Нелинейные модели резинокордных слоев и пневматической шины тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Ду Икунь

• Ду Икунь
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Ду Икунь

Введение

Глава 1. Гомогенизация резинокордного слоя при умеренно больших деформациях

1.1. Классические определения эффективных свойств для RVE

1.2. Влияние краевого эффекта на результаты расчета RVE

1.3. Модифицированное определение трехмерных эффективных модулей слоя

1.4. Феноменологический подход к гомогенизации. Формулировки трансверсально-изотропного и ортотропного упругих потенциалов

Глава 2. Гомогенизация резинокордного слоя каркаса и брекера

2.1. Расчет параметров потенциала слоя каркаса

2.2. Верификация с помощью задачи изгиба

2.3. Расчет параметров потенциала слоя брекера

2.4. Верификация с помощью задачи изгиба с растяжением

Глава 3. Испытания на растяжение резиновых и резинокордных

слоев

3.1. Эффект Маллинза, опыты с брекерной резиной

3.2. Испытания на одноосное растяжение резиновой матрицы и резинокордного материала при различных скоростях деформации

3.3. Анализ зависимости напряжение-деформация для первой кривой растяжения

3.4. Анализ зависимости напряжение-деформация при повторном нагружении

Глава 4. Численная реализация гиперупругой модели - пример расчета

3Б модели шины

4.1. Метод решения

4.2 Эквивалентность изгибной жесткости

4.3. Пример численного расчета шины

Заключение

Литература

Введение

Резинокордные композиты широко используются в шинах, и их структура содержит несколько резинокордных слоев. Шины часто применяются в сложных и суровых условиях. Они подвергаются различным деформациям, нагрузкам, силам, а также воздействию высоких и низких температур во время движения. Поэтому они должны иметь высокие несущие, тяговые и амортизационные характеристики. В то же время им также требуется высокая износостойкость и сопротивление изгибу, а также низкое сопротивление качению и тепловыделение.

Первыми, кто стал использовать пневматические шины на автомобилях, были французы Андре и Эдуард Мишлен. Потребовалось много лет постепенного совершенствования конструкции пневматической шины и способа ее изготовления, прежде чем она окончательно вытеснила литую резиновую.

Шины выполняют различные функции: 1) передают усилия между транспортным средством и поверхностью дороги; 2) поддерживают вес автомобиля; 3) уменьшают вибрацию и удары. Современные шины обеспечивают снижение уровня шума, безопасность, комфорт, управляемость и экономию топлива.

По своему строению современные шины делятся на два типа: диагональные и радиальные. Радиальные шины имеют меньшее рассеивание мощности, чем диагональные шины, и их срок службы больше, чем у диагональных шин, поэтому радиальные шины более широко используются в транспортных средствах. В работе рассмотрена типичная радиальная шина легкового автомобиля.

Каркас радиальной шины состоит из одного или нескольких

резинокордных слоев с текстильным кордом. Направление корда

перпендикулярно окружному направлению. Над каркасом находится брекер

из нескольких слоев кордов с высоким модулем упругости (обычно из стали

4

или других высокопрочных материалов). Слои брекера перекрещиваются друг с другом. Угол корда обычно составляет плюс-минус 20-25 градусов к радиальному направлению шины. Слои брекера очень важны для радиальных шин, это основная часть, обеспечивающая прочность шины. Конструкция радиальной шины показана на рис

Протектор должен обеспечивать необходимое сцепление или тягу для вождения, торможения и прохождения поворотов. Состав протектора специально разработан для обеспечения баланса между износом, сцеплением, управляемостью и сопротивлением качению [1]. Роль рисунка протектора заключается в увеличении трения между шиной и грунтом, а также в отводе тепла от шины, уменьшении шума.

Условия эксплуатации шин сложны и изменчивы, и проблемы, которые необходимо решать, также разные. Механика шин делится на внутреннюю и внешнюю.

В работе рассматривается только некоторые задачи внутренней механики шин. Несмотря на внешний вид шина представляет собой сложную конструкцию. Например, стандартная радиальная шина содержит около

Протектор

Боковина

Каркас

Рис. 1. Вид в разрезе радиальной шины.

десятка различных материалов в своей конструкции. Т.е. материал является сильно неоднородным. Например, модуль Юнга резины - это несколько или десяток МПа, а стальной корд - 200 000 МПа. Также осредненный резинокордный материал является сильно ортотропным. Поэтому решение задачи определения напряженно-деформированного состояния (НДС) есть сложная задача в случае сильного деформирования из-за сильной нелинейности. Именно такой класс задач исследуется в диссертации.

Исторически применялись различные методы исследования шин.

1) Экспериментальные методы. Активно применялись в течение всей истории шин и, конечно, применяются до сих пор. Например, для определения контактного пятна, определения контактного давления или истирания протектора, образования шума и др.

2) Эмпирический метод. Такие модели основаны на математическом представлении измеренных данных шины, а не на моделировании самой конструкции шины [2]. Формулы имеют заданную структуру и параметры, которые обычно оцениваются с помощью процедур регрессии, чтобы обеспечить наилучшее соответствие измеренным данным. Этот метод требует большого количества данных экспериментов с шинами, но после точного определения необходимых коэффициентов модель может быстро и точно генерировать результаты [3-5]. По-видимому, здесь возможно применение нейросетей. Однако эмпирические модели нельзя использовать для экстраполяции результатов вне рамок экспериментального тестирования. Экспериментально нельзя найти напряжения в корде, например.

3) Простые механические модели, используемые на протяжении всей истории, представлены на рис. 2 и 3. В настоящее время эти модели применяются в задачах внешней механики. Например, модель с точечным контактом и ее варианты [6,7]. Эта модель обычно представлена параллельно пружиной и демпфером, как показано на рис. 2а.

(в)

(г)

(д)

Рис. 2. Простые механические модели: (а) - модель с одноточечным контактом, (б) - модель роликового контакта, (в) - модель с фиксированным посадочным местом, (г) - модель шины с линейной радиальной пружиной, (д) - модели радиально-межрадиальных рессорных шин [7].

Модель с роликовым контактом [6,7] состоит из жесткого колеса, катящегося по препятствиям, и одной пружины и демпфера, как показано на рис. 2б. Модель с фиксированным посадочным местом. В этой модели используется линейно распределенная жесткость и демпфирование в зоне контакта. В этой модели неровности дороги в области следа усредняются, что дает более плавное и реалистичное описание, чем модель точечного контакта, как показано на рис. 2в. Модель шины с линейной радиальной пружиной является усовершенствованием модели с жестким колесом. Шина моделируется не как катящееся твердое тело, а как радиально деформируемое тело. В модели с радиальной пружиной используются независимые линейные пружинные элементы, распределенные по окружности. Модель с линейной жесткостью имеет ограниченный диапазон, в котором она может прогнозировать силы, как показано на рис. 2г. Модели радиально-межрадиальных рессорных шин [7] показаны на рис. 2д. Межрадиальные пружины используются для соединения радиальных линейных или квадратичных пружин, чтобы сделать прогиб каждого элемента шины зависимым от прогиба его соседнего элемента.

Эти модели для изучения состояния качения шин приводят к набору обыкновенных дифференциальных уравнений, подходящих для «быстрых» процессов в шине, когда она катится или сталкивается с препятствием. Это называется явной динамикой. Здесь одной из первых была работа Бема [8].

Существуют также физические модели для описания стационарного качения и «медленных» переходных процессов (медленная динамика), например модель, используемая для изучения характеристик шин при поворотах.

Модель натянутой струны [9] показана на рис. 3а. Каркас представляет

собой натянутую струну и упругую опору. Безмассовая струна контактирует с

горизонтальным грунтом на ограниченной длине, и на натянутой струне

имеется большое количество элементов протектора. Для простоты эти

8

элементы протектора деформируются только в продольном направлении шины.

(а) (б)

Рис. 3. Простые механические модели: (а) - модель натянутой струны,

(б) - модели «щетки» [9].

Простые физические модели, такие как модель натянутой струны, модели «щетки» и т.д., могут описывать характеристики шин при малых деформациях. Модель «щетки» состоит из ряда эластичных щетинок, которые касаются плоскости дороги и могут отклоняться в направлении, параллельном поверхности дороги. Эти щетинки можно назвать элементами протектора. Их податливость представляет собой упругость комбинации каркаса, ремня и фактических элементов протектора реальной шины [10].

4) Конечно-элементная модель. С развитием компьютерных технологий появляется все больше и больше исследований применения метода конечных элементов (МКЭ) для решения задач о шинах. Разработчики шин широко используют МКЭ для прогнозирования и оптимизации шин с помощью виртуального прототипирования.

Первое применение метода конечных элементов в шинной промышленности относится к началу 1970-х гг. Создание двумерной конечно-элементной модели шины относительно просто, но диапазон ее использования ограничен. Спектр применения трехмерной конечно-элементной модели очень широк, но при разработке трехмерной модели возникает ряд проблем, связанных с адекватностью моделей

материалов, используемых в конструкции шины. Чтобы смоделировать композитный резиновый корд в микромасштабе и применить его к модели шины, т.е. на макроуровне, требуются слишком большие компьютерные ресурсы. Поэтому этот метод очень непрактичен. Поэтому поиск адекватного макроскопического моделирования резинокордных слоев всегда был в центре внимания исследований. В области инженерных приложений ученые использовали эквивалентные макроскопические модели из трансверсально-изотропных или ортотропных материалов для резинокордных слоев. Во многих конечно-элементных моделях шин резинокордные слои моделируются как линейно-упругие материалы.

В [11] проанализировано распределение контактного давления между шиной и дорогой и разработана нелинейная многослойная модель тракторных шин. Процесс моделирования основан на поле давления, полученном в результате нелинейного статического анализа НДС для модели шины из конечных элементов (КЭ), которая учитывает конструктивную геометрию, анизотропные свойства материала нескольких слоев и свойства почти несжимаемого протектора.

В [12] разработана конечно-элементная модель шины. В этой модели брекер и каркас моделируются с помощью эквивалентной модели ортотропного материала, в которой эффективные модули определяются из индивидуальных свойств материала резиновой смеси и корда с использованием уравнений На1рт^а1.

В [13] построена конечно-элементная модель шины, чтобы изучить взаимодействие между шиной и рельефом. Корд моделируется как линейно-эластичный материал.

В конечно-элементной модели шины используется другой способ моделирования резинокордного слоя - в виде комбинации резиновых и мембранных элементов (ортотропный) [14], как показано на рис

п;. Membrane (Orthotropic)

F,ber Rubber

Solid

Рис. 4. Конечно-элементное моделирование резины, армированной волокном [14].

В модели шины из конечных элементов можно использовать множество различных методов для моделирования конструкционных армирующих материалов. Кроме моделирования, основанного на теории осреднения, элемент «rebar» также используется для моделирования резиновой матрицы и корда отдельно [15,16], как показано на рис

Рис. 5. «Rebar» элемент [16].

Элемент «ЯЕВАЕ» впервые был использован в конечно-элементной

модели железобетона. Основная идея метода состоит в раздельном выборе

функций формы матрицы и армирующих волокон [17-20].

В большинстве конечно-элементных моделей шин используются

ортотропные или трансверсально-изотропные эквивалентные однородные

11

модели вместо резинокордных слоев в линейном диапазоне упругости. Ключевой вопрос заключается в получении эквивалентных (осредненных) механических свойств однородных слоев [21-23].

Метод двух масштабов дает связь макро- и микроуровней при исследовании армированного волокном композитного материала. Оба уровня (микро и макро) используются для моделирования резинокордных слоев. Микромеханическая модель дает детальное описание структуры, но требует большого количества конечных элементов и объема вычислений. Поэтому описание всей шины с таким уровнем детализации невозможно. Этот метод в основном используется для нахождения осредненных свойств резинокордных слоев. Макроскопические модели с осредненными резинокордными слоями давно используются для моделирования шин.

В рамках микромеханики разработано множество формул и методов оценки или вычисления осредненных свойств. Самый простой метод -формулы смеси для модуля жесткости и податливости [24]. В [25] и [26] на основе микроструктуры волокнистых композиционных материалов предложены улучшенные формулы для расчета эквивалентных модулей. В [27] разработан метод расчета энергии деформации системы, содержащей включения. Для композитов, армированных частицами, в [28] представлен метод самосогласования. Этот подход дает разумное приближение для структур, обладающих некоторой геометрической регулярностью. В [29] использованы вариационные энергетические принципы классической теории упругости для получения более узкой вилки по сравнению с вилкой Фойгта -Рейсса. После этого в [30] разработаны две модели длинноволокнистых композитов. Это волокна, расположенные правильно в шестиугольниках, и волокна, расположенные случайным образом.

Для композитных материалов, неоднородных на микроскопическом уровне, существует промежуточный размер, в пределах которого обоснованно осреднение свойств. Область такого размера называется

12

представительной областью (RVE - Representative Volume Element). Осредненные по такой области свойства называются эффективными.

Асимптотическая теория гомогенизации основана на математическом процессе двух масштабного возмущения. Она использует строгое в рамках асимптотического подхода математическое обоснование для периодической микроструктуры. Эта также дает теоретические и численные результаты [31,32]. Метод основан на асимптотическом разложении полей смещений, деформаций и напряжений вокруг соответствующих макроскопических значений. Асимптотическая теория гомогенизации широко используется для оценки макроскопического поведения многих композитных материалов со сложной микроструктурой [33-46]. Отметим, что для периодической микроструктуры представительной областью является ячейка периодичности.

Таким образом, для моделирования шины целесообразно использовать два масштаба: микроуровень для осреднения свойств резинокордных слоев и макроуровень для решения различных задач о шине, в модели которой используются осредненные свойства.

Впервые понятие RVE дано в [47]. Представительная область должна быть достаточно большой, чтобы статистически представлять композитный материал, включая все его микроскопические неоднородности [48-51]. Впервые именно асимптотический метод позволил строго связать локальные задачи в RVE на микроуровне с исходной краевой задачей на макроуровне [52-63]. Важно отметить, что решение локальных задач может быть использовано для прогнозирования механических свойств композиционных материалов также при больших деформациях [64-76].

Как упоминалось ранее, каркас и брекер представляют собой композитные слои, состоящие из резиновой матрицы и непрерывного однонаправленного армирования. В качестве корда использовался лен. Материал современного корда - текстиль, полиэстер и сталь. Нити корда имеют высокий модуль упругости, обычно на несколько порядков больше

13

модуля упругости резиновой матрицы. Задача создания подходящей модели осредненного резинокордного слоя в макромасштабе и применения ее к макромодели конечных элементов шины - это проблема, которая исследуется в этой работе.

В [77,78] изучено влияние граничных условий RVE на расчет эффективных характеристик композиционного материала и механические свойства наклонного одиночного слоя.

В [79] сделана попытка рассматривать композитный материал резинокорда как ортотропную или гомогенную макроскопическую модель в линейном диапазоне упругости и использовать ее в макроскопической модели шины.

В [80] разработана трехмерная модель конечных элементов для прогнозирования структурного отклика двухслойного резинокорда, как показано на рис. 6. Предполагались, что слои резинокорда демонстрируют физически линейное упругое и геометрически нелинейное поведение. Уравнения напряжения и деформации для элемента корд-резина считаются линейными ортотропными.

Рис. 6. Конечно-элементное моделирование двухслойного резинокордного композита с использованием 20-узловых изопараметрических квадратичных

конечных элементов [80].

Эффективные свойства композитного материала, были получены с помощью 2D и 3D анализа методом конечных элементов в [81] на основе микромеханики. В [82] также использована трехмерная конечно-элементная

модель материала резинокорда для изучения связующего эффекта натяжения и деформации на макроуровне. В [83] использован нелинейный трехмерный анализ методом конечных элементов для изучения отклика двухслойного кордового резинового композитного ламината при скручивающей нагрузке.

В [84] произведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными. Проанализирована потеря устойчивости деформируемого резинокордного композиционного материала при поперечном растяжении.

В [85] описан метод численного эксперимента для определения характеристик резинокорда в условиях плоского напряжения. Экспериментальная часть метода включает испытания на одноосное растяжение двухслойных образцов резинокорда, которые позволяют получить эффективный продольный модуль Юнга для различных углов корда.

В [86-87] разработан метод получения эффективных механических свойств резинокордных композитов с конечными деформациями. В работе [88] рассмотрен вопрос численного моделирования задач вязкоупругости при конечных деформациях. В [89] экспериментально изучены вязкоупругие свойства резинокордных образцов. В [90] получено влияние структуры корда на механические свойства резинокордного слоя.

Следует отметить, что при больших деформациях метод двухмасштабного анализа более сложен. При больших деформациях чаще всего используется гиперупругая модель [91-93]. В [94-98] обнаружено, что существенным является выбор инвариантов и функций инвариантов, соответствующих различным типам анизотропии. На основе этой теории было разработано много моделей гиперупругих материалов. В [99] предложено простое трансверсально-изотропное гиперупругое определяющее соотношение.

В [100] в построенной гиперупругой конститутивной модели также рассматривалось влияние анизотропных свойств на сдвиговой отклик материала.

В [101] рассмотрен несжимаемый нелинейно-упругий материал, в котором матрица армирована жесткими волокнами. Ограничение нерастяжимости заменено односторонним ограничением. В [102] проведена серия основных испытаний, характеризующих упругий потенциал трансверсально-изотропного эластомера (эластомера, армированного волокном). При построении потенциала резинокордного материала взаимодействие корда и резиновой матрицы учитывается в [103,104]. В [105] учтен эффект вязкоупругости. В [106] разработана гиперупругая модель резинокорда для описания моделирования характеристик при изгибе. В [107] предложен метод расчета параметров модели резинового материала Муни-Ривлина.

На основе изученной литературы сформулирована следующая цель работы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные модели резинокордных слоев и пневматической шины»

Цель работы

Разработка моделей резинокордных слоев с учетом физической и геометрической нелинейностей. Применение их для численного моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) пневматических шин при сильном деформировании (сильном искажении формы).

Актуальность темы

Шины широко используются в автомобильной промышленности. Шина - сложная неоднородная конструкция. Стандартная радиальная шина легкового автомобиля содержит значительное количество различных сортов резиновой смеси и по крайней мере два типа резинокордных слоев. Материал

16

является сильно неоднородным. Конструкция шины описывается большим количеством параметров, поэтому полная математическая оптимизация конструкции затруднительна и создание шин все еще базируется на опыте инженеров-конструкторов. Однако в мировой практике широко применяется создание виртуальных прототипов шин на основе применения современных численных методов и возросших мощностей компьютеров.

С развитием компьютерных технологий появляется все больше исследований по методу конечных элементов (МКЭ), применяемому для моделирования шин. Однако результаты, полученные с помощью МКЭ, во многом зависят от точности механической модели. Резинокордные слои невозможно точно смоделировать, выделяя отдельные нити корда. Последнее требует несоразмерно больших компьютерных затрат. Максимальная деформация материала резинокорда может достигать 15%. Актуальным является создание геометрически нелинейной эквивалентной гиперупругой конститутивной модели резинокордного материала.

При наезде шины на препятствие в ней возникают сильное искажение формы и большие деформации как в областях резины, так и отмеченные деформации до 15% в резинокордных слоях. Поэтому разработка нелинейной модели шины, учитывающей сильное искажение формы, является весьма актуальной. Создание собственного программного кода является актуальным и целесообразным, поскольку способствует повышению уровня научного моделирования и программирования в нашей стране. Представляется актуальной верификация программы путем сравнения с зарубежными конечно-элементными программами.

В настоящее время наблюдается стремление адекватно моделировать НДС в шинах, в том числе при умеренно больших деформациях. Следовательно, развитие более точных механических моделей шин и более точное вычисление напряженно-деформированного состояния являются актуальными задачами.

Теоретическая и практическая значимость

Полученные результаты имеют теоретическое и прикладное значение. В работе дано модифицированное определение представительной области для слоя и показано его практическое преимущество для вычисления поперечных упругих свойств резинокордного слоя.

Предложенная схема вычислительных экспериментов имеет практическое значение для нахождения параметров потенциалов, описывающих гиперупругие свойства резинокордных слоев.

Эксперименты по определению влияния скорости квазистатического нагружения демонстрируют практическую важность учета скорости нагружения, а также влияния эффекта Маллинза на вычисление гиперупругих свойств резиновой смеси или резинокордного материала.

Проведенные тестовые и верификационные расчеты нагружения шины имеют практическую направленность.

Методология и методы исследования

Для формулировки механической модели использовался феноменологический подход, т.е. для описания свойств резиновой смеси использовалась гиперупругая модель с потенциалом Муни-Ривлина, а для описания анизотропного осредненного резинокордного материала -предложенные потенциалы, построенные на основе инвариантов меры деформации Коши-Грина относительно групп преобразований систем координат трансверсальной изотропии и ортотропии.

Методика нахождения параметров предложенных потенциалов основана на предложенной схеме вычислительных экспериментов. Решения соответствующих локальных задач в области модифицированной ячейки периодичности получаются методом конечных элементов.

Для использования потенциалов, описывающих резинокордные слои каркаса и брекера в виде определяющих соотношений и их линеаризации,

18

проведено их дифференцирование дважды в символьном виде с использованием программы Octave.

Для моделирования задач сильного деформирования использована программа научного руководителя с применением полученного линеаризованного определяющего соотношения для анизотропных осредненных резинокордных слоев. Для обеспечения достоверности результатов проведено тестирование полученного таким образом варианта вычислительной программы.

Код, разработанный научным руководителем аспиранта, был создан при совместной работе руководителя с компанией Мишлен (Франция) и предназначен для решения геометрически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела.

Для вычисления натяжения корда в резинокордных слоях фактически использовалась идея метода двух масштабов. Решение глобальной задачи для всей шины находится с применением осредненных резинокордных слоев, а напряжение в корде в рамках каждого элемента вычисляется приближенно в предположении одинаковости деформации в направлении корда (в предположении, используемом для вычисления модулей Фойгта).

Основные положения, выносимые на защиту

1. Показано, что модифицированное определение эффективных свойств, состоящее в расширении представительной области путем добавления окружающего однородного материала, приводит к большей точности вычисления этих свойств.

2. Выявлено, что предложенная схема вычислительных экспериментов обеспечивает определение всех параметров анизотропных потенциалов.

3. Экспериментально показано, что даже при квазистатическом

нагружении резиновой смеси или резинокордного слоя брекера с постоянной

19

скоростью в начале процесса деформирования проявляются вязкоупругие свойства.

4. На основе экспериментального исследования эффекта Маллинза обнаружено, что при первом деформировании для учета реономного поведения материала можно использовать обобщенную модель Максвелла.

5. Показано, что для материала резинокорда с металлическим кордом метод утончения слоя обеспечивает приемлемое совпадение изгибных жесткостей.

Достоверность и обоснованность результатов

Достоверность диссертационной работы обоснована использованием строгих математических методов, классических методов механики деформируемого твердого тела, апробированной экспериментальной техники и проверенных численных методов и компьютерных программ. Достоверность подтверждается также совпадением некоторых результатов расчетов с результатами тестов и результатами других авторов.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийских и Международных конференциях, на научно-исследовательских семинарах, подвергались рецензированию при публикации в журналах.

Апробация работы

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

• научно-исследовательский семинар кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф., члена-корр. РАН Е.В. Ломакина (2022 г.);

• научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. В.И. Горбачева (2022 г.);

• научно-исследовательский семинар имени А.А. Ильюшина кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова под руководством д.ф.-м.н., проф. Д.В. Георгиевского (2022 г.);

• межфакультетский научно-исследовательский семинар по вычислительной механике под руководством д.ф.-м.н., проф. С.В. Шешенина, к.ф.-м.н., доц. Ф.Б. Киселева и к.ф.-м.н., с.н.с. Н.Б. Артамоновой (2021-2022 г.);

• Международная научная конференция «Ломоносовские чтения» (2021, 2022 г.);

• XXI Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2019), Алушта, Крым, Россия, 24-31 мая 2019 г.;

• 8-я Всероссийская научная конференция с международным участием «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред» им. И.Ф. Образцова и Ю.Г. Яновского, Москва, Россия, 18-19 декабря 2018 г.;

• XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, Уфа, Россия, 19-24 августа 2019 г.;

• XXX Всероссийская школа-конференция «Математическое моделирование в естественных науках», Пермь, Россия, 6-9 октября 2021 г.;

• 11 -я Всероссийская научная конференция с международным участием «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред» им. И.Ф. Образцова и Ю.Г. Яновского, Москва, Россия, 23-25 ноября 2021 г.

Публикации автора по теме диссертации

Основные результаты диссертации изложены в 8 печатных работах, из них 3 статьи опубликованы в журналах, индексируемых в базах данных Web of Science, Scopus, RSCI.

Личный вклад автора

Выбор представительной области согласно идее научного руководителя о модификации представительной области осуществлен автором [108-112]. Также самостоятельно осуществлена формулировка осредненных упругих свойств в рамках геометрической нелинейности для гиперупругого материала [108,109,113].

Самостоятельно предложена схема вычисления параметров потенциалов в рамках ортотропной модели [108-110]. Самостоятельно показана необходимость использования модифицированного определения осреднения для утонченного резинокордного слоя.

Эксперименты проведены в НИИ Механики МГУ совместно и под руководством ведущего научного сотрудника П.В. Чистякова и обработаны самостоятельно согласно идее научного руководителя. Выводы из этих экспериментов сделаны самостоятельно [113-115].

На основе программы научного руководителя для решения задачи нелинейного деформирования твердого тела реализована гиперупругая модель резинокордных слоев [113]. Самостоятельно проведено тестирование модифицированной программы и влияния утончения брекерного резинокордного слоя на изгибные жесткости [113]. Самостоятельно проведено сравнение натяжений в кордах в задаче внедрения индентера с результатами других авторов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. В работе содержится 58 рисунков, 32 таблицы. Список литературы содержит 145 наименований. Общий объем работы 127 стр.

Обзор диссертационной работы по главам

В главе 1 изложена модификация определения представительной области для резинокордного слоя, находящегося в окружении резины (резиновой смеси). В соответствии с этим приведено определение эффективных гиперупругих свойств резинокордного слоя в рамках геометрической нелинейности. Рассмотрено два типа резинокордных слоев. Поперечное сечение ячейки периодичности слоя типа 1 имеет почти квадратную форму. Такая форма типична для резинокордного слоя каркаса. Материал корда в этом случае текстильный. Сечение ячейки слоя типа 2 при расчетах искусственно утончается и имеет форму прямоугольника. Такая ячейка типична для слоя брекера, который имеет жесткий стальной корд. Утончение используется как вычислительный прием, чтобы обеспечить совпадение изгибных жесткостей слоя относительно оси, перпендикулярной направлению волокон. (В главе 4 показано, что для ячейки типа 2 утончение действительно необходимо.)

Модификация RVE достигается путем добавления материала резины (резиновой смеси) к верхней и нижней границам ячейки периодичности. Далее на примере изгиба резинокордного слоя численным расчетом показывается, что модифицированное определение эффективных упругих свойств приводит к большей точности и поэтому целесообразно.

Далее в этой главе предлагаются формы упругого потенциала для ячейки периодичности типа 1, моделируемой трансверсально-изотропным материалом, и ячейки типа 2, моделируемой ортотропным материалом.

В главе 2 описана процедура вычисления параметров гиперупругой модели с применением феноменологического подхода. Использованы численные эксперименты, моделирующие нагружения по путям деформаций, соответствующих аффинным преобразованиям представительной области. Для этих путей зависимость напряжения от деформации вычислялась МКЭ, а также получалась символьным дифференцированием потенциала. Из сравнения вычислялись параметры потенциала. Исследовалось влияние размера сетки на точность расчета, а также проверялась устойчивость расчета параметров.

Глава 3 посвящена экспериментальному исследованию зависимости свойств брекерного слоя от скорости нагружения, а также изучению эффекта Маллинза для резиновой смеси. Испытания на одноосное растяжение проходили при одинаковой температуре с двухслойными образцами резинокорда и образцом из резиновой смеси такой же толщины. Из-за наличия эффекта Маллинза были проведены отдельные исследования первого и последующих процессов растяжения образца из резиновой смеси. Вязкоупругие свойства резиновой матрицы описываются с помощью обобщенной модели Максвелла.

В главе 4 представлена трехмерная модель шины, использующая разработанную эквивалентную гиперупругую модель материала резинокорда. Цель состоит в моделировании квазистатического деформирования шины в рамках гиперупругости. Численные расчеты в основном состоят из трех частей. Это оценка адекватности изгибной жесткости резинокорда брекерного слоя и моделирование испытания на разрыв (Breaking Test).

Глава 1. Гомогенизация резинокордного слоя при умеренно

больших деформациях

В главе 1 использованы результаты работ [108-112].

Резинокордный слой рассматривается как волокнистый композит, составными частями которого являются высокоэластическое связующее (резина с наполнителем) и волокна (корд). Для моделирования сильной деформации шины (например, при столкновении с препятствием) [116-118] требуется трехмерное описание резинокордного слоя.

Размер шины отличается от микроструктуры материала резинового корда на несколько порядков. Поэтому удобнее использовать двухуровневый метод, при котором в модели всей шины используются осредненные однородные слои, а напряжения на уровне структуры корда вычисляются на основе осредненного напряженно-деформированного состояния (НДС) и точного задания структуры. Математически это аналог метода осреднения в первом приближении [119-122]. Этот метод значительно упрощает расчет и сохраняет достаточную точность определения НДС. При значительных искажениях формы шины деформации в резинокордных слоях могут достигать 20%, решением является использование гомогенизации резинокордных слоев, материал слоя резинового корда заменяется эквивалентным однородным анизотропным гиперупругим эффективным материалом.

В предположении плоского напряженного состояния для резинокордного слоя или пакета слоев в рамках классической ламинатной теории в большинстве работ находятся двумерные эффективные модули. Однако для анализа НДС в рамках 3D конечно-элементной модели требуется знать модули в поперечном направлении. Следовательно, цель первого шага -найти представительный объем материала резинового корда в поперечном направлении.

1.1. Классические определения эффективных свойств для RVE

Методы численной гомогенизации основаны на концепции RVE. Следовательно, для определения эквивалентных характеристик слоя резинокорда в поперечном направлении необходимо выбрать соответствующий RVE. Для волокнистых композитов в качестве RVE часто выбирают периодические ячейки. Представительная область должна быть достаточно большой, чтобы пограничный слой не влиял на результаты расчета среднего напряжения и средней деформации в RVE.

В случае линейной трехмерной упругости имеется классическое определение RVE. В этом определении используются два разных типа специальных граничных условий, задаваемых на границе представительной области. В задаче первого типа задаются перемещения как линейные функции координат (условие типа Дирихле)

ХСг/к! ик ,1X/ = 0 * &¥КУЕ

' _ 0 V (1ЛЛ)

Щ = е/Х/,Х е ^КУЕ

где е/ постоянные, щ - перемещения, наложенное на границу RVE, - граница RVE.

Когда к границе прикладываются линейные перемещения, связь между средней деформацией и граничными условиями смещения можно записать как

КЩУКУЕ

Ук

где (еЛ является средней деформацией. Среднее напряжение можно

вычислить так

Ы = УЦ|у /УКУУЕ■ (112)

\укуе\Укуе

Наконец, соотношение между средним напряжением и средней деформацией может быть записано в RVE как

Ы = Cjbf (skl). (1.1.3)

В задаче второго типа задаются специальные поверхностные силы (граничные условия типа Неймана)

' (Cijkl (X>k,l X j = X e VRVE

J n r (1.14)

Cijkl(X)Uk,inj =j>X ^RVE

где щ - вектор нормали к границе RVE. В случае (1.1.4) связь между средним напряжением и постоянными напряжениями

(Ытп) = ]7^\ j GmndVRVE = ,

\vrve\vrve

где (&mn) является средними напряжениями. Среднюю деформацию RVE можно вычислить так

Ы = Vhjv £j'dVRVE. (U.5)

х ' \vrve\vrve

Аналогичным образом можно определить соотношение между средним напряжением и средней деформацией:

Ы=Jjtf Ы. (1.1.6)

По гипотезе в RVE эквивалентное соотношение между напряжением и деформацией, полученное двумя вышеуказанными методами, должно удовлетворять соотношению

(Ceff )-1 = Jeff (1.1.7)

Для физической нелинейности [111] закон Гука линейной теории упругости больше не применим к описанию материальных определяющих соотношений. Общее определение эффективных характеристик в геометрической и физической нелинейной теории упругости можно записать так. Пусть

* = = С1-1-8)

; С дЩ

где - компоненты второго тензора Пиолы-Кирхгофа, IV - энергия

деформации (упругий потенциал), С - компоненты меры деформаций

Коши-Грина, Е - компоненты деформаций Лагранжа-Грина.

Пусть имеется представительный объем УКУЕ с границей ^ кш

материала с определяющим соотношением

8 = f (х,С), (1.1.9)

где Г есть нелинейная функция деформаций, зависящая от х. Для общего (трехмерного) случая представительной области определение эффективных свойств состоит в следующем. В области УКУЕ можно сформулировать две краевые задачи:

'а^од) = о (б) Г ^ОД)=0 (1.1.10)

и = е0 • X [8(х,С(и)) • П = о0 • П

Из решения задачи (1.1.10а) можно вычислить среднее напряжение в области

УКУЕ

(8> = 1^ I 8(х)^У, (1.1.11)

УКУЕ УКУЕ

а из решения (1.1.10б) можно вычислить среднюю деформацию

(С) = ^ | С(х)^У. (1.1.12)

УКУЕ УКУЕ

Предполагается, что существуют эффективные взаимообратные функции

(8) = Г е(Г(( С) (1.1.13)

и

С = geff((8)). (1.1.14)

Точно так же, как и в линейном упругом диапазоне, две разные нелинейные функции также должны быть обратными друг другу.

г е® = ^ (1.1.15)

В случае гиперупругого материала определяющие соотношения нужно переписать с помощью упругого потенциала:

1.2. Влияние краевого эффекта на результаты расчета RVE

Периодическая ячейка (представительная область) резинокордного слоя показана на рис. 1.2.1.

0

г* х и

X к о

1 1

(а) (б)

Рис. 1.2.1. Ячейка резинокордного материала: (а) - ячейка периодичности (ЯУЕ) резинокордного слоя каркаса (тип 1), (б) - ячейка периодичности ^УЕ)

«утонченного» слоя брекера (тип 2).

Для RVE исходного резинокордного слоя соотношение сторон близко к единице (Н = ^1, ^ « 1). Изгибные жесткости, вообще говоря, не могут быть получены из осредненных жесткостей в плане слоя. Другими словами, эквивалентный однородный слой с найденными эффективными модулями упругости может обладать неправильными изгибными жесткостями. Поэтому можно использовать утончение резинокордных слоев, т.е. слой в конечно-элементной модели искусственно делается более тонким, чем реальный резинокордный слой.

Ячейка периодичности утонченного слоя брекера (рис. 1.2.16) с

И

ц = — к 0,5 тоньше, чем ячейка каркаса. Если для этих двух типов RVE

применить граничные условия (1.1.10а) и (1.1.106), возникает вопрос, удовлетворяет ли результат вычисления эффективных модулей упругости и податливостей формуле (1.1.15)? В случае слоя и поперечных жесткостей этот вопрос важен для законности использования классического определения RVE.

Чтобы проверить это соотношение, двумерные модели RVE поперечного сечения первого и второго материалов резинового корда (исходного и утонченного) были созданы при плоской деформации с использованием метода конечных элементов. Анализируется сжатие вдоль оси 2 при двух различных граничных условиях (1.1.1) и (1.1.4).

Для ячейки типа 1 расчеты проведены на сетке, содержащей 35549 узлов, а для ячейки типа 2 - 24365 узлов. Также проведены вычисления на сетке, содержащей вдвое больше узлов по каждому направлению. Разница в вычисленных деформациях и напряжения оказалась не больше 0,2%. Результат показан на рис. 1.2.2. 35

30 25 20 15 10 5 0

<-о22>МПа

□ 2

<-в22>

0%

5%

10%

15%

20%

25%

(а)

1

40 35 30 25 20 15 10 5 0

□ 2

0%

5%

10%

15% 20% 25% 30%

(б)

Рис. 1.2.2. Зависимость среднего напряжения от средней деформации: (а) - для ячейки типа 1, (б) - для ячейки типа 2. 1 - граничное условие Дирихле, 2 - граничное условие Неймана.

Из результатов на рис. 1.2.2 видно, что, когда максимальная деформация достигает 20%, модуль упругости в поперечном направлении резинокордного материала первого типа в основном удовлетворяет формуле (1.1.15) при двух различных граничных условиях. График для второго материала, показанный на рис. 1.2.26 ясно показывает, что две осредненные зависимости различаются при двух разных граничных условиях. Другими словами, связь среднего напряжения и средней деформации зависит от типа граничного условия. Причина такого результата состоит в том, что граничный эффект проникает насквозь ячейки периодичности (представительной области). Следовательно, необходимо модифицировать RVE резинокордного материала, особенно второго типа RVE.

1.3. Модифицированное определение трехмерных эффективных

модулей слоя

В слое краевой эффект пронизывает всю периодическую ячейку. Это, в частности, приводит к тому, что эффективный поперечный модуль линейной упругости, рассчитанный согласно классическому определению, не обратно пропорционален эффективной податливости. Следовательно, необходимо изменить определение средних упругих свойств на основе модификации представительной области. Модифицированная представительная область типа 2 показана на рис. 1.3.1б.

(а) (б)

Рис. 1.3.1. Вид ячейки периодичности типа 2: (а) - ячейка периодичности типа 2 резинокордного слоя (RVE), (б) - та же ячейка, но дополненная слоями окружающего материала сверху и снизу (RVE+). 1 - материал корда, 2 -материал матрицы, 3 - материал, окружающий резинокордный слой.

Таким способом получается ячейка RVE +, которая состоит из верхней и нижней поверхностей, обозначаемых (t - top, b - bottom), и боковой

поверхности (lat - lateral). Следует отметить, что при формулировке

локальных задач в RVE + граничные условия ставятся на границе .

Однако среднее напряжение и средняя деформация вычисляются только по средней части . Предполагается, что ось х3 декартовой системы

координат перпендикулярна слою, х-,X- - декартовы координаты в

32

начальной и текущей областях, щ - перемещения. На границе мы задаем аффинное преобразование начальных координат в текущие:

X = Н?)х, [щ ^F^-^) x еЪй, F0 = const (1.3.1)

Здесь t - параметр нагружения. На боковой поверхности задаются

условия типа (1.3.1), но учитывающие периодичность напряженно-деформированного состояния (НДС):

i |xa=la/2 i |xa = la/2

К ) xf t e[0

tmax I, X eSlat

S„-N,-u, = X e Ъь„ a = 1,2.

(1.3.2)

4 J lXa=la/2

V J \xa=-la>2'

где N есть вектор внешней нормали к границе в недеформированном состоянии. Если ячейка периодичности и смещение обладают достаточной симметрией, то условия (1.3.2) упрощаются:

и„

0, *

[tFa. ) Xj, t e [0, tmax |,

a = 1,2, x eS

lat

SPJNJ \*a=±la'2 = 0 P = 1,2,3, P^a, X eSiat

(1.3.3)

30 25 20 15 10 5 0

<-о22>МПа

<-s22>

□ 2

0%

5%

10%

15%

20%

Рис. 1.3.2. Ячейка КУБ+ типа 2, при двух разных граничных условиях: 1 граничные условия типа Дирихле, 2 - граничные условия типа Неймана.

1

Для ЯУБ + типа 2 также проводился анализ деформации сжатия вдоль оси 2 при двух различных типах граничных условий (1.1.10а) и (1.1.10б). Результаты показывают (рис. 1.3.2), что КУБ + при двух граничных условиях приводит к одной и той же зависимости среднего поперечного напряжения от поперечной средней деформации. Однородные материалы верхнего и нижнего слоев эффективно блокируют влияние граничного эффекта на деформацию RVE.

1.4. Феноменологический подход к гомогенизации. Формулировки трансверсально-изотропного и ортотропного упругих потенциалов

В естественных науках феноменологический подход заключается в объяснении физических явлений без раскрытия внутренних причин, но с помощью законов, полученных путем обобщения экспериментальных фактов. Этот метод также используется в механике. Например, при изучении определяющих отношений резиновых материалов ученые использовали большое количество феноменологических моделей, основанных на функциях энергии деформации. Сначала предлагается формула определяющего соотношения модели резинового материала, основанная на энергии деформации, а затем параметры в формуле получают путем сопоставления с экспериментальными данными.

Этот метод также может быть использован при построении эквивалентной гиперупругой модели резинокордного материала. Для волокнистого композита наиболее простую модель можно построить, добавив к потенциалу резины члены, учитывающие энергию корда. В плоскости, поперечной волокнам, свойства материала приближенно изотропные для малой концентрации волокна. Таким образом, потенциальную энергию деформации резинокорда можно представить как сумму изотропной и неизотропной частей:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ду Икунь, 2022 год

Литература

1. Gent A.N, Walt J.D. The pneumatic tires. Washington: National Highway Traffic Safety Administration, 2006. 697 p.

2. Zegelaar P. W.A. The dynamic response of tyres to brake torque variations and road unevennesses. Ph.D thesis. Delft University of Technology. Netherlands, 1998.

3. MF-Tyre, "MF-Tyre & MF-Swiftt 6.1 User Manual," http://www.delft-tyre.nl/, 2008.

4. Besselink I. "Vehicle dynamics analysis using SimMechanics and TNO Delft-Tyre," in IAC 2006 The Mathworks International Automotive Conference, Stuttgart, Germany. 2006.

5. Sugiyama H., Suda Y. Non-linear elastic tyre model using the absolute nodal coordinate formulation // Journal of Multi-body dynamics, 2009. P. 211-219.

6. Captain K.M., Wormely D.N., Grande E. The Development and Comparative Evaluation of Analytical Tire Models for Dynamic Vehicle Simulation. U.S. Army TACOM, 1974.

7. Badalamenti J.M., Doyle G.R. Radial-interradial spring tire models // Journal of Vibration, Acoustic, Stress and Reliability in Design. 1988. Vol. 110. P. 70-75.

8. Böhm F. Mechanik der Rollvorgänge. Manuskript. TU Berlin, 1985.

9. Pacejka H.B. The Wheel Shimmy Phenomenon, PhD Thesis, Delft University of Technology, The Netherlands, 1966.

10. Pacejka H.B. Tire and vehicle dynamics. Elsevier Science Ltd., 2012. 632

p.

11. Mohsenimanesh A., Ward S.M., Gilchrist M.D. Stress analysis of a multi-laminated tractor tyre using non-linear 3D finite element analysis // Materials and Design. 2009. Vol. 30. P. 1124-1132.

12. Yan X.Q. Nonlinear three-dimensional finite element analysis of steady rolling radial tires // Journal of Reinforced Plastics and Composites. 2003. Vol. 22. No. 8. P. 733-747.

13. Xia K. Finite element modeling of tire/terrain interaction: Application to predicting soil compaction and tire mobility // Journal of Terramechanics. 2011. Vol. 48. P. 113-123.

14. Shiraishi H, Yoshinaga H, Miyori A, Takahashi E. Simulation of dynamically rolling tire // Eighteenth annual conference of the Tire Society, Akron, Ohio, April 27-28, 1999.

15. Helnwein P., Liu C.H., Meschke G., Mang H.A. A new 3-D finite element model for cord-reinforced rubber composites. Application to analysis of automobile tires // Finite Elements in Analysis and Design. 1993. Vol. 14. P. 1-16.

16. Meschke G., Helnwein P. Large-strain 3D-analysis of fibre-reinforced composites using rebar elements: hyperelastic formulations for cords // Computational Mechanics. 1994. Vol. 13. P. 241-254.

17. Korunovic N, Trajanovic M, Stojkovic M. FEA of tyres subjected to static loading // Serbian Soc Comput Mech. 2007. Vol. 1. P .87-98.

18. Korunovic N., Trajanovic M., Stojkovic M. Finite element model for steady-state rolling tire analysis // Serbian Soc Comput Mech. 2008. Vol. 2. P .63-79.

19. Alkan V., Karamihas S.M., Anlas G. Finite element modeling of static tire enveloping characteristics // International Journal of Automotive Technology. 2011. Vol. 12. No. 4. P. 529-535.

20. Wang W., Yan S., Zhao S. Experimental verification and finite element modeling of radial truck tire under static loading // Journal of Reinforced Plastics and Composites. 2013. Vol. 32. No. 7. P. 490-498.

21. Böhm F. Zur Mechanik des Luftreifens. Habilitationsschrift. TH Stuttgart, 1966.

22. Соколов С.Л., Ненахов А.Б. Применение метода конечных элементов к решению задачи о нагружении радиальных шин локальной нагрузкой / Сборник трудов 6-го Симпозиума «Проблемы шин и резинокордных композитов. Математические методы в механике, конструировании и технологии». М.: НИИШП, 1995. С. 239-243.

23. Белкин А.Е. Разработка системы моделей и методов расчета напряженно-деформированного и теплового состояний автомобильных радиальных шин / Дисс. д-ра техн. наук. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. C. 284.

24. Robert M.J. Mechanics of composite materials. Taylor & Francis, 1999.

25. Akasaka T. Structural mechanics of radial tires // Rubber chemistry and Technology. 1979. Vol. 54. P. 461-492.

26. Halpin J.C., Tsai S.W. Effects of environmental factors on composite materials. 1969.

27. Eshelby J.D. Elastic inclusions and inhomogeneities / In Progress in solid mechanics. I.N. Sneddon and R. Hill, (North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1960). P. 89-140.

28. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // Mech. Phys. Solids. 1965. Vol. 13. P. 213-222.

29. Hashin Z., Shitrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behavior of multiphase materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1963. P. 127-140.

30. Hashin Z., Rosen B.W. The elastic moduli of fiber-reinforced materials // Journal of Applied Mechanics. 1964. P. 223-232.

31. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982.

32. Benssousan A., Lions J.L., Papanicoulau G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North-Holland, 1978.

33. Sanchez-Palencia E. Non-homogeneous media and vibration theory.

Lecture notes in physics. Vol. 127. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1980.

115

34. Tolenado A., Murakami H. A high-order mixture model for periodic particulate composites // Solids Structures. Vol. 23. P. 989-1002.

35. Devries F., Dumontet H., Duvaut G., Lene F. Homogenization and damage for composite structures // Numer. Math. Engrg. 1989. Vol. 27. P. 285-298.

36. Guedes J.M., Kikuchi N. Preprocessing and postprocessing for materials based on the homogenization method with adaptive finite element methods // Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. 1990. Vol. 83. P. 143-198.

37. Hollister S.J., Kikuchi N. A comparison of homogenization and standard mechanics analysis for periodic porous composites // Comput. Mech. 1992. Vol. 10. P. 73-95.

38. Fish J., Yu Q., Shek K. Computational damage mechanics for composite materials based on mathematical homogenization // Numer. Meth. Engrg. 1999. Vol. 45. P. 1657-1679.

39. Fish J., Shek K., Pandheeradi M., Shephard M.S. Computational plasticity for composite structures based on mathematical homogenization: theory and practice // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1997. Vol. 148(1-2). P. 53-73.

40. Chung P.W, Tamma K.K, Namburu R.R. Asymptotic expansion homogenization for heterogeneous media: computational issues and applications // Compos. Part A. Appl. Sci. Manuf. 2001. Vol. 32. No. 9. P. 1291-1301.

41. Dong J.W., Feng M.I. Asymptotic expansion homogenization for simulating progressive damage of 3D braided composites // Compos. Struct. 2010. Vol. 92. No. 4. P. 873-882.

42. Kalamkarov A.L, Andrianov I.V, Danishevs 'kyy V.V. Asymptotic homogenization of composite materials and structures // Appl. Mech. Rev. 2009. Vol. 62. No. 3.

43. Pinho-da Cruz J., Oliveira J., Teixeira-Dias F. Asymptotic homogenisation in linear elasticity. Part I: mathematical formulation and finite element modelling // Comput. Mater. Sci. 2009. Vol. 45. No. 4. P. 1073-1080.

44. Temizer I. On the asymptotic expansion treatment of two scale finite thermoelasticity // Int. J. Eng. Sci. 2012. Vol. 53. P. 74-84.

45. Cai Y., Xu L, Cheng G. Novel numerical implementation of asymptotic homogenization method for periodic plate structures // International Journal of Solids and Structures. 2014. Vol. 51. P. 284-292.

46. Meguid S.A., Kalamkarov A.L. Asymptotic homogenization of elastic composite materials with a regular structure // Solids Structures. 1994. Vol. 31. P. 303-316.

47. Hill. R. Elastic properties of reinforced solids: some theoretical principles // J. Mech. Phys. Solids. 1963. Vol. 11. P. 357-372.

48. Drugan W.J, Willis J.R. A micromechanics-based nonlocal constitutive equation and estimates of representative volume element size for elastic composites // J. Mech. Phys. Solids. 1996. Vol. 44. No. 4. P. 497-524.

49. Gitman I., Askes H., Sluys L. Representative volume: existence and size determination // Eng. Fract. Mech. 2007. Vol. 74. No. 16. P. 2518-2534.

50. Kanit T., Forest S., Galliet I., Mounoury V., Jeulin D. Determination of the size of the representative volume element for random composites: statistical and numerical approach // Int. J. Solids Struct. 2003. Vol. 40. No. 13-14. P. 3647-3679.

51. Ostoja-Starzewski M. Microstructural randomness versus representative volume element in thermomechanics // J. Appl. Mech. 2002. Vol. 69. No. 1. P. 25-35.

52. Terada K., Kikuchi N. Nonlinear homogenization method for practical applications // Computational Methods in Micromechanics. 1995. Vol. 62. P. 1-16.

53. Moehe C., Schroder J., Schotte J. Computational homogenization analysis in finite plasticity. Simulation of texture development in polycrystalline materials // Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. 1999. Vol. 171. P. 387-418.

54. Lahellec N., Suquet P. On the effective behavior of nonlinear inelastic composites: I. Incremental variational principles // J. Mech. Phys. Solids. 2007. Vol. 55. No. 9. P. 1932-1963.

55. Gonzalez C., Segurado J., Llorca J. Numerical simulation of elasto-plastic deformation of composites: evolution of stress microfields and implications for homogenization models // J. Mech. Phys. Solids. 2004. Vol. 52. No. 7. P. 1573-1593.

56. Giusti S, Blanco P, de Souza Netoo E, Feijoro R. An assessment of the Gurson yield criterion by a computational multi-scale approach // Eng. Comput. 2009. Vol. 26. No. 3. P. 281-301.

57. Segurado J., Llorca J. A numerical approximation to the elastic properties of sphere-reinforced composites // J. Mech. Phys. Solids. 2002. Vol. 50. No. 10. P. 2107-2121.

58. Terada K., Hori M., Kyoya T., Kikuchi N. Simulation of the multi-scale convergence in computational homogenization approaches // Int. J. Solids Struct. 2000. Vol. 37. No. 16. P. 2285-2311.

59. Kouznetsova V, Brekelmans W.A.M, Baaijens F.P.T. Approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials // Comput. Mech. 2001. Vol. 27. No. 1. P. 37-48.

60. Matsui K., Terada K., Yuge K. Two-scale finite element analysis of heterogeneous solids with periodic microstructures // Comput. Struct. 2004. Vol. 82. No. 7-8. P. 593-606.

61. Miehe C., Schro"der J., Bayreuther C. On the homogenization analysis of composite materials based on discretized fluctuations on the micro-structure // Acta Mech. 2002. Vol. 155. No. 1-2. P. 1-16.

62. Schro"der J. A numerical two-scale homogenization scheme: the FE2-method // Plasticity and Beyond: Microstructures, Crystal-Plasticity and Phase Transitions. 2014. Vol. 550. P. 1-64.

63. Terada K., Kikuchi N. A class of general algorithms for multi-scale analyses of heterogeneous media // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2001. Vol.190(40-41). P. 5427-5464.

64. Swan C.C. Techniques for stress- and strain-controlled homogenization of inelastic periodic composites // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1994. Vol. 117(3-4). P. 249-267.

65. Smit R.J.M., Brekelmans W.A.M., Meijer H.E.H. Prediction of the mechanical behavior of non-linear heterogeneous systems bu multi-level finite element modeling // Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. 1998. Vol. 155. P. 181-192.

66. Michel J., Moulinec H., Suquet P. Effective properties of composite materials with periodic microstructure: a computational approach // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1999. Vol. 172(1-4). P. 109-143.

67. Nemat-Nasser S. Averaging theorems in finite deformation plasticity // Mech Mater. 1999. Vol. 31(8). P. 493-523.

68. de Souza Neto E, FeijoO R. On the equivalence between spatial and material volume averaging of stress in large strain multi-scale solid constitutive models // Mech Mater. 2008. Vol. 40(10). P. 803-811.

69. Feyel F. A multilevel finite element method (FE2) to describe the response of highly non-linear structures using generalized continua // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2003. Vol. 192(28-30). P. 3233-3244.

70. Feyel F., Chaboche J.L. FE2 multiscale approach for modelling the elastoviscoplastic behaviour of long fibre SiC/Ti composite materials // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2000. Vol. 183(3-4). P. 309-330.

71. Ilic S., Hackl K. Application of the multiscale FEM to the modeling of nonlinear multiphase materials // Theor. Appl. Mech. 2009. Vol. 47(3). P. 537-551.

72. Klinge S., Hackl K. Application of the multiscale fem to the modeling of nonlinear composites with a random microstructure // Multiscale Comput. Eng. 2012. Vol. 10(3). P. 213-227.

73. Kouznetsova V., Brekelmans W.A.M, Baaijens F.P.T. Approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials // Comput. Mech. 2001. Vol. 27(1). P. 37-48.

74. Oller S., Miquel Canet J., Zalamea F. Composite material behavior using a homogenization double scale method // Eng. Mech. 2005. Vol. 131(1). P.65-79.

75. Takano N., Ohnishi Y., Zako M., Nishiyabu K. The formulation of homogenization method applied to large deformation problem for composite materials // Int. J. Solids. 2000. Vol. 37(44). P. 6517-6535.

76. Terada K., Saiki I., Matsui K., Yamakawa Y. Two-scale kinematics and linearization for simultaneous two-scale analysis of periodic heterogeneous solids at finite strain // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2003. Vol. 192(31-32). P. 3531-3563.

77. Tabaddor F. Mechanical properties of cord-rubber composites // Composite Structures. 1985. Vol. 3. P. 33-53.

78. Tabaddor F., Stafford J.R. Some aspects of rubber composite finite element analysis // Computers & Structures. 1985. Vol. 21. P. 327-339.

79. Patel H.P., Turner J.L., Walter J.D. Radial tire cord-rubber composites // Rubber Chemistry and Technology. 1976. Vol. 49. P. 1095-1110.

80. Pidaparti R.M.V., Kakarla V.P. Three-dimensional stress analysis of two-ply cord-rubber composite laminates // Composite Structures. 1994. Vol. 28. P. 433-440.

81. Pidaparti R.M.V., May A.W. A micromechanical analysis to predict cord-rubber composite properties // Composite Structures. 1996. Vol. 34. P. 361-369.

82. Pidaparti R.M.V. Analysis of cord-rubber composite laminates under combined tension and torsion loading // Composites Part B. 1997. Vol. 28. P. 433-438.

83. Pidaparti R.M.V., Kakarla V.P. Torsional stress analysis of cord-rubber composite laminates // Mechanics of Composite Materials and Structures. 1995. Vol. 2. P. 93-109.

84. Akhundov A.M., Lunyov V.P. Calculation and experimental study of a unidirectional rubber-cord composite in tension and compression // Mechanics of Composite Materials. 1999. Vol. 35. P. 227-232.

85. Sheshenin C.B., Demidovich P.N., Chistyakov P.N., Muravlev A.V. Determining the rubber-cord moduli under plane stress conditions // Moscow University Mechanics Bulletin. 2007. Vol. 62. No. 5. P. 136-140.

86. Levin V.A., Zingerman K.M., Vershinin A.V., Yakovlev M.A. Numerical analysis of effective mechanical properties of rubber-cord composites under finite strains // Composite Structures. 2015. Vol. 131. P. 25-36.

87. Гамлицкий Ю.А., Левин В.А., Филиппенко Е.В., Яковлев М.Я. К вопросу о постановке задачи расчета поля напряжений элементарной ячейки эластомерного нанокомпозита // Каучук и резина, №4, 2010. - С. 22-25.

88. Levin V.A., Zingerman K.M., Vershinin A.V., Freiman E.I., Yangirova A.V. Numerical analysis of the stress concentration near holes originating in previously loaded viscoelastic bodies at finite strains // International Journal of Solids and Structures, Vol. 50, Iss. 20-21, 2013. - P. 3119-3135.

89. Larin A.A., Vyazovichenko Yu.A., Barkanov E. Experimental investigation of viscoelastic characteristics of rubber-cord composite considering the process of their self-heating // Strength of Materials. 2018. Vol. 50. P. 841-851.

90. Xie Z., Chai D., Chen S., Wan Z. Effect of cord construction on the properties of rubber composites // Applied Mechanics and Materials. 2013. Vol. 328. P. 906-910.

91. Spencer A.J.M. Continuum Mechanics. Longman Mathematical Texts, 1980.

92. Marsden J., Hughes T.J.R. Mathematical Foundations of Elasticity. New York: Englewood's Cliffs, Prentice Hall, 1992.

93. Bonet J., Wood R.D. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. Cambridge Press, 1997.

94. Spencer A.J.M. The formulation of constitutive equations for anisotropic solids // Mechanical Behaviour of Anisotropic Solids. 1982. P. 2-26.

95. Spencer A.J.M. Modelling of finite deformations of anisotropic materials // Large Deformation of Solids, Physical Basis and Mathematical Modelling. 1986.

96. Tuan H., Marvalova B. Constitutive material model of fiber-reinforced composites at finite strains in comsol Multiphysics // 15th annual conference proceedings. Conference Technical Computing. Prague, 2007.

97. Победря Б.Е., Шешенин С.В. Трехмерное моделирование напряженно-деформированного состояния пневматических шин // Сборник материалов 8-го Международный симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов». Т.2. М.: НИИШП, 1997. С. 320-326.

98. Marvalova B. Modelling of magnetosensitive elastomers / In Modelling and simulation, G. Petrone, G. Cammarata, Eds. Chapter 15. Vienna: I-Tech Education and Publishing, 2008. P. 245-260.

99. Bonet A.J., Burton A.J. A simple orthotropic, transversely isotropic hyperelastic constitutive equation for large strain computations // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1998. Vol. 162. P. 151-164.

100. Merodio J., Ogden R.W. Mechanical response of ber-reinforced incompressible non-linearly elastic solids // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2005. Vol. 40. P. 213-227.

101. Horgan C.O., Saccomamdi G. A new constitutive theory for fiber-reinforced incompressible nonlinearly elastic solids // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2005. Vol. 53. P. 1985-2015.

102. Brown L.W., Smith L.M. A simple transversely isotropic hyperelastic constitutive model suitable for finite element analysis of fiber reinforced elastomers // Journal of Engineering Materials and Technology. 2011. Vol. 133. P. 1-13.

103. Peng X., Guo G., Zhao. N. An anisotropic hyperelastic constitutive model with shear interaction for cord-rubber composites // Composites Science and Technology. 2013. Vol. 78. P. 69-74.

104. Zhao Z., Mu X., Du F. Constitutive model research for rubber-cord composites used in rubber track // Materials Today Communications. 2020. Vol. 23.

105. Zhang F., Kuang Z. Viscoelastic constitutive model of cord-rubber composite // Journal of Reinforced Plastics and Composites. 2005. Vol. 24. P. 1311-1319.

106. Sun S., Chen W. An anisotropic hyperelastic constitutive model with bending stiffness interaction for cord-rubber composites: comparison of simulation results with experimental data // Mathematical Problems in Engineering. 2020. Vol. 2020. P. 1-7.

107. Ren J., Zhong J. The accurate prediction method of tension modulus for nylon cord/rubber composite material // Applied Mechanics and Materials. 2014. Vol. 575. P. 115-120.

108. Шешенин С.В., Ду Икунь. Две модели резинокордного слоя // Механика композиционных материалов и конструкций. 2021. Т.27. №2. С.191-204.

109. Sheshenin S.V., Du Yikun. Homogenization of rubber-cord layers at moderately large deformations. Mechanics of Composite Materials. 2021. Vol.57. No.3. P.275-286.

110. Шешенин С.В., Чистяков П.В., Пятко А.А., Икунь Ду. Нелинейные и вязкоупругие свойства резинокорда // Материалы XXI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2019), Алушта, 24-31 мая 2019 г. М: Изд-во МАИ, 2019. С.367-369.

111. Ду Икунь, Шешенин С.В. Модель резинокорда при умеренно больших деформациях // Сборник трудов 8-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред» им. И.Ф. Образцова и Ю.Г. Яновского. Москва, 18-19 декабря 2018 г. М.: ООО «Сам Полиграфист», 2019. С.101-109.

123

112. Шешенин С.В., Ду Икунь, Чистяков П.В. Модели резинокордного слоя // Сборник трудов XII Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Т. 3: Механика деформируемого твердого тела. Уфа: РИЦ БашГу, 2019. С.1276-1277.

113. Шешенин С.В., Ду Икунь, Чистяков П.В., Артамонова Н.Б. Моделирование резинокордных слоев при квазистатическом нагружении // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2021. №4. С.49-59.

114. Шешенин С.В., Ду Икунь, Чистяков П.В. Моделирование резинокордных слоев при квазистатическом нагружении // Материалы XXX Всероссийской школы-конференции «Математическое моделирование в естественных науках», Пермь, 6-9 октября 2021 г. Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2021. С.33-35.

115. Ду Икунь, Шешенин С.В., Чистяков П.В. Моделирование квазистатического деформирования пневматической шины // Сборник трудов 11-й Всероссийской научной конференции с международным участием «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред» им. И.Ф. Образцова и Ю.Г. Яновского. Москва, 23-25 ноября 2021 г. М.: ООО «Сам Полиграфист», 2021. С.45-53.

116. Rothert H., Idelberger H., Jacobi W. On the finite element solution of the three-dimensional tire contact problem // Nuclear Engineering and design. 1984. Vol. 78. P. 363-375.

117. Rothert H., Idelberger H., Jacobi W., Laging G. On the contact problem of tires, including friction // Tire science and technology. 1985. Vol. 13. P. 111-123.

118. Laging G., Rothert H. Numerical results of tire-test drum interaction // Tire science and technology. 1986. Vol. 14. P. 160-175.

119. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam, New York: North-Holland Pub. Co., 1978. 392 p.

120. Sanchez-Palencia E. Non-Homogenous Media and Vibration Theory (Lecture Notes in Physics). New York: Springer-Verlag, 1980. 400 p.

121. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Наука, 1984. 352 с.

122. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры // М.: Едиториал УРСС, 2003. 376 с.

123. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.

124. Findley W.N., Lai J.S., Onaran K. Creep and relaxation of nonlinear viscoelastic materials. Amsterdam: North-Holland. 1976.

125. Christensen R.M. Theory of viscoelasticity. London: Academic Press,

1982.

126. Aklonis J.J. Introduction to polymer viscoelasticity. New York: John Wiley,

1983.

127. Bergstrom J., Boyce M. Constitutive modeling of the large strain time-dependent behavior of elastomers // J. Mech. Phys. Solids. 1998. Vol. 46. P. 931-954.

128. Johnson A.R., Quigley J., Freese C.E. A viscohyperelastic finite element model for rubber // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1995. Vol. 127. P. 163-180.

129. Bergstrom J.S., Hilbert L.B. A constitutive model for predicting the large deformation thermomechanical behavior of fluoropolymers // Mechanics of Materials. 2005. Vol. 37. P. 899-913.

130. Arruda E.M, Boyce M.C. A three-dimensional constitutive model for the large stretch behavior of rubber elastic materials // Mech. Phys. Solids. 1993. Vol. 41. P. 389-412.

131. Marvalova B. Viscoelastic properties of filled rubber. Experimental observations and material modelling // Engineering MECHANICS. 2007. Vol. 14. P. 81-89.

132. Ломакин Е В., Белякова Т.А., Зезин Ю.П. Нелинейное вязкоупругое поведение наполненных эластомерных материалов // Известия Саратовского университета. 2008. Т.8. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып. 3. C. 56-65.

133. Kaliske M., Rothert H. Formulation and implementation of three-dimensional viscoelasticity at small and finite strains // Computational Mechanics. 1997. Vol. 19. P. 228-239.

134. Zhang F., Kuang Z., Wan Z., Du X. Viscoelastic Constitutive Model of Cord-Rubber Composite // Journal of Reinforced Plastics and Composites. 2005. Vol. 24. P. 1311-1320.

135. Huang X., Peng X., Zhang B. An anisotropic visco-hyperelastic constitutive model for cord-rubber composite // Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics. 2016. Vol. 48. P. 140-145.

136. Nasdala L., Kaliske M., Becker A., Rothert H. An efficient viscoelastic formulation for steady-state rolling structures // Computational Mechanics. 1998. Vol. 22. P. 395-403.

137. Семенов В.К., Белкин А.Е. Экспериментальное исследование гистерезисных свойств протекторных резин в условиях циклического нагружения, характерного для автомобильных шин // Машиностроение. 2013. № 2. С. 9-14.

138. Семенов В.К., Белкин А.Е. Математическая модель вязкоупругого поведения резины при циклическом нагружении // Известия высших учебных заведений. 2014. № 2. С. 46-51.

139. Солодько В.Н., Свистков А.Л., Пелевин А.Г. Численное моделирование вязкоупругого поведения наполненных вулканизатов // Вычислительная механика сплошных сред. 2014. Т. 7. № 2. С. 115-121.

140. Соколов А.К., Свистков А.Л., Комар Л.А., Шадрин В.В., Терпугов В.Н. Проявление эффекта размягчения материала в изменении напряженно-деформированного состояния шины // Вычислительная механика сплошных сред. 2016. Т. 9. № 3. С. 358-365.

141. Семенов В.К. Разработка метода расчета сопротивления качению и теплообразования в массивных шинах при стационарных режимах движения // Дисс. соиск. уч. ст. канд. техн. наук. Москва, 2016. 200 с.

142. Белкин А.Е., Семенов В.К. Теоретический и экспериментальный анализ контакта массивной шины с беговым барабаном // Механика твердого тела. 2016. № 3. С. 71-82.

143. Кравчук А.С. К. Теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения // Прикладная математика и механика. 1980. Т.44. Вып. 1. С. 122-129.

144. Simo J.C., Laursen T.A. An augmented Lagrangian treatment of contact problems involving friction // Computers and Structures. 1992. Vol. 42. Iss. 7. P. 97-116.

145. Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 382 с.