Гидромеханические модели в химико-технологических процессах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.17.08, доктор наук Чесноков Юрий Георгиевич

• Чесноков Юрий Георгиевич
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Чесноков Юрий Георгиевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ГИДРОДИНАМИКА, ТЕПЛО- И МАССООБМЕН В АППАРАТАХ С ТОНКИМИ КАНАЛАМИ

1.1 Течение жидкостей по трубам и каналам с проницаемыми стенками при наличии проскальзывания

1.1.1 Постановка задачи, первое приближение

Второе приближение

1.2 Пульсационное движение жидкости в плоском канале с проницаемыми стенками

1.3 Изменение характеристик пульсационного течения жидкости по длине плоского канала с проницаемыми стенками

1.4 Теплообмен в трубках и каналах на установившемся участке при наличии проскальзывания на стенках

1.4.1 Теплоотдача при заданном потоке теплоты на стенке

1.4.2 Теплоотдача при заданной температуре стенки

1.5 Тепло- или массообмен на начальном участке трубы или канала при переменной температуре стенки или концентрации на стенке

1.5.1 Теплообмен на начальном участке плоского канала

1.5.2 Теплообмен на начальном участке круглой трубы

1.6. Выводы по главе

ГЛАВА 2. ВЛИЯНИЕ ЧИСЛА РЕЙНОЛЬДСА НА СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ТРУБАХ И КАНАЛАХ

2.1 Закон стенки, закон дефекта скорости

2.2 Расчет интегральных характеристик турбулентного течения газа или жидкости в круглой трубе

2.3 Зависимость от критерия Рейнольдса интегральных характеристик течения в плоском канале

2.4 Влияние числа Рейнольдса на закономерности турбулентного течения жидкости в плоском канале

2.5 О законе стенки для температуры и законе дефекта температуры

2.6 Влияние числа Рейнольдса на распределение пульсационной составляющей вихря скорости по сечению плоского канала

2.7 Влияние числа Рейнольдса на распределение кинетической энергии турбулентных пульсаций по сечению плоского канала

2.8 Выводы по главе

ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ ПОЛЯ СКОРОСТИ В ГИДРОЦИКЛОНЕ

3.1 Автомодельные решения уравнений гидромеханики идеальной жидкости, описывающие поле скоростей в гидроциклоне

3.2 Расчет поля скорости. Сравнение с экспериментом

3.3 Методика расчета процесса классификации твердых частиц суспензии по крупности в гидроциклоне

3.4 Выводы по главе

ГЛАВА 4. БАРБОТАЖНОЕ ПЕРЕМЕШИВАНИЕ ЖИДКОСТИ

4.1 Ячеечная модель барботажного перемешивания жидкости в кольцевой емкости

4.2. Сравнение с экспериментом. Определение параметров модели

4.3.Выводы по главе

ГЛАВА 5. КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ СТРУИ ЖИДКОСТИ

5.1 Постановка задачи о развитии капиллярных волн на поверхности струи жидкости

5.2 Форма свободной поверхности струи жидкости, вытекающей с высокой скоростью через сопло

5.2.1. Постановка задачи

5.2.3. Автомодельное решение уравнений пограничного слоя

5.2.4. Оценка размеров зоны, соединяющей сопло и цилиндрическую часть струи

5.2.5. Сравнение с экспериментальными данными

5.3 Приближенные одномерные уравнения динамики струи

5.4 Расчет процесса капиллярного дробления струи жидкости на капли по линейной теории

5.5 Капиллярные волны на поверхности растягивающейся цилиндрической струи жидкости

5.5.1. Уравнения для малых возмущений основного течения

5.5.2. Линейное приближение

5.5.3. Второе приближение

5.6 Короткие капиллярные волны на поверхности растягивающейся цилиндрической струи вязкой жидкости

5.6.1. Формулировка задачи

5.6.2. Уравнения для малых возмущений основного течения

5.6.3. Коротковолновая асимптотика решения

5.7 Развитие длинноволновых возмущений на поверхности растягивающейся струи вязкой жидкости

5.8 Нелинейное развитие капиллярных волн в струе вязкой жидкости

5.8.1. Одномерные уравнения динамики капиллярной струи

5.8.2. Приближенные уравнения для амплитуд возмущений. Первое приближение

5.8.3. Второе приближение

5.8.4. Влияние волнового числа и числа Рейнольдса на развитие капиллярных волн

5.9. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гидромеханические модели в химико-технологических процессах»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Протекание многих типовых химико-технологических процессов в значительной мере определяется закономерностями движения жидкостей и газов, а также многофазных систем, состоящих из двух или большего числа фаз. Это относится не только к гидромеханическим процессам, где гидромеханические закономерности играют определяющую роль, но также и к типовым тепло- и массообменным процессам. По этой причине при разработке методов расчета аппаратов, предназначенных для осуществления этих процессов, важную роль играет теоретическое исследование гидродинамики этих аппаратов, опирающееся на экспериментальные исследования.

К числу наиболее важных гидромеханических проблем, возникающих при анализе химико-технологических процессов, относится задача о ламинарном и турбулентном течении жидкостей в трубах и каналах различной формы. Как известно, задача о ламинарном течении жидкости по трубе кругового поперечного сечения решена еще Стоксом. Тем не менее до настоящего времени и в этой области остаются актуальные нерешенные проблемы, важные при анализе мембранных процессов разделения. Эти задачи рассматриваются в диссертационной работе.

При турбулентном режиме течения жидкостей и газов в трубах и каналах в результате интенсивного турбулентного перемешивания тепло- и массообменные процессы протекают с наиболее высокой скоростью. До настоящего времени не удается разработать строгую теорию турбулентности, которая могла бы служить надежной основой расчета процессов переноса. В последние несколько десятилетий быстрое развитие вычислительной техники сделало возможным использовать в качестве инструмента изучения турбулентных течений метод прямого численного моделирования. При помощи этого метода можно определять такие статистические характеристики турбулентных течений, которые очень сложно или даже невозможно измерить. Изучение при помощи результатов подобных расчетов влияния

числа Рейнольдса на наиболее важные характеристики турбулентных течений (кинетическая энергия турбулентных пульсаций, диссипация механической энергии, напряжения Рейнольдса и др.) является актуальной задачей.

Актуальной является и разработка физически обоснованных математических моделей сложных турбулентных течений. В данной диссертационной работе рассматриваются модели течений в гидроциклоне, а также модель барботажного перемешивания.

К числу актуальных гидромеханических проблем, важных при разработке методов расчета типовых химико-технологических процессов относится задача о диспергировании жидкости на капли. Известно много различных механизмов диспергирования, применяемых в различных ситуациях. В данной работе рассматривается задача о диспергировании струи жидкости на капли в результате неустойчивости по отношению к силам поверхностного натяжения.

Степень разработанности темы. Изучению различных гидромеханических проблем, возникающих при анализе типовых процессов химической технологии, посвящены многочисленные работы как отечественных, так и зарубежных ученых. Это относится и к тому кругу задач, который рассматривается в данной диссертационной работе. Однако постоянное развитие техники приводит к возникновению новых, еще не изученных в должной мере проблем. К числу таких задач относится в частности разработка теории течений в тонких каналах с проницаемыми стенками при наличии проскальзывания на стенках. Данная проблема актуальна при разработке методов расчета процессов тепло- и массообмена, протекающих в аппаратах с тонкими каналами. Первые работы в области теории течений в каналах с проницаемыми стенками (Berman A.S., Yuan S.W., Terrill R.M.) основывались на предположении о постоянстве скорости протекания жидкости через стенку. Такой подход был распространен и на случай, когда на стенках канала имеется проскальзывание (Singh R., Laurence R.L.). Здесь рассматривается ситуация, когда скорость протекания переменна

вдоль поверхности канала. Не изученным в должной мере является и изменение характеристик пульсационного течения жидкости в канале с проницаемыми стенками.

Задача о теплообмене ламинарного потока жидкости со стенками трубы или канала является классической. Она впервые рассмотрена Грэтцом (Graetz L.) более ста лет назад. Это решение представляется в виде ряда, скорость сходимости которого является очень низкой на начальном участке, где вблизи стенки формируется температурный пограничный слой. Впоследствии были разработаны асимптотические методы (Lévêque M.A., Worsöe-Schmidt P.T., Newmen J.), позволяющие описывать процесс теплообмена на начальном участке. Эти решения получены для случаев, когда на стенках задана либо постоянная температура, либо постоянный тепловой поток. В данной диссертации рассматривается более общая ситуация, когда температура стенки изменяется по степенному закону.

Быстрое развитие вычислительной техники в течение последних нескольких десятилетий привело к тому, что появился новый метод исследования турбулентных течений - так называемый метод прямого численного моделирования. Первые работы по прямому численному моделированию турбулентных течений в плоском канале появились в конце 80-х годов прошлого века (Kim J., Moin P., Moser R.D., Kasagi N., Kawamura H.). В то время было возможным производить такое моделирование лишь при малых значениях критерия Рейнольдса. К настоящему моменту диапазон значений критерия Рейнольдса, очень существенно расширился (Himenez J., Orlandi P., Yamamoto Y.). Опубликованные различными авторами данные моделирования позволяют изучать влияние числа Рейнольдса на такие важнейшие статистические характеристики турбулентных течений, как поле осредненной скорости, напряжения Рейнольдса, кинетическая энергия турбулентных пульсаций, диссипация энергии и др.

Накопленная к настоящему времени информация, относящаяся к расчету гидроциклонов, обобщена во многих монографиях. Одной из

последних является известная монография Терновского и Кутепова. Инженерные методы расчета гидроциклонов основываются в значительной мере на эмпирических и полуэмпирических соотношениях и изучение гидродинамики гидроциклонов, основанное на построении решений уравнений гидромеханики, представляет значительный интерес.

Исследования закономерностей диспергирования жидкости на капли, является весьма важной задачей при разработке методов расчета химико-технологических процессов, связанных с необходимостью диспергирования жидкостей. Эта проблема изучалась в течении длительного времени многими исследователями, начиная с Рэлея (Rayleigh J.W.S., Yuen M.-C., Nayfeh A.H., Eggers J., Шкадов В.Я.), однако до настоящего времени остаются нерешенными многие актуальные проблемы. Отметим, в частности, проблему капиллярного дробления струи, подверженной одноосному растяжению, а также влияние вязкости жидкости на нелинейное развитие капиллярных волн.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационного исследования является изучение гидродинамики ряда типовых химико-технологических процессов на основе аналитического решения уравнений гидромеханики, а также на основе использования экспериментальных данных и результатов, полученных различными авторами, при помощи метода прямого численного моделирования турбулентных течений.

Для реализации этой цели сформулированы и решены следующие научные задачи:

1. При помощи приближенного аналитического метода решить задачу о ламинарном движении жидкостей в трубах и каналах с проницаемыми стенками при сравнительно малых значениях скорости протекания жидкости через стенки канала при наличии проскальзывания жидкости на стенках. Получить на этой основе расчетные соотношения для определения гидравлического сопротивления труб с проницаемыми стенками и расхода жидкости через стенки трубы. На основе аналогичной методологии решить задачу о движении жидкости при

изменении расхода жидкости на входе в трубу по периодическому закону.

2. Построить аналитическое решение задачи о теплоотдаче в трубе при ламинарном режиме течения при заданном тепловом потоке на стенке и проскальзывании жидкости на стенке, справедливое на больших расстояниях от входа в трубу. Построить расчетную формулу для определения критерия Нуссельта. Построить приближенную формулу для расчета критерия Нуссельта, справедливую при заданной температуре стенки. Построить решение задачи о теплообмене между потоком жидкости и стенкой, справедливое вблизи входа в трубу при изменении температуры стенки по степенному закону.

3. Для плоского канала и трубы кругового поперечного сечения разработать формулы для расчета коэффициента трения при условии, что стенки канала являются гидравлически гладкими. На основе анализа данных прямого численного моделирования изучить возможные отклонения от фундаментальных законов стенки и дефекта скорости. Построить расчетные формулы для вычисления дефекта средней скорости, осевой скорости жидкости и ряда интегральных характеристик поля скорости.

4. Изучить на основе данных прямого численного моделирования возможные отклонения от закона стенки для температуры и закона дефекта температуры.

5. Изучить закономерности изменения по сечению канала пульсационной составляющей вихря скорости в зависимости от величины критерия Рейнольдса. Изучить закономерности изменения по сечению канала кинетической энергии пульсационного движения.

6. Построить автомодельное решение задачи о движении жидкости в гидроциклоне. На этой основе разработать методологию расчета процесса классификации суспензии в гидроциклоне.

7. Разработать математическую модель барботажного перемешивания жидкости в кольцевой емкости. Сопоставить результаты расчетов по модели с экспериментальными данными.

8. Разработать приближенную аналитическую теорию, позволяющую рассчитать форму струи жидкости, вытекающей через сопло, на небольших расстояниях от него.

9. Построить приближенные одномерные уравнения динамики струи. Разработать линейную теорию устойчивости струи, подверженной одноосному растяжению, а также решить задачу о нелинейном взаимодействии возмущений. Получить асимптотические формулы для длинноволновых возмущений и коротковолновых возмущений.

10. На основе приближенных одномерных уравнений динамики струи сформулировать и решить задачу о нелинейном развитии возмущений в струе вязкой жидкости.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Построено приближенное аналитическое решение уравнений гидромеханики, описывающее движение жидкости в канале с проницаемыми стенками при наличии проскальзывания на стенках, которое в отличие от известных решений не предполагает постоянства скорости протекания жидкости через стенку. В частности, изучено изменение распределения проекций скорости и давления по длине канала в том случае, когда протекание жидкости через стенку описывается законом Дарси.

2. Изучено движение жидкости в канале с проницаемыми стенками при изменении расхода жидкости на воде в трубу по периодическому закону. Полученные решения позволяют рассчитать изменение характеристик пульсационного движения по длине канала.

3. Получены аналитические выражения для расчета критерия Нуссельта в трубах и каналах на установившемся участке при ламинарном режиме движения и наличии проскальзывания на стенках. Скачек температуры

на стенке предполагается отсутствующим. Важность построения этих решений связана с тем, что в трубах и каналах малого размера экспериментальное исследование локальных характеристик практически невозможно и определению могут подлежать только интегральные характеристики.

4. Решена задача о теплообмене жидкости со стенками на начальном участке труб и каналов при изменении температуры стенки по степенному закону. Это решение обобщает ранее полученные в этой области результаты.

5. В данной диссертационной работе решается новая научная проблема анализа и сопоставления результатов прямого численного моделирования турбулентных течений, полученных различными авторами и выявления на этой основе влияния числа Рейнольдса на статистические характеристики турбулентных течений. Построены формулы для расчета коэффициента трения в трубах и каналах с гидравлически гладкими стенками, справедливые в широком диапазоне изменения критерия Рейнольдса, средней по сечению канала скорости, дефекта средней скорости и других интегральных характеристик течения.

6. Впервые изучены отклонения от классических законов подобия: закона стенки и закона дефекта скорости. Показано, что непосредственно в окрестности стенки в так называемом вязком подслое имеется зависимость напряжений Рейнольдса и других статистических характеристик от величины критерия Рейнольдса. Такого рода результаты получены и для поля температуры.

7. При помощи результатов прямого численного моделирования изучено влияние числа Рейнольдса на распределение кинетической энергии турбулентных пульсаций по сечению канала и на распределение пульсаций завихренности. Эти результаты могут найти применение для проверки полуэмпирических моделей турбулентности. Многие их них

включают в свой состав модельные уравнения для кинетической энергии турбулентных пульсаций и скорости диссипации энергии. Последняя величина в безразмерных переменных почти не отличается от квадрата модуля вектора пульсационной составляющей вихря скорости.

8. В диссертации предложена новая модель для расчета поля скорости жидкости в гидроциклоне, основанная на использовании уравнений гидромеханики, упрощенных применительно к специфическим условиям движения жидкости в гидроциклоне. Применение этой модели открывает возможность разработки методики расчета процессов, протекающих в гидроциклонах, например, процесса классификации суспензий. Сравнительно простая методика расчета процесса классификации суспензии рассмотрена в диссертации.

9. На основе экспериментальных исследований процесса барботажного перемешивания жидкости в аппарате кольцевого поперечного сечения предложена новая математическая модель этого процесса.

10. Впервые предложена приближенная теоретическая модель, описывающая форму струи жидкости в окрестности сопла при наличии затекания жидкости за кромку сопла.

11. Построены приближенные одномерные уравнения динамики струи жидкости, отличающиеся от известных сохранением большего числа членов в разложении по малому параметру - отношению радиуса струи к длине волны возмущения.

12. В линейном и нелинейном приближениях изучено развитие капиллярных волн на поверхности растягивающейся струи жидкости. Построена длинноволновая и коротковолновая асимптотики решения.

13. На основе приближенных одномерных уравнений изучено нелинейное развитие возмущений на поверхности струи вязкой жидкости. Исследовано влияние вязкости на образование капель сателлитов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе решения задач гидродинамики, возникающих при разработке методов расчета типовых процессов химической технологии вносят существенный вклад в развитие теории этих процессов. Практическая значимость результатов работы определяется тем, что все полученные в ней решения и выводы служат для разработки методов расчета химико-технологических процессов, широко используемых на практике.

Методология и методы исследования. Методология исследования имеет теоретико- экспериментальный характер. Наряду с аналитическими методами, широко используемыми в различных областях науки, таких как гидродинамика, теория тепло- и массообмена, используются также и методы, специально разработанными для решения рассматриваемых в диссертационном исследовании задач. Примером может служить использование приближенных одномерных уравнений динамики струи в пятой главе работы. Ряд результатов получен путем обобщения данных, которые были получены различными группами исследователей при помощи метода прямого численного моделирования турбулентных течений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение задачи о движении жидкости в трубе с проницаемыми стенками при наличии проскальзывания жидкости на стенках трубы. Аналитическое решение задачи о ламинарном движении жидкости в трубе с проницаемыми стенками при изменении расхода жидкости, поступающей в трубу по периодическому закону.

2. Построение асимптотических формул для расчета критерия Нуссельта для случая, когда процесс теплообмена принимает установившийся характер и имеется проскальзывание жидкости на стенках. Построение асимптотических формул для расчета критерия Нуссельта, справедливых вблизи от входа в трубу, при изменении температуры стенки по степенному закону.

3. Построение формул для расчета коэффициента трения в плоском канале и трубе кругового поперечного сечения с гладкими стенками. Построение формул, описывающих влияние числа Рейнольдса на напряжения Рейнольдса и на дефект скорости.

4. Построение формул, описывающих влияние числа Рейнольдса на статистические характеристики процесса переноса теплоты в плоском канале.

5. Исследование влияния числа Рейнольдса на закономерности распределения пульсационной составляющей вихря скорости по сечению плоского канала. Исследование влияния числа Рейнольдса на закономерности распределения кинетической энергии турбулентных пульсаций по сечению плоского канала.

6. Методика расчета процесса классификации суспензии в гидроциклоне.

7. Методика описания процесса барботажного перемешивания в аппарате кольцевого поперечного сечения.

8. Аналитическое решение задачи о движении струи жидкости в окрестности сопла.

9. Вывод приближенных одномерных уравнений динамики струи жидкости. Аналитическое решение задачи о линейном развитии возмущений на поверхности струи, подверженной одноосному растяжению. Разработка приближенной нелинейной теории развития возмущений и асимптотических формул, справедливых для длинноволновых и коротковолновых возмущений.

10. Аналитическое решение задачи о нелинейном развитии возмущений на поверхности струи вязкой жидкости.

Достоверность полученных результатов и выводов основывается на использовании фундаментальных уравнений гидромеханики, обоснованность которых не вызывает никаких сомнений, применении обоснованных методов построения приближенных аналитических решений уравнений, в частности асимптотических методов, согласованием полученных аналитических

результатов с известными из литературы экспериментальными данными и данными, полученными путем прямого численного моделирования турбулентных течений.

Апробация результатов работы. Отдельные результаты работы докладывались на XI международной конференции «Алюминий Сибири» (Красноярск, 2005 г.), XVI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-16, С.-Петербург, 2003), научной конференции, посвященной 186-й годовщине образования СПбГТИ(ТУ) (С.-Петербург, 2014), XXIV международной научно-практической конференции «Приоритетные направления развития науки и технологий» (Тула, 2018), XVI научно-практической конференции «Экспериментальные и теоретические исследования в современной науке: проблемы, пути решения» (Ростов-на-Дону, 2018), международной научно-практической конференции «Актуальные вопросы естественных и математических наук в современных условиях развития страны» (С.Петербург, 2019), международном научно-техническом симпозиуме «Вторые международные Косыгинские чтения: «Энергоресурсоэффективные экологически безопасные технологии и оборудование», приуроченные к 100 -летию РГУ имени А.Н. Косыгина» (Москва, 2019).

Личный вклад автора заключается в постановке целей и задач исследования, решении поставленных задач и формулировке выводов, вытекающих из полученных решений, обработке экспериментальных данных и обсуждении результатов экспериментов. Большая часть задач, обсуждаемых в тексте диссертации, решена лично автором.

Научные публикации. Основные результаты работы отражены в 40 статьях и материалах конференций, из которых 33 опубликованы в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных изданий, в том числе 28 работ - в изданиях, входящих в международные системы цитирования Web of Science, SCOPUS.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 383 страницах основного текста и состоит из введения, пяти глав и заключения. Работа содержит 143 рисунка и 3 таблицы. Список литературы включает 358 наименований.

ГЛАВА 1. ГИДРОДИНАМИКА, ТЕПЛО- И МАССООБМЕН В АППАРАТАХ С ТОНКИМИ КАНАЛАМИ

1.1 Течение жидкостей по трубам и каналам с проницаемыми стенками

при наличии проскальзывания.

1.1.1 Постановка задачи, первое приближение.

Для выделения растворителя в чистом виде из растворов солей, разделения жидких и газовых смесей, для разделения коллоидных растворов и мелкодисперсных суспензий широко используются мембранные методы. Аппараты, применяемые для мембранного разделения, могут быть различных типов: аппараты с плоскими мембранными элементами, аппараты с трубчатыми мембранными элементами, аппараты с рулонными мембранными элементами, аппараты с полыми волокнами. Скорость движения в мембранном канале обычно невелика. Поэтому режим течения, как правило, является ламинарным. В этом случае для описания движения жидкости в мембранном канале может использоваться система уравнений, включающая уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости и уравнение Навье -Стокса. Разделяемый поток в таких аппаратах движется по каналу или трубке с проницаемыми стенками. Закономерности движения жидкости или газа по такому каналу могут оказывать существенное влияние на процесс разделения.

Первой работой, посвященной нахождению профиля скоростей несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости в плоском канале с пористыми проницаемыми параллельными стенками, является работа Бермана [1]. В этой статье рассматривалось установившееся движение жидкости при условии, что на стенках канала касательная составляющая скорости обращается в нуль, а нормальная к стенке составляющая скорости принимает на стенке некоторое

заданное постоянное значение . При указанных граничных условиях задача имеет автомодельное решение. Расчет поля скоростей сводится к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения. Берман [1] построил приближенное решение этого уравнения при условии, что число Рейнольдса = р^к/д, вычисленное по скорости протекания жидкости через стенку и полуширине канала к, является малым. Здесь р и д -плотность и вязкость жидкости соответственно. Случай больших значений параметра рассмотрен Селларом в работе [2]. Результаты Бермана были обобщены на случай ламинарного движения жидкости в цилиндрической трубе с пористыми стенками Юаном и Финкельштейном [3]. В этой статье рассматривался как случай малых значений числа Рейнольдса, так и случай больших значений числа Рейнольдса. В работе [4] Юан рассмотрел движение жидкости в плоском канале с проницаемыми стенками при больших числах Рейнольдса. Как показал Берман [5] метод Юана пригоден в том случае, когда жидкость отсасывается через стенки, а метод Селлара - при вдувании жидкости через стенки. Дальнейшее развитие теории движения жидкостей в трубах и каналах с проницаемыми стенками было связано с распространением результатов Бермана на течения, для которых критерий Рейнольдса не является малым. Был разработан приближенный метод расчета [6], изучены автомодельные решения, соответствующие другим граничным условиям [7,8], установлено [9], что для случая течения по трубе при числах Рейнольдса из интервала от 2.3 до 9.1 решение автомодельной задачи отсутствует, а при больших числах Рейнольдса существуют два решения. Для течения в плоском канале с оттоком жидкости через стенки, как установлено в [10], единственное решение существует при значениях числа Рейнольдса меньших 12.165, а при больших значениях числа Рейнольдса существует три решения. Эти вопросы рассматриваются также в статьях [11,12]. Работы [13 - 17] посвящены изучению течений на начальных участках труб и каналов с проницаемыми

стенками. В статье [18] рассматривался вопрос о гидродинамической устойчивости течения в канале с проницаемыми стенками.

К числу допущений, использованных Берманом и в последовавших за его работой исследованиях, относится допущение о постоянстве нормальной составляющей скорости жидкости на стенке канала по его длине. Это допущение весьма существенно ограничивает применимость полученных на его основе результатов. Действительно, движение жидкости вдоль пористой поверхности происходит под действием градиента давления. Поэтому даже в том случае, когда стенки канала имеют однородную пористость, а величина нормальной составляющей скорости определяется разностью давлений по разные стороны от мембраны, в силу переменности указанной разности давлений по длине канала скорость на стенке, вообще говоря, не может быть постоянной.

Следует отметить, что для процессов мембранного разделения характерны весьма малые значения параметра . Так, для процессов обратного осмоса эта величина имеет порядок 10-3, а для процессов ультрафильтрации - 10-2 - 10-1. В этом случае приближенное решение задачи о движении жидкости в трубе или канале с проницаемыми стенками можно построить и без использования предположения о постоянстве нормальной составляющей скорости жидкости на стенках. Подобные решения были получены еще в начале 60-х годов прошлого века Регирером [19,20].

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Чесноков Юрий Георгиевич, 2021 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Berman A.S. Laminar flow in channels with porous walls / A.S. Berman // J. Appl. Phys. - 1953. - V.24, N9. - P. 1232 - 1235.

2. Sellar J.R. laminar flow in channels with porous walls at high suction Reynolds numbers / J.R. Sellar // J. Appl. Phys. - 1955. - V.26, N4. - P. 489 - 490.

3. Yuan S.W. Laminar pipe flow with injection and suction through a porous wall / S.W. Yuan, A.B. Finkelstein // Trans. ASME. - 1956. - V.78, N4. - P. 719 -724.

4. Yuan S.W. Further investigation of laminar flow in channels with porous walls / S.W. Yuan // J. Appl. Phys. - 1956. - V.27, N3. - P. 267 -269.

5. Berman A.S. Concerning laminar flow in channels with porous walls / A.S. Berman // J. Appl. Phys. - 1956. - V.27, N12. - P. 1557 - 1558.

6. Morduchow M. On laminar flow through a channel or tube with injection: application of method of averages/ M. Morduchow // Quart. Appl. Math. -1957. - V.14, N4. - P. 361 - 368.

7. Terrill R.M. Slow laminar flow in a converging or diverging channel with suction at one wall and blowing at the other wall / R.M. Terrill // ZAMP. -1965. - V.16, N2. - P. 306 - 308.

8. Terrill R.M. Laminar flow through uniformly porous walls of different permeability / R.M. Terrill, G.M. Shrestha // ZAMP. - 1965. - V.16, N4. - P. 470 - 482.

9. Terrill R.M. On laminar flow through a uniformly porous pipe / R.M. Terrill, P.W. Thomas // Appl. Sci. Res. - 1969. - V.21, N1. - P. 37 - 67.

10.Robinson W.A. The existence of multiple solutions for the laminar flow in a uniformly porous channel with suction at both walls / W.A. Robinson // J. Eng. Math. - 1976. - V.10, N1. - P. 23 - 40.

ll.Skalak F.M. On the nonunique solutions of laminar flow through a porous tube or channel / F.M. Skalak, C.-Y. Wang // SIAM J. Appl. Math. - 1978. -V.34, N3. - P. 535 - 544.

12. Shih K.-G. On the existence of solution of an equation arising in the theory of laminar flow in a uniformly porous channel with injection / K.-G. Shih // SIAM J. Appl. Math. - 1987. - V.47, N3. - P. 526 - 533.

13.Слезкин Н.А. О развитии течения вязкой жидкости между параллельными пористыми стенками / Н.А. Слезкин // ПММ. - 1957. -Т.21,№4. - С. 591 - 593.

14.Hornbeck R.W. Laminar entry problem in porous tubes / R.W. Hornbeck, W.T. Rouleau, F. Osterle // Phys. Fluids. - 1963. - V.6, N11. - P. 1649 -1654.

15.Gupta R.C. Laminar flow in the entrance region of a porous tube / R.C. Gupta // Appl. Sci. Res. - 1970. - V.22. - P. 360 - 365.

16.Raithby G.D. Hydrodynamic development in a duct with suction and blowing / G.D. Raithby, D.C. Knudsen // J. Appl. Mech. - 1974. - V.41, N4. - P. 896 - 902.

17.Свириденков А.А. О течениях в начальных участках каналов с проницаемыми стенками / А.А. Свириденков, В.И. Ягодкин // Изв. АН СССР, Мех. жидк. и газа. - 1976. - №5. - С.43 - 48.

18.Варапаев В.Н. Об устойчивости течения в канале с проницаемыми стенками / В.Н. Варапаев, В.И. Ягодкин // Изв. АН СССР, Мех. жидк. и газа. - 1969. - №5. - С. 91 - 95.

19.Регирер С.А. О приближенной теории течения вязкой несжимаемой жидкости в трубах с проницаемыми стенками / С.А. Регирер // ЖТФ. -1960. - Т.30, №6. - С. 639 - 643.

20. Регирер С.А. О приближенной теории течения вязкой несжимаемой жидкости в трубах с пористыми стенками / С.А. Регирер // Изв. вузов. Математика. - 1962. - №5. - С. 65 - 74.

21. Леонов А.И. О медленном течении вязкой жидкости в трубе с пористыми стенками / А.И. Леонов // Изв. АН СССР, ОТН, Мех. и машиностр. - 1963. - №2. - С. 160 - 162.

22.Macey R.I. Pressure flow patterns in a cylinder with reabsorbing walls / R.I. Macey // Bull. Math. Biophysics. - 1963. - V.25, N1. - P. 1 - 9.

23.Macey R.I. Hydrodynamics in the renal tubule / R.I. Macey // Bull. Math. Biophysics. - 1965. - V.27, N2. - P. 117 - 124.

24.Kozinski A.A. Velocity profiles in porous-walled ducts / A.A. Kozinski, F.P. Schmidt, E.N. Lightfoot // Ind. Eng. Chem. Fundam. - 1970. - V.9, N3. - P. 502 - 505.

25.Terrill R.M. Laminar flow in a porous tube / R.M. Terrill // Trans. ASME, J. Fluids Eng. - 1983. - V.105, N3. - P. 303 - 307.

26.Mamouri S.J. Analytical solutions for laminar flow in membrane channels with cylindrical symmetry: Single- and dual- membrane systems / S.J. Mamouri, V. V. Tarabara, A. Benard // J. Membr. Sci. - 2017. - V. 523. - P. 373-384.

27.Chan F.S. Reduced-order modeling of flow and concentration polarization in membrane systems with permeation / F.S. Chan, C.K. Tan, P. Ratnayake // AIChE J. - 2019. - e16851.

28.Ghidossi R. Computational fluid dynamics applied to membranes: State of the art and opportunities / R. Ghidossi, D. Veyret, P. Moulin // Chem. Eng. and Processing - 2006. - V.45. - P. 437-454.

29.Alexiadis A. CFD modelling of reverse osmosis membrane flow and validation with experimental results / A. Alexiadis, D.E. Wiley, A. Vishnoi, R.H.K. Lee, D.F. Fletcher, J. Bao // Desalination - 2007 - V. 217. - P.242-250.

30.Haddadi B. Membrane modeling using CFD: Combined evaluation of mass transfer and geometrical influences in 1D and 3D /B. Haddadi, C. Jordan, M. Miltner, M. Harasek // J. Membr. Sci. - 2018. - V. 563. - P.199-209.

31.Liang Y.Y. Comparison of oscillating flow and slip velocity mass transfer enhancement in spacer-filled membrane channels: CFD analysis and validation / Y.Y. Liang, G.A. Fimbres Weihs, D.E. Wiley // J. Membr. Sci. -2020. - V.593 - 117433.

32.Марцулевич Н.А. Гидродинамика мембранных аппаратов с полыми волокнами /Н.А. Марцулевич, В.Н. Гомолицкий, Ю.Г. Чесноков, Н.Н. Смирнов//Журн. прикл. химии. - 1989. - Т.62. - №3. - С.578-580.

33.Чесноков Ю.Г. Ламинарное движение жидкостей в мембранных волокнах / Ю.Г. Чесноков, Н.А. Марцулевич //Журн. прикл. химии. -1989. - Т.62. - №9. - С.1954-1961.

34.Марцулевич Н.А. Моделирование процесса ультрафильтрации в мембранных каналах круглого сечения при гелеобразовании / Н.А. Марцулевич, Ю.Г. Чесноков //Журн. прикл. химии. - 1989. - Т.62. - №9.

- С.1950-1954.

35.Смирнов Н.Н. Гидродинамика и массоперенос с гелеобразованием в тонком спиральном канале мембранного аппарата /Н.Н. Смирнов, В.А. Константинов, Ю.Г. Чесноков, В.Н. Гомолицкий // Журн. прикл. химии.

- 1989. - Т.66. - №8. - С. 1727-1733.

36.Китавцев Д.Н. Исследование течения реологически сложной жидкости в тонких каналах с проницаемыми стенками в процессах ультра- и микрофильтрации / Д.Н. Китавцев, Ю.Г. Чесноков, И.О. Протодьяконов //Журн. прикл. химии. - 1994. - Т.67. - №3. - С.428-432.

37.Китавцев Д.Н. Исследование стационарного режима ультрафильтрации с образованием гелеобразного осадка / Д.Н. Китавцев, И.О. Протодьяконов, Ю.Г. Чесноков //Журн. прикл. химии. - 1995. - Т.68. -№4. - С.658-662.

38.Singh R. Influence of slip velocity at a membrane surface on ultrafiltration performance - I. Channel flow system / R. Singh, R.L. Laurence // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1979. - V.22, N5. - P. 721 - 729.

39.Singh R. Influence of slip velocity at a membrane surface on ultrafiltration performance - II. Tube flow system / R. Singh, R.L. Laurence // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1979. - V.22, N5. - P. 731 - 737.

40.Beavers G.S. Boundary condition of a naturally permeable wall / G.S. Beavers, D.D. Joseph // J. Fluid Mech. - 1967. - V.30. - P. 197 - 207.

41.Terrill R.M. A note on laminar flow through a porous pipe with slip / R.M. Terrill // IMA J. Appl. Math. - 1984. - V.33, N2. - P. 169 - 174.

42.Ashwini B. Analysis of laminar flow through a porous channel with slip / B. Ashwini, N.N. Katagi, A.S. Rai // Malaysian J. Math. Sci. - 2017. - V.11 - P. 423-439.

43.Lauga E. Microfluidics: the no-slip boundary condition / E. Lauga, M. Brenner, H. Stone //Springer handbook of experimental fluid mechanics. -Springer, Berlin, Heidelberg, 2007. - P. 1219-1240.

44.Neto C. Boundary slip in Newtonian liquids: a review of experimental studies / C. Neto, D.R. Evans, E. Bonaccurco, H.-J. Butt, V.C.J. Craig //Rep. Prog. Phys. - 2005. - V.68. - P. 2859-2897.

45.Rothstein J.P. Slip on superhydrophobic surfaces / J.P. Rothstein // Annu. Rev. Fluid Mech. - 2010. V. - 42. N1. - P. 89-109.

46.Whitby M. Fluid flow in carbon nanotubes and nanopipes / M. Whitby, N. Quirke // Nat. Nano. - 2007. - V.2. N.2. - P.87-94.

47.Majumder M. Mass transport through carbon nanotube membranes in three different regimes: ionic diffusion and gas and liquid flow / M. Majumder, N. Choppa, B.J. Hinds // ACS Nano. - 2011. - V.5. N5. - P.3867-3877.

48.Aoki K. Slip boundary conditions for the compressible Navier-Stokes equations / K. Aoki, C. Baranger, M. Hattori, S. Kosuge,G. Martalo, J. Mathiaud, L. Mieussens // J. Stat. Phys. - 2017. - V.169. - P. 744-781.

49.Чесноков Ю.Г. Гидродинамика мембранных аппаратов с полыми волокнами при наличии проскальзывания на стенке / Ю.Г. Чесноков // Приоритетные направления развития науки и технологий. Доклады

XXIV международной научно-практической конференции. - Тула. -2018. - С.80-82

50.Чесноков Ю.Г. Течение жидкостей по трубкам с проницаемыми стенками при наличии проскальзывания на стенке / Ю.Г. Чесноков // Известия Санкт-Петербургского государственного технологического института (технического университета). - 2018. - №. 47. - С. 102-107.

51.Finnigan S.M. The effect of pulsatile flow on ultrafiltration fluxes in a buffled tubular membrane system / S.M. Finnigan, J.A. Howell // Chem. Eng. Res. Des. - 1989. - V.67, N3. - P. 278 -282.

52. Sexl Th. Über den von E.R. Richardson entdeckten "annulareffekf' / Th. Sexl // Z. Phys. - 1930. - V.61. - P. 349 - 362.

53.Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг - М.: Наука. -1974. - 712 с.

54.Uchida Sh. The pulsating viscous flow superimposed on the steady laminar motion of compressible fluid in a circular pipe / Sh. Uchida // ZAMP - 1956. - V.7, N5. - P. 403 - 422.

55.Womersley J.R. Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known / J.R. Womersley // J. Physiol. - 1955. - V.127, N3. - P. 553 - 563.

56.Drake D.G. On the flow in a channel due to a periodic pressure gradient / D.G. Drake // Quart. J. Mech. Appl. Math. - 1965. V.18, N1. - P. 1 - 10.

57. Ландау Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - М.: Наука. -1986. - 736 с.

58.Skalak F.M. Pulsatile flow in a tube with wall injection and suction / F.M.

Skalak, C.-Y. Wang // Appl. Sci. Res. - 1977. - V.33, N3/4. - P. 269 - 307. 59.Tanahashi T. Flow in the entrence region of a porous tube / T. Tanahashi, T. Ando, H. Kawai, T. Kawashima // Bull. JSME. - 1985. - V.28, N237. - P. 420 - 427.

60.Чесноков Ю.Г. Пульсационное движение в плоском канале с проницаемыми стенками / Ю.Г. Чесноков, Н.А. Марцулевич, Ван Чжань //Журн. прикл. химии. - 1993. - Т.66. - №12. - С.2744-2751. 61.Чесноков Ю.Г. Изменение характеристик пульсационного течения жидкости по длине канала с проницаемыми стенками / Ю.Г. Чесноков //Журн. прикл. химии. - 1994. - Т.67 - №.3 - С.423-432.

62.Majdalani J. The oscillatory channel flow with large wall injection // J. Majdalani, T.-S. Roh // Proc. R. Soc. Lond. A - 2000. - V. 456. - P. 16251657.

63.Majdalani J. The oscillatory channel flow with arbitrary wall injection / J. Majdalani // Z. angew. Math. Phys - 2001. - V. 52. - P. 33-61.

64.Majdalani J. The oscillatory pipe flow with arbitrary wall injection / J. Majdalani, G. A. Flandro // Proc. R. Soc. Lond. A - 2002. - V. 458. - P.

65.Shah R.K. Laminar flow forced convection in ducts: a source book for compact heat exchanger analytical data / R.K. Shah, A.L. London - New York: Academic press. - 2014. - 476 p.

66. Sparrow E.M. Laminar heat transfer in tubes under slip-flow conditions / E.M. Sparrow, S.H. Lin // J. Heat Transfer. - 1962. - V.84. - N4. - P.363-369.

67.Barron, R. F. The Graetz problem extended to slip-flow / R.F. Barron, X. Wang, T.A. Ameel, R.O. Warrington // Int. J. Heat Mass Transfer - 1997. -V. 40. - P. 1817-1823.

68.Larrode, F. E. Slip-flow heat transfer in circular tubes / F.E. Larrode, C. Housiadas, Y. Drossinos // Int. J. Heat Mass Transfer - 2000. - V. 43. - P. 2669-2680.

69.Yu, S. Slip-flow heat transfer in rectangular microchannels / S. Yu, T.A. Ameel // Int. J. Heat Mass Transfer - 2001. - V. 44. - P. 4225-4234.

70.Myong, R. S. The effect of gaseous slip on microscale heat transfer: An extended Graetz problem / R.S. Myong, D.A. Lockerby, J.M. Reese // Int. J. Heat Mass Transfer - 2001. - V. 49. - P. 2502-2513.

71.Qetin, B. Slip-flow heat transfer in microtubes with axial conduction and viscous dissipation-An extended Graetz problem / B. Qetin, A. G. Yazicioglu, S. Kaka? // Int. J. Therm. Sci. - 2009. - V.48. - P. 1673-1678.

72.Qetin, B. Analysis of heat transfer and entropy generation for a low-Peclet-number microtube flow using a second-order slip model: an extended-Graetz problem / B. Qetin, S. Zeinali // J. Eng. Math. - 2014. - V.89. - P. 13-25.

73.Haase A.S. The Graetz - Nusselt problem extended to continuum flows with finite slip / A.S. Haase, S.J. Chapman, P.A. Tsai, D. Lohse, R.G.H. Lammertink // J. Fluid Mech. 2015. - V.764. - P.R3-1.

74.Чесноков Ю.Г. Теплообмен в трубе кругового поперечного сечения на установившемся участке при наличии проскальзывания на стенке / Ю.Г. Чесноков // Экспериментальные и теоретические исследования в современной науке: проблемы, пути решения. Материалы конференции. Часть 3. - Ростов-на-Дону. - 2018. - С.284-286

75.Чесноков Ю.Г. Теплообмен в трубках и каналах на установившемся участке при наличии проскальзывания на стенках / Ю.Г. Чесноков // Известия Санкт-Петербургского государственного технологического института (технического университета). - 2019. - №. 49. - С. 108-111.

76.Чесноков Ю.Г. Тепло- или массообмен на начальном участке канала при переменной температуре стенки или концентрации на стенке / Ю.Г. Чесноков //Журн. прикл. химии. - 1997. - Т.70, №.1 - С. 115-122.

77.Чесноков Ю.Г. Тепло- или массообмен на начальном участке круглой трубы при переменной температуре стенки или концентрации на стенке / Ю.Г. Чесноков //Журн. прикл. химии. - 1997. - Т.70, №.1 - С.123-126.

78. Протодьяконов И.О. Гидромеханические основы процессов химической технологии / И.О. Протодьяконов, Ю.Г. Чесноков - Л.: Химия. - 1987. -360 с.

79.Leveque M.A. Les lois de la transmission de chaleur par convection / M.A. Leveque //Ann. Mines. Ser.12. - 1928. - V.13. - P.201-299.

80.Mercer A. McD. The growth of the thermal boundary layer in laminar flow between parallel flat plates / A. McD. Mercer //Appl. Sci. Res. Sec.A. - 1959.

- V.8, N1. - P.357-365.

81.Mercer A. McD. The growth of the thermal boundary layer at the inlet to a circular tube / A. McD. Mercer // Appl. Sci. Res. Sec.A. - 1960. - V.9, N6. -P.450-456.

82. Worsöe-Schmidt P.T. Heat transfer in the thermal entrance region of circular tubes and annular passages with fully developed laminar flow / P.T. Worsöe-Schmidt // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1967. - V.10. N4. - P.541-551.

83.Newmen J. Extension of the Leveque solution /J. Newmen // Trans. Am. Soc. Mec. Eng. J. Heat Transfer. - 1969. - V.91, N.1. - P.177-178.

84.Edwards V. The asymmetric Graetz problem in channel flow / V. Edwards, J. Newmen // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1985. - V.28, N2. - P.503-505.

85.Wang C.Y. Shear flow over a wall with variable temperature / C.Y. Wang // Trans. Am. Soc. Mec. Eng. J. Heat Transfer. - 1991. - V.113, N.2. - P.496-498

86.Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи

- М. : Наука. - 1973. - Т.1. - 296 с.

87.Монин А.С. Статистическая гидромеханика. Часть I / А.С. Монин, А.М. Яглом - М.: Наука - 1965 - 640 с.

88.Townsend A.A. The structure of turbulent shear flow / A.A. Townsend -Cambridge: Cambridge Univ. Press. - 1976. - 429 p.

89.Bailly C. Turbulence / C. Bailly, G. Comte-Bellot - Springer. - 2015. - 360 p.

90.Pope S.B. Turbulent flows / S.B. Pope - Cambridge Univ. Press. - 771 p.

91.Nieuwstadt F.T.M. Turbulence. Introduction to theory and applications of turbulent flows / F.T.M. Nieuwstadt, B.J. Boersma, J. Westerweel -Springer. - 2016. - 284 p.

92.Tennekes H. A first course in turbulence / H. Tennekes, J.L. Lumley - MIT Press. - 1972. - 300 p.

93.Davidson P.A. Turbulence. An introduction for scientists and engineers / P.A. Davidson - Oxford Univ. Press. - 2004. - 657 p.

94. Sreenivasan, K.R. The turbulent boundary layer / K.R. Sreenivasan // Frontier in Experimental Fluid Mechanics (ed. M. Gad-el-Hak). - Berlin: Springer. -1989. - P.159-209.

95.Yajnik K.S. Asymptotic theory of turbulent shear flows / K.S. Yajnik // J. Fluid Mech. - 1970. - V.42. N.2. - P.411-427.

96.Afzal N. Analysis of turbulent pipe and channel flows at moderately large Reynolds number / N. Afzal, K. Yajnik // J. Fluid Mech. - 1973. - V.61. N.1. - P.23-31.

97.Jiménez J. What are we learning from simulating wall turbulence? / J. Jiménez, R.D. Mozer // Phil. Trans. R. Soc. A. - 2007. - V.365. - P.715-732.

98.Barenblatt G.I. Scaling laws for fully developed turbulent shear flows. Part 1. Basic hypotheses and analysis / G.I. Barenblatt // J. Fluid Mech. - 1993. -V.248. - P.513-520.

99.Barenblatt G.I. Scaling laws for fully developed turbulent shear flows. Part 2. Processing of experimental data / G.I. Barenblatt, V.M. Prostokishin // J. Fluid Mech. - 1993. - V.248. - P.521-529.

100. Barenblatt G.I. Scaling laws for fully developed turbulent flow in pipes: discussion of experimental data / G.I. Barenblatt, A.J.Chorin, V.M. Prostokishin // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1997. - V.94a. - P.773-776.

101. Barenblatt G.I. Scaling laws for fully developed turbulent flow in pipes / G.I. Barenblatt, A.J.Chorin, V.M. Prostokishin // Appl. Mech. Rev. - 1997.

- V.50. N7. - P.413-429.

102. Buschmann M.H. Debate concerning the mean-velocity profile of turbulent boundary layer / M.H. Bushman, M. Gad-el-Hak // AIAA J. - 2003.

- V.41. N4. - P.565-572.

103. George W.K. Is there a universal log law for turbulent wall-bounded flows? / W.K. George // Phil. Trans. R. Soc. A. - 2007. - V.365. - P.789-806.

104. Wosnik, M. A theory for turbulent pipe and channel flows / M. Wosnik, L. Castillo, W.K. George // J. Fluid Mech. - 2000. - V.421. - P.115-145.

105. Buschmann M.H. Generalized logarithmic law and its consequences / M.H. Bushman, M. Gad-el-Hak // AIAA J. - 2003. - V.41. N1. - P.40-48.

106. Zanoun E.-S. Evaluating the law of the wall in two-dimensional fully developed turbulent channel flows / E.-S. Zanoun, F. Durst, H. Nagib // Phys. Fluids - 2003. - V.15. N.10. - P.3079-3089.

107. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии / А.Г. Касаткин - М.: Химия. - 1971. - 784 с.

108. Павлов К.Ф. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии / К.Ф. Павлов, П.Г. Романков, А.А. Носков - Л.: Химия. - 1987. - 576 с.

109. Берд Р. Явления переноса / Р. Берд, В. Стьюарт, Е. Лайтфут - М.; Химия. - 1984. - 688с.

110. Д.А. Баранов. Процессы и аппараты химической технологии. Явления переноса, макрокинетика, подобие, моделирование, проектирование. Т.2. Механические и гидромеханические процессы / Д.А. Баранов, В.Н. Блиничев, А.В. Вязьминов и др.; Под. ред. А.М. Кутепова. - М.: Логос, - 2001. - 600 с.

111. Zagarola M.V. Mean-flow scaling of turbulent pipe flow / M.V. Zagarola, A.J. Smith // J. Fluid Mech. - 1998. - V.373. - P. 33-79.

112. McKeon B.J. Further observations on the mean velocity distribution in fully developed pipe flow /B.J. McKeon, J. Li, J.F. Morrison, A.J. Smith //J. Fluid Mech. - 2004. - V.501. - P.135-147.

113. McKeon B.J. A new friction factor relationship for fully developed pipe flow / B.J. McKeon, M.V. Zagarola, A.J. Smith // J. Fluid Mech. - 2005. -V.538. - P. 429-443.

114. Wu X. A direct numerical simulation study on the mean velocity characteristic in turbulent pipe flow / X. Wu, P. Moin // J. Fluid Mech. - 2008. - V.608. - P.81-112.

115. Чесноков Ю.Г. Расчет некоторых характеристик турбулентного течения газа или жидкости в круглой трубе / Ю.Г. Чесноков // Журн. прикл. химии - 2010. - Т. 83. - С.1493-1498.

116. Чесноков Ю. Г. Новые формулы для расчета характеристик течения жидкости или газа в трубе кругового поперечного сечения / Ю.Г. Чесноков // Инженерно-физический журнал. - 2017. - Т. 90. №. 4.

- С. 1005-1011.

117. Eggels J.G.M. Fully developed pipe flow: a comparison between direct numerical simulation and experiment. / J.G.M. Eggels, F. Unger, M.H. Weiss, J. Westerweel, R.J. Adrian, R. Friedrich, F.T.M. Nieuwstadt // J. Fluid Mech.

- 1994. - V.268. - P.175-209.

118. Fukagata K. Highly energy-conservative finite difference method for cylindrical coordinate system / K. Fukagata, N. Kasagi // J. Comut. Phys. -2002. - V.181. - P. 478-498.

119. Chin C. The influence of pipe length on turbulence statistics computed from direct numerical simulation data. /C. Chin, A.S.H. Ooi, I. Marusic, H.M. Blackburn // Phys. Fluids - 2010. - V.22. - 115107.

120. El Khoury G.K. Direct numerical simulation of turbulent pipe flow at moderately high Reynolds numbers. / G.K. El Khoury, P. Schlatter, A. Noorani, P.F. Fischer, G. Brethouwer, A.V. Johansson // Flow Turbul. Combust. 2013. - V.91. - P.475-495.

121. Chin C. Reynolds number effects in DNS of pipe flow and comparison with channels and boundary layer / C. Chin, J.P. Monty, A.Ooi // Int. J. Heat Fluid Flow - 2014. - V.45. - P.33-40.

122. Чесноков Ю.Г. Отклонения от закона дефекта скорости, наблюдаемые при малых значениях числа Рейнольдса / Ю.Г. Чесноков // Журн. тех. физ. - 2011. - Т.81. - С.30-34.

123. Furuichi N. Friction factor and mean velocity profile for pipe flow at high Reynolds numbers. /N. Furuichi, Y. Terao, Y. Wada, Y. Tsuji // Phys. Fluids - 2015. - V.27. - 095108.

124. Romeo E. Improved explicit equations for estimation of friction factor in rough and smooth pipes / E. Romeo, K. Royo, A. Monzón // Chem. Eng. J.

- 2002. - V.86. - P.369-374.

125. Avci A. A novel explicit equation for friction factor in smooth and rough pipes / A. Avci, I. Karagoz // J. Fluid Eng. - 2009. - V.131. - 061203.

126. Ghanbari A. Newly developed friction factor correlation for pipe flow and flow assurance / A. Ghanbari, F.F. Farshad, H.H. Reice // J. Chem. Eng. Mat. Sci. - 2011. - V.2. - P.83-86.

127. Fang X. New correlations of single-phase friction factor for turbulent pipe flow and evaluation of existing single-phase friction factor correlations / X. Fang, Y. Xu, Z. Zhou // Nucl. Eng. and Des. - 2011. - V.241. - P.897-902.

128. McKeon B.J. Friction factor for smooth pipe flow. /B.J. McKeon, C.J. Swanson, M.V. Zagarola, R.J. Donnelly, A.J. Smits // J. Fluid Mech. - 2004.

- V.511. - P.41-44.

129. Gnielinski V. New equations for heat and mass transfer in turbulent pipe and channel flow / V. Gnielinski // Int. Chem. Eng. - 1976. - V.16. -P.359-368.

130. Чесноков Ю.Г. Влияние числа Рейнольдса на закономерности турбулентного течения жидкости в плоском канале / Ю.Г. Чесноков // Журн. тех. физ. - 2010. - Т.80. - С.33-39.

131. Churchill S.W. Friction factor equations spans all fluid-flow regimes / S.W. Churchill // Chem. Eng. - 1977. - V.84. - P.91.

132. Dean R.B. Reynolds number dependence of skin friction and other bulk flow variables in two-dimensional rectangular duct flow / R.B. Dean // J. Fluid Eng. - 1978. - V.100. N2. - P.215-223.

133. Zanoun E.-S. Evaluating the law of the wall in two-dimensional fully developed turbulent channel flows / E.-S. Zanoun, F. Durst, H. Nagib // Phys. Fluids. - 2003. - V.15. - P.3079-3089.

134. Schultz M.P. Reynolds-number scaling of turbulent channel flow / M.P. Schultz, K.A. Flak // Phys. Fluids. - 2013. - V.25. - 025104.

135. Kim J. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number / J. Kim, P. Moin, R.D. Mozer // J. Fluid Mech. - 1987. -V.172. - P.133-166.

136. Moser R.D. Direct numerical simulations of turbulent channel flow up to ReT = 590 / R.D. Mozer, J. Kim, N.N. Mansour // Phys. Fluids. - 1999. -V.11. - P.943-945.

137. Abe H. Direct numerical simulation of fully developed turbulent channel flow with respect to Reynolds number dependence / H. Abe, H. Kawamura, Y. Matsuo // J. Fluid Eng. - 2001. - V.123. - P.382-393.

138. Tsukahara T. DNS of turbulent channel flow at very low Reynolds numbers. /T. Tsukahara, Y. Seki, H. Kawamura, D. Tochio. // Proc. of the Forth. Int. Symp. on Turbulence and Shear Flow Phenomena. Williamsburg, USA. - 2005. - P.935-940.

139. Hu Z.W. Wall pressure and shear spectra from direct numerical simulations of channel flow up to ReT = 1440 / Z.W. Hu, C.L. Morfey, N.D. Sandham // AIAA Journal. - 2006. - V.44. N2. - P.1541-1549.

140. Hoyas S. Scaling of velocity fluctuations in turbulent channels up to ReT = 2003 / S. Hoyas, J. Himenez//Phys. Fluids.-2006.-V.18.-011702.

141. Vreman A.W. Comparison of direct numerical simulation databases of turbulent channel flow at R eT = 180 / A.W. Vreman, J.G.M. Kuerten // Phys. Fluids. - 2014. - V.26. - 015102.

142. Vreman A.W. Statistics of spatial derivatives of velocity and pressure in turbulent channel flow / A.W. Vreman, J.G.M. Kuerten // Phys. Fluids. -2014. - V.26. - 085103.

143. Lozano-Duran A. Effect of the computational domain on direct simulations of turbulent channels up to ReT = 4200 / A. Lozano-Duran, J. Himenez // Phys. Fluids. - 2014. - V.26. - 011702.

144. Bernardini M. Velocity statistics in turbulent channel flow up to ReT = 4000 / M. Bernardini, S. Pirozzoli, P. Orlandi // J. Fluid Mech. - 2014. -V.742. - P.171-191.

145. Orlandi P. Poiseulle and Couette flows in the transitional and fully turbulent regime / P. Orlandi, M. Bernardini, S. Pirozzoli // J. Fluid Mech. -2015. - V.770. - P.424-441.

146. Lee M. Direct numerical simulation of turbulent channel flow up to ReT = 5200 / M. Lee, R.D. Mozer // J. Fluid Mech. - 2015. - V.774. - P.395-415.

147. Yamamoto Y. Numerical evidence of logarithmic regions in channel flow at ReT = 8000 / Y. Yamamoto, Y. Tsuji // Phys. Rev. Fluids. 2018. V.3. 012602(R).

148. Pirozzoli S. Revisiting the mixing-length hypothesis in the outer part of turbulent wall layer: mean flow and wall friction / S. Pirozzoli // J. Fluid Mech. - 2014. - V.745. - P.378.

149. Чесноков Ю.Г. Зависимость от критерия Рейнольдса интегральных характеристик течения в плоском канале / Ю.Г. Чесноков // Известия Санкт-Петербургского государственного технологического института (технического университета). - 2016. - №. 36. - С. 104-107.

150. Чесноков Ю.Г. Влияние числа Рейнольдса на некоторые статистические характеристики пристенных турбулентных течений / Ю.Г. Чесноков // Известия Санкт-Петербургского государственного технологического института (технического университета). - 2018. - №. 42. - С. 68-72.

151. Sreenivasan, K.R., Sahay, A. The persistence of viscous effects in the overlap region, and the mean velocity in turbulent pipe and channel flows /

K.R. Sreenivasan, A. Sahay // Self-Sustaining Mechanisms of Wall Turbulence (ed. R. Panton). - 1997. Southampton: Computational Mechanics Publication - P.253-272.

152. Long, R.R. Experimental evidence for existence of the "mesolayer" in turbulent systems / R.R. Long, T.-C. Chen // J. Fluid Mech. - 1981. - V.105. - P.19-59.

153. Schlatter P. Assessment of direct numerical simulation data of turbulent boundary layers / P. Schlatter, R. Örlü // J. Fluid Mech. 2010. V.658. P.116-126.

154. Jimenez J. Turbulent boundary layers and channels at moderate Reynolds numbers. /J. Jimenez, S. Hoyas, M.P. Simens, Y. Mizuno // J. Fluid Mech. 2010. V.657. P.335-360.

155. Antonia R.A. Low-Reynolds-number effects in fully developed turbulent channel flow. /R.A. Antonia, M. Teitel, J. Kim, L.W.B. Browne // J. Fluid Mech. - 1992. - V.236. - P.579-605.

156. Bradshaw, P. The law of the wall in turbulent flow / P. Bradshaw, G.P. Huang //Proc. R. Soc. Lond. A. - 1995. - V.451. N 1941. - P.165-188.

157. Panton, R,L. Review of wall turbulence as described by composite expansions / R.L. Panton // Appl. Mech. Rev. - 2005. - V.58. - P.1-36.

158. Panton R. L. Composite asymptotic expansions and scaling wall turbulence / R.L. Panton // Phil. Trans. R. Soc. - 2007. - V.365. - P.733-754.

159. L'vov V. S. Universal model of finite Reynolds number turbulent flow in channels and pipes / V.S. L'vov, I. Procaccia, O. Rudenko O // Phys. Rev. Lett. - 2008. - V.100. - 054504.

160. Monkewitz P. A. Self-consistent high-Reynolds-number asymptotics for zero-pressure-gradient turbulent boundary layers / P.A. Monkewitz, K.A. Chauhan, H.M. Nagib //Physics of Fluids. - 2007. - V. 19. - N 11. -115101.

161. Iwamoto, K. Reynolds number effect on wall turbulence: toward effective feedback control / K. Iwamoto, Y. Suzuki, N. Kasagi // Int. J. Heat and Fluid Flow. - 2002. - V.23. - P.678-689.

162. Чесноков Ю.Г. Влияние числа Рейнольдса на среднеквадратичные значения проекций пульсационной составляющей скорости для течения в плоском канале /Ю.Г. Чесноков // Актуальные вопросы естественных и математических наук в современных условиях развития страны. Выпуск VI. Сборник научных трудов по итогам международной научно практической конференции (11 января 2019 г.) - Санкт-Петербург. -2019. - С.16-18.

163. Ю.Г. Чесноков. Влияние числа Рейнольдса на закономерности турбулентных течений вблизи твердых поверхностей / Ю.Г. Чесноков // Энергоресурсоэффективные экологически безопасные технологии и оборудование. Сборник научных трудов международного научно-технического симпозиума «Вторые международные Косыгинские чтения, приуроченные к 100-летию РГУ имени А.Н. Косыгина»: Т.1 -М.: ФГБОУВО «РГУ им. А.Н. Косыгина». - 2019. - С. 146-148.

164. Churchill S. W. Comprehensive correlating equations for heat, mass and momentum transfer in fully developed flow in smooth tubes / S.W. Churchill // Industrial & Engineering Chemistry Fundamentals. - 1977. - V. 16. N.1. - P. 109-116.

165. Churchill S. W. New simplified models and formulations for turbulent flow and convection / S.W. Churchill //AIChE Journal. - 1997. - V. 43. - N.5. - P. 1125-1140.

166. Churchill S. W. Theoretically based correlating equations for the local characteristics of fully turbulent flow in round tubes and between parallel plates / S.W. Churchill, C. Chan // Industrial & Engineering Chemistry Research. - 1995. - V. 34. N.4. - P. 1332-1341.

167. Churchill S. W. Prediction of fully developed turbulent convection with minimal explicit empiricism / S.W. Churchill, S.C. Zajic // AIChE Journal. -2002. - V. 48. N.5. - P. 927-940.

168. Кадер Б.А. Универсальный закон турбулентного тепло- и массопереноса от стенки при больших числах Рейнольдса и Пекле / Б. А. Кадер, А.М. Яглом //Докл. АН СССР. - 1970. - Т.190. №1. - С.65-68.

169. Kader B. A. Heat and mass transfer laws for fully turbulent wall flows / B.A. Kader, A.M. Yaglom //International Journal of Heat and Mass Transfer. - 1972. - V. 15. - N. 12. - P. 2329-2351.

170. Yaglom A. M. Heat and mass transfer between a rough wall and turbulent fluid flow at high Reynolds and Peclet numbers / A.M. Yaglom, B.A. Kader // Journal of Fluid Mechanics. - 1974. - V. 62. - N. 3. - P. 601623.

171. Кадер Б.А. Тепло- и массоперенос от стенок, покрытых двумерной шероховатостью, при больших числах Рейнольдса и Пекле / Б.А. Кадер //Теор. основы хим. технол. - 1979. - Т.13. №5. - С.663.

172. Kasagi N. Direct numerical simulation of passive scalar field in turbulent channel flow / N. Kasagi, Y. Tomita, A. Kuroda //ASME J. Heat Transf. - 1992. - V.144. N3. - P.598-606.

173. Kawamura H. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with low to medium-high Prandtl number fluid / H.Kawamura, Oshaka K., Abe H., Yamamoto K. //Int. J. Heat and Fluid Flow. - 1998. - V.19. N.5. - P.482-491.

174. Kawamura H. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with respect to Reynolds and Prandtl number effects / H. Kawamura, H. Abe, Y. Matsuo //International Journal of Heat and Fluid Flow. - 1999. - V. 20. N.3. - P. 196-207.

175. Abe H. Surface heat-flux fluctuations in a turbulent channel flow up to ReT = 1020 with Pr= 0.025 and 0.71 / H.Abe, H. Kawamura, Y. Matsuo // International Journal of Heat and Fluid Flow. - 2004. - V. 25. N.3. - P. 404419.

176. Redjem-Saad L. Direct numerical simulation of turbulent heat transfer in pipe flows: Effect of Prandtl number / L. Redjem-Saad, M. Ould-Rouiss, G. Lauriat // International Journal of Heat and Fluid Flow. - 2007. - V. 28. N.5. - P. 847-861.

177. Johnk R.E. Temperature profiles for turbulent flow of air in a pipe - I. The fully developed heat-transfer region / R.E. Johnk, T.J. Hanratty // Chem. Eng. Sci. - 1962. - V.17. N.11. - P.867-879.

178. Seena A. Power law velocity and temperature profiles in a fully developed turbulent channel flow /A. Seena, N. Afzal // J. Heat Transfer. -2008. - V.130. - 091701.

179. Kawamura H. Very large-scale structures observed in DNS of turbulent channel flow with passive scalar transport / H. Kawamura, H. Abe, Y. Matsuo //Proc. 15th Australasian Fluid Mechanics Conference. - 2004. - P. 15-32.

180. Pirozzoli S. Passive scalars in turbulent channel flow at high Reynolds number / S. Pirozzoli, M. Bernardini, P. Orlandi //J. Fluid Mech. - 2016. -V.788. - P.614-639.

181. Lluesma-Rodrigez F. Influence of computational domain on dns of turbulent heat transfer up to ReT = 2000 for Pr = 0.71 / F. Lluesma-Rodrigez, S. Hoyas, M.J. Perez-Quiles //Int. J. Heat Mass Transf. - 2018. -V.122. - P.983-992.

182. Alcantara-Avila F. DNS of thermal channel flow up to ReT = 2000 for medium to low Prandtl numbers / F. Alcantara-Avila, S. Hoyas, M.J. Perez-Quiles // Int. J. Heat Mass Transf. - 2018. - V.127. - P.349-361.

183. Чесноков Ю.Г. Теплоотдача в плоском канале при Рг = 0.71 по данным прямого численного моделирования / Ю.Г. Чесноков // Известия Санкт-Петербургского государственного технологического института (технического университета). - 2019. - №. 51. - С. 97-101.

184. Чесноков Ю.Г. Отклонения от закона дефекта температуры / Ю.Г. Чесноков // Журн. прикл. химии. - 2013. - Т.86. №2. - C.239-245.

185. Чесноков Ю. Г. О законе стенки для температуры / Ю.Г. Чесноков //Теоретические основы химической технологии. - 2017. - Т. 51. №. 2. -С. 230-234.

186. Чесноков Ю.Г. Теплообмен в плоском канале при турбулентном режиме течения в случае малых значений числа Прандтля по данным прямого численного моделирования/ Ю.Г. Чесноков //Известия Санкт-Петербургского государственного технологического института (технического университета). - 2021. - №. 56. - С. 57-60.

187. Wallace J. M. The measurement of vorticity in turbulent flows / J.M. Wallace, J.F. Foss // Ann. Rev. of Fluid Mech. - 1995. - V. 27. N.1. - P. 469514.

188. Kastrinakis E. G. Measurement of streamwise vorticity fluctuations in a turbulent channel flow / E.G. Kastrinakis, H. Eckelmann // J. Fluid Mech. -1983. - V. 137. - P. 165-186.

189. Balint J. L. The velocity and vorticity vector fields of a turbulent boundary layer. Part 2. Statistical properties / J.L. Balint, J.M. Wallace, P. Vukoslavcevic // J. Fluid Mech. - 1991. - V. 228. - P. 53-86.

190. Rajagopalan S. RMS spanwise vorticity measurements in a turbulent boundary layer / S. Rajagopalan, R.A. Antonia //Experiments in fluids. // Exp. Fluids. - 1993. - V.14. - P.142-144.

191. Honkan A. Vorticity, strain-rate and dissipation characteristics in the near-wall region of turbulent boundary layers / A. Honkan, Y. Andreopoulos // J. Fluid Mech. - 1997. - V.350. - P.29-96.

192. Agui J. H. A new laser vorticity probe—LAVOR: its development and validation in a turbulent boundary layer / J.H. Agui, Y. Andreopoulos // Exp. Fluids. - 2003. - V.34. - P.192-205.

193. Panton R. L. Scaling and correlation of vorticity fluctuations in turbulent channels / R.L. Panton // Phys. Fluids. - 2009. - V. 21. N.11. -115104.

194. Antonia R. A. Scaling of mean square vorticity in turbulent flows / R.A.

Antonia, S. Rajagopalan, Y Zhu // Exp. Fluids. - 1996. - V. 20. N.5. - P. 393394.

195. Ландау Л.Д. Механика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - М.: ГИТТЛ. - 1955. - 788 с.

196. Sillero J. A. One-point statistics for turbulent wall-bounded flows at Reynolds numbers up to 5+~ 2000 / J.A. Sillero, J. Jiménez, R.D. Mozer // Phys. Fluids. - 2013. - Т. 25. - №. 10. - 105102.

197. Чесноков Ю. Г. Влияние числа Рейнольдса на распределение пульсационной составляющей вихря скорости по сечению плоского канала / Ю.Г. Чесноков // Журнал технической физики. - 2019. - Т. 89. №3. - С.347-352.

198. Yakhot V. Scaling of global properties of turbulence and skin friction in pipe and channel flows / V. Yakhot, S.C.C. Bailey, A.J. Smits // J. Fluid Mech. - 2010. - V. 652. - P. 65-73.

199. Monkewitz P. A. Large-Reynolds-number asymptotics of the streamwise normal stress in zero-pressure-gradient turbulent boundary layers / P.A. Monkewitz, H.M. Nagib // J. Fluid Mech. - 2015. - V. 783. - P. 474503.

200. Marusic I. Scaling of the streamwise turbulence intensity in the context of inner-outer interactions in wall turbulence / I. Marusic, W.J. Baars, N. Hutchins // Phys. Rev. Fluids. - 2017. - V. 2.N. 10. - 100502.

201. Avsarkisov V. Turbulent plane Couette flow at moderately high Reynolds number. / V. Avsarkisov, S. Hoyas, M. Oberlack, J.P. Garcia-Galache. // J. Fluid Mech. 2014. V.751. - R1

202. Чесноков Ю. Г. Влияние числа Рейнольдса на распределение кинетической энергии турбулентных пульсаций по сечению плоского канала / Ю.Г. Чесноков // Журнал технической физики. - 2019. - Т.89. №6. - С.844-849.

203. Терновский И.Г. Гидроциклонирование / И.Г. Терновский, А.М. Кутепов - М.: Наука. - 1994. - 350 с.

204. Непомнящий Е.А. Гидродинамический расчет гидроциклона / Е.А. Непомнящий, В.В. Павловский // ТОХТ. - 1977. - Т.11, №1. - С. 101-106.

205. Иванов А.А. Расчет поля скоростей в гидроциклоне / А.А. Иванов, Н.А. Кудрявцев // ТОХТ. - 1987. - Т.21, №2. - С.237-243.

206. Иванов А.А. Гидродинамика и сепарация в гидроциклоне / А.А. Иванов, Н.А. Кудрявцев, И.А. Лунюшкина // Журн. прикл. хим. - 1987. - Т.60, №5. - С.1047-1051.

207. Meadley C.K. A basic theory of hydrocyclone mechanics /C.K. Meadley // J. Mec. - 1972. - V.11, №3. - P. 393-401.

208. Bloor M.I.G. Theoretical investigation of the flow in conical hydrocyclone / M.I.G. Bloor, D.B. Ingham // Trans. Instn. Chem. Engrs. -1973. - V.51, №1. - P.36-41.

209. Bloor M.I.G. On the efficiency of the industrial cyclone / M.I.G. Bloor, D.B. Ingham // Trans. Instn. Chem. Engrs. - 1973. - V.51, №3. - P. 173-176.

210. Bloor M.I.G. Turbulent spin in a cyclone / M.I.G. Bloor, D.B. Ingham // Trans. Instn. Chem. Engrs. - 1975. - V.53, №1. - P. 1-6.

211. Bloor M.I.G. The flow in industrial cyclone / M.I.G. Bloor, D.B. Ingham // J. Fluid Mech. - 1987. - V. 178. - P. 507-519.

212. Bloor M.I.G. The leakage effect in the industrial cyclone / M.I.G. Bloor, D.B. Ingham // Trans. Instn. Chem. Engrs. - 1975. - V.53, №1. - P. 7-11.

213. Bloor M.I.G. Boundary layer flows on the side walls of conical cyclone / M.I.G. Bloor, D.B. Ingham // Trans. Instn. Chem. Engrs. - 1976. - V.54, №1. - P. 276-280.

214. Bhattacharyya P. Theoretical study of the flow field inside a hydrocyclone with vortex finder diameter greater than that of apex opening. Part 1. Laminar case / P. Bhattacharyya // Appl. Sci. Res. - 1980. - V.36, № 3. - P. 197-212.

215. Bhattacharyya P. Theoretical study of the flow field inside a hydrocyclone with vortex finder diameter greater than that of apex opening.

Part 2. Turbulent case / P. Bhattacharyya // Appl. Sci. Res. - 1980. - V.36, № 3. - P. 213-225.

216. Davidson M.R. Similarity solutions for flow in hydrocyclone / M.R. Davidson // Chem. Eng. Sci. - 1988 - V.43, №7. - P. 1499-1505.

217. Barber T. A. On the Beltramian motion of the bidirectional vortex in a conical cyclone / T.A. Barber, J. Majdalani // J. Fluid Mech. - 2017. - V. 828.

- P. 708-732.

218. Boysan F. A fundamental mathematical modelling approach to cyclone design / F. Boysan, W.H. Ayers, J. Swithenbank // Trans. Instn Chem. Engrs.

- 1982. - V.60, № 4. - P. 222-230.

219. Hsieh K.T. Matematical model of the hydrocyclone based on physics of fluid flow / K.T. Hsieh, R.K. Rajamani // AIChE J. - 1991. - V. 37, №5. -P.735-746.

220. Дик И.Г. Моделирование гидродинамики сепарации в гидроциклоне / И.Г. Дик, О.В. Матвиенко, Т. Неесе // ТОХТ. - 2000. -Т.34, №5. - С. 478-488.

221. Brennan M. CFD simulations of hydrocyclones with an air core. Comparison between large eddy simulations and a second moment closure / M. Brennan // Chem. Eng. Res. Des. - 2006. - V. 84. - P. 495-505.

222. Narasimha M. A review of CFD modelling for performance predictions of hydrocyclone / M. Narasimha, M. Brennan and P. N. Holtham // Eng. Appl. of Comp. Fluid Mech. - 2007. - V.1. - P. 109-125.

223. Lim E.W.C. Experimental and computational studies of multiphase hydrodynamics in a hydrocyclone separator system / E. W. C. Lim, Y.-R. Chen, C.-H. Wang, R.-M. Wu // Chem. Eng. Sci. - 2010. - V. 65.-P. 64156424.

224. Murthy Y. R. Parametric CFD studies on hydrocyclone / Y. R. Murthy, K. U. Bhaskar // Powder Technology. - 2012. - V. 230. P. 36-47.

225. Zhu G. Computational study of the flow characteristics and separation efficiency in a mini-hydrocyclone / G. Zhu, J.-L. Liow, A. Neely // Chem. Eng. Res. Des. - 2012. - V. 90. - P. 2135-2147.

226. Ji L. Computational analysis and optimization of hydrocyclone size to mitigate adverse effect of particle density / L. Ji, S. Kuang, Z. Qi, Y. Wang, J. Chen, A. Yu // Separation and Purification Technology - 2017. - V. 174. -P. 251-263.

227. Razmi H. CFD simulation of an industrial hydrocyclone based on multiphase particle in cell (MPPIC) method / H. Razmi, A. S. Goharrizi, A. Mohebbi // Separation and Purification Technology - 2019. - V. 209. - P. 851-862.

228. Кутепов А.М. Метод расчета показателей разделения суспензий в гидроциклонах / А.М. Кутепов, М.Г. Лагуткин, Д.А. Баранов // ТОХТ -1994. - Т.28, №3. - С.207-211.

229. Баранов Д.А. Расчет сепарационных процессов в гидроциклонах / Д.А. Баранов, А.М. Кутепов, М.Г. Лагуткин // ТОХТ. - 1996. - Т.30, №2.

- С.117-122.

230. Dyakowski T. Simulation of non-newtonian flow in hydrocyclone / T. Dyakowski, G. Hornung, R.A. Williams // Chem. Eng. Res. and Des. - 1994.

- V.72, №4. - P. 513-520.

231. Яблонский В.О. Гидродинамика течения неньютоновской жидкости в гидроциклоне / В.О. Яблонский // Журн. прикл. хим. - 2000.

- Т.73, №1. - С.95-99.

232. Яблонский В.О. Моделирование поля концентрации твердой фазы в гидроциклоне при разделении суспензий напорной флотацией / В.О. Яблонский, Г.В. Рябчук // Журн. прикл. хим. - 2002. - Т.75, №10. -С.1687-1695.

233. Чесноков Ю.Г., Бауман В.А., Флисюк О.М. Математическая модель поля скоростей жидкости в гидроциклоне / Ю.Г. Чесноков, В.А. Бауман, О.М. Флисюк // Математические методы в технике и

технологиях - МММТ-16: Сб. трудов XVI международ. научн. конф. В 10-и т. Т.10. Секция 11 - С.-Петербург. - 2003. - С.107-108.

234. Бауман В.А., Чесноков Ю.Г. Методика технологического расчета процесса гидроциклонирования суспензии гидроксида алюминия / В.А. Бауман, Ю.Г. Чесноков // Сборник докладов XI международной конференции «Алюминий Сибири». - Красноярск. 2005. - С. 205-211.

235. Чесноков Ю.Г. Расчет поля скоростей жидкости в гидроциклоне / Ю.Г. Чесноков, А.В. Бауман, О.М. Флисюк // Журн. прикл. химии. -2006. - Т.79. №5. - С.783-786.

236. Гольдштик М.А. Вихревые потоки / М.А. Гольдштик -Новосибирск: Наука. - 1981. - 366 с.

237. Кузнецов А.А. Турбулентность в гидроциклоне / А.А. Кузнецов, А.М. Кутепов, И.Г. Терновский // Журн. прикл. химии. - 1980. - Т. 23. № 11. - С. 1442 - 1445.

238. Monderon T.C. Fluid flow model of the hydrocyclone / T.C. Monderon, K.T. Hsieh, R.K. Rajamani // Int. J. Miner. Process. - 1992. - V. 35, N 1-2. -P. 65 - 83.

239. Bradley D. The hydrocyclone / D. Bradley - Oxford.: Pergamon Press. - 1965. - 330 p.

240. Batchelor G.K. Sedimentation of a dilute dispersion of spheres // J. Fluid Mech. - 1972. - V.52. - P. 245-268.

241. Richardson J.F. Sedimentation and fluidization: Part I / J.F. Richardson, W.N. Zaki // Trans. Inst. Chem. Eng. - 1954. - V.32. - P.35-53.

242. Garside J. Velocity - voidage relationship for fluidization and sedimentation in solid liquid systems / J. Garside, M.R. Al-Dibouni // Ind. Eng. Che. Proc. Des. Dev. - 1977. - V.16. - P.206-214.

243. Smith T.N. The differential sedimentation of two different species // Trans. Inst. Chem. Eng. - 1965. - V. 43. - P. 69-72.

244. Smith T.N. The sedimentation of particles having a dispersion of sizes // Trans. Inst. Chem. Eng. - 1967. - V. 46. - V. 44. - P. T153-T157.

245. Smith T.N. The differential sedimentation of particles of various species // Trans. Inst. Chem. Eng. - 1967. - V. 45. - P. T311.

246. Lockett J.M. Differential settling by size of two particle species in a liquid / J.M. Lockett, H.H. Al-Habbooby // Trans. Inst. Chem. Eng. - 1973. - V. 51. - P. 281-292.

247. Mizra S. Sedimentation of particles of two or more sizes / S. Mizra, J.F. Richardson // Chem. Eng. Sci. - 1979. - V. 34. - P. 447-454.

248. Masliach J.H. Hindered settling of a multi - species particle system // Chem. Eng. Sci. - 1979. - V. 34. - P. 1166-1168.

249. Reed C.C. Hindered settling of suspension at low Reynolds number / C.C. Reed, J.L. Amundson // AIChE J. - 1980. - V. 26, N 5. - P. 816-827.

250. Batchelor G.K. Sedimentation in a dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 1. General theory // J. Fluid Mech. - 1982. - V. 119. - P.379-408.

251. Batchelor G.K. Sedimentation in a dilute polydisperse system of interacting spheres. Part 2. Numerical results / G.K. Batchelor, C.-S. Wen // J. Fluid Mech. - 1982. - V. 124. - P. 495-528.

252. Selim M.S. Sedimentation of multisized particles in concentrated suspension / M.S. Selim, A.C. Kothari, R.M. Turian // AIChE J. - 1983. -V. 29, N6. - P. 1029-1038.

253. Patwardhan V.C. Sedimentation and liquid fluidization of solid particles of different sizes and densities / V.C. Patwardhan, C. Tien // Chem. Eng. Sci. - 1985. - V. 40. - P.1051-1060.

254. Davis R.H. Hindered settling of semidilute monodisperse and polidisperse suspensions / R.H. Davies, K.H. Birdsell // AIChE J. - 1983. -V.34. - P.123-129.

255. Al-Naafa M.A. Sedimentation of polydisperse concentrated suspensions / M.A. Al-Naafa, M.S. Selim // Can. J. Chem. Eng. - 1989. -V.67, N2. - P. 253-264.

256. Брагинский Л.Н. Перемешивание в жидких средах: Физические основы и инженерные методы расчета / Л.Н. Брагинский, В.И. Бегачев, В.М. Барабаш - Л.: Химия. - 1984. - 336 с.

257. Данквертс П.В. Газожидкостные реакции / П.В. Данкверст - М.: Химия. - 1973. - 296 с.

258. Рамм В.М. Абсорбция газов / В.М. Рамм - М.: Химия. - 1976. - 656 с.

259. Clift R. Bubbles, drops and particles / R. Clift, J.R. Grace, M.E. Weber

- N.Y.: Acad. Press. - 1978. - 380 p.

260. Чесноков Ю.Г. Сила сопротивления, действующая на сферический газовый пузырек и сферическую каплю / Ю.Г. Чесноков // Журн. прикл. химии. - 1993. - Т.66. №8. - С. 1722 - 1726.

261. Martin M. On the influence of the liquid physical properties on bubble volumes and generation times / M. Martin, F.J. Montes, M.A. Gelan // Chem. Eng. Sci. - 2006. - V.61. - P.5196-5203.

262. Stanovsky P. Meniscus dynamics in bubble formation: a parametric study / P. Stanovsky, M.C. Ruzicka, A. Martines, J.A. Teixeira // Chem. Eng. Sci. - 2011. - V.66. - P.3258-3267.

263. Kantaraci N. Bubble columns reactors / N. Rfntaraci, F. Borak, K.O. Ulgen //Process Biochemistry. - 2005. - V.40. - P.2263-2283.

264. Bai W. Numerical investigation of gas holdup and phase mixing in bubble columns reactors / W. Bai, N.G. Deen, J.A.M. Kuipers //Ind. Eng. Chem. Res. - 2012. - V.51. - P.1949-1961.

265. Чесноков Ю.Г. Циркуляция жидкости в барботажном слое / Ю.Г. Чесноков, И.О. Протодьяконов //Журн. прикл. химии. - 1984. - Т.57. №21.

- С. 2440 - 2444.

266. Sokolichin A. Simulation of buoyancy driven bubbly flow: established simplification and open question / A. Sokolichin, G. Eigenberg, A. Lapin // AIChE Journal. - 2004. - V.50. N1. - P. 24-45.

267. Флисюк О.М. Изучение перемешивания жидкости в кольцевом зазоре емкости /О.М Флисюк, О.Н. Круковский, Ю.Г. Чесноков, Е.И. Борисова, М.В. Шипоров, Е.В. Виноградова. // Материалы научной конференции, посвященной 186-й годовщине образования СПбГТИ(ТУ). - С.-Петербург. - 2014. - С.264.

268. Флисюк О.М. Математическая модель процесса барботажного перемешивания жидкости в аппарате кольцевого сечения /О.М Флисюк, Ю.Г. Чесноков, О.Н. Круковский, Е.И. Борисова // Журн. прикл. химии.

- 2015. - Т.88. - №11. - С.1643-1647.

269. Монодиспергирование вещества: принципы и применение/ Аметистов Е.В., Блаженков В.В., Городов А.К. и др. - М.: Энергоиздат.

- 1991. - 336 с.

270. Bogy D.B. Drop formation in a circular liquid jet / D.B. Bogy //Ann. Rev. Fluid Mech. - 1979. - V.11, N1. - P.207-228.

271. Eggers J. Nonlinear dynamics and breakup of free-surface flows /J. Eggers // Rev. Mod. Phys. - 1997. - V.69, N.3. - P.865-929.

272. Lin S.P. Breakup of liquid sheets and jets / S.P. Lin - Cambridge Univ. Press. - 2003. - 275 p.

273. Eggers J. Physics of liquid jets / J. Eggers, E. Villermaux // Rep. Prog. Phys. - 2008. - V.21. - 036601.

274. Yuen M.-C. Non-linear capillary instability of a liquid jet / M.-C. Yuen // J. Fluid Mech. - 1968. - V.33. N1 - P.151-163.

275. Wang D.P. Finite amplitude effect on the stability of a jet of circular cross-section / D.P. Wang // J. Fluid Mech. - 1968. - V.34. N2. - P.299-313.

276. Nayfeh A.H. Nonlinear stability of a liquid jet / A.H. Nayfeh //Phys. Fluids. - 1970. - V.13. N4. - P.841-847.

277. Маркова М.П. О нелинейном развитии капиллярных волн в струе жидкости / М.П. Маркова, В.Я. Шкадов // Изв. АН СССР, МЖГ. - 1972.

- N3. - С.30-37.

278. Kakutani T. Nonlinear capillary waves on the surface of liquid column / T. Kakutani, Y. Inoue, T. Kan // J. Phys. Soc. Japan .1974. - V.37.N2. -P.529-538.

279. Lafrance P. Nonlinear breakup of a laminar liquid jet / P. Lafrance // Phys. Fluids. - 1975. - V.18. N4. - P.428-432.

280. Chaudhary K.C. The nonlinear capillary instability of a liquid jet. Part.1. Theory / K.C. Chaudhary, L.G. Redekopp // J. Fluid Mech. - 1980. -V.96. N2. - P.257-274.

281. Fromm J.E. Numerical calculation of the fluid dynamics of drop-on-demand jets / J.E. Fromm // IBM J. Res. Dev.1984. - V.28. N3. - P.322-333.

282. Bousfield D.W. Nonlinear analysis of the surface tension driven breakup of viscoelastic filaments / D.W. Bousfield, R. Keunings, G. Marrucci, M.M. Denn // J. Non-Newt. Fluid Mech. - 1986. - V.21. N1. - P.79-97.

283. Shokoohi F., Elrod H.G. Numerical investigation of the disintegration of liquid jets. // J. Comput. Phys. - 1987. - V.71. N2. - P.324-342.

284. Mansour N.N. Satellite formation in capillary jet breakup / N.N. Mansour, T.S. Lundgren // Phys. Fluids. A: Fluid Dynamics. - 1990. - V.A2. N7. - P.1141-1144.

285. Владимиров В.В. Особенности образования капель при развитии неустойчивости Рэлея в цилиндрических нитях жидкости / В.В. Владимиров, В.Н. Горшков // ЖТФ. - 1990. - Т.60. Вып.П. - С.197-200.

286. Ashgriz N. Temporal analysis of capillary jet breakup / N. Ashgriz, F. Mashayek //J. Fluid Mech. - 1995. - V.291. - P.163-190.

287. Huynh H. Instability of a liquid jet subjected to disturbances composed of two wave numbers / H. Huynch, N. Ashgriz, F. Mashaek // J. Fluid Mech.

- 1996. - V.320. - P.185-210.

288. Lee H.C. Drop formation in a liquid jet / H.C. Lee // IBM J. Res. Dev.

- 1974. - V.18. N4. - P.364-369.

289. Pimbley W.T. Drop formation from a liquid jet: a linear one-dimensional analysis considered as boundary value problem / W.T. Pimbley //IBM J. Res. Dev. - 1976. - V.20. - P.148-156.

290. Bogy D.B. Use of one-dimensional Cosserat theory to study instability of a viscous liquid jet / D.B. Bogy // Phys. Fluids. - 1978. - V.21. N2. - P.190-197.

291. Bogy D.B. Wave propagation and instability in a circular semi-infinite liquid jet harmonically forced at the nozzle / D.B. Bogy // Trans. ASME E: J. Appl. Mech. - 1978. - V.45. - P.469-474.

292. Bogy D.B. Break-up of a liquid jet: second perturbation solution for one-dimensional Cosserat theory / D.B. Bogy // IBM J. Res. Dev. - 1979. -V.23. - P.87-92.

293. Блаженков В.В. О вынужденном капиллярном распаде струй жидкостьи / В.В. Блаженков, А.Ф. Гиневский, В.Ф. Гунбин, А.С. Дмитриев // Изв. АН СССР, МЖГ. - 1988. - N2. - С.53-61.

294. Епихин В.Е. Численное моделирование неоднородного распада капиллярных струй / В.Е. Епихин, В.Я. Шкадов //Изв. РАН, МЖГ. -1993. - N2. - С.12-17.

295. Блаженков В.В. Нелинейная эволюция волн при вынужденном капиллярном распаде струй / В.В. Блаженков, А.Ф. Гиневский, В.Ф. Гунбин, А.С. Дмитриев, С.И. Щеглов // Изв. РАН. - МЖГ. - 1993. - N3. - С.54-60.

296. Разумовский Н.А. О форме капель и сателлитов, образующихся при вынужденном капиллярном распаде струй жидкости / Н.А. Разумовский // ЖТФ. - 1993. - Т.63. Вып.9. - С.26-45.

297. Eggers J. Drop formation in a one-dimensional approximation of the Navier-Stokes equation / J. Eggers, T.F. Dupont //J. Fluid Mech. - 1994. -V.262. - P.205-221.

298. Eggers J. Universal pinching of 3-D free-surface flow / J. Eggers //Phys. Rev. Lett. - 1993. - V.71. N21. - P.3458-3460.

299. Eggers J. Theory of drop formation / J. Eggers //Phys. Fluids. - 1995. -V.7. N5. - P.941-953.

300. Brenner M.P. Iterated instabilities during droplet fission / M.P. Brenner, X.D. Shi, S.R. Nagel // Phys. Rev. Lett. - 1994. - V.73. N25. - P.3391-3394.

301. Brenner M.P. Pinching threads, singularities and number 0.0304 / M.P. Brenner, J.R. Lister, H.A. Stone //Phys. Fluids. - 1996. - V.8. N11. - P.2827-2836.

302. Garcia F.J. One-dimensional models for slender axisymmetric viscous liquid jets / F.J. Garcia, A. Castellanos // Phys. Fluids. - 1994. - V.6. N8. -P.2676-2689.

303. Bechtel S.E. Recovery of the Rayleigh capillary instability from slender 1-D inviscid and viscous models / S.E. Bechtel, C.D. Carlson, M.G. Forest // Phys. Fluids. - 1995. - V.7, N12. - P.2956-2971.

304. Middleman S. Expansion and contraction of capillary jets of Newtonian fluid / S. Middleman, J. Gavis // Phys. Fluids. - 1961. - V.4. - P.353-359. Errata. // Phys. Fluids. - 1961. - V.4. - P.1450.

305. Goren S.L. The shape of low-speed capillary jets of Newtonian liquid / S.L. Goren, S. Wronski // J. Fluid Mech. - 1966. - V.25. - P.185-191.

306. Gavis J. Expansion and contraction of jets of Newtonian liquid in air: Effect of tube length / J. Gavis, M. Modan // Phys. Fluids. - 1967. - V.10. -P.487-497.

307. Bilgen E. Expansion - contraction behavior of dilute polymer solution / E. Bilgen // Canad. J. Chem. Engrg. - 1971. - V.49. - P.732-736.

308. Philippe C. Measure de vitesses dans un écoulement laminaire axiymmétrique par une technique optique de visualization en lumière cohérente / C. Philippe, C. Froehly // Z. Angew. Math. Phys. - 1983. - V.34. - P.137-153.

309. Yamaguchi R. Flow pattern near the outlet of a straight long circular tube. 1. Experimental study of velocity profile / R. Yamaguchi, K. Takahashi // Bull. JSME. - 1980. - V.23. - P.1798-1805.

310. Harmon D.B. Drop size from low speed jets / D.B. Harmon // J. Franklin Inst. - 1955. - V.259. - P.519-522.

311. Slattery J.S. Effect of surface tension in measurement of the average normal stress at the exit of a capillary tube through an analysis of the capillary jet / J.S. Slattery, W.R. Schowalter // J. Appl. Polym. Sci. - 1964. - V.8. -P.1941-1947.

312. Vrentas J.S. Inertia and surface tension effects in Newtonian liquid jets / J.S. Vrentas, C.V. Vrentas // Internat. J. Multiphase Flow. - 1982. - V.8. -P.559-564.

313. Scriven L.E. Fluid dynamics and diffusion calculations for laminar liquid jets / L.E. Scriven, R.L. Pigford // AIChE J. - 1959. - V.5. - P.397-402.

314. Middleman S. Profile relaxation in Newtonian jets / S. Middleman // Ind. Engrg Chem. Fundamentals. - 1964. - V.3. - P.118-122.

315. Goren S.L. Development of the boundary layer at a free surface from uniform shear flow / S.L. Goren // J. Fluid Mech. - 1966. - V.25. - P.87-95.

316. Tillett J.P.K. On laminar flow in a free jet at high Reynolds numbers / J.P.K. Tillett // J. Fluid Mech. - 1968. - V.32. - P.273-292.

317. Miyake Y. On the axi-symmetric laminar flow of liquid jet / Y. Miyake, C. Yamaji //Tech. Rep. Osaka Univ. - 1976. - V.26. - P.527-537.

318. Miyake Y. On two-dimensional laminar jet / Y. Miyake, E. Mukai, Y. Iemoto // Bull. JSME. - 1979. - V., N.172. - P.1382-1389.

319. Philippe C. Etude de l'établissment d'un jet liquid laminaire émergeant d'une conduit cylindrique vertical semi-infinite et soumis a l'influence de la gravité / C. Philippe, P. Dumargue // Z. Angew. Math. Phys. - 1991. - V.42. - P.227-247.

320. Lienhard J.H. Effect of gravity and surface tension upon liquid jets leaving Poiseuille tubes / J.H. Lienhard // Trans. ASME, J. Basic Engrg -1968. - V.90. - P.262-268.

321. Duda J.L., Vrentas J.S. Fluid mechanics of laminar liquid jets / J.L. Duda, J.S. Vrentas // Chem. Eng. Sci. - 1967. - V.22. - P.855-869.

322. Gear R.L. The shape of low Reynolds number jets / R.L. Gear, M. Keentok, J.F. Milthorpe, R.I. Tanner // Phys. Fluids - 1893. - V.26. - P.7-9.

323. Horfall F. A theoretical treatment of die swell in a Newtonian liquid / F. Horfall // Polymer - 1973. - V.14. - P.262-266.

324. Nickel R.E. The solution of viscous incompressible jet and free surface flows using finite element methods / R.E. Nickel, R.I. Tanner, B. Caswell // J. Fluid Mech. - 1974. - V.65. - P.189-206.

325. Omodei B.J. On the die swell of an Newtonian jet / B.J. Omodei // Comput. Fluids - 1980. - V.8. - P.275-289.

326. Reddy K.R. Finite element solution of viscous jet flows with surface tension / K.R. Reddy, R.I. Tanner // Comput. Fluids - 1978. - V.6. - P.83-91.

327. Wilson D.E. A similarity solution for the axisymmetric viscous-gravity jet / D.E. Wilson // Phys. Fluids - 1986. - V.29. - P.632-639.

328. Hill G.A. Die swell experiments for Newtonian fluids / G.A. Hill, C.L. Chenier // Canad. J. Chem. Engrg. - 1984. - V.62. - P.40-45.

329. Debler W. The break-up of laminar liquid jets / W. Debler, D. Wu // Proc. Roy. Soc. London - 1988. - V. A415(1848). - P.107-119.

330. Goldstein S. Concerning some solutions of the boundary layer equations in hydrodynamics / S. Goldstein // Proc. Cambridge Phil Soc. -1930. - V.26. - P.1.

331. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский -М. Наука. - 1973. - 847 с.

332. Chesnokov Y.G. Free surface of high speed capillary jet / Y.G. Chesnokov, N.A. Razumovskij // Appl. Sci. Res. - 1999. - V.59.N1. - P.77-88.

333. Bogy D.B. Break-up of a liquid jet: third perturbation Cosserat solution / D.B. Bogy // Phys. Fluids. - 1979. - V.22. N2. - P.224-230.

334. Papageorgiou D.T. On the break-up of viscous liquid threads / D.P. Papageorgiou // Phys. Fluids. - 1995. - V.7. N7. - P.1529-1544.

335. Papageorgiou D.T. Analytical description of the breakup of liquid jets / D.T. Papageorgiou // J. Fluid Mech. 1995. V.301. P.109-132.

336. Чесноков.Ю.Г. Капиллярный распад струи идеальной жидкости на капли в результате роста длинноволновых возмущений / Ю.Г. Чесноков // Журн. прикл. химии. - 2000. - Т.73. №.3. - С.448-452

337. Donnelly R.J. Experiments on the capillary instability of a jet / R.J. Donnelly, W. Glaberson // Proc. R. Soc. London Ser.A. - 1966. - V.A290. N1423. - P.547-556.

338. Goedde E.F. Experiments on liquid jet instability / E.F. Goedde, M.C. Yuen // J. Fluid Mech. - 1970. - V.40. N3. - P.495-511.

339. Дильман В.В. Методы модельных уравнений и аналогий в химической технологии / В.В. Дильман, А.Д.. Полянин - М.: Химия. -1988. - 304 с.

340. Чесноков.Ю.Г. Расчет процесса капиллярного дробления струи жидкости на капли по линейной теории / Ю.Г. Чесноков // Журн. прикл. химии. - 2001. - Т.74. №.6. - С.954-958

341. Tomotika S. Breaking up of a drop of viscous liquid immersed in another viscous fluid wich is extending at a uniform rate / S. Tomotika // Proc. Roy. Soc. London., Ser. A. - 1936. - V.153. N879. - P.302-318.

342. Khakhar D.V. Breakup of liquid threads in linear flows / D.V. Khakhar, J.M. Ottino // Intern. J. Multiphase Flow. - 1987. - V.13. N1. - P.71-86.

343. Андреев В.К. Об устойчивости нестационарной круглой струи идеальной несжимаемой жидкости / В.К. Андреев // Прикл. мех. и техн. физ. - 1972. - №4. - С.80-84.

344. Разумовский Н.А. Капиллярные волны на поверхности растягивающейся цилиндрической струи жидкости / Н.А. Разумовский, Ю.Г. Чесноков // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 1999. - №6. -С.97-104.

345. Чесноков Ю.Г. Короткие капиллярные волны на поверхности растягивающейся цилиндрической струи вязкой жидкости / Ю.Г. Чесноков // Прикл. мех. и техн. физ. - 2001. - Т.42. №3. - С.56-62.

346. Чесноков Ю.Г. Механизм дробления деформирующихся капель вязкой жидкости в распылительном аппарате / Ю.Г. Чесноков // Журн. прикл. химии. 2001. - Т.74. №.12. - С.2001-2005

347. Чесноков.Ю.Г. Нелинейное развитие капиллярных волн в струе вязкой жидкости / Ю.Г. Чесноков // Журн. техн. физ. - 2000. - Т.70. №8.

- С.31-38.

348. Dumouchel C. On the experimental investigation on primary atomization of liquid streams / C. Dumouchel // Exp. Fluids - 2008. - V. 45.

- P. 371-422.

349. van Hoeve, W. Breakup of diminutive Rayleigh jets / W. van Hoeve, S. Gekle, J. H. Snoeijer, M. Versluis, M.P. Brenner, D. Lohse. // Phys. Fluids -2010. - V. 22. 122003.

350. Бондарева Н.В. Экспериментальное исследование влияния числа Онезорге на размеры капель, образовавшихся в результате капиллярного распада струи / Н.В. Бондарева, А.Л. Григорьев, Т.Г. Коровин, А.А. Коротеев, А.А. Сафронов, Т.Д. Скоробогатько, Н.И. Филатов, А.В. Хлынов А.В. // Теплофизика и аэромеханика. - 2019. - Т. 26. - С. 773777.

351. Ahmed, M. A one-dimensional model of viscous liquid jets breakup / M. Ahmed, M. Abou Al-Sood, A. Ali // J. Fluids Eng. - 2011. - V. 133. -114501.

352. Driessen T. Control ofjet breakup by a superposition of two Rayleigh-Plateau unstable modes / T. Driessen, P. Sleutel, F. Dijksman, R. Jeurissen D. Lohse // J. Fluid Mech. - 2014. - V. 749. - P. 275-296.

353. Lakdawala A.M. DGLSM based study of temporal instability and formation of satellite drop in a capillary jet breakup / A.M. Lakdawala, R. Thaokar, A. Sharma // Chem. Eng. Sci. - 2015. - V. 130. - P. 239-253.

354. Chakraborty I. Numerical simulation of axisymmetric drop formation using a coupled level set and volume of fluid method / I. Chakraborty, M. Rubio-Rubio, A. Sevilla, J.M. Gordillo // Int. J. Multiphase Flow. - 2016. -V. 84. - P. 54-65.

355. Rosello M. Numerical investigation of the influence of gravity on the Rayleigh-Plateau jet instability / M. Rosello, G. Maitrejean, D. C. D. Roux, P. Jay // Fluid Dyn. Res. - 2016. - V. 48. - 061422.

356. Xie L. Instability of gas-surrounded Rayleigh viscous jets: Weakly nonlinear analysis and numerical simulation / L. Xie, L. Yang, H. Ye // Phys. Fluids. - 2017. - V. 29. - 074101.

357. Сафонов А.А. Особенности капиллярного распада струи жидкости при числах Онезорге больше единицы / А.А. Сафонов // Инж. - Физ. Журн. - 2017. - Т.90. - С. 176-185.

358. Yang L.-J. Nonlinear spatial instability of a slender jet / L.-J. Yang, T. Hu, P.-M. Chen, H.-Y. Ye // Atomization and Sprays - 2017. - V. 27. - P. 1041-1061.

Приложения

в составе:

Справки об использовании результатов исследований.

ООО «Альтернативная Энергетика РО» 196105, Санкт-Петербург, Ул. Сызранская 16-А, оф. 22Н. Тел./факс: [phone] E-mail: infoiSjnrgsystem.ru, www.nrgsystem.ru

АКТ

использования результатов диссертационной работы Ю.Г. Чеснокова «Гидродинамические модели в химико-технологических процессах»

Настоящий акт составлен в том, что предложенная в диссертации Ю.Г. Чеснокова методика расчета теплообменников, предусматривающая определение коэффициентов теплоотдачи в каналах круглого и прямоугольного сечения в условиях ламинарного режима течения жидкостей, использована при расчете и проектировании микротеплообменника -составного элемента технологической цепочки синтеза полимерных микросфер функционального назначения методом эмульсионной полимеризации. Микросферы функционального назначения обладают улучшенными поверхностными характеристиками и предназначены для нанесения на них целевых материалов.

р/сч 40702810715000003946 в в филиале ОПЕРУ Банка ВТБ (ПАО) в Санкт-Петербурге; корр.счет:30101810200000000704, КПК: 044030704; ИНН: 7810539932; Код по ОКПО 89055979;

<

О

О

о о

Диолла