Применение гибридных разностных схем к моделированию волновых процессов в энергосетях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Миров Фирузджон Хусаинович

  • Миров Фирузджон Хусаинович
  • кандидат науккандидат наук
  • 2021, ФГАОУ ВО «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)»
  • Специальность ВАК РФ05.13.18
  • Количество страниц 115
Миров Фирузджон Хусаинович. Применение гибридных разностных схем к моделированию волновых процессов в энергосетях: дис. кандидат наук: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. ФГАОУ ВО «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)». 2021. 115 с.

Оглавление диссертации кандидат наук Миров Фирузджон Хусаинович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

1.1 Классификация методов. Методы конечных разностей, конечных объемов, разрывные методы Галёркина

1.2 Компактные разностные схемы

1.3 Бикомпактные разностные схемы

1.4 Дисперсионные свойства разностных схем

1.5 Монотонные разностные схемы. Гибридные схемы

1.6 Математических моделей энергосетей на основе использования уравнений в частных производных гиперболического типа

ГЛАВА 2. ГИБРИДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ С ОБОБЩЕННЫМ УСЛОВИЕМ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА. АНАЛИЗ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

2.1 Постановка задачи для модельного уравнения

2.2 Обобщенное условие аппроксимации и постановка задача линейного программирования

2.3 Анализ гибридных разностных схем с использованием обобщенного условия аппроксимации

2.5 Пример численной реализации

2.6 Модификация семейства схем с обобщенной аппроксимацией

2.7 Схемы повышенного порядка аппроксимации

ГЛАВА 3. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА СО СТОКОМ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА В ПРОСТРАНСТВЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ

КОЭФФИЦИЕНТОВ

3.1 Разностные схемы для линейного уравнения со стоком

3.2. Пример численной реализации схем

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ ГИБРИДНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭНЕРГОСЕТЕЙ

4.1 Определяющие уравнения и безразмерная постановка задачи

4.2 Численный метод для уравнения на ребрах графа

4.4 Точки ветвления. Граничные условия в вершинах дерева

4.5 Результаты расчета модельной задачи

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение гибридных разностных схем к моделированию волновых процессов в энергосетях»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена построению новых разностных схем для решения уравнений и систем уравнений в частных производных гиперболического типа. Системы и уравнения гиперболического типа составляют немалую часть математических моделей, используемых для решения самых разных прикладных задач [67].

Актуальность работы. До сих пор остается актуальной проблема разработки надежных численных методов высокого порядка аппроксимации для гиперболических уравнений. Гиперболические уравнения и системы лежат в основе многих моделей, применяемых при решении различных физико-технических задач.

Во многих прикладных задачах возникает необходимость численного решения уравнений или систем уравнений в частных производных гиперболического типа. Так как задачи характеризуется разнообразием постановок, а сами системы уравнений могут иметь не только гладкое (классическое) решение, но и решение обобщенное (слабое), то существует большое количество численных методов решения задач такого типа [60].

В последнее время применение моделирования волновых процессов вызвало огромный интерес у исследователей и практиков во многих областях науки и техники для интеллектуального принятия решений. Примеры компьютерного моделирования с использованием интеллектуального метода характеристик сетки и принятия решений в геофизике, сейсморазведке, глобальной сейсмике, медицине, авиации и железнодорожной промышленности [29]

Задачи для линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ) в частных производных можно разделить на две категории: имеющее гладкие решения и обладающие негладкими решениями. Для ЛДУ в частных производных, обладающим гладким решением, установлена теорема, по которой из того, что разностная задача является устойчивой и аппроксимирует дифференциальную на её классическом решении следует сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной [83], [85]. Важно отметить, что именно непрерывная дифференцируе-

мость решения дифференциальной задачи является условием аппроксимации разностной задачи. Для решения уравнения гиперболического типа актуальна задача построения численного метода, обеспечивающего высокий порядок аппроксимации и при котором отсутствуют паразитные колебания в окрестности разрыва (монотонных разностных схем). Известно, что для модельного линейного уравнения переноса не существует линейных разностных схем, обладающих одновременно свойством монотонности и порядком аппроксимации выше первого. В 1962 году была предложена гибридная схема Р.П. Федоренко [94] для решения задач для уравнений гиперболического типа с негладкими решениями, при этом обеспечивая высокий порядок аппроксимации для гладких участков и аппроксимацию первого порядка в окрестности разрывов. Общий порядок аппроксимации при этом формально оказывался выше первого.

Необходимость проведения исследования на выбранную тему связана с построением новых разностных схем высокого порядка аппроксимации для решения уравнения гиперболического типа, обладающим слабым решением (с разрывами). В работе [63] предложена гибридная разностная схема, которая аппроксимирует гладкие решения задачи с реальным порядком аппроксимации выше первого. Данная схема дает несколько лучшие результаты по сравнению с гибридной схемой Р.П. Федоренко.

Решение задач линейного программирования открывает возможность построения новых разностных схем для решения нелинейных уравнений, а также задач для линейных уравнений со слабыми решениями. Стоит подчеркнуть, что при использовании техники линейного программирования и поиска задач минимума линейного по коэффициентам схемы функционала, иногда можно отказаться от требования непрерывной дифференцируемости решения дифференциальной задачи [61].

Известно, что уравнения переноса является основным гиперболическим уравнением, которое используется для разработки и тестирования новых численных методов. На сегодняшний день построено множество конечно-разностных схем для решения задачи Коши одномерного уравнения переноса.

Научная новизна и теоретическая значимость работы

В диссертационной работе описана оригинальная методика построения разностных схем для решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа, основанная на анализе в пространствах неопределенных коэффициентов.

Построена новая гибридная разностная схема для однородного линейного уравнения переноса, исследованы ее свойства.

Для линейного уравнения переноса со слагаемыми типа стока построены новые гибридные разностные схемы, обладающие свойством монотонности и имеющие порядок аппроксимации выше первого.

Предложена новая схема расщепления для решения практически интересной задачи математического моделирования переходных процессов в энергосетях. Показана применимость построенных разностных схем для решения подобного рода задач.

Личный вклад автора

Во второй главе постановка задачи выполнена совместно с научным руководителем, автору принадлежит вывод коэффициентов разностной схемы, численная реализация схемы и проведение расчетов, оформление графиков [63].

Третей главе постановка задачи выполнена совместно с научным руководителем, автору принадлежит вывод коэффициентов схемы, программная реализация, проведение численных расчетов, построение графиков [64].

В четвертой главе постановка задачи выполнена совместно с научным руководителем, вывод граничных условий в точках ветвления, программная реализация, проведение численных расчетов, оформление графиков [65].

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

С появлением первых численных методов для уравнения гиперболического типа, их число достигло колоссально поддающейся величине и непрерывно пополняется новыми разработками. Во-первых, это является свидетельством важности данного типа задач в различных приложениях, однако, такое количество свидетельствует также о том, что общезначимого, удовлетворяющего всем предъявляемым читателям и пользователями требованиям, метода, возможно, не существует. Во-вторых, обзоры по данной проблеме и монографии включают ссылки на многие оригинальные работы, что не позволяет провести здесь даже беглый их анализ. Обзор некоторых численных методов приведены в [60], [67], [84], [88].

Совершенствование разностных схем для решения уравнений начинается с исследования свойств схемы для решения модельного уравнения переноса. Отметим здесь лишь некоторые методы, возникшие в последнее время. Это разностная схема КАБАРЕ [51], бикомпактные разностные схемы (см. [69], [80]). В дальнейшем эти схемы были обобщены на нелинейные уравнения и системы уравнений, с их помощью решаются важные прикладные задачи. Построение новых разностных схем высокого порядка аппроксимации для решения задач гиперболического типа по-прежнему является актуальным.

В 1969 году в работе К.М. Магомедова и А.С. Холодова был введен в рассмотрение новый класс численных методов для решения систем уравнений в частных производных гиперболического типа [66]. Эти методы получили название сеточно-характеристические численные методы.

Метод сеточных характеристик представляет собой численный метод решения гиперболических систем уравнений (например, уравнений упругих и акустических волн). Этот метод позволяет точно и физически правильно рассчитать волновые процессы в неоднородных средах. Метод сеточных характеристик позволяет использовать правильные граничные и интерфейсные условия в интегральных областях.

Для анализа свойств сеточно-характеристических разностных схем А. С. Холодовым в [97] введены пространства неопределенных коэффициентов -эвклидовы пространства, связанные с рассматриваемым шаблоном схемы. В них каждой точке соответствует аппроксимирующая уравнение в частных производных разностная схема. В оригинальной работе [97] рассмотрено пространство неопределенных коэффициентов при аппроксимации решения линейного уравнения переноса на пятиточечном шаблоне. В [97] рассматривается численный метод для модельного уравнения гиперболического типа, где раньше были введены в рассмотрение работ А.С. Холодова.

В монографии [68] подробно описан анализ свойств разностных схем. Для построения схем с теми или иными свойствами в [68] применялись методы линейного программирования (ЛП).

Дальнейшее развитие техники исследования разностных схем в пространствах неопределенных коэффициентов и связанное с этим построение сеточно-характеристических методов подробно описаны в [67].

В развитие подхода [68] в статьи [62] для анализа свойств методов применен также аппарат двойственных задач ЛП. Подходы, связанные с анализом свойств разностных схем в пространствах неопределенных коэффициентов, оказываются плодотворными не только для анализа свойств известных разностных схем, но и для построения новых схем, ранее не встречавшихся в публикациях.

Вместе с тем, построение разностных схем для решения уравнений и систем гиперболического типа остается актуальной задачей даже при решении линейных систем. Необходимость использования методов высокого порядка аппроксимации для решения сложных волновых задач обоснована, например, в [92]. Современное состояние развития сеточно-характеристических методов описано в [29].

В работе [75] при моделировании процессов одномерного переноса, применён метод адаптивной искусственной вязкости. Авторы использовали неустойчивую разностную схему с третьим порядком аппроксимации по времени. Также было проведено сравнение с известными разностными схемами. Применения раз-

ностных схем для гиперболических уравнений в частных производных приведены [37], [43], [56]

1.1 Классификация методов. Методы конечных разностей, конечных объемов, разрывные методы Галёркина

Отличительной чертой уравнений гиперболического типа является конечная скорость распространения возмущений (волн) в области интегрирования и существование характеристических многообразий - характеристических линий и поверхностей (ограничивающих области зависимости и влияния решений), на которых размерность исходной системы уравнений в частных производных (число независимых переменных) можно уменьшить на единицу. Основополагающей здесь является работа Б. Римана [32], в которой, хотя и в частном случае уравнений ба-ротропного газа, были детально рассмотрены характеристические свойства этих уравнений, в том числе впервые введены в рассмотрение их первые интегралы, названные впоследствии инвариантами Римана.

Большинство задач, возникающих в области математической физики, связано с линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. В развитии численных методов за последние годы лежит на основы задачи математической физики. Одним из универсальных и широко используемых методов в решения краевых задач является метод конечных разностей (МКР) [49], которое позволяет сводить приближенное решение нелинейных уравнений в частных производных к решению системы конечного порядка алгебраических уравнений. Применения данного метода предполагает построение разностной схемы, которая представляет собой некоторый дискретный аналог исходной краевой задачи.

Методы пространственной дискретизации могут быть классифицированные как разностные методы конечных объемов (МКО), методы конечных элементов (МКЭ). Сочетание всех этих методов с явными и неявными схемами интегрирования по времени можно эффективно применить для решения дифференциальных

уравнения в частных производных. Известно, что для нахождения разрывных решений гиперболических систем уравнений наиболее подходящим является методы конечных объемов. В этих методах система уравнений в виде законов сохранения интегрируется по конечным контрольным объемам любой сложности [60]. Метод конечных элементов (МКЭ), является численным методом решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений, возникающий при решении задач прикладной физики. МКО и МКЭ в частности, применяют при численного моделировании задач механики сплошных сред на платформе OpenFOAM и в программе ANSYS [40].

В настоящее время использование высокоточных методов требуется для решения широкого класса прикладных задач математической физики. Одним из метода, обеспечивающего высокую точность, является разрывный метод Галер-кина. Этот метод имеет ряд преимуществ, присущих как конечно-элементной, так и конечно-разностной аппроксимации.

Основу методов конечных элементов (МКЭ) составляет представление решения в виде конечной линейной комбинации ограниченных базисных функций, коэффициенты которой зависят от времени. При этом функции обычно берутся непрерывными и отличными от тождественного нуля на некоторых носителях, которые иногда называются конечными элементами. Коэффициенты разложения по базисным функциям зависят от времени и называются степенями свободы.

и„ ^, х) = £ Нг (х)иг (0, (1.1)

/

здесь Hi (х) - ограниченные функции, а ) - степени свободы.

При этом разложении по конечному набору базисных функций говорят, что решение ищется в базисном пространстве {Hi}. Например, если рассматривается одномерная задача на отрезке [0,1] и решение раскладывается по функциям

- I +1

Нг (х)

1, х е

' N N 0,иначе

- = 1, N -1

то говорят, что решение ищется в пространстве кусочно-постоянных функций.

Так как базисные функции заранее фиксированы, то неизвестными остаются только степени свободы. Для получения соотношений, описывающих их эволюцию, используют следствия исходного уравнения. В классическом методе Галер-кина условие минимума невязки, возникающей, при подстановке приближенного решения в дифференциальное уравнение, есть условие ортогональности невязки всем базисным функциям из выбранного подпространства базисных функций. В проекционных методах также часто рассматривается проекция невязки на некоторые пространство пробных функций. Пробные функции образуют свое, в общем случае не совпадающее с {Н}, пространство. В зависимости от тог, какие это пространства, различают отдельные методы: классической метод Галеркина, метод коллокаций, метод подобластей и другие. Более подробно о семействах МКЭ можно узнать из [41], [95].

Другим классом методов являются методы конечных объемов. В их лежит использование интегральной формы уравнений в частных производных. При введении разбиения расчетной области на ячейки строится система дискретных уравнений, описывающих эволюцию некоторых «средних» величин по ячейке. На данный момент разработаны методы высоких порядков, которые адекватно решают сложные нелинейные задачи.

Разрывный метод Галеркина для решения уравнения транспорта нейтронов впервые опубликован в [31]. Он представляет собой метод конечных элементов с разрывными базисными функциями, для работы с которыми используются идеи методов конечных объемов.

Разрывный метод Галеркина приобрел популярность в последние двадцать лет. Были получены оценки погрешности метода, теоретически и практически исследована сходимость. Метод применялся для решения многомерных нелинейных задач. Разрывный метод Галеркина допускает расширение для решения задач параболического и эллиптического типа. Подробно метод описан в [1], [3], [4], [5], [6], [12], [45].

1.2 Компактные разностные схемы

Компактные схемы [90] широко используются для численного моделирования различных процессов, описываемых как обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Разностные схемы называются компактными, которые для всех (или некоторых) независимых переменных более высокого порядка аппроксимируют дифференциальное уравнение на шаблоне, содержащем меньше узлов, чем минимальный шаблон, на котором могут быть аппроксимированы производные, включенные в это уравнение. Примеры построения компактных разностных схем для уравнения гиперболического типа приведены [38], [64], [77].

Разработка методов, основанные на компактных аппроксимациях фактически протекали в двух направлениях - построение схем, не являющегося центром третьего порядка и центрируются схемы четвертого порядка. Здесь, не являющие-ся-центрированным (или асимметричные схемы) обычно понимаются как схемы, содержащих оператор, которые изменяют их самосопряженность или антисимметричную часть в зависимости от знаков коэффициентов уравнений или на знаки собственных значений матриц в случае систем уравнений. Нецентрированные схемы третьего порядка были впервые предложены А.И. Толстых. Первая из этих публикаций относится к 1972 г. [90], [91].

Для численного решения прикладных задач разработаны центральные компактные схемы высокого порядка аппроксимации, которые не являются диссипа-тивными и имеют высокое спектральное разрешение [22], [25]. Компактность шаблона схемы даст и другие преимущества: эффективные методы решения разностных условий, удобство задания граничных условий [42], [76], [81], [89], [90].

Известно, что компактные разностные схемы показывают высокий порядок аппроксимации для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В работе [34] на основе компактных конечно-разностных схем моделировалось полулагранжевой модели атмосферы на сферы, где автор приводит основная

компактная конечно-разностная уравнения четвертого порядка для первой и второй производной (схема Нумерова) [72]

1 ГдиЛ + 2 ГаЛ +1 Г^ = Цт,!^ + O(h 4) 6 ^дх)т_1 3 ^дх)т 6 Удх)^ 2h

1 12

^д 2и ^

дх2

10

+ —

12

^д 2и ^

дх

V /т-1 V У т \ У т+1

Использование представление Фурье в продольном направлении позволяет легко применять компактные конечные разности четвертого порядка на неупорядоченной сетке для дискретизации производных первого и второго порядка везде, что приводит для центральных разностей второго порядка.

В работе [52] рассматривается задача численного решения трехмерного линейного уравнения переноса на прямоугольных расчетных сетках. На основе метода разбиения по координатам решение исходной системы уравнений сводится к последовательному решению трех одномерных систем уравнений. Для их решения авторы использовали явные компактные сеточно-характеристические численные схемы на двухточечной схеме в пространстве.

В работе [54] аппроксимированы компактной схемой четвертым порядком точности на трехточечным шаблоне, при линейной дифференциальной соотношения первого и второго порядка. Для увеличения точности аппроксимации приведены примеры расширения шаблонов.

1

+ — 12

^д 2Ц ^

дх

Цт+1 2Цт + Цт+^л4

к2

+ О (к4) .

1.3 Бикомпактные разностные схемы

Бикомпактные схемы сочетают в себе несколько положительных свойств. Эти схемы имеют третий порядок аппроксимации по времени, а также одновременно четвертый порядок аппроксимации и первый разностный порядок по пространственным переменным. При этом разностный порядок уравнений бикомпактных схем в независимых пространственных переменных совпадает с порядком решаемых уравнений в частных производных, что обеспечивает совпадение числа граничных условий в разностной и точной постановках задачи. Бикомпакт-

ные схемы остаются точными и консервативными на произвольно нерегулярных сетках и позволяют выбрать метод интегрирования по времени, поскольку эти схемы получены с использованием МКО и метода прямых[11], [46], [47], [48], [101].

Опишем вариант метода прямых получения схемы четвертого порядка по пространству на минимальном двухточечном шаблоне для решения уравнения переноса. Этот способ предложен в работах Б.В. Рогова с соавторами.

Запишем уравнение переноса в операторном виде как

ди ди Л ^

Ьи = — + с— = 0. (1.2)

д1 дх

Отнесем к величинам, подлежащим определению в ходе численного решения, не только узловые значения искомой функции ит, но и интегральные средние по элементарным отрезкам

и

1 хт+1

= — Г идх . к *

(1.3)

Для получения системы уравнений метода прямых проинтегрируем уравнение переноса по пространственной ячейке. Это приводит к равенству

дит

с

+ Т (ит+1 - ит ) = ^

(1.4)

д1 к

в которое входят и узловые значения, и интегральное среднее. Для получения второго уравнения системы проинтегрируем по ячейке независимое дифференциальное следствие исходного уравнения дЬ(и)/дх = 0, т.е.

д 2и

д2и

+ с-дхд1 дх2

= 0.

(1.5)

В результате получим уравнение, в которое опять входит производная по х от искомой функции

д(ит+1 - ит ) д1

+ с

Г ди ди N

Кдх т+1 дх т у

0

(16)

т

Для замыкания системы воспользуемся формулой интегрирования Эйлера-Маклорена

хт+1 к к2

| g(х)ск = 2(gm + gm+l) - gm+1 - gm) + О(к5), (1.7)

которую перепишем в виде

6, , 12 _

gm+1 - ^т =Т (£т + gm+1) - ~Т gm + О(к ). (18)

к к

Заменяя в следствии уравнения переноса разность производных по приведенному выше правилу, получаем второе уравнение системы

д(ит+1 - Цт) + 6с (Ц + Ц ) 12си = 0 (19)

—да—++ —=0. (1.у)

Последнее равенство вместе с интегральным следствием исходного уравнения и с граничными условиями для входящей функции распределения образуют замкнутую систему дифференциально-разностных уравнений метода прямых.

По времени можно использовать различные схемы. Автор схемы предлагает использовать диагонально-неявные методы Рунге-Кутты третьего порядка аппроксимации, которые можно интерпретировать как комбинацию неявных методов Эйлера с различными шагами на каждой стадии метода. Таким образом, получающаяся схема имеет компактный (двухточечный) шаблон как по пространству, так и по времени, поэтому названа бикомпактной.

Разберем реализацию базовой схемы неявного метода Эйлера для решения системы (1.4), (1.9). Записывая неявную аппроксимацию для этих уравнений и обозначая число Куранта а = сг/к, получим систему

—п+1 —п _/ п+1 П+1 \

Цт = Цт -а(ит+1 - Цт X (1 10)

„,п+1 „,п+1 и „,п п+1 . .,п+К . 1 о _—- п+1

Цт+1 - Цт = Цт+1 - Цт - 6а(Цт+1 + Цт ) + 12аЦт ■

Ее решение позволяет находить узловые значения методом бегущего счета слева направо от известного значения на левой границе (при с > 0) и данных с предыдущего временного слоя

ит++1(1 + 6а + 12а2) = ит+1(1 - 6а + 12а2) + иптп+х -ип^ + 12аит, попутно пересчитывая мП+1 из первого уравнения системы.

В работе [82] проведен сравнительный анализ бикомпактной схемы с использованием противоточных разностных схем первого порядка аппроксимации. Автор провел расчеты решений тестовых начально-краевых задач с разной гладкостью исходных данных на сжатых вложенных сетках, показан третий порядок сходимости бикомпактной схемы в случае гладких решений. Полученные в работе экспериментальные данные позволяют сделать вывод о том, что в случае задач с разрывными начальными условиями бикомпактные схемы показывают более высокую скорость сходимости в нормах погрешности Ь2 и Ь1 по сравнению с разностными схемами «против потока».

1.4 Дисперсионные свойства разностных схем

Для краевой задачи можно построить набор разностных схем, различающихся своими свойствами и качеством воспроизведения решения исходной дифференциальной задачи.

Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости являются основными. Тем не менее, существуют также формы оценки качества разностных схем, которые не противоречат классическим методам, а просто использовать другой взгляд на проблему. Одним из таких методов является метод дифференциального приближения [102].

Для анализа свойств разностной схемы, удобно рассматривать его в том же функциональном пространстве, что и исходную дифференциальную задачу. Предполагается, что её решению удовлетворяет функция непрерывного аргумента, определенная во всех точках области. Как правило, переход от разностной схемы к её непрерывному аналогу осуществляется либо путем расширения собственных функций сетки последовательно в непосредственной близости от выбранного базового узла, или путем замены оператора сдвига их операторным дифференциальным представлением. Таким образом, полученное представление

разностной схемы в терминах дифференциальных операторов называется дифференциальными приближением. Оно несет полную информацию о разностной схеме, но неудобно для анализа, так как в него входит бесконечное число дифференциальных членов. Если ограничиться конечным числом членов бесконечного ряда дифференциального приближения, согласованного по порядку приближения, то получим окончательное выражение, которое называется дифференциальным приближением разностной схемы. Если ограничиться в бесконечных разложениях членами с младшим порядком по шагам сетки, то укороченное таким образом равенство будет называться первым дифференциальным приближением (п. д. п.) разностной схемы.

Различают два вида формы п. д. п. гиперболическую (Г-формы) и параболическую (П-формы) [102].

ah т

u]+au-x = -(^-О-Ч) (1.11)

2 ah

где x - пространственная координата, t - время, a - линейный дифференциальный оператор, h - шаг сетки на оси x, т - временной шаг.

Уравнения (1.11) является Г-формы п. д. п., где правое часть очень похож на волнового оператора Даламбера. Гиперболическая форма п. д. п. крайнее информативно на данный момент. Используя однородное уравнения переноса

u't + au'x = 0, продифференцируем и получим utt = a2uxx. При этом уравнения

(1.11) меняет вид

u't- auX = (1 -ФХх (1.12)

где g - число Куранта.

При условии g < 1, то п. д. п. является П-формой. В случаи если g > 1, то получаем обратную задачу теплопроводности, которая, как известно некорректна. Это означает, что по п. д. п. разностная схема становится неустойчивой.

Похожие диссертационные работы по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Миров Фирузджон Хусаинович, 2021 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. An efficient discontinuous Galerkin method for advective transport in porous media / J.R. Natvig,, K. Lie, B. Eikemo, I. Berre. // Advances in Water Resources. - 2007. - № 12 (30). - Pp. 2424-2438. - Режим доступа: https://doi.org/10.1016/j .advwatres.2007.05.015

2. Appadu, A. R. Optimized Weighted Essentially Nonoscillatory Third-Order Schemes for Hyperbolic Conservation Laws / A. R. Appadu, A. A. I. Peer // Journal of Applied Mathematics. - 2013. - Vol. 2013. - 12 p. - Режим доступа: https://doi.org/10.1155/2013/428681

3. Cockburn, B. Approximation of the Velocity by Coupling Discontinuous Galerkin and Mixed Finite Element Methods for Flow Problems / B. Cockburn, C. Dawson. // Computational Geosciences. - 2002. - № 3-4 (6). - Pp. 505-522. - Режим доступа: https: //doi. org/10.1023/A:1021203618109

4. Cockburn, B. Discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems. In: Barth, T.; Deconink, H. (eds.): / B. Cockburn // High-Order Methods for Computational Physics. Lecture Notes in Computational Scienceand Engineering. -1999. - № 9. - Pp. 69-224. - Режим доступа: https://doi.org/10.1007/978-3-662-03882-6

5. Cockburn, B. Discontinuous Galerkin Methods. Theory, Computation and Applica-toins / B. Cockburn, G.E. Karniadakis, C.W. Shu. - United States: LNCSE, 11, Springer, 2000. - 481 p.

6. Cockburn, B. The Local Discontinuous Galerkin Method for Time-Dependent Convection-Diffusion Systems / B. Cockburn, C.-W. Shu. // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1998. - № 35 (6). - Pp. 2440-2463. - Режим доступа: https://doi.org/10.1137/S0036142997316712

7. Courant, R. On the solutions of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences / R. Courant, E. Isacson, M. Rees. // Comm. Pure and Applied Math. -1952. - Vol. 5. - No 3. - Pp. 243-255.

8. Czaban, A. Mathematical modelling of transient processes in power supply grid with distributed parameters / A. Czaban, M. Lis, M. Chrzan [et al.] // PRZEGL4D

ELEKTROTECHNICZNY. - 2018. - Vol. 94. - № 1. - C. 17-20. - Режим доступа: https://sigma-not.pl/publikacia-111536-2018-1.html

9. Dkhili, N. A survey of modelling and smart management tools for power grids with prolific distributed generation / N. Dkhili et al. // Sustainable Energy, Grids and Networks. - 2020. - № 21. - Pp. 1-18. - Режим доступа: https://doi.org/10.1016/i.segan.2019.100284

10. Dommel, H.W. Digital computer solution of electromagnetic transients in single-and multiphase networks / H.W. Dommel // IEEE transactions on power apparatus and systems. - 1969. - № 4. - Pp. 388-399. - Режим доступа: https://doi.org/10.1109/TPAS.1969.292459

11. Eymard, R. Finite volume methods / R. Eymard, T. Gallo^t, R. Herbin // Handbook of Numerical Analysis. - 2000. - Vol. 7. - Pp. 713-1018. - Режим доступа: https://doi.org/10.1016/S1570-8659(00)07005-8

12. Feng, X. Recent Developments in Discontinuous Galerkin Finite Element Methods for Partial Differential Equations / X. Feng, O. Karakashian, Y. Xing (eds.). - The IMA Volumes in Mathematics and its Applications, 157, Springer, 2014. - 279 p.

13. Fromm, J.E. A method for reducing dispersion in convective difference schemes / J. E. Fromm. // Journal of Computational Physics. - 1968. - Vol. 2. - No. 3 - Pp. 176-189.

14. Harten, A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws / A. Harten. // J. Comput. Phys. - 1983. - Vol. 49. - No. 3. - Pp. 357-393.

15. Harten, A. Multiresolution algorithms for the numerical solution of hyperbolic conservation laws / A. Harten. // Comm. Pure and Applied Math. - 1995. - Vol. 48. -No. 12. - Pp. 1305-1342.

16. Harten, A. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws / A. Harten, P. D. Lax, B. van Leer. // SIAMReview. - 1983. -Vol. 25. - No. 1. - Pp. 35-61.

17. Heitkoetter W. Comparison of Open Source Power Grid Models / W. Heitkoetter, W. Medjroubi et al. // - Combining a Mathematical, Visual and Electrical Analysis

in an Open Source Tool // Energies. - 2019. - Vol. 12. - P. 4728. -https://www.mdpi.com/1996-1073/12/24/4728

18. Ishizaki, T. Graph-theoretic analysis of power systems / T. Ishizaki, A. Chakrabortty, J. Imura // Proceedings of the IEEE. - 2018. - Vol. 106 - Issue 5. -Pp. 931-952. - Режим доступа: https://doi.org/10.1109/JPR0C.2018.2812298

19. Kan, B. Topology Modeling and Analysis of a Power Grid Network Using a Graph Database / B. Kan, Zhu Wendong et al. // International Journal of Computational Intelligence Systems. - 2017. - Vol. 10. - No. 1. - Pp. 1355-1363.

20. Lax, P. D. System of Conservation Laws III / P. D. Lax, B. Wendroff. // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1960. - Vol. 13. - Pp. 217-237. -Режим доступа: https://doi.org/10.1002/cpa.3160130205

21. Lax, P. D. Week solution nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations / P. D. Lax. // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1954.

- Vol. 7. - №№ 1. - Pp. 159-193.

22. Lele, S.K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution / S.K. Lele // Journal of Computational Physics. - 1992. - Vol. 103 - No. 1. - Pp. 16-42. -Режим доступа: https://doi.org/10.1016/0021-9991(92)90324-R

23. Lis, M. Mathematical model of a part of an opened extra-high voltage electrical grid / M. Lis , A. Chaban , A. Szafraniec et al. // 14th International Scientific Conference "Forecasting in Electric Power Engineering" (PE 2018). - E3S Web of Conferences : Vol. 84, id.02005, 2019. - Режим доступа: https://doi.org/10.1051/e3sconf/20198402005

24. Liu, B. Recognition and vulnerability analysis of key nodes in power grid based on complex network centrality / B. Liu, Z. Li, X. Chen et al. // IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs. - 2017. - Vol. 65 - Issue 3. - Pp. 346-350.

- Режим доступа: https://doi.org/10.1109/TCSII.2017.2705482

25. Liu, X. A new class of central compact schemes with spectral-like resolution I: Linear schemes / X. Liu, S. Zhang et al. // Journal of Computational Physics. - 2013. -Vol. 248. - Pp. 235-256. - Режим доступа: https://doi.org/10.1016/i.icp.2013.04.014

26. Nakarmi, U. Interaction Graphs for Cascading Failure Analysis in Power Grids: A Survey / U. Nakarmi, N.M. Rahnamay et al. // Energies. - 2020. - № 9 (13). -Pp. 1-25. - Режим доступа: https://doi.org/10.3390/en13092219

27. Nayir, A. Simulation of transient processes on overvoltage in electric transmission lines using ATP-EMTP / A. Nayir // Turkish Journal of Electrical Engineering & Computer Sciences. - 2013. - Vol. 21. - No. 6. - Pp. 1553-1566. - DOI: 10.3906/elk-1108-8

28. Parhyar, N. R. Simulation and mathematical modelling of power line communication channel for high data transfer rate / N. R. Parhyar, M. A. Shah, M. M. Lodro. // Quaid-E-Awam University Research Journal Of Engineering, Science & Technology. - 2015. - Vol. 14. - No. 2. - Pp. 13-19.

29. Petrov, I. B. Grid-characteristic method. / I. B. Petrov, A. V. Favorskaya. // Innovations in Wave Processes Modeling and Decision Making. Grid characteristics method and applications. Springer International Publishing AG, part of Springer Nature. - 2018. - Vol. 90. - Pp. 118-158.

30. Pinar A. Optimization strategies for the vulnerability analysis of the electric power grid / A. Pinar, J. Meza [et al.] // SIAM J. OPTIM. - 2010. - Vol. 20. - No. 4. - Pp. 1786-1810. — DOI: 10.1137/070708275.

31. Reed, W.H. Triangular mesh methods for the neutron transport equation, Technical report, LA-UR-73-479 / W.H. Reed, T.R. Hill // Conference: National topical meeting on mathematical models and computational techniques for analysis of nuclear systems : Technical report / Los Alamos Scientific Lab., N.Mex. (USA). - Los Alamos, New Mexico : United States, 1973. - Pp. 1-23. - Режим доступа: https: //www.osti.gov/ servlets/purl/4491151

32. Riemann, B. über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite / B. Riemann // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen. - 1860. - Vol. 8. - Pp. 43-66.

33. Strikwerda, J. C. Finite difference schemes and partial differential equations. 2nd ed. / J. C. Strikwerda Madison: University of Wisconsin - Madison, 2004. - xii+435 pp.

34. Tolstykh, M. Global semi-Lagragian atmospheric model based on compact finite-diffirences / M. Tolstykh // ECCOMAS computational fluid dynamics conference. -Paris, 1996. - Pp. 14-19.

35. Warming, R. F. Upwind second-order difference schemes and applications in unsteady aerodynamic flows / R. F. Warming, R. M. Beam. // Proc AIAA 2nd Computational Fluid Dynamics Conference. - Hartford, Connecticut, 1975. - Pp. 17-28.

36. Yang, J. Y. Third- order nonoscillatory schemes for the Euler Equations / J. Y. Yang. // AIAA Journal. - 1991. - Vol.29. - No.10. - Pp.1611-1618.

37. Zhao, G. A New Difference Scheme for Hyperbolic Partial Differential Equations / G. Zhao, K. Jie, J. Liu // 13th International Conference on Computational Intelligence and Security (CIS). - Hong Kong : IEEE, 2017. - Pp. 439-441. - Режим доступа: https://doi.org/10.1109/CIS.2017.00102

38. Алексеенко, А. Е. О задачах граничного управления для квазилинейных систем уравнений гиперболического типа / А. Е. Алексеенко, А.С. Холодов, Я.А. Холодов. // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2016. - Том 56. - № 6. - С. 927-942.

39. Аристова, Е. Н. О сравнении диссипативно-дисперсионных свойств некоторых консервативных разностных схем / Е.Н. Аристова, Г.О. Астафуров // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. - 2020. - № 117. - C. 1-22. - Режим доступа: https://doi.org/10.20948/prepr-2020-117

40. Басов, К. А. ANSYS для конструкторов. - М.: ДМК Пресс, 2009. - 248 с.

41. Бате, К. Ю. Методы конечных элементов / К.Ю. Бате. - Москва: Физматлит, 2010. - 1024 с.

42. Белоцерковский, О. М. Метод параметрической коррекции разностных схем / О. М. Белоцерковский, А. И. Панарин, В. В. Щенников. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1984. - Том 21. - № 1. - С. 65-74.

43. Бойков, И.В. Численное восстановление начального условия в задачах Коши для линейных параболических и гиперболических уравнений / И.В. Бойков,

В.А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - №2 3 (55). - С. 68-84.

44. Бордонос, А. К. Моделирование глобальных энергетических сетей / А. К. Бордонос, Я. А. Холодов, А. С. Холодов, И. И. Морозов. // Матем. моделирование. - 2009. - Том 21. - № 6. - С. 3-16.

45. Брагин, М. Д. Верификация одного метода энтропийной регуляризации разрывных схем Галеркина для уравнений гиперболического типа / М. Д. Брагин, Ю. А. Криксин, В. Ф. Тишкин // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. - 2019. - №№ 18. - С. 1-25. - Режим доступа: https://doi.org/10.20948/prepr-2019-18

46. Брагин, М. Д. Гибридные бикомпактные схемы для уравнений гиперболического типа на декартовых сетках с адаптивным измельчением / М.Д. Брагин // XXIX КР0МШ-2018. - Севастополь : ООО "Полипринт", 2018. - С. 74-76.

47. Брагин, М.Д. Бикомпактные схемы для многомерных уравнений гиперболического типа на декартовых сетках с адаптацией к решению / М.Д. Брагин, Б.В. Рогов // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2019. - № 11. - 27 с. - Режим доступа: https://doi.org/10.20948/prepr-2019-11

48. Брагин, М.Д. Гибридные бикомпактные схемы с минимальной диссипацией для уравнений гиперболического типа / М.Д. Брагин, Б.В. Рогов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.. - 2016. - Том 56. - № 6. - С.958-972. - Режим доступа: https://doi.org/10.7868/S0044466916060090

49. Годунов, С. К. Разностные схемы: введение в теорию: учебное пособие /С. К. Годунов, В. С. Рябенький. - М. : Наука, 1977. - 440 с.

50. Годунов, С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики / С. К. Годунов. // Матем. сбор. - 1959. - Том 47 (89). - № 3. - С. 271-306.

51. Головизнин, В. М. Некоторые свойства разностной схемы "КАБАРЕ" / В. М. Головизнин, А. А. Самарский. // Математическое моделирование. - 1998. -Том 10. - № 1. - С. 101-116.

52. Голубев, В.И. Компактные сеточно-характеристические схемы повышенного порядка точности для трёхмерного линейного уравнения переноса / В.И. Го-

лубев, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // Матем. моделирование. - 2016. - № 2 (28).

- С.123-132. - Режим доступа: https://doi.Org/10.1134^2070048216050082

53. Гольдин, В. Я. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений / В. Я. Гольдин, Н. Н. Калиткин, Т. В. Шишова. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1962. - Том 5. - № 5.

- С. 938-944.

54. Гордин, В.А. Компактные разностные схемы для аппроксимации дифференциальных соотношений / В.А. Гордин // Математическое моделирование . -2019. - Том 31. - № 7. - С. 58-74. - Режим доступа: https://doi.org/10.1134/S0234087919070049

55. Даценко, В.А., Математическое моделирование в системах электроснабжения. Учеб. пособие / В. А. Дакенко, В. Т. Гетманов. - Томск : Том. политех. ун-т, 2005. - 120 с.

56. Ирышкова, Ю.В. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа / Ю.В. Ирышкова, Н.Ю. Куд-ряшова // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем: материалы XI МНТКМСАС . - Пенза, 2017. -С. 79-85. - Режим доступа: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=29893662

57. Карпенко, А. П. Математическая модель распределительной городской сети электроснабжения с учетом ее перспективного развития / А. П. Карпенко, И. А. Кузьмина. // Наука и образование: электронное научное издание. МГТУ им. Н. Э. Баумана. - 2014. - № 5. - С.162-180.

58. Копылов, И. П. Электрические машины / И.П. Копылов. - М. : Энергоатом-издат, 1986. — 360 с.

59. Кощеев, М. И. Использование адаптивных нейроалгоритмов для распознавания аномальных режимов систем вторичного оборудования электроэнергетики / М.И. Кощеев, А.А. Ларюхин, А.Л. Славутский // Вестник Чувашского университета. - 2019. - № 1. - С.47-58.

60. Куликовский, А. Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелов, А. Ю. Семёнов. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 656 с.

61. Лобанов, А. И. Разностные схемы для уравнения переноса, удовлетворяющие обобщенному условию аппроксимации / А. И. Лобанов. // Компьютерные исследования и моделирование. - 2018. - Том 10. - № 2. - С. 181-193.

62. Лобанов, А. И. Разностные схемы в пространстве неопределенных коэффициентов и двойственные задачи линейного программирования / А. И. Лобанов. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2018. - Том 58. - №6. - С. 859-872.

63. Лобанов, А. И. Гибридная разностная схема с обобщенным условием аппроксимации. Анализ в пространстве неопределенных коэффициентов / А. И. Лобанов, Ф. Х. Миров. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2018. - Том 58. - № 8. - С. 73-82.

64. Лобанов, А. И. Разностные схемы для уравнения переноса со стоком на основе анализа в пространстве неопределенных коэффициентов / А. И. Лобанов, Ф. Х. Миров. // Математическое моделирование. - 2020. - Том 32. - № 9. - С. 53-72.

65. Лобанов, А. И. Использование разностных схем для уравнения переноса со стоком при моделировании энергосетей / А. И. Лобанов, Ф. Х. Миров. // Компьютерные исследования и моделирование. - 2020. - Том 12. - № 5. - С. 1149-1164.

66. Магомедов, К. М. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений / К. М. Магомедов, А. С. Холодов. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1969. - Том 9. - № 2. - С. 373-386.

67. Магомедов, К. М. Сеточно-характеристические численные методы : учебное пособие для бакалавриата и магистратуры / К. М. Магомедов, А. С. Холодов. -2-е изд., испр. и доп. - Москва : Издательство Юрайт, 2019. - 313 с.

68. Магомедов, К. М. Сеточно-характеристические численные методы / К. М. Магомедов, А. С. Холодов. - Москва : Наука, 1988. - 290 с.

69. Михайловская, М. Н. Бикомпактные монотонные схемы для многомерного линейного уравнения переноса / М. Н. Михайловская, Б. В. Рогов. // Математическое моделирование. - 2011. - Том 23. -№ 10. - С. 107-116.

70. Монотонные разностные схемы высокого порядка аппроксимации для одномерных уравнений гиперболического типа / Я. А. Холодов, П. С. Уткин, А. С. Холодов, И. В. Цыбулин. - М. : МФТИ, 2015. - 69 с.

71. Морозов, И. И. Моделирование режимов глобальных электрических энергосетей / И. И. Морозов, Я. А. Холодов. // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2008. - № 47. - С.170-178.

72. Нумеров, Б.В. Новый метод определения орбит и вычисления эфемерид с учетом возмущений / Б.В. Нумеров // Тр. АО Петрогр. ун-та. - 1923. - № 4. -С. 1-29.

73. Петров, И. Б. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа / И. Б. Петров, А. С. Холодов. //Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1984. - Т. 24. - №. 8. - С. 1172-1188.

74. Попов, В. П. Основы теория цепей: учеб. для вузов / В.П. Попов. - 4-е изд., испр. - Москва : Высшая школа, 2003. — 575 с.

75. Попов, И. В. Построение разностной схемы повышенного порядка аппроксимации для уравнения переноса с использованием адаптивной искусственной вязкости / И. В. Попов, Ю. Е. Тимофеева // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. - 2015. - № 39. - 24 с. - Режим доступа: http://mi.mathnet.ru/rus/ipmp/y2015ф39

76. Разностный метод повышенной точности для расчета течений вязкого газа / О.М. Белоцерковский, А.П. Быркин, А.П. Мазуров, А.И. Толстых // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.. - 1982. - Том 22. - № 6. - С.1480-1490. - Режим доступа: https: //doi. org/10.1016/0041 -5553(82)90110-0

77. Рогов, Б. В. Высокоточная монотонная компактная схема бегущего счета для многомерных уравнений гиперболического типа / Б. В. Рогов. // Журнал

вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Том 53. -№ 2. - С. 264-274.

78. Рогов, Б. В. Дисперсионные и диссипативные свойства высокоточных бикомпактных схем / Б.В. Рогов, М.Д. Брагин // Сборник материалов международной конференции КР0МШ-2019. — пос. Батилиман, 2019. — С. 236-238. — Режим доступа: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=41315921

79. Рогов, Б. В. Дисперсионные и диссипативные свойства полностью дискретных бикомпактных схем четвертого порядка пространственной аппроксимации для уравнений гиперболического типа / Б. В. Рогов. // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2018.- № 153. - 30 с. - Режим доступа: http://mi.mathnet.ru/rus/ipmp/y2018/р 153

80. Рогов, Б. В. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса / Б. В. Рогов, М. Н. Михайловская. //, Математическое моделирование.

- 2011. - Том 23. - № 6. - С. 98-110.

81. Рогов, Б. В. О сходимости компактные схемы бегущего счета для систем уравнений гиперболического типа / Б. В. Рогов, М. Н. Михайловская. //, Математическое моделирование. - 2008. - Том 20. - № 1. - С. 99-116.

82. Рогов, Б.В. Бикомпактная интерполяционно-характеристическая схема третьего порядка аппроксимации для линейного уравнения переноса / Б.В. Рогов // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. - 2020. - № 106. - 20 с. - Режим доступа: https://doi.org/10.20948/prepr-2020-106

83. Рябенький, В. С. Об устойчивости разностных уравнений / В. С. Рябенький, А. Ф. Филиппов. - Москва : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. - 172 с.

84. Самарский, А. А. Введение в численные методы. Изд. 5-ое / А.А. Самарский.

- Санкт-Петербург: Издательство Лань, 2009. - 288 с.

85. Самарский, А. А. Классы устойчивых схем / А.А. Самарский // Журнал вы-числ. мат. и матем. физики. - 1967. - Том 7. - № 5. - С. 1096-1133.

86. Смирнов, А. И. Структура токовой защиты распределительной сети на основе алгоритма поиска кратчайшего пути / А.И. Смирнов, Я.Э. Шклярский //

Известия Тульского государственного университета. — 2020. — № 5. — С.445-450.

87. Сухинов, А.И. Разностная схема КАБАРЕ с улучшенными дисперсионными свойствами / А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков // Математическое моделирование.

- 2019. - Том 31. - № 3. - С. 83-96. - Режим доступа: https://doi.org/10.1134/S0234087919030067

88. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики : учебник для вузов / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. - 7-е изд. - Москва: Издательство МГУ, Наука, 2004. - 798 с.

89. Толстых, А. И. Компактные и мультиоператорные аппроксимации высокой точности для уравнений в частных производных / А. И. Толстых. - М. : Наука, 2015. - 349 с.

90. Толстых, А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики / А. И. Толстых. - Москва : Наука, 1990. - 230 с.

91. Толстых, А. И. Об одном методе численного решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа / А.И. Толстых // Ученые записки ЦАГИ. - 1972. -Том 3. - № 6. - С. 78-87.

92. Фаворская, А.В. Исследование свойств материала пластины лазерным ультразвуком при помощи анализа кратных волн / А. В. Фаворская. // Компьютерные исследования и моделирование. - 2019. - Том 11. - №2 4. - С. 653-673.

93. Федоренко, Р.П. Введение в вычислительную физику / Р.П. Федоренко. -Москва: МФТИ, 1994. - 528 с.

94. Федоренко, Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений / Р. П. Федоренко. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1962. - Том 2. - № 6.

- С. 1122-1128.

95. Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина: Пер. с англ. / К. Флетчер. - М. : Мир, 1988. - 352 с.

96. Фортова, С. В. Программный пакет для решения гиперболических систем уравнений / С. В. Фортова, Л. М. Крагинский, А. В. Чикиткин, Е. И. Опарина. // Матем. моделирование. - 2013. - Том 25. - № 5. - С. 123-135.

97. Холодов, А. С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа / А. С. Холодов. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1978. - Том 18. - № 6. - С. 1476-1492.

98. Холодов, А. С. Построение монотонных разностных схем для систем уравнений гиперболического типа / А.С. Холодов, И.В. Цыбулин, Я.А. Холодов // Журнал вычис. матем. и матем. физики. - 2018. - Том 58. - № 8. - С. 30-49. -Режим доступа: https://doi.org/10.31857/S004446690001999-9

99. Холодов, А.С. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа / А. С. Холодов, Я. А. Холодов. // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Том 46. -№ 9. - С. 1638-1667.

100. Холодов, Я. А. Разработка сетевых вычислительных моделей для исследования нелинейных волновых процессов на графах / Я. А. Холодов. // Компьютерные исследования и моделирование. - 2019. - Том 11. - № 5. - С. 777814.

101. Чикиткин, А. В. Бикомпактная схема шестого порядка аппроксимации со свойством спектрального разрешения для уравнений гиперболического типа / А.В. Чикиткин, Б.В. Рогов // Доклады академии наук. — 2017. — № 4 (476). — С.381-386. — Режим доступа: https://doi.org/10.7868/S0869565217280040

102. Шокин, Ю.И. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике / Ю. И. Шокин, Н. Н. Яненко. - Новосибирск : Наука, 1985. -364 с.

103. Электрические системы. Электрические сети: учеб. для электроэнерг. спец. Вузов / В. А. Веников, А. А. Глазунов, Л. А. Жуков [и др.] ; под ред. В. А. Ве-

никова, В. А. Строева. - 2-е изд., перераб. и доп. - Москва: Высш. шк., 1998. -511 с.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.