Формулировка ренормируемой модели развитой турбулентности сжимаемой жидкости и ее исследование при произвольных числах Маха тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Удалов, Андрей Анатольевич

• Удалов, Андрей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Удалов, Андрей Анатольевич

Введение.

1 Обобщенная модель развитой турбулентности несжимаемой жидкости.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Квантовополевая формулировка и случай малых а.

1.3 Однопетлевое приближение при малых а.

1.4 Случай конечных а.

2 Ренормируемая модель развитой турбулентности сжимаемой жидкости: двухпараметрическое разложение РГ-функций.

2.1 Постановка задачи и ее квантово-полевая формулировка.

2.2 Особенности РГ-подхода при произвольных Ма.

2.3 Построение ренормировочной схемы.

2.4 Однопетлевое приближение.

3 Развитая турбулентность при произвольных числах Маха.

3.1 Введение.

3.2 Постановка задачи. Квантово-псшевая формулировка.

3.3 УФ-расходимости и УФ-ренормировка.

3.4 РГ функции, неподвижная точка и критические размерности.

3.5 Решение уравнений РГ для парного коррелятора скорости. Эффективная скорость звука и число Маха.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формулировка ренормируемой модели развитой турбулентности сжимаемой жидкости и ее исследование при произвольных числах Маха»

При изучении развитой турбулентности жидкостей и газов основными объектами рассмотрения являются корреляционные функции характеристик среды, таких как скорость, плотность, давление. Важнейшей из них является парный коррелятор скорости, определяющий спектр турбулентной энергии Е(к) : г ¿к т = ММж(-М)), (0.1) где О - размерность пространства координат, к - импульс, - площадь поверхности единичной О-мерной сферы.

Согласно феноменологической теории Колмогорова-Обухова (см. [29] или [25]), сформулированной первоначально для случая несжимаемой жидкости, стадия развитой турбулентности может быть представлена как стационарный процесс переноса энергии накачки мощностью IV от крупных вихрей размера Ь ко все более мелким с одновременной ее диссипацией на масштабах порядка Ь<цев = (}¥и меньше (V - кинематическая вязкость). При этом = Де3,/4, где Не = - число

Рейнольдса (г>с - характерная скорость крупномасштабных пульсаций), а так как в турбулентном режиме Не » 1, то Ь/ЬМев > 1, и существует так называемый инерционный интервал Ь~1 <С к <С импульсов и ТУ1/3!,-2/3 С ш С частот, для которого естественным выглядит предположение о том, что спектр энергии Е(к) в нем не зависит ни от деталей накачки (т.е. от Ь), ни от деталей диссипации (т.е. от //). Пользуясь этим предположением, легко получить из соображений размерности выражение для спектра энергии в инерционном интервале:

Е{к) = (0.2) где А - безразмерная константа. Представления типа (0.2) можно получить и для других корреляционных функций.

После получения феноменологического результата (0.2) встал важный вопрос его вывода из точных уравнений, описывающих движение жидкости, в качестве каковых традиционно использовались уравнение Навье-Стокса dtv = vA-v - (vö)v - dp + f (0.3) с внешней случайной силой f (x,i), описывающей нерегулярность движения жидкости в турбулентном режиме и моделирующей накачку энергии из области крупных вихрей; и уравнения непрерывности, вырождающегося для несжимаемой среды в условие поперечности поля флуктуаций скорости: diV* = 0. При этом для f (х. t) предполагается гауссово распределение с нулевым средним и коррелятором

ММШх',*')) = ö(t -1') J (0.4) где (k) = Sij — kikj/k2 - поперечный проектор, k - импульс, а функция Df(k) связана с мощностью накачки

D - размерность пространства координат, р(х, t) в (0.3) - это поле флуктуаций давления.

Вычисление корреляторов полей v(x,t) и p(x,t) в модели (0.3)-(0.4) изначально велось путем формального решения уравнения (0.3) итерациями по нелинейности и последующего усреднения получающихся рядов по степеням f(x, t) с использованием свойства гауссовости случайной силы и выражения (0.4) (так называемая диаграммная техника Уайлда [80]). Позднее было установлено [68], что стохастические задачи типа (0.3)-(0.4) могут быть сведены к квантово-полевым моделям с функционалами действия определенного вида, содержащими удвоенный набор полей. В частности, для рассматриваемой модели (0.3)-(0.4) функционал действия дается выражением

S = \v'Dfv' + v'{-dt + vk)v - v'{vd)v, (0.6) где v'(x,t) - дополнительное векторное, поперечное поле. В (0.6), как и в последующих аналогичных выражениях, подразумевается суммирование по векторным индексам и интегрирование по пространственным координатам и времени. Формальное разложение в ряд теории возмущений проводится по параметру до, входящему в функцию накачки

Df(k) = g0v4~2\ (0.7)

Показатель степени Л в (0.7) при обычном предположении о том, что случайная сила f является белым шумом по импульсу, следует выбрать равным X — DJ2 (степенная модель ¿—функции). Оба подхода интенсивно использовались для исследования инфракрасной (НК) асимптотики корреляционных функций модели (0.3)-(0.4) с целью обоснования колмогоровекого скейлинга (0.2). При этом с успехом применялся аппарат ренормализационной группы (РГ) в различных формах: в виде рекурсион-ных соотношений типа вильеоновских [53] и в виде дифференциальных уравнений в частных производных, выражающих факт существования в модели группы перенормировок [49]. Особенно плодотворным оказался метод, эксплуатирующий идею вильсоновского (4 — е)— разложения в рамках размерной регуляризации [1]. Он позволяет строить выражения для ренормированных объектов и скейлинговых размерностей полей и параметров в виде разложений по малому формальному параметру е. В применении к модели (0.6)-(0.7) идея метода заключается в следующем.

Рассматривается логарифмическая модель (0.6)-(0.7), которая определяется требованием безразмерности параметра разложения до: dgo 0 (при этом малость реального параметра разложения даже в PIK асимптотике обеспечивается лишь малостью 5о)- Добиться логарифмичности можно выбором показателя Л в (0.7) при заданной размерности пространства D :

Xlog = D/2 - 2.

При этом в диаграммах теории возмущений возникают ультрафиолетовые (УФ) расходимости, которые исчезают как только мы переходим к рассмотрению модели близкой к логарифмической, то есть при

А — Xlog + с, где € - мало. При этом выражения для диаграмм понимаются как результат аналитического продолжения по Л из той области комплексного параметра Л, в которой они хорошо определены. Расходимости логарифмической теории проявляются после этого в виде полюсов по б. Далее осуществляется переход к ренормированной теории путем добавления к исходному действию контрчленов, устраняющих полюса по 6. В случае модели (0.6)-(0.7) ренормировка является мультипликативной, то есть сводится к простому переопределению параметров и и да. Исходная и ренорми-рованная модели должны иметь одинаковое ИК поведение. Для ренормированных объектов аппарат ренормгруппы дает возможность определения ведущих степенных вкладов в ИК асимптотику, причем показатели степеней вычисляются в виде рядов по е, которые затем продолжаются до физического значения ер — 2. Замечательной особенностью теории (0.6)-(0.7) является тот факт, что в ней упомянутые ряды обрываются, так что при их продолжении до ер не возникает никаких проблем (в отличие от теории критического поведения). Получаемые выражения для скейлинговых размерностей

Д„ = -1/3, Д* = -2/3, Д* = В + 1/3 при е = ер) воспроизводят феноменологический результат (0.2), причем, как показано в [1], зависимость от вязкости действительно исчезает. Такой красноречивый успех в обосновании колмогоровского скейлинш в несжимаемой жидкости стал мощным стимулом для дальнейшего использования возможностей РГ подхода, а также применения его к более общим моделям, в частности, к модели сжимаемой жидкости.

Задача описания спектров развитой турбулентности сжимаемой жидкости в рамках РГ подхода оказалась на порядок сложнее, и, в общей своей постановке может быть классифицирована с точки зрения метода РГ как нерешаемая. В качестве исходной микроскопической модели при рассмотрении развитой турбулентности сжимаемой среды обычно берут стохастическое уравнение Навье-Стокса П'9(дг) - др) - + (0.8) где

-у(х, £) - теперь уже не поперечное векторное поле скорости, /?(х, ¿) - поле флуктуадий плотности (равновесное значение плотности принято равным единице, гак что (1 4- р) - полное поле плотности), р(х, {) - поле флуктуаций давления, г) - сдвиговая вязкость, т]' = т?/3 + С, С - объемная вязкость, {(хЛ) - поле гауссов-ской случайной силы, которая также не предполагается поперечной. Вместе с (0.8) рассматривают уравнение непрерывности р + ду + д(ру)= 0. (0.9)

Для замыкания задачи необходимо еще задать уравнение состояния р = р(р). В случае слабой сжимаемости, которым мы и ограничимся, достаточно точным приближением будет линейная связь флуктуаций давления и плотности:

Р =С Р, (0-Ю) где с - скорость звука. При этом в теории появляется дополнительный, по сравнению с несжимаемой жидкостью, параметр - число Маха

Ма = ус/с.

Нерешаемость задачи в рамках РГ означает, что получаемая из (0.8)-(0.10) квантово-полевая модель неренормируема: для устранения всех УФ расходимостей логарифмической модели требуется ввести бесконечное число контрчленов. Доказать это утверждение не составляет большого труда. Для этого выпишем функционал действия, соответствующий стохастической задаче (0.8)-(0.10):

5 = \rfDfV? + р'[-дьр + д1> + д{рь)\, (0.11) где V1 и р' - соответственно векторное и скалярное дополнительные поля. Фурье образ коррелятора случайной силы О; имеет вид (0.7) с заменой V -» г}. Канонические размерности полей Ф = {ь,р,ь',р'} и параметров ео = {5о, г)'0, со}, входянщх в (0.11), определяются из условия самоподобия

0.12) --(т]Ау + т}'д(дь) - др) - (ьд)ь

1 + р и требования инвариантности 5 при растяжении пространственной 5 (со, {Ф (*,«)}) (0-13) или временной

5 (л?е0, {ф (х, £)})=<? (е05 {Ф £М)}) (0.14) переменных. При этом (0.13) и (0.14) определяют два независимых типа размерностей: пространственную (Iх и временную (I1 (причем по определению <Щ. — (¡1 = 1). На практике чаще пользуются импульсной ¿к = —¿х и частотной (Iм = —размерностями, которые порождаются соответственно независимыми растяжениями импульсов и частот (формально переход к ним осуществляется простым изменением условия нормировки: = = 1 вместо -- «¿^ = —1). По ним определяется полная каноническая размерность = с** + <мГ, (0.15) где а - константа, выбор которой определяется квадратичной частью действия. В случае (0.11) надо положить а = 2, чтобы обеспечить соотношение дь ~ г/А (ш ~ т]к2). Таким образом ё = <1к + 2оК Вычисленные по этой формуле размерности приведены в Табл.1.

Канонические размерности полей и параметров.

F V г/ Р р' Со 9о

4 -1 1>+1 0 О -2 -1 2А- О

1 -1 0 0 1 1 2 йр 1 В-1 0 о 0 1 4 - О - 2А

Таблица 1

Логарифмическая теория получается при Л = 2 — О/2 (йдо = 0). Анализ типов расходящихся в логарифмической теории 1-неприводимых диаграмм проводится на основе формального индекса расходимости

6 = О + а - £ ДМ*, (0.16) ф где ЛГф означает число внешних линий поля Ф в диаграмме. 1-неприводимые диаграммы, для которых 6 > 0, называются поверхностно расходящимися. Для компенсации расходимоетей таких диаграмм в функционал действия требуется ввести контр члены, полевая структура которых определяется набором чисел {ЛГФ} в (0.16). Используя данные Табл.1, можно расписать (0.16) более подробно: = Я + (0.17)

Как видно из (0.17), индекс расходимости не зависит от числа внешних линий поля р, входящих в диаграмму. Это означает, что существование хотя бы одной поверхностно расходящейся диаграммы приводит (если только не возникнет ограничений, связанных с недостатком типов вершин или пропагаторов) к существованию бесконечной последовательности поверхностно расходящихся диаграмм различной структуры. Именно так и получается. Например, диаграммы со структурой {ЛГ„ = 1, Лту1 = 1} имеют 6 = 2, соответственно такой же индекс расходимости имеют диаграммы со структурой {АГг, = 1, Л^ = 1, АГР = п}, где п = 1,2,3,. . То же самое касается диаграммы {А~г, = 1, ЛГр< = 1} (<$ — 1), порождающей последовательность {ЛГ-ц = 1,Лгр1 = 1, Ар = п,}, п = 1,2,. . В результате для устранения всех расходимоетей логарифмической теории потребовалось бы ввести в действие бесконечную последовательность контрчленов типа (дь^д^^), д(р'урп), п = 0,1,2,. . Соответственно в РГ уравнения вошло бы бесконечное число РГ функций, не связанных между собой никакими рекуррентными соотношениями, так что искать решение этих уравнений оказалось бы невозможным.

Такое положение дел стало причиной появления работ [13],[19], в которых рассмотрение ограничивалось случаем малых чисел Маха, когда решение можно искать в виде разложения по параметру Ма. При этом в нулевом приближении получалась модель несжимаемой жидкости, для которой результаты РГ-анализа уже были известны, а в высших порядках теории возмущений использовалась техника составных операторов. В результате в [13] в низшем нетривиальном порядке по Ма было оправдано представление для спектра энергии в инерционном интервале, вытекающее из соображений размерности и предположения о его независимости от вязкости и деталей накачки (обобщение феноменологической теории Колмогорова-Обухова):

Е(к) = IV2(Ма2(ЬкГ2'3) , (0.18) где /(ж) - некоторая функция, и использована оценка Ш ~ ьс/Ь. В [19] доказательство справедливости представления (0.18) было распространено на все порядки теории возмущений по Ма. Функция f(x) при этом фактически искалась в виде ряда по степеням своего аргумента, так что представление (0.18) давало поправки к спектру несжимаемой жидкости, обусловленные сжимаемостью. Соотношение (0.18) означает, что скорость звука с - размерный параметр с размерностью

Ас = -1/3, совпадающей с колмогоровской размерностью поля скорости V.

Попутно в [19] было установлено, что при анализе ИК-аеимптотики корреляционных функций в модели (0.8)-(0.10) можно, ограничиваясь изучением ведущего вклада в эту асимптотику, пренебречь зависимостью кинематической вязкости от флуктуации: плотности. Иначе говоря, в инерционном интервале можно считать величины

1/ = 17/(1+ ^ = ?77(1 + Р) константами.

Оказалось,что этого достаточно для того чтобы, после перехода к определенным переменным, модель стала мультипликативно ренормируемой. Этот факт будет интенсивно использован в данной работе, и его детали будут подробно рассмотрены ниже. Мультипликативная ренормируемость модели обеспечила все необходимые предпосылки для применения РГ подхода. Однако конкретная реализация процесса РГ анализа существенно зависит от набора вопросов, на которые мы хотим ответить. Понятие о различных возможных реализациях здесь связано с тем, что в некоторых квантовополевых моделях, к числу которых относится и модель, получаемая из стохастической задачи (0.8)-(0.10), можно по-разному определить ту часть функционала действия, которая ответственна за ведущий вклад в ИК асимптотику корреляционных функций, и, соответственно, остальную его часть, определяющую поправки к ведущему вкладу. Представление о таком разделении функционала действия на две части всегда присутствует при исследовании ИК асимптотики квантовополевых моделей, и правильное определение ведущей части всегда считалось залогом успеха при применении метода РГ. Так функционал Гинзбурга-Ландау

5 = ^{дф)2 + |тф3 + а4ф4 + аъф6 (0.19) где ф— поле флуктуаций параметра порядка), используемый в теории критического поведения, является фактически начальным отрезком бесконечного ряда по степеням ф и дф. Считается, что отброшенные члены определяют лишь поправки к ИК асимптотике корреляционных функций, определяемых функционалом (0.19). Оставляя в стороне тот случай, когда приближение к критической точке происходит при условии ал = 0. мы можем рассматривать две разные задачи:

1) определить поправки к ИК асимптотике корреляционных функций модели (0.19) при ае = 0, определяемые членом а&ф5; в этом случае в качестве основной рассматривается часть (0.19), выделяемая условием ад --- 0; методика применения РГ подхода в этой модели хорошо разработана и фактически канонизирована; вклад аеф® рассматривается в рамках поставленной задачи как составной оператор, ренормировка которого также проводится известным способом;

2) определить условия перехода (кроссовера) от режима, определяемого вкладом аАф4, к режиму, определяемому вкладом а6$б; в этом случае действие (0.19) должно рассматриваться как целое; при этом РГ анализ затрудняется, так как добиться лога-рифмичности модели (0.19) по отношению сразу к обоим "зарядам^сц и невозможно; для того чтобы это сделать, необходимо включить (0.19) в однопараметрический класс моделей (например, заменой а^ф4 —> а±к2афА) и рассматривать ренормировку этого класса; при этом возникают проблемы, связанные с заменой локального по х вклада в действии на нелокальный, решение которых отнюдь не тривиально (подробности можно найти в [30]).

Приведенный пример указывает на тот факт, что реализация РГ подхода в конкретной модели существенно зависит от поставленной задачи, и в некоторых случаях может потребовать искусственной модификации модели, приводящей к получению новых регулярных разложений ренормированных объектов. С такой ситуацией мы столкнулись при рассмотрении квантовополевой модели, соответствующей стохастической задаче (0.8)-(0.10). Поясним это.

Как оказалось, в рамках упрощенной модели, получающейся после пренебрежения зависимостью кинематической вязкости от флуктуаций плотности, можно, в рамка,х традиционного РГ подхода, получить скейлинговые представления для корреляционных функций с вычислимыми в виде некоторого регулярного разложения размерностями полей и параметров (этот вопрос обсуждается в главе 3). После продолжения к физическому значению параметра разложения получаются Колмогоров-ские значения для размерностей поля скорости и временной переменной

Д, = -1/3, Д* = -2/3 (0.20) и неколмогоровские значения для размерностей скорости звука и поля давления

Др = 2Д0 = -4/3 (0.21)

Кроме того оказалось, что эфективное число Маха Ма* не является малым

Ма* ~ Майе1/4 » 1 (0.22) в весьма большом диапазоне Ма > 1, не включающем лишь область Ма -С 1, в которой становятся применимыми результаты [13, 19], согласно которым скорость звука имеет колмогоровскую размерность Дс = —1/3. Результат (0.21) получен в однопет-левом приближении, и вполне возможно, что вычисления с учетом высших порядков теории возмущений изменили бы его. Всвязи с этим возник вопрос: действительно ли модель сжимаемой жидкости допускает два различных скейлинговых режима (один - найденный в [13,19] - при очень малых числах Маха и другой - описываемый размерностями (0.20)-(0.21) - при конечных числах Маха) или оба подхода по-разному определяют один и тот же режим.

В рамках построенного разложения оказалась также нерешаемой друшя проблема- о поведении скейлинговых функций (типа константы А в (0.2) или функции /(х) в (0.18)) при с —? 0. Так как скорость звука является в этом случае массивным параметром (то есть имеющим положительную размерность в логарифмической теории с1с = 1), то единственным известным инструментом, позволяющим исследовать асимптотику с —^ 0, является вильсоновское операторное разложение. Его применение позволяет написать при с ч> 0 следующее представление для парного коррелятора скорости: ос т >= ]Г £ , (0.23) р п=о где внешнее суммирование распространяется на всевозможные ренормированные локальные составные операторы Р, то есть ренормированные аналоги мономов, построенных из полей, имеющихся в модели, и их производных разных порядков; Ар - скей-линговая размерность оператора Р; ВпР - не зависящие от с коэффициенты. Аналогичные представления можно написать и для других корреляционных функций. Можно уверенно утверждать, что найдутся операторы со сколь угодно большой положительной размерностью Д^ (для этого достаточно взять в качестве Р оператор, содержащий производные достаточно высокого порядка от полей). А так как в нашей ситуации Де < 0, как видно из (0.21), то при каждом фиксированном п в сумме (0.23) будет присутствовать бесконечное число сингулярных при с —> 0 вкладов. Обычным в подобных этой ситуациях является предположение о том, что бесконечная последовательность сингулярных членов после суммирования эффективно даст некоторую степень ел<кИ с точностью до конечной при с —> 0 функции. Однако, чтобы проверить это предположение в рамках вильсоновского разложения необходимо вычислить все коэффициенты ВпР в (0.23), для которых п + Д^/Дс < 0. Эта задача практически невыполнима и поэтому в данной ситуации разложение Вильсона бессильно ответить на вопрос о поведении скейлинговых функций при с -» 0. Вместе с тем вопрос этот сам по себе важен, так как существование особенности при с —> 0 фактически означает изменение скейлинговых размерностей при Ма —> ос.

Вообще исследование особенностей скейлинговых функций с использованием вильсоновского разложения в теории турбулентности уже несжимаемой жидкости является нетривиальной, нерешенной до конца проблемой [1]. Задача тут состоит в том, чтобы выяснить, можно ли пользоваться решениями РГ уравнений в пределе при к 1т1 = га (то есть вопрос касается возможности перехода к инерционному интервалу). Параметр т называют параметром накачки. Он вводится в теорию обобщением функции накачки (0.7), осуществляемым фактически для ее ИК регуляризации функция (0.7) при 2А = D дает после подстановки в (0.5) бесконечное значение): т»=(0.24)

При этом вычисление скейлинговых размерностей в рамках размерной регуляризации можно проводить, пользуясь простым вариантом функции накачки (0.7). После того как они найдены, вопрос о применимости полученных выражений для корреляционных функций в инерционном интервале сводится к вопросу о конечности скейлинговых функций при тп -> 0. Как уже сказано, эта проблема не решена до конца даже для несжимаемой жидкости и, естественно, остается нерешенной и в случае сжимаемой среды, хотя трудности, возникающие здесь, несколько иного плана, чем при исследовании асимптотики (0.23). Именно, при т —» 0 можно написать аналогичное (0.23) представление со

0.25) f п=0 причем Ат = 1. Коренное отличие (0.25) от (0.23) состоит в том, что А0 < 0 в то время как Дт > 0, так что операторы F, порождающие сингулярные вклады в (0.23), дают исчезающе малые вклады в (0.25), и наоборот. Для (0.25) "опасными"являются составные операторы с Д^ < 0. При этом вклады от некоторых "опасных"операторов удается отсуммировать [1], но не от всех. Так что вопрос об асимптотике корреляционных функций при т 0 в настоящее время открыт.

Тем не менее поведение скейлинговых функций при с -> 0 можно определить, несмотря на то, что вильсоновское разложение оказывается бесполезным инструментом в этом вопросе. Для этого нужно так выбрать часть функционала действия, ответственную за ведущий вклад в ИК асимптотику корреляционных функций, чтобы скорость звука превратилась из массивного по канонической размерности параметра в безразмерный. При этом с переходит в разряд "зарядов" (так в РГ подходе называют все параметры, от которых зависят безразмерные константы ренормировки). Если ренормгрупповые уравнения имеют PIK устойчивую неподвижную точку {с*,.} (многоточие означает остальные заряды), то в PIK асимптотике соответствующий с инвариантный заряд с имеет предел: с —» с*. При этом, даже если с* = 0, определить, как ведут себя скейлинговые функции в этом пределе можно прямо по диаграммам теории возмущений. Дело в том, что зануление канонически безразмерного параметра не может привести к дополнительным ИК расходимостям диаграмм, поэтому не нужно столь изощренной техники как Вильсоновекое операторное разложение, позволяющей учитывать возникающие в диаграммах ИК расходимости при стремлении к нулю массивного параметра.

Помимо этого в модели с канонически безразмерной скоростью звука нет никаких ограничений на число Маха - оно может быть произвольным. Поэтому такая модель должна охватывать как случай малых Ма, исследованный в [13, 19], так и случай больших Ма (глава 3), так что вопрос о единственности скейлингового режима в сжимаемой жидкости, поднятый выше, сводится к вопросу о единственности неподвижной точки РГ-уравнения в этой модели.

Таким образом необходимо найти вклады в функционале действия, отбрасывание которых позволит сделать скорость звука канонически безразмерной переменной. После РГ анализа отброшенные члены можно учесть как составные операторы, дающие поправки к скейлингу. Вклады в функционале действия, удовлетворяющие поставленному требованию, легко найти: они определяются членами уравнения (0.8), содержащими вязкости 7] и г/. Но при внимательном рассмотрении оказывается, что эти вклады, хотя и являются ИК несущественными, не могут быть отброшены в нулевом приближении, так как при их отбрасывании в диаграммах теории возмущений появляются сингулярности, которые нельзя регуляризовать переопределением размерностей параметров (для них нет логарифмической теории), а значит их нельзя учесть в рамках РГ подхода. Возникает ситуация, когда необходимо удерживать в функционале действия ИК несущественные вклады наравне с ИК существенными, и в этих условиях искать ведущий вклад в ИК асимптотику корреляционных функций.

С точки зрения сложившейся к настоящему моменту методики применения РГ подхода, которую можно назвать традиционной, такая ситуация является недопустимой, так как дееспособность метода основана на существовании связи между ИК поведением корреляционных функций модели и типами УФ расходящихся в логарифмической модели диаграмм теории возмущений. Эта связь обнаруживается лишь в том случае, когда в функционале действия отброшены все ИК несущественные вклады, в противном же случае она оказывается утерянной. Для иллюстрации этого утверждения рассмотрим модель ф4 с ИК несущественной добавкой:

5 = дф)3 + \тфа + ^(Аф)2 + <ц,фА. (0.26)

Пропагатор модели (0.26) в импульсном представлении дается выражением (фф)0 — (к2 +т 4- а3&4)-1, из которого понятно, что при исследовании ведущего вклада в ИК асимптотику коррелятора фф) = {фф)0 + £ (а,к^"а^/т.таа)) надо положить о2 = 0. При этом в логарифмической модели (О — 4, сЦ = 0) расходятся квадратично двуххвостые 1-непривсщимые диаграммы и логарифмически - че-тыреххвостые. Устранение этих расходимостей сводится к ренормировке "заряда"«^ !,массы"т и поля ф\ ренормгрупповое уравнение имеет ИК устойчивую неподвижную точку о| ~ е = (4 — О) /2, и ИК поведение ренормированных объектов имеет известный в теории критических явлений вид с вычислимыми в форме е—разложений критическими размерностями. Решающим обстоятельством здесь оказывается тот факт, что как ИК поведение корреляторов так и типы расходящихся диаграмм определяются одним и тем же квадратичным по импульсу вкладом в пропагаторе (член 1/2(дф)2 в (0.26)), обеспечивая необходимую корреляцию ИК и УФ поведения. Положение дел кардинально меняется, если мы рассматриваем модель (0.26) целиком, не отбрасывая ИК несущественный вклад 1/2аъ(Аф)2. В этом случае ИК поведение по-прежнему определяется вкладом к2 в пропагаторе, но УФ поведение, а с ним и типы УФ расходящихся диаграмм, - удерживаемым теперь вкладом а3&4. При этом единственной расходящейся 1-неприводимой диаграммой в логарифмической модели оказывается "ухо"(рис,1), которое дает вклад только в ренормировку т. ИК устойчивый режим в этом случае вообще отсутствует, и РГ подход не в состоянии дать какое-либо заключение об ИК асимптотике корреляционных функций. Именно по этой причине традиционный РГ анализ начинается с отбрасывания всех ИК несущественных вкладов в функционале действия и в случае его невозможности оказывается в тупике, не

Рис. 1: "Ухо". имея сам по себе средств подхода к такой ситуации. Однако тут можно предложить простую процедуру, позволяющую преодолеть возникающую трудность и свести исходную задачу к виду, разрешимому в рамках РГ подхода. Речь идет о замене ИК несущественных вкладов сходными по структуре ИК существенными, зависящими от определенного набора параметров, так чтобы при некоторых значениях этих последних введенные ИК существенные вклады превращались в заменяемые ими ИК несущественные. Например, в случае модели (0.26) такая замена могла бы выглядеть так а2т2 ^(Д1^)2 (0.27) где произвольная степень лапласиана понимается обычным образом через преобразование Фурье. При а = 0 новый вклад ИК существенен наравне с остальными вкладами квадратичной по полю ф части действия, так что восстанавливается необходимая корреляция между ИК и УФ поведением, и РГ подход становится применим. Но мы не можем ограничиться рассмотрением случая а = 0, так как тогда мы не в состоянии вернуться после проведения РГ анализа к "физическому"значению ар = 1/2. Поэтому необходимо рассмотреть случай бесконечно малого а, в полной аналогии с тем как от исходной трехмерной ф4—теории переходят к рассмотрению б—окрестности логарифмической ф4—теории. Вклад (0.27) относим к взаимодействию. При этом получаем теорию с двумя зарядами а'3 и ал, в которой УФ расходимости диаграмм теории возмущений проявляются в виде полюсов по линейным комбинациям параметров е и а. Можно показать, что, по крайней мере в первом порядке по ал, вклады в РГ функции от всех степеней заряда а'2 суммируются, давая результат, получаемый в том случае, если формально отнести вклад (0.27) к свободной (квадратичной) части действия, переопределив тем самым пропагатор [66]. Скейлинговые размерности вычисляются в виде разложений по б и а, которые можно экстраполировать на физические значения последних. Описанная процедура дает в некоторых ситуациях эффективный способ учета ИК несущественных вкладов в функционале действия в случае невозможности их отбросить в нулевом приближении. Но не всегда.

Причина, по которой замена локальных вкладов сходными по структуре нелокальными может исказить результаты РГ анализа и привести к заведомо неправильным предсказаниям скейлинговых размерностей, кроется в том, что в моделях с локальным взаимодействием контрчлены с необходимостью также локальны; поэтому нелокальные вклады в таких моделях не ренормируютея. Вследствие этого при использовании подобных замен надо внимательно следить за тем, чтобы не произошла потеря констант ренормировки, и в случаях, когда такая потеря случается, искать способы ее возмещения.

В качестве примера, иллюстрирующего влияние нелокальных вкладов на результаты РГ анализа, рассмотрим все ту же ф4—теорию

4 -9 s = У2ф{-А)1~аф - ^а"3фАф 4- <цфА (0.28) j но с добавочными дальнодействующими корреляциями, описываемыми нелокальным вкладом в (0.28). При а'2 — 0 это обычная безмассовая ф4—теория, для которой можно в рамках РГ подхода вычислить критические индексы в виде е—разложения. Можно было бы ожидать, что, рассмотрев (0.28) при а'2' = 0, мы получим при а -» 0 эквивалентное описание. Действительно, при а'2' = 0 можно для любой заданной размерности пространства D добиться логарифмичноети модели (0.28) выбором а : ai = 1 — D/4. После этого обычным образом рассмотрев ренормировку модели в малой а'—окрестности (а' = 1 — Ц/4 — а = оц — а) логарифмической точки (введя в (0.28) контрчлены, устраняющие полюса по Ы в корреляционных функциях) и найдя решение ренормгрупповых уравнений для ренормированных объектов в виде а'-разложений, мы можем продолжить найденные ряды до физического значения а'р = 1 — Ц/4. Но ожидания не оправдываются, так как от—разложение дает для критического индекса т) нулевое значение точно во всех порядках теории возмущений. Происходит это из-за отсутствия ренормировки нелокального вклада в (0.28), которое ведет к тривиальной (тождественной) перенормировке поля ф: фц = ф. Таким образом модель (0.28) при а'2' = 0 дает для индекса т? значение, принципиально отличающееся от экспериментально наблюдаемого и не может по этой причине быть использована в теории критического поведения в качестве альтернативы для обычной локальной теории. В [66] путем построения двойного (по е и Ы) разложения показано, что в модели (0.28) при а — г} происходит кроссовер - переход от скейлин-гового режима локальной теории (а'2 — 0) к скейлинговому режиму нелокальной ¡^—теории (а!}' = 0). Тем самым установлено, что а'—разложение дает правильные результаты лишь для Ы < 1 — -0/4 — г) и при физическом значении Ы — неприменимо. Таким образом замена локального вклада в действии на нелокальный может привести к качественно иному скейлинговому режиму, осуществляющемуся в модели.

Возвращаясь к главной теме данной диссертации - РГ анализу модели турбулентности сжимаемой жидкости, мы можем сказать, что со всеми проиллюстрированными выше проблемами нам пришлось иметь дело в нашем исследовании. Как уже было констатировано, мы пришли к необходимости удерживать при ренормировке ИК несущественные вязкие вклады наравне с ИК существенными. Чтобы установить отсутствующую в этом случае корреляцию ИК и УФ проблем мы заменили ИК несущественные локальные вклады сходными по структуре ИК существенными нелокальными. При этом была "утеряна"часть констант ренормировки в полной аналогии со случаем а% = 0 в модели (0.28). Поэтому модифицированная модель должна была давать заведомо неверные результаты при физических значениях параметров разложения. Чтобы компенсировать потерянную информацию мы разработали метод, основанный на вычислении констант ренормировки некоторого семейства составных операторов, которое производится одновременно с ренормировкой основного действия. При этом структура семейства составных операторов, ренормировку которых необходимо рассматривать для правильного восстановления утерянных констант ренормировки однозначно определяется по виду основного действия.

В главе 1 рассматривается обобщенная модель развитой турбулентности несжимаемой жидкости, отличие которой от обычной модели заключается в присутствии дополнительного нелокального вязкого вклада. На примере этой сравнительно простой модели демонстрируется суть разработанного метода позволяющего построить новое регулярное разложение, в рамках которого удается установить зависимость ре-нормгрупповых представлений корреляционных функций модели от степени Л функции накачки (0.7). Показано, что при Л < (В — 1)/2 получаются те же скейлинговые размерности полей и параметров, что и в рамках традиционного подхода. Попутно устанавливается, что модель несжимаемой жидкости устойчива по отношению к введению малой в определенном смысле нелокальной вязкости, то есть в ней сохраняется скейлинг с колмогоровскими размерностями и остается верным представление (0.2) для спектра энергии, Глава написана на основе работы [31].

В главе 2 к рассмотрению предлагается ренормируемая модель турбулентности сжимаемой жидкости, имеющая такое же ИК поведение, что и исходная. Проводится обобщение метода, примененного в главе 1, на основе которого строится двухпа-раметрическое (по (с, а)) РГ разложение корреляционных функций предложенной модели при произвольных числах Маха. Численно исследуется система уравнений для нахождения неподвижной точки РГ уравнений, устанавливается существование единственного скейлингового режима. Для точно вычислимых (в виде конечных отрезков рядов) размерностей поля скорости и временной переменной получены кол-могоровские значения

Д, = -1/3, \ = -2/3. (0.29)

Для неточно вычисляемых размерностей скорости звука и паля плотности получены оценки (в однопетлевом приближении)

-0.37 < Дс < -0.33, 0.0035 < Ар < 0.23. (0.30)

На основании анализа диаграмм делается вывод о конечности корреляционных функций в пределе с -> 0 на линии е = —За. Существование построенного режима позволяет утверждать независимость скейлингового поведения турбулентной сжимаемой жидкости от числа Маха. Глава написана на основе работы [32].

В главе 3 ренормируемая модель турбулентности исследуется в рамках другого РГ разложения, описывающего случай больших чисел Маха. Показывается существование единственного в физической области параметров скейлингового режима с колмогоровскими значениями (0.29) размерностей поля скорости и временной переменной и неколмогоровскими (в однопетлевом приближении) значениями размерностей скорости звука и поля давления

А = -2/3, Ар = -4/3. (0.31)

Доказывается существование конечного предела у скейлинговых функций при с —> 0. Это означает, что в вильсоновском разложении корреляционных функций типа (0.23) сингулярные при с —» 0 вклады можно просуммировать, получив в результате конечные в этом пределе выражения. Показывается, что построенное разложение на самом деле справедливо при произвольных числах Маха. Глава написана на основе работы [15].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Удалов, Андрей Анатольевич

4 Заключение.

1. Исследована модель развитой турбулентности несжимаемой жидкости с нелокальным вязким вкладом. Предложен метод, позволяющий в рамках РГ подхода учитывать взаимодействие ИК существенных нелокальных вкладов с ИК несущественными локальными. На его основе построено двойное регулярное разложение РГ функций, в рамках которого показано, что и в такой модели имеет место колмо-горовский скейлинг в некоторой области изменения степени нелокальности вязкости.

2. Сформулирована мультипликативно ренормируемая модель развитой турбулентности сжимаемой жидкости, имеющая такое же ИК поведение, что и исходная. На основе обобщения метода, описанного в п.1, построено двухпараметрическое разложение РГ функций. С его помощью установлена конечность екейлинговых функций в пределе малой скорости звука (с 0).

3. Основываясь на результатах, даваемых двухпараметрическим РГ разложением, проведено РГ исследование модели развитой турбулентности сжимаемой жидкости при произвольных числах Маха. Получены колмогоровские размерности для поля скорости и временной переменной. Вычислены в однопетлевом приближении скей-линговые размерности скорости звука и поля плотности. Полученные результаты отличаются от колмогоровских предсказаний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Удалов, Андрей Анатольевич, 1999 год

1. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н. // УФН 166, N12, с.1257 (1996)

2. Л.Ц.Аджемян, Н.В.Антонов, А.Н.Васильев // ЖЭТФ 95, е.1272 (1989).

3. Л.Ц.Аджемян, Н.В.Антонов, Т.Л.Ким // ТМФ 100, с.382 (1994).

4. Л.Ц.Аджемян, С.В.Бориеенок, М.Ю.Налимов // ТМФ 106, N 3, с. 416 (1996).

5. Л.Ц.Аджемян, А.Н.Васильев, Ю.М.Письмак // ТМФ 57, с.268 (1983).

6. Л.Ц.Аджемян, А.Н.Васильев, М.Гнатич // ТМФ 74, с.180 (1988).

7. Л.Ц.Аджемян, А.Н.Васильев, М.Гнатич // ТМФ 58, N 1, с. 72, (1984).

8. Л.Ц.Аджемян, А.Н.Васильев, М.Гнатич // ТМФ 64, N 2, с. 196, (1985).

9. Л.Ц.Аджемян, Д.Ю.Волченков, М.Ю.Налимов // ТМФ 107, N 1, с. 142, (1996). 10] Л.Ц.Аджемян, Т.Л.Ким // Вестник СПбГУ, Сер.4, вып. 3 (N 18), с. 71, (1992). [И] Л.Ц.Аджемян, М.Ю.Налимов // ТМФ 91, N 2, с. 294, (1992).

10. Л.Ц.Аджемян, М.Ю.Налимов // ТМФ 96, N 1, с. 150, (1993).

11. Л.Ц.Аджемян, М.Ю.Налимов, М.М.Степанова // ТМФ 104, е.260 (1996).

12. Антонов Н.В // ЖЭТФ 105, с.614 (1994).

13. Н.В.Антонов, М.Ю.Налимов, А.А.Удалов // ТМФ, 110, с.385 (1997).

14. В.И.Белиничер, В.С.Львов // ЖЭТФ, 93, с.533 (1987).

15. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков, Введение в теорию квантованных полей, М.: Наука (1976).

16. В.Ф.Борин, А.Н.Васильев, М.Ю.Налимов // ТМФ 91, N 1, с. 168, (1992).

17. Д.Ю.Волченков, М.Ю.Налимов // ТМФ 106, с.375 (1996).

18. М.Гнатич // ТМФ 83, N 3, с. 374, (1990).

19. О.И.Завьялов Перенормированные диаграммы Фейнмана, М.: Наука (1979).

20. Б.Б.Кадомцев, В.И.Петвиашвили // ДАН СССР, 208, е.794 (1793).

21. А.Н.Колмогоров // ДАН СССР 30, N 4, с. 299, (1941).

22. А.Н.Колмогоров // ДАН СССР 32, N 1, с. 19, (1941).

23. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц Гидродинамика, Наука, Москва (1986).

24. Л.Н.Липатов // ЖЭТФ 72, вып. 2, с. 411, (1977).

25. B.C.Львов, А.В.Михайлов // Препринт N54, Новосибирск: ИАиЭ (1977).

26. Ма Ш. // Современная теория критических явлений , М.: Мир, 1980.

27. А.С.Монин, А.М.Яглом, Статистическая гидромеханика, т. 1,2, Наука, Москва (1967).

28. Налимов М.Ю. // ТМФ, 68, е.210, (1986).

29. М.Ю.Налимов, А.А.Удалов // Вестник СПбГУ, сер.4, вып.4 (N.25), с.ЗЗ (1996).

30. М.Ю.Налимов, А.А.Удалов // Вестник СПбГУ, сер.4, вып.4 (N.25), е.81 (1998).

31. К.А.Наугольных, С.А.Рыбак // ЖЭТФ, 68, е.78 (1975).

32. А.М.Обухов // ДАН СССР 32, N 1, с. 22, (1941).

33. А.М.Обухов // Изв. АН СССР. Геогр. и геофиз. 5, N 4-5, с. 453, (1941).

34. А.З.Паташинский, В.Л.Покровский // Флуктуационная теория фазовых переходов , М.: Наука, 1982.

35. А.И.Соколов // ЖЭТФ 77, N 4, с. 1598, (1979).

36. Э.В.Теодорович // Прикладная математика и механика, 52, N 2, с. 218, (1988).

37. Э.В.Теодорович // ЖЭТФ 102, е.863 (1992).

38. А.М.Яглом // Изв. АН СССР. Физ. атмосферы и океана. 17, с. 1235, (1981).

39. F. Anseimet, Y.Gagne, E.Hopfmger, R.А.Antonia // J.Fluid Mech, 140, p. 63, (1984).

40. R.A.Antonia, E.J.Hopfmger, Y.Gagne, F.Anselmet // Phys. Rev. A 30, p. 2704, (1984).

41. R.Baush, H.K.Janssen, H.Wagner // Z.Phys. B.24, S.113 (1976).

42. J.Collins Renormalizaiion Cambridge University Press, Cambridge (1985).

43. G.Comte Beilot, S.Corrsin, // J. Fluid Mech. 25, p. 657, (1966).

44. G.Comte-Bellot, S.Corrsin // J. Fluids Mech. 48, p. 273, (1971).

45. W.P.Dannevik, V.Yakhot, S.A.Orszag // Phys. Fluids 30, p. 2021, (1987).

46. C.De Dominicis // J.Phys.Suppl. C1 37, p.247 (1976).

47. C.De Dominicis and P.C.Martin // Phys.Rev. A 19, p.419 (1979).

48. S.N.Dorogovtsev // J. Phys. A 17, p. L677, (1984).

49. G.L.Eyink // Phys. Fluids 6 (9), p. 3063, (1994).

50. Fournier J.D., Sulem P.L., Pouquet A. J. Phys. Ä; Math. Gen., 1982, v. 15, p. 1393.

51. D.Forster, D.R.Nelson, M.J.Stephen // Phys.Rev. A 16, p.732 (1977).

52. J.-D.Fournier, U.Frish //Phys.Rev. A 28, p.100 (1983).

53. W.K.George // Phys. Fluids. A 4, p. 1492, (1992).

54. Zh.S.Gevorkian, Yu.E.Lozovik // J. Phys. A: Math. Gen. 20, p. L659, (1987).

55. M.Hnatich, D.Horvath, M.Stehlik // Proceedings Energy Transfer in MHD Flows., Aussois, France, p. 541, (1994).

56. P.G.Hohenberg, B.LHalperin // Rev. Mod. Phys. 49, p. 455, (1977).

57. J.Honkonen, E.Karjalainen // J. Phys. A: Math. Gen. 21, p. 4217, (1988).

58. H.K.Janssen // Z.Phys. B.23, S.377 (1976).

59. E.H.Kraiehnan // J. of Fluid Mech. 5, p. 497, (1959).

60. Kuznetsov E.A., L'vov V.S. // On developed hydrodynamic turbulence spectre, Preprint N129 (Novosibirsk, 1980).

61. A.L.Lawis, F.W.Adams // Phys. Rev. B 18, p. 5099, (1978).

62. J.L.Lumley et. al. Prediction methods for turbulent flows, Hemisphere publ. corp. (1980).

63. Ma S. // Phys Rev A 10, p. 1818, (1974).

64. J.Honkonen and M.Yu.Nalimov // J.Phys. A: Math. Gen 22, p.751 (1989).

65. J.Honkonen and M.Yu.Nalimov // Z.Phys. B 99, p.297 (1996).

66. P.C.Martin, E.D.Siggia, and H.A.Rose // Phys.Rev.A 8, p.423 (1973).

67. D.Ronis // Phys. Rev. A 36, p. 3322, (1987).

68. R.Rubinstein, J.M.Barton // Phys. Fluids. 30, p. 2987, (1987).

69. J.Sak // Phys Rev B 8, p. 281, (1973).

70. I.Staroselsky, V.Yakhot, S.Kida, S.A.Orszag // Phys.Rev.Lett. 65, p.171 (1990)

71. A.Weinrib , B.LHalperin // Phys. Rev. B 27, p. 413, (1983).

72. K.G.Wilson // Phys. Rev. B 4, pp. 3174, 3183, (1971).

73. K.G.Wilson // Phys. Rev. Lett. 28, p. 548, (1972).

74. K.G/Wilson // Phys. Rev. D 7, p. 2911, (1973).

75. K.G.Wilson, M.E.Fisher // Phys. Rev. Lett. 28, p. 240, (1972).

76. Wilson K.G., Kogut J // Phys.Rep. 12c, p.75 (1974).

77. S.L.Woodruff// Phys. Fluids. 6, P. 3051, (1994).

78. Wyld H.W. // Ann.Phys., 14, p.143 (1961).

79. V.Yakhot // Phys.Rev. A 23, p.1486 (1981).

80. V.Yakhot, S.A.Orszag // Phys.Rev.Lett. 57, p.1722 (1986) // J.Sci.Comput. 1, p.3 (1986).

81. V.Yakhot, L.M.Smith // J.Sci.Comput. 7, p.35 (1992); L.M.Smith, W.C.Reynolds // Phys.Fluids A4, N2, p.364 (1992).