Термодинамические состояния дипольных макроспиновых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Макаров Александр Геннадьевич

• Макаров Александр Геннадьевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Макаров Александр Геннадьевич

Введение

Глава 1. Методы численных расчетов

1.1 Алгоритм Метрополиса

1.2 Репличный Монте-Карло обмен

1.3 Алгоритм Ванга—Ландау

1.4 Выводы

Глава 2. Численные расчеты спиновых систем

2.1 Магнитные состояния неупорядоченных 2D и 3D систем

точечных диполей

2.1.1 Случайно распределенные диполи на плоскости

2.1.2 Случайно распределенные диполи в объеме

2.2 Искусственные массивы спинового льда

2.2.1 Дипольная модель искусственного макроспинового льда

2.2.2 Квадратный спиновый лед

2.2.3 Кластеризация квадратного спинового льда

2.3 Спиновый снег

2.4 Выводы

Глава 3. Гибридное Монте-Карло

3.1 Гибридный мультиспиновый алгоритм

3.2 Теплоемкость и восприимчивость двумерной квадратной

решетки модели Изинга

3.3 Параметр фрустраций на примере гексагонального спинового льда

3.4 Выводы

Глава 4. Перемагничивание квази- и периодически упорядоченных

структур

4.1 Наноархитектуры и методы исследования

Стр.

4.1.1 Двумерные периодические и квазипериодические наноархитектуры

4.1.2 Экспериментальные методы

4.1.3 Размагничивающее поле одиночной нанонити

4.1.4 Микромагнитное моделирование одной нанонити

4.2 Результаты физических экспериментов

4.2.1 Измерение продольного магнитооптического эффекта Керра

4.2.2 Внутренние поля в периодических и квазипериодических структурах нанонитей

4.2.3 Поле переключения — теория и эксперимент

4.3 Монте-Карло численные расчеты процесса обращения намагниченности цепочек макроспинов в модели Изинга

4.4 Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Алгоритм распределения магнитных частиц

Список сокращений и условных обозначений

ВЛ, WL МК, MC ММ, MS РВС, DOS ИСС, ASS ИСЛ, ASI ИКСЛ, ASSI

ОС, GS ФМ, FM АФМ, AFM МСМ, MFM PEEM

XMCD L-MOKE

СЭМ, SEM

алгоритм Ванга-Ландау, Wang and Landau algorithm алгоритм Монте-Карло, Monte Carlo algorithm микромагнитное моделирование, micromagnetic simulation распределение вероятности состояний, density of states искусственные спиновые системы, artificial spin systems искусственный спиновый лед, artificial spin ice искусственный квадратный спиновый лед, artificial square spin ice

основное состояние, ground state ферромагнетик, ferromagnetic антиферромагнетик, antiferromagnetic

магнитно-силовая микроскопия, Magnetic Force Microscopy фотоэмиссионная электронная микроскопия, Photoemission Electron Microscopy

рентгеновский магнитный круговой дихроизм, X-Ray Magnetic Circular Dichroism

продольный магнитооптический эффект Керра, Longitudinal Magneto Optical Kerr Effect

сканирующая электронная микроскопия, Scanning Electron Microscopy

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Термодинамические состояния дипольных макроспиновых систем»

Введение

В работе рассматриваются термодинамические состояния равновесных макроспиновых систем. Такие дипольные системы можно условно разделить на подгруппы искусственного и естественного происхождения. Здесь и далее будет использоваться термин «макроспин», который применяется для сокращенного названия элементарного магнитного диполя.

Одним из интереснейших примеров макроспиновых систем является искусственный спиновый лед - это модельная физическая система однодомен-ных наноостровков, которая исследуется для разработки теории геометрически фрустрированного магнетизма. Взаимодействия между магнитными моментами диполей могут способствовать параллельному или антипараллельному выравниванию магнитных моментов относительно выбранного направления. Дипольные взаимодействия между магнитными моментами обычно малы по сравнению с более важным взаимодействием, которое называют обменным взаимодействием, хотя существуют материалы, такие как макроспиновый лед, где дипольные взаимодействия между магнитными моментами диполей играют значительную роль.

В искусственном спиновом льду обменное взаимодействие выравнивает магнитные моменты атомов внутри наноостровков (макроспинов), поэтому при температуре ниже температуры Кюри магнитные свойства наносистемы определяются диполь-дипольным взаимодействием.

Изучение магнетизма на наноуровне выявляет множество интересных явлений, которые не всегда очевидны на макроскопических уровнях, например фрустрации. Конкуренция между взаимодействиями приводит к сложной и интересной физике.

Актуальность выбранной темы диссертации. Искусственные фруст-рированные системы вызывают сегодня значительный научный интерес и представляют собой новую платформу для изучения фундаментальной физики взаимодействующих систем [1]. Развитие нанотехнологий, которое привело к образованию сложных и экзотических магнитных наноструктур, имитирующих характеристики магнитных фрустраций с возможностью отображения микромагнитных состояний, усилило интерес к этой области исследования [2]. Большой интерес представляет поиск низкоэнергетической конфигурации (основного состояния) в таких системах.

Фрустрированные магнитные системы, такие, как спиновый лед, представляют научный интерес из-за их сильно вырожденных основных состояний, которые приводят к сложному магнитному упорядочению и коллективным свойствам. Искусственно созданные решетки спинового льда предлагают уникальные возможности для контроля и проектирования взаимодействий между элементами, путем выбора геометрии решетки [3].

Создаются новые искусственные геометрии спинового льда, включающие разные решетки, не только периодические, но и апериодические, разные формы магнитов и анизотропии, а также трехмерные структуры, таким образом эта область исследований ограничена только воображением. Также представляет интерес разработка методов изготовления и изучения искусственных спиновых систем с новыми геометриями и комбинациями материалов [4].

Одним из наиболее перспективных возможных применений этих материалов является хранение и обработка информации путем управления их локальными конфигурациями. В связи с этим Ванг и др. сделали важный шаг [5], разработав геометрию решетки, полученную из исходного квадратного искусственного спинового льда, экспериментальная реализация которой позволяет полностью контролировать микросостояния системы. По этой причине система была названа «перезаписываемым» искусственным спиновым льдом [6].

Целью данной работы является исследование термодинамики равновесных фрустрированных систем относительно большого, но конечного числа диполь-дипольно взаимодействующих макроспинов, в рамках векторных моделей с помощью численных расчетов и алгоритмических методов.

Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Исследовать температурное поведение количественной меры фрустраций, установить природу фрустрированного магнетизма.

2. Найти искусственные решетки конечного числа макроспинов, которые показывают необычное температурное поведение теплоемкости и энтропии.

3. Исследовать во внешнем магнитном поле поведение намагниченности одномерных массивов упорядоченных или квазиупорядоченных (последовательность Фибоначчи) макроспинов (вытянутых наночастиц).

Научная новизна:

1. Введено определение универсальной количественной меры фрустраций, которое позволяет охарактеризовать любую модель попарно взаимодействующих многих тел.

2. Введенная количественная мера фрустраций может использоваться для теоретико-экспериментального исследования спиновых льдов экзотических решеток магнетиков.

3. Найдены новые решетки магнитных диполей конечных массивов спинового снега (дипольных магнетиков), которые показывают необычную термодинамику.

4. Исследовано поведение намагниченности во внешнем магнитном поле одномерных массивов макроспинов (вытянутых наночастиц) упорядоченных или квазиупорядоченных (последовательность Фибоначчи).

Практическая значимость подтверждается набором разработанных и зарегистрированных в Роспатенте высокопроизводительных программных комплексов и пакетов программ для ЭВМ. Фундаментальное значение определяется полученными результатами теоретических исследований, на основании которых было дано определение «фрустрации» и введена мера фрустраций. Введенная количественная мера фрустраций может использоваться для экспериментального исследования искусственного спинового льда экзотических решеток наноост-ровковых магнетиков.

Методология и методы исследования. Методы исследования базируются на известных и проверенных методах Метрополиса, Ванга—Ландау, исчерпывающего перечисления, репличного Монте-Карло обмена. На основе этих методов были реализованы программные продукты, которые позволяют выполнять численные расчеты спиновых систем с различной геометрией решетки. Разработан авторский гибридный мультиспиновый алгоритм, позволяющий преодолеть «критическое замедление».

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Температурные зависимости приращений относительного числа пар с положительной энергией в гамильтониане и энтропии в модели искусственного спинового льда показывают, что существует интервал температур, где скорость роста числа фрустраций увеличивается, но при этом скорость роста энтропии замедляется.

2. Существуют решетки спинового снега, теплоемкость которых имеет множественные пики. При этом для решетки, элементарной ячейкой

которой является треугольник дипольно взаимодействующих макроспинов, характерно отличное от нуля значение энтропии при температуре, близкой к абсолютному нулю.

3. Квазиупорядоченные одномерные массивы однодоменных наночастиц обладают такой же магнитожесткостью, как и упорядоченные, однако требуют меньших энергетических затрат на перемагничивание, поскольку обладают более высокими значениями остаточного магнитного момента.

Достоверность численных расчетов подтверждается повторением результатов численных экспериментов и результатов точного решения для малого числа частиц, а также путем сравнения результатов независимых численных экспериментов с использованием Монте-Карло методов для относительно большого числа частиц. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами независимо.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены в виде устных и стендовых докладов на международных, российских и региональных конференциях:

1. Третий международный консорциум аспирантов «Инновации в области информационных и коммуникационных наук и технологий» (ПС8Т2013), Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники / университет Рецумейкан (Япония), Томск - 2013;

2. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Школы естественных наук ДВФУ, Дальневосточный федеральный университет, Владивосток - 2013;

3. 12-я региональная научная конференция «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование», Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск - 2013;

4. XI Международная конференция «Перспективные технологии, оборудование и аналитические системы для материаловедения и наномате-риалов», Юго-Западный государственный университет, Курск - 2014 (заочное участие);

5. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам, Дальневосточный федеральный университет, Владивосток - 2014;

6. Международная конференция по компьютерным технологиям в физико-технических приложениях (ICCTPEA), Санкт-Петербург - 2014 (заочное участие);

7. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам, Дальневосточный федеральный университет, Владивосток - 2015;

8. Международная конференция «Спиновая физика, спиновая химия и спиновые технологии» (SPCT-2015), Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, Санкт-Петербург - 2015;

9. 14-я региональная научная конференция «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование», Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск - 2016;

10. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам, Дальневосточный федеральный университет, Владивосток - 2017;

11. Совместная конференция EPS и DPG по разделам конденсированных материалов, Технический университет, Берлин, Германия - 2018;

12. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам, Дальневосточный федеральный университет, Владивосток - 2018;

13. Научный семинар стипендиатов программ «Михаил Ломоносов» и «Иммануил Кант» 2017-2018 года, Москва - 2018;

14. 16-я региональная научная конференция «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование», Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск - 2018 (заочное участие);

15. 61-я Всероссийская научная конференция «Фундаментальные и прикладные вопросы естествознания», ТОВВМУ им. С.О. Макарова, Владивосток - 2018 (заочное участие);

16. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по естественным наукам, Дальневосточный федеральный университет, Владивосток - 2019.

Личный вклад. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Задачи, представленные в диссертации, были решены автором лично. Вклад автора в работы, выполненные в соавторстве, считается равнозначным.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 26 печатных изданиях, 6 из которых изданы в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science (Q2, Q3) [7—11] и Scopus (Q1, Q2, Q4) [7—12], 2 —в прочих журналах, рекомендованных ВАК [13; 14], 18 работ опубликовано в виде тезисов докладов и материалов конференций [15—32]. Получено 9 авторских свидетельств о регистрации программ ЭВМ в Роспатенте [33—41].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и приложения. Полный объём диссертации составляет 113 страниц, включая 30 рисунков и 1 таблицу. Список литературы содержит 203 наименования.

Глава 1. Методы численных расчетов

В работе [14] представлен обзор Монте-Карло (МК) методов, которые находят широкое применение для численных расчетов термодинамических свойств векторных моделей. Наиболее популярным из-за скорости и простоты реализации канонического семплирования является алгоритм Метрополиса. Методы мультиканонического моделирования, такие как алгоритм репличного обмена и метод семплирования Ванга—Ландау позволяют преодолеть недостатки метода канонического моделирования.

Компьютерное моделирование и численные расчеты являются неотъемлемыми инструментами исследователей в современной теоретической физике, математике и множестве других наук. «Численные эксперименты» в настоящее время широко используются как теоретиками, так и экспериментаторами. Компьютерные методы находят все более широкое применение при исследовании свойств сложных физических систем, а их внедрение позволило получить совершенно новые результаты и рассмотреть классы задач ранее традиционно относимых к «нерешаемым». Значительные успехи получены с помощью вычислительных методов в естественных науках таких, как статистическая физика и физика конденсированного состояния, физика твердого тела и квантовая механика, физика фракталов и хаотических явлений, а также социальных, экономических и других. Для решения сложных задач, не поддающихся теоретическому анализу, были развиты специфические подходы, алгоритмы и методы, что позволило значительно ускорить получение новых результатов.

1.1 Алгоритм Метрополиса

Алгоритм Метрополиса [42] наиболее употребим и универсален в такой области как исследование свойств термодинамических систем. Он обладает свойствами хорошей масштабируемости при параллельных вычислениях, и имеет возможности для повышения точности вычислений.

Классический алгоритм Метрополиса [43] реализуется следующим образом:

1. Выбирается система N взаимодействующих тел, например, спинов или магнитных моментов, фиксируется некоторое ее состояние и рассчитывается энергия.

2. Фиксируется температура Т. Выбирается спин в системе случайным образом, обращается его знак и вычисляется энергия новой конфигурации системы, например, по формуле

Е = - ^ ад. (1.1)

<м>

Если энергия системы уменьшилась после изменения направления, событие считается достоверным, переворот принимается. Если энергия системы увеличилась после переворота, то принимается изменение с вероятностью е~АЕ/квт, где АЕ - разница значений энергии системы после и до переворота спина (высота энергетического барьера между уровнями энергий).

3. Повторяется шаг (2) до достижения равновесия (термодинамические свойства системы флуктуируют около своих средних значений).

4. Вычисляются необходимые величины, характеризующие поведение системы, такие как теплоемкость, магнитная восприимчивость и др.

Самая простая возможность параллельной алгоритмизации данного алгоритма заключается в том, что вычисления для каждого значения термодинамического среднего при заданной Т проводятся одновременно на отдельных ядрах суперкомпьютерного кластера, поэтому время расчета не зависит от шага по температуре.

Другой вариант распараллеливания состоит в следующем: проход по системе спинов и выполнение МК шагов производятся в «шахматном порядке». Это делается с целью учета граничных условий вычисляемых конфигураций. В течение МК операций с частью массива, первоначальные значения соседей обрабатываемого спина не изменяются, т.е., для каждого шага температуры или поля, половина МК шагов делается сначала для одной половины спинов, а затем для второй половины.

Вычисление термодинамических свойств при Тс осложняется наличием больших флуктуаций в системе вблизи критической температуры Тс. Значения теплоемкости и магнитной восприимчивости с достаточной степенью точности могут быть получены методом оценки стандартного отклонения в статистической термодинамике.

1.2 Репличный Монте-Карло обмен

Начало развитию метода репличного обмена, или так называемого «параллельного отжига» в 1986 году положила работа Свидсена и Ванга [44]. В этой работе был предложен метод репличного Монте-Карло, в котором конфигурации реплик (копий) одной и той же моделируемой системы исследуются на предмет расчета термодинамических средних при разной температуре. Реплики «отжигаются» при близких температурах, отличающихся на небольшую величину AT. Реплики для соседних температур частично обмениваются информацией о своих конфигурациях. Более знакомая форма параллельного отжига с полным обменом конфигурационной информации была сформулирована Гейером в 1991 году [45].

Метод параллельного отжига (от англ. Parallel Tempering) заключается в мультиканоническом семплировании нескольких копий системы (реплик) при разных температурах [46]. Для решения проблемы критического замедления и ускорения процесса эволюции марковской цепи, соседние по температуре реплики обмениваются своими конфигурациями с вероятностью

^обмена = min(1, exp

A Е

At

(1.2)

где ДТ - разница температур соседних реплик, ДЕ - разница энергий для конфигураций, подлежащих обмену. Число реплик и соответствующие значения температур подбираются в зависимости от конкретной задачи и вычислительных возможностей.

Ts

T4

T3 T2

Ti

1 1 т г 11

ч V Ч А j 1...................

__ш II .. ___1 L

1 —т ;.............. \

/5 ' Ъаш ' 1

#1 \

1\

X ..... 7.

Монте-карло шаг

Рисунок 1.1 — Схематичное представление процесса обмена репликами в алгоритме параллельного отжига на примере 5 реплик

На рисунке 1.1 изображена схема обмена конфигурациями для 5 различных реплик с соответствующими температурами где г G 1,2,3,4,5. Начальная конфигурация реплики 4 в результате работы алгоритма стала обрабатываться при Т\. В последовательном алгоритме, работающем при Т = Т\, для стабилизации системы потребовалось бы значительно большее число шагов.

Параллельный отжиг позволяет за меньшее число шагов провести сем-плирование сразу для набора различных температур. Алгоритм может быть реализован в виде параллельного суперкомпьютерного кода с использованием интерфейса обмена сообщениями между процессами «MPI».

1.3 Алгоритм Ванга—Ландау

По правилам статистической механики для строгого вычисления термодинамических параметров в состоянии равновесия необходимо вычислить статистическую сумму Z. Но это возможно только при наличии информации обо всех 2n состояниях. Очевидно, что получение такой информации для систем большого числа частиц требует колоссальных ресурсов, и поэтому возможно только для небольшого числа частиц. Для относительно больших систем можно использовать приближенные статистические методы. Одним из таких методов является алгоритм Ванга—Ландау (ВЛ) [47] и его параллельная реализация [48; 49].

В оригинальной работе Ф. Ванга и Д.П. Ландау [47] предложен следующий алгоритм, который для определенности будем применять для получения плотности состояний модели Изинга. Процесс инициализации алгоритма Ванга—Ландау состоит из следующих шагов, на основе описания, данного в работе Л.Н. Щура [50]:

1. Задается начальное состояние значений спинов Si.

2. Вычисляется значение энергии начального состояния Е0.

3. Присваиваются начальные значения плотности состояний g (Е) = 1 для всех значений энергии Е.

4. Устанавливаются начальные значения вспомогательной гистограммы H(Е) = 0 для всех значений Е.

5. Фиксируется начальное значение параметра f = 2.718281828.

Основной цикл алгоритма таков:

1. Выбирается случайно спин Si.

2. Вычисляется энергия Ek+i нового состояния решетки с (виртуально) перевернутым спином Si — —Si.

3. Если g(Ek+\) < д(Ek), то принимается новое состояние.

4. Если g(Ek+\) > g(Ek), то принимается новое состояние с вероятностью

д(Ек )/д(Ек+1).

5. Если g(Ek+\) = д(Ek), то состояние остается не измененным.

Основной цикл алгоритма повторяется QN раз, где N — это число спинов

в системе; Q — параметр алгоритма, некоторое большое число, имеющее значение, которое зависит в общем случае от N. После этого проверяется свойство равномерности распределения выборки. Предлагается повторять процесс до тех пор, пока элементы вспомогательной гистограммы будут отличаться не более чем на 5%. Если гистограмма недостаточно «ровная», то шаги основного цикла 1-5 повторяются еще QN раз.

Если желаемый уровень «ровности» диаграммы достигнут, то делаются такие операции нормировки:

1. Нормируются значения плотности состояний д(Е) для всех значений энергии Е так, чтобы была выполнена нормировка на единицу значения плотности состояний энергии основного состояния моделируемой системы g(Egs) = 1.

2. Устанавливаются значения вспомогательной гистограммы Н(Е) = 0 для всех значений Е.

3. Изменяется текущее значение параметра f —^ л//.

Процессы основного цикла и нормировки повторяем до тех пор, пока значение параметра f не приблизится (близко) к 1, например log f = 10—9.

«Принятие» нового состояния при выполнении шагов 3 и 4 основного цикла состоит из следующих операций:

1. Переворот спина: Si — —Si.

2. Изменение распределения вероятности состояний (РВС) с текущим значением Ek+\ энергии системы: g(Ek+\) — fg(Ek+i).

3. Изменение значения вспомогательной гистограммы: Н(Ek+i) — Н (Ek+i) + 1.

«Непринятие» нового состояния на шаге основного цикла 5 состоит из таких операций:

1. Изменение РВС с текущим значением энергии системы: д(Ек) ^ fg(Ek).

2. Изменение значения вспомогательной гистограммы: Н(Ек) ^ Н(Ек) + 1.

Термодинамическое среднее значение энергии при известном распределении д(Е) вычисляется как

(Е) (Т) = д(Ек) exp{--i}, (1.3)

к=1 В

где нормировочный коэффициент, или статистическая сумма

2 N

2 Е

z = Г exp{-^}. (1-4)

г=1

Для построения гистограмм требуется предварительно выполнить оценки энергетических границ Ет,1П (основное состояние) и Етах.

Для определения кратности вырождения требуется сравнивать энергию текущей конфигурации системы с предыдущими вычисленными значениями на предмет повторения. В системах с дипольным взаимодействием каждая энергия будет иметь в большинстве случаев двукратное вырождение, и число элементов гистограммы будет очень большим.

Для решения этой проблемы энергетическое пространство между Ет,1П и Етах разделяется на интервалы, минимальное число которых было нами оценено для достижения сходимости данных численных экспериментов. Уменьшение числа интервалов может негативно повлиять на точность результатов, а увеличение на стремительное «удорожание» расчетов. Величина выбранного интервала △ Е должна быть достаточно большой, чтобы адекватно отображать энергии и запрещенные зоны около энергетического минимума, и в то же время не быть бесконечно малой, чтобы не превысить предел вычислительной точности и объем доступной вычислителю памяти. При увеличении числа интервалов закономерно увеличивается число слагаемых в Z, и возрастает сложность численного дифференцирования.

Параллельная реализация алгоритма Ванга—Ландау для Монте-Карло моделирования основана на алгоритме репличного обмена, предложенного в статье [49]. Основная идея заключается в ограничении отдельных «ВЛ-блуждателей» в рамках малых, но перекрывающихся энергетических окон, что дает им возможность взаимодействовать с соседями, так, чтобы копия системы могла

«путешествовать» через все энергетическое пространство, что позволяет строить полную плотность состояний (DOS) системы. В каждом энергетическом окне, можно запускать несколько «блуждателей», каждый из которых имеет собственные гистограммы д(Е) и Н(Е), которые будут объединены и усреднены в окне энергии для построения общего д(Е) для каждого энергетического окна, прежде чем одновременно переходить к следующему шагу расчетов. Данная реализация позволяет за счет усреднения значений получаемого множества гистограмм от каждого «блуждателя», уменьшить систематические погрешности в д(Е) в ходе моделирования и, таким образом, снизить общее время сходимости. Параллельное моделирование заканчивается, когда каждый «блуждатель» достигает конечного коэффициента модификации fmin.

1.4 Выводы

Для решения современных задач статистической физики необходимо применение методов, которые обладают такими свойствами, как хорошее масштабирование при параллельных вычислениях, возможность повышения точности вычислений, а также преодоления критического замедления и т.д.

Рассмотренный метод Метрополиса обладает свойствами масштабируемости при параллельных вычислениях и возможностью повышения точности вычислений. Однако, его применение становится затруднительным в критической области, области вблизи фазового перехода. В случае фазового перехода второго рода он проявляет свойства критического замедления, т.е. замедления скорости вычислений, что делает его применение затруднительным для систем большого размера.

Для ускорения расчетов и моделирования систем больших размеров для решения задач может быть широко использован параллельный метод Ванга—Ландау. Этот метод используется для вычисления плотности энергетических состояний. При известной плотности состояний становятся доступными для вычисления такие термодинамические характеристики, как энтропия, средняя энергия, флуктуация средней энергии, теплоемкость, магнитная восприимчивость. Выбор параметров моделирования позволяет получить высокие точностные характеристики.

Глава 2. Численные расчеты спиновых систем

2.1 Магнитные состояния неупорядоченных 2D и 3D систем точечных

диполей

В работах [11; 12; 28—32] методом численных расчетов показано, что диполь-дипольные взаимодействия в системе высокоанизотропных дипольных магнитных моментов могут привести к слабовыраженному ферромагнетизму в случае распределения частиц на плоскости, а для случайного распределения этих частиц в объеме к конкуренции ферромагнитных и антиферромагнитных взаимодействий. Результаты согласуются с данными, полученными методом расчета случайных полей обменного взаимодействия, т.е. в 3Б системах со случайным распределением частиц ферромагнетизм отсутствует.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Макаров Александр Геннадьевич, 2020 год

Список литературы

1. Frustration and thermalization in an artificial magnetic quasicrystal / D. Shi [et al.] // Nature Physics. — 2018. — Vol. 14, no. 3. - P. 309.

2. Emergent dynamics of artificial spin-ice lattice based on an ultrathin ferro-magnet / A. Ghosh [et al.] // Nano letters. — 2019.

3. Lendinez S., Jungfleisch M. Magnetization dynamics in artificial spin ice // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2019. — Vol. 32, no. 1. — P. 013001.

4. Advances in artificial spin ice / S. H. Skj^rv0 [et al.] // Nature Reviews Physics. — 2019. — P. 1—16.

5. Rewritable artificial magnetic charge ice / Y.-L. Wang [et al.] // Science. —

2016. - Vol. 352, no. 6288. - P. 962-966.

6. Stancioli R., Mol L. Intermediate phase and pseudo phase transition in an artificial spin ice model // Physical Review B. — 2019. — Vol. 100, no. 2. — P. 024432.

7. К численному расчету фрустраций в модели Изинга / А. Г. Макаров [и др.] // Письма в ЖЭТФ. - 2019. - Т. 110, № 10. - C. 700-705.

8. Remagnetization in arrays of ferromagnetic nanostripes with periodic and quasiperiodic order / K. Szulc [et al.] // Physical Review B. — 2019. — Vol. 99, no. 6. - P. 064412.

9. Shevchenko Y., Makarov A., Nefedev K. Effect of long-and short-range interactions on the thermodynamics of dipolar spin ice // Physics Letters A. —

2017. - Vol. 381, no. 5. - P. 428-434.

10. Мультиканоническое семплирование пространства состояний H(2,n) - векторных моделей / Ю. А. Шевченко [и др.] // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. - 2017. - Т. 151, № 6. - C. 1146-1159.

11. Makarov A. G., Nefedev K. V. Equilibrium properties of the planar system of finite number dipoles in random positions // 2014 International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCT-PEA). — IEEE. 2014. — P. 98—99.

12. Makarov A. G., Nefedev K. V. Distribution of Exchange Interaction Fields for 2D and 3D Systems of Spherical Dipoles // Journal of Nano- and Electronic Physics. - 2014. - Vol. 6, no. 3. - P. 03010.

13. Гистерезисные и равновесные свойства одномерных цепочек магнитных диполей / А. А. Перетятько [и др.] // Дальневосточный математический журнал. - 2017. - Т. 17, № 1. - C. 82-97.

14. Методы канонического и мультиканонического семплирования пространства состояний векторных моделей / К. В. Шаповалова [и др.] // Дальневосточный математический журнал. — 2017. — Т. 17, № 1. — C. 124-130.

15. Макарова К. В., Макаров А. Г. Гибридный алгоритм канонического сем-плирования пространства состояний магнитных наносистем // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам, Владивосток, 15-30 апреля 2019г. - 2019. - C. 442-443.

16. Макаров А. Г., Макарова К. В., Нефедев К. В. Теплоемкость и магнитная восприимчивость гексагонального спинового льда // Материалы 61-й Всероссийской научной конференции. Том III. Фундаментальные и прикладные вопросы естествознания. - 2018. - С. 224.

17. Макаров А., Шаповалова К. Воздействие внешнего поля в структурах пермаллоя // Сборник материалов научного семинара стипендиатов программ "Михаил Ломоносов" и "Иммануил Кант" 2017-2018 года. №14 (2018) : сборник статей / Германская служба академических обменов (DAAD). - 2018. - C. 174-179.

18. Макаров А. Г., Шаповалова К. В., Нефедев К. В. Монте-Карло моделирование перемагничивания массива ферромагнитных нанопроволок // Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование: материалы XVI региональной научной конференции, Хабаровск, 1-4 октября 2018 г. -2018. -C. 134-137.

19. Шаповалова К. В., Макаров А. Г. Процессы перемагничивания в наноструктурах // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам, Владивосток, 16 - 30 апреля 2018г. - 2018. - C. 384-386.

20. Разработка методических указаний по курсу "Методы Монте-Карло" / Е. Ю. Григорьева [и др.] // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам, Владивосток, 16 - 30 апреля 2018г. - 2018. - C. 365-367.

21. Макаров А. Г., Григорьева Е. Ю., Шевченко Ю. А. Кластеризация квадратного спинового льда // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам, Владивосток, 11-30 апреля 2017г. - 2017. - C. 486-488.

22. Макаров А. Г., Гончарук Т. А., Шаповалова К. В. Спиновый снег // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам, Владивосток, 11 - 30 апреля 2017г. - 2017. - C. 484-486.

23. Андрющенко П. Д., Шевченко Ю. А., Макаров А. Г. Теплоемкость гексагональной решетки при близко- и дальнодействии // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам, Владивосток, 11-30 апреля 2017г. - 2017. - C. 477-478.

24. Макаров А. Г., Шевченко Ю., Нефедев К. В. Теплоемкость и магнитная восприимчивость квадратного спинового льда в модели точечных диполей // Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование: материалы XIV региональной науч. конф., Хабаровск, 22-24 сентября 2016 г. - 2016. - C. 118-120.

25. Shevchenko Y. A., Nefedev K., Makarov A. G. Spin Ice Heat Capacity in Exact Solution of Ising-like Dipole Model // Proceedings of the International Conference "Spin physics, spin chemistry and spin technology", St. Petersburg, Russia, June 1-5, 2015. — 2015. — P. 157.

26. Makarov A. G., Nefedev K., Shevchenko Y. A. The lack of frustrations and excitations in the ground state of artificial spin ice on large square lattice // Proceedings of the International Conference "Spin physics, spin chemistry and spin technology", St. Petersburg, Russia, June 1-5, 2015. — 2015. — P. 126.

27. Капитан В. Ю., Нефедев К. В., Макаров А. Г. Основное состояние и термодинамика квадратного спинового льда в рамках XY - модели // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам, Владивосток, 15-30 апреля 2015г. -2015. -C. 336-338.

28. Макаров А. Г., Нефедев К. В. Равновесные свойства системы конечного числа диполей, равномерно случайно распределенных в 2D пространстве // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных по естественным наукам, Владивосток, 15 - 30 апреля 2014г. - 2014. - C. 271-273.

29. Макаров А. Г., Нефедев К. В. Распределение обменных полей для 2D и 3D систем сферических диполей // Перспективные технологии, оборудование и аналитические системы для материаловедения и наноматериалов. Ч. 2. Курск. - 2014. - C. 85-91.

30. Макаров А. Г., Нефедев К. В. Численный подход к исследованию магнитных состояний неупорядоченных 2D и 3D систем сферических диполей // Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование: материалы XII региональной науч. конф., Хабаровск, 28-31 октября 2013 г. -2013. -C. 51-56.

31. Makarov A. G., Nefedev K. Numerical approach to research of magnetic states of disordered systems of spherical dipoles on plane and in volume // The proceedings of IICST 2013, Tomsk, Russia. — 2013. — P. 135—140.

32. Андрющенко П. Д., Шевченко Ю. А., Макаров А. Г. Магнитные состояния системы случайно распределенных сферических диполей на плоскости // Материалы региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Школы естественных наук ДВФУ, Владивосток, 15 апреля - 15 мая 2013г. - 2013. - C. 252-255.

33. Макаров А. Г., Нефедев К. В. Расчет энергии и намагниченности для всех возможных конфигураций систем случайно распределенных магнитных частиц. - Cвидетельство о государственной регистрации программы ПЭВМ. -№2016610213; заяв. 09.11.2015, зарег. 11.01.2016.

34. Макаров А. Г., Нефедев К. В. Вычисление полей взаимодействия для пла-нарных образцов со случайным распределением магнитных частиц. -Cвидетельство о государственной регистрации программы ПЭВМ. -№2016610215; заяв. 09.11.2015, зарег. 11.01.2016.

35. Макаров А. Г., Нефедев К. В. Вычисление полей взаимодействия в объемных образцах макроспинового стекла. - Cвидетельство о государственной регистрации программы ПЭВМ. - №2016610354; заяв. 09.11.2015, зарег. 11.01.2016.

36. Вычисление полей взаимодействия в объемных образцах макроспиново-го стекла / К. В. Нефедев [и др.]. - Cвидетельство о государственной регистрации программы ПЭВМ. - №2017616109; заяв. 05.04.2017, зарег. 01.06.2017.

37. Высокопроизводительная реализация алгоритма Ванга-Ландау / Ю. А. Шевченко [и др.]. - Cвидетельство о государственной регистрации программы ПЭВМ. - №2019611902; заяв. 31.01.2019, зарег. 06.02.2019.

38. Шевченко Ю. А., Андрющенко П. Д., Макаров А. Г. Реплично-обменное Монте-Карло семплирование дипольного спинового льда. - Cвидетель-ство о государственной регистрации программы ПЭВМ. - №2019611903; заяв. 31.01.2019, зарег. 06.02.2019.

39. Расчет статистической суммы для двумерной квадратной решетки / Ю. А. Шевченко [и др.]. - Cвидетельство о государственной регистрации программы ПЭВМ. - №2019612010; заяв. 31.01.2019, зарег. 07.02.2019.

40. Программа пошагового Монте-Карло моделирования и визуализации систем диполей / Ю. А. Шевченко [и др.]. - Cвидетельство о государственной регистрации программы ПЭВМ. - №2019612058; заяв. 31.01.2019, зарег. 08.02.2019.

41. Термодинамическое усреднение плотности вероятности состояний / Ю. А. Шевченко [и др.]. - Cвидетельство о государственной регистрации программы ПЭВМ. - №2019612082; заяв. 31.01.2019, зарег. 11.02.2019.

42. Equation of state calculations by fast computing machines / N. Metropolis [et al.] // The journal of chemical physics. — 1953. — Vol. 21, no. 6. — P. 1087-1092.

43. Landau D., Binder K. A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge Univ // Press, Cambridge, UK. — 2000.

44. Swendsen R. H., Wang J.-S. Replica Monte Carlo simulation of spin-glasses // Physical review letters. — 1986. — Vol. 57, no. 21. — P. 2607.

45. Geyer C. J. Markov chain Monte Carlo maximum likelihood. — 1991.

46. Earl D. J., Deem M. W. Parallel tempering: Theory, applications, and new perspectives // Physical Chemistry Chemical Physics. — 2005. — Vol. 7, no. 23. - P. 3910-3916.

47. Wang F., Landau D. Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states // Physical review letters. — 2001. — Vol. 86, no. 10. — P. 2050.

48. Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling / T. Vogel [et al.] // Physical review letters. — 2013. — Vol. 110, no. 21. - P. 210603.

49. Scalable replica-exchange framework for Wang-Landau sampling / T. Vogel [et al.] // Physical Review E. - 2014. - Vol. 90, no. 2. — P. 023302.

50. Щур Л. Н. Алгоритм Ванга-Ландау: случайное блуждание по спектру энергии // Механика, управление и информатика (см. в книгах). — 2014. — Т. 6, № 6. — C. 160—166.

51. Rancourt D. G. Magnetism of earth, planetary, and environmental nanomateri-als // Reviews in mineralogy and geochemistry. — 2001. — Vol. 44, no. 1. — P. 217-292.

52. Abstracts of 41St Annual Conference on Magnetism and Magnetic Materials, Session: GE Patterned Structures. — Atlanta, Georgia, USA, 1996. — P. 208-211.

53. Malozovsky Y. M., Rozenbaum V. Orientation ordering in 2-dimensional systems with long-range ordering // Zhurnal eksperimentalnoi i teoreticheskoi fiziki. — 1990. — Vol. 98, no. 1. — P. 265—277.

54. Rosenbaum V., Ogenko V., Chuiko A. Vibration and orientation states of surface atomic groups // Uspekhi fizicheskikh nauk. — 1991. — Vol. 161, no. 10. — P. 79-120.

55. Rosenbaum V. // Zhurnal eksperimentalnoi i teoreticheskoi fiziki. — 1991. — Vol. 99. - P. 1836.

56. Rosenbaum V., Ogenko V., Chuiko A. Vibration and orientation states of surface atomic groups // Zhurnal eksperimentalnoi i teoreticheskoi fiziki. — 1991. — Vol. 111. - P. 669.

57. Politi P., Pini M. G. Dipolar interaction between two-dimensional magnetic particles // Physical Review B. — 2002. — Vol. 66, no. 21. — P. 214414.

58. Artificial 'spin ice'in a geometrically frustrated lattice of nanoscale ferromagnetic islands / R. Wang [et al.] // Nature. — 2006. — Vol. 439, no. 7074. — P. 303-306.

59. Barkema G., Newman M. Monte Carlo simulation of ice models // Physical Review E. - 1998. - Vol. 57, no. 1. - P. 1155.

60. Bernal J. D., Fowler R. H. A theory of water and ionic solution, with particular reference to hydrogen and hydroxyl ions // The Journal of Chemical Physics. - 1933. - Vol. 1, no. 8. - P. 515-548.

61. Pauling L. The structure and entropy of ice and of other crystals with some randomness of atomic arrangement // Journal of the American Chemical Society. - 1935. - Vol. 57, no. 12. - P. 2680-2684.

62. Castelnovo C., Moessner R., Sondhi S. L. Spin ice, fractionalization, and topological order // Annu. Rev. Condens. Matter Phys. — 2012. — Vol. 3, no. 1. - P. 35-55.

63. Lieb E. H. Exact solution of the problem of the entropy of two-dimensional ice // Physical Review Letters. — 1967. — Vol. 18, no. 17. — P. 692.

64. Lieb E. H. Exact solution of the two-dimensional Slater KDP model of a ferroelectric // Condensed Matter Physics and Exactly Soluble Models. — Springer, 2004. — P. 457—459.

65. Baxter R. The inversion relation method for some two-dimensional exactly solved models in lattice statistics // Journal of Statistical Physics. — 1982. — Vol. 28, no. 1. — P. 1—41.

66. Geometrical frustration in the ferromagnetic pyrochlore Ho 2 Ti 2 O 7 / M. Harris [et al.] // Physical Review Letters. — 1997. — Vol. 79, no. 13. — P. 2554.

67. How "spin ice" freezes / J. Snyder [et al.] // Nature. — 2001. — Vol. 413, no. 6851. — P. 48.

68. Dynamic frustrated magnetism in Tb 2 Ti 2 O 7 at 50 mK / J. Gardner [et al.] // Physical Review B. — 2003. — Vol. 68, no. 18. — P. 180401.

69. Zero-point entropy in 'spin ice' / A. P. Ramirez [et al.] // Nature. — 1999. — Vol. 399, no. 6734. - P. 333.

70. Investigation of magnetic fluctuations in Tb 2 Sn 2 O 7 ordered spin ice by high-resolution energy-resolved neutron scattering /1. Mirebeau [et al.] // Physical Review B. — 2008. — Vol. 78, no. 17. — P. 174416.

71. Toulouse G. Theory of the frustration effect in spin glasses: I // Spin Glass Theory and Beyond: An Introduction to the Replica Method and Its Applications. - 1987. - Vol. 9. - P. 99.

72. Melko R. G., Hertog B. C. den, Gingras M. J.Long-range order at low temperatures in dipolar spin ice // Physical review letters. — 2001. — Vol. 87, no. 6. - P. 067203.

73. Large peaks in the entropy of the diluted nearest-neighbor spin-ice model on the pyrochlore lattice in a [111] magnetic field / P. Andriushchenko [et al.] // Physical Review E. — 2019. — Vol. 99, no. 2. — P. 022138.

74. Comparison of diluted antiferromagnetic Ising models on frustrated lattices in a magnetic field / K. Soldatov [et al.] // Physics Letters A. — 2019. — Vol. 383, no. 12. - P. 1229-1234.

75. Toulouse G. A lecture on the topological theory of defects in ordered media: How the old theory was leading to paradoxes, and how their resolution comes within the larger frameworks of homotopy theory // Modern Trends in the Theory of Condensed Matter. — Springer, 1980. — P. 188—194.

76. Villain J. Insulating spin glasses // Zeitschrift fur Physik B Condensed Matter. - 1979. - Vol. 33, no. 1. - P. 31-42.

77. Diep H. T. Magnetic systems with competing interactions: frustrated spin systems. — World Scientific, 1994.

78. Ramirez A. Geometrical frustration // Handbook of magnetic materials. — 2001. - Vol. 13. - P. 423-520.

79. Melko R. G., Gingras M. J.Monte Carlo studies of the dipolar spin ice model // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2004. — Vol. 16, no. 43. — R1277.

80. Sadoc J.-F., Mosseri R. Geometrical frustration. — Cambridge University Press, 2006.

81. Schiffer P, Ramirez A. Comments Condens // Matter Phys. — 1996. — Vol. 18, no. 21. - P. 3.

82. Greedan J. E. Geometrically frustrated magnetic materialsBasis of a presentation given at Materials Discussion No. 3, 26-29 September, 2000, University of Cambridge, UK. // Journal of Materials Chemistry. — 2001. — Vol. 11, no. 1. - P. 37-53.

83. Moessner R. Magnets with strong geometric frustration // Canadian journal of physics. - 2001. - Vol. 79, no. 11/12. - P. 1283-1294.

84. Henley C. L. Effective Hamiltonians and dilution effects in Kagome and related anti-ferromagnets // Canadian journal of physics. — 2001. — Vol. 79, no. 11/12. - P. 1307-1321.

85. Bramwell S. T., Gingras M. J. Spin ice state in frustrated magnetic pyrochlore materials // Science. — 2001. — Vol. 294, no. 5546. — P. 1495-1501.

86. Moessner R., Chalker /.Properties of a classical spin liquid: the Heisenberg pyrochlore antiferromagnet // Physical review letters. — 1998. — Vol. 80, no. 13. - P. 2929.

87. Moessner R., Chalker J. Low-temperature properties of classical geometrically frustrated antiferromagnets // Physical Review B. — 1998. — Vol. 58, no. 18. - P. 12049.

88. Shastry B. S. Spin ice and other frustrated magnets on the pyrochlore lattice // Physica B: Condensed Matter. — 2003. — Vol. 329. — P. 1024—1027.

89. Lhuillier C., Misguich G. Frustrated quantum magnets // High magnetic fields. — Springer, 2002. — P. 161—190.

90. Misguich G., Serban D., Pasquier V. Quantum dimer model on the kagome lattice: Solvable dimer-liquid and ising gauge theory // Physical review letters. - 2002. - Vol. 89, no. 13. - P. 137202.

91. Lhuillier C., Sindzingre P, Fouet J.-B. Exact diagonalization studies of two-dimensional frustrated anti-ferromagnet models // Canadian journal of physics. - 2001. - Vol. 79, no. 11/12. - P. 1525-1535.

92. Sindzingre P, Fouet J.-B., Lhuillier C. One-dimensional behavior and sliding Luttinger liquid phase in a frustrated spin-1 2 crossed chain model: Contribution of exact diagonalizations // Physical Review B. — 2002. — Vol. 66, no. 17. — P. 174424.

93. Ramirez A. Strongly geometrically frustrated magnets // Annual Review of Materials Science. — 1994. — Vol. 24, no. 1. — P. 453—480.

94. Nisoli C., Moessner R., Schiffer P. Colloquium: Artificial spin ice: Designing and imaging magnetic frustration // Reviews of Modern Physics. — 2013. — Vol. 85, no. 4. - P. 1473.

95. Heyderman L. J., Stamps R. L. Artificial ferroic systems: novel functionality from structure, interactions and dynamics // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2013. — Vol. 25, no. 36. - P. 363201.

96. Qi Y., Brintlinger T., Cumings J.Direct observation of the ice rule in an artificial kagome spin ice // Physical Review B. — 2008. — Vol. 77, no. 9. — P. 094418.

97. Castelnovo C., Moessner R., Sondhi S. L. Magnetic monopoles in spin ice // Nature. - 2008. - Vol. 451, no. 7174. - P. 42.

98. Syozi I. Statistics of kagome lattice // Progress of Theoretical Physics. — 1951. - Vol. 6, no. 3. - P. 306-308.

99. Kano K., Naya S. Antiferromagnetism. the kagome ising net // Progress of theoretical physics. — 1953. — Vol. 10, no. 2. — P. 158—172.

100. Moessner R. Relief and generation of frustration in pyrochlore magnets by single-ion anisotropy // Physical Review B. — 1998. — Vol. 57, no. 10. — R5587.

101. Lleb E. H. Residual entropy of square ice // Condensed Matter Physics and Exactly Soluble Models. — Springer, 2004. — P. 461—471.

102. Carrasquilla J., Hao Z., Melko R. G. A two-dimensional spin liquid in quantum kagome ice // Nature communications. — 2015. — Vol. 6. — P. 7421.

103. Order and frustration in artificial magnetic patterns / H. Zabel [et al.] // Acta Physica Polonica-Series A General Physics. — 2009. — Vol. 115, no. 1. — P. 59.

104. Magnetic interactions in a ferromagnetic honeycomb nanoscale network / M. Tanaka [et al.] // Physical Review B. — 2006. — Vol. 73, no. 5. — P. 052411.

105. Möller G., Moessner R. Artificial square ice and related dipolar nanoarrays // Physical Review Letters. — 2006. — Vol. 96, no. 23. — P. 237202.

106. Luttinger J., Tisza L. Theory of dipole interaction in crystals // Physical Review. - 1946. - Vol. 70, no. 11/12. - P. 954.

107. Dipole-dipole interactions in a hot atomic vapor and in an ultracold gas of Rydberg atoms / V. Sautenkov [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 946. - IOP Publishing. 2018. — P. 012127.

108. Ising pyrochlore magnets: Low-temperature properties,"ice rules," and beyond / R. Siddharthan [et al.] // Physical review letters. — 1999. — Vol. 83, no. 9. - P. 1854.

109. Hertog B. C. den, Gingras M. J. Dipolar interactions and origin of spin ice in Ising pyrochlore magnets // Physical review letters. -- 2000. -- Vol. 84, no. 15. — P. 3430.

110. Möller G., Moessner R. Magnetic multipole analysis of kagome and artificial spin-ice dipolar arrays // Physical Review B. — 2009. — Vol. 80, no. 14. — P. 140409.

111. Balents L. Spin liquids in frustrated magnets // Nature. — 2010. — Vol. 464, no. 7286. - P. 199.

112. Three-dimensional optical metamaterial with a negative refractive index / J. Valentine [et al.] // nature. — 2008. — Vol. 455, no. 7211. — P. 376.

113. Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies / D. Schurig [et al.] // Science. - 2006. - Vol. 314, no. 5801. - P. 977-980.

114. Crystallites of magnetic charges in artificial spin ice / S. Zhang [et al.] // Nature. - 2013. - Vol. 500, no. 7464. - P. 553.

115. Real-space observation of emergent magnetic monopoles and associated Dirac strings in artificial kagome spin ice / E. Mengotti [et al.] // Nature Physics. — 2011. - Vol. 7, no. 1. - P. 68.

116. Chern G.-W., Mellado P, Tchernyshyov O. Two-stage ordering of spins in dipolar spin ice on the kagome lattice // Physical review letters. — 2011. — Vol. 106, no. 20. - P. 207202.

117. Chern G.-W, Tchernyshyov O. Magnetic charge and ordering in kagome spin ice // Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 2012. — Vol. 370, no. 1981. — P. 5718-5737.

118. A new look on the two-dimensional Ising model: thermal artificial spins / U. B. Arnalds [et al.] // New Journal of Physics. — 2016. — Vol. 18, no. 2. — P. 023008.

119. Mol L., Pereira A., Moura-Melo W. Extending spin ice concepts to another geometry: The artificial triangular spin ice // Physical Review B. — 2012. — Vol. 85, no. 18. - P. 184410.

120. Direct observation of thermal relaxation in artificial spin ice / A. Farhan [et al.] // Physical review letters. — 2013. — Vol. 111, no. 5. — P. 057204.

121. Morrison M. J., Nelson T. R., Nisoli C. Unhappy vertices in artificial spin ice: new degeneracies from vertex frustration // New Journal of Physics. — 2013. - Vol. 15, no. 4. - P. 045009.

122. Chern G.-W., Morrison M. J., Nisoli C. Degeneracy and criticality from emergent frustration in artificial spin ice // Physical review letters. — 2013. — Vol. 111, no. 17. - P. 177201.

123. Emergent ice rule and magnetic charge screening from vertex frustration in artificial spin ice / I. Gilbert [et al.] // Nature Physics. — 2014. — Vol. 10, no. 9. - P. 670.

124. Emergent reduced dimensionality by vertex frustration in artificial spin ice / I. Gilbert [et al.] // Nature Physics. — 2016. — Vol. 12, no. 2. - P. 162.

125. Lederman M., Gibson G., Schultz S. Observation of thermal switching of a single ferromagnetic particle // Journal of applied physics. — 1993. — Vol. 73, no. 10. - P. 6961-6963.

126. Nefedev K., Ivanov Y., Peretyatko A. Methods and Tools of Parallel Programming Multicomputers: Second Russia-Taiwan Symposium, MTPP 2010, Vladivostok, Russia, 2010 // Revised Selected Papers. — 2010. — Vol. 6083. -- P. 260.

127. Nefedev K. V., Ivanov Y. P, Peretyatko A. A. Parallel algorithm for calculation of the nanodot magnetization // Russia-Taiwan Symposium on Methods and Tools of Parallel Processing. — Springer. 2010. — P. 260—267.

128. Magnetic states of nanodot arrays. physical and numerical experiments / K. Nefedev [et al.] // Solid State Phenomena. Vol. 168. — Trans Tech Publ. 2011. - P. 325-328.

129. Magnetization reversal of nanodots with different magnetic anisotropy and magnetostatic energy / Y. Ivanov [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 266. — IOP Publishing. 2011. - P. 012117.

130. Effect of the shape anisotropy and configurational anisotropy on the magnetic structure of ferromagnetic nanodots / Y. P. Ivanov [et al.] // The Physics of Metals and Metallography. — 2012. — Vol. 113, no. 3. — P. 222—227.

131. Building blocks of an artificial kagome spin ice: Photoemission electron microscopy of arrays of ferromagnetic islands / E. Mengotti [et al.] // Physical Review B. — 2008. — Vol. 78, no. 14. - P. 144402.

132. Thermal fluctuations in artificial spin ice / V. Kapaklis [et al.] // Nature nan-otechnology. — 2014. — Vol. 9, no. 7. — P. 514.

133. Otsuka H. Cluster algorithm for Monte Carlo simulations of spin ice // Physical Review B. — 2014. — Vol. 90, no. 22. - P. 220406.

134. Wang F., Landau D. Determining the density of states for classical statistical models: A random walk algorithm to produce a flat histogram // Physical Review E. - 2001. - Vol. 64, no. 5. - P. 056101.

135. Shevchenko Y., Nefedev K. V. Magnetic states and frustrations of square spin ice in 2D XY point dipoles model // Solid State Phenomena. Vol. 247. — Trans Tech Publ. 2016. — P. 148—152.

136. Landau D., Tsai S.-H., Exler M. A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling // American Journal of Physics. - 2004. - Vol. 72, no. 10. — P. 1294-1302.

137. Белоконь В., Нефедев К. Функция распределения случайных полей взаимодействия в неупорядоченных магнетиках. Спиновое и макроспиновое стекло // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2001. — Т. 120, № 1. —C. 156—163.

138. Liang F., Kim J., Song Q. A bootstrap Metropolis-Hastings algorithm for Bayesian analysis of big data // Technometrics. — 2016. — Vol. 58, no. 3. — P. 304-318.

139. Metropolis-Hastings algorithm for extracting periodic gravitational wave signals from laser interferometric detector data / N. Christensen [et al.] // Physical Review D. - 2004. - Vol. 70, no. 2. — P. 022001.

140. Eidsvik J., Tjelmeland H. On directional Metropolis-Hastings algorithms // Statistics and Computing. — 2006. — Vol. 16, no. 1. — P. 93—106.

141. Swendsen R. H., Wang J.-S. Nonuniversal critical dynamics in Monte Carlo simulations // Physical review letters. — 1987. — Vol. 58, no. 2. — P. 86.

142. Multicanonical sampling of the space of states of H(2, n)-vector models / Y. A. Shevchenko [et al.] // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - 2017. - Vol. 124, no. 6. — P. 982-993.

143. Bittner E., Nußbaumer A., Janke W. Make life simple: Unleash the full power of the parallel tempering algorithm // Physical review letters. — 2008. — Vol. 101, no. 13. - P. 130603.

144. Tomita Y., Okabe Y. Crossover and self-averaging in the two-dimensional site-diluted Ising model: Application of probability-changing cluster algorithm // Physical Review E. — 2001. — Vol. 64, no. 3. — P. 036114.

145. Hartmann A. K. Ground-state clusters of two-, three-, and four-dimensional±J Ising spin glasses // Physical Review E. — 2000. — Vol. 63, no. 1. — P. 016106.

146. Melchert O., Hartmann A. Analysis of the phase transition in the two-dimensional Ising ferromagnet using a Lempel-Ziv string-parsing scheme and black-box data-compression utilities // Physical Review E. — 2015. — Vol. 91, no. 2. - P. 023306.

147. Ferdinand A. E., Fisher M. E. Bounded and inhomogeneous Ising models. I. Specific-heat anomaly of a finite lattice // Physical Review. — 1969. — Vol. 185, no. 2. - P. 832.

148. Andriushchenko P. Influence of cutoff dipole interaction radius and dilution on phase transition in kagome artificial spin ice // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2018.

149. 3D Spin-Liquid State in an Organic Hyperkagome Lattice of Mott Dimers /

A. Mizuno [et al.] // Physical review letters. — 2017. — Vol. 119, no. 5. — P. 057201.

150. Gardner J. S., Gingras M. J., Greedan J. E. Magnetic pyrochlore oxides // Reviews of Modern Physics. — 2010. — Vol. 82, no. 1. — P. 53.

151. Reuther J., Thomale R., Trebst S. Finite-temperature phase diagram of the Heisenberg-Kitaev model // Physical Review B. — 2011. — Vol. 84, no. 10. — P. 100406.

152. Geometric magnetic frustration in Ba 2 Sn 2 Ga 3 ZnCr 7 O 22: a two-dimensional spinel based kagome lattice / I. Hagemann [et al.] // Physical review letters. — 2001. — Vol. 86, no. 5. — P. 894.

153. Competing magnetic interactions in the extended Kagome system Y Ba Co 4 O 7 / L. Chapon [et al.] // Physical Review B. - 2006. - Vol. 74, no. 17. — P. 172401.

154. Wannier G. Antiferromagnetism. the triangular ising net // Physical Review. — 1950. - Vol. 79, no. 2. - P. 357.

155. Wannier G. Antiferromagnetism. the triangular ising net // Physical Review

B. - 1973. - Vol. 7, no. 11. - P. 5017.

156. Influence of field on frustrations in low-dimensional magnets / F. Kassan-Ogly [et al.] // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2012. — Vol. 324, no. 21. - P. 3418-3421.

157. Toulouse G. Theory of the frustration effect in spin glasses: I // Communications on Physics. — 1977. — Vol. 2. — P. 115—119.

158. Vannimenus J., Toulouse G. Theory of the frustration effect. II. Ising spins on a square lattice // Journal of Physics C: Solid State Physics. — 1977. — Vol. 10, no. 18. - P. L537.

159. Vaz C., Bland J., Lauhoff G. Magnetism in ultrathin film structures // Reports on Progress in Physics. — 2008. — Vol. 71, no. 5. — P. 056501.

160. Ge Y., Tura J., Cirac J. I. Faster ground state preparation and high-precision ground energy estimation with fewer qubits // Journal of Mathematical Physics. - 2019. - Vol. 60, no. 2. — P. 022202.

161. Nisoli C. Frustration (s) and the Ice Rule: From Natural Materials to the Deliberate Design of Exotic Behaviors // Frustrated Materials and Ferroic Glasses. - Springer, 2018. — P. 57—99.

162. Majority logic gate for magnetic quantum-dot cellular automata / A. Imre [et al.] // Science. - 2006. - Vol. 311, no. 5758. - P. 205-208.

163. Haldar A., Kumar D., Adeyeye A. O. A reconfigurable waveguide for energy-efficient transmission and local manipulation of information in a nanomagnetic device // Nature nanotechnology. — 2016. — Vol. 11, no. 5. — nnano—2015.

164. Gypens P, Leliaert J., Van Waeyenberge B. Balanced Magnetic Logic Gates in a Kagome Spin Ice // Physical Review Applied. — 2018. — Vol. 9, no. 3. — P. 034004.

165. Dubowik J.Shape anisotropy of magnetic heterostructures // Physical Review B. - 1996. - Vol. 54, no. 2. - P. 1088.

166. Chiral nature of magnetic monopoles in artificial spin ice / N. Rougemaille [et al.] // New Journal of Physics. — 2013. — Vol. 15, no. 3. — P. 035026.

167. Artificial kagome arrays of nanomagnets: a frozen dipolar spin ice / N. Rouge-maille [et al.] // Physical Review Letters. — 2011. — Vol. 106, no. 5. — P. 057209.

168. Perrin Y., Canals B., Rougemaille N. Extensive degeneracy, Coulomb phase and magnetic monopoles in artificial square ice // Nature. — 2016. — Vol. 540, no. 7633. - P. 410.

169. Nanoscale control of competing interactions and geometrical frustration in a dipolar trident lattice / A. Farhan [et al.] // Nature communications. — 2017. - Vol. 8, no. 1. - P. 995.

170. Interaction modifiers in artificial spin ices / E. Ostman [et al.] // Nature Physics. - 2018. - Vol. 14, no. 4. — P. 375.

171. Kirk K., Chapman J., Wilkinson C. Switching fields and magnetostatic interactions of thin film magnetic nanoelements // Applied physics letters. — 1997. - Vol. 71, no. 4. - P. 539-541.

172. Influence of end shape, temperature, and time on the switching of small magnetic elements / G. Yi [et al.] // Journal of applied physics. — 2002. — Vol. 92, no. 10. - P. 6087-6093.

173. Gadbois J., Zhu J.-G. Effect of edge roughness in nano-scale magnetic bar switching // IEEE Transactions on Magnetics. — 1995. — Vol. 31, no. 6. — P. 3802-3804.

174. Deak J., Koch R. The effect of edge roughness on magnetization reversal in micron-sized permalloy thin films // Journal of magnetism and magnetic materials. - 2000. - Vol. 213, no. 1/2. - P. 25-31.

175. Bryan M., Atkinson D., Cowburn R. Experimental study of the influence of edge roughness on magnetization switching in permalloy nanostructures // Applied physics letters. — 2004. — Vol. 85, no. 16. — P. 3510-3512.

176. Influence of stray fields on the switching-field distribution for bit-patterned media based on pre-patterned substrates / B. Pfau [et al.] // Applied Physics Letters. — 2014. — Vol. 105, no. 13. — P. 132407.

177. Interactions and switching field distributions of nanoscale magnetic elements / K. Kirk [et al.] // Journal of Applied Physics. — 2000. — Vol. 87, no. 9. — P. 5105-5107.

178. The role of the inhomogeneous demagnetizing field on the reversal mechanism in nanowire arrays / S. Vock [et al.] // Journal of Physics D: Applied Physics. - 2017. - Vol. 50, no. 47. - P. 475002.

179. Role of vortices in magnetization reversal of rectangular NiFe elements / K. Kirk [et al.] // Journal of Physics D: Applied Physics. — 2001. — Vol. 34, no. 2. - P. 160.

180. Non-stochastic switching and emergence of magnetic vortices in artificial qua-sicrystal spin ice / V. Bhat [et al.] // Physica C: Superconductivity and its Applications. - 2014. - Vol. 503. - P. 170-174.

181. Real-space observation of magnetic excitations and avalanche behavior in artificial quasicrystal lattices / V. Brajuskovic [et al.] // Scientific reports. — 2016. - Vol. 6. - P. 34384.

182. Dynamic origin of segment magnetization reversal in thin-film Penrose tilings / F. Montoncello [et al.] // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2017. - Vol. 423. - P. 158-163.

183. Dipolar mode localization and spectral gaps in quasi-periodic arrays of ferromagnetic nanoparticles / C. Forestiere [et al.] // Physical Review B. — 2009. - Vol. 79, no. 21. - P. 214419.

184. Rychy J., Mieszczak S., Kos J. W. Spin waves in planar quasicrystal of Penrose tiling // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2018. — Vol. 450. - P. 18-23.

185. Bhat V., Grundler D. Angular Dependent Magnetization Dynamics with Mirror-symmetric Excitations in Artificial Quasicrystalline Nanomagnet Lattices // arXiv preprint arXiv:1804.10630. — 2018.

186. Costa C., Vasconcelos M. Magnons in one-dimensional k-component Fibonacci structures // Journal of Applied Physics. — 2014. — Vol. 115, no. 17. — P. 17C115.

187. Valeriano A. P, Costa C. H., Bezerra C. G. Spin wave propagation spectra in Octonacci one-dimensional magnonic quasicrystals // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2018. - Vol. 456. — P. 228—235.

188. Spin waves in one-dimensional bicomponent magnonic quasicrystals / J. Rychy [et al.] // Physical Review B. — 2015. — Vol. 92, no. 5. — P. 054414.

189. Rychy J., Kos J., Krawczyk M. Spin wave damping in periodic and quasiperi-odic magnonic structures // Journal of Physics D: Applied Physics. — 2016. — Vol. 49, no. 17. - P. 175001.

190. Melo L. G., Soares T. R., Neto O. P. V. Analysis of the Magnetostatic Energy of Chains of Single-Domain Nanomagnets for Logic Gates // IEEE Transactions on Magnetics. - 2017. - Vol. 53, no. 9. — P. 1—10.

191. Competing interactions in artificial spin chains / V.-D. Nguyen [et al.] // Physical Review B. — 2017. — Vol. 96, no. 1. — P. 014402.

192. Concha A., Aguayo D., Mellado P. Designing hysteresis with dipolar chains // Physical review letters. — 2018. — Vol. 120, no. 15. — P. 157202.

193. Joseph R., Schlomann E. Demagnetizing field in nonellipsoidal bodies // Journal of Applied Physics. — 1965. — Vol. 36, no. 5. — P. 1579—1593.

194. Fukushima H., Nakatani Y., Hayashi N. Volume average demagnetizing tensor of rectangular prisms // IEEE Transactions on Magnetics. — 1998. — Vol. 34, no. 1. - P. 193-198.

195. Magnetization switching in alternating width nanowire arrays / S. Goolaup [et al.] // Physical Review B. — 2007. — Vol. 75, no. 14. — P. 144430.

196. Magnetostatic interaction in arrays of nanometric permalloy wires: A magneto-optic Kerr effect and a Brillouin light scattering study / G. Gubbiotti [et al.] // Physical Review B. - 2005. - Vol. 72, no. 22. - P. 224413.

197. Bennett A., Xu /.Simulating the magnetic susceptibility of magnetic nanowire arrays // Applied physics letters. — 2003. — Vol. 82, no. 19. — P. 3304—3306.

198. Domain configuration and magnetization switching in arrays of permalloy nanostripes / O. Iglesias-Freire [et al.] // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2014. - Vol. 355. - P. 152—157.

199. Fraerman A., Sapozhnikov M. Hysteresis model with dipole interaction: Devil's staircase like shape of the magnetization curve // Physical Review B. - 2002. - Vol. 65, no. 18. - P. 184433.

200. The design and verification of MuMax3 / A. Vansteenkiste [et al.] // AIP advances. — 2014. — Vol. 4, no. 10. — P. 107133.

201. Landau D. P, Binder K. A guide to Monte Carlo simulations in statistical physics. — Cambridge university press, 2014.

202. Kapitan V. Y., Nefedev K. V. High performance calculation of magnetic properties and simulation of nonequilibrium phenomena in nanofilms // Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes-HPSC 2012. — Springer, 2014. - P. 95-107.

203. Nefedev K. V., Kapitan V. Concentration phase transition and hysteresis phenomena in Co-nanofilms. computer data processing and simulation // Advanced Materials Research. Vol. 718. — Trans Tech Publ. 2013. — P. 69-73.

Список рисунков

1.1 Схематичное представление процесса обмена репликами в

алгоритме параллельного отжига на примере 5 реплик......... 13

2.1 а) Образец со случайным равномерным распределением частиц на плоскости. б) График зависимости суммы интенсивности обмена от концентрации частиц для 2Б образца...................22

2.2 а) Приведенное значение интенсивности обмена для пяти независимым образом полученных 2Б образцов. б) Приведенное значение интенсивности обмена для 2Б образцов (увеличенный масштаб)...................................22

2.3 а) Образец со случайным равномерным распределением частиц в объеме. б) Относительное значение интенсивности обмена для пяти независимым образом полученных 3Б образцов. в) Относительное значение интенсивности обмена для 3Б образцов (увеличенный масштаб) ................................... 23

2.4 Элементарные ячейки спинового льда (на основе диспрозия) и льда воды. Спин, направленный наружу/внутрь, означает атом водорода, который смещен от/к атому кислорода в центре тетраэдра [62].....25

2.5 Решетка кагоме [102]............................27

2.6 а) Изображение магнитно-силовой микроскопии (МБМ) массива пермаллоя [58]. Разделение каждого островка на черно-белые половинки указывает на однодоменный характер островков. б) Рентгеновский магнитный круговой дихроизм (ХМСБ) был использован для изображения магнитных моментов островков искусственного спинового льда [131]. Однородный оттенок, связанный с каждым островком, указывает на то, что они являются монодоменами с магнитным моментом, выровненным вдоль длинной оси островка. Четыре уровня оттенка в одном изображении позволяют однозначно определить магнитные состояния, представленные схематически под каждым рисунком .......... 31

2.7 Примеры решеток диполей в основном состоянии. а) Одно из двух равновероятных основных состояний искусственного квадратного спинового льда. б) Основное состояние гексагонального искусственного спинового льда [9] ....................32

2.8 а) Теплоемкость и б) магнитная восприимчивость для моделей квадратного спинового льда (4, 12, 24, 220 и 312 диполей) [24] .... 35

2.9 Вероятность появления кластеров размером N..............37

2.10 Усреднение по кластерам в зависимости от температуры........37

2.11 Термодинамика спинового снега. Слева схематично приведены квазирешетки, справа - температурное поведение теплоемкости и энтропии [10] ................................39

3.1 Выделение ядра в гибридном алгоритме численного расчета .....46

3.2 Вероятности внутренней энергии ядра, при заданных значениях граничных спинов, а) вычисленная аналитически и б) алгоритмом Метрополиса. в) Отклонение значений вероятности для фиксированных граничных спинов ядра при заданной температуре в сравнении алгоритма Метрополиса с точным решением ........ 48

3.3 Температурное поведение теплоемкости С(Т) в отсутствии внешнего магнитного поля двумерной модели Изинга 104 спинов, полученная независимыми методами: гибридным - Снм, энтропийным - С-жь, реплично-обменным - Срт и аналитически, методом Фердинанда—Фишера - Срр [147]. Температурная зависимость магнитной восприимчивости х в исчезающе малом внешнем магнитном поле |Н| ^ 0 рассчитана гибридным (хнм) и реплично-обменным (хрт) методами [7]..................50

3.4 Разность между температурами пиков магнитной восприимчивости

и теплоемкости в обратной зависимости от числа частиц при |Н| ^ 0 51

3.5 а) Пример системы диполей на гексагональной решетке с периодическими граничными условиями. б) Элементарная ячейка гексагональной решетки .......................... 53

3.6 а) Блок для прохода по системе искусственного спинового льда с диполь-дипольным взаимодействием. Красным выделены спины входящие в ядро, синим - граничные спины ядра. б) Ближайшие соседи для спинов в ядре (в вычислениях радиус взаимодействия ограничен до третьей координационной сферы [148])..........53

3.7 Пример фрустрированных антиферромагнитных решеток с одинаковым числом связей, но с разным вырождением основного состояния ................................... 55

3.8 Температурное поведение приращения энтропии и параметра фрустраций гексагональной решетки 11250 диполей [7].........57

4.1 Часть рассматриваемой квазипериодической структуры [8]. Плоские и длинные магнитные нанонити толщиной I, шириной w или 2w и длиной ^ п) ^ V) размещены сбоку друг от друга и разделены воздушными зазорами шириной зх. Цепочки нанонитей образуют ленты, отделенные

друг от друга зазорами шириной ву. Зеленые и красные стрелки показывают примерное направление намагниченности в узких и широких нанонитях, соответственно. Внешнее магнитное поле (черная стрелка) расположено

вдоль оси нанонити ............................. 62

4.2 Схематичное изображение нанонити пермаллоя ............. 63

4.3 Фрагменты изображения сканирующей электронной микроскопии одной ленты, образованной а) периодической и б) Фибоначчи последовательностью нанонитей [8] .................... 63

4.4 Результаты микромагнитного моделирования [8]. (а) Петли гистерезиса для одиночной широкой (700 нм) и узкой (350 нм) нанонити. Пустые кружки указывают на поля, для которых конфигурации намагниченности показаны на (б)-(ж). (б)-(г) Намагниченность внутри

широкой нанонити при: (б) 0 Э, (в) 130 Э, и (г) 140 Э. (д)-(ж) Конфигурации намагниченности внутри узкой нанонити при магнитном поле: (д) 0 Э,

(е) 290 Э, и (ж) 300 Э. Цвет указывает ориентацию намагниченности в плоскости нанонити в соответствии с картой цветов, показанной на вставке. Интенсивность показывает ориентацию намагниченности в плоскости, перпендикулярной плоскости нанонити. Белым цветом отмечена

ориентация, перпендикулярная плоскости нанонити...........66

4.5 Сравнение петель гистерезиса, измеренных с помощью продольного магнитооптического эффекта Керра (L-MOKE), в условиях а) расстояние между лентами для квазипериодической последовательности с нанонитями длиной 5 мкм и толщиной 50 нм и б) для Фибоначчи и периодической последовательности массива элементов длиной 5 мкм, толщиной 50 нм и расстоянием между лентами 10 мкм. Вертикальные пунктирные линии во вставке означают начало и конец плато. Метки I и II

(III и IV) связаны с переключением широких (узких) нанонитей. Схема

линий магнитного поля от широких элементов в массиве, когда ленты

хорошо разделены и близки друг к другу, показана в пунктах в) и г), соответственно [8] .............................. 68

4.6 Число широких нанонитей (шириной 700 нм), которые переключаются в последовательных интервалах внешнего поля для квазипериодической последовательности Фибоначчи, различающиеся по длине/толщине/расстоянию между лентами: а) 5 мкм/50 нм/то (одиночная лента), б) 5 мкм/50 нм/760 нм, в) 5 мкм/30 нм/760 нм и г) 10 мкм/30 нм/760 нм.

NWN - широкая нанонить между двумя узкими, а NWWNi и NWWN2 - это пара широких нанонитей между узкими, которые переключаются в паре при

более низком или более высоком поле, соответственно (см. также легенду в верхней части рисунка для определения цветовой полосы) [8].......................................70

4.7 Значения модуля поля структуры Hstr в периодической (ПС) и квазипериодической структуре (КПС), рассчитанные для: а) широкой полосы (в положениях NWN и NWWN) с параллельной конфигурацией нанонитей, б) широкой полосы (в NWN и NWWN) с антипараллельной конфигурацией и в) узкой полосы с антипараллельной конфигурацией элементов. Поля на рисунках а), б) и в) связаны с точками I, II и III в петле гистерезиса, отмеченной на рис. 4.5а, соответственно. Результаты для массивов лент с разделением 10 мкм и 0,76 мкм отмечены разными цветами. Строится Hstr вдоль оси нанонити (вдоль оси у) в середине элемента

[8] ....................................... 73

4.8 Зависимость внешнего магнитного поля от особых точек экспериментальной петли гистерезиса (I, II, III и IV), где переключение выбранной нанонити происходит в соответствующем поле структуры, вычисленном по аналитической модели. Построенные линии - это рассчитанные линии регрессии, из которых извлекаются и собираются значения к и Hsw в таблице 1. Результаты показаны для образцов, исследованных

экспериментально в работе [8] ....................... 75

4.9 Макроспины Изинга в а) периодической и б) Фибоначчи последовательностях ............................ 78

4.10 Сравнение петель гистерезиса, полученных в Монте-Карло

экспериментах. а) Для цепочки макроспинов в последовательности Фибоначчи для разных значений параметра к. б) Для периодической и Фибоначчи последовательностей макроспинов при фиксированном к = 0.05 [8] .................................80

Список таблиц

1 Поле переключения Hsw, полученное путем микромагнитного моделирования (ММ) [8]; масштабный коэффициент к магнитостатических взаимодействий между элементами и полем анизотропии Hani, полученный анализом линейной регрессии (ЛР) с использованием уравнения (4.10) в четырех выбранных точках петли гистерезиса (см. рис. 4.5): I и II (III и IV), связанные с переключением широких (узких) нанонитей ............... 76

Приложение А Алгоритм распределения магнитных частиц

1. Выбирается для какого образца проводить вычисления (для 2Б или 3Б).

2. Определяется размер массива частиц (по умолчанию берется массив размера N = 10000 частиц).

3. Задается радиус для всех частиц (по умолчанию 0.5нм).

4. Указывается максимальная концентрация С. За максимальную концентрацию берется 0.5 - для 2Б образца, и 0.3 - для 3Б. Если указывать более высокую концентрацию может возникнуть такая ситуация, что при случайном распределении все частицы не смогут уместиться на одном образце, так как расстояние между ними варьируется, и большую часть поверхности может занять пустое пространство.

5. Рассчитываются длины сторон образцов. Так как рассматриваются для 2Б квадратные образцы, а для 3Б - кубические, то длины их сторон будут одинаковыми.

Для расчета сторон используется формулы концентрации для 2Б и 3Б:

С1В = ^ = % = ^ (А.1)

Ьш а а1

С2В = = Ур! = 4пг(А 2)

Уш а3 За3 , '

где С - концентрация, Ьр - площадь частицы, Ь^ - общая площадь

образца, а - длина стороны образца, г - радиус частицы, п - количество

частиц, Ур - объем частицы, Уш - объем образца.

Длины сторон вычисляются по формулам (А.3) и (А.4) соответственно:

гулп

а=^ (А'3)

г3у/4пп , А „ч

а = —. (А.4)

лДС

6. Координаты (х, у, г) определяются случайным образом. Для генерации случайных целых чисел используется функция стандартной библиотеки гаиё(). Она генерирует псевдослучайное целое число. Для того

чтобы последовательность сгенерированных чисел не повторялась используется строка srand(time(NULL)), которая устанавливает параметр инициализации генератора случайных чисел в зависимости от времени старта счета.

7. При генерации новой частицы проверяется отсутствие пересечений с другими частицами и с границами образца, если имеются пересечения, то задаются случайным образом новые координаты для частицы и проверка повторяется.

8. Магнитные моменты случайным образом распределены по направлениям (вид магнитной конфигурации не влияет на суммарное значение интенсивности обмена).

9. Для построения визуальной модели параметры частиц записываются в файл. Для визуализации 2D моделей используется свободная программа «gnuplot», а для 3D - система компьютерной алгебры компании Wolfram Research «Mathematica».

10. Рассчитывается суммарное значение интенсивности обмена и энергия взаимодействия между парами частиц для различных концентраций. Затем усредняем модуль интенсивности обмена. Полученные результаты записываются в файл для построения графиков в «gnuplot».