Численное моделирование пристенной турбулентности на основе схемы Кабаре тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Асфандияров Данил Гамилевич

• Асфандияров Данил Гамилевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Асфандияров Данил Гамилевич

Введение

Общая характеристика диссертационной работы

Глава 1. Вихреразрешающее моделирование турбулентных пристенных течений (краткий обзор)

1.1. Прямое численное моделирование

1.2. Моделирование методом крупных вихрей

1.3. Модели пристенного слоя

1.4. Выводы

Глава 2. Вычислительный алгоритм для расчета течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале на основе схемы КАБАРЕ

2.1. Явная аппроксимация основных уравнений по схеме КАБАРЕ

2.2. Быстрый прямой метод для решения эллиптических задач с разделяющимися переменными

2.3. Архитектура параллельных вычислений

2.4. Выводы

Глава 3. Прямое численное моделирование течения в плоском канале

3.1. Турбулентное течение в плоском канале

3.2. Постановка задачи

3.3. Расчетная область и сетка

3.4. Методика проведения расчетов

3.5. Результаты прямого численного моделирования

3.6. Выводы

Глава 4. ILES моделирование по схеме КАБАРЕ

4.1. Постановка задачи

4.2. Описание методики

4.3. Результаты ILES моделирования

4.4. Выводы

Заключение

Основные результаты работы

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Турбулентность, явление, наблюдаемое во многих течениях жидкостей и газов. В её обычном понимании турбулентность возникает в пристенных слоях слабовязких жидкостей или газов, либо на некотором удаленном расстоянии за плохообтекаемыми телами. В турбулентных течениях образуются многочисленные вихри различных размеров, вследствие чего их гидродинамические и термодинамические характеристики (скорость, температура, давление, плотность) испытывают хаотические флуктуации. При определённых параметрах турбулентность наблюдается не только в потоках жидкостей и газов, но и многофазных течениях и любых сплошных средах. Турбулентность оказывает влияние на процессы горения, смешения и дисперсии примеси.

Ввиду сложности явления, дать точное определение турбулентности довольно трудно. В рамках механики сплошных сред турбулентность определяется как трехмерное вихревое движение среды, характеризующееся многомасштабностью и нелинейностью (взаимодействие возмущений разного масштаба) протекающих в ней процессов. Турбулентные движения сплошной среды всегда диссипативны - вязкие напряжения выполняют работу деформации, увеличивая внутреннюю энергию среды за счет кинетической энергии турбулентности. Отличительным свойством всех турбулентных движений является быстрое перемешивание и возрастание скорости обмена импульсом, теплом и веществом по сравнению с ламинарными движениями [1].

Турбулентные течения являются примером нелинейной механической открытой системы с большим числом степеней свободы. Спектр изменения волновых чисел (масштабов) в реальных турбулентных течениях может достигать нескольких порядков [1].

Исследование турбулентности ведется уже более ста лет. За время изучения данного явления были развиты различные подходы к теоретическому осмыслению и описанию феномена турбулентности.

Классический подход О. Рейнольдса [2] основывается на декомпозиции мгновенного поля скорости на среднюю и пульсационную составляющие и имеет дело со статистическими характеристиками флуктуаций. Изучение и описание поведения средних характеристик потока, является более простой задачей, чем исследование трехмерного нестационарного турбулентного течения. На практике метод Рейнольдса используется для осреднения уравнений движения вязкой жидкости (Навье-Стокса). Полученные уравнения (Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS) являются незамкнутыми и содержат компоненты тензора конвективных (рейнольдсовых) напряжений, возникающих из осредненных произведений флуктуаций

скорости, природа которых определяется характеристиками пульсационного движения. Для замыкания основных уравнений необходимо установить связь между рейнольдсовыми напряжениями и средними характеристиками потока. На сегодняшний день, несмотря на многочисленные теоретические и экспериментальные усилия, не существует универсального соотношения, применимого для всего многообразия средних течений [1].

Л. Ричардсон [3] описывал многомасштабную природу турбулентности с точки зрения взаимодействия маленьких и больших вихрей. Он ввел концепцию энергетического каскада передачи энергии в турбулентном потоке, использующую представление о существовании иерархии вихрей различного масштаба. В турбулентном течении крупные вихри отбирают энергию у среднего течения и сохраняют ее некоторое время, пока она не перейдет к мелким вихрям, которые рассеивают кинетическую энергию в тепло под действием вязкой диссипации.

В классической работе Колмогорова А.Н. (1941) [4] концепция энергетического каскада была существенно доработана в рамках целостной теории локально-изотропной и однородной турбулентности (теория «К-41»). Данная теория представляет собой наиболее проработанный раздел теории турбулентности. Колмогоров отметил ослабление ориентирующего влияния среднего течения при переходе к более мелким структурам (гипотеза о локальной однородности) и сформулировал две гипотезы подобия. Согласно первой гипотезе подобия статистический режим мелкомасштабной турбулентности является универсальным и определяется двумя размерными параметрами - средней скоростью диссипации кинетической энергии £ и коэффициентом вязкости V. Вторая гипотеза подобия говорит о наличии инерциальной области спектра, на которую вязкость не оказывает влияния и которая определяется только скоростью диссипации кинетической энергии £

Первая гипотеза подобия мелкомасштабной турбулентности позволяет оценить нижнюю границу линейных, скоростных и временных масштабов вихрей, участвующих в процессе диссипации (колмогоровские масштабы длины, скорости и времени):

Колмогоровский масштаб длины характеризует линейные размеры вихрей, на которые вязкость еще оказывает существенное влияние [1].

Из второй гипотезы, на основе соображений размерности, следует, что в инерциальной области плотность распределения кинетической энергии по спектру волновых чисел к удовлетворяет соотношению:

(0.1)

E (k ) = Q s2/3k (0.2)

где CK - постоянная Колмогорова.

Данное соотношение носит название «закона пяти третей» или закона Колмогорова-Обухова. Имеются многочисленные экспериментальные подтверждения закона «5/3» при измерениях в аэродинамических трубах, природных условиях, а так же на сравнительно небольших установках с использованием течения газообразного гелия при низких температурах [5]. Данный закон имеет принципиальное значение для понимания общих закономерностей процессов переноса, и играет ключевую роль при разработке современных подходов к моделированию турбулентных течений и их верификации.

Ранние экспериментальные работы в области турбулентности были посвящены статистическим измерениям средних характеристик турбулентных течений. Начиная с 1960-х годов с первых работ по визуализации турбулентных течения, таких как, Брауна и Рошко [6] в свободных сдвиговых слоях, Кляйна и др. [7] в пограничных слоях, Корино и Бродки [8] в трубах, значительная часть экспериментальных работ направлена на изучение структуры турбулентного пограничного слоя. В своей работе Кляйн [7] наблюдал присутствие хорошо организованных, проявляющих пространственную и временную зависимость, движений в вязком подслое. Эти движения вели к формированию областей со скоростью меньшей скорости среднего течения в области очень близкой к стенке (низкоскоростные «стрики»). Эти области в свою очередь взаимодействовали с внешним потоком посредством постепенного всплытия, подъема, затем происходили случайные осцилляции и распад. Последовательность из трех событий от подъема до распада, была названа «берстингом». Кляйн предположил, что данный процесс играет доминирующую роль в генерации и переносе турбулентности в пограничном слое вдоль гладкой стенки. После того как стало возможным посредством прямого численного моделирования и PIV (Particle Image Velocimetry) экспериментов получать трехмерные поля характеристик потока, было показано, что описанные процессы являются определяющими в классе пристенных течений.

Пристенные течения являются существенным образом неоднородными и анизотропными, и, несмотря на то, что турбулентность начинала изучаться именно на этих задачах, во многом хуже изучены, чем однородные и свободносдвиговые. С другой стороны, некоторые процессы проще анализировать именно в пристенной турбулентности, чем в классе более простых задач. В классической модели однородной турбулентности, энергия находится в крупных вихрях и диссипирует в маленькие вязкие масштабы порядка колмогоровского, куда она передается по автомодельному инерциальному каскаду [4]. Результирующий

энергетический спектр хорошо аппроксимирует экспериментальные данные не только для изотропной турбулентности, но и для мелкомасштабной турбулентности в целом. Но теория изотропной турбулентности не дает ответа на то, как энергия поступает в энергетический каскад. В изотропных течениях нет выделенного направления, чтобы изучить данный вопрос.

В сдвиговых течениях, источником энергии является градиент средней скорости (сдвиг), а энергия поступает в поток за счет турбулентных напряжений. Это дает возможность определить масштаб вихрей, в которых содержится энергия, а также направление, вдоль которого передаются свойства потока (например, импульс). К тому же, пристенные течения неоднородны и размер энергосодержащих вихрей в них зависит от расстояния до стенки. Таким образом, изменяется и диапазон масштабов, по которому энергия передается по каскадному механизму. Кроме областей непосредственно вблизи стенки и на большом расстоянии от нее, где наблюдается небольшой дисбаланс между процессами генерации и диссипации турбулентной кинетической энергии, большая часть энергии, генерируемой на заданном расстоянии от стенки, диссипирует локально. Но масштабы вихрей, в которых содержится большая часть энергии на одном расстоянии, находятся в инерциальной части спектра при их рассмотрении по мере удаления от стенки. Таким образом, основной акцент при рассмотрении пристенных турбулентных течений делается не на локальном каскаде энергии, а на взаимодействии между различными масштабами на разных расстояниях от стенки [9].

Большая часть информации о структуре пристенных течений получена численно. Экспериментальные методики, такие как PIV, подошли к полномасштабным возможностям численных расчетов, но такие возможности численного моделирования, как создание временной зависимости трехмерного поля скорости, давления, пока невозможно превзойти. С увеличением мощности компьютеров число Рейнольдса постоянно увеличивается. Когда говорят о многомасштабности течения, обычно используют число Рейнольдса ReT = 5/5у, (5 -интегральный масштаб, а 5v=v/ux - вязкий масштаб длины), характеризующее отношение размеров больших структур во внешнем потоке к размерам вязких вихрей возле стенки. Данные расчетов в каналах [10-12], трубах [13-15] и пограничных слоях [16-20] при числах Рейнольдса ReT ~ 1000-2000 имеют хорошее совпадение с данными экспериментов высокой точности и представляют довольно большой диапазон турбулентных масштабов. На сегодняшний день прямое численное моделирование течения в плоском канале проведено вплоть до ReT ~ 8000 [21].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование пристенной турбулентности на основе схемы Кабаре»

Общая характеристика диссертационной работы

Актуальность работы. В настоящее время моделирование турбулентности является одной из фундаментальных проблем, имеющей не только важное научное значение, но и огромное количество инженерных приложений. Наиболее полное описание турбулентных течений может быть получено в рамках прямого численного моделирования (Direct Numerical Simulation, DNS), основанного на разрешении полного спектра турбулентных пульсаций. На современном этапе возможности для прямого моделирования турбулентности ограничены мощностями существующих суперкомпьютеров и вычислительной эффективностью разработанных алгоритмов. Поэтому существенные усилия уделяются разработке и обоснованию алгоритмов в рамках моделирования методом крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES), который является компромиссным вариантом между полнотой физического описания и объёмом вычислительной работы, которую необходимо выполнить для решения уравнений Навье-Стокса.

Опыт применения LES свидетельствует о хорошей точности расчета не только средних, но и пульсационных характеристик потока для широкого круга задач. Наиболее трудной задачей для LES моделирования является расчет течения в пристенной области. Течения в области стенки не являются однородными и изотропными. В непосредственной близости от твердой границы масштабы крупных энергосодержащих и мелких диссипативных вихрей перекрываются, а генерация турбулентной энергии происходит на масштабах, сравнимых с расстоянием от стенки. Пространственные и временные шаги, требуемые для LES, вблизи стенки уменьшаются до величин, характерных для DNS.

Разработка новых эффективных LES-алгоритмов, корректно отражающих сложную динамику пристенного слоя, является одной из основных задач LES моделирования. Перспективным направлением в данной области является использование неявных LES-алгоритмов (ILES), базирующихся на схемах высокой разрешающей способности. В таких схемах диссипативный механизм (сглаживающий фильтр) содержится в операторе, дискретизирующем конвективные слагаемые. «Правильное» количество диссипации вводится за счет процедуры нелинейной коррекции потоков.

К числу таких схем относится схема КАБАРЕ [22], отличающаяся большей простотой и вычислительной эффективностью. Схема определена на компактном шаблоне и имеет второй порядок, как по времени, так и по пространству, обладает улучшенными диссипативными и дисперсионными свойствами, и допускает введение нелинейной коррекции потоков на основе принципа максимума.

В диссертационной работе схема КАБАРЕ взята за основу построения вычислительного алгоритма для прямого численного моделирования и моделирования методом крупных вихрей одного из канонических пристенных течений - течения в плоском канале.

Основной целью диссертационной работы является исследование применимости и вычислительной эффективности математического моделирования турбулентного течения в плоском канале на основе схемы КАБАРЕ при полном и неполном разрешении спектра турбулентных пульсаций.

Методология исследования. Течения вязкой несжимаемой жидкости описываются уравнениями Навье-Стокса, которые можно отнести к гиперболическим системам только относительно компонент скорости, если рассматривать давление как параметрическое поле, обеспечивающее выполнение условия несжимаемости. При такой трактовке уравнений, алгоритм их численного решения можно разбить на два этапа: вычисление предварительных значений компонент скорости на последующем временном слое без учета давления, и корректировку найденного поля скоростей с целью придания ему свойства соленоидальности.

Явная аппроксимация уравнений Навье-Стокса по схеме КАБАРЕ приводит к необходимости решения двух сеточных уравнений Пуассона для давления. Для решения данных уравнений большой размерности на многопроцессорных вычислительных системах реализован блочно-параллельный быстрый прямой метод (БПМ) [23,24].

Для исследования эффективности построенного вычислительного алгоритма для расчета пристенных течений выбрана задача о течении в плоском канале. Данная задача является классической в исследовании пристенных течений, и хорошо изучена, как посредством прямого численного моделирования, так и экспериментально, в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

Проводимые исследования можно условно разделить на две части. Первая заключалась в построении вычислительно алгоритма на основе схемы КАБАРЕ для расчета течения в плоском канале и воспроизведении результатов прямого численного моделирования ведущих расчетных групп. Вторая - в разработке ГЬЕБ-алгоритма для расчета сдвиговых пристенных турбулентных течений на основе схемы КАБАРЕ.

Научная новизна. Систематическое исследование особенностей математического моделирования пристенной турбулентности на основе схемы КАБАРЕ проведено впервые.

Научная и практическая значимость. Данная работа носит методический характер. В работе проведено комплексное исследование и дано обоснование возможности применения методики КАБАРЕ для расчета пристенных турбулентных течений, как посредством прямого численного моделирования, так и на основе неявного LES-алгоритма. Показана возможность

объединения неявного и явного LES подходов для повышения точности и вычислительной эффективности расчетов, связанных с пристеночным моделированием. Положения, выносимые на защиту.

1. Предлагается новый вычислительный алгоритм для расчета течения вязкой несжимаемой жидкости в канале на основе явной аппроксимации конвективных потоков по схеме КАБАРЕ и решении двух сеточных уравнений эллиптического типа для обеспечения условия несжимаемости. Для решения этих уравнений большой размерности используется быстрый прямой метод, допускающий эффективное распараллеливание.

2. Численный код для моделирования течения вязкой несжимаемой жидкости в двоякопериодическом плоском канале на основе предложенного вычислительного алгоритма. (Регистрационный номер РИД: 614120920046. Программа для прямого численного моделирования пристенной турбулентности в плоском канале. Сокращенное название - «DUCT3D»)

3. На основе проведенной серии трехмерных расчетов задачи о течении в плоском канале в широком диапазоне чисел Рейнольдса показывается возможность использования методики КАБАРЕ для прямого численного моделирования турбулентных пристенных течений.

4. Предлагаются искусственные граничные условия, позволяющие с высокой точностью моделировать поток импульса на стенки при неполном разрешении спектра турбулентных пульсаций вблизи границы.

Личный вклад автора. Все научные результаты, вынесенные на защиту, получены лично автором. Цели, задачи, основные идеи и результаты работы детально обсуждались с научным руководителем В.М. Головизниным.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

1. XII научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН, доклад на тему «Организация параллельного вычисления задачи течения вязкой несжимаемой жидкости по схеме «Кабаре» в плоском канале», Москва, ИБРАЭ РАН, 28-29 апреля 2011г.

2. XIII научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН, доклад на тему «Предварительные расчеты классической задачи турбулентности в плоском канале на суперкомпьютерах «Ломоносов» и «Чебышев»», Москва, ИБРАЭ РАН, 26-27 апреля 2012г.

3. XIV научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН, доклад на тему «Прямое численное моделирование турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости по схеме Кабаре в плоском канале при Re = 5600», Москва, ИБРАЭ РАН, 25-26 апреля 2013г.

4. XV Всероссийская конференция-школа молодых исследователей с международным участием "Современные проблемы математического моделирования", доклад на тему: «Прямое численное моделирование турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости по схеме Кабаре в плоском канале при Rem = 5600», Абрау-Дюрсо 16-21 сентября 2013.

5. Тихоновские чтения 2013, доклад на тему «Прямое численное моделирование турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале по схеме КАБАРЕ». Москва, МГУ, 28-31 октября 2013.

6. XVI Всероссийская конференция-школа молодых исследователей с международным участием "Современные проблемы математического моделирования", доклад на тему: «Прямое численное моделирование пристенной турбулентности в плоском канале до Rem = 21900», Абрау-Дюрсо 14-19 сентября 2015.

Публикации по теме диссертации.

1. Асфандияров Д.Г. Организация параллельного вычисления задачи течения вязкой несжимаемой жидкости по схеме «Кабаре» в плоском канале // Сборник трудов XII научной школы молодых ученых ИБРАЭ РАН. Препринт № IBRAE-2011-03. - М. ИБРАЭ РАН, 2011. - 166 с.

2. Асфандияров Д.Г. Предварительные расчеты классической задачи турбулентности в плоском канале на суперкомпьютерах «Ломоносов» и «Чебышев» // Сборник трудов XIII научной школы молодых ученых ИБРАЭ РАН. Препринт № IBRAE-2012-02. - М. ИБРАЭ РАН, 2012. - 146 с.

3. Асфандияров Д.Г. Прямое численное моделирование турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости по схеме Кабаре в плоском канале при Re = 5600 // Сборник трудов XIV научной школы молодых ученых ИБРАЭ РАН. Препринт № IBRAE-2013-03. - М. ИБРАЭ РАН, 2013. - 181 с.

4. Асфандияров. Д.Г. Прямое численное моделирование турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости по схеме Кабаре в плоском канале при Rem = 5600. Современные проблемы математического моделирования: сборник трудов XV Всероссийской конференции молодых исследователей. Ростов-на-Дону, издательство Южного федерального университета, 2013. Стр. 26-30.

5. Асфандияров Д.Г., Березин Б.И., Финогенов С.А. Прямое численное моделирование турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости по схеме КАБАРЕ в плоском канале // ВАНТ, сер. Мат. мод. Физ. Проц. 2013. Вып. 4. С. 57-62.

6. Асфандияров Д.Г., Головизнин В.М., Финогенов С.А. Беспараметрический метод расчета турбулентного течения в плоском канале в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015, том 55, № 9, с. 67 - 80.

7. Асфандияров Д.Г. Прямое численное моделирование пристенной турбулентности в плоском канале до Rem = 21900. Современные проблемы математического моделирования: сборник трудов XVI Всероссийской конференции молодых исследователей; Южный федеральный университет. Ростов-на-Дону: издательство Южного федерального университета, 2015. Материалы на с. 8-12.

8. Асфандияров Д.Г., Головизнин В.М., Финогенов С.А. Прямое численное моделирование пристенной турбулентности в плоском канале в широком диапазоне чисел Рейнольдса // ВАНТ. Серия: Математическое моделирование физических процессов. - 2016. - №2. - С. 48-58.

9. Асфандияров Д.Г. Искусственные граничные условия при ILES моделировании течения в плоском канале по схеме КАБАРЕ. Вычислительные методы и программирование. 2019. Т. 20. C. 12-20.

10. Асфандияров Д.Г. Математическое моделирование турбулентного течения в плоском канале на основе схемы КАБАРЕ. Вычислительные методы и программирование. 2019. Т. 20. C. 356-362.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. В конце каждой главы приведены выводы. Общий объем диссертации составляет 137 страниц. Список литературы содержит 107 наименований.

Глава 1. Вихреразрешающее моделирование турбулентных пристенных

течений (краткий обзор)

1.1. Прямое численное моделирование

Ранние расчеты пристенных течений проводились методом крупных вихрей (Large Eddy Simulation, LES) [25], который основывается на частичном разрешении спектра турбулентных пульсаций. После того как стало возможным проводить прямое численное моделирование (Direct Numerical Simulation, DNS) [26], разрешая полный спектр турбулентных пульсаций, LES методы отошли на второй план как инструмент изучения физики потока. Отчасти потому, что возник вопрос о влиянии слабого сеточного разрешения вблизи стенки на остальную часть потока. За последнее время стало очевидным, что любая работа по численному моделированию турбулентных течений должна основываться, в основном, на результатах DNS расчетов. Тем не менее, DNS расчеты являются слишком затратными в вычислительном плане и могут быть использованы только для решения фундаментальных задач в относительно простых областях. Спектр таких задач включает в себя: тестирование полуэмпирических моделей турбулентности, развитие методов управления турбулентными потоками (например, снижение трения), изучение структур и процессов турбулентного тепло- и массопереноса и т.д. Понимание процессов генерации турбулентности возле твердой стенки является определяющим как для теории турбулентности, так и для прикладных расчетов с использованием методов, основанных на частичном разрешении спектра турбулентности, таких как LES.

Классическим турбулентными пристенными течениями являются обтекание пластины, течение в трубе и плоском канале. В работе подробно исследуется задача о вынужденном течении в плоском канале.

Работа Кима (1987) [26] была первой по прямому численному моделированию турбулентного течения в плоском канале. В этой работе число Рейнольдса было небольшим Rem = 5600 (ReT = 180), сетка - 192*129x160 узлов в направлениях x (продольное), y (нормальное к стенкам канала), z (поперечное) соответственно. В данной работе были вычислены такие основные статистические характеристики турбулентного течения в плоском канале как: двухточечные корреляции флуктуации скорости, одномерные энергетические спектры, профиль средней скорости, компоненты тензора турбулентных напряжений и т.д. Подробно изучались поведение данных характеристик в пристенном слое. Данные сравнивались с многочисленными экспериментами [27-37]. Был проведен классический анализ по секторам, используемый в экспериментальных методах диагностики, исходя из знаков пульсаций компонент скорости и' и V (и - скорость по потоку, v - нормальная к стенке). Данный анализ позволяет получить

информацию о вкладе в общую генерацию турбулентности различных событий в потоке [28, 33]. Турбулентное напряжение трения делится на четыре категории согласно знакам флуктуации компонент скорости и' и V относительно среднего течения. Первый квадрант (Q1), и' > 0 и V > 0, содержит движение высокоскоростной жидкости, направленной вне вязкого слоя; второй квадрант (Q2), и' < 0 и V > 0, содержит движение, соответствующее «эжекциям» низкоскоростной жидкости; третий квадрант (Q3), и' < 0 и V < 0, содержит движение низкоскоростной жидкости к стенке; и четвертый квадрант (Q4), и' > 0 и V < 0 определяет движение высокоскоростной жидкости к стенке или «свип» [38]. Второй и четвертый квадрант дают вклад в отрицательное напряжение турбулентного трения (положительная генерация), а первый и третий - в положительное напряжение турбулентного трения (отрицательная генерация). Этот анализ использовался в работе [39] для определения организованных структур, соответствующих различным процессам в плоском канале. Как и ранние экспериментальные работы [28, 33-36] по данному вопросу, анализ показал доминирующую роль «эжекций» вдали от стенки и «свипа» в пристенном слое. В вязком слое при y+ = 12 их вклад был одинаков. В работе было проиллюстрировано наличие низко- и высокоскоростных струй в пристенном слое - «стриков». Результаты данной работы позднее были подтверждены более точными экспериментами [40-43]. В работе Кима (1990) [44] число Рейнольдса было увеличено до Rem = 13750 (ReT = 395). Исследования данных прямого численного моделирования [26] и [44] представлены во многих работах, например [45,46].

При изучении результатов прямого численного моделирования особое внимание уделяется разработке инструментов анализа данных. В работе Моина и Мозера (1989) [45] авторы использовали метод ортогонального разложения Ламли [47] для турбулентного течения в канале для того, чтобы выделить энергетически организованные структуры из общего потока. В работе использовались данные прямого численного моделирования [26]. Они определили, что

доминирующими в пристенной области являются медленные поперечные структуры,

+

называемые «стриками», которые связанны с «эжекциями», и имеют характерные размеры x = 400 и z+ = 50 в ширину, а также продольные или квази-продольные вихри, протяженность которых в области y+< 40 не превышает x+ = 100. Возле стенки последние имели небольшой наклон в ~10° и около 60° - вдали стенки. Позднее было показано [48], что «стрики» - это чередующиеся извилистые струи, наложенные на средний градиент скорости, которые имеют продольный размер порядка 103 - 104. Поперечное расстояние между ними z+ ~ 100. Несколько вихрей связаны со «стриком» на протяжении x+ ~ 300.

На основе расчетов [26] и [44] Антонио и Ким (1994) [46] проанализировали поведение турбулентных характеристик вблизи стенки (y+ < 40) в зависимости от числа Рейнольдса. Авторы предположили, что существенное увеличение с ростом числа Рейнольдса таких характеристик потока, как средняя скорость диссипации турбулентной кинетической энергии и турбулентное напряжение трения, может быть связано с увеличением интенсивности квазипродольных вихрей.

Группа Мозера (1999) [49] провела DNS расчеты для чисел Рейнольдса ReT = 180, ReT = 395, ReT = 590. В работе использовались сетки - 128*129*128, 256*193*192 и 384*257*384 узлов (в направлениях x*y*z) соответственно. Исследовался широкий спектр статистических характеристик турбулентного течения в зависимости от числа Рейнольдса. Данные были предоставлены в открытый доступ и широко используются для верификации вычислительных методик [50,51]. В работе [50] приводится сравнение результатов расчета с использованием центральных разностных схем 2-го и 4-го порядка и псевдоспектрального метода Кима и Мозера [49] (при ReT = 180, 395).Также представлены результаты при ReT = 640.

За последнее десятилетие было проведено много DNS расчетов для определения характеристик течения в плоском канале и их зависимости от числа Рейнольдса [52-54]. Наличие крупномасштабных структур в потоке, диктует проведение DNS расчетов в больших областях для изучения динамики данных структур [12,55-57]. Такие расчеты довольно затратные и содержат большое количество данных, обработка и исследование которых занимает длительное время. Например, расчет [12] проводился на сетке 1.8*1010 (6144 х 633 х 4608) узлов. Расчет занял 6*106 процессоро-часов на 2048 процессорах и 20 Тб памяти. Файл для перезапуска составлял 60 Гб.

Данные таких расчетов позволили более подробно изучить динамику пристенного слоя, и приблизится к изучению более хаотичной логарифмической области [9]. Спектральные плотности кинетической энергии, энстрофии, давления позволяют определить характерный масштаб отдельных структур в зависимости от расстояния от стенки и сделать выводы о взаимодействии различных масштабов [12].

1.2. Моделирование методом крупных вихрей

Основная идея метода LES заключается в формальном математическом разделении крупных и мелких структур, это реализуется применением высокочастотного фильтра к уравнениям Навье-Стокса. Крупные вихри разрешаются явно путём численного

моделирования, а мелкомасштабная турбулентность параметризуется, т.е. определяется характеристиками крупномасштабных движений.

Для разделения крупных и мелких структур используется операция фильтрации. Согласно введенному Леонардом (1974) формализму [58], процедура явной фильтрации представляется сверткой решения уравнения Навье-Стокса с финитным бесконечно гладким ядром:

и(х, 0 =| О(г, х)и(х -г, г^г. (1.1)

Интегрирование производится по всей области потока, и заданная функция фильтра О отвечает условию нормировки:

| С (г, х)с1г = 1. (1.2)

В простейшем случае функция фильтра является однородной, т.е. не зависит от х. На практике, часто желательно использовать неравномерные фильтры, чтобы обеспечить пространственно изменяемую ширину фильтра. Но для неоднородных фильтров теряется коммутация между пространственными производными и фильтром. Данные ошибки существенно затрудняют строгую математическую трактовку уравнений с неравномерным фильтром [59]. Далее при изложении, будем полагать, что функция фильтра является однородной.

Скорость неразрешенных на сетке пульсаций называют скоростью подсеточного (подфильтрового) масштаба (8иЬ§пё8са1е, БОБ):

и'(х, г) - и(х, г) - и(х, г), (1.3)

Декомпозиция скорости (1.3) представляется схожей с разложением по Рейнольдсу, важным отличием является то, что и(х, г) это случайное поле, и в общем случае и'(х, г) ^ 0 .

Здесь и далее верхнее подчеркивание (...) обозначает процедуру фильтрации.

Применяя процедуру фильтрации к уравнениям Навье-Стокса, для несжимаемой жидкости получим систему уравнений:

ди, дир д2и, 1 дР ЛЛ --1--- = у----, (1.4)

дг дх . дх. дх. р дxi

дЦ, л

Х" = 0 (15)

дxi

Это уравнение отличается от уравнений Навье-Стокса тем, что отфильтрованное

произведение ЦТ не равно произведению отфильтрованных скоростей ЦТ]. Их разница представляет тензор подсеточных напряжений:

Т - ТТ -ТТ]• (1.6)

Кинетическая энергия подсеточного масштаба и анизотропный тензор подсеточных напряжений определяется как:

К -, (1.7)

Т-Т - 2 Кл • 0.8)

Изотропные подсеточные напряжения включаются в модифицированное отфильтрованное давление (модифицированное давление с учетом турбулентных пульсаций):

- 2

р - Р + 2 рКг. (1.9)

Учитывая данные определения, уравнение количества движения (1.4) можно переписать следующим образом:

Т+дТТ^-1 дР • (1.10)

д1 дх. дх]. дх. дх. р дxi

В приближении несжимаемой жидкости взятие дивергенции от (1.10) приводит к уравнению Пуассона для модифицированного давления р .

Полученная система уравнений (1.10) и (1.5) остается незамкнутой, так как (1.6) содержит исходные неотфильтрованные компоненты скорости. Тензор т] характеризует влияние мелкомасштабных вихрей на эволюцию крупномасштабных, и его необходимо моделировать через установление его связи со скоростями Т,. Сложность построения строгой

модели, заключается в том, что данные взаимодействия являются нелинейными и анизотропными.

Важным вопросом, отражающим механизм взаимодействия «крупных» и «мелких» вихрей, является перенос кинетической энергии между отфильтрованной скоростью и скоростью подсеточного масштаба. Отфильтрованную кинетическую энергию:

1

Е (х, г) --и • и

(111)

можно разложить как:

Е - Еу + кг,

(112)

где

Е, --и• и

7 2

(113)

является кинетической энергией отфильтрованного поля скорости, а к определяется согласно (1.7). Уравнение для Е^ получается умножением (1.10) на и, и может быть преобразовано к виду:

дЕ

у + и у

дЕ, д

дг 1 дх. дxJ

(

и

V

2 уБ--т'

V р J

= --ег-рг,

(114)

где £г и рг:

Р --тГБ-

(1.15) (116)

а Б- тензор скоростей деформации, построенный по отфильтрованному полю скорости:

Б - — - 2

{ ди, ди}л -+ —-

дх. дх

V - г

Наибольший интерес представляют члены в правой части (1.14). (-е) является вязкой

диссипацией отфильтрованного поля скорости. Для турбулентного течения при больших числах Рейнольдса, когда ширина фильтра много больше колмогоровского масштаба, величина этого члена относительно небольшая. Второй член в правой части (1.14) р является скоростью

генерации кинетической энергии подсеточного масштаба. В уравнении для Е^ он появляется с

отрицательным знаком, а в уравнении для К с положительным. Таким образом, он

представляет перенос энергии от крупномасштабных возмущений (отфильтрованных) к мелкомасштабным (подсеточным). Иногда его называют подсеточной диссипацией. Данная терминология не совсем подходящая, так как р определяется невязкими инерциальными

процессами и может принимать отрицательные значения. При больших значениях числа Рейнольдса, и выбором фильтра в инерционном интервале, отфильтрованное поле скорости содержит почти всю кинетическую энергию, т.е.:

(Е,) «(Е). (ПЮ

Откуда можно заключить что:

(Рг) «е, (1.19)

где е - скорость диссипации кинетической энергии.

В то время как, в среднем, энергия переходит от больших масштабов к малым, {Рг) > 0 ,

локально может наблюдаться рассеяние - т.е. перенос энергии от остаточных движений к отфильтрованному полю скорости, р < 0 [58].

Существует большое количество подходов для моделирования подсеточных масштабов [60], но наиболее широкое распространение получили модели, основанные на введении турбулентной вязкости для учета неразрешенных турбулентных пульсаций. В таких моделях тензор подсеточных напряжений пропорционален тензору скоростей деформации (1.17), построенному по отфильтрованному полю скорости:

(1.20)

Здесь у = у (и, х, г) > 0 - вихревая вязкость, зависящая от решения. Основным

достоинством моделей вихревой вязкости является их способность правильно описывать прямой энергетический каскад от крупномасштабных возмущений к мелкомасштабным. Недостатком является низкая корреляция значений рассчитанных и наблюдаемых компонент тензора напряжений вследствие несовпадения ориентации данного тензора и тензора скоростей деформации [1].

Выбор вихревой вязкости в (1.20) довольно разнообразен. Смагоринский (1963) [61] предложил использовать следующее выражение для у на подобии предположения о пути смешения:

у — ¡2 |б|—(С А)2

(1.21)

где

Б

г-Б, С8 - постоянная Смагоринского.

В работах Лилли (1967) была получена теоретическая оценка постоянной Смагоринского С ~ 0.17 при рассмотрении однородной изотропной турбулентности, где имеет место закон «5/3» (теория К-41).

Согласно (1.16) и (1.20) перенос энергии в подсеточный масштаб в модели Смагоринского определяется выражением:

Рг --т-Б- — 2угБ-Б- — уг

Б

(122)

2

Для модели Смагоринского, как и для любой другой модели вихревой вязкости с у > 0,

энергия передается только по прямому каскаду без рассеяния. Как следствие, классическая модель Смагоринского также дает завышенную диссипацию в областях с ламинарным потоком и в областях, в которых турбулентность анизотропна (например, область возле твердой стенки). Для обращения вихревой вязкости в 0 вблизи твердой стенки, вводятся различные демпфирующие функции (наподобие ЯАКБ моделей), являющиеся чисто эмпирическим предположением.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Асфандияров Данил Гамилевич, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

2. Reynolds O. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion // Philos. Trans. R. Soc. London. 1895. 186. 123-164.

3. Richardson L.F. The supply of energy from and to atmospheric eddies // Proc. R. Soc. London, Ser. 1920. A 97. 354-373.

4. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР. 1941. 30, № 4. 299-303.

5. Носов М.А. Лекции по теории турбулентности. Москва: Янус-К, 2013.

6. Brown G.L., Roshko A. On the density effects and large structure in turbulent mixing layers // J. Fluid Mech. 1974. 64. 775-816.

7. Kline S.J., Reynolds W.C., Schraub F.A., Runstadler P. W. Structure of turbulent boundary layers // J. Fluid Mech. 1967. 30. 741-773.

8. Corino E.R., Brodkey R.S. A visual investigation of the wall region in turbulent flow // J. Fluid Mech. 1969. 37. 1-30.

9. Jimenez J., Kawahara G. Dynamics of wall-bounded turbulence, in "Ten chapters in turbulence" // Cambridge U. Press. 2013. 221-268.

10. del 'Alamo J.C., Jimenez J., Zandonade P., Moser R.D. Scaling of the energy spectra of turbulent channels // J.Fluid Mech. 2004. 500. 135-144.

11. Abe H., Kawamura H., Matsuo Y. Surface heat-flux fluctuations in a turbulent channel flow up to ReT = 1020 with Pr = 0.025 and 0.71 // Int. J. Heat Fluid Flow. 2004. 25. 404-419.

12. Hoyas S., Jimenez J. Scaling of the velocity fluctuations in turbulent channels up to ReT = 2003 // Phys. Fluids. 2006. 18. 011702.

13. Wu X., Moin P. A direct numerical simulation study on the mean velocity characteristics in turbulent pipe flow // J.Fluid Mech. 2008. 608. 81-112.

14. Boersma B. J. Direct numerical simulation of turbulent pipe flow up to a Reynolds number of 61000 // J. Phys.: Conf. Ser. 2011. 318. 042045.

15. Lee J.-H., SungH. J. Comparison of very-large-scale motions of turbulent pipe and boundary layer simulations // Phys. Fluids. 2013. 25. 045103.

16. Lee J.-H., Sung H. J. Very-large-scale motions in a turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. 2011. 673. 80-120.

17. Jimenez J., Hoyas S., Simens M.P., Mizuno Y. Turbulent boundary layers and channels at moderate Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 2010. 657. 335-360.

18. Wu X., Moin P. Transitional and turbulent boundary layer with heat transfer // Phys. Fluids. 2010. 22. 085105.

19. Schlatter P., Orlu R., Li Q., Fransson J.H.M., Johansson A. V., Alfredsson P.H., Henningson D.S. Turbulent boundary layers up to Re9 = 2500 through simulation and experiments // Phys. Fluids. 2009. 21. 051702.

20. Sillero J., Jimenez J., Moser R., Nicholas M. Direct simulation of a zero-pressure-gradient turbulent boundary layer up to Ree = 6650 // J. Phys.: Conf. Ser. 2011. 318. 022023.

21. Yamamoto Y., Tsuji Y. Numerical evidence of logarithmic regions in channel flow at ReT=8000 // Phys. Rev. Fluids. 2018. 3, 012602(R).

22. Головизнин В.М., Зайцев М.А., Карабасов С.А., Короткий И.А. Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов. Издательство Московского университета, 2013.

23. Кузнецов Ю.А. Вычислительные методы в подпространствах // Вычислительные процессы и системы. 1985. Вып. 2. 265-350.

24. Finogenov S.A., Kuznetsov Yu. A. Two-stage fictitious components method for solving the Dirichlet boundary value problem, Sov. J. Numer. Anal.Math.Modelling. 1988. 3, N 4. 301-323.

25. Moin P., Kim J. Numerical investigation of turbulent channel flow // J. Fluid Mech. 1982. 119. 341-377.

26. Kim J., Moin P., Moser R. D. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number // J. Fluid Mech. 1987. 177. 133-166.

27. Eckelmann H. The structure of the viscous sublayer and the adjacent wall region in a turbulent channel flow // Journal of Fluid Mechanics. 1974. 65. 439-459.

28. Wallace J.M., Eckelmann H., Brodkey R.S. The wall region in turbulent shear flow // J. Fluid Mech. 1972. 54. 39-48.

29. Kreplin H., Eckelmann H. Behavior of the three fluctuating velocity components in the wall region of a turbulent channel flow // Phys. Fluids. 1979. 22. 1233-1239.

30. Hanratty T.J., Chorn L.G., Hatziavramidis D. T. Turbulent fluctuations in the viscous wall region for Newtonian and drag reducing fluids // Phys. Fluids. 1977. 20. S112-S119.

31. Sabot J. and Comte-Bellot G. Intermittency of coherent structures in the core region of fully developed turbulent pipe flow // J. Fluid Mech. 1976. 74. 767-796.

32. Finnicum D.S. and Hanratty T.J. Turbulent normal velocity fluctuations close to a wall // Phys. Fluids. 1985. 28, N 6. 1654-1658.

33. Willmarth W.W., Lu S.S. Structure of the Reynolds stress near the wall // J. Fluid Mech. 1972. 55, N 1. 65-92.

34. Brodkey R.S., Wallace J.M. and Eckelmann H. Some properties of truncated turbulence signals in bounded shear flows // J. Fluid Mech. 1974. 63, N 2. 209-224.

35. Barlow R.S., Johnston J.P. Structure of a turbulent boundary layers on a concave surface // J. Fluid Mech. 1988. 191. 137-176.

36.Alfredsson P.H., Johansson A.V. On the detection of turbulence-generating events // J. Fluid Mech. 1984. 139. 325-345.

37. Smith C.R. andMeltzer S.P. The characteristics of low-speed streaks in the near-wall region of a turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. 1983. 129. 27-54.

38. Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л. Когерентные структуры в турбулентном пограничном слое. - М: МФТИ, 2002.

39. Kim J., Moin P. The structure of the vorticity field in turbulent channel flow. Part 2. Study of ensemble-averaged fields // J. Fluid Mech. 1986. 162, 339-363.

40. Alfredsson P.H, Johansson A. V, Haritonidis J., Eckelmann H. The fluctuating wallshear stress and the velocity field in the viscous sublayer // Phys. Fluids. 1988. 31. 1026-1033.

41. Naqwi A.A, Reynolds W.C. Dual cylindrical wave laser-doppler method for measurement of skin friction in fluid flow. Rep. TF-28, Thermosci. Div., Dept. Mech. Eng., Stanford Univ., Calif., 1987.

42. Nishino K, Kasagi N. Turbulence statistics measurement in a two-dimensional channel flow using a three-dimensional particle tracking velocimeter. Proceedings on the 7th Symposium on Turbulent Sheer Flows, Stanford University, 1989.

43. Niederschulte M.A., Adrian R.J., Hanratty T.J. Measurement of turbulent flow in a channel at low Reynolds numbers // Exp. Fluids. 1990. 9. 222-230.

44. Kim J., Moin P., Moser R. The Diskette of Collaborative Testing of Turbulence Models, Bradshaw P. ed. Stanford University, 1990.

45. Moin P., Moser R.D. Characteristic-eddy decomposition of turbulence in a channel // J. Fluid Mech. 1989. 200. 471-509.

46. Antonia R.A., Kim J. Low-Reynolds-number effects on near-wall turbulence // J. Fluid Mech. 1994. 276. 61-80.

47. Lumley J.L. Coherent structures in turbulence // Transition and Turbulence, ed. R. E. Meyer. 1981. 215-242.

48. Jimenez J., del' Alamo J.C., Flores O. The large-scale dynamics of near-wall turbulence // J. Fluid Mech. 2004. 505. 179-199.

49. Moser R.D., Kim J., Mansour N.N. Direct numerical simulation of turbulent channel flow up to Rex = 590 // Phys. Fluids. 1999. 11, N 4. 943-945.

50. Abe H., Kawamura H., Matsuo Y. Direct numerical simulation of fully developed turbulent channel flow with respect to the Reynolds number dependence // J. Fluids Eng. 2001. 123. 382393.

51. Alisa V. Trofimova, Andrés E. Tejada-Martínez, Kenneth E. Jansen, Richard T. Lahey Jr. Direct numerical simulation of turbulent channel flows using a stabilized finite element method // Computers and Fluids. 2009. 38. 924-938.

52. Iwamoto K., Suzuki Y., Kasagi N. Reynolds number effect on wall turbulence: toward effective feedback control // Int. J. Heat and Fluid Flow. 2002. 23. 678-689.

53. Tanahashi M., Kangand S.-J., Miyamoto T., Shiokawa S., Miyauchi T. Scaling Law of Fine Scale Eddies in Turbulent Channel Flows up to Rex=800 // Int. J. Heat and Fluid Flow. 2004. 25. 331340.

54. Laadhari F. Reynolds number effect on the dissipation function in wall-bounded flows // Author manuscript, published in Physics of Fluids. 2007. 19, N 3. 038101.

55. Jimenez J. The largest scales of turbulence // CTR Ann. Res. Briefs. Stanford University. 1998. 137-154.

56. del' Alamo J.C., Jimenez J. Spectra of very large anisotropic scales in turbulent channels // Phys. Fluids. 2003. 15. L41-L44.

57. del' Alamo J.C., Jimenez J., Zandonade P., Moser R.D. Scaling of the energy spectra of turbulent channels // J. Fluid Mech. 2004. 500. 135-144.

58. Pope S. B. Turbulent Flows. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

59. Vreman A. W. An eddy-viscosity subgrid-scale model for turbulent shear flow: Algebraic theory and application // Physics of Fluids. 2004. 16, N 10. 3670-3681.

60. Sagaut P. Large eddy simulation for incompressible flows: an introduction. Springer Science & Business Media, 2006.

61. Smagorinsky J. General Circulation Experiments with the Primitive Equations. I: The Basic Experiment // Monthly Weather Review. 1963. 91, N 3. 99-165.

62. Germano M., Piomelli U., Moin P., Cabot W.H. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity model // Phys. Fluids A. 1991. 3, N 7. 1760-1765.

63. Lilly D.K. A proposed modification of the Germano subgrid-scale closure method // Phys. Fluids A. 1992. 4, N 3. 633-635.

64. Ghosal S., Lund T.S., Moin P., Akselvoll K. A dynamic localization model for large eddy simulation of turbulent flows // J. Fluid Mech. 1995. 286. 229-255.

65. Meneveau C., T. Lund & W.H. Cabot. A Lagrangian dynamic subgrid-scale model of turbulence // J. Fluid Mech. 1996. 319. 353-385.

66. Piomelli U., J. Liu. Large-eddy simulation of rotating channel flow using a localized dynamic model // Phys. Fluids. 1995. 7. 839-848.

67. Leveque E., Toschi F., Shao L., Bertoglio J.-P. Shear-improved Smagorinsky model for large-eddy simulation of wall-bounded turbulent flows // J. Fluid Mech. 2007. 570. 491-502.

68. Schumann U. Subgrid Scale Model for Finite Difference Simulations of Turbulent Flows in Plane Channels and Annuli // J. Comp. Phys. 1975. 18, N 4. 376-404.

69. Toschi F., Amati G., Succi S., Benzi R, Piva R Intermittency and structure functions in channel flow turbulence // Phys. Rev. Lett. 1999. 82. 5044-5047.

70. Toschi F., Leveque E., Ruiz-Chavarria G. Shear effects in non-homogeneous turbulence // Phys. Rev. Lett. 2000. 85, N 7. 1436-1439.

71. Casciola C. M., Gualtieri P., Benzi R, Piva R. Scale-by-scale budget and similarity laws for shear turbulence // J. Fluid Mech. 2003. 176. 105-114.

72. Гарбарук А.В., Смирнов Е.М.. Конспект лекций дисциплины «Течение вязкой жидкости и модели турбулентности: методы расчета турбулентных течений». СПГПУ, 2010.

73. Leonard A. Energy cascade in large eddy simulation of turbulent fluin flow // Adv. Geophys. 1974. 18A. 237-248.

74. Germano M. A proposal for a redefinition of the turbulent stresses in the filtered Navier-Stokes equations // Phys. Fluids. 1986. 29. 2323-2324.

75. Bardina J., Ferziger J.H., Reynolds W.C. Improved Subgrid Scale Models for Large-Eddy Simulation // Am. Inst. Astronaut. 1980. 80-1357.

76. Boris, J.P. et al. New insights into large eddy simulation // Fluid Dynamics Research. 1992. 10. 199-228.

77. Глотов В.Ю. Математическая модель свободной турбулентности на основе принципа максимума. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ. мат. наук. ИБРАЭ РАН, Москва, 2014.

78. Старченко А.В., Нутерман Р.Б., Данилкин Е.А. Численное моделирование турбулентных течений и переноса примеси в уличных каньонах. Изд. ТГУ, 2015.

79. Wang M., Moin P. Dynamic wall modeling for large-eddy simulation of complex turbulent flows // Physics of Fluids. 2002. 14, N 7. 2043-2051.

80. Yang X.I.A., Sadique J., Mittal R., Meneveau C. Integral wall model for large eddy simulations of wall-bounded turbulent flows // Physics of Fluids. 2015. 27. 025112.

81. Дубень А.П. Численное моделирование сложных пристеночных турбулентных течений на неструктурированных сетках. Диссертация на соискание ученой степени к. ф.-м. н., ИПМ, 2014.

82. Piomelli U. Wall-layer models for large-eddy simulations // Progress in Aerospace Sciences. 2008. 44. 437-446.

83. Gritskevich M.S., Garbaruk A.V, Menter F.R. Fine-tuning of DDES and IDDES formulations to the k-ю shear stress transport model // Progressin Flight Physics. 2013. 5. 23-42.

84. Асфандияров Д.Г., Головизнин В.М., Финогенов С.А. Беспараметрический метод расчета турбулентного течения в плоском канале в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015, том 55, № 9, с. 67 - 80.

85. Асфандияров Д.Г., Березин Б.И., Финогенов С.А. Прямое численное моделирование турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости по схеме КАБАРЕ в плоском канале // ВАНТ, сер. мат. мод. физ. проц. 2013. вып. 4. С. 57-62.

86. Кузнецов Ю.А., Мацокин А.М. О частичном решении систем линейных алгебраических уравнений // Вычислительные методы линейной алгебры. - Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1978. 62-89.

87. Vassilevski P.S. Fast algorithm for solving a linear algebraic problem with separable variables // Comptes rendus de L'Academie Bulgare des science. 1984. 37, N 3. 305-308.

88. Акимова Е.Н., Белоусов Д.В. Параллельные алгоритмы решения СЛАУ с блочно-трехдиагональными матрицами на многопроцессорных вычислителях // Вестник УГАТУ. 2011. 15, № 5. 87-93.

89. Асфандияров Д.Г., Головизнин В.М., Финогенов С.А. Прямое численное моделирование пристенной турбулентности в плоском канале в широком диапазоне чисел Рейнольдса // ВАНТ. Серия: Математическое моделирование физических процессов. - 2016. - №2. - С. 48-58.

90. Bernardini M., Pirozzoli S., Orlandi P. Velocity statistics in turbulent channel flow up to Rer = 4000 // Journal of Fluid Mechanics. 2014. 742. 171-191

91. Schultz M.P., Flack K.A. Reynolds-number scaling of turbulent channel flow // Phys. Fluids. 2013. 25. 025104.

92. Dean R.B. Reynolds number dependence of skin friction and other bulk flow variables in two-dimensional rectangular duct flow // Trans. ASME I: J. Fluids Engng. 1978. 100. 215-223.

93. E.-S.Zanoun, H. Nagib, andF. Durst. Refined Сf relation for turbulent channels and consequences for high-Re experiments // Fluid Dyn. Res. 2009. 41. 021405.

94. Moin P., Mahesh K. Direct Numerical Simulation: a tool in turbulence research // Annu. Rev. Fluid Mech. 1998. 30. 539-578.

95. Iwamoto K., Suzuki., Kasagi N. Reynolds number effect on wall turbulence: toward effective feedback control // Int. J. of Heat and Fluid Flow. 2002. 23. 678-689.

96. Tanahashi M., Kangand S.-J., Miyamoto T. et al. Scaling law of fine scale eddies in turbulent channel flow up to Rex = 800 // Int. J. of Heat and Fluid Flow. 2004. 25. 331-340.

97. Laadhari F. Reynolds number effect on the dissipation function in wall-bounded flows // Phys. Fluids. 2007. 19, N 3. 038101.

98. Tsukahara T., Seki Y., Kawamura H., Tochio D. DNS of turbulent channel flow at very low Reynolds number // 4th Int. Symp. on Turbulence and Shear Flow Phenomena. Williamsburg, VA, USA, 2005. 935-940.

99. Patel V.C., HeadM.R. Some observations on skin friction and velocity profiles in fully developed pipe and channel flow // J. Fluid Mech. 1969. 38. 181-201.

100. Bernard P., Wallace J. Turbulent Flow: Analysis, Measurement and Prediction. John Wiley & Sons, 2002.

101. Alfonsi G., Primavera L. Temporal dynamics of vortical structures in turbulent channel flow / Conference: Proceedings TSFP-5, 5th International Symposium on Turbulence and Shear Flow Phenomena, Munich (Germany), 2007.

102. P. Moin, R. Verzicco. On the suitability of second-order accurate discretizations for turbulent flow simulations // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2016. 55. 242-245.

103. Асфандияров Д.Г. Искусственные граничные условия при ILES моделировании течения в плоском канале по схеме КАБАРЕ. Вычислительные методы и программирование. 2019. Т. 20. C. 12-20.

104. Асфандияров Д.Г. Математическое моделирование турбулентного течения в плоском канале на основе схемы КАБАРЕ. Вычислительные методы и программирование. 2019. Т. 20. C. 356-362.

105. Piomelli U. High Reynolds number calculations using the dynamic subgrid-scale stress model // Phys. Fluids A. 1993. 5. 1484-1490.

106. Graham J., Kanov K.,YangX., Lee M., Malaya N., Lalescu C., Burns R., Eyink G., Szalay A., Moser R.D., et al., "A web services accessible database of turbulent channel flow and its use for testing a new integral wall model for LES // Journal of Turbulence. 2016. 17. 181-215.

107. de Wiart C.C., Hillewaert K., Bricteux L., Winckelmans G. Implicit LES of free and wall-bounded turbulent flows based on the discontinuous Galerkin/symmetric interior penalty method. Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2015. 78. 335-354.