Анализ и идентификация модели конечного деформирования высокоэластичных материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Астапов Юрий Владимирович

• Астапов Юрий Владимирович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Астапов Юрий Владимирович

Введение

1 ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

1.1 Кинематика деформируемого твердого тела

1.2 Тензоры напряжений

1.3 Обобщение модели материала Генки

1.4 Сравнительный анализ моделей гиперупругих материалов

2 ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫХ ТЕЛ

2.1 Вариационная постановка задачи равновесного деформирования нелинейно-упругого тела

2.2 Вычисление компонент тензора логарифмических деформаций и его производной по монотонному параметру

2.3 Конечно-элементная дискретизация осесимметричных нелинейных задач

2.4 Постановка и алгоритм решения задач взаимодействия жесткого индентора с нелинейно-упругим телом

3 КОНКРЕТИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

3.1 Техническое описание стенда кинематического нагружения

3.2 Обработка экспериментов по одноосному сжатию высокоэластичных материалов

3.3 Итерационная процедура определения упругих констант из экспериментов по неоднородному деформированию

3.4 Обработка экспериментов по индентированию

высокоэластичных материалов

Заключение

Список литературы

Приложение А

Приложение Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ и идентификация модели конечного деформирования высокоэластичных материалов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности.

Высокоэластичные материалы нашли широкое применение во всех направлениях деятельности человека: от амортизаторов в машиностроении до имплантов в медицине. Непрерывно ведется работа по получению новых полимерных материалов. В последнее время коммерческий интерес представляет использование материала, полученного вторичной переработкой автомобильных шин [135]. Не менее актуальным направлением исследований является построение модели деформирования живых тканей, имеющее множество приложений [84, 122, 123, 126, 173]. В связи с этим в настоящее время сохраняется интерес к разработке новых математических моделей, адекватно описывающих упругое поведение высокоэластичных материалов в широком диапазоне нагрузок с учетом конечности деформаций.

Основы нелинейной теории упругости заложены в работах отечественных ученых А.И. Лурье [35], Л.А. Толоконникова [51, 52, 53], В.В. Новожилова [41], К.Ф. Черныха [57] и зарубежных исследователей К. Трусделла [54], Р. Хилла [107], В. Нолла [144], Р. Огдена [147] и Р. Ривлина [157] в середине прошлого века. В последнее время наибольшее развитие получили вопросы построения определяющих соотношений в работах Г.Л. Бровко [8, 9, 10], П.В. Трусова [55], А.А. Рогового [45], А.А. Поздеева [43], А.А. Адамова [1], А.А. Маркина [38], Х. Ксяо [180], П. Неффа [142], Е. Арруды [64], А. Гента [95], О. Йео [184], а также вопросы постановки краевых задач конечного деформирования высокоэластичных материалов и разработки численных методов их решения [18, 23, 27, 33, 42, 86, 90, 113, 121, 149].

В известных обзорах нелинейных определяющих соотношений для изотропной упругости при конечных деформациях [2, 24, 55, 71, 113, 128, 133, 134, 173] приведены выражения почти для двух десятков известных упругих потенциалов. К числу наиболее известных моделей гиперупругих материалов, учитывающих нелинейное изменение объема, относят модели Синьорини [165],

Мурнагана [138], Блатца и Ко [70], а для несжимаемых материалов -феноменологические модели Муни-Ривлина [136, 158], Огдена [146], Йео [184], Фунга [91], Черныха [57]. Статистические модели [61, 64, 81, 170] основаны на построении потенциала упругого взаимодействия макромолекурных связей в реальных материалах. Описанию эффектов, возникающих при учете слабой сжимаемости упругих материалов, посвящены работы [45, 61, 71].

Учет нелинейности определяющих соотношений приводит к необходимости вводить дополнительные неравенства, ограничивающие применимость моделей. В работах [35, 54, 78, 102, 107, 109] приведены неравенства, сформулированные в виде критериев монотонности напряженного состояния Колемана-Нолла, роста мощности, условия Друкера и выпуклости удельной потенциальной энергии деформаций. Выполнение данных критериев гарантирует соответствие модели реальному поведению деформируемого тела.

Свойства логарифмического тензора деформаций, позволяющие при конечных деформациях разделять процессы изменения формы и объема, были впервые применены для обобщения закона Гука на случай конечных деформаций в работах Г. Генки [105, 106] и затем обсуждались в работах [1, 26, 88, 121, 135, 139, 141, 180]. Модели гиперупругих изотропных материалов, построенные с использованием меры логарифмических деформаций Генки, нашли широкое распространение в работах [27, 40, 37, 113, 121, 135, 142, 172, 179, 180, 181]. В работах [62, 135, 155, 180] отмечается, что модель материала Генки хорошо описывает экспериментальные данные до деформаций порядка 30-40%. В работах [37, 129] предложено обобщение модели материала Генки, позволяющее учесть физическую нелинейность материала, и получившее название модели Генки-Мурнагана. В работах [142, 180] проверено выполнение условий сильной эллиптичности, Лежандра-Адамара, Бейкера-Эриксена и монотонности истинных напряжений для модели Генки.

Как правило, новые предлагаемые гиперупругие модели проверяются на соответствие одному из классических наборов экспериментальных данных по одноосному растяжению/сжатию и сдвигу различных эластомеров. К числу

наиболее известных экспериментальных работ относят эксперименты Трелоара [169], Ривлина [159], Гента [96] и Кавабаты [145].

Классический подход к определению упругих констант моделей гиперупругих материалов предполагает проведение опытов на одноосное [92, 93, 122, 127, 145, 162] и двухосное растяжение [127, 145], сдвиг [36, 92, 155, 159], изгиб [60, 96], кручение [134, 155, 159], сжатие [7, 60, 74, 120, 152, 178]. Образцы для экспериментов на одноосное и двухосное растяжение должны быть специально изготовлены однородными, требуют наличия специального зажимающего инструмента. На этом фоне к цилиндрическому образцу для проведения опытов на одноосное сжатие предъявляются меньшие требования. Он может быть получен вырубкой из плиты постоянной толщины. Однако эксперимент на сжатие имеет ряд существенных недостатков, главными из которых являются неоднородность напряженно-деформированного состояния, обусловленная возникающим между опорными поверхностями и образцом трением, и возможная потеря устойчивости.

Общепринятым подходом для определения упругих констант третьего порядка для металлов является использование упруго-акустических методов, заключающихся в прецизионном измерении скорости распространения поперечных волн в теле [35, 80, 140]. Определению констант упругости третьего порядка для конструкционных материалов и эластомеров посвящены работы [15, 28, 80, 167].

Большое количество работ посвящено определению характеристик материалов из опыта на индентирование [150, 154, 166, 190]. В последние десятилетия накоплена обширная экспериментальная база по индентированию различных материалов, что объясняется относительной простотой постановки этого эксперимента, который может быть использован для определения констант гиперупругих моделей материалов [112, 186, 192]. Оправданным такой подход становится, когда представленный объем образца недостаточен для проведения экспериментов другого типа, например, опыта на одноосное растяжение, или, когда изготовление экспериментального образца

принципиально невозможно, например, при исследовании живых тканей. Сложность обработки данных опытов по индентированию связана с тем, что напряженно-деформированное состояние образцов в этом процессе является неоднородным, а непосредственно измеряются в эксперименте только интегральные характеристики процесса.

Определение констант модели из данных экспериментов по неоднородному деформированию сводится к решению обратной задачи, что требует либо выбора подходящего для данного класса решения контактной задачи второго порядка, либо точной численной модели контактного взаимодействия [59, 98, 122, 125, 137, 160, 187, 188]. Общепринятым подходом для описания конечных деформаций эластомеров является использование постановок, записанных в терминах скоростей деформаций [19, 26, 38, 42, 76, 117, 191], и применение метода конечных элементов [14, 46, 191].

В большинстве известных моделей высокоэластичных материалов отсутствует анализ физического смысла параметров, конкретизирующих данный материал; не указана система экспериментов по определению постоянных и проверке их достоверности при решении краевых задач конечного деформирования. Поэтому актуальным является комплексный теоретический и экспериментальный анализ существующих определяющих соотношений, направленный на установление пределов их достоверности, а также идентификация материальных констант и функций.

Целью работы является теоретическое и экспериментальное обоснование соотношений Генки-Мурнагана, определяющих механические свойства высокоэластичных материалов, на основе постановки и решения задач по однородному и неоднородному конечному деформированию.

Для этого требуется решить следующие основные задачи: - проведение теоретического анализа устойчивости соотношений модели Генки-Мурнагана, определение физического смысла констант модели и проверка их достоверности;

- постановка и численное решение краевых задач о взаимодействии слабосжимаемых высокоэластичных тел с абсолютно жесткими телами с учетом контактного трения;

- проведение экспериментов по сжатию и индентированию эластомеров, разработка методики определения констант модели, оценка достоверности модели.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- для модели материала Генки-Мурнагана установлен физический смысл констант при нелинейных слагаемых и получены условия сильной эллиптичности;

- предложен способ разложения тензора Генки в ряд, сходящийся на всем интервале изменения главных значений тензора деформаций Коши-Грина;

- в рамках модели Генки-Мурнагана выполнена постановка, и получено численное решение краевой задачи индентирования эластомеров;

- проведена идентификация модели Генки-Мурнагана на основе экспериментов по одноосному сжатию цилиндрических образцов;

- с использованием разработанной итерационной процедуры определения материальных констант из опытов по неоднородному деформированию проведена идентификация модели Генки-Мурнагана на основе экспериментов по индентированию и численного решения краевой задачи.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результатом проведенного теоретического анализа устойчивости и достоверности модели Генки-Мурнагана является определение диапазонов деформаций, на которых соотношения модели удовлетворяют условиям эллиптичности и с достаточной степенью точности описывают опытные данные Трелоара для эластомеров. Показана принципиальная возможность идентификации констант модели Генки-Мурнагана для слабосжимаемых материалов в опытах по сжатию и индентированию цилиндрических образцов.

Постановка краевой задачи о взаимодействии высокоэластичных тел с абсолютно-жесткими телами вместе с программными средствами ее численного решения может быть использована с целью проведения прочностных расчетов в изделиях из эластомеров при эксплуатационных нагрузках.

Диссертационная работа выполнялась в рамках грантов РФФИ: проект 14-01-31138_мол_а «Построение и экспериментальное обоснование определяющих соотношений нелинейной теории упругости»; проект 18-31-20053_мол_а_вед «Моделирование конечных деформаций и разрушения упругих элементов конструкций» и гранта Президента РФ МД-1803.2019.1 «Модели конечного неизотермического деформирования упругих материалов и их экспериментальная идентификация».

Методология и методы исследования.

Сформулированные задачи решаются на основе методов нелинейной теории упругости, включающих подходы к постановке краевых задач о конечном деформировании эластомеров, известные из работ Г.Л. Бровко [8, 9, 10], В.И. Левитаса [34], А.А. Рогового [32], П.В. Трусова [55], А.И. Голованова [19], Л.У. Султанова [86], А.А. Маркина [38]. Численные модели строятся на основе разложения тензорных функций в ряды, метода конечных элементов и метода пошагового интегрирования с исследованием их сходимости. Исследование механических свойств высокоэластичных материалов при конечных деформациях проводится экспериментальными методами с использованием сконструированной установки. Решение задачи определения параметров модели, исходя из полученных экспериментальных данных, проводится на основе известных методов оптимизации.

Положения, выносимые на защиту:

- анализ устойчивости и достоверности модели Генки-Мурнагана на основе сравнения с известными моделями сжимаемых и несжимаемых упругих материалов и результатами опытов Трелоара;

- постановка и решение краевых задач взаимодействия высокоэластичных материалов с жесткими инденторами с использованием логарифмической меры деформаций и соотношений Генки-Мурнагана;

- разработка методики определения констант модели на основе решения краевых задач и обработки данных экспериментов по сжатию и индентированию слабосжимаемых высокоэластичных материалов, проведенных на сконструированном стенде.

Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением численных результатов с известными аналитическими решениями тестовых задач и результатами других авторов. Верификация модели процесса индентирования высокоэластичных материалов, построенная в рамках соотношений Генки-Мурнагана, проводится на основе сравнения с данными проведенных экспериментов.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы доложены на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела им. Л.А. Толоконникова (научный руководитель - профессор А.А. Маркин, г. Тула, 2020 г.), на Международной молодежной научной конференции «Гагаринские чтения» (г. Москва, 2015, 2016, 2017, 2019 гг.), на XXI Всероссийской конференции «Теоретические основы конструирования численных алгоритмов и решение задач математической физики», посвященной памяти К.И. Бабенко (п. Дюрсо, Краснодарский край, 2016 г.), на II Всероссийском научном форуме «Наука будущего - наука молодых» (г. Казань, 2016 г.), на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (г. Воронеж, 2017, 2018, 2019 гг.), на второй научной конференции-семинаре «Современные проблемы теории упругости и механики композитов», посвящённой научным школам кафедры теории упругости МГУ (г. Москва, 2018 г.), на XII

Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г. Уфа, 2019 г.).

Личный вклад автора. Представленные в диссертации результаты исследований получены лично автором под руководством научного руководителя. В публикациях, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежат результаты численного и экспериментального моделирования процессов конечного деформирования высокоэластичных материалов. Лично автором получены следующие результаты:

- проведен теоретический анализ определяющих соотношений для эластомеров, определен физический смысл констант модели Генки-Мурнагана;

- для модели материала Генки-Мурнагана получен акустический тензор и сформулированы условия сильной эллиптичности уравнений равновесия с его использованием;

- выполнена постановка краевой задачи о взаимодействии слабосжимаемых высокоэластичных тел с абсолютно жесткими матрицами с учетом трения в зоне контакта;

- разработан численный метод решения краевой задачи, включающий предложенный способ вычисления меры Генки. Обоснован выбор типа конечного элемента, и построен алгоритм учета граничных условий на переменной зоне контакта;

- разработан программный комплекс для реализации численного решения поставленных краевых задач, достоверность которого подтверждена численными экспериментами;

- сконструирован и изготовлен экспериментальный кинематический стенд, реализующий опыты по сжатию и индентированию высокоэластичных материалов;

- проведена серия экспериментов на сжатие и индентирование эластомеров, по результатам которых определены значения констант модели Генки-Мурнагана для слабосжимаемых материалов.

В первой главе диссертации приведены основные положения кинематики деформируемого твердого тела. Дан краткий обзор мер конечных деформаций, и выписаны выражения естественных и алгебраических инвариантов тензора логарифмических деформаций. Выписаны уравнения равновесия деформируемого тела, и приведен краткий обзор энергетически сопряженных мер конечных деформаций и напряжений. Приведен общий вид соотношений, связывающих энергетически сопряженные тензор Генки и обобщенный тензор напряжений. Приведены разложение удельной потенциальной энергии в ряд по степеням тензора Генки и разложения тензоров упругих констант второго и третьего порядков по тензорному базису А.А. Ильюшина. Из разложения удельной потенциальной энергии деформаций получены линейные соотношения, известные как модель материала Генки, и нелинейные соотношения, по форме совпадающие с моделью материала Мурнагана, но связывающие энергетически сопряженные тензор Генки и обобщенный повернутый тензор напряжений. Из модели Генки-Мурнагана получены определяющие соотношения для несжимаемого материала. Определен физический смысл упругих констант, входящих в определяющие соотношения. С использованием полученных нелинейных соотношений Генки-Мурнагана определен акустический тензор, и сформулированы условия сильной эллиптичности. Для материала Генки-Мурнагана получены аналитические решения задачи об одноосном растяжении стержня со свободными боковыми поверхностями и задачи об обобщенном сдвиге. Приведен краткий обзор известных моделей сжимаемых и несжимаемых гиперупругих материалов. Проанализировано поведение моделей Генки и Генки-Мурнагана в сравнении с известными моделями гиперупругих материалов при одноосном растяжении и сдвиге. Из экспериментов Трелоара определены упругие константы материалов Генки и Генки-Мурнагана. Проанализировано поведение моделей по сравнению с моделями Трелоара и Огдена.

Во второй главе диссертации приведено условие равновесного протекания процесса деформирования в вариационной форме. Получен вид определяющих соотношений модели Генки-Мурнагана в скоростной форме. Получено разложение тензора логарифмических деформаций и его производной по времени в ряд по степеням тензора деформаций Коши с расширенной областью сходимости. Приведены основные положения метода конечных элементов (МКЭ) и проанализированы два типа осесимметричных конечных элементов (КЭ) для применения в расчетах со слабосжимаемыми материалами. На примере численного решения задачи о нагружении слабосжимаемого толстостенного цилиндра внутренним давлением обоснован выбор четырехугольного КЭ. С использованием процедуры многошагового расчета численно решена задача об осесимметричном сжатии цилиндра. Решение сравнивалось с аналитическим, полученным для модели Генки-Мурнагана в разделе 1.4. Перечислены граничные условия, характерные для задач о взаимодействии с абсолютно жесткими матрицами. Приведено описание процедуры учета граничных условий смешанного типа на изменяющейся границе в рамках МКЭ дискретизации. Приведено численное решение задачи о взаимодействии упругой полусферы с абсолютно жесткой плоскостью для различных заданных условий в зоне контакта. Проверена асимптотическая сходимость решения к решению, полученному по теории Герца. Приведено численное решение задачи о взаимодействии абсолютно жесткой полусферы с основанием упругого цилиндра и установлено влияние условий, заданных в зоне контакта, на интегральные характеристики напряженно-деформированного состояния.

В третьей главе диссертации приведено техническое описание стенда кинематического нагружения. Приведено описание экспериментов по сжатию выборки цилиндрических образцов из эластомеров, изготовленных из двух различных материалов. Из эксперимента по последовательному нагружению и разгрузке обосновано применение гиперупругой модели материала. Из экспериментов по определению коэффициента поперечных деформаций

обосновано применение условия слабой сжимаемости. Из экспериментов по одноосному сжатию с помощью метода наименьших квадратов определены значения упругих констант модели Генки-Мурнагана. Проанализирована статистическая степень значимости полученной аппроксимации. С использованием вычислительных экспериментов установлена степень влияния неоднородности напряженно-деформированного состояния, обусловленная трением между образцом и опорными плитами, на интегральные характеристики процесса одноосного сжатия. Приведено описание итерационной процедуры определения упругих констант из экспериментов по неоднородному деформированию с использованием численного решения МКЭ. На примере задачи об одноосном сжатии продемонстрирована сходимость итерационной процедуры. Приведено описание экспериментов по индентированию сферами различных диаметров выборки цилиндрических образцов. Показана принципиальная возможность определения упругих констант модели Генки-Мурнагана из опытов по индентированию с использованием итерационной процедуры.

1 ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ КОНЕЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

1.1 Кинематика деформируемого твердого тела

Основные положения кинематики конечных деформаций твердого тела приведены в монографиях В.В. Новожилова [41], А.И. Лурье [35], Л.И. Седова [47], А.А. Ильюшина [22], Л.А. Толоконникова [52], К.Ф. Черныха [57], Р. Огдена [147], К. Трусделла [54], А. Грина и Дж. Адкинса [20], Г.Л. Бровко [10], А.А. Маркина [38], А.А. Поздеева, П.В. Трусова [43].

Рассматривается движение материального пространства относительно неподвижного отсчетного пространства. В начальный момент времени t0 положение материальных точек определяется выражением

x0 = x0(X1,X2,X3,to), i = 1..3, (1.1.1)

где X1 - координаты точек в материальной системе координат; x0 -координаты мест материальных точек в отсчетной системе координат (см. рисунок 1.1.1).

Закон движения устанавливает взаимно однозначную связь между начальным и текущим положениями материальных точек в отсчетной системе:

x — X ( X^q , X'Q , X'Q, t) .

Если в начальный момент времени t0 совместить отсчетную и

материальную системы координат x0 — X1, тогда закон движения принимает вид

х' =xj[x\x\x\t) x = x[x,t). (1.1.2)

Способ описания движения в форме (1.1.2) называют Лагранжевым.

X,

Рисунок 1.1.1 - Движение выделенного объема V твердого деформируемого тела

Перемещение и, скорость V и ускорение \\> произвольной точки М могут быть определены соответственно как =

А* А

Преобразование, обратное к (1.1.2), можно записать в форме, которую называют законом движения в форме Эйлера:

Х = Х(х(1.1.3) Выражение поля скоростей в форме Эйлера имеет вид у(х^). Выражение для поля ускорений при использовании закона движения (1.1.3)

\ ду(х^) ч , Чч

представляет собой сумму двух слагаемых: = —^—- + V ух^] • ^Уу ух^,

первое из которых обусловлено изменением вектора во времени, а

второе - изменением пространственных координат х1. Оператор Гамильтона

VI д

текущего состояния V = е —- записан в эйлеровых координатах, причем е -

дх'

векторы взаимного базиса.

Связь между элементарным вектором в начальном <ЛХ и текущем с1х состояниях определяется аффинором деформаций [35, 38]:

(Ы = с1Х-ф(х,г), (1.1.4)

О

где Ф[Х,Л = = е1-- = е'э1 - аффинор (градиент) деформаций,

\ ) \ ) дХ'

- ■ д

являющийся тензором второго ранга. Оператор V = е1 —- - оператор

дХ

Гамильтона начального состояния. Векторы пространственного и материального базисов линейно связаны через аффинор:

эг= —= Ф, / = 1..3 .

1 дХ1 1

Аффинор имеет следующее диадное разложение в пространственном

базисе:

г) х^

ф = ^е'ё\ = 1..3 . (1.1.5)

аг

Из (1.1.5) следует, что компоненты аффинора ^Фц ] = ^7 совпадают с

компонентами матрицы Якоби преобразования (1.1.2).

Известно [35], что любой тензор второго ранга может быть представлен в виде произведений симметричного и ортогонального тензоров:

Ф = u • R = R • V, (1.1.6)

где U и V - соответственно левая и правая меры искажения, а К -ортогональный тензор поворота, обладающий свойством

К= Кг. Тензор и

является инвариантным относительно жесткого движения тела, заданного тензором поворота и вектором смещения с(?):

= + то есть Vе =\]. Тензор V является

индифферентным, то есть Vе = Qг • V • Q.

По аффинору деформаций полностью определяется метрика текущего (деформированного) состояния.

В текущей конфигурации квадрат длины материального волокна может быть вычислен следующим образом:

сЬс2 = (с1Х% ) • {ак3э1) = О. йХ'йХ1,

где [С^] = эг • э] - компоненты метрического тензора текущей конфигурации. В начальный момент времени t = t0 метрический тензор совпадает с единичным:

С=Е = ^.е где Л .

[0, 1 ф ].

Рассмотрим малый элемент тела, имеющий в начальном состоянии объем йУ^ = с1Х ■ (ах1 х с1Хъ ) = с1Ххс1Х2с1Хъех ■ (е2 х е3). Объем этого элемента в

текущем состоянии имеет вид (IV = (Кх -{ах2 хсдс3^. Из (1.1.4) следует, что

- ■ дх1

сВ1 = с1Х1 • Ф = с1Х1 • -—-, тогда после преобразований

(IV = йХхйХ2(Жъэх ■ (э2 х э3) или

dV = |Ф^0, (1.1.7)

то есть относительное изменение объема материального элемента совпадает с определителем аффинора |ф| = 3 - якобианом преобразования координат (1.1.1).

Вектор-площадка - вектор, нормальный к грани элементарного тетраэдра, вершины которого лежат на концах материальных декартовых волокон. Длина этого вектора совпадает с площадью соответствующей грани. Выберем произвольную вектор-площадку с1Е0 с нормалью п0 в начальном состоянии: ¿/270 = й0б/270. В текущем состоянии сЩ = пс11!. Для установления

связи между (1Е0 и йЕ рассмотрим изменение объема, образованного вектор-площадкой с1Е0 с произвольным вектором «¿¿0: с!У0=с1Ь0-с1Е0. Из (1.1.7) и, учитывая, что с1Ь = с11,(] • Ф, получим закон изменения вектор-площадки с1Е(]:

с1Е = \Ф\Ф~' -с1Е0.

На основании определения аффинора деформаций и его полярного разложения можно построить множество мер конечных деформаций, которые можно отнести к одному из двух классов по закону их изменения при жестком повороте [9, 55, 85, 108, 118, 147, 164].

Рассмотрим два семейства пространственных (Эйлеровых) и материальных (Лагранжевых) мер деформаций Сетха-Хилла, порожденные левой и и правой V мерами искажения соответственно [108, 164]:

Ег (и) =

( и2' - Е), г * 0;

2 г

11т | — (и2г - Е) | = 1п и, г = 0;

г^оI 2г4 ')

ЕЕ г (V) =

I(V2Е), г* 0;

2 г

11т(—(V2г-Е)| =1пV, г = 0.

г^о I 2гу ')

(118)

В таблице 1 представлены меры деформаций, соответствующие значениям параметра г = {0, +0.5, ±1} в (1.1.8).

Таблица 1. Меры конечных деформаций семейств Сетха-Хилла

г Ег ( и ) Е г (V )

0 Г = 1п и «левый» тензор логарифмических деформаций Г и = 1п V «правый» тензор логарифмических деформаций

1 « = 2(и' - Е) тензор Коши-Грина 2 (V2 - Е ) -

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Астапов Юрий Владимирович, 2020 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адамов, А.А. Методы прикладной вязкоупругости / А.А. Адамов, В.П. Матвеенко, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков. - Екатеринбург : Уральское отделение РАН, 2003. -411 с.

2. Адамов, А.А. Сравнительный анализ двухконстантных обобщений закона Гука для изотропных упругих материалов при конечных деформациях / А.А. Адамов // Прикладная механика и техническая физика. - 2001. - Т. 42. - № 5 (249). - С. 183192.

3. Астапов, В.Ф. Определение упругих свойств материалов из опытов на сплошных цилиндрах / В.Ф. Астапов, А.А. Маркин, М.Ю. Соколова // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2002. - № 1. - С. 104-111.

4. Астапов, Ю.В. Внедрение сферического индентора в основание упругого и гипоупругого круговых цилиндров при конечных деформациях / Ю.В. Астапов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2017. - Т. 32. - № 2. - С. 107-116.

5. Астапов, Ю.В. Конечные деформации упругих тел при взаимодействии с жесткой шероховатой плоскостью / Ю.В. Астапов, А.А. Маркин // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2016. - Т. 29. - № 3. - С. 64-75.

6. Астапов, Ю.В. Численное и экспериментальное моделирование процесса индентирования резиновых образцов / Ю.В. Астапов, Д.В. Христич // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2018. - Т. 36. - № 2. - С. 65-73.

7. Белкин, А.Е. Математическая модель вязкоупругого поведения полиуретана при сжатии с умеренно высокими скоростями деформирования / А.Е. Белкин, И.З. Даштиев, В.К. Семенов // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Серия Машиностроение. - 2014. - № 6. - С. 44-58.

8. Бровко, Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред / Г.Л. Бровко // Прикладная математика и механика. - 1990. - Т. 54. - Вып. 5. - С. 814-824.

9. Бровко, Г.Л. Определяющие соотношения механики сплошной среды: Развитие математического аппарата и основ общей теории / Г.Л. Бровко. - М. : Наука, 2017. -432 с.

10. Бровко, Г.Л. Элементы математического аппарата механики сплошной среды / ГЛ. Бровко. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2015. - 424 с.

11. Бураго, Н.Г. Обзор контактных алгоритмов / Н.Г. Бураго, В.Н. Кукуджанов // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2005. - № 1. - С. 45-87.

12. Ватульян, А.О. Коэффициентные обратные задачи механики / А.О. Ватульян. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2019. - 272 с.

13. Ворович, И.И. Механика контактных взаимодействий / И.И. Ворович, В.М. Александров. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 672 с.

14. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. пер. с англ. - М. : Мир, 1984. - 428 с.

15. Гарбузов, Ф.Е. Определение упругих модулей 3-го порядка по параметрам объемных солитонов деформации / Ф.Е. Гарбузов, А.М. Самсонов, А.А. Семёнов, А.Г. Шварц // Письма в ЖТФ. - 2016. - Т. 42. - Вып. 3. - С. 16-22.

16. Горячева, И.Г. Механика фрикционного взаимодействия / И.Г. Горячева. - М. : Наука, 2001. - 478 с.

17. Глаголева, М.О. Свойства изотропных упругих материалов / М.О. Глаголева, А.А. Маркин, Н.М. Матченко, А.А. Трещев // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. - 1998. - Т. 4. - Вып. 2. - С. 15-19.

18. Голованов, А.И. Кинематика конечных упругопластических деформаций / А.И. Голованов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2010. - № 7. - С. 16-30.

19. Голованов, А.И. Численное исследование гиперупругих тел с использованием левого тензора Коши-Грина / А.И. Голованов, Л.У. Султанов // Вестник Московского авиационного института. - 2009. - Т. 17. - № 7. - С. 110-118.

20. Грин, А.Е. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А.Е. Грин, Дж. Адкинс. - М. : Мир, 1965. - 456 с.

21. Демидов, С.П. Теория упругости: Учебник для вузов / С.П. Демидов. - М. : Высш. школа, 1979. - 432 с.

22. Ильюшин, А.А. Механика сплошной среды / А.А. Ильюшин. - М. : Изд-во МГУ, 1990. - 310 с.

23. Карякин, М.И. О деформированном состоянии нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями / М.И. Карякин, И.В. Поздняков, О.Г. Пустовалова, Н.Ю. Шубчинская // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2013. - № 6 (178). - С. 46-51.

24. Козлов, В.В. Анализ определяющих соотношений нелинейно-упругих сжимаемых

материалов / В.В. Козлов, А.А. Маркин // Известия ТулГУ. Естественные науки. -2014. - Вып. 1. - Ч. 1. - С. 133-143.

25. Кольцов, А.С. Развитие постановки и методов решения контактных задач применительно к исследованию композитных материалов при больших деформациях : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.02.04 / Кольцов Александр Серафимович. - Пермь. - 2003. - 148 с.

26. Коробейников, С.Н. Компьютерное моделирование деформирования эластомеров / С.Н. Коробейников, В.Д. Кургузов, А.Ю. Ларичкин, А.А. Олейников // Известия Алтайского Государственного Университета. - 2014. - Т. 1. - № 1. - С. 165-169. doi :10.14258/izvasu(2014)1.1-37.

27. Коробейников, С.Н. Численная реализация лагранжевой формулировки определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки / С.Н. Коробейников, А.А. Олейников, А.Ю. Ларичкин, А.В. Бабичев, В.В. Алёхин // Дальневосточный математический журнал. - 2013. - Т. 13. - № 2. - C. 222-249.

28. Коробов, А.И. Механические и нелинейные упругие характеристики поликристаллического алюминиевого сплава AMg6 и нанокомпозита n-AMg6/C60 /

A.И. Коробов, А.И. Кокшайский, В.М. Прохоров, И.А. Евдокимов, С.А. Перфилов, А Д. Волков // Физика твердого тела. - 2016. - Т. 58. - Вып. 12. - С. 2384-2392.

29. Кравчук, А.С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения / А.С. Кравчук // Прикладная математика и механика. - 1980. -Т. 44. - Вып. 1. - С. 122-129.

30. Кравчук, А.С. О решении трехмерных контактных задач с трением / А.С. Кравчук // Прикладная математика и механика. - 2008. - Т. 72. - Вып. 3. - С. 485-496.

31. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер. 3-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2010. - 551 с.

32. Кузнецова, В.Г. Эффект учета слабой сжимаемости материала в упругих задачах с конечными деформациями / В.Г. Кузнецова, А.А. Роговой // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1999. - № 4. - С. 64-77.

33. Левин, В.А. О построении эффективных определяющих соотношений для пористых упругих материалов при конечных деформациях и их наложении / В.А. Левин,

B.В. Лохин, К.М. Зингерман // Доклады Академии наук. - 2002. - Т. 382. - № 4. - С. 482.

34. Левитас, В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении / В.И. Левитас. - Киев. : Наукова Думка, 1987. - 232 с.

35. Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И. Лурье. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980. - 512 с.

36. Мазурин, В.Л. Определение статической деформации полиуретановых амортизаторов, работающих на сдвиг / В.Л. Мазурин // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2014. - № 1 (190). - С. 143-148

37. Маркин, А.А. Вариант соотношений нелинейной упругости / А.А. Маркин, М.Ю. Соколова // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2019. - № 6. - С. 68-75.

38. Маркин, А.А. Термомеханика упругопластического деформирования / А.А. Маркин, М.Ю. Соколова. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 320 с.

39. Маркин, А.А. Нелинейная теория упругости / А.А. Маркин, Д.В. Христич. - Тула : Изд-во ТулГУ, 2007. - 92 с.

40. Муравлев, А.В. О представлении упругого потенциала в обобщённом пространстве деформаций А.А. Ильюшина / А.В. Муравлев // Механика твердого тела. - 2011. -№1. - С. 99-102.

41. Новожилов, В.В. Основы нелинейной теории упругости / В.В. Новожилов. - Л. : ОГИЗ, 1948. - 213 с.

42. Поздеев, А.А. Вариационная постановка в приращениях упругопластической задачи при больших деформациях / А.А. Поздеев, А.А. Роговой // Проблемы механики деформируемого твердого тела: Межвуз. сб. науч. тр. / Калининский политехн. ин-т. - Калинин: Изд-во КГУ, 1986. - С. 103-110.

43. Поздеев, А.А. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения / А.А. Поздеев, П.В. Трусов, Ю.И. Няшин. - М. : Наука, 1986. - 232 с.

44. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. учеб. пособие для вузов. - 2-е изд., испр. - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 712 с.

45. Роговой, А.А. Эффект учета слабой сжимаемости упругого материала при конечных деформациях / А.А. Роговой // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. -2010. - Т. 9. - № 1. - С. 191-197.

46. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. - М. : Мир, 1979. - 392 с.

47. Седов, Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. Т.1: Учебник для университетов. - М. : Наука, 1976. - 536 с.

48. Сиротин, Ю.И. Основы кристаллофизики / Ю.И. Сиротин, М.П. Шаскольская. М. : Наука, 1979. - 640 с.

49. Смирнов, В.И. Курс высшей математики : в 5 т. / В.И. Смирнов. - М. : Наука, 1974.

Т.1. - 480 с.

50. Соколова, М.Ю. О симметрии термоупругих свойств квазикристаллов / М.Ю. Соколова, Д.В. Христич // Прикладная математика и механика. - 2014. - Т. 78.

- № 5. - С. 728-734.

51. Толоконников, Л.А. Вариант соотношений разномодульной теории упругости / Л.А. Толоконников // Прочность и пластичность. - М. : Наука. - 1971. - С. 102-104.

52. Толоконников, Л.А. Механика деформируемого твёрдого тела / Л.А. Толоконников.

- М.: Высш. школа, 1979. - 318 с.

53. Толоконников, Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости / Л.А. Толоконников // Прикладная математика и механика. -1956. - Т. 20. - Вып. 3. - С. 439-444.

54. Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. пер. с англ. - М. : Мир, 1975. - 592 с.

55. Трусов, П.В. О геометрически нелинейных определяющих соотношениях упругого материала / П.В. Трусов, Н.С. Кондратьев, А.И. Швейкин // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. -2015. - № 3. - С. 182-200.

56. Черепанов, Г.П. Контактная задача математической теории упругости с зонами сцепления и скольжения. Теория качения и трибология / Г.П. Черепанов // Прикладная математика и механика. - 2015. - Т. 79. - Вып. 1. - С. 112-143.

57. Черных, К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах / К.Ф. Черных. - Л. : Машиностроение, Ленингр. отделение, 1986. - 336 с.

58. Югов, Н.Т. Алгоритм расчета контактных границ в методе конечных элементов для решения задач высокотемпературного соударения деформируемых твердых тел / Н.Т. Югов, Н.Н. Белов, М.В. Хабибуллин, С.В. Старенченко // Вычислительные технологии. - 1998. - Т. 3. - № 3. - С. 94-102.

59. Abdrakhmanova, A.I. The algorithm of investigation of deformations of solids with contact interaction / A.I. Abdrakhmanova, L.U. Sultanov // Journal Of Physics: Conference Series. - 2019. - 022001. - doi:10.1088/1742-6596/1158/2/022001.

60. Alaoui, A.-H. Comparison between flexural and uniaxial compression tests to measure the elastic modulus of silica aerogel / A.-H. Alaoui, T. Woignier, G.W. Scherer, J. Phalippou // Journal of Non-Crystalline Solids. - 2008. - V. 354. - P. 4556-4561.

61. Anand, L. A constitutive model for compressible elastomeric solids / L. Anand // Computational Mechanics. - 1996. - V. 18. - P. 339-355.

62. Anand, L. On H. Hencky's approximate strain-energy function for moderate deformations

/ L. Anand // J. Appl. Mech. - 1979. - V. 46. - No. 1. - P. 78-82. doi:10.1115/1.3424532

63. Anderson, M.L. The compression of bonded rubber disks / M.L. Anderson, P.H. Mott, C M. Roland // Rubber Chemistry and Technology. - 2004. - V. 77. - No. 2. - P. 293302.

64. Arruda, E.M. A three-dimensional constitutive model for the large stretch behavior of rubber elastic materials / E.M. Arruda, M.C. Boyce // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1993. - V. 41. - Issue 2. - P. 389-412. doi: 10.1016/0022-5096(93)90013-6.

65. Astapov, Yu.V. Experimental determination of the parameters of the nonlinearly elastic Hencky model / Yu.V. Astapov, D.V. Khristich // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series. - 2019. - 1203. 012015. doi:10.1088/1742-6596/1203/1/012015.

66. Astapov, Yu.V. Finite deformations of an elastic cylinder during indentation / Yu.V. Astapov, D.V. Khristich // International Journal of Applied Mechanics. - 2018. -V.10. - № 3. - P. 1850026. doi/10.1142/S1758825118500266.

67. Astapov, Yu. The construction of nonlinear elasticity tensors for crystals and quasicrystals / Yu.V. Astapov, D. Khristich, A. Markin, M. Sokolova // International Journal of Applied Mechanics. - 2017. - V. 9. - No. 6. - Р. 1750080-1 - 1750080-15. doi/10.1142/S1758825117500806.

68. Aster R.C. Parameter estimation and inverse problems / R.C. Aster, B. Borchers, C. Thurber. 2 edition. - Academic Press, 2016. - 376 pages.

69. Baaser, H. Inconsistency of uhyper and umat in Abaqus for compressible hyperelastic materials / H. Baaser, R.J. Martin, P. Neff // - 2019. - Режим доступа: https://arxiv.org/abs/1708.09699.

70. Blatz, P.J. Application of finite elastic theory to the deformation of rubbery materials / P.J. Blatz, W.L. Ko // Transactions of the society of rheology. - 1962. - V. VI. - P. 223251.

71. Boyce, M.C. Constitutive models of rubber elasticity: a review / M.C. Boyce, E.M. Arruda // Rubber Chemistry and Technology. - 2000. - V. 73. - No. 3. - P. 504-523. doi:10.5254/1.3547602.

72. Bramble, J.H. Analysis of the inexact Uzawa algorithm for saddle point problems / J.H. Bramble, J.E. Pasciak, A T. Vassilev // SIAM J. Numer. Anal. - 1997. - V. 34. - No. 3. - P. 1072-1092. doi:10.1137/S0036142994273343.

73. Brugger, K. Thermodynamic definition of higher order elastic coefficients / K. Brugger // Physical Review. - 1964. - V. 133(6A). - P. A1611-A1612. doi:10.1103/PhysRev.133.A1611.

74. Budday, S. Mechanical characterization of human brain tissue / S. Budday, G. Sommer, C. Birkl, C. Langkammer, J. Haybaeck, J. Kohnert, M. Bauer, F. Paulsen, P. Steinmann,

E. Kuhl, G.A. Holzapfel // Acta Biomaterialia. - 2017. - V. 48. - P. 319-340. doi:10.1016/j.actbio.2016.10.036.

75. Cavalieri, F.J. A finite element formulation for nonlinear 3d contact problems /

F.J. Cavalieri, A. Cardona, V.D. Fachinotti, J. Risso // Mecánica Computacional. Solid Mechanics. - 2007. - V. XXVI. - No. 16. - P. 1357-1372.

76. Cescotto, S. A finite element approach for large strains of nearly incompressible rubberlike materials / S. Cescotto, G. Fonder // Int. J. Solids Structures. - 1979. - V. 15. - Issue 8. - P. 589-605. doi :10.1016/0020-7683(79)90073 -8

77. Choi, I. Second-order effects in problems for a class of elastic materials / I. Choi, R.T. Shield // Journal of applied mathematics and physics. - 1981. - V. 32. - P. 361-381.

78. Coleman, B.D. Material symmetry and thermostatic inequalities in finite elastic deformations / B.D. Coleman, W. Noll // Archive for Rational Mechanics and Analysis. -1964. - V. 15. - No. 2. P. 87-111. doi:10.1007/bf00249520

79. Criscione, J.C. Direct tensor expression for natural strain and fast, accurate approximation / J.C. Criscione // Computers and Structures. - 2002. - V. 80. - P. 1895-1905.

80. Destrade, M. Third- and fourth-order constants of incompressible soft solids and the acousto-elastic effect / M. Destrade, M.D. Gilchrist // J. Acoust. Soc. Am. - 2010. - V. 127. - No.5. - P. 2759-2763. doi:10.1121/1.3372624

81. Diani, J. Combining the logarithmic strain and the full-network model for a better understanding of the hyperelastic behavior of rubber-like materials / J. Diani, P. Gilormini // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2005. - V. 53. - P. 2579-2596.

82. Ding, Y. On the determination of elastic moduli of cells by AFM based indentation / Y. Ding, G.-K. Xu, G.-F. Wang // Scientific Reports. - 2017. - |7:45575|. doi:10.1038/srep45575

83. Dintwa, E. On the accuracy of the Hertz model to describe the normal contact of soft elastic spheres / E. Dintwa, E. Tifskens, H. Ramon // Granular matter. - 2008. - V. 10. -P. 209-221.

84. Dobrynin, A.V. Universality in nonlinear elasticity of biological and polymeric networks and gels / A.V. Dobrynin, J.-M.Y. Carrillo // Macromolecules. - 2011. - V. 44. - P. 140146. doi:10.1021/ma102154u

85. Doyle, T.C. Nonlinear Elasticity / T.C. Doyle, J.L. Ericksen // Advances in Applied Mechanics Volume. - 1956. - V. 4. - P. 53-115. doi:10.1016/s0065-2156(08)70371-5

86. Fakhrutdinov, L.R. Numerical investigation of large strains of incompressible solids /

L.R. Fakhrutdinov, A.I. Abdrakhmanova, I.R. Garifullin, L.U. Sultanov // Journal Of Physics: Conference Series. - 2019. - 022001. doi:10.1088/1742-6596/1158/2/022041.

87. Feng, Z.-Q. Solution of large deformation contact problems with friction between Blatz-Ko hyperelastic bodies / Z.-Q. Feng, F. Peyraut, N. Labed // International Journal of Engineering Science. - 2003. V. 41. - I. 19. - P. 2213-2225. doi:10.1016/S0020-7225(03)00216-7

88. Fitzgerald, J.E. A tensorial Hencky measure of strain and strain rate for finite deformations / J.E. Fitzgerald // Journal of Applied Physics. - 1980. - V. 51. - I. 10. doi:10.1063/1.327428

89. Forster, M.J. Unilateral compression of rubber / M.J. Forster // Journal of Applied Physics. - 1955. - V. 26. - No. 9. - P. 1104-1106.

90. Freidenberg, A. Characterization of the blast simulator elastomer material using a pseudo-elastic rubber model / A. Freidenberg, C.W. Lee, B. Durant, V.F. Nesterenko, L.K. Stewart, G.A. Hegemier // International Journal of Impact Engineering. - 2013. - V. 60. -P. 58-66. doi:10.1016/j.ijimpeng.2013.04.009

91. Fung, Y.C. Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues / Y.C. Fung. - New York : Springer Verlag, 1993. - 433 p.

92. Gao, Z. Constitutive modeling of liver tissue: experiment and theory / Z. Gao, K. Lister, J.P. Desai // Annals of Biomedical Engineering. - 2010. - V. 38. - No. 2. - P. 505-516. doi:10.1007/s10439-009-9812-0

93. Gasson, P. Fitting hyperelastic material models to stress-strain data from an in-vitro experiment on human skin / P. Gasson, R.-J. Lapeer, V. Karri // Proceedings of the Internation Conference on Polymers and Moulds Innovations (PMI) 17-18 September, Ghent, Belgium. - 2008. - P. 127-133.

94. Gehrmann, O. Estimation of the compression modulus of a technical rubber via cyclic volumetric compression tests / O. Gehrmann, N.H. Kröger, P. Erren, D. Juhre // Technische mechanic. - 2017. - V. 37. - No. 1. - P. 28-36. doi:10.24352/UB.0VGU-2017-048.

95. Gent, A.N. A New Constitutive Relation for Rubber / A.N. Gent // Rubber Chemistry and Technology. - 1969. - V. 69. - No. 1. - P. 59-61. doi:10.5254/1.3538357.

96. Gent, A.N. Compression, bending and shear of bonded rubber blocks / A.N. Gent, E.A. Meinecke // Polymer engineering and science. - 1970. - V. 10. - No. 1. - P. 48-53.

97. Giannakopoulos, A.E. Conical indentation of incompressible rubber-like materials / A.E. Giannakopoulos, D.I. Panagiotopoulos // International Journal of Solids and Structures. - 2009. - V. 46. - P. 1436-1447. doi:10.1016/j.ijsolstr.2008.11.008.

98. Giannakopoulos, A.E. Spherical indentation of incompressible rubber-like materials / A.E. Giannakopoulos, A. Triantafyllou // Journal of mechanics and physics of solids. -2007. - V. 55. - P. 1196-1211. doi:10.1016/j.jmps.2006.11.010

99. Guo, H. A finite element implementation for biphasic contact of hydrated porous media under finite deformation and sliding / H. Guo, M. Shah, R. L. Spilker // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part H: Journal of Engineering in Medicine. - 2014.

- V. 228. - No. 3. - P. 225-236. doi:10.1177/0954411914522782

100. Jerrams, S. Friction and adhesion in rigid surface indentation of nitrile rubber / S. Jerrams // Journal of materials and design. - 2005. - V. 26. - I. 3. - P. 251-258.

101. Hartmann, S. Parameter estimation of hyperelasticity relations of generalized polynomial-type with constraint conditions / S. Hartmann // International journal of solids and structures. - 2001. - V. 38. - P. 7999-8018. doi:10.1016/S0020-7683(01)00018-X

102. Hartmann, S. Polyconvexity of generalized polynomial-type hyperelastic strain energy functions for near-incompressibility / S. Hartmann, P. Neff // International journal of solids and structures. - 2003. - V. 40. - P. 2767-2791. doi:10.1016/S0020-7683(03)00086-6

103. Hefgaard, J.-H. An augmented lagrangian method for discrete large-slip contact problems / J.-H. Hefgaard, A. Curnier // International journal for numerical methods in engineering.

- 1993. - V. 36. - P. 569-593. doi:10.1002/nme.1620360403

104. Heisserer, U. On volumetric locking-free behaviour of p-version finite elements under finite deformations / U. Heisserer, S. Hartmann, A. Duster, Z. Yosibash // Communications in numerical methods in engineering. - 2007. - Режим доступа : www.interscience.wiley.com. doi:10.1002/cnm.1008

105. Hencky, H. The elastic behavior of vulcanized rubber / H. Hencky // Rubber Chem. Techn. - 1933. - V. 6. - P. 217-224.

106. Hencky, H. The law of elasticity for isotropic and quasi-isotropic substances by finite deformations / H. Hencky // J. Rheology. - 1931. - V. 2. - P. 169-176.

107. Hill, R. A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids / R. Hill // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1958. - V. 6. - I. 3. - P. 236-249. doi :10.1016/0022-5096(58)90029-2.

108. Hill, R. Aspects of invariance in solid mechanics / R. Hill // Advances in applied mechanics. - 1979. - V. 18. - P. 1-75.

109. Hill, R. Constitutive inequalities for isotropic elastic solids under finite strain / R. Hill // Proc. R. Soc. Lond. - 1970. - V. 314. - P. 457-472.

110. Hill, R. Elastic properties of reinforced solids: Some theoretical principles / R. Hill //

Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 1963. - V. 11. - I. 5. - P. 357-372. doi:10.1016/0022-5096(63)90036-x

111. Hooke, R. "Direct search" solution of numerical and statistical problems / R. Hooke, T.A. Jeeves // Journal of the ACM. - 1961. - april. - P.212-229. doi:10.1145/321062.321069

112. Hyun, H.-C. A spherical indentation technique for property evaluation of hyperelastic rubber / H.-C. Hyun, J.-H. Lee, M. Kee, H. Lee // Journal of Materials Research. - 2012. -V. 27. - No. 20 - P. 2677-2690. doi:10.1557/jmr.2012.241

113. Kakavas, P.A. A new development of the strain energy function for hyperelastic materials using a logarithmic strain approach / P.A. Kakavas // Journal of Applied Polymer Science. - 2000. - V. 77. - P. 660-672. doi:10.1002/(SICI)1097-4628(20000718)77:3<660::AID-APP21>3.0.C0;2-A

114. Kim, S. Measurement of a nearly friction-free stress-strain curve of silicone rubber up to a large strain in compression testing / S. Kim, M. Kim, H. Shin, K.-Y. Rhee // Experimental Mechanics. - 2018. - V. 58.-P. 1479-1484. doi:10.1007/s11340-018-0426-z

115. Komvopoulos, K. Finite element analysis of a layered elastic solid in normal contact with a rigid surface / K. Komvopoulos // Journal of Tribology. - 1988. - V. 110. - P. 477-485. doi:10.1115/1.3261653

116. Korba, A.G. New model for hyper-elastic materials behavior with an application on natural rubber / A.G. Korba, M.E. Barkey // Proc. ASME. MSEC2017. - 2017. - V. 2. -V002T03A020. - MSEC2017-2792. doi:10.1115/MSEC2017-2792

117. Korobeynikov, S.N. Analysis of Hooke-like isotropic hypoelasticity models in view of applications in FE formulations / S.N. Korobeynikov // Archive of Applied Mechanics. -2020. - V. 90. - I. 2. - P. 313-338. doi:10.1007/s00419-019-01611-3

118. Korobeynikov, S.N. Objective tensor rates and applications in formulation of hyperelastic relations / S.N. Korobeynikov // Journal of Elasticity. - 2008. - V. 93. - P. 105-140. doi:10.1007/s10659-008-9166-0

119. Krysl, P. Generalized selective reduced integration and b-bar finite element methods for anisotropic elasticity / P. Krysl, J. Novak, S. Oberrecht // International journal for numerical methods in engineering. - 2014. - V. 98. - I. 2. - P. 92-104. doi:10.1002/nme.4621

120. Kumar, N. Hyperelastic Mooney-Rivlin model: determination and physical interpretation of material constants / N. Kumar, V.V. Rao // MIT International Journal of Mechanical Engineering. - 2016. - V. 6. - No. 1 - P. 43-46.

121. Latorre, M. On the interpretation of the logarithmic strain tensor in an arbitrary system of

representation / M. Latorre, F.J. Montans // International Journal of Solids and Structures. - 2014. - V. 51. - P. 1507-1515. doi:10.1016/j.ijsolstr.2013.12.041

122. Lin, D.C. Spherical indentation of soft matter beyond the Hertzian regime: numerical and experimental validation of hyperelastic models / D.C. Lin, D.I. Shreiber, E.K. Dimitriadis,

F. Horkay // Biomech Model Mechanobiol. - 2009. - V. 8. - P. 345-358. doi:10.1007/s 10237-008-0139-9

123. Liu, Sh. A preliminary two-dimensional palpation mechanics for detecting a hard inclusion by indentation of a soft matrix under large-strain / Sh. Liu, K.-T. Wan // J. Appl. Mech. - 2019. - V. 86(5). - 051009 (6 p.) doi:10.1115/1.4042919

124. Liu, D.X. Nonlinear elastic load-displacement relation for spherical indentation on rubberlike materials / D.X. Liu, Z.D. Zhang, L.Z. Sun // Journal of Materials Research. -2010. - V. 25. - No. 11. - P. 2197-2202. doi:10.1557/JMR.2010.0285

125. MacManus, D.B. An empirical measure of nonlinear strain for soft tissue indentation / D.B. MacManus, M.D. Gilchrist, J.G. Murphy // R. Soc. open sci. - 2017. - V. 4: 170894. doi :10.1098/rsos. 170894

126. Madireddy, S. Bayesian calibration of hyperelastic constitutive models of soft tissue / S. Madireddy, B. Sista, K. Vemaganti // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. - 2016. - V. 59. - P. 108-127. doi:10.1016/j.jmbbm.2015.10.025

127. Mansouri, M.R. On the correlation of FEM and experiments for hyperelastic elastomers / M.R. Mansouri, H. Darijani, M. Baghani // Experimental Mechanics. - 2017. - V. 57. - P. 195-206. doi:10.1007/s11340-016-0236-0

128. Marckmann, G. Comparison of hyperelastic models for rubber-like materials /

G. Marckmann, E. Verron // Rubber Chemistry and Technology, American Chemical Society. - 2006. - V. 79(5). - P. 835-858. doi:10.5254/1.3547969

129. Markin, A.A. The physically nonlinear model of an elastic material and its identification / A. A. Markin, D.V. Kchristich, M.Yu. Sokolova, Yu.V. Astapov // International Journal of Applied Mechanics. - 2019. - V.11. - № 7. - P. 1950064 (13 p). doi:10.1142/S1758825119500649

130. Marquardt, D. An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters / D. Marquardt // SIAM Journal on Applied Mathematics. - 1963. - V. 11. - I. 2. - P. 431441. doi:10.1137/0111030

131. McDevitt, T.W. A mortar-finite element formulation for frictional contact problems / T.W. McDevitt, T.A. Laursen // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2000. - V. 48.- P. 1525-1547. doi:10.1002/1097-0207(20000810)48: 10<1525 ::AID-NME953>3.0.C0;2-Y

132. Mesa-Munera, E. Inverse-FEM characterization of a brain tissue phantom to simulate compression and indentation / E. Mesa-Munera, J.-F. Ramirez-Salazar, P. Boulanger, J.W. Branch // Ingeniería y Ciencia. - 2012. - V. 8. - P. 11-36. doi:10.17230/ingciencia.8.16.1

133. Mihai, L.A. A comparison of hyperelastic constitutive models applicable to brain and fat tissues / L.A. Mihai, L. Chin, P.A. Janmey, A. Goriely // J. R. Soc. Interface. - 2015. - V. 12. : 20150486. doi:10.1098/rsif.2015.0486

134. Mihai, L.A. How to characterize a nonlinear elastic material? A review on nonlinear constitutive parameters in isotropic finite elasticity / L.A. Mihai, A. Goriely // Proc. R. Soc. - 2017. - 473(2207). doi:10.1098/rspa.2017.0607

135. Montella, G. The exponentiated Hencky strain energy in modeling tire derived material for moderately large deformations / G. Montella, S. Govindjee, P. Neff // J. Eng. Mater. Technol. - 2016. - V. 138(3). - 031008 (12 p.) Paper No: MATS-15-1232. doi :10.1115/1.4032749

136. Mooney, M. A theory of large elastic deformation / M. Mooney // Journal of Applied Physics. - 1940. - V. 11(9). - P. 582-592. doi:10.1063/1.1712836

137. Morev, P.G. A variational statement of quasistatic "rigid-deformable" contact problems at large strain involving generalized forces and friction / P.G. Morev // Acta Mechanica. -2011. - V. 222. - P. 115-130. doi:10.1007/s00707-011-0516-9

138. Murnaghan, F.D. Finite deformations of an elastic solid / F.D. Murnaghan // American Journal of Mathematics. - 1937. - V. 59. - No. 2. P. 235-260. doi:10.2307/2371405

139. Naghdabadiac, R. A viscoelastic constitutive model for compressible polymers based on logarithmic strain and its finite element implementation / R. Naghdabadiac, M. Baghania, J. Arghavania // Finite Elements in Analysis and Design. - 2012. - V. 62. - P. 18-27. doi:10.1016/j.finel.2012.05.001

140. Nedin, R. Some aspects of modeling and identification of inhomogeneous residual stress / R. Nedin, V. Dudarev, A. Vatulyan // Engineering Structures. - 2017. - V. 151. - P. 391405. doi:10.1016/j.engstruct.2017.08.007

141. Neff, P. Geometry of logarithmic strain measures in solid mechanics / P. Neff, B. Eidel, R.J. Martin // Arch. Rational Mech. Anal. - 2016. - V. 222. - P. 507-572. doi: 10.1007/s00205-016-1007-x

142. Neff, P. The exponentiated Hencky-logarithmic strain energy. Part I: constitutive issues and rank-one convexity / P. Neff, I.-D. Ghiba, J. Lankeit // Journal of Elasticity. - 2015. -V. 121. - P. 143-234. doi:10.1007/s10659-015-9524-7

143. Nelder, J.A. A simplex method for function minimization / J.A. Nelder, R. Mead // The

Computer Journal. - 1965. - V. 7. - I. 4. - P. 308-313. doi:10.1093/comjnl/7.4.308

144. Noll, W. A new mathematical theory of simple materials / W. Noll // Arch. Rational Mech. Anal. - 1974. - V. 48 - 50 pages. doi:10.1007/978-3-642-65817-4_15

145. Obata, Y. Mechanical properties of natural rubber vulcanizates in finite deformation / Y. Obata, S. Kawabata, H. Kawai // Journal of Polymer Science Part A-2: Polymer Physics. - 1970. - V. 8(6). - P. 903-919. doi:10.1002/pol.1970.160080607

146. Ogden, R.W. Large deformation isotropic elasticity - on the correlation of theory and experiment for incompressible rubberlike solids / R.W. Ogden // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. - 1972. - V. 326. -No. 1567. - P. 565-584.

147. Ogden, R.W. Non-linear elastic deformations / R.W. Ogden. - New York: Halsted Press, 1948. - 561 p.

148. Pantuso, D. A finite element procedure for the analysis of thermomechanical solids in contact / D. Pantuso, K.-J. Bathe, P.A. Bouzinov // Computers and Structures. - 2000. -V. 75. - P. 551-573. doi:10.1016/S0045-7949(99)00212-6

149. Papoulia, K.-D. Mixed and selective reduced integration procedures in large strain hyperelastic analysis of nearly incompressible solids / K.-D. Papoulia // Computational Mechanics. - 1999. - V. 23. - P. 63-74. doi:10.1007/PL00009637

150. Pathak, S. Spherical nanoindentation stress-strain curves / S. Pathak, S.R. Kalidindi // Materials Science and Engineering. - 2015. - V. 91. - P. 1-36. doi:10.1016/j.mser.2015.02.001

151. Penn, R.W. Volume changes accompanying the extension of rubber / R.W. Penn // Trans. Soc. Rheol. - 1970. - V. 14. - I. 4. - P. 509-517. doi:10.1122/1.549176

152. Petru, M. Measurement and numerical modeling of mechanical properties of polyurethane foams / M. Petru, O. Novak. doi:10.5772/intechopen.69700

153. Pietrzak, G. Large deformation frictional contact mechanics: continuum formulation and augmented Lagrangian treatment / G. Pietrzak, A. Curnier // Computer methods in applied mechanics and engineering. - 1999. - V. 177. - P. 351-381. doi:10.1016/S0045-7825(98)00388-0

154. Pinyochotiwong, Y. Rigid frictionless indentation on elastic half space with influence of surface stresses / Y. Pinyochotiwong, J. Rungamornrat, T. Senjuntichai // International Journal of Engineering Science. - 2013. - V. 71. - P. 15-35. doi:10.1016/j.ijengsci.2013.04.005

155. Plesek, J. Formulation, validation and numerical procedures for Hencky's elasticity model / J. Plesek, A. Kruisova // Computers and Structures. - 2006. - V. 84. - P. 1141-1150.

doi:10.1016/j.compstruc.2006.01.005

156. Plesha, M.E. Constitutive model and finite element procedure for dilatant contact problems / M.E. Plesha, R. Ballarini, A. Parulekar // Journal of Engineering Mechanics. -1989. - V. 115. - No. 12. - P. 2649-2668. doi:10.1061/(ASCE)0733-9399(1989)115:12(2649)

157. Rivlin, R.S. Large Elastic Deformations of Isotropic Materials. I. Fundamental Concepts / R.S. Rivlin // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 1948. - V. 240(822). - P. 459-490. doi :10.1098/rsta.1948.0002

158. Rivlin, R.S. Large Elastic Deformations of Isotropic Materials. IV. Further Developments of the General Theory / R.S. Rivlin // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 1948. - V. 241(835). - P. 379-397. doi: 10.1098/rsta.1948.0024

159. Rivlin, R.S. Large elastic deformations of isotropic materials VII. Experiments on the deformation of rubber / R.S. Rivlin, D.W. Saunders // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. - 1951. - V. 243. - I. 865. doi :10.1098/rsta.1951.0004

160. Sabin, G.C.W. Contact problem of a rigid indentor in second order elasticity theory / G.C.W. Sabin // Journal of Applied Mathematics and Physics. - 1983. - V. 34. - P. 370386. doi:10.1007/BF00944857

161. Shahzad, M. Mechanical characterization and FE modelling of a hyperelastic material / M. Shahzad, A. Kamran, M.Z. Siddiqui, M. Farhan // Materials Research. - 2015. - V. 18(5). - P. 918-924. doi:10.1590/1516-1439.320414

162. Seibert, D.J. Direct comparison of some recent rubber elasticity models / D.J. Seibert, N. Schoche // Rubber Chemistry and Technology. - 2000. - V. 73. - No. 2. - P. 366-384. doi:10.5254/1.3547597

163. Seth, B.R. Finite strain inelastic problems / B.R. Seth // Phil. Trans. Roy Soc. London. -1935. - V. A234. - P. 231-264. doi:10.1098/rsta.1935.0007

164. Seth, B.R. Generalized strain measure with applications to physical problems / B.R. Seth // IUTAM Symposium on Second Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Mechanics, Haifa, 1962. - 13 p.

165. Signorini, A. Trasformazioni termoelastiche finite / A. Signorini // Annali Di Matematica Pura Ed Applicata. Series 4. - 1943. - V. 22(1). - P. 33-143. doi:10.1007/bf02418157

166. Suzuki, R. Parameter identification of hyperelastic material properties of the heel pad based on an analytical contact mechanics model of a spherical indentation / R. Suzuki,

I. Kohta, T. Lee, N. Ogihara // Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. - 2017. - V. 65. - P. 753-760. doi:10.1016/jjmbbm.2016.09.027

167. Takahashi, S. Measurement of third-order elastic constants and applications to loaded structural materials / S. Takahashi, R. Motegi // SpringerPlus. - 2015. - V. 4. - No. 325 -20 p. doi:10.1186/s40064-015-1019-2

168. Toupin, R.A. Sound waves in deformed perfectly elastic materials. Acoustoelastic effect / R.A. Toupin, B. Bernstein // The Journal of the Acoustical Society of America. - 1961. -V. 33(2). - P. 216-225. doi:10.1121/1.1908623

169. Treloar, L.R.G. Stress-strain data for vulcanised rubber under various types of deformation / L.R.G. Treloar // Transactions of the Faraday Society. - 1944. - V. 40. - P. 59-70. doi :10.1039/tf9444000059

170. Treloar, L.R.G. The elasticity of a network of long-chain molecules. I. / L.G.R. Treloar // Rubber Chemistry and Technology. - 1943. - V. 16. - No. 4. - P. 746-751. doi:10.5254/1.3540158

171. Uzawa, H. Iterative methods for concave programming. In Arrow, K. J.; Hurwicz, L.; Uzawa, H. (eds.). Studies in linear and nonlinear programming. Stanford: University Press, 1958.

172. Valanis, K.C. The strain energy function of a hyperelastic material in terms of the extension ratios / K.C. Valanis, R.F. Landel // Journal of Applied Physics. - 1967. - V. 38. - P. 2997-3302. doi:10.1063/1.1710039

173. Wex, C. Isotropic incompressible hyperelastic models for modelling the mechanical behaviour of biological tissues: a review / C. Wex, S. Arndt, A. Stoll, C. Bruns, Y. Kupriyanova // Biomed. Eng.-Biomed. Tech. - 2015 - V. 60. - I. 6. - 16 p. doi :10.1515/bmt-2014-0146

174. Williams, J.G. Using the simple compression test to determine Young's modulus, Poisson's ratio and the Coulomb friction coefficient / J.G. Williams, C. Gamonpilas // International Journal of Solids and Structures. - 2008. - V. 45. - P. 4448-4459. doi:10.1016/j.ijsolstr.2008.03.023

175. Wriggers, P. Finite Element Algorithms for Contact Problems / P. Wriggers // Archives of Computational Methods in Engineering. - 1995. - V. 2(4). - P. 1-49. doi :10.1007/BF02736195

176. Wriggers, P. Finite element formulation of large deformation impact-contact problems with friction / P. Wriggers, T. Vu Yan, E. Stein // Computers and Structures. - 1990. - V. 37. - No 3. - P. 319-331. doi :10.1016/0045-7949(90)90324-U

177. Wu, C.-E Hertzian load-displacement relation holds for spherical indentation on soft

elastic solids undergoing large deformations / C.-E. Wu, K.-H. Lin, J.-Y. Juang // Tribology International. - 2016. - V. 97. - P. 71-76. doi:10.1016/j.triboint.2015.12.034

178. Wu, Y. Parameter identification methods for hyperelastic and hyper-viscoelastic models / Y. Wu, H. Wang, A. Li // Applied Sciences. - 2016. - V. 6. - I. 386. - 13 p. doi:10.3390/app6120386

179. Xiao, H. Hypo-elasticity model based upon the logarithmic stress rate / H. Xiao, O.T. Bruhns, A. Meyers // Journal of Elasticity. - 1997. - V. 47. - P. 51-68. doi:10.1023/A:1007356925912

180. Xiao, H. Hencky's elasticity model and linear stress-strain relations in isotropic finite hyperelasticity / H. Xiao, L.-S. Chen // Acta Mechanica. - 2002. - V. 157. - P. 51-60. doi :10.1007/BF01182154

181. Xiao, H. Hencky's logarithmic strain and dual stress-strain and strain-stress relations in isotropic finite hyperelasticity / H. Xiao, L.-S. Chen // International Journal of Solids and Structures. - 2003. - V. 40. - P. 1455-1463. doi:10.1016/S0020-7683(02)00653-4

182. Xiaoming, G. On the mathematical modeling for elastoplastic contact problem and its solution by quadratic programming / G. Xiaoming, Z. Roulei, S. Yingle // International Journal of Solids and Structures. - 2001. - V. 38. - P. 8133-8150. doi:10.1016/S0020-7683(00)00413-3

183. Yang, F. Axisymmetric indentation of an incompressible elastic thin film / F. Yang // Journal of Physics D: Applied Physics. - 2003. - V. 36. - I. 1. - P. 50-55. doi:10.1088/0022-3727/36/1/307

184. Yeoh, O.H. A new attempt to reconcile the statistical and phenomenological theories of rubber elasticity / O.H. Yeoh, P.D. Fleming // Journal of polymer science. Part B. - 1997. - V. 35. - I. 12. - P. 1919-1931.

doi:10.1002/(SICI)1099-0488(19970915)35:12<1919::AID-POLB7>3.0.CO;2-K

185. Yu, H.S. A novel isoparametric finite element displacement formulation for axisymmetric analysis of nearly incompressible materials / H.S. Yu, G.T. Houlsby, H.J. Burd // Numerical methods in engineering. - 1993. - V. 36. - I. 14. - P. 2453-2472. doi :10.1002/nme.1620361409

186. Zafiropoulou, V.I. Instrumented indentation of a non-equal biaxial prestretched hyperelastic substrate / V.I. Zafiropoulou, Th. Zisis, A.E. Giannakopoulos // European Journal of Mechanics A/Solids. - 2016. - V. 58. - P. 221-232. doi:10.1016/j.euromechsol.2016.01.016

187. Zhang, M.-G. Spherical indentation method for determining the constitutive parameters of hyperelastic soft materials / M.-G. Zhang, Y.-P. Cao, G.-Y. Li, X.-Q. Feng // Biomech

Model Mechanobiol. - 2014. - V. 13. - 11 p. doi:10.1007/s10237-013-0481-4

188. Zhang, Q. Extracting the isotropic uniaxial stress-strain relationship of hyperelastic soft materials based on new nonlinear indentation strain and stress measure / Q. Zhang, X. Li, Q.-S. Yang // AIP Advances. - 2018. - V. 8. 115013. - 11 p. doi:10.1063/1.5063384

189. Zhang, Q. Effects of large deformation and material nonlinearity on spherical indentation of hyperelastic soft materials / Q. Zhang, Q.-S. Yang // Mechanics Research Communications. - 2017. - V. 84. - P. 55-59. doi:10.1016/j.mechrescom.2017.06.003

190. Zhang, Q. The analytical and numerical study on the nanoindentation of nonlinear elastic materials / Q. Zhang, Q.-S. Yang // CMC-Computers, Materials & Continua. - 2013. - V. 37. - No. 2. - P. 123-134. doi:10.3970/cmc.2013.037.123

191. Zienkiewicz, O.C. The finite element method : V. 2. / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. -Butterworth-Heinemann Linacre House, Jordan Hill, Oxford, 2000. - 445 p.

192. Zisis, Th. Evaluation of material properties of incompressible hyperelastic materials based on instrumented indentation of an equal-biaxial prestretched substrate / Th. Zisis, V.I. Zafiropoulou, A.E. Giannakopoulos // International Journal of Solids and Structures. -2015. - V. 64-65. - P. 132-144. doi:10.1016/j.ijsolstr.2015.03.019

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Таблица А1. Экспериментальные значения,

полученные из опытов на одноосное сжатие

Материал 1 Материал 2

Л Юг, Па Л Юг, Па

1 0 1 0

0,9951786 -4865,939 0,9972619 -4038,152

0,986875 -8988,943 0,9898942 -11176,37

0,9776042 -13775,55 0,9824603 -22434,91

0,9683333 -18363,07 0,9751984 -35606,6

0,9578906 -28354,72 0,9679537 -50140,65

0,9480208 -36148,39 0,9614411 -64317,49

0,9379167 -45906,38 0,9535714 -80249,97

0,9290625 -52779,46 0,9466883 -95808,31

0,9202083 -68635,51 0,9396223 -108299,1

0,911 -83336,24 0,9317216 -126565,2

0,9021875 -92370,15 0,9258804 -138117,3

0,89225 -106547,7 0,9183167 -159334,3

0,8833036 -117194,2 0,9110748 -170441,2

0,8744531 -130954,3 0,9032719 -189684,8

0,86375 -146579,2 0,8965556 -200237,7

0,8547917 -156487,2 0,8892982 -221217,4

0,8448611 -167430,3 0,882574 -233015,6

0,8361458 -184978,7 0,8751893 -246344

0,8266964 -200617,7 0,8684127 -260064,2

0,8186607 -215461 0,8605926 -286512,1

0,8069792 -231073,9 0,853871 -293724,3

0,79825 -253423 0,8465079 -314164,6

0,7885714 -259993,7 0,8398148 -322250,9

0,78 -284575,1 0,8323512 -349765,2

0,7705 -300068,3 0,826105 -359242,6

0,7609375 -309264,1 0,8176923 -378086,5

0,7520536 -327209,2 0,8116314 -402278,1

0,8038739 -419919,2

0,7966772 -442331,7

0,7896353 -464765,1

0,7824743 -495938,7

0,7746825 -517300,7

0,7682857 -538672,9

0,7607143 -551817,2

0,7531712 -587292,7

0,7459524 -609327,7

0,738956 -639671,6

0,7316061 -680258

0,7245515 -705662,1

0,717594 -724953,8

0,7102882 -761792,2

0,7026336 -795813,1

0,6964667 -819325,8

0,6886531 -866330,6

0,6818919 -889907

0,6746218 -920799,7

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Таблица Б1. Экспериментальные значения, полученные из опытов на индентирование

Материал 1 Материал 2

R = 3мм Я = 7.5мм К = 3мм

Di, мм Ре, Н i ? Dj, мм Ре, Н i ? Dj, мм Ре, Н i ?

0 0 0 0 0,0693939 0,5324844

0,062 0,0451253 0,020625 0,244323 0,2328571 0,9847664

0,2190476 0,2604179 0,159375 0,5130042 0,3764516 1,7081105

0,3681818 0,6407582 0,3209091 0,9929053 0,5188462 2,3599904

0,5184211 1,0565752 0,4755556 1,6177573 0,6682143 3,5353079

0,6684211 1,521298 0,632 2,014701 0,8195833 4,6948602

0,8125 2,0502943 0,7738462 3,060561 0,9794737 6,1525144

0,9683333 2,6074034 0,9215385 4,0897679 1,1296774 7,6707254

1,12125 3,2443579 1,0821429 5,4349413 1,2766667 9,0220986

1,274 3,8720194 1,2111111 6,6847672 1,4154167 10,634547

1,4113333 4,7226066 1,3725 7,855121 1,5646875 12,419527

1,5710526 5,5530589 1,5230769 10,236803 1,7211111 14,702956

1,719375 6,5749683 1,6833333 12,347623 1,8758621 17,383854

1,8626667 7,4555037 1,8116667 14,53784 2,0180645 20,26148

2,02375 8,3619753 1,9658333 17,722826 2,1693103 22,393909

2,1817647 9,5380748 2,1192857 20,350583 2,319 25,645158

2,331875 10,867799 2,2690909 23,867011 2,4711538 28,617848

2,47 12,111316 2,4176923 26,91759 2,621 32,000702

2,6292857 13,424081 2,5661538 30,902491 2,7619231 35,067041

2,770625 15,32003 2,7261538 34,792143 2,9232 38,155691

2,9292857 17,002676 2,8685714 39,678513

3,0685714 18,52412 3,0092308 44,133212

3,21 20,242583 3,1645455 48,977442

3,3626667 22,166618 3,3257143 53,523146

3,531875 24,174237 3,4691667 59,154892

3,6714286 26,533882 3,6181818 64,01768

3,802 28,362609 3,765 70,343192

3,9125 75,314442