Методы решения нестационарных задач газовой динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Воронич, Иван Викторович

• Воронич, Иван Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Воронич, Иван Викторович

Обозначения.

Введение.

1. Законы сохранения и основа численного метода.

1.1. Законы сохранения и их характеристические свойства.

1.2. Полудискретная задача.

1.3. Условие энтропии.

2. Численные методы решения уравнений Эйлера.

Введение.

2.1. Метод расщепления разности вектора потока.

2.2. Методы расщепления вектора потока.

2.2.1. Расщепление Стегера-Уорминга.

2.2.2. Расщепление ван Лира.

2.2.3. Кинетическое расщепление вектора потока.

2.3. Метод прямого статистического моделирования.

2.4. Энтропийные свойства методов.

2.5. Повышение точности базовых методов.

2.6. Комбинированный метод.

3. Расчет различных классов течений.

3.1. Одномерные тестовые задачи

3.2. Двумерные задачи.

Выводы.

4. Решение задачи о взаимодействии вихря с аэродинамическим профилем в потоке сжимаемого газа.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Условия расчета и результаты.

4.3. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы решения нестационарных задач газовой динамики»

Численное моделирование движения газов и жидкостей является областью, активно развивающейся как в связи с растущим количеством практических приложений, так и в связи с увеличением производительности компьютерной техники и возрастающей ролью вычислительного эксперимента. Сложность представляет не только построение моделей движения жидкостей и газов (например, для турбулентных и многофазных течений), но и построение согласованных дискретных моделей, позволяющих получить корректное численное решение. Разработка точных, надежных и вычислительно эффективных численных алгоритмов, позволяющих моделировать течения в широком диапазоне режимов, является предметом обширных исследований [113].

Традиционную сложность представляет моделирование нелинейных конвективных процессов, особенно в течениях с преобладанием конвекции, включающих значительные градиенты (или разрывы) поля течения. Это, прежде всего, относится к уравнениям Эйлера как базису для многих моделей движения жидкостей и газов. Чтобы подчеркнуть взаимосвязь моделей сплошной среды, можно указать на течения с интенсивными скачками или зонами глубокого разрежения, которые, хотя зачастую и рассчитываются в рамках модели Эйлера (когда физическая вязкость и теплопроводность не учитываются), могут требовать привлечения сплошносредных и кинетических моделей диссипации [14].

При более чем 50-летней истории развития численных методов решения гиперболических систем уравнений [16-24], значительный прогресс в области построения численных методов решения уравнений Эйлера произошел в 1970-е - 1980-е годы [25-49]. Это можно объяснить востребованностью моделей такого уровня для решения практических задач, во многом благодаря росту производительности вычислительной техники.

Существенно, что с последующим развитием моделирования течений газов и жидкостей возросли требования к точности и надежности численных методов. В связи с этим развитие методов продолжилось, с новыми требованиями и преодолением новых проблем [14,15, 50-84]. Можно было бы думать, что тематика построения численных методов для уравнений Эйлера исчерпана, однако количество публикаций в этом направлении говорит о том, что это не так: ряд вопросов еще находится в стадии обсуждения. Некоторые из этих вопросов рассматриваются ниже.

Представляется важным выделить основные направления совершенствования численных методов решения уравнений газовой динамики. Во-первых, это способ построения аппроксимации вектора потока через грань расчетной ячейки в рамках метода конечного объема с учетом характеристических свойств законов сохранения и условия энтропии [11,42]. Такая аппроксимация должна обеспечивать хорошее разрешение разрывов (в частности, контактного и тангенциального, что важно для сдвиговых течений) и обладать достаточной надежностью при расчете интенсивных скачков и волн разрежения. Можно отметить широкое использование кинетических представлений для построения аппроксимации вектора потока применительно к моделированию течений сплошных сред и слаборазреженных газов [14, 33, 56, 57, 65, 75].

Во-вторых, большую роль играет способ повышения точности алгоритмов по пространственным переменным и времени. Эти два направления в настоящее время зачастую рассматриваются раздельно путем сведения к полудискретной задаче, представляющей систему обыкновенных дифференциальных уравнений по времени для переменных в ячейке с правой частью, полученной в результате дискретизации пространственных потоков [12]. Методы, использующие совместную аппроксимацию производных по пространственным переменным и времени, также продолжают развиваться [3,11,22]. Методам повышения пространственной точности посвящено большое количество работ [1-8,11], этой теме продолжает уделяться внимание. В настоящей работе рассматриваются методы второго (условно) порядка аппроксимации, потенциал которых представляется не исчерпанным. Такие методы широко используются в инженерной и научной практике как предсказуемые, терпимые к качеству расчетной сетки и допускающие более простые способы реализации граничных условий [7, 68]. Для интегрирования по времени разработаны группы как явных, так и неявных методов [12,47,48,53]. Для расчета нестационарных течений часто используются многошаговые методы Рунге-Кутта [83].

В-третьих, важным элементом вычислительного алгоритма является постановка и численная реализация граничных условий, так как точность и характер сеточного решения сильно зависят от реализации граничных условий [68,85-87]. С этой точки зрения можно выделить граничные условия на твердых стенках и внешних границах. Корректная постановка численных граничных условий позволяет избежать не только увеличения объема расчетной сетки и вычислительных затрат, но и получения ошибочного решения.

Расчетная сетка является необходимой компонентой процесса получения численного решения задачи. Желательно иметь адаптированную к геометрии задачи и к особенностям решения расчетную сетку при соблюдении ее качества. Адаптация расчетной сетки призвана способствовать повышению точности сеточного решения и ускорению сходимости расчета для стационарных задач [88-90] наряду с многосеточными методами [91] и методами предобуславливания [76].

Таким образом, вычислительный алгоритм включает в себя аппроксимацию вектора потока в системе законов сохранения, метод повышения точности по пространственным переменным, метод интегрирования по времени, численную реализацию граничных условий. Современные комплексы программ включают множество взаимосвязанных компонент, отвечающих за реализацию моделей различных процессов. Это осложняет верификацию таких комплексов и требует тестирования отдельных компонент [92]. В настоящей работе это учитывается путем анализа отдельных компонент алгоритма и их совместного тестирования. Этому способствует реализация алгоритмов с помощью объектно-ориентированных языков программирования. В случае, когда возникают сомнения в природе того или иного дефекта сеточного решения, необходимо также проводить расчеты с помощью методов первого порядка аппроксимации по пространству и времени.

Подход сквозного счета разрывных решений без явного выделения разрывов не свободен от недостатков. Прежде всего, это потеря точности сеточного решения в области за скачком, где традиционные методы сквозного счета обеспечивают не более чем первый порядок аппроксимации [34, 68,79]. Для преодоления этой проблемы разрабатывались методы выделения разрывов и адаптации расчетных сеток к разрывам [34]. Однако в случае движущихся и зарождающихся разрывов в многомерных течениях избежать снижения точности трудно. Альтернативой являются методы, построенные на базе понятия слабой аппроксимации, которые обеспечивают более чем первый порядок аппроксимации в области за скачком [79]. Недостатком таких методов является наличие нефизических осцилляций решения вблизи скачка. В настоящей работе используется подход сквозного счета разрывных решений при учете локальной картины течения для повышения разрешающих свойств и надежности методов. Подход сквозного счета позволяет достаточно полно выявить свойства аппроксимации вектора потока применительно к расчету различных типов течений на разнообразных расчетных сетках.

Ни один из вычислительно эффективных алгоритмов не лишен недостатков, как в силу конструктивных особенностей (связанных с аппроксимацией потоков), так и в силу трудностей, связанных с повышением точности по пространственным переменным и времени при ограничениях условия энтропии. Требования надежности и высокого разрешения являются в некотором смысле противоречивыми, так как требование повышения точности ведет к понижению схемной диссипации метода. Этот вопрос зачастую решается с помощью методов переменного порядка аппроксимации [21, 25,42]. Однако в этой связи можно отметить и востребованность комбинированных алгоритмов разного рода, так как разрешающие свойства зависят в первую очередь от базового метода первого порядка [14,55,58,61,74]. Под комбинированным алгоритмом здесь понимается такой алгоритм, который сочетает различные подходы к вычислению аппроксимации вектора потока в зависимости от локальной картины течения. Такие меры нужны в основном при расчете течений, содержащих интенсивные скачки и волны разрежения, так как методы, хорошо разрешающие контактные и тангенциальные разрывы (в первую очередь, методы типа Годунова), могут давать серьезные дефекты на интенсивных пространственных скачках [15, 55, 61, 74]. Традиционные методы расщепления вектора потока, наоборот, лучше пригодны для интенсивных скачков, но плохо разрешают контактные и тангенциальные разрывы, что важно для высокоскоростных сдвиговых течений [60].

Нужно отметить, что вопросы численного расчета многомерных течений с интенсивными скачками уплотнения с помощью методов сквозного счета являются дискуссионными до настоящего времени. Это связано с тем, что вопросы устойчивости ударных волн не исследованы в полной мере, поэтому не всякая неустойчивость численного расчета должна рассматриваться как дефект метода [15, 84, 93, 94].

Идеализированной целью является построение алгоритма, который имеет высокую точность в областях гладкого решения и хорошее разрешение разрывов (включая их положение и перепад параметров потока на разрыве) при сквозном расчете разрывных решений [50, 79]. По указанным выше причинам построение такого алгоритма невозможно без некоторого компромисса.

Представляется, что методы построения аппроксимации вектора потока для уравнений Эйлера можно классифицировать на базе понятия схемной вязкости, связанной со схемным диссипативным потоком - механизмом, регулирующим «физичность» получаемых сеточных решений [14,42, 50, 63]. Систематическое сравнительное исследование группы известных методов расщепления вектора потока и метода расщепления разности вектора потока (типа Годунова), использующих характеристические свойства законов сохранения, полезно для выделения взаимосвязи конструктивных особенностей этих широко используемых методов с качеством сеточных решений. Сравнительный анализ методов на основе свойств собственных значений схемного диссипативного потока и результатов решения ряда задач позволяет оценить различные подходы к построению методов и уточнить их область применимости [31, 51, 63].

Условие энтропии является существенным критерием при построении и анализе численных методов расчета обобщенных (разрывных) решений газодинамических задач [19,26,42]. Конструкция аппроксимации вектора потока определяет разрешающие и энтропийные свойства метода. Однако установить в общем случае строгую взаимосвязь между характеристиками схемной диссипации и энтропийными свойствами затруднительно. Действие схемной диссипации для энтропийно согласованного метода похоже на действие физической вязкости: процесс сходимости сеточного решения на последовательности измельчающихся расчетных сеток можно представить как предельный переход при стремлении физической вязкости к нулю. Настройка аппроксимации вектора потока позволяет в ряде случаев добиться улучшения качества сеточного решения [42, 58].

Для иллюстрации подходов к повышению точности по пространственным переменным рассматривается одномерный скалярный закон сохранения, для которого строится нелинейная разностная схема повышенной точности, удовлетворяющая некоторому условию, например условию сохранения монотонности или родственным условиям [25,44,49,67]. Нелинейность разностной схемы обусловлена применением функций-ограничителей приращений переменных для обеспечения корректной реконструкции распределений переменных внутри ячейки. Далее подход, развитый для скалярного случая, обобщается на полную систему уравнений. Удовлетворить строго условию энтропии в этом случае не представляется возможным, тем не менее, можно надеяться, что сеточное решение будет высокого качества во всей области течения, за исключением областей разрывов и снижения точности в областях их влияния. Для расчета многомерных течений существенен способ обобщения одномерной модели, как с точки зрения аппроксимации вектора потока [48,53,60,63], так и реконструкции распределений переменных в ячейке [28,29,45]. Для решения этих задач используются преобразования координат [48], методы факторизации конечно-разностных операторов [53], или обобщение на случай произвольной ориентации грани ячейки [45, 60, 63]. В настоящей работе рассматривается последний вариант как вполне естественный.

Роль линейной модели переноса показательна, так как она используется для описания движения среды на различных уровнях [10, 14,16,25]. Это относится к уравнениям движения сплошной среды и к кинетическим уравнениям как базису моделей сплошной среды. Метод прямого статистического моделирования является полноценной иллюстрацией этих взаимосвязей [95]. Существенен в этой связи также смысл условия энтропии с кинетической точки зрения.

Рассматриваемый вариант комбинированного алгоритма основан на избирательном применении аппроксимаций вектора потока, построенных на различных принципах. Выбор критерия переключения содержит некоторый произвол, однако численные эксперименты показали, что идентификация интенсивных разрывов может быть удовлетворительно выполнена с помощью простых условий.

Применение адаптивных функций-ограничителей рассматривается как способ повышения пространственной точности алгоритма [59,78,82].

Особенностью такой функции-ограничителя является то, что в зависимости от локальной волновой картины в распределениях различных переменных в некоторых случаях применяется центрально-разностный подход к вычислению значений переменных на грани ячейки вместо «монотонизации» решения по принципу минимальных приращений [25,42]. Нужно заметить, что такой метод отличается от применения схемы центральных разностей в областях гладкого решения [11]. Результаты показывают, что применение адаптивных функций-ограничителей повышает разрешающие свойства известных методов без ужесточения требований к качеству расчетной сетки, увеличивает их вычислительную эффективность с сохранением надежности [81].

Обсуждаемая тематика представляется актуальной в силу широкого применения численных алгоритмов расчета решений уравнений газовой динамики с использованием характеристических свойств законов сохранения.

Целью настоящей работы явилось построение вычислительно эффективного, надежного алгоритма решения нестационарных задач газовой динамики в широком диапазоне режимов, пригодного для раскрытия нестационарного волнового поля течения, содержащего разномасштабные особенности. Это требует систематизации свойств конечно-разностных методов (в том числе построенных с использованием кинетических моделей) расчета обобщенных (разрывных) решений уравнений газовой динамики с целью построения возможно более универсального алгоритма. Для решения этой задачи также необходимо исследование возможностей повышения разрешающих свойств методов с помощью аппарата функций-ограничителей без существенного ужесточения требований к расчетной сетке.

На защиту выносятся следующие положения: 1. результаты сравнительного изучения основных групп численных методов решения уравнений Эйлера, позволяющие определить область применения методов и уточнить механизмы схемной диссипации;

2. комбинированный алгоритм вычисления аппроксимации вектора потока, сочетающий применение двух аппроксимаций вектора потока, что позволяет расширить диапазон применения методов типа Годунова;

3. адаптивная функция-ограничитель в рамках схем, сохраняющих монотонность, позволяющая повысить точность и вычислительную эффективность методов;

4. результаты численного решения задачи о взаимодействии вихря с профилем в дозвуковых и трансзвуковых потоках сжимаемого газа.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. получены новые данные о механизмах и характеристиках схемной диссипации методов типа Годунова и методов расщепления вектора потока;

2. создание нового комбинированного алгоритма вычисления аппроксимации вектора потока, позволяющего расширить диапазон применения методов типа Годунова;

3. создание новой адаптивной функции-ограничителя в рамках схем, сохраняющих монотонность, позволяющей повысить точность и вычислительную эффективность методов, в том числе применительно к расчету волновых процессов;

4. получены новые данные о характеристиках взаимодействия вихря с профилем в дозвуковых и трансзвуковых потоках сжимаемого газа и генерации акустических возмущений в ходе такого процесса.

Первая глава диссертации является вводной. В ней рассматриваются свойства законов сохранения газовой динамики, дискретизация по принципу конечного объема, полудискретная задача, понятия сходимости, аппроксимации, обобщенного решения, задача Коши для гиперболической системы законов сохранения, условие энтропии. Дается краткий обзор проблем построения универсальных методов повышенного порядка аппроксимации и формулируются задачи, решение которых дает возможность продвинуться в этом направлении.

Вторая глава посвящена детальному разбору методов. В ней рассматриваются следующие методы построения аппроксимации вектора потока (п. 2.1,2.2): метод типа Годунова - метод расщепления разности вектора потока, методы расщепления вектора потока - Стегера-Уорминга, ван Лира, кинетического расщепления вектора потока. Для этих методов рассмотрены свойства их схемной диссипации и способы энтропийной коррекции, сделаны выводы о характеристиках методов применительно к расчету различных классов течений. Для сопоставления континуального и кинетического подходов к построению численных методов расчета задач газовой динамики приведен анализ метода прямого статистического моделирования (п. 2.3). Обсуждению условия энтропии с кинетической точки зрения и установлению энтропийных свойств метода кинетического расщепления вектора потока посвящен п. 2.4. В п. 2.5 изложен подход к повышению точности методов по пространственным переменным и времени на базе условия сохранения монотонности. Обсуждается аппарат функций-ограничителей, на основе анализа существующих методов предложена адаптивная к локальному распределению переменных функция-ограничитель. Построению комбинированного алгоритма вычисления аппроксимации вектора потока с учетом существующих подходов посвящен п. 2.6.

В третьей главе изложены результаты применения описанных методов к решению ряда одномерных и двумерных по пространственным переменным задач. Одномерные задачи (п. 3.1) позволяют проверить выводы, сделанные ранее о свойствах схемной диссипации методов, а также проверить пригодность комбинированного алгоритма и адаптивной функции-ограничителя на различных газодинамических конфигурациях. В п. 3.2 рассматриваются 3 стационарные и нестационарные двумерные задачи. Разбираются вопросы построения расчетных сеток, реализации граничных условий и оценки точности и сходимости сеточных решений. Результаты решения двумерных задач позволяют подтвердить выводы о схемной диссипации методов, подтвердить эффективность комбинированного алгоритма и количественно проверить эффективность адаптивной функции-ограничителя.

В четвертой главе рассмотрено применение развитых методов к задаче о взаимодействии вихря с симметричным профилем в потоке сжимаемого газа при различных значениях числа Маха. В результате проведенных расчетов определены характеристики волнового поля, генерируемого в процессе взаимодействия, а также характеристики сил и моментов, действующих на профиль. Такие данные позволяют прогнозировать последствия таких явлений для практики а также наметить подход к ослаблению такого воздействия.

В разделе заключение представлены основные результаты проведенных исследований.

Автор выражает признательность: научному руководителю - заведующему кафедрой компьютерного моделирования МФТИ профессору Ю.И. Хлопкову за руководство и поддержку исследований, доцентам В.А. Жарову и C.J1. Горелову за обсуждение постановок задач и результатов, профессору А.И. Толстых за обсуждение ряда методических вопросов, к. ф.-м. н. В.В. Власенко за ценные рекомендации и помощь в исправлении ряда неточностей,

В.В. Войкову за участие в совместных исследованиях, В.В. Ткаченко за помощь в подготовке работы, сотрудникам кафедры компьютерного моделирования МФТИ и лично М.В. Спиркиной за поддержку, своим родителям за под держку и терпение.

Работа выполнялась при содействии Государственной программы поддержки ведущих научных школ, грант НШ-1984.2003.1, руководитель -профессор М.Н. Коган.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Воронич, Иван Викторович

Выводы

Моделирование процесса взаимодействия вихревой структуры и симметричного аэродинамического профиля в потоке сжимаемого газа позволило получить данные о структуре и характеристиках поля возмущений. Взаимодействие носит нелинейный характер, начальный вихрь при нулевом прицельном расстоянии практически полностью разрушается. Число Маха, как и ожидалось, является одной из определяющих величин взаимодействия.

Выделены два типа акустических волн, образующихся в результате взаимодействия, которые отличаются по своей структуре и амплитуде. Оценки амплитуды и частоты ближнего поля возмущений для указанных режимов составляют ~1 КПа и ~1 КГц соответственно, амплитуда и частота растут с ростом числа Маха, рост частоты является нелинейным. В поперечном к потоку направлении амплитуда волн максимальна. Эти данные согласуются с имеющимися представлениями о спектре и амплитуде аэродинамических звуковых источников.

Полученные зависимости аэродинамических коэффициентов от времени позволяют подробно проследить динамику силового воздействия на профиль. Коэффициенты сил и моментов претерпевают быстрые разнознаковые изменения большой амплитуды с последующим релаксационным процессом восстановления за время ~LIVco. Такие воздействия представляют опасность в условиях реального полета с точки зрения динамики и прочности. Поиск средств детектирования и нейтрализации таких возмущений в условиях полета в настоящее время является актуальной задачей.

На основе результатов проводимых в настоящее время исследований можно предположить, что в качестве способа нейтрализации таких воздействий будут эффективны активные механические или тепловыделяющие устройства [119].

Заключение

Основными результатами исследования являются:

1. Систематизированы диссипативные свойства методов типа Годунова и методов расщепления вектора потока. Аналитическое и численное исследования позволяют определить преимущества и недостатки методов и область их применения.

2. В рамках методов повышения точности по пространственным переменным на базе принципа сохранения монотонности построена адаптивная к локальному распределению параметров функция-ограничитель, позволяющая существенно повысить точность сеточных решений и эффективность алгоритма без ужесточения требований к расчетной сетке в рамках методов второго порядка аппроксимации.

3. Построен вариант комбинированного алгоритма вычисления аппроксимации вектора потока, основанный на применении диссипативного метода расщепления вектора потока вместо метода типа Годунова в окрестности интенсивных скачков.

4. Проанализированы постановки численных граничных условий, обеспечивающие получение корректных сеточных решений.

5. Численно решен ряд одномерных и двумерных задач, что дает материал для сравнения методов и дальнейшего их совершенствования.

6. Численно решена задача о взаимодействии вихря с профилем в потоке сжимаемого газа при различных значениях числа Маха, результаты дают материал для оценки амплитудных и частотных характеристик шума лопастей вертолетов и силового воздействия на лопасти.

7. Сформулированы направления дальнейших исследований -привлечение кинетических моделей для построения численных методов, улучшение разрешающих свойств методов за счет адаптивных ограничителей, построение комбинированных алгоритмов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Воронич, Иван Викторович, 2005 год

1. Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

2. А.А. Самарский, Ю.П. Попов Разностные методы решения задач газовой динамики, (изд. 4-е) М.: УРСС, 2004.

3. К.М. Магомедов, А.С. Холодов Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988.

4. А.И. Толстых Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М.: Наука, 1990.

5. О.М. Белоцерковский Численное моделирование в механике сплошных сред (изд. 2-е). М.: Физматлит, 1994.

6. R. LeVeque Numerical Methods for Conservation Laws (2nd ed.). Basel: Birkhauser, 1996.

7. A. Jameson Essential Elements of Computational Algorithms for Aerodynamic Analysis and Design. ICASE Report N 97-68, 1997.

8. Upwind and High-Resolution Schemes. John Van Rosendale (ed.) N.Y.: Springer, 1997.

9. D. Wilcox Turbulence Modeling for CFD. DCW Industries, 1998.

10. О.М. Белоцерковский, A.M. Опарин Численный эксперимент в турбулентности: от порядка к хаосу (изд. 2-е). М.: Наука, 2000.

11. А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю.Семенов Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.

12. Н. Lomax, Т. Pulliam, D. Zingg Fundamentals of Computational Fluid Dynamics. Berlin: Springer-Verlag, 2001.

13. T. Chung Computational Fluid Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press, 2002.

14. К. Xu, L. Martinelli, A. Jameson Gas-Kinetic Finite Volume Methods, Flux-Vector Splitting, and Artificial Diffusion. J. Computational Physics, 1995, V. 120, pp. 48-65.

15. J.-Ch. Robinet, J. Gressier, G. Casalis and J.-M. Moschetta Shock Wave Instability and the Carbuncle Phenomenon: Same Intrinsic Origin? J. Fluid Mechanics, 2000, V. 417, pp. 237-263.

16. R. Courant, E. Isaacson, M. Rees On the Solution of Nonlinear Hyperbolic Differential Equations by Finite Differences. Comm. Pure Appl. Math., 1952, V. 5, pp. 243-255.

17. P. Lax Weak Solutions of Nonlinear Hyperbolic Equations and Their Numerical Computation. Comm. Pure. Appl. Math., 1954, V. 7, pp. 159-194.

18. О.А.Ладыженская О построении разрывных решений квазилинейных гиперболических уравнений, как пределов решений соответствующих параболических уравнений при стремлении «коэффициента вязкости» к нулю. Доклады АН СССР, 1956, Т. 111, N 2, с. 291-294.

19. О.А. Олейник Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. Успехи математических наук, 1957, Т. 12, № 3, с. 3-73.

20. С.К. Годунов Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Математический сборник, 1959, Т. 3, № 47, с. 271.

21. Р.П. Федоренко Применение разностных схем высокого порядка точности для гиперболических уравнений. ЖВМ и МФ, 1962, Т. 2, № 6.

22. P. Lax, В. Wendroff Difference Schemes for Hyperbolic Equations with High Order of Accuracy. Comm. Pure Appl. Math., 1964, V. 17, pp. 381-398.

23. B.B. Русанов Конечно-разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений. Доклады АН СССР, 1968, Т. 180, № 6, с. 1303-1305.

24. R. MacCormak The Effect of Viscosity in Hypervelocity Impact Cratering. AIAA Paper, 1969, N 69-354.

25. В.П. Колган Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. Ученые записки ЦАГИ, 1972, Т. III, № 6, с. 68-77.

26. P. Lax Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1972.

27. B. van Leer Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme II. J. Computational Physics, 1974, V. 14, pp. 361-370.

28. В.П. Колган Конечно-разностная схема для расчета двумерных разрывных решений нестационарной газовой динамики. Ученые записки ЦАГИ, 1975, Т. VI, № 1, с. 9-14.

29. С.К. Годунов, А.В. Забродин, М.Я. Иванов, А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

30. В.П. Колган Применение сглаживающих операторов в конечно-разностных схемах высокого порядка точности. ЖВМ и МФ, 1978, Т. 18, №5, с. 1340-1345.

31. G. Sod A Survey of Several Finite Difference Methods for Systems of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws. J. Computational Physics, 1978, V. 27, pp. 131.

32. B. van Leer Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme V. J. Computational Physics, 1979, V. 32, pp. 101-136.

33. D. Pullin Direct Simulation Methods for Compressible Inviscid Ideal-Gas Flow. J. Computational Physics, 1980, V. 34, N 2, p. 231.

34. А.Н. Крайко, B.E. Макаров, Н.И. Тилляева Численное построение фронтов ударных волн. ЖВМ и МФ, 1980, Т. 20, № 3, с. 716-723.

35. P. Roe Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes. J. Computational Physics, 1981, V. 43, N 10, pp. 357-372.

36. J. Steger, R. Warming Flux Vector Splitting of the Inviscid Gas Dynamics Equations with Application to Finite-Difference Methods. J. Computational Physics, 1981, V. 40, p. 263.

37. В. van Leer Flux Vector Splitting for the Euler Equations. Lecture Notes in Physics, 1982, V. 170, pp. 307-312.

38. S. Osher, F. Solomon Upwind Difference Schemes for Hyperbolic Systems of Conservation Laws. Math. Comput., 1982, V. 38, pp. 339-374.

39. G. van Albada, B. van Leer, W. Roberts A Comparative Study of Computational Methods in Cosmic Gas Dynamics. Astronomy and Astrophysics, 1982, V. 108, pp. 76-84.

40. В.И. Копченов, A.H. Крайко Монотонная разностная схема второго порядка для гиперболических систем с двумя независимыми переменными. ЖВМ и МФ, 1983, Т. 23, № 4, с. 848-858.

41. М.И. Волчинская, А.Н.Павлов, Б.Н. Четверушкин Об одной схеме расчета газодинамических уравнений. Препринт № 113 ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1983.

42. A. Harten High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. J. Computational Physics, 1983, V. 49, N 3, pp. 357-393.

43. A. Harten, P. Lax, B. van Leer On Upstream Differencing and Godunov-Type Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. SI AM Review, 1983, V. 25, N 1, pp. 35-61.

44. P. Sweby High Resolution Scheme Using Flux Limiters for Hyperbolic Conservation Laws. SIAM J. Numer. Anal., 1984, V. 21, p. 995.

45. Н.И. Тилляева Обобщение модифицированной схемы С.К. Годунова на произвольные нерегулярные сетки. Ученые записки ЦАГИ, 1986, Т. XVII, № 2, с. 18-26.

46. S. Deshpande Kinetic Theory Based New Upwind Methods for Inviscid Compressible Flows. AIAA Paper, 1986, 86-0275.

47. A.B. Родионов Повышение порядка аппроксимации схемы С.К. Годунова. ЖВМ и МФ, 1987, Т. 27, № 12, с. 1853-1860.

48. Н. Yee, A. Harten Implicit TVD Schemes for Hyperbolic Conservation Laws in Curvilinear Coordinates. AIAA Journal, 1987, V. 25, p. 266.

49. A. Harten, S. Osher Uniformly High-Order Accurate Nonoscillatory Schemes. SIAM J. Numer. Analys., 1987, V. 24, N. 2, pp. 279-309.

50. Ю.Б. Радвогин О квазимонотонных разностных схемах второго порядка. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1991.

51. В. Einfeldt, С. Munz, P. Roe, В. Sjogreen On Godunov Type Methods Near Low Densities. J. Computational Physics, 1991, V. 92, pp. 273-295.

52. S. Lele Compact Finite Difference Schemes with Spectral-Like Resolution. J. Computational Physics, 1992, V. 103, p. 16.

53. T. Pulliam Solution Methods in Computational Fluid Dynamics. Yon Karman Institute for Fluid Mechanics Lecture Series, 1994.

54. A. Harten Adaptive Multiresolution Schemes for Shock Computations. J. Computational Physics, 1994, V. 115, pp. 319-338.

55. J. Quirk A Contribution to the Great Riemann Solver Debate. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 1994, V. 18, pp. 555-574.

56. T. Elizarova, I. Graur, J. Lengrand, A. Chpoun Rarefied Gas Flow Simulation Based on Quasi Gas-Dynamic Equations. AIAA Journal, 1995, V. 33, N 12, pp. 2316-2324.

57. S. Brown Approximate Riemann Solvers for Moment Models of Dilute Gases. PhD Dissertation. The University of Michigan, 1996.

58. R. Donat, A. Marquina Capturing Shock Reflections: an Improved Flux Formula. J. Computational Physics, 1996, V. 125, pp. 42-58.

59. M. Arora, P. Roe A Well-Behaved TVD Limiter for High-Resolution Calculations of Unsteady Flow. J. Computational Physics, 1997, V. 132, pp. 311.

60. J-M. Moschetta, D. Pullin A Robust Low Diffusive Kinetic Scheme for the Navier-Stokes/Euler Equations. J. Computational Physics, 1997, V. 133, pp. 193-204.

61. Y. Wada, M.-S. Liou An Accurate and Robust Flux Splitting Scheme for Shock and Contact Discontinuities. SIAM J. Sci. Comput., 1997, V. 18, N 3, pp. 633657.

62. R. LeVeque Wave Propagation Algorithms for Multi-Dimensional Hyperbolic Systems. J. Computational Physics, 1997, V. 131, pp. 327-353.

63. W. Kleb Comments Regarding Two Upwind Methods for Solving for Two-Dimensional External Flows Using Unstructured Grids. NASA TM N 109078, 1997.

64. X. Li Entropy Consistent, TVD Methods With High Accuracy For Conservation Laws. Electronic Journal of Differential Equations, Conference 01, 1997, pp. 171-191. ISSN: 1072-6691. URL: http://ejde.math.swt.edu.

65. T. Lou, D. Dahlby, D. Baganoff A Numerical Study Comparing Kinetic Flux-Vector Splitting for the Navier-Stokes Equations with a Particle Method. J. Computational Physics, 1998, V. 145, pp. 489-510.

66. R. MacCormack, T. Pulliam Assessment of a New Numerical Procedure for Fluid Dynamics. 29th ALAA Fluid Dynamics Conference, Albuquerque, NM, June 15-18, 1998.

67. В.Г. Крупа О построении разностных схем повышенного порядка точности для гиперболических уравнений. ЖВМ и МФ, 1998, Т. 38, № 1, с. 85.

68. А.Н. Минайлос Точность численных решений уравнений Навъе-Стокса. ЖВМ и МФ, 1998, Т. 38, № 7, с. 1220-1232.

69. С.А. Величко, Ю.Б. Лифшиц, И.А. Солнцев Расчет нестационарных течений с помощью схемы повышенной точности. ЖВМ и МФ, 1999, Т. 39, № 5, с. 817.

70. В.А. Гаранжа, В.Н. Конынин Численные алгоритмы для течений вязкой жидкости, основанные на консервативных компактных схемах высокого порядка аппроксимации. ЖВМ и МФ, 1999, Т. 39, № 8. с. 1378-1392.

71. М.В.Липавский, А.И.Толстых О сравнительной эффективности схем с нецентрированными компактными аппроксимациями. ЖВМ и МФ, 1999, Т. 39, № 10, с. 1705-1720.

72. S. Lui, К. Xu Entropy Analysis of Kinetic Flux Vector Splitting Schemes for the Compressible Euler Equations. ICASE Report N 99-5, Institute for Computer Applications in Science and Engineering, NASA Langley Research Center, 1999.

73. H. Reksoprodjo, R. Agarwal A Higher-Order Kinetic Wawe-Particle Flux-Splitting Algorithm for the Euler Equations. AIAA Paper 99-0920, 1999.

74. K. Xu Gas Evolution Dynamics in Godunov-Type Schemes and Analysis of Numerical Shock Instability. 1999, ICASE Report N 99-6.

75. Б.Н. Четверушкин Кинетически-согласованные разностные схемы в газовой динамике. М.: Изд-во МГУ, 1999.

76. Е. Turkel Preconditional Techniques in Computational Fluid Dynamics. Annual Rev. Fluid Mech., 1999, V. 31, pp. 385^116.

77. H. Yee, M. Vinokur, M. Djomehri Entropy Splitting and Numerical Dissipation. J. Computational Physics, 2000, V. 162, pp. 33-81.

78. А.Н. Гильманов Локально-характеристический подход в разностной схеме повышенного порядка аппроксимации. ЖВМ и МФ, 2000, Т. 40, № 4, с. 557-562.

79. В.В. Остапенко О построении разностных схем повышенной точности для сквозного расчета нестационарных ударных волн. ЖВМ и МФ, 2000, Т. 40, № 12, с. 1857-1875.

80. И.В. Абалакин, А.В. Жохова, Б.Н. Четверушкин Разностные схемы на основе кинетического расщепления вектора потока. Математическое моделирование, 2000, Т. 12, № 4, с. 73-82.

81. A. Rezgui, P. Cinnella, A. Lerat Third-Order Accurate Finite Volume Schemes for Euler Computations on Curvilinear Meshes. Computers&Fluids, 2001, V. 30, pp. 875-901.

82. G. Billet, О. Louedin Adaptive Limiters for Improving the Accuracy of the MUSCL Approach for Unsteady Flows. J. Computational Physics, 2001, V. 170, pp. 161-183.

83. S. Gottlieb, C.-W. Shu, E. Tadmor Strong Stability-Preserving High-Order Time Discretization Methods. SIAM Review, 2001, V. 43, N 1, pp. 89-112.

84. Y. Chauvat, J.-M. Moschetta and J. Gressier Shock Wave Numerical Structure and the Carbuncle Phenomenon. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 2005, V. 47, pp. 903-909.

85. T. Poinsot, S. Lele Boundary Conditions for Direct Simulations of Compressible Viscous Flows. J. Computational Physics, 1992, V. 101, pp. 104^129.

86. A. Dadone, B. Grossman Surface Boundary Conditions for the Numerical Solution of the Euler Equations. А1АА Journal, 1994, V. 32, N 2, pp. 285-293.

87. М.А. Ильгамов, А.Н. Гильманов Неотражающие условия на границах расчетной области. М.: Физматлит, 2003.

88. P. Eiseman A Multi-Surface Method of Coordinate Generation. J. Computational Physics, 1979, V. 33, pp. 118-150.

89. J. Thompson, Z. Warsi, C. Mastin Numerical Grid Generation: Foundations and Applications. North-Holland, Elsevier, 1985.

90. А.Н. Гильманов Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Физматлит, 2000.

91. P. Wesseling An Introduction to Multigrid Methods. Philadelpha: R.T. Edwards, Inc., 2004.

92. W. Kleb, W. Wood CFD: A Castle in the SancP. А1АА Paper, 2004, N2627

93. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

94. И.А. Знаменская О классификации типов неустойчивости ударных волн. Труды XIV Международной Школы по моделям механики сплошной среды. М.: МФТИ, 1998.

95. G. Bird Molecular Gas Dynamics and Direct Simulation of Gas Flows. Oxford: Oxford University Press, 1994.

96. Н.Я. Фабрикант Аэродинамика. M.: Наука, 1964.

97. JI.B. Овсянников Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

98. В.П. Стулов Лекции по газовой динамике. М.: Наука, 2004.

99. М.Н. Коган Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967.

100. М.С. Иванов, С.В. Рогазинский Метод прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988.

101. М.Н. Коган, А.С.Кравчук, Ю.И. Хлопков Метод «релаксация-перенос» для решения задач динамики газа в широком диапазоне разреженности среды. Ученые записки ЦАГИ, 1988, Т. XIX, № 2, с. 106.

102. I. Voronich, V. Popov, Yu. Khlopkov Kinetic Calculation Model for Gas Dynamics. Proc. of 3rd Seminar on RRDPAE'98, Warsaw, Warsaw University of Technology Press, 1999.

103. Чой Ен-Ин Применение метода прямого статистического моделирования к расчету течений невязкого газа. Магистерская диссертация. М.: МФТИ, 2002.

104. Ю.И. Хлопков, C.J1. Горелов Методы Монте-Карло и их приложение в механике и аэродинамике. М.: МФТИ, 1989.

105. В.В. Войков, И.В. Воронич Об одном подходе к построению кинетически-согласованных разностных схем газовой динамики. Численное моделирование в задачах аэродинамики и экологии: междуведомств, сб. науч. тр. М.: МФТИ, 1998.

106. J. von Neumann Refraction, Intersection and Reflection of Shock Waves. NAVORD Rep. N 203-45, Washington, 1945.

107. G. Ben-Dor Shock Wave Reflection Phenomena. N.Y.: Springer-Verlag, 1991.

108. H. Li, G. Ben-Dor A Parametric Study of Mach Reflection in Steady Flows. J. Fluid Mechanics, 1997, V. 341, pp. 101-125.

109. M. Ivanov, D. Vandromme, V. Fomin, A. Kudryavtsev, A. Hadjadj, D. Khotyanovsky Transition Between Regular and Mach Reflection of Shock Waves: New Numerical and Experimental Results. Shock Waves, 2001, V. 11, pp. 199-207.

110. A.B. Кузьмина Применение численных методов расчета обтекания трехмерных конфигураций для решения задач интерференции двигателя и планера транспортного самолета. Магистерская диссертация. М.: МФТИ, 2000.

111. М. Ван-Дайк Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986.

112. N. Peake, D. Crighton Active Control of Sound. Ann. Rev. Fluid Mech., 2000, V. 32, pp. 137-164.

113. A.C. Гиневский, Е.В.Власов, P.K. Каравосов Акустическое управление турбулентными струями. М.: Физматлит, 2001.

114. S. Lee, D. Bershader Head-On Parallel Blade-Vortex Interaction. AIAA Journal, 1994, V. 32, N 1, pp. 16-22.

115. F. Schmitz, B. Sim Acoustic Phasing, Directionality and Amplifcation Effects of Helicopter Blade-Vortex Interactions. J. American Helicopter Society, 2001, V. 46, N 10, pp. 273-282.

116. G. Djambazov, C.-H. Lai, A. Pericleous Sound Generation by Vortex-Blade Interactions. Proceedings of 11th Int. Conf. on Domain Decomposition Methods, 1999, pp. 422-429.

117. C. Loh, L. Hultgren, P. Jorgenson Vortex Dynamics Simulation in Aeroacoustics by the Space-Time Conservation Element and Solution Element Method. AIAA Paper, 1999, N 99-0359.

118. T. Wood, S. Grace Wing Geometry Effect on Blade-Vortex Interaction Response Using BEM. Proc. of 2001 ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, New York, 11-16 November 2001.

119. P. Chen, J. Baeder, R.Evans, J. Niemczuk Blade-Vortex Interaction Noise Reduction with Active Twist Smart Rotor Technology. Smart Materials and Structures, 2001, N 10, pp. 77-85.