Ренормгрупповой рассчет аномальных размеренностей в 1/n - разложении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Налимов, Михаил Юрьевич

• Налимов, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Налимов, Михаил Юрьевич

Введение

Глава I. Аналог размерной регуляризации и схема расчета ренормгрупповых функций в j/П -разложении при произвольной размерности пространства

§1. Введение

§2. Безмассовая б" -модель

§3. Регуляризация и ренормировка безмассовой б" -модели

§4. Переход к расширенной теории

§5. Масштабная инвариантность

§6. Регуляризация и ренормировка 6~ -модели в исключительных размерностях пространства

§7. Восстановление свойства "киральности" в пределе снятия регуляризации

Глава П. СР^ ^-модель: расчет аномальных размерностей и матриц смешивания в порядке 4/у/*

§1. Введение

§2. С Р^*-модель и скалярная электродинамика

§3. Регуляризация, ренормировка, следствия калибровочной инвариантности

§4. Аномальные размерности полей

§5. Смешивание операторов канонической размерности

§6. Отсутствие конформной инвариантности в Ср -модели

§7. Операторы размерности

Глава III. j/*p матричная калибровочно-инвариантная 6" -модель: расчет аномальных размерностей и матриц смешивания в порядке i/y^

§1. Введение

§2. Матричная 6~ -модель и скалярная хромодинамика

§3. Сравнение матричной и CP -моделей III

§4. Аномальные размерности полей

§5. Устойчивость фиксированной точки уравнения РГ матричной 6~ -модели

§6. Смешивание ^ и Q

§7. Операторы размерности

§8. Вещественная матричная б" -модель

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ренормгрупповой рассчет аномальных размеренностей в 1/n - разложении»

Диссертация посвящена разработке ренорм групповой техники расчета критических индексов (аномальных размерностей) в -//Л -разложении. Опишем кратко историю задачи и ситуацию, сложившуюся в данной области в настоящий момент.

За последнее десятилетие в теории критического поведения был достигнут существенный прогресс в результате внедрения идей критического скейлинга и универсальности, а также применения технического аппарата ренормгруппы.

Универсальность означает, что критическое поведение не зависит от деталей взаимодействия, а определяется лишь общими свойствами рассматриваемой системы - типом полей, числом их компонент, симметрией взаимодействия, размерностью пространства и т.п. Например, для изотропного ферромагнетика Гайзенберга критическое поведение зависит только от числа компонент вектора спина и размерности пространства, но не зависит от типа решетки и деталей обменного взаимодействия спинов.

Вторая идея - гипотеза подобия (критического скейлинга) Вайдома-Каданова-Паташинского-Покровского £зз]. Согласно этой гипотезе, в окрестности критической точки всем физическим величинам (точнее, их отклонениям от критических значений) можно приписать определенные "критические размерности". Математически это выражается свойством обобщенной однородности: если величина /- с размерностью о( зависит от набора переменных хс-с размерностями oil соответственно, то

F(л*х,, А*хг,.,л'\) = Aхг,.,х„). сI)

Строго говоря, этим свойством обладают не сами термодинамические функции, а ведущие члены асимптотик при /1-* 0 их "сингулярных частей", получаемых отбрасыванием первых членов разложения Тэйлора в критической точке х = 0.

Гипотеза подобия позволила согласовать множество различ- ■ ных данных по критическому поведению. Из эксперимента и численных расчетов известно, что при подходе к критической точке различные термодинамические величины ведут себя как степенные функции параметра отклонения, показатели степеней получили название "критических индексов". Таких индексов очень много, так как есть много различных термодинамических величин (восприимчивость, намагниченность, теплоемкость и т.д.) и различные способы подхода к критической точке (например, Т—* Тс при нулевом внешнем поле h или А) —0 при = Тс ). Согласно гипотезе подобия, все эти индексы должны выражаться через размерности тех параметров, от которых зависит термодинамический потенциал. Для магнетика таких параметров всего два - h и t = (Т- Тс)/ Т^ . Размерность самого термодинамического потенциала не является независимым параметром - ее можно считать фиксированной. Действительно, потенциал, точнее, его удельное значение на единицу объема для пространственно-однородной системы выражается через удельное значение логарифма статсуммы. Статсумма и ее логарифм по определению безразмерны, удельное значение имеет размерность объема со знаком "-". Замена в (I) приводит к умножению всех размерностей на О, , что позволяет фиксировать одну из них произвольно. Обычно всегда принимают за единицу размерность импульса (этот выбор и будет принят в данной работе), тогда размерность координаты - минус единица, объема -3.

Таким образом, согласно гипотезе подобия все критические индексы выражаются через размерности независимых переменных термодинамического потенциала. Вытекающие отсюда связи между критическими индексами подтверждаются экспериментально и в настоящее время справедливость гипотезы подобия считается твердо установленной. Но эта гипотеза сама по себе не содержит рецепта вычисления размерностей независимых переменных.

Такой рецепт был дан в 1971 году Вильсоном [70,74], предложившим использовать для расчета размерностей технику ренорм-группы (РГ).

В квантовой теории поля эта техника давно известна: впервые существование группы ренормировок в квантовой теории поля было отмечено в работе Штюкельберга и Петермана через год Гелл-Манн и Лоу использовали функциональные уравнения типа И? для анализа ультрафиолетовой асимптотики в квантовой электродинамике, еще через год в работах Боголюбова и Ширкова ^5-7,38J была установлена связь между результатами [бб] и [^б], впервые получены полные дифференциальные уравнения РГ и указан рецепт их практического использования в комбинации с расчетом РГ-функций по теории возмущений. Впоследствии Овсянников [22J, а затем, независимо, Каллан и Симанзик £44,67j предложили еще один вариант уравнений РГ, сформулировав их в виде одного уравнения в частных производных для функции многих переменных. Дифференциальные уравнения [д] играют роль характеристической системы душ уравнения в частных производных 22,44,67j. Дифференциальные уравнения в форме £5] или [~22,44,67] являются основой стандартной квантово-полевой техники РГ.

Предложенная Вильсоном в [70J процедура "рекурсионных соотношении" основана на идее РГ, но технически отличается от квантово-полевой формулировки. В более поздних работах (см., вая техника РГ совместно с идеей размерной регуляризации, также заимствованной из квантовой теории поля ^52,53 . В настоящее время в большинстве работ, относящихся к критической теории, используется стандартная полевая техника РГ.

Метод РГ естественно объясняет критический скейлинг и универсальность: в инфракрасно-устойчивой фиксированной точке РГ уравнение Каллана-Симанзика принимает вид дифференциального уравнения обобщенного подобия, общим решением которого являются функции со свойством (I), а универсальность объясняется эквивалентностью критического поведения всех систем, гамильтонианы которых различаются лишь инфракрасно-несущественными операторами. В соответствии со своей канонической размерностью все составные операторы делят на инфракрасно (ИК)-существенные, ИК-несущественные и логарифмические: у первых каноническая размерность меньше размерности пространства J) , у вторых - больше J) , а у последних равна D . Несущественные операторы не влияют на критическое поведение, определяя лишь поправки к скейлингу £41,42,69]. Поэтому, если действия двух моделей различаются лишь несущественными членами - эти модели оказываются эквивалентными в асимптотической области, что и объясняет гипотезу универсальности.

Критическая размерность d произвольной величины (поля, параметра, составного оператора) есть сумма канонической и аномальной, последняя появляется в результате ренормировки. Для используется уже стандартная квантово-поледанной модели и данной величины ск зависит лишь от глобальных характеристик типа размерности пространства D и не зависит от значений конкретных параметров модели - масс, констант связи и т.п. Например, в С)п —симметричной модели ф" = (сргУ с ft -компонентным полем ф критические размерности зависят лишь от D и ft . Методов вычисления точных размерностей не существует, практически их находят лишь в форме различных асимптотических рядов. Исторически первым,наиболее универсальным является предложенное Вильсоном ^71-73^4-<£ -разложение по параметру 6 = 4 -D - отклонению размерности пространства от 4. В задачах статистической физики!) = 3, т.е. <Е = I реально не является малым параметром. Тем не менее результаты, получаемые по первым членам разложения, особенно после суммирования по Борелю £l8,36,56j с учетом известной асимптотики высших порядков [19], находятся в хорошем согласии с экспериментом и с результатами, получаемыми из высокотемпературных разложений (см. обзоры [20,23,42]).

В настоящее время разложение является основным методом расчета аномальных размерностей, причем не только в статике, но и в критической динамике [5l], Усилиями различных авторов для основных моделей вычислено довольно много первых членов разложений. Максимальным на данный момент достижением является расчет J3 -функции модели фР в пятипетлевом приближении ( €6 в индексах), выполненный в работе [45]; для взаимодействия Янга-Миллса достигнута трехпетлевая точность ее].

Столь значительные успехи в конкретных расчетах по Ч~<£ разложению оказались возможными благодаря разработке удобной вычислительной схемы, а именно:

1) РГ-функции вычисляются через константы ренормировки

2) Для вычисления констант ренормировки используется размерная регуляризация и схема минимальных вычитаний [б2,5з], в которой зависят только от зарядов.

3) Независимость констант ренормировки от масс позволяет вычислять их непосредственно в безмассовой теории, что существенно упрощает расчет диаграмм.

Возможность перехода к безмассовой теории является решающей для упрощения вычислений. Аномальные размерности параметров типа масс вычисляются в безмассовой теории через константы ренормировки подходящих составных операторов (например, для \тг - через оператор <р2 ). К обсуждению этой вычислительной схемы да еще вернемся.

Помимо основного ^/-6 разложения индексов для некоторых моделей возможны другие варианты £ -разложений: 6 разложение для взаимодействия <р^ разложение для нелинейной б* -модели [42] и ее обобщений.

Кроме £ -разложений, еще одним регулярным методом расчета индексов является 1/Н -разложение по обратному числу компонент параметра порядка. В отличие от универсального -разложения, техника построения 4/П -разложения разработана в настоящее время лишь для некоторых моделей. Основными из них являются следующие.

Нелинейная 6" -модель. Она описывается вещественным -компонентным скалярным полем 0 = Фс (х) , с = I,., Л со связью (условие киральности [S5J)

Ф (X) = Фс (у) Фс М = п (2) и функционалом действия

СР^ * -модель £17,40,47,62^ ошсывается комплексным j/' -компонентным скалярным полем (р^(х) , с - со связью

1>t(x) Фс (X) (4) и функционалом действия недостающие суммирования по индексам и интегрирования по координатам здесь и в дальнейшем в формулах такого типа подразумеваются), в котором

Матричная нелинейная б" -модель ^17,40,62J описывается комплекснымЖхуО -компонентным полем ф*(х) , где # р -дополнительный "цветовой" индекс. Поле удовлетворяет условию связи W & fx; , (7) и функционал действия имеет вид где

Действие (5) инвариантно относительно локальных абелевых калибровочных преобразований поля ф , а действие (8) - еще и относительно неабелевых Li(p) -калибровочных преобразований по цветовым индексам поля ф .

При построении диаграммной техники 1/П -разложения в этих моделях вводятся вспомогательные поля: в простой <5~ -модели -скалярное поле У(х) , в

-модели - скалярное поле

Ум и векторное поле By* (х) , в матричной модели те же вспомогательные поля У и By-1 являются yD х р матрицами по цветовым индексам.

Указанные три модели не только представляют самостоятельный интерес для статистической физики (например, простая S -модель описывает критическое поведение классического ферромагнетика Гайзенберга, CP-модель используется для описания фазового перехода нематик-смектик в жидких кристаллах), но интересны они также и тем, что с точки зрения критического поведения в //Л -разложении они эквивалентны следующим трем широко известным полевым моделям: обычной теории ф^ , скалярной электродинамике и скалярной хромодинамике. Под эквивалентностью имеется в виду следующее: если в указанных моделях превратить имеющееся во всех трех взаимодействие типа ф^ во взаимодействие Юкавы ф2{<Р посредством введения вспомогательного поля ^Р , то они будут описываться такими же наборами полей, как и соответствующие б -модели (после введения в них вспомогательных полей), а функционалы действия соответствующих моделей будут различаться лишь инфракрасно несущественными слагаемыми типа у2 и F^^Fyn^ (подробнее см, в гл.П и Ш).

Первый результат по -//л -разложению принадлежит Стэнли [б4], который в 1968 г. показал, что нелинейная б" -модель в пределе /п —»pGC> сводится к точно решаемой сферической модели Берлина-Каца |~37]. В 1973 г. аналогичное утверждение для модели с константой связи порядка 1/Н доказал Вильсон.

Первые нетривиальные вклады порядка /А? в критические индексы 6" -модели были вычислены в 1972-1973 гг. разными авторами, сначала для частного случая трехмерного пространства /~26,43,66j, затем при произвольной размерности [27,28,30,57] . Индекс со , определяющий поправки к скейлингу, в порядке был вычислен в работе [42].

Следует подчеркнуть, что в Ц-& ж1/П разложениях речь идет о различных асимптотических разложениях одних и тех же величин - критических индексов эквивалентных моделей. Индекс например, определяется как удвоенная аномальная размерность основного поля <р . Его разложение вычисляется стандартным образом по модели ф** , а -f/н -разложение - по эквивалентной ей 6~ -модели. Коэффициенты 6 -разложений вычисляются при произвольном К) , поэтому коэффициенты -/А? -разложений стремятся вычислить при произвольной размерности пространства X) • Разлагая коэффициенты по второму параметру, по каждому из рядов можно построить двойной ряд по <Е и //Л , и эти двойные ряды должны совпасть - это один из критериев проверки правильности вычислений. При наличии разных 6 -разложений, например, и 2+в. в модели ф** , указанное совпадение двойных рядов должно иметь место для каждого из £ разложений. Таким образом, -///7 -разложение, построенное при произвольной размерности пространства J) , позволяет в некотором смысле "сшивать"^- <S и £ + 6 разложения.

Вернемся к перечислению конкретных результатов по j/n -разложению. Для СР^ ^ и матричной б" -модели критические индексы и ^ ( ^ определен выше, а У/У по определению есть критическая размерность температуры, которая в б" -моделях выражается через размерность вспомогательного скалярного поля, а в эквивалентных моделях типа ф^ - через размерность составного оператора ф ) в первом порядке 1/У для частного случая лоренцовой калибровки вспомогательного векторного поля Qyu (от калибровки зависит только ^ ) были вычислены лишь сравнительно недавно в работах Хиками [49] ( СР^'*-модель) и [50J (матричная модель).

Вклады высших порядков по 1/ю до сих пор удалось вычислить лишь в простейшей нелинейной -модели. Долгое время единственным результатом такого рода был выполненный Абе.еще в 1973 году расчет вклада j/nz в индекс ^ для частного случая D = 3 [29]. На произвольную размерность D этот результат был обобщен лишь в 1978 г. Симанзиком (неопубликовано), затем другим способом - Кондором и Темешвари /~55j. Вклад -//Пг в индекс V для!) = 3 рассчитан в работах Окабе и Оку £б9,бб], для произвольной размерности в £13,14]. Единственным результатом в порядке -//л3 является выполненный в работе £1б| расчет вклада //V?3 в индекс при произвольном D .

Этим исчерпываются все результаты других авторов по ///"? -разложению критических индексов обсуждаемых трех моделей. Кроме того, имеются расчеты в -//Л -разложении для ферромагнетика с вмороженными случайными примесями [31,32,54,5в].

По сравнению разложением, где в простой модели ф** достигнута точность , перечисленные выше результаты по i/n разложению выглядят весьма скромными. Это объясняется техническими трудностями расчета диаграмм при произвольной размерности пространства, большим числом диаграмм одного порядка в j/n разложении и, самое главное, отсутствием удобной вычислительной схемы типа той, о которой говорилось выше в связи с разложением. В первом порядке по значение индексов находят обычно самым примитивным способом - определением коэффициента при соответствующем логарифме в ренормированных функциях Грина, для которых предполагается скейлинговая форма. В высших порядках по i/Г) подобные вычисления становятся слишком громоздкими, и наиболее сильные из перечисленных выше конкретных результатов по высшим порядкам в простой -модели получены иным способом, а именно, использованием различных уравнений самосогласования, что позволяет существенно сократить число диаграмм. В работе [l4] для расчета вклада *1/нг в У при произвольной размерности пространства использовались пропагаторные уравнения самосогласования с одетыми линиями, но голыми вершинами, а для расчета ^ в порядке i/n^ использовались уравнения конформного бутстрапа с полным одеванием вершин и линий [ibj.

Но эту технику не удается обобщить на более сложные модели (5), (8), причем обобщение метода конформного бутстрапа невозможно принципиально, поскольку CP и матричные модели, в отличие от простейшей 6" -модели, не обладают конформной инвариантностью в фиксированной точке (см. §6 гл.П).

Поэтому разработка удобной ренормгрупповой техники расчета индексов в i/n -разложении, подобной используемой в Ц-G разложении и пригодной для всех моделей типа (3), (5), (8), является актуальной задачей. Ее решению и применению полученной техники для конкретных расчетов в моделях (5) и (8) посвящена данная диссертация. Основные черты разработанной в гл.1 на примере б -модели вычислительной схемы состоят в следующем:

1) расчет производится при произвольной размерности J) ;

2) РГ-функции и аномальные размерности вычисляются через константы ренормировки ;

3) эти константы определяются расходимостями диаграмм и вычисляются непосредственно в безмассовой теории с регуляризацией, по духу близкой к размерной.

Тем самым схема максимально приближена к той, которая используется для расчета высших порядков в разложении. Построение ее состоит из следующих шагов:

1) переход к безмассовой модели;

2) введение регуляризации, не нарушающей безмассовости;

3) анализ расходимостей и необходимых для их устранения контрчленов при произвольной размерности пространства Т) ;

4) вывод РГ-уравнений и выражение их коэффициентов (РГ-функций) через константы ренормировки Z .

На примере б" -модели укажем некоторые специфические трудности, которые приходится преодолевать при выполнении этой программы.

Главная из них состоит в отсутствии регуляризации, совместной с "условием киральности" (2), играющим очень важную роль в теории. В этом отношении ситуация подобна той, которая возникает в калибровочных теориях при использовании калибровочно-неинвариантной регуляризации, - неинвариантность регуляризации существенно усложняет вывод и анализ следствий тождеств Уорда, выражающих калибровочную инвариантность ренормированной теории.

Вторая трудность заключается в том, что безмассовая б -модель, в отличие от безмассовой модели 0^ , автоматически является "критической теорией". В безмассовой модели ф** все еще остается свободный параметр - заряд ^ , теория становится критической лишь в фиксированной точке ренормгруппы, т.е. при д ~ $ * » где - нуль р -функции. Только в этой точке ренормированная теория становится масштабно-инвариантной (а скалярные модели типа 0^ - еще и конформно-инвариантными).

В отличие от 0^ , в безмассовой 6~ -модели вообще нет свободного параметра типа заряда, она уже масштабно-инвариантна и подобна теории 0^ , рассматриваемой в единственной точке (j = • Уравнения РГ безмассовой 6~ -модели имеют такой же смысл, как аналогичные уравнения 0^ в точке (j = , т.е. являются дифференциальными уравнениями обобщенного подобия, выражающими просто масштабную инвариантность, а коэффициенты этих уравнений (ЕГ-функции) имеют непосредственный смысл аномальных размерностей соответствующих величин. Но отсутствие свободного параметра типа заряда ^ существенно усложняет вывод уравнений РГ. Это вполне понятно: с такой же точно трудностью мы столкнулись бы и в обычной теории ф** , если рассматривали бы ее не при произвольном, а при одном единственном значении ^ = ^* • Хорошо известно, что ЕГ-функции не могут быть выражены через значения констант ренормировки в точке ^ - Cjj. , в них всегда входят также и производные <7 по ^ в этой точке, поэтому для вывода РГ-урав нений необходимо иметь возможность "шевелить" (j в окрестности . Точно так же и в безмассовой б* -модели приходится вводить подобное "шевеление", переходя к некоторой расширенной теории, содержащей два дополнительных параметра U и V . Исходная модель получается из расширенной при U =7/ = I. Уравнения РГ в расширенной теории получаются стандартным способом, но включают, естественно, члены с производными ренормированных функций Грина по параметрам U и V , поэтому их нельзя понимать как РГ-уравнения исходной безмассовой (ff -модели. Но в действительности это оказывается возможным, потому что удается доказать, что в точке U =1/ = I члены с производными и в РГ-уравнении расширенной теории выпадают. Этот факт есть следствие условия киральности (2) и его доказательство является центральным моментом всей схемы. Оно осложняется тем, что используемая регуляризация нарушает условие киральности (насколько нам известно, кирально-инвариантной регуляризации не существует).

Таким образом, мы получаем РГ-уравнение для исходной безмассовой б* -модели, но его коэффициенты (РГ-функции) содержат, конечно, производные по U и \Г констант ренормировки расширенной модели, в полной аналогии с РГ-уравнением модели ф^ при 2 ~ (расширенная модель - та же ф14 с произвольным g ). Необходимость расчета констант ^ расширенной теории серьезных усложнений при вычислениях не порождает.

Третья трудность состоит в существовании "исключительных размерностей"2)гп=?т/(т~1) , где М - 3,4,5, . - целое положительное число. При этих значениях D в теории появляются дополнительные расходимости, требующие соответствующих контрчленов, которых нет при произвольном, например, любом иррациональном D . В частности, реальная размерность 7) = 3 также является исключительной, в ней появляется дополнительная расходимость шестихвостки основного поля.

Перенормировка б' -модели и ее обобщений (5), (8) в реальной размерности 3 рассматривалась в работах Арефьевой и сотр. [l-4,33-35j; в этих работах есть также вывод РГ-уравнений для ренормированных функций Грина и ренормированный вариант условия киральности (2) в терминах составных операторов.

Мы не можем непосредственно воспользоваться результатами этих работ, во-первых, потому, что они относятся лишь к частному случаю D = 3, во-вторых, потому, что в них использован весьма специфический подход, в котором определяются лишь ренор-мированные величины, понимаемые как суммы диаграмм с R -операцией, без какой-либо промежуточной регуляризации. Это не позволяет ввести константы ренормировки ^ » имеющие смысл лишь в регуляризованной теории, а нашей целью как раз и является расчет РГ-функций через константы ренормировки, а не через ренор-мированные функции Грина.

Наличие исключительных размерностей естественно ставит вопрос о свойствах аналитичности по J) коэффициентов /А? -разложения РГ-функций. В §5 гл.1 доказывается, что эти коэффициенты аналитичны поX) в интервале 2<D< 4. Это значит, что дополнительные расходимости в исключительных размерностях не дают никакого вклада в РГ-функции и результаты, полученные для общей неисключительной размерности 2<Х)< 4, верны для всех D .

Разработанная в гл.1 расчетная схема используется в следующих главах для конкретных вычислений в CP и матричной 6" -модели. В простой б" -модели получаемые с помощью уравнений самосогласования результаты £l4,I5j соответствуют, видимо, пределу технических возможностей расчета на данный момент. В более сложных моделях (5), (8) ситуация иная: как уже говорилось, в порядке i/j/ в них до сих пор вычислены только два индекса ^ и V* в лоренцовой калибровке 149,5C)j. В диссертации выполнен полный расчет аномальных размерностей для этих моделей в порядке //и^. Под полным расчетом имеется в виду следующее.

I) Вычисляются аномальные размерности всех полей в обобщенной фейнмановской калибровке с произвольным относительным коэффициентом f> при продольной части в пропагаторе векторного поля. В CP-"- -модели это три поля ф . ч> ,& , а в матричной модели поля ^ и й распадаются на SU(P)'sl 1Л(1) компоненты, имеющие разные аномальные размерности, и есть еще поле духа Ч*, У* , т.е. всего здесь шесть независимых аномальных размерностей полей.

2) Вычисляется 2x2 матрица аномальных размерностей смешивающихся операторов У и 8 канонической размерности 2.

3) Вычисляется матрица аномальных размерностей смешивающихся калибровочно-инвариантных^составных операторов канонической размерности 4 типа У и/>у . В CP -модели таких операторов 2, в матричной модели - 4, собственные значения соответствующих матриц (2x2 или 4x4) определяют критические индексы и) , характеризующие поправки к скейлингу.

Отметим, что в последнем пункте речь идет именно о тех инфракрасно-несущественных операторах канонической размерности 4 > X) , которые отличают CP ^ ^-модель от скалярной электродинамики, а матричную б" -модель - от скалярной хромодинамики. В 4-6 разложении те же индексы Сд находятся через матрицу производных р -функций по зарядам и число независимых индексов и) равно числу независимых зарядов (2 в электродинамике и 4 в хромоданалшсе). Совпадение вкладов порядка в/ж"" , которые можно независимо получить как из -разложения, так и из У/л^* -разложения, является критерием правильности вычислений.

Полный расчет аномальных размерностей и матриц смешивания гораздо сложнее, чем расчет индексов и , выражающихся через аномальные размерности двух полей. В СР^"^-модели для расчета J и У нужно 9 диаграмм, а для полного расчета -29 диаграмм, причем новые диаграммы, как правило, более сложные. В матричной модели эти цифры, соответственно, 9 и 43. Наиболее трудной частью является расчет диаграмм, определяющих матрицу СО операторов размерности 4.

Qр^-модель рассматривается в гл.П, матричная модель - в гл.Ш. В приложении П приводятся значения всех 43 диаграмм, необходимых для полного расчета аномальных размерностей и матриц смешивания. Кроме того, в §7 гл.Ш без вывода приводятся результаты аналогичного расчета для вещественной матричной модели, . в которой основное поле фf вещественно, а группа инвариантности - ОСр) вместо (Л(р) .

Суммируем кратко основные результаты диссертации.

I. Разработана ренормгрупповая техника расчета аномальных размерностей ъ i/П -разложении, позволяющая производить все вычисления непосредственно в безмассовой теории.

2. Доказана аналитичность коэффициентов 4/п -разложения аномальных размерностей по£) в интервале 2< Т)< 4.

3. Выполнен полный расчет аномальных размерностей и матриц смешивания -модели в порядке 1/j/* .

4. Выполнен аналогичный расчет для Ы(р) калибров очно-инвариантной матричной б* -модели и для О(Р) -инвариантной вещественной модели.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях:

1. Аналог размерной регуляризации для расчета ренормгрупповых функций в i/n -разложении при произвольной размерности пространства [ioj,

2. CP ^"-модель: расчет аномальных размерностей и матриц смешивания в порядке

3. i/j/" -разложение: расчет аномальных размерностей и матриц смешивания в порядке //и^ для Жх/э -матричной калибро-вочно-инвариантной б" -модели [l2j,

4. //Л -разложение: ренормировка и критические индексы б" -модели в исключительных размерностях пространства [2lJ.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Налимов, Михаил Юрьевич

Заключение

Кратко сформулируем основные результаты данной работы.

В первой главе описана схема ренормгруппового расчета критических индексов в -//Л -разложении. Схема обладает следующими преимуществами: I) расчеты производятся при произвольной размерности пространства; 2) рассчитываются лишь безмассовые диаграммы в рамках регуляризации типа размерной; 3) аномальные размерности вычисляются через константы ренормировки теории 2Г • Данная схема максимально приближена к обычной схеме расчетов в -разложении и, по-видимому, является в настоящий момент наиболее удобной для теорий, в которых не удается воспользоваться не ренормгрупповыми схемами расчета критических индексов (такими, например, как уравнения самосогласования [хз] или конформного бутстрапа [l^J),

Доказано утверждение об аналитичности коэффициентов J/n -разложения критических индексов по размерности пространства при 2 <D< 4.

Во второй и третьей главах рассчитаны для CP и матричной Ух/) калибровочно-инвариантной е моделей в порядке l/y/' при произвольной размерности пространства: аномальные размерности основного поля ф , вспомогательных скалярного iff ) и векторного (В ) полей (в матричной модели - для $ ж и компонент отдельно) и поля "духа" Vх в матричной модели. Расчет аномальных размерностей выполнен в обобщенной фейнмановской калибровке с произвольным коэффициентом J) ( и J>u в матричной модели) при продольной части векторного пропагатора. В лоренцовой калибровке получены матрицы смешивания составных операторов канонической размерности 2.

Рассчитаны матрицы смешивания составных операторов канонической размерности 4, определяющие два (в CPтри (в вещественной матричной) и четыре (в комплексной матричной модели) индекса СО .

Результаты проверены по согласованию с результатами расчетов аналогичных величин (если они существуют) в , -разложениях и при размерности пространства J) =3.

Приведенная таблица значений полюсных вкладов отдельных диаграмм СР^*-модели позволяет легко получать аномальные размерности в иных (по сравнению с рассмотренными) матричных моделях.

Разработанная схема расчета критических индексов может быть использована для вычисления высших порядков по -f/У в рассмотренных моделях, а также и для других полевых теорий в 1/У -разложении.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Налимов, Михаил Юрьевич, 1984 год

1. Арефьева И.Я. Предел сильной связи для О^ -взаимодействия. - Теор. и мат. физ., 1976, т.29, №2, с.147-153.

2. Арефьева Й.Я. Об установлении расходимостей в модели трехмерного Л -поля. Теор. и мат. физ., 1977, т.31, Ж, с.3-11.

3. Арефьева Й.Я. Разложение Вильсона для кирального поля. -Теор. и мат. фаз., 1978, т.36, М, с.24-31.

4. Арефьева И.Я. Диаграммная техника для низкотемпературной фазы в модели кирального поля. Теор. и мат. физ., 1978, т.36, J&2, с.159-165.

5. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. О ренормализационной группе в * квантовой электродинамике. Докл. АН СССР, 1955, т.103, №2, с.203-206.

6. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Приложение ренормализационной группы к улучшению формул теории возмущений. Докл. АН СССР, 1955, т.103, т, с.391-394.

7. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Группа мультипликативной ренормировки в квантовой теории поля. ЖЭТФ, 1956, т.30, вып.1, с.77-86.

8. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976. - 480 с.

9. Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. Л.: Изд.ЛГУ, 1976. - 295 с.

10. Васильев А.Н., Налимов М.Ю. Аналог размерной регуляризации для расчета ренормгрупповых функций в ЦП -разложении при произвольной размерности пространства. Теор. и мат.физ., 1983, т.55, №2, с.163-175.

11. Васильев А.Н., Налимов М.Ю.СР -модель: расчет аномальных размерностей и матриц смешивания в порядке //Ж^. Теор. и мат. физ., 1983, т.56, Ж, с.15-30.

12. Васильев А.Н., Налимов М.Ю., Хонконен Ю.Р. -//«Ж" -разложение: расчет аномальных размерностей и матриц смешиванияв порядке -//Ж" для/х/3 -матричной калибровочно-инвариан-тной б" -модели. Теор. и мат. физ., 1984, т.58, Ш, с.169-183.

13. Васильев А.Н., Письмак 10.М., Хонконен Ю.Р. Простой метод расчета критических индексов в Y/п -разложении. -Теор. и мат. физ., 1981, т.46, №2, с.157-171.

14. Васильев А.Н., Письмак Ю.М., Хонконен Ю.Р. У/л -разложение: расчет индексов у и )) в порядке ///92 для произвольной размерности. Теор. и мат. физ., 1981. т.47, JS3, с.291-306.

15. Васильев А.Н., Письмак Ю.М., Хонконен Ю.Р;//Л -разложение: расчет индекса ^ в порядке l/п^ методом конформного бутстрапа. Теор. и мат. физ., 1981, т.50, №2,с.195-206.

16. Владимиров А.А. Методы вычисления многопетлевых диаграмми ренормгрупповой анализ теории . Теор. и мат. физ., 1978, т.36, $2, с.271-278.

17. Захаров В.Е., Шхайлов А.В. Релятивистски-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи. КЭТФ, 1978, т.74, вып.6, с.1954-1973.

18. Казаков Д.И., Тарасов О.В., Ширков Д.В. Аналитическое продолжение результатов теории возмущений модели Q ^ в область^£/ I. Теор. и мат. физ.,1979, т.38, ЖЕ, с.15-25.

19. Липатов Л.Н. Расходимость ряда теории возмущений и квазиклассика. ЖЭТФ, 1977, т.72, вып.2, с.411-427.20. № Ш. Современная теория критических явлений. М. :Мир, 1980. - 298 с.

20. Налимов М.Ю. 4/п -разложение: ренормировка и критические индексы б" -модели в исключительных размерностях пространства. Вестник ЛГУ, 1984, МО, вып.2, с.б-П.

21. Овсянников Л.В. Общее решение уравнений ренормализацион-ной группы. Докл. АН СССР, 1956, т.109, C.III2-III4.

22. Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982. - 381 с.

23. Поляков A.M. Конформная симметрия критических флуктуации. Письма в ЖЭТФ, 1970, т.12, вып.II, с.538-541.

24. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1978. - 240 с.26» Abe R. Expansion of a Critical Exponent in Inverse Powers of Spin Dimensionality. Progr . Theor. Phys. 1972, v. 48, no. 4, p. 1414 - 1415.

25. АЪе B. Expansion of a Critical Exponent in Inverse Powers of Spin Dimensionality* Progr. Theor. Phys. 1973, v. 49, no. I, p. 113 - 128.

26. АЪе H., Hikami S. Critical Exponents and Scaling Bela-tions in I/n Expansion. Progr. Theor. Phys. 1973, 49, no. 2, p. 442 - 452.

27. Abe E. Critical Exponent у up to I/n2 for the Three -Dimensional System with Short Eange Interaction. - Progr. Theor. Phys. 1973, v. 49, no. 6, p. 1877 - 1888.

28. Abe В., Hikami S. Study of Specific Heat below Tc in I/n Expansion. Progr. Iheor. Phys. 1975, v. 54, no. 6, p. 1693 - 1706.

29. Abe B. I/n Expansion for Weakly Eandom System. Progr. Theor. Phys. 1978, v. 59, no. 3, P. 742 - 750.

30. Abe E. Critical Exponent Induced by Impurity Effect. Progr. Theor. Phys. 1979, v. 62, no. 5, P. 1236 - 1244.

31. Aref'eva I.Ya. Phase Transition in the Three Dimensional Chiral Field. - Annals of Physics, 1979, v. 117, no. 2, p. 393 - 406.

32. Aref*eva I.Ya., Azakov S.I. Benormalization and Phase Transition in the Quantum C.P ' model. - Nucl. Phys. B, 1980, v. 162, no. 2, p. 298 - 310.

33. Arefeva I.Ya., Nissimov E.E., Pacheva S.J. BPHZL Benormalization of I/N Expansion and Critical Behaviour of the

34. Berlin Т.Н., Kac M. The Spherical Model of a Ferromagnet.- Phys. Rev. 1952, v. 86, no. 6, p. 821 835.

35. Brezin E., Itzykson C., Zinn-Justin J., Zuber J.-B. Remarks About the Existence of Hon Local Charges in Two -Dimensional Models. - Phys. Lett. 1979, v. 82 B, no. 3,4, p. 442 - 444.

36. Brezin E., Le Guillou J.C., Zinn-Justin J. Approach to Scaling in Renormalized Perturbation Theory. Phys. Rev. D, 1973, 8, p. 8, no 2418 - 2430.

37. Callan C.G. Broken Scale Invariance in Scalar Field

38. Theory, Phys. Rev, D, 1970, v. 2, no. 8, p. 1541 - 1547.

39. Chetyrkin K.G., Kataev A.L., Tkachov F.V. Five Loop Calculations in the <j Hodel and the Critical Indece ^ .- Phys. Lett. 1981, v. 99 B, no. 2, p. 147 150.

40. Gell Mann M., Low F. E. Quantum Electrodynamics at Small Distances. - Phys. Нет. 1954, v. 95, no. 5,p. 1300 1312.

41. Golo V.L., Perelomov A.M. Solution of the Duality Equations for the Two Dimensional SU(y) - Invariant Chiral Model. - Phys. Lett. 1978, v. 79 B, no. 1,2, p. 112 - 113.

42. Halperin B.I., Lubensky T.S., Ma S. First Order Phase Transitions in Superconductor and Smectic - A Liquid Crystals. - Phys. Rev. Lett. 1974, v. 32, no. 6, p. 292 - 295*

43. Hikami S. Renormalization Group Functions of

44. Hon Linear 6~ - Model and H - Component Scalar QED Model.- Progr. Theor. Phys. 1979, v. 62, no. I, p. 226 233»

45. Hikami S. Non Linear 6" Model of Grassmann Manifold and Hon - Abelian Gauge Field with Scalar Coupling. - Progr. Theor. Phys. 1980, v. 64, no. 4, p. 1425 - 1434.

46. Ideura К., ОкаЪе I., Abe R. Higher Order Calculations for Weakly Random System in I/n Expansion. - Progr. Theor.

47. Phys. 1981, V» 65, no. 4, p. 1179 1190.55» Kondor I,, Temesvari I. Calculation of Critical Exponents to OiH^2) . Phys. Eev. B, 1980, v. 21, no. I,p. 260 279.

48. Le Guillou J.C., Zinn-Justin J. Critical Exponents for the n Vector Model in Three Dimensions from Field Theory.- Phys. Eev. Lett. 1977, т. 39, no. 2, p. 95 98.

49. Ma S. Scaling Variables and Dimensions. Phys. Eev. A, 1974, v. 10, no. 5, p. 1818 - 1836.

50. Okabe Т. Effect of Weak Badomness on Corrections to Scaling. Progr. Theor. Phys. 1981, v. 65, no. 4, p. II9I -1197.

51. Okabe Т., Oku И. I/n Expansion up to Order I/n II, III.- Progr. Iheor. Phys. 1978, v. 60, no. 5, p. 1277 1286 -1297.

52. Okabe Т., Oku M., Abe R. I/n Expansion up to Order I/n2 I.- Progr. Theor. Phys. 1978, v. 59, no. 6, p. 1825 1833.

53. Parisi G. On Self Consistensy Conditions in Conformal Covariant Field Theory. - Lett. Nuovo Cim. 1972, v. 4, no. 15, p. 777 - 780.

54. Stueckelberg E.C.G., Petermann A. La normalization des constantes dans la theorie des quanta. Helvetica Physica Acta, 1953, v. 26, fasc. 5, P. 499 - 520.

55. Suzuki M. Critical Exponents and Scaling Eelations for the Classical Vector Model with Long Range Interactions. - Phys. Lett. 1972, v. 42 A, no. I, p. 5 - 6.

56. Symanzik K. Snail Distance Behaviour in Field Theory and Power Counting. Commun. Math. Phys. 1970, v. 18, no. 3,p. 227 246.

57. Tarasov O.B., Vladimirov A.A. Three Loop Calculations in Hon - Abelian Gauge Theores.-Preprint JINR, E-2-80-483, Dubna, 1980, 24 p.69* Wegner P.J. Critical Exponents in Isotropic Spin Systems.- Phys. Rev. B, 1972, v. 6, no. 5, p. 1891 1893.

58. Wilson E.G. Renormalization Group and Critical Phenomena,

59. Wilson K.G. Quantum Field Theory Models in Less Than

60. Dimensions. Phys. Rev. D, 1973, v. 7, no. 10, p. 2911 - 2926.

61. Wilson E.G., Fisher M.E. Critical Exponents in 3.99 Dimensions. Phys. Rev. Lett. 1972, v. 28, no. 4, p. 240 - 243.

62. Wilson E.G., Eogut J. The Renormalization Group and the

63. G expansion. - Phys. Rep. 1974, v. 12, no. 2, p. 75 - 199.