что

А(*) = ки (Щ), п(Х(г)) = дй(1),

причем ки^(А(^)) = шахие^ кДА(£)) для почти всех Ь € [0,^]. Если и = 0, то кривая А(¿) называется норжалъной экстремалью. Кривая ■к(Х(Ь)) называется нормальной экстремальной траекторией. Далее рассматриваются только нормальные экстремальные траектории. При этом можно считать, что и =1. Предположим, что для любого А € Т* С квадратичная форма к\1(Х) отрицательно определена, и функция и м- Ы11(Х) имеет максимум. Пусть Н(А) = шахие^ кДА) — аналитический максимизированный гамильтониан принципа максимума Понтрягина. Тогда оптимальная траектория дй на группе С является проекцией фазовой кривой гамильтоновой системы на кокасательном расслоении Т*С\

А = н(А), п(Х(г)) = дй(г), х : [0,¿1 ] м т*с. (1.2)

Предположим имеется явное решение дифференциального уравнения (1.2), т.е. параметризация экстремальных траекторий. В этом случае исследование этих траекто-

рий па оптимальность опирается па изучение точек Максвелла,

Определение 1.1. Точкой Максвелла зада,ч,и оптимального управления (1,1) называется точка, в которую приходят две различные экстремальные траектории с одинаковыми значениями функционала качества и времени. Это время называется временем, Максвелла.

Известно (см., например, |19|), что после точки Максвелла экстремальная траектория не может быть оптимальной. То есть время Максвелла доставляет верхнюю оценку времени потери оптимальности (времени разреза,). Поэтому точки Максвеллла играют важную роль в исследовании оптимальности экстремальных траекторий.

Естественной причиной возникновения точек Максвелла являются симметрии задачи, Дадим соответствующие определения.

Определение 1.2. Экспоненциальным, отображением, задачи оптимального управления (1.1) называется отображение

Exp: g* х R+ ^ G, Exp (p,t) = п о etH (id,p), (p,t) е g* х R+,

где g есть алгебра Ли группы Ли G, a etH — поток гамильтонова векторного поля Н.

Определение 1.3. Симметрией экспоненциального отображения, называется пара диффеоморфизмов

s : W х R+ ^Wx R+, S : G ^ G таких, что Exp os = S о Exp,

где W — открытое плотное подмножество g*.

Рассмотрим тривиализацию кокасателыюго расслоения с помощью лсчзых сдвигов:

<р : G х g* ^ Т*G, А = <p(g,p) = dL*g-i(р) е T*G, д е G, р е g* = T*dG.

где Lg : G ^ G — левый сдвиг на элемент д е G.

Гамильтониан Н левоинвариантен, поэтому Н е Сш (g*), Гамильтоново векторное

поле представляется в виде суммы вертикальной и горизонтальной частей |1|:

н (^(д,р)) = d{g^(Hhor(g,p) + (p)), ^

HU9,P) = dLgdpH, ^vert(p) = (ad* dpH)p,

где dpH Е T*g* ~ g — дифференциал H в точке p.

Гамильтонова система A = H(А) является треугольной (ее вертикальная часть не зависит от переменных состояния). Поэтому естественно рассматривать симметрии экспоненциального отображения, которые индуцируются симметриями вертикальной части гамильтоповой системы (см, точную формулировку в теореме 1,1),

План исследования экстремальных траекторий па оптимальность выглядит следующим образом:

1, Параметризация экстремальных траекторий,

2, Описание симметрий вертикальной части гамильтоповой системы. Продолжение этих симметрий до симметрий экспоненциального отображения,

3, Поиск точек Максвелла, соответствующих симметриям. Описание первого времени Максвелла как функции imax : g* ^ R+ U

4, Оценка первого сопряженного времени, т.е. функции iconj : g* ^ R+ U{+<^} такой, что точка Exp (р, iconj(p)) является первым критическим значением экспоненциального отображения вдоль экстремальной траектории Exp (р, •),

5, Проверка условия imax(p) ^ iconj(p) для почти всех р e g*.

6, Применение теоремы Адамара о глобальном диффеоморфизме |59| к отображению

Exp (•, ¿!) : {р Е g* \ 0 | h< imax(p)} ^ G \ ({id} UM),

где М — замыкание множества точек Максвелла, (Гладкое собственное невырожденное отображение связных и одпосвязпых многообразий одинаковых размерностей является диффеоморфизмом.)

Пункты 4 и 5 обеспечивают условие невырожденности в теореме Адамара. Если выполняются все вышеперечисленные пункты, то найденное первое время Максвелла в

действительности является временем разреза.

Заметим, что выполнение этой программы не гарантировано. Например, симметрии вертикальной части гамильтоповой системы могут давать не все точки Максвелла. Такая ситуация возникает в задаче Эйлера об эластиках 143, 451. Однако этот метод работает в ряде задач субримановых |2| и римаповых задач:

1. Субримановы задачи гейзенбергова тина (К. Аутенрид, М. Годой Молила |14|).

2. Свободная нильпотентная субриманова задача с вектором роста (3, 6)

(О. Мясниченко |15| и независимо А. Монтанари, Д. Морбиделли |16|, некоторые результаты в общем случае свободной двустуненной группы Карно получены Л. Рицци и У. Серресом |17|).

3. Обобщенная задача Дидоны (Ю. Л. Сачков 118 201).

4. Субриманова задача па группе Эпгеля (A.A. Ардептов, Ю. Л. Сачков |21-24|).

5. Субримановы задачи на группах Ли SL2(R), PSL2(R), SO3, SU2 (У. Боскаин, Ф. Россн |31|, и независимо другими методами В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева |28,29|), кроме того, К. Аутенрид и И. Маркина рассматривали некоторые обобщения па многообразиях Штифеля |60|.

6. Римановы задачи на группах Ли SL2(R), PSL2(R), SO3, SU2 (главы , , настоящей диссертации и работы |А1-А3|).

7. Субримановы задача на группе Ли SE2 (Ю. Л. Сачков [ - ], первая работа совместно с И. Моисеевым).

8. Субриманова задача на группе Ли SH2 (Я. А. Бутт, Ю, Л. Сачков, А. И. Бгатти [ , 37]).

9. Задача о качении сферы но плоскости без прокручивания и проскальзывания (Ю.Л. Сачков |38|).

Здесь имеются задачи па пилыютенгных группах Ли (1-4), компактных группах (SO3, SU2), полупростых группах (SL2(R), PSL2(R)), полупрямом произведении ком-

мутативной и компактной групп (7, SE2 = R2 X SO2), полупрямом произведении коммутативной и нильпотентной групп (8, SH2 = R2 X R), прямом произведении компактной и коммутативной групп ( , SO3 х R2),

Левоипвариаптпые задачи оптимального управления па пилыютентиых группах Ли представляют отдельный интерес из-за существования пилыютентиой аппроксимации |61| управляемых систем.

Продолжение симметрий вертикальной подсистемы до симметрий экспоненциального отображения в перечисленных выше работах строилось исходя из явного вида Exp

из явного вида гамильтоповой системы. Существование такого продолжения априори пе гарантировано.

В параграфе 1.2 формулируются достаточные условия для существования продолжения симметриии вертикальной подсистемы принципа максимума Понтрягина до симметриии экспоненциального отображения. Дается конструкция такого продолжения. Доказательство приводится в параграфе 1.3. В параграфе 1.4 описан один нетривиальный пример.

1.2 Продолжаемость симметрий вертикальной подсистемы

до симметрий экспоненциального отображения

Пусть G — связная группа Ли, a g ее алгебра Ли. Рассмотрим кокасательное расслоение Т*G с действием группы G на нем левыми сдвигами. Пусть Н — гамильтоново векторное поле, соответствующее гамильтониану Обозначим Hhor w Hvert его горизонтальную и вертикальную части, соответственно, см. (1.3).

Теорема 1.1. Пусть G есть связная группа, Ли, Н : Т*G ^ R есть достаточно гладкий левоинвариантный гамильтониан, а, оператор а* : g* ^ g* таков, что а* сохраняет гамильтониан Н и выполнено одно из двух условий:

(а) a*(^vert) = Hvert и а является автоморфизмом алгебры, Ли g;

(б) a*(#vert) = — #vert, а является антиавтоморфизмом алгебры Ли g и стабилизатор

общего положения коприсоединенного представления, связен, и имеет размерность не более одного.

Тогда пара диффеоморфизмов (в, Б-1) является, симметрией экспоненциального отображения, где

а Б : С ^ С есть (антиавтоморфизм группы Ли такой, что (1 ¡¿^ — & •

Определение 1.4. Преобразование а* : д* ^ д*, удовлетворяющее условиям теоремы 1.1, называется симметрией вертикальной части гамильтонова, векторного поля. Пусть (Ехр(р0,т) | т € [0,*]} — дуга экстремальной кривой. Симметричной ей, дугой

[0,£]} в случае (б).

Замечание. В случае (б) если а есть антиавтоморфизм, то -а является автоморфизмом и можно построить симметрию, как в случае (а). Однако, цель заключается в том, чтобы построить специальную симметрию дня случая (б).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Подобряев Алексей Владимирович, 2020 год

Список литературы

[1] А. А. Аграчев, Ю.Л. Сачков, Геометрическая теория управления, Физматлит, \!.. 2005.

[2] A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain, A comprehensive introduction to sub-Riemannian geometry, Cambridge University Press, 2019.

[3] V. Jurdjevic, Optimal Control, Geometry and Mechanics, Mathematical Control Theory, eds. J. Bailleu, J.C. Willems, Springer, 1999.

[4] M. И. Зеликин, Опт,има,льное управление и вариационное исчисление, Эдиториал УРСС, \!.. 2004.

[5] A. Isidori, Nonlinear control system,s: an introduction, Springer-Verlag, 1985.

[6] H. Nijmeijer, A. van der Schaft, Nonlinear dynamical control, system,s, Springer-Verlag, 1990.

[7] A.M. Вершик, В. Я. Гершкович, Неголономные динамические системы и, геометрия распределений, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы — 7, 8, ВИНИТИ, \!.. 1986.

[8] R. W. Brockett, "System theory on group manifolds and coset spaces", SIAM J.Control, 10 (1972), 265-284.

[9] V. Jurdjevic, H.J. Sussmann, "Control systems on Lie groups", J. Diff. Equat., 12 (1972), 313-329.

[10] V. Jurdjevic, Geometric control theory, Cambridge University Press, 1997.

[11] П.К. Рашевский, "О соединимости любых двух точек вполне неголономного пространства допустимой линией", Сер. физ.-мат., 3, 1938, 83-94.

[12] W.L. Chow, "Uber system van linearen partiellen differentialgleichungenerster ordnung", Math. Annalen, 117 (1939), 98-105.

[13] M. Gromov, "Carnot-Caratheodorv spaces seen from within", Sub-Riemannian Geometry, Progr. Math., 144, Birkhauser, Basel, 1996, 79-323.

[14] C. Autenried, M. Godov Molina, "The subRiemannian cut locus of H-tvpe groups", Math. Nachr., 289:1 (2016), 4-12.

[15] O. Mvasnichenko, "Nilpotent (3,6) sub-Riemannian problem", Journal of Dynamical and Control Systems, 8:4 (2002), 573-597.

[16] A. Montanari, D. Morbidelli, "On the subRiemannian cut locus in a model of free two-step Carnot group", Calc. Var. Partial Differential Equations, 56:2 (2017), 36.

[17] L. Rizzi, U. Serres, "On the cut locus of free, step two Carnot groups", Proc. Amer. Math. Soc., 145:12 (2017), 5341-5357.

[18] Ю.Л. Сачков, "Дискретные симметрии в обобщенной задаче Дидоны", Матем. сб., 197:2 (2006), 95-116.

[19] Ю. Л. Сачков, "Множество Максвелла в обобщенной задаче Дидоны", Матем. сб., 197:4 (2006), 123-150.

[20] Ю. Л. Сачков, "Полное описание стратов Максвелла в обобщенной задаче Дидоны", Матем. сб., 197:6 (2006), 111-160.

[21] А. А. Ардентов, Ю.Л. Сачков, "Экстремальные траектории в нильпотентной субрима-новой задаче на группе Энгеля", Матем. сб., 202:11 (2011), 31-54.

[22] A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, "Conjugate points in nilpotent sub-Riemannian problem on the Engel group", Journal of Mathematical Sciences, 195:3 (2013), 369-390.

[23] A. A. Ardentov, Yu.L. Sachkov, "Cut time in sub-Riemannian problem on Engel group", ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 21:4 (2015), 958-988.

[24] A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, "Maxwell Strata and Cut Locus in Sub-Riemannian Problem on Engel group", Regular and Chaotic Dynamics, 22:8 (2017), 909-936.

[25] Ю.Л. Сачков, Е.Ф. Сачкова, "Вырожденные анормальные траектории в субримановой задаче с вектором роста (2, 3, 5, 8)", Дифференциальные уравнения, 53:3 (2017), 362-374.

[26] Е. Ф. Сачкова, "Невырожденные анормальные управления в субримановой задаче с вектором роста (2, 3, 5, 8)", Программные системы: теория и приложения, 8:4 (2017), 179-195.

[27] A. A. Agrachev, D. Barilari, "Sub-Riemannian structures in 3D Lie groups", Journal of Dynamical and Control Systems, 18:1 (2012), 21-44.

[28] В. H. Берестовский, И. А. Зубарева, "Геодезические и кратчайшие специальной субримановой метрики на группе Ли SO(3)", Сиб. матем. журн., 56:4 (2015), 762-774.

[29] В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева, "Геодезические и кратчайшие специальной субрп-мановой метрики на группе Ли SL(2)", Сиб. матем. журн., 57:3 (2016), 527-542.

[30] В. Н. Берестовский, "(Локально) кратчайшие специальной субримановой метрики на группе Ли SO0(2,1)", Алгебра и анализ, 27:1 (2015), 3-22.

[31] U. Boscain, F. Rossi, "Invariant Carnot-Caratheodorv metrics on S3, SO(3), SL(2) and lens spaces", SIAM Journal on Control and Optimization, 47 (2008), 1851-1878.

[32] И.Ю. Бесчастный, Ю.Л. Сачков, "Геодезические в субримановой задаче на группе SO(3)", Матем. сб., 207:7 (2016), 29-56.

[33] I. Moiseev, Yu. L. Sachkov, "Maxwell strata in sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane", ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 16 (2010), 380-399.

[34] Yu. L. Sachkov, "Conjugate and cut time in the sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane", ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 16 (2010), 1018-1039.

[35] Yu. L. Sachkov, "Cut locus and optimal synthesis in the sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane", ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 17 (2011), 293-321.

[36] Ya. A. Butt, Yu. Г. Sachkov, A.I. Bhatti, "Maxwell strata and conjugate points in the sub-Riemannian problem on the Tie group SH(2)", Journal of Dynamical and Control Systems, 22:4 (2016), 747-770.

[37] Ya. A. Butt, Yu. L. Sachkov, A.I. Bhatti, "Cut Locus and Optimal Synthesis in Sub-

SH(2)

23:1 (2017), 155-196.

[38] Ю. Л. Сачков, "Симметрии и страты Максвелла в задаче об оптимальном качении сферы по плоскости", Мат,ем. сб., 201:7 (2010), 99-120.

[39] А. П. Маштаков, Ю.Л. Сачков, "Экстремальные траектории и асимптотика времени Максвелла в задаче об оптимальном качении сферы по плоскости", Матем. сб., 202:9 (2011), 97-120.

[40] А. P. Mashtakov, A.Yu. Popov, "Extremal Controls in the Sub-Riemannian Problem on the Group of Motions of Euclidean Space", Regul. Chaotic Dyn., 22:8 (2017), 949-954.

[41] I. Beschastnvi, A. Medvedev, Left-invariant Sub-Riemannian Engel structures: abnormal geodesies and integrability, 2016, arXiv: 1611.03634.

[42] Л.В. Локуциевский, Ю.Л. Сачков, "Об интегрируемости по Лиувиллю субримановых задач на группах Карно глубины 4 и больше", Матем. сб., 209:5 (2018), 74-119.

[43] Yu. L. Sachkov, "Maxwell strata in Euler's elastic problem", Journal of Dynamical and Control Systems, 14:2 (2008), 169-234.

[44] Yu.L. Sachkov, "Conjugate points in the Euler elastic problem", Journal of Dynamical and Control Systems, 14:3 (2008), 409-439.

[45] А. А. Ардентов, "Кратные решения в задаче Эйлера об эластиках", Авт,ом,ат„ и теле-мех., 79:7 (2018), 22-40.

[46] М. Berger, A panoramic view of Riemannian geometry, Springer, 2002.

[47] Yu.G. Nikonorov, "For a geodesic diameter of surfaces with isometric involution", Trudy Rubtzovskogo industrialnogo institute,, 9 (2001), 62-65.

[48] W. Klingenberg, Riemannian geometry, Walter de Gruvter k, Co, Berlin, 1995.

[49] M. A. Buchner, "Simplicial structure of the real analytic cut locus", Proc. Amer. Math. Soc., 64:1 (1977), 118-121.

[50] M. A. Buchner, "The structure of the cut locus in dimensions less than or equal to 6", Invent. Math., 43:3 (1977), 199-231.

[51] T. Sakai, "On the structure of cut loci in compact Riemannian symmetric spaces", Math. Ann., 235 (1978), 129-148.

[52] T. Sakai, Cut loci of compact symmetric spaces. Mimimal submanifolds and geodesies, Kaigai Pub. Ltd., Tokyo, 1978.

[53] M. Takeuchi, "On conjugate loci and cut loci of compact symmetric space, I", Tsukuba J. Math., 2 (1978), 35-68.

[54] M. Takeuchi, "On conjugate loci and cut loci of compact symmetric space, II", Tsukuba J. Math., 3 (1979), 1-29.

[55] A. Selberg, "Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series", J. Indian Math. Soc. (N.S.), 20 (1956), 47-87.

[56] L. Bates, F. Fasso, "The Conjugate Locus for the Euler Top. I. The Axisvmmetric Case", International Mathematical Forum, 43:2 (2007), 2109-2139.

[57] T. Sakai, "Cut loci of Berger's sphere", Hokkaido Mathematical Journal, 10 (1981), 143-155.

[58] Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, Наука, М.. 1961.

[59] S. G. Krantz, H. R. Parks, The Implicit Function Theorem: History, Theory and Applications, Birkauser, 2001.

[60] C. Autenried, I. Markina, "Sub-Riemannian geometry of Stiefel manifolds", SIAM J. Control Optim., 52:2 (2014), 939-959.

[61] А. А. Аграчев, А. В. Сарычев, "Фильтрация алгебры Ли векторных полей и нильпотент-пая аппроксимация управляемых систем", Доклады АН СССР, 295:4 (1987), 777-781.

[62] J.E. Marsden, T. S. Ratiu, Introduction to mechanics and symmetry, Springer, 1998.

[63] J.E. Marsden, R. Montgomery, T. Ratiu, "Reduction, symmetry and phases in mechanics", Memoirs of the American Mathematical Society, 88, 1990.

[64] Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц, Механика,, Физматлит, M., 2004.

[65] О. Labiée, Spectral Theory in Riemannian Geometry. EMS Textbooks in Mathematics, EMS Publishing House, Zuerich, Switzerland, 2015.

[66] E.A. Lauret, "The smallest Laplace eigenvalue of homogeneous 3-spheres", Bull. London Math. Soc., 51:1 (2019), 49-69.

[67] M. Berger, "Les variétés riemanniannes homogènes normales simplement connexes à courbure strictement positive", Ann. Scoula Norm. Sup. Pisa, 15 (1961), 179-246.

[68] N. Eldredge, M. Gordina, L. Saloff-Coste, "Left-invariant geometries on SU(2) are uniformly doubling", Geom. Fund. Anal, 28:5 (2018), 1321-1367.

[69] Y. G. Nikonorov, Y. V. Nikonorova, "The Intrinsic Diameter of the Surface of a Parallelepiped", Discrete and Computational Geometry, 40 (2008), 504-527.

[70] Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик, Семинар по группам Ли и алгебраическим группам, Наука, М, 1988.

[71] В. В. Прасолов, Геометрия Лобачевского, MIUIMO. М.. 2004.

[72] A. A. Agrachev, Geometry of optimal control problems and Hamiltonian system,s, Lect. Notes Math. CIME, 1932, Springer-Verlag, 2008.

[73] В. И. Арнольд, "О характеристическом классе, входящем в условия квантования", Функц. анализ и его прил,., 1:1 (1967), 1-14.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[Al] А. V. Podobrvaev, Yu. L. Sachkov, "Cut locus of a left invariant Riemannian metric on SO(3) in the axisvmmetric case", Journal of Geometry and Physics, 110 (2016), 436-453.

[A2] А. В. Подобряев, Ю. Л. Сачков, "Левоинвариантные симметричные римановы задачи на группах собственных движений плоскости Лобачевского и сферы", Доклады, Академии Наук, 473:6 (2017), 640-642.

[A3] А. V. Podobrvaev, Yu. L. Sachkov, "Symmetric Riemannian problem on the group of proper isometries of hyperbolic plane", Journal of Dynamical and Control Systems, 24:3 (2018), 391-423.

[A4] A.B. Подобряев, "Диаметр сферы Берже", Математические заметки, 103:5 (2018), 779-784.

[А5] A.V. Podobrvaev, "Antipodal Points and Diameter of a Sphere", Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 14:4 (2018), 579-581.

[A6] A.V. Podobrvaev, "Symmetric extremal trajectories in left-invariant optimal control problems", Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 15:4 (2019), (в печати).

[A7] A.B. Подобряев, "Симметрии в левоинвариантных задачах оптимального управления", Математический сборник, 2019, arXiv: 1807.09145, (в печати).