Моделирование больших деформаций гиперупругих тел на основе модели материала Генки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Олейников, Андрей Александрович

• Олейников, Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Олейников, Андрей Александрович

Оглавление

Введение

1 Необходимые сведения из тензорного исчисления и кинематики больших деформаций

1.1 Определение тензора

1.2 Операции с тензорами

1.3 Инварианты и разложение тензора

1.4 Спектральные представления симметричных тензоров второго ранга

1.5 Собственные проекции симметричных тензоров

1.6 Ковариаптное дифференцирование тензора

1.7 Градиеит тензора

1.8 Характеристики локальной деформации тела

1.9 Базовая кинематика

2 Уравнения движения деформируемых тел из изотропного гиперупругого материала Генки

2.1 Определяющие соотношения гиперупругого материала Генки

2.2 Тензор упругости для материала Геики

2.3 Сильная и слабая формулировки уравнений динамического движения

2.4 Сильная и вариационная формулировки уравнений квазистатического движения

3 Применение метода конечных элементов к решению уравнений движения деформируемых тел из изотропного гиперупругого материала Генки

3.1 Конечно-элементная аппроксимация уравнений движения изотропной гиперупругой среды Генки

Оглавление

3.2 Матрицы и векторы конечных элементов

3.3 Введение модели изотропного гиперупругого материала Генки в пакет MSC.Marc

3.4 Примеры численных расчетов

3.4.1 Задача о растяжении куба

3.4.2 Задача о простом сдвиге

3.4.3 Растяжение стержня заданным перемещением торца

3.4.4 Выпучивание сжатого стержня

4 Кручение упругих стержней при больших деформациях

4.1 Одноосное деформирование плоских образцов

4.2 Кручение стержня со стесненными торцами

4.3 Кручение стержня со свободными торцами

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование больших деформаций гиперупругих тел на основе модели материала Генки»

Введение

Эластомеры, благодаря своим уникальным свойствам, обусловленным молекулярной структурой данных материалов, широко используются в технике. Известно (см., например, [34, 49, 54, 56, 84, 89]), что эластомеры могут претерпевать большие деформации (несколько сотен процентов) без разрушения и повреждения структуры материала. Широкое использование эластомеров в автомобильной, авиационной промышленности и других отраслях народного хозяйства требует тщательного исследования их деформативпых и прочностных свойств, а также оценки несущей способности конструкций из материалов типа эластомеров, включая оценку устойчивости этих конструкций при действии сжимающих нагрузок. В настоящее время конструкторы, создающие изделия из новых материалов, все более широко используют методы математического моделирования для оценки работоспособности этих изделий при действии на них типовых нагрузок. В связи с развитием вычислительной техники и современных численных методов (в первую очередь метода конечных элементов), в математическом моделировании поведения создаваемых конструкций из новых материалов все более значимым и актуальным становится компьютерное моделирование конструкций, подвергающихся внешним воздействиям различного типа. Потребность в компьютерном моделировании процессов деформирования тел и конструкций из эластомеров стимулирует развитие теории больших деформаций гиперупругих тел, создание алгоритмов численных решений уравнений гиперупругости и их программную реализацию.

Основные положения теории гиперупругости в настоящее время достаточно хорошо разработаны и представлены, например, в [9, 17, 19, 25, 32, 43, 44, 52, 69, 75, 82, 83, 104, 113, 118, 122, 127, 130]. Однако еще ждут своего решения задачи поиска форм записи уравнений с точки зрения эффективности их использования в приложениях.

Важным моментом при формулировании определяющих соотношений гиперупругости является конструирование скалярной функции удельной энергии деформаций такой, для

ВВЕДЕНИЕ 5

которой тензор напряжений является градиентальной тензорной функцией (см., например, [32]) тензора деформаций. Для корректности формулировки определяющих соотношений гиперупругости тензоры напряжений и деформаций должны образовывать пару тензоров, сопряжёппых по мощности внутренних сил. Впервые понятие сопряжённых пар таких тензоров ввёл В.В. Новожилов [18]. Позднее Р. Хилл [81, 82] ввёл более общее определение сопряжённых тензоров напряжений и деформаций. Дальнейшее развитие идеи сопряжённости этих тензоров дапо в [2, 11, 76, 94] и др.

Используя технику построения тензора в главных осях, Р. Хилл в [81, 82] (см. также [65]) получил выражения для тензоров напряжений, сопряжённых с тензорами деформаций семейства Хилла. М. Шейдлер [124] доказал правильность этих выражений в случае совпадения собственных значений тензоров деформаций. Простота выражений для компонент тензоров деформаций и сопряжённых с ними тензоров напряжений, построенных в главных осях тензора деформаций, к сожалению, приводит к трудностям их использования в приложениях, так как для построения тензора в главных осях требуется определить тройки ортонормальных собственных векторов. Кроме того, для кратных собственных значений тензоров собственные векторы определяются неоднозначно, что создает проблему их выбора.

Для избежания трудностей построения тензоров в главных осях были развиты альтернативные представления тензоров деформаций, напряжений и их скоростей, свободные от выбора базиса (см., например, [38, 39, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 87, 88, 98, 135]). Однако представления этих тензоров в таком виде являются достаточно громоздкими.

Оптимальным вариантом представлений симметричных тензоров напряжений, деформаций и их скоростей, сохраняющих простоту структуры выражений тензоров в главных осях и в то же время удобство их приложения, являются представления этих тензоров через собственные проекции (см., например, [32, 43, 75, 87, 95, 97, 127, 135]). Выражения тензоров напряжений, деформаций и их скоростей через собственные проекции тензоров деформаций даны в [6, 7, 68, 95, 106, 107, 108, 112, 119, 136, 138, 139, 141] и др.

Наиболее подходящей парой сопряжённых тензоров напряжений и деформаций для использования в уравнениях механики сплошной среды в переменных Лагранжа является пара (S(2),E^), где S™ — второй тензор напряжений Пиолы - Кирхгофа, а тензор деформаций Грина - Лагранжа [9, 51, 52, 83, 118]. Главным преимуществом тензора деформаций Грина - Лагранжа перед другими тензорами деформаций семейства

6 ВВЕДЕНИЕ

Хилла является то, что компоненты этого тензора в переменных Лагранжа определяются непосредственно в системе отсчета без спектрального представления этого тензора (т. е. не требуется определять его собственные значения и векторы). С другой стороны, с помощью тензора S^2^ удобно формулировать уравнения движения (равновесия) как в исходном виде, так и через скорости. Формулировка этих уравнений через скорости требуется как для их пошагового интегрирования, так и для применения критериев устойчивости равновесных состояний и квазистатических (динамических) движений (см., например, [9, 40, 118]). Таким образом, для введения новой модели материала (в частности, и гиперупругой среды) в библиотеки моделей материалов пакетов программ общего назначения, реализующих метод конечных элементов решения задач механики деформируемого твердого тела в переменных Лагранжа (например, таких как ADINA [40], MSC.Marc [101], PIONER [92]), достаточно разработать и внедрить в эти пакеты подпрограммы, реализующие связи компонент тензора S^ с компонентами тензора Е^2', а также матрицы, связывающие компоненты их скоростей.

Для изотропной гиперупругой среды моделями материалов, для которых можно прямо (без определения главных осей тензора деформаций) получить упомянутые выше формулы связи, являются такие как модель Кирхгофа - Сен-Венана [52, 130, 132], неогукова, Муни - Ривлина (см., например, [9]). Для этих моделей материалов удельная потенциальная энергия деформаций выражается при помощи уравнения, в котором она зависит от главных инвариантов тензора Е^. Общие формулы связи компонент тензора с компонентами тензора Е'2' и матриц, связывающих компоненты их скоростей для изотропной гиперупругой среды при такой записи удельной потенциальной энергии деформаций, приведены в [117]. К сожалению, модели материалов, в которых учитывается явная зависимость удельной потенциальной энергии деформаций от главных инвариантов тензора позволяют описывать деформирование только узкого класса материалов при умеренных деформациях.

Альтернативным подходом к определению удельной потенциальной энергии изотропной гиперупругой среды является ее задание в виде функции главных удлинений. Важнейшим свойством этой функции является ее зависимость от степеней главных удлинений (модель материала Огдена [118]) и более сложные зависимости от степеней, экспонент и логарифмов главных удлинений [54]. Задание параметров в этих моделях материалов позволяет построить кривые деформирования, соответствующие главным удлинениям во

ВВЕДЕНИЕ 7

всем диапазоне деформирования эластомеров. Если удельная потенциальная энергия деформаций изотропного гиперупругого материала представляется в виде функции от главных удлинений, то компактные представления тензора S^2' и тензора упругости четвертого порядка можно получить в главных осях тензора Е^2). Эти выражения приведены, например, в [44, 83, 104, 118]. Более громоздкие выражения этих тензоров в виде, не зависящем от выбора базиса, приведены в [64]. Компактные представления этих тензоров в собственных проекциях лаграпжевых тензоров деформаций удобные для приложений приведены в [108, 119].

Использование сложных моделей материалов работоспособных во всем диапазоне деформирования эластомеров требует тщательной постановки экспериментов и большой работы по поиску параметров для описания экспериментальных кривых. Возникает вопрос: можно ли для эластомеров сконструировать такую функцию для удельной потенциальной энергии деформаций, которая имела бы вид потенциальной функции для изотропной упругой среды при бесконечно малых деформациях, для которой справедлив закон Гука, и в то же время была бы пригодной для описания деформаций эластомеров, выходящих за рамки применения уравнений линейной теории упругости?

Первый шаг к ответу на этот вопрос состоит в разработке методики построения функций удельной потенциальной энергии деформаций для моделей материалов изотропной гиперупругой среды, обобщающих закон Гука на случай больших деформаций. Эту методику предложил Р. Хилл [81, 82] (см. также [132]). Суть предложения Р. Хилла состоит в замене тензоров напряжений и деформаций Коши в законе Гука, используемых в уравнениях линейной теории упругости, любой парой сопряжённых лагранжевых тензоров напряжений и деформаций (последние должны принадлежать семейству тензоров деформаций Хилла, введенному в [81, 82]). В частности, такой парой является пара тензоров (S(2\E(2)). В последнем случае такая модель изотропного гиперупругого материала называется моделью Кирхгофа - Сен-Венана [52, 130, 132]. Другие способы обобщений закона Гука с бесконечно малых на большие деформации представлены в [42, 48, 114], но модели материала, рассматриваемые в этих работах, в общем случае являются только упругими, но не гиперупругими (на замкнутых путях деформирования не сохраняют энергию) [83, 118, 130].

Вторым шагом к ответу на поставленный вопрос является отбор таких моделей материалов (среди теоретически допустимых), поведение которых не противоречит уста-

повившимся физическим представлениям о поведении материалов во всем допустимом диапазоне изменения главных удлинений, и определение таких диапазонов изменения деформаций, для которых математические модели соответствуют данным эксперимента. Поведение ряда моделей гиперупругих материалов этого семейства изучалось путем построения кривых одноосного деформирования и простого сдвига в [1, 41, 42, 51, 53, 55, 58, 67, 89, 121, 137]. Суммируя результаты этих исследований, можно отметить, что только модель гиперупругого изотропного материала Генки (Непску) с использованием тензора логарифмических деформаций Е^1 (см., например, [118]) и сопряжённого с ним тензора напряжений Нолла г [51] не противоречит установившимся физическим представлениям (деформации стремятся к минус-бесконечности при неограниченном сжатии материала и к плюс-бесконечности при его неограниченном растяжении) и согласуется с экспериментальными данными для деформаций умеренной величины, выходящих за рамки применимости уравнений линейной теории упругости. Отметим, что аналогичным свойством обладает пара сопряжённых тензоров напряжений и деформаций Муни (Моопеу) (8м, Ем) [51, 53]. При этом тензор деформаций Мупи Ем (тензор квазилогарифмических деформаций) из семейства Хилла аппроксимирует тензор логарифмических деформаций. Такое же соответствие известным экспериментальным данным решений задач о кручении и изгибе стержней из материала Генки отмечается в [46, 47, 151, 153]. Л. Ананд [34] показал, что модель материала Генки хорошо описывает деформацию вулканизированной резины и упругие деформации металлов при высоких давлениях в интервале (0.7,1.3) изменения главных удлинений. Более того, Л. Ананд показал [35], что однопараметрическая модель Генки для несжимаемого материала (под параметром понимается модуль Юнга) лучше описывает экспериментальные данные, чем двухпараметрическая (с параметрами С\ и С2 [9]) модель гиперупругого изотропного материала Муни - Ривлина. Преимущества использования тензора логарифмических деформаций перед другими тензорами деформаций семейства Хилла в уравнениях механики сплошной среды, такие как аддитивное разложение деформации на объемную и изохорическую составляющие и существование коротациоппой скорости тензора логарифмических деформаций, равной тензору скорости деформаций, хорошо известны (см., например, [43, 44, 67, 82, 136, 146, 148]).

1 Тензор логарифмических деформаций впервые ввели Имберт (Imbert) в 1880 г. и Людвик (Ludwik) в 1909 г. В формулировке определяющих соотношений этот тензор впервые использовал Генки (Непску) в 1928 г. [51].

Таким образом, можно дать однозначный ответ на вопрос, поставленный выше: для изотропной гиперупругой среды единственной парой сопряжённых лагранжевых тензоров напряжений и деформаций из семейства Хилла, пролонгирующих закон Гука из области малых в область умеренных деформаций и имеющих прикладное значение, является пара тензоров (т,Е<°>) и пара тензоров (SM,EM), которые аппроксимируют, соответственно, тензоры в первой паре.

Дальнейшее усложнение модели материала Генки с целью добиться большего соответствия структуры удельной потенциальной энергии деформаций данным эксперимента проведено в [49, 50, 56, 84, 89]. Преимущества использования тензора логарифмических деформаций в определяющих соотношениях неупругих материалов по сравнению с другими тензорами семейства Хилла хорошо известны и этот тензор используется исследователями в определяющих соотношениях гипоупругости [105, 137, 139, 143, 149, 155], упругопластичности [7, 24, 36, 37, 70, 71, 72, 77, 109, 110, 111, 134, 144, 150, 152, 154] и жёстко-пластического тела [115].

Напомним, что классический закон Гука для изотропных упругих материалов строится в виде зависимости тензора напряжений Коши s от тензора деформаций Коши е: s = Ф(ё), где Ф — однородная изотропная функция первой степени от е (см., например, [9]). Определяющие соотношения закона Гука имеют механический смысл только для бесконечно малых деформаций, так как тензор деформаций Коши е не объективен, т. е. этот тензор нельзя использовать для построения определяющих соотношений нелинейной среды (см. например, [130]). При замене пары тензоров (s, е) в законе Гука па пару тензоров (г, Е(°>), где г — тензор напряжений Нолла, а Е^ — правый тензор логарифмических деформаций (правый тензор деформаций Генки), приходим к модели изотропного гиперупругого материала Генки, которую можно использовать для моделирования деформирования эластомеров в условиях больших деформаций, так как тензоры т и Е^ объективны по Лаграпжу [94, 95].

Л. Ананд [34, 35] показал, что в интервале (0,7;1,3) изменения главных удлинений деформация многих эластомеров описывается моделью материала Гепки. Это означает, что если исследователя интересует моделирование процессов деформирования эластомеров в указанных рамках изменения главных удлинений, то ему можно воспользоваться моделью материала Гепки. При этом константы этой модели материала нетрудно определить из экспериментов по одноосному деформированию образцов, в результате которых надо

определить модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона v (обычно для эластомеров значение коэффициента Пуассона при обработке экспериментов в логарифмических деформациях близко к значению 0.5, т.е. эластомеры зачастую принадлежат к почти несжимаемым материалам). Отметим, что для других известных моделей материалов, описывающих деформирование эластомеров, определение констант материалов более затруднительно, чем для модели Генки (см., например, [45]).

Как отмечалось ранее, при построении замкнутой системы уравнений механики деформируемого твердого тела (МДТТ) в переменных Лагранжа наиболее подходящей парой сопряжённых по Хиллу тензоров напряжений и деформаций [81, 82] (отметим, что пара тензоров (т, Е^) является сопряжённой по Хиллу для изотропной гиперупругой среды [13]) является пара (S^,E®). Главным преимуществом тензора деформаций Грина - Лагранжа перед другими тензорами деформаций семейства Хилла (включая и тензор является то, что компоненты этого тензора в переменных Лагранжа определяются непосредственно в системе отсчета без спектрального представления этого тензора (т. е. не требуется определять его собственные значения и векторы). Таким же свойством обладает правый тензор деформаций Коши - Грина С (этот тензор не входит в семейство тензоров деформаций Хилла), который связан с тензором

Е<2> следующим равенством:

Е(2) = (С — I)/2 (I — единичный тензор). Главная идея настоящей работы состоит в выводе выражений для второго тензора напряжений Пиола - Кирхгофа S^2' и тензора упругости четвертого порядка С (осуществляющего линейную связь материальных производных тензоров

S(2) и для изотропного гиперупругого материала Генки через собственные значения и собственные проекции тензора С. Преимущества выражений искомых тензоров через собственные проекции вместо главных осей представлены в [95]. Таким образом, в настоящей работе получены формулы для определения тензоров S^ и С для модели изотропного гиперупругого материала Генки, удобные для дальнейшего их использования в пакете MSC.Marc.

Самым мощным инструментом численного решения нелинейных задач МДТТ в настоящее время признан метод конечных элементов (МКЭ) (см., например, [9, 40, 44, 52, 91, 156]). Математические основы МКЭ для решения линейных задач МДТТ представлены в [29, 85]. Отметим, что при реализации МКЭ решения нелинейных задач посредством линеаризации представляются последовательностью решений линейных задач.

Одним и тем же термином «МКЭ» называют частные случаи двух методов дискрети-

зации уравнений МДТТ: Ритца и Бубнова - Галёркина. Первый метод основан на вариационных формулировках, а второй — на слабых формах уравнений МДТТ (отметим, что естественная вариационная формулировка подходит только для самосопряженных задач, а слабая форма уравнений — для более широкого класса задач). Развитый математический аппарат с набором сформулированных и доказанных теорем об оптимальности этих методов, сходимости приближенных решений к точным, полноте пространств аппроксимирующих функций и так далее (см., например, [29, 85]) обеспечил падежный базис для развития алгоритмов и их реализации для численных решений задач МДТТ. На заре становления этих двух методов (около столетия назад) базисные функции для представления неизвестных конструировались в пространстве С°° (обычно использовались тригонометрические функции). Однако такие базисные функции оказались малопригодными для практических приложений, поэтому оба этих метода оказались в тени на несколько десятилетий, а в 50-е годы 20-го века в лидеры численных методов решения задач МДТТ вышел метод конечных разностей, основанный па разностных аппроксимациях сильных форм уравнений МДТТ. Однако опубликованная в 1943 г. работа Ф. Куранта (см., например, [29]) привела к тому, что уже через два десятилетия методы Ритца и Бубнова - Галёркина вновь вышли в лидеры численных методов решения задач МДТТ, каковыми и остаются до настоящего времени. Главной идеей этой работы (с которой связывают рождение МКЭ) является предложение использовать базисные функции из Соболева пространства Я1 для аппроксимации искомых неизвестных (вместо традиционного использования гладких базисных функций), даже если неизвестные принадлежат пространствам гладких функций.

Ещё в 60-е годы 20-го века специалисты Национального агентства космонавтики и аэронавтики (NASA) США разработали пакет NASTRAN, основанный на конечно-элементной аппроксимации уравнений линейной теории упругости (в настоящее время этот пакет развивается и распространяется корпорацией MSC.Software под маркой MSC.Nastran). Спустя десятилетие появились коммерческие пакеты, реализующие МКЭ для решения нелинейных задач МДТТ, такие как ABAQUS, ADINA, ANSYS, MARC и др. Первым пакетом такого рода стал пакет MARC, разработанный в начале 70-х годов 20-го века корпорацией MARC Analysis Research. В настоящее время этот пакет развивается и распространяется корпорацией MSC.Software под маркой MSC.Marc [101]. Этот пакет открыт для введения новых моделей материалов и может использоваться для решения геометрически нелинейных задач МДТТ с большими деформациями. В частности, в диссертационной работе

12 ВВЕДЕНИЕ

использован модуль hypela2.f для введения модели изотропного гиперупругого материала Генки в пакет MSC.Marc.

Целью диссертационной работы является развитие новых формулировок уравнений механики деформируемого твердого тела, основанных па использовании модели изотропного гиперупругого материала Генки, внедрение новой лагранжевой формулировки определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки в коммерческий пакет конечно-элементного анализа MSC.Marc, верификация численной реализации новой фомулировки определяющих соотношений; проведение идентификации параметров модели изотропного гиперупругого материала Генки для материала дуотан QA965, сравнение решений новых задач о стесненном и свободном кручении, выпучивании и послекритиче-ском деформировании стержней из материала дуотан QA965, полученных компьютерным моделированием с использованием пакета MSC.Marc, с полученными в эксперименте данными.

Основные задачи исследований:

• получить новое выражение тензора упругости для изотропного гиперупругого материала Генки, которое можно использовать для произвольной кратности собственных значений правого тензора деформаций Коши - Грина;

• показать, что полученный тензор упругости обладает как минорными симметриями, так и главной симметрией;

• показать, что полученный тензор упругости является объективным по Лагранжу тензором четвертого порядка;

• численно реализовать новую лагранжеву формулировку определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки в коммерческом пакете конечно-элементного анализа MSC.Marc посредством написания текстов для пользовательской программы hypela2.f на языке Fortran;

• подтвердить достоверность реализации разработанной программы сравнением численных решений, полученных с использованием пакета MSC.Marc, с точными решениями задач о равномерном растяжении куба, простом сдвиге, одноосном деформировании стержня, выпучивании сжатого стержня из изотропного гиперупругого материала Генки;

ВВЕДЕНИЕ 13

• провести идентификацию параметров модели изотропного гиперупругого материала Генки для материала дуотан QA965 из экспериментов по одноосному деформированию плоских образцов;

• установить границы применимости модели изотропного гиперупругого материала Генки для материала дуотан QA965 сравнением диаграммы одноосного деформирования, полученной в эксперименте, с аналогичной диаграммой для используемой модели материала;

• получить решения задач о стесненном и свободном кручении, выпучивании и по-слекритическом деформировании стержней из материала дуотан QA965; провести сравнение решений, полученных компьютерным моделированием с использованием пакета MSC.Marc, с данными, полученными в эксперименте, и с известными точными решениями.

Методы исследований. При выводе выражения тензора упругости для изотропного гиперупругого материала Гепки используется аппарат тензорного исчисления с представлением векторов и тензоров в виде, свободном от выбора базиса. Для представления тензоров второго и четвертого порядков используются собственные проекции правого тензора деформаций Коши - Грина, что позволяет избежать неоднозначности представления тензоров в главных осях. Для внедрения формулировки определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки в коммерческий пакет конечно-элементного анализа MSC.Marc написаны тексты для пользовательской программы hypela2.f на языке Fortran. Пошаговое интегрирование по времени уравнений квазистатического (динамического) движения тел из изотропного гиперупругого материала Генки осуществляется с использованием пакета MSC.Marc. Для получения форм закритического деформирования стержней вводятся возмущающие силы. Экспериментальные исследования проводились на испытательной установке Zwick/Roell ZI00. Деформации образцов замерялись бесконтактным способом с помощью системы фотофиксации полей деформаций Vic-3D.

Достоверность результатов работы подтверждается корректным использованием уравнений механики деформируемого твердого тела, применением современных вычислительных технологий конечно-элементного моделирования, а также обеспечивается современным экспериментальным оборудованием и системой замеров, которые дают хорошую согласованность результатов расчетов с известными точными решениями и эксперимен-

тальными данными.

Научная и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в проектировании изделий и конструкций из гиперупругих материалов. Значение настоящего исследования состоит в том, что полученное выражение тензора упругости для изотропного гиперупругого материала Генки впервые введено в пользовательскую программу коммерческих кодов MSC.Marc и использовано при определении матриц касательных жёсткостей в переменных Лагранжа в отсчетной системе координат без перехода к главным осям правого тензора деформаций Коши-Грина. Это выражение получено как для различных, так и для кратных собственных значений правого тензора деформаций Коши-Грина.

Научная новизна.

• Получено новое представление тензора упругости четвертого порядка для гиперупругого изотропного материала Генки.

• Показано, что полученный тензор упругости обладает как минорными симметриями, так и главной симметрией.

• Показано, что полученный тензор упругости является объективным по Лагранжу тензором четвертого порядка.

• Новая лагранжева формулировка определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки реализована в коммерческом пакете конечно-элементного анализа MSC.Marc посредством написания текстов для пользовательской программы hypela2.f на языке Fortran.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Олейников, Андрей Александрович, 2014 год

Литература

[1] Адамов A.A. Сравнительный анализ двухконстантных обобщений закона Гука для изотропных упругих материалов при конечных деформациях // Прикл. мех. и тех. физика. 2001. Т. 42, №5. С. 183-192.

[2] Аннин Б.Д., Коробейников С.Н. Обобщенные сопряженные тензоры напряжений и деформаций // Сиб. журн. инд. мат. 2004. Т. 7, №3. С. 21-43.

[3] Баренблатт Г.И. О распространении шейки при растяжении полимерных образцов // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28, №6. С. 1048-1060.

[4] Бондарь В.Д. Введение в механику сплошных сред: уч. пособие. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1967.

[5] Буренин A.A., Быковцев Г.И., Ковташок JI.B. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях // Докл. РАН. 1996. Т. 347, Ш С. 199-201.

[6] Голованов А.И. Конечно-элементное моделирование больших деформаций гиперупругих тел в терминах главных удлинений // Вычислительная механика сплошных срсд. 2009. Т. 2, K« 1. С. 19-37.

[7] Голованов А.И. Численное моделирование больших деформаций упругопластических тел в терминах логарифмов главных удлинений. Вычислительная механика сплошных сред. 2011. Т. 4, № 1. С. 25-35.

[8] Коробейников С. Н. Применение метода конечных элементов к решению нелинейных задач по деформированию и потере устойчивости атомных решеток // Препринт/ РАН. Сиб. отд-ние. Институт гидродинамики; № 1-97, Новосибирск, 1997.

[9] Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. Новосибирск: Из-во СО РАН, 2000.

[10] Коробейников С. Н. Численное решение уравнений с особенностями деформирования упругопластических оболочек вращения // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6, № 5. С. 39-59.

[11] Коробейников С.Н. Строго сопряженные тензоры напряжений и деформаций // ПМТФ. 2000. Т. 41, № 3. С. 149-154.

[12] Коробейников С.Н. Применение собственных проекций симметричных тензоров к определению коротациониых производных и интегралов // Успехи механики сплошных сред (к 70-летию академика В.А. Левина) / Сборник научных трудов. Владивосток: Даль-наука. 2009. С. 352-367.

[13] Коробейников С.Н., Олейников A.A. Лагранжева формулировка определяющих соотношений гиперупругого материала Геики // Дальневосточный мат. жур. 2011. Т. 11, № 2. С. 155-180.

[14] Коробейников С.Н., Олейников A.A., Ларичкии А.Ю., Бабичев A.B., Алехин В.В. Численная реализация лагранжевой формулировки определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки // Дальневосточный мат. жур. 2013. Т. 13, № 2. С. 222-249.

[15] Коробейников С.Н., Кургузов В.Д., Ларичкин А.Ю., Олейников A.A. Компьютерное моделирование деформирования эластомеров // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Тезисы докладов XXIII Всероссийской конференции, Барнаул, 26-28 июня, 2013 г. Новосибирск: Параллель, 2013. С. 9498.

[16] Коробейников С.Н., Ларичкин А.Ю., Олейников A.A. Кручение стержней при больших деформациях: эксперимент и компьютерное моделирование па основе модели изотропного гиперупругого материала Геики // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций. Сб. материалов III Всероссийской конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика

118 Литература

Ю.Н. Работнова, Новосибирск, 26-30 мая, 2014 г. Новосибирск: изд-во НГТУ, 2014. С. 52.

[17] Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

[18] Новожилов В.В. О принципах обработки результатов статических испытаний изотропных материалов // ПММ. 1951. Т. 15, № 6. С. 709-722.

[19] Новожилов В.В. Теория упругости. JL: Судпромгиз, 1958.

[20] Олейников A.A., Коробейников С.Н. Лагранжевая формулировка определяющих соотношений гиперупругого изотропного материала Генки // Материалы Российской научно-технической конференции «Фундаментальные исследования в области технологий двойного назначения», Комсомольск-па-Амуре, 21-24 ноября 2011 г. Комсомольск-на-Амуре: изд-во КНАГТУ, 2011. С. 120-124.

[21] Олейников A.A., Коробейников С.Н. Инкрементальная формулировка определяющих соотношений гиперупругого изотропного материала Генки в переменных Лаграпжа // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций: тезисы докладов II Всероссийской конференции, Новосибирск, 10-14 октября, 2011 г. Новосибирск: Издательство НГТУ, 2011. С. 76-77.

[22] Олейников A.A. Инкрементальная формулировка определяющих соотношений гиперупругого изотропного материала Генки в переменных Лаграпжа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродипимики. РАН. Сиб. отд-пие. Новосибирск, 2012. Вып. 127. С. 77-79.

[23] Панов А.Д., Шумаев В. В. Применение логарифмической меры деформаций для решения задач кручения // Изв. РАН. МТТ. 2012. № 1. С. 92-100

[24] Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986.

[25] Роговой A.A. Модель слабосжимаемого и несжимаемого упругого тела при конечных деформациях // Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов: Коллективная монография. Екатеринбург: изд-во УрО РАН, 1997. С. 375-442.

Литература 119

[26] Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.

[27] Седов Л.И. Механика сплошной среды (в двух томах). М.: Наука, 1973.

[28] Соляник-Красса К.В. Введение в механику деформируемого твердого тела. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1976.

[29] Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов М.: Мир, 1977.

[30] Трусов П.В., Дударь О.И., Келлер И.А. Тензорная алгебра и анализ. Пермь: Пермский ТУ, 1998.

[31] Черных К.Ф. и др. Введение в механику сплошных сред: уч. пособие. Л.: Из-во ЛГУ, 1984.

[32] Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986.

[33] Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М.: URSS, 1999.

[34] Anand L. On Hencky's approximate strain-energy function for moderate deformations // Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1979. V. 46, N. 1. P. 78-82.

[35] Anand L. Moderate deformations in extension-torsion of incompressible isotropic elastic materials //J. Mech. Phys. Solids. 1986. V. 34. P. 293-304.

[36] Arghavani J., Auricchio F., Naghdabadi R. A finite strain kinematic hardening constitutive model based on Hencky strain: General framework, solution algorithm and application to shape memory alloys // Int. J. Plasticity. 2011. V. 27. P. 940-961.

[37] Arif A.F.M., Pervez Т., Mughal M.P. Performance of a fnite element procedure for hyperelastic-viscoplastic large deformation problems // Finite Elements in Analysis and Design. 2000. V. 34. P. 89-112.

[38] Asghari M., Naghdabadi S., Sohrabpour S. Some basis-free expressions for stresses conjugate to Hill's strains through solving the tensor equation AX + XA = С // Int. J. Solids Struct. 2008. V. 45. P. 3584-3595.

120 Литература

[39] Asghari М. Basis free expressions for the stress rate of isotropic elastic materials in the cases of coalescent principal stretches // Int. J. Solids Struct. 2010. V. 47. P. 611-613.

[40] Bathe K.-J. Finite Element Procedures. New Jersey, Upper Saddle River: Prentice Hall, 1996.

[41] Batra R.C. Linear constitutive relations in isotropic finite elasticity // J. Elast. 1998. V. 51. P. 243-245.

[42] Batra, R.C. Comparison of results from four linear constitutive relations in isotropic finite elasticity // Int. J. Non-Linear Mech. 2001. V. 36. P. 421-432.

[43] Bertram A. Elasticity and Plasticity of Large Deformations. An Introduction. 2nd ed. Berlin: Springer, 2008.

[44] Bonet J., Wood R.D. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997.

[45] Brown R. Physical testing of Rubber. N.Y.: Springer, 2006.

[46] Bruhns O.T., Meyers A., Xiao H. Hencky's elasticity model with the logarithmic strain measure: a study on Poynting effect and stress response in torsion of tubes and rods // Arch. Mech. 2000. V. 52, N. 4-5. P. 489-509.

[47] Bruhns O.T., Meyers A., Xiao H. Finite Bending of a Rectangular Block of an Elastic Hencky Material // J. Elast. 2002. V. 66. P. 237-256.

[48] Chiskis A. Linear stress-strain relations in nonlinear elasticity // Acta Mech. 2001 V. 146. P. 109-113.

[49] Criscione J.C., Humphrey J.D., Douglas A.S., Hunter W.C. An invariant basis for natural strain which yields orthogonal stress response terms in isotropic hyperelasticity //J. Mech. Phys. Solids. 2000. V. 48. P. 2445-2465.

[50] Criscione J.C. Direct tensor expression for natural strain and fast, accurate approximation // Computers and Structures. 2002. V. 80. P. 1895-1905.

[51] Curnier A., Rakotomanana L. Generalized strain and stress measures: critical survey and new results // Eng. Trans. 1991. V. 39, N. 3-4. P. 461-538.

Литература 121

[52] Curnier A. Computational Methods in Solid Mechanics. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1994.

[53] Curnier A., Zysset Ph. A family of metric strains and conjugate stresses, prolonging usual material laws from small to large transformations // Int. J. Solids Structures. 2006. V. 43. P. 3057-3086.

[54] Darijani H., Naghdabadi R. Hyperelastic materials behavior modeling using consistent strain energy density functions // Acta Mech. 2010. V. 213. P. 235-254.

[55] Darijani H., Naghdabadi R. Constitutive modeling of solids at finite deformation using a second-order stress-strain relation // Int. J. Engng Sci. 2010. V. 48. P. 223-236.

[56] Diani J., Gilormini P. Combining the logarithmic strain and the full-network model for a better understanding of the hyperelastic behavior of rubber-like materials //J. Mech. Phys. Solids. 2005. V. 53. P. 2579-2596.

[57] Dienes J.K. A discussion of material rotation and stress rate // Acta Mech. 1986. V. 65. P. 1-11.

[58] Dluzewski P. Anisotropic hyperelasticity based upon general strain measures //J. Elast. 2000. V. 60. P. 119-129.

[59] Doyle T.C., Ericksen J.L. Nonlinear elasticity // In: Dryden, H.L. and von Karman, Th. (eds.) / Advances in Applied Mechanics. V. 4. New York: Academic Press, 1956. P. 53-115.

[60] Dui G. Time rates of Hill's strain tensors // J. Elast. 1999. V. 54. P. 129-140.

[61] Dui G., Ren Q., Shen Z. Conjugate stresses to Seth's strain class // Mech. Res. Commun. 2000. V. 27, N. 5. P. 539-542.

[62] Dui G., Chen Y. Basis-free representations for the stress rate of isotropic materials // Int. J. Solids Struct. 2004 V. 41. P. 4845-4860.

[63] Dui G. Some basis-free formulae for the time rate and conjugate stress of logarithmic strain tensor // J. Elast. 2006. V. 83. P. 113-151.

122 Литература

[64] Dui G., Wang Z., Ren Q. Explicit formulations of tangent stiffness tensors for isotropic materials // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2007. V. 69. R 665-675.

[65] Farahani K., Naghdabadi R. Conjugate stresses of the Seth-Hill strain tensors // Int. J. Solids Struct. 2000. V. 37. P. 5247-5255.

[66] Farahani K., Naghdabadi R. Basis free relations for the conjugate stresses of the strains based on the right stretch tensor // Int. J. Solids Struct. 2003. V. 40. P. 5887-5900.

[67] Farahani K., Bahai H. Hyper-elastic constitutive equations of conjugate stresses and strain tensors for the Seth-Hill strain measures // Int. J. Engng Sci. 2004. V. 42. P. 29-41.

[68] Fitzgerald J.E. A tensorial Hencky measure of strain and strain rate for finite deformations. J. Appl. Phys. 1980. V. 51, N. 10. P. 5111-5115.

[69] Fung Y.C. Foundations of Solid Mechanics. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1965.

[70] Gabriel G., Bathe K.J. Some computational issues in large strain elasto-plastic analysis // Computers and Structures 1995. V. 56, N. 2/3. P. 249-267.

[71] Geers M.G.D. Finite strain logarithmic hyperelasto-plasticity with softening: a strongly non-local implicit gradient framework // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2004. V. 193. P. 3377-3401.

[72] Ghavam K., Naghdabadi R. Hardening materials modeling in finite elastic-plastic deformations based on the stretch tensor decomposition // Materials & Design. 2008. V. 29. P. 161-172.

[73] Guo Z.-H., Lehmann Th., Liang H. Y., Man C.-S. Twirl tensors and tensor equation AX - XA = C // J. Elast. 1992. V. 27. P. 227-245.

[74] Gurtin M.E, Spear K. On the relationship between the logarithmic strain rate and the stretching tensor // Int. J. Solids Struct. 1983. V. 19, N. 5. P. 437-444.

[75] Hashiguchi K. Elastoplasticity Theory. Berlin: Springer, 2009.

[76] Haupt P., Tsakmakis Ch. Stress tensors associated with deformation tensors via duality // Arch. Mech. 1996. V. 48, N 2. P. 347-384.

Литература 123

[77] Heiduschke К. The logarithm strain space description // Int. J. Solids Struct. 1995. V. 32. P. 1047-1062.

[78] Hill R. On uniqueness and stability in the theory of finite elastic strain //J. Mech. Phys. Solids. 1957. V. 5, N. 4. P. 229-241.

[79] Hill R. A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids //J. Mech. Phys. Solids. 1958. V. 6, N. 3. P. 236-249.

[80] Hill R. Some basic principles in the mechanics of solids without a natural time //J. Mech. Phys. Solids. V. 7, N. 3. P. 209-225.

[81] Hill, R. On constitutive inequalities for simple materials — I. J. Mech. Phys. Solids. 1968. V. 16, N. 4. P. 229-242.

[82] Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics // Advances in Applied Mechanics; V. 18. New York: Academic Press, 1978. P. 1-75.

[83] Holzapfel G.A. Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Egineering. Chichester et al.: Wiley, 2000.

[84] Horgan C.O., Murphy J.G. A generalization of Hencky's strain-energy density to model the large deformations of slightly compressible solid rubbers // Mechanics of Materials. 2009. V. 41. P. 943-950.

[85] Hughes T.J.R. The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1987.

[86] Itskov M. On the theory of fourth-order tensors and their applications in computational mechanics // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2000. V. 189. P. 419-438.

[87] Itskov M. Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers (with Applications to Continuum Mechanics). Berlin: Springer, 2007.

[88] Jog C.S. The explicit determination of the logarithm of a tensor and its derivatives //J. Elast. 2008. V. 93. P. 141-148.

[89] Kakavas P. A. A new development of the strain energy function for hyperelastic materials using a logarithmic strain approach // Journal of Applied Polymer Science. 2000. V. 77. P. 660-672.

124 Литература

[90] Kintzel О., Basar Y. Fourth-order tensors — tensor differentiation with applications to continuum mechanics. P. I: Classical tensor analysis // ZAMM. 2006. V. 86, N. 4. P. 291-311.

[91] Kleiber M. Incremental Finite Element Modelling in Non-linear Solid Mechanics. Chichester: Ellis Horwood, 1989.

[92] Korobeinikov S.N., Agapov V.P., Bondarenko M.I., Soldatkin A.N. The general purpose nonlinear finite element structural analysis program PIONER //Int. Conf. on Numerical Methods and Applications, Sofia, 1989. P. 228-233.

[93] Korobeinikov S.N. The numerical solution of nonlinear problems on deformation and buckling of atomic lattices // Int. J. Fracture. 2004. V. 128. P. 315-323.

[94] Korobeynikov S.N. Objective tensor rates and applications in formulation of hyperelastic relations // J. Elast. 2008. V. 93. P. 105-140.

[95] Korobeynikov S.N. Families of continuous spin tensors and applications in continuum mechanics // Acta Mech. 2011. V. 216, N. 1-4. P. 301-332.

[96] Liu I-Shih. On the transformation property of the deformation gradient under a change of frame // J. Elast. 2003. V. 71. P. 73-80.

[97] Luehr C.P., Rubin M.B. The significance of projection operators in the spectral represen-tatin of symmetric second order tensors // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1990. V. 84. P. 243-246.

[98] Man C.-S., Guo Z.-H. A basis-free formula for time rate of Hill's strain tensor // Int. J. Solids Struct. 1993. V. 30, N. 20. P. 2819-2842.

[99] Man C.-S. Remarks on the continuity of the scalar coefficients in the representation H(A) = ail + /ЗА + 7A2 for isotropic tensor functions // J. Elast. 1994. V. 34. P. 229238.

[100] Man C.-S. Smoothness of the scalar coefficients in the representation H(A) = aI + /3A + 7A2 for isotropic tensor functions of class CT // J. Elast. 1995. V. 40. P. 165-182.

[101] MARC Users Guide. V. A: Theory and Users Information. Santa Ana (CA): MSC.Software Corporation, 2010.

[102] MARC Users Guide. V. В: Element Library. Santa Ana (CA): MSC.Software Corporation, 2010.

[103] MARC Users Guide. V. D: User Subroutines and Special Routines. Santa Ana (CA): MSC.Software Corporation, 2010.

[104] Marsden J.E., Hughes T.J.R. Mathematical Foundations of Elasticity. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1983.

[105] Meyers A., Xiao H., Bruhns O.T. Choice of objective rate in single parameter hypoelastic deformation cyclcs // Computers and Structures. 2006. V. 84. P. 1134-1140.

[106] Miehe C. Aspects of the formulation and finite element implementation of large strain isotropic elasticity // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1994. V. 37. P. 1981-2004.

[107] Miehe C. Comparison of two algorithms for the computation of fourth-order isotropic tensor functions // Computers and Structures. 1998. V. 66, N. 1. P. 37-43.

[108] Miehe C., Lambrecht M. Algorithms for computation of stresses and elasticity moduli in terms of Seth-Hill's family of generalized strain tensors // Comm. Numer. Meth. Engng. 2001. V. 17. P. 337-353.

[109] Miehe C. Anisotropic additive plasticity in the logarithmic strain space: modular kinematic formulation and implementation based on incremental minimization principles for standard materials // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2002. V. 191. P. 5383—5425.

[110] Miehe C., Göktepe S., Diez J.M. Finite viscoplasticity of amorphous glassy polymers in the logarithmic strain space // Int. J. Solids Structures. 2009. V. 46. P. 181—202.

[111] Miehe C., Diez J.M., Göktepe S., Schänzel L.-M. Coupled thermoviscoplasticity of glassy polymers in the logarithmic strain space based on the free volume theory // Int. J. Solids Structures. 2011. V. 48. P. 1799-1817.

[112] Morman K.N.,Jr. The generalized strain measure with application to nonhomogeneous deformations in rubber-like solids // Trans. ASME, J. Appl. Mech. 1986. V. 53. P. 726728.

[113] Murnaghan F.D. Finite Deformation of an Elastic Solid. N.Y.: Wiley, 1951.

126 Литература

[114] Nader J.J. Linear response in finite elasticity // J. Elast. 2003. V. 73. P. 165-172.

[115] Naghdabadi R., Yeganeh M., Saidi A.R. Application of corotational rates of the logarithmic strain in constitutive modeling of hardening materials at finite deformations // Int. J. Plasticity. 2005. V. 21. P. 1546-1567.

[116] Neukirch S., van der Heijden G.H.M., Thompson J.M.T. Writing instabilities of twisted rods: from infinite to finite length // J. Mech. Phys. Solids. 2005. V. 50. P. 1175-1191.

[117] Nicholson D.W. Tangent modulus matrix for finite element analysis of hyperelastic materials // Acta Mech. 1995. V. 112. P. 187-201.

[118] Ogden R.W. Non-linear Elastic Deformations. Chichester: Ellis Horwood, 1984.

[119] Peyraut F., Feng Z.-Q., He Q.-C., Labed N. Robust numerical analysis of homogeneous and non-homogeneous deformations. Appl. Num. Math. 2009. V. 59. P. 1499-1514.

[120] Piero G. Some properties of the set of fourth-order tensors, with application to elasticity // J. Elast. 2003. V. 9, N. 3. P. 245-261.

[121] Plesek J., Kruisova A. Formulation, validation and numerical procedures for Hencky's elasticity model // Computers and Structures. 2006. V. 84. P. 1141-1150.

[122] Prager W. Einführung in die Kontinuumsmechanik. Basel: Birkhäuser Verlag, 1961; Русский перевод: Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

[123] Sansour С. On the dual variable of the logarithmic strain tensor, the dual variable of the Cauchy stress tensor, and related issues // Int. J. Solids Struct. 2001. V. 38. P. 9221-9232.

[124] Scheidler M. Time rates of generalized strain tensors. Part I: Component formulas // Mechanics of Materials. 1991. V. 11. P. 199-210.

[125] Scheidler M. The tensor equation AX + XA = Ф(А, H), with applications to kinematics of continua // J. Elast. 1994. V. 36. P. 117-153.

[126] Shutov A. V., Kreißig R. Application of a coordinate-free tensor formalism to the numerical implementation of a material model // ZAMM. 2008. V. 88, N. 11. P. 888 - 909.

Литература 127

[127] Simo J.С., Hughes T.J.R. Computational Inelasticity. Berlin: Springer, 1998.

[128] Szabo L., Balla M. Comparison of some stress rates // Intern. J. Solids Structures. 1989. V. 25, N. 3. R 279-297.

[129] Thompson J. M. T. Bifurcational instability of an atomic lattice // Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering (ed. by J.M.T. Thompson) Wiley: Chichester et al., 1982. R 101-124.

[130] Truesdell C., Noll W. The Non-linear Field Theories of Mechanics. Handbuch der Physik, V. III/3 (Ed. S. Fltigge). New York: Springer, 1965.

[131] Tvergaard V., Needleman A. On the development of localized buckling patterns // Collapse: the Buckling of Structures in Theory and Practice: Proc. Int. Symp. (eds: J.M.T. Thompson, G.W. Hunt) Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1983. P. 11-24.

[132] Volokh K.Y. Comments and authors' reply on «Linear stress-strain relations in nonlinear elasticity» by A. Chiskis and R. Parnes, (Acta Mech. 146, 109-113, 2001) // Acta Mech. 2004. V. 171. P. 241-245.

[133] Washizu K. Variational Methods in Elasticity and Plasticity. Oxford: Pergamon Press, 1982. Русский перевод: Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.

[134] Weber G., Anand L. Finite deformation constitutive equations and a time integration procedure for isotropic, hyperelastic-viscoplastic solids // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1990. V. 79. P. 173-202.

[135] Xiao H. Unified explicit basis-free expressions for time rate and conjugate stress of an arbitrary Hill's strain // Int. J. Solids Struct. 1995. V. 32, N. 22. P. 3327-3340.

[136] Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Logarithmic strain, logarithmic spin and logarithmic rate // Acta Mech. 1997. V. 124. P. 89-105.

[137] Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Hypo-elasticity model based upon the logarithmic stress rate //J. Elast. 1997. V. 47. P. 51-68.

[138] Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Strain rates and material spins // J. Elast. 1998. V. 52. P. 1-41.

128 Литература

[139] Xiao Н., Bruhns О.Т., Meyers A. Objective corotational rates and unified work-conjugacy relation between Eulerian and Lagrangean strain and stress measures // Arch. Mech. 1998. V. 50, N. 6. P. 1015-1045.

[140] Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. On objective corotational rates and their defining spin tensors // Int. J. Solids Struct. 1998. V. 35, N. 30. P. 4001-4014.

[141] Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Direct relationship between the Lagrangean logarithmic strain and the Lagrangean stretching and the Lagrangean Kirchhoff stress // Mechanics Research Communications. 1998. V. 25, N. 1. P. 59-67.

[142] Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Existence and uniqueness of the integrable-exactly hypoelastic equation r* = A(tr D)I + 2pD and its significance to finite inelasticity // Acta Mech. 1999. V. 138. P. 31-50.

[143] Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. A natural generalization of hypoelasticity and Eulerian rate type formulation of hyperclasticity //J. Elast. 1999. V. 56. P. 59-93.

[144] Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. The choice of objective rates in finite elastoplasticity: general results on the uniqueness of the logarithmic rate // Proc. R. Soc. Lond. A. 2000. V. 456. P. 1865-1882.

[145] Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Basis issues concerning finite strain measures and isotropic stress-deformation relations //J. Elast. 2002. V. 67. P. 1-23.

[146] Xiao H., Chen L.S. Hencky's elasticity model and linear stress-strain relations in isotropic finite hyperelasticity // Acta Mech. 2002. V. 157. P. 51-60.

[147] Xiao H., Chen L.S. Hencky's logarithmic strain and dual stress-strain and strain-stress relations in isotropic finite hyperelasticity // Int. J. Solids Struct. 2003. V. 40. P. 14551463.

[148] Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Explicit dual stress-strain and strain-stress relations of incompressible isotropic hyperelastic solids via deviatoric Hencky strain and Cauchy stress // Acta Mech. 2004. V. 168. P. 21-33.

[149] Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Objective stress rates, path-dependence properties and non-integrability problems // Acta Mech. 2005. V. 176. P. 135-151.

Литература

[150] Xiao Н., Bruhns О.Т., Meyers A. Elastoplasticity beyond small deformations // Acta Mech. 2006. V. 182. P. 31-111.

[151] Xiao H., He L.H. A unified exact analysis for the Poynting effects of cylindrical tubes made of Hill's class of Hookean compressible elastic materials at finite strain // Int. J. Solids Struct. 2007. V. 44. P. 718-731.

[152] Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Objective stress rates, path-dependence properties and non-integrability problems // Acta Mech. 2007. V. 188. P. 227-244.

[153] Xiao H., Yue Z.F., He L.H. Hill's class of compressible elastic materials and finite bending problems: Exact solutions in unified form // Int. J. Solids Struct. 2011. V. 48. P. 13401348.

[154] Yeganeh M., Naghdabadi R. Axial effects investigation in fixed-end circular bars under torsion with a finite deformation model based on logarithmic strain // Int. J. Mech. Sci. 2006. V. 48. P. 75-84.

[155] Zhou X., Tamma K.K. On the applicability and stress update formulations for corota-tional stress rate hypoelasticity constitutive models // Finite Elements in Analysis and Design. 2003. V. 39. P. 783-816.

[156] Zeinkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. Oxford: ButterworthHeinemann, 2000.