Физическое и численное моделирование деформирования материалов с учетом больших деформаций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Ларичкин, Алексей Юрьевич

• Ларичкин, Алексей Юрьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Ларичкин, Алексей Юрьевич

Введение

Глава 1. Деформирование полиуретанового материала при различных температурах и условиях нагружения

1.1 Введение

1.2 Математические модели описания механических свойств гиперупругих материалов

1.2.1 Модель гиперупругого материала Генки

1.2.2 Модель гиперупругого Муни-Ривлина

1.2.3 Модель материала Кирхгофа-Сен-Венана

1.3 Эластомерный материал ДУОТАН® С>А900/А 250 МХ

1.4 Экспериментальное оборудование и виды испытаний

1.4.1 Определение параметров дуотана для модели Генки из экспериментальных данных по растяжению и сжатию

1.4.2 Определение параметров модели материала Муни-Ривлина из экспериментальных данных

1.5 Сравнение расчетов кручения круглых цилиндрических образцов с данными экспериментов и теоретическими зависимостями

1.5.1 Свободное кручение

1.5.2 Увеличение длины образца при кручении

1.5.3. Стесненное кручение

Выводы

1.6 Одноосные испытания при различных температурах и скоростях

1.6.1 Сжатие цилиндра до больших степеней деформаций при наличии сил трения на его торцах

1.6.2 Конечноэлементное моделирование сжатия цилиндра до больших деформаций

1.6.3 Эксперименты при пониженных температурах

1.7 Эксперименты по определению прочности соединения материала с металлом

1.8 Моделирование осесимметричного деформирования демпфера

1.8.1 Постановка задачи

1.9 О формовании деталей из полиуретана

Идентичность свойств материала в различных партиях

Заключение по первой главе

Глава 2. Кручение сплошных круглых стержней в условиях ползучести с учетом больших

деформаций

2.1. Введение

2.2 Построение сдвиговых деформаций ползучести из чистого кручения сплошных круглых валов

Метод характеристических параметров

Разупрочняющийся материал

2.2.1 Кручение постоянным моментом образцов из сплава АК4-Т1

2.2.2 Кручение постоянным моментом образцов из сплава Д16Т

Материал с тремя стадиями ползучести

Материал с установившейся стадией ползучести

2.2.3 Кручение постоянным моментом образцов из сплава АМГ-6М

2.2.4 Кручение постоянным моментом образцов из сплава ВТ-9

2.3 Экспериментальная проверка гипотезы прямых радиусов и плоских сечений

Выводы

2.4 Определения параметров уравнений ползучести для расчета чистого кручения круглых валов из экспериментов на растяжение и сжатие

2.4.1 Технологическая анизотропия

2.4.2 Методика определения параметров уравнений ползучести и повреждаемости при кручении из параметров растяжения и сжатия

2.4.3 Определение параметров уравнений ползучести из растяжения и сжатия для сплава

АМГ-6М

2.4.4. Деформирование образцов из сплава 1161 при повышенных температурах

2.4.5 Деформирование образцов из сплава АК4-1Т при повышенной температуре

Выводы

Заключение по второй главе

Глава 3. Выпучивание сжатых по оси круговых цилиндрических оболочек из циркониевого сплава в условиях ползучести: эксперимент и компьютерное моделирование

3.1 Введение

3.2 Геометрически и физически нелинейные уравнения квазистатического деформирования твердых тел

3.2.1 Уравнения квазистатического деформирования твердых тел, записанные в приращениях

3.2.2 Определяющие соотношения упругого материала, учитывающего деформации ползучести

3.3 Экспериментальные исследования

3.4 Компьютерное моделирование деформирования цилиндрической тонкостенной

оболочки под действием осевой силы при ползучести

Заключение по третьей главе

Заключение

Список основных опубликованных работ по теме диссертации

Список литературы

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Физическое и численное моделирование деформирования материалов с учетом больших деформаций»

Введение

В современной технике применяется большое количество новых конструкционных материалов (силиконовые и полиуретановые материалы, новые сплавы на основе алюминия, циркония и титана). Поэтому становятся актуальными экспериментальные, компьютерные и теоретические исследования квазистатических процессов поведения тел из таких материалов в условиях сильной нелинейности их деформирования.

Физическое и численное моделирование дает новые экспериментальные данные и математические модели для инженерного проектирования систем и конструкций из современных материалов. Недостаточное количество экспериментальных исследований о поведении таких материалов при больших деформациях, повышенных и пониженных температурах и при ползучести замедляет их внедрение в промышленность, не позволяет расширить область их применения.

В машиностроении происходит усовершенствование агрегатов и механизмов за счет усложнения форм и использования для их создания новых конструкционных материалов. На смену изделиям из резины (манжеты топливных труб, отсечные клапаны, всевозможные гасители вибраций, мягкие узлы сочленения рычагов подвески колесной техники и т.д.), которые часто работают в агрессивных средах (нефтепродукты, озон, солевые смеси) приходят термостойкие силиконы и пластики, полиуретаны и полимерные композитные материалы. Такие физико-химические параметры этих материалов, как устойчивость к растворителям и химикатам, озону, нефтепродуктам, морской воде, ультрафиолетовому излучению, превосходят такие параметры у резин. Эти преимущества позволяют увеличивать срок службы изделий содержащих резину при замене резины на полиуретаны.

В этой связи возникает ряд задач, связанных с расширением области применения таких материалов, моделированием работы изделий из них во внештатных режимах эксплуатации при больших деформациях и построением моделей для описания их механического поведения. Существуют материалы, способные претерпевать большие упругие деформации (несколько сотен процентов) без повре-

ждения структуры материала. Потреб- ность математического моделирования деформирования тел и конструкций из таких материалов стимулирует развитие теории больших деформаций гиперупругих тел, алгоритмов численных процедур решений уравнений гиперупругости. В частности интерес к модели материала Генки связан с тем, что модель продляет действие закона Гука на область развитых упругих деформаций, тензор деформаций является аддитивным, соответствующий ему тензор напряжений не зависит от жесткого поворота тела, константы модели имеют явный физический смысл модуля Юнга и коэффициента Пуассона. Модель Генки удобна для инженерных расчетов деформирования элементов конструкций при развитых деформациях.

Внедрение новых полимерных материалов в жизнь тормозится недостаточным их экспериментальным исследованием, особенностью которых является повышенные температуры, большие деформации, наличие зависимости свойств материала от времени (старение, релаксация, ползучесть). Методика таких экспериментов нуждается в дальнейшем совершенствовании.

Большие деформации могут также наблюдаться при деформировании металлических материалов при так называемых режимах «сверхпластичности» - это соответствует деформированию при повышенных температурах. Деформирование при таких режимах может сохранять ресурс изделия на стадии его изготовления и быть основой для разработки новых ресурсосберегающих технологий.

Для этого необходимо многоплановое исследование свойств материалов при повышенных температурах, в том числе свойств, связанных со сдвиговыми деформациями. Однако определение деформаций сдвига по соотношениям Надаи для больших деформаций приводит к невыполнению условия «единой кривой» для испытаний на растяжение, сжатие и простой сдвиг в рамках теории ползучести и повреждаемости со скалярным параметром поврежденности. Для выполнения условия единой кривой необходимо использовать параметр Одквиста, в качестве меры накопления деформаций сдвига. Накопленная сдвиговая деформация характеризуется параметром Одквиста, равеным интегралу от интенсивности скоростей деформаций по времени. Сдвиговые характеристики материалов,

являющиеся доминирующими при рас- четах процессов формообразования, определяются из экспериментов на кручение тонкостенных цилиндрических образцов. Однако при деформациях свыше 8 - 10 % тонкостенные образцы теряют устойчивость. В связи с этим для исследования больших деформаций следует использовать толстостенные или сплошные образцы.

Поскольку испытания по растяжению и сжатию в условиях ползучести наиболее просты в реализации, в связи с этим актуальной является задача разработки метода нахождения из них параметров модели ползучести для простого сдвига.

В случае тонкостенных конструкций, подверженных осевому сжатию при ползучести, на определенном этапе деформирования начинается быстрый рост деформаций, и оболочка теряет устойчивость, что сопровождается быстрым изменением формы и потерей несущей способности. Во избежание подобного рода катастрофических явлений необходимо уметь определять как критические времена, так и формы выпучивания сжатых тонкостенных конструкций в условиях ползучести.

Цель работы.

На базе экспериментального исследования деформирования полиуретанового материала дуотан при различных температурах и режимах нагружения (сжатие, растяжение, кручение) при больших деформациях провести сравнение моделей гиперупругих материалов Генки, Муни-Ривлина и Кирхгофа - Сен-Венана. Провести численное моделирование деформирования дуотана на основе этих моделей материалов в программном пакете МБС.Магс 2012.

Экспериментально исследовать поведение сплошных круглых стержней из алюминиевых и титановых сплавов при кручении постоянным моментом в условиях повышенных температур с учетом больших деформаций. На базе экспериментального исследования деформирования сплавов Д16Т, АК4-1Т, 1161, ВТ-9 построить модель деформирования при кручении для больших деформаций, на основе меры сдвиговой деформации в форме Одквиста. Обосновать возможность использования такой меры сдвиговой деформации для описания ползучести ма-

териалов с помощью кинетических уравнений ползучести и повреждаемости при выполнении условия «единой кривой». Получить параметры модели ползучести и повреждаемости для этих материалов при простом сдвиге. Проверить возможность получения аналогичных параметров из экспериментов на растяжение и сжатие.

С использованием экспериментальных данных о высокотемпературном поведении труб из циркониевого сплава под действием постоянной осевой сжимающей силы провести математическое моделирование процессов деформирования и выпучивания сжатых по оси круговых цилиндрических оболочек в условиях ползучести с использованием пакета прикладных программ МБС.Магс 2012.

Научная новизна.

• На основе сравнения теоретических, расчетных и экспериментальных данных определены границы применимости моделей Генки, Муни - Ривлина, Кирхгофа - Сен-Венана в случае свободного и стесненного кручения полиурета-нового материала дуотан (БиоШап 0>А965).

• Получены экспериментальные данные о поведении дуотана при деформировании. Отработана методика экспериментов по растяжению, сжатию, стесненному и свободному кручению цилиндрических образцов кругового сечения при больших углах закручивания с использованием современной системы фиксации полей деформаций Ую-ЗБ.

• Показано, что модель Муни - Ривлина наиболее близко к экспериментальным данным описывает поведение дуотана при кручении, по сравнению с моделями материалов Генки и Кирхгофа - Сен-Венана.

• Получены экспериментальные данные поведения дуотана при пониженных (до -80° С) и повышенных (до 80° С) температурах.

• В рамках модели гиперупругого материала Генки построена качественная диаграмма изменения модуля упругости дуотана от температуры

• Получены новые экспериментальные данные по деформированию буфера для гашения вибраций из дуотана при пониженных температурах.

• Обоснована возможность использования меры сдвиговой деформации в форме Одквиста при описании ползучести материалов с помощью кинетических уравнений ползучести и повреждаемости при выполнении условия «единой кривой».

• На основе экспериментальных данных кручения круглых валов при повышенных температурах до больших углов закрутки получены константы модели ползучести и повреждаемости для сплавов АК4-1Т, ВТ-9, 1161, Д16Т. Показано выполнение гипотезы прямых радиусов и плоских сечений на сплавах ВТ-9, 1420 при больших деформациях.

• На основе экспериментальных данных осевого сжатия тонкостенных труб из циркония при повышенных температурах проведено моделирование выпучи-

вания круговых оболочек в условиях ползучести, которое показало совпадение форм выпучивания в эксперименте и расчете. Впервые получены несимметричные относительно горизонтальной плоскости формы выпучивания для исследуемого материала.

Научная и практическая ценность.

Полученные в диссертации результаты используются для расчетов и проектирования элементов конструкций из гиперупругих материалов, испытывающих большие деформации при различных температурах, для моделирования поведения элементов конструкций из титановых, алюминиевых и циркониевых сплавов при ползучести, для моделирования процессов формообразования в режимах ползучести.

Представленные в диссертационной работе исследования выполнены при поддержке грантов РФФИ (проекты 11-01-00522, 11-08-00845-а, 12-08-00707, 1301-00481), ФЦП «научные и научно-педагогические кадры инновационной России» государственный контракт 14.740.11.0355, интеграционного проекта Президиума РАН № 25 и гранта Президента РФ по поддержке ведущих научных школ № НШ-246.2012.1. Проекта N0 2.13.6 Программы РАН, программ фундаментальных исследований СО РАН № 111.20.3, № 25.8.

Глава 1. Деформирование полиуретанового материала при различных температурах и условиях нагружения

1.1 Введение

В сфере производства, и в частности машиностроения, происходит усовершенствование агрегатов и механизмов за счет использования для их создания новых конструкционных материалов. На смену изделиям из резины (манжеты топливных труб, отсечные клапаны, всевозможные гасители вибраций, демпферы, защитные пыльники, мягкие узлы сочленения рычагов подвески и т.д.), которые часто работают в агрессивных средах (нефтепродукты, озон, солевые смеси) приходят термостойкие силиконы и пластики, полиуретаны и полимерные композитные материалы. Многие свойства таких материалов могут быть «запрограммированы» для работы при заданных условиях эксплуатации еще на этапе проектирования (твердость, эластичность). В этой связи, возникает ряд задач связанный с расширением области применения таких материалов, моделированием работы изделий из них во внештатных режимах эксплуатации и построением моделей для описания их механического поведения.

Значительный вклад в развитие нелинейной теории деформирования сплошной среды внесли отечественные ученые А.И. Лурье, В.В. Новожилов, К.Ф. Черных, П.В. Трусов, В.П. Матвеенко, A.A. Роговой, С.Н. Коробейников, Г.М. Бартенев, Я.А. Малкин, A.A. Адамов; зарубежные ученые А. Грин, JT. Трелоар, Р. Эриксен, Р. Ривлин, В. Нолл, Г. Генки, Р. Хилл, JI. Ананд, Р.В. Огден, О. Брюнс, X. Сяо и другие.

К.Ф. Черных в 2001 году дал обзор отечественных исследований в области больших упругих деформаций, в основе которых лежат работы В.В. Новожилова.

Описание методов моделирования вязкоупругого поведения полимерных материалов проведено А. А. Адамовым, В. П. Матвеенко, Н. А. Труфановым, И. Н. Шардаковым (2003 г.). Авторами проанализирован ряд классических и новых упругих потенциалов и дана оценка наиболее подходящих среди них для моде-

лирования механических свойств эластомеров. Ими приведен современный подход к описанию связи реологических и механических свойств полимеров, основанный на замене параметров моделей материалов на операторы-функции, зависящие от немеханических параметров (температура, доля содержания наполнителя и пр.) [1]. Такой подход позволяет учитывать эволюцию свойств материала от времени.

А.Г. Пелевиным, A.JI. Свистковым и A.A. Адамовым (2010) была предложена многопараметрическая модель дисперсно-наполненного эластомерного материала, для нахождений параметров которой обрабатывались эксперименты по ступенчатому растяжению с релаксацией и ступенчатой разгрузкой с релаксацией; за истинную диаграмму о(>.) принималась линия, проходящая между установившимися значениями усилий на релаксационных ступенях. Такой подход позволяет точно описывать поведение как однородных, так и дисперсно-наполненных эластомеров при растяжении. Авторы строят модель материала (по аналогии с моделью Кельвина [43]) из пружинных, вязких элементов, элементов трения (Сен-Венана) и элементов качения в определенной конфигурации их последовательного / параллельного соединения. Количество искомых параметров такой модели достигает восьми [47].

А. А. Роговой в своих работах описывает поведение материалов при конечных деформациях, основываясь на принципах объективности и термодинамики, опирается на кинематику, определяемую наложением малых деформаций на конечные [55, 56, 57]. Им построено разложение полного градиента места на упругий, неупругий и температурный, совпадающее по форме с известным разложением Ли, но свободное от недостатков последнего и показано, что неупругий и температурный градиенты места должны быть чистыми деформациями без вращений.

Интересны современные исследования слабосжимаемых материалов при больших деформациях с точки зрения предсказания новых механических эффектов при их деформировании. В работе [57] A.A. Роговым в рамках конечных деформаций для слабосжимаемого упругого материала построено аналитическое решение задачи о поведении длинного полого цилиндра, жесткая внешняя по-

верхность которого смещается в осевом и круговом направлениях по отношению к внутренней поверхности, нагруженной давлением. Автором определено, что внешняя поверхность цилиндра, закрученная в азимутальном и сдвинутая в осевом направлениях фиксированными силами, раскручивается и натягивается обратно при приложении внутреннего давления. Этот эффект проявляется только при учете слабой сжимаемости материала и объясняется значительным возрастанием модуля сдвига при сжатии.

А. Д. Пановым (2008) на основе определяющих соотношений теории упругости, отражающих геометрически нелинейные эффекты второго порядка, уточнена теория кручения прямолинейных стержней произвольного поперечного сечения. В частности, получена универсальная, не зависящая от свойств материала, формула, определяющая продольную деформацию, возникающую при свободном кручении стержня. Согласно этой формуле, длина стержня из изотропного идеально упругого материала при закручивании, в отличие от традиционных представлений, может как увеличиваться, так и уменьшаться. Причем это изменение длины зависит только от геометрии поперечного сечения [46].

В связи с ростом вычислительных мощностей персональных компьютеров и широким применением на производстве систем расчетных пакетов программ на основе МКЭ, становится актуальным разработка и внедрение в эти пакеты пользовательских программ новых моделей материалов. А.И. Голованов (2009) предлагает технологию расчета гиперупругих тел при конечных деформациях, где в качестве рабочего базиса выбираются главные оси левого тензора искажения и в терминах главных удлинений строятся все соотношения, необходимые для постановки задачи и ее решения методом конечных элементов [56].

С.Н. Коробейниковым и A.A. Олейниковым (2011) приводится новое представление тензора упругости четвертого порядка для гиперупругого изотропного материала Генки, компактность которого обусловлена использованием собственных проекций правого тензора деформаций Коши-Грина [28, 33], также авторами статьи в библиотеку материалов пакета MSC.Marc введена модель гиперупругого

материала Генки, где реализован метод конечных элементов решения задач механики деформируемого твердого тела в переменных Лагранжа [30].

В.Е. Левин, Н.В. Пустовой (2008) провели исследование процессов нагруже-ния криволинейных стержней. Ими получены уравнения обратной задачи в нелинейной постановке, для нахождения формы ненагруженного стержня по форме нагруженного. Ими построен вариант эффективного плоского криволинейного плоского конечного элемента, в котором учитывается форма исходного стержня [38].

Экспериментальные исследования процесса релаксации напряжений для резины предложены Е.В. Ломакиным с соавторами (2008), включающие испытания на релаксацию при нормальной температуре в условиях одноосного растяжения и сжатия при различном уровне деформаций. Для описания вязкогиперупругого деформирования наполненных эластомерных материалов ими используются определяющие соотношения, являющиеся обобщением нелинейной теории упругости и линейной теории вязкоупругости Больцмана - Вольтерра. На основании экспериментальных данных отмечена зависимость релаксационных свойств исследуемых эластомеров от уровня деформации и предложен подход к описанию этой зависимости [40].

Среди зарубежных исследований следует отметить масштабный труд А. Грина с соавторами (1965), где приведены решения ряда задач теории упругости для случая больших деформаций. В частности А. Грином приведено решение задачи кручения с растяжением трубы из упругого материала для произвольного функционала энергии, приведен конкретный вид зависимостей крутящего момента и осевого усилия от текущего погонного угла закручивания в случае материала Муни - Ривлина [20].

Р1е8ек Г, Кпшоуа А. (2006) году провели анализ модели гиперупругого материала Генки, основанный на выборе энергетически сопряженных пар тензоров напряжений и деформаций как в эйлеровом, так и в лагранжевом подходе, который показал хорошую согласованность с экспериментальными данными выбора тензора логарифмических деформаций и второго тензора Пиолы - Кирхгофа для

использования при конечноэлементном моделировании растяжения, сжатия и кручения образцов из резинового материала [102].

В [72] Bruhns О., Xiao Н., Meyers А. получили соотношения крутящего момента и осевого удлинения для случая свободного кручения сплошного вала и трубы из материала Генки, относя все величины к системе координат связанной, с начальной конфигурацией тела, и конкретизировали их для случаев малых и развитых деформаций, для несжимаемого и сжимаемого материала. Ими показано, что модель Генки описывает эффект Пойтинга - увеличение длины образца при свободном кручении.

Однако сравнение экспериментальных данных по стесненному и свободному кручению с расчетными и аналитическими решениями по моделям в этих работах не проводилось. В данной главе представлены результаты сравнения экспериментальных и численных исследований деформирования полиуретанового материала Дуотан QA965 при больших степенях деформаций для различных температур и видов нагружения (растяжение, сжатие, кручение, обобщенный сдвиг [20]).

1.2 Математические модели описания механических свойств гиперупругих материалов

Полиуретановые материалы являются высокомолекулярными соединениями, они состоят из длинно-цепочных молекул, которые хаотически переплетены между собой и имеют в произвольных частях цепи «сшивки» (химические связи пересечения двух разных молекул и частей одной и той же молекулы) [4], чем больше «сшивок» между молекулами, тем прочнее материал. На рис. 1.1 приведена схема малого объема полиуретана.

Рис. 1.1 Схема расположения связей макромолекул полиуретана: Линиями показаны макромолекулы, точками — «сшивки» макромолекул между собой.

Поведение такого материала удобно описывать с помощью методов механики сплошной среды.

Материалы, которые способны испытывать большие деформации и после разгрузки возвращаться в состояние близкое к исходному - не нагруженному называют эластомерами (большинство резин, полиуретанов, силиконов и пр.). Современная электроскопия эластомеров показывает, что 80% объема эластомера занимают свободные цепи сегменты, ответственные за высокоэластичность этих материалов.

Будем рассматривать движение точек континуума относительно системы координат связанной с телом в недеформированной конфигурации О Х\ Х2 Хъ, а координаты точек тела в текущей (деформированной) конфигурации будем определять как = х1(Х1,Х2,Х3). Определим тензор градиента деформации как

В [1, 7, 65, 66, 114] приведен ряд математических моделей для описания механических свойств упругих высокоэластических материалов. Рассмотрим три из них: модель гиперупругого материала Генки, Муни-Ривлина и Кирхгофа - Сен-Венана. В данной главе все величины и уравнения записываются относительно начальной конфигурации тела (в лагранжевой системе координат х:).

В рамках уравнений линейной теории упругости для изотропных упругих материалов используется закон Гука

8 = Я(1ГЕ)1 + 2//Е (1)

где £ и в — соответственно, тензоры напряжений и деформаций Коши, I — единичный тензор второго порядка, «й» обозначает след тензора второго порядка, X и // - параметры Ламэ, которые выражаются через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона у следующим образом:

3 Еу Е

Л =-, и. =-. (1.2)

(\ + у)(\-2у) 2(1 + у)

Закон Гука (1) можно переписать следующим образом

8 = С£:е, (1.3)

где операция «:» обозначает двойное внутреннее произведение тензоров, а тензор четвертого порядка СЕ имеет следующий вид:

С£ = ЯС1+//(СП+СШ), (1.4)

где С1? Сп, Сш - базовые изомеры изотропного тензора четвертого порядка [27]. Закон Гука допускает также запись в потенциальном виде

8 = ? щ£) = 1е:се:£ = -Щхг)2 +/а: е. (1.5)

дг 2 2

Уравнения линейной теории упругости описывают только малые (не более трех процентов) деформации твердых тел. Для математического моделирования деформирования тел из упругих материалов необходимо использовать уравнения нелинейной теории упругости. При записи определяющих соотношений эта теория требует использования объективных по Лагранжу или Эйлеру тензоров напряжений и деформаций, сопряженных по мощности внутренних сил [27, 29, 33, 91]. Так как тензор деформаций Коши £ не объективен, то закон Гука, представленный в альтернативных формах записи (1.1), (1.3) или (1.5), нельзя прямо использовать в уравнениях нелинейной теории упругости.

В нелинейной теории упругости различают три типа определяющих соотношений: гиперупругости (упругости по Грину), упругости (упругости по Коши) и гипоупругости [27]. В рамках уравнений линейной теории упругости для изотропных материалов все три типа определяющих соотношений эквивалентны (формулы (1.1) или (1.3) являются аналогом записи определяющих соотношений

упругости по Коши, а формула (1.5) — по Грину). Далее в рамках нелинейной теории упругости рассматриваем гиперупругие материалы, так как только для этих материалов гарантируется сохранение потенциальной энергии внутренних сил на замкнутых путях деформирования в пространстве компонент тензора деформаций. В дальнейшем ограничимся использованием только лагранжевых тензоров напряжений и деформаций.

Пусть (8, Е) - пара сопряженных лагранжевых тензоров напряжений и деформаций. Определяющие соотношения гиперупругости записываются в виде (1,

5)

о dW{Щ

где 8 и Е - пара сопряженных по мощности лагранжевых тензоров напряжений и деформаций соответственно, Ж(Е) - скалярнозначная тензорная функция, которая называется удельной потенциальной энергией деформаций (упругий потенциал) [4, 27, 29, 43].

Для изотропного гиперупругого материала эта функция должна зависеть только от трех главных инвариантов тензора деформаций /,(Е), /2(Е), /3(Е) или,

эквивалентно, от трех главных удлинений Л], Л2, Я, [27, 33]. Здесь Яг- - являются главными значениями тензора градиента деформаций Р, Я, = где г = 1, 2, 3; 1о - длина недеформированного элемента, /г - длина элемента после деформации). Упругий потенциал, или функция энергии деформации, отнесенная к единице объема недеформированного тела, является функцией только деформированного состояния, т.е. она не зависит от истории деформирования и скоростей нагружения, а зависит только от конечного состояния тела, что реализуется для большинства каучуков и вулканизованных резин [61].

В общем случае упругий потенциал для изотропного материала можно представить в виде функции трех инвариантов деформации , 12, /3, правого тензо-

ра деформаций Коши-Грина Е(2): А = ^ + , + + ,

/3 = л2 Л2 Л2,

Описание упругих свойств эластомеров с помощью упругих потенциалов позволяет аналитически аппроксимировать наблюдаемую в эксперименте деформацию с высокой точностью.

= Г(/р/2,/3) = Щ^А,). (1.7)

Рассмотрим три пары сопряженных лагранжевых тензоров напряжений и деформаций [90]

(~8(2),С), (8(2),Е(2)), (т,Е(0)), (1.8)

где С = и2 - правый тензор деформаций Коши - Грина, Е(2) - — (C-g) - тензор

деформаций Грина - Лагранжа, Е(0) = 1п(и) - правый тензор логарифмических деформаций (правый тензор деформаций Генки), в(2) = и-1 т и-1 - второй тензор напряжений Пиолы - Кирхгофа, т = J К7^ Я - тензор напряжений Нолла, Е = КУ = ЦК - тензор градиента деформаций, К - ортогональный тензор поворота, V - левый тензор искажений, 0<J= ёе1(Р) = , 8 - тензор напряжений Коши. Отметим, что третья пара тензоров в (8) сопряжена только для изотропной гиперупругой среды (в общем случае в этой паре вместо тензора напряжений Нолла т должен стоять правый тензор напряжений Генки 8(0) [33, 90]).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ларичкин, Алексей Юрьевич, 2013 год

Список литературы

1. Адамов А. А., Матвеенко В. П., Труфанов Н. А., Шардаков И. Н. Методы прикладной вязкоупругости. Екатиренбург: УрО РАН. 2003. 411 с. ISBN 5-76911377-4.

2. Артемьева A.A., Баженов В.Г., Кибец А.И., Лаптев П.В., Шошин Д.В. Верификация конечно-элементного решения трехмерных нестационарных задач упруго-пластического деформирования, устойчивости и закритического поведения оболочек // Вычислительная механика сплошных сред. 2010. Т. 3, № 2. С. 5-14.

3. Баранов А.Н., Морозов М.А. Экспериментальное исследование критической деформации цилиндрических оболочек в условиях ползучести // Известия АН СССР. МТТ. 1971. № 1.С. 114-118.

4. Бартенев Г. М., Зеленов Ю. В. Физика и механика полимеров: Учеб. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1983. - 391 с.

5. Виноградов Г. В., Малкин А. Я.. Реология полимеров. Москва Изд. Химия, 1977, 440 с.

6. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.

7. Голованов А.И. Конечно-элементное моделирование больших деформаций гиперупругих тел в терминах главных удлинений Вычислительная механика сплошных сред. 2009. Т. 2, № 1. С. 19-37.

8. Горев Б. В., Соснин О. В. Технические процессы обработки металлов давлением в режимах ползучести и их моделирование // Тр. VIII Международ, конф. Современные металлические материалы технологии. СПБ. 2009. С. 257-268.

9. Горев Б.В. К описанию кривых деформирования при кручении // Заводская лаборатория. 1978. №4. С. 1511-1514.

10. Горев Б.В. К описанию процесса ползучести и длительной прочности по уравнениям с одним скалярным параметром повреждаемости // Прикладная механика и теоретическая физика. 1994. Т. 35. № 5 (207). С. 92 - 102.

11. Горев Б.В. К оценке ползучести и длительной прочности элементов конструкций по методу характеристических параметров. Сообщение 1 // Проблемы прочности, 1979, -№4, -С.30-36.

12. Горев Б.В., Банщикова И.А. К описанию ниспадающего участка кривой деформирования «напряжение - деформация» по кинетическим уравнениям со скалярным параметром поврежденности // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки. - 2008. - № 2 (17). - С. 110-117.

13. Горев Б.В., Клопотов И.Д. К описанию процесса ползучести и длительной прочности по уравнениям с одним скалярным параметром повреждаемости // ПМТФ, - 1994, - С.92-102.

14. Горев Б.В., Никитенко А.Ф. К ползучести материалов с разными характеристиками на растяжение и сжатие // Динамика сплошной среды, 1970. вып. 6. С. 105110.

15. Горев Б.В., Рубанов В.В., Соснин О.В. О ползучести материалов с разными свойствами на растяжение и сжатие. Прочность материалов и элементов конструкций при сложном напряженном состоянии. Сб. науч. трудов: Киев, «Науко-ва думка». 1978. С. 223-232.

16. Горев, Б.В., Банщикова И.А. К описанию процесса ползучести и разрушения упрочняющихся материалов по кинетическим уравнениям со скалярным параметром поврежденности // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки. 2009. № 2 (19). С. 90-98.

17. ГОСТ 209-75 Резина и клей. Методы определения прочности связи с металлом при отрыве, 1982.

18. ГОСТ 265-77 Резина. Методы испытаний на кратковременное статическое сжатие, 1977.

19. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. - 360 с.

20. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругопластические деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: МИР. 1965. 456 с.

21. Касаткин Б. С. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений: справочное пособие / Б. С. Касаткин, А. Б. Кудрин, JT. М. Лобанов, В. А. Пивторак, П. И. Полухин, Н. А. Чиченев. Киев: Наук, думка, 1981.

22. Качанов Л.М. Теория ползучести. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960 -455 с.

23. Кирсанов М.Н., Клюшников В.Д. Определение особых точек процесса деформирования сжатого стержня в условиях ползучести // Известия РАН. МТТ. 1993. № З.С. 144-150.

24. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. М.: Изд-во МГУ, 1986. - 224 с.

25. Клюшников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем. М.: Наука, 1980.

26. Корнев В.М., Коробейников С.Н. О реализуемости симметрии решения в задаче осесимметричного деформирования цилиндрической оболочки при продольном сжатии // Аналитические и численные методы решения краевых задач пластичности и вязкоупругости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С. 70-77.

27. Коробейников С. Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск, изд. СО РАН, 2000, 262 с.

28. Коробейников С. Н. Применение собственных проекций симметричных тензоров к определению коротационных производных и интегралов // Успехи механики сплошных сред (к 70-летию академика В.А. Левина) / Сборник научных трудов. Владивосток: Дальнаука. 2009. С. 352-367.

29. Коробейников С. Н. Строго сопряженные тензоры напряжений и деформаций. // ПМТФ, - 2000, - Т. 41, №3, С.149-154.

30. Коробейников С. Н., Олейников А. А., Ларичкин А. Ю., Бабичев А. В., Алехин В. В. Численная реализация лагранжевой формулировки определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки // Дальневосточный математический журнал. 2013. Том 13. №2. С. 222-249.

31. Коробейников С.Н. Численное решение нелинейных задач о деформировании упругих оболочек вращения в собственных состояниях // Сибирский журнал вычислительной математики. 2000. Т.З, № 1. С. 43-56.

32. Коробейников С.Н. Численное решение уравнений с особенностями о деформировании упругопластических оболочек вращения // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6, №5. С. 39-59.

33. Коробейников С.Н., Олейников A.A. Лагранжева формулировка определяющих соотношений гиперупругого материала Генки // Дальневосточный математический журнал, - 2011, - Т.11, №2, - С. 155-180.

34. Кузнецов А.П., Юнгерман Н.М. Экспериментальное исследование устойчивости оболочек в условиях ползучести // ПМТФ. 1965. № 4. С. 128-131.

35. Куршин Л.М. О постановках задач устойчивости в условиях ползучести (обзор) // Сб. статей под ред. Г.С. Шапиро «Проблемы теории пластичности и ползучести». М.: Мир, 1979. С. 246-302.

36. Ларичкин А. Ю., Горев Б. В. Построение сдвиговых деформаций ползучести из чистого кручения сплошных круглых валов // Науч.-техн. ведомости СПбГПУ. Физ.-мат. науки-2013. № 3 (177). С. 212-219.

37. Ларичкин А. Ю., Карпов Е. В. Закономерности деформирования полиуретаново-го материала при различных видах термосилового нагружения // Динамика сплошной среды, Вып. 127. 2012. С. 43-47

38. Левин В. Е., Пустовой Н. В. Механика деформирования криволинейных стержней.. Новосибирск. 2008. Сер. Монографии НГТУ. ISBN/ISSN: 978-5-7782-1033-2

39. Локощенко A.M., Моссаковский П.А., Терауд В.В. Исследование осадки круговых цилиндров с учетом и без учета бочкообразования. Вычислительная механика сплошных сред. - 2010. - Т.З, №1. - С.52-62.

40. Ломакин Е.В., Белякова Т.А.,. Зезин Ю. П ö нелинейное вязкоупругое поведение наполненных эластомерных материаловизвестия саратовского университета. 2008. т.8. сер. математика, механика, информатика, вып.З. С. 56-65.

41. Любашевская И.В., Торшенов Н.Г., Соснин О.В., Локтионов В.Д. Деформационно-прочностные свойства циркониевого сплава при температурах 600-800 С // Сб. научн. тр. «Динамика сплошной среды», Вып. 116, Новосибирск: изд-во СО РАН, 2000. С. 198-201.

42. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М: Машиностроение. 1975. 387 с.

43. Малкин А. Я., Исаев А. И. Реология концепции методы и приложения / Пер. с англ. - СПБ.: Профессия, 2007. - 560 е., ISBN 978-5-93913-139-1

44. Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 2. М.: Мир. 1969. 853 с.

45. Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. Новосибирск: НГАСУ, 1997. 287 с.

46. Панов А.Д. Изменение длины идеально упругих стержней при кручении // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 2. С. 71-78.

47. Пелевин А.Г., Свистков A.JL, Адамов A.A., LaukeB., Heinrich G. Алгоритм поиска констант в модели механического поведения резины // Механика композиционных материалов и конструкций, 2010, Т. 16. № 3, С. 313-328, № 4. С. 597-611.

48. Работнов Ю.Н. Теория ползучести // Сб. «Механика в СССР за 50 лет, т. 3. Механика деформируемого твердого тела», под редакцией Л.И. Седова и др. в четырех томах. М.: Изд-во Наука, 1972. С. 143-149.

49. Работнов Ю.Н., Шестериков С.А. Устойчивость стержней и пластинок в условиях ползучести // ПММ. 1957. Т. 21, № 3. С. 406-412.

50. Работнов, Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука. 1966. 752 с.

51. Радченко В. П., Саушкин M. Н. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упроченных конструкциях. М: Машиностроение. 2005. 226 с.

52. Радченко В.П. .Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций М: 2004.

53. Радченко В.П., Андреева Е.А., Никишаев A.B. Структурная модель ползучести нелинейно- упругого микронеоднородного материала в условиях сложного напряженного состояния // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2010. № 1 (20). С. 60-70.

54. Резниковский M. М., Лукомская А. И. Механические испытания каучука и резины. - М.: Изд-во Химия, 1968. - 500 с.

55. Роговой А. А. Кинематика и термодинамика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. Изд.-во: Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М. В. Ломоносова ISSN: 1991-6396.

56. Роговой А. А. Конечные деформации в материалах со структурными изменениями // Физико-химическая кинетика в газовой динамике www.chemphys.edu.ru/pdf/2011 -02-01 -021 .pdf

57. Роговой А. А. Эффект учета слабой сжимаемости упругого материала при конечных деформациях // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. Изд,-во: Научно-исследовательский институт механики МГУ им. М. В. Ломоносова. 2010. С. 1-7. - www.chemphys.edu.ru/pdf/2010-01 -12-027.pdf

58. Соснин О.В., Горев Б.В., Никитенко А.Ф. Энергетический вариант теории ползучести. Новосибирск: Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО АН СССР, 1986.

59. Соснин О.В., Горев Б.В., Рубанов В.В. Кручение квадратной пластинки из материала, разносопротивляющегося растяжению и сжатию при ползучести // Расчеты прочности судовых конструкций и механизмов, Новосибирск. 1976. № 117. С.78-88.

60. Уорд И. Механические свойства твердых полимеров. М., 1975, 360 с.

61. Харинова Н.В. Нелинейная фотоупругость в задачах о концентрации напряжений // Кандидатская диссертация. Новосибирск, 2006, 123 с.

62. Цвелодуб И.Ю. Постулат устойчивости и его приложения в теории ползучести металлических материалов. Новосибирск. 1991. 201 с.

63. Цвелоуб И. Ю. О ползучести материалов с разными свойствами на растяжение и сжатие // Динамика сплошной среды / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1974. Вып. 19-20. С. 147-156.

64. Черных К. Ф., Литвиненкова 3. Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. 256 с.

65. Anand L. Moderate deformations in extension-torsion of incompressible isotropic elastic materials // J. Mech. Phys. Solids Vol. 34. №. 3. 1986. P. 293-304.

66. Anand L. On H. Hencky's Approximate Strain-Energy Function for moderate deformations//Journal of Applied Mechanics. 1979. Vol.46. P. 78-82.

67. Bathe K.-J. Finite Element Procedures. New Jersey, Upper Saddle River: Prentice Hall, 1996.43. Curnier A. Computational Methods in Solid Mechanics. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1994.

68. Bazant Z.P., Cedolin L. Stability of Structures, 2nd ed. Mineola, N.Y.: Dover Publ., 2003.

69. Betten J. Creep Mechanics, 3rd ed. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2008.

70. Brown R. Physical testing of rubber. Springer Science+Bussines Media, ISBN 13 9780387282862, 2006, 387 p.

71. Bruhns О. Т., Meyers A., Xiao H. Analytical perturbation solution for large simple shear problems in elastic-perfect plasticity with the logarithmic stress rate // Acta Mechanics Springer Verlag, № 151, 31-45, 2001, pp. 31-45.

72. Bruhns O., Xiao H., Meyers A. Henky's elasticity model with the logarithmic strain measure: a study on Poynting effect and stress response in torsion of tubes and rods // Archive of mechanics, Vol 52, No 4-5, 2000, P. 489 - 509.

73. Bruhns O.T., Xiao H., Meyers A. Self-consistent Eulerian rate type elasto-plasticity models based upon the logarithmic stress rate // International Journal of Plasticity, №15, 1999, pp. 479-520.

74. Curnier A. Computational Methods in Solid Mechanics. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1994.

75. Diani, J., Fayolle, В., Gilormini, P., A review on the Mullins effect // Eur. Polym. J, 2009, p. 45, 601-612.

76. Drozdov A. D. Mullins' effect in semicrystalline polymers // International Journal of Solids and Structures, 46, (2009), p. 606-3345

77. Experimental Elastomer Analysis. MSC.Software Corporation, 2003.

78. Hagihara S., Miyazaki N. Finite element creep buckling analysis of circular cylindrical shell under axial compression taking account of creep damage // Metals and Materials. 1998. Vol. 4, No. 3. P. 295-298.

79. Hencky H., U ber die Form des Elastizitatsgesetzes bei ideal elastischen // Stoffen. Z. Techn. Phys. №9, 1928, pp. 215-220.

80. Henky H. The Law of elasticity for isotropic and quasiisotropic substances by finite deformations//J. Rheol. - 1931. - Vol. 2, - No. 2, P. 169-176

81. Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics // Advances in Applied Mechanics; V. 18. C.-S. Yih (Ed.). New York: Academic Press, 1978. P. 1-75.

82. Hoff N.J. Creep buckling of plates and shells // «Theoretical and Applied Mechanics. Proc. of the 13th Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics (eds. E. Becker, G.K. Mikhailov)», Berlin et al.: Springer-Verlag, 1973. P. 124-140.

83. Hoff N.J. Theory and experiment in the creep buckling of plates and shells // «Buckling of Structures», B. Budiansky (ed.), Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. P. 67-77.

84. http://ckp.hydro.nsc.ru/opticheskaya-sistema-izmerenia-poley-deformacij-VIC-3D

85. http://ru.wikipedia.0rg/wiki/TBep^,0CTb_n0_IU0py_(MeT0fl_B1zi,aBJiHBaHHH)

86. Kassner M.E. Fundamentals of Creep in Metals and Alloys, 2nd ed., Elsevier, 2009.

87. Kirsanov M.N. Singular points of the creep deformation and buckling of a column // Int. J. Engng Sei. 1997. Vol. 35, No. 3. P. 221-227.

88. Koenig J. Gegerenuberstellung von hyperelastischen Stoffgesetzen. - 1996. - Universität Hannover, - Institut fur Mechanik, 27 p.

89. Kornev V.M., Korobeinikov S.N. On solution symmetry for axisymmetric deformation of axially compressed cylindrical shell // Innovative Numerical Methods in Engineering: Proc. 4th Int. Symp. Eds.: R.P. Shaw et al.. Berlin: Springer-Verlag, 1986. P. 579-584.

90. Korobeynikov S.N. Families of continuous spin tensors and applications in continuum mechanics //Acta Mechanica. 2011. Vol. 216, No. 1-4. P. 301-332.

91. Korobeynikov S.N. Objective Tensor Rates and Applications in Formulation of Hy-perelastic Relations // J Elast, - 2008, 93, - P. 105-140

92. MARC Users Guide. Vol. A: Theory and Users Information. MSC.Software Corporation, 2012.

93. MARC Users Guide. Vol. B: Element Library. MSC.Software Corporation, 2012.

94. Miyazaki N., Hagihara S. Bifurcation buckling of circular cylindrical shells subjected to axial compression during creep deformation // Trans. ASME. J. Pressure Vessel Technology. 1993. Vol. 115. P. 268-274.

95. Murakami S., Tanaka E. On the creep buckling of circular cylindrical shells // Int. J. Mech. Sei. 1976. Vol. 18. P. 185-194.

96. Naumenko K., Altenbach H. Modeling of Creep for Structural Analysis. Berlin, Heidelberg: Springer, 2007.

97. Obrecht H. Creep buckling and postbuckling of circular cylindrical shells under axial compression // Int. J. Solids Structures. 1977. Vol. 13, No. 4. P. 337-355.

98. Odqvist F.K.G. Material theory of creep and creep rapture. Oxford University Press. 1966. p. 120.

99. Ogden R.W. Large deformation isotropic elasticity on the correlation of theory and experiment for incompressible rubberlike solids. Proc.R.Soc.Lond., 1972, 326 p.

100. Ogden R.W. Non-linear Elastic Deformations. Chichester: Ellis Horwood. 1984.

101. Ohya H. An experimental and theoretical investigation of creep buckling // «Trans, of the 4th Int. Conf. on Structural Mechanics in Reactor Technology» (eds. A. Jaeger, B.A. Boley), Vol. L «Inelastic Analysis of Metal Structures» (eds. A. Sawczuk, Z. Zudans), San Francisco, 1977. Paper No. L 8/9.

102. Plesek J., Kruisova A. Formulation, validation and numerical procedures of Hen-ky's elasticity model // Computers and structures, - 2006, 84, - P. 1141-1150.

103. Rees D.W.A., Brown M.W., Hyde T., Lohr R.D., Morrison C.J., Shammas M. A Code of Practice for Torsional Creep Testing of Tubular Testpieces at Elevated Temperatures, Teddington, Middlesex: National Physical laboratory, 1990. 25 p.

104. Rikards R.B., Teters G.A. Nonsymmetric creep buckling of cylindrical shells under axial compression and external pressure // «Buckling of Structures», B. Budiansky (ed.), Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, P. 78-85.

105. Saccomandi D., Ogden W. R. Mechanics and termomechanics of rubberlike solids. Springer WienNewYork, New York: International center for mechanical sciences. Courses and lectures. № 452, ISBN 3-211-21251-5. 252 p.

106. Samuelson L.A. Creep buckling of a cylindrical shell under non-uniform external loads // Int. J. Solids Structures. 1970. Vol. 6, No. 1,91-116.

107. Samuelson L.A. Experimental investigation of creep buckling of circular cylindrical shells under axial compression and bending // Trans. ASME. Ser. B. Journal of Engineering for Industry. 1968. Vol. 90, No. 4. 589-595.

108. Stone C.M., Nickel R.E. Creep buckling of shells // «Trans, of the 4th Int. Conf. on Structural Mechanics in Reactor Technology» (eds. A. Jaeger, B.A. Boley), Vol. L «Inelastic Analysis of Metal Structures» (eds. A. Sawczuk, Z. Zudans), San Francisco, 1977. Paper No. L 7/8.

109. Sutton M. A., Orteu J.-J. O., Schreier H. W. Image correlation for shape, motion and deformations measurements. Colambia USA, Albi France, Springer Sci-ence+Bussines Media, LLC 2009. 321 p. ISBN 978-0-387-78747-3.

110. Valanis K.C., Landel R.F. The Strain-Energy Function of a Hyperelastic Material in Terms of the Extension Ratios. Journal of Applied Physics, Vol. 38, Nr.7, 1967.

111. www.polimer-nsk.ru

112. www.spbcorp.ru

113. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Large strain responses of elastic-perfect plasticity and kinematic hardening plasticity with the logarithmic rate: Swift effect in torsion // International Journal of Plasticity, №17, 2001, pp. 211-235.

114. Xiao H., Chen L.-S. Henckys logarithmic strain and dual stress-strain andstrain-stress relations in isotropic finite hyperelasticity // International Journal of Solids and Structures, 40, 2003, P. 1455-1463.

115. Xiao H., He L.H. A unified exact analysis for the Poynting effects of cylindrical tubes made of Hill's class of Hookean compressible elastic materials at finite strain // International Journal of Solids and Structures, №44, 2007, pp. 718-731.

116. Yamaki N. Elastic Stability of Circular Cylindrical Shells. Amsterdam. 1984.

117. Zbib H.M. On the mechanics of large inelastic deformations: noncoaxiality, axial effects in torsion and localization // Acta Mechanica. 1991. Vol. 87. Issue 3-4. P. 179-196.

118. Zeinkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. Oxford: ButterworthHeinemann, 2000.