https://istina.msu.ru/dissertations/236095469/announcement/ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Тарелкин Александр Алексеевич

• Тарелкин Александр Алексеевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Тарелкин Александр Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 СВЯЗЬ ПЕРВОГО УРАВНЕНИЯ ИЗ ЦЕПОЧКИ

УРАВНЕНИЙ ВЛАСОВА И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

§1.1 Фаза как скалярный потенциал скорости

§1.2 Уравнение для волновой функции

§1.3 Уравнение движение кинематической точки

§1.4 Самосогласованное поле

§1.5 Уравнение движения центра масс

§1.6 Частные случаи. Уравнение Шрёдингера

ГЛАВА 2 МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ НОВОГО КЛАССА ТОЧНЫХ

РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА

§2.1 Метод построения решения

§2.2 Представление решения в виде ряда

§2.3 Частные решения

2.3.1 Периодические граничные условия

2.3.2 Непериодические граничные условия

§2.4 Обратное преобразование Лежандра

2.4.1 Преобразование фазы и плотности вероятностей

2.4.2 Преобразование квантового потенциала

§2.5 Частные случаи потенциалов

ГЛАВА 3 ЗАДАЧА МАГНИТОСТАТИКИ В ОБЛАСТИ С

УГЛОМ

§3.1 Постановка задачи

§3.2 Решения с ограниченными производными

§3.3 Решения с неограниченными производными

§3.4 Краевая задача для нелинейного уравнения эллиптического

типа

§3.5 Интегральная постановка задачи магнитостатики

3.5.1 Оценка роста поля в окрестности угловой точки

3.5.2 Метод сгущения сетки в окрестности угловой точки

ГЛАВА 4 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНЫХ

СИСТЕМ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ

§4.1 Параллельные вычисления на GPU

§4.2 Моделирование магнитной системы SPD NICA

4.2.1 Модель катушечного типа

4.2.2 Модель тороидального типа

4.2.3 Модель гибридного типа

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «https://istina.msu.ru/dissertations/236095469/announcement/»

Цель работы

Основной целью работы является построение метода поиска точных решений нелинейного уравнения дивергентного типа в частных производных - первого уравнения из цепочки уравнений А.А. Власова [3-5, 103, 104]

+ div, [/(r, t)<v)(r. t)] = 0, (1.1)

■ + div, I / (,, t Кv )(,, t

где

| / ( r 1 )vd^

det

| /2 (,, v, t) vd3

(v> (,, t ) = И -. (1.2)

/. ( Г •')

В зависимости от трактовки функции /1 (г,/) и векторного поля (у)(Г,/)

уравнение (Ы) встречается во многих задачах математической и теоретической физики.

Обзор литературы, историческая справка, разработанность и актуальность темы исследования

Одной из задач теоретической физики является разработка и обоснование математически строгих методов поиска точных решений физических задач [63]. Несмотря на широкие возможности вычислительной техники и развитие численных методов, наличие точных решений нелинейных задач теоретической и математической физики продолжает играть важную роль в решении широкого круга физических задач [6].

С математической точки зрения одни и те же уравнения используется при

описании различных физических задач. В общем случае функцию /1 (Г,/) в

уравнении (Ы) можно трактовать как плотность вероятностей, плотность массы

или заряда. Векторное поле (у)(Г,/) может соответствовать полю скоростей среды

или потоку вероятностей.

Так как функция плотности вероятностей /—/ (Г,г) является положительной функцией, то для неё справедливо представление

I 2

/ (г, г) — ¥( г, г) > 0, где Те С. Функция ¥ в соответствии с теорией «волны-

пилота» д'Бройля-Бома [25-27, 35] будет волновой функцией некоторой квантовой системы. Таким образом, уравнению (Ы) соответствует уравнение для функции ¥

/ дг

-а/

р-

7

2а/

-Л

¥ + V ¥,

(ь3)

V

1

7Л

2 а/ 2

-¥ + и,

det

где р _- — у. Константы а,/ и 7 в случае рассмотрения квантовой системы соответственно равны , 1 и - —. Потенциал и имеет вид:

2т Н

т

и (Г, г )__/^Г - а + / г )2-/7(Л '

_ а А^// _ _АЦ Q _ / 4/ _ 2т ,

(Ы)

где Q - квантовый потенциал; (( Г, г) - фаза волновой функции ¥( г,г), которая

напрямую связана со скалярным потенциалом Ф(Г,г) скорости вероятностного потока (i.2) как

у) (г, г) — ¡аУ Ьп

¥ ¥

+ 7Л,

2

2

так как

Arg

¥( r,t) ¥( r,t)

= 2^( г, t) + = Ф( r, t),

Ln

= ln ¥ + i Arg

¥

= ¿Ф( r, t),

где

V Ln

¥ ¥

VФ(r,t) - соответствует ламинарной, а A - вихревой компоненте

скорости вероятностного потока или векторный потенциал, то есть магнитная индукция B = rot A. При этом для векторного поля (i.5) справедлив аналог уравнения Гамильтона-Якоби [34, 55, 82]:

дф = _ 2 dt h

det 2ар X =

m

О

2

+ ex

W (r, t),

Y

1

ya

2ap 2

+ U + Q

(i.6)

где ex - потенциальная энергия, T

m

<F>

2

кинетическая, а

W( r,t)

полная

энергия системы. Из уравнения (i.6) следует уравнение движения [104]

v5t+

М-=_

1 дР

ар

fi дхр

Рар=\( (Va))( Vp _ ( Vp)) f2d \

(i.7)

(»)

где f = f2 (г, V,t) функция плотности вероятностей является решением

2

2

2

второго уравнения из цепочки уравнений А.А. Власова:

Ы

+ (V, V /) + dlvv Г /

V

= 0,

(1.8)

в котором среднее ускорение (у^(г,V,г) может удовлетворять аппроксимации Власова-Моэля [86]:

(-1Пу2] а2п+и а/ (2п+1)! а*Г /2 а^п ■

2и+1

п=о т (2п

(1.9)

При подстановке аппроксимации (1.9) в уравнение (1.8) получается известное уравнение Моэля для функции Вигнера, соответствующей квантовой системе в фазовом пространстве [92].

Уравнение Шрёдингера (1.3) является основным уравнением квантовой механики [101]. Существуют различные методы решения уравнения Шрёдингера: метод теории возмущений [19, 43, 44, 87, 93], вариационный метод [47], метод Монте-Карло [30, 36, 42, 72, 91], метод теории функции плотности [51, 52, 109, 101, 111], ВКБ приближение и квазиклассическое приближение [31, 50, 54], метод Хартри-Фока [98, 99]. Имеется список точных решений уравнения Шрёдингера для некоторых квантово-механических систем [24, 29, 94, 97]. В большинстве случаев, чтобы найти решение уравнения Шрёдингера для заданной физической системы с соответствующим ей потенциалом, необходимо использовать численные методы. Существование точных решений уравнения Шрёдингера полезно в образовательном процессе и получения интуитивных представлений о структуре квантовых систем.

В стационарном случае уравнение (1.1) может соответствовать уравнению Максвелла divгB(г ) = 0 для задачи магнитостатики, где В(г ) = ^( Н)Н -

индукция магнитного поля. В этом случае напряженность магнитного поля Н (г) соответствует векторному полю (у) (г), а функция магнитной проницаемости и

соответствует функции /(г)= /((у)). Дифференциальная постановка краевой задачи магнитостатики имеет вид [1]:

div

и^м|^м] = 0, р еО

Ам = 0, р еО у

м1 = м

у

+1Нсй1, р еГ

Н (' ) = ^

ди дп

>). V. -

ря

dюs,

, Н (Р)

Нс (р) - vu (р), р еО у, ^и (р), р е о/,

(1.10)

дм и— дп

(Нс , п) ,

и |Г0 = и0,

9

+

где О/ и Оу - области ферромагнетика и вакуума соответственно; м(р) -скалярный потенциал; Нс (р) - поле от обмотки с током плотности У; Ос - область

стационарного тока У; Г± - граница раздела сред ферромагнетик/вакуум; точка 9 обычно соответствует центру симметрии магнита. Дифференциальные уравнения, входящие в постановку (1.1) являются уравнениями эллиптического типа. Функция

и(Н) - магнитная проницаемость ферромагнетика, удовлетворяет условиям:

¡е С(1)[0, +ад),

Кш и (Н)Н = 0,

Н

(1.11) (1.12)

lim u(H) = 1.

(i.13)

Проектирование магнитной системы, имеющей высокий уровень однородности магнитного поля, является распространённой задачей [21, 32]. Важную роль в такой системе играет наличие ферромагнитных элементов. Граница области ферромагнетика Г± может иметь ребра (угловые точки), то есть в

математическом смысле являться негладкой.

Рисунок i.l — Область с углом

На Рисунке i.l приведена область с двумя угловыми точками P и Q с углами раствора ср и Cq соответственно. Известно [22,

23, 39, 41, 45, 46, 60, 73-75, 90, 105-108], что численные методы, используемые при решении линейной задачи, могут иметь существенную погрешность в окрестностях угловых точек ср или Cq .

Рассмотрение квазилинейных уравнений эллиптического типа в областях с гладкой границей производилось в работах О.А. Ладыженской, Н.Н. Уральцевой [64], D. Gilbarg и N.S. Trudinger [48]. В работе П. Грисварда [53] рассматриваются эллиптические краевые задачи в области с негладкой границей и задачи с граничными условиями смешанного типа. Для повышения точности численного решения задачи важно знать вид точного решения или его асимптотику поведения в окрестности особой точки.

Поиск точных решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих нелинейные физические процессы, является одной из актуальных задач теоретической и математической физики. Для нелинейных уравнений построение точных решений является сложной задачей [7]. Проблема состоит в нахождении общего решения нелинейного уравнения в частных производных. В лучшем случае удается найти некоторые частные решения

[37, 38, 61, 62]. Существуют различные методы по поиску частных решений нелинейных уравнений: групповой анализа дифференциальных уравнений, открытый С. Ли [56, 76], Пенлеве анализ [11, 15, 28, 65, 70, 71, 77-79], построение пары Лакса [67, 71, 89], использование метода обратной задачи рассеяния [10, 12, 13, 57, 69, 71].

При исследовании нелинейных уравнений в частных производных важную роль играют преобразования. Например, уравнение Кортевега-д'Фриза с помощью преобразования Миуры можно представить в виде пары Лакса. Преобразование Коула-Хопфа позволяет свести уравнение Бюргерса к линейному уравнению теплопроводности. Преобразования позволяют при известном решении одного из уравнений, находить решения других уравнений и, по существу, являются отображениями решений одного уравнения на решение другого.

Таким образом решения, полученные для одной области физики могут быть отображены на решения из другой области физики. Точные решения уравнения (П) для классической механики сплошных сред, могут быть использованы в теории поля и квантовой механике.

Целью данной работы было построение метода поиска точных решений нелинейного уравнения (г1) и соответствующих им аналогов для задач квантовой механики и задачи магнитостатики.

Научная новизна

• Предложен новый метод построения точных решений стационарного нелинейного уравнения (г1) для задач квантовой механики. Получен новый класс точных решений уравнения Шрёдингера (3) соответствующий

функциям плотности вероятностей вида (г) ~ ехр V)(г )|

• Получен новый класс точных решений нелинейной задачи магнитостатики в окрестности угловой точки ферромагнетика, функция магнитной проницаемости которого имеет асимптотику Вейсса.

• На основе нового класса специальных функций построена разностная схема для численного решения 2D нелинейной задачи магнитостатики в окрестности угловой точки ферромагнетика, функция магнитной проницаемости которого имеет асимптотику Вейсса.

• Для 3D нелинейной задачи магнитостатики в области вакуума получена новая оценка роста магнитного поля в окрестности угловой точки ферромагнетика, позволяющая строить адаптивные конечно-элементные сетки, повышающие порядок точности численного решения.

• На основе полученных новых теоретических результатов проведено численное моделирование новых конфигураций магнитной системы детектора SPD ускорительного комплекса NICA (Дубна, ОИЯИ).

Методология и методы исследования

Используя преобразование Лежандра [33, 81, 84] нелинейное уравнение (1) отображается в линейное уравнение, которое решается методом разделения переменных. В общем случае, решение ищется в виде ряда, используя метод Фробениуса. В некоторых случаях, решение удается записать в виде

обобщенных полиномов Лагерра или гипергеометрических функций 1 ^.

Обратное преобразование Лежандра позволяет по точным решениям линейного уравнения найти новый класс точных решений исходного нелинейного уравнения (1.1). Новые точные решения были перенесены на задачи квантовой механики и задачу магнитостатики.

Положения, выносимые на защиту

. Для функции плотности вероятностей вида / = /( (у) (г)), где (V) (г )

векторное поле потока вероятностей, г е К2, удовлетворяющей первому уравнению из цепочки уравнений Власова, разработанный в диссертации

метод позволяет построить соответствующие точные решения уравнения

I |2

Шрёдингера для волновой функции, удовлетворяющей условию |¥| = f и (v) (r ) = ioNLn

2. Для ферромагнетика, функция магнитной проницаемости которого удовлетворяет асимптотике Вейсса, разработанный в диссертации метод позволяет найти точные решения задачи магнитостатики о распределении магнитного поля внутри 2D-области ферромагнетика, обладающей негладкой границей. Полученные таким методом решения могут быть инкапсулированы в разностную схему для соответствующей 2D-краевой задачи магнитостатики с углом.

3. Модуль магнитного поля в окрестности угловой точки для области вакуума в 3D-задаче магнитостатики имеет логарифмическую асимптотику, используя которую можно построить адаптивную сетку в окрестности угловой точки при численном решении 3D-задачи магнитостатики.

4. Знание характера поведения решения 3Б-задачи магнитостатики в окрестности угловых точек ферромагнетика может повысить точность моделирования распределения магнитного поля детектора SPD ускорительного комплекса NICA (ОИЯИ, Дубна) на порядок.

Теоретическая и практическая значимость работы

Метод поиска точных решений нелинейного уравнения (i.1), полученный в данной работе имеет теоретическое значение при рассмотрении задач гидрогазодинамики, квантовой механики и магнитостатики.

Несмотря на то, что в работе рассмотрены частные случаи функции плотности вероятностей и асимптотика Вейсса магнитной проницаемости, предложенный метод может быть использован для широкого множества функций f и векторного

¥ ¥

П

, где o = -

2m

поля (V). Для произвольного случая алгоритм поиска решения в общих чертах

остается прежним. Основная проблема будет состоять в суммировании степенных рядов и в последующем обратном отображении Лежандра.

Другим преимуществом полученного метода является математическая связь между различными физическими областями, в которых используется уравнение (1.1). Например, наличие решений в виде ударной волны в гидро-газодинамике дает возможность естественным образом переносить эти решения на квантовые системы.

Наличие квантовых решений уравнения Шрёдингера (1.3) дает возможность отображать их на статистические системы, например, рассмотрение функций распределения квази-вероятностей - функции Вигнера, которая удовлетворяет второму уравнению из цепочки уравнений Власова (1.8) при аппроксимации Власова-Моэля (1.9).

Вихревые потоки векторного поля (V) могут соответствовать с одной стороны

магнитному полю источников тока, с другой стороны вихревой поток вероятностей естественным образом приводит к аналогу принципа квантования Бора-Зоммерфельда, так как вихревое поле может иметь полюс первого порядка внутри контура, по которому делается обход.

Практическая значимость работы обусловлена применением полученных точных результатов в решении практических задач. Как правило, проектирование современных физических установок, обладающих сложной геометрической структурой производится с использованием численных методов. При переходе от физической формулировки к математической постановке задачи может возникнуть некорректность в решении. Например, при записи уравнений Максвелла на границе раздела сред ферромагнетик/вакуум считается, что граница является гладкой. Однако огромное количество магнитных систем имеют ребра и углы. В некоторых случаях такие негладкие границы делаются специально для достижения сильной неоднородности магнитного (опыт Штерна-Герлаха по исследованию спина) или электрического поля (электронные пушки). С математической точки зрения

наличие ребер и углов приводит к негладкой границе области, в которой решается краевая задача. Поэтому точное или численное решение математической постановки задачи может иметь особые точки, где решение и его производные могут являться негладкими функциями. В этом случае численное решение имеет существенную погрешность в окрестности угловых точек. В данной работе на примере задачи магнитостатики предложены варианты численных алгоритмов и методов расчета магнитного поля в окрестностях угловых точек. Используя данные методы, в работе получены распределения магнитных полей проектируемого детектора SPD ускорительного комплекса NICA (ОИЯИ, Дубна).

Достоверность и обоснованность результатов

Достоверность выносимых на защиту диссертационной работы результатов обеспечивается использованием строгих математических методов, подкрепляемых численной проверкой полученных в работе формул.

Личный вклад автора

Все результаты, выносимые на защиту, получены автором лично. В работах, опубликованных в соавторстве, основополагающий вклад принадлежит соискателю.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы обсуждались и отражены в тезисах и докладах следующих конференций:

• XXVI Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2019»; МГУ имени М.В.Ломоносова, Россия, 8 - 12 апреля 2019 // Тарелкин А.А., Новый класс точных решений уравнения Шрёдингера.

•МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕР. ОБРАЗОВАНИЕ, Пущино, Россия, 28 января - 2 февраля 2019. // 3D Расчеты вариантов магнитной системы детектора SPD комплекса NICA / Перепёлкин Е.Е., Коваленко А.Д., Тарелкин А.А., Полякова Р.В., Иноземцева Н.Г., Сысоев П.Н., Садовникова М.Б.

• MATHEMATICS. COMPUTING. EDUCATION, Dubna State University, Dubna, Russia, 29 January - 3 February 2018 // Perepelkin E.E., Tarelkin A.A., Polyakova R.V., Kovalenko A.D., Development of condensing mesh method for corner domain at numerical simulation magnetic system.

• International Conference "Mathematical Modeling and Computational Physics, 2017" (MMCP-2017), JINR, Dubna, Russia, 3-7 July 2017 // Perepelkin E.E., Tarelkin A.A., Estimation of magnetic field growth and construction of adaptive mesh in corner domain for magnetostatic problem in 3-dimensional space.

• International Conference "Mathematical Modeling and Computational Physics, 2017" (MMCP- 2017), JINR, Dubna, Russia, 3-7 July 2017 // Perepelkin E.E., Tarelkin A.A., Polyakova R.V., Kovalenko A.D., Sysoev P.N., Sadovnikova M.B., Yudin I.P., The boundary value problem for elliptic equation in the corner domain in the numerical simulation of magnetic systems.

• Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологических систем РУДН, Москва, РУДН, Россия, 2428 апреля 2017 // Тарелкин А.А., Перепелкин Е.Е., Аналитический подход для поиска точных решений нелинейного уравнения в частных производных дивергентного типа.

• XXIV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2017»; МГУ имени М.В.Ломоносова, Россия, 20 апреля 2017 // Тарелкин А.А., Исследование поведения решения уравнения дивергентного типа.

Также полученные результаты были доложены на семинаре Лаборатории

информационных технологий Объединённого института ядерных исследований 7 июня 2018 г и 19 июня 2019 г.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Материал изложен на 181 страницах, включает 113 рисунков и 1 таблицу, содержит 111 библиографических ссылок.

Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах, из них 7 статей в реферируемых журналах:

Статьи, опубликованные в журналах Scopus, WoS, RSCI

1. Perepelkin E. E., Sadovnikov B. I., Inozemtseva N. G., Tarelkin A. A. A new class of exact solutions of the Schrodinger equation //Continuum Mechanics and Thermodynamics. - 2019. - Т. 31. - №. 3. - С. 639-667. (IF WOS: 1.758)

2. Perepelkin E. E., Kovalenko A. D., Tarelkin A. A. et al. Simulation of Magnetic Systems in the Domain with a Corner //Physics of Particles and Nuclei. - 2019. - Т. 50. - №. 3. - С. 341-394. (IF WOS: 0.549)

3. Perepelkin E. E., Kovalenko A. D., Tarelkin A. A. et al. 3D Calculations of Variants of the SPD Magnetic System Detector for the NICA Complex //Physics of Particles and Nuclei Letters. - 2019. - Т. 16. - №. 2. - С. 140-152.

4. Perepelkin E. E., Tarelkin A. A., Polyakova R.V., Kovalenko A. D. Development of Condensing Mesh Method for Corner Domain at Numerical Simulation Magnetic System //Physics of Particles and Nuclei Letters. - 2018. - Т. 15. - №. 3. - С. 331335.

5. Perepelkin E. E., Tarelkin A. A. Estimation of Magnetic Field Growth and Construction of Adaptive Mesh in Corner Domain for the Magnetostatic Problem in

Three-Dimensional Space //EPJ Web of Conferences. - EDP Sciences, 2018. - Т. 173.

- С. 03019.

6. Perepelkin E. E., Polyakova R. V., Tarelkin A. A. et al. Optimization of the Magnetic Field Homogeneity Area for Solenoid Type Magnets //EPJ Web of Conferences. -EDP Sciences, 2018. - Т. 173. - С. 03018.

Публикации из списка ВАК

1. Perepelkin E. E., Tarelkin A. A., Polyakova R. V. et al. The boundary value problem for elliptic equation in the corner domain in the numerical simulation of magnetic systems //Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. - 2017. - Т. 25. - №. 3. (ИФ РИНЦ: 0.084)

Иные публикации (сборники тезисов)

1. Тарелкин А.А. Новый класс точных решений уравнения Шрёдингера // XXVI Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов — 2019». Сборник тезисов и докладов. Секция «Физика».

— М.: Физический факультет МГУ. - 2019. - C. 733

2. Перепёлкин Е.Е., Коваленко А.Д., Тарелкин А.А. . и др. 3D Расчеты вариантов магнитной системы детектора SPD комплекса NICA [Электронный ресурс] // МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕР. ОБРАЗОВАНИЕ. Пущино. - 2019. - Режим доступа: http://www.mce.su/rus/archive/mce26/doc333738/

3. Perepelkin E.E., Tarelkin A.A., Polyakova R.V., Kovalenko A.D. Devolopment of condensing mesh method for corner domain at numerical simulation magnetic system [Электронный ресурс] // MATEMATICS. COMPUTING. EDUCATION. Dubna State University. - 2018. - Режим доступа: http://www.mce.su/rus/archive/mce25/doc295981/

4. Тарелкин А. А. Исследование поведения решения нелинейного уравнения дивергентного типа // XXIV Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов — 2017». Сборник тезисов и докладов. Секция «Физика». — М.: Физический факультет МГУ. - 2017. - c. 305.

5. Тарелкин А.А., Перепелкин Е.Е. Аналитический подход для поиска точных решений нелинейного уравнения в частных производных дивергентного типа // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологических систем РУДН. Материалы конференции. РУДН. - 2017. - c. 346.

6. Perepelkin E.E., Tarelkin A.A. Estimation of magnetic field growth and construction of adaptive mesh in corner domain for magnetostatic problem in 3-dimensional space // International Conference "Mathematical Modeling and Computational Physics, 2017" (MMCP-2017). Book of abstracts. JINR. - 2017. - p. 51.

7. Perepelkin E. E., Tarelkin A. A., Polyakova R. V. et al. The boundary value problem for elliptic equation in the corner domain in the numerical simulation of magnetic systems // International Conference "Mathematical Modeling and Computational Physics, 2017" (MMCP- 2017). Book of abstracts. JINR. - 2017. - p. 5

Краткое содержание работы

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации и формулируется цель диссертации, а также приводится её краткое содержание.

В главе 1 рассматривается связь уравнения (i.1) с нерелятивистским уравнением Шрёдингера. В §1.1-2 главы 1 на основании теоремы Гельмгольца о

представлении векторного поля (v^ в виде (i.5) получено уравнение для волновой функции Y вида (i.4), которое в частном случае переходит в уравнение Шрёдингера. Получено выражение для потенциальной энергии U в уравнении

Шрёдингера, через функцию плотности вероятности / и скорость вероятностного

потока (у). Показано, как из решений уравнения (г1) можно получить решения

уравнения Шрёдингера и наоборот. В §1.3 главы 1 получено кинетическое уравнение движения на основе введенного в §1.2 потенциала. Показано, что поля в таком кинетическом уравнении естественным образом удовлетворяют уравнениям Максвелла. В §1.4 главы 1 рассматриваются примеры «сильно-согласованных» и «слабо-согласованных» задач и их решения методами, предложенными в §1.1-3. В §1.5 главы 1 получено уравнение движения центра масс системы из кинематического уравнения из §1.3. В §1.6 главы 1 рассмотрены частные случаи уравнения (Ы). Показано, что если скорость вероятностного потока не имеет вихревой компоненты (А = в), то получается уравнение Шрёдингера для скалярной частицы. В случае наличия вихревой компоненты в скорости вероятностного потока получается уравнение Шрёдингера с учётом электромагнитного поля. Показано, что кинетическое уравнение из §1.3 переходит в классическое уравнение движения в электромагнитном поле.

В главе 2 рассматривается построение точных решений нерелятивистского уравнения Шрёдингера. В §2.1 главы 2 изложен основной метод построения

решения для зависимости / = /((у^. В качестве примера функции /

рассмотрена зависимость в виде распределения ехр(у 1. В результате

задача сводится к нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных для фазы волновой функции. С помощью нелинейного преобразования Лежандра, нелинейное уравнение приводится к линейному дифференциальному уравнению в частных производных. Частные решения такого уравнения могут быть найдены методом разделения переменных. После разделения переменных получаются два уравнения. Первое уравнение имеет решение в виде системы тригонометрических функций. Решение второго уравнения ищется в виде разложения в ряд в окрестности особой точки. В §2.2 главы 2 получен общий вид такого ряда, который выражается через

гипергеометрическую функцию 1Е1. В §2.3 главы 2 рассматриваются вопросы суммирования, полученных в §2.2 рядов. Показывается, что при определенном выборе параметров получаются конечные ряды соответствующие обобщенным

полиномам Лагерра ^. В §2.4 главы 2 строится обратное преобразование Лежандра для полученных в §2.2-3 решений. Показано, что не все решения при обратном преобразовании Лежандра дают однозначные функции плотности вероятностей. Функция фазы волновой функции в общем случае является многолистной функцией. Однозначное отображение возможно только определенных областей. Получены выражения для потенциалов V, Q и для функции плотности вероятности /. Построена карта векторного поля скоростей

(у). Рассмотрены предельные случаи а » и а —— для микро и макро

систем.

Глава 3 и глава 4 посвящены задаче магнитостатики. В главе 3 рассмотрено построение решения в окрестности угловой точки для асимптотики Вейсса [2, 16,

17] функции магнитной проницаемости /л(Н) = 1 + М° - М1, М0 > 0, М1 > 0 при

Н Н

Н В §3.1 описано построение точных решений нелинейного уравнения в

частных производных дивергентного типа div и и^ = 0, входящего в

постановки задач магнитостатики (1.10). Построение решения было выполнено методом, описанным в главе 2 с помощью преобразования Лежандра. Разложение в ряд производилось в окрестности угловой точки (см. Рисунок 1.1). В §3.2-3 главы 3 получены области сходимости рядов, рассмотрены свойства гладкости решений в областях с угловыми точками. В §3.4 главы 3 рассмотрена краевая задача в области с углом для уравнения div и |)У и^ = 0 . Построена разностная схема,

повышающая точность численного решения в окрестности угловой точки на порядок. В §3.5 главы 3, исходя из интегральной постановки 3D-задачи магнитостатики, строится верхняя оценка модуля магнитного поля в окрестности угловой точки для области вакуума. Полученная оценка используется для

построения адаптивной сетки в окрестности угловой точки при численном решении SD-задачи магнитостатики.

В главе 4 на основании полученных в главе 3 методов приводятся результаты численного моделирования магнитной системы детектора SPD ускорительного комплекса NICA (ОИЯИ, Дубна) [58]. В §4.1 главы 4 рассматриваются программные алгоритмы вычислений на массивно-параллельной архитектуре графических процессоров (GPU), позволяющие на порядки ускорить процесс оптимизации параметров магнитной системы. В §4.2 рассмотрены три основные конфигурации магнитной системы детектора SPD установки NICA: «тороидальная», «набор катушек», «гибридная». Получены карты магнитных полей, построена карта интегралов по траекториям. В качестве текущей рабочей конфигурации магнитной системы детектора SPD установки NICA была выбрана «гибридная» конфигурация [49].

В Заключении приведены основные результаты работы.

ГЛАВА 1 СВОЙСТВА ПЕРВОГО УРАВНЕНИЯ В ЦЕПОЧКЕ ВЛАСОВА

В данной главе рассматривается первое уравнению в цепочке уравнений А.А. Власова, которое формально схоже с уравнением непрерывности, однако, записано не для классической функции плотности вещества или заряда, а для функции плотности распределения вероятностей. Такой «дуализм» позволяет рассматривать уравнение, как с позиции классического - детерминистического, так и с позиции вероятностного подхода в описании физических процессов.

§1.1 Фаза как скалярный потенциал скорости

Первое уравнение в цепочке Власова [8, 103] записано для функции

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тарелкин Александр Алексеевич, 2019 год

ЛИТЕРАТУРА

1.Айрян Э. А., Жидков Е. П., Юдин И. П. Численные алгоритмы расчета магнитных систем ускорителей заряженных частиц II ЭЧАЯ. 1990 //Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1990. - Т. 21. - №. 1. - С. 251.

2.Акулов Н. С. Ферромагнетизм. - Ленинград: Гостехиздат. Ленингр. отд-ние, 1939.

3.Власов А. А. Иноземцева Н. Г. О новом типе упругих волн, переносящих акустический спин в кристаллах //Доклады Академии наук. - Российская академия наук, 1975. - Т. 225. - №. 2. - С. 276.

4.Власов А. А. Нитевидные и пластинчатые структуры в кристаллах и жидкостях //Теоретическая и математическая физика. - 1970. - Т. 5. - №. 3. -С. 388.

5.Власов А.А., Иноземцева Н.Г. О существовании четырех типов акустических волн в статистической модели кристалла //Вестник МГУ. Серия 3. - 1976.

- Т. 17. - №. 2. - С. 151.

6.Иноземцева Н. Г., Перепёлкин Е. Е., Садовников Б. И. Оптимизация алгоритмов задач математической физики для графических процессоров.

- М.: Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2012.

7.Кудряшов Н. А. Методы нелинейной математической физики //Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2010.

- Т. 18. - №. 3. - С. 192.

8.Перепёлкин Е.Е., Садовников Б.И., Иноземцева Н.Г. Обобщенное фазовое пространство - М.: Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014.

9.Перепёлкин Е.Е., Садовников Б.И., Иноземцева Н.Г., Вычисления на графических процессорах (GPU) в задачах математической и теоретической физики, - М: URSS, 2018.

10.Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. Method for solving the sine-Gordon equation //Physical Review Letters. - 1973. - Т. 30. - №. 25. - С. 1262.

11. Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering/ M. J. Ablowitz, M. A. Ablowitz, P. A. Clarkson, P. A. Clarkson - Cambridge: Cambridge university press, 1991. - Т. 149.

12.Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems //Studies in Applied Mathematics. - 1974. - Т. 53. - №. 4. - С. 249.

13.Ablowitz M. J., Fokas A. S., Fokas A. S. Complex variables: introduction and applications. - Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

14.Adams R. A., Fournier J. J. F. Sobolev spaces. - Т. 140. - Oxford: Elsevier, 2003.

15.Adler V. E., Shabat A. B., Yamilov R. I. Symmetry approach to the integrability problem //Theoretical and Mathematical Physics. - 2000. - Т. 125. - №. 3. - С. 1603.

16.Akulov N., Degtiar M. Complicated Magnetic Structure of Single Ferromagnetic Crystals //Annalen der Physik. - 1932. - Т. 15. - №. 7. - С. 750.

17.Akulov N. Zur Theorie der Feinstruktur der Magnetisierungskurven der Einkristalle //Zeitschrift für Physik. - 1931. - Т. 69. - №. 1-2. - С. 78.

18.Al-Salam W. A. Operational representations for the Laguerre and other polynomials //Duke Mathematical Journal. - 1964. - Т. 31. - №. 1. - С. 127.

19.Aoyama T., Hayakawa M., Kinoshita T., Nio M. Tenth-order QED lepton anomalous magnetic moment: Eighth-order vertices containing a second-order vacuum polarization //Physical Review D. - 2012. - T. 85. - №. 3. - C. 033007

20.Arnaud M. Bardoux J., Bergsma F. et al. Commissioning of the magnetic field in the ATLAS muon spectrometer //Nuclear Physics B-Proceedings Supplements. -2008. - T. 177. - C. 265.

21.ATLAS collaboration. The ATLAS Experiment at the CERN Large Hadron Collider, - Geneva: J. Instrum., 2008.

22.Babuska I. The finite element method for elliptic equations with discontinuous coefficients //Computing. - 1970. - T. 5. - №. 3. - C. 207.

23.Babuska I., Rosenzweig M. B. A finite element scheme for domains with corners //Numerische Mathematik. - 1972. - T. 20. - №. 1. - C. 1.

24.Biedenharn L. C., Rinker G. A., Solem J. C. Solvable approximate model for the harmonic radiation from atoms subjected to oscillatory electric fields //JOSA B. -1989. - T. 6. - №. 2. - C. 221.

25.Bohm D. A suggested interpretation of the quantum theory in terms of" hidden" variables. I //Physical review. - 1952. - T. 85. - №. 2. - C. 166.

26.Bohm D., Hiley B. J. The undivided universe: An ontological interpretation of quantum theory. - London: Routledge, 2006.

27.Bohm D., Hiley B. J., Kaloyerou P. N. An ontological basis for the quantum theory //Physics Reports. - 1987. - T. 144. - №. 6. - C. 321.

28.Boiti M., Pempinelli F. Nonlinear Schrodinger equation, Backlund transformations and Painleve transcendents //Il Nuovo Cimento B (1971-1996). - 1980. - T. 59. -№. 1. - C. 40.

29.Busch T., Englert B. G., Rzazewski K., Wilkens M. Two cold atoms in a harmonic trap //Foundations of Physics. - 1998. - T. 28. - №. 4. - C. 549.

30.Caffarel M., Claverie P. Development of a pure diffusion quantum Monte Carlo method using a full generalized Feynman-Kac formula. I. Formalism //The Journal of chemical physics. - 1988. - T. 88. - №. 2. - C. 1088.

31.Child M. S. Semiclassical mechanics with molecular applications. - Oxford: Oxford University Press, USA, 2014.

32.Bouhova-Thacker E., Catmore J., Cheatham S. et al. The ATLAS simulation infrastructure //European Physical Journal C: Particles and Fields. - 2010. - T. 70.

- №. 3. - C. 823.

33.Courant R., Hilbert D. Methods of Mathematical Physics: Partial Differential Equations. - Berlin: John Wiley & Sons, 2008.

34.Dawson J. On landau damping //The physics of fluids. - 1961. - T. 4. - №. 7.

- C. 869.

35.de Broglie L. V. P. R. Une tentative d'interprétation causale et non linéaire de la mécanique ondulatoire: la théorie de la double solution.

- Paris: Gauthier- Villars, 1956.

36.Dubecky M., Mitas L., Jurecka P. Noncovalent interactions by quantum Monte Carlo //Chemical reviews. - 2016. - T. 116. - №. 9. - C. 5188.

37.Ercolani N., Siggia E. D. Painlevé property and geometry //Physica D: Nonlinear Phenomena. - 1989. - T. 34. - №. 3. - C. 303.

38.Ercolani N., Siggia E. D. Painlevé property and integrability //Physics Letters A. -1986. - T. 119. - №. 3. - C. 112.

39.Eskin G. I. General boundary-value problems for equations of principal type in a planar domain with angle points //Uspekhi Matematicheskikh Nauk. - 1963. - vol. 18. - №. 3. - pp. 241.

40.Feng Z. The treatment of singularities in calculation of magnetic field by using integral method //IEEE Transactions on magnetics. - 1985. - T. 21. - №. 6. - C. 2207.

41.Fix G. Higher-order rayleigh-ritz approximations //Journal of Mathematics and Mechanics. - 1969. - T. 18. - №. 7. - C. 645.

42.Foulkes W. M. C., Mitas L., Needs R. J., Rajagopal G. Quantum Monte Carlo simulations of solids //Reviews of Modern Physics. - 2001. - T. 73. - №. 1. - C. 33.

43.Frasca M. A strongly perturbed quantum system is a semiclassical system //Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 2007. - T. 463. - №. 2085. - C. 2195.

44.Frasca M. Duality in perturbation theory and the quantum adiabatic approximation //Physical Review A. - 1998. - T. 58. - №. 5. - C. 3439.

45.Fryazinov I. V. Difference schemes for the Laplace equation in step-domains //Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki. - 1978. - V. 18.

- №. 5. - pp. 1170.

46.Fufaev V. V. Dirichlet problem for regions having corners //Doklady Akademii Nauk SSSR. - 1960. - vol. 131. - №. 1. - pp. 37-39.

47.Gelfand I. M. Silverman R. A. Calculus of variations. - New York: Courier Corporation, 2000.

48.Gilbarg D., Trudinger N. S. Elliptic partial differential equations of second order.

- New York: Springer, 2015.

49.Gribowski A., Ivanov A., Tkachenko A. Simulation framework for SPD experiment //Proceedings of the International Workshop on Spin Physics at NICA (SPIN-Praha-2018), Charles University, Prague, 9-13 July 2018. - 2018.

50.Griffiths D. J., Schroeter D. F. Introduction to quantum mechanics. - Cambridge: Cambridge University Press, 2018.

51 .Grimme S. Accurate description of van der Waals complexes by density functional theory including empirical corrections //Journal of computational chemistry. -2004. - T. 25. - №. 12. - C. 1463.

52.Grimme S. Semiempirical hybrid density functional with perturbative second-order correlation //The Journal of chemical physics. - 2006. - T. 124. - №. 3.

- C. 034108.

53.Grisvard P. Elliptic Problems in Nonsmooth Domains. 1985 //Pitman, Boston. -1985.

54.Hall B. C. Quantum theory for mathematicians. - T. 267.

- New York: Springer, 2013.

55.Holland P. R. The quantum theory of motion: an account of the de Broglie-Bohm causal interpretation of quantum mechanics. - Cambridge: Cambridge university press, 1995.

56.Ibragimov N. K. Group analysis of ordinary differential equations and the invariance principle in mathematical physics (for the 150th anniversary of Sophus Lie) //Russian Mathematical Surveys. - 1992. - T. 47. - №. 4. - C. 89.

57.Inozemtsev V. I., Sasaki R. Universal Lax pairs for spin Calogero-Moser models and spin exchange models //Journal of Physics A: Mathematical and General. -2001. - T. 34. - №. 37. - C. 7621.

58.Kekelidze V., Lednicky R., Matveev V. et al. NICA project at JINR //Physics of Particles and Nuclei Letters. - 2012. - T. 9. - №. 4-5. - C. 313.

59. Koepf W. Identities for families of orthogonal polynomials and special functions //Integral Transforms and Special Functions. - 1997. - T. 5. - №. 1-2. - C. 69.

60.Kondrat'ev V. A. Boundary value problems for elliptic equations in domains with conical or angular points //Trudy Moskovskogo Matematicheskogo Obshchestva.

- 1967. - T. 16. - C. 209.

61.Kruskal M. D., Clarkson P. A. The Painleve-Kowalevski and poly-Painleve tests for integrability //Studies in Applied Mathematics. - 1992. - T. 86. - №2. 2. - C. 87.

62.Kruskal M. D., Ramani A., Grammaticos B. Singularity analysis and its relation to complete, partial and non-integrability //Partially Intergrable Evolution Equations in Physics. - Springer, Dordrecht, 1990. - C. 321.

63.Krylov N. M., Bogoliubov N. N. Introduction to non-linear mechanics. - New Jersey: Princeton University Press, 1947.

64.Ladyzhenskaya O. A., Ural'tseva N. N. Linear and quasilinear elleptic equations.

- NY: Academic Press, 1968.

65.Lakshmanan M., Kaliappan P. Lie transformations, nonlinear evolution equations, and Painleve forms //Journal of mathematical physics. - 1983. - T. 24. - №. 4. -C. 795.

66.Landau L. D., Lifshitz E. M. Quantum mechanics: non-relativistic theory. -Elsevier, 2013. - T. 3.

67.Lax P. D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves //Communications on pure and applied mathematics. - 1968. - T. 21. - №. 5.

- C. 467.

68.Maz'ya Vladimir G. Sobolev Spaces. With Applications to Elliptic Partial Differential Equations. - Heidelberg: Springer 2011.

69.Mikhailov A. V., Shabat A. B., Yamilov R. I. The symmetry approach to the classification of non-linear equations. Complete lists of integrable systems //Russian Mathematical Surveys. - 1987. - T. 42. - №. 4. - C. 1.

70.Musette M. Painlevé analysis for nonlinear partial differential equations //The Painlevé property. - New York: Springer, 1999. - C. 517.

71.Newell A. C. Solitons in mathematics and physics. - Philadelphia: Siam, 1985. -T. 48.

72.Nightingale M. P., Umrigar C. J. (ed.). Quantum Monte Carlo methods in physics and chemistry. - №. 525. - New York: Springer Science & Business Media, 1998.

73.Oganesyan L. A., Rukhovets L. A. Variational-difference schemes for second order linear elliptic equations in a two-dimensional region with a piecewise-smooth boundary //Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki. - 1968.

- vol. 8. - №. 1. - p. 97.

74.Oganesyan L. A., Rukhovets L. A., Rivkind V. J. Variational-difference methods for solving elliptic equations //Differential equations and their applications.

- Part I. - V.5. - Vilnius: Izd. Akad. Nauk Lit. SSR. - 1973.

75.Oganesyan L. A., Rukhovets L. A., Rivkind V. J. Variational-difference methods for solving elliptic equations //Differential equations and their applications.

- Part II. - V.8. - Vilnius: Izd. Akad. Nauk Lit. SSR. - 1973.

76.Olver P. J. Applications of Lie groups to differential equations. - T. 107.- New York: Springer Science & Business Media, 2012.

77.Painleve P. et al. Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme //Acta mathematica. - 1902.

- Т. 25. - С. 1.

78.Painlevé P. Leçons, sur la théorie analytique des équations différentielles: professées à Stockholm (septembre, octobre, novembre 1895) sur l'invitation de SM le roi de Suède et de Norwège. - Paris:. Hermann, 1897.

79.Painlevé P. Mémoire sur les équations différentielles dont l'intégrale générale est uniforme //Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1900. - Т. 28.

- С. 201.

80.Perepelkin E. E., Tarelkin A. A., Polyakova R. V. et al. The boundary value problem for elliptic equation in the corner domain in the numerical simulation of magnetic systems //Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. - 2017. - Т. 25. - №. 3. - C. 220.

81.Perepelkin E. E., Sadovnikov B. I., Inozemtseva N. G. Solutions of nonlinear equations of divergence type in domains having corner points //Journal of Elliptic and Parabolic Equations. - 2018. - Т. 4. - №. 1. - С. 107.

82.Perepelkin E. E., Sadovnikov B. I., Inozemtseva N. G. The properties of the first equation of the Vlasov chain of equations //Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. - 2015. - Т. 2015. - №. 5. - С. P05019.

83.Perepelkin E. E., Sadovnikov B. I., Inozemtseva N. G. Y-model of micro-and macrosystems //Annals of Physics. - 2017. - Т. 383. - С. 511.

84.Perepelkin E. E., Zhidkov E. P. An Analytical Approach for Quasi-Linear Equation in Second Order //Computational Methods in Applied Mathematics Comput. Methods Appl. Math. - 2001. - Т. 1. - №. 3. - С. 285.

85.Perepelkin E. E., Polyakova R.V., Tarelkin A. A. et al. Optimization of the Magnetic Field Homogeneity Area for Solenoid Type Magnets //EPJ Web of Conferences. - EDP Sciences, 2018. - T. 173. - C. 03018.

86.Perepelkin E. E., Sadovnikov B. I., Inozemtseva N. G., Burlakov E. V. Universal density matrix for the phase space //arXiv:1904.04950 [math-ph].

87.Rayleigh, J. W. S. Theory of Sound. I (2nd ed.). - London: Macmillan., 1894.

88.Sadovnikov B. I., Inozemtseva N. G., Perepelkin E. E. Exact solution in the form of a shock wave for the Maxwell and gravitomagnetism equations //Doklady Mathematics. - Springer US, 2013. - T. 88. - №. 2. - C. 593.

89.Sakovich S. Y. On zero-curvature representations of evolution equations //Journal of Physics A: Mathematical and General. - 1995. - T. 28. - №. 10. - C. 2861.

90.Samarskii A. A., Fryazinov I. V. Difference schemes for the solution of the Dirichlet problem in an arbitrary domain for an elliptic equation with variable coefficients //Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki. - 1971.

- V. 11. - №. 2. - p. 385.

91.Santos R. R. Introduction to quantum Monte Carlo simulations for fermionic systems //Brazilian Journal of Physics. - 2003. - T. 33. - №. 1. - C. 36.

92.Schleich W. P. Quantum optics in phase space. - Berlin: John Wiley & Sons, 2011.

93.Schrodinger E. Quantisierung als eigenwertproblem //Annalen der physik. - 1926.

- T. 385. - №. 13. - C. 437.

94.Scott T. C., Zhang W. Efficient hybrid-symbolic methods for quantum mechanical calculations //Computer Physics Communications. - 2015. - T. 191. - C. 221.

95.Simkin J., Trowbridge C. W. On the use of the total scalar potential on the numerical solution of fields problems in electromagnetics //International journal for numerical methods in engineering. - 1979. - T. 14. - №. 3. - C. 423.

96.Simkin J., Trowbridge C. W. Three-dimensional nonlinear electromagnetic field computations, using scalar potentials //IEE Proceedings B-Electric Power Applications. - IET, 1980. - T. 127. - №. 6. - C. 368.

97.Simpao V. A. Real wavefunction from Generalised Hamiltonian Schrodinger Equation in quantum phase space via HOA (Heaviside Operational Ansatz): exact analytical results //Journal of Mathematical Chemistry. - 2014. - T. 52. - №. 4. -C. 1137.

98.Slater J. C. A generalized self-consistent field method //Physical Review. - 1953.

- T. 91. - №. 3. - C. 528.

99.Slater J. C. A simplification of the Hartree-Fock method //Physical review. - 1951.

- T. 81. - №. 3. - C. 385.

100.Styer D. F., Balkin M. S., Becker K. M. et al. Nine formulations of quantum mechanics //American Journal of Physics. - 2002. - T. 70. - №. 3. - C. 288.

101.Tkatchenko A., Scheffler M. Accurate molecular van der Waals interactions from ground-state electron density and free-atom reference data //Physical review letters. - 2009. - T. 102. - №. 7. - C. 073005.

102.Visik M.I., Eskin G.I Variable order Sobolev-Slobodeckii spaces with weighted norms and their applications to mixed boundary value problems //Sibirskij matematiceskij zurnal. - 1968. - V. 9. - №. 5. - P. 973.

103.Vlasov A. A. Many-particle theory and its application to plasma. - New York: Gordon and Breach, 1961.

104.Vlasov A. A. Statistical distribution functions. - M: Nauka,1966.

105.Volkov E. A. Differentiability properties of solutions of boundary value problems for the Laplace and Poisson equations on a rectangle //Trudy Matematicheskogo Instituta im. V.A. Steklova. - 1965. - V. 77. - P. 89.

106.Volkov E. A. Differentiability properties of solutions of boundary value problems for the Laplace equation on a polygon //Trudy Matematicheskogo Instituta imeni V.A. Steklova. - 1965. - T. 77. - C. 113.

107.Volkov E. A. On the solution by the grid method of the inner Dirichlet problem for the Laplace equation //Transl. Am. Math. Soc. - 1963. - V. 24. - P. 279.

108.Volkov E. A. The net-method for finite and infinite regions with a piece-wise boundary //Doklady Akademii Nauk. - Russian Academy of Sciences, 1966. - T. 168. - №. 5. - C. 978.

109.Von Lilienfeld O. A. et al. Optimization of effective atom centered potentials for London dispersion forces in density functional theory //Physical review letters. -2004. - T. 93. - №. 15. - C. 153004.

110.Weinstein A. et al. R. Courant and D. Hilbert, Methods of mathematical physics //Bulletin of the American Mathematical Society. - 1954. - T. 60. - №. 6. - C. 578.

111.Zimmerli U., Parrinello M., Koumoutsakos P. Dispersion corrections to density functionals for water aromatic interactions //The Journal of chemical physics. -2004. - T. 120. - №. 6. - C. 2693.