Ренормгруппа в задачах стохастической динамики: Распространение звука в окрестности критической точки, анизотропная турбулентность тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Сердюков, Александр Викторович

• Сердюков, Александр Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сердюков, Александр Викторович

Содержание

Введение

1 Динамика флуктуации в окрестности критической точки

1.1 Предварительные сведения о задаче

1.2 Критическая статика перехода жидкость-газ

1.3 Принципы построения моделей критической динамики

1.4 Полная флуктуационная модель. Закон дисперсии звуковой моды

2 Поглощение и дисперсия скорости звука вблизи критической точки жидкость-газ

2.1 ^-модель критической динамики

2.2 Ренормировка функции отклика Я

2.3 Вычисление ренормированной функции отклика

Дя по теории возмущений

2.4 Уравнение ренормгруппы. РГ-представление функции отклика

2.5 Обсуждение результатов, сравнение с экспериментом

3 Низкочастотное критическое поглощение и дисперсия скорости звука

3.1 Инфракрасная теория возмущений

3.2 Т£7-операция

3.3 Низкочастотная асимптотика

3.4 Обсуждение

4 Устойчивость колмогоровского скейлинга в модели анизотропной развитой турбулентности

4.1 Стохастическая модель анизотропной турбулентности

4.2 Инфракрасно устойчивая неподвижная точка ре-нормгруппы

Заключение

Приложение

Публикации

Цитируемая литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ренормгруппа в задачах стохастической динамики: Распространение звука в окрестности критической точки, анизотропная турбулентность»

Введение.

В предлагаемой диссертации решаются две независимые физические задачи: 1) вычисляются частотная и температурная зависимости поглощения и дисперсии скорости звука вблизи критической точки жидкость-газ на изохоре выше Тс, и 2) исследуется устойчивость инфракрасного (ИК) скейлинга с кол-могоровскими размерностями в модели анизотропной развитой турбулентности. Объединяет эти проблемы использование общих методов для их решения: теоретико-полевой постановки стохастической задачи, диаграммных разложений, метода ренормализационной группы (РГ) и ^-разложения.

Для многих физически интересных моделей теории поля диаграммные разложения теории возмущений по-прежнему остаются основным инструментом для получения конкретных результатов. Построению таких разложений препятствуют расходимости возникающих интегралов при больших импульсах интегрирования, так называемые ультрафиолетовые (УФ) расходимости. Вычитание этих расходимостей с помощью регулярной процедуры перенормировки [1]—[5] приводит к построению УФ-конечной перенормированной теории. При этом возникает произвол, связанный с конечными ренормировками. В случае так называемых мультипликативно ренор-мируемых теорий этот произвол сводится к возможности конечной ренормировки полей и параметров перенормированной теории. Оказывается, что конечные ренормировки обладают групповым свойством — соответствующую группу при-

нято называть ренормализационной группой [1]. Свойство ре-норминвариантности теории может быть выражено на языке дифференциальных уравнений. Анализируя общие свойства решений этих уравнений можно построить улучшенную теорию возмущений так, чтобы обеспечить ренорминвариант-ность получаемых приближений на каждом шаге.

Для теории критических явлений, однако, ренормгруппа — это не просто некоторый метод вычислений, она имеет непосредственный физический смысл: в окрестности фазового перехода 2-го рода ренормгруппа оказывается тем законом, который определяет поведение всех величин в зависимости от параметра близости к точке перехода, роль которого может играть, например, обратная восприимчивость. Хотя ренормгруппа и решает проблему вычисления ИК-асимптотики в теории критических явлений, она, вообще говоря, не решает проблемы отсутствия малого параметра в теории возмущений по константе связи. В качестве формального малого параметра во многих случаях можно выбрать е = — с1 — параметр отклонения размерности пространства й от логарифмической размерности с/*. (Для хорошо известной </>4-модели = 4). Метод ^-разложения, предложенный К. Вильсоном [6], является наиболее широко применяемым методом вычислений в теории критических явлений в рамках метода РГ. Несмотря на очевидные трудности, связанные с тем, что физическое значение параметра е не мало, метод е-разложения обладает особой привлекательностью благодаря своей внутренней согласованности. Важным обстоятельством, выделяющим его среди других методов вычислений, основанных на использовании РГ, является то, что ^-разложения универсальных величин, таких как критические индексы или нормированные скейлинговые функции, не зависят от используемой схемы вычитания расходимостей. Это, в принципе, позволяет сравнивать ответы разных авторов, использующих различные схемы

ренормировки.

Формулировка ренормгруппы в квантовой теории поля [1] отличается от подхода Вильсона. Для метода квантово-полевой ренормгруппы характерно то, что несущественные взаимодействия, будучи отброшены при постановке задачи, больше не появляются ни на каком этапе вычислений. Это приводит к значительным упрощениям. Именно квантово-полевой подход к РГ и используется в данной диссертации. В качестве схемы ренормировки используются минимальные вычитания (схема MS, от minimum subtractions), что естественно для ^-разложения.

В теории критического поведения, а также в теории развитой турбулентности, принято исходить из системы стохастических уравнений движения для динамических переменных. Существует красивый способ перехода от стохастической задачи к теории поля с удвоенным числом полей. Этот метод, предложенный в [7], в настоящее время находит все более широкое применение. Поскольку переход от стохастической задачи к теории поля необходим для применения метода РГ в той форме, как он используется в квантовой теории поля, то соответствующие результаты будут кратко изложены ниже. Это позволит также ввести необходимые обозначения и понятия, которые используются в дальнейшем.

План диссертации — следующий. В Гл. 1 приводятся необходимые сведения о статике критической точки перехода жидкость-газ, об общей теории динамических критических явлений и, в частности, рассматриваются теории с межмодо-вой связью. В п. 1.4, следуя подходу [8], формулируется динамическая модель, описывающая поведение флуктуаций вблизи критической точки, и приводится вывод уравнения дисперсии звуковой моды. Дисперсия скорости и поглощение звука выражаются через вещественную и мнимую части некоторой функции отклика, которая может быть вычислена в рамках

Н-модели критической динамики [9], описывающей поведение сильно флуктуирующих степеней свободы: параметра порядка и поперечного поля скорости. Вычисление функции отклика проводится в Гл. 2, где также строится РГ-представление этой функции, доказывающее для нее скейлинг, вычисляется е-разложение соответствующей скейлинговой функции и проводится сравнение полученных результатов с экспериментом. Основные результаты расчетов собраны в приложении.

В рамках ^-разложения оказывается невозможным корректно описать низкочастотную асимптотику дисперсии скорости звука, так как е-разложение содержит растущие от порядка к порядку степени логарифмов частоты. Суммирование этих логарифмов, однако, не может быть выполнено в рамках метода РГ. Низкочастотная асимптотика подробно рассматривается в Гл. 3, где методом инфракрасной теории возмущений (ИКТВ) доказывается, что при и> —у 0 приведенная дисперсия скорости звука ведет себя как а//2, где с? — размерность пространства. Эта асимптотика подтверждается сравнением с экспериментальными данными.

Глава 4 целиком посвящена другой проблеме стохастической динамики — теории анизотропной развитой турбулентности. В этой главе подробно, в рамках ^-разложения, исследуется вопрос о влиянии анизотропии на устойчивость кол-могоровского скейлинга, учитываются все генерируемые нелинейностью анизотропные вязкости и показывается, что для трехмерной задачи устойчивость сохраняется.

В заключении перечисляются основные результаты диссертации. Поскольку главный предмет исследования диссертации составляет теория распространения звука в окрестности критической точки (ей посвящены три главы), то в заключении даны дополнительные ссылки на работы других авторов в этой области.

Эквивалентность стохастической задачи и теории поля с удвоенным числом полей.

Пусть <р{х) = х) — набор полей, зависящих от времени t и координат х и являющихся динамическими переменными задачи. В общем случае стохастические уравнения движения имеют вид

= !</? + У(<р) + /, (1)

где I/ — некоторая линейная операция, У(<р) — нелинейности, описывающие взаимодействие полей, / — набор случайных сил с заданным распределением. Распределение для / обычно предполагается гауссовым с нулевым средним и заданной матрицей корреляторов:

(/(*))= 0, (¡(х)/(х')) = 0^х'). (2)

Уравнение (1) рассматривается на всей оси времени I и доопределяется условием запаздывания, а также нулевым асимптотическим условием для (р при Ь ——оо. Эти условия обеспечивают существование и единственность решения уравнения (1) ф{х) = ф(х; /) для любой конкретной реализации случайной силы /. Для физических приложений представляет интерес вычисление как всевозможных корреляционных функций

(ф{х1)ф{х2)...ф{хп)), (3)

где усреднение проводится по ансамблю случайных сил, так и функций отклика на внешнюю неслучайную силу:

{5т[ф(х1)...ф(хп)]/5/(х>1)...6/(х'т)}. (4)

Стохастическая задача (1)-(2) эквивалентна некоторой кван-тово-полевой модели с удвоенным числом полей [7]. Эквивалентность понимается в смысле равенства корреляционных

функций (3), а также функций отклика (4) стохастической задачи и функций Грина соответствующей теории поля. Доказательство этого факта содержится во многих работах — [11], [13], [14], [10]. Здесь уместно привести лишь схему доказательства, опуская детали. Наиболее близкое по обозначениям изложение содержится в приложении работы [14].

Запишем производящий функционал корреляционных функций (3):

С(А) = I О(О) = 1. (5)

В (5) ] -О/ означает функциональное интегрирование по всем конфигурациям случайных сил /, а 0) = 1 — условие нормировки для меры. В показателе экспоненты в (5) используется сокращенная запись, и соответствующие интегрирования по х = всегда подразумеваются, в частности: Аф — / ¿хА(х)ф(х] /). Интеграл в (5) — гауссов и, следовательно, он хорошо определен в рамках теории возмущений [4], если матрица корреляторов случайных сил положительно определена. Используя функциональную 5-функцию 5((р — ф) — 8((р(х) — ф(х)), можем записать:

е

Аф= В<р8{<р - ф)еАГ (6)

Введем обозначения:

= (7)

Перепишем ^-функцию, входящую в (6), в виде:

6(ср -ф)= (1 еЬМ(<р)6((2(<р,/)) =<1еЬМ ^ (8)

где использовано представление 5-функции в виде функционального интеграла по вспомогательному полю <р'(х). Подставляя (8) в (6), а затем (6) в (5), учитывая явный вид <5 и

интегрируя по /, получим

G{A) = J Dip' J D<pdetM((p)e-^'Dfv'+iv'(-dtv+Lv+v('p))+A<P. (9)

В рамках теории возмущений, с учетом условия запаздывания и, доопределяя величину (—+ L)~l (которая ~ 9{t — t')) при совпадающих временах нулем, имеем [14]

det М(ср) = det (~dt + L), (10)

т.е. det М оказывается не зависящей от ср константой, которая может быть опущена в силу условия нормировки G{0) = 1. В (9) удобно совершить замену icp' <р' и добавить источник А1 для вспомогательного поля ср'. В результате получаем производящий функционал

G(A, А') = J Dip' J Dip ekvfDf^(-dtV+LV+v(v>))+AV+A'vfm

Функционал

S(<p, p') = \^Dfip' + ip'(-dtif + Lip + V(ip)). (12)

в теории поля принято называть действием. Функции Грина

SnG(A, 0)

8АГ

= <*>•■•¥>>, (13)

А=О

где (...) означает функциональное среднее с весом ехр5(<^, ср'), по построению совпадают с корреляционными функциями (3). Источник А' в (11) имеет смысл неслучайной внешней силы, поэтому функции Грина

Sn+mG(A,Af)

5Ап5А'

т

= (ip...ip<p'...ip'} (14)

А=А'=О

совпадают с функциями отклика на внешнюю силу исходной стохастической задачи (4). Замена ^ -л <р' удобна тем, что

в этом случае соответствие точное, т.е. не остается никаких

множителей типа гт.

Функционал (11) — производящий функционал так называемых полных функций Грина — стандартная конструкция квантовой теории поля, поэтому все функции Грина имеют стандартные фейнмановские диаграммные представления (см., например, [15], [5], [4], [1] и др.). Кроме полных функций Грина представляют интерес также связные функции, производящий функционал которых определяется следующим образом:

IV(А, А') = \пв(А,А'), (15)

а также 1-неприводимые функции, производящий функционал которых определяется как преобразование Лежандра функционала Ш по источникам:

Г(ф, ф') = IV(А, А1) - Аф - А'ф',

Диаграммы связных и 1-неприводимых функций Грина обладают свойством связности и 1-неприводимости соответственно.

Роль линий в диаграммах играют затравочные пропагато-ры действия (12), которые имеют вид

= <^}т = (3 - Ь)-\ (<р'(р')0 = о,

(^)о = (17)

где символ Т означает транспонирование линейной операции. Пропагатор {(р(р')о — запаздывающий, — это дополнительное условие к задаче (1)-(2); пропагатор {(р'(р)о — опережающий. Вершины теории определяются видом членов взаимодействия У(<р) в (1) (и в (12)), их характерной особенностью является наличие хвостика (р!. Следуя работе [14] удобно доопределять замкнутую запаздывающую линию нулем, при

этом с1е! М становится несущественной константой; так как {(р'(р')о = 0, то все 1-неприводимые функции Грина (<£>... <р){Гг только полей (р исчезают; исчезают также все вакуумные петли и все связные функции {(р1.. .(р')с только полей <р' [14].

Представление (11) получено в работах [11], [13] (в работе [7] не использовался функциональный интеграл), но сама диаграммная техника типа (17) была сформулирована раньше в работах [16], [17]. В теории турбулентности она носит название диаграммной техники Уайлда. [16], в теории твердого тела — Келдыша [17].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Сердюков, Александр Викторович

Основные результаты, изложенные в диссертации, нашли свое отражение в следующих работах:

1. Ким T.JL, Сердюков А.В. Квантово-полевая ренорм-группа в теории развитой турбулентности: учет анизотропии и пассивной примеси. // Теоретическая и математическая физика. 1995. Т.105. No.3. С.412-422.

2. Adzhemyan L.Ts., Vasiljev A.N., Serdukov A.V. Tow-loop RG calculation of sound attenuation and dispersion near the liquid-gas critical point. // "Renormalization Group' 96"] eds D.V. Shirkov, D.I. Kazakov, V.B. Priezzhev. — Dubna, 1997, pp. 11-17.

3. Аджемян JI.Д., Сердюков А.В. Низкочастотное поглощение и дисперсия скорости звука в окрестности критической точки жидкость-газ. // Препринт SPbU-IP-97-23. — Санкт-Петербург, СПбГУ, НИИФ, 1997.

4. Adzhemyan L.Ts., Vasiljev A.N., Serdukov A.V. Tow-loop RG calculation of sound attenuation and dispersion near the liquid-gas critical point. // Int.J.Mod.Phys. B. 1998. V.12. No 12/13. PP. 1255-1262.

5. Аджемян Л.Ц., Васильев A.H., Сердюков А.В. Поглощение и дисперсия скорости звука в окрестности критической точки жидкость-газ: Ренормгрупповой расчет в двух-петлевом приближении. // Препринт SPbU-IP-98-б. — Санкт-Петербург, СПбГУ, НИИФ, 1998.

Заключение.

Перенормируемые модели теории поля играют очень важную роль в современной физике. Наличие группы ренормировоч-ных преобразований позволяет получить ряд точных утверждений относительно поведения функций Грина таких моделей. (Примером может служить скейлинговый закон (2.2)). Вместе с тем, ренормгруппа, во всяком случае в том виде как она используется здесь (минимальные вычитания), не может дать всей информации о поведении конкретных корреляторов. Поэтому приходится использовать приближенные методы, такие как е-разложение и инфракрасную теорию возмущений. В частности, с помощью этих методов в диссертации были получены следующие новые результаты:

1. Во втором порядке ^-разложения вычислена универсальная скейлинговая функция, определяющая закон дисперсии звука в близкой окрестности критической точки перехода жидкость-газ.

Найдены температурная и частотная зависимости поглощения и дисперсии скорости звука в окрестности критической точки на изохоре выше Тс. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментом в широком диапазоне приведенных частот.

2. Методом инфракрасной теории возмущений изучена низкочастотная асимптотика дисперсии скорости звука. Показано, что на низких частотах приведенная дисперсия ведет себя как а;3/2.

3. Вычислены ^-разложения универсальных отношений амплитуд, определяющих низко- и высокочастотные асимптотики поглощения и дисперсии скорости звука в критической области.

4. В рамках стохастической модели анизотропной развитой турбулентности в предположении о малости анизотропных поправок доказана устойчивость колмогоровского скей-линга для размерности пространства с/ = 3. Показано, что для (1 < 2.68 происходит потеря устойчивости.

Большая часть диссертации была посвящена изучению распространения звука в окрестности критической точки жидкость-газ. В последнее десятилетие теория аномального поглощения и дисперсии звука вблизи фазовых переходов второго рода развивалась достаточно интенсивно, поэтому для полноты картины будет уместно дать ссылки хотя бы на некоторые работы, имеющие отношения к этой проблеме. Прежде всего следует отметить тот факт, что двухкомпонентные смеси вблизи критической точки растворения принадлежат к тому же классу универсальности, что и критическая точка перехода жидкость-газ, и критическое поведение таких систем может быть описано в рамках модели Н. Динамические уравнения для смесей подробно рассматриваются, например, в [32], [74]. Аномалии в законе дисперсии звука в смесях рассматривались в работах [49], [75] (статья аналогичная [41]), [76].

Фолк и Мозер рассматривали неасимптотическое поведение поглощения и скорости звука в близкой окрестности критической точки [77], [76]; используемый ими подход основан на РГ-представлении типа (2.48). Другой пример использования тех же идей для получения уравнения состояния вблизи критической точки, способного описать кроссовер (переход) от сингулярного критического поведения к поведению, предсказываемому теорией Ландау, можно найти в [79].

Поглощение и дисперсия звука вблизи фазовых переходов, описываемых моделями А, В, С, Е и др. рассматривал Швобль с соавторами: [80], [81], [82].

Поведение звуковых мод в окрестности А-перехода в гелии рассматривается в работах [83].

Таким образом, методы теории поля и ренормгруппы в настоящее время активно используются для изучения все более сложных явлений в окрестности фазовых переходов второго рода.

Благодарности.

Я признателен своему научному руководителю профессору Л.Ц. Аджемяну, предложившему для решения задачи, рассмотренные в диссертации, и руководившему моими исследованиями в аспирантуре НИИФизики СПбГУ.

Я рад поблагодарить своих соавторов: Т.Л. Ким и А.Н. Васильева. Профессору А.Н. Васильеву я в особенности благодарен за возможность ознакомиться с содержанием монографии [5] до публикации.

Я благодарен М.Ю. Налимову за полезные обсуждения вопросов, рассматриваемых в диссертации, и особенно техники иктв.

Написанию диссертации во многом способствовало доброжелательное отношение сотрудников кафедры статистической физики и кафедры физики высоких энергий СПбГУ и моральная поддержка заведующего кафедрой статистической физики профессора А.П. Гринина.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сердюков, Александр Викторович, 1998 год

Список литературы

[1] Боголюбов H.H., Ширков Д.В. // Введение в теорию квантованных полей. 4-е изд. — М.: Наука, 1984.

[2] Завьялов О.И. // Перенормированные диаграммы Фейнма-на. — М.: Наука, 1984.

[3] Ициксон К., Зюбер Ж.-В. // Квантовая теория поля. В 2-х томах. — М.: Мир, 1984.

[4] Славнов A.A., Фаддеев Л.Д. // Введение в квантовую теорию калибровочных полей. 2-е изд. — М.: Наука, 1988.

[5] Васильев А.Н. // Квантово-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамики. (Не опубликовано).

[6] Вильсон К., Когут Дж. // Ренормализационная группа и е-разложение. Пер. с англ. — М.: Мир, 1975. (Wilson К.G., Kogut J. // Phys. Rep. 1974. V.12C. N.2.P.75-199).

[7] Martin P.C., Siggia E.D., Rose H.A. // Phys. Rev. 1973. V.A8. P.423.

[8] Dengler R., Schwabl F. // Europhys. Lett. 1987. V.4. N.ll. P.1233.

[9] Siggia E., Halperin В., Hohenberg P. // Phys. Rev. 1976. V.B13. N.5. P.2110.

[10] Кац Е.И., Лебедев B.B. // Динамика жидких кристаллов.— М.: Наука, 1988.

11] Janssen H.K. // Z. Phys. 1976. V.B23. P.377.

12] Bausch R., Janssen H.K., Wagner H. // Z. Phys. 1976. V.B24. P.113.

13] De Dominicis C., Peliti L. // Phys. Rev. 1978. V.B18. P.353.

14] Аджемян Л.Ц., Васильев А.H., Письмак Ю.М. // ТМФ. 1983. Т.57. N 2. С.268.

15] Васильев А.Н. // Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1976.

161 Wyld H.W. // Ann. Phys. 1961. V.14. P.143; ibid 1966. V.9. PP. 1728, 1884.

17] Келдыш Л.В. // ЖЭТФ 1964. Т.47. С.1515.

181 Kadanoff L.P. // Phisics. 1966. V.2. Р.263.

19] Widom В. // J. Chem. Phys. 1964. V.41. P.1633.

201 Паташинский A.3., Покровский В.Л. // ЖЭТФ. 1964. Т.46. С.994.

21] Паташинский А.З., Покровский В.Л. // Флуктуационная теория фазовых переходов.— М: Наука, 1982.

221 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // Теоретическая физика. T. V. Статистическая физика. 4-е изд.— М., Наука, 1995.

23] Ley-Koo M., Green M.S. // Phys. Rev. 1981. V.A23. N.5. P.2650.

241 Anisimov M.A., Gorodetskii E.E., Kulikov V.D., Sengers J.V. // Phys. Rev. 1995. V.E51. N.2. P. 1199.

[25] Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н. // üf-модель критической динамики: выбор динамических переменных, исключение звуковых мод, уравнения для звуковых волн вблизи Тс. (Будет опубликовано в ТМФ).

[26] Ferrell R., Meyhard N., Schmidt EL, Schwabl F., Szepfalusy P. // Ann. Phys. 1968. V.47. P.565.

[27] Halperin B.I., Hohenberg P.C. // Phys. Rev. 1969. V.177. P.952.

[28] Hohenberg P., Halperin B. // Rev. Mod. Phys. 1977. V.49. N.3. P.435.

[29] Fixman M. // J. Chem. Phys. 1962. V.36. P.310.

[30] Kadanoff L.P., Swift J. // Phys. Rev. 1968. V.166. P.89.

[31] Kawasaki К. // Phys. Rev. 1966. V.150. P.291.

[32] Folk R., Moser G. // J.Low.Temp.Phys. 1995. V.99. N.l/2. P.ll.

[33] Dzyaloshinskii I.E., Volovick G.E. // Ann.Phys. (N.Y.) 1980.

V.125. P.67.

[34] Исаев A.A., Ковалевский М.Ю., Пелетминский C.B. // ЭЧАЯ. 1996. Т.27. Вып.2. С.431.

[35] Deker U., Haake F. // Phys. Rev. 1975. V.All. N.6. P.2043.

[36] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. //Теоретическая физика. Т.

VI. Гидродинамика.— М., Наука, 1988.

[37] Гинзбург В.Л. // ДАН СССР. 1955. Т.105. С.240.

[38] Леванюк А.П. // ЖЭТФ. 1965. Т.49. Вып. 4(10). С.1304.

[39] Kawasaki К. // In: Phase transitions and critical phenomena. V.5A.; Eds C. Domb and M.S. Green. — Academic, London, 1976.

[40] Shiva Y., Kawasaki K. // Prog. Theor. Phys. 1981. V.66. P.118; ibid P.406.

[41] Kroll D.M., Ruhland J.M. // Phys. Lett. 1980. V.80A. N.l. P.45.

[42] Ferrel R.A., Bhattacharjee J.K. // Phys. Lett. 1982. V.88A. N.2. P. 77.

[43] Гурович E.B., Кац Е.И., Лебедев В.В., Муратов А.Р. // Письма в ЖЭТФ. 1992. Т.55. N.l. С.56.

[44] Гурович Е.В., Кац Е.И., Лебедев В.В. // Письма в ЖЭТФ. 1990. Т.52. N.11. С.1196.

[45] Adzhemyan L.Ts., Vasiljev A.N., Serdukov A.V. // Int. J. Mod. Phys. B. 1998. V.12. N.12/13. P.1255.

[46] Fixman M. // J. Chem. Phys. 1962. V.36. P.1961.

[47] Botch W., Fixman M. // J. Chem. Phys. 1965. V.42. P.199.

[48] Ferrell R.A., Bhattacharjee J.K. // Phys. Lett. 1981. V.86A. P.109.

[49] Ferrell R.A., Bhattacharjee J.K. // Phys. Rev. 1985. V.A31. N.3 P. 1788.

[50] Roe D.B., Meyer H. // J.Low.Temp.Phys. 1978. V.30. N.l/2. P.91.

[51] Roe D.B., Wallace B.A., Meyer H. // J.Low.Temp.Phys. 1974. V.16. P.51.

[52] Sarid D., Cannell D.S. // Phys. Rev. 1977. V.A15. N.2. P.735.

[53] Анисимов M.A. // Критические явления в жидкостях и жидких кристаллах.— М.: Наука, 1987.

[54] Антонов Н.В., Васильев А.Н. // ТМФ. 1984. Т.60. N.1. С.59.

[55] Zinn-Justin J. // Quantum Field, Theory and Critical Phenomena.— Oxford Univ. Press, 1989.

[56] Федорюк M.B. // Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Наука, 1980.

[57] Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Письмак Ю.М. // ТМФ. 1988. Т.74. N.3. С.360.

[58] Налимов М.Ю. // ТМФ. 1989. Т.80. N.2. С.212.

[59] Dufty J.W. // Phys.Rev. 1972. V. А5. N.5. Р.2247.

[60] Ernst M.H., Hauge E.H., van Leeuwen J.M. J. // Phys.Rev. 1971. V.A4. N.5. P.2055.

[61] Dorfman J.R., Cohen E.G.D. // Phys.Rev.Lett. 1970. V.25. P.1257.

[62] Монин A.C., Яглом A.H. //Статистическая гидромеханика. 4.2.— M.: Наука, 1967.

[63] De Dominicis С., Martin P.C. // Phys. Rev. 1979. V.A29. N.l. P.419.

[64] Аджемян Л.Ц., Антонов H.B., Васильев A.H. // УФН. 1996. Т.166. N.12. С.1257.

[65] Rubinstein R., Barton J.M. // Phys. Fluids. 1987. V.30. P.2987.

[66] Carati D., Brenig L. // Phys. Rev. 1989. V.A40. N 9. P.5193.

[67] Аджемян Л.Ц., Антонов H.B., Ким Т.Л. // ТМФ. 1994. Т.100. N.3. С.382.

[68] Ким Т.Л. // Вестник СПбГУ. 1996. Сер.4. Вып.3(18). С.71.

[69] Ким Т.Л., Сердюков A.B. // ТМФ. 1995. Т.105. N.3. С.412.

[70] Adzhemyan L.Ts., Hnatich M., Horvath D., Stehlik M. // Int. J. Mod. Phys. B. 1995. V.9. P.3401.

[71] Honkonen J., Nalimov M.Yu. // Randomly stirred turbulent flow. Expansion from two-dimensional theory. Preprint HU-TFT-93-54.— Helsinki, 1993.

[72] Антонов H.B., Рунов A.B. // ТМФ. 1997. Т.112. N.3. С.417.

[73] Busa J., Hnatich M., Honkonen J., Horvath D. // Phys. Rev. 1997. V.E55. P.381.

[74] Folk R., Moser G. // Int. J. Thermophys. 1995. V.16. N.6. P. 1363.

[75] Kroll D.M., Ruhland J.M. // Phys. Rev. 1981. V.A23. N.l. P.371.

[76] Folk R., Moser G. // Phys. Rev. Lett. 1995. V.75. N.14. P.2706.

[77] Folk R., Moser G. // Critical Dynamics of Fluids. In: "Re-normalization Group' 96eds D.V. Shirkov, D.I. Kazakov, V.B. Priezzhev. — Dubna, 1997, pp. 11-17.

[78] Täuber U.C., Schwabl F. // Phys. Rev. 1992. V.B46. N.6. P.3337.

[79] Chen Z.Y., Albright P.C., Sengers J.V. // Phys. Rev. 1990. V.A41. N.6. P.3161.

[80] Dengler R., Schwabl F. // Z.Phys. 1987. V.B69. P.327.

[81] Drossel В., Schwabl F. // Z.Phys. 1993. V.B91. N.l. P.93. Erratum: Z.Phys. 1994. V.B95. N.l. P.141.

[82] Schorgg A.M., Schwabl F. // Phys. Rev. 1994. V.B49. N.17. P.11682.

[83] Pankert J., Dohm V. // Phys. Rev. 1989. V.B40. N.16. P.10842; ibid P. 10856.