Гуманитарная направленность курса "Практикум по решению математических задач" для студентов педагогических вузов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Марина, Елена Владимировна

• Марина, Елена Владимировна
• кандидат педагогических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Марина, Елена Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I Теоретические основы гуманитарной направленности курса «Практикум по решению математических задач».

§ 1. Развитие личности как цель современного образования.

§ 2. Гуманитаризация математического образования.

§ 3. Гуманитарная направленность курса «Практикум по решению математических задач».

Глава II. Методические аспекты реализации гуманитарной направленности курса «Практикум по решению математических задач».

§ 1. Особенности творческой деятельности студентов в процессе изучения курса «Практикум по решению математических задач».

§ 2 Обучение аналогии в процессе изучения практикума по решению математических задач.

§ 3. Формирование метода обобщения при решении математических задач.

§ 4. Профессионально-педагогическая направленность курса «Практикум по решению математических задач» в контексте гуманитаризации образования.

§ 5. Описание педагогического эксперимента.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гуманитарная направленность курса "Практикум по решению математических задач" для студентов педагогических вузов»

Современное общество предъявляет повышенные требования к специалистам различных отраслей знаний, в том числе и к учителям математики, ибо образование стало одним из ведущих факторов социально-экономического развития общества.

Между тем современное образование уже далеко не в полной мере соответствует запросам общества, не обеспечивая становление духовно зрелой, подлинно свободной личности, способной осмыслить и принять человеческие ценности, благодаря сформированности нового гуманистического мировоззрения.

Все это делает более интенсивным процесс реформирования системы образования, который проявляется в изменении управления образованием, в появлении новых типов учебных заведений (лицеи, гимназии, колледжи, негосударственные университеты и филиалы), в обновлении содержания преподаваемых дисциплин, в создании новых моделей и технологий образования, в использовании последних достижений педагогической науки и новейших информационных технологий.

Среди основных направлений совершенствования математического образования важное место занимает его гуманитаризация, понимаемая как приобщение учащихся к духовной культуре, творческой деятельности, методологии открытия нового знания. Очевидно, проблема гуманитаризации образования не может быть успешно решена без соответствующей ориентации подготовки учителя.

Проблеме исследования содержания различных аспектов реализации гуманитарной направленности образования посвящен ряд работ философов, психологов, педагогов и методистов (Ю.Н. Афанасьев, В.И. Данильчук, В.П. Зинченко, А.А. Касьян, И.М. Орешников, В.М. Шепель и др.).

Авторы исследований указывают на значимость соответствующей работы в школе и в вузе, выделяют направления и условия ее формирования на основе определенных общетеоретических позиций. Применительно к математическому образованию отдельные компоненты гуманитарного потенциала данной дисциплины рассматривались в работах

A.Д. Александрова, A.JI. Вернера, А.В. Гладкого, Г.Д. Глейзера,

B.А. Гусева, Г.В. Дорофеева, А.В. Дорофеевой, Т.А. Ивановой, А.Г. Мордковича, Т.С. Поляковой, Г.И. Саранцева, А.А. Столяра, Н.А. Тереишна и др. Одни авторы сводят гуманитаризацию к развитию логического мышления посредством математики, другие предлагают усилить в содержании прикладные аспекты математики, особенно в традиционных гуманитарных областях знания. Наиболее радикальные рекомендации в рассматриваемом ракурсе предусматривают полный отказ от систематических курсов алгебры и геометрии, существенное снижение уровня логической строгости изложения материала, нашедшие свое отражение и в учебных образовательных стандартах России. Такая интерпретация идеи гуманитаризации математического образования оспаривается некоторыми исследователями, которые связывают содержание этого понятия с приобщением учащихся к духовной культуре, включающей в себя, в частности, усвоение элементов методологии творческой деятельности (Т.А. Иванова, Г.И. Саранцев).

Наблюдающийся большой разброс во мнениях о рассматриваемом феномене усугубляется фактическим отсутствием исследований по проблеме усиления гуманитарной ориентации подготовки будущих учителей математики в вузе. В виде исключения следует указать докторскую диссертацию Т.А. Ивановой, имеющую определенное методологическое значение в контексте рассматриваемой проблематики. Вместе с тем отметим, что в практическом плане данное исследование в основном затрагивает реаЛизацию гуманитарного потенциала цикла методических дисциплин, не касаясь при этом предметной математической подготовки студентов.

Очевидно, одним из основных условий гуманитаризации математического образования является соответствующая ориентация профессионально-педагогической подготовки будущих учителей математики. Особое место при этом занимает курс "Практикум по решению математических задач" (ПРМЗ), служащий своеобразным "мостиком" между циклами математических и методических дисциплин. Эффективность данного курса во многом определяется, на наш взгляд, использованием таких приемов учебной деятельности, которые позволиЯи бы студентам не только овладеть прочными умениями и навыками решения определенных классов математических задач, но и создать условия для осознания ими ведущих методов и средств научного познания. Такой подход предполагает выдвижение во главу угла эвристической составляющей учебно-познавательной деятельности студентов по составлению, исследованию и решению задач. Приобретая опыт осознанного использования основных мыслительных приемов (обобщения, классификации, аналогии, индукции), будущие учителя получают возможность "выйти" в перспективе на целенаправленную реализацию гуманитарной направленности школьного курса математики.

Имеется ряд диссертационных исследований, в которых затронуты отдельные аспекты гуманитаризации процесса обучения решению математических задач в курсе «Практикум по решению математических задач».

Так, исследование JI.H. Евелиной (57) содержит реализацию концепции профессионально-педагогической направленности в курсе элементарной геометрии - одном из важнейших курсов в системе профессиональной подготовки будущих учителей. Проблема обучения студентов решению задач, как одному из видов профессиональной деятельности, не остается без внимания различных исследователей. Исследование B.C. Дувановой (56) посвящено проблеме обучения студентов поиску решения алгебраических задач. Автором обосновывается зависимость методических умений и навыков будущих учителей от эффективности подготовки студентов к руководству деятельностью учащихся по решению задач, которая, по мнению автора, обеспечивается специально разработанной системой дидактических заданий, на основе которой моделируется деятельность учителя математики. Автор предлагает определить в практикуме "Обязательные результаты обучения" в* виде системы задач, задающих нижний уровень подготовки учителя. Одной из главных задач в обучении студентов автор считает формирование у них обобщенных приемов решения учебных задач: выделение, нахождение, конструирование алгоритмов и эвристических схем; рассмотрение частных случаев; использование средств наглядности.

Д.Т. Белешко (18) считает, что необходимым условием совершенствования профессиональной подготовки учителей математики в вузе является повышение методической направленности ПРМЗ, приближение его содержания к требованиям будущей педагогической деятельности студентов. Профессиональная подготовка характеризуется определенными признаками как в области овладения специальностью, так и в области подготовки к будущей деятельности. В соответствии с этими признаками в содержании тематики учебно-исследовательских задач выделены следующие направления: формирование эвристических приемов; использование алгоритмов и блок-схем при решении задач; составление задач студентами, самоконтроль при решении; предупреждение ошибок при решении планиметрических задач; решение геометрических задач различными способами, среди которых рассматриваются такие, как алгебраический, векторный, метод координат, метод геометрических преобразований, метод доказательства от противного.

В работе М.К. Саядяна (161) описано понятие "основы профессионального мастерства учителя математики", которые входят в качестве ведущего компонента выдвинутой концепции обучения решению математических задач в педвузе. Для построения системы обучения математике на основе составленной в этом исследовании концепции выделены основные условия, необходимые для реализации методической функции задач:

- систематическое и целенаправленное обученйе студентов выделению этапов процесса решения задач;

- методическое сопоставление различных способов решения одной и той же задачи;

- комментарии преподавателя к задаче и ее научной и методической ценности;

- методические комментарии преподавателя по всей системе задач, рассмотренной на данном практическом занятии.

Исходя из перечисленных условий, сформулированы требования к отбору системы задач, предлагаемой для практического занятия по математике в педвузе. Автором разработана программа курса ПРМЗ, основанная на выделении содержательно-методических линий школьного курса математики, что позволяет курсу ПРМЗ выполнить координирующую и связующую роль в деле обучения студентов решению задач.

Несмотря на большое количество работ, касающихся методики изучения курса ПРМЗ, их авторы рассматривают лишь отдельные аспекты гуманитаризации процесса обучения решению математических задач, такие, как формирование разнообразных эвристических приемов, применение содержательных аналогий при поиске пути решения, возможности организации работы по составлению задач в контексте профессиональной направленности курса "Элементарная математика".

В целостном же виде проблема гуманитаризации процесса обучения решению задач будущих учителей математики в курсе Г1РМЗ в названных исследованиях не рассматривались.

Недостаточная теоретическая разработанность проблемы является, в частности, одной из основных причин того, что у большинства будущих, да и начинающих учителей в результате знакомства с большим количеством задач при изучении предметных математических курсов складывается ошибочное представление о существовании необозримого количества различных методов и творческих приемов решения математических задач, разобраться в которых очень сложно. В результате, приходя в школу, эти учителя оказываются не готовы в достаточной мере управлять деятельностью учащихся по решению задач, подавляют их инициативу и навязывают собственные пути решения. Попытка же "гуманитаризиро-вать" процесс обучения математике на основе насыщения уроков историческими фактами, воображаемыми путешествиями, театрализированными постановками, как правило, приводит к совершенно противоположному по отношению к гуманитарной культуре "легковесному" взгляду на предмет.

Проведенный анализ позволяет констатировать отсутствие методических исследований, рассматривающих с определенных общетеоретических позиций проблему гуманитаризации процесса обучения решению задач будущих учителей математики в курсе ПРМЗ. В частности, в имеющихся работах специально не рассматривались такие вопросы, как выявление роли гуманитаризации математического образования в профессионально- педагогической подготовке студентов-математиков, выделение гуманитарного потенциала курса ПРМЗ, а также возможности его реализации в практике изучения данного курса, преломление этого потенциала в призме последующей педагогической деятельности будущих учителей математики, а также некоторые другие.

Все сказанное свидетельствует о наметившемся противоречии между потребностью в научно обоснованной методике реализации гуманитарной направленности обучения решению математических задач в курсе ПРМЗ и ее фактическим состоянием. Необходимость разрешения этого противоречия определяет актуальность проблемы исследования, которая заключается в поиске путей совершенствования профессиональной подготовки будущих учителей математики на основб реализации гуманитарной направленности курса ПРМЗ.

Объект исследования - процесс обучения студентов решению математических задач в курсе ПРМЗ и условия организации этого процесса.

Предмет исследования - гуманитарный потенциал содержания учебного предмета ПРМЗ и условия его реализации в педвузе.

Целью исследования является разработка содержания гуманитарной направленности курса ПРМЗ и методического аппарата, обеспечивающего эффективность ее реализации.

Гипотеза исследования: качественный уровень специальной и методической подготовки студентов повысится, если разработать курс ПРМЗ на основе целенаправленной гуманитаризации и внедрить его. В частности, это позволит моделировать на практических занятиях в педвузе гуманитарно ориентированную деятельность школьников по решению математических задач.

Проблема, цель и гипотеза исследования обусловили следующие частные задачи:

1. Выполнить анализ соответствующей методической и психолого-педагогической литературы с целью выявления различных подходов к содержанию понятия гуманитаризация математического образования на современном этапе его развития;

2. Выделить основные составляющие гуманитарного потенциала содержания профессиональной подготовки будущих учителей математики;

3. Разработать основные направления реализации гуманитарного потенциала содержания ПРМЗ и их конкретные интерпретации.

4. Экспериментально проверить эффективность разработанных методических положений.

Для решения поставленных задач использованы теоретические и эмпирические методы исследования.

Теоретическое исследование включает в себя:

-изучение и анализ отечественной литературы по теории и методике обучения математике, философии, психологии, педагогике, элементарной математике;

-логико-дидактический анализ программ, сборников задач, действующих учебников и методических пособий по курсу ПРМЗ.

Эмпирическая часть исследования состоит из констатирующего, поискового и обучающего экспериментов.

Кроме того, использованы:

-наблюдение за ходом обучения студентов решению задач в курсе

ПРМЗ и анализ его результатов;

-обобщение опыта преподавателей педвузов;

-анкетирование учителей и студентов;

-методы статистической обработки результатов эксперимента.

Научная новизна работы состоит в том, что проблема совершенствования методической подготовки студентов педвузов решается на основе внедрения гуманитарно ориентированного курса ПРМЗ.

Теоретическая значимость исследования заключается в разработанном целостном подходе к выявлению гуманитарной направленности математических курсов, изучаемых в педвузе, и ее реализации.

Практическая значимость результатов исследования заключается в разработке конкретных учебных материалов, и методики их реализации обеспечивающих гуманитарную направленность курса ПРМЗ. Представленный методический аппарат обладает свойством эвристичности и может быть использован преподавателями математических дисциплин педвузов, а также учителями математики средних школ.

Методологическую основу исследования составили работы по проблемам диалектического единства теории и практики, развития личности, теории познания; концепции деятельностного подхода, профессионально-педагогической направленности математических дисциплин, гуманизации и гуманитаризации образования; труды психологов и специалистов в области теории и методики обучения математике.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечиваются опорой на фундаментальные положения методики обучения математике, теории развития личности педагогических способностей, опыт работы кафедры геометрии ПГПУ им. В.Г. Белинского и собственный опыт работы преподавателем кафедры, совокупностью разнообразных методов исследования, адекватных его задачам, а также итогами проведенного эксперимента.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Определение гуманитарного потенциала курса ПРМЗ целесообразно осуществлять исходя из анализа структуры личности, включающей интеллектуальный компонент в единстве с педагогическими способностями.

2. Содержание работы по гуманитаризации изучения курса ПРМЗ включает следующие аспекты:

- направленность на осознание значимости математики как универсального метода познания действительности;

- оснащение содержания курса ПРМЗ методологическими знаниями, включающими в себя определенные общенаучные понятия, методы и приемы творческой деятельности, а также условия и пути их развития;

- организация творческой деятельности студентов по решению и составлению математических задач на занятиях ПРМЗ.

3. Указанные аспекты гуманитарной направленности курса "Практикум по решению математических задач" должны осуществляться в контексте обеспечения возможности их выхода в перспективе на целенаправленную гуманитаризацию процесса обучения математике в школе.

На защиту также выносятся программа и методические рекомендации по изучению курса ПРМЗ в педагогическом вузе.

Исследование проводилось поэтапно.

На первом этапе (1990-1995г.г.) осуществлялся анализ психолого-педагогической и методической литературы в русле проблемы усиления гуманитарной составляющей курса ПРМЗ с целью выявления теоретических основ решения данной проблемы.

На втором этапе (1996-1997г.г.) разрабатывались методические материалы, системы задач, апробировались возможные варианты их использования в педагогической практике с целью выбора наиболее эффективных методических решений в аспекте проблемы исследования.

На третьем этапе (1998-1999г.г.) проводился педагогический эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики, изучались его итоговые результаты, формулировались выводы исследования. Разработанные методические решения были реализованы применительно к отдельным темам курса ПРМЗ (в виде пяти учебно-методических пособий, а также в виде методических материалов по темам: "Площади фигур", "Применение геометрических преобразований к решению задач элементарной геометрии", "Задачи на максимум и минимум").

Апробация результатов диссертационного исследования осуществлялась в виде докладов и обсуждений основных вопросов на заседаниях научно-методического семинара кафедры геометрии Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г.Белинского (19951999 годы), Международной научной конференции (Черновцы, 1998 год), Международной научно-практической конференции (Пенза, 1999 год), Всероссийской научной конференции (Саранск, Г998 год), межрегиональной научной конференции (Киров, 1998год). По теме исследования имеется 11 публикаций.

Внедрение разработанных методических материалов осуществлялось на практических занятиях по курсу ПРМЗ и методики преподавания математики в Пензенском государственном педагогическом университете имени В.Г. Белинского. В экспериментальной работе участвовали преподаватели ПРМЗ названного вуза, а также учителя математики старших классов школ N11 и N47 г. Пензы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы, приложений.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Марина, Елена Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Формирование в комплексе математических и педагогических способностей будущих учителей математики в педвузе предполагает полноценную реализацию гуманитарной составляющей содержания математических курсов, включающую в себя:

- осознание роли математики как универсального метода познания действительности;

- оснащение предметного математического содержания методологическими знаниями, включающими в себя определенный общенаучный понятийный аппарат, методы научного поиска, сведения по истории развития науки, иллюстрирующие условия и пути возникновения и совершенствования математических понятий, идей и методов;

- организацию творческой поисковой деятельности студентов в соответствии с логикой научного познания.

2. Анализ учебных пособий по курсу "Практикум по решению математических задач" и изучение реального состояния подготовки будущих учителей математики позволяет сделать вывод о том, что гуманитарный потенциал указанного курса реализуется далеко не полностью. Отдельные приемы, "гуманитаризирующие" предметную подготовку студентов в педвузе (методы научного поиске, приемы творческой деятельности при поиске пути решения задач, составление задач-аналогов, задач-обобщений), реализуются преимущественно стихийно, от случая к случаю, не позволяя формировать у них ценностное отношение к процессу формирования математического знания.

3. В качестве основных направлений реализации гуманитарного потенциала курса ПРМЗ целесообразно выделить следующие:

- корректировка содержания и перестройка структурной организации указанного курса с точки зрения включения и выделения задач, направленных на полноценное формирование общенаучных методов познания и приемов творческой деятельности;

- упор на рефлексию используемых методов студентами в процессе . деятельности по решению математических задач;

- выделение возможностей выхода в перспективе на целенаправленное формирование соответственных интеллектуальных умений в реальной практике преподавания математики в школе на основе сформированных в вузе методических решений;

- оптимизация индивидуальной и групповой работы студентов в плане усиления внутрипредметных содержательных связей между циклами математических и методических дисциплин.

В работе представлена методика формирования общенаучных методов познания: обобщения и аналогии и приемов творческой деятельности в курсе ПРМЗ, лежащая в основе его целенаправленной гуманитаризации. Ключевую роль в этой методике играет полноценная реализация возможностей использования указанных приемов и методов студентами при поиске пути решения задач элементарной геометрии и составление циклов взаимосвязанных задач.

Результаты апробации и внедрения предложенных методических подходов свидетельствуют о возможности и целесообразности их использования в практике изучения курса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Марина, Елена Владимировна, 2000 год

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики /пер. с франц. М.А. Шаталовой и О.П. Шаталова.- М.: Советское радио, 1970. -150с.

2. Адамар Ж. Элементарная геометрия, ч.1. -М.: Просвещение, 1948. -608с.

3. Александров А.Д. О геометрии //Математика в школе. 1980. - №3.- С.56-62.

4. Александров П. Математика и человеческая культура //Квант. -1982. № 8. -С.2-3.

5. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Элементарная геометрия. -М.: Просвещение, 1961. -261с.

6. Арнольд В.И. Математика с человеческим лицом // Природа. -1988, -№3. -С. 117-119.

7. Артемов А.К. Использование аналогии в обучении математике // Начальная школа. 1987. - №3. - С.36-38.

8. Артемов А.К. Приемы организации развивающего обучения. Математика // Начальная школа. 1995. - №3. -С.35-39.

9. Архангельский С.И. Лекции по научной организации учебного процесса в высшей школе. М.: Высшая школа, 1975. - 199с.

10. Архангельский С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы. М.: Высшая школа, 1980. -368с.

11. Атанасян JI.C., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. М.: Сантакс-Пресс. 1997. -304с.

12. Афанасьев Ю.Н.Модель гуманитарного знания современной России // Возрождение культуры России: гуманитарные знания и образование сегодня. СПб, 1994. -С.5-24

13. Бабанский Ю.К. Избранные педагогические труды. -М.: Педагогика, 1985. -559с.

14. Балк МБ., Балк Г.Д. Поиск решения: Научно-популярная лит-ра. -М.: Дет.лит., 1983. -143с.

15. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. -М.: Просвещение, 1971.-462с.

16. Балл Г.А. Теория учебных задач. Психолого-педагогический аспект. -М.: Педагогика. 1990. -148с.

17. Батьканова Н.И. Профессионально-педагогическая направленность обучения элементарной геометрии студентов педвузов: Дис.канд. пед. наук. Саранск, 1995. -168с.

18. Белешко Д.Т. Содержание и методика проведения в пединституте практикума по решению задач по математике: Дис. . канд. пед. наук. -Киев, 1988. -203с.

19. Беляев Е.А. К вопросу о структурно-функциональных характеристиках аналогии // Философские науки. -1967. -№6. -С.6-26.

20. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д., Черкасов Р.С. К вопросу о перестройке общего математического образования / Повышение эффективности обучения математике. М.: Просвещение, 1989. -С.231-238.

21. Бондаревская Е.В. Гуманистическая парадигма личностно ориентированного образования // Педагогика. -1997. №4. -С. 11-17.

22. Брунер Дж. Психология познания / Пер. с англ. Предисл. и общ. ред. А.Р. Лурия. -М.: Прогресс, 1977. 412с.

23. Буй Зуи Хынг. Метод аналогии при обучении решению стереометрических задач в средней школе: Дисс. канд. пед. наук. СПб., 1991.- 164 с.

24. Василевский А.Б. Обучение решению задач по математике. -Минск, 1988. -255с.

25. Вересова Е.Е., Денисова Н.С., Полякова Т.Н. Практикум по решению математических задач: Учеб. пособие для пед. ин-тов. -М.:1. Просвещение, 1979. -240с.

26. Вернер A.JI. Цикл учебников по геометрии // Математика в школе. -1996. -№6. -С.34-37.

27. Возрождение культуры России: гуманитарные знания и образование сегодня. СПб, 1994. -112с.

28. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады. -М.: Просвещение, 1989. -303с.

29. Геометрические построения //Методические рекомендации для учителей школ и студентов по физ-мат. спец. / Сост. ГоршковаЛ.С., Марина Е.В. -Пенза: ПГПУ, 1997. -76с.

30. Геометрические построения на плоскости //Методические рекомендации для учителей школ и студентов по физ-мат. спец. / Сост. Горшкова JI.C., Марина Е.В. Пенза: ПГПИ, 1988. -76с.

31. Георгиев B.C. Опыт активизации деятельности школьников на основе использования циклов задач //Математика в школе. -1988.- №1. -С.77-78.

32. Герасимова А.Д. Обоснование дополнительных построений при доказательстве теорем // Математика в школе. -1994. -№5. -С.30-33.

33. Гингулис Э.Ж. Развитие математических способностей учащихся // Математика в школе. -1990. № 1. -С. 14-17.

34. Гладкий А.В. Об уровне математической культуры выпускников средней школы // Математика в школе. 1990. -№4. -С.7-9.

35. Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии // Математика в школе. -1991. -№4. -С.68-71.

36. ГлейзерТ.Д., Черкасов Р.С. Центр творческих усилий педагогов // Математика в школе. -1993. -№5. -С.2-7; -№6. -С.2-5.

37. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М.: Просвещение, 1985. -192с.

38. Гнеденко Б.В. Математическое образование в вузах: Учеб. мет. пособие. М.: Высш. школа, 1981. -174с.

39. Гнеденко Б.В., Черкасов Р.С. О преподавании математики в предстоящем тысячелетии //Математика в школе. -1996. -№1. -С.52-54.

40. Горский Д.П. и др. Краткий словарь по логике / Д.П.Горский, А.А. Ивин., А.Л. Никифоров; под ред. Д.П. Гврского. -М.: Просвещение, 1991. -207с.

41. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. -М.: Просвещение, 1996. -240с.

42. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. М.: Педагогика, 1977. -136с.

43. Грудёнов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. -М.: Педагогика, -1987. -158с.

44. Грудёнов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. -М.: Просвещение, 1990. -220с.

45. Гуманизация науки и гуманитаризация образования: Научно-аналитический обзор. -М., 1995. -82с.

46. Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе: Тезисы докладов XV Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов, посвященного 200-летию РГПУ им. А.И. Герцена (бывш. Воспитательного дома). СПб., 1996. -191с.

47. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. Воронеж, -327с.

48. Гусев В.А. Методические основы дифференцированного обученияматематике в средней школе: Дне. докт. пед. наук. -М., 1990, 364с.

49. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. -М.: Педагогика, 1972. -424с.

50. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. -М.: Педагогика, 1996. -544с.

51. Данильчук В.И. Гуманитаризация физического образования в средней школе: Монография. РГПУ, ВГПУ. -СПб. Волгоград: Перемена, 1996.-186с.

52. Дорофеев Г.В. Гуманитарно-ориентированный курс основа учебного предмета "Математика" в общеобразовательной школе // Математика в школе. -1997. -№4. -С.59-66.

53. Дорофеева А.В. Гуманитарные аспекты преподавания математики // Математика в школе. 1990. -№6. -С. 12-13.

54. Дубровский В. Геометрические метаморфозы //Квант. -1997.- №6. -С.26-30.

55. Дуванова B.C. Обучение студентов поиску решения задач: Дис.канд. пед. наук. Минск, 1986. -161с.

56. Евелина JI.H. Профессиональная направленность курса элементарной геометрии в педагогическом вузе: Дис. .канд. пед. наук. -М., 1993.-271с.

57. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Книга для учителя. -М.: Просвещение, 1990. -128с.

58. Жохов А.И. Методика систематического применения аналогии при формировании математических понятий и умений решать задачи у учащихся 8-летней школы: Автор, дис.канд. пед. наук. -М., 1979. -16с.

59. Задачи на построение в курсе геометрии средней школы // Методические рекомендации для учителей школ и студентов педвузов / Сост. Горшкова Л.С., Марина Е.В., Финогеева И.С. Пенза, ИУУ. -1991.-54с.

60. Закон Российской Федерации об образовании. М., 1996. - 62 с.

61. Зильберберг Н.И. Урок математики: Подготовка и проведение. -М.: Просвещение, 1996, -178с.

62. Зиновьев С.И. Учебный процесс в советской высшей школе. -М.: Высшая школа, 1975. -314с.

63. Зинченко В.П. Цели и ценности образования //Педагогика, -1997. -№5. С.3-16.

64. Зубова С.П. Формирование обобщений у учащихся 4-6 классов в обучении математике: Дис.канд. пед. наук. -Пенза, 1994. -162с.

65. Иванова Т.А. Гуманитаризация математического образования: Монография. -Н. Новгород: НГПУ, 1998. -206с.

66. Иванова Т.А. Как готовить уроки-практикумы // Математика в школе. -1990. -№6. С.37-40.

67. Иванова Т.А. Место «методики преподавания» в системе многоуровневой подготовки учителя //Математика в школе. -1996. -№6. -С.48-49.

68. Ивин А.А. Искусство правильно мыслить: Книга для учащихся старших классов. -М.: Просвещение, 1990. -237с.

69. Избранные вопросы элементарной геометрии //Методические рекомендации / Сост. Власова Л.А., Марина Е.В. -Пенза: ПГПУ, 1998. -44с.

70. Ингенкамп К. Педагогическая диагностика (Зарубежная школа и педагогика). -М: Педагогика, 1991. -240с.

71. Исследование проблем психологии творчества / Под. ред. Я.А. Пономарева М., 1983. 336с.

72. Каган М.С. Человеческая деятельность (опыт системного анализа)- М.: Политиздат, 1974. -328c.

73. Как сформировать творческую личность? // Вестник высшей школы.-1986.-№ 2. -С.72-75.

74. Калинкина Т.М. Динамические задачи как средство совершенствования процесса обучения геометрии в средней школе: Автор. дис.канд. пед. наук. Саранск, 1995. -16с.

75. Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости.- М.: Педагогика, 1981. -200с.

76. Канин Е.С. Развитие темы задачи //Математика в школе. 1991.- №3. С.8-12.

77. Касьян А.А. Гуманитаризация образования: некоторые теоретические предпосылки // Педагогика. -1998. №2. -С. 17-22.

78. Касьян А.А. Контекст образования: наука и мировоззрение.- Н. Новгород, 1996. 184с.

79. Качество знаний учащихся и пути его совершенствования /Под. ред. М.Н. Скаткина, В.В. Краевского. -М.: Педагогика. -1978. -208с.

80. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ. -М.: Мир, 1988. -295с.

81. Коксетер Г.С.М., Грейтцер СЛ. Новые встречи с геометрией. -М.: Наука, 1978. -223с.

82. Колмогоров А.Н. Математика наука и профессия. -М.: Наука, 1988. -285с.

83. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. 4.1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. -М.: Просвещение, 1977.-110с.85. колягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи. -М.: НИИ школ, 1972. -113с.

84. Конев А.Н. К проблеме методов учения школьников // Вопросы совершенствования методов учебно-воспитательной работы в школе.-Научно-исследовательский институт школ. Сборник научных трудов/Под. ред. Н.С. Сунцова. -М., 1980.

85. Концепция развития школьного математического образования // Математика в школе. 1990. - №1. -С.2-13.

86. Коул М. Культура мышления: Психол. очерк / М. Коул, С. Скрибнер.; Пер. с англ. канд. псих. наук. П. Тульвисте; под ред. и с предис. д. чл. АПН СССР А.Р. Лурия. -М.: Прогресс, 1977, -261с.

87. Краткий психологический словарь /Абраменкова В.В., Аване-сов B.C., Агеев B.C. и др. М.: Политиздат, 1985. -431с.

88. Крупич В.И. Теоретические основы обучения*решению школьных математических задач: Дис. .докт. пед. наук. -М., 1992. -395с.

89. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968. -432с.

90. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. -М.: Наука, 1985. -176с.

91. Кузьмина Н.В. Мастерство учителя как фактор развития способностей учащихся // Вопросы психологии. -1984. №1. -С.20-26.

92. Кузьмина Н.В. Очерки психологии труда учителя. Психологическая структура деятельности учителя и формирование его личности. Л., ЛГУ, 1967,-183с.

93. Кузьмина Н.В Способности, одаренность, талант учителя. -Л.: Ле-нингр. орг. общ-ва "Знание" РСФСР, 1985. -32с.

94. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений. М.: Педагогика, 1970. -232с.

95. Купцов Л.П. и др. VI Всероссийская олимпиада школьников по математике // Математика в школе. -1981. -№4. -С.57-62.

96. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?: Пер. с англ. -М.: Просвещение, 1967. -559с.

97. Куценок В.Е. Окружность помогает решать задачи // Математика вшколе. -1990. -№4. -С.55-59.

98. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. ин-тов / Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко др., Под. ред. Е.И. Лященко. М.: Просвещение, 1988. -223с.

99. Леднев B.C. Содержание образования: сущность, структура, перспективы. -М.: Высш. шк., 1991. -223с.

100. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. -М.: Политиздат, 1977. -304с.

101. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. -М: Педагогика, 1981.-186с.

102. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Геометрия. -М.: АВГ, 1995. -352с.

103. Луканкин Г.Л. Научно-методические основы профессиональной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дис.в форме научного докл. докт. пед. наук. -Л., 1989. -59с.

104. Марина Е.В. Возможности реализации гуманитарной составляющей курса "Практикум по решению математических задач" // Сучасш проблеми математики: Матер1али М1жнародно1 науково1 конфе-ренцп. Частина 4. Чершвщ: Рута, 1998. -С. 175-176.

105. Марина Е.В. К вопросу о совершенствовании преподавания курса "Элементарная геометрия с ПРМЗ" //Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России: Межрегиональная научная конференция: Тез. докл. -Киров: ВГПУ, 1988. -С.52-54.

106. Марина Е.В. Реализация принципов профессионально-педагогической направленности курса "Практикум по решению математических задач" в контексте гуманитаризации образования. -Пенза: ПГПУ, 1999. С.49-50.

107. Маркова А.К. Психология труда учителя: Кн. для учителя. -М.: Просвещение. 1993. -192с.

108. Матросов B.JL, Сластенин В.А. Проектирование содержания высшего педагогического образования: гуманистическая парадигма // Известия РАО. -М., 1999. -С.22-30.

109. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника: Избр. психол. труды. М.: Педагогика, 1989. -218с.

110. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Сан-нинский. М.: Просвещение, 1980. -368с.

111. Методика преподавания математики в средней школе. /Частные методики / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Сан-нинский. М.: Просвещение, 1977. -480с.

112. Методика преподавания математики в средней школе / Общая методика. /БлохА.Я., КанинЕ.С. и др.; Сост. Р.С.Черкасов, А.А. Столяр. -М.: Просвещение, 1985. 336с.

113. Михайлов Ф.Т. Всегда ли мы знаем то, что знаем? //Управление школой. 1996. Ноябрь. -№2.

114. Мишин В.И. Учитесь обучать решению геометрических задач. М., -1993. -57с.

115. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дис. .докт. пед. наук. М., 1986. -355с.

116. Низамов Р.А. Дидактические основы активизации учебной деятельности студентов. Казань, 1975. -302с.

117. Никандров Н.Д., Кан-Калик В.А. Творчество как условие профессиональной подготовки будущего учителя // Советская педагогика. -1982. №4. -С.90-92.

118. Нойнер Г. Вопросы теории социалистического общего образования. Пер с нем. -М., 1975.

119. Орешников И.М. Феномен гуманитарной культуры: сущность, диалектика бытия, назначение: Дис,.докт. философ, наук. -Уфа, 1995. -274с.

120. Орлов В.В. Основной курс школьной геометрии в структуре непрерывного математического образования // Теоретические и методические проблемы подготовки учителя в системе непрерывного образования. Мурманск, 1997. -С.80-85.

121. Осинская В.Н. Формирование у старшеклассников приемов умственной деятельности в процессе обучения математике: Дис. канд. пед. наук. -Киев, 1978 -172с.

122. Открытое письмо преподавателей МГУ Министерству общего и профессионального образования РФ //Математика в школе. 1996. -№6. -С.2-3.

123. Понарин Я.П. Задача одна решений много // Математика в школе. -1992. -№1.-С.15-17.

124. Петровский В.А. Личность в психологии. -Ростов-на-Дону, 1996. -512с.

125. Платонов К.К. Структура и развитие личности. -М.: Наука, 1986 -255с.

126. Подласый И.П. Педагогика. -М.: Просвещение: Владос, 1996. 630с.

127. Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1961. -208с.

128. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975. -464с.

129. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1970. - 452с.

130. Потоцкий М.В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. М.: Просвещение, 1975. - 208с.

131. Практикум абитуриента: Геометрия, Выпуск 2. /под ред. А.А. Егорова. М.: Бюро Квантум, 1996. -128с.

132. Проблемы гуманитаризации математического и естественнонаучного знания: Сборник научно-аналитических обзоров. -М., 1991. -182с.

133. Программы общеобразовательных учреждений: Математика. -М., 1996. -192с.

134. Программы педагогических институтов. / Сборник № 8. М.: Просвещение, 1988. - 24с.

135. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. -4.1. -М.: Наука. 1991.- 320с.

136. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. -4.2. -М.: Наука. 1991.- 240с.

137. Пуанкаре А.О науке: Пер. с фр. / под ред. JI.C. Понтрягина. -М.: Наука, 1990. -736с.

138. Пушкин В.Н. Эвристика наука о творческом мышлении. - М., 1967. -64с.

139. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе.: Учеб. пособие. -Минск: Высш. школа. 1990. -267с.

140. Розов Н.Х. Вечные вопросы о школьном курсе математики. Чему учить? Как преподавать? //Математика в школе. -1999, -№6. -С.34-36.

141. Рувинский Л.И. Самовоспитание личности. -М.: Мысль, 1984. -140с.

142. Рузавин Г.И. Методы научного исследования. М.: Мысль, 1974. -237с.

143. Рузавин Г.И. О природе математического знания: Очерки по методологии математики. М.: Мысль, 1968. -З02с.

144. Рубинштейн C.J1. О мышлении и путях его исследования. М.: изд-во АПН СССР, 1959. - 148с.

145. Рыжик В.И. 2500 уроков математики. Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1993. -240с.

146. Садовничий В.А. и др. Задачи студенческих математических олимпиад / В.А. Садовничий, А.А. Григорьян, С.ВЖонягин. М.: Изд-во Моск. университета, 1987. -310с.

147. Самарин Ю.А. Психология студенческого возраста //Вестник высшей школы, 1969. -№68. -С. 16-21.

148. Самарин Ю.А. Способность. Педагогическая энциклопедия. М., 1968. -т.4.-С.111-113.

149. Саранцев Г.И. Гуманизация и гуманитаризация математического образования //Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе: Материалы Всероссийской научной конференции. -Саранск: МГПИ им. М.Е. Евсевьева, 1998. -С.3-5.

150. Саранцев Г.И. Гуманизация и гуманитаризация школьного математического образования // Педагогика. -1999. -№4, -С.39-45.

151. Саранцев Г.И. Гуманитаризация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики //Математика в школе. -1995,-№5. -С.36-39.

152. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: Учебное пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. -Саранск: Тип. Крас. Окт., 1999. -208с.

153. Саранцев Г.И. Теоретические основы методики упражнений по математике в средней школе: Дис.докт. пед. наук. Саранск, 1985.-303с.

154. Саранцев Г.И. Теория, методика и технология обучения. Педагогика, 1999. -№ 1. С.19-24.

155. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. -М.: Просвещение, 1995. -240с.

156. Саранцев Г.И. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях// Математика в школе. -1999. -№6. -С.36-41.

157. Саранцев Г.И. Формирование познавательной самостоятельности студентов педвузов в процессе изучения математических дисциплин и методики преподавания математики. -Саранск, 1998. -160с.

158. Саядян М.К. Методическая система обучения студентов педвузов решению математических задач: Дис.канд. пед. наук -Кировокан, 1993. -169с.

159. Семушин А.Д., Кретинин О.С., Семенов Е.Е. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. М.: Просвещение, 1978. -64с.

160. Сизова М.Н. Преемственность в формировании аналогии при обучении математике в начальной и 5-6 классах средней школы: Дис.канд. пед. наук. Самара, 1999. -186с.

161. Силаев Е.В. Методическая подготовка будущих учителей математики к дифференцированному преподаванию школьного курса геометрии. М.: Прометей, 1997. -238с.

162. Скаткин М.Н. Совершенствование процесса обучения. -М.: Педагогика, 1971. -206с.

163. Скопец З.А., Жаров В.А. Задачи и теоремы по геометрии. Планиметрия. М.: Учпедгиз, 1962. - 163с.

164. Сластенин В.А. Формирование социально активной личности учителя // Советская педагогика. 1984. - №4. - С.76-84.

165. Современные проблемы методики преподавания математики

166. Сб.статей / Сост. Антонов Н.С., Гусев В.А. -М.: Просвещение, 1985. 303с.

167. Сойер У.У. Прелюдия к математике / Пер. с анг. -2-е изд. -М.: Просвещение, 1972. -192с.

168. Солонина А.Г. Детерминанты гуманизации математического образования в педагогическом вузе // Гуманизация математического образования в школе и вузе. Материалы Всероссийской научной конференции -Саранск: МГПИ им. М.Е. Евсевьева, 1998. -С.24-31.

169. Столяр А.А. Роль математики в гуманизации образования // Математика в школе. 1990. -№6. -С.5-7

170. Столяр А.А. Педагогика математики. -Минск: Высш. школа, 1986. -412с.

171. Талызина Н.Ф. Проблемы обучения в высшей школе и пути их решения // Современная высшая школа. Варшава, 1973. - №3. -С. 19.

172. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. -М.: Изд. МГУ, 1984. -284с.

173. Теплов Б.М. Проблемы индивидуальных различий. -М. Просвещение, 1961.- 536 с.

174. Терешин Н.А. Методическая система работы учителя математики по формированию научного мировоззрения учащихся: Дис. в форме научного докл.докт. пед. наук. М., 1991. -44с.

175. Терешин Н.А. Мировоззренческая направленность методики преподавания математики. М.: Изд. "Прометей" МГПИ, 1989. -108с.

176. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании // Математика в школе -1993. -№4. -С.3-9.

177. Тучнин Н.П. Как задать вопрос? (о математическом творчестве школьников). -М.: Просвещение, 1993. -192с.

178. Уемов А.И. Логические основы метода моделирования. -М.: Мысль, 1971.-311с.

179. Уемов А.И. Аналогия в практике научного исследования. М.: Наука. 1970. -264с.

180. Федеральный компонент государственного общеобразовательного стандарта начального, общего, основного общего и среднего (полного) образования // Математика. 1996. № 42.

181. Федяев О.И. Элементарная математика в системе профессиональной подготовки учителя математики: Автор. дис.канд. пед. наук. -М., 1994. 17с.

182. Фридман JI.M. Дидактические основы применения задач в обучении. Дис.докт. пед. наук. М., 1971. -423с. ->

183. Фридман JI.M. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Просвещение, 1977.- 208с.

184. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. -М.: Просвещение, 1982. -208с.

185. Хинчин А .Я. Педагогические статьи / под ред. В.Г. Гнеденко. М.: АПН, РСФСР, 1963. 202с.

186. Цукарь А .Я. Формирование приемов умственной деятельности студентов в их научной подготовке: Учебно-метод. рекомендации для преподавателей математики и студентов 4-5 курсов. -Новосибирск, 1980. -28с.

187. Черкасов Р.С. К вопросу о роли обобщений в преподавании геометрии // Математика в школе. -1990. -№1. -С.23-26.

188. Шарыгин И.Ф. Геометрия: От учебной задачи к творческой. М.: Дрофа, 1996. -400с.

189. Шепель В.М. Управленческая гуманитарология //Высшее образование в России. -1994. -№1. -С.72-77.

190. Шатилова А.В. Обучение школьников составлению геометрических задач по готовым чертежам. Автр. дис. .канд. пед. наук. -Саранск, 1997.-16с.

191. Шукина Г.И. Роль деятельности в учебном процессе. -М.: Просвещение, 1986. -144с.

192. Эрдниев О.П. От задачи к задаче по аналогии /под ред. П.М. Эрдниева. -М.: АО "Столетие", 1998. - 288с.

193. Эрдниев П.М. Аналогия в математике. -М.: Знание, 1970. -30с.

194. Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике. -М.: Просвещение, 1960. -151с.

195. Эрдниев П.М. Укрупнение дидактических единиц как технология обучения. Ч.1.- М.: Просвещение, 1992. 175с.

196. Эрдниев П. М. Укрупнение дидактических единиц как технология обучения. Ч.2.- М.: Просвещение, 1992. 256с.

197. Эсаулов А.Ф. Активизация учебно-познавательной деятельности студентов. М.: Высшая школа, 1982. -223с.

198. Выделите в явном виде этапы решения задачи. Какие вопросы можно задать при реализации каждого этапа? Какие действия реализуются на каждом этапе?

199. Найдите длины сторон прямоугольного треугольника, для которого радиусы вписанной и описанной окружностей равны соответственно 6см и 15 см.

200. Составьте задачу аналогичную данной. Выделите аналогичные объекты и отношения, входящие в предметные области этих задач. Как использовать решение данной задачи при поиске пути решения составленной Вами задачи?

201. Докажите, что сумма расстояний от внутренней точки О равностороннего треугольника до его сторон не зависит от выбора точки.

202. Решение. Пусть а сторона треугольника ABC. Расстояние от точки О до сторон треугольника обозначим hi, I12,113. Тогда,

203. Sa4bc=Sa4oc + Saboc + $>мос; (ahi+ah2+ah3), h=hi+h2+h3.

204. Составьте несколько задач обобщений следующей задачи. Выделите, по какому параметру происходит обобщение.

205. Доказать, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин вписанного в нее правильного треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.1. Решение: qтак как ОА + ОВ + ОС = 0.

206. МВ = МО + ОВ,МА = МО + ОА, МС = МО + ОС. \

207. MA + MB + MC = 6R + MO(OA + OB + OQ = 6R,1. Рт.ЗЧ

208. Составьте несколько задач по данному рисунку в соответствии с принципом нарастающей сложности. Существуют ли общие моменты в решении этих задач? д1. Рис. 35

209. Верно ли предложенное ниже решение задачи?

210. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке О. Известно, что СО=АВ. Найти угол при вершине С.

211. Пусть СЕ и BD высоты треугольника АБС. Треугольники ABD и CDH равны, так как АВ=ОС, ZABD=90°-ZBAC=ACE. Рис. 36 Е Поэтому BD=CD; BCD - прямоугольный, следовательно, угол АС В равен 45°.

212. Приведите примеры развития темы задачи по следующим направлениям:а)использование задач с недостающими данными: б) с излишними данными.

213. Какие дидактические цели могут преследовать такие задачи на уроках в школе?

214. Выделите базовую геометрическую конфигурацию, использующуюся в задачах по теме "Многогранники".

215. Составьте несколько систем задач по каждой из выделенных конфигураций (можно отметить номера задач из школьного учебника).р Решение 1.

216. Д Пусть ABCD данная трапеция, точки/ \ К и М середины оснований ВС и AD, а Р

217. I \ точка пересечения прямых АВ и CD. О точка

218. JLAc пересечения диагоналей трапеции. Докажем,

219. Е /---— -д F что точки Р и О лежат на прямой КМ. Треf I ^ угольники PAD и РВС подобны, поэтому1. А м D PI\PB=PB\PC=к

220. Р^с.37 ТаккакРВ|рХиРС|ЩтоРА=кРЁ,

221. Й5=кРС, поэтому Ш=-(Р1+р5) = -к0+Вб)=кР$.

222. Отсюда следует, что векторы РМ и РК коллинеарны, и, значит, точка Р лежит на прямой КМ. Осталось показать, что и точка О лежит на прямой КМ. Треугольники ВОС и AOD подобны, поэтому BO^ioD,1. СП-ЮА- (Ж=- (ОЕ+б€)=2 2 2

223. Получили, что точка О лежит на прямой КМ, следовательно, всечетыре точки принадлежат одной прямой.1. Решение 2.

224. ВК2=КС\ или ВК=КС; после чего из равенств (1) и (2) следует, что AM=MD.1. Решение 3.

225. Аналогичное соотношение верно и для OF. Окончание доказательства очевидное.

226. По ходу решения нашли длину отрезка EF=2EO. Его длина равна среднему гармоническому оснований трапеции.

227. Рассмотрим полный четырехвершинник РВОС. Используя свойства полного четырехвершинника, получим, что (AD, МХ^—1, где AD — диагональ, а М — точка пересечения этой диагонали со стороной РО полного четырехвершинника.1. Решение 4.1. Решение 5.

228. На евклидовой плоскости прямые ВС и AD параллельны, значит, точка М — середина основания AD трапеции ABCD. Получили, что точки Р, О, М лежат на одной прямой. Нетрудно показать, что и точка К — середина отрезка ВС, лежит на прямой РО.1. Решение 7.

229. Точку М — середину основания ADсоединим с точками В и С. Прямые ВЫ и

230. Так как C=f(B), то B=f(C), поэтому прямая АС переходит в прямую BD, и, следовательно,точка М пересечения прямых АС и BD лежитна оси MP косой симметрии.

231. Итак, четыре точки М, О, К, Р лежат на одной прямой.1. Решение 9.

232. Решая задачу 2.1 получим, что отношение площадей равно:а) Зп(п+1)+1;б) m(n+l)+n(k+l)+k(m+l)+l.

233. На сторонах В А, АС и СВ произвольного треугольника ABC или на их продолжениях: ВА за точку А, АС - за точку СА, СВ - за точку В взяты соответственно точки Сх, ВА х так, чторавные углы, получим, что S,:S=l-3m(l-m), где m любое положительное число.

234. Исследуя полученное отношение площадей, видим, что ни при каком значении ш выражение l-3m(l-m) в нуль не обращается и точки А„а) ВСх=тВА, АВ1=тАС, САх=тСВ;б) ВСх=кВА, АВх=тАС, САх=пСВ.

235. Найти соотношение площадей треугольников АХВХ Сх и ABC.

236. В\, С\ не лежат на одной прямой.

237. Случай б) интересен в плане глубины анализа. Полученное отношение площадей треугольников А\B\C\ и ABC можно преобразовать к виду:

238. S1:S=1 -m( 1 -k)-n( 1 -m)-k( 1 -n) или Si:S=(l-m)(l-n)(l-k)+mnk. Считая, что ни одна из точек А\, В\, С\ не совпадает с вершинами треугольника ABC, преобразуем последнее выражение к виду:

239. Si.SKl+n'm'k'yCl+mXl+nXl+k), где n' = — ,m' ,к' =1.п 1-ш 1 к

240. Отношение площадей равно нулю (точки А\, ВС\ лежат на одной прямой) в случае, когда n'm'k'=-l.

241. АВ СА ВС, чтобы n'm'k'=-l. Учитывая, что ш' = —Чп' = —— ,к' = ——, получим1. В,С А1В СХА 3

242. АД CAL BCL = l ВХС AiB С{А~

243. Таким образом, мы пришли к теореме Менелая.

244. Теорема Менелая справедлива в самом общем смысле, если трансверсаль (прямая, пересекающая стороны треугольника) пересекает продолжения всех трех сторон ABC.

245. Представляет особый интерес случай, когда точки А\, В\, С\ являются, например, основаниями биссектрис, серединами сторон.

246. Точки А\, В\,С\- середины сторон треугольника ABC. Найдите отношения площадей треугольников А\В\С\ и ABC.

247. Используя результат задачи 2.1 а) и учитывая, что ш = —, получимs-s=i.4

248. В произвольном треугольнике ABC точки Аи В\, С\ основания биссектрис углов треугольника. Найдите отношение площадей треугольников А\В\С\ я ABC.

249. Но так как (a+b)(b+c)(c+a)>8, то Si:S<-.4а + Ь)(с + а)ф + с)

250. Сравнивая площади треугольников АВ\С\, С\ВА, А\В\С, видим, что площадь треугольника А\В\С\ превышает наименьшую площадь рассматриваемых треугольников. Действительно, положим АВ\:В\С=п,

251. Таким образом, мы решили задачу:

252. На сторонах треугольника ABC взяты соответственно точки Ах, Вх, Сх. Доказать, что площадь треугольника АХВХСХ не меньше площади треугольников^42?!С,, СХА,В, АХВХС.

253. В результате проведенного анализа можно сформулировать следующие задачи:

254. На сторонах ВС, АС, АВ треугольника ABC взяты соответственно точки Ах, Вх, С, так, что AQ = ^АДВАХ = ^СДСВХ = ^ВА

255. Прямые ААХ, ВВХ, ССХ пересекаются попарно в точках Р, Q, N. Найдите отношение площадей треугольников PQN и ABC.

256. На сторонах ВА, АС, СВ треугольника ABC взяты соответственно точки Сх, Вх, Ах так, что ВСх=пВА, АВх=пАС, САх=пСВ. Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми ААХ, ВВХ, ССХ кплощади треугольника ABC.

257. На сторонах ВА, АС, СВ треугольника ABC взяты соответственно точки С,, Вь А| так, что ВСх=\аВА, АВх=тАС, САх=пСВ. Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми ААЬ ВВЬ СС, к площади треугольника ABC.

258. В первом случае получим, что S,:S=(l-2n)2:(l-n+n2) или S1:S=(l-ri)3:(l-rt3), где Sj-площадь треугольника образованного прямыми Во втором: СС"1 о + л'+лио + тц-ий^о+л'+ил) вхс aib с, а

259. Условие, при котором прямые ААЬ ВВи СС, проходят через одну точку, очевидно, состоит в том, что S^O. Из последнего соотношения вытекает, что nmk= 1, что соответствует формулировке теоремы Чевы.210. (Теорема Чевы).

260. Решая исходную задачу, получили классические теоремы Менелая и Чевы, которые с трудом «пробиваются» на страницы школьных учебников. Значение этих теорем, составляющих эпоху в развитии математики, трудно переоценить.

261. Теорема Чевы в свою очередь, позволяет придти к известным теоремам о замечательных точках в треугольнике.

262. Биссектриса CD внутреннего угла треугольника ABC делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные его сторонам. Аналогично:

263. Отметим, что во всех рассмотренных случаях пересечения чевианзадачи 2.11 отношение отрезков (начиная от вершины) оказалось равно сумме отношений отрезков сторон треугольника ABC, исходящих из той или другой вер1)1. АО АС АВ шины: — = ——+ ■ 1. Рис. 40

264. Ар С, В ВХС Получили теорему Ван-Обеля213 (Теорема Ван-Обеля) Если на сторонах ВС, СА, АВ треугольника ABC выбраны точки Аь Вь С, так, что прямые ААЬ ВВЬ СС, проходят через точку О, то выполняется равенство (1).

265. Теорему Ван-Обеля можно распространить также на случай, когда чевианы пересекаются вне треугольника. Вызывает интерес вопрос: ' Нельзя ли еще найти какое-либо соотношение между отрезками, на которые делятся чевианы или стороны треугольника.

266. Учитывая, что S^^S^oc+Som+S^ob > выразим это соотношение через отношение ранее рассмотренных отрезков чевиан:1. SQBC ОЦ .$АВС AD

267. Учитывая подобие треугольников ОA^D и AA^D, получим:1. Sqbc 04 ^ ABC ААаналогично, для двух остальных треугольников, соответственно, получим:

268. SQAC ОВ\ . S0AB ОСх ^ ВАС ^САВ СС,складывая левые и правые части трех последних равенств, получим:04 ОВ, ОС. ,3. +-L +-- = 11. АА ВВХ ССi

269. Последнее равенство представляет собой формулировку первой части теоремы Жергона

270. Вторую часть можно получить, учитывая, чтоао = 1оа . во ов1 со^ од,

271. АА АА 'ВВ, BBl'CCl~ CQ' Складывая левые и правые части этих трех равенств, получим:1. АО ВО СО „-+-+-= 21. АА ВЦ CQ

272. Понятно, что теорема Жергона справедлива и для случая, когдаточка пересечения чевиан лежит вне треугольника (в этом случае некоторые из слагаемых левой части полученных равенств отрицательны).

273. На продолжениях сторон: ВА- за точку А\ СВ- за точку В\ АС-за точку А треугольника ABC, взяты соответственно точки Аь Вь С, так, чтоа)АА.=ВС, ВВХ=АС, ССХ=АВ.б) АА{=АС, ВВХ=АВ, ССХ=ВС.

274. Доказать, что отношение площадей треугольников АХВХСХ и ABC больше или равно 7.

275. И как частный случай, получаем задачу

276. На продолжениях сторон: ВА — за точку А, СВ — за точку В, АС — за точку А треугольника ABC взяты соответственно точки Аь Вх, С, так, что ААХ=ВС, ВВХ=АС, ССХ=АВ. Доказать, что

277. SA|ae +^В,ВА, +SC CB ^ЗБдлс

278. Сформулируем задачу и приведем решение для произвольногомногоугольника.

279. Каждая сторона A%Ak+i выпуклого п-угольника А\.Ап (п>4) продлевается на равную ей длину Ак+\Вк+1=АкАк+\ . Докажите, что площадь полученного п-угольника не более чем в пять раз превосходит площадь исходного.1. Рис. 4/ Решение:

280. Рассматривая в качестве частного случая выпуклого многоугольника правильный многоугольник, приходим к следующей конкретизации указанной задачи.

281. Каждая сторона АкАк+\ правильного n-угольника А\.АЛ продлевается на равную ей длину .

282. Найти отношение площадей многоугольников В\. .Вп и А\.Ап.

283. Дальнейшая конкретизация, полученной задачи позволяет сформулировать ее применительно к правильному треугольнику. При этом сохраняются возможности дальнейшего ее обобщения, аналогичные рассмотренным в приложении 3.

284. На продолжениях сторон: АВ за точку В, ВС за точку С, СА за точку А правильного треугольника ABC взяты соответственно точки В\, С\, А\ так, что ВВ\=пАВ, СС\=пВС, АА\=пСА. Найти отношения площадей треугольников А \В\ С и ABC.

285. Площади двух правильных треугольников ABC и MNP, из которых один вписан в другой, относятся как 1:3. В каком отношении вершины одного из них делят стороны другого?

286. На каждой медиане (биссектрисе) правильного треугольника взята точка, делящая медиану в отношении m:n, считая от вершины. Найдите отношение площадей треугольника с вершинами в этих точках и исходного треугольника.

287. Если рассматривать в исходной задаче вместо треугольника четырехугольник, можно получить, что в результате задача разрешима, причем тем же самым способом.

288. Si:S=5, где Sr площадь четырехугольника A\B\C\D\, a S- площадь данного ABCD)

289. На сторонах АВ, ВС, CD, DA (или их продолжениях) выпуклого четырехугольника ABCD выбраны соответственно точки Ai, В\,С\, D\ так, что AAi=nAB, ВВ.=пВС, CCx=nCD, DD\=nDA. Найдите отношение площадей четырехугольников A\BXC\D\ и ABCD.с1. Si:S=l-2n(l-n))

290. Середина каждой стороны параллелограмма соединена с вершинами, принадлежащими противолежащей стороне. Найдите отношение площади образовавшегося восьмиугольника к площади параллелограмма.

291. Диагонали АС и BD четырехугольника ABCD продолжены за вершины С и D так, что CCi=nAC, DDf-mBD. Найдите отношение площадей четырехугольника ABC\D\ и ABCD.1. Si:S=(n+l)(m+l)).

292. Диагонали АС и BD четырехугольника ABCD продолжены за вершины А\С и BXD так, что СС\=пАС, ААх=тАС, BB}=kBD, DDi=\BD. Найдите отношение площадей четырехугольников A\B\C\D\ и ABCD.1. S1: S=(m+n+1 )(k+l+1)).

293. Анализ ситуации, представленной в задаче позволяет получить интересные геометрические факты:

294. На сторонах А В, ВС, CD, DA выпуклого четырехугольника ABCD выбраны соответственно точки А\, Bu С\, D\ так, что АА\=пАВ, BBY=nBC, CC\=aCD, DD\=nDA. Докажите: что центроид четырехугольника ABCD совпадает с центроидом данного четырехугольника.

295. На сторонах АВ, ВС, CD, AD (или их продолжениях) четырехугольника ABCD взяты соответственно точки А\, В\, Си D\ лежащие на одной прямой. Доказать, что образовавшиеся отрезки удовлетворяют равенству:1. АА, ВВ, СС, £Ц11. А,в ' В,с ' C.D ' ЦА~

296. Аналогичная задача справедлива и для пространственного многоугольника.

297. Плоскость пересекает стороны пространственного многоугольника А.Ап (или их продолжения) в точках В\.Вп, точка Д лежит на стороне АА\+\. Докажите, что1. Mi. 4А=11. ВхАг ВгАъ В А,

298. Дан тетраэдр ABCD. На продолжениях рёбер В А за точку А, СВ - за точку В, DC-за точку С, - за точку D, взяты соответственно точки Ah Ви Ch D\ так, что ААх=пАВ, ВВ{=пВС, CCi=nCD, DD\=nDA. Найдите отношение объемов A\B\C\D\ к ABCD.

299. Анализируя результаты развития исходной задачи, описанные в приложении 4, нетрудно получить известные аналоги теорем Чевы, Ме-нелая, Жергона и др.

300. Пусть М-точка внутри тетраэдра ABC.D. А\,В\,С\ и D\ точкипересечения плоскостей CMD, AMD, АМВ и СМВ с ребрами АВ, ВС, CD иn, т АА, ВВ, СС, Ш, DA соответственно. Тогда —L--1---1---L = 1 (*)1. А,В ВХСХ DC, DXA

301. Если для четырех точек А\, B\,C\,D\, лежащих соответственно на ребрах АВ, ВС, CD, DA тетраэдра, выполнено равенство (*), то эти четыре точки лежат в одной плоскости.

302. Используя стереометрический аналог теоремы Чевы несложно показать, что четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершин.

303. Пространственными аналогами задачи 2.12. могут быть следующие:

304. Биссекторная плоскость двугранного угла тетраэдра делит противолежащее ребро в отношении, равном отношению площадей граней, образующих этот двугранный угол.

305. Биссекторная плоскость двугранного угла тетраэдра делит грани на треугольники, площади которых пропорциональны площадям боковых граней, образующих этот двугранный угол.

306. Пусть дан тетраэдр АхА^АуА^ и пусть Gx точка Жергона грани, противоположной вершине Ах. Тогда четыре прямые Жергона AxGi пересекаются в данной точке А\0\П АгОгГл A^G^ AaP^G.

307. Уважаемый коллега! Просим Вас ответить на вопросы анкеты, ибо они помогут убедиться в эффективности предложенных методических материалов. Обведите кружком номер Вашего ответа. В ответах допускается несколько вариантов.

308. Могут ли приведенные методические материалы способствоватьразрешению указанной проблемы?

309. Могут ли предложенные методические решения естественным образом быть включены в реальную практику преподавания элементарной геометрии?1. Если нет, то почему?)

310. Укажите, на Ваш взгляд, неудачные задания.

311. Какие бы типы заданий Вы рекомендовали для дополнения приведенной системы задач?

312. Использовали ли Вы подобные задания в практике преподавания (ее-ли да, то как часто?)а) постоянно; б) часто; в) иногда; г) от случая к случаю, д) редко; е) никогда.

313. Собираетесь ли Вы использовать предложенные методические материалы в будущей практической работе?а) да; б) нет; в) вряд ли; г) в случае изменения учебного плана.

314. Спасибо за проделанную работу!