Фрактальные излучающие структуры и аналоговая модель фрактального импеданса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Крупенин, Сергей Владимирович

• Крупенин, Сергей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Крупенин, Сергей Владимирович

1 Введение

2 Широкополосные и частотно—независимые антенны

2.1 Принципы построения.

2.1.1 Спиральные антенны.

2.1.2 Логопериодические антенны.

2.2 Фрактальные антенны.

2.2.1 Характеристические свойства.

2.2.2 Регулярные фрактальные антенны

2.2.3 Реконфигурация антенных характеристик

2.2.4 Нерегулярные фрактальные антенны.

2.2.5 Применения.

3 Дробные интегродифференциальные операторы

3.1 Основные определения.

3.2 Физическая интерпретация

3.3 Статистика Леви.

3.3.1 Обобщение центральной предельной теоремы.

3.3.2 Свойства распределения Леви.

3.3.3 Основные результаты.

3.3.4 Связь с дробным исчислением

3.4 Физические приложения.

3.4.1 Теоретические основы.

3.4.2 Обзор приложений.

3.5 Моделирование.

3.5.1 Элемент постоянной фазы.

3.5.2 Электрическая реализация.

3.5.3 Электрохимическая реализация.

4 Нерегулярные фрактальные антенны

4.1 Хаотические целочисленные алгоритмы

4.1.1 Дискретный хаотический алгоритм с запаздыванием.

4.1.2 Свойства псевдослучайной хаотической последовательности

4.2 Фрактальные кластеры для антенного проектирования.

4.2.1 Модель Тюи-Жюльена

4.2.2 Модель Виттена-Сандера.

4.2.3 Детерминированные фрактальные кластеры.

4.3 Детерминированные нерегулярные фрактальные антенны

4.3.1 Микрополосковая антенна ThJ-1.6.

4.3.2 Микрополосковая антенна'ThJ-1.9.

4.3.3 Микрополосковая антенна WS-2D

4.3.4 Пространственный монополь WS-3D.

5 Полуинтегрирующая ячейка

5.1 Исходные данные.

5.1.1 Актуальность задачи.

5.1.2 Теоретическая модель.

5.2 Экспериментальные образцы

5.2.1 Топология.

5.2.2 Методика изготовления

5.2.3 Параметры

5.3 Частотные характеристики.

5.3.1 Экспериментальные результаты.

5.3.2 Результаты моделирования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фрактальные излучающие структуры и аналоговая модель фрактального импеданса»

Актуальность проблемы

Внедрение широкополосных технологий — одно из целевых направлений современной радиоэлектроники, объединяющее следующие задачи: создание широкополосных устройств и элементов радиотракта, переход к широкополосным радиосигналам, а также разработка эффективных методов обработки этих сигналов. Потребность в расширении полосы частот обусловлена современными тенденциями в развитии радиотехники и электроники: повышение уровня помехозащищенности и конфиденциальности передаваемой информации, увеличение информационной емкости радиосистем, повышение скорости передачи данных.

Фрактальная парадигма, введенная Бенуа Мандельбротом в 1975 г. [46], существенно изменила представление о многих явлениях природы и открыла новые возможности для исследований в фундаментальных и прикладных областях науки. В частности, фрактальные средства и методы оказались чрезвычайно эффективными при разработке широкополосных радиосистем нового поколения.

Обозначим различия между понятиями математического и физического фрактала. Для этого необходимо ввести понятие хаусдорфовой размерности. Пусть d — топологическая размерность ограниченного множества М, пусть N(e) — минимальное число ^/-мерных кубов со стороной е, накрывающих все точки множества М. Если при достаточно малых е величина N(e) меняется по степенному закону:

N(e) - e~D, е —> О, то величина

D = - lim , v ' е—>0 lne называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича (или фрактальной размерностью) множества М. В математике фракталом называют множество, характеризуемое дробной хаусдорфовой размерностью, строго большей топологической:

D>d.

Менее строго, под фракталом понимают структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому (определение Мандельброта). Хотя в последнем определении нет математической точности, оно отражает основное свойство фракталов — самоподобие, или масштабную инвариантность. Следствием самоподобия является наличие бесконечного числа характеристических масштабов. При этом фракталы являются принципиально недифференцируемыми объектами, поэтому спектр коэффициентов самоподобия для них всегда конечен, в отличии от гладких самоподобных структур (пример — логарифмическая спираль). Физические фракталы, в отличие от математических, определяются нестрогим неравенством: имеют конечное число характеристических масштабов и являются кусочно-дифференцируемыми объектами. Свойство самоподобия для физических фракталов носит условный характер, а для случайных структур, наблюдаемых в природе (кластеры, дендриты и пр.), речь идет о «статистическом самоподобии» — с учетом усреднения по всем независимым реализациям объекта.

Закономерности излучения, распространения и рассеяния электромагнитных волн во фрактальных средах, исследованные в начале 90-х гг., легли в основу «фрактальной электродинамики» [103, 160] — области, объединяющей фрактальную геометрию и теорию электромагнетизма. Фрактальный подход в радиофизике и радиотехнике впервые получил широкое развитие в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, начиная с 1987 г. В рамках этого подхода была поставлена задача развития новых информационных технологий с использованием текстурных и фрактальных мер на основе принципов нелинейной динамики. В результате проведенных исследовательских и конструкторских работ было определено новое научное направление — применение теории динамических систем и фрактальной топологии в задачах проектирования радиосистем различного назначения — и введен соответствующий термин «фрактальные радиосистемы» [48]. Многочисленные исследования в области обработки сигналов и изображений привели к разработке методов обобщенной фрактальной фильтрации, включающей модуляцию, кодирование, обнаружение, распознавание и повышение контрастности [б]. В настоящее время в ИРЭ РАН ведутся работы по проектированию элементной базы фрактальных радиосистем, включающие проектирование фрактальных антенн, аппаратную реализацию фрактальных фильтров и элементов радиотракта. Перспективой нового научного направления является создание фрактальных радиосистем в целом.

Настоящая работа вписывается в вышеописанную концепцию и затрагивает отдельные вопросы разработки элементной базы фрактальных радиосистем Первая

часть работы посвящена определению фрактальных антенн нового типа и изучению их пространственно-частотных характеристик посредством численного моделирования. Во второй части представлена аппаратная реализация аналоговой электрической модели полуинтегрального оператора (фрактального импеданса) на основе RC элементов с распределенными параметрами.

Цели и задачи исследования

Целями настоящей работы являются разработка и исследование элементов фрактальных радиосистем: фрактальных антенн и устройств фрактальной фильтрации — дробных интегродифференциальных преобразователей. Первая часть работы посвящена определению фрактальных антенн нового типа и изучению их пространственно-частотных характеристик. Во второй части представлена аппаратная реализация аналоговой электрической модели полуинтегрального оператора на основе RC элементов с распределенными* параметрами Исходя из означенных целей, были поставлены следующие задачи:

Разработка детерминированных геометрических решений для построения нерегулярных фрактальных антенн. Реализация эффективных многодиапазонных излучающих структур малых размеров за счет масштабного многообразия и эффективного заполнения пространства.

Исследование антенн на основе детерминированных нерегулярных фрактальных структур посредством численного моделирования. d> Исследование возможностей по управлению пространственно-частотными характеристиками антенн без изменения геометрии антенны и введения дополнительных структурных элементов. о Тонкопленочная реализация аналоговой электрической схемы с распределенными резистивно-емкостными параметрами, реализующей операцию дробного интегродифференцирования. Изготовление экспериментальных образцов схемы, включающее следующие мероприятия: оптимизация технологического процесса, оптимизация топологии структуры, калибровка геометрических и электрических параметров схемы. о Исследование частотных характеристик экспериментальных образцов. о Численное моделирование экспериментальной схемы.

Научная новизна о Представлены результаты численного моделирования детерминированных нерегулярных фрактальных антенн Несколько предложенных антенных конструкций построены на основе плоских и пространственных псевдослучайных фрактальных кластеров. Для построения последних предложена модификация численных агрегационных моделей, основанная на использовании хаотического целочисленного алгоритма с запаздыванием. Большой объем псевдослучайной последовательности, порождаемой этим алгоритмом, определяет многообразие фрактальных структур, формируемых модифицированными алгоритмами агрегации. о На основании результатов численного эксперимента показано, что детерминированные нерегулярные фрактальные антенны представляют собой эффективные многодиапазонные излучатели. Показана возможность управления частотными характеристиками и характеристиками направленности без изменения геометрии антенны и введения дополнительных структурных элементов. о Представлена экспериментальная реализация аналоговой полуинтегрирующей, ячейки. Электрическая схема, полуинтегрирующие свойства которой были обоснованы теоретически [133: §8.3], выполнена с использованием тонкопленочных технологий в виде многослойной микроструктуры с распределенными электрическими параметрами.

Практическая ценность Предложенная методика проектирования нерегулярных фрактальных антенн имеет ряд отличий от реализованных ранее Во-первых, алгоритмическое построение образующей фрактальной структуры полностью исключает соответствующий технологический этап. Фрактальная структура формируется посредством компьютерного моделирования, что существенно упрощает процесс изготовления макета антенны. Во-вторых, использование детерминированной псевдослучайной последовательности большого объема при формировании фракталов позволяет реализовать геометрическое многообразие для полностью воспроизводимых структур, что не представляется возможным в рамках случайных моделей [69, 136, 143]. о Перспективность предложенных антенных конструкций определяется следующими особенностями1 многодиапазонность, широкополосность, миниатюрность и высокое усиление. К несомненным преимуществам фрактальных антенн нового типа следует отнести возможность управления их пространственно-частотными характеристиками без вариации форм-фактора, что позволяет использовать предложенные конструкции при разработке реконфигурируемых антенных систем. о В рамках настоящей работы осуществлен начальный этап исследования фрактальных антенн нового типа. Результаты численного моделирования могут послужить основой для более детального изучения, как теоретического, так и экспериментального. о Для электрической модели полуинтегрального оператора достигнут определенный уровень миниатюризации схемы посредством применения тонкопленочных технологий. Площадь экспериментальной схемы, состоящей из 400 RC элементов, составляет менее 1 см2. Поскольку ширина рабочей полосы частот рассматриваемой модели зависит от количества RC элементов, миниатюризация схемы открывает перспективу расширения рабочей полосы посредством увеличения числа элементов. о Особенностью рассматриваемой электрической модели является относительная простота ее тонкопленочной реализации в виде схемы с распределенными параметрами. Воспроизводимость структуры и качество исполнения схемы обеспечиваются применением прецизионной аппаратуры и современных меI тодов изготовления микроструктур. о Представленная полуинтегрирующая ячейка является широкополосным элементом радиотракта: рабочий диапазон характеризуется коэффициентом перекрытия по частоте 2:1. Широкополосность аналоговой модели в сочетании с преобразованием сигнала в реальном масштабе времени позволяют ей конкурировать с цифровыми дробными преобразователями в определенном круге задач.

Защищаемые положения

1. Впервые предложены и исследованы фрактальные антенны нового типа, построенные на основе детерминированных нерегулярных структур — хаотических фрактальных кластеров. Последние сформированы с помощью двух численных агрегационных моделей в комбинации с хаотическим запаздывающим дискретным алгоритмом. Предложенная методика обеспечивает геометрическое многообразие формируемых фрактальных кластеров и их воспроизводимость по входным параметрам алгоритма агрегации.

2. Программно реализованы агрегационные модели для построения двумерных и трехмерных хаотических фрактальных кластеров двух структурных подгрупп.

3. Показано, что реконфигурация пространственно-частотных характеристик фрактальных антенн нового типа возможна без изменения геометрии антенны и введения дополнительных структурных элементов. Сдвиг частотных диапазонов и изменение формы диаграммы направленности осуществляется посредством изменения точки возбуждения антенны.

4. Разработан и оптимизирован технологический маршрут изготовления экспериментальных образцов полуинтегрирующей ячейки. Методика изготовления электрической схемы с распределенными параметрами основана на современных методах микроэлектроники и включает циклы высоковакуумного напыления тонких пленок проводящих и диэлектрических материалов, а также процедуру фотолитографии. Оптимизация топологии и применение прецизионной аппаратуры позволяют достичь определенной степени миниатюризации схемы и воспроизводимости ее параметров при изготовлении.

Личный вклад автора заключается в выполнении следующих задач: разработка методики построения фрактальных антенн нового типа; программная реализация агрегационных моделей для формирования нерегулярных фракталов для антенного проектирования; о исследование пространственно-частотных характеристик разработанных антенных конструкций посредством численного моделирования; о оптимизация топологии электрической схемы, реализующей операцию полуинтегрирования; о оптимизация технологического процесса высоковакуумного нанесения тонких пленок металлов и диэлектриков для изготовления экспериментальных образцов полуинтегрирующей схемы; о калибровка геометрических и электрических параметров экспериментальной схемы; о изготовление серии экспериментальных образцов полуинтегрирующей ячейки; о исследование частотных характеристик экспериментальных образцов; о численное моделирование экспериментальной схемы.

Все вошедшие в диссертационную работу результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Интерпретация основных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций.

Апробация

Результаты настоящей работы были представлены на следующих конкурсах и конференциях: о ежегодный конкурс молодых ученых, специалистов, аспирантов и студентов имени И.В. Анисимкина (Москва, ИРЭ РАН, 2005 и 2006 гг.) [50]; о 8-я международная конференция DSPA «Цифровая обработка сигналов и ее применение» [17]; о 2-я и 3-я международные научно-практические конференции HTFI «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» [15, 19], о 16-я, 17-я и 18-я международные Крымские конференции КрыМиКо «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» [108-110]; о 3-я международная конференция UWBUSIS «Сверхширокополосные и ультракороткие импульсные сигналы» [111]; о б-я международная конференция ICATT по теории и технике антенн [107]; о 14-я международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь» [21].

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 16 работ, из них 7 — в рецензируемых отечественных журналах [2, 9, 16, 32, 33, 50, 51], 9 — в сборниках трудов международных конференций. [15, 17, 19, 21, 107-111]

Структура диссертации

Текст диссертации состоит из введения, четырех основных глав, заключения и списка литературы. Часть работы, посвященная проектированию фрактальных антенн представлена обзором литературы (глава 2) и результатами численного моделирования (глава 4). Физическое моделирование полуинтегрального оператора описано в главе 5, а соответствующий,обзор литературы представлен в главе 3.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Крупенин, Сергей Владимирович

Заключение

6.1 Результаты

Настоящая работа посвящена отдельным вопросам разработки элементной базы фрактальных радиосистем — проектированию нерегулярных фрактальных антенн и физическому моделированию полуинтегрального оператора. Перечислим ее основные результаты.

Впервые предложены и исследованы нерегулярные фрактальные антенны с детерминированной структурой. Детерминированные фрактальные структуры для антенного^ проектирования построены с помощью численных агрега-ционных моделей с использованием хаотического целочисленного алгоритма. Предложено несколько геометрических решений: плоские и пространственные хаотические фрактальные кластеры двух структурных подгрупп.

Программно реализованы алгоритмы агрегации хаотических фрактальных кластеров, положенных в основу конструкций детерминированных нерегулярных фрактальных антенн.

На основании численного моделирования выявлены характерные особенности нерегулярных фрактальных антенн нового типа: многодиапазонность, широ-кополосность, слабонаправленное излучение, частотно-зависимая форма диаграммы направленности, возрастание коэффициента усиления с частотой.

Показана возможность управления пространственно-частотными характеристиками антенн посредством изменения точки возбуждения. Возможности сдвига частотных диапазонов и управления диаграммой направленности без изменения формы излучающей системы позволяют использовать предложенные конструкции при разработке реконфигурируемых антенных систем.

Представлена аппаратная реализация аналоговой электрической модели полуинтегрального оператора. Полуинтегрирующая ячейка представляет собой пассивную электрическую схему на основе RC элементов с распределенными параметрами, выполненную в виде микрополосковой структуры с использованием тонкопленочных технологий.

Для изготовления экспериментальных образцов полуинтегрирующей ячейки применены современные методы микроэлектроники. Разработанный технологический маршрут включает циклы высоковакуумного напыления тонких пленок проводящих и диэлектрических материалов, а также процедуру фотолитографии. Использование прецизионной аппаратуры и современных технологических методов позволяет достичь высокого качества экспериментальных образцов и воспроизводимости их параметров.

На основании экспериментальных данных показано, что разработанная и реализованная полуинтегрирующая ячейка является широкополосным элементом радиотракта. Данная модель может быть использована в задачах фрактальной обработки сигналов, а также в качестве элементной базы вычислительной электроники. Преимуществом аналоговой модели является выполнение полуинтегрального преобразования сигнала в реальном масштабе времени.

6.2 Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность своим научным руководителям Юрию Васильевичу Гуляеву и Владимиру Владимировичу Колесову, осуществлявшим научное и практическое руководство в процессе выполнения настоящей работы, а также всем сотрудникам ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, принимавшим участие в обсуждении и интерпретации представленных результатов — Р.В. Беляеву, А.В. Скнаре, A.M. Попову, В.И. Рябенкову, Е.А. Мясину, А.С. Фионову, В.И. Калинину, А.А. Потапову, Н.Н. Залогину, Е.П. Чигину.

Неоценимая поддержка была оказана автору Надеждой Геннадиевной Петровой, взявшей на себя большую часть организационных проблем, а также усилиями которой сроки выполнения настоящей работы были значительно сокращены.

Отдельную благодарность автор выражает сотрудникам лаборатории криоэлек-троники физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, прежде всего, Денису Преснову и Вячеславу Власенко, осуществлявшим обучение и руководство в процессе выполнения технологических работ по изготовлению экспериментальных образцов полуинтегрирующей ячейки, а также Е.Е. Лопатиной, В.А. Крупенину и А.Б. Паволоцкому. Здесь следует отметить, что платформой для представленного технологического решения послужили опытно-конструкторские работы, выполненные сотрудником ИРЭ РАН М.З. Меликовым (не описаны в диссертации).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Крупенин, Сергей Владимирович, 2009 год

1. Р.В. Беляев, Г.М. Воронцов, В.Я. Кислов, В.В. Колесов, С.В. Крупенин, A.M. Попов, В.И. Рябенков. Сложные хаотические дискретные сигналы в системах телекоммуникации, радиолокации и навигации. Радиотехника и электроника, 51(9), 1116-1128, 2006.

2. Р.В. Беляев, Г.М. Воронцов, В.В. Кислов, В.В. Колесов, A.M. Попов, В.И. Рябенков. Спектр периодов псевдослучайных последовательностей, формируемых алгоритмом с задержкой. Радиотехника и электроника, 49(3)', 325-332, 2004.

3. В.П. Скрипов, А.В. Виноградов, В.И. Скоков, А.В. Решетников, В.П. Коверда. Капля на горячей плите: появление 1//-шума при переходе к сфероидальной форме. ЖТФ, 73(6), 21-23, 2003.

4. А.А. Потапов, Ю.В. Гуляев, С.А. Никитов, А.А. Пахомов, В.А. Герман. Новейшие методы обработки изображений / Под ред. А. А. Потапова. М.: Физ-матлит, 2008.

5. Р.Ш. Нигматуллин, В.А. Белавин, А.И. Мирошников, Н.К. Луцкая. Применение специальной полярографической ячейки для дробного дифференцирования 1-Е-кривых / Материалы второго всесоюзного совещания по полярографии. Казань: КГУ, 1962.

6. В.А. Крупенин, А.Б. Паволоцкий, И.Г. Прохорова, О.В. Снегирев. Технология изготовления и характеристики диэлектрических слоев тонкопленочных RC фильтров для джозефсоновских и одноэлектронных устройств. Письма в ЖТФ, 22(2), 19-27, 1996.

7. С.В. Крупенин, В.В. Колесов, А.А. Потапов, Е.Н. Матвеев. Многодиапазонные широкополосные антенны на основе фрактальных структур различных типов. Радиотехника, 3, 70-83, 2009.

8. О.А. Юрцев, А.В. Рунов, А.Н. Казарин. Спиральные антенны. М.: Советское радио, 1974.

9. С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

10. Р.В. Беляев, Г.М. Воронцов, В.В. Колесов. Случайные последовательности, формируемые нелинейным алгоритмом с запаздыванием. Радиотехника и электроника, 45(12), 954-960, 2000.

11. В.В. Колесов, С.В. Крупенин, А.А. Потапов. Численное моделирование сверхширокополосных фрактальных антенн. Нелинейный мир, 4(4-5), 188-194, 2006.

12. А.А. Потапов, Е.Н. Матвеев, В.А. Потапов. Фрактальная антенна «древо Кейли»: расчеты, анализ и компьютерные эксперименты. Тезисы докладов XIV Международной студенческой школы-семинара «Новые информационные технологии», Москва, МГИЭМ, 1, 62-63, 2006.

13. А.Х. Гильмутдинов, В.А. Мокляков, П.А. Ушаков. Распределенные резистивно-емкостные элементы с фрактальной размерностью: конструкция, анализ, синтез и применение: Нелинейный мир, 5(10-11), 633-638, 2007.

14. В.В. Колесов, С.В. Крупенин, А.А. Потапов. Моделирование нерегулярных фрактальных антенн. Труды 14-й международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь», 15-17 апреля 2008 г., Воронеж, Россия, 1, 611-615, 2008.

15. Б.В. Гнеденко, А'.Н. Колмогоров. Предельные распределения для сумм неза-. висимых случайных величин. М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1949.

16. Р.Ш. Нигматуллин, А.И. Мирошников. Применение дробного интегродиф-ференцирования в осциллографической полярографии / Материалы второго всесоюзного совещания по полярографии. Казань: КГУ, 1962.

17. Р.Ш. Нигматулл ин, В.А. Белавин. Электролитический дробно-дифференцирующий и интегрирующий двухполюсник. Труды КАИ, Радиотехника и электроника, 82, 58-65, 1964.

18. Г.Т. Марков, Д.М. Сазонов. Антенны. М.: Энергия, 1975.

19. У. Титце, К. Ш енк. Полупроводниковая схемотехника / Пер. с нем. под ред. А.Г. Алексенко. М.: Мир, 1983.

20. В.П. Коверда, В.Н. Скоков. Критическое поведение и 1//-шум при пересечении двух фазовых переходов в сосредоточенных системах. ЖТФ, 70(10), 1-7, 2000.

21. А.Х. Гильмутдинов, П.А. Ушаков. Пленочные резистивно-емкостные элементы с распределенными параметрами: конструкции, применения, перспективы. Датчики и системы, 7, 63-70, 2003.

22. В.П. Коверда, В.Н. Скоков. Масштабные преобразования 1// флуктуации при неравновесных фазовых переходах. ЖТФ, 74(9), 4-8, 2004.

23. В.К. Балханов, Ю.Б. Башкуев. Фрактальная модель частотной зависимости ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности. ЖТФ, 75(9), 132-135, 2005.

24. М.Р. Вяселев, Д.В. Глебов. Оптимальный синтез многозвенных неоднородных резистивно-емкостных цепей, моделирующих обобщенный импеданс Варбур-га. Электрохимия, 41(2), 206-210, 2005.

25. А.Н. Хованский. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М.: Гостехиздат, 1956.

26. А.Я. Хинчин. Цепные дроби. М.: Физматлит, I960.

27. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / Пер. с англ. РЛ. Добрушина и А.А. Юшкевичаi М:: Мир, 1964.

28. Б.М. Смирнов. Фрактальные кластеры. УФН, 149(2), 177-219, 1986.

29. Г. Шустер. Детерминированный хаос. Введение /Пер. с нем. Ф.М. Израиле-ва, М.И. Малкина и AM; Реймана. М.: Мир, 1988.

30. Р. Жюльен. Фрактальные агрегаты. УФН, 157(2), 339-357, 1989.

31. Е. Федер. Фракталы /Пер. с англ. Ю.А. Данилова и А. Шукурова. М.: Мир, 1991.

32. P.P. Нигматуллин. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. Теор. и мат. физика, 90(3), 354-368, 1992.

33. С.В. Лотхов. Анализ процессов в ячейке хранения одиночных электронов, изготовленной на основе металлических туннельных контактов субмикронной площади / Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, 1997.

34. В.А. Котельников. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Радио и связь, 1998.

35. И.П. Гук. Формализм Лагранжа для частиц, движущихся в пространстве фрактальной размерности. ЖТФ, 68(4), 7-11, 1998.

36. М. Шредер. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая / Пер. с англ. под ред. А.В: Борисова. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

37. Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы / Пер. с англ. А.Р. Логунова. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

38. A.M. Нахушев. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003.

39. А.А. Потапов. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки: М.: Университетская-книга, 2005.

40. А.Х. Гильмутдинов. Резистивно-емкостные элементы с распределенными-параметрами: анализ; синтез и применение. Казань: КГТУ, 2005.

41. С.В. Крупенин. Моделирование фрактальных антенн. Нелинейный мир, 4(6), 297-303, 2006.

42. С.В. Крупенин. Моделирование фрактальных антенн. Радиотехника и электроника, 51(5), 561-568', 2006.

43. С.Ш. Рехвиашвили. Моделирование фликкер-шума с помощью дробного интегро-дифференцирования. ЖТФ, 76(6), 123-126, 2006.

44. В.И. Слюсар. 60 лет теории электрическм малых антенн. Некоторые итоги. Электроника: наука; технология, бизнес, 7, 10-19, 2006.

45. В.И. Слюсар. Фрактальные антенны. Принципиально новый тип «ломанных» антенн. Электроника: наука, технология, бизнес, 5, 78-83, 2007.

46. Ю.К. Евдокимов. Распределенные измерительные среды и континуум-измерения: топология, алгоритмы и моделирование. Нелинейный мир; 5(10-11), 700-705, 2007.

47. В.И. Слюсар. Фрактальные антенны. Принципиально новый тип «ломанных» антенн. Часть 2. Электроника: наука, технология, бизнес, 6, 82-89, 2007.

48. P. Allegrini, P. Grigolini, В .J. West. Dynamical approach to Levy processes. Phys. Rev. E, 54(5), 4760-4767, 1996.

49. J. Anguera, E. Martinez, C. Puente, C. Borja, J. Soler. Broad-Band- Dual-Frequency Microstrip Patch Antenna With Modified Sierpinski Fractal Geometry. IEEE Trans. Antennas Propagat., 52(1), 66-73, 2004.

50. J. Anguera, E. Martinez-Ortigosa, C. Puente, C. Borja, J. Soler. Broadband Triple-Frequency Microstrip Patch Radiator Combining a Dual-Band Modified Sierpinski Fractal and a Monoband Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 54(11), 3367-3373, 2006.

51. J. Anguera, C. Puente, E. Martinez, E. Rozan. The Fractal Hilbert Monopole: a Two-Dimensional Wire. Microwave Opt. Techno!. Lett., 36(2), 102-104, 2003.

52. C.A. Balanis. Antenna Theory: Analysis and Design. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore: John Wiley & Sons, 1997.

53. C. Puente Baliarda, C. Borja Borau, M. Navarro Rodero, J. Romeu Robert. An Iterative Model for Fractal Antennas: Application to the Sierpinski Gasket Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 48(5), 713-719, 2000.

54. C. Puente Baliarda, J. Romeu, A. Cardama. The Koch Monopole: A Small Fractal Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 48(11), 1773-1781, 2000.

55. F. Bardou, J.-P. Bouchaud, A. Aspect, C. Cohen-Tannoudji. Levy Statistics and Laser Cooling. How Rare Events Bring Atoms to Rest. New York: Cambridge University Press, 2003.

56. S.R. Best. A Discussion on the Significance of Geometry in Determining the Resonant Behavior of Fractal and Other Non-Euclidean Wire Antennas. IEEE Antennas Propagat. Mag., 45(3), 9-28, 2003.

57. S.R. Best On the Performance Properties of the Koch Fractal and Other. Bent Wire Monopoles. IEEE Trans Antennas Propagat., 51(6), 1292-1300, 2003.

58. G. Biorci, S. Ridella. Ladder RC Network with Constant RC Product. IEEE Trans. Circuit Theory, 17, 432-434, 1970.

59. V.N. Bolotov, S.V. Denisov, A.V. Kirichok, Yu.V. Tkach. Fractal Antenna of Dendrite Type. Proceedings of the 9th International Crimean Microwave

60. Conference CriMiCo'1999, September 13-16, 1999, Sevastopol, Crimea, Ukraine, 1, 185-187, 1999.

61. C. Borja, J. Romeu. On the Behavior of Koch Island Fractal Boundary Microstrip Patch Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 51(6), 1281-1291, 2003.

62. R. Botet, R. Jullien. Diffusion-Limited Aggregation with Disaggregation. Phys. Rev. Lett, 55(19), 1943-1946, 1985.

63. R. Botet, R. Jullien* Intrinsic anisotropy of clusters in cluster-cluster aggregation. J. Phys. A: Math. Gen., 19, L907-L912, 1986.

64. G.E. Carlson, C.A. Halijak. Approximation of Fixed Impedances. IRE Trans. Circuit Theory, 9, 302-303, 1962.

65. G.E. Carlson, C.A. Halijak. Approximation of Fractional Capacitors (1 /s)xfn by a Regular Newton Process. IEEE Trans. Circuit Theory, 11, 210-213, 1964.

66. A. Charef. Analogue realisation of fractional-order integrator, differentiator and fractional P^D^ controller. IEE Proc.-Control Theory Appl., 153(6), 714-720,2006.

67. A. Charef, H.H. Sun, Y.Y. Tsao, B. Onaral. Fractal System as Represented by Singularity Function. IEEE Trans. Automat. Contr., 37(9), 1465-1470, 1992.

68. A.S. Chaves. A fractional diffusion equation to describe Levy flights. Phys. Lett. A, 239(1-2), 13-16, 1998.

69. L.J. Chu. Physical limitations on omni-directional antennas. J. Appl. Phys., 19, 1163-1175, 1948.

70. N. Cohen. Fractal Antennas: Part I. Communications Quarterly, Summer, 7-22, 1995.

71. K.S. Cole, R.H. Cole. Dispersion and absorbtion in dielectrics, alternation current characterization. J. Chem. Physics, 9, 341-351, 1941.

72. R.E. Collin, S. Rothschild. Evaluation of antenna Q. IEEE Trans. Antennas Propagat., 12, 23-21, 1964.

73. A. Compte. Stochastical foundations of fractional dynamics. Phys. Rev. E, 53(4), 4191-4193, 1996.

74. D.W. Davidson, R.H. Cole. Dielectric relaxation in glycerol, propylene glycol and n-propanol. J. Chem. Physics, 19, 1484-1490, 1951.

75. R.L. Fante. Quality factor of general ideal antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat., 17, 151-155, 1969.

76. J. Feder, T. Jcssang, E. Rosenqvist. Scaling Behavior and Cluster Fractal Dimension Determined by Light Scaterring from Aggregating Proteins. Phys. Rev. Lett., 53(15), 1403-1406, 1984.

77. D.S. Filipovic, J.L. Volakis. Novel Slot Spiral Antenna Designs for Dual-Band/Multiband Operation. IEEE Trans. Antennas Propagat., 51(3), 430-439, 2003.

78. H.C. Fogedby. Levy Flights in Random Environments. Phys. Rev. Lett., 73(19), 2517-2520, 1994.

79. J.A. Freund, Th. Poschel (eds.). Stochastic Processes in Physics, Chemistry and Biology. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2000.

80. J.P. Gianvittorio. Fractals, MEMS, and FSS Electromagnetic Devices: Miniaturization and Multiple Resonances/ Ph.D. Thesis. University of California, Los Angeles, 2003.

81. J.P. Gianvittorio, Y. Rahmat-Samii. Fractal1 Antennas: A Novel Antenna Miniaturization Technique, and Applications. IEEE Antennas Propagat. Mag., 44(1), 20-36, 2002.

82. W.G. Glockle, Th.F. Nonnenmacher. A Fractional Calculus Approach to Self-Similar Protein Dynamics. Biophys. J., 68, 46-53, 1995.

83. J.M. Gonzalez-Arbesu, J.M'. Rius, J. Romeu. Comments on: On the relationship between fractal dimension and the performance of multiresonant dipole antennas using Koch curves. IEEE Trans. Antennas Propagat., 52(6), 1626-1627, 2004.

84. M. Grenness, K.B. Oldham. Semiintegral Electroanalysis: Theory and.Verification. Anal. Chem., 44(7), 1121-1129, 1972.

85. E. Gschwendtner, W. Wiesbeck. Ultra-Broadband Car Antennas for Communications and Navigation Applications. IEEE Trans. Antennas Propagat., 51(8), 2020-2027, 2003.

86. C.A. Halijak. An RC impedance approximant to (l/s)1/2. IEEE Trans. Circuit Theory, 11, 494-495, 1964.

87. R.C. Hansen. Fundamental limitations in antennas. Proc. IEEE, 69, 170-182, 1981.

88. R.F. Harrington. Effect of antenna size on gain, bandwidth and efficiency. J. Res. Nut Bur. Stund., 64-D, 1-12, I960.98. 0. Heaviside. Electromagnetic Theory. London: The Electrician, 1899.

89. T.W. Hertel, G.S. Smith. Analysis and Design of Two-Arm Conical. Spiral Antennas. IEEE Trans. Electromag. Compat., 44(1), 25-37, 2002!

90. T.W. Hertel, G.S. Smith. The Conical Spiral Antenna Over the Ground. IEEE Trans. Antennas Propagat., 50(12), 1668-1675, 2002.

91. R. Hilfer, L. Anton. Fractional master equations and fractal time random walks. Phys. Rev. E, 51(2), R848-R851, 1995.

92. N.S. Holter, A. Lakhtakia, V.K. Varadan, V.V. Varadan, R. Messier. On a new class of fractals: The Pascal-Sierpinski gaskets. J. Phys. A: Math. Gen., 19, 1753-1759, 1986.

93. D.L. Jaggard. On Fractal Electrodynamics. In H.N. Kritikos & D.L. Jaggard (eds.), Recent Advances in Electromagnetic Theory, 1, 183-224, 1990.

94. Y. Kim, D.L. Jaggard. The Fractal Random Array. Proc. IEEE, 74(9), 1278-1280, 1986.

95. J. Klafter, A. Blumen, M.F. Shlesinger. Stochastic pathways to anomalous diffusion. Phys. Rev. A, 35(7), 3081-3085, 1987.

96. V.V. Kolesov, S.V. Krupenin. Wideband Irregular-Shaped Fractal Antennas. Proceedings of the 6th International Conference on Antenna Theory and Techniques, ICATT'2007, September 17-21, 2007, Sevastopol, Crimea, Ukraine, 1, 278-280, 2007.

97. V.V. Kolesov, S.V. Krupenin. Electrical Model of Semiintegrator. Proceedings of the 18th International Crimean Microwave Conference CriMiCo'2008, September 8-12, 2008, Sevastopol, Crimea, Ukraine, 2, 820-821, 2008.

98. V.V. Kolesov, S.V. Krupenin, A.A. Potapov. Elements of Fractal Radiosystems. Proceedings of the 17th International Crimean Microwave Conference CriMiCo'2007, September 10-14, 2007, Sevastopol, Crimea, Ukraine, 2, 623-625,2007.

99. J. Liouville. Memoire sur le changement de la variable dans le calcul des differentielles a indices quelconques. J. Ecole Polytech., 15, 17-54, 1835.

100. S.H. Liu. Fractal model for the AC response of a rough interface. Phys. Rev. Lett, 55, 529-532, 1985.115.> L. Lopez-Tomas, J. Claret, F. Mas, F. Sagues. Aggregation under a forced convective flow. Phys. Rev. £,f 46(18), 11495—11500, 1992.

101. L. Lopez-Tomas, J. Claret, F. Sagues. Quasi-Two-Dimensional Electrodeposition under Forced Fluid Flow. Phys. Rev. Lett, 71(26), 4373-4376, 1993.

102. G.J. Maskarinec, B. Onaral. A Class of Rational Systems with Scale-Invariant Frequency Response. IEEE Trans. Circuits Syst.-I, 41(1), 75-79, 1994.

103. P.E. Mayes. Frequency-Independent Antennas and Broad-Band Derivatives Thereof. Proc. IEEE, 80(1), 103-112, 1992.

104. S.C. Dutta Roy. On the Realization of a' Constant-Argument Immitance or Fractional Operator. IEEE Trans. Circuit Theory, 14(3), 264-274, 1967.

105. J.S. McLean. A Re-Examination of the Fundamental Limits on the Radiation Q of Electrically Small Antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat., 44(5), 672-676, 1996.

106. P. Meakin. Diffusion-controlled cluster formation in 2-6-dimentional space. Phys. Rev. A, 27(3), 1495-1507, 1983.

107. P. Meakin. Progress in DLA research. Physica D, 86, 104-112, 1995.

108. K.S. Miller, B. Ross. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. New York: John Wiley Sons, 1993.

109. E.W. Montroll, M.F. Shlesinger. On 1// noise and other distributions with long tails. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 79, 3380-3383, 1982.

110. R. Morrison. RC Constant-Argument Driving-Point Admittances. IRE Trans. Circuit Theory, 6, 310-317, 1959.

111. H. Nakanishi, H.J. Herrmann. Diffusion and spectral dimension on Eden tree J. Phys. A: Math. Gen., 26, 4513-4519, 1993.

112. R.R. Nigmatullin. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry. Phys Status Solidi B, 133(1), 425-430, 1986.

113. Th.F. Nonnenmacher. Fractional integral and differential equations for a class of Levy-type probability densities. J. Phys. A: Math. Gen., 23, L697S-L700S, 1990.

114. M.W. Nurnberger, J.L. Volakis. A New Planar Feed for Slot Spiral Antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat., 44(1), 130-131, 1996.

115. K.B. Oldham. A New Aproach to the Solution of Electrochemical Problems Involving Diffusion. Anal. Chem., 41(13), 1904-1905, 1969.

116. K.B. Oldham. A Signal-Independent Electroanalytical Method. Anal. Chem., 44(1), 196-198, 1972.

117. K.B. Oldham. Semiintegral Electroanalysis: Analog Implementation. Anal. Chem., 45(1), 39-47, 1973.

118. K.B. Oldham, J. Spanier. The Fractional Calculus: Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order San Diego: Academic Press, 1974.

119. A. Oustaloup, F. Levron, B. Mathieu, F.M. Nanot. Frequency-Band Complex Noninteger Differentiator: Characterization and Synthesis. IEEE Trans Circuits Syst.-I, 47(1), 25-39, 2000.

120. J.S. Petko, D.H. Werner. Miniature Reconfigurable Three-Dimensional Fractal Tree Antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat., 52(8), 1945-1956, 2004.

121. С. Puente, J. Claret, F. Sagues, J. Romeu, M.Q. Lopez-Salvans, R. Pous. Multiband properties of a fractal tree antenna generated by electrochemical deposition. Electron. Lett., 32(25), 2298-2299, 1996.

122. C. Puente, J. Romeu, R. Bartoleme, R. Pous. Perturbation of the Sierpinski antenna to allocate operating bands. Electron. Lett., 32(24), 2186-2188, 1996.

123. C. Puente, J. Romeu-, R. Pous, X. Garcia, F. Benitez. Fractal multiband antenna based on the Sierpinski gasket. Electron. Lett., 32(1), 1-2, 1996.

124. C. Puente, J. Romeu, R. Pous, J. Ramis, A. Hijazo. Small but long Koch fractal monopole. Electron. Lett., 34(1), 9-10, 1998.

125. C. Puente-Baliarda, R. Pous. Fractal, Design of Multiband and Low Side-Lobe Arrays. IEEE Trans. Antennas Propagat., 44(5), 730-739, 1996.

126. C. Puente-Baliarda, J. Romeu, R. Pous, A. Cardama. On theBehavior of the Sierpinski Multiband Fractal Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 46(4), 517-524, 1998.

127. B. Riemann. Versuch einerAuffassungder Integration und Differentiation. Leipzig: Teubner, 1847.

128. H. Rmili, 0. El Mrabet, J.-M. Floc'h, J.-L. Miane. Study of an Electrochemically-Deposited 3-D Random Fractal Tree-Monopole Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 55(4), 1045-1050, 2007.

129. J. Romeu, Y. Rahmat-Samii. Fractal FSS: A Novel Dual-Band Frequency Selective Surface. IEEE Trans. Antennas Propagat., 48(7), 1097-1105, 2000.

130. J. Romeu, J. Soler. Generalized Sierpinski Fractal Multiband Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 49(8), 1237-1239, 2001.

131. V.H. Rumsey. Frequency Independent Antennas. New York: Academic Press, 1966.

132. J. Sabatier, O.P. Agrawal, J.A. Tenreiro Machado (eds.). Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. Dordrecht: Springer, 2007.

133. M.F. Shlesinger, B.J. West, J. Klafter. Levy Dynamics for Enhanced Diffusion: Application to Turbulence. Phys. Rev. Lett, 58(11), 1100-1103, 1987.

134. C.T.P. Song, P.S. Hall, H. Ghafouri-Shiraz. Perturbed Sierpinski Multiband Fractal Antenna With Improved Feeding Technique. IEEE Trans. Antennas Propagat., 51(5), 1011-1017, 2003.

135. C.T.P. Song, P.S. Hall, H. Ghafouri-Shiraz. Shorted Fractal Sierpinski Monopole Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 52(10), 2564-2570, 2004.

136. K. Steiglitz. An RC impedance approximant to s~xl2. IEEE Trans. Circuit Theory, 11, 160-161, 1964.

137. H. Sun, A. Charef, Y.Y. Tsao, B. Onaral. Analysis of Polarization, Dynamics by Singularity Decomposition Method. Ann. Biomed. Eng., 20; 321-335, 1992.

138. R. Thouy, R. Jiillien. A Cluster-Cluster Aggregation. Model with Tunable Fractal Dimension. J. Phys. A: Math. Gen., 27, 2953-2963, 1994.

139. К,J. Vinoy. Fractal Shaped Antenna Elements for Wide- and Multi-Band Wireless Applications / Ph.D. Thesis. The Pennsylvania State University, 2002.

140. K.J. Vinoy, J.K. Abraham, V.K. Varadan. On the Relationship Between Fractal Dimension and the Performance of Multi-Resonant Dipole Antennas Using Koch• Curves. IEEE Trans. Antennas Propagat, 51(9), 2296-2303, 2003.

141. R.F. Voss. Multiparticle diffusive fractal aggregation. Phys. Rev. B, 30(1), 334-337," 1984.

142. J.J.H. Wang, V.K. Tripp. Design of Multioctave Spiral-Mode Microstrip Antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat, 39(3), 332-335, 1991.

143. Warburg. Ueber das Verhalten Sogenannter Unpolarisirbarer Electroden gegen Wechselstrom. Ann. Physik. Chemie, 67, 493-499, 1899.

144. D.H. Werner. An Overview of Fractal Electrodynamics Research. Proceedings of the 11th Annual Review of Progress in Applied Conrputational Electromagnetics (ACES), 2, 964-969, 1995.

145. D.H. Werner, S. Ganguly. An Overview of Fractal Antenna Engineering Research. IEEE Antennas Propagat Mag., 45(1), 38-57, 2003.

146. D.H. Werner, M.A. Gingrich, P.L. Werner. A Self-Similar Fractal Radiation Pattern Synthesis Technique for Reconfigurable Multiband Arrays. IEEE Trans. Antennas Propagat., 51(7), 1486-1498, 2003.

147. R. Wessel, R.C. Ball. Cluster-cluster aggregation with random bond breaking. J. Phys. A: Math. Gen., 26, L159-L163, 1993.

148. B.J. West, M. Bologna, P. Grigolini. Physics of Fractal Operators. New York: Springer, 2003.

149. B.J. West, P. Grigolini, R. Metzler, Th.F. Nonnenmacher. Fractional diffusion and Levy stable processes. Phys. Rev. E, 55(1), 99-106, 1997.

150. H.A. Wheeler. Fundamental limitations of small antennas. Proc. IRE, 35, 14791484, 1947.

151. T.A. Witten, L.M. Sander. Diffusion-Limited Aggregation, a Kinetic Critical Phenomenon. Phys. Rev. Lett., 47(19), 1400-1403, 1981.

152. T.A. Witten, L.M. Sander. Diffusion-limited aggregation. Phys. Rev. B, 27(9), 5686-5697, 1983.

153. W. Wyss. The fractional diffusion equation. J. Math. Phys., 27(11), 2782-2785, 1986.

154. J. Zhu, A. Hoorfar, N. Engheta. Bandwidth, Cross-Polarization, and Feed-Point Characteristics of Matched Hilbert Antennas. IEEE Antennas Wireless Propagat. Lett., 2, 2-5, 2003.

155. J. Zhu, A. Hoorfar, N. Engheta. Peano Antennas. IEEE Antennas Wireless Propagat. Lett., 3, 71-74, 2004.