Фазовые переходы и термодинамические свойства четырехвершинной модели Поттса на гексагональной решетке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Мазагаева Марина Курбаналиевна

• Мазагаева Марина Курбаналиевна
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Мазагаева Марина Курбаналиевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МОДЕЛЬ ПОТТСА С ФРУСТРАЦИЯМИ

1.1. Модель Поттса

1.2. Явление фрустрации в магнетизме

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО

2.1. Классический метод Монте-Карло

2.2. Алгоритм Метрополиса

2.3. Репличный алгоритм

2.4. Алгоритм Ванга-Ландау

2.5. Погрешность в методе Монте-Карло

ГЛАВА 3. ЧЕТЫРЕХВЕРШИННАЯ ФЕРРОМАГНИТНАЯ

МОДЕЛЬ ПОТТСА

3.1. Фазовые переходы, магнитные и термодинамические свойства

3.2. Ферромагнитная модель Поттса с конкурирующими обменными взаимодействиями

3.3. Ферромагнитная модель Поттса в магнитном поле

ГЛАВА 4. ЧЕТЫРЕХВЕРШИННАЯ АНТИФЕРРОМАГНИТНАЯ МОДЕЛЬ ПОТТСА

4.1. Антиферромагнитная модель Поттса с конкурирующими обменными взаимодействиями

4.2. Антиферромагнитная модель Поттса в магнитном поле

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ

ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ И РАБОТ АВТОРА

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации

Центральное место в физике конденсированного состояния занимают исследования фазовых переходов (ФП), критических явлений (КЯ), магнитных и термодинамических свойств в спиновых системах с фрустрациями. Особый интерес представляет исследование двумерных спиновых систем с фрустрациями, а именно происходящие в них эффекты при высокой температуре. Происходящие эффекты в точке ФП успешно описываются различными моделями, в которых одним из основных видов магнитных взаимодействий является обменное взаимодействие [1-4].

Понимание эффекта конкурирующего обменного взаимодействия в классических спиновых системах является одной из важнейших задач. Это связанно с тем, что учет конкурирующего обменного взаимодействия приводит к фрустрациям. Интерес к изучению влияния фрустрации критические свойства и ФП магнитных материалов, вызван тем, что фрустрации приводят к изменению свойств основного состояния, к образованию нового класса универсальности [4-7]. Наряду с конкурирующим обменным взаимодействием, на природу ФП, магнитные и термодинамические свойства фрустрированных магнитных материалов влияют возмущения и иной природы. К ним относятся внешнее магнитное и электрическое поле, магнитные и немагнитные примеси [6-8].

Общепринятой формой исследования, как известно, является эксперимент, хотя его проведение всегда было ограничено способностью физика подготовить образец для изучения или разработать метод исследования желаемых свойств. С появлением компьютеров стало возможным проводить численный эксперимент, моделируя модели, которые были неразрешимы с использованием «классических» теоретических методов [9-12]. Одними из методов численного

эксперимента, является метод Монте-Карло (МК) и молекулярной динамики, метод реномализационной группы и другие. Моделирование методом МК можно позволяет решать задачи статистической механики, принимая во внимание статистические флуктуации и их эффекты в исследуемых системах. Данные эффекты могут быть и фрустрациями [1314].

Другим методом численного эксперимента является метод ренормализационной группы. Он осуществляется в двух вариантах. Первый позволяет вычислить статистические суммы системы крупных блоков, второй основан на теоретико-полевом подходе к проблеме ФП [15-19]. Для определения критических индексов и исследования критического поведения наиболее эффективным является метод ренорм-групп с применением е- разложения и гипотезы подобия скейлинга [20-22].

Фрустрированный магнетизм стал чрезвычайно активной областью исследований. Он представляет собой превосходный испытательный полигон для открытия новых состояний и новых свойств материи. Решением проблем, связанные с исследованием фрустрированного магнетизма, стали искусственные фрустрированные спиновые решетки. В фрустрированных системах наличие нескольких конкурирующих состояний приводит к очень большому количеству низколежащих возбуждений [23]. Однако не всегда результаты, полученные экспериментальным и численным методами исследований, оказываются весьма согласованными [24].

В большинстве случаев при исследовании ФП и КЯ прибегают к таковым моделям, как модели Изинга, Гейзенберга, XY-модель, модель Поттса и т.д. Их относят к моделям первого приближения и некоторые имеют точное аналитическое решение [25-28]. Решение для одномерной цепочки решеточной модели Изинга было найдено в 1925 году Изингом, однако в ходе решения ФП определен не был. Для двумерного случая этой

же модели точное решение получено Ларсом Онзагером. Им же было доказано существование ФП в двумерных изинговских системах. Точное аналитическое решение для двумерной модели Поттса получено Бакстером в 1985 году [29-32]. Несмотря на большие достижения, создание последовательной теории ФП все еще остается одной из важнейших задач в физики конденсированного состояния. Активное применение численных методов, чья точность исследования демонстрирует превосходство над другими методами, способствует решению важнейших задач в создании теории ФП.

Исследование вырожденных состояний, возникающих в результате геометрической фрустрации конкурирующего обменного взаимодействий, стало неотъемлемой составляющей важных проблем в таких разнообразных областях, как магнетизм, сворачивание белков и нейронные сети. Недавние исследования показали, что геометрическая фрустрация льда имитируется Dy2Ti2O7, упорядоченным магнитным материалом, в котором спины находятся на решетке тетраэдров с общими углами, где они образуют необычное магнитное основное состояние, известное как «спиновый лед» [33]. Несколько других фрустрированных магнетиков, Tb2Ti2O7, как полагают, остается парамагнитным вплоть до ~0,07 ^ Однако недавние исследования предполагают, что ТО^ЬО' переходит в упорядоченное, хотя и стеклообразное, состояние при относительно высокой температуре, Т~ 1,5 К [34]. Исследования фрустрированного дипольного массива показали, что при низких температурах режим квадратного льда завершается термодинамическим упорядочивающим переходом, который может быть выбран как ферро- или антиферромагнитный [45]. Исследовании пирохлора Но2Т207, в котором магнитные ионы ферромагнитно связаны, показали, что наличие локальной анизотропии Изинга приводит к геометрически фрустрированному основному состоянию. Данное состояние предотвращает дальний магнитный порядок вплоть до температуры 0,05 К

[36]. Многочисленные исследования показывают, что учет различных изотропных и дальнодействующих обменных и конкурирующих взаимодействий приводит к реализации сложных магнитных структур, экзотических типов упорядочения, новым физическим явлениям [33-41]. Тем самым вызывает повышенный интерес к исследованию вырожденных систем с фрустрациями.

В настоящий время наиболее надежным методом исследования вырожденных систем является метод МК и метод молекулярной динамики на основе специально разработанных алгоритмов [42-45]. На сегодняшний день численный эксперимент - это надежный и самостоятельный инструмент, который, наряду с аналитическими подходами и физическим экспериментом, является неотъемлемой частью исследования физических свойств сложных систем [46-48].

В данной диссертационной работе нами на основе алгоритма Ванга-Ландау и репличного алгоритма метода МК представлены результаты исследования двумерной модели Поттса с фрустрациями на гексагональной решетке.Исследование ФП, магнитных и термодинамических свойств магнетиков, описываемых двумерными решеточными моделями Поттса, имеет большой научный интерес и открывает широкие перспективы для их практического применения. Такой интерес обусловлен тем, что низкоразмерные решеточные модели описывают большой класс реальных физических систем: слоистые магнетики, пленки жидкого гелия, сверхпроводящие пленки, адсорбированные пленки и др. [16,26,49-52].

В настоящее время для двумерной модели Поттса с различным числом состояний спина q существует совсем немного надежно установленных фактов. Большинство имеющихся результатов получены для двумерной модели Поттса с числом состояний спина q=2 и q=3 [50,52-64]. Двумерная модель Поттса с числом состояний спина q=4 до сих пор малоизучена. Данная модель интересна тем, что значение q=4 является граничным

значением интервала 2 < q < 4, где наблюдается ФП второго рода и области значений q>4, в котором ФП происходит как переход первого рода [55]. Согласно результатам работ [50,52,54], физические свойства модели Поттса сильно зависят от числа состояний спина q. Следует отметить, что при исследовании модели Поттса основное внимание до сих пор уделялось спиновым системам на квадратной, треугольной и кагоме решетках. ФП и термодинамические свойства модели Поттса с q=4 на гексагональной решетке практически не изучены. Из данных, полученных на сегодняшний день, нельзя однозначно определить характер ФП и закономерности изменения термодинамического поведения данной модели, установить особенности влияния возмущений различной природы, а также влияние внешнего магнитного поля и взаимодействий вторых ближайших соседей. Исследование двумерной модели Поттса с числом состояний спина q=4 на основе современных методов и идей позволит получить ответ на ряд вопросов, связанных с ФП и термодинамическими свойствами низкоразмерных решеточных систем. Предлагаемая работа направлена на частичное решение данной задачи.

В представляемой диссертационной работе представлены результаты исследования влияния конкурирующего обменного взаимодействия ближайших соседей и внешнего магнитного поля на ФП, магнитные и термодинамические свойства двумерной четырехвершинной фрустрированной модели Поттса на гексагональной решетке с использованием численных методов МК.

Целью диссертационной работы является исследование типа ФП, магнитных и термодинамических свойств двумерной четырехвершинной модели Поттса на гексагональной решетке с учетом конкурирующего обменного взаимодействия и внешнего магнитного поля на основе современных и высокоэффективных алгоритмов (репличный обменный алгоритм и алгоритм Ванга-Ландау) метода МК.

Задачи:

1. Разработать комплекс программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать природу ФП, магнитные и термодинамические свойства двумерных моделей Поттса с q=4 на гексагональной решетке фрустрациями;

2. Исследовать природу ФП, магнитные и термодинамические свойства ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q=4 на гексагональной решетке; построить фазовую диаграмму зависимости критической температуры от величины взаимодействия вторых ближайших соседей; определить типы ФП при различных значениях величины обменного взаимодействия;

3. Изучить магнитные и термодинамические свойства, а также особенности влияния конкурирующих обменных взаимодействий на поведение двумерной антиферромагнитной модели Поттса с q=4 на гексагональной решетке; построить фазовую диаграмму зависимости критической температуры от соотношения взаимодействий первых и вторых ближайших соседей; определить тип ФП для широкого интервала соотношения взаимодействий первых и вторых ближайших соседей;

4. Исследовать влияние внешнего магнитного поля на природу ФП, магнитные и термодинамические свойства модели Поттса с q=4 на гексагональной решетке с учетом конкурирующего обменного взаимодействия первых и вторых ближайших соседей;

5. Построить зависимости намагниченности от величины внешнего магнитного поля, определить типы магнитного упорядочения основного состояния в широком интервале значений магнитного поля.

Научная новизна работы

В рамках диссертационной работы были впервые проведены комплексные исследования ФП, термодинамических и магнитных свойств двумерной четырехвершинной модели Поттса с фрустрациями на основе единой методики.

Впервые определены закономерности влияния различных факторов (величина и тип обменного взаимодействия вторых ближайших соседей, внешнее магнитное поле и т.д.) на ФП, термодинамические и магнитные свойства данной модели.

Впервые построены фазовые диаграммы зависимости критической температуры от величины взаимодействия вторых ближайших соседей для двумерной ферромагнитной и антиферромагнитной моделей Поттса с числом состояния спина q = 4 на гексагональной решетке.

Впервые определены типы фазовых переходов для двумерной ферромагнитной и антиферромагнитной моделей Поттса с числом состояния спина q = 4 на гексагональной решетке при различных значениях величины внешнего магнитного поля.

Практическая ценность работы

Полученные в диссертации результаты исследования ФП, магнитных и термодинамических свойств фрустрированной модели Поттса привлекают внимание для дальнейших исследований в теории магнетизма, физики ФП и статистической теории конденсированного состояния, с целью применения в современных устройств записи и хранения информации.

Разработанный комплекс программ для ЭВМ на основе реплечного обменного алгоритма и алгоритма Ванга-Ландау метода МК дает возможность проводить высокоточные исследования ФП и

термодинамических свойств в фрустрированных спиновых системах. И как следствие, позволяет прогнозировать поведение магнитных материалов, успешно описываемых решеточной спиновой моделью. Разработанные алгоритмы являются неотъемлемым инструментом исследования таких систем [62-64]. Результаты численного эксперимента, полученные в данной работе, используются для чтения спецкурсов: «Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло», «Компьютерное моделирование в физике», «Методы вычислительной физики в магнетизме», а часть программ для ЭВМ при выполнении лабораторных работ по указанным спецкурсам в Дагестанском государственном университете.

Положения, выносимые на защиту:

1. Фазовая диаграмма зависимости критической температуры ТС от величины взаимодействия вторых ближайших соседей 32 двумерной ферромагнитной четырехвершинной модели Поттса на гексагональной решетке. Определение типа ФП при различных соотношениях обменного взаимодействия первых 31 и вторых 32 ближайших соседей (г=\3т/31\). Доказательство зависимости типа ФП перехода от соотношения обменного взаимодействия г. Доказательство существования фрустрированной точки в данной модели при г =

2. Зависимость критической температуры от соотношения взаимодействий первых и вторых ближайших соседей г (фазовая диаграмма) двумерной антиферромагнитной четырехвершинной модели Поттса на гексагональной решетке. Определение типа ФП при различных значениях г.

3. Фазовые переходы двумерной четырехвершинной модели Поттса на гексагональной решетке при соотношении величины обменного

взаимодействия г = 1.0 для различных значений внешнего магнитного поля И. Установлено, что в двумерной четырехвершинной ферромагнитной модели магнитное поле приводит к смене ФП. Показано, что в двумерной антиферромагнитной модели Поттса магнитное поле приводит к фрустрациям. 4. Зависимость типа магнитного упорядочения основного состояния от величины внешнего магнитного поля И двумерной четырехвершинной модели Поттса на гексагональной решетке. Показана ступенчатая зависимость намагниченности от И. Установлено, что образование ступенек вызвано сменой типа магнитного упорядочения основного состояния.

Достоверность результатов обеспечивается математической обоснованностью и использованием хорошо апробированных современных алгоритмов метода МК, применением теоретической базы для объяснения полученных результатов, а также сравнением с имеющимися в литературе данными других авторов. Данные, приведенные в диссертации, проверены с помощью независимых алгоритмов: репличным обменным алгоритмом и алгоритмом Ванга-Ландау метода МК. Полученные результаты в пределах погрешности согласуются между собой.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, совещаниях, семинарах:

1. Международная конференция «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах» - (Махачкала, 2019, 2021 и 2023);

2. XX Юбилейная Всероссийская школы-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества СПФКС - 20 - (Екатеринбург, 2020 и 2021);

3. Вторая Международная конференция «Физика конденсированных состояний», посвященной 90-летию со дня рождения академика Ю. А. Осипьяна - (Черноголовка, 2021 и 2023);

4. XXIV Международная научная конференция «Новое в Магнетизме и Магнитных Материалах» - (Москва, 2021).

5. Всероссийская конференция по физической электронике «ФЭ-2022» -(Махачкала, 2022);

6. Международная научно-практическая онлайн-конференция «Междисциплинарные исследования науки, техники и образования (НТО-1)» - (Грозный, 2023).

Личный вклад автора

В ходе выполнения научно-квалификационной работы автор принимала активное участие в формулировке целей и задач исследования, в разработке теоретической модели и выборе метода численного моделирования совместно с научным руководителем Муртазаевым А.К. Для исследования четырехверщинной модели Поттса с числом состояния спина q = 4 с учетом конкурирующего обменного взаимодействия и внешнего магнитного поля совместно с Магомедовым М.А. разработала программы на основе алгоритма Ванга-Ландау и репличного обменного алгоритма метода МК. Обработка результатов численных экспериментов проведено лично автором диссертации. Обсуждение результатов и подготовка публикаций выполнено совместно с Рамазановым М.К. По всем этапам работ, представленным в диссертации, вклад автора был определяющим или существенным в достаточной степени, чтобы выносить их на защиту.

Соответствие диссертации паспорту специальности

Содержание диссертации соответствует пункту 5 «Разработка математических моделей построения фазовых диаграмм состояния и прогнозирование изменения физических свойств конденсированных веществ в зависимости от внешних условий их нахождения» паспорта специальности 1.3.8. Физика конденсированного состояния.

Список работ автора по теме диссертации

По материалам диссертации опубликовано 24 научные работы, в том числе: 10 статей в журналах, индексируемых в наукометрических базах Web of Science и Scopus [А1-А10], 3 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ [А11-А13]. Список основных публикаций приведен в конце диссертационной работы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фазовые переходы и термодинамические свойства четырехвершинной модели Поттса на гексагональной решетке»

Объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, а также списка использованной литературы. Работа изложена на 137 страницах; содержит 66 рисунков. Список литературы содержит 140 наименований.

Содержание диссертационной работы

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследования, новизна, а также основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава состоит из двух параграфов.

Первый параграф посвящен модели Поттса. Представлено описание как планарной, так и стандартной моделей Поттса. Приведены результаты исследований ФП двумерной модели Поттса с числом состояния спина q=4. Во втором параграфе рассматриваются эффекты фрустрации и причины их

возникновения. Описаны изменения системы, вызванные эффектом фрустрация.

Вторая глава состоит из пяти параграфов и посвящена методам исследования моделей магнитных систем.

Первый параграф посвящен методу МК и его применению к каноническому ансамблю. Во втором параграфе рассмотрен непосредственно сам алгоритм Метрополиса метода МК, основанный на перевороте одного спина. Описание репличного алгоритма метода МК приведено в третьем параграфе. Этот алгоритм, в отличие от алгоритма Метрополиса метода МК, позволяет преодолеть проблему многочисленных долин локальных минимумов энергии, возникающих при исследовании фрустрированных систем. В четвертом параграфе приведено описание алгоритма Ванга-Ландау метода МК. Он является реализацией метода энтропийного моделирования и позволяет вычислить функцию плотности состояний системы, эффективен, особенно в низкотемпературной области. Пятый параграф посвящен анализу ошибок в методе МК.

В третьей главе приведены результаты исследования двумерной ферромагнитной модели Поттса с q=4 на гексагональной решетке. В первом параграфе представлены результаты исследования ФП, магнитных и термодинамических свойств этой модели без учета конкурирующего обменного взаимодействия вторых соседей. Результаты исследования термодинамических свойств и ФП рассматриваемой модели с учетом взаимодействий вторых ближайших соседей представлены во втором параграфе. В третьем параграфе представлены результаты влияния внешнего магнитного поля на ФП, магнитные и термодинамические свойства исследуемой модели.

Четвертая глава посвящена результатам исследования ФП, магнитных и термодинамических свойств двумерной антиферромагнитной модели Поттса с q=4 на гексагональной решетке.

В первом параграфе представлены результаты исследования ФП и термодинамических свойств этой модели с учетом взаимодействий первых и вторых ближайших соседей. Данные, полученные при исследовании влияния внешнего магнитного поля на исследуемую модель, представлены во втором параграфе.

В заключении представлены основные выводы по результатам диссертационной работы.

ГЛАВА 1. МОДЕЛЬ ПОТТСА С ФРУСТРАЦИЯМИ

1.1. Модель Поттса.

Модель Поттса является обобщением модели Изинга на модель с числом возможных состояний спина больше двух. Случай q = 4 для этой модели на квадратной решетке ранее рассматривался Ашкиным и Теллером [56]. В модели предложенной Ашкиным-Тейлором каждый узел решетки занят одним из четырех видов атомов, также предполагалось, что взаимодействуют только ближайшие атомы и существует только две различные энергии взаимодействия: одна между подобными атомами, а другая между разнородными. В рамках расширения метода Онзагера ими обнаружено, что для случая, когда одинаковые атомы притягиваются друг к другу, существует простое соотношение «взаимности» между статистическими суммами. Используя топологические аргументы, Ашкиным и Теллером продемонстрировано существование двойного преобразования для своей модели и была определена температура перехода в частном случае.

Дальнейшее развитие модели, предложенной Ашкиным и Теллером, приходится на 1951 году. С. Домб, указав на преобразование, открытое Крамерсом и Ванье [57] для двумерной модели Изинга, предложил своему студенту-исследователю Р.Б. Поттсу распространить полученный ими результат на модель плоского вектора с q симметричными ориентациями в каждом узле решетки. После детального исследования Поттс [58-59] пришел к выводу, что преобразования не обобщаются на модель плоского вектора с ориентацией q, но обобщаются на модель с q возможными состояниями в узле решетке, в которых существуют две различные энергии взаимодействия, соответствующие тому, что ближайшие соседи находятся в одних и тех же состояниях или различных.

Для решения проблемы Р.Б. Поттсом [59] было предложено несколько обобщений двухкомпонентной модели Изинга. В одной модели существует две независимые энергии взаимодействия. В случае если спиновые состояния ближайших соседей одинаковы, система имеет энергию взаимодействия Е0, в случае если различны имеет энергию взаимодействия Е1, причем Е0 < Е1. В другой рассмотренной модели число возможных спиновых состояний q каждого узла решетки представлены с помощью плоского вектора, который может указывать на любое из q симметрично расположенных направления. В последствии модель с числом состояний спинов q симметрично ориентированных в плоскости названа планарной моделью Поттса, а двухэнергетическая модель - стандартной моделью Поттса.

Наибольший интерес вызывал изучение четырехкомпонентной модели Поттса. Полезное понимание четырехкомпонентной модели Поттса дало наблюдения Кастелейна, доложенные на Ахенской конференции по статистической механике в июне 1964 года, которые заключались в том, что она изоморфна двум несвязанным спиновым системам Изинга.

В 1971 году Миттаг и Стивен [60] предприняли попытку алгебраического исследования двойственности и предоставили топологическое описание, аналогичное описанию Онзагера для модели Изинга [61], с учетом зависимости взаимодействия ближайших соседей от угла между двумя спинами [62]. Для различия двух типов модели Поттса, авторами предложено соотнести число состояний спина q к q симметричным направлениям симплекса в измерении (д - 1). Случай четырех состояний соответствует четырем симметричным тетраэдрическим направлениям в трех измерениях, пяти состояний - пяти симметричным направлениям симплекса в четырех измерениях и т.д.

В общем виде гамильтониан такой системы можно представить в следующем виде

н=-! з &)

(1.1)

1,/

При рассмотрении планарной модели Поттса, где спины заключены в плоскости, и каждый спин указывает на одно из q равноотстоящих друг от друга спина, функция 3(6у) является 2ят-периодической, а 6= - - это угол между взаимодействующими спинами, расположенными в соседних узлах I и у, который задается следующим образом:

2т

& =

Я

(1.2)

где п =0, 1, 2, ... q-1. Функция ^6у) планарной модели представляется в

следующем виде.

3 ) = -ЕхСО%в,

(1.3)

Исходя из сказанного, гамильтониан планарной модели Поттса может быть представлен следующим образом:

н = -3XСОБв/ ,

(1.4)

1 > /

Рис. 1. Планарная модель Поттса при различных значениях q.

В планарной модели Поттса спин может принимать дискретные, ограниченные значения на плоскости. В пределе при q ^ да векторная модель Поттса превращается в ХУ-модель.

Примеры планарной модели Поттса при различных значениях q приведены на рисунке 1.

Не имея возможности распространить метод определения угла между взаимодействующими спинами, расположенными в узлах кристаллической решетке 6у на стандартную модель Поттса с числом состояний спина q>4, Поттсом в качестве замечания в конце своей статьи [59] предложено следующее соотношение для функции 3(в)

Лвц) = -Зг8Кг ) (1.5)

где $ и $ - единичные спиновые вектора, дкг - дельта функция Кронекера, /2 - величина обменного взаимодействия, /2>0, для ферромагнитной модели, /2<0 для антиферромагнитной модели. Именно эта версия q-компонентной модели Поттса привлекла наибольшее внимание.

Таким образом, гамильтониан стандартной модели Поттса с одним возможным выгодным энергетическим состоянием можно представить в следующем виде:

Н = , £), (1.6)

где

Ф,, £ )=

1,з

1, если £ = £

0, если £ * £ , (17)

1 .

/ - константа обменного взаимодействия. Спин может принимать одно из значений Б2, ■■■, Sq. Определить угол между взаимодействующими спинами удобно представив дельта функцию , ) через скалярное

произведение векторов описывающих состояние спинов $ и $ Для этого необходимо найти систему векторов, скалярное произведение которых было

бы одинаково [63]. Рассмотрев систему из q векторов в q-1-мерном пространстве получено следующее выражение для определения косинуса угла между взаимодействующими спинами:

с°$ви =-(я -1)-1 (1.8)

Вектора, описывающие состояния спинов направлены в вершины правильного q вершинного многогранника в пространстве с размерностью q-1 (^-1)-мерного симплекса) из его центра. Схематическое представление стандартной модели Поттса с числом состояний спина q = 2, 3 и 4 приведено на рисунке 2, где показано также цветовое соответствие направлений спинов.

ц = 2 ц = 3 ц = 4

Рис. 2. Модель Поттса с числом состояний q=2, 3 и 4.

Как видно из рисунка, модель Поттса с числом состояний q=2 тождественна модели Изинга. При q=3 спины принимают три значения на плоскости, при этом угол между взаимодействующими спинами равен 120 градусам, При q=4 спины принимают четыре значения в трехмерном пространстве на противоположных углах каждой грани куба. При данных условиях косинус угла между спинами, расположенными в узлах рещетки равен -1/3, что соответствует 109.5 градусам.

Гамильтониан стандартной модели Поттса с двумя возможными энергетическими состояниями можно в общем виде можно записать в следующим образом:

Н = —/ ЕЕ3 , (1.9)

1,3

где Еу - вклад в энергию каждой пары взаимодействующих спинов. В этом случае стандартная запись формул 1.6 и 1.7 сводится к виду:

Е

Е если £. = £.

Е если £ * £ ' Ео < Е1 (110)

1 1 3

Из этого следует, что модель Поттса с небольшой модификацией, заключающейся в том, что одна (максимальная) энергия основного состояния будет в случае если спины в узлах решетки коллинеарные друг другу, а вторая (минимальная) энергия, в случае угол между взаимодействующими спинами равен % Для модели Поттса с числом состояний q=3 выполняется следующее условие:

СОБ^ =

1, если £ = £. 1/2, если £ * £ .

(111)

а для четырехверщинной модели Поттса следующее:

СОБ# , =

1

1, если £ = £.

1 3

—1/3, если £. * £.

/ 1 3

(1.12)

Помимо двухузельных взаимодействий, существуют и многоузельные взаимодествие, примером может быть конкурирующее обменное взаимодействие первых и вторых ближайших соседей, а также магнитное поле. В случае многоузельного взаимодействия, гамильтониан модели Поттса в общем виде может быть представлен следующим образом:

Н = —/ х(££.)—/2 ЕС^)—кЕ£ =

(г,к ),г*к (г >

—/1 Е —/2 Е Со8в*—кЕ £ (1Л3)

(»Л ),1*3 {',к },г*к (г>

где /1 и /2 - константа обменного взаимодействии первых и вторых ближайших соседей соответственно, И - величина магнитного поля, в^, вг,к -углы между взаимодействующими спинами $ - и $ - $к.

<

<

Для описания картины возможных ФП в ферромагнитных моделях Поттса с различным числом состояний спина q Миттагом и Стивеном [64] была применена теория среднего поля. При описании модели Изинга данная теория дает правильную и качественную картину о возможных ФП. Рассматривая q и й как непрерывные функции ими предполагалось наличие критического значения qc(d), что подразумевало существование и критической размерности йс(ц). Как показано на рисунке 2, таковыми точками являются йс(2) = 4 и qc(2) = 4. Полученные результаты утверждают, что точки йс(2)=4 и qc(2)=4 являются критическими точками перехода от ФП второго рода к ФП первого рода. Данные точки вызывают многочисленные дискуссии в изучении вопроса определения типа ФП.

Рис 3. Схематический график qc(d).

На сегодняшний день существует множество аналитических и численных результатов для традиционной модели Поттса с числом конфигураций спина q = 2 для различных решеток и измерениях [56], о моделях с q > 2 пока мало надежно установленных фактов. Для модели Поттса с q =3 на треугольной решетке точная точка перехода получена Бакстером и Ву [65-66]. Исследование планарной модели Поттса для случаев 1 < q < 4 представлены в работах Результаты исследования планарной модели Поттса для [67-69]. Проведенные аналитические и

численные исследования показали, что вопрос о том, является ли фазовый переход при q = 4 переходом второго рода или первого, является одним из самых фундаментальных вопросов в статистической физике, и обширная литература случае модели Поттса посвящена этой теме.

Приведенные авторами в работе [69] исследования стандартной модели Поттса на квадратной решетке, демонстрируют согласии аналитического решения для случаев q = 3 и q = 5 с результатами численного исследования. Однако для случая q = 4 аналогичная согласованность не наблюдается. Аналитические расчеты, проведенные на основе низкотемпературных разложений и предсказывают ФП второго рода, тогда как результаты численного исследования демонстрируют поведение, характерное ФП первого рода. Численные исследования авторами проведены на основе энтропийного алгоритма Ванга-Ландау метода МК для систем с линейными размерами Ь = 68. Для определения типа ФП использован гистограммный метод анализа данных

В работе [70] также представлены результаты исследования ФП двумерной ферромагнитной модели Поттса с q = 4 на квадратной и гексагональной решетке, однако для систем с линейными размерами 64<Ь<4096. Исследования проведены на основе кластерного алгоритма Вульфа МК, для определения критической температуры использован метод кумулянтов Биндера 4-го порядка, а для определения типа ФП -гистограммный метод анализа данных. Исследования демонстрируют зависимость признаков ФП от линейных размеров системы. Для модели Поттса на квадратной решетке с ростом линейных размером признаки ФП первого рода сохраняются, однако для модели на гексагональной решетке признаки ФП первого рода с ростом линейных размеров исчезают, становятся менее определенными. Это говорит о том, что для лучшего понимания представленных результатов могут потребоваться тщательные аналитические расчеты.

Модель Поттса успешно реализовывается в экспериментах. Предложены и идентифицированы вещества, чьи термодинамические свойства можно рассматривать как реализацию различных моделей Поттса. Именно благодаря комбинированным усилиям как в теории, так и в экспериментах, начала вырисовываться сходящаяся картина в понимании переходов в модели Поттса [23]. Примером может служить переход, происходящий в монослоях и субмонослоях, адсорбированных на поверхности кристаллов. В частности, предполагалось, что XI, адсорбированный на покрытом криптоном графите, должен демонстрировать критическое поведение в соответствии с моделью Поттса q = 4. Кроме того, авторы работы [71] изучали 02, адсорбированный на поверхности никеля, как реализацию модели двумерной модели Поттса с q = 4.

Модель Поттса является успешной при описании эффектов фрустрации. Примером может быть трехмерная ферромагнитная модель Поттса с четырьмя состояниями и особым типом геометрической фрустрации на трехмерной алмазной решетке. Данная модель предлагается как упрощенная модель для описания своеобразного ФП, обнаруженного в у#-пирохлороксиде К0в206.

Атомы осмия и атомы кислорода образуют октаэдры 0s06, а сеть 080б действует как клетки для атомов щелочных металлов. При наименьшем содержании атома К наблюдается тяжелое ангармоническое колебание, называемое «дребезжанием» [72-73]. Для объяснения «дребезжания» Канесом была предложена трехмерная ферромагнитная модель Поттса [74]. Помимо «дребезжания» в данном веществе наблюдается пространственная асимметрия электронной плотности атомов К, что благоприятствует направлению ближайшего соседа атома К. При этом у#-пирохлор К0я206 на основе калия наряду с сверхпроводимостью, претерпевает новый ФП при

температуре 7.6 К [75]. Это ФП первого рода, при котором теплоемкость и удельное сопротивление имеют гистерезис [76,77].

Другими примерами являются модели Поттса спинового стекла, полностью фрустрированная ферромагнитная модель Поттса, а также модель Поттса с беспорядком. Эти модели дают некоторое представление при выяснении роли фрустрации и беспорядка в стеклянных системах, таких как переохлажденные жидкости, полимеры, гранулированный материал, вихревые стекла, ионные проводники, коллоиды, пластические кристаллы и спиновые стекла [78,79]. Данные модели полезны для понимания некоторых экспериментальных результатов по расходящейся статической восприимчивости при конечной температуре в стеклообразных системах [80,81].

1.2. Явление фрустрации в магнетизме

При изучении физики ФП, магнитных и термодинамических свойств магнитных систем эффект фрустрации является важным физическим свойством. Содержание «фрустрации» заключается в том, что топологические ограничения не позволяют соседним спинам атомов в узлах решетки принять направление, при которой энергия каждой связи минимизируется. Впервые термин «фрустрация» был введен в магнетизм Жераром Тулузом в 1977 году для описания антиферромагнитной модели Изинга на треугольной решетке [82]. Для данной модели требование минимизации энергии каждой связи может быть выполнено только для двух связей, но не для трех (рис.3). В этом случае решетки, такие как треугольники тетраэдры, имеют общие узлы, так что не существует уникального состояния, которое минимизирует все энергии связи с ближайшими соседними узлами. Следовательно, будет много состояний с примерно одинаково низкими энергиями, т. е. фрустрация приводит к

большому вырождению низколежащих состояний. Это влечет за собой большие квантовые флуктуации, которые могут препятствовать возникновению магнитного порядка.

а б

Рис.4. Фрустрации в системе из трех спинов.

Это может возникнуть уже в случае взаимодействия первых ближайших соседей. Возникающий при этом вид фрустрации относится к геометрической. Иной причиной фрустрации может быть конкуренция более дальнодействующих взаимодействий даже в простых структурах.

В качестве примера рассмотрим фрустрацию на квадратной решетке [83]. Для изучения энергии основного состояния в подобных структурах используется модельный гамильтониан парного обменного взаимодействия:

Н =-Х , (1.14)

(У >

где спины 8г могут принимать значения ± 1 и располагаться на квадратной решетке. Принцип метода изучения заключается в том, что для каждого элементарного квадрата, вычисляется функция фрустрации

фр =п ^ )

р . (1.15)

Произведение берется по четырем связям, принадлежащим квадратной решетке. Если фр = 1, то все спины вокруг нее могут быть расположены так, чтобы удовлетворялись все четыре связи. Если фр = - 1, то это невозможно,

так как хотя бы одна связь в основном состоянии не выполняется. В данном случая фрустрированная связь принадлежит двум квадратным ячейкам. Такие связи образуют набор связей, связывающих квадратики.

На примере квадратной решетки это объясняется существованием двух типов обменного взаимодействия: по стороне квадрата и по его диагонали. Если обменное взаимодействие соседей по стороне квадрата (первые ближайшие соседи) является антиферромагнитным, то спины, расположенные по сторонам квадрата, будут выстраиваться антипараллельно. При этом если обменное взаимодействие по диагонали квадрата также антиферромагнитное, то "диагональные спины" тоже стремятся к антипараллельному порядку. Возникает фрустрация в связи с тем, что при описанном случаи соблюсти одновременно два условия невозможно (антипараллельности по стороне и по диагонали). Следовательно, образуется множество состояний с примерно одинаково низкими энергиями. Такое поведение приводит к беспорядку в системе.

Следует отметить, что не каждый беспорядок является следствием фрустрации. Фрустрация в магнитных системах является именно той частью беспорядка, которая не переходит в упорядоченное состояние даже при низких температурах, а также является неустранимой какими-либо преобразованиями переменных [84]. При низких температурах в основном имеются две альтернативы: квантовые флуктуации могут выбрать одно из вырожденных состояний в качестве истинного упорядоченного состояния («упорядочение по беспорядку») или они могут привести к упорядоченной квантовой фазе с новым типом параметра порядка, т.е. к типу «скрытый порядок». Это проводит к изменению поведению системы в сравнении с подобной, но упорядоченной.

Фрустрации могут существовать не только при наличии конкурирующих обменных взаимодействий первых и вторых ближайших соседей. Приведенные авторами доводы в работах [85-88] свидетельствует

о том, что внешние факторы, такие как магнитное поле и давление, могут также порождать и подавлять фрустрации в спиновых системах. Наблюдаемое зависят не только от соотношений между параметрами взаимодействия и величины поля и давления, но и от направления.

Эффекты фрустрации представляют наибольший интерес, когда они приводят к бесконечно вырожденным или «почти вырожденным» основным состояниям. Они, как правило, удовлетворяют большей группе симметрии, чем отдельные спины, что может приводит к экзотическим критическим явлениям [89-90]. Одним из таких явлений является так называемый механизм «порядок за беспорядком». Это происходит, когда неупорядоченная парамагнитная фаза оказывается при более низкой температуре, чем упорядоченная фаза; при повышении температуры происходит переход от беспорядка к порядку. Подобное явление наблюдается в полностью фрустрированных моделей Поттса с тремя состояниями: модели Поттса «нагромождение домино» и модели зигзага Поттса [89].

Численные результаты для фрустрированных моделей, таких как модель Поттса спинового стекла и полностью фрустрированная ферромагнитная модель Поттса соответственно, дают некоторое представление о связи между динамикой и статикой в стекловидных системах и выяснение роли фрустрации и беспорядка [91].

Таким образом, на сегодняшний день интерес к изучению эффектов фрустрации обусловлен экзотичным и непривычным поведением фрустрированных магнитных систем, сопровождающийся изменением физических свойств системы. На протяжении нескольких десятилетий такие системы стали важнейшим предметом многих аналитических и экспериментальных исследований [91-93]. Последнее привело к разработке новых эффективных методик изучения эффектов фрустраций в искусственных магнитных системах.

ГЛАВА 2. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

2.1. Классический метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло - это метод статистического моделирования на электронных вычислительных машинах (ЭВМ) со многими степенями свободы, что приводит к широкому применению в научных исследованиях. В основе его лежит использование «случайных чисел» для машинной имитации вероятностных распределений, чем и объясняется название метода. Такие распределения часто не удается получить в явном виде, так как изучаемые системы очень сложны. Первоначально метод развит для решения задач теории переноса излучения, однако сегодня находит широкое применение при решении различных математических задач физики, механики, химии, биологии, кибернетики, спинтроники [42].

Метод МК предназначен для изучения равновесных и неравновесных систем путем описания физической системы в гамильтоновой формулировке. Для генерирования соответствующих вероятностей различных состояний системы обычно используются псевдослучайные числа. Под вероятностью подразумевается термодинамическая вероятность, определяемая согласно микроканоническому, каноническому и большому каноническому ансамблю [94-95].

Основной проблемой для любого тщательного и точного исследования МК является объем требуемых компьютерных ресурсов. Для крупномасштабных вычислений, которые необходимы для изучения теорий решеточной калибровки, мощность и эффективность моделирования имеют первостепенное значение. Желание изучить более крупные и сложные системы стало стимулом для многих достижений в разработке вычислительных алгоритмах на компьютерном оборудовании, направленных на увеличение скорости выполнения моделирования [96].

В 1953 году Н. Метрополисом и другими был предложен общий метод, подходящий для быстрых ЭВМ, предназначенный для расчета свойств любого вещества. Данный метод рассматривает систему, состоящую из взаимодействующих отдельных молекул. Предполагается классическая статистика, рассматриваются только силы двух тел, а потенциальное поле молекулы считается сферически симметричным. При условии соблюдения указанных выше предположений метод не ограничивается каким-либо диапазоном температуры или плотности.

Наиболее эффективным для реализации предложенного метода был определен метод МК. Для многомерных интегралов он состоял в простом интегрировании по случайной выборке точек, вместо регулярного массива точек. Таким образом, наиболее наивным методом выполнения интегрирования было бы поместить каждую из N частиц в случайное положение в квадрате (это определяет случайную точку в 2^мерном конфигурационном пространстве), затем вычислить энергию системы и придать этой конфигурации вес exp(-E/kВT). Этот метод был использован при расчете уравнения состояния двумерной системы А в 1957 данный метод был использован Вудом и др. для вычисления коэффициента сжимаемости, избыточной внутренней энергии, избыточной постоянной объемной теплоемкости и радиальной функции распределения молекул Леннорда-Джонса в трехмерной системе [97]. Найдено близкое согласие с Михельсом, но существенное несогласие с Бриджменом [98].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мазагаева Марина Курбаналиевна, 2024 год

- -

- 1 1 1 -

г1 -

1 . 1 . 1 . . 1 .

01 23456789 10 11

/1

Рис. 64. Зависимость намагниченности т от магнитного поля к при

температуре квТ ^ =0.01.

о -1

Е/Л/

-2

-3

-4

-5

01 23456789 10 11

ь

Рис. 65. Зависимость минимальной энергии Emiл от магнитного поля к при температуре кВТ/^ =0.01.

При значении поля к > 9.0 вдоль внешнего магнитного поля выстраиваются все спины, и система выходит на плато насыщения.

График зависимости минимальной энергии системы от величины внешнего магнитного поля представлен на рис. 65. На рисунке мы наблюдаем шесть различных областей зависимости минимальной энергии от величины магнитного поля. В первой области, где поле меняется в интервале 0.0<к<2.5, энергия остается неизменной. Во всех остальных областях наблюдается спад энергии с ростом поля.

Для изучения природы ФП нами использовался гистограммный метод анализа данных метода МК. Полученные на основе этого метода результаты показывают, что в интервалах поля 0.0 < к < 3.0 и 6.0 < к < 6.5 в данной модели наблюдается ФП первого рода. Это продемонстрированно на рис. 65 и 66. На этих рисунках представлены гистограммы распределения энергии для системы с линейными размерами Ь = 60 для значений к = 2.0 и к = 6.0.

Р(Е)

11=2.0

1 00

0 75

0.50

0.25

0 00

А_,_I___I___I_,_I.

-1 470 -1.435 -1 400 -1 365 -1.330

Е/Ы

Рис. 65. Гистограммы распределения энергии для к=2.0.

Рис. 66. Гистограммы распределения энергии для И=6.0.

Графики построены при различных температурах близких к критической температуре. На рисунках видно, что в зависимости вероятности Р(Е) от энергии Е наблюдаются два хорошо выраженных максимума, которые свидетельствует в пользу ФП первого рода. Аналогичное поведение наблюдается для всех значений поля в интервалах 0.0 < к < 3.0 и 6.0 < к < 6.5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе проведено исследование природы ФП, магнитных и термодинамических свойств двумерной модели Поттса с числом состояний спина д=4 на гексагональной решетке методом Монте-Карло. Учет взаимодействий вторых соседей, а также внешнего магнитного поля может привести к возникновению фрустраций в данной модели. Многие физические свойства магнитных материалов с фрустрациями сильно отличаются от свойств обычных магнетиков, что вызывает повышенный интерес к исследованию рассматриваемой модели.

Для решения поставленных задач нами использовались репличный обменный алгоритм и алгоритм Ванга-Ландау метода Монте-Карло. С использованием этих алгоритмов исследованы особенности фазовых переходов, магнитные и термодинамические свойства двумерной ферромагнитной и антиферромагнитной моделей Поттса с числом состояний спина д=4 на гексагональной решетке с взаимодействиями первых и вторых ближайших соседей, а также во внешнем магнитном поле. Вычислены температурные зависимости основных термодинамических параметров для этих моделей. На основе гистограммного метода анализа данных определен род фазовых переходов этих моделей при различных значениях величины взаимодействия вторых ближайших соседей и величины внешнего магнитного поля.

Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Показано, что в двумерной ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина д=4 на гексагональной решетке реализуется фазовый переход второго рода.

2. Обнаружено, что в ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина д=4 на гексагональной решетке учет антиферромагнитных

взаимодействий вторых соседей в интервале соотношения взаимодействия первых и вторых соседей 0.0 < г < 0.25 реализуется ФП второго рода; в интервале 0.25<г<0.5 фрустрации подавляют ФП, а при значении г=0.5 система становится фрустрированной; в интервале 0.5<г<1.0 наблюдается фазовый переход первого рода[139];

3. Показано, что в ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина д=4 с взаимодействиями вторых антиферромагнитных соседей (г=1.0) в интервале значений внешнего магнитного поля 0.0<к<3.5, кроме значения к = 1.5 и 2.5 наблюдается ФП первого рода. Для значения поля к = 1.5 и 2.5 наблюдается ФП второго рода. В интервале 4.0 < к < 7.0 магнитное поле снимает вырождение основного состояния и подавляет фазовый переход. Для г = 0.5 в этой модели при значении поля к = 0.5 наблюдается ФП первого рода;

4. Обнаружено, что в двумерной антиферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина д=4 на гексагональной решетке основное состояние сильно вырождено и в системе отсутствует фазовый переход. При учете антиферромагнитных взаимодействий вторых ближайших соседей в интервале 0.1<г<1.0 в данной модели наблюдается фазовый переход первого рода [140];

5. Показано, что в антиферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина д=4 с антиферромагнитными взаимодействиями вторых ближайших соседей (г=1.0) в интервалах значений внешнего магнитного поля 0.0 < к < 3.0 и 6.0 < к < 6.5 реализуется фазовый переход первого рода. Обнаружено, что в интервале 4.0 < к < 5.0 система находится вблизи режима фрустрации, а при значениях внешнего поля к = 3.5 и 5.5 становится фрустрированной. Показано, что при сильных полях (к > 7.0) наблюдается подавление фазового перехода в системе.

6. Разработан комплекс программ для ЭВМ, с помощью которого можно исследовать природу фазовых переходов, магнитные и термодинамические свойства фрустрированных спиновых моделей.

Таким образом, полученные при выполнении данной работы результаты, использованные алгоритмы, приемы и способы анализа природы фазовых переходов создают надежную основу для исследования методами вычислительной физики моделей сложных спиновых систем.

В заключении хотелось бы выразить глубокую благодарность за помощь, содействие, наставление и консультации моему научному руководителю член-корреспонденту РАН, доктору физико-математических наук, профессору Муртазаеву Акаю Курбановичу. А также поблагодарить кандидата физико-математических наук Рамазанова Магомедшейха Курбановича, кандидата физико-математических наук Магомедова Магомеда Алиевича и весь коллектив лаборатории Вычислительной физики и физики фазовых переходов и лаборатории Математического моделирования конденсированных сред Института физики им. Х.И. Амирханова - обособленного подразделения Дагестанского федерального исследовательского центра Российской академии наук за совместную работу и обсуждение моих результатов.

Спасибо всем моим друзьям и коллегам, которые работают в Институте физики им. Х.И. Амирханова ДФИЦ РАН за их поддержку и интерес к полученным результатам.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ФП - фазовый переход.

КЯ - критическое явление.

МК - Монте-Карло (метод).

ВФ - вычислительная физика.

д - число состояний спина.

г - соотношение обменных взаимодействий.

31 - величина обменного взаимодействия первых соседей.

32 - величина обменного взаимодействия вторых соседей. к - внешнее магнитное поле.

ПГУ - периодические граничные условия. Ь - линейный размер системы.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ И РАБОТ АВТОРА

Статьи, индексируемые в Web of Science и Scopus:

А1. Murtazaev, A.K. Phase Transitions and Thermodynamic Properties of the Potts Model with Spin States Number q = 4 on a Hexagonal Lattice / A.K. Murtazaev, M.K. Ramazanov, M.K. Mazagaeva, M.A. Magomedov // JETP. - 2019. - V.129. - P. 421-425. {Муртазаев, А.К. Фазовые переходы и термодинамические свойства модели Поттса с числом состояний спина q=4 на гексагональной решетке / А.К. Муртазаев, М.К. Рамазанов, М.К. Мазагаева, М.А. Магомедов // ЖЭТФ. - 2019. -Т.156.

- С.502-506.}

А2. Ramazanov, M.K. Phase Transformations and Thermodynamic Properties of the Potts Model with q = 4 on a Hexagonal Lattice with Interactions of Next-Nearest Neighbors / M.K. Ramazanov, A.K. Murtazaev, M.A. Magomedov, M.K. Mazagaeva // Physics of the Solid State. - 2020. - V. 62. - Р. 499503. {Рамазанов, М.К. Исследование фазовых переходов и термодинамических свойств модели Поттса с q = 4 на гексагональной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей / М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева // Физика твердого тела. - 2020. - Т.62. - Вып.3. - С.442-446.} А3. Murtazaev, A.K. Phase Diagram of the Potts Model with the Number of Spin States q = 4 on a Hexagonal Lattice / A.K. Murtazaev, M.K. Mazagaeva, M.K. Ramazanov, M.A. Magomedov, A.A. Murtazaeva // Physics of the Solid State. - 2021. - V. 63. - Р. 731-736. {Муртазаев А.К. Фазовая диаграмма модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке / А.К. Муртазаев, М.К. Мазагаева, М.К. Рамазанов, М.А. Магомедов, А.А. Муртазаева // Физика твердого тела.

- 2021. - Т.63. - Вып.5. - С.622-627.}

А4. Murtazaev, A.K. Phase Diagram of the Antiferromagnetic Potts Model with Number q = 4 of Spin States in the Hexagonal Lattice / A.K. Murtazaev, M.K. Mazagaeva, M.K. Ramazanov, M.A. Magomedov, // Physics of Metals and Metallography. - 2021. - V. 122 - Р. 428-433. {Муртазаев, А.К. Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке / А.К. Муртазаев, М.К. Мазагаева, М.К. Рамазанов, М.А. Магомедов // Физика металлов и металловедение. - 2021. - Т.122. - Вып.5. - С.460-465.} А5. Ramazanov, M.K. Phase Transitions and the Magnetic Properties of the Potts Model with Four Spin States on a Hexagonal Lattice in Low Magnetic Fields / M.K. Ramazanov, A.K. Murtazaev, M.A. Magomedov, M.K. Mazagaeva // JETP Letters. - 2021. V. 114 - N. 11. - P. 693-698. {Рамазанов, М.К. Фазовые переходы и магнитные свойства модели Поттса с числом состояний спина q=4 на гексагональной решетке в слабых магнитных полях / М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева // Письма в ЖЭТФ. - 2021. - Т.114. - Bbim 11. - С.762-767.} А6. Ramazanov, M.K. Investigation of the influence of weak magnetic fields on thermodynamic properties of the Potts model with the number of spin states q = 4 on a hexagonal lattice / M.K. Ramazanov, A.K. Murtazaev, M.A. Magomedov, M.K. Mazagaeva, M.R. Dzhamaludinov // Physics of the Solid State. - 2022. - V. 64. N.2 - P. 231-234. {Рамазанов, М.К. Исследование влияния слабых магнитных полей на термодинамические свойства модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке / М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева, М.Р. Джамалудинов // Физика твердого тела. - 2022. - Т.64. - Вып.2. - С.237-240.} А7. Ramazanov, M.K. Studying the Effect of Strong Magnetic Fields on the Phase Transitions of the Frustrated Potts Model with a Number of Spin States q =

4 / M.K. Ramazanov, A.K. Murtazaev, M.A. Magomedov, M.K. Mazagaeva, A.A. Murtazaeva // Physics of Metals and Metallography. -2022. - V. 123. - N. 3. - P. 290-296. {Рамазанов, М.К. Исследование влияния сильных магнитных полей на фазовые переходы фрустрированной модели Поттса с числом состояний спина q = 4 / М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева, А.А. Муртазаева // Физика металлов и металловедение. - 2022. - Т.123. вып.3. - С.313-319.}

А8. Ramazanov, M.K. Phase Transitions in a Frustrated Four-Vertex Potts Model on a Hexagonal Lattice in a Magnetic Field / M.K. Ramazanov, A.K. Murtazaev, M.A. Magomedov, M.K. Mazagaeva // Physics of Metals and Metallography. - 2023. - V. 124. N. 5. - P. 429-436. {Рамазанов М.К. Фазовые переходы фрустрированной четырехвершинной модели Поттса на гексагональной решетке в магнитном поле / М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева // Физика металлов и металловедение. - 2023. - Т.124. вып.5. - С.1-8.} А9. Рамазанов, М.К. Исследование влияния слабых магнитных полей на фазовые переходы четырехкомпонентной антиферромагнитной модели Поттса/ М.К. Рамазанов, М.К. Мазагаева, М.А. Магомедов, А.К. Муртазаев // Физика твердого тела. - 2023. - Т.65. - Вып. 12. - С.2281-2285.

А10. Ramazanov, M.K. Influence of Magnetic Field on Phase Transitions in the Antiferromagnetic Potts Model/ M.K. Ramazanov, A.K. Murtazaev, M.A. Magomedov, M.K. Mazagaeva // Physics of Metals and Metallography. -2024. - V. 125. N. 6. - P. 563-470.

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ:

А11. Рамазанов М.К., Мазагаева М.К. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019664586 «Программа для

исследования термодинамических свойств модели Поттса с числом состояний спина q=4 на гексагональной решетке». Опубликовано: 8.11.2019. Бюл. №11

А12. Магомедов М.А., Рамазанов М.К., Мазагаева М.К. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022682017 «Программа для исследования влияния сильных магнитных полей на фазовые переходы модели Поттса на гексагональной решетке» Опубликовано: 17.11.2022. Бюл. №11

А13. Магомедов М.А., Мазагаева М.К., Рамазанов М.К. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2023681160 «Программа для расчета магнитных характеристик модели Поттса на гексагональной решетке». 0публиковано:11.10.2023. Бюл. №10.

Иные публикации, индексируемые в РИНЦ:

А14. Исследование фазовых переходов в модели Поттса с числом состояний спина q=4 на гексагональной решетке / М.К. Мазагаева, А.К. Муртазаев, М.К. Рамазанов, М.А. Магомедов // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». - Махачкала, 2019. - С.65.

А15. Исследование термодинамических свойств модели Поттса с числом состояний спина q=4 на гексагональной решетке / М.К. Мазагаева, А.К. Муртазаев, М.К. Рамазанов, М.А. Магомедов // Тезисы докладов XX Юбилейной Всероссийской школы-семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества (СПФКС - 20). - Екатеринбург, 2019. - С.94.

А16. Влияние магнитного поля на магнитные свойства антиферромагнетика RbFe(MoO4)2 / М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева // Тезисы докладов XXI Всероссийской школы-

семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества (СПФКС-21). - Екатеринбург, 2021. - С.147.

А17. Исследование влияния магнитного поля на термодинамические и магнитные свойства модели Поттса с д=4 на гексагональной решетке методом Монте-Карло / А.К. Муртазаев, М.К. Рамазанов, М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». - Махачкала, 2021. - С.56-57.

А18. Фазовая диаграмма модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке / А.К. Муртазаев, М.К. Рамазанов, М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева // Сборник тезисов Второй международной конференции «Физика конденсированных состояний», посвященной 90-летию со дня рождения академика Ю. А. Осипьяна. - Черноголовка, 2021. - С.246.

А19. Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке / М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, М.Х. Мазагаева // Сборник трудов XXIV Международной научной конференции «Новое в Магнетизме и Магнитных Материалах». - Москва, 2021. - С.8-48-8-49.

А20. Исследование влияния сильных магнитных полей на фазовые переходы фрустрированной модели Поттса на гексагональной решетке / М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева, М.Р. Джамалудинов // Материалы XII Всероссийской конференции «ФЭ-2022». - Махачкала, 2022. - С.154-155.

А21. Фазовые переходы фрустрированной модели Поттса / М.К. Рамазанов А.К Муртазаев., М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева // Тезисы III Международной конференции «Физика конденсированных

состояний» ФКС-2023, посвященной 60-летию ИФТТ РАН. -Черноголовка, 2023. - С. 237.

А22. Влияние магнитного поля на фазовые переходы модели Поттса / М.К. Мазагаева, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, Р.М. Рамазанов // Тезисы III Международной конференции «Физика конденсированных состояний» ФКС-2023, посвященной 60-летию ИФТТ РАН. - Черноголовка, 2023. - С. 247.

А23. Влияние магнитного поля на магнитные и термодинамические свойства антиферромагнитной модели Поттса / М.К. Мазагаева, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, Р.М. Рамазанов // Сборник трудов международной конференции «Фазовые переходы, критические и нелинейные явления в конденсированных средах». - Махачкала, 2023. - С. 40-41.

А24. Влияние магнитного поля на фазовые переходы фрустрированной четырехвершинной модели Поттса / Рамазанов М.К., Муртазаев А.К., Магомедов М.А., Мазагаева М.К., Муртазаева А.А., Рамазанов К.М. // Материалы международной научно-практической онлайн-конференции «Междисциплинарные исследования науки, техники и образования (НТО-1)». - Грозный, 2023. - С. 122-126.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1) Доценко, В.С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком / В.С. Доценко. // УФН. - 1995. - Т.165. № 5. - С. 481-528.

2) Коршунов, С.Е. Фазовые переходы в двумерных системах с непрерывным вырождением / С.Е. Коршунов // УФН. - 2006. - Т. 176. - С. 233-274.

3) Малеев, С.В. Рассеяние поляризованных нейтронов в магнетиках / С.В Малеев // УФН. - 2002. - Т. 17, №6. - С. 617-646.

4) Сосин, С.С. Новые магнитные состояния в кристаллах / С.С. Сосин, Л.А. Прозорова, А.И. Смирнов // УФН. - 2005. - Т. 175. №1. - С. 9299.

5) Tisser, M. Frustrated Heisenberg Magnets: A Nonperturbative Approach. / M. Tisser, B. Delamotte, D. Mouhanna // Physical Review Letters. - 2000. - V. 84. № 22. - P. 5208-5211.

6) Calabrese, P. Critical behavior of O(2)*O(N) symmetric models / P. Calabrese, P. Parruccini, A. Pelissetto, E. Vicari // Physical Review B. -2004. - V. 70. - P. 174439.

7) Zumbach, G. Phase transitions with O(n) symmetry broken down to O(n - p) / G. Zumbach // Nuclear Physics B. - 1994. - V. 413. - P. 771-791.

8) Pelissetto, A. Critical behavior of frustrated spin models with noncollinear order /A. Pelissetto, P. Rossi, E. Vicari //Physical Review B. - 2001. - Vol. 63, - P. 140414(R).

9) Moran-Lopez, J.L. First-order phase transitions in the Ising square lattice with first and second-neighbor interactions / J.L. Moran-Lopez, F. Aguilera-Granja, J.M. Sanchez // Physical Review B. - 1993. - V. 48. № 5. - P. 35193522.

10) Moran-Lopez, J.L. Phase transitions in king square antiferromagnets with first and second-neighbour interactions / J.L. Moran-Lopez, F. Aguilera-

Granja, J.M. Sanchez // Journal of Physics: Condensed Matter. - 1994. - V. 6. - P. 9759-9772

11) Lopez-Sandoval, E. Cluster variation method and Monte Carlo simulations in Ising square antiferromagnets / E. Lopez-Sandoval, J.L. Moran-Lopez, F. Aguilera-Granja // Solid State Communications. - 1999. - V. 112. - P. 437411.

12) Buzano, C. Cluster variation approach to the Ising square lattice with two-and four-spin interactions / C. Buzano, M. Pretti // Physical Review B. -1997. - V. 56, № 2. - P. 636-644.

13) Landau, D.P. A guide to Monte Carlo simulations in statistical physics / D.P. Landau, K. Binder // Cambridge University Press. - 2000. - 384 p.

14) Lacroix, C. Introduction to frustrated magnetism: materials, experiments, theory / C. Lacroix, F. Mendels, Mila (Eds.) // Series in Solid-State Sciences 164. - Springer. Berlin. - 2011.

15) Паташинский, А.З. Метод ренормализационной группы в теории фазовых переходов / А.З. Паташинский, В.А. Покровский // УФН. -1977. - T. 121, вып. 1. - C. 55-96.

16) Вильсон, К. Ренормализационная группа и е - разложение / К. Вильсон, Д. Когут / Пер. с англ. В.А. Загребного; Под ред. В.К. Федянина. // М.: Мир. - 1975. - 256 с.

17) Wilson, K.G. Renormalization group and critical phenomena. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture / K.G. Wilson // Physical Review B. - 1971. - V. 4. № 9. - P. 3174-3183.

18) Zinn-Justin, J. Quantum field theory and critical phenomena / J. Zinn-Justin // Oxford Unversity Press. - 2002.

19) Loison, D. Critical behavior of frustrated systems: Monte Carlo simulations versus renormalization group / D. Loison, A. I. Sokolov, B. Delamotte, S. A. Antonenko, K. D. Schotte, H. T. Diep // JETP Letters. - 2000. - V. 72. - №. 6. - P. 487-492.

20) Mailhot, A. Finite-size scaling of the frustrated model on a hexagonal lattice / A. Mailhot, M.L. Plumer, A. Caille // Physical Review B. - 1994. - V. 50. - №. 10. - P. 6854-6858.

21) Kawamura, H. Spin and chirality orderings of frustrated magnets — stacked-triangular antiferromagnets and spin glasses / H. Kawamura // arXiv:cond-mat/0111060. v1. 5 Nov. 2001.

22) Kawamura, H. Monte Carlo Study of Chiral Criticality -XY and Heisenberg Stacked-Triangular Antiferromagnets / H. Kawamura // Journal of the Physical Society of Japan. - 1992. - V. 61. - № 4. - P. 1299-1325.

23) Diep, H.T. Frustrated Spin Systems / H.T Diep // World Scientific Publishing. - 2004

24) Sachdev, S. Quantum Phase Transitions / S. Sachdev // Cambridge University Press. - 2001..

25) Binder, K. Monte Carlo tests of renormalization-group predictions for critical phenomena in Ising models / K. Binder, E. Luijten // Phys. Reports. - 2001. - V. 344. - P. 179-253Bhattcharya, T. Critical behavior of the antiferromagnetic Heisenberg model on a stacked triangular lattice / T. Bhattcharya, A. Billoire, F. Delduc, Th. Jolicoeur // J. Physique 4. - 1994. -V. 181.

26) Peczak, P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet / P. Peczak, M. Alan, A.M. Ferrenberg, D.P. Landau // Physical Review B. - 1991. - V. 43. № 7. - P. 6087- 6093.

27) Landau, D.P. Computer simulation studies of critical phenomena / D.P. Landau // Physica A. - 1994. - V. 205. - P. 41- 64.

28) Antonenko, S.A. Critical exponents for a three-dimensional O(n) -symmetric model with n > 3 / S.A. Antonenko, A.I. Sokolov // Physical Review E. - 1995. - V. 51. - №. 3. - P. 1894-1898.

29) Ising, E. Beitradzurtheorie des ferromagnetismus / E. Ising // Z. Physik. -1925. - V. 31. - №. 3. - P. 253-258.

30) Onsager, L. Crystal statistics: A two- dimensional model with an orderdisorder transitions / L. Onsager // Physical Review. - 1944. - V. 65. -P.117-149.

31) Бэкстер, Р. Точно решаемые модели в статистической механике / Р. Бэкстер / Пер. с англ. Е.П. Вольского, Л.И. Дайхина; Под ред. А.М. Бродского. // М.: Мир. - 1985. - 486 с.

32) Камилов, И.К. Исследование фазовых переходов и критических явлений методами Монте-Карло / И.К. Камилов, А.К. Муртазаев, Х.К. Алиев // УФН. - 1999. - Т. 169. - №7. - С. 773-795.

33) Snyder, J. How 'spin ice' freezes / J. Snyder et al // Nature. - 2001. - V. 413.

- №. 6851. - P. 48-51.

34) Gardner, J.S. Dynamic frustrated magnetism in Tb2Ti2O7 at 50 mK / J.S. Gardner et al. // Physical Review B. - 2003. - V. 68. - №. 18. - P. 180401.

35) Möller, G. Artificial square ice and related dipolar nanoarrays / G. Möller, R. Moessner // Physical Review Letters. - 2006. - V. 96. - №. 23. - P. 237202.

36) Harris, M.J. Geometrical frustration in the ferromagnetic pyrochlore Ho2Ti2O7 / Harris M.J. et al. // Physical Review Letters. - 1997. - V. 79. -№. 13. - P. 2554.

37) Anderson, P.W. Ordering and antiferromagnetism in ferrites / P.W. Anderson //Physical Review. - 1956. - Vol. 102, no. 4. - P. 1008.

38) Ramirez, A.P. Zero-point entropy in 'spin ice' / A.P. Ramirez et al. // Nature.

- 1999. - V. 399. -№ 6734. - P. 333-335.

39) Mirebeau, I. Investigation of magnetic fluctuations in Tb2Sn2O7 ordered spin ice by high-resolution energy-resolved neutron scattering / Mirebeau I. et al. // Physical Review B. - 2008. - V. 78. - №. 17. - P. 174416.

40) Белоборов, И.П. Основное состояние в системах с дипольным взаимодействием / И.П. Белоборов, Р.С. Гехт, В.А. Игнатченко // ЖЭТФ. - 1983. - Т. 84. - №3. - С. 1097-1110.

41) Фаворский, И.А. Свойства малых сферических частиц с дипольным взаимодействием / И.А. Фаворский // ФТТ. - 1980. - Т. 22, вып. 7. - С. 2222-2224.

42) Биндер, К. Методы Монте-Карло в статистической физике / К. Биндер / Пер. с англ. В.Н. Новикова, К.К. Сабельфельда; Под. ред. Г.И. Марчука, Г. А. Михайлова // М.: Мир. - 1982. - 400 с.

43) Holm, C. Critical exponents of the classical three-dimensional Heisenberg model: A single-cluster Monte Carlo study / C. Holm, W. Janke // Physical Review. - 1993-I. - V. 48. - №. 2. - P.936-950.

44) Cullen John, J. Monte Carlo studies of one-dimensional quantum Heisenberg and XY Models / J. Cullen John, D.P. Landau // Physical Review. - 1983. -V.27. - №. 1. - P. 297-313.

45) Nonomura, Y. New Quantum Monte Carlo Approach to Ground-State Phase Transition in Quantum Spin Systems / Y. Nonomura // Jour. Phys. Soc. Jap. - 1998. - V. 67. - №. 1. - P.5-7.

46) Крокстон, К. Физика жидкого состояния / К. Крокстон / Пер. с англ. А.Г. Башкирова, И.В. Вдовиченко; Под ред. А.И. Осипова // М.: Мир. -1978. - 400 с.

47) Вуд, В.В. Исследование моделей простых жидкостей методом Монте-Карло / Физика простых жидкостей / В.В. Вуд / Под ред. Х.М. Темперли, Д.С. Роулинсон, Т.С. Рашбрука. // М.: Мир. - 1978.

48) Ермаков, С.М. Статистическое моделирование / С. М. Ермаков, Г.А. Михайлов // М.: Мир. - 1982. - 292 с.

49) Wu, F.Y. Exactly Solved Models. / F.Y. Wu //A Journey in Statistical Mechanics. World Scientific. New Jersey. - 2008.

50) Wu, F.Y. The Potts Model / F.Y. Wu // Rev. Mod. Phys. - 1982. -V.54. - P. 235

51) Zhang, W. Monte Carlo study of the triangular lattice gas with first- and second-neighbor exclusions / W. Zhang, Y. Deng // Phys. Rev. E - 2008. -V. 78. - P. 031103.

52) Nauenberg, M. Singularities and Scaling Functions at the Potts-Model Multicritical Point / M. Nauenberg, D.J. Scalapino // Phys. Rev. Lett. - 1980. V. 44. - P. 837.

53) Cardy, J.L. Scaling theory of the Potts-model multicritical point / J.L. Cardy, M. Nauenberg, D.J. Scalapino // Phys. Rev. B. - 1980. - V.22. - P. 2560.

54) Ramazanov, M.K. Phase diagrams and ground-state structures of the Potts model on a triangular lattice / M.K. Ramazanov, A.K. Murtazaev, M.A. Magomedov // Physica A. - 2019. - V. 521. - P. 543-550.

55) Feldmann, H. Study of the Potts model on the honeycomb and triangular lattices: Low-temperature series and partition function zeros / H. Feldmann, A.J Guttmann, I. Jensen, R. ShrocK and S.-H. Tsai // J. Phys. A: Math. Gen.

- 1998. - V.31. - P. 2287.

56) Ashkin, J. Statistics of Two-Dimensional Lattices with Four Components / J. Ashkin, E. Teller // Phys. Rev. Lett. - 1943. V. - 64. P. - 178-184.

57) Kramers, H. A. Statistics of the Two-Dimensional Ferromagnet. Part I / H. A. Kramers, G. H. Wannier //Phys. Rev. -1941. - V.60. P.- 252.

58) Potts, R. B. // Ph. D. thesis, University of Oxford. - 1951.

59) Potts, R. B. Some generalized order-disorder transformations / R. B. Potts // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1952. V-48. P. - 106-109.

60) Mittag, L. Dual Transformations in Many-Component Ising Models / L. Mittag, M. J. Stephen // Journal of mathematical physics. - 1971. V.- 12. P.

- 441-450.

61) Wannier, G. H. The Statistical Problem in Cooperative Phenomena / G. H.Wannier //Rev. mod. Phys. - 1945. V.-17. P. - 50-60.

62) Domb, C. Configurational Studies of the Potts Models / C. Domb // J. Phys.

A. - 1974a. - V.7. - P. 1335.

63) Ермилов, А.Н. Аналитический метод исследования стохастической модели Поттса / А.Н.Ермилов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1989. Т. - 20. В. - 6. С. - 1480-1544.

64) Mittag, L. Mean-field theory of the many component Potts model. / L. Mittag, J. Stephen // J. Phys. A. - 1974. V. 7. - P.109.

65) Baxter, R. J. Triangular Potts model at its transition temperature, and related models / R. J. Baxter, H. N. V. Temperley, and S. E. Ashley // Proc. R. Soc.London Ser. A. - 1978. V. - 358. P.- 535.

66) Baxter, R.J. Exactly Solved Models in Statistical Mechanics / R.J. Baxter // Dover Books on Physics. Dover Publications. -2013.

67) Duminil-Copin, H. Continuity of the Phase Transition for Planar Random-Cluster and Potts Models with 1 < q < 4 / H. Duminil-Copin, V. Sidoravicius, V. Tassion// Communications in Mathematical Physics. - 2016. V. - 349. P. - 47.

68) Duminil-Copin, H. Discontinuity of the phase transition for the planar random-cluster and potts models with q > 4, / H. Duminil-Copin, M. Gagnebin, M. Harel, I. Manolescu, V. Tassion // arXiv: 1611.09877. - 2016

69) Schreiber, N. Ferromagnetic Potts models with multisite interaction /N. Schreiber, R. Cohen, S. Haber // Phys. Rev. E. - 2018. V.- 97. P. - 032106.

70) Peng, J-H. Phase transitions of the four-state Potts model on the square and the honeycomb lattices /J-H. Peng, F-J.Jiang //Progress of Theoretical and Experimental Physics. -2024. V.-1.

71) Kunes, J. Correlation effects and structural dynamics in the P-pyrochlore superconductor KOs2O6 / J. Kunes, T. Jeong, and W. E. Pickett // Phys. Rev.

B. - 2004. - V.70. - P.174510.

72) Hiroi, Z. Specific Heat of the ß-Pyrochlore Oxide Superconductors CsOs2O6 and RbOs2O6 / Z. Hiroi, S. Yonezawa, T. Muramatsu, J. Yamaura, and Y. Muraoka // J. Phys. Soc. Jpn. - 2005. - V.74. - P. 1255.

73) Ryo Igarashi. Partial order in a frustrated Potts model / Ryo Igarashi, Masao Ogata // J. Phys.: Conf. Ser. - 2010. V. 200. - P. 022019

74) Hiroi, Z. A second phase transition and superconductivity of the ß-pyrochlore oxide KOs2O6 / Z. Hiroi, S. Yonezawa, Y. Nagao, and J. Yamaura // Phys.Rev. B. - 2007. - V. 76. - P. 014523.

75) Hiroi, Z. A study of the surface structure of deposited Au on Pb film / Z. Hiroi, S. Yonezawa, and J. Yamaura // J. Phys.: Condens. Matter. - 2007. -V.19. - P. 5283.

76) Bruhwiler, M. Mass enhancement, correlations, and strong-coupling superconductivity in the ß-pyrochlore KOs2O6 / M. Bruhwiler, S.M. Kazakov, J. Karpinski, and B. Batlogg // Phys. Rev. B. - 2006. - V. 73. - P. 094518.

77) Angell, C.A Relaxation in Complex Systems / K.L. Ngai, G.B. Wright // Washington: Office of Naval Research. - 1984.

78) Giancarlo, Franzese. The Potts frustrated model: relations with glasses / Giancarlo Franzese, Antonio Coniglio // Philosophical Magazine B. - 1999. - V. 79. - P. 1807-1813

79) Dixon, P.K. Scaling in the relaxation of supercooled liquids / P.K. Dixon, L. Wu, S.R. Nagel, B.D. Williams, J.P. Carini // Phys. Rev. Lett. - 1990. - V. 65. - P. 1108.

80) Menon, N. Complex Behavior of Glassy Systems / N. Menon, S.R. Nagel // Phys. Rev. Lett. - 1995. - V. 74. - P.1230.

81) Leheny, R. High-frequency asymptotic shape of the primary relaxation in supercooled liquids / R. Leheny, S.R. Nagel // Europhys. Lett. - 1997. - V. 39. - p. 447.

82) Toulouse, G. Theory of the frustration effect in spin glasses / G. Toulouse // Communications Physics. - 1977. - V. 2. - N.4. - P.115-119.

83) Toulouse, G. Theory of the frustration effect: II Ising spins on a square lattice / G. Toulouse // J. Phys. C: Solid State Phys. - 1977. - V. 10. - P. - L537-L542.

84) Доценко В.С. Физика спин-стекольного состояния // УФН. - 1993. -163, № 6. - С. 1-37.

85) Misguich, G. Two-Dimensional Quantum Antiferromagnets. In: Frustrated Spin Systems / G. Misguich, C. Lhuillier, Ed. by H. T. Diep.// Singapore: World Scientific Publishing. - 2004. - P. 229-306.

86) Fulde, P. Strongly correlated electrons / P. Fulde, P. Thalmeier, G. Zwicknagl, G. // Solid State Phys.- 2006. - Vol. 60. - P. 1-180.

87) Thalmeier, P. Frustrated magnetism in vanadium oxides / P. Thalmeier, B. Schmidt, V. Yushankhai, T. Takimoto // Acta Physica Polonica A. - 2009. -V. - 115. P. - 53-58.

88) Kassan-Ogly, F. A. One-dimensional 3-state and 4-state standard Potts models in magnetic field / F. A. Kassan-Ogly // Phase Transitions.- 2000. -V. -71. P. - 39-55.

89) Foster, D.P. Critical behaviour of fully-frustrated Potts models / D. P Foster, C. Gerard, I..Puha // Journal of Physics A: Mathematical and General. -2001. V.- 34.

90) Franzese, G. The Potts frustrated model: relations with glasses / G. Franzese, A. Coniglio // Philosophical Magazine B. 1999. V. - 79. P. - 1807-1813

91) Moessner P.R. Magnets with strong geometric frustration // arXiv:condmat/0010301v1 [cond-mat.stat-mech] 2000.

92) Moessner R., Ramirez A. Geometrical frustration // Physics Today. - 2006. - P. 24-28.

93) Ramirez A.P. Strongly geometrically frustrated magnets // Annual Review of Materials SCI. - 1994. - vol. 24. - P. 453-480.

94) Binder, K. In Phase Transitions and Critical Phenomena / K. Binder, E.C. Domb, M.S Green // New York: Academic Press. - 1976. - V. 5B

95) Binder, K. Advan / K. Binder // Phys. - 1974. - V. 23. P. - 917

96) Metropolis, N. Equation of state calculations by fast computing machines / N. Metropolis, W. Rosenbluth, N. Rosenbluth et al. // The Journal of Chemical Physics. - 1953. - V. 21. - №. 6. - P. 1087-1092.

97) Wood, W.W. Monte-Carlo equation of state of molecules interactions with the Lenard-Jones potential. I: A supercritical isoterm at about twice the critical temperature / Wood W.W., Parker F.R. // The Journal of Chemical Physics. -1957. - V. 27. - №. 3. - P. 720-733.

98) Ferrenberg, A-M. New Monte Carlo technique for studying phase transitions/ A-M. Ferrenberg, R-H. Swendsen// Physical Review Letters. — 1988. — Vol. 61, no. 23. — P. 2635- 2638.

99) Fosdick, L.D. / L.D Fosdick // Methods comp. Phys.- 1963. - V. - 1. - P. 245.

100) Salsburg, Z.W. / Z.W. Salsburg, J.D. Jacobsen, W. Fickett, W.W. Wood// J. Cem. Phys.- 1959. - V. - 30. - P. 65.

101) McDonald, I.R. / I.R. McDonald, K. Singer// J. Cem. Phys.-1969. - V. -50. - P. 2308.

102) Vallea, J.P. / J.P. Vallea, D.N. Card // J. Cem. Phys.- 1972. - V. - 57. - P. 5457.

103) Torrie, G.M. / G.M. Torrie, Vallea, J.P. // Cem. Phys. Lett.- 1974. - V. - 28. - P. 578.

104) Bennett, C.H. / Bennett, C.H. // J. Cem. Phys.- 1976. - V. - 22. - P. 256.

105) Brotz, A.B. Wang-Landau algorithm for continuous models and joint density of states / A.B Brotz, M.H. Kalos, J.L. Lebowitz, M.A. Zendejas // Physical Review B. - 1974. - V. 10. - P. 535.

106) Wang, F. Determining the density of states for classical statistical models: A random walk algorithm to produce a flat histogram / F. Wang, D.P. Landau // Physical Review E. - 2001. - V. 64. - P. 056101.

107) Wang, F. Efficient, Multiple-Range random walk algorithm to calculate the density of states / F. Wang, D.P. Landau // Physical Review Letters. - 2001. - Vol. 86, no. 10. - P.2050-2053.

108) Kalyan, M.S. Joint Density of States Calculation Employing Wang-Landau Algorithm / M.S. Kalyan [et al.] // Journal of Statistical Physics. — 2016. — V. 163. - №. 1. — P. 197-209.

109) Силантьева, И.А. Расчет плотности состояний и термических свойств полимерных цепей и звезд на решетке методом Монте-Карло с использованием алгоритма Ванга-Ландау / И.А. Силантьева, П.Н. Воронцов- Вельяминов // вычислительные методы и программирование. - 2011. - T. 12. - № 4. - С. 397-408.

110) Mitsutake, A. Generalized-Ensemble Algorithms for Molecular Simulations of Biopolimers / A. Mitsutake, Y. Sugita, Y. Okamoto // Peptide Science. -2001. - V. 60. - P. 96. - preprint cond-mat/0012021.

111) Mitsutake, A. Generalized-ensemble algorithms for molecular simulations of biopolymers/ A. Mitsutake, Y. Sugita, Y. Okamoto // Biopolymers (Peptide Science). -2001. V.- 60. P.- 96-123.

112) Рамазанов, М.К. Исследование влияния сильных магнитных полей на фазовые переходы фрустрированной модели Поттса с числом состояний спина q = 4 / М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева, А.А. Муртазаева // ФММ. -2022. Т.- 123. С. -313 - 319.

113) Рамазанов, М.К. Исследование влияния слабых магнитных полей на термодинамические свойства модели Поттса с числом состояний спина q=4 на гексагональной решетке / М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев, М.А.

Магомедов, М.К. Мазагаева, М.Р. Джамалудинов // Физика твердого тела. - 2022. - Т.64. - Вып.2. - С.237-240

114) Рамазанов, М.К. Фазовые переходы и магнитные свойства модели Поттса с числом состояний спина q=4 на гексагональной решетке в слабых магнитных полях / М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева // Письма в ЖЭТФ. - 2021. - Т. 114. - Вып. 11. - С.762-767.

115) Belardinelli, R. Fast algorithm to calculate density of states / R. Belardinelli, V. Pereyra // Physical Review E. - 2007. - V. 75. - №. 4. - P. 046701.

116) Murtazaev, A.K. Monte-Carlo investigation of critical phenomena in models of real magnetics with crossovers / A.K. Murtazaev, I.K. Kamilov, M.A. Magomedov // Computer Physics Communications. - 2002. - V. 147/1-2. -P. 447-450.

117) Щур, Л.Н. Алгоритм Ванга-Ландау: случайное блуждание по спектру энергии, в книге "Вычислительные технологии в естественных науках. Методы суперкомпьютерного моделирования" / Под ред. Р.Р. Назирова, Л.Н. Щура. // М.: ИКИ РАН. - 2014. - C. 160-166.

118) Landau, D. A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling / D. Landau, S.-H. Tsai, M. Exler // American Journal of Physics. - 2004. - V. 72. - №. 10. - P. 1294-1302.

119) Zhou, C. Wang-Landau algorithm for continuous models and joint density of states / C. Zhou, T.C. Schulthess, S. Torbrugge, D.P. Landau // Physical Review Letters. - 2006. - V. 96. - P. 120201.

120) Ferdinand, A.E. Bounded and inhomogeneous Ising models. I. Specific-heat anomaly of a finite lattice / A.E. Ferdinand, M.E. Fisher // Phys. Rev. - 1969. - V.185. - N. 2 - P.832-846.

121) Fisher, M.E. Scaling theory for finite-size effects in the critical region / M.E. Fisher, M.N. Barber // Phys. Rev. Lett. - 1972. - V. 28. - N. 23. - P.1516-1519.

122) Barber, M.N. Finite-size scaling. In: Phase transitions and critical phenomena, / M.N. Barber // Academic press. New York. - 1983. -V.8. -Р.1.

123) Privman, V. Universal critical amplitudies in finite-size scaling / V. Privman, M.E. Fisher // Phys. Rev. B. - 1984. - V.30. - N. 1. - P.322-327.

124) Privman, N. (Editor): Finite-size scaling and numerical simulation / N. Privman // Word scientific. Singapure. - 1990.

125) Фишер М. Теория сингулярностей в критической точке // Устойчивость и фазовые переходы / М. Фишер / Пер. с англ. С.П. Малышенко, Е.Г. Скроцкой. // М.: Мир. - 1973. -373 с.

126) Рамазанов, М.К. Фазовые переходы в антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей / М.К. Рамазанов // Письма в ЖЭТФ. - 2011. - Т. 94. - C. 335-338.

127) Биндер, К. Моделирование методом Монте-Карло в статистической физике / К. Биндер, Д.В. Хеерман // М.: Мир. - 1995.

128) Хеерман, Д.В. Методы компьютерного эксперимента в теоретической физике / Д.В. Хеерман // М.: Мир. - 1990.

129) Кунин, С.Е. Вычислительная физика / С.Е. Кунин // М.: Мир. - 1992.

130) Schmidt, R. Spin -1/2 J1-J2 model on the body-centered cubic lattice / R. Schmidt, J. Schulenburg, J. Richter // Physical Review B. - 2002. - V. 66. -P. 224406.

131) Malakis, A. Monte Carlo studies of the square Ising model with next-nearest-neighbor interactions / A. Malakis, P. Kalozoumis, and N. Tyraskis // Eur. Phys. J. B. - 2006. - V.50. - P.63.

132) Свистов, Л.Е. Возможное сосуществование спиральной и коллинеарной структур в антиферромагнитном KFe(MoO4)2 / Л.Е. Свистов, А.И. Смирнов, Л.А. Прозорова и др. // Письма в ЖЭТФ. -2004. - Т. 80. - С.231.

133) Kazuaki, M. Dynamical scaling analysis of symmetry breaking for the antiferromagnetic triangular Heisenberg model in a uniform magnetic field / M. Kazuaki and O. Yukiyasu // Phys. Rev. B. - 2020. - V. 101. - P. 184427.

134) R. Masrour, A. Jabar, Magnetic properties of an Olympicene structure: Monte Carlo simulations / R. Masrour, A. Jabar // Physica A. - 2020. - V. 541. - P.123377.

135) Masrour, R. Magnetic properties in stacked triangular lattice: Monte Carlo approach / R. Masrour, A. Jabar // Physica A 2018. - V. 491. - P. 926.

136) Муртазаев, А.К. Фазовые переходы в антиферромагнитной модели Изинга на квадратной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей / Муртазаев А.К., Рамазанов М.К., Касан-Оглы Ф.А., Бадиев М.К. // ЖЭТФ. - 2013. -Т. 144. - B. 6(12). - С. 1239-1245.

137) Proshkin, A.I. Frustration and Phase Transitions in Ising Model on Decorated Square Lattice / A.I. Proshkin, F.A. Kassan-Ogly // Phys. Met. Metal. - 2019. V. 120. - P. 1366-1372.

138) Курбанова, Д.Р. Фрустрированная модель Поттса с числом состояний спина q = 4 на треугольной решетке / Д.Р. Курбанова, А.К. Муртазаев, М.К. Рамазанов, М.А. Магомедов, Т.А. Тааев // ЖЭТФ. - 2020. - Т. 158. - Вып. 6. - С. 1095-1100.

139) Рамазанов, М.К. Исследование фазовых переходов и термодинамических свойств модели Поттса с q = 4 на гексагональной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей / М.К. Рамазанов, А.К. Муртазаев, М.А. Магомедов, М.К. Мазагаева // Физика твердого тела. - 2020. - Т.62. - Вып.3. - С.442-446.

140) Муртазаев, А.К. Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q = 4 на гексагональной решетке / А.К. Муртазаев, М.К. Мазагаева, М.К. Рамазанов, М.А. Магомедов // Физика металлов и металловедение. - 2021. - Т.122. - Вып.5. - С.460-465.