Фазовые переходы и магнитные явления в модели Изинга тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Андрющенко, Петр Дмитриевич

• Андрющенко, Петр Дмитриевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Андрющенко, Петр Дмитриевич

Оглавление

Стр.

Список сокращений и условных обозначений

Введение

Глава 1. Переходы порядок - беспорядок в векторных моделях

1.1 Критические явления

1.1.1 Подход Гиббса

1.1.2 Корреляционная длина

1.1.3 Фазовые переходы

1.1.4 Теория Ландау

1.1.5 Конечномерное масштабирование. Степенные законы

1.2 Простейшая модель магнетизма

Глава 2. Векторные модели с прямым обменом в приближении Изинга

2.1 Статистическая сумма и плотность вероятности состояний в одномерной модели Изинга с ограниченным и бесконечным радиусом взаимодействия

2.1.1 Одномерная модель Изинга и кратность вырождения по энергии

2.1.2 Модель Кюри-Вейсса

2.1.3 Сравнение и анализ пространства состояний

2.2 Кластерный параметр порядка модели Изинга

2.2.1 Одномерная модель Изинга с двумя ближайшими соседями

2.2.2 Одномерная модель Изинга с тремя ближайшими соседями

2.2.3 Одномерная модель Изинга с четырьмя ближайшими соседями

2.2.4 Модель Кюри-Вейсса

2.2.5 Двумерная модель Изинга

2.3 Гигантские пики энтропии в модели спинового льда с разбавлением и взаимодействием ближайших соседей на решетке пирохлора в магнитном поле [111]

Стр.

2.3.1 Спиновый лед

2.3.2 Модель пирохлора

2.3.3 Мультиканонический метод моделирования

2.3.4 Энтропия и намагниченность

2.4 Выводы по главе

Глава 3. Двумерные и трехмерные модели с дипольным

взаимодействием в приближении Изинга

3.1 Искусственный спиновый лед макроспинов Изинга. Фрустрации

и фазовые переходы

3.1.1 Основные состояния искусственного дипольного спинового льда на треугольной, гексагональной и кагоме решетках

3.1.2 Параметр фрустрированности

3.1.3 Условия существования фазовых переходов во фрустрированных системах на примере гексагонального искусственного спинового льда

3.2 Индуцированные внешним магнитным полем структурные превращения магнитоактивных эластомерах

3.2.1 Феноменологическая модель магнитоактивного

эластомера и параллельный алгоритм моделирования

3.2.2 Моделирование реакции магнитоактивного эластомера на внешнее однородное магнитное поле

3.3 Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Список сокращений и условных обозначений

ФМ, FM АФМ, AFM ПМ, PM СПМ, SPM СС, SG ИСЛ, ASI МДСЛДОШ ПГУ, PBC СГУ, FBC СМН, AMM

КПП, COP ПП, OP ОС, GS ПВС, DOS МК, MK ВЛ, WL КВ, CW МСМ, MFM МАЭ, MAE ФП, PT

БД

ДД

ферромагнетик, ferromagnetic

антиферромагнетик, antiferromagnetic

парамагнетик, paramagnetic

суперпарамагнетик, superparamagnetic

спиновое стекло, spin glass

искусственный спиновый лед, artificial spin ice

модель дипольного спинового льда, dipolar spin-ice model

периодические граничные условия, periodic boundary conditions

свободные граничные условия, free boundary conditions

средний модуль намагниченности, average modulus of

magnetization

кластерный параметр порядка, clustered order parameter параметр порядка, order parameter основное состояние, ground state плотность вероятности состояний, density of states алгоритм Монте-Карло, Monte Carlo algorithm алгоритм Ванга-Ландау, Wang and Landau algorithm модель Кюри-Вейсса, Curie-Weiss model магнитно-силовая микроскопия, magnetic force microscope магнитактивный эластомер, magnetoactive elastomer фазовый переход, phase transition

диполь-дипольное взаимодействие с ограниченным радиусом

взаимодействия до ближайших соседей (близкодействие) диполь-дипольное взаимодействие с неограниченным радиусом взаимодействия (дальнодействие)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фазовые переходы и магнитные явления в модели Изинга»

Введение

Явление магнетизма фундаментально по своей природе и присуще всей материи, так как вся материя состоит из заряженных частиц, которые связаны электромагнитным взаимодействием. В последнее время открывается все больше новых магнитных систем и их состояний, таких как спиновое стекло, спиновый лед, искусственный макроспиновый лед, создаются новые искусственные магнитные материалы с управляемыми свойствами (т.н. «смарт-материалы») - различные ме-таматериалы, магнитоактивные эластомеры. Существующая теория фазовых переходов не способна описывать все процессы, происходящие в таких материалах. Поэтому теория фазовых переходов и магнитных явлений нуждается в разработке подходов и моделей для описания термодинамики новых состояний.

Около 100 лет назад было предложено простейшее описание магнетизма -модель Изинга [1]. Взаимодействующие между собой «магнитные моменты» были представлены однокомпонентным вектором - «спином», компонента которого может принимать только два противоположных по знаку значения, условно «+1» и «-1». Взаимодействия между спинами задавались либо положительными (в ферромагнитной модели), либо отрицательными (в антиферромагнитной модели). Несмотря на простоту, судя по количеству публикаций, модель Изинга является одной из самых востребованных в статистической физике. Точно была решена одномерная модель Э. Изингом [1] - такая модель не имеет фазового перехода при любой ненулевой температуре, однако имеет критическую точку при кв Т / J = 0 и Н/ J = 0, двумерная модель на плоской квадратной решетке без внешнего поля Л. Онзагером [2] - был обнаружен фазовый переход при конечной температуре и точно вычислена критическая точка квТ/ 3 « 2.269. В двумерной модели во внешнем магнитном поле и трехмерной модели точные решения до сих пор не получены. Закон распределения кратности вырождения конфигураций позволяет получить строгое решение для системы заданного размера. Под кратностью (степенью) вырождения понимается число возможных физически неэквивалентных состояний (конфигураций) термодинамической системы, которые имеют одинаковую физическую характеристику, например, энергию. Для некоторых простых систем возможно аналитически вывести такой закон распределения, как, например, для одномерной модели Изинга [3]. Для более сложных систем это представляет уже довольно трудоемкую задачу, например, даже для широкоизвестной

двумерной модели Изинга еще не существует аналитического вида закона распределения кратности вырождения состояний. Вычислять приближенную плотность вероятности состояний возможно численными методами. В еще более сложных системах и численные методы испытывают затруднения.

Для описания переходов от беспорядка к порядку в моделях магнитных материалов обычно используется средний квадрат намагниченности (Ы2) или средний модуль намагниченности (\Ы|). Этот параметр, в принципе, может быть использован для изучения фазовых переходов в ферромагнетиках (> 0). Существуют не только материалы с отрицательным обменным взаимодействием (антиферромагнетики, J < 0), но и с более сложными взаимодействиями, где обменное взаимодействие Jij является функцией координат и магнитных моментов ¿-го и ]-го спинов. Тогда описывать коллективное поведение системы становится намного сложнее. В антиферромагнитных моделях средний модуль намагниченности становится равным нулю для любых кв Т / J и N ^ то. Таким образом, задача определения обобщенного параметра порядка, описывающего упорядочение, особенно для фрустрированных систем с отрицательным или конкурирующими обменными взаимодействиями, является актуальной [4; 5].

С. Эдвардс и П. Андерсон в 1975 г. предложили в подобной решетчатой модели обменно связанных спинов Изинга изменить функцию распределения обменного взаимодействия на более сложную, например, такую, где обменный интеграл является случайной функцией [6], а среднее значение равняется нулю. В такой системе половина спинов взаимодействовало друг с другом ферромаг-нитно, а другая половина - антиферромагнитно. Модель «Эдвардса-Андерсона» являлась описанием нового типа разбавленных сплавов (например, сплавы CuMn, AuFe или AgMn), так называемых «спиновых стекол». Спиновые стекла характеризуются двумя основными характеристиками, сильно отличающими эти системы от других: в таких системах возникает сильная конкуренция ферромагнитных и антиферромагнитных взаимодействий, или, по-другому, «фрустрации», и беспорядок - замерзание (или застывание) атомов в различных местах при образовании сплава. Эти факторы обеспечивают ключевые особенности подобных структур. Спиновые стекла имеют длительные времена релаксации и грубый энергетический ландшафт, поэтому и аналитическое описание, и численное моделирование таких систем представляют собой трудную задачу Процессы, происходящие в таких системах, не могут быть описаны в терминах классической теории фазовых переходов. Позже выяснилось, что решения в области искусственных спиновых

стекол приводят к чрезвычайно интересным результатам в областях, с физикой твердого тела не связанных. Например, задачи многопараметрической оптимизации, задачи ассоциативной или распределенной памяти [7].

Изучение свойств и исследование состояний фрустрированных систем представляет собой интересную и актуальную задачу. Одним из самых популярных объектов исследований, помимо спиновых стекол, стали системы спинового льда или искусственного спинового льда (ИСЛ). Сложные архитектуры сегодня могут изготавливаться методами литографии или ионного травления. Современные технологии позволяют производить нано- и метаматериалы, которые могут не наблюдаться в естественной природе, что предоставляет уникальные возможности исследования фундаментальных свойств конденсированной материи. Под искусственным спиновым (макроспиновым) льдом обчно понимают массив однодоменных ферромагнитных наночастиц заданной геометрии, размещенных на подложке или в объеме немагнитного материала. Наночастицы обычно изготавливаются из тонкопленочных магнитных материалов, например, пермаллоя или кобальта. Объем наноостровка составляет ~ 105 нм3, а намагниченность порядка ~ 107 ц,в. Анизотропия формы, появляющаяся из-за геометрии наноост-ровка, приводит к упорядочению атомных магнитных моментов вдоль длинной оси, а поведение магнитного момента наноостровка является Изинг-подобным (макроспиновым), как было показано во множестве экспериментальных работ [8—11]. Конкуренцию в таких системах можно задать архитектурой образца, т.е. геометрией решетки, как, например, в гексагональном спиновом льду [12; 13]. Магнитные явления, происходящие в таких материалах, представляют чрезвычайный интерес для исследователей, а именно: наличие/отсутствие фазового перехода, аномальное температурное поведение теплоемкости, показывающее один расходящийся низкотемпературный пик и один конечный высокотемпературный пик. Как и в модели спиновых стекол, при близкодействующем взаимодействии в модели гексагонального спинового льда не наблюдается упорядочения, тогда как в модели с дальнодействующем взаимодействием неограниченного радиуса, возникает упорядочение в основном состоянии [12].

Теория магнитных фазовых переходов, до настоящего времени, находится в стадии формирования, поэтому изучение магнитных материалов - актуальная задача для теоретиков и экспериментаторов. В работе [14] утверждается, что «несмотря на большое количество, опубликованных к настоящему моменту экспериментальных и теоретических работ, исследование магнитных свойств квази-

двумерных магнетиков, по прежнему, носит бессистемный характер, данные по спиновой динамике крайне малочисленны, а единая теория 2D магнетизма отсутствует».

Объектом исследований в диссертационной работе является модель Изин-га, принадлежащая к классу векторных моделей. В предположении двух возможных ориентаций спина проведены исследования двумерной и одномерной модели с двумя, тремя и четырьмя ближайшими соседями с ферромагнитным, аниферро-магнитным и знакопеременным обменным взаимодействием ограниченного радиуса, модели пирохлора с обменным взаимодействием ограниченного радиуса, модели искусственного спинового льда, состоящего из дипольно взаимодействующих макроспинов Изинга на ребрах гексагональной решетки с взаимодействием ограниченного и неограниченного радиуса, магнитноактивных эластомеров, представляющих собой случайно размещенные в упругой среде диполь-дипольно взаимодействующие однодоменные магнитные частицы.

Целью диссертационной работы является исследование фазовых переходов и других магнитных явлений, происходящих в системах спинов Изинга с взаимодействием ограниченного и неограниченного радиуса под действием внешнего магнитного поля или спонтанно.

Для достижения цели исследования были поставлены следующие задачи:

1. Установить закон распределения кратности вырождения энергии для замкнутой цепочки конечного числа спинов Изинга с обменным взаимодействием ограниченного радиуса и полносвязной модели Изинга с неограниченным радиусом взаимодействия. Провести сравнительный анализ плотности вероятности состояний и исследовать условия существования/отсутствия фазового перехода в данных моделях.

2. Исследовать температурное поведение кластерного параметра порядка в одномерных и квазиодномерных моделях Изинга с прямым ферромагнитным или антиферромагнитным обменом, а также конкурирующими ферромагнитными и антиферромагнитнмыми взаимодействиями между заданным числом ближайших соседей (г = 2,3,4). Исследовать природу магнитных явлений, и установить наличие или отстуствие фазовых переходов в низкоразмерных моделях с фрустрациями взаимодействий.

3. Исследовать влияние радиуса взаимодействия, конечноразмерного и граничного эффектов на условия существования фазовых переходов макро-

спинов Изинга гексагональной архитектуры искусственного спинового льда.

В связи с тем, что метод Монте-Карло применим к физическим задачам широкого спектра, дополнительно была поставлена прикладная задача о деформации помещенных в упругую среду системы диполей, взаимодействующих диполь-дипольно.

4. Численно определить характер и величину изменения геометрических размеров кубического образца системы диполь-дипольно взаимодействующих магнитных частиц, помещенных в эластичную матрицу, в зависимости от внешнего однородного магнитного поля.

Научная новизна:

1. В аналитическом виде получен закон распределения кратности вырождения спинового избытка по энергии для замкнутой цепочки конечного числа спинов Изинга с прямым обменным взаимодействием.

2. Исследуемый параметр порядка описывает упорядочение для 2D и Ш моделей Изинга с числом взаимодействующих ближайших соседей г=2,3,4 вне зависимости от знака обменного взаимодействия и размерности модели.

3. Обнаружен рост высоты низкотемпературного пика в температурном поведении теплоемкости в зависимости от числа макроспинов с неограниченном радиусом диполь-дипольного взаимодействия, расположенных в центрах граней гексагональной решетки, и отсутствие роста высоты пика теплоемкости в модели с диполь-дипольным взаимодействием ограниченного радиуса.

4. Система частиц, размеры которых распределены по логнормальному закону, равномерно размещенных в эластичной матрице кубической формы, под действием внешнего однородного магнитного поля испытывает магнитные и структурные изменения, которые приводят к деформации образца в направлении приложенного поля.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертационного исследования, в первую очередь, имеют фундаментальный теоретический характер. Используемый комбинаторный подход для описания закона распределения кратности вырождения состояний для одномерной цепочки Изинга можно применить и для более сложных моделей. Используемый подход к определению кластерного параметра порядка можно расширить на более широкий спектр моде-

лей. Обнаруженная расходимость теплоемкости в гексагональном искусственном спиновом льду свидетельствует о наличии фазового перехода в фрустрированной системе при дальнодействующем диполь-дипольном взаимодействии. Фазовый переход обеспечивается взаимодействиями с дальними соседями в таких системах. Расчеты термодинамических свойств в основном проводились в относительных единицах, что дает возможность экспериментаторам легко производить перерасчет приведенных теоретических результатов для сравнения с результатами экспериментов. Высокая практическая значимость подтверждается набором разработанных и зарегистрированных в Роспатенте высокопроизводительных программных комплексов и пакетов программ для ЭВМ и суперЭВМ [15—21].

Mетодология и методы исследования. В исследовании использовались как широко известные и апробированные методы компьютерного моделирования и численных расчетов, так и разработанные, или адаптированные автором алгоритмы для решения поставленных задач. Использовались канонические методы моделирования: алгоритм Метрополиса, реплично-обменный алгоритм (parallel-tempering) и мультиканонические методы моделирования, например, исчерпывающее перечисление и алгоритм Ванга-Ландау.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Закон распределения кратности вырождения спинового избытка по энер-

гии для замкнутой цепочки конечного числа N спинов Изинга с обменным взаимодействием имеет вид

где а - количество спинов «вверх» N спиновый избыток т = N — 2 а, и I - номер разрешенного энергетического уровня, который принимает значения от 1 до N — |2а — N|)/2, скобками обозначен биномиальный коэффициент.

2. Для 2D и Ш моделей Изинга с числом взаимодействующих ближайших соседей ^ = 2,3,4 кластерный параметр порядка, описывающий упорядочение вне зависимости от знака обменного взаимодействия и размерности модели есть относительный размер максимального кластера, включающего спины в основном состоянии.

3. В модели конечного числа макроспинов Изинга, образующих гексагональную архитектуру искусственного спинового льда с ограниченным до ближайших соседей диполь-дипольным взаимодействием, темпера-

турная зависимость теплоемкости обнаруживает один пик, высота которого уменьшается с ростом N и при N ^ ж стремится к значению 0.119 D/kB В модели диполь-дипольного взаимодействия неограниченного радиуса в температурном поведении теплоемкости наблюдается два пика. Высокотемпературный пик теплоемкости, обусловленный взаимодействием ближайших соседей, имеет место в обоих моделях. При N ^ ж он стремится к значению 0.133 D/kB. Рост высоты низкотемпературного пика теплоемкости в зависимости от N свидетельствует о существовании фазового перехода. Пики теплоемкости образцов различной формы (квадратной и гексагональной) стремятся к одному значению.

Достоверность научных результатов подтверждается независимыми численными экспериментами; сходимостью результатов, полученных различными численными методами, их сравнением с точными решениями; качественной сходимостью экспериментальных и теоретических данных; непротиворечивостью используемых моделей и основных положений статистической термодинамики.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на международных, российских и региональных конференциях, симпозиумах, школах:

1. 6-я международная конференция по математическому моделированию в физике (IC-MSQUARE), Пафос, Кипр, 2017;

2. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых ШЕН ДВФУ, Владивосток, Россия, 2017;

3. XXIII Международная научно-практическая конференция «Европейские научные исследования: инновации в науке, образовании и технологиях» Лондон, Великобритания, 2016;

4. Международная конференция «Baltic Spin 2016» Юрмала, Латвия, 2016;

5. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам, Владивосток, Россия, 2015;

6. 3-я азиатская школа-конференция по физике и технологиям наноструктурных материалов (ASCO-NANOMAT 2015), ДВО РАН, Владивосток, 2015;

7. Международная конференция «Спиновая физика, спиновая химия и спиновые технологии» (SPCT-2015), ФТИ им. Иоффе РАН, Санкт-Петербург, 2015;

8. 4-я международная конференция по математическому моделированию в физике (IC-MSQUARE), Миконос, Греция, 2015;

9. 21-я всероссийская научная конференция студентов-физиков, Омск, Россия, 2015;

10. Летняя научная школа Wolfram, Бостон, США, 2014;

11. Зимняя школа по теоретической физике, Дубна, Россия, 2014;

12. 2-я международная конференция по математическому моделированию в физике (IC-MSQUARE), Прага, Чешская Республика, 2013;

13. Всероссийская конференция «Молодые ученые России», Москва, Россия, 2013;

14. Зимняя школа по теоретической физике, Дубна, Россия, 2013;

15. Объедененный европейский семпозиум по магнетизму (JEMS 2012), Парма, Италия, 2012;

16. 5-я международная конференция по высокопроизводительным научным вычислениям (5th ICHPSC-2012), Вьетнамская Академия Науки и Технологий, Вьетнам, 2012;

17. Всероссийский открытый конкурс-выставка научно-технического творчества молодежи для молодых ученых «Исследователь будущего», Владивосток, Россия, 2012;

18. Десятая Региональная Научная Конференция «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование», ИАПУ ДВО РАН, Владивосток, 2012;

Личный вклад. Результаты, представленные в диссертации, получены автором лично. Обсуждение результатов проводилось совместно с научным руководителем и научной группой. Подготовка результатов к публикациям проводилась совместно с соавторами, вклад в совместные публикации является равнозначным.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 38 печатных изданиях, 21 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 8 индексируются базой Web of Science, 12 индексируются базой Scopus, 13 индексируются базой РИНЦ. Получено 7 авторских свидетельств о регистрации программ ЭВМ в Роспатенте. Результаты диссертационного исследования опубликованы в одной монографии, 17 работ опубликовано в виде тезисов докладов и материалов конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Полный объём диссертации составляет 127 стра-

ниц, включая 51 рисунок и 3 таблицы. Список литературы содержит 158 наименований.

Глава 1. Переходы порядок - беспорядок в векторных моделях.

В данной главе кратко приведены подходы к описанию магнитных систем методами статистической физики. Описан подход Гиббса [22], классификация фазовых переходов по Эренфесту [23], феноменологическая модель фазового перехода второго рода Ландау [24], классы универсальности и гипотеза подобия [25], а также модель Изинга [26].

Здесь и далее будут рассматриваться только равновесные системы - это значит, что параметры системы не зависят от времени, и все релаксационные процессы были пройдены системой.

1.1 Критические явления

Ричард Фейнман в своих знаменитых лекциях писал о том, что атомная гипотеза является одной из самых важных и ценных открытий человечества [27]. Гипотетически, она позволяет описывать все процессы на «микроскопическом языке». Предположив, что атомы подчиняются простым законам классической механики, можно описать микроскопическое состояние любого вещества с заданием координат и импульсов и гамильтониана Н(д,р) (закона, по которому ча-

стицы взаимодействуют) для всех частиц в веществе. На практике описание динамики такого рода систем представляется очень сложным, а при числе частиц больше двух, в общем виде задача точно уже не решается вовсе. В повседневности мы имеем дело с материей, число атомов в которой невероятно огромно, и решать уравнения движения для такого рода систем совершенно не мыслимо. На самом деле это и не нужно. Когда число частиц в системе становится очень большим, то появляются новые свойства системы - коллективные, которые нужно описывать уже на другом языке - с помощью макроскопических величин, таких как объем V, температура Т, давление Р, энергия Е, энтропия S и др. Например, для описания идеально газа существует уравнение состояния, которое связывает объем, температуру и давление формулой 1.1.

Р * V = N * кв * Т,

(1.1)

где N - количество атомов, кв - постоянная Больцмана.

С помощью статистической механики стало возможным выражать макроскопические параметры через микроскопические. С помощью нетривиального подхода Дж. Гиббса стало возможным вычислять вероятность любого микроскопического состояния.

1.1.1 Подход Гиббса

В 1902 г Джон Виллард Гиббс написал монографию, впоследствии ставшей основополагающей в статистической физике, «Основные принципы статистической механики» [22]. В своей работе он предложил способ вычисления термодинамических функций через крошечные взаимодействия между компонентами системы - систему с набором состояний X и гамильтоном Е (X) можно представить в виде статистической суммы 1.2.

Я = ^ ехр[—вЕ (X)], (1.2)

х

где суммирование проводится по всем состояниям системы. Здесь и далее для упрощения вводится переменная в = 1/квТ, кв - постоянная Больцмана, Т -температура. Тогда Р(X) - вероятность нахождения системы в конфигурации X есть

р (3 ) = ех—ад, а3)

Я

Из формулы 1.3 можно увидеть, что наибольшей вероятностью обладают состояния с наименьшей энергией взаимодействия. Если устремить температуру к нулю, то вероятность состояний с наименьшей энергией, называемых основными состояниями (ОС), устремится к единице. Отличная от нуля температура позволяет системе переходить в более высокоэнергетические состояния, благодаря термическим возбуждениям, или флуктуациям. Изучение структуры ОС, а также близлежащих к нему состояний с низкоэнергетическими флуктуациями, является одной из главных задач при изучении любой термодинамической системы, так как именно эти состояния обладают наибольшей вероятностью, и, следовательно, именно эти состояния будут вносить основной вклад в статистическую сумму и

во многие термодинамические величины. Задача поиска ОС системы, разработка алгоритмов поиска представляют фундаментальную проблему статистической физики. Новые методы, которые позволят решать эту задачу, или решать ее быстрее и эффективнее, изменят всю статистическую физику.

Из 1.2 и 1.3 становится возможным найти любые термодинамически средние величины, характеризующие систему (такие как полная энергия, намагниченность и др.), имеющие значение Л(Х) для состояния X через формулу

(Л) = Я-1 £ Л(Х) ехр[-|ЗЕ(X)]. (1.4)

х

Термодинамические величины можно получить из свободной энергии Гейм-гольца Г, которая вычисляется из статистической суммы следующим образом

Г = -кв Т1п(Я). (1.5)

Для вычисления основных термодинамических величин, характеризующих состояние системы при заданной Т, необходимо вычислить свободную энергию Г, а для ее вычисления необходимо построить статистическую сумму Я. Когда рассматривается система классических частиц (с заданными координатами, импульсами и гамильтонианом), эта сумма представляет собой интеграл по всем координатам и импульсам. Если гамильтониан не «простой», то, скорее всего, этот интеграл окажется не «берущимся». В итоге оказывается, что статистическая механика работает только для самых простых систем. Таким образом, посчитать точно статистическую сумму становится возможным только в рамках простых моделей, для систем, в которых частицы не взаимодействуют, либо взаимодействуют весьма специфическим образом. Одной из таких моделей является модель Изин-га.

1.1.2 Корреляционная длина

Критическое расстояние, на котором происходит переход от макроскопического состояния (описание системы в терминах полей) к микроскопическому (описание системы в терминах индивидуальных частиц), называется корреляционной длиной £,. Фактически это означает, что состояния «атомов», находящих-

ся на расстоянии меньше, чем эта длина, коррелируют, в то время как состояния «атомов», которые находятся на расстоянии больше, чем эта длина, уже можно считать независимыми. Обычно при Т > Тс эта величина очень маленькая. Корреляционная длина зависит от внешних параметров системы, и в точке фазового перехода эта длина может обнаруживать сингулярность.

1.1.3 Фазовые переходы

Известно, что термодинамическая фаза в физике обычно определяется как «термодинамически однородная по свойствам часть термодинамической системы, отделенная от других фаз поверхностями раздела, на которых скачком изменяются некоторые свойства системы». Существует и другое определение: «фаза

— гомогенная часть гетерогенной системы» [28]. В основном с фазой связывают определенную симметрию, т.е. говорят о фазе как о неком состоянии, которое обладает определенной симметрией. Симметрию называют более низкой в более упорядоченном состоянии, и, соответственно, более высокой в менее упорядоченном состоянии. Когда говорят о неком распределении зарядов в системе, тогда используется термин «структурная фаза» или «кристаллическая фаза». Такого типа фазы характеризуются пространственной группой симметрии. Кристаллографическая фаза может изменяться с изменением симметрии. Таким образом, фазовый переход происходит при переходе системы от одной фазы к другой. Фазовые переходы (ФП) могут быть спонтанные, т.е. ФП, которые происходят при изменении температуры под действием термодинамических флуктуаций. Также существуют индуцированные (вынужденные) ФП, которые происходят в некотором поле (магнитном, электрическом, механических напряжений и проч.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Андрющенко, Петр Дмитриевич, 2018 год

Список литературы

1. Ising E. Beitrag zur Theorie des Ferro-und Paramagnetismus: Ph. D thesis : PhD thesis / Ising Ernest. — 1924.

2. Onsager L. Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Physical Review. — 1944. — Vol. 65, no. 3/4. — P. 117.

3. Andriushchenko P. D., Nefedev K. V. Partition function and density of states in models of a finite number of Ising spins with direct exchange between the minimum and maximum number of nearest neighbors // Solid State Phenomena. Vol. 247. — Trans Tech Publ. 2016. — P. 142-147.

4. Antal T., Droz M., Racz Z. Probability distribution of magnetization in the one-dimensional Ising model: effects of boundary conditions // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2004. — Vol. 37, no. 5. — P. 1465.

5. Ferromagnetism in one-dimensional monatomic metal chains / P. Gambardella [et al.] // Nature. — 2002. — Vol. 416, no. 6878. — P. 301-304.

6. Edwards S. F., Anderson P. W. Theory of spin glasses // J. Phys. F. — 1975.

7. Фейгельман М. Спиновые стекла. — 15.03.2015. — URL: https://postnauka. ru/video/43678.

8. Artificial 'spin ice' in a geometrically frustrated lattice of nanoscale ferromagnetic islands / R. Wang [et al.] // Nature. — 2006. — Vol. 439, no. 7074. — P. 303.

9. QiY., Brintlinger T., Cumings ./.Direct observation of the ice rule in an artificial kagome spin ice // Physical Review B. — 2008. — Vol. 77, no. 9. — P. 094418.

10. Lederman M., Gibson G., Schultz S. Observation of thermal switching of a single ferromagnetic particle // Journal of applied physics. — 1993. — Vol. 73, no. 10.—P. 6961-6963.

11. Möller G., Moessner R. Magnetic multipole analysis of kagome and artificial spin-ice dipolar arrays // Physical Review B. — 2009. — Vol. 80, no. 14. — P. 140409.

12. Мультиканоническое семплирование пространства состояний H(2,n)-векторных моделей / Ю. А. Шевченко [и др.] // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2017. — Т. 151, № 6. — С. 1146—1159.

13. Realization of ground state in artificial kagome spin ice via topological defect-driven magnetic writing / J. C. Gartside [et al.] // Nature nanotechnology. — 2018.— Vol. 13, no. 1.—P. 53.

14. Зверева Е. А. Магнитные фазовые диаграммы и спиновая динамика квазидвумерных магнетиков [Текст]: дис. ... канд. физико-математических наук: 01.04.09 / Зверева Елена Алексеевна. — Москва, 2016. — 360 с.

15. Андрющенко П. Д., Нефедев К. В. Программа для моделирования фазовых превращений и вычисления параметра порядка в ферромагнитных, антиферромагнитных и спинстекольных системах на двумерной решетке Изин-га, № 2012614091 (04.05.2012) //. — 2012.

16. Андрющенко П. Д., Нефедев К. В. Высокопроизводительное параллельное моделирование переходов беспорядок-порядок в спинстекольных системах со случайным распределением обменных интегралов, № 2012619215 (12.10.2012)//.—2012.

17. Андрющенко П. Д., Нефедев К. В. Высокопроизводительное параллельное моделирование переходов порядок-беспорядок в ферромагнитных и антиферромагнитных системах, № 2012619213 (12.10.2012) //. — 2012.

18. Андрющенко П. Д., Нефедев К. В. Сверхмасштабируемое программное обеспечение суперкомпьютерного кластера для моделирования реакций магнитоактивного эластомера на внешние воздействия, № 2012619214 (12.10.2012)//.—2012.

19. Андрющенко П. Д., Нефедев К. В. Статистика модели Кюри-Вейсса, № 2016612189(19.02.2016) // Оф. бюллетень «Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем», RU ОБПБТ № 3(113) 2016,20.03.2016. — 2016.

20. Двумерная плотность состояний сложных спиновых систем, № 2017610581 (12.01.2017) / В. Ю. Капитан [и др.] // Оф. бюллетень «Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем», RU ОБПБТ № 1-2017, 10.01.2017-20.01.2017. —2017.

21. Программа создания образцов диполей, № 2017616109(01.06.2017) / К. Нефедев [и др.] // Оф. бюллетень «Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем», RU ОБПБТ № 6-2017, 21.05.2017-20.06.2017. — 2017.

22. Gibbs J. W. Elementary principles in statistical physics // The Collected Works of JW Gibbs (Yale University, New Haven, CT, 1957). — 1902. — Vol. 2.

23. Ehrenfest P. Phase changes in the ordinary and extended sense classified according to the corresponding singularities of the thermodynamic potential // Proc Acad Sci Amsterdam. Vol. 36. — 1933. — P. 153-157.

24. Ландау Л. К теории фазовых переходов I // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1937. — Т. 7, № 19.

25. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Изд-во Петербург. ин-та ядер. физики (ПИЯФ) СПб., 1998.

26. Lenz W. Beitrag zum Verständnis der magnetischen Erscheinungen in festen Körpern//Z. Phys. — 1920. — Vol. 21. — P. 613-615.

27. Ричард Ф., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 12. — 1976.

28. Новиков И. И. Термодинамика: основные понятия, терминология, буквенные обозначения величин. — 1984.

29. Кацнельсон А. Введение в физику твердого тела // М.: Изд. Моск. ун-та. — 1984.

30. Гражданкина Н. Магнитные фазовые переходы I рода // Успехи физических наук. — 1968. — Т. 96, № 10. — С. 291—325.

31. Завадский Э. А., Вальков В. И. Магнитные фазовые переходы. — Наук. думка, 1980.

32. Белов К. П. Ориентационные переходы в редкоземельных магнетиках. — Наука, 1979.

33. Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика. Статистическая физика. — 1951.

34. Гинзбург В. Несколько замечаний о фазовых переходах второго рода и микроскопической теории сегнетоэлектриков // ФТТ. — 1960. — Т. 2, № 9. — С. 2031.

35. Fisher M. E. The theory of equilibrium critical phenomena // Reports on progress in physics. — 1967. — Vol. 30, no. 2. — P. 615.

36. Ландау Л., Лифшиц Е. Теоретическая физика. Том V. Статистическая физика: Часть 1 // книга. — 1976.

37. Прудников В. В., Прудников П., Вакилов А. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем // Физматлит, М. — 2013.

38. Паташинский П. Флуктуационная теория фазовых переходов. — 1982.

39. Huang K. Statistical Mechanics, John Wily & Sons // New York. — 1963.

40. Isihara A. Statistical Physics, State University of New York, Buffalo. — 1971.

41. Brush S. G. History of the Lenz-Ising model // Reviews of modern physics. — 1967. — Vol. 39, no. 4. — P. 883.

42. Niss M. History of the Lenz-Ising model 1920-1950: from ferromagnetic to cooperative phenomena // Archive for history of exact sciences. — 2005. — Vol. 59, no. 3.—P. 267-318.

43. Niss M. History of the Lenz-Ising Model 1950-1965: from irrelevance to relevance // Archive for history of exact sciences. — 2009. — Vol. 63, no. 3. — P. 243-287.

44. Niss M. History of the Lenz-Ising Model 1965-1971: the role of a simple model in understanding critical phenomena // Archive for history of exact sciences. — 2011. —Vol. 65, no. 6.—P. 625-658.

45. Залманович М. Е. Трагическая и счастливая жизнь Эрнста Изинга // Природа. — 2006. — № 7.

46. Interplay of frustrations, interaction length, and dilution on magnetic transitions in vector models / P. D. Andriushchenko [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 936. — IOP Publishing. 2017. — P. 012081.

47. Andriushchenko P. D., Nefedev K. V. Order parameter in short-range and longrange Ising finite feromagnetic models // Solid State Phenomena. Vol. 247. — Trans TechPubl. 2016. — P. 153-157.

48. Andriushchenko P. D., Nefedev K. V. Magnetic phase transformations in the Ising model // International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA). — IEEE. 2014. — P. 9-10.

49. Nefedev K. V., Andriuschenko P. D. Order-disorder transitions in the Ising model // International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA). — IEEE. 2014. — P. 126-127.

50. Andriushchenko P. D., Nefedev K. V. Magnetic phase transitions in the lattice Ising model // Advanced Materials Research. Vol. 718. — Trans Tech Publ. 2013.—P. 166-171.

51. Baxter R. J., WuF. Exact solution of an Ising model with three-spin interactions on a triangular lattice // Physical Review Letters. — 1973. — Vol. 31, no. 21. — P. 1294.

52. Kac M. Mathematical mechanisms of phase transitions: tech. rep. / Rockefeller Univ., New York. — 1969.

53. Nishimori H. Statistical physics of spin glasses and information processing: an introduction. Vol. 111. — Clarendon Press, 2001.

54. Kochmanski M., Paszkiewicz T., Wolski S. Curie-Weiss magnet—a simple model of phase transition // European Journal of Physics. — 2013. — Vol. 34, no. 6. — P. 1555.

55. Киттель Ч. Статистическая термодинамика. Т. 5. — М.: наука, 1977.

56. Andrews G. E. The theory of partitions. — Cambridge university press, 1998.

57. ЭндрюсД. Теория разбиений. — 1982.

58. Гульден Я. П., Джексон Д., Тараканов В. Е. Перечислительная комбинаторика: Пер. с англ. — Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

59. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. — Рипол Классик, 1990.

60. Graham R. L., Knuth D. E., Patashnik O. Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. 2nd. — 1994.

61. Gould H., Tobochnik J.Statistical and thermal physics: with computer applications. — Princeton University Press, 2010.

62. Thermal ground-state ordering and elementary excitations in artificial magnetic square ice / J. P. Morgan [et al.] // Nature Physics. — 2011. — Vol. 7, no. 1. — P. 75-79.

63. Thermal fluctuations in artificial spin ice / V. Kapaklis [et al.] // Nature nan-otechnology. — 2014. — Vol. 9, no. 7. — P. 514-519.

64. Reducing disorder in artificial kagome ice / S. A. Daunheimer [et al.] // Physical review letters. — 2011. — Vol. 107, no. 16. — P. 167201.

65. Real and effective thermal equilibrium in artificial square spin ices / J. P. Morgan [et al.] // Physical Review B. — 2013. — Vol. 87, no. 2. — P. 024405.

66. AhlbergM., Andersson G., Hjorvarsson B. Two-dimensional XY-like amorphous Co 68 Fe 24 Zr 8/Al 70 Zr 30 multilayers // Physical Review B. — 2011. — Vol. 83, no. 22. —P. 224404.

67. Vasin M. Description of the paramagnet-spin glass transition in the EdwardsAnderson model using critical-dynamics methods // Theoretical and Mathematical Physics. — 2006. — Vol. 147. — P. 721-728.

68. S.L.Ginzburg. Irreversible Phenomena in Spin Glasses. — Nauka; Moscow, 1989. — in Russian.

69. Nagaev E. L. Lanthanum manganites and other giant-magnetoresistance magnetic conductors // Physics-Uspekhi. — 1996. — Vol. 39, no. 8. — P. 781-805.

70. Nagaev E. Colossal-magnetoresistance materials: manganites and conventional ferromagnetic semiconductors // Physics Reports. — 2001. — Vol. 346, no. 6. — P. 387-531.

71. Gorkov L. P, Kresin V. Z. Mixed-valence manganites: fundamentals and main properties // Physics Reports. — 2004. — Vol. 400, no. 3. — P. 149-208.

72. Ferromagnetic tendency at the surface of CE-type charge-ordered manganites / S. Dong [et al.] // Phys. Rev. B. — 2008. — Vol. 78, issue 6. — P. 064414.

73. Нефедев К. В. Коллективные явления в магнитных наносистемах [Текст] : дис. ... канд. физико-математических наук : 01.04.02 / Нефедев Константин Валентинович. — Владивосток, 2012. — 206 с.

74. Baxter R. J. Exactly solved models in statistical mechanics. — Elsevier, 1982.

75. Superparamagnetism in the 1D Ising model / V. Belokon' [et al.] // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. — 2010. — Vol. 74, no. 10. —P. 14131416.

76. Belokon V., Nefedev K. Magnetic ordering in 1D and 2D models of finite number Ising spins systems // Russian Physics Journal. — 2010. — Vol. 3, no. 2. — P. 19-23.

77. Binder K. Finite size scaling analysis of Ising model block distribution functions // Zeitschrift für Physik B Condensed Matter. — 1981. — Vol. 43, no. 2. — P. 119-140.

78. A new look on the two-dimensional Ising model: thermal artificial spins / U. B. Arnalds [et al.] // New Journal of Physics. — 2016. — Vol. 18, no. 2. — P. 023008.

79. Landau L. D., Lifshitz E. M. and Pitaevskii L. P. Statistical physics / by L.D. Landau and E.M. Lifshitz ; translated from the Russian by J.B. Sykes and M.J. Kearsley. — 3d rev. and enl. ed. — Oxford; New York: Pergamon Press, 1980. — Translation of Statisticheskaia fizika.

80. Newman M. E. J., Barkema G. T. Monte Carlo methods in statistical physics / M.E.J. Newman and G.T. Barkema. — Oxford : Clarendon Press, 1999.

81. Onsager L. Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an OrderDisorder Transition // Phys. Rev. — 1944. — Feb. — Vol. 65. — P. 117-149.

82. Peretyatko A., Nefedev K., Okabe Y. Interplay of dilution and magnetic field in the nearest-neighbor spin-ice model on the pyrochlore lattice // Physical Review B. — 2017. — Vol. 95, no. 14. — P. 144410.

83. Geometrical frustration in the ferromagnetic pyrochlore Ho 2 Ti 2 O 7 / M. Harris [et al.] // Physical Review Letters. — 1997. — Vol. 79, no. 13. — P. 2554.

84. Ramirez A. AP Ramirez, A. Hayashi, RJ Cava, R. Siddharthan, and BS Shastry, Nature (London) 399, 333 (1999). // Nature (London). — 1999. — Vol. 399. — P. 333.

85. Pauling L. L. Pauling, J. Am. Chem. Soc. 57, 2680 (1935). // J. Am. Chem. Soc. — 1935. — Vol. 57. — P. 2680.

86. Bramwell S. ST Bramwell and MJP Gingras, Science 294, 1495 (2001). // Science. — 2001. — Vol. 294. — P. 1495.

87. Frustrated Spin Systems / S. Bramwell [et al.] // Frustrated spin systems, HT Diep, Ed. World Scientific. — 2004.

88. Harris M. MJ Harris, ST Bramwell, PCW Holdsworth, and JDM Champion, Phys. Rev. Lett. 81, 4496 (1998). // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 81. — P. 4496.

89. Moessner R., Sondhi S. Three-dimensional resonating-valence-bond liquids and their excitations // Physical Review B. — 2003. — Vol. 68, no. 18. — P. 184512.

90. Magnetization curve of spin ice in a [111] magnetic field / S. Isakov [et al.] // Physical Review B. — 2004. — Vol. 70, no. 10. — P. 104418.

91. Matsuhira K. K. Matsuhira, Z. Hiroi, T. Tayama, S. Takagi, and T. Sakakibara, J. Phys. Condens. Matter 14,L559 (2002). //J. Phys.: Condens. Matter. — 2002. — Vol. 14. — P. L559.

92. Hiroi Z. Z. Hiroi, K. Matsuhira, S. Takagi, T. Tayama, and T. Sakakibara, J. Phys. Soc. Jpn. 72, 411 (2002). // J. Phys. Soc. Jpn. — 2002. — Vol. 72. — P. 411.

93. Observation of a Liquid-Gas-Type Transition in the Pyrochlore Spin Ice Compound Dy2Ti2O7ina Magnetic Field / T. Sakakibara [et al.] // Physical review letters. — 2003. — Vol. 90, no. 20. — P. 207205.

94. Higashinaka R., Fukazawa H., Maeno Y. Anisotropic release of the residual zero-point entropy in the spin ice compound Dy 2 Ti 2 O 7: Kagome ice behavior // Physical Review B. — 2003. — Vol. 68, no. 1. — P. 014415.

95. Magnetic anisotropy of the spin-ice compound Dy 2 Ti 2 O 7 / H. Fukazawa [et al.] // Physical Review B. — 2002. — Vol. 65, no. 5. — P. 054410.

96. KeX. X. Ke, RS Freitas, BG Ueland, GC Lau, ML Dahlberg, RJ Cava, R. Moessner, and P. Schiffer, Phys. Rev. Lett. 99, 137203 (2007). // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99. — P. 137203.

97. Lin T., KeX. T. Lin, X. Ke, M. Thesberg, P. Schiffer, RG Melko, and MJP Gingras, Nonmonotonic residual entropy in diluted spin ice: A comparison between Monte Carlo simulations of diluted dipolar spin ice models and experimental results, Phys. Rev. B 90, 214433 (2014). // Phys. Rev. B. — 2014. — Vol. 90. — P. 214433.

98. Suppression of Pauling's residual entropy in the dilute spin ice (Dy 1- x Y x) 2 Ti 2 O 7 / S. Scharffe [et al.] // Physical Review B. — 2015. — Vol. 92, no. 18. — P. 180405.

99. Peretyatko A., Nefedev K., Okabe Y. Interplay of dilution and magnetic field in the nearest-neighbor spin-ice model on the pyrochlore lattice // Physical Review B. — 2017. — Vol. 95, no. 14. — P. 144410.

100. Wang F., Landau D. Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states // Physical review letters. — 2001. — Vol. 86, no. 10. — P. 2050.

101. Wang F., Landau D. Determining the density of states for classical statistical models: A random walk algorithm to produce a flat histogram // Physical Review E. — 2001. — Vol. 64, no. 5.—P. 056101.

102. Shevchenko Y., Nefedev K., Okabe Y. Entropy of diluted antiferromagnetic Ising models on frustrated lattices using the Wang-Landau method // Physical Review E. — 2017. — Vol. 95, no. 5. — P. 052132.

103. Isakov S. V., Moessner R., Sondhi S. Why spin ice obeys the ice rules // Physical review letters. — 2005. — Vol. 95, no. 21. — P. 217201.

104. Шевченко Ю. А. Термодинамические свойства фрустрированных спиновых систем [Текст]: дис. ... канд. физико-математических наук : 01.04.02/Шевченко Юрий Андреевич. — Владивосток, 2017. — 115 с.

105. Thermodynamics of the classical spin-ice model with nearest neighbour interactions using the Wang-Landau algorithm / M. V. Ferreyra [et al.] // The European Physical Journal B. — 2016. — Vol. 89, no. 2. — P. 51.

106. Avoiding boundary effects in Wang-Landau sampling / B. Schulz [et al.] // Physical Review E. — 2003. — Vol. 67, no. 6. — P. 067102.

107. Berg B. A., Hansmann U. E., Celik T. Ground-state properties of the three-dimensional Ising spin glass//Physical Review B.— 1994. — Vol. 50, no. 22.— P. 16444.

108. Zhou C., Bhatt R. Understanding and improving the Wang-Landau algorithm // Physical Review E. — 2005. — Vol. 72, no. 2. — P. 025701.

109. Lee H. K., Okabe Y., Landau D. Convergence and refinement of the WangLandau algorithm // Computer physics communications. — 2006. — Vol. 175, no. 1.—P. 36-40.

110. Belardinelli R., Pereyra V. Fast algorithm to calculate density of states // Physical Review E. — 2007. — Vol. 75, no. 4. — P. 046701.

111. Belardinelli R., Manzi S., Pereyra V. Analysis of the convergence of the 1/ t and Wang-Landau algorithms in the calculation of multidimensional integrals // Physical Review E. — 2008. — Vol. 78, no. 6. — P. 067701.

112. Okabe Y., Tomita Y., Yamaguchi C. Application of new Monte Carlo algorithms to random spin systems // Computer physics communications. — 2002. — Vol. 146, no. 1.—P. 63-68.

113. Udagawa M., Ogata M., Hiroi Z. Exact result of ground-state entropy for Ising pyrochlore magnets under a magnetic field along [111] axis // Journal of the Physical Society of Japan. — 2002. — Vol. 71, no. 10. — P. 2365-2368.

114. Nagle J. F. New series-expansion method for the dimer problem // Physical Review. — 1966. — Vol. 152, no. 1. — P. 190.

115. Yao X. Dilute modulation of spin frustration in triangular Ising antiferromagnetic model: Wang-Landau simulation // Solid State Communications. — 2010. — Vol. 150, no. 3/4. — P. 160-163.

116. Zukovic M., Borovsky M., Bobak A. Phase diagram of a diluted triangular lattice Ising antiferromagnet in a field // Physics Letters A. — 2010. — Vol. 374, no. 41.—P. 4260-4264.

117. Andriushchenko P. D., Nefedev K. V., Stepanov G. V. Calculations of magne-toactive elastomer reactions in a uniform external magnetic field // The European Physical Journal B. — 2014. — Vol. 87, no. 1. — P. 1-6.

118. Usachev V. V., Andriushchenko P. D., Afremov L. L. Simulation of deformations in magnetic media by the movable cellular automata method // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 633. — IOP Publishing. 2015. — P. 012018.

119. Andriushchenko P. D., Afremov L. L., Chernova M. A. Modeling of magnetostriction of soft elastomer // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 490. — IOP Publishing. 2014. — P. 012168.

120. Andriushenko P. D., Afremov L. L., Chernova M. A. Simulation of the motion of magnetic nanoparticles in human tissues // Solid State Phenomena. Vol. 215. — Trans Tech Publ. 2014. — P. 284-287.

121. Моделирование магнитоактивных эластомеров для разработки демпфирующих элементов управляемого бампера транспортного средства / Р. Боков [и др.] // Журнал Автомобильных Инженеров. — 2013. — Т. 1, № 78. — С. 22—25.

122. Vaz C., Bland JLauhoff G. Magnetism in ultrathin film structures // Reports on Progress in Physics. — 2008. — Vol. 71, no. 5. — P. 056501.

123. Toulouse G. Theory of the frustration effect in spin glasses: I // Commun. Phys. — 1977. — Vol. 2. — P. 115-119.

124. Vannimenus J., Toulouse G. Theory of the frustration effect. II. Ising spins on a square lattice // Journal of Physics C: Solid State Physics. — 1977. — Vol. 10, no. 18. — P.L537.

125. Wannier G. Antiferromagnetism. the triangular ising net // Physical Review. —

1950. — Vol. 79, no. 2. — P. 357.

126. Wannier G. Antiferromagnetism. the triangular ising net//Physical Review B. — 1973. —Vol. 7, no. 11.—P. 5017.

127. Syozi I. Statistics of kagome lattice // Progress of Theoretical Physics. —

1951. —Vol. 6, no. 3.—P. 306-308.

128. Balents L. Spin liquids in frustrated magnets // Nature. — 2010. — Vol. 464, no. 7286.—P. 199.

129. Ramirez A. Strongly geometrically frustrated magnets // Annual Review of Materials Science. — 1994. — Vol. 24, no. 1. — P. 453-480.

130. Binder K. K. Binder and AP Young, Rev. Mod. Phys. 58, 801 (1986). // Rev. Mod. Phys. — 1986. — Vol. 58. — P. 801.

131. Mol L., Pereira A., Moura-Melo W. Extending spin ice concepts to another geometry: The artificial triangular spin ice // Physical Review B. — 2012. — Vol. 85, no. 18.—P. 184410.

132. Shevchenko Y., Makarov A., Nefedev K. Effect of long-and short-range interactions on the thermodynamics of dipolar spin ice // Physics Letters A. — 2017. — Vol. 381, no. 5. — P. 428-434.

133. Nefedev K., Ivanov Y., Peretyatko A. Methods and Tools of Parallel Programming Multicomputers: Second Russia-Taiwan Symposium, MTPP 2010, Vladivostok, Russia, 2010 // Revised Selected Papers. — 2010. — Vol. 6083. — P. 260.

134. Magnetization reversal of nanodots with different magnetic anisotropy and mag-netostatic energy / Y. Ivanov [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 266. — IOP Publishing. 2011. — P. 012117.

135. Magnetic states of nanodot arrays. physical and numerical experiments / K. Nefedev [et al.] // Solid State Phenomena. Vol. 168. — Trans Tech Publ. 2011.—P. 325-328.

136. Nisoli C., Moessner R., Schiffer P. Colloquium: Artificial spin ice: Designing and imaging magnetic frustration // Reviews of Modern Physics. — 2013. — Vol. 85, no. 4.—P. 1473.

137. Artificial kagome arrays of nanomagnets: a frozen dipolar spin ice / N. Rouge-maille [et al.] // Physical Review Letters. — 2011. — Vol. 106, no. 5. — P. 057209.

138. Wilson K. G. Confinement of quarks // Physical Review D. — 1974. — Vol. 10, no. 8.—P. 2445.

139. Deng H., Gong X. Adaptive tuned vibration absorber based on magnetorheologi-cal elastomer // Journal of intelligent material systems and structures. — 2007. — Vol. 18, no. 12. —P. 1205-1210.

140. Zhou G. Y., Wang Q. A linear time-variant system for signal modulation by use of magnetorheological elastomer-suspended beams // Smart Materials and Structures. —2005. —Vol. 14, no. 6. — P. 1154. — URL: http://stacks.iop.org/0964-1726/14/i=6/a=008.

141. Шульман 3. П., Кордонский В. И. Магнитореологический эффект. — Наука и техника, 1982. — 184 с.

142. Райхер Ю. Л., Столбов О. В. Моделирование магнитострикционных деформаций в мягких магнитных эластомерах // Вычислительная механика сплошных сред. — 2009. — Т. 2, № 2. — С. 85—95.

143. X-ray micro-tomographic characterization of field-structured magnetorheological elastomers / D. Günther [et al.] // Smart Materials and Structures. — 2011. — Vol. 21, no. 1.—P. 015005.

144. Magnetic separation techniques in diagnostic microbiology. / O. Olsvik [et al.] // Clinical microbiology reviews. — 1994. — Vol. 7, no. 1. —P. 43-54.

145. Preparation and magnetometric characterization of iron oxide-containing algi-nate/poly (vinyl alcohol) networks / Y. Nishio [et al.] // Polymer. — 2004. — Vol. 45, no. 21. — P. 7129-7136.

146. In situ synthesis and magnetic studies of iron oxide nanoparticles in calcium-alginate matrix for biomedical applications / M. Morales [et al.] // Materials Science and Engineering: C. — 2008. — Vol. 28, no. 2. — P. 253-257.

147. Finite-element modeling of the deformation of a thin magnetoelastic film compared to a membrane model / M. I. Barham [et al.] // Magnetics, IEEE Transactions on. — 2009. — Vol. 45, no. 10. — P. 4124-4127.

148. Novel highly elastic magnetic materials for dampers and seals: Part I. Preparation and characterization of the elastic materials / S. Abramchuk [et al.] // Polymers for Advanced Technologies. — 2007. — Vol. 18, no. 11. — P. 883-890.

149. Boczkowska A., Awietjan S. Microstructure and Properties of Magnetorheolog-ical Elastomers, Advanced Elastomers - Technology, Properties and Applications. — InTech, 2012.

150. Ginder J., Davis L. Shear stresses in magnetorheological fluids: Role of magnetic saturation // Applied Physics Letters. — 1994. — Vol. 65, no. 26. — P. 34103412.

151. Jolly M., Carlson J., Munoz B. A model of the behaviour of magnetorheological materials // Smart Materials and Structures. — 1996. — Vol. 5, no. 5. — P. 607. — URL: http://stacks.iop.org/0964-1726/5/i=5/a=009.

152. Davis L. Model of magnetorheological elastomers // Journal of Applied Physics. — 1999. — Vol. 85, no. 6. — P. 3348-3351.

153. Chen L., Gong X., Li W Microstructures and viscoelastic properties of anisotropic magnetorheological elastomers // Smart Materials and Structures. — 2007. — Vol. 16, no. 6. — P. 2645.

154. Chen L., Jerrams S. A rheological model of the dynamic behavior of magnetorheological elastomers // Journal of Applied Physics. — 2011. — Vol. 110, no. 1.—P. 013513-013513.

155. Strong magnetodielectric effects in magnetorheological elastomers / A. S. Semisalova [et al.]//Soft Matter. — 2013. — Vol. 9, no. 47.—P. 1131811324.

156. Kovtanyuk A. E., Botkin N. D., Hoffmann K.-H. Numerical simulations of a coupled radiative-conductive heat transfer model using a modified Monte Carlo method // International Journal of Heat and Mass Transfer. — 2012. — Vol. 55, no. 4. — P. 649-654.

157. Kovtanyuk A., Nefedev K., Prokhorov I. Advanced computing method for solving of the polarized-radiation transfer equation // Methods and Tools of Parallel Programming Multicomputer. — Springer, 2011. — P. 268-276.

158. Novel highly elastic magnetic materials for dampers and seals: Part I. Preparation and characterization of the elastic materials / S. Abramchuk [et al.] // Polymers for Advanced Technologies. — 2007. — Vol. 18, no. 11. — P. 883-890.

Список рисунков

2.1 Распределение степеней вырождения конфигураций по спиновому избытку для одномерной модели Изинга размером N =10 (рис.2.4 в

[55])......................................28

2.2 Системы с одним перевернутым (а) и с пятью перевернутыми (б)

рядом стоящими спинами «вверх» имеют одну и ту же энергию Egs + 4 J 31

2.3 Вероятность состояний при температуре kBT/J = 0.1, kBT/J = 1 и

kBT/ J =10 для одномерной модели Изинга с 10 спинами........37

2.4 Вероятность состояний при температуре kBT/J = 0.1, kBT/J = 1 и

kBT/ J =10 для модели КВ с 10 спинами.................37

2.5 Пример расчета кластерного параметра порядка для ферромагнетика (J > 0) одномерной цепочки Изинга с двумя ближайшими соседями. В зависимости от энергии взаимодействия (—2,0,2) каждый спин в цепочке обозначен своим цветом (синий, зеленый и красный), соответственно. Отношение спинов в основном состоянии (с энергией —2) в максимальном кластере (красный прямоугольник) к общему числу спинов в системе есть параметр порядка ух. В этом примере число спинов в основном состоянии в максимальном

кластере 7, п = 23, ух = 7/23 « 0.3....................39

2.6 Одномерная модель Изинга с двумя ближайшими соседями и ПГУ . . 40

2.7 Температурная зависимость среднеквадратичной намагниченности

(Ы2) и теплоемкости на спин С/квТ системы с N = 106........41

2.8 Температурная зависимость среднего модуля намагниченности (а) и теплоемкости (б) в зависимости от размера системы для N = 100,

300, 500 и 1000 одномерной модели с двумя ближайшими соседями . . 42

2.9 Температурное поведение кластерного параметра порядка (71) и среднего модуля намагниченности одномерной модели Изинга N = 1000) с двумя ближайшими соседями и ПГУ. а) Синим цветом обозначен (\М\) ферромагнитной модели с , > 0, зеленым - (\М\) антиферромагнитной модели с , < 0, оранжевым - (у1) (одинаков для обоих моделей). б) Синим обозначен (\М\) модели со знакопеременным обменным интегралом, оранжевым - тот же (у1)

для этой модели................................43

2.10 Кумулянты Биндера иь среднего модуля намагниченности (\М\) (а) и кластерного параметра порядка (у1) (б) одномерной модели Изинга с двумя ближайшими соседями........................43

2.11 Одномерная модель Изинга с тремя ближайшими соседями и ПГУ ... 44

2.12 Температурная зависимость среднего модуля намагниченности (а) и теплоемкости (б) в зависимости от размера системы для N = 100,

300, 500 и 1000 одномерной модели с тремя ближайшими соседями . . 45

2.13 Температурное поведение кластерного параметра порядка (у1) и

среднего модуля намагниченности одномерной модели Изинга (1000 спинов) с тремя ближайшими соседями и ПГУ. а) Синим обозначен (\М\) ферромагнитной модели с , > 0, зеленым - (\М\) антиферромагнитной модели с , < 0, оранжевым - (у1) (одинаков для обоих моделей). б) Синим обозначен (|М|) модели со знакопеременным обменным интегралом, оранжевым - тот же (у1)

для этой модели................................ 45

2.14 Кумулянты Биндера иь среднего модуля намагниченности (\М\) (а) и кластерного параметра порядка (у1) (б) одномерной модели Изинга с тремя ближайшими соседями........................46

2.15 Одномерная модель Изинга с четырьмя ближайшими соседями и ПГУ 47

2.16 Температурная зависимость среднего модуля намагниченности (\М\) (а) и теплоемкости (б) в зависимости от размера системы для

N = 100, 300, 500 и 1000 одномерной модели с четырьмя

ближайшими соседями ........................... 47

2.17 Температурное поведение кластерного параметра порядка (ух) и

среднего модуля намагниченности ( Ы ) одномерной модели Изинга (1000 спинов) с четырьмя ближайшими соседями и ПГУ а) Синим обозначен ( | Ы | ) ферромагнитной модели с ,1 > 0, зеленым - ( | Ы | ) модели с 3^ > 0 и , < 0, оранжевым - КПП (одинаков для обоих моделей). б) Оранжевым обозначен (у2) для фрустрированных систем с отрицательным обменным интегралом , < 0 и для модели со знакопеременным обменным интегралом 3^ < 0, , > 0. Синим

обозначен (М|) этих моделей........................48

2.18 Кумулянты Биндера иь среднего модуля намагниченности (М|) (а) и кластерного параметра порядка (ух) (б) одномерной модели Изинга с четырьмя ближайшими соседями......................49

2.19 Фрустрации в одномерной модели Изинга с четырьмя ближайшими соседями в модели антиферромагнетика с 3 < 0 (а) и в модели со знакопеременный обменным взаимодействием 3^ < 0 и 3У > 0 (б). . . 49

2.20 ) - средняя намагниченность бесконечной модели, (Ы2*х05) -

средняя намагниченность модели с 2 * 105 спинов, (ух) - средний размер термодинамического кластера с наименьшим значением энергии (GS) по всем конфигурациям, (у2) - средний размер термодинамического кластера со спинами, имеющими отрицательную энергию взаимодействия, (у3) - средний термодинамический кластер, состоящий из спинов, имеющих

минимальную энергии в текущей конфигурации (не только GS).....50

2.21 Температурная зависимость среднего модуля намагниченности (М|) (а) и теплоемкости (б) в зависимости от размера системы для двумерной ферромагнитной (3 > 0) модели Изинга на простой квадратной решетке.............................. 52

2.22 Температурные зависимости СМН, КПП (ух) и (у2). Все значения представлены в приведенных единицах. ФМ - ферромагнетик, АФМ -антиферромагнетик, СПМ - суперпарамагнетик (кластерный ФМ),

ПМ - парамагнетик..............................53

2.23 Кумулянты Биндера иь среднего модуля намагниченности (М|) (а) и кластерного параметра порядка (ух) (б) двумерной модели Изинга. . . 53

2.24 Кумулянт Биндера иь кластерного параметра порядка (у2)

двумерной модели Изинга..........................54

2.25 Температурная зависимость относительного размера перколяционного кластера (у1) и (у2). ПМ - парамагнетик, СС -спиновое стекло................................ 56

2.26 Элементарная 16-узельная ячейка решетки пирохлора. Спины на противоположных границах продублированы для большей наглядности (рис. 1.5 в [104])........................60

2.27 Схематическое изображение кагоме (а) и треугольной (б) решеток . . . 61

2.28 Логарифм кратности вырождения энергии 1п С(Е) модели Изинга на решетке пирохлора для некоторых значений магнитного поля Н. Размер системы составляет Ь = 5 (Ж = 2000). ПВС пространства конфигураций с положительной псевдоспиновой намагниченностью С+(Е) и с отрицательной псевдоспиновой намагниченностью С-(Е) отображены пунктирной и сплошной линией, соответственно. Основные состояния обведены кружком..................65

2.29 Сравнение теории и численных расчетов (Ь = 5) методом ВЛ. Намагниченность основного состояния и остаточная энтропия на спин в зависимости от Н/, для АФМ модели Изинга на решетке пирохлора...................................66

2.30 Зависимость значений остаточной энтропии на спин для «чистой» модели Изинга на решетке пирохлора во внешнем поле от числа спинов 1/Ж2/3 (Ж = ). Ь = 3 (Ж = 432), Ь = 4 (Ж = 1024), Ь = 5 (Ж = 2000) и Ь = 6 (Ж = 3456). Значения для состояния «кагоме-льда» изображены синими точками, а для критического магнитного поля (Н/, = 6) - красными. Точное теоретическое значение для состояния «кагоме-льда» [89; 113] и оценка для Нс аппроксимацией Бете [90; 114] представлены синей и красной стрелками соответственно..........................67

2.31 Сравнение результатов теории и численных расчетов (Ь = 48). Намагниченности основного состояния и остаточная энтропии в зависимости от Н/ , для АФМ модели Изинга на кагоме решетке. ... 68

2.32 Сравнение теоретических результатов и численных расчетов (Ь = 48). Намагниченности основного состояния и остаточная энтропии в зависимости от Н/, для АФМ модели Изинга на треугольной решетке.............................68

2.33 Зависимость намагниченности основного состояния на спин (слева) и остаточной энтропии (справа) от магнитного поля h АФМ модели Изинга на решетке пирохлора. Магнитное поле приложено в [111] направлении. Размер системы L = 5 (N = 2000). Концентрация разбавления ж = 0.0, 0.2, 0.4, 0.6 и 0.8....................69

2.34 Зависимость намагниченности основного состояния на спин (слева) и остаточной энтропии (справа) от магнитного поля (h) АФМ модели Изинга на кагоме решетке. Размер системы L = 48 (N = 3456). Концентрация разбавления х = 0.0, 0.2, 0.4, 0.6 и 0.8...........71

2.35 Зависимость намагниченности основного состояния на спин (слева) и остаточной энтропии (справа) от магнитного поля (h) АФМ модели Изинга на треугольной решетке. Размер системы L = 48 (N = 2304). Концентрация разбавления х = 0.0, 0.2, 0.4, 0.6 и 0.8...........72

3.1 Примеры основных состояний искусственного дипольного

спинового льда на треугольной решетке (а) и решетке кагоме (б). . . . 81

3.2 Гипотеза о конфигурациях основного состояния гексагональной решетки....................................82

3.3 Пример простой квадратной решетки с ферромагнитными (+) связями (а). Все связи вокруг центрального спина сделаны антиферромагнитными (-) (б). Фрустрированная конфигурация связей, при которой не существует способа привести систему в настоящий минимум энергии. (рис. 1 и 2 в [123]) ............. 83

3.4 Пример простейшей фрустрированной антиферромагнитной модели Изинга на треугольной решетке ...................... 84

3.5 Зависимость параметра фрустрированности pf от обратного

количества частиц 1/N для гексагональной, кагоме и треугольной решеток. Во всех системах магнитные моменты взаимодействуют диполь-дипольно без ограничения радиуса взаимодействия (ДД -дальнодействие), либо с ограниченным радиусом взаимодействия до ближайших соседей (первая координационная сфера, БД -близкодействие). Параметр фрустрации р/ при N ^ ж для гексагональной решетки с ДД стремится к значению 0.341584, для БД к 0.316789, для треугольной с ДД стремится к значению 0.246833, а для кагоме решетки к 0.16442 ....................... 86

3.6 Схематичное изображение образца гексагонального спинового льда в форме а) гексагона, б) квадратного образца................. 87

3.7 Температурное поведение теплоемкости гексагонального спинового

льда (квадратный образец) при ДД (а) и при БД (б)............87

3.8 Температурное поведение теплоемкости гексагонального спинового

льда (гексагональный образец) при ДД(а) и при БД (б)..........88

3.9 Сравнение роста пиков теплоемкости в зависимости от числа частиц в системе для моделей гексагональной решетки образцов квадратной и гексагональной формы. При N ^ ж для ДД температурное поведение теплоемкости обнаруживает сингулярность, второй пик стремится к 0.133 Б/кв, а при БД пик теплоемкости стремится к

0.119 Б/кв................................... 89

3.10 Микроструктура магнитоактивного эластомера: изотропная (слева) и анизотропная (справа) [121].........................92

3.11 а) Пример модели кубического образца с 1000 частиц и длинной каждой стороны 0.06 см. б) Изображение образца, полученное сканирующем электронным микроскопом (рис. 1 в [155]).........93

3.12 Распределение магнитных частиц по диаметру в образце, среднее значение А = 1 мкм., дисперсия а =1/2 мкм...............96

3.13 Схематическое изображение деформации образца. (1) — (4) -магнитные частицы в образце, а) начальное состояние, б) деформированное состояние......................... 97

3.14 Схема параллельного алгоритма расчета равновесия...........98

3.15 Зависимость удлинения образца с объемной концентрацией магнитных частиц 20% от внешнего магнитного поля при разных значениях постоянного модуля упругости к (см. подпись, где значения к в Дин/см) [158], намагниченность насыщения 1а = 500 Эрг/(Гс*см3).................................100

3.16 Зависимость удлинения образца от величины внешнего магнитного поля при различных объемных концентрациях магнитных частиц (модуль упругости к = 200 Дин/см, намагниченность насыщения

1а = 500 Эрг/(Гс*см3))............................100

Список таблиц

1 Кратность вырождения конфигураций по энергии и спиновому избытку для системы из 10 спинов С(10,а,Е) одномерной модели Изинга.....................................29

2 Кратность вырождения С(N,5,1) при а = 5................33

3 Вырождение конфигураций по энергии и спиновому избытку для системы из 10 спинов модели КВ......................35