Моделирование магнитных систем методом объёмных интегральных уравнений с кусочно-линейной аппроксимацией поля внутри ферромагнетика тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Сапожников Андрей Александрович

• Сапожников Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Сапожников Андрей Александрович

1.2 GFUN метод

1.3 Метод усреднения по элементу

1.4 Кусочно-линейная аппроксимация намагниченности

Глава 2: Генерация конечно-элементной сетки

2.1 Требования к генераторам конечно - элементных сеток

2.2 Существующие методы построения сеток

2.3 Оценка качества сетки

2.4 Программный комплекс Mesh generator создания конечно-элементных сеток

2.5 Программный комплекс 3DFEMMESH создания конечно-элементных сеток

Глава 3: Моделирование токовых обмоток и вычисление

поля от токовых источников

3.1 Программный комплекс Winding generator моделирования токовых обмоток

3.2 Вычисление поля от токовых обмоток

Глава 4: Методика вычисления матричных элементов и

решение нелинейной системы уравнений

4.1 Сведение шестикратных интегралов к четырехкратным

4.2 Метод однородных функций для вычисления сингулярных интегралов

4.2.1 Треугольники имеют одну общую вершину

4.2.2 Треугольники имеют одну общую сторону

4.2.3 Треугольники совпадают

4.3 Представление матричных элементов в виде суммы однородных функций

4.4 Итерационные методы решения нелинейных задач

Глава 5: Моделирование магнитных систем

5.1 Моделирование дипольного магнита эксперимента CBM

5.2 Моделирование магнитов ускорительного комплекса NICA

Заключение

Список литературы

Введение

При проектировании и эксплуатации различных физических установок возникает необходимость в изучении распределения генерируемых в устройствах электромагнитных полей. Отметим, что физическое моделирование установок, особенно при выборе оптимального режима работы, вызывает значительные затруднения. Во многих случаях это не представляется возможным, например, когда требуется определить поле внутри ферромагнетика. Как следствие, одним из наиболее востребованных инструментов для этих целей является компьютерное моделирование. Учитывая высокую стоимость магнитных систем, разработка методов численного моделирования магнитостатических полей является актуальной задачей.

Моделирование магнитных систем предполагает решение большого числа проблем, таких как выбор соответствующей математической формулировки исходной задачи, дискретизация непрерывной задачи, выбор метода решения возникающих линейных и нелинейных дискретизован-ных задач, оценка точности полученных решений, интерпретация полученных результатов, вычисление требуемых вторичных характеристик магнитного поля и других.

Методы расчета магнитостатических полей можно разделить на три базовых класса: дифференциальные, интегральные и гибридные методы. У каждого метода свои достоинства и недостатки.

Дифференциальная методика основана на решении дифференциальных уравнений в частных производных. К плюсам данной методики относятся разреженность матриц дискретизованных уравнений и относительная простота вычисления матричных коэффициентов. К минусам -серьезные требования к результирующей сетке, задание линий раздела сред и граничных условий. А также чаще всего необходимость решения в области, значительно превышающей объем магнитного материала.

Использование интегральной методики приводит к интегральным уравнениям. Основным преимуществом данной методики [1-4] является необходимость решения уравнений только в области магнитного материала.

Проблема задания линий раздела сред и граничных условий разрешается естественным образом. Автоматически задаётся поведение искомых величин на бесконечности. Основным недостатком метода является полная заполненность матриц, возникающих при дискретизации уравнений, и сложность вычисления матричных коэффициентов. Данный факт накладывает определённые ограничения на выбор методов решения дискрети-зованных уравнений. А вычисление матричных коэффициентов сводится к вычислению шестикратных интегралов, в общем случае от сингулярных функций [5]. Получить точное решение аналитически возможно лишь в крайне редких случаях. Самый доступный способ вычислить эти интегралы - использовать кубатурные формулы. В монографии [6] приводятся основные кубатурные формулы для различных типов симплексов, а также описаны способы их применения.

Гибридные методы являются комбинацией интегральных и дифференциальных методов. Для расчёта поля внутри области используются дифференциальные уравнения в частных производных, а для учета поведения функций на бесконечности - интегральные уравнения на границе некоторой области.

Для разных электрофизических установок оптимальные методики могут быть различны. Для закрытых магнитных систем лучше подходят дифференциальные методы. Для открытых систем - интегральные или комбинированные методы. В диссертации для моделирования магнито-статических полей в электрофизических установках используется метод объемных интегральных уравнений [7-9]. Сформулируем сущность метода объемных интегральных уравнений.

Пусть B(a), H(a), M(а) есть индукция, напряженность и намагниченность магнитного поля в точке а. В случае отсутствия поверхностных токов и токов, протекающих по ферромагнетику, величины B, H удовлетворяют уравнениям Максвелла:

Rotä (H(a)) = J(a), diva (B(a)) = 0,

lim |B(a)| = 0, (1)

|a, | —

lim |H(a)| = 0,

где J - вектор плотности тока, который отличен от нуля только в токовых обмотках.

Величины B, H, M связаны следующими нелинейными соотношениями [10,11]

Н а)- В(а)

V (1В(«)0 ^о' (2)

М(а) = В(аа) - Н(а),

где Vо - абсолютная магнитная проницаемость вакуума, ^(х) - магнитная проницаемость, тождественно равная единице вне железа, а внутри - нелинейная функция, характеризующая связь между индукцией и напряжённостью для данного типа ферромагнетика. На границе раздела сред с различными магнитными характеристиками выполняются условия непрерывности нормальной В и тангенциальной составляющей Н:

(й (В2 - Щ =0,

[и х (Н2 - Н1)] = 0, ()

где п - единичный вектор нормали к поверхности раздела сред.

Для непосредственного нахождения вектор-функций Н (а), В (а) уравнения (1)-(3) неудобны, и существует большое число постановок, вытекающих из них.

Напряжённость магнитного поля может быть вычислена из следующего интегрального уравнения:

Н(а) = Н3(а) + V-aJ (й(х), Va ^Г0|) (4)

о

где Н3(а) - поле от токовых обмоток, С - область, заполненная ферромагнетиком. Поле Н3(а) может быть найдено по закону Био-Савара [12-14]:

Н3(а) = ^-Ъои [ (5)

J |х — а|

я-3

где .] (X) - плотность тока в точке X.

Основная сложность применения интегральной постановки связана с сингулярностью ядра интегральных уравнений. Именно этим объясняется использование в наиболее известном пакете программ ОРиКЗВ [15], основанном на интегральной постановке задачи магнитостатики, только кусочно-постоянной аппроксимации неизвестных в пределах элементов разбиения области при дискретизации уравнений в рамках метода

коллокаций. В диссертации развивается метод, альтернативный методу коллокаций, предложенный в [16] и основанный на дополнительном интегрировании по элементам разбиения расчетной области. Рассматривается кусочно-линейная аппроксимация неизвестных в пределах элемента разбиения. Данный подход имеет как свои достоинства, так и недостатки. Главным его преимуществом является снятие основной проблемы метода объемных интегральных уравнений - сингулярности ядра, что в свою очередь позволяет наращивать порядок аппроксимации непрерывных уравнений. К числу недостатков следует отнести увеличение размерности интегралов, необходимых для определения матричных элементов дискретизованных уравнений. В диссертации приведены методы сведения сингулярных шестикратных интегралов по двум тетраэдрам к комбинации четырехкратных интегралов по двум треугольникам, для вычисления которых в регулярном случае использовались кубатур-ные формулы. На основе понятия однородных функций в сингулярном случае проработаны методы приведения четырехкратных интегралов к комбинации повторных регулярных интегралов меньшей размерности. Основной проблемой решения возникающих нелинейных уравнений является полностью заполненная матрица дискретизованной задачи большой размерности. В связи с этим для решения нелинейных уравнений используются итерационные методы, не требующие обращения матриц и схожие с методом простой итерации.

Первым шагом создания компьютерной модели магнита является представление расчетной области. Метод конечных элементов (МКЭ) [17-23] является наиболее удобным математическим методом как для дискретизации линейных и нелинейных уравнений магнитостатики, так и для описания сложной геометрии разбиваемой области. Использование МКЭ предполагает предварительное построение сетки, то есть некоего множества точек, связанных между собой таким образом, что исходная область разбивается на геометрические фигуры определенной конфигурации. В качестве геометрических фигур обычно используются простейшие симплексы. Для двумерной сетки - треугольники, для трехмерной - тетраэдры. Это наиболее распространённые элементы сеток. Однако возможно построение сеток и из четырёхугольников, призм, гексаэдров и других элементов.

Результирующая сетка должна удовлетворять требованиям МКЭ: исходная область является объединением всех элементов; мера пересечения различных элементов равна нулю; вершины одного элемента не могут быть внутренними точками грани или ребра другого, то есть если два элемента пересекаются, то они касаются или только по целому ребру, или только по целой грани, или только по одной вершине. Элементы сетки

не должны вырождаться, так как вырожденные элементы влияют на аппроксимацию непрерывного решения и на сходимость итерационных методов, используемых для решения разностной задачи [24-29]. Если область разбиения неоднородна, то каждый полученный конечный элемент сетки должен состоять только из одного материала [30,31].

Несмотря на то, что построение сетки является лишь одним из подготовительных этапов численного решения многомерной математической задачи, генерация сеток в настоящее время выделилась в отдельную самостоятельную область вычислительной математики. Произошло это в первую очередь из-за того, что построение сетки и последующие вычисления на ней - есть две абсолютно независимые задачи. Одни и те же расчёты можно проводить на сетках, построенных в разных программах. И обратно, на одной и той же сетке можно рассчитать целый ряд задач [32]. В настоящее время разработано множество программных решений для генерации сеток, начиная от частных разработок, заканчивая огромными промышленными программами наподобие системы АКБУБ [33]. Следует отметить, что процесс построения сетки чрезвычайно трудоёмкий и предъявляет высокие требования как к субъекту, вовлеченному в данную деятельность, так и к вычислительной технике, используемой для этих целей.

В диссертационной работе дается описание наиболее известных алгоритмов построения сеток [34-43]; приводится описание различных критериев оценки качества разбиения [24,37,44-46]; описывается авторский программный комплекс для генерации трехмерных сеток, ориентированный на решение задач моделирования электромагнитных полей в крупных электрофизических установках, а также для построения токовых обмоток, включая востребованные в последнее время обмотки с коаксиальным кабелем.

Целью диссертационной работы является разработка и применение численных методов и программных комплексов для моделирования маг-нитостатических полей в крупных электрофизических установках. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработка методов расчёта магнитостатических полей в рамках интегральной постановки с кусочно-линейной аппроксимацией поля внутри ферромагнетика.

2. Создание алгоритмов и программных комплексов для генерации трёхмерных сеток, ориентированных на задачи магнитостатики.

3. Построение алгоритмов и программных комплексов для моделирования токовых обмоток сложной формы, в том числе с учётом

специфики сечения коаксиального кабеля. Разработка методов вычисления магнитного поля от токовых обмоток в рамках закона Био-Савара.

4. Решение возникающих нелинейных дискретизованных задач.

5. Применение развитых методов, алгоритмов и программных комплексов для моделирования дипольного магнита эксперимента CBM [47], квадрупольного магнита BOOSTER и дипольного магнита кол-лайдера ускорительного комплекса NICA [48].

Научная новизна полученных результатов.

Впервые решена проблема моделирования магнитных систем методом объемных интегральных уравнений на основе применения непрерывной кусочно-линейной аппроксимации неизвестных. В рамках решения предложена методика вычисления матричных элементов дискретизованных задач, основанная на понижении кратности возникающих интегралов и использовании кубатурных формул для их расчета в регулярном случае. На основе понятия однородных функций для нерегулярного случая предложены методы редукции сингулярных интегралов к комбинации регулярных интегралов меньшей кратности с дальнейшим их вычислением по кубатурным формулам. Построены итерационные методы решения возникающих нелинейных дискретизованных систем уравнений. Предложена процедура моделирования токовых обмоток, в том числе -впервые для обмоток с коаксиальным кабелем.

Научно-практическая значимость.

Создан программный комплекс 3DFEMMESH генерации трехмерных конечно - элементных сеток, учитывающий специфику моделирования магнитных систем, имеющий графический интерфейс для ввода начальных данных и визуальной оценки качества построенного разбиения. Реализован контроль качества полученной сетки. Генератор включен в библиотеку программ JINRLIB [49]. Создан программный комплекс Winding generator для моделирования токовых обмоток с различным поперечным сечением, включая востребованные в последнее время обмотки с коаксиальным сечением кабеля. В его состав включены типовые параметризованные обмотки, такие как Solenoid, Racetrack, Bedstead, а также обмотки для мультипольных корректоров.

Разработанная методика применялась для моделирования дипольно-го магнита эксперимента CBM, квадрупольного магнита BOOSTER и дипольного магнита коллайдера ускорительного комплекса NICA. Построенные модели токовых обмоток использовались для вычисления поля в мультипольных корректирующих магнитах комплекса NICA.

Достоверность результатов.

На основе методов и программ, описанных в диссертации, проводилось моделирование различных магнитных систем, которые, в свою очередь, рассчитывались с помощью дифференциальной методики (программный комплекс TOSCA [50]). Сравнение полученных результатов показало хорошее согласие дифференциальной и интегральной методик. Проводилось также сравнение расчётов магнитного поля от токовых обмоток в вакууме вдоль оси соленоида с постоянной плотностью тока в поперечном сечении с результатами, полученными аналитически. Сравнение результатов расчётов также показало их хорошее согласие.

Соответствие паспорту специальности.

Диссертация соответствует требованиям специальности 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ». Её цель, задачи и результаты отвечают трем пунктам паспорта специальности:

п. 1. «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений».

п. 3. «Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий».

п. 4. «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента».

Положения, выносимые на защиту.

1. Совокупность методов для моделирования магнитных систем в рамках интегральной постановки, основанных на дополнительном интегрировании по элементам разбиения расчетной области с кусочно-линейной аппроксимацией неизвестных, снимающих проблему сингулярности в ядрах интегральных уравнений, позволяющих строить непрерывные решения и повышать порядок численной аппроксимации.

2. Методы вычисления матричных элементов дискретизованных задач, основанные на понижении кратности интегралов и редукции сингулярных интегралов к комбинации регулярных, что обеспечивает возможность применения в расчетах кубатурных формул.

3. Процедура моделирования токовых обмоток из 20-узловых конечных элементов серендипова типа, включая обмотки с коаксиальным сечением кабеля, обеспечивающая эффективный расчет магнитного поля от токовых источников в рамках закона Био-Савара.

4. Комплексы программ, реализующие разработанные подходы и обеспечивающие эффективную генерацию конечно-элементных сеток для моделирования электрофизических устройств сложной геометрии:

(a) Mesh Generator - для магнитных систем с однородной фронтальной топологией.

(b) 3DFEMMESH - для магнитных систем сложной геометрической конфигурации.

(c) Winding generator - для моделирования сложных токовых обмоток с различным поперечным сечением, включая обмотки с коаксиальным сечением кабеля.

(d) Программные комплексы графического представления и анализа трёхмерных конечно-элементных сеток, моделей токовых обмоток и результатов моделирования магнитных систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование магнитных систем методом объёмных интегральных уравнений с кусочно-линейной аппроксимацией поля внутри ферромагнетика»

Апробация работы.

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах ЛИТ ОИЯИ, на международных конференциях и совещаниях:

1. XXI International Symposium on Nuclear Electronics I& Computing (NEC'2007), Varna, Bulgaria, 2007.

2. International Conference on Mathematical Modeling and Computational Physics (MMCP 2009). ОИЯИ, Дубна, Россия.

3. International Conference on Mathematical Modeling and Computational Physics (MMCP 2013). ОИЯИ, Дубна, Россия.

4. International Conference on Mathematical Modeling and Computational Physics (MMCP 2017). ОИЯИ, Дубна, Россия.

Публикации.

Основные результаты опубликованы в следующих работах, из них четыре статьи в рецензируемых изданиях, рекомендованных Положением ОИЯИ о присуждении учёных степеней:

1. Моделирование токовых обмоток с различным сечением кабеля. Акишин П.Г., Сапожников A.A., Вестник Российского университета дружбы народов, Серия Математика. Информатика. Физика, ISSN:0s69-s732, Изд.: Российский университет дружбы народов, 2(2), 113-119, 2010.

2. Метод объемных интегральных уравнений в задачах магнитостатики. Акишин П. Г., Сапожников А.А., Вестник Российского университета дружбы народов, Серия Математика. Информатика. Физика, ISSN:0869-8732, Изд.: Российский университет дружбы народов, 2, 310-315, 2014.

3. Linear Approximation of Volume Integral Equations for the Problem of Magnetostatics. Akishin P., Sapozhnikov A., European Physical Journal Web of Conferences, 173, 03001, 2018.

4. The volume integral equation method in magnetostatic problem. Akishin P., Sapozhnikov A., Peoples' Friendship University of Russia, Discrete and continuous models and applied computational science, 2019;27(1):60-69. ISSN: 2658-4670, 2019.

5. Three-dimensional mesh-generator for finite element method applications. Akishin P.G., Sapozhnikov A.A., Scientific report 2006-2007. LIT. Изд.:JINR, Dubna, 2007-179, 215-219, 5-9530-0167-3, 2007.

6. Automatic 3D Mesh Generator. Akishin P.G., Sapozhnikov A.A., Fischer E., Schnizer P., Communications of JINR, P11-2008-149, Dubna, 2008.

7. Моделирование токовых обмоток сложной конфигурации. Акишин П.Г., Сапожников А.А., JINR LIT. Scientific report 2008-2009, Изд.: JINR, 2009-196, 99-102, 978-5-9530-0237-0, 2009.

8. Расчет поля от токовых обмоток методом интегральных уравнений. Акишин П.Г., Сапожников А.А., JINR LIT. Scientific report 20102011, Изд.: JINR, 2011-130, 131-134, 978-5-9530-0312-4, 2011.

9. Объемные интегральные уравнения магнитостатики с линейной конечно-элементной аппроксимацией намагниченности. Акишин П.Г., Сапожников А.А., Scientific Report 2012-2013. LIT JINR, Изд.: JINR, Dubna, 2014-26, 148-150, 978-5-9530-0381-0, 2014.

10. Magnetic field calculations with the volume integral equation method for CBM dipole magnet. P.G. Akishin, A.A. Sapozhnikov, V.P. Ladygin, CBM Progress Report 2018, Darmstadt 2019, 123-124, GSI-2019-01018, doi:10.15120/GSI-2019-01018.

Личный вклад.

Содержание диссертации, а также основные результаты и положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора. Представленные в диссертации результаты по разработке методов, комплексов

программ и проведению вычислений получены либо самим автором, либо при его определяющем участии. Автором лично разработаны методы и программное обеспечение для генерации конечно-элементных сеток, моделирования токовых обмоток, графического представления и анализа результатов моделирования магнитных систем.

Содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Первая глава посвящена задаче нахождения распределения магнитного поля, создаваемого стационарными токами в проводниках с изотропным ферромагнитным материалом. В качестве основного подхода используется метод объемных интегральных уравнений. В первом параграфе приведена постановка с использованием метода коллокаций с кусочно-постоянной аппроксимацией неизвестных в пределах элемента разбиения. Данная постановка была реализована в известном программном комплексе GFUN3D [1,15]. Метод коллокаций не позволяет нарастить кусочно-постоянное приближение неизвестных на более высокое по причине сингулярности ядра объемных интегральных уравнений. Замена метода коллокаций дополнительным интегрированием по элементам разбиения расчетной области позволяет разрешить возникающие проблемы и, как следствие, нарастить порядок аппроксимации задачи. Во втором параграфе приводится постановка с использованием интегрирования по элементу. Интегрирование по элементу позволяет использовать аппроксимацию намагниченности, отличную от постоянной, например, линейную. Третий параграф посвящён дискретизации уравнений c использованием кусочно-линейной аппроксимации намагниченности. Именно для этой постановки в последующих главах будут приводиться методики расчёта матричных коэффициентов.

В главе 2 обсуждаются проблемы, возникающие при создании автоматизированных комплексов генерации конечно-элементных сеток; приводятся требования к автоматическим генераторам сеток, ориентированным на использование метода конечных элементов; даётся описание основных подходов к построению сеток [37-39]; излагаются наиболее популярные алгоритмы генерации [35]; приводятся их основные достоинства и недостатки; излагаются некоторые критерии оценки качества двумерных и трёхмерных элементов, а также всей сетки в целом.

Далее приводится описание авторских программных комплексов по созданию сеток: Mesh generator, базирующийся на MAPPING [51] методе построения сеток, и 3DFEMMESH для областей сложной геометрической конфигурации. Для получения детализированного разбиения в комплексах реализована функция сгущения сетки с помощью введения весового коэффициента для узлов.

Глава 3 посвящена моделированию токовых обмоток и расчёту магнитного поля от них. В первом параграфе главы приводится описание программы Winding generator для построения токовых обмоток. Процесс конструирования обмотки состоит из двух шагов: построения поперечного сечения и задания токовой линии центра. В программе реализован параметризованный ввод типовых обмоток, таких как Solenoid, Racetrack и Bedstead, а также обмоток для мульпольных корректоров. Геометрию сечения для них можно выбрать стандартную или заранее сконструированную. В результате работы программы обмотка представляется в виде объединения 20-узловых конечных элементов серендипова типа. Во втором параграфе главы приведено описание методики расчёта магнитного поля от токовых обмоток.

Для практического использования дискретизации интегральной постановки, описанной в первой главе, необходимо вычислять большое количество шестикратных, в общем случае сингулярных интегралов по двум тетраэдрам. В главе 4 описывается разработанная методика вычисления этих интегралов. В начале шестикратные интегралы сводятся к сумме четырёхкратных. Затем на основании понятия однородной функции сингулярный интеграл по двум треугольникам сводится к комбинации регулярных интегралов. Регулярные интегралы вычисляются уже по кубатурным формулам. В третьем параграфе главы приводится методика редуцирования матричных элементов к сумме однородных функций. В конце главы описываются методы решения итоговой нелинейной системы уравнений.

В главе 5 приводятся примеры моделирования различных магнитных систем на основе методов, изложенных в диссертации. Описывается детальное построение разбиений различных магнитов на тетраэдры; представлены критерии качества полученных сеток; приводятся численные и графические результаты расчётов, а также сравнение их с результатами известных программных комплексов. В первой части описывается моделирование двух версий дипольного магнита эксперимента CBM [47]. Во второй части приводится описание моделирования квад-рупольного магнита BOOSTER и дипольного магнита коллайдера для ускорительного комплекса NICA [48].

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту.

Глава 1

Метод объёмных интегральных уравнений

В данной главе рассматривается задача нахождения распределения магнитного поля, создаваемого стационарными токами в проводниках с изотропным ферромагнитным материалом. В качестве основного подхода используется метод объемных интегральных уравнений.

1.1 Интегральная постановка задачи магнитостатики

Пусть В(а), И(а),М(а) есть индукция, напряженность и намагниченность магнитного поля в точке а. Как отмечалось ранее, в случае отсутствия поверхностных токов и токов, протекающих по ферромагнетику, величины В, И, М связаны следующими нелинейными соотношениями [10,11]:

И (а) = В((-?| ^ , М (а) = ^ - И (а), (1.1)

у (|В(а)|) уо уо

где у0 - абсолютная магнитная проницаемость вакуума; у(х) - магнитная проницаемость, тождественно равная единице вне железа, а внутри - нелинейная функция, характеризующая связь между индукцией и напряжённостью для данного типа ферромагнетика.

Напряжённость магнитного поля может быть вычислена из следующего интегрального уравнения:

Н(а) = Н3(а) + 4-V-aJ (и(X), Vaйюа, (1.2)

о

где Н3(а) - поле от токовых обмоток, С - область, заполненная ферромагнетиком. Поле Н3(а) может быть найдено по закону Био-Савара [12-14]:

Н3(а) = [ -¿Щг. йюа, (1.3)

J |х — а| я3

где .](х) - плотность тока в точке х.

Основная сложность применения интегральной постановки связана с сингулярностью ядра интегральных уравнений.

1.2 GFUN метод

Наиболее известной программой, базирующейся на интегральной постановке задачи магнитостатики, является программный комплекс ОРиКЗВ [1]. В данном пакете программ для дискретизации уравнений используется метод коллокаций и кусочно-постоянная аппроксимация неизвестных в пределах элемента разбиения области.

N

Пусть область С разбита на подобласти С = и Сг, удовлетворяющие

г=1

/ ХЫУх

методу конечных элементов. v(Gi^\ ) = 0,{ = ]. Пусть аг = | .

«г ^

Положим В(х) в каждом С к постоянным и равным В к. Тогда:

N

Нг = Н3 (аг) + ^

3 = 1

V«

о,■

Мз, Va—^ ) йюа |х — а|

'1.4)

где В3 и М3 удовлетворяют (1.1). Введём следующие обозначения:

В = (B1, В2, ... , В^ , М(В) = (vоM В)^оМ В),...^оМ (В N ))

Н3 = ^оН3(а 1)^оН3(а2),.. ..VоН3^))Т.

Пусть матрица [А] есть матрица размерности [3Ж х 3Щ вида:

[Ли] ■ ■ ■ Аш ]

[А]

[Лм 1 ] ■ ■ ■ [Лмм ]

Элементами матрицы [Л] являются коэффициенты [Л^], такие, что для любого постоянного вектора М справедливо следующее соотношение:

Учитывая (1.1) и вышеописанные замены, систему (1.4) сокращённо можно записать в следующем виде:

где [Е] - единичная матрица размерности [3М х 3М].

Метод коллокаций, используемый в этой программе, не позволяет нарастить кусочно-постоянное приближение неизвестных на более высокое по причине сингулярности ядра объемных интегральных уравнений. Замена метода коллокаций дополнительным интегрированием по элементам разбиения расчетной области позволяет разрешить возникающие проблемы и как следствие, нарастить порядок аппроксимации задачи.

Впервые сформулированная и реализованная постановка с интегрированием по элементам и кусочно-постоянной аппроксимацией неизвестных рассматривалась в работе [16].

1.3 Метод усреднения по элементу

Вариацией СЕЙМ метода будет замена точки наблюдения а в Gi интегрированием по Gi [16]:

(1.5)

В = Н8 + ([А] + [Е]) М(В),

(1.6)

Щ йь-а

/

/

Н8 (о)йю-а + ¿у

/

/

О;

о

I =1,Ы.

Б — (Бь Б2,..., Бм)

т

М(Б) — (1юМ (Б1),^оМ (Б2),...,1ЮМ (Бм ))

т

т

Н8 — | /ю J Н8 (а)дщ,/о Н8 (о)йь-а,..., / J Н8 (о)йь-а

Ох О2 О^

Пусть матрица [А] есть матрица размерности [ЗА х ЗЗЩ вида

[А]

\Ац] ■ ■ ■ [Аш ]

[Ам 1] ■ ■ ■ [Амм ]

Элементами матрицы [А] являются коэффициенты [А^], такие, что для любого постоянного вектора М справедливо соотношение:

А- ]М

О;

М, У а

1

О,'

|х — а|

Г1-8)

Пусть [С] - диагональная матрица размера [ЗЫ х ЗА] с элементами по диагонали (с1,с1,с1,с2,с2,с2, ...,см,см,см), где сг — / дю.

О;

Учитывая (1.1), систему (1.7) кратко можно записать в виде:

[С ]Б — н8 + ([А] + [С ]) М(Б).

:1.9)

1.4 Кусочно-линейная аппроксимация намагниченности

Интегрирование по элементу позволяет использовать аппроксимацию намагниченности, отличную от постоянной, например, линейную. Рассмотрим конечно-элементную аппроксимацию намагниченности в пределах объемного элемента. Для этого будем предполагать, что область О можно приблизить объединением тетраэдров, удовлетворяющих методу ко-

N

нечных элементов: О — и Бг.

г=1

Пусть Рк ,к = 1, ..,Ь - набор всех вершин тетраэдров {¿¿}. Обозначим Н(Рк) = Нк, М(Рк) = Мк, В(Рк) = Вк. Пусть ¡к(х) - функция формы, ассоциированная с вершиной Рк:

fk (P)

1, если k = /; 0, если k = I.

Функция /к (х) на каждом тетраэдре есть линейная функция. Используя эти обозначения, имеем:

N

Y, J fi(a)fj(a)Hjdv-a = J fl(a)HS(o)dv-a+

j=1 g

G

+ C / fi(a) 5

j=1 G

fj (x) Mj, Va~

1

G

|x — a|

dvx

dva

:i.IQ)

где г = 1, N.

Пусть матрица [С] есть матрица размерности [3Ь х 3Ь] вида:

[C ]

[C11] ••• [CIL]

[Cli] ■■■ [CLL]

Элементами матрицы [С] являются диагональные матрицы размерности [3 х 3] вида:

'1 0

С] = I ¡г(а)!з(а)^-а I 0 1 0

G

,0 0 1

Пусть матрица [A] есть матрица размерности [3L х 3L] вида:

[A11] ■■■ [Ail]"

[A]

[Al1] ■■■ [ALL]

Элементами матрицы [Л] являются матрицы размерности [3 х 3] такие, что для любого постоянного вектора М справедливо соотношение:

[Aij]M = i fi(a)dva V

G

G

fj (x)( M Va iF—W

dvx

'1.11)

В = (б1,Б2,...,Бь)т , м (В) = (¡юМ {В1),^аМ №),..., цоМ (Вь))т,

т

т

н 8

¡0 !\(а)Н (а)^й,..., ¡о !ь(а)н (а)Лю-<

/

-й1

/

-й1

а

а

Учитывая (1.1), систему (1.10) кратко можно записать в виде:

[С]В = н8 + ([А] + [С]) М(В).

(1.12)

Используя квадратичные функции формы на тетраэдрах аналогично (1.10), можно сформулировать дискретизацию с квадратичной и более аппроксимацией переменных в пределах элемента.

Для практического использования изложенной дискретизации интегральных уравнений необходимо решить следующие задачи:

1. Представление области ферромагнетика в виде объединения тетраэдров, удовлетворяющих МКЭ. По сути, данная задача разбивается на 2 части: задание начальных данных о разбиваемой области и построение разбиения на тетраэдры. Задача представления начальных данных достаточно трудоёмкая и требует непосредственного участия пользователя в процессе, поэтому необходимо предусмотреть контрольные процедуры проверки соответствия сетки МКЭ.

2. Разработка методов создания моделей токовых обмоток на основе их представления в виде объединения 20-узловых конечных элементов серендипова типа.

3. Создание следующих методик:

(a) Расчёт поля от токовых обмоток.

(b) Расчёт матричных коэффициентов. (1.11).

(c) Решение системы нелинейных уравнений. (1.12).

Описание решений именно этих задач пойдёт в следующих главах.

Следует отметить, что метод объемных интегральных уравнений идеально подходит для использования на многопроцессорных вычислительных системах. Параллельные методы могут быть использованы для вычисления матричных элементов дискретизованной системы уравнений, а также ее правой части.

Глава 2

Генерация конечно-элементной сетки

Первым шагом для реализации интегральной постановки из первой главы является представление области ферромагнетика в виде объединения тетраэдров, удовлетворяющих МКЭ. Несмотря на то, что построение сетки является лишь одним из подготовительных этапов численного решения многомерной математической задачи, генерация сеток в настоящее время выделилась в отдельную самостоятельную область вычислительной математики. Произошло это в первую очередь из-за того, что построение сетки и последующие вычисления на ней - есть две абсолютно независимые задачи. Следует отметить, что создание сетки чрезвычайно трудоёмкий процесс и предъявляет высокие требования как к субъекту, вовлеченному в данную деятельность, так и к вычислительной технике, используемой для этих целей. Одним из наиболее важных моментов генерации трехмерной сетки является задание начальных геометрических данных. Поэтому при создании подобных генераторов необходимо предусмотреть наличие программ контроля и визуального представления элементов конструкции. Качественное решение данных проблем позволит избежать ошибок на начальном этапе построения сетки.

В данной главе обсуждаются проблемы, возникающие при создании автоматизированных комплексов генерации конечно-элементных сеток, описываются наиболее распространённые алгоритмы построения сетки и наиболее распространённые критерии оценки качества разбиения.

Далее приводится описание двух авторских программных комплексов для генерации трехмерных сеток, удовлетворяющих требованиям метода конечных элементов. Первый базируется на методе, известном в литературе как Mapping метод [51]. Для улучшения качества построенной сетки при ее измельчении используется заранее разработанная библиотека

стандартных разбиений.

В основу второго генератора положен подход, базирующийся на представлении расчетной области в виде объединения стандартных макроблоков с первоначальной генерацией двумерной сетки на их границе и дальнейшей генерацией трехмерной сетки отдельно в каждом блоке. Разработанные комплексы программ могут быть использованы для решения широкого класса задач математической физики.

2.1 Требования к генераторам конечно - элементных сеток

Для использования МКЭ расчетная область должна быть разбита на подобласти, отвечающие определенным требованиям. Пусть расчетная область О разбита на объединение подобластей {Ог}. Тогда должны выполняться следующие требования:

N

1. О — Ог т.е. исходная область является объединением всех эле-

г=1

ментов.

2. /(ОгПО3) — 0 при г — ], т.е. мера пересечения различных элементов равна нулю.

3. Вершины одного элемента не могут быть внутренними точками грани или ребра другого, т.е. если два элемента пересекаются, то они касаются или только по целому ребру, или только по целой грани, или только по одной вершине.

Чаще всего в качестве подобластей берутся самые простейшие однотипные фигуры - треугольники в двумерном случае и тетраэдры в трёхмерном. Но в общем случае могут использоваться и другие фигуры, например, прямоугольники, гексаэдры, призмы.

В зависимости от задачи на элементы сетки накладываются определённые требования. Важнейшим требованием к полученным элементам является их качество. Качественный элемент - тот, который наиболее близок к своему правильному аналогу. В двумерном случае для четырёхугольника правильный аналог - квадрат, для треугольника - правильный треугольник и так далее.

Так как невозможно построить сетку, состоящую только из правильных элементов, необходим некий инструментарий оценки качества результирующей сетки. Наличие в результирующей сетке элементов с очень

малыми или очень большими углами приводит к вырождению матрицы системы уравнений, что, в свою очередь, влияет на результат и даже сходимость работы численного метода, применяемого на этой сетке. Таким образом, оценка должна быть разносторонней.

Размер элемента также является важным требованием, причём в разных подобластях сетки требования к размеру элемента могут отличаться. В областях, где требуется более детальная дискретизация области, элементы должны быть меньше. Имеет место и обратное требование. Внутри областей слабого изменения неизвестных мелкая дискретизация приведёт к неоправданно большому числу результирующих элементов.

При дискретизации неоднородной по своим свойствам или материалам области на сетку накладываются дополнительные ограничения. В основном эти ограничения имеют вид линий в двумерном или поверхностей в трехмерном представлении, которые не должны пересекаться ребрами и гранями сетки. По сути эти ограничения означают, что каждый полученный конечный элемент сетки должен состоять не более чем из одного материала. Линии ограничений, как и границы области, могут быть представлены не только линиями и плоскостями, но также и кривыми второго и более порядков. Такие границы аппроксимируются результирующими элементами с шагом, зависящим от размера элементов на данном участке сетки.

Процесс ввода первичных данных о разбиваемой области очень трудоёмок, так как очень легко ошибиться при вводе. Отсюда крайне важным является визуализация как входной информации, так и результата генерации.

Подытожив, можно сформулировать следующие требования к любому генератору сеток:

1. Результирующая сетка должна удовлетворять требованиям МКЭ.

2. Элементы сетки должны быть максимально приближены по форме к их правильному аналогу.

3. Контроль размеров элементов в различных областях сетки.

4. Контроль качества результирующих элементов.

5. Максимально точная аппроксимация границ области и ее внутренних разграничений.

6. Визуализация на всех стадиях.

2.2 Существующие методы построения сеток

По принципу построения сеток методы генерации могут быть разделены на два класса: прямые и итерационные [37-39]. Прямые методы основаны на знаниях формы разбиваемых областей и строят сетку за одну итерацию. В любой момент времени, зная порядковый номер узла, можно вычислить его координаты. Сетка, полученная с помощью прямых методов, является структурированной, т.е. заранее известны относительные координаты вершин и связи между ними. Итерационные методы строят сетку последовательно, опираясь на каждой итерации на то, что было сделано на предыдущей. Результирующая сетка при таком подходе получается неструктурированная [52].

Главными преимуществами прямых методов являются простота реализации и скорость работы. Так как в итоге получаются структурированные сетки, то по номеру вершины можно определить все соседние вершины и получить их координаты. Сетка строится мгновенно. Главным недостатком прямых методов является возможность применения только для областей определенной геометрической конфигурации.

Прямые методы можно разделить на 3 подкласса: методы, базирующиеся на основе деления (дробленя), на основе шаблонов и на основе отображения Делоне [38]. Для достижения необходимых размеров элементов, а также для сгущения сетки в определённых областях используются алгоритмы дробления элементов. Они основаны на делении каждой грани на одинаковое количество отрезков и построении новых элементов, подобных исходному, насколько это возможно на получившемся наборе узлов. На плоскости эти методы очень эффективны, так как любой треугольник и четырёхугольник элементарно разбивается на подобные ему без потери качества. На рисунке 2.1 приведён пример дробления прямоугольника и треугольника.

Рис. 2.1. Дробление прямоугольника и треугольника.

В трёхмерном пространстве дела обстоят несколько хуже. Наиболее часто встречающийся элемент в разбиениях - это тетраэдр, а его нельзя

разбить на тетраэдры меньшей формы без потери качества, не говоря уже о том, что алгоритм разбиения будет более сложный. На рисунках 2.2 - 2.3 представлено 2 варианта дробления тетраэдра: на 8 и на 27 частей [37].

Рис. 2.2. Дробление тетраэдра на 8 частей.

Рис. 2.3. Дробление тетраэдра на 27 частей.

Методы на основе шаблонов применимы для областей определённой геометрической формы (треугольник, тераэдр, и т.д.). Для каждой фигуры используется свой шаблон - заранее определённый набор вершин и связей между ними. На рисунках 2.4 - 2.7 представлены примеры шаблонов разбиения для четырёхугольника, треугольника, круга, цилиндра и куба.

Объединение методов дробления и шаблонов позволяет осуществлять сгущение сетки на определённых участках (рисунок 2.8). Также это позволяет существенно снизить количество программируемых шаблонов.

Методы отображения позволяют перейти от областей простой (шаблонной) геометрической формы к их изопараметрическим аналогам. Для построения отображения из шаблонного разбиения в произвольное используется система барицентрических координат, которая однозначно

Рис. 2.4. Шаблоны разбиения четырёхугольника.

Рис. 2.5. Шаблоны разбиения треугольника.

Рис. 2.6. Шаблоны разбиения круга и цилиндра.

Рис. 2.7. Шаблоны разбиения куба на 6 и 5 тетраэдров.

связывает положение любой точки шаблона с неким множеством базисных точек изопараметрического аналога. В качестве базисных точек обычно выбираются вершины и середины сторон. Подставив базисные

Рис. 2.8. Пример сгущения 'разбиения.

координаты своего объекта в уравнение, можно получить координаты всех остальных точек шаблона.

На рисунке 2.9 изображены изопараматрические отображения первого и второго порядков для прямоугольника и треугольника.

Рис. 2.9. Примеры изопараметрических отображений для прямоугольника и

треугольника.

В [17] приведены функции вычисления координат точки L(lx; ly), являющейся образом точки P(px;py), на основе барицентрических координат различных геометрических симплексов. Существует также и обратная задача - нахождение координат точки P(px; py), являющейся прообразом точки L(lx; ly). Для её нахождения используется метод Ньютона, также известный как метод касательных.

В силу искажения сетки при отображении шаг сетки необходимо делать много меньше радиуса кривизны элемента. В противном случае граница изопараметрического элемента быдет плохо приближена. Методы отображения широко применяются для построения адаптивных сеток [40,41]. На рисунках 2.10 - 2.12 приведены примеры отображений различных геометрических объектов.

В силу ограниченности области применения каждого из прямых ме-

Рис. 2.10. Примеры изопараметрических отображений геометрических

объектов.

НЕЕН

Рис. 2.11. Отображение разбиения четырёхугольника.

Рис. 2.12. Отображение разбиения параллелепипеда.

тодов отдельно использование комбинации из всех трёх методов вместе позволяет существенно расширить возможности подхода.

Главным преимуществом итерационных методов является возможность работы с областями произвольной геометрической формы. Из недостатков следует отметить ресурсоёмкость, существенно меньшую скорость и надёжность работы и сложность реализации в сравнении с прямыми методам. Из-за своей универсальности итерационные методы по-

лучили наибольшее развитие. Разработано множество различных алгоритмов, которые можно разделить на три основных класса: методы граничной коррекции, методы исчерпывания и методы на основе критерия Делоне [39].

Построение сетки на основе метода граничной коррекции выполняется следующим образом. Сначала разбивается некая простейшая область (квадрат в двумерном случае, куб - в трёхмерном), которая включает в себя всю заданную область. Как правило, разбиение простейшей области при этом осуществляется с помощью дробления или на основе шаблонов. Затем элементы, которые полностью оказались за пределами сетки, удаляются, а те, что частично вылезли за пределы заданной области, проецируются на границу и трансформируются.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сапожников Андрей Александрович, 2020 год

Литература

[1] Armstrong A. G. GFUN3D User Guide, RL-76-029/A. 1976.

[2] Halacsy A. A. Proc.3rd Intern. Conf. on Magnet Technology // Hamburg. 1970.

[3] Friedman M. J. Mathematical Study of the Nonlinear Singular Integral Magnetic Field Equation I // SIAM Journal on Applied Mathematics.

1980. Vol. 39, no. 1. P. 14-20.

[4] Friedman M. J. Mathematical Study of the Nonlinear Singular Integral Magnetic Field Equation II // SIAM Journal on Numerical Analysis.

1981. Vol. 18, no. 4. P. 644-653.

[5] Abramowitz M., Stegun I. Handbook of Mathematical Functions with Functions, Graphs, and Mathematical Tables // National Bureau of Standards // Applied Mathematics Series. 1964.

[6] Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.:Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

[7] Акишин П. Г., Сапожников А. А. Метод объемных интегральных уравнений в задачах магнитостатики. Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. М.: Изд-во Российского университета дружбы народов, 2014.

[8] Akishin P. G., Sapozhnikov A. A. Linear Approximation of Volume Integral Equations for the Problem of Magnetostatics // Mathematical Modeling and Computational Physics. (MMCP 2017) / EPJ Web Conferences 173, 03001. 2017.

[9] Akishin P. G., Sapozhnikov A. A. The volume integral equation method in magnetostatic problem // Discrete and continuous models and applied computational science, 2019;27(1):60-69. ISSN: 2658-4670 / Peoples' Friendship University of Russia. 2019.

[10] Stratton J. A. Electromagnetic theory. MCgraw-hill, 1941.

[11] Жидков Е. П. и др. Некоторые вопросы математического моделирования ускорителей // Математическое моделирование. 1994. Vol. 6. n.6. 32-46.

[12] Jackson J. D. Classical Electrodynamics, 2nd edition, John Wiley, New York. MCgraw-hill, 1975.

[13] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1988.

[14] Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: Изд-во МФТИ, 2004.

[15] Armstrong A. G., Collie A. M., Diserens C. J. New Developments in the Magnet Design Computer Program GFUN. RL-75-066. Also in Proc. 5th Int. Conf. on Magnet Technology, Rome.

[16] Акишин П. Г. Метод интегральных уравнений в задачах магнитостатики: Автореф. дис. канд. физ.мат. наук. 11-83-558. ОИЯИ, Дубна, 1983.

[17] Zienkiewicz O. C. The finite element method in engineering science. MCgraw-hill, London, 1971.

[18] Зинкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.

[19] Oden J. T. Finite Elements of Nonlinear Continua // McGraw-Hill // New York. 1972.

[20] Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

[21] Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.

[22] Strang G., Fix G. An analysis of the finite element method. Prentice-Hall, 1973.

[23] Aubin J. P. Approximation of Elliptic Boundary-Value Problems. Wiley-Interscience, 1972.

[24] Babushka I., Rheinboldt W. C. A-posteriori error estimates for finite element method // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1978.

[25] Berzins M. Mesh quality: a function of geometry, error estimates or both // 7th International Meshing Roundtable: Proceedings. 1998. P. 229238.

[26] Fleishmann P., Kosik R., Selberherr S. Simple mesh examples to illustrate specific finite element mesh requirements // 8th International Meshing Roundtable: Proceedings. 1999. P. 241-246.

[27] Freitag L. A., Ollivier-Gooch C. 6th International Meshing Roundtable: Proceedings. Sandia National Laboratories, Park City, P. 249, 1997.

[28] Krizek M. On the maximum angle condition for linear tetrahedral elements. 1992. Vol. 29, no. 2. P. 513-520.

[29] Cendes Z. Magnetic field computation using Delaunay triangulation and complementary finite element methods // IEEE Trans. on Magnetics. 1983. Vol. 19.

[30] Дворников М. В., Тишкин В. Ф., Филатов А. Ю. Триангуляция произвольной многосвязной области со сложной границей. М., 1995. 32 с.

[31] Buratynski E. K. A three-dimensional unstructured mesh generator for arbitrary internal boundaries // Numerical Grid Generation in Computational Fluid Mechanics: Proceedings. Pineridge Press, Swansea. 1988. P. 621-631.

[32] Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики // М.: Наука, 1992. 424 с.

[33] ANSYS. http://www.ansys.com/.

[34] Скворцов А. В. Триангуляция Делоне и её применение // Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. - 128 с. ISBN 5-7511-1501-5.

[35] Frey P. J., Borouchaki H., George P. L. Delaunay tetrahedralization using an advancing front approach // 5th International Meshing Roundtable: Proceedings // Sandia National Laboratories, Pittsburgh. 1996. P. 31-46.

[36] Делоне Б. Н. О пустой сферы. Изв. АН СССР. ОМЕН. №4. С. 793800. 1934.

[37] Щеглов И. А. дис. канд. физ.мат. наук: 05.13.18 Дискретизация сложных двумерных и трёхмерных областей для решения задач математического моделирования. Москва. 2006.

[38] Галанин М. П., Щеглов И. А. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных пространственных областей: прямые методы. М., 2006. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, № 10).

[39] Галанин М. П., Щеглов И. А. Разработка и реализация алгоритмов трехмерной триангуляции сложных пространственных областей: итерационные методы. М., 2006. 32 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №9).

[40] Дарьин Н. А., Мажукин В. И. Математическое моделирование нестационарных двумерных краевых задач на сетках с динамической адаптацией. Математическое моделирование. УДК: 519.63+618.61. 29-43, 1989.

[41] Круглякова Л. В. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики (обзор). Математическое моделирование. 10:3, 93-116, 1998.

[42] Shimada K., Gossard D. C. Bubble mesh: automated triangular meshing of non-manifold geometry by sphere packing // 3rd Symposium on Solid Modeling and Applications: Proceedings. ACM, New York, 1995.

[43] Shimada K., Yamada A., Itoh T. Anisotropic triangular meshing of parametric surfaces via close packing of ellipsoidal bubbles // 6th International Meshing Roundtable: Proceedings. Sandia National Laboratories, Park City, 1997.

[44] Branets L., Carey G. F. Cell quality metric and variational grid smoothing algorithm // 12th International Meshing Roundtable: Proceedings. Sandia National Laboratories, Santa Fe, 2003.

[45] Parthasarathy V. N., Graichen C. M., Hathaway A. F. A comparison of tetrahedron quality measures // Finite Elements in Analysis and Design. 1993.

[46] Доброскок В. Л., Чернышов С. И. Критерии качества триангуляции 3D моделей промышленных изделий. Симферополь. ISBN 2078-7499. 2011.

[47] Compressed Baryonic Matter (CBM). http://www.gsi.de/work/forschung/cbmnqm/cbm.htm.

[48] Nuclotron-based Ion Collider farility. http://nica.jinr.ru/.

[49] JINRLIB. http://wwwinfo.jinr.ru/programs/jinrlib/3dfemmesh/.

[50] Simkin J., Trowbridge C. W. Three dimensional non-linear electromagnetic field computations using scalar potentials. IEE Proc., vol. 127, n.6.

[51] Hannaby S. A. A mapping method for mesh generation // Comput. Math. Application. 1988. Vol. 16, no. 9. P. 727-735.

[52] Иванов Е. Г. Автоматическая генерация трехмерных неструктурированных сеток для вычислительной механики. Вычислительные технологии. Vol. 31, n. 1, 2006.

[53] Durbeck L. Evaporation: a technique for visualizing mesh quality // 8th International Meshing Roundtable. Sandia National Laboratories, South Lake Tahoe, 1999.

[54] Fischer E. Full size model manufacturing and advanced design status of the SIS100 main magnets. WAMSDO at CERN, 2008.

[55] An international accelerator facility for beams of ions and antiprotons. http://www.gsi.de/fair/.

[56] Акишин П. Г. Численное моделирование магнитостатических полей на ЭВМ, Дис. д-ра физ.-мат. наук. ОИЯИ, Дубна, 1993.

[57] Meijerink J. A., van der Vorst H. A. An iterative solution method for linear systems, of which the coefficient matrix is a symmetric M-matrix. 1977. Vol. 31, no. 137. P. 148-162.