Механико-геометрические модели нелинейно деформируемых твердых тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Азаров, Даниил Анатольевич

• Азаров, Даниил Анатольевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Азаров, Даниил Анатольевич

Оглавление

Стр.

Введение

ГЛАВА 1 Основные уравнения механико-геометрических моделей

1.1 Механико-геометрическое моделирование

1.2 Геометрия модели

1.3 Механические характеристики связей

1.3.1 Линейные упругие связи

1.3.2 Нелинейные упругие связи

1.3.3 Вязкоупругие связи

1.4 Уравнения модели типа I при трехосном деформировании

1.4.1 Выбор элементарного объема

1.4.2 О геометрической анизотропии модели

1.4.3 О деформационной анизотропии

1.4.4 Геометрические соотношения модели

1.4.5 Силовые соотношения модели

1.4.6 Инфинитезимальные деформации модели первого типа

1.5 Уравнения модели второго типа при трехосном деформировании 40 ГЛАВА 2 Энергии удельной потенциальной деформации механико-геометрических моделей

2.1 Условия существования функции энергии

2.2 Удельная потенциальная энергия деформации модели первого

типа

2.2.1 Энергия для линеаризованных уравнений состояния

2.2.2 Ограничения на параметры модели первого типа, следующие из неравенств теории упругости

2.3 Свойства функции потенциальной энергии модели первого типа 49 2.3.1 Плоско-деформированное состояние

2.3.2 Трансверсально-изотропная деформация

2.3.3 Одноосная деформация несжимаемого материала

2.3.4 Равномерная двухосная деформация материала при условии несжимаемости

2.3.5 Сравнение функций удельной потенциальной энергии деформации модели первого вида с энергиями моделей Муни-Ривлина и Йео

2.4 Удельная потенциальная энергия деформации модели второго

типа

2.4.1 Энергия для линеаризованных уравнений состояния модели второго типа

2.4.2 Ограничения на параметры модели второго типа, следующие из неравенств теории упругости

2.5 О выпуклости функции потенциальной энергии

2.6 Функция удельной потенциальной энергии деформации энергии второго типа для разных типов деформаций 62 ГЛАВА 3 Применение механико-геометрических моделей для расчета напряженно-деформированных состояний

3.1 Описание гидростатического сжатия

3.2 Описание одноосного растяжения модели 66 3.2.1 Одноосное растяжение изотропной модели

3.3 Одноосное растяжение модели типа I, аппроксимирующей среду

с определяющими соотношениями материала Мурнагана

3.3.1 Определяющие соотношения материала Мурнагана

3.3.2 Переменные механические характеристики модели

3.4 Деформация сдвига модели первого типа

3.5 Задача о кручении кругового цилиндра 77 3.5.1 Постановка задачи

3.5.2 Нахождение тензора напряжений Пиолы

3.5.3 Задание модельных материалов

3.5.4 Результаты расчетов

3.5.5 Распределение напряжений в цилиндре

3.5.6 Проявления нелинейных эффектов при кручении цилиндра 88 3.6 Моделирование вязкоупругих сред с помощью механико-геометрических моделей

3.6.1 Вывод системы дифференциальных уравнений модели

3.6.2 Предельные упругие случаи

3.6.3 Численный анализ процесса нагрузки-разгрузки

3.6.4 Моделирование нелинейного процесса релаксации напряжений

3.6.5 Моделирование гармонического нагружения

3.6.6 Об экспериментальном обеспечении модели 100 ГЛАВА 4 Идентификация параметров модели типа I с переменными коэффициентами жесткости связей

4.1 Общая характеристика растяжения эластомеров

4.2 Модель с переменными упругими характеристиками связей

4.3 Идентификация параметров модели в общем виде

4.4 Задача об одноосном растяжении

4.5 Случай несжимаемого материала

4.6 Энергия модели первого типа с переменными коэффициентами жесткости связей 112 Заключение 115 Список литературы 116 ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А

А.1 Механические свойства связей

А.2 Вязкоупругие связи

Приложение Б

Б1 Уравнения модели второго типа при трехосном деформировании

Б1.1 Выбор элементарного объема

Б1.2 Геометрические характеристики модели

Б1.3 Механические характеристики модели

Б2. Инфинитезимальные деформации модели второго типа 132 Приложение В

В1 Параметры модели первого типа в случае инфинитезимальных

деформаций

В2 Об отрицательных параметрах упругости связей модели типа I

В3 Построение выражения энергии для модели второго типа 139 В3.1 Энергия для линеаризованных уравнений состояния модели

второго типа

В3.2 Ограничения на параметры моделей 11а и 11б

В4 Свойства функции потенциальной энергии модели второго типа

В4.1 Плоско-деформированное состояние

В4.2 Трансверсально-изотропная деформация

В4.3 Одноосная деформация несжимаемого материала 146 В4.4 Равномерная двухосная деформация материала при условии

несжимаемости 147 В5 Свойства функции потенциальной энергии двух частных случаев

модели второго типа

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Механико-геометрические модели нелинейно деформируемых твердых тел»

ВВЕДЕНИЕ

Краткое описание диссертационной работы

В данной диссертационной работе предложен новый метод построения потенциалов упругой энергии деформации нелинейных сред, который назван механико-геометрическим моделированием. Основой этого метода является построение пространственной геометрической конструкции, «встроенной» в элементарный объем сплошной среды. Элементам этой конструкции («связям») затем придаются некоторые механические свойства. На основе уравнений, описывающих деформацию и равновесие этой конструкции при приложении внешних сил, оказывается возможным построение определяющих соотношений в виде зависимостей «номинальные напряжения - главные кратности удлинений», а далее и восстановление функции потенциальной удельной энергии деформации модели. Параметры моделей, связываются с показателями свойств сплошной среды, в которую «встроена» каждая конкретная модель. Полученная удельная потенциальная энергия деформации соотносится уже не с моделью, а со сплошной средой.

Моделирование свойств материалов с помощью «наглядных» моделей является одним из направлений создания определяющих соотношений материалов. Например, Р.Фейнман [58] построил модель, в которой упругие «пружинки» моделировали связи между атомами № и С1 и определил упругие постоянные анизотропных кристаллов №С1 с учетом энергий взаимодействия атомов. Однако Р.Фейнман не ставил перед собой задач анализа больших деформаций.

В работе предложены два основных типа возможных моделей, для каждого из которых построены функции потенциальной энергии. Разобраны приложения модели к описанию основных видов напряженно-деформируемых состояний (НДС): объемное сжатие, одноосное растяжение, сдвиг. Классической задачей теории упругости является задача о кручении

стрежней разных сечений [23, 24, 31]. Такая задача о кручении цилиндра из нелинейно упругого материала с использованием одного из полученных выражений для потенциальной энергии деформации решена и в данной работе. Показано, что в этом случае в материале проявляются известные эффекты второго порядка, такие, как эффект Пойнтинга [17, 55, 91, 92] и изменение радиуса цилиндра при его кручении [17].

Отдельной задачей является определение параметров построенных моделей таким образом, чтобы эти модели наиболее адекватно описывали бы поведение реальных материалов. Возможное решение этой важной задачи также приведено в рамках данной диссертационной работы.

Вязкоупругая природа эластомеров делает необходимым использование при их описании аппарата теории вязкоупругости [2, 12, 15, 27, 41, 44, 63, 70, 96]. В данной диссертационной работе построена механико-геометрическая модель, использующая в качестве механических характеристик связей стандартную модель вязкоупругого тела (модель Зинера). Численный анализ решения задачи об одноосном растяжении показал, что предложенная модель отражает основные вязкоупругие эффекты, такие, как запаздывание реакций, релаксация, наличие петли гистерезиса при гармоническом нагружении.

Актуальность темы исследования

Разнообразие высокоэластичных материалов и их свойств приводит к необходимости создания многообразных моделей для их описания. Актуальность диссертационной работы основана на большом количестве возможных применений предложенных моделей и методов их построений. Новые формы потенциальной энергии деформации готовы для использования в инженерных расчетах различных деталей и изделий из эластомеров.

В современной технике широкое применение находят различные эластомеры (наполненные и ненаполненные каучуки, резины). Одним из их

важных свойств является высокоэластичность: способность к обратимым деформациям до 1000 %. Построение закона состояния нелинейно упругого тела является «...главной неразрешенной задачей механики сплошной среды» [46, 56]. Имеется потребность в теоретических построениях, справедливых для разных типов деформаций: растяжение, сжатие, двумерное растяжение, изгиб, сдвиг, кручение. Актуальным является построение определяющих соотношений материала [39, 51] или функции потенциальной энергии деформации [84], знание которой позволяет определять поведение материала при любых видах деформаций.

Степень разработанности

Проблема моделирования поведения высокоэластичных материалов -эластомеров до сих пор является не до конца решенной. Несмотря на определенные успехи в этой области, особенно в последние пятьдесят лет, не существует единой общепризнанной модели для описания свойств таких материалов. Традиционные модели (Муни-Ривлина, Огдена, Бартенева-Хазановича и др.) так же, как и модели, полученные в последние годы (Йео, Арруды-Бойс, Джента) имеют как преимущества, так и определенные недостатки.

Цели и задачи

Основная цель диссертационной работы - построение механико-геометрической модели, с помощью которой можно получить определяющие соотношения для описания свойств эластомеров как гиперупругих материалов. Также целью диссертационной работы является выработка подхода к определению параметров этих определяющих соотношений и демонстрация возможностей моделирования различных НДС.

Научная новизна

Механико-геометрический подход к построению потенциалов теории упругости, предложенный в данной диссертационной работе является новым и нигде ранее не применявшимся. Данная работа является примером

построения механико-геометрической модели, объяснения ее свойств и понимания возможностей ее дальнейшего развития. Функции удельной потенциальной энергии деформации, полученные в работе, до сих пор не встречались в нелинейной теории упругости, и являются новыми выражениями.

Методология и методы исследования

В диссертационной работе использованы методы математического моделирования и нелинейной механики сплошной среды. Механико-геометрическая модель создана путем синтеза геометрических построений с механическими законами, с последующим анализом свойств полученной системы.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость работы опирается в большой степени на новизну выносимого на диссертацию механико-геометрического подхода. Метод механико-геометрического моделирования позволяет получать разнообразные выражения для удельной потенциальной энергии деформации. Фактически, предложена новая (существенно отличающаяся от уже известных) процедура для получения упругих потенциалов.

Кроме того возможна и дальнейшая теоретическая разработка этого метода. Развитие идеи механико-геометрического моделирования возможно сразу по нескольким направлениям. Одним из них является создание других геометрий модели, результатом чего может быть появление других форм удельной потенциальной энергии деформации. Другим направлением является придание дополнительных механических свойств связям модели (вязкоупругих, пластичных, вязких). При этом вся модель в целом также приобретет возможность отражения свойств соответствующей среды. Частично это направление описано в данной диссертационной работе, где продемонстрирована возможность моделирования поведения вязкоупругих сред.

Практическая значимость опирается на возможность применения полученных упругих потенциалов при решении разных задач нелинейной теории упругости, при инженерных расчетах деталей и конструкций. Полученные потенциалы могут найти свое применение и в конечноэлементных расчетных программах. В работе предложена процедура идентификации параметров механико-геометрических моделей по результатам экспериментов, что также свидетельствует о широких возможностях именно практического применения полученных в работе результатов.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения диссертационной работы:

1) Разработка нового подхода к описанию поведения эластомеров при больших деформациях. Построение механико-геометрических моделей упругих материалов, позволяющих описать поведение эластомеров при больших деформациях и для различных типов НДС.

2) Определение функций потенциальной энергии деформирования, соответствующих этим моделям и анализ их свойств. Сравнение полученных соотношений с известными потенциалами нелинейной теории упругости (Муни-Ривлина, Мурнагана, Йео).

3) Анализ поведения моделей при основных видах деформаций: объемное сжатие, одноосное растяжение-сжатие, сдвиг, кручение.

4) Идентификация параметров модели для случая несжимаемого высокоэластичного материала по экспериментальным данным (диаграмме «напряжение-деформация») одноосного растяжения реальных материалов.

5) Получение зависимостей модели для описания вязкоупругих сред. Моделирование поведения вязкоупругого тела при одноосном растяжении.

Степень достоверности результатов

Достоверность представленных результатов основана на строгом аналитическом аппарате математической нелинейной теории упругости [30,

32, 33, 45, 46] и вязкоупругости [27,41]. Главные положения, положенные в основу моделирования, являются строгими геометрическими и механическими законами. Формулы для всех упругих потенциалов, полученные в рамках метода механико-геометрического моделирования, проверялись на соответствие основным положениям нелинейной и линейной теории упругости. Эффекты, возникающие в средах, задаваемых полученными в диссертационной работе механико-геометрическими моделями, в целом соответствуют тем эффектам, которые наблюдаются в реальных нелинейно упругих и вязкоупругих средах. Таким образом, можно говорить о достоверности полученных в диссертационной работе результатов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на XV, XVI, XVII Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2011, 2012, 2014 гг.), на VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (г. Ростов-на-Дону, 2013), на Международной конференции "Physics, Mechanics of New Materials and Their Applications" (PHENMA 2015, г.Азов), и на научных семинарах кафедры «Математика» федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования

«Донской государственный технический университет» ДГТУ и кафедры теория упругости Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И.Воровича федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Южный федеральный университет» ЮФУ.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 работ [3-11], из них три [3, 10, 11] помещены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных

журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ, 1 тезисы доклада [8].

В статье [3] соискателю принадлежит разработка и программная реализация численного метода получения решения, линеаризация уравнений, получение значений параметров модели, соответствующих основным конструкционным материалам, участие в анализе полученных данных.

В статье [5] соискателю принадлежит участие в постановке задачи, формирование зависимостей для модельного материала Мурнагана в условиях одноосного растяжения, программная реализация получения параметров модели, соответствующей сплошной среде, описываемой соотношениями Мурнагана, участие в интерпретации результатов.

В статье [6] соискателю принадлежит участие в постановке задачи, получение уравнений равновесия, описывающих общий случай сдвига модели, программная реализация численного решения полученных уравнений, участие в интерпретации результатов.

В статьях [7, 9] и тезисах [8] соискателю принадлежит участие в постановке задачи, участие в получении уравнений равновесия модели с вязкоупругими характеристиками связей, программная реализация численного метода решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, построение графиков поведения вязкоупругой модели при разных типах нагружения, участие в интерпретации результатов.

В статье [10] соискателю принадлежит участие в постановке задачи, формулировка общих принципов построения модели, вывод уравнений для трехмерного деформирования модели, восстановление функции удельной потенциальной энергии деформации, построение графиков при различных типах напряженно-деформированных состояний, участие в анализе свойств полученной функции энергии.

Текущее состояние исследований по теме диссертационной работы

Нелинейная теория упругости является, по существу, довольно молодой наукой. Начало ее бурного роста приходится примерно на середину прошлого века. В течение нескольких десятилетий эта наука развилась и стала одной из основных для описания поведения современных материалов. Примерно в это же время появилось и нашло применение в технике большое количество новых материалов. Это и различные полимерные материалы, композиты, биотехнологические материалы, материалы с заданной микроструктурой и т.д. Поведение всех этих новых типов материалов не может быть адекватно описано в рамках традиционной линейной теории упругости. Более того, даже поведение классических, вроде бы хорошо изученных материалов (сталь, металлы, бетон, камень и т.д.), может быть уточнено и более точно описано, опираясь на выводы нелинейной теории.

Одним из самых широких классов материалов, требующих нелинейного подхода для описания их свойств, являются эластомеры [18, 21, 26, 48, 69, 77, 97, 104]. Способность к деформированию в чрезвычайно широких пределах, а потом возврат в исходное состояние почти без остаточной деформации предопределила их повсеместное использование в технике [22]. Автомобильные, авиационные, велосипедные шины, различные звуко-, воздухо- изолирующие и уплотняющие прокладки, изоляторы вибраций, электрические изоляторы, детали и части медицинского оборудования, прокладки для гидравлического оборудования - вот только основные области, где каучуки и резины применяются особенно массово.

Название эластомер сейчас является, по существу, синонимом слов резина, каучук. В 20 веке были созданы вулканизированные серой каучуки, такие как: полиизопрен (polyisoprene), бутилкаучук (butyl rubber), полибутадиеновые (polybutadiene), полисульфидные (polysulfide), хлоропреновые (chloroprene) каучуки. Кроме таких соединений, появились и другие, которые не вулканизируются с помощью соединений серы. Это

наполненные этилен-пропиленовые каучуки (ethylene propylene rubber), полиорганосилоксаны они же силиконы (silicon), фторкаучуки (fluorinated hydrocarbon rubber) и другие. Также были получены разнообразные термопласты (thermoplastic rubbers) и полиуретаны (polyurethane rubber). Таким образом, построение моделей для описания свойств эластомеров для технических нужд, очевидно, является важной задачей [47, 88, 77, 25].

Ряд исследователей моделируют физико-механические свойства материалов на уровне анализа реальных атомно-молекулярных структур с привлечением сведений о межатомных и межмолекулярных взаимодействиях [14, 20]. При всех несомненных достижениях и полезности этого подхода решение задачи моделирования нелинейных свойств еще не завершено.

Эластомеры встречаются и в биологических тканях. Так, например, белок эластин присутствует в коже, легких, артериях человека и животных, придавая им свойства легкой растяжимости и эластичности. В мышцах многих насекомых присутствует белок резилин, обладающий уникальными свойствами выдерживать сотни миллионов циклов растяжения-сжатия. Буквально десять лет назад он был впервые синтезирован искусственно. Многие биологические материалы, такие, как кожа, стенки сосудов, мышцы, могут быть отнесены к эластомерам [35, 13].

Резиноподобные материалы и эластомеры характеризует способность к большим деформациям без нарушения целостности материала (хотя и со структурными преобразованиями на микроуровне при деформировании). Если для «классических» материалов (металлы, камень, дерево и т.д.) деформация даже в доли процента является уже критической, то для эластомеров критическая деформация может достигать 1000%. Такой широкий спектр свойств резин и каучуков порождает определенные проблемы в их описании.

С момента зарождения нелинейной теории упругости ведутся работы по составлению определяющих соотношений, наиболее отвечающих

экспериментальным данным. Под определяющими соотношениями чаще всего понимаются аналитические зависимости «напряжение-деформация» или формулы для потенциальной энергии деформации материала, выраженные в терминах теории упругости через инварианты какого-либо тензора деформации или главные удлинения. Материал с существующей потенциальной энергией деформации принято называть гиперупругим (это название введено Трелоаром [57], и такой термин стал широко употребительным в современной научной литературе [39, 40, 46]).

Идентификация параметров гиперупругого материала является вторым важным этапом создания математической модели упругого материала [50, 72, 80, 101]. Большое разнообразие потенциалов теории упругости [1, 25, 60, 82, 83] предоставляет большой выбор в их использовании. Но зачастую отсутствие надежных данных по параметрам этих материалов делают невозможным выбор того или иного из них. Даже для сравнительно «разработанных» потенциалов типа Муни-Ривлина или Огдена в источниках трудно найти параметры, описывающие нужный материал. Отчасти это объясняется самой природой и разнообразием модификаций нелинейно-упругих материалов. Например, свойства резины могут значительно различаться в зависимости от способа производства, наличия, процентного содержания и состава наполнителя и пр. Таким образом, после составления общего вида закона деформирования, необходимо проведение точных экспериментов для определения постоянных (или функциональных) параметров, характеризующих конкретный материал.

Часто эксперименты и определение параметров различных эластомеров, как правило, касаются конкретных технических приложений и проводятся в условиях, характерных именно для этих приложений [59]. Возможность применения полученных соотношений для моделирования других типов НДС оказывается невыясненной. По умолчанию считается, что параметры материала, полученные для одного типа нагружения, справедливы

и для другого. Очевидно, такой подход не может считаться безошибочным. Так, например, параметры, полученные при одноосном растяжении резины в предположении ее несжимаемости, не могут быть корректно применены при решении задач о гидростатическом объемном сжатии этого же материала.

В последние несколько десятков лет все большее место при расчете поведения высокоэластичных материалов занимают численные конечно-элементные методы [38, 62, 65, 72, 73]. В большинстве конечноэлементных расчетных программ заложены несколько основных потенциалов с набором констант для описания разных материалов.

Учитывая вышесказанное, создание модели материала должно состоять из трех основных пунктов:

1) Получение (или выбор) самой формулы потенциала упругой энергии деформации, описывающей исследуемый нелинейный материал.

2) Идентификация параметров в этой формуле так, чтобы набор этих параметров мог моделировать реальную среду.

3) Проверка полученных данных при разных видах НДС и сравнение результатов с экспериментальными данными.

Первый пункт задачи, т.е. получение формул для потенциалов эластомеров уже с середины прошлого века является одной из приоритетных задач, решаемых в теории упругости. Согласно предложенному Р.С. Ривлиным [93-98] подходу, резина может быть представлена как изотропная и несжимаемая (либо слабосжимаемая) среда. Ее упругие свойства могут быть описаны в терминах удельной потенциальной энергии деформации, зависящей от инвариантов тензора деформаций Коши-Грина. При таком подходе стало возможным построение некоторого класса определяющих соотношений для эластомеров в рамках механики сплошных сред и нелинейной теории упругости.

Эффективная математическая модель гиперупругого материала по мнению авторов [68] должна подчиняться четырем основным требованиям:

1) Модель должна воспроизводить S-образную кривую деформирования, характерную для основного типа эластомеров.

2) Модель должна работать при различных видах нагружения, т.е. построенная, например, для случая одноосного растяжения, она сможет быть применена к случаям двухосной деформации, сдвига и т.п.

3) Число параметров модели, подлежащих определению должно быть невелико, чтобы снизить количество экспериментов, необходимых для ее идентификации.

4) Математическая формулировка должна быть простой, чтобы допускать ее применение в пакетах численных расчетов (хотя с развитием вычислительной техники последнее становится все менее принципиальным).

Одним из первых определяющих соотношений для гиперупругого материала был потенциал Муни-Ривлина, предложенный в 1940 году М. Муни [86], и представленный разложением через инварианты в 1948 году Р. Ривлиным [93-95].

Ж = Сш(¡1 - 3) + Сш(12 - 3)

ООО о о о о о о

где ^ (С) = Л1+Л2+Л2, /2 (С) = - первый и второй

инварианты тензора деформации Коши-Грина С.

Для сжимаемого материала Муни-Ривлина потенциал запишется как:

Ж = Сш(7 - 3) + С01(72 - 3)+А( 3 -1)2 ,

_2 _4

где 7 = 3 ~3 7 х, 72 = 3 ~3 7 2, 32 = 73 (С) = .

При малых деформациях связь между постоянными материала и модулями теории упругости записывается как: В = 2Д, /=2(С01 + С10), где В - объемный упругий модуль, / - второй параметр Ляме (модуль сдвига).

Примерно тогда же Ривлиным был предложен и неогуков потенциал который является более простой формой потенциала Муни-Ривлина: Ж = Сш( ¡1 - 3),

а для несжимаемого материала: W = С10 (/ - 3) + D (J - 1) •

В общем случае полиномиальная модель энергии гиперупругого материала может быть записана как:

п m

W = £ Cj (h - 3)' (h2 - 3)j+£ Dk (J - i)2k •

i,j=0 k=\

Частными случаями этой модели являются, например:

- модель Бидермана (1958)

w=ад - 3)+С20 (/ - 3)2+Сз0 (/ - 3)3+С01 (/2 - 3),

- трехконстантный потенциал Муни-Ривлина

W = Cio(Ii - 3) + Coi(/2 -3) + Cn(Ii - 3)(12 -3) •

Одним из первых потенциалов, основанных на разложении потенциальной энергии не по инвариантам тензора Коши-Грина, а по главным деформациям (удлинениям) стал потенциал Огдена [89].

w=£ Щ— + — + — - 3)

ti a

Определенным достоинством такого задания функции энергии является то, что главные удлинения — есть величины, которые легко поддаются

опытному измерению [67]. Потенциал Огдена в последнее время используется все чаще, в частности для описания свойств биологических тканей [i3].

Надо упомянуть также потенциалы:

- Блейца и Ко [66] (i 962):

1^1 ( 1

W = -MJ3 /i + -(Va- i) -3 + -M(i-P) /2/3"i + -(/3a-i)- 3

2 v a y 2 v a

где a = —, - параметры Ляме,

- Бартенева-Хазановича (1960): W = 2^—+—+—-3) = 2jul,(U), U = G- ,

- Черных-Шубиной (1976):

ж = /[ (1+р) 1Х{Ц) + (1 -р) ¡¿и-1) - 6 ] .

В 1993 году был предложен новый потенциал Арруды-Бойс [61], основанный уже не на разложении потенциальной энергии в степенные ряды. Основой для построения потенциала явился подход статистической механики, примененный к элементарному кубическому объему с восемью диагональными пружинными элементами. Таким образом, эта модель может считаться наиболее близкой к механико-геометрическим моделям, способ построения и свойства которых изложены в настоящей диссертационной работе.

Потенциал Арруды-Бойс имеет вид:

Ж = Икв в4п /ЗЛсР1 -4и 1п

Р

JJ

где константы модели имеют определенный физико-химический смысл: п -количество сегментов цепочки, кВ - постоянная Больцмана, в - температура в

градусах Кельвина, N - количество цепочек в сшивке полимера, Хск =

Р = ^

Кн

J

Ь~\х)

функция, обратная к функции Ланжевена

Ь(х) = &к(х) - х \

В том же 1993 году был получен потенциал Йео [102, 103], который опять являлся одной из форм полиномиальной модели энергии:

Ж = Сш( ¡1 - 3) + С2о( ¡1 - 3)2 + С3о(71 - 3)3.

В 1996 году в работе Джента [76] был введен еще один потенциал, отличный от полиномиального, и основанный на предположении об ограниченной растяжимости молекулярных цепочек эластомера.

Ж = -/-т 1п 2

¡1 - 3

т J

где / - мгновенный модуль сдвига, /т - предельное значение первого инварианта тензора деформации Коши-Грина, /т = /т - 3- параметр упрочнения (увеличения жесткости), отвечающий за максимальное растяжение молекулярных цепочек.

Потенциалы для описания свойств гиперупругих материалов можно разбить на три класса: феноменологические модели, механические модели и смешанные модели.

К первому (феноменологическому) классу моделей можно отнести модели: Муни-Ривлина, полиномиальную, Огдена, Йео, Бидермана, неогукову, Блейтца и Ко.

В феноменологических моделях упор делается на «подборе» определяющих соотношений, наиболее точно описывающих экспериментальные данные о деформировании (чаще всего при одноосном растяжении). В основном, в них речь идет о полиномиальных разложениях функции удельной потенциальной энергии по степеням инвариантов тензора деформации. Выбирая ту или иную форму этой зависимости (линейную -неогуково тело, двухконстантный потенциал Муни-Ривлина, квадратичную -трехконстантный потенциал Муни-Ривлина, кубическую - потенциал Йео или более сложную - потенциал Огдена) можно получить схожие диаграммы деформирования (при одноосном растяжении) теоретической модели и опытных данных. Одной из проблем данного типа моделей является обоснованность выбора формы зависимости и соблюдение основных требований теории упругости, налагаемых на значения постоянных материала (например, неотрицательность линейных модулей упругости) и вид энергии деформирования (например, эллиптичность, выпуклость) [29].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Азаров, Даниил Анатольевич, 2017 год

Список литературы

1. Адамов, А.А. Сравнительный анализ двухконстантных обобщений закона Гука для изотропных материалов при конечных деформациях // Прикладная механика и техническая физика. - 2001. - Т.42, № 5. - С. 183192.

2. Адамов, А.А. Исследование и моделирование нестационарного термомеханического поведения вязкоупругих резиноподобных материалов и элементов конструкций при конечных деформациях. : дисс. докт. физ.-мат. наук: 01.02.04 // Адамов Анатолий Арсангалеевич. - Пермь, - 2004. - 303 с.

3. Азаров, А.Д., Азаров, Д.А. Трехмерная механическая модель для описания больших упругих деформаций при одноосном растяжении // Вестник ДГТУ. - 2011. - Т 11, № 2 (53). - Ростов-на-Дону. - С. 147-156.

4. Азаров, Д.А. Нелинейно-деформируемая трехмерная механическая модель несжимаемых упругих материалов (Nonlinearly deformable 3d mechanical model of incompressible elastic materials) // Труды XV Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" 4-7 декабря 2011 г. Ростов-на-Дону. - ЮФУ, 2011. - Т.1. - С. 1115.

5. Азаров, А.Д., Азаров, Д.А. Сопоставление трехмерной механической модели с законом состояния Мурнагана // Труды XVI Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», 16-19 октября 2012. Ростов-на-Дону. - ЮФУ, 2012. - Т. I. - С. 5-9.

6. Азаров, А.Д., Азаров, Д.А. Описание больших сдвиговых деформаций упругой среды с помощью трехмерной механической модели // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела, г. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013 г.: в 2 т. - Ростов-на-Дону. - ЮФУ, 2013. - Т. I. - С. 17-21.

7. Азаров, А.Д., Азаров, Д.А. Описание высокоэластических деформаций с помощью трехмерной механической модели. // Труды XVII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», 14-17 октября 2014. - Ростов-на-Дону. - ЮФУ. - Т. I. - С. 11-15.

8. Azarov, A.D., Azarov, D.A. Description of non-linear viscoelastic deformations by the 3d mechanical model // Abstracts of the 2015 International Conference "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications" (PHENMA 2015), Azov, Russia, May 19-22. - 2015. - SFU press: Rostov-on-Don. - P. 46-47.

9. Azarov, A.D., Azarov, D.A. Description of non-linear viscoelastic deformations by the 3D mechanical model // Chapter 49 in Proceedings of the 2015 International Conference on "Physics, Mechanics of New Materials and Their Applications", devoted to the 100th Anniversary of the Southern Federal University/ Ivan A. Parinov, Shun-Hsyung, Vitaly Yu. Topolov (Eds.). - New York: Nova Science Publishers. - 2016. - P. 367-375.

10. Азаров, Д. А., Зубов, Л.М. Механико-геометрическое моделирование в нелинейной теории упругости // Известия высших учебных заведений. Северо-кавказский регион. Естественные науки. - 2016. - №3 (191). - С. 5-12.

11. Азаров, Д.А. Идентификация параметров механико-геометрической модели при одноосном растяжении высокоэластичного материала // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2017. - №1. - С. 5-14.

12. Айбиндер, С.Б., Тюнина, Э.Л., Цируле, К.И. Свойства полимеров при различных напряженных состояниях // М.: Химия. - 1981. - 232 с.

13. Анфиногенов, С.Б., Курек, М.Ф., Шилько, С.В., Черноус, Д.А. Механические и фрикционные свойства биоэластомеров. Часть 1: описание релаксационных зависимостей кожи человека при растяжении. // Российский журнал биомеханики. - 2008. - Т. 12, № 3 (41),- С. 44-51.

14. Аскадский, А.А. Матвеев, Ю.И. Химическое строение и физические свойства полимеров // М.: Химия. - 1983. - 248 с.

15. Бартенев, Г.М., Френкель, С.Я. Физика полимеров. Под ред. А.М. Ельяшевича // Л.: Химия. - 1990. - 432 с.

16. Белл, Д. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть I. Малые деформации // М.: Наука. - 1984. - 600 с.

17. Белл, Д. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть II. Конечные деформации. // М.: Наука. - 1984. - 432 с.

18. Белозеров, Н.В. Технология резины. // М.: Химия, - 1979. - 470 с.

19. Беломестных, В.Н., Теслева, Е.П. Коэффициент Пуассона и параметр Грюнайзена твердых тел. // Известия Томского политехнического университета. - 2003. - Т.306, № 5. - С. 8-12.

20. Ван Кревелен, Д.В. Свойства и химическое строение полимеров. М.: Химия. - 1976. - 416 с.

21. Воронин, М. С., Мержиевский, Л. А. Модель квазистатического и динамического деформирования эластомеров. // Ученые записки ЗабГГПУ. -2011. - № 3.- С. 53-59.

22. Вострокнутов, Е.Г., Прохорова, Л.Н. Структура, реологические особенности и технологические свойства наполненных эластомеров // Каучук и резина. - 1986. - №6.- С. 41-47.

23. Гавриляченко, Т. В., Карякин, М. И. О нелинейных эффектах в задаче кручения // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 3-й международной конференции. - Ростов н/Д: МП «Книга». -1997. - Т. 1.- С. 92-96.

24. Гавриляченко, Т. В., Карякин, М. И. Об особенностях нелинейно-упругого поведения сжимаемых тел цилиндрической формы при кручении // ПМТФ. - 2000. - Т. 41, № 2.- С. 188-193.

25. Гамлицкий, Ю.А., Мудрук, В.И., Швачич, М.В. Упругий потенциал наполненных резин // Каучук и резина. - №3. - 2002. - С. 29-39.

26. Голда, Р.Ф. Многокомпонентные полимерные системы // М.: «Химия». - 1974. - 328 с.

27. Гуль, В.Е., Кулезнев, В.Н. Структура и механические свойства полимеров // М.: Издательство «Лабиринт». - 1994. - 367 с.

28. Еремеев, В. А., Зубов, Л. М. Механика упругих оболочек. // Наука. -2008. - 280 с.

29. Зингерман, К.М. Проверка условия сильной эллиптичности для материала Мурнагана при всестороннем растяжении или сжатии. // Вестник Тверского государственного университета, серия Прикладная математика. -2003. - №1. - С. 65-70.

30. Зубов, Л. М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. // Ростов н/Д: Изд-во Рост. ун-та. - 1982. - 144 с.

31. Зубов, Л. М. Теория кручения призматических стержней при конечных деформациях // Доклады АН СССР. - 1983. - Т. 270, № 4.- С. 827831.

32. Зубов, Л. М. Нелинейная задача Сен-Венана о кручении, растяжении и изгибе естественно скрученного стержня // ПММ. 2006. - Т.70, № 2. - С. 332-343.

33. Зубов, Л. М., Карякин, М. И. Тензорное исчисление. Основы теории. // М.: Вузовская книга. - 2006. - 120 с.

34. Зубов, Л. М., Овсеенко, С. Ю. Большие деформации кручения цилиндров из сжимаемых материалов // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне. - 1982. - Т. 40. - С. 109-117.

35. Иванов, Д.В., Фомкина, О.А. Определение постоянных для моделей Нео-Гука и Муни-Ривлина по результатам экспериментов на одноосное растяжение // Математика. Механика / под. ред. Г.В. Хромовой [и др.]. -Саратов. - 2008. - Вып. 10. - С. 114-117.

36. Калашников, В. В., Карякин, М. И. Использование модели материала Мурнагана в задаче плоского изгиба упругого стержня // Труды

Ростовского государственного университета путей сообщения. - 2006. - № 2(3). - С. 56-65.

37. Карякин, М. И. Об особенностях поведения нелинейно-упругих тел при растягивающих напряжениях // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды IX международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН И.И. Воровича, Ростов-на-Дону: ООО «ЦВВР». - 2006. - Т. 2. - С. 137-141.

38. Коробейников, С. Н., Кургузов, В. Д., Ларичкин, А. Ю., Олейников, А. А. Компьютерное моделирование деформирования эластомеров // Известия Алтайского Государственного университета. - 2014. - 1-1 (81). - С 165-169.

39. Коробейников, С. Н., Олейников, А. А. Лагранжева формулировка определяющих соотношений гиперупругого материала Генки // Дальневосточный математический журнал. - 2011. - Т. 11. - № 2.

40. Коробейников, С. Н., Олейников, А. А., Ларичкин, А. Ю., Бабичев, А. В., Алёхин, В. В. Численная реализация лагранжевой формулировки определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки // Дальневосточный математический журнал. - 2013. - Т.13, №2. - С 222-249.

41. Кристенсен, Р. Введение в теорию вязкоупругости. // М.: Мир, -1974. - 340 а

42. Кузнецова, В.Г., Роговой, А.А. Эффект учета слабой сжимаемости материала в упругих задачах с конечными деформациями // Изв. РАН. МТТ. - 1999, - № 4. - С.64-77.

43. Кузнецова, В.Г., Роговой, А.А. Эффект учета слабой сжимаемости эластомеров. Осесимметричная задача. Аналитическое решение // Изв. РАН, МТТ. - 2000, - № 6. - С.25-37.

44. Ломакин, Е.В., Белякова, Т.А., Зезин, Ю.П. Нелинейное вязкоупругое поведение наполненных эластомерных материалов // Известия

Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. -2008. - Т.8, вып.3. - C. 56-65.

45. Лурье, А. И. Теория упругости. // М.: Наука. - 1970. - 939 с.

46. Лурье, А. И. Нелинейная теория упругости. // М.: Наука. - 1980. -

512 с.

47. Мэнсон, Дж, Сперлинг, Л. Полимерные смеси и композиты. // М.: Химия. - 1979. - 440 с.

48. Немцов, В. Б., Ширко, А. В., Камлюк, А. Н. Теория растяжения эластомеров при больших упругих деформациях // Актуальные проблемы физики твердого тела. - Минск: Издатель Вараксин А. Н.. - 2009. - Т. 3. - C 130-132.

49. Пальмов, В.А. Колебания упруго-пластических тел. // М.: Наука. -1976. - 328 с.

50. Пелевин, А.Г., Свистков, А.Л., Адамов, А.А., Lauke, B., Heinrich, G. Алгоритм поиска констант в модели механического поведения резины // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2010. - Т. 16, № 3.-С. 312-328.

51. Роговой, А.А. Определяющие соотношения для конечных упруго-неупругих деформаций. // Прикладная механика и техническая физика. 2005. - Т.46, № 5. - C. 138-149.

52. Роговой, А.А. Эффект учета слабой сжимаемости упругого материала при конечных деформациях. // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. - 2010. - Т.9. - http://chemphys.edu.ru/issues/2010-9/articles/146/.

53. Сандитов, Д.С., Мантатов, В.В., Сандитов, Б.Д. Ангармогнизм колебаний решетки и поперечная деформация кристаллических и стеклообразных твердых тел. // Физика твердого тела. - 2009. - Т.51, вып. 5. -C. 947-951.

54. Сандитов, Д.С., Мантатов, В.В., Сандитов, Б.Д. Коэффициент Пуассона и пластичность стекол. // Журнал технической физики. - 2009. -Т.79, вып. 4. - C. 150-152.

55. Степаненко, Ю. П. Эффект Пойнтинга. Схемы расчета и эксперимента // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды III международной конференции, Ростов-на-Дону, 7-8 октября 1997. -Ростов-н/Д: МП «Книга». - 1997. - Т.1. - С. 64-68.

56. Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. // М.: Мир. - 1975. - 592 с.

57. Трелор, Л. Введение в науку о полимерах // М.: Мир. - 1973. - 238 с.

58. Фейнман, Р., Лейтон, Р., Сэндс, М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 7. Физика сплошных сред. // М.: Мир. - 1966. - 290 с.

59. Халаев, А.А., Титенкова, Е.Н. Оценка напряженно-деформированного состояния полимерных упругих элементов перспективного поглощающего аппарата автосцепки гп-120а. // Вестник Брянского государственного технического университета. - № 4(16). - 2007. -С. 84-91.

60. Aidy, Ali, Hosseini, M., Sahari, B.B. A Review of Constitutive Models for Rubber-Like Materials // American J. of Engineering and Applied Sciences - 3 (1). - 2010. - P.232-239.

61. Arruda, E. M., Boyce, M. C. A three-dimensional model for the large stretch behavior of rubber elastic materials. // J. Mech. Phys. Solids. - 41(2). -1993. - P. 389-412.

62. Basic Rubber Testing: Selecting Methods for a Rubber Test Program, Ed. by J. S. Dick. // ASTM International. - 2003. - 236 p.

63. Bergström, J. S., Boyce, M. C. Constitutive modelling of the large strain time-dependent behavior of elastomers. // J. Mech. Phys. Solids 46. - 1998. - P. 931-954.

65. Bol, M., Reese, S. Finite Element Modeling of Polymer Networks Based on Chain Statistics. // Constitutive Models for Rubber III, Busfield, J. (Ed.). AA Balkema Publishers,UK . - 2003. - P. 203-211.

66. Blatz, P. J., Ko, W. L. Application of finite elasticity to the deformation of rubbery materials // Trans. Soc. Rheol. - 1962. - Vol. 6. - P. 223-251.

67. Chang, T.Y.P, Saleeb, A.F., Li, G. Large strain analysis of rubber-like material based on a perturbed Lagrangian variational principle. // Computational Mechanics. - 1991. - Vol. 8, Issue 4. - P 221-233.

68. Chagnon, G., Marckmann, G., Verron, E. A comparison of the HartSmith model with Arruda-Boyce and Gent formulations for rubber elasticity. // Rubber Chem. Technol. - 77: 2004. - P. 724-735.

69. Coran, A.Y. Elastomers. // Handbook of Plastics Technologies, Harper, C. (Ed.), 2nd Edn., McGraw-Hill Companies. - New York. - 2006. - P. 4.1-4.111.

70. Diani, J., Brieu, M., Gilormini, P. Observation and modeling of the anisotropic visco-hyperelastic behavior of a rubberlike material. // Int. J. Solids Struct. 43. - 2006. - P. 3044-3056.

71. Dorfmann, A., Pancheri, F. Q. A constitutive model for the Mullins effect with changes in material symmetry. // Int. J. Non-Linear Mech. 47. - 2012. -P. 874-887.

72. Finney, R. H., Kumar, A. Development of material constants for nonlinear finite element analysis. // Rubber Chem. and Technol. 61. - Nov-Dec 1988. - P. 879-891.

73. Forni, M., Martelli, A., Dusi, A. Implementation and Validation of Hyperelastic Finite Element Models of High Damping Rubber Bearings. // Constitutive models for Rubber, Al Dorfmann, (Ed.). AA Balkema Publishers, UK. - 1999. - P. 237-247.

74. Greaves, G.N. Poisson's ratio over two centuries: challenging hypotheses // Notes Rec. R. Soc. Lond. Mar 20. - 2013. - 67(1). - P. 37-58.

75. Greaves, G.N., Greer, A.L., Lakes, R.S., Rouxel, T. Poisson's ratio and modern materials. // Nature Materials. - 2011. - № 10. - P. 823-837.

76. Gent, A. N. A new constitutive relation for rubber. // Rubber Chem. Technol. 69. - 1996. - P.59-61.

77. Gent, A. N. Engineering with rubber. // Carl Hanser Verlag & Co. KG. -2012. - P. 451.

78. Hughes, T. J. R. Equivalence of finite elements for nearly incompressible elasticity. // J. Appl. Mech. 44. - 1977. - P.181-183.

79. Kashdan, L., Seepersad, C., Haberman, M., Wilson, P. S. Design, fabrication and evaluation of negative stiffness elements using SLS // Rapid Prototyping Journal. - 2009. - Vol. 18, Issue 3. - P.194-200.

80. Kut, S., Ryzinska, G., Niedzialek, B. Upsetting of elastomeric material. The results of numerical and experimental Investigations // Zeszyty naukowe politechniki rzeszowskiej 291, Mechanika 87, RUTMech. - T.XXXII, z.87 (4/15).

- pazdziernik-grudzien 2015. - S. 331-338.

81. Lakes, R.S., Drugan, W.J. Dramatically stiffer elastic composite materials due to a negative stiffness phase // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2002. - № 50. - P. 979 -1009.

82. Marckmann, G., Verron, E. Comparison of hyperelastic models for rubber-like materials. // Rubber Chemistry and Technology, American Chemical Society. - 2006. - 79 (5). - P. 835-858.

83. Markmann, G., Verron, E. Efficiency of Hyperelastic Models for Rubber-Like Materials. // Constitutive Models for Rubber IV, Austrell, P.E. and L. Kari (Eds.). AA Balkema Publishers, UK. - 2005. - P. 375-380.

84. Maz'ja, V.G., Morozov, N.F., Nazarov, S.A.. On the Elastic Strain Energy. // Linkoping University. S-581-83. Sweden. - 1990.

85. Murphy, J.G. Strain energy functions for a Poisson power law function in simple tension of compressible hyperelastic materials. // J. Elasticity. -2000. - 60.

- P. 151-164.

86. Mooney, M., A theory of large elastic deformation. // Journal of Applied Physics. - 1940. - 11(9). - P. 582-592.

87. Nagarajaiah, S., Reinhorn, A. M., Constantinou, M. C., Taylor, D., Pasala, D. T. R., Sarlis, A. A. True Adaptive Negative Stiffness: A New Structural Modification Approach for Seismic Protection // 5th World Conference on Structural Control and Monitoring, Tokyo, Japan. - 2010. - July 12-14.

88. Nagdi, K. Rubber as an Engineering Material. // Hanser Publisher, Munich, Germany. - 1993. - P. 502.

89. Ogden, R. W. Large Deformation Isotropic Elasticity - On the Correlation of Theory and Experiment for Incompressible Rubberlike Solids // Proc. Royal Soc. London. Series A. 1972. - Vol. 326, № 1567. - P. 565-584.

90. Park, B., Hamed, G. R. Anisotropy in gum and black filled SBR and NR vulcanizates due to large deformations. // Korea Polym. J. 8. - 2000. - P. 268-275.

91. Poynting, J. H. On pressure perpendicular to the shear planes in finite pure shears, and on the lengthening of loaded wires when twisted // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. - 1909. - Vol. 82. - P. 546-559.

92. Poynting, J. H. On the changes in the dimensions of a steel wire when twisted and on the pressure of distortional waves in steel // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. - 1912. - Vol. 86. - P. 534-561.

93. Rivlin, R. S. Large Elastic Deformations of Isotropic Materials. III. Some Simple Problems in Cylindrical Polar Co-Ordinates // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1948. - Vol. 240, № 823. - P. 509-525.

94. Rivlin, R. S. Large elastic deformations of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1948. -Vol. 241, № 835. - P. 379-397.

95. Rivlin, R. S. Large elastic deformations of isotropic materials. V. The Problem of Flexture // Proc. Royal Soc. A. 1949. - Vol. 195, № 1043. - P. 463473.

96. Rivlin, R. S. Large elastic deformations // Rheology. Theory and Applications, Ed. by F. R. Eirich. New York: Academic Press Inc. - 1956. - Vol.1. - P. 351-385.

97. Rivlin, R. S. Some applications of elasticity theory to rubber engineering. // Collected Papers of R. S. Rivlin. - Springer. - 1997. - Vol. 1 and 2.

98. Rivlin, R. S., Saunders, D. W. Large elastic deformations of isotropic materials. // Experiments on the deformation of rubber. Phi. Trans. Royal Soc. London Series A. - 1951. - Vol. VII. - P. 251-288.

99. Rickaby, S.R., Scott, N. H. Transversely isotropic cyclic stress-softening model for the Mullins effect // Proc. R. Soc. A, - 2012. - 468. - P. 4041-4057.

100. Rogovoi, A. Effect of elastomer slight compressibility // European Journal of Mechanics. A/Solids. - 2001. - Vol.20. - P.757-775.

101. Sasso, M., Palmieri, G., Chiappini, G., Amodio, D. Characterization of hyperelastic rubber-like materials by biaxial and uniaxial stretching tests based on optical methods. // Polymer Test. - 2008. - 27. - P. 995-1004.

102. Yeoh, O. H. Some forms of the strain energy function for rubber. // Rubber Chemistry and technology. - 1993. - Vol. 66, Issue 5. - P. 754-771.

103. Yeoh, O.H., Fleming P.D. A new attempt to reconcile the statistical and phenomenological theories of rubber elasticity. // J. Polymer Sci. Part B. - 1997. -35. - P. 1919-1931.

104. Ikeda, Y., Murakami, T., Kajiwara, K. Cascade model for physically cross-linked elastomer: morphological characteristics of nonionic elastomers and microcrystalline ionene elastomer // J. macromol. sci.-physics. - 2001. - B40 (2). -171-188.

105. Zwikker, C. Physical Properties of Solid Materials // London, Pergamon press. - 1954. - 300 p.