Методика аксиоматического введения в курс геометрии восьмилетней школы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Грузин, Александр Иванович

• Грузин, Александр Иванович
• кандидат педагогических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Грузин, Александр Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ

ГЕОМЕТРИИ ПРИ АКСИОМАТИЧЕСКОМ ПОСТРОЕНИИ

КУРСА.Ю

§ I. Роль и значение аксиоматического метода в математике.

§ 2. Характеристика систем аксиоматического построения школьных курсов геометрии

§ 3. Педагогические условия успешного

•осуществления аксиоматического введения в курс геометрии восьмилетней школы

Глава П. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ РАЗДЕЛОВ

АКСИОМАТИЧЕСКОГО КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ.

§ 4. Организация изучения аксиом и определений

§ 5. Обучение доказательству геометрических утверждений.

§ 6. Педагогический эксперимент

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методика аксиоматического введения в курс геометрии восьмилетней школы»

В ходе последней реформы математического образования курс математики был подвергнут значительной перестройке. Это было вызвано прежде всего тем, что особенности современного развития нашего общества требовали, чтобы школа давала своим ученикам знания соответствующие новейшим достижениям науки и техники. "Человек, имеющий полное среднее образование, не был знаком с величайшими достижениями науки XX в., не имел представления об изменении роли математики в современном мире, что не давало возможности модернизировать и другие курсы - физики, химии, биологии" (22).

Реализация столь продвинутой реформы не могла обойтись без определенных издержек, большинство из которых были выявлены в течение ряда последних лет" (117).

Важные общие вопросы, вытекающие из анализа итогов перехода ицсолы на новое содержание преподавания, были поставлены на обсуждение в статье академиков В.С.Владимирова, Л.С.Нонтрягина, А.Н.Тихонова (24), в последующих статьях академиков Л.В.Канторовича и С.Л, Соболева (47), академика АПН СССР А.И.Маркушевича (67). Проблемы преподавания математики стали предметом заинтересованного обсуждения в печати. Так в известной статье академика Л.С.Понтря-гина (94) на страницах журнала "Коммунист" указывалось, что в ряде школьных учебников математики искажены правильные представления о природе математических знаний и предмете математики, устанавливаются неправильные соотношения теоретических и практических аспектов, формальных и содержательных подходов. Неоправданное преувеличение роли и места теоретико-множественного подхода привело к чрезмерной общности рассмотрений, существенно перегрузило учебники и сделало их трудными для понимания и усвоения.

Особенно сложное положение сложилось с преподаванием геометрии. Как известно, в учебных пособиях (58) и (54) по геометрии была реализована теоретическая концепция построения курса на основе геометрических преобразований. Однако она не получила адекватного методического воплощения: по мнению общественности, учебники оказались чрезмерно сложными и мало доступными для учащихся массовой школы. Особенно большую критику вызвал начальный этап изучения геометрии, связанный с изучением аксиом, определений и доказательством первых теорем.

Поэтому все чаще и чаще стали высказываться мнения о возвращении к традиционной системе преподавания геометрии, реализованной на более высоком научном уровне.

Это вполне соотносится с требованиями к школьным учебникам, выдвинутыми в ходе реформы общеобразовательной и профессиональной школы. Выступая на апрельском (1984 г.) Пленуме ЦК КПСС, Генеральный секретарь ЦК КПСС, Председатель Президиума Верховного Совета К.У.Черненко сказал: "Сегодня весь учебный процесс должен в гораздо большей мере стать носителем мировоззренческого содержания. Разгружая учебные программы, создавая новые, толковые учебники, нельзя облегчать их идейно, снижать научный уровень преподавания" (2, с.7).

Одним из таких пособий по геометрии, написанных еще при переходе на новое содержание преподавания, стало учебное пособие "Геометрия 6-10" академика Л.В. Погорелова (90). а) учебное пособие А.В.Погорелова реализует традиционную схему построения школьного курса геометрии, когда в основу изложения положены свойства равенства для простейших фигур (отрезков, углов, треугольников). Основным аппаратом доказательства является использование признаков равенства треугольников; б) в то же время оно написано на высоком научном уровне и впервые основная линия школьной геометрии здесь выстроена строго дедуктивно на основе весьма экономной системы естественных аксиом; в) пособие А.В. Ногорелова обладает и интересными педагогическими особенностями (например, оно написано в соответствие с концепцией краткого учебника, содержит в себе оригинальную систему вопросов для повторения и др.).

Начиная с 1979-1980 учебного года проводилась экспериментальная проверка этого пособия, в которой диссертант принимал непосредственное участие. Одной из целей эксперимента на завершающем его этапе яЪилась разработка методического обеспечения учебного процесса в массовой школе при преподавании по пособию А.Б. Погорелова. С этой целью при активном участии автора диссертации проводились Исследования математических и педагогических особенностей пособия, разрабатывалась и внедрялась методика обучения.

Особенно это 'относилось к начальному этапу изучения систематического курса геометрии, строящегося на аксиоматической основе - этапу введения аксиом, основных понятий и разворачиванию на их основе курса, до получения основного аппарата доказательств. Процесс осуществления этого этапа назван нами аксиоматическим введением.

Общеизвестно, какими трудностями сопряжено начало изучения систематического курса геометрии восьмилетней школы.

Этому вопросу посвящены многие исследования. Однако, часть этих исследований (например, Г.А.Буткина (21), С.А.Кузьминой (63), Е.Ф. Даниловой (37), Т.Н. Нестеренко (78), В.С.Пономарева (93) и др.) относится к методике обучения по учебникам А.П.Киселева или Н.Н.Никитина. В указанных учебниках, как известно, хотя и представлен систематический курс геометрии для школы, но он не строится на аксиоматической основе. Поэтому и методика, представленная в этих исследованиях не адекватна учебникам, написанным на аксиоматической основе.

Другая часть исследований (например, А.М.Абрамова (5), С.Г.Губы (35), В.М.Давода (36), Н.А.Копытова (62), З.П.Мотовой (77), З^И.Новосельцевой (87), Г.И.Саранцева (106) и др.) посвящена методике работы по пособию под редакцией А.Н.Колмогорова. Понятно, что методика изучения геометрии, когда основной стержень изложения различен, должна быть различной.

Кроме того, этот этап в пособии А.В. Погорелова не имеет аналогов в методической литературе. Более того имеются высказанные авторитетными лицами возражения против построения школьного курса геометрии на аксиоматической основе, начиная с У1 класса.

Поэтому задача разработки эффективной методики аксиоматического введения выходит на первый план в методике обучения геометрии по пособию А.В. Погорелова.

Этим и обуславливается актуальность темы нашего исследования.

Проблема исследования состояла в выявлении и обосновании педагогических условий успешного осуществления процесса введения аксиом, понятия; доказательства первых теорем; а также в создании и обосновании методики аксиоматического введения, адекватной выявленным педагогическим условиям.

Решение поставленной проблемы потребовало рассмотрения ряда частных задач:

- Определить роль и значение этапа аксиоматического введения при обучении геометрии в восьмилетней школе.

- Выявить и обосновать педагогические условия успешного осуществления аксиоматического введения.

- Разработать методику изучения аксиом и определений при осуществлении аксиоматического введения.

- Разработать методику обучения доказательствам при аксиоматическом введении.

Для решения поставленной проблемы использовались следующие методы исследования:

- изучение трудов классиков марксизма-ленинизма, материалов партийных съездов, директивных документов партии и правительства о школе;

- анализ психолого-педагогической, методической и математи ческой литературы по проблеме исследования;

- анализ программ, действующих и пробных учебных пособий по геометрии;

- анализ личного опыта преподавания в качестве учителя математики средней школы (12 лет) и его обобщение с целью более глубокого раскрытия исследуемой проблемы;

- изучение и анализ практики преподавания учителей по учебному пособию А.В.Погорелова; проведение педагогического эксперимента по разработанной методике.

Экспериментальной базой исследования послужили школы г.Харькова и Харьковской области, участвующие в экспериментальной проверке учебного пособия А.В.Погорелова.

Общая цель диссертационного исследования заключалась в разработке эффективной методики обучения начальным разделам систематического курса геометрии, построенного на аксиоматической основе. Эта методика должна быть непосредственно применима к организации обучения по пособию А.В.Погорелова.

Научная новизна исследования состоит в том, что на основе анализа и обобщения целей обучения геометрии определены педагогические условия успешного осуществления аксиоматического введения в систематический курс геометрии восьмилетней школы. Впервые разработаны методика аксиоматического введения (рекомендации по организации изучения аксиом и определений и обучению доказательствам на начальном этапе обучения геометрии) и методическое обеспечение аксиоматического введения (системы вспомогательных задач, средств обучения).

Теоретическая ценность исследования заключается в том, что в нем предложено последовательное раскрытие целевых установок осуществления аксиоматического введения в ходе обучения геометрии и определены педагогические условия успешного осуществления этого процесса^

Практическая значимость заключается в том, -что в исследовании предложена методика, обеспечивающая эффективное осуществление этапа аксиоматического введения в геометрии при обучении по действующему учебному пособию А.В.Погорелова. Эта методика внедрена при непосредственном участии диссертанта в практику преподавания геометрии в школах страны через систему методических пособий и статей.

Апробация и публикация результатов исследования осуществлялись в виде докладов и обсуждений на различных семинарах и конференциях: на заседаниях комиссии по экспериментальной проверке учебного пособия А.В.Погорелова при Харьковском ИУУ, членом которой являлся диссертант (1979-1982 гг.)» на Совете Харьковского ИУУ (1979-1983 гг.), на Всесоюзном совещании-семинаре "О мерах по улучшению преподавания математики в 1981/82 и последующие годы" (г. Харьков, 1981 г.), на республиканском совещании-семинаре методистов Украины (г.Сумы, 1982 г.), на семинарах-практикумах и курсах повышения квалификации учителей при Харьковском ИУУ (19791984 гг.), на заседаниях лабораторий прикладной математики и обучения математике НИИ СиМО АПН СССР (1979-1984 гг.).

Экспериментальные материалы исследования были представлены на заседаниях, посвященных экспериментальной проверке учебного пособия А.В.Погорелова в Ш СССР, Президиуме АНН СССР.

Предварительные и окончательные результаты исследования нашли отражение при подготовке методического обеспечения преподавания геометрии по пособию А.В.Погорелова; отражены в ряде методических писем (82), (83) МП СССР и (114) МП УССР, научных отчетах по итогам экспериментальной проверки учебного пособия А.В.Погорелова, подготовленных Харьковским ИУУ, НИИ педагогики УССР, НИИ СиМО АПН СССР.

Основные положения и результаты исследования представлены в 6 публикациях.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Грузин, Александр Иванович

- 191 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проведенного исследования были решены. все поставленные задачи и получены следующие основные результаты:

1. Систематизированы и обобщены цели обучения геометрии в средней школе. Установлено, что ведущей целью обучения, определяющей содержание, структуру и методическую систему изложения курса геометрии, является цель формирования научно-теоретического мышления школьников. Обосновано соотнесение этой цели с другими целями обучения геометрии: знакомство с геометрическими формами, их заданием, измерением и построением; развитие пространственных представлений учащихся; развитие их логического мышления.

2. Выявлены роль и значение этапа аксиоматического введения при обучении геометрии в восьмилетней школе. Роль этапа аксиоматического введения заключается в ознакомлении учащихся с основными геометрическими понятиями, осуществлении введения системы аксиом и первоначальном обучении дедуктивным рассуждениям. Значение этапа аксиоматического введения определяется тем, что его осуществление создает предпосылки для формирования представлений учащихся об аксиоматическом методе и его использовании при построении научной теории.

3. Выявлены педагогические условия эффективного осуществления аксиоматического введения в курс геометрии: слитное, компактное изложение аксиом; использование конструктивных определений; повышение уровня строгости при доказательстве первоначальных утверждений; изложение материала по основной линии курса без логических пробелов и недосказанных утверждений; преимущественное использование репродуктивных методов обучения и т.п. Установлены требования к математической структуре курса, вытекающие из указанных педагогических условий.

- 192

4. Разработана методика изучения аксиом и определений в аксиоматическом введении к систематическому курсу геометрии. Выделены основные этапы изучения аксиом и определений (начальное введение усвоение содержания, закрепление); разработаны методические рекомендации по организации изучения аксиом и определений. С целью методического обеспечения изучения аксиом и определений разработаны: I) система заданий, позволяющих актуализировать предшествующий опыт учащихся до введения аксиом; 2) система средств наглядности и заданий для введения и первичного закрепления аксиом и понятий, система заданий для усвоения терминологии начального курса геометрии,задания, позволяющие раскрыть конструктивный характер некоторых определений.

5. Разработана методика обучения доказательству геометрических утверждений на этапе аксиоматического введения в систематический курс геометрии. Выделена последовательность методических задач, решаемых в ходе обучения доказательствам: I) изучение готовых доказательств, формирование умения их воспроизводить; 2) самостоятельное построение доказательства по аналогии с изученными; 3) поиск и изложение доказательств указанным учителем способом; 4) самостоятельный поиск и изложение учащимися доказательств математических предложений; осуществлено распределение этих задач по этапам аксиоматического введения; выделены формы проведения доказательств и обосновано их применение; разработано методическое обеспечение обучения доказательствам: система задач, направленная на выработку умений первых арлументированных рассуждений с использованием аксиом и определений; система задач на закрепление содержания теоретического материала и подготовительные упражнения для доказательства сложных теорем; система содержательных задач, позволяющая организовать обучение поиску доказательств с помощью анализа; система дидактических средств, позволяющих организовать работу по обучению доказательствам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Грузин, Александр Иванович, 1985 год

1. Ленин В.И. Философские тетради. Полн.собр.соч., г.29.-753с.

2. О реформе общеобразовательной и профессиональной школы: Сборник документов и материалов.-М.: Политиздат, 1984. -112 с.

3. Абрамов A.M. Аксиома подвижности и ее следствия. В кн.: Преподавание геометрии в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1979,с.247-278.

4. Абрамов A.M. Начальные понятия геометрии. В кн.: Преподавание геометрии в 6-8 классах.-М.: Просвещение, 1979, с.227-246.

5. Абрамов A.M. Теоретические основы курса геометрии восьмилетней школы.: Автореф.дис. . канд.пед.наук.-М., 1975.-23с.

6. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Планиметрия, ч.1. Пер. с фр.-М.: Учпедгиз, 1957.-608 с.

7. Аксиоматический метод. БСЭ. Изд.3-е, т.I.-M.,1970,с.345-346.

8. Александров А.Д. О геометрии.-Математика в школе, 1980, № 3, с.56-62.

9. Александров П.С. О некоторых направлениях в развитии математики и их значение для преподавания.-В кн.: На путях обновления школьного курса матемагики.-М.: Просвещение,1978,с.7-13.

10. Атанасян Л.С., Позняк Э.Г. О пробных учебниках по геометрии для У1-УШ классов общеобразовательной школы.-Математика в школе, 1981, № I, с.42-47.

11. Ахманов А.С. Логическое учение Аристотеля. Ученые записки МОПИ, т.ШУ.-М., 1953.

12. Бакельман И.Я. Высшая геометрия.-М.: Просвещение,1967.-368 с.

13. Барыбин К.С. Геометрия. Пробный учебник. 9-й класс /Под ред. А.Б.Сосинского.-М.: Просвещение, 1970.-159 с.

14. Бляшке В. Греческая и наглядная геометрия / Под ред.И.М.Ягло- 194 ма.- В сб.: Математическое просвещение.-М.: Гостехиздат, 1957, & 2, C.III-I30.

15. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология усвоения знаний в школе.-М.: АПН РСФСР, 1959.-347 с.

16. Болтянский В.Г. Анализ-поиск решения задачи.-Математика в школе, 1974, № I, с.34-40.

17. Болтянский В.Г. Пробный учебник геометрии.-Математика в школе, 1981, № 5, с.48-55.

18. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Векторное обоснование геометрии. -В кн.: Новое в школьной математике.-М.: Знание, 1972,с.64-92.

19. Больяи Янош. Арр-епЖ'х пер. с латин., вступ. статьи и примеч.

20. B.Ф.Кагана.-М.-Л.: Гостехиздат, 1950,-236 с.

21. Бурбаки Н. Архитектура математики.-М.: Знание, 1972, -32с.

22. Буткин Г.А. Формирование умений, лежащих в основе геометрического доказательства.-В кн.: Зависимость обучения от типа ориентировочной деятельности / Под ред. П.Я.Гальперина и Н.Ф.Талызиной.-М.: МГУ, 1968, с.187-237.

23. Великая победа ленинской школьной политики КПСС.-Математика в школе, 1976, & I, с.3-6.

24. Виленкин Н.Я. В поисках бесконечности.-М.: Наука, 1983.-161с.

25. Владимиров B.C., Понтрягин Л.С., Тихонов А.Н. О школьном математическом образовании.-Математика в школе,1979, № 3,с.12-14.

26. Выгодский М.Я. "Начала Евклида".-В сб.: Историко математическое исследование, вып.1.-М., 1948.

27. Геометрия. Пробный учебник для 6-8 классов средней школы / Материалы для ознакомления/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Кутузов,

28. C.В.Кадомцев, Э.Г.Позняк.-М.: Просвещение, I98I.-480 с.

29. Геометрия в 6 классе. Пособие для учителя/ А.М.Абрамов, В.А.Гусев, Г.Г.Маслова и др.-М.: Просвещение, I98I.-II2 с.

30. Глаголев Н.А. Элементарная геометрия. Для семилетней и средней школы / Под ред. Д.И.Переделкина. Изд. 3-е, ч.1. -М.: Учпедгиз, 1954. -236 с.

31. Гильберт Д. О понятии числа. В кн.: /31/, с.315-321.

32. Гильберт Д. Обоснования математики. В кн.: /31/, с.365-388.

33. Гильберт Д. Основания геометрии. Пер. с 7-го нем. изд. / Под ред. и вступ. статьей Н.К.Рашевского. -М.-Л.: Гостех-издат, 1948. 491 с.

34. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. Пер. с нем./ Ред., вступ. статья и коменг. проф. С.А.Яновской. -М.: ИЛ, 1947, -304 с.

35. Гнеденко Б.В. Математика наука древняя и молодая.-В кн.: Архитектура математики.-М.: Знание, 1972. -32 с.

36. Давод И.В. Активизация мышления учащихся в процессе обучения их геометрии /На материале планиметрии/.: Автореф. дис. . канд. пед. наук. -Киев, -37 с.

37. Данилова Е.Ф. Как помочь учащимся находить путь к решению геометрических задач.: Автореф. дис. . канд. пед. наук. -Л., 1950,-16 с.

38. Дорофеев Г.В. Соотношение содержательного и формального в школьной математике.-М.: Изд-во НИИ СиМО АПН СССР, I983.-6 с.

39. Дубнов Я.С. Беседы о преподавании математики.-М.: Просвещение, 1965.-235 с.

40. Дубнов Я.С. Измерение отрезков. -М.: Физматгиз, 1962, -100 с.

41. Дьедонне Ж. Надо ли учить "современной" математике? -В кн.: На путях обновления школьного курса математики. -М.: Просвещение, 1978, с.274-282.

42. Евклид. Начала. T.I-Ш.-М.-Л.: Гостехиздат, 1948.-1950.

43. Иовлев Н.Н. Общие методы математики. /Из лекций по "Школьной математике", читанных в Казанском университете/. -Казань, I9I5.-I06 с.

44. Каган В.Ф. Основания геометрии. T.I.-M.-Л.: Гостехиздат,1949.

45. Каган В.Ф. Основания геометрии. Т.П.-Одесса, 1907.-557 с.

46. Каган В.Ф. Система посылок, определяющих евклидову геометрию. -"Записки Математического отделения Новороссийского общеогва естествоиспытателей", т.XX.-Одесса, 1902, с.67-105.

47. Канторович Л.В., Соболев С.Л. Математика в современном мире. -Математика в школе, 1979, № 4, с.6-11.

48. Карнацевич Л.С., Грузин А.И. Изучение геометрии в 6 классе. Из опыта работы/ Под ред. И.Ф.Тесленко.-М.: Просвещение, 1983. 128с.

49. Карнацевич Л.С., Грузин А.И. Математические рекомендации для учителей, работающих по экспериментальному учебному пособию А.В.Погорелова "Геометрия" /для 6 класса/ Под ред. И.В.Тес-ленко. -Киев, 1980. -105 с.

50. Кац Г.С., Саврасова С.М., Ясгребинецкий Г.А. Из опыта работы в шестых классах по учебному пособию "Геометрия 6-10" А.В.Погорелова. -Математика в школе, № 4, с.21-26.

51. Киселев А.П. Геометрия. Учебник для семилет. и средней школы / Под ред. и с доп. проф. Н.А.Глаголева. Изд. 21-е, ч.1. -М.: Учпедгиз, 1962. -183 с.

52. Клайн М. Геометрия. В кн.: Математика в современном мире.- 197 --М.: ИЛ, 1967, с.47-63.

53. Кяини С.К. Введение в метаматематику. Пер. с англ./ Под ред. В.А.Успенского. -М.: ИЛ, 1957. -526 с.

54. Кпопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский И.И. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы / Под ред. З.А.Скопеца. -М.: Просвещение, 1979. -255 с.

55. Колмогоров А.Н. К новым программам по математике. -В кн.:

56. На путях обновления школьного курса математики. -М.: Просвещение, 1978, с.69-72.

57. Колмогоров А.Н. Новое в школьной математике. -В кн.: На путях обновления школьного курса математики. -М.: Просвещение, 1978, с.72-79.

58. Колмогоров А.Н. Об учебном пособии "Геометрия 6-10" А.Б.Погорелова. -Математика в школе, 1983, }& 2, с.45-46.

59. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия. Учебное пособие для 6-8 классов средней школы / Под ред. А.Н.Колмогорова. -М.: Просвещение, 1979. -383 с.

60. Колмогоров А.Н., Яглом И.М. О содержании школьного курса математики. -Математика в школе, 1965, J& 4, с.53-62.

61. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике, ч.П. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. -М.: Просвещение, 1977. -142 с.

62. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Основные понятия современного школьного курса математики. -М.: Просвещение, 1974, -382 с.

63. Копытов Н.А. Методика построения системы упражнений, ориентированной на формирование геометрических понятий / На примере темы "Отображение фигур" 6 кл. /.: Авгореф. дис. . канд. пед. наук. -М.: 1977. -25 с.

64. Кузьмина С.А. Пути повышения эффективности обучения первымглавам геометрии в восьмилетней школе.: Авгореф. дис. . канд. пед. наук. -Новгород, 1959, -19 с.

65. Лобачевский Н.И. Воображаемая геометрия / Пр. Лобачевского. -Казань, Универс. типография, 1835. -83 с.

66. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. -М.: Педагогика, 1981. -186 с.

67. Майстров Л.Е. О статье М.Я.Выгодского "Начала" Евклида.-В сб.: Историко-математические исследования, вып.П.-М.,1949.

68. Маркушевич А.И. О школьной математике. -Математика в школе, 1979, № 4, с.П-16.

69. Медяник А.И. Научно-методические достоинства учебного пособия по геометрии А.В.Погорелова. -Математика в школе, 1983. № 2, с.48-51.

70. Мельникова Н.Б., Никольская И.Л., Чернышова Л.Ю. Геометрия в 6 классе. Пособие для учителей. -М.: Просвещение, 1982, -160 с.

71. Менчинская Н.А. Мышление в процессе обучения. -В кн:;.: Исследование мышления в советской психологии / Под ред. Е.В.Шоро-ховой. -М.: Наука, 1966, с.354-397.

72. Мищенко А.С., Понтрягин Л.С. О некоторых принципах преподавания математики в школе.-Математика в школе,1982,$ 2,с.50-52.

73. Мищенко А.С., Понтрягин Л.С. О пробном учебнике "Геометрия 6-8".-Математика в школе, 1983, № 2, с.46-48.

74. Моиз Э.Э., Дауне Ф.Л. Мл. Геометрия. Пер. с англ./ Под ред. И.М.Яглома. -М.: Просвещение, 1972, -620 с.

75. Молодший В.Н. Был ли Евклид последователем Платона? "Историко-математические исследования", вып.П. -М., 1949,

76. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. -М.: Просвещение, 1969. -303 с.76