Метод ренормгруппы в теории турбулентности: Учет анизотропии, инфракрасные поправки к колмогоровскому скейлингу тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Ким, Татьяна Лорановна

• Ким, Татьяна Лорановна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ким, Татьяна Лорановна

Оглавление

Введение

1-я глава. Метод ренормгруппы в стохастической

модели анизотропной турбулентности

1.1 Стохастическое уравнение Навье-Стокса. Феноменология развитой турбулентности

1.2 Квантово-полевая формулировка

1.3 Анализ сингулярностей диаграмм теории возмущений----30

1.4 Ультрафиолетовая ренормировка. Уравнения ренормгруппы

1.5 Ренормгрупповой анализ стохастической гидродинамики при наличии анизотропии

2-я глава.. Турбулентное перемешивание скалярной пассивной примеси при наличии анизотропии

2.1 Стохастическая модель. Ультрафиолетовая ренормировка

2.2 Неподвижная точка ренормгруппы, анализ ее инфракрасной устойчивости

2.3 Решение уравнений ренормгруппы. Связь

затравочных и ренормированных зарядов

2.4 Ренормгрупповое представление парного коррелятора----69

3-я глава. Составные операторы, операторное разложение и галилеева инвариантность. Инфракрасные поправки к колмого-

ровскому скейлингу

3.1 Ренормировка составных операторов. Использование галилеевой инвариантности

3.2 Исследование асимптотик скейлинговых функций

с помощью операторного разложения

3.3 Обоснование гипотезы N1 Колмогорова с помощью инфракрасной теории возмущений

3.4 Операторы размерности 6, инфракрасные поправки

к спектру Колмогорова

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод ренормгруппы в теории турбулентности: Учет анизотропии, инфракрасные поправки к колмогоровскому скейлингу»

ВВЕДЕНИЕ

Описание развитой турбулентности является одной из самых старых, но до сих пор нерешенных задач теоретической физики, несмотря на ее большой интерес как с чисто научной, так и с прикладной точек зрения. Круг возникающих проблем и применяемых для их решения методов в теории развитой турбулентности весьма обширен. Настоящая диссертация ограничена рассмотрением свойств пульсационной компоненты скорости в рамках статистической модели стационарной однородной турбулентности. Для решения задачи использован математический аппарат квантовой теории поля: метод ренормализационной группы, операторное разложение Вильсона, инфракрасная теория возмущений, уравнения Швингера, тождества Уорда и т.д. Ранее такой подход был успешно использован в статистической теории критического поведения. Для уточнения его роли и места в статистической физике обрисуем кратко историю вопроса.

Математический аппарат квантовой теории поля, создававшийся первоначально для потребностей квантовой физики элементарных частиц, пригоден и для классических задач со случайными полями, к числу которых относится и стохастическая теория турбулентности. Ее основой является уравнение Навье-Стокса с добавкой "шума" - гауссовой внешней случайной силы [1]. Любая стохастическая задача такого типа допускает переформулировку в виде некоторой квантово-полевой модели (термин условен и употребляется лишь по традиции, поскольку в данном случае речь идет о чисто классической задаче), что позволяет использовать мощные технические приемы, разработанные в рамках формализма квантовой теории поля.

Одним из них является метод ренормализационной группы (РГ), идеи которого впервые появились в работах [2] по квантовой электро-

динамике. Однако областью наиболее успешного применения этого метода оказалась теория критического поведения, идея применения в ней метода РГ принадлежит К.Вильсону [3, 4]. Предметом исследования этой теории являются сингулярности термодинамических величин и корреляционных функций случайного поля параметра порядка в окрестности критических точек фазовых переходов второго рода. Эти сингулярности, как правило, степенные, соответствующие "критические показатели" или "индексы" являются (в отличие, например, от критических температур) универсальными характеристиками критического поведения, т.е. одинаковы для всех переходов, относящихся к одному классу универсальности (например, для критических точек одноосного магнетика Изинга и системы жидкость-пар). Универсальность хорошо объясняется классической теорией фазовых переходов Ландау [5], поскольку в ней всем системам из одного класса сопоставляется одинаковый с точностью до значений параметров "функционал энергии", который строится из простых соображений симметрии и аналитичности. Но предсказываемые этой теорией " канонические значения" показателей неточны: они заметно отличаются как от экспериментальных данных, так и от считающихся наиболее надежными результатов расчета критических индексов ¿¿—мерной модели Изинга с решетками разного типа, полученными путем экстраполяции достаточно длинных отрезков высокотемпературных разложений [5, 6]. Эти расчеты сыграли важную роль в построении современной теории критического поведения: во-первых, они наглядно подтвердили идею универсальности (полученные критические индексы зависят от размерности пространства но не от типа решетки), во-вторых, именно анализ связей между вычисляемыми независимо различными критическими показателями привел к

формулировке [7] гипотезы "критического скейлинга" (гипотеза подобия). Скейлинг (масштабная инвариантность) означает, что всем инфракрасно (ИК-) существенным величинам .Р можно приписать определенные критические размерности Ар , и что все критические индексы выражаются через эти размерности. Их меньше, чем индексов, поэтому между индексами должны быть связи, которые и были обнаружены при анализе результатов машинного расчета. Теория Ландау предсказывает "канонические размерности" ¿р ф Ар , разницу Ар — ¿р = принято называть "аномалией".

Было очевидно, что аномалии связаны с флуктуациями поля параметра порядка <£>(:г), роль которых возрастает с приближением к Тс , и что теория Ландау в основе своей правильна, поскольку органически содержит идею универсальности. Дефектом классической теории Ландау является пренебрежение флуктуациями ср. Их можно учесть, перейдя к соответствующей "флуктуационной модели" со случайным полем <р(х) , распределение которого задается гиббсов-ским множителем ехр[—Н(<р)/кТс] , где Н(<р) - классический функционал энергии Ландау. Возможность подмены исходной сложной микросистемы (магнетик, жидкость и т.п.) более простой "флуктуационной моделью", основанной на гамильтониане Ландау, является одним из основных постулатов современной теории критического поведения. По виду это обычные модели квантовой теории поля, в частности, критическая точка фазового перехода второго рода с симметрией <р —ф описывается стандартной <£>4-моделью [4, 5]. Параметр т = Т — Тс играет роль квадрата массы поля, непосредственно критической точке соответствует безмассовая модель, критический скейлинг есть свойство И К-асимптотики функций Грина (малые импульсы = волновые числа иг 0). Задача теории свелась таким

образом к обоснованию критического скейлинга для данных моделей и к созданию конструктивного метода расчета критических размерностей. До появления работ Вильсона многими авторами предпринимались попытки решить эти задачи с помощью различных вариантов уравнений самосогласования для функций Грина, но общепризнанного убедительного решения проблемы на таком пути получить не удалось.

Искомое решение было получено в работах Вильсона и соавторов, предложивших использовать для анализа ИК-асимптотики в таких моделях технику ренормгруппы и 4 — е -разложения. Важным моментом была предложенная в [8] идея проводить все вычисления в переменной размерности пространства <1 — 4 — е, используя е как формальный параметр. Совместно с уравнениями ренормгруппы это позволило, во-первых, обосновать критический скейлинг как свойство ИК-асимптотики рассматриваемых моделей, во-вторых, вычислять искомые аномальные размерности = Д^ — с1р в форме рядов по е. Переход к конечному "реальному значению" ер = 1 осуществляется лишь в окончательных ответах и всегда понимается как экстраполяция, законность такой процедуры принимается на веру в качестве постулата.

Эти идеи оказались чрезвычайно плодотворными и привели к бурному развитию в семидесятых годах этой новой РГ-теории критического поведения. Сформулированная первоначально для критической статики, эта техника была вскоре обобщена на критическую динамику [9] и другие родственные задачи теории полимеров, случайных блужданий разного типа, а также и на стохастическую теорию турбулентности. Одновременно происходило совершенствование самого вычислительного аппарата, и постепенно стало ясно, что

РГ-метод рекурсионных соотношений Вильсона по результатам полностью эквивалентен квантово-полевой РГ-технике, только приспособленной для случая переменной размерности пространства с1 = 4 — г [10]. Именно этот вариант РГ-техники является самым простым и удобным в конкретных вычислениях, что становится особенно заметным при расчете высших порядков е-разложений. Очень важно и то, что квантово-полевая РГ-техника имеет надежную базу в виде детально разработанной квантово-полевой теории ультрафиолетовой (УФ-) ренормировки, в том числе и ренормировки составных операторов, практически не исследованной в технике рекурсионных соотношений. Все результаты, полученные с помощью рекурсионных соотношений, можно получить (притом, как правило, проще) и с помощью квантово-полевой РГ-техники, но не наоборот. Все это относится в равной степени и к РГ-теории турбулентности.

Колмогоровский скейлинг в теории турбулентности открыт раньше критического - еще в начале сороковых годов [11], а первые работы по РГ-подходу появились здесь только в конце семидесятых [12, 13]. Гипотеза колмогоровского скейлинга включает два утверждения, одно из которых (гипотеза N2) является точным аналогом критического скейлинга (масштабная инвариантность ИК-асимптотики функций Грина), причем с известными критическими (колмогоровскими) размерностями, а второе (гипотеза N1) - некоторое дополнительное утверждение о свойствах этой ИК-асимптотики. Задачей микротеории, каковой признается здесь уравнение Навье-Стокса, является обоснование этих утверждений. Аналогичные проблемы решаются и в критической динамике, основанной на стохастическом уравнении Ланжевена [9]. Но есть одно весьма существенное отличие: в динамике вид коррелятора случайного шума однозначно фикси-

руется требованием взаимной согласованности динамики и статики, тогда как в теории турбулентности выбор коррелятора неоднозначен и ограничивается лишь общими соображениями относительно "накачки энергии крупномасштабными вихрями" в духе теории Колмогорова-Обухова [1, 11]. Стандартная РГ-техника обобщается на теорию турбулентности только при выборе коррелятора из определенного класса функций, сводящихся в инерционном интервале к степени импульса с произвольным показателем. В большинстве работ по РГ-теории турбулентности, начиная с первой статьи [13], употребляется простая степенная модель коррелятора ~ где с1 -размерность пространства, е - добавочный произвольный параметр. Именно он является аналогом 4—<1 в схеме Вильсона, а его "реальным значением" считается ер = 2, поскольку степень ~ к~й с подходящей амплитудой можно рассматривать как степенную модель ¿¿-мерной функции 8(к), представляющей физически накачку энергии бесконечно большими вихрями. Для критических размерностей получаются е-разложения, которые обрываются на линейных по г членах и при реальном е = 2 принимают колмогоровские значения, что и является обоснованием гипотезы N2 Колмогорова [13].

Последующие работы с использованием метода ренормгруппы в теории турбулентности можно разделить на два направления: 1) обобщение на более сложные задачи - турбулентное перемешивание пассивной примеси, стохастическая магнитная гидродинамика, учет анизотропии и т.д.; 2) РГ-анализ составных операторов. Оба направления представлены в работах [14, 15, 16, 17], составивших содержание диссертации. Наиболее важным из этих направлений, затрагивающим основы теории, оказалось исследование составных операторов.

Существование в теории турбулентности так называемых "опасных" операторов и связанных с ними аномально сильных инфракрасных особенностей порождает ряд серьезных проблем, без решения которых нельзя фактически говорить об обоснованности колмогоров-ского скейлинга. Важнейшая из них - возможное сохранение в инерционном интервале волновых чисел зависимости функций Грина от внешнего масштаба турбулентности. В наличии опасных операторов проявляется специфика теории турбулентности, в значительной степени отличающая ее от теории критических явлений. Впервые на важность исследования опасных операторов в рамках квантово-полевого описания турбулентности указано в работе [18], хотя соответствующие проблемы, сформулированные на более традиционном языке, давно известны (вопрос об учете переноса мелких вихрей крупномасштабным движением). Их игнорированием в первых работах, посвященных РГ-методу в турбулентности, и объясняется, по-видимому, прохладное к нему отношение со стороны значительного числа теоретиков, исповедующих традиционные подходы в теории турбулентности. Действительно, решение отмеченных задач не входит непосредственно в компетенцию метода ренормгруппы. Однако формулирование проблемы на языке квантовой теории поля позволило привлечь для ее решения другие инструменты из арсенала этой теории: операторное разложение Вильсона, инфракрасную теорию возмущений и т.д. Роль РГ-исследования при этом состоит в утверждении общего скейлинга во всей инфракрасной области (инерционный интервал и энергосодержащая область) и нахождении критических размерностей составных операторов, на основе чего становится возможным использование упомянутых дополнительных методов. Отметим, что вопрос о вычислении размерностей составных опера-

торов вне рамок РГ-подхода до последнего времени даже не поднимался, одна из первых попыток - работа [19].

Приведем краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена обобщению ренормгруппового подхода на случай анизотропной турбулентности. Такое обобщение весьма актуально, поскольку большинство реальных турбулентных потоков анизотропны. Для описания турбулентной системы с выделенным направлением использована модель, предложенная в работе [20]. Система описывается прежним уравнением Навье-Стокса, анизотропия проявляется только в корреляторе шума, характеризуемом теперь двумя дополнительными параметрами анизотропии. Новый момент использования РГ-техники в задачах с анизотропией состоит в том, что в ренормированной теории генерируются дополнительные заряды, отсутствующие в исходной модели. Они имеют смысл трех анизотропных вязкостей. С точки зрения РГ-подхода задача из однозарядной превращается в четырехзарядную, нахождение координат неподвижной точки и проверка ее ИК-устойчивости требуют теперь решения системы уравнений на нули /3-функций, а также нахождение собственных значений 4x4 о;-матрицы. Для трехмерной задачи неподвижная точка ренормгруппы оказалась устойчивой к добавочным зарядам, тем самым сохранился ИК-скейлинг с колмогоровски-ми размерностями, анизотропия влияет только на вид скейлинговых функций. Изучение зависимости чувствительности к анизотропии от размерности пространства показало, что она усиливается с уменьшением последней, что приводит при в, < 2.68 к тому, что одно из собственных значений и?-матрицы меняет знак. Это означает неустойчивость неподвижной точки и тем самым разрушение колмогоровского скейлинга для с? < 2.68. Таким образом, при исследовании критиче-

ских режимов для реального случая в, = 2 вопросу устойчивости к анизотропии следует уделять особое внимание.

Во второй главе рассмотрена задача о турбулентном перемешивании скалярной пассивной примеси при наличии анизотропии, а также подробно изучен вопрос о выходе анизотропной турбулентной системы в критический режим при реальных значениях затравочных параметров [14, 15]. Для описания турбулентного перемешивания пассивной скалярной примеси к уравнению Навье-Стокса добавляется уравнение диффузии. Анизотропия моделируется путем соответствующей модификации корреляторов случайных сил. Влияние анизотропии на ренормировку приводит к появлению нового, анизотропного коэффициента диффузии, а также своеобразных "перекрестных слагаемых". В целом ренормированная модель содержит восемь зарядов. Методом РГ исследовано поведение такой системы в инфракрасной области. Доказано существование ИК-устойчивой неподвижной точки, в

и А о О

которой при е = 2 имеет место колмогоровскии скеилинг. В первом порядке е-разложения вычислена анизотропная поправка к эффективному значению числа Прандтля. Показано, что анизотропия не нарушает известного феноменологического закона "четырех третей" Ричардсона расплывания облака примесных частиц.

В рассмотренных в главах 1, 2 многозарядных задачах положительность собственных значений а>-матрицы не гарантирует в общем случае выхода системы в критический режим при произвольных значениях затравочных параметров, а лишь из некоторой "области притяжения" . В данном случае роль параметров играют вязкости, из которых лишь изотропная затравочная вязкость отлична от нуля. Обычно задача нахождения "области притяжения" решается путем численного интегрирования соответствующей системы РГ-уравнений. В рас-

сматриваемой задаче удалось, пользуясь предполагаемой малостью параметров анизотропии, найти аналитическое решение, рассчитав эффективные вязкости во всем диапазоне волновых чисел [15]. Расчет показал, что в данном случае неподвижная точка достижима при любых значениях затравочных параметров, в том числе и при реальных.

В рамках РГ-подхода анизотропные турбулентные системы с выделенным направлением впервые изучались в работе [20]. Обобщение на случай анизотропной турбулентности с пассивной примесью рассмотрено в [21] . Однако в обеих работах проверка устойчивости колмогоровского режима проведена не полностью - учтены не все генерируемые нелинейностью ренормированные заряды. Кроме того, допущены ошибки при вычислении /^-функций учтенных зарядов.

Глава 3 посвящена изучению составных операторов изотропной турбулентности. Эта задача представляет большой интерес, поскольку корреляционные функции составных операторов в турбулентности экспериментально измеримы, но еще в большей степени потому, что существование "опасных операторов" с отрицательной критической размерностью заставляет пересмотреть основные положения теории.

Так, в группе галилеево-неинвариантных операторов определенно есть бесконечные последовательности опасных (например, любые степени скорости без производных), что приводит для разновременных корреляционных функций к нарушению гипотезы Колмогорова о независимости от внешнего масштаба турбулентности в инерционном интервале [22]. В главе 3 анализ этой группы операторов был продолжен, были найдены критические размерности операторов, построенных из любых степеней скорости с произвольным числом про-

изводных по времени, среди которых также обнаружены бесконечные подпоследовательности опасных операторов [16]. Существенно, что эти критические размерности определены точно - на основе тождеств Уорда для галилеевых преобразований доказано, что соответствующие е-разложения обрываются на первом члене.

Наиболее актуальным в настоящее время является вопрос о возможном влиянии опасных операторов на ИК-асимптотику одновременных галилеево-инвариантных корреляторов, которое могло бы объяснить явление так называемого "аномального скейлинга", интенсивно обсуждаемое в последнее время (см. работу [23] и ссылки в ней). В главе 3 показано, что "сценарий" возникновения аномального скейлинга, связанный с опасными операторами, может реализоваться только в том случае, если среди этих операторов присутствуют галилеево-инвариантные, так как только последние дают вклад в соответствующие ИК-асимптотики. Попытка обнаружить такие операторы предпринята в [16, 17]. Рассмотрено семейство скалярных галилеево-инвариантных операторов канонической размерности 6. Показано, что в этом семействе два независимых оператора. Одну из ассоциированных с ними критических размерностей удалось рассчитать точно благодаря использованию соответствующего тождества Швингера. Она оказалась положительной, то есть соответствующий оператор "неопасен". Вторую размерность удалось определить лишь приближенно, но полученное для нее большое положительное значение дает основание полагать, что соответствующий оператор также неопасен, он определяет неаналитическую поправку к спектру Колмогорова.

О О У

Отметим, что сценарии аномального скеилинга, связанный с существованием опасных операторов, как недавно показано в [24], пол-

ностью оправдывается для сильно упрощенной модели турбулентного перемешивания пассивной примеси [23]. Таким образом, поиск галилеево-инвариантных опасных операторов остается актуальной задачей.

Последний раздел - заключение - содержит перечень основных результатов, полученных в диссертации.

1 -я глава. Метод ренормгруппы в стоха-

и и -

стическои модели анизотропном турбулентности.

1.1 Стохастическое уравнение Навье-Стокса. Феноменология развитой турбулентности

В качестве микроскопической модели развитой турбулентности несжимаемой вязкой жидкости (газа) рассматривается стохастическое уравнение Навье - Стокса с внешней случайной силой [1]:

= ЩА^ - дгР + Я, Vt=дt + (<рд). (1.1)

Здесь (рг - поперечное (в силу несжимаемости) векторное поле скорости, Р тл Fi - давление и поперечная внешняя случайная сила в расчете на единицу массы (все эти величины зависят отж = £,х), щ -кинематический коэффициент вязкости, V* - галилеево-ковариантная производная. Задача (1.1) рассматривается на всей оси времени t и доопределяется условием запаздывания, а также нулевым асимптотическим условием для (р при £ —оо. Для Г предполагается гауссово распределение с нулевым средним и заданным коррелятором

= 8(1 - !сЯс Д7(к) ехр[гк(х - х')], (1.2)

где в, - размерность пространства. Для однородных изотропных систем значковая структура величины определяется условием поперечности:

А7(к) = РцЮМ*0, (1.3)

где Рц(к) = — кг^/к2 - поперечный проектор, <1р(к) - некоторая функция к = |к| и параметров модели. Введение случайной силы

феноменологически моделирует стохастичность (которая в реальных условиях должна возникать спонтанно как следствие неустойчивости

ми). Средняя мощность накачки энергии Ш связана с функцией ¿р в (1.2) точным соотношением

Переход к стохастической задаче позволяет отвлечься от конкретных начальных и граничных условий и рассматривать непосредственно однородную развитую турбулентность [1], при этом поле <р в (1.1) соответствует лишь хаотической ("пульсационной") составляющей реальной скорости.

Уравнение (1.1) решается итерациями по нелинейности с последующим усреднением (...) по распределению случайной силы. Вычисляемыми величинами являются различные корреляционные функции ((¿>(х1) ... <р(хп)), а также функции отклика — вариационные производные корреляционных функций по "неслучайной внешней силе", вводимой как аддитивная добавка в правую часть уравнения (1.1). Пользуясь квантово-полевой терминологией, будем называть все эти объекты "функциями Грина". В силу трансляционной инвариантности задачи все они зависят лишь от разностей времен и координат, поэтому одновременные корреляционные функции (<р{х\)... <р(хп)) с ¿1 = ... = = £ не зависят от общего для всех полей времени t. Такие объекты называют "статическими" в отличие от "динамических" корреляторов с произвольными временами полей.

Упрощенная физическая картина турбулентности состоит в следующем [1]: энергия внешнего источника (у нас - случайной силы)

ламинарного течения) и одновременно - "накачку" энергии в систему за счет взаимодействия с крупномасштабными пульсациями (вихря-

(1.4)

поступает в систему от крупномасштабных движений ("вихрей") с некоторым характерным размером 1тах = 1/т, затем переносится по спектру ("дробление вихрей") за счет нелинейности в уравнении (1.1) и, наконец, начинает активно диссипировать на масштабах ¿тгп = 1 /А ("диссипативная длина"), где становится существенной роль вязкости. Независимыми являются параметры щ и

т = (последний будем называть "массой" по формальной аналогии с квантово-полевыми моделями), все прочие выражаются через них по соображениям размерности (т ~ Ь-1, Ш ~ Ь2Т~Ъ, щ ~ £2Т-1, где Ь - длина, Т - время), для нижних границ - через пару IV, тп, для верхних - через пару в частности, А = И^1/4^ 3//4. Развитая тур-

булентность характеризуется большим значением числа Рейнольдса Де = (Л/т)4/3 и, как следствие, наличием широкого "инерционного интервала", определенного неравенствами га << & << Л для импульсов (= волновых чисел) и = УУ1^™2/3 « ш « и1тах = щЬ? для частот [1].

Основные положения феноменологической теории Колмогорова -Обухова [1] были сформулированы в виде двух гипотез. Первую из них впоследствии пришлось модифицировать в сторону ослабления, и ниже будет приведен сначала первоначальный вариант с обозначением 1', а потом — после необходимых пояснений - более точная современная версия гипотезы 1.

Гипотеза 1' [1]: в области к » т, ш » = И^^т2/3 распределение фурье-компонент у(|и;,к) случайной скорости </?(ж) = ¡¿>(£,х) зависит от полной мощности накачки И^, но не зависит от "деталей ее устройства", в том числе и от конкретного значения т.

Гипотеза 2 [1]: в области к « А, ш << и}тах = ^оА2 оно не зависит от коэффициента вязкости щ.

Из второй гипотезы, в частности, следует, что в ее области применимости парный коррелятор фурье-компонент скорости ¿¿-мерной задачи представим в виде

(1.5)

где f - некоторая остающаяся неизвестной функция двух независимых полностью безразмерных аргументов.

В инерционном интервале, где выполнены условия обеих гипотез, второй аргумент функции f в (1.5) мал, а первый удовлетворяет неравенствам (к/А)2 « ЦГк2/шъ << (к/т)2, т.е. фактически произволен. Согласно гипотезе 1', в этой области должна исчезать зависимость от т, другими словами, функция / в (1.5) должна иметь конечный предел при стремлении к нулю ее второго аргумента т/к. Но уже давно известно [25], что это не так: из-за кинематического эффекта переноса вихрей как целого крупномасштабными движениями с к ~ т предел т/к —у 0 в динамических объектах типа (1.5) не существует. Более правильной формулировкой является (см. например [22]):

Гипотеза 1: в области к » т конечный предел при т/к —> 0 существует для одновременной функции распределения пространственных фурье-компонент <£>(£, к) случайного поля скорости <£>(£, х).

Для статического парного коррелятора из гипотезы N2 (или интегрированием по частотам о>, о/ равенства (1.5)) получим представление

<^(г,к)^(*,к')) = (2тг)^(к + кОЛ,(к)1)ст«, Яст(А) = к-*(\¥/к)2/^(т/к)

(одна и та же буква / использована для обозначения различных функ-

ций от безразмерных аргументов).

Гипотеза 1 гарантирует существование конечного предела /(0) функции /(т/к) при т/к —0, величина /(0) просто связана с известной константой Колмогорова. Представление (1.6) справедливо для всех к « Л, т.е. как в инерционном интервале т « к « Л, где функцию /(т/к) можно заменить константой /(0), так и в "энергосо-держащей области" (область накачки к ~ т), где она обязательно должна быть нетривиальной (см. ниже).

Вычислив преобразование Фурье функции -Ост из (1.6), получим

£>ст(г) = (РГг)2/8/(шг), (1.7)

с областью применимости г >> 1/Л.

С точки зрения гипотезы N2 представления (1.6) и (1.7) эквивалентны, но в отношении гипотезы N1 это не так: для координатного представления (1.7), в отличие от импульсного, уже нельзя утверждать, что функция f(mr) имеет конечный предел при т 0, т.е. сводится к константе в инерционном интервале Л-1 «г « т~1. Дело в том, что из-за сильной сингулярности в нуле выделенной в (1.6) явно степени к существование фурье-образа (гарантированное по физическому смыслу) может обеспечиваться только подавлением степенной сингулярности функцией /(т/к) в (1.6). Отсюда следует, что при малых к она должна быть нетривиальной, и что зависимостью / от своего аргумента т/к при вычислении фурье-образа ни в коем случае нельзя пренебречь. Это вносит существенную зависимость от т в Ост (г) при любых значениях г, в том числе и в инерционном интервале Л-1 «г « тГ1. Но здесь она может проявляться только в виде аддитивной константы, имеющей смысл = 0), поскольку

для разности 1>ст0*) — = 0) степенная сингулярность функции

(1.6) подавляется (при естественном предположении аналитичности

¡(т/к) по к в окрестности к = 0), поэтому предел т —} 0 в инерционном интервале для этой разности должен существовать.

Из сказанного следует, что с точностью до исчезающих при т -4- 0 поправок представление (1.7) в инерционном интервале Л-1 << г << т'1 принимает вид:

£>ст (г) = С^Ш/т)2'* - С2(Шг)2!г, (1.8)

где первое слагаемое есть Пст(г = 0), второе - разность Ист(т) — £>ст(0), ~ безразмерные положительные константы.

Представления типа (1.5), (1.6) можно написать и для более сложных корреляционных функций с любым числом полей у. Они вытекают только из гипотезы N2 и в совокупности означают наличие инфракрасной (поскольку условия к « А, и> « щА2 гипотезы N2 не предусматривают ограничений снизу) масштабной инвариантности (скейлинга) с вполне определенными "колмогоровскими" размерностями Ар = Д[.Р] всех "ИК-существенных" величин Р = {<£> = <р(х), т, i ~ о/-1, г ~ &-1} при несущественных щ:

Ау = -1/3, Д* = -Д,, = -2/3, Ак = -Аг = Ат = 1. (1.9)

Напомним, что "скейлинг" есть обобщенная однородность относительно совместного согласованного растяжения Р ХАрР с произвольным параметром А > 0 всех существенных величин Р при фиксированных несущественных (формально им можно приписать нулевые размерности). Инфракрасной (ИК-) асимптотике соответствует А -> 0, и утверждение о наличии скейлинга, строго говоря, относится не к точным функциям Грина, а лишь к ведущему члену их ИК-асимптотики А —¥ 0, поскольку в представлениях типа (1.5), (1.6) уже отброшены исчезающие при к/А—У 0, ш/иоА2 —)■ 0 поправки.

При таком понимании очевидна аналогия между ИК-скейлингом в теории турбулентности и хорошо известным критическим скейлин-гом в теории фазовых переходов [3]-[9]: в обоих случаях речь идет о свойствах масштабной инвариантности ведущих сингулярных членов ИК-асимптотики, устанавливаемых первоначально на уровне феноменологии, подтверждающихся экспериментально и нуждающихся в теоретическом объяснении. По поводу эксперимента нужно отметить, что для турбулентности, к сожалению, пока нет прямых экспериментальных данных о динамических объектах с частотной зависимостью. Надежные экспериментальные свидетельства в пользу ИК-скейлинга относятся только к статическим объектам и, в основном, к инерционному интервалу, хотя и здесь не исключена возможность наличия малых отклонений размерностей от их колмогоровских значений (1.9), см. [26]—[29]. Но эти отклонения, если они и есть, невелики, поэтому в дальнейшем мы будем считать ИК-скейлинг с размерностями (1.9) точным.

Задачей теории является обоснование скейлинга для заданной микромодели и расчет соответствующих критических размерностей ("колмогоровскими" будем называть только конкретные значения (1.9)) всех ИК-существенных величин. В теории критического поведения эта задача была успешно решена применением метода ренор-мгруппы (РГ). Этот метод позволяет для любой заданной флуктуа-ционной микромодели установить, имеется ли в ней ИК-скейлинг, и, если да, вычислить искомые критические размерности (= критические показатели = индексы) в форме е-разложений - степенных рядов по некоторому "параметру отклонения от логарифмичности" е. Конкретный смысл е зависит от модели; для большинства моделей теории критического поведения е = 4 — (1 - отклонение размерности

пространства от четверки с реальным значением ер = 4 — в, = 1 для трехмерной задачи. Все вычисления производятся с произвольным г и внутренне самосогласованы только в предположении асимптотической малости этого параметра; переход к реальному значению ер = 1 осуществляется лишь в окончательных ответах и всегда понимается как экстраполяция.

Вся эта схема оказывается приложимой и к теории турбулентности: исходной микромоделью считается стохастическая задача (1.1) с подходящим выбором коррелятора (1.2), в который вводится нужный параметр типа е (см. ниже) с определенным "реальным" значением £р (или областью значений). Стохастическая задача переписывается в форме квантово-полевой модели, к ней оказывается приложимой стандартная техника РГ, позволяющая доказать наличие ИК-скейлинга и вычислить критические размерности в форме е-разложений. Для указанных в (1.9) величин они обрываются на членах порядка £ и принимают колмогоровские значения (1.9) при подстановке г = ер.

Таким образом, метод РГ позволяет доказать наличие ИК-скейлинга в теории турбулентности, что эквивалентно обоснованию гипотезы N2 Колмогорова. Представления типа (1.5), (1.6) будут получаться как ИК-асимптотика общего решения уравнений РГ. Гипотеза N1 на таком языке есть некоторое утверждение о поведении при т —У 0 входящих в эти представления "скейлинговых функций" /, зависящих от критически (и канонически) безразмерных аргументов. В теории турбулентности, как и в теории критического поведения, подобные вопросы не относятся к компетенции метода РГ в прямом смысле слова, поскольку вид скейлинговых функций в общем решении уравнений РГ никак не определяется. Их можно вычислить по теории

возмущений в форме е-разложений, но это бесполезно для анализа сингулярностей т 0. Существенную информацию о скейлинговых функциях можно получать другими, более изощренными техническими методами, требующими обобщения РГ-техники на составные операторы. Эти вопросы подробнее обсуждаются в [30], [22], а здесь мы лишь хотим подчеркнуть, что с точки зрения РГ между гипотезами N1 и N2 имеется принципиальное различие.

Подчеркнем, что РГ-техника позволяет доказать лишь ИК-скейлинг, т.е. утверждение, эквивалентное гипотезе N2 и относящееся ко всей ее области применимости, в том числе и к области малых к ~ т. Переменная т в ИК-скейлинге является также существенной, т.е. "растягивается" при масштабных преобразованиях. В литературе под "колмогоровским скейлингом" обычно понимается иное, а именно, соотношения подобия, вытекающие из гипотезы N1 в ее области применимости. Но это не есть скейлинг в точном смысле слова, т.е. утверждение, относящееся ко всем функциям Грина рассматриваемой модели, поскольку гипотеза N1 справедлива лишь для некоторых статических объектов (именно некоторых, а не всех - см.(1.8)). Утверждения такого типа стандартной техникой РГ никогда не доказываются.

В заключение уточним вид "функции накачки" ¿р в корреляторе (1.2), используемой в РГ-теории турбулентности. По физическому смыслу реалистическая накачка должна быть инфракрасной, т.е. функция йр должна содержать параметр т « К и основной вклад в интеграл (1.4) должен набираться от масштабов к ~ т. С другой стороны, для использования стандартной квантово-полевой техники РГ важно, чтобы функция ¿р имела степенную асимптотику при больших к. Этому условию удовлетворяет используемая в работах [13],

[22] функция

dF = D0ké~d(k2 + m2)~s, (1.10)

где г > 0 - тот "параметр отклонения от логарифмичности", о котором говорилось выше. В данной модели он является независимым и не имеет никакого отношения к размерности пространства d (в отличие от теории критического поведения, где обычно г = 4 — d). Логарифмической теории (подробно в п. 1.4) соответствует значение £ = 0, а инфракрасной накачка (1.10) становится лишь при £ > 2. В области 0 < £ < 2 накачка (1.10) является ультрафиолетовой, интеграл (1.4) для нее на больших к расходится, тогда в нем подразумевается обрезание к < Ли интеграл набирается на масштабах к ~ Л, т.е. в этом случае W ~ Д)Л4-2е в отличие от W ~ D^rri^"2* для е > 2.

В большинстве работ по РГ-теории турбулентности используется более простая чисто степенная накачка

dF = D0kM% (1.11)

соответствующая т — 0 в (1.10). Это возможно, если интересоваться лишь обоснованием ИК-скейлинга и критическими размерностями (которые при любой накачке не должны зависеть от т), а прочие объекты типа скейлинговых функций вычислять по диаграммам теории возмущений только в форме £-разложений. Тогда переход к теории с т = 0 непротиворечив, поскольку коэффициенты е-разложений диаграмм всегда имеют конечные пределы при т —)■ 0. Но это, конечно, не является доказательством гипотезы N1 Колмогорова, поскольку для конечных £ в реальной области ИК-накачки е > 2 предел т —У 0 может не существовать. Поэтому гипотезу N1 можно обсуждать только в моделях типа (1.10) с параметром т и обязательно вне рамок £-разложения. Но если не касаться этих вопросов, то можно пользо-

ваться максимально упрощенной моделью (1.11). Для нее "реальным" считается значение ер = 2, соответствующее границе области ИК-накачки в (1.10), поскольку для е > 2 интеграл (1.4) с функцией (1.11) не существует из-за ИК-расходимости, а при s < 2 накачка ультрафиолетовая. Отметим, что при с = 2 параметр Dq в (1.11) приобретает размерность W. Отметим также, что идеализированной накачке бесконечно большими вихрями соответствует c?j?(k) ~ <£(к), а функцию Ck~d при подходящем выборе амплитуды С можно считать степенной моделью ¿¿-мерной ^-функции. Более реалистической является, конечно, модель накачки (1.10) или ее обобщение

dF = Dok^-^him/k), h{0) = 1 (1.12)

с произвольной "достаточно хорошей" функцией h(m/k), обеспечивающей сходимость интеграла (1.4) при малых к и нормированной на единицу при к » т, где (1.12) переходит в (1.11).

Как уже говорилось, большинство результатов РГ-теории турбулентности получено в рамках ^-разложений для модели (1.11) с т — 0. В некоторых работах использовалась модель (1.10), их результаты обобщаются непосредственно на модель (1.12) с произвольной функцией h{m/k). Она нетривиальна лишь в энергосодержащей области к ~ т и определяет вид скейлинговой функции f(m/k) из (1.6) в данной области (в низшем порядке е-разложения получается просто h ~ /). Большинство относящихся к инерционному интервалу результатов от выбора конкретной функции h вообще не зависит.

Стохастическая гидродинамика анизотропной турбулентной системы описывается прежним уравнением (1.1). Наличие выделенного направления п проявляется только в корреляторе шума (1.2), (1.3), в котором поперечный проектор к) заменяется выражением dPij + съЩП} с поперечным вектором nj(k) = Pij(h)rij и зависящими

только от угловой переменной соя2 в — (пк)2/к2 коэффициентами с^. Следуя [20, 21], в работах [14, 15] анизотропия предполагалась малой и в качестве коррелятора использовано выражение

к) = + Р1(Л}/А2))Ру + Р2ЩЩ] (1.13)

с функцией с1р(к) из (1.11) и новыми константами р\ ■> Ръ ~ "параметрами анизотропии". В записи (1.13) и всюду далее используется обозначение к2 = (кп)2, аналогично <Э| = (п<9)2 , а д2 = А - оператор Лапласа. Параметры р\ , р2 в (1.13) предполагаются малыми, все конкретные вычисления выполнены в первом порядке по р\ , р2 . Отметим, что коррелятор (1.13) обладает симметрией п —> —п.

1.2 Квантово-полевая формулировка

Хорошо известно [31]-[32], что любая стохастическая задача

дгр(х) = У(х- <р) + Г(х), (Р(х)Р(х')) = х') (1.14)

для поля или системы полей <р(х) = <£>(£, х) с произвольным, не содержащим производных <р по времени функционалом V и произвольным коррелятором Др гауссовой случайной силы Р при стандартном (как для (1.1)) доопределении эквивалентна квантовой теории удвоенного набора полей Ф = (р, ц>' с функционалом действия

5(Ф) = <р и¡2 + <р'[-дьч> 4- V] = = ! ¿Х(1Х,Ч>,{х)Ор(Х,Х1)Ч>,(Х') +

+ J ¿хф'(х)[-д&{х) + У(х; <р)]. (1.15)

Это значит, что статистические средние (...) случайных величин можно отождествить с функциональными средними с весом ехр5(Ф),

поэтому производящие функционалы полных (G(A)) и связных (W(A)) функций Грина задачи (1.14) представляются функциональным интегралом

G(A) = exp W(A) = J БФ ехр[5(Ф) + АФ] (1.16)

с произвольными источниками А = А^, А^ в линейной форме

АФ ее JdxlA^x^x) + А^(х)ч>'{х)\. (1.17)

Источник A(pi имеет смысл неслучайной внешней силы (добавки к V в (1.14)), поэтому, в частности, функция Грина {<р<р') модели (1.15) совпадает с простейшей функцией отклика S((p)/SAvi\a.=o в исходной задаче (1.14).

В дальнейшем всегда будем для краткости пользоваться приведенной в (1.15)-(1.17) компактной формой записи, подразумевая все нужные интегрирования по переменным х = t,x и суммирования по индексам полей Ф и источников А.

Интеграл (1.16) - стандартная конструкция квантовой теории поля, поэтому все функции Грина имеют стандартные фейнмановские диаграммные представления, см., например, [33]. Роль линий в диаграммах играют элементы 2x2 матрицы затравочных пропагаторов (ФФ)о, связанной соотношением (ФФ)о = с матрицей К в свободной (квадратичной по Ф) части действия Sq = — ФКФ/2. Если V = L<p + нелинейные члены (с некоторой линейной операцией L, ReL < 0), затравочные пропагаторы для действия (1.15) имеют вид

<*У)о = ШЪ = № - L)~\ <yV>0 = 0,

(1.18)

(<р<р) о = {¥>(р')оОр(<р'<р)о,

%% ггт и о / _

где 1 - символ транспонирования линеинои операции (перестановка аргументов в координатном представлении и дт = — д для про-

изводных). Пропагатор запаздывающий (это дополнительное

условие к задаче (1.14)), - опережающий, что вместе с равен-

ством (<р'<р')о = 0 приводит к исчезновению любой 1-неприводимой функции Грина (<р ... <р) только полей ц> (без из-за присутствия в ее диаграммах замкнутого цикла запаздывающих линий. По той же причине исчезают также все вакуумные петли и все связные функции (<р'.. .<р')св только полей (р' (без <р) [18].

Представление (1.15), (1.16) получено в работах [31]-[32], но сама диаграммная техника типа (1.18) была сформулирована ранее в [34], [35]-[36]. В теории турбулентности она известна как диаграммная техника Уайльда [34]. Функциональная формулировка (1.15), (1.16) существенно облегчает получение точных функциональных соотношений типа уравнений Швингера и, что особенно важно, позволяет применить к стохастической задаче (1.14) стандартную квантово-полевую технику РГ.

В [31]—[32] и других работах к действию (1.15) добавляют слагаемое с закороченной линией {ф<р')о, формально порождаемое определителем линейной операции —дг+бУ/бф. Эта добавка точно сокращает все

диаграммы с закороченной линией появляющиеся среди про-

. ¥ О О О О

чих по правилам феинмановскои диаграммной техники для действия (1.15), но не возникающие при построении диаграмм непосредственно итерациями стохастического уравнения (1.14). Следуя [18], условимся в дальнейшем просто доопределять в диаграммах закороченную линию нулем. Такое доопределение приводит к одновременно-

му исчезновению лишних диаграмм и компенсирующей их добавки к действию (1.15).

Применение сформулированной выше общей теоремы к стохастическим уравнениям ланжевеновского типа приводит к квантово-полевым

моделям критической динамики [9]. Лля стохастического уравнения Навье - Стокса (1.1), (1.2) таким путем получается теория двух поперечных векторных полей Ф = ср' с функционалом действия

5(Ф) = 4>'DF<p'/2 + ip'l-dt<p + v0A<p - [<рд)<р], (1.19)

в котором Dp — коррелятор случайной силы (1.2). Поперечность вспомогательного поля ц>' позволяет опустить в (1.19) чисто продольный вклад д{Р из (1.1).

Затравочные пропагаторы (1.18) для модели (1.19) в изотропном случае в импульсно-временном представлении имеют следующий вид

(ipip1)о = 9{t - t')exp{vk2(t' -1)} , (^У)о = 0 ,

(1.20)

(<р<р)о = dF(k)exp{-vk2 | t-t' |}/2vk2

с функцией dF(k) из (1.3). По векторным индексам все линии кратны поперечному проектору Рц(к), который в записи (1.20) опущен, но всегда будет подразумеваться. Взаимодействию в (1.19) отвечает трехконцовая вершина —<р'(угд) = (p'iVijsVjVsl2 с вершинным множителем

Vijs — i(kjS{S + ks5ij) , (1.21)

где k - импульс, втекающий в вершину через поле <р'. На рис.1 приведены для иллюстрации диаграммы точных функций Грина (<р<р) и (w') в однопетлевом приближении.

= »-н .—к у—н

Рис.1.

Линиям диаграмм отвечают затравочные пропагаторы (1.20), вершинам - множители (1.21), перечеркнутый конец линии соответствует полю <£>', неперечеркнутый - полю ср.

Роль параметра разложения в теории возмущений ("константа связи" или "заряд" в терминологии квантовой теории поля) играет до = А)/^3 с А) из (1.12). В некоторых работах, например [13], вводится дополнительный формальный параметр разложения Ао (реальное значение Ао = 1) как множитель при вершине (1.21). Это удобно, если диаграммы строятся непосредственно итерациями уравнения (1.1), но не обязательно, поскольку фактическим параметром разложения является тогда комбинация доА2- Мы не будем вводить Ао, чтобы не искажать простой вид ковариантной производной V* = + {<¿>9) в (1.1).

1.3 Анализ сингулярностей диаграмм теории возмущений

Поясним проблемы, возникающие в теории возмущений для модели (1.19) с накачкой типа (1.12) на примере парного коррелятора скорости, следуя работе [22]. При конечном г > 0 все диаграммы коррелятора в области больших импульсов и частот сходятся, поэтому могут вычисляться без УФ-обрезания Л. При таком способе вычислений (общепринятом для моделей теории критического поведения с размерной регуляризацией) возникающие при е —> 0 УФ-расходимости

проявляются в форме полюсов по г, а ряд теории возмущений для коррелятора принимает вид

ентах Ап. Из (1.22) видно, что для определения асимптотики к —у О при фиксированном заряде до и коэффициентах Ап необходимо суммировать весь ряд - в этом и состоит "первая ИК-проблема", которая решается методом РГ. На уровне канонических размерностей это проблема определения асимптотики А -У 0 для выражения (1.22) с заменой к —У А к, ш —У А2о>, т —У А т при фиксированных "несущественных переменных" до, При более точной формулировке первой ИК-проблемы, как следует из РГ-анализа, канонические значения показателей степеней А для всех ИК-существенных переменных Р следует заменить их критическими размерностями Ар, причем все они также подлежат определению (кроме Ад. = 1 - это просто условие нормировки размерностей).

Следует подчеркнуть, что сфомулированная выше ИК-проблема нетривиальна при любом £ > 0, в том числе и для области 0 < е < 2, когда накачка (1.12) является ультрафиолетовой. В этой области из (1.4) имеем \¥ ~ ПоА4~2е с точностью до несущественного безразмерного коэффициента порядка единицы, что вместе с определениями А = (ИУг/^)1/4 и до = По¡у\ дает до ~ А2е. Аналогично для области ИК-накачки е > 2 из (1.4) имеем \¥ ~ ОотА~2£ , откуда следует до ~ (А/т)4т2г. В обоих случаях безразмерный параметр разложения до/к2е в искомой ИК-асимптотике не мал ((Л//е)2е: в первом случае и Л4//г2гт4_2г во втором), следовательно, ряд (1.22) нужно суммировать, что и есть "первая ИК-проблема". Поэтому нельзя ото-

00

(1.22)

п= 1

где до — Оо/ъ'о с Оо из (1.12), полюса по е содержатся в коэффици

ждествлять характер накачки и соответствующих сингулярностей: даже для накачки УФ-типа с 0 < е < 2 в (1.12) ряд теории возмущений содержит ИК-сингулярности, которые и суммируются методом РГ.

Из приведенных выше оценок видно, что эти сингулярности ослабляются с уменьшением параметра е > 0 и формально исчезли бы совсем при г — 0, если бы этот предельный переход удалось осуществить в (1.22). Но это невозможно из-за присутствия в (1.22) УФ-расходимостей - полюсов по е. Устранение этих полюсов есть классическая "УФ-проблема", общее решение которой дается теорией УФ-ренормировки. В рамках этой теории получаются и уравнения РГ, выражающие простую идею неоднозначности ренормировки. Сказанное выше относительно предела е —)■ 0 до некоторой степени поясняет, почему метод РГ, генетически связанный с проблемой УФ-расходимостей, оказывается полезным инструментом для решения на первый взгляд совершенно другой проблемы ИК-сингулярностей.

Решение "первой ИК-проблемы" приведет к обоснованию гипотезы N2 Колмогорова. Гипотеза 1 связана со "второй ИК-проблемой" - возможным наличием сингулярностей при т/к —> 0 коэффициентов Ап в (1.22). В нашей модели (1.12) с конечным значением г такие сингулярности действительно существуют, так что проблема нетривиальна. Как уже говорилось, эта вторая ИК-проблема, в отличие от первой, не решается автоматически пересуммированием рядов теории возмущений с помощью обычной техники РГ. В моделях критического поведения аналогичные проблемы также существуют и решаются в рамках теории ренормировки составных операторов с помощью операторного разложения Вильсона [37], [38]. Эти вопросы подробно обсуждаются в работе [22], а здесь лишь отметим, что

вторую ИК-проблему всегда обсуждают уже в рамках общего решения первой, т.е. после отбрасывания всех несущественных по общей ИК-размерности поправок. Другими словами, сначала выделяется только ведущий член ИК-асимптотики А —О (см. выше) при любом фисированном отношении т/к, и уже потом обсуждается асимптотика т/к —> 0 этого выражения.

1.4 Ультрафиолетовая ренормировка. Уравнения ренормгруппы

Приведем необходимые для дальнейшего краткие сведения о квантово-полевой теории ренормировки и аппарате РГ, подробное изложение можно найти в монографиях [39], [37].

Мы будем говорить о моделях, в которых диаграммы вычисляются без УФ-обрезания Л (эта величина может входить лишь через параметры типа до), а УФ-расходимости проявляются в форме полюсов по некоторому безразмерному "параметру отклонения от логариф-мичности" е. Сюда относятся модели типа (1.19), а также различные конкретные модели теории критического поведения с размерной регуляризацией [40], [41].

Устраняющая УФ-расходимости (в данном случае - полюса по е) процедура мультипликативной ренормировки состоит в следующем: исходное действие £(Ф) объявляется неренормированным, его параметры во (буквой е обозначен весь набор параметров) - затравочными, они считаются некоторыми (подлежащими определению) функциями новых ренормированных параметров е, а новым ренормирован-ным действием считается функционал 5д(Ф) = 5(,£фФ) с некоторыми (таклсе подлежащими определению) константами ренормировки полей (по одной на каждую независимую компоненту поля Ф). В

неренормированных полных функциях Грина Стп — (Ф ... Ф) функциональное усреднение (...) проводится с весом ехр5(Ф), в ренорми-рованных функциях - с весом ехр5д(Ф), из связи между функционалами 5 и вытекает связь = между соответствующими функциями Грина, при этом по определению С?п = С?п(ео,с,...) (многоточие - прочие аргументы типа координат или импульсов), а величины и Zф, по соглашению, выражаются через параметры е. Соответствие ео О е в рамках теории возмущений преполагает-ся взаимно-однозначным, поэтому независимыми переменными можно считать любой из наборов во или е.

Лля дальнейшего удобнее работать не с полными функциями Грина, = (Ф...Ф), а с их связными = (Ф...Ф)СВ или с 1-непри-водимыми Гп = (Ф ... Ф) 1„н частями. Связь между соответствующими производящими функционалами выражается соотношением (1.16), из которого по известному (см. выше) правилу ренормировки <?п находятся аналогичные формулы ренормировки для \¥п и Гп, в подробной записи

...) = ЯГ(е,е)^„(ео(е,е),е,...), Г*(е, £,...) = е)Гп(е0(е, е), е,...). (1.23)

Входящие сюда функции ео(е,£), 2щ>(е,£) можно выбирать произвольно, что соответствует произволу выбора нормировки поля и параметров е при заданных ео- Основное утверждение теории ренормировки состоит в том, что для так называемых мультипликативно-ренорми-руемых моделей эти функции можно выбрать так, чтобы обеспечить УФ-конечность (в данном случае конечность предела е 0) функций И^(е, £,...) при фиксированных параметрах е. При таком выборе все УФ-расходимости (полюса по е) оказываются сосредоточенными в функциях ео(е,е) и Zф(e,£) и отсутствуют в ренормированных

функциях И^(е, е,...). Отметим, что из УФ-конечности в указанном смысле какой-нибудь одной системы функций Грина (полных, связных или 1-неприводимых) автоматически следует УФ-конечность и любой другой, в дальнейшем для определенности будем говорить о связных функциях \¥п.

Уравнения РГ пишутся для ренормированных функций , которые отличаются от исходных неренормированных И^ только нормировкой и поэтому с равным правом могут использоваться для анализа критического скейлинга. Приведем простой вывод уравнений РГ [22]. Требование устранения расходимостей не определяет функции ео(е, е), е) однозначно, в них остается произвол, допускающий

введение в эти функции (а через них - и в УУ^) дополнительного размерного параметра - ренормировочной массы ¡л:

е,...) = ¡л, е)1¥п(е0(е, е), е,.. .)• (1.24)

Изменение /г при фиксированных во ведет к изменению е, и И7^ при неизменных И^ео, ...). Обозначим через Т>ц дифференциальную операцию при фиксированных ео и подействуем ею на обе части равенства ¿ГфИ^ = Это и даст основное дифференциальное уравнение РГ:

[Т>яс + п7ф]/I, е,...) = 0, 7ф = Ь (1.25)

гч>

где Т>лс ~ оператор Т>ц = выраженный в переменных е, ц:

= V» = ^ + ]Г(2>^е)<Эе, (1.26)

е

с суммированием по всем ренормированным параметрам е. Коэффициенты дифференциального оператора (1.26) и у§> из (1.25) называются РГ-функциями и вычисляются через различные константы ренормировки Я. Все РГ-функции УФ-конечны, т.е. не имеют полюсов по

е, это - следствие УФ-конечности функций в (1.25). Отметим, что из формул ренормировки Г* в (1.23) получится аналогичное (1.25) уравнение с заменой 7$ —> —7ф.

В общей теории ренормировки [37] различают неренормированное (5), ренормированное (5д) и базовое (Бв) действие, последнее получается из 5 заменой всех затравочных параметров их ренорми-рованными аналогами. УФ-расходимости устраняются добавкой к базовому действию Б в всех необходимых контрчленов А5, которые находятся по известным правилам (см. ниже). Если получаемое таким путем ренормированное действие 5#(Ф) = 5^(Ф) + Д5(Ф) можно воспроизвести изложенной выше процедурой переопределения полей и параметров в исходном неренормированном действии 5(Ф), модель является мультипликативно-ренормируемой. Поэтому первым шагом при РГ-анализе любой модели является определение явного вида всех необходимых для устранения УФ-расходимостей контрчленов и проверка мультипликативной ренормируемости теории.

Вид необходимых контрчленов определяется по каноническим размерностям 1-неприводимых функций Грина базовой теории с действием Бв- Динамические модели типа (1.15), в отличие от статических, двухмасштабны, т.е. каждой величине Р (поля и параметры в функционале действия) можно сопоставить [18] две независимые канонические размерности - импульсную <1кр и частотную определив их из естественных условий нормировки

4 = = 1, = <% = о = = о = = 1,

и требования безразмерности (импульсной и частотной) каждого слагаемого функционала действия. По ¿кр и <1р можно затем ввести "суммарную" (полную) каноническую размерность ¿р. Определение этой величины в общем случае зависит от модели; для модели (1.19) сле-

дует положить dp = dkF + 2dp, поскольку в действие (1.19) входит комбинация dt + const • А, т.е. ш ~ к2 по суммарной размерности.

Суммарная размерность dp играет в теории ренормировки динамических моделей такую же роль, как обычная (импульсная) размерность в статических задачах. Канонические размерности произвольной 1-неприводимой функции Грина Г = (Ф... Ф) i_H для «¿-мерной задачи определяются соотношениями

d*=d-J24 = , (1.27)

ф ф

dT = dip + 2 dp = d + 2 — ^ ^ d§

ф

с суммированием по всем полям Ф, входящим в данную функцию Г. Значение суммарной размерности dг в логарифмической теории, т.е. при с — 0, есть формальный индекс УФ-расходимости S = dr(z = 0) (мы формулируем сейчас общие правила, в нашей модели (1.19) размерности (1.28) от е не зависят. "Поверхностные УФ-расходимости", для устранения которых требуются контрчлены, могут присутствовать только в тех функциях Г, для которых 6 есть целое неотрицательное число [39], [37].

При анализе расходимостей нужно также учитывать следующие дополнительные соображения:

1. Для любой динамической модели типа (1.15) все 1-неприводимые функции Грина только основных полей <р (без <р') обращаются в нуль (см. п.1.2) и поэтому, естественно, не порождают контрчленов.

2. Если по каким-либо причинам из всех диаграмм данной функции Грина выделяется наружу в виде множителей некоторое число

внешних импульсов или частот, реальный индекс расходимости 8' оказывается меньше 8 = ¿¿г(е = 0) на соответствующее число единиц (функция Г порождает контрчлены, только если 8' - неотрицательное целое число).

3. Иногда формально разрешенные по размерности расходимости отсутствуют в силу требований симметрии, например, галилее-вой инвариантности модели (1.19).

Эти общие соображения и формулы (1.28) позволяют для любой динамической модели перечислить все "поверхностно расходящиеся" функции Г и найти явный вид соответствующих контрчленов -добавок Д5(Ф) к базовому действию £#(Ф). Контрчлены порождаются каждой диаграммой поверхностно расходящихся (8' = 0, 1,2 ...) функций Г и строятся по следующим правилам:

1. Контрчлен диаграммы данной функции Г = (Ф ... Ф) 1_н содержит столько же полей, что и Г.

2. Любой контрчлен А5(Ф) обязательно локален, т.е. представляется одним интегралом по х = I, х от произведения полей Ф и их производных в данной точке х.

3. Суммарная размерность всех производных дt и д в каждом контрчлене равна 8 = (¿г(е = 0).

4. Если размерности (1.28) для поверхностно расходящихся функций Г отличаются от целочисленных на величину порядка е, то соответствующие поправки в контрчленах всегда воспроизводятся множителями

В заключение отметим, что ввиду обязательной локальности всех контрчленов нелокальные вклады действия (если они есть) никогда не ренормируются, т.е. одинаковы в £в(Ф) и в

1.5 Ренормгрупповой анализ стохастической гидродинамики при наличии анизотропии.

Рассмотрим сначала упрощенную изотропную "безмассовую" модель со степенной накачкой (1.11). Соответствующие неренормиро-ванное и базовое действия имеют вид

5(Ф) = 2У/2 + ч*[-Ъч> + Ду> - (<рд)<р], (1.28)

5*(Ф) = д^рРр'к*-*-2*?'/2 + <р'[-дг<р + г'Ду - (<рд)<р]. (1.29)

Нелокальный вклад записан символически, нужные суммирования по индексам поперечных векторных полей Ф = <р7 <р' и интегрирования по х = ¿,х подразумеваются, р, в (1.29) - ренормировочная масса, е0 = {щ,<?о} ~~ затравочные, а е = {г/, д} - соответствующие ренорми-рованные параметры.

Канонические размерности полей и параметров модели для случая произвольной размерности <1 пространства х приведены в таблице:

р Ч> т, рь 9о 9

4 -1 а+1 1 -2 -2 2е 0

1 -1 0 1 3 0 0

с1р 1 а-1 1 0 4 2е 0

По этим размерностям из (1.28) находим 8 = ¿^ = ¿ + 2 — п<р — — (с2 — 1)гЪ(р1, где п<р и п^ - числа соответствующих полей в Г. Из (1.21) видно, что на каждую внешнюю линию <р' в диаграммах Г обязательно выделяется множитель д. Отсюда следует, что число производных

в контрчлене не меньше, чем п^ и 8' = 8 — яу = в, + 2 — п^, — (¿п^ по правилам п. 1.4. По виду 8 и 8' заключаем, что при ¿>2 поверхностные расходимости есть лишь в 1-неприводимых функциях (ср'ср) (8 = 2, 8' = 1) и (8 = 1, = 0), а в соответствующих контрчленах обя-

зательно есть символ д. Поэтому первая функция порождает только контрчлен р'Др без добавки <р'дг<р той же размерности, а вторая порождает контрчлен с тремя полями <р',<р,(р и одним д, всегда сводящийся к (р'(<рд)<р при учете поперечности всех полей. Но этот разрешенный по размерности контрчлен в действительности запрещен галилеевой инвариантностью [13], которая требует, чтобы операции д% и (<рд) входили в контрчлены лишь в виде ковариантной производной V* = + (<рд). Поэтому из отсутствия контрчлена (р'д^ следует отсутствие В особом случае с1 = 2 появляется новая поверх-

ностная расходимость в 1-неприводимой функции {ф'<рг} (8 = 2, 8' = 0), порождающая контрчлен <р'А<р'. Двумерная задача рассматривается в [42], а мы будем всегда считать ¿> 2.

Для ¿>2 нужен только один контрчлен <р'Д(р. Его добавка к (1.29) приводит к ренормированному действию

5Л(Ф) = д/л^Ук*-*-2У/2 + <р'1-Ъ(р + - {<рд)<р], (1.30)

в котором - константа ренормировки. Она полностью безразмерна и поэтому может зависеть только от единственного полностью безразмерного ренормированного параметра д (зависимость от е и в, всегда подразумевается).

Явный вид зависит от выбора "схемы вычитаний". Назначением контрчлена является сокращение полюсов по г в диаграммах, поэтому коэффициент при контрчлене обязан содержать такие полюса. Но его конечная часть может выбираться произвольно, ее фиксация и есть выбор "схемы вычитаний". Наиболее удобной в практических

расчетах является "схема минимальных вычитаний" (МБ) (см., например, [37]), в которой контрчлены содержат только полюса по е и никаких конечных вкладов. Физические разультаты от выбора конкретной схемы не зависят, поэтому выбор схемы - вопрос удобства, и мы всегда будем пользоваться принятой в большинстве современных работ схемой МБ.

В этой схеме из расходящихся выражений при ренормировке вычитаются только полюса по г без изменения конечных вкладов, а константы ренормировки 2 всегда имеют следующий вид:

оо оо п

г = 1 + ^Гак(д)е-к = 1 +

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Ким, Татьяна Лорановна

4 Заключение

Приведем в заключение основные результаты, полученные в диссертации.

1. Проведен ренормгрупповой анализ влияния анизотропии на спе о ктры развитой турбулентности, показавший, что для трехмерных систем анизотропия не нарушает колмогоровский режим турбулентности.

2. Показано, что наличие выделенного направления в турбулентном потоке приводит к появлению дополнительных трех "анизотропных" эффективных вязкостей, рассчитана их величина в длинноволновой области по отношению к изотропной эффективной вязкости.

3. Доказано, что колмогоровский режим достигается при произвольных значениях "затравочных" вязкостей, в том числе при реальных - когда в коротковолновой области анизотропные вязкости равны нулю. Для этого произведен расчет эффективных вязкостей во всем диапазоне волновых чисел.

4. Показано, что влияние анизотропии растет с уменьшением размерности пространства и может привести в двумерной системе к радикальной смене режима турбулентности.

5. Показано, что влияние анизотропии на процесс турбулентного перемешивания скалярной пассивной примеси приводит к появлению дополнительного, анизотропного коэффициента диффузии, вычислен соответствующий анизотропный коэффициент Прандтля. Доказано, что анизотропия не нарушает закона "четырех третей" Ричардсона.

6. Проведен ренормгрупповой анализ семейства скалярных галиле-ево-инвариантных составных операторов канонической размерности шесть. Вычислены соответствующие им критические размерности. Проанализирован вклад этих операторов в инфракрасные поправки к колмогоровскому спектру.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ким, Татьяна Лорановна, 1998 год

Список литературы

[1] Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика (М.: Наука, 1967) 4.2.

[2] Stueckelberg Е., Peterman A.//Helv.Phys.Acta. 1953. Y.26. P.499-520, Gell-Mann M., Low F.//Phys.Rev.l954. V.95. P.1300-1312.

[3] Wilson K.//Phys.Rev. 1971. Y.B4. P.3174-3184.

[4] Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение (М.: Мир, 1975).

[5] Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов (М.: Наука, 1982).

[6] Фишер М.Природа критического состояния.М.:Мир, 1968, 145 с.

[7] Паташинский А.З., Покровский В.Л.// ЖЭТФ. 1964 Т.46. С.994-1006, ЖЭТФ.1966. Т.50. С.439-450,

Widom B.//J.Phys.Chem.l965. V.43. Р.3892-3905,

Domb С., Hunter D.L.//Proc.Phys.Soc. 1965. V.86. Р.1147-1151.

[8] Wilson К., Fisher M.//Phys.Rev.Lett. 1972. V.28. P.240-243.

[9] Halperin B.I., Hohenberg P.C.//Rev.Mod.Phys. 1977. V.49. P.435.

[10] Brezin E., Le Guillou J.C.//Rev.Mod.Phys. 1977. V.49. P.435-442.

[11] Колмогоров А.Н.//ДАН СССР. 1941. T.30. C.299-303, Обухов A.M.//ДАН СССР. 1941. Т.32. С.22-24.

[12] Forster D., Nelson D.R., Stephen M.J.//Phys.Rev.Lett. 1976. V.36. P.867.

[13] De Dominicis С., Martin P.C.//Phys.Rev.A. 1979. V.19. P.419.

[14] Ким T.JI., Сердюков А.В.//Теор.мат.физ. 1995. T.105. C.412-422.

[15] Ким Т.Л.//Вестник СПбГУ. 1996. Сер.4. Вып.З (N18). С.71-75.

[16] Аджемян Л.П., Антонов Н.В., Ким Т.Л.//Теор.мат.физ. 1994. Т.100. С.382-401.

[17] Аджемян Л.Ц., Ким Т.Л.//Вестник СПбГУ. 1992. Сер.4. Вып.З (N18). С.71-75.

[18] Аджемян Л Л., Васильев А.Н., Письмак Ю.М.//ТМФ. 1983. Т.57. С.286.

[19] Лебедев В.В., Львов В.С.//Письма ЖЭТФ. 1994. Т.59. С.546.

[20] Rubinstein R., Barton J.M.//Phys.Fluids.l987. V.30. Р.2987.

[21] Carati D., Brenig L.//Phys.Rev. 1989. V.A40.N9. P.5193-5198.

[22] Аджемян Л.IX., Антонов H.B., Васильев А.Н.//ЖЭТФ. 1989. Т.95. С.1272-1288.

[23] Kraichnan R.H.//Phys.Rev.Lett. 1997. V.78. Р.4922.

[24] Adzhemyan L.Ts., Antonov N.V., Vasil'ev A.N.//Renormalization Group, Operator Product Expansion, and Anomalous Scaling in a Model of Advected Passive Scalar. Preprint SPbU-98-4.

[25] Кадомцев Б.Б. Вопросы теории плазмы, т.4 (М., Атомиздат, 1964), с.188.

[26] Antonia R.A., Satyaprakash B.R., Hussian A.K.M.F.//J.Fluid.Mech. 1982. V.119. P.55.

[27] Anseimet F., Gagne Y., Hopfinger E., Antonia R.A.//J.Fluid.Mech. 1984. V.140. P.63.

[28] Кузнецов В.Р., Сабельников В.А. Турбулентность и горение (М., Наука, 1986).

[29] Кузнецов В.Р., Прасковский A.A., Сабельников В.А.// Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. 1988.N6. С.51.

[30] Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н.//УФН. 1996. Т.166. С.1257.

[31] Janssen H.K.//Z.Phys. В.1976. V.23. Р.377;

Bausch R., Janssen H.K., Wagner H.// Z.Phys. B.1976. V.24. P.113.

[32] De Dominicis C.//Journ. de Phys.1976. V.37.Suppl.Cl. P.247.

[33] Васильев A.H. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике (JI.: ЛГУ, 1976).

[34] Wyld H.W.//Ann.Phys.l961. V.14. Р.143.

[35] Келдыш Л.В.//ЖЭТФ. 1964. Т.47. С.1515.

[36] Martin P.C., Siggia E.D., Rose H.A.//Phys.Rev. A. 1973. V.8. P.423.

[37] Коллинз Дж. Перенормировка (M.: Мир, 1988).

[38] Zinn-Justin J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena (Oxford: Clarendon, 1989).

[39] Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей (М.: Наука, 1984).

[40] Brezin E., Le Guillou J.С., Zinn-Justin J., in Phase Transitins and Critical Phenomena, Vol6 (Ed. by C. Domb, M.S. Green) (N.Y.: Academic, 1976) p. 125.

[41] Amit D.J. Field Theory, the Renormalization Group, and Critical Phenomena (N.Y.: McGraw-Hill, 1978).

[42] Honkonen J., Nalimov M.Yu.// Z.Phys. B.1996. V.99. P.297.

[43] Антонов H.B., Рунов A.B.// ТМФ. 1997. Т.112. N3. С.417-427.

[44] Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Гнатич М.// ТМФ. 1984. Т.58. С.72-78.

[45] Adzhemyan L.Ts., Hnatich М., Horvath D., Stehlik M.// Int.J.Mod.Phys. 1995. V.B9. N26. P.3401-3419.

[46] Аджемян Л.Д., Васильев A.H., Гнатич M.// ТМФ. 1988. Т.74. С.180.

[47] Попов В.Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике (М.: Атомиздат, 1976).

[48] Львов B.C., Препринт N53 ИАиЭ (Новосибирск: ИАиЭ СО АН СССР, 1977).

[49] Белиничер В.И., Львов В.С.//ЖЭТФ. 1987. Т.93. С.533; LVov V.S.//Phys.Rep. 1991. V.207. P.l.

[50] Моисеев С.С., Сагдеев Р.З., Тур A.B., Яновский В.В.//ЛАН СССР. 1983. Т.271. С.856; Моисеев С.С., Тур A.B., Яновский В.В.//ЛАН СССР. 1984. Т.279. С.96.

[51] Sagdeev R.Z., Moiseev S.S., Tur A.V., Yanovskii V.V., in Nonlinear phenomena in plasma physics and hydrodynamics (Ed. R.Z.Sagdeev) (M.: Mir, 1986) p.138.

[52] Тур А.В., Яновский B.B., Препринт ИКИ Пр-1203 (М.: ИКИ АН СССР, 1986).

[53] Антонов Н.В.// ЖЭТФ. 1994. Т.105. С.614.