Исследование статистических моделей турбулентности и турбулентного переноса ренормгрупповыми методами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Гольдин, Павел Борисович

• Гольдин, Павел Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гольдин, Павел Борисович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА В ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ:

ТРЕХПЕТЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПРИ d со.

1.1. Стохастическое уравнение Навье-Стокса.

Выбор коррелятора случайной силы

1.2. Ренормировка и уравнения РГ.

1.3. Вычисление констант ренормировки и РГ-функций в трехпетлевом приближении.

1.4. Парная корреляционная функция: двухпетлевое приближение.

1.5. Расчет константы Колмогорова.

Глава 2. АНОМАЛЬНЫЙ СКЕЙЛИНГ

В МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО

ПЕРЕНОСА.

2.1. Описание модели.

2.2. Квантово-полевая формулировка.

Точные уравнения для парного коррелятора.

2.3. Аномальные показатели для парного коррелятора: точные результаты.

2.4. Иерархия аномальных показателей и влияние сжимаемости.

2.5. Уравнения РГ.

2.6. Парная корреляционная функция.

Операторное разложение.

2.7. Вычисление аномальных размерностей

J7(<) операторов г в однопетлевом приближении.

2.8. Точные аномальные размерности ^/fe) и константы ренормировки 1.

Глава 3. АНОМАЛЬНЫЙ СКЕЙЛИНГ В МОДЕЛИ

ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕНОСА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ:

ВЫСШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ.

3.1. Описание модели.

3.2. Ренормгруппа, операторное разложение и аномальный скейлинг.

3.3. Размерности операторов при " ~.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование статистических моделей турбулентности и турбулентного переноса ренормгрупповыми методами»

Теоретическое описание развитой гидродинамической турбулентности часто называют последней нерешенной проблемой классической физики [38]. Одной из конкретных задач является обоснование в рамках микроскопической динамической модели явления аномального скейлинга для корреляционных функций поля скорости и вычисление соответствующих аномальных показателей в форме последовательной теории возмущений, подобной изветстным s- или 1/TV-разложениям критических индексов в теории критических явлений; см. например [54, 11].

Первая встречаемая здесь трудность состоит в том, что обычная теория возмущений - разложение по нелинейности для стохастического уравнения Навье-Стокса - является фактически разложением по числу Рейнольдса, т.е. параметру, стремящемуся к бесконечности для развитой турбулентности. Возникает необходимость каким-либо образом перестроить (пересуммировать) ряды обычной теории возмущений. Подобная проблема известна и в теории критического поведения, где она решается с помощью метода ренормализационной группы (РГ), что приводит к представлению критических индексов в виде рядов по параметру s = A-d- отклонению размерности пространства d от верхней критической размерности d=4, выше которой критическое поведение тривиализуется. Альтернативный подход основан на использовании уравнений самосогласования со скелетными диаграммами (бутстрап) и приводит к 1/TV-разложениям, где N - число компонент параметра порядка. Однако, применение этих методов к развитой турбулентности не привело до сих пор к окончательному решению проблемы аномального скейлинга.

Важное отличие состоит в том, что для турбулентности (а точнее говоря, для стохастического уравнения Навье-Стокса) не существует верхней критической размерности, и параметр разложения е в теоретикополевом РГ-подходе имеет совершенно иной физический смысл. Именно, корреляционная функция случайной силы, моделирующей "накачку" энергии в систему от внешнего источника, выбирается в степенном виде [34]: >«.* , (1.1) где к - волновое число. Подробное обсуждение этого выбора можно найти в [3, 11, 26]. Физическое значение в = 2 отвечает накачке вихрями бесконечно большого размера: (ff )°о S{k^). При этом размерность пространства d остается свободным параметром и может изменяться независимо от s . Общей чертой с моделями критического поведения является то, что предел ^->0 соответствует логарифмической (точно ренормируемой) теоретико-полевой модели, а ультрафиолетовые (УФ-) расходимости проявляются как полюса по в в диаграммах теории возмущений. По этой причине, мы используем тот же символ в и для стохастического уравнения Навье-Стокса; в литературе он иногда обозначается как в = у/2 [34].

Результаты РГ-подхода к модели (1.1) внутренне непротиворечивы и надежны при асимптотически малых с, тогда как возможность их экстраполяции к физическому (не малому) значению в - 2 далеко не очевидна. Разумеется, физическое значение в = 4 - d = 1 в теории критических явлений также отнюдь не мало. Но там нет конкретных оснований ожидать появления каких-либо качественных изменений в поведении системы при увеличении в из области малых значений £«1 к реальным конечным в~ 1, так что возможность такой экстраполяции обычно не подвергается сомнению.

Для стохастического уравнения Навье-Стокса с накачкой (1.1) ситуация заведомо более сложная. Новые качественные эффекты возникают с ростом с, и они легко могут быть потеряны, если s-разложение используется некритично или неосторожно. Один из них, возникающий при с >3/2, связан с известным явлением переноса турбулентных вихрей как целого вихрями существенно больших размеров. Это приводит к сильной зависимости корреляционных функций скорости от внешнего (интегрального) масштаба турбулентности L, исчезающей лишь в галилеево-инвариантных величинах (например, в одновременных структурных функциях). Другой ожидаемый эффект - переход (кроссовер) при некотором (пока неизвестном) значении г. от колмогоровского скейлинга (теории "К41") к т.н. аномальному скейлингу (мультискейлингу) - сингулярной зависимости галилеево-инвариантных корреляционных функций от масштаба L, характеризующейся бесконечным набором независимых показателей; см. например [38].

Подобные эффекты в РГ-подходе могут быть связаны с возникновением в соответствующих операторных разложениях т.н. опасных составных полей ("составных операторов" в квантово-полевой терминологии), имеющих отрицательные критические размерности [4]. В модели (1.1) таковыми оказываются все операторы вида о", степени поля скорости о, при £>3/2. Суммирование их вкладов в операторных разложениях, выполненное в [4], позволяет выйти за рамки простого s-разложения и дать адекватное описание вышеупомянутых эффектов переноса и связанных с ними сингулярностей при L-»oo; см. также [3, 26]. Чго касается аномального скейлинга в структурных функциях, то он, по-видимому, должен быть связан с существованием в модели (1.1) галилеево-инвариантных опасных операторов. Эта идея была успешно реализована в популярной модели Обухова-Крейкнана, описывающей турбулентное перемешивание пассивного скалярного поля (температуры, концентрации примеси и т.п.) "синтетическим" гауссовым полем скорости с заданным коррелятором вида ос S{t -/')/kd+r; см. обзор [35] и цитированную там литературу. Первоначально аномальные индексы в ней были вычислены в порядках 0(\/d) [33] и О (а- ) [31] в рамках т.н. метода нулевых мод (который можно рассматривать как некоторую разновидность метода уравнений самосогласования). В РГ-подходе к модели Обухова-Крейкнана, развитом в работе [25], аномальные показатели были отождествлены с размерностями опасных галилеево-инвариантных операторов, именно, степеней локальной скорости диссипации скалярных флуктуаций. Это позволило построить для них систематическое разложение по показателю s и выполнить практические вычисления в порядках s 2 [25] и s 3 [21]. Обсуждение РГ-подхода к проблеме аномального скейлинга в моделях турбулентного перемешивания и подробную библиографию можно найти в [28].

Однако, реализовать подобную программу для стохастической модели с накачкой (1.1) пока оказалось невозможным. Дело в том, что в отличие от модели Обухова-Крейкнана, критические размерности всех галилеево-инвариантных составных операторов при малых с в ней строго положительны. Если некоторые из них и становятся отрицательными при некоторых конечных значениях е ~ 1, этот факт нельзя надежно установить в рамках s -разложения, так как известны лишь один-два члена ряда пог и лишь для немногих операторов (несколько размерностей известно точно, но все они при s < 2 остаются положительными[7]). Подробное обсуждение этих вопросов и ссылки можно найти в [3, 11, 26]. Таким образом, возникает потребность в альтернативной (к s -разложению) теории возмущений. Предпринимавшиеся попытки ввести N "реплик'" поля скорости и построить 1 /N -разложение (см. например [46]) несовметимы с галилеевой инвариантностью и не могут быть признаны уд о в л етворител ьн ыми.

Гораздо более многообещающей представляется идея построения теории возмущений по 1UI, обратной размерности пространства, высказанная в различном контексте и в разной форме в ряде работ: [24, 36, 37, 42, 48, 51]. Ожидается [36], что в пределе с/-»оо задача упростится и, возможно, окажется точно решаемой (например, аномальный скейлинг исчезнет и теория К41 станет справедливой), так что ее можно будет использовать как нулевое приближение систематической теории возмущений с малым параметром 1 Id (добавим, что для реальной трехмерной турбулентности он действительно мал: Мd - 1/3 ).

Аргументы в пользу исчезновения аномального скейлинга при d = оо, основанные на некотором замыкании уравнений для корреляционных функций, были приведены в работе [51]. Ранее это было обнаружено для упоминавшейся выше модели Обухова-Крейкнана [42], причем в ней удается найти и аномальные показатели в порядке 0{VId) [33] (хотя построить систематическое разложение по 1 Id или хотя бы выполнить вычисление аномальных показателей в порядке о{[/ d2) пока не удалось).

Приводились, однако, и аргументы в пользу сохранения нетривиального скейлинга для развитой турбулентности в пределе бесконечного числа измерений [37]. Выполненный в [36] анализ диаграмм нестационарной теории возмущений для стохастического уравнения Навье-Стокса, как и ренормированной стационарной теории возмущений с одетыми линиями, не обнаружил каких-либо диаграмм или классов диаграмм, которые исчезали бы при оо. Не было найдено и каких-либо радикальных упрощений в самих диаграммах, которые позволили бы получить явное общее выражение для их суммы, как это удается сделать для ф(л)-симметричной модели критического поведения, где предел Л/" —> оо описывается в замкнутом виде точно-решаемой сферической моделью [54].

Ключевая идея данной работы - совмещение асимптотики d -»оо для модели (1.1) с аппаратом РГ и s -разложением. Ранее было замечено [24, 48], что переход к пределу больших d приводит к значительным упрощениям в ренормгрупповых вычислениях. Так, в очень важной работе [48] скейлинговые размерности всех составных операторов - степеней скорости локальной диссипации энергии - были вычислены в модели (1.1) в первом порядке по г. . Для конечных d эта задача оказывается чрезвычайно сложной из-за смешивания операторов при ренормировке, так что она не была полностью решена даже для простейшего случая квадрата оператора диссипации [7]. Найденные в [48] размерности положительны при с<2, монотонно убывают с ростом е и обращаются в нуль при физическом значении s~2, в согласии с аргументами работ [36, 51] о справедливости теории К41 для d = со. Поэтому вполне возможно, что поправки порядка к результату [48] окажутся отрицательными (степени скорости диссипации окажутся опасными операторами), так что аномальный скейлинг в модели (1.1) будет корректно обоснован в рамках двойного разложения по s и М d. (Напомним, что именно степени скорости диссипации ответственны за аномальный скейлинг в модели Обухова-Крейкнана [21, 25, 28]. Для векторного аналога модели Обухова-Крейкнана, где вычисления аномальных показателей оказываются весьма громоздкими уже в порядке 0(е) из-за смешивания составных операторов, дополнительное разложение по 1UI также приводит к существенным упрощениям [24].

В первой главе данной работе мы систематически исследуем предел больших d для стохастического уравнения Навье-Стокса в рамках РГ-подхода. Хотя нам и не удалось найти точное решение задачи при d = оо или построить аналог сферической модели, мы обнаружили радикальные упрощения в диаграммах функции Грина (функции отклика), что позволило вычислить основные ингредиенты РГ-теории - константу ренормировки, Р -функцию, координату неподвижной точки и ультрафиолетовый поправочный индекс - в третьем порядке s -разложения , (трехпетлевое приближение). Полученные результаты позволяют предложить гипотетические точные (т.е. без разложения по е ) выражения для этих величин. Мы полагаем, что эти результаты окажутся полезными в последующих попытках построения 1/ d -разложения для развитой гидродинамической турбулентности.

Во второй главе рассмотрены два стохастических уравнения, описывающие турбулентный перенос пассивного скалярного поля и обобщающие известную модель Обухова-Крейчнана на случай присутствия сжимаемости и крупномасштабной анизотропии. Парная корреляционная функция поля характеризуется в этом случае бесконечным набором показателей, которые ранее были найдены точно с помощью метода нулевых мод. В квантово-полевой формулировке эти показатели отождествляются с критическими размерностями бесконечного семейства тензорных составных операторов, а по ним найти соответствующие константы ренормировки.

В третьей главе рассматривается проблема аномального скейлинга для пассивного векторного поля, при этом турбулентная среда моделируется ансамблем Обухова-Крейчнана. С точки зрения физики, ее можно рассматривать как некоторую приближенную линеаризацию стохастического уравнения Навье-Стокса. Для векторного поля операторов одинаковой размерности и симметрии можно построить много, они смешиваются при ренормировке, так что асимптотика структурных функций определяется не индивидуальными операторами, а целыми семействами операторов. Ренормировка семейств составных операторов и вычисление соответствующих матриц критических размерностей — достаточно трудоемкая задача.

Модель пассивного векторного поля представляет особый интерес: в ней также присутствует проблема смешивания операторов, но теперь это не является непреодолимым препятствием: ведущие аномальные показатели определяются критическими размерностями операторов определенного типа, именно, (дв)2" (со всевозможными вариантами сверток по векторным индексам), причем операторы с данным значением п образуют семейства, ренормировку которых можно рассматривать независимо.

Мы рассмотрим проблему аномального скейлинга в модели пассивного векторного поля при dоо. Как и в случае скалярной модели Обухова—Крейчнан а, аномальные показатели при больших d убывают как 0(]/d), так что аномальный скейлинг при d = оо исчезает. При этом для нахождения всех отрицательных размерностей оказывается достаточным рассматривать некоторое подсемейство полного семейства (дв)2", а соответствующая матрица критических размерностей может быть построена с помощью определенного алгоритма. Это позволило явно найти все о грицательные критические размерности в семействах до п- 28 включительно в порядке 0(s); они определяют ведущие и поправочные аномальные показатели для структурных функций вплоть до <S28.

При больших п прямые вычисления становятся слишком трудоемкими, но в них и нет необходимости: полученные результаты позволяют предложить простые явные эмпирические выражения для ведущих и поправочных аномальных показателей, которые становятся практически точными для больших п. Таким образом, при d —> оо удается получить полное описание аномального скейлинга при всех п.

По теме диссертации опубликовано четыре статьи в реферируемых журналах:

1. Антонов Н.В., Гольдин П.Б., Точные аномальные размерности составных операторов в модели Обухова-Крейчнана. Теор. матем. физ. Т. 141. №3. с. 455-468 (2004).

2. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Gol'din P.B., Kim T.L., Kompaniets M.V., Renormalization group in the infinite-dimensional turbulence: Third-order results. J. Phys. A: Math. Theor. Vol. 41. P. 495002. 25 p. (2008).

3. Аджемян Л.Ц., Антонов H.B., Гольдин П.Б., Ким Т.Л., Компаниец М.В., Ренормализационная группа в теории турбулентности: Трехпетлевое приближение при d-> оо. Теор. мат. физ. Т. 158. № 3. с. 460 - 477 (2009).

4. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Гольдин П.Б., Компаниец М.В., Аномальный скейлинг в модели турбулентного переноса векторного поля: Высшие структурные функции. Вестник СПбУ. Сер. 4. Физика, Химия. Вып. 1. с. 56 - 67 (2009).

Рисунки собраны в приложении и пронумерованы подряд.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Гольдин, Павел Борисович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ключевая новая идея данной работы - совмещение асимптотики d -»со с теоретико-полевым аппаратом ренормгруппы и ^-разложением. Это позволило получить следующие новые результаты:

1. Стохастическое уравнение Навье-Стокса с коррелятором случайной силы вида k*~d~2e в пространстве d измерений исследовано с помощью метода ренормализационной группы в связи с проблемой построения разложения по Мd и выхода за рамки стандартного е -разложения в теории развитой гидродинамической турбулентности. Показано, что число диаграмм теории возмущений для функции Грина в пределе больших d резко сокращается и разработана техника их аналитического вычисления. Практический расчет основных ингредиентов ренормгруппового подхода ~ константы ренормировки, /?-функции, координаты неподвижной точки и . ультрафиолетового поправочного индекса со - впервые выполнен в порядке с3 (трехпетлевое приближение). На основе полученных результатов предложены гипотетические точные (т.е. вне рамок е -разложения) выражения для неподвижной точки и индекса со.

2. Парная корреляционная функция поля скорости для стохастического уравнения Навье-Стокса в пределе больших d впервые вычислена в третьем порядке разложения по s (двухпетлевое приближение). Вместе с полученными в п.1 результатами это позволило вычислить в в третьем порядке s -разложения константу Колмогорова Ск в спектре энергии турбулентности, и фактор асимметрии в асимптотике инерционного интервала.

3. Для двух моделей турбулентного переноса пассивного скалярного поля, обобщающих модель Обухова-Крейчнана на случай присутствия сжимаемости и крупномасштабной анизотропии, в главном порядке е-разложения вычислен бесконечный набор аномальных показателей, характеризущий поведение парной корреляционной функции в анизотропных секторах. В теоретико-полевой формулировке эти показатели отождествляются с критическими размерностями бесконечного семейства тензорных составных операторов, квадратичных по полю скорости. Сравнение с точными ответами, полученными с помощью метода нулевых мод, позволило получить точные выражения для этих размерностей и соответствующих констант ренормировки.

4. Исследована модель турбулентного переноса пассивного поперечного векторного поля, в которой скорость турбулентной среды моделировалась статистическим ансамблем Обухова-Крейчнана. Показано, что аномальный скейлинг возникает как следствие существования в модели составных полей (операторов) с отрицательными критическим размерностями, причем ведущие члены асимптотик структурных функций определяются собственными числами матриц критических размерностей семейств таких операторов специального вида. При d -»со соответствующие матрицы критических размерностей могут быть найдены с помощью относительно простого алгоритма, что позволило вычислить их в главном порядке s -разложения для структурных функций до порядка п = 28 включительно. Для высших структурных функций предложены явные эмпирические формулы, становящиеся практически точными с ростом п. Таким образом, дано полное описание аномального скейлинга для модели при всех п.

Полученные в диссертации результаты должны стимулировать дальнейшие попытки нахождения точных решений в моделях развитой турбулентности в пределе большого числа измерений и построения систематического разложения. . Разработанные методы вычисления многопетлевых диаграмм могут быть использованы в других моделях турбулентности и турбулентного переноса, например в модели Бюргерса. Полученное представление для асимптотик структурных функций в виде суперпозиции большого числа степенных вкладов с близкими показателями должно учитываться при теоретическом описании экспериментальных данных.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гольдин, Павел Борисович, 2009 год

1. Аджемян JT. Ц., Антонов Н. В. // Ренормализацнонная группа в теории турбулентности: Точно-решаемая модель Гейзенберга. 1998. Т. 115. С. 245-262.

2. Аджемян JI. Ц., Антонов Н. В. // Теор. матем. физика. 1998. Т. 115. С.245.

3. Аджемян JI. Ц., Антонов Н. В., Васильев А. Н. Квантово-полевая ренормализацнонная группа в теории развитой турбулентности. // Успехи физ. наук. 1996. Т. 166. С. 1257-1284.

4. Аджемян JI. Ц., Антонов Н. В., Васильев А. Н. Проблема инфракрасных расходимостей и ренормгруппа в теории развитой турбулентности. //Журн. эксп. теор. физ. 1989. Т. 95, С. 1272-1288.

5. Аджемян J1. Ц., Антонов Н. В., Гольдин П. Б., Ким Т. JL, Компаниец М. В. Ренормализацнонная группа в теории турбулентности: Трехпетлевое приближение при d оо. // Теор. мат. физ. 2009. (принято к опубликованию).

6. Аджемян JI. Ц., Антонов Н. В., Гольдин П. Б., Компаниец М. В. Аномальный скейлинг в модели турбулентного переноса векторного поля: Высшие структурные функции. // Вестник СПбГУ. Сер. 4. Физика, Химия. Вып. 1. 2009. (принято к опубликованию).

7. Антонов Н. В., Борисенок С. В., Гирина В. И. Ренормализацнонная группа в теории развитой турбулентности. Составные операторы канонической размерности восемь. // Теор. мат. физ. 1996. Т. 106. С. 92101.

8. Антонов Н.В., Хонконен Ю.Р. // Вестн. Санкт-Петерб. ун-та. Сер. Физика, Химия. 2004. Вып. 1. С.00.

9. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб: Изд-во ПИЯФ, 1998. 774 с.

10. Владимиров А. А. Метод вычисления ренормгрупповых функций в схеме размерной ренормировки. // Теор. матем. физ. 1980. Т. 43. С. 21 0217.

11. Дайсон Ф., Монтролл Э., Кац М., Фишер М. Устойчивость и фазовые переходы. М., Мир, 1973.

12. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика: В 2т. Т. 2. СПб: Гидрометеоиздат, 1996. 743 с.

13. Новиков С. В. Перенос пассивной векторной примеси турбулентным потоком. // Вестник СПбУ. Сер. 4 (Физика, химия). 2002. вып. 4. С. 7781.

14. Новиков С. В. Перенос пассивной векторной примеси двумерным турбулентным потоком. // Теор. матем. физ. 2003. Т. 136. С. 52-68.

15. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М., Мир, 1973.

16. Фишер М. Природа критического состояния. М., Мир, 1968.

17. Ширков Д.В.// ДАН СССР. 1982. Т.263. С.64; Теор. матем. физика. 1984. Т.60. С.218.

18. Adzhemyan L. Ts., Antonov N.V.// Phys. Rev. 1998. Vol. E58. P.7381.

19. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Barinov V. A., Kabrits Yu. S., Vasil'ev A. N. calculation of the anomalous exponents in the rapid-change model of passive scalar advection to order s3. // Phys. Rev. 2001. Vol. E64. P. 056306-(l)-056306-(28).

20. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Gol'din P. В., Kim T. L., Kompaniets M. V. Renormalization group in the infinite-dimensional turbulence: Third-order results. // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. Vol. 41. P. 495002. 25 p.

21. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Kompaniets M. V., Vasil'ev A. N. Renormalization-group approach to the stochastic Navier-Stokes equation:

22. Two-loop approximation. // Int. J. Mod. Phys. 2003. Vol. В17. P. 21372170.

23. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Runov A. V. Anomalous scaling, nonlocality, and anisotropy in a model of the passively advected vector field. // Phys. Rev. 2001. Vol. E64. P. 046310-(l)-046310-(20).

24. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Vasil'ev A. N. Renormalization group, operator product expansion, and anomalous scaling in a model of advected passive scalar. // Phys. Rev. 1998 Vol. E 58. P. 1823-1835.

25. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Vasiliev A. N. The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence. London: Gordon & Breach, 1999. 202 p.

26. Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Vasil'ev A.N.// Phys. Rev. 1998. Vol. E58. P. 1823; Теор. матем. физика. 1999. Т. 120. C.309.

27. Antonov N. V. Renormalization group, operator product expansion and anomalous scaling in models of turbulent advection. // J. Phys. A: Math. Gen. 2006. Vol. 39. P. 7825-7865.

28. Antonov N.V., Honkonen J.// Phys. Rev. 2001. Vol. E63. P.036302.

29. Arad I., Procaccia I. Spectrum of anisotropic exponents in hydrodynamic systems with pressure. // Phys. Rev. 2001 Vol. E 63. P. 056302-(l)-056302-(19).

30. Bernard D., Gawedzki K., Kupiainen A. Anomalous scaling in the N-point functions of a passive scalar. // Phys. Rev. 1996. Vol. E54. P. 2564-2572.

31. Chertkov M., Falkovich G. Anomalous scaling exponents of a white-advected passive scalar. // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76. P. 2706-2709.

32. Chertkov M., Falkovich G., Kolokolov I., Lebedev V. Normal and anomalous scaling of the fourth-order correlation function of a randomly advected passive scalar. // Phys. Rev. 1995. Vol. E52. P. 4924-4941.

33. De Dominicis C., Martin P. C. Energy spectra of certain randomly-stirred fluids. // Phys. Rev. 1979. Vol. A19. P. 419-422.

34. Falkovich G., Gawedzki K., Vergassola M. Particles and fields in fluid turbulence. //Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. P. 913-975.

35. Fournier J.-D., Frisch U., Rose H. A. Infinite-dimensional turbulence. 11 J. Phys. A: Math. Gen. 1978. Vol. 11. P. 187-198.

36. Frisch H. L., Schultz M. Turbulence effects in the high dimensionality limit. // Physica A: Stat. Theor. Phys. 1994. Vol. 211. P. 37-42.

37. Frisch U.: Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov, Cambridge: Cambridge University Press, 1995. 296 p.

38. Frisch U., Mazzino A., Noullez A., Vergassola M. // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11. P. 2178.

39. Gawedzki K., Kupiainen A. Anomalous scaling of the passive scalar. // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75. P. 3834-3837.

40. Heisenberg W. Z. // Phys. 1948. V. 124. P.628.

41. Kraichnan R. H. Convection of a passive scalar by a quasi-uniform random straining field. // J. Fluid. Mech. 1974. Vol. 64. P. 737-762.

42. Lam S. H. On the RNG theory of turbulence. // Phys. Fluids. 1992. Vol. A 4. P. 1007-1017.

43. Lee T.D. // Phys. Rev. 1954. Vol. 95. P. 1329.

44. Mazzino A., Muratore Ginanneschi P. // Phys. Rev. 2001. Vol. E63. P.015302(R).

45. Мои C.-Yu., Weichman P. B. Multicomponent turbulence, the spherical limit, and non-Kolmogorov spectra. // Phys. Rev. 1995. Vol. E52. 37383796.

46. Novikov S. V. Anomalous scaling in two and three dimensions for a passive vectoradvection. //J. Phys. A: Math. Gen. 2006. Vol. 39. P. 8133-8140.

47. Runov A. V. On the field theoretical approach to the anomalous scaling in turbulence. // E-print LANL chao-dyn/9906026, 1999. 4 p.

48. Thirring W.// Ann. Phys. (N.Y.) 1958. Vol. 3. P.91.

49. Wilson K.G.// Phys. Rev. 1970. Vol. D2.P.1438.

50. Yakhot V. Strong turbulence in d-dimensions. // E-print LANL chao-dyn/9805027. 1998. 10 p.

51. Yakhot V., Orszag S. A. Renormalization group analysis of turbulence. // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 57. P. 1722-1724.

52. Yakhot V., Orszag S. A. Renormalization group analysis of turbulence. I. Basic theory. // J. Sci. Сотр. 1986. Vol. 1. P. 3-51.

53. Zinn-Justin J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Oxford: Clarendon, 1996. 1008 p.