Метод численного моделирования газодинамических течений и его применение в задаче о Т-слое тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Галанина, Анна Михайловна

• Галанина, Анна Михайловна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Галанина, Анна Михайловна

Оглавление

Введение

1 Сплайн-схема для решения линейного и квазилинейного уравнений переноса

1.1 Постановка задачи

1.2 Построение и исследование сплайн-схемы для линейного уравнения переноса

1.3 Результаты расчётов. Перенос различных профилей

1.4 Сплайн-схема для квазилинейного уравнения переноса

1.4.1 Построение точного решения. Геометрическая интерпретация

1.4.2 Построение разностной сплайн-схемы. Учет нелинейности

при аппроксимации потоков

1.5 Примеры численного решения. Сравнение с монотонизированной схемой К.И. Бабенко

2 Квазиакустическая схема

2.1 Постановка задачи

2.2 Квазиакустическая схема для одномерной системы уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа

2.2.1 Уравнение неразрывности

2.2.2 Уравнение движения

2.2.3 Уравнение энергии

2.3 Аппроксимация интегральных потоков

2.3.1 Линеаризованная система

2.3.2 Аппроксимация потоков

2.3.3 Интерполяция сеточных функций. Построение фоновых значений

2.3.4 Алгоритм вычисления интегральных потоков

2.4 Результаты расчётов для одномерной системы в переменных Лагранжа

2.5 Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера

2.6 Результаты расчётов для одномерной системы в переменных Эйлера. Сравнение со схемой Роу-Эйнфельдта-Ошера

2.7 Квазиакустическая схема для двумерной задачи

2.8 Результаты численного решения двумерной системы уравнений газовой динамики

3 Развитие двумерных возмущений в потоке слабопроводящего

газа в магнитном поле

3.1 Постановка задачи

3.2 Алгоритм численного решения

3.2.1 Уравнение диффузии магнитного поля

3.2.2 Джоулев нагрев и сила Лоренца. Пересчет решения с учетом электромагнитного взаимодействия

3.3 Результаты вычислительных экспериментов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод численного моделирования газодинамических течений и его применение в задаче о Т-слое»

Введение

Актуальность темы

В математическом моделировании для описания сплошной среды (газ, жидкость, плазма и др.) чаще всего используются модели, приводящие к дифференциальным и интегро-дифференциальным уравнениям. Важный класс задач представляют собой системы уравнений гиперболического типа [49, 61]. С решением уравнений гиперболического типа тесно связаны такие прикладные задачи, как расчет движения сжимаемого газа, описание явлений магнитной гидродинамики, решение астрофизических проблем, задачи теории „мелкой воды" и химической сорбции, проблемы теории поверхностей. В силу нелинейности уравнений, встречающихся в моделях перечисленных явлений, основным способом решения и исследования систем этого типа являются численные методы.

Существует большое число различных методов численного решения гиперболических уравнений. Новые алгоритмы продолжают появляться и в настоящее время. Это связано, во-первых, с важностью и широтой применения гиперболических уравнений в математическом моделировании различных процессов. Во-вторых, в силу особенностей этих уравнений, к методам их решения предъявляются высокие требония. порой вступающие в противоречие друг с другом. Поэтому оптимального со всех точек зрения алгоритма нет, и все новые численные методы будут появляться.

Решения нелинейных гиперболических уравнений (в отличии от линейных) часто обладают свойством неограниченного возрастания производных со временем, что называется градиентной катастрофой [49]. В результате даже при

сколь угодно гладких начальных данных решение может оставаться гладким и, соответственно, классическим лишь в течение ограниченного отрезка времени. Построение методов расчета разрывных решений представляет собой особую проблему при решении гиперболических уравнений [37]. Важнейший шаг в этом направлении сделали фон Нейман и Рихтмайер, которые впервые в 1950 г. предложили схему для расчета течений с разрывами [92].

В силу свойства гиперболических уравнений порождать разрывы и описывать их движение одним из главных требований, предъявляемых к методам решения гиперболических уравнений, является правильное воспроизведении поведения решения в тех областях, где оно претерпевает сильные изменения во времени и пространстве, в частности, на ударных волнах и контактных разрывах. В связи с этим одним из важнейших свойств численных методов является монотонность.

Достаточно полный обзор методов решения гиперболических уравнений можно найти в [36]. Основные методы на настоящий момент времени можно условно разделить на несколько типов, при этом большинство методов существенно использует характеристические свойства гиперболических систем [16, 36, 40] (достаточно, например, отметить метод характеристик [49]). Исторически одними из первых схем, используемыми для решения, в частности, уравнений газовой динамики, стали однородные разностные схемы [51, 85, 86]. Использование однородных разностных схем удобно, т.к. в этом случае не требуются специальные методы для выявления разрывов и специальные алгоритмы для их расчетов. Тем не менее существует ряд существенных ограничений, накладываемых на подобные схемы. Во-первых, как показано в [60], разностные схемы для гиперболических уравнений должны обладать свойством консервативности, т.к. нарушение этого принципа при расчете разрывов может приводить к серьезным ошибкам, лишающим разностную схему важнейшего свойства сходимости. Во-вторых, в соответствии с теоремой С.К. Годунова [15] из трех свойств разностной схемы для решения линейной системы гипербо-

лических уравнений - линейности, аппроксимации с порядком выше первого и монотонности - одновременно могут иметь место только два. В результате при использовании схем повышенного порядка аппроксимации данного типа (например, схемы Лакса-Фридрихса [79, 85], схемы Лакса-Вендроффа [86], схемы Куранта-Изаксона-Риса [77]) в окрестностях разрыва возникают сильные осцилляции, что связано с недостаточной диссипацией подобных разностных схем.

Для решения этой проблемы предложено два принципиальных решения. Один из наиболее распространенных вариантов - введение так называемой искусственной вязкости [52, 70]. В этом случае в уравнение вводятся дополнительные слагаемые, формально аппроксимирующие диссипативные процессы и стремящиеся к нулю при измельчении шагов разностной сетки. Дополнительная вязкость обеспечивает монотонность решения в окрестности скачков, однако это приводит к сглаживанию разрывной функции. Другой способ преодоления противоречия, вытекающего из теоремы С.К. Годунова, - это схемы линейной гибридизации, представляющие собой схемы повышенного порядка аппроксимации в областях гладкости решения, и схемы первого порядка аппроксимации с достаточной вязкостью в окрестностях разрыва. При этом разностный алгоритм часто перестает быть однородным. В дальнейшем появились схемы с ограничителями антидиффузионных потоков [8. 9, 32, 91], среди которых важно выделить ТУБ-схемы [74, 82], ЕШ-схемы [83], \¥ЕШ-схемы [87]. Основными недостатками данного класса схем являются неоднородность алгоритма, необходимость использования анализаторов гладкости, а также введение дополнительных слагаемых, не существующих в исходной дифференциальной физической модели. Кроме того, ЕМО- и \УЕГ,'Ю-схемы достаточно трудоемки.

В настоящий момент времени все большую популярность получают компактные [42, 90] и бикомпактные схемы [45, 46, 47, 48]. Эти схемы характеризуются абсолютной устойчивостью, монотонностью, высоким порядком аппроксимации и экономичностью, т.к. имеют компактный шаблон и могут быть

разрешены методом бегущего счета. Такие схемы хорошо зарекомендовали себя на гладких решениях, тогда как разрывы оказываются достаточно сильно размазаны.

Важным шагом в развитии методов решения гиперболических уравнений стал переход от схем, предполагающих гладкость решения, к схемам, базирующимся на взаимодействии разрывов. Так как системы гиперболического типа допускают существование разрывных решений [38], одним из важнейших критериев качества предлагаемого численного алгоритма является аккуратный расчет разрывов. Первоначально С.К. Годунов предложил для вычисления потоков через границу расчетной сетки решать задачу о распаде произвольного разрыва (задачу Римана) [15, 17, 18]. В этом случае на каждой границе ячейки решается система нелинейных алгебраических уравнений, что требует значительных временных и вычислительных затрат. Поэтому дальнейшее развитие этой идеи привело к появлению методов годуновского типа с приближенным решением задачи о распаде разрыва [78, 84, 88, 89].

Ещё один класс методов решения гиперболических уравнений - это стохастические методы |73|. Эти методы применимы при решении задач, находящихся на стыке микро- и макро уровней. Подобные методы требуют больших вычислительных затрат, а также выделения и декомпозиции областей, требующих описания на различных уровнях.

Отдельным направлением являются различные варианты метода частиц. Метод частиц в ячейках (Р1С-метод) предложен в 1955 г. Ф.Х. Харлоу [43]. Основными недостатками этого метода являются вычислительная неустойчивость, немонотонность (флуктуации) и большие вычислительные затраты. Однако идея сочетания преимуществ эйлерова и лагранжева подходов нашла свое развитие в методе „крупных частиц" О.М. Белоцерковского [4]. Различные вариации метода частиц [72] также становятся в настоящее время все более популярными, несмотря на довольно значительные вычислительные затраты.

Разработку методов решения гиперболических уравнений естественно начи-

нать с решения уравнения переноса - одного из фундаментальных уравнений математической физики [61]. Важнейшим свойством точного решения данного уравнения является перенос начального профиля без искажения [61]. Однако устойчивые схемы первого порядка аппроксимации, как правило, дают „расплываюдщееся" со временем по пространству решение [57], а схемы повешенного порядка аапроксимации в соответствии с теоремой С.К. Годунова [31] зачастую сильно искажают решение вследствие нормальной или аномальной дисперсии [20, 30, 44, 51]. Существуют различные способы повышения качества получаемого решения. Один из наиболее распространенных основан на использовании однородных схем повышенного порядка аппроксимации с коррекцией решения путем введения „лимитеров" таким образом, чтобы разностная схема удовлетворяла принципу максимума [54]. Число вариантов монотонизации разностных схем очень велико: одни из первых представлены в работах [5, 25, 53, 70], более новые, основанные на знании области зависимости точного решения, представлены в [20, 21]. Методом иного класса для решения уравнения переноса (в том числе и нелинейного) является разрывный метод Галер-кина (ШШС-метод) [75]. Этот метод дает более высокую точность решения, а также меньшее „размазывание" разрывов по сравнению со многими конечно-разностными схемами [3]. Однако этот метод оказывается более трудоемким в реализации.

Решение системы уравнение газовой динамики представляет особый интерес. Традиционно для описания движения сплошной среды используются два подхода - Эйлера и Лагранжа, связанных с выбором системы координат [38]. Интерес представляют собой лагранжевы массовые координаты [57] и ряд разностных схем [57], применимых в этом случае. Однако лагранжевы массовые координаты успешно удается ввести только в одномерном случае, поэтому такой подход не является универсальным. Традиционные лагранжевы и эйлеровы координаты играют важную роль в современных прикладных задачах. Лагранжевы координаты чаще используются в схемах, основанных на вариа-

ционном подходе [24]. Этот подход универсален, допускает использование любых пространственных координат (декартовых, цилиндрических, сферических и т.д.) и любое количество пространственных измерений [22]. Другим серьезным преимуществом лагранжевых координат является тот факт, что контактные разрывы в этом случае выделяются фактически в явной форме и остаются неподвижными, что значительно облегчает, например, выбор коэффициентов искусственной вязкости [19]. Идея сочетания лагранжева и эйлерова подходов лежит в основе Р1С-метода [43] и метода ,.крупных частиц" [4]. На настоящий момент построение качественных схем для уравнений газовой динамики в обеих системах координат, а также в смешанных эйлерово-лагранжевых координатах [23, 71] является актуальной и важной задачей.

Настоящая работа посвящена построению и исследованию разностной схемы для решения гиперболических уравнений с основным упором на решение системы уравнений газовой динамики. В качестве прикладной задачи, для решения которой применяется предложенный алгоритм, выбрана магнитогидро-динамическая задача о развитии и устойчивости Т-слоя [63]. Эффект Т-слоя обнаружен в 60-х годах прошлого века в результате чисто теоретических исследований и вычислительного эксперимента [63]. Позднее появились факты, экспериментально подтверждающие существование эффекта Т-слоя [27]. Т-слой представляет собой высокотемпературное самоподдерживающееся образование, возникающее и развивающееся в плазме при определенных условиях в процессе ее взаимодействия с магнитным полем [62]. Физическая сущность явления состоит в том, что при нестационарном взаимодействии плазмы и магнитного поля при определенных условиях в плазме образуется самоподдерживающийся высокотемпературный электропроводный слой (Т-слой), усиливающий взаимодействие плазмы с магнитным полем [6, 55].

После открытия явления Т-слоя появилось большое количество работ, посвященных исследованию данного процесса. Пространственно-одномерная модель магнитогидродинамического течения рассмотрена в [62], двумерная мо-

дель изучена методом вычислительного эксперимента позднее в работе [6|. Теоретическое исследование магнитогидродинамической структуры, содержащей Т-слой, проведено в работе [59]. Рассмотрению дополнительных факторов, влияющих на возникновение и развитие Т-слоя (таких, как излучение и теплопроводность), посвящена работа [7]. Суммарное достаточно полное исследование, результаты вычислительных и практических экспериментов, возможности практического применения явления Т-слоя описаны в [26].

Исследование Т-слоя является хорошей практической задачей, поскольку, с одной стороны, результаты проводимых вычислительных экспериментов могут быть сравнимы с данными, полученными ранее, с другой стороны, в исследовании этого явления по-прежнему остаются пробелы. Настоящая работа посвящена исследованию влияния начальных параметров двумерной задачи на возникновение и развитие Т-слоя.

Цель и задачи исследования

Работа посвящена построению и исследованию численного алгоритма для решения нелинейных систем уравнений гиперболического типа на примере решения системы уравнений газовой динамики.

Основной целью исследования является разработка алгоритма численного решения систем уравнений гиперболического типа на примере решения одномерной и двумерной систем уравнений газовой динамики в переменных Лагран-жа и в переменных Эйлера, его программная реализация и применение построенного алгоритма к исследованию методом вычислительного эксперимента двумерной магнитогидродинамической задачи о возникновении и развитии Т-слоя.

Для достижения поставленных целей необходимо решить следующие задачи:

1. построение и исследование консервативной однородной монотонной разностной схемы для решения линейного уравнения переноса;

2. построение и исследование консервативной однородной монотонной раз-

ностной схемы для решения квазилинейного уравнения переноса;

3. построение и исследование методом вычислительного эксперимента, в том числе сравнением с существующими схемами, консервативного однородного монотонного алгоритма решения одномерных уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа;

4. построение и исследование методом вычислительного эксперимента алгоритма решения одномерных и двумерных уравнений газовой динамики в переменных Эйлера с использованием локальных лагранжевых координат;

5. построение численного метода решения двумерной системы МГД уравнений;

6. реализация построенных численных алгоритмов в виде программы для решения соответствующих уравнений;

7. исследование в рамках идеальной магнитной гидродинамики методом вычислительного эксперимента двумерной задачи о возникновении и развитии Т-слоя с помощью разработанных численных алгоритмов.

Методология и методы исследования

Основными методами решения поставленных задач являются методы вычислительной математики, механики сплошных сред, математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Достоверность и обоснованность

Достоверность и обоснованность полученных результатов подтверждаются сравнением с точными решениями математических задач, с данными вычислительных экспериментов, выполненных известными численными методами, а также строгостью используемого математического аппарата, обоснованностью

используемых математических моделей и принципов построения разностных схем.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод численного решения уравнения переноса в одномерном случае;

2. метод численного решения уравнений газовой динамики и уравнений магнитной гидродинамики в двумерном случае;

3. МГД математическая модель образования и развития Т-слоя в потоке сла-бопроводящего газа в присутствии магнитного поля; условия образования и развития Т-слоя в зависимости от параметров магнитного поля, скорости течения и геометрических характеристик возмущения.

Научная новизна работы

Работа посвящена разработке нового метода численного решения линейного и квазилинейного уравнений переноса, нового метода численного решения систем уравнений газовой динамики в одномерном случае в переменных Лагран-жа и в переменных Эйлера, в двумерном случае в эйлеровых координатах, а также уравнений магнитной гидродинамики в двумерном случае.

Предлагаемая схема, основанная на кусочно-линейной реконструкции сеточной функции в пределах ячейки расчётной сетки и существенно использующая характеристические свойства гиперболической системы уравнений, позволяет обеспечить монотонность решения без использования искусственных регуля-ризаторов. Проведенное исследование построенной схемы в случае линейного уравнения переноса показало, что схема монотонна и имеет второй порядок аппроксимации на участках монотонности решения (оба утверждения доказаны аналитически). В случае квазилинейного уравнения переноса и уравнений газовой динамики проведено апостериорное исследование погрешности аппроксимации и свойства монотонности.

Проведено сравнение численных результатов, полученных с помощью предложенного алгоритма и с помощью известных методов решения соответствующих задач. Так, для линейного уравнения переноса проведено сравнение результатов численного решения с помощью сконструированной сплайн-схемы с численным решением, полученным по схеме Лакса-Вендроффа. Для квазилинейного уравнения переноса сравнение проведено с монотонизированной схемой К.И. Бабенко (схемой „квадрат"). Квазиакустическая схема для решения уравнений газовой динамики сравнивалась со схемой Роу-Эйнфельдта-Ошера повышенного порядка аппроксимации.

Сконструированный алгоритм успешно применен к исследованию методом вычислительного эксперимента прикладной задачи о возникновении и развитии Т-слоя в потоке слабопроводящего газа в магнитном поле. Получены условия возникновения Т-слоя в зависимости от начальной скорости потока, величины напряженности магнитного поля и геометрических характеристик возмущения. Показано, что основным параметром, определяющим возможность возникновения Т-слоя, является параметр магнитогидродинамического взаимодействия.

Теоретическая и практическая значимость

Практическая ценность диссертационной работы связана с ее прикладной ориентацией. Созданные программные комплексы могут быть применены для моделирования течений газа в случае одной и двух пространственных переменных. Вычислительные эксперименты по исследованию условий возникновения и развитии Т-слоя являются продолжением проведенных ранее исследований и служат средством обнаружения новых свойств данного явления.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, а также на следующих конференциях и семинарах:

1. Международной конференции „Современные проблемы вычислительной математики и математической физики", секция „Математическое моделирование" (г. Москва, 2009 г.);

2. Тихоновских чтениях в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, секция вычислительной математики и кибернетики (г. Москва, 2009 г.);

3. Международной молодежной конференции-школе „Современные проблемы прикладной математике и информатике" (г. Дубна, 2012 г.);

4. Ломоносовских чтениях в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, секция вычислительной математики и кибернетики (г. Москва, 2013 г.);

5. Одиннадцатом международном семинаре „Mathematical Models & Modeling in Laser-Plasma Processes & Advanced Science Technologies" (г. Будва, Черногория, 2013 г.).

Личный вклад автора

Все исследования и результаты, изложенные в диссертационной работе, проведены и получены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Глава 1

Сплайн-схема для решения линейного и квазилинейного

Простейшим представителем семейства гиперболических уравнений является уравнение переноса [12], поэтому построение разностной схемы естественно начать с рассмотрения этого уравнения, а также его обобщения - квазилинейного уравнения переноса [49]. Для построенной схемы исследованы такие основные характеристики, как монотонность и порядок аппроксимации, приведены результаты расчетов, а также выполнено сравнение с существующими схемами аналогичного порядка аппроксимации. Материал главы основаны на работах

Простейший представитель семейства гиперболических уравнений - уравнение

уравнении

[67, 68, 69].

1.1 Постановка задачи

переноса:

——а- =0. а = соп5£ > 0. дЬ

(1.1)

Рассмотрим для данного уравнения задачу Коши, т. е. будем искать решение уравнения переноса на множестве —оо < х < +оо, Ь > 0, принимающее заданные значения в начальный момент времени /(ж,0) = /о(ж). Решением поставленной задачи Коши является, как известно, функция /(ж,£) = /о(ж — а£) [49]. Смысл решения состоит в сносе неизменного профиля по характеристикам с заданной скоростью а. Важнейшее свойство рассматриваемого решения - сохранение начального профиля [49]. Начальную функцию /о(х) будем считать финитной.

Из множества квазилинейных уравнений выберем простейшее уравнение, для которого скорость распространения импульса совпадает с искомым решением:

Для этого уравнения также поставим задачу Коши с финитной начальной функцией /о(ж). Решение этого уравнения формально записывается как неявная функция /(хЛ) = /о(ж — / (ж, ¿)£) [49]. Мы не будем накладывать ограничений на знак начальной функции и будем строить алгоритм, одинаково хорошо работающий и для знакоопределенных функций, и для функций, меняющих знак.

В процессе построения разностной схемы существенно будет использоваться тот факт, что гиперболические уравнения имеют полный набор действительных характеристик [12], вдоль которых происходит „снос" решения с заданной скоростью а (в случае линейного уравнения переноса) или с переменной скоростью / (в случае квазилинейного уравнения переноса).

1.2 Построение и исследование сплайн-схемы для линейного уравнения переноса

Начнём с построения сплайн-схемы для линейного уравнения переноса (1.1).

Введём на плоскости {х, ¿) равномерную сетку с постоянными шагами Н по оси Ох и т по оси ОЬ. Проинтегрируем уравнение (1.1) по ячейке сетки [хк_1, хк+±\ х [tj^ Получим в результате точное интегральное соотношение:

ШГ - Я) + У^к+у - = о, (1.3)

где

/1 = 1 / /(■>■:.

- среднее значение функции на отрезке [хк_1, а

I а!(хкЦА)<К

- интегральный поток за время т = — через границу хк+х расчётной ячейки.

Аппроксимируя различными способами интегральные потоки, получим множество консервативных разностных схем для уравнения переноса вида (1.3) (все схемы строятся интегро-интерполяционным методом, а потому они консервативны и выражают на сетке соответствующий закон сохранения [51]). Таким образом, задача построения разностной схемы сводится к аппроксимации интегральных потоков У/1.

Рассмотрим функцию /(хЛ) в некоторый фиксированный момент времени £ = (рис. 1.1). Через время т профиль функции „переедет" вдоль оси Ох на расстояние ат в соответствии с характеристическим свойством гиперболических уравнений [49]. Таким образом, за это время из области [хк_±, хк+1] „вытечет" величина, равная площади криволинейной трапеции с основанием ат у правой границы ячейки, и „втечёт" величина, равная площади криволинейной трапеции с основанием ат из смежной ячейки слева (при а < 0 поток

будет направлен в обратную сторону). Таким образом, геометрический смысл интегрального потока 1к+\ ^ - площадь криволинейной трапеции с основанием

[Хк+\ ~ ат> Хк+\\-

Будем здесь и далее считать выполненным условие Куранта ат < Н [51, 76]. Это условие вытекает непосредственно из физического смысла интегрального потока: при невыполнении данного неравенства поток из к-й ячейки окажется не только в (к + 1)-й ячейке, но попадет также и в (к + 2)-ю ячейку и далее. Ограничимся рассмотрением случая, когда поток за один временной шаг перемещается только между соседними ячейками.

Рис. 1.1. Геометрический смысл интегрального потока.

В дальнейших рассуждениях примем следующие обозначения: }{хЛ) -функция непрерывного аргумента, точное решение поставленной задачи: у\ = у(хг,^) - сеточная функция, приближенное решение задачи, полученное с помощью разностной схемы.

Для вычисления интегральных потоков \¥1 проинтерполируем сеточную функцию ук = у^{хк) на текущем временном слое, получив функцию непрерывного аргумента у^{х). Для интерполяции воспользуемся простейшими линейными сплайнами, которые на каждом отрезке [хк_±,хк+±] в момент времени tj имеют вид ${х) = у3к + Ок(х — хк). Различные коэффициенты наклона Ок будут определять различные разностные схемы.

В дальнейшем в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, временной индекс 2 будем опускать.

Простейший сплайн с наклоном = 0 (интерполяционная функция является кусочно-постоянной) соответствует разностной схеме „левый уголок" [54], определённой на трёхточечном шаблоне:

У^1 + аУ^Ы = 0 (1.4)

та

(здесь и далее символ : будет использоваться для обозначения значений сеточной функции на новом временном слое). Схема явная, имеет первый порядок аппроксимации по пространству и времени, устойчива и монотонна при выполнении критерия Куранта (|7| = \ат/Н\ < 1), однако обладает сильными диссипативными свойствами [12].

Воспользовавшись простейшим линейным непрерывным интерполянтом сеточной функции, то есть положив наклон Вк = ух — (Ук+1 ~ Укотрезке [хь,Хк+1] (в этом случае функция $(х) является ломаной на отрезке [хк_1, хк+1], а наклон на этом отрезке определяется разрывной функцией), получим схему Лакса-Вендроффа [86], определённую на четырёхточечном шаблоне:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Галанина, Анна Михайловна, 2013 год

Литература

[1] Абакумов М.В., Галанина A.M., Исаков В.А., Тюрина H.H., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Квазиакустическая схема для уравнений Эйлера газовой динамики // Дифф. уравнения. 2011. Т. 47, №8. С. 1092-1098.

[2] Алалыкин Г.Б., Годунов С.К., Киреева И.Л., Плинер Л.А. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках. М.: Наука, 1970. 112 с.

[3] Александрикова Т.А., Галанин М.П. Нелинейная монотонизации схемы К.И. Бабенко для численного решения квазилинейного уравнения переноса // Препр. ИМП им.М.В. Келдыша РАН. 2003. №62. 35 с.

[4] Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982. 392 с.

[5] Борис Дж.П., Брук Д.Л. Решение уравнений непрерывности методом коррекции потоков // Сб.: Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез. М.: Мир, 1980. С. 92-141.

[6] Волкова P.A., Тулин A.B., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Численное исследование устойчивости структуры Т-слоя // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. 1975. №76. 19 с.

[7] Волосевич П.П., Голъдин В.Я., Калиткин H.H., Курдюмов С.П., Попов Ю.П., Розанов В.Б., Самарский A.A., Четверушкин Б.Н. Некоторые

стадии сильноточного разряда в плазме // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. 1971. №46. 38 с.

[8] Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А. П. Квазимонотонные разностные схемы для уравнений газовой динамики // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. 1989. №175. 24 с.

[9] Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа // Матем. моделирование. 1989. Т. 1, №5. С. 95-120.

[10] Галанин М.П., Еленина Т.Г. Нелинейная монотонизация схемы К. И. Ба-бенко („квадрат") для уравнения переноса // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2002. № 4. 26 с.

[11] Галанин М.П., Попов Ю.П. Квазистационарные магнитные поля в неоднородных средах: Математическое моделирование. М.: Наука. 1995. 320 с.

[12] Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 591 с.

[13] Галанина A.M. Численное решение уравнений газовой динамики в лагран-жевых переменных // Сборник тезисов лучших дипломных работ 2010 года. МГУ им. М.В. Ломоносова. Ф-т ВМК, 2010. С. 32-34.

[14] Галанина A.M., Фаворский А.П. Численное решение уравнений газовой динамики в лагранжевых переменных // Матем. моделирование. 2012. Т. 24, №12. С. 119-123.

[15] Годунов С.К. Разностный метод численного расчёта разрывных решений гидромеханики // Мат. сборник. 1959. 47 (89). С. 271-306.

[16] Годунов C.K. Уравнения математической физики. М.: Наука: Физматлит, 1979. 392 с.

[17] Годунов С.К., Забродин A.B. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

[18] Годунов С.К., Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной // ЖВМ и ФМ. 1961. Т. 1, №6. С. 1020-1050.

[19] Головизнин В.М. Об искусственной вязкости и устойчивости дифференциально-разностных и разностных уравнений газовой динамики // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. 1976. №70. 40 с.

[20] Головизнин В.М., Карабасов С. А. Метод прыжкового переноса для численного решения гиперболических уравнений. Точный алгоритм для моделирования конвекции на эйлеровых сетках // Препр. ИБРАЭ. 2002. №IBRAE-2000-04. 40 с.

[21] Головизнин В.М., Карабасов С.А. Нелинейный коррекция схемы „Кабаре" // Матем. моделирование. 1998. Т. 10, №12. С. 107-123.

[22] Головизнин В.М., Коршия Т.К., Самарский A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Вариационные схемы магнитной гидродинамики в произвольной системе координат // ЖВМ и МФ. 1981. Т. 21, №1. С. 54-68.

[23] Головизнин В.М., Рязанов М.А., Сороковикова О.С. Полностью консервативные дифференциально-разностные схемы газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. 1982. №19. 18 с.

[24] Головизнин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный подход

к построению конечно-разностных математических моделей в гидродинамике // ДАН СССР. 1977. Т. 235, №6. С. 1285-1288.

[25] Голъдин В.Я., Калиткин H.H., Титова Т.В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, №5. С. 938944.

[26] Гриднев Н.П., Кацнелъсон С.С., Фомичев В.П. Неоднородные МГД-течения с Т-слоем. Новосибирск: Наука, 1984 177 с.

[27] Данилова Г.В., Дородницын В.А., Курдюмов С.П., Попов Ю.П., Самарский A.A., Царева Л.С. Взаимодействие сгустка плазмы с магнитным полем в канале рельсотрона // Препр. ИПМ АН СССР. 1973. №62. 47 с.

[28] Дегтярев Л.М., Фаворский А.П. Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно меняющимися коэффициентами // ЖВМ и МФ. 1969. Т. 9, №2. С. 211-218.

[29] Еленина Т. Г. Решение нелинейной монотонизированной разностной схемы К.И. Бабенко („квадрат") // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2002. №75. 34 с.

[30] Иванов A.A., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Яцук А.Н. Построение квазимонотонной схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 1993. №69. 25 с.

[31] Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

[32] Колган В.П. Применение принципа максимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Уч. записки ЦАГИ. 1972. 3, 68. С. 68-77.

[33] Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам. М.: Логос, 2004. 184 с.

[34] Кузнецов O.A. Численное исследование схемы Роу с модификацией Эйн-фельдта для уравнений газовой динамики // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 1998. №43. 44 с.

[35] Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.: Логос, 2005. 325 с.

[36] Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физмат-лит, 2001. 608 с.

[37] Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: ИЛ, 1950. 427 с.

[38] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

[39] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

[40] Магомедов K.M., Холодов A.C. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988. 287 с.

[41] Марчук Г.И. Методы расщепления // ЖВМ и МФ. 1995. Т. 35, №6. С. 843-849.

[42] Михайловская М.Н., Рогов Б.В. Монотонные компактные схемы бегущего счета для систем уравнений гиперболического типа // ЖВМ и МФ. 2012. Т. 52, №4. С. 672-695.

[43] Олдер Б., Фернбах С., Рогпенберг М. Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. 385 с.

[44] Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. 392 с.

[45] Рогов Б. В. Высокоточная монотонная компактная схема бегущего счета для многомерных уравнений гиперболического типа // ЖВМ и МФ. 2013. Т. 53, №2. С. 264-274.

[46] Рогов Б.В. Монотонная бикомпактная схема для квазилинейных уравнений // ДАН. 2012. Т. 446, № 5. С. 504-509.

[47] Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Монотонная высокоточная компактная схема бегущего счета для квазилинейных уравнений гиперболического типа // Матем. моделирование. 2011. Т. 23, №12. С. 65-78.

[48] Рогов Б.В., Михайловская М.Н. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса // Матем. моделирование. 2011. Т. 23, №6. С. 98-110.

[49] Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978. 688 с.

[50] Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. 553 с.

[51] Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.

[52] Самарский A.A., Арсенин В.Я. О численном решении уравнений газовой динамики с различными типами вязкости // ЖВМ и МФ. 1961. Т. 14, №9. С. 87-158.

[53] Самарский A.A., Вабищевич H.H. Нелинейыне монотонные схемы для уравнения переноса // ДАН. 1998. Т. 361, №1. С. 21-23.

[54] Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2000. 316 с.

[55] Самарский A.A., Дородницын В.А., Курдюмов С.П., Попов Ю.П. Образование Т-слоя при торможении плазмы магнитным полем // ДАН СССР. 1974. Т. 216, №6. С. 1254-1257.

[56] Самарский A.A., Попов Ю.П. Полностью консервативные разностные схемы // ЖВМ и МФ. 1969. Т. 9, №4. С. 953-958.

[57] Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. 352 с.

[58] Саттон Дою., Шерман А. Основы технической магнитной газодинамики. М.: Мир, 1968. 492 с.

[59] Соснин Н.В., Фаворский А.П. Установившиеся магнитогидродинамические структуры Т-слоя // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. 1976. №64. 32 с.

[60] Тихонов А.Н., Самарский A.A. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов // ДАН СССР. 1954. Т. 99, №1. С. 27-30.

[61] Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ: Наука, 2004. 798 с.

[62] Тихонов А.Н., Самарский A.A., Заклязъминский Л.А., Волосевич П.П., Гольдина Д.А., Дегтярев Л.М., Курдюмов С.П., Попов Ю.П., Равин-ская В.П., Соколов B.C., Фаворский А.П. Эффект Т-слоя в магнитной гидродинамике // Препр. ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. 1969. 182 с.

[63] Тихонов А.П., Самарский A.A., Заклязъминский Л.А., Волосевич П.П., Дегтярев Л.М., Курдюмов С.П., Попов Ю.П., Соколов B.C., Фаворский А.П. Нелинейный эффект образования самоподдерживающегося высокотемпературного электропроводного слоя газа в нестационарных про-

цессах магнитной гидродинамики // ДАН СССР. 1967. Т. 173, №4. С. 808811.

[64] Фаворский А.П., Галанина A.M. Развитие двумерных локальных возмущений в потоке слабопроводящего газа в магнитном поле // Ломоносовские чтения 2013 : Тез. докл. конференции, 2013. С. 88-90.

[65] Фаворский А.П., Галанина A.M., Исаков В.А. Конструктивный подход к численному решению квазилинейных уравнений переноса // Мат. моделирование. 2013. Т. 25, №8. С. 80-88.

[66] Фаворский А.П., Галанина A.M., Исаков В.А. Конструктивный подход к численному решению квазилинейных уравнений переноса // Современные проблемы прикладной математики и информатики: тез. докл.международной молодежной конф.-школы, 2012. С. 34.

[67] Фаворский А.П., Тыглиян М.А., Тюрина H.H., Галанина A.M., Исаков В.А. Численное моделирование распространения акустических импульсов в гемодинамике // Дифф.уравнения. 2009. Т. 45, №8. С. 1179-1187.

[68] Фаворский А.П., Тыглиян М.А., Тюрина H.H., Галанина A.M., Исаков В.А. Численное моделирование распространения гемодинамических импульсов // Мат. моделирование. 2009. Т. 21, № 12. С. 21-34.

[69] Фаворский А.П., Тыглиян М.А., Тюрина H.H., Галанина A.M., Исаков В.А. Численное моделирование распространения гемодинамических импульсов // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики : Тез. докл. международной конференции памяти академика A.A. Самарского. М.:, 2009. С. 376.

[70] Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений // ЖВМ и МФ. 1962. Т. 2, №6. С. 1122-1128.

[71] Холодов А. С. Численные методы решения уравнений и систем гиперболического типа // Энциклопедия низкотемпературной плазмы Т. VII-1.4.2. М.: Янус-К, 2008. С. 141-174.

[72] Bogomolov S. V. Stochastic Models of Gas Dynamics and Particle Methods // Proc. Particles 2009 - International Conference on Particle-Based Methods, E. Onate and D.R.J. Owen (Eds), CIMNE. Barcelona, 2009.

[73] Bogomolov S. V. Stochastic Model of Hydro Dynamics // Mathematical models and computer simulations. 1993. V. 1, №2. P. 113-117.

[74] Chakravarthy S.R., Osher S. A new class of high accuracy TVC schemes for hyperbolic conservation laws // AIAA Pap. 1985. N 85-0363. 11 p.

[75] Cockburn B. An introduction to the discontinuous Galerkin method for convection-dominated problems // SIAM J. Sci. Cornput. 2001. V. 16. P. 173261.

[76] Courant R., Friedrichs K.O., Lewy H. Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik // Math. Ann. 1928. V. 100, №1-2. P. 32-74.

[77] Courant R., Isaacson E., Rees M. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Commun. Pure Appl. Math. 1952. V. 5, №3. P. 243-255.

[78] Einfeldt B. On Godunov-type methods for gas dynamics // SIAM J.Numer. Anal. 1988. V. 25, №2. P. 294-318.

[79] Friendrichs R.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Commun. Pure. Appl. Math. 1954. V. 7, №2. P. 345-392.

[80] Galanina A., Favorskiy A. Local two-dimensional perturbations evolution in

small-conductivity gas flow in magnetic field // Mathematica Montisnigri. 2013. V. XXVII. P. 53-64.

[81] Galanina A., Favorskiy A. Local two-dimensional perturbations evolution in small-conductivity gas flow in magnetic field // Mathematical models & modeling in laser-plasma processes & advanced science technologies : Abstract. Eleventh international seminar. Budva, 2013. P. 43.

[82] Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws //J. Comp. Phys. 1983. V. 49. P. 357-393.

[83] Harten A., Engquist B., Osher S., Chakravarthy S. Uniformly High Order Accurate Essentially Non-Oscillatory Schemes III //J. Comp. Phys. 1987. V. 71. P. 231-303.

[84] Harten A., Lax P.D., Van Leer B. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws // SIAM Rev. 1983. V. 25? №1. P. 35-61.

[85] Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations // Commun. Pure Appl. Math. 1954. V. 7, №1. P. 159-193.

[86] Lax P.D., Wendroff B. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy // Commun. Pure Appl. Math. 1964. V. 17, №3. P. 381-398.

[87] Liu X.-D., Osher S., Chan T. Weighted essentially nonoscillatory schemes // J. Comput. Phys. 1994. V. 115. P. 200-212.

[88] Osher S., Solomon F. Upwind difference schemes for hyperbolic systems of conservation laws // Math.Comput. 1982. V. 38, №158. P. 339-374.

[89] Roe P.L. Characteristic-based schemes for the Euler equations // Ann. Rev. Fluid Mech. 1986. V. 18. P. 337-365.

[90] Shen Y.-Q., Zha G.-C. Generalized finite compact difference scheme for shock / complex flowfield interaction //J. Comput. Phys. 2011. V. 230, №12. P. 44194436.

[91] Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme. IV. A new approach to numerical convection //J. Comp. Phys. 1979. V. 32, №1. P. 101136.

[92] Von Neumann J., Richtmyer R.D. A method for numerical calculation of hydrodynarnic shocks // J. Appl. Phys. 1950. V. 21, №3. P. 232-237.

[93] Woodward P., Colella P. The numerical simulations of two-dimensional fluid flow with strong shocks // J. Comp. Phys. 1984. V. 54, №1. P. 115-173.