Термодинамические свойства фрустрированных спиновых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Шевченко, Юрий Андреевич

• Шевченко, Юрий Андреевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Шевченко, Юрий Андреевич

Оглавление

Стр.

Список сокращений и условных обозначений

Введение

Глава 1. Обзор экспериментальных и теоретических данных

1.1 Термодинамические свойства магнитных систем

1.1.1 Явление фрустраций и фрустрированные решетки

1.1.2 Магнитная восприимчивость

1.1.3 Теплоемкость

1.1.4 Энтропия

1.1.5 Критические индексы

1.2 Векторные модели магнитных систем

1.2.1 Модель Изинга

1.2.2 Модель диполь-дипольного взаимодействия

1.2.3 Зарядовая модель

1.2.4 Радиус взаимодействия

1.2.5 Спиновый лед искусственного и естественного происхождения

1.2.6 Спиновое стекло

Глава 2. Численные методы расчета

2.1 Алгоритм Метрополиса

2.2 Параллельный отжиг или реплично-обменное Монте-Карло

2.3 Метод Ванга-Ландау

2.4 Параллельный метод Ванга-Ландау

2.4.1 Энергетические интервалы

2.4.2 Выход за рамки энергетического окна

2.4.3 Объединение и перенормировка гистограмм

2.5 Сравнение методов поиска основного состояния в модели

спиновых стекол точечных диполей Изинга

2.5.1 Модель Изинг-подобных диполей

Стр.

2.5.2 Сравнительный анализ методов, основанных на обходе

частиц

2.6 Выводы

Глава 3. Энтропия разбавленных антиферромагнитных моделей

Изинга на фрустрированных решетках

3.1 Модель и подходы к решению задачи о модели Изинга на решетке пирохлора

3.2 Решетка пирохлора

3.3 Треугольная и гексагональная решетки

3.4 Выводы

Глава 4. Влияние дальнодействия и короткодействия на

термодинамику дипольного спинового льда

4.1 Введение

4.2 Модель, метод моделирования

4.3 Точное решение энтропии и теплоемкости на решетках спинового льда

4.4 Фазовый переход во фрустрированном квадратном спиновом льду

4.5 Конфигурации с Е=0 в квадратном спиновом льду

4.6 Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Список сокращений и условных обозначений

СС — Спиновое стекло

СЛ — Спиновый лед

КСЛ — Квадратный спиновый лед

ГСЛ — Гексагональный спиновый лед

Ш-СЛ — Шакти - спиновый лед

ИСЛ — Искусственный спиновый лед

ИКССЛ — Искусственный квадратный суперспиновый лед

ПВС — Плотность вероятности состояний

ОС — Основное (нижайшее энергетическое) состояние

МК — Метод Монте-Карло

ПО — Метод параллельного отжига

ВЛ — Алгоритм Ванга-Ландау

ПВЛ — Параллельный алгоритм Ванга-Ландау

ФМ — Ферромагнетизм

АФМ — Антиферромагнетизм

МСМ — Магнито-силовая микроскопия

PEEM — Фотоэмисионная электронная микроскопия

XMCD — Рентгеновский магнитный круговой дихроизм

ГПУ — Гексагональная плотноупакованная решетка

ГЦК — Гранецентрированная кубическая решетка

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Термодинамические свойства фрустрированных спиновых систем»

Введение

Степень разработанности темы. В середине прошлого века П.В. Андерсон обнаружил замечательное сходство решетки пирохлора с решеткой водяного льда [1]. В решетке спинов пирохлора наблюдались явления, которые были в последствии названы фрустрациями [2; 3], а такие антиферромагнитные системы спинов Изинга были названы «спиновый лед» [4]. Материалами спинового льда естественного происхождения являются соединения Dy2Ti2O7 и Ho2Ti2O7. В этих материалах магнитные ионы ^у3+ либо ^3+) образуют тетраэдрическую решетку пирохлора, и локальное окружение поля кристалла становится причиной направления магнитных моментов вдоль линий, связывающих центры двух тетраэдров при низких температурах [5; 6]. Объемные кристаллы спинового льда показывают целый набор интересных, зависимых от температуры и внешнего магнитного поля, явлений, которые обычно объясняются наличием фрустраций [4; 7—9]. Однако, существуют значительные трудности при исследовании конфигураций спинов атомов на решетке пирохлора. Обычно информацию о спиновых конфигурациях (магнитной структуре), то есть о термодинамических состояниях объемного пирохлора получают путем непрямых экспериментальных наблюдений. Поэтому в настоящее время экспериментально и теоретически исследуются искусственные низкоразмерные фрустрированные системы спинового льда, состоящие из магнитных островков нанометрового масштаба.

К таким системам относится квадратный спиновый лед, который представляет собой массив однодоменных наночастиц, расположенных на ребрах квадратной решетки. Вектор намагниченности каждого наноостровка в массиве направлен вдоль ребра решетки [10]. Сегодня исследуются новые геометрии искусственного спинового льда, например, треугольная решетка [11] или решетка шакти, созданная на основе квадратного спинового льда, где удалены некоторые наночастицы [12]. Гексагональная решетка, также исследуется экспериментально [13; 14].

За последнее десятилетие число публикаций в области систем спинового льда и спиновых стекол существенно выросло. Большинство работ в этом направлении относятся к экспериментальным, и лишь относительно небольшая часть посвящена теоретическим исследованиям и суперкомпьютерному моделированию спинового льда. Отправной точкой возрастающей популярности можно считать

публикацию научной группы Ванга в 2006 году в журнале Nature о структуре намагниченности в решетке квадратного спинового льда [10].

Актуальность выбранной темы диссертации. Разработка методов моделирования и численного расчета сложных спиновых систем является актуальной, так как методы необходимы для описания термодинамического поведения и термодинамических свойств наносистем. Возможность тонкой настройки геометрии решетки, формы наночастиц и расположения их на решетке, а также обширные перспективы практического применения материалов спинового льда при температуре упорядочения, близкой к комнатной [15], вызывают большой интерес к теоретическому и экспериментальному изучению термодинамических свойств спинового льда [16; 17]. Геометрия массивов спинового льда определяет сложную структуру фазового пространства микросостояний. Фундаментальный интерес к объектам исследований обусловлен новой физикой, где термодинамические свойства контролируются геометрией. Практический интерес представляет проверка в реальных экспериментах результатов, получаемых при исследовании моделей статистической физики.

Объектом теоретических исследований является спиновый лед, исследуемый в рамках приближений конечного и бесконечного радиуса взаимодействия. Исследуются решетки пирохлора, квадратного, гексагонального, треугольного, и шакти спинового льда в рамках векторной модели взаимодействующих магнитных моментов.

Mетодология и методы исследования. Основными инструментами исследований являются методы мультиканонического семплирования Ванга-Ландау и его параллельная модификация, алгоритмы Метрополиса и исчерпывающего перечисления. Результатом работы метода Ванга-Ландау и алгоритма исчерпывающего перечисления является плотность вероятности состояний, на основе которой строится точная или приближенная статистическая сумма, содержащая информацию о статистических свойствах системы в состоянии термодинамического равновесия. Канонический алгоритм Метрополиса применяется для прямого исследования термодинамических свойств фрустрированных систем. Алгоритм исчерпывающего перечисления конфигураций используется для систем, состоящих из не более чем 40 частиц.

Целью диссертационной работы являлось исследование термодинамических свойств фрустрированного спинового льда на квадратной, гексагональной,

треугольной, пирохлор, шакти решетках в рамках моделей с близкодействующими и дальнодействующими взаимодействиями.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. произвести исчерпывающее перечисление и последующий статистический анализ всех возможных магнитных конфигураций диполь-дипольно взаимодействующих Изинг-подобных спинов, расположенных на шакти, гексагональной и квадратной решетках спинового льда. Получить температурное поведение теплоемкости и энтропии для фрустрированного спинового льда в модели близкодействующего и дальнодействующего диполь-дипольного взаимодействия;

2. установить, каким образом происходит упорядочение в модели диполей на решетке квадратного спинового льда при температурах, близких к температуре, при которой теплоемкость принимает максимальное значение. Предложить параметр порядка, вычислить его температурное поведение и сравнить с температурным поведением теплоемкости;

3. разработать пакет программ для суперкомпьютерного вычислительного кластера и численно исследовать поведение термодинамических параметров, описывающих коллективные явления в системах взаимодействующих диполей на решетке квадратного спинового льда.

Научная новизна:

1. Обнаружены существенные различия в термодинамическом поведении системы диполей на фрустрированной гексагональной решетке при сравнении моделей с дальнодействующими и короткодействующими диполь-дипольными взаимодействиями. Дополнительный пик теплоемкости наблюдается в модели бесконечного радиуса взаимодействия. Точным методом исчерпывающего перечисления получена плотность вероятности состояний системы точечных диполей на решетках квадратного, гексагонального и шакти спинового льда в модели взаимодействия ближайших соседей, также как в моделях бесконечного радиуса со свободными граничными условиями.

2. Параметром порядка для модели диполей на решетке квадратного спинового льда с диполь-дипольным взаимодействием может выступать относительный размер наибольшего перколяционного кластера, внутри кото-

рого все парные энергии взаимодействия ближайших соседей минимизированы.

3. Численно рассчитана размерная зависимость значения теплоемкости и температуры, при которой теплоемкость испытывает максимум для решетки квадратного спинового льда в модели Изинг-подобных спинов с диполь-дипольным взаимодействием бесконечного радиуса взаимодействия.

Разработано собственное программное обеспечение для проведения суперкомпьютерного моделирования и суперкомпьютерных расчетов, получены свидетельства о регистрации программ для ЭВМ в государственном реестре.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертационной работы имеют фундаментальный теоретический характер и могут быть использованы в смежных сферах теоретической и экспериментальной физики. В теоретической физике результаты могут быть использованы для описания явлений фазовых переходов и изучения явления фрустраций в системах взаимодействующих магнитных частиц со сложными или конкурирующими взаимодействиями. Результаты могут быть использованы при исследовании магнитных свойств фрустрированных магнетиков и искусственных суперферромагнитных структур. Численные результаты представлены преимущественно в относительных единицах измерения, что позволяет с легкостью преобразовать их с учетом параметров эксперимента, параметров решеток и других характеристик магнитных материалов. Разработанные алгоритмы и программы ЭВМ могут использоваться для интерпретации экспериментальных данных и в образовательном процессе.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Отсутствует простая взаимосвязь между явлением фрустрации и значениями кратности вырождения основного состояния (конечными значениями остаточной энтропии) для систем спинов на решетках квадратного, гексагонального и шакти спинового льда в модели диполь-дипольного взаимодействия ближайших соседей, также как в моделях бесконечного радиуса со свободными граничными условиями. Плотность вероятности состояний фрустрированных решеток квадратного, гексагонального и шакти спинового льда в моделях как конечного, так и бесконечного радиусов взаимодействия, подчиняется нормальному закону Учет дально-действующих взаимодействий в векторных моделях фрустрированных

спиновых систем может приводить к появлению нескольких локальных максимумов в температурном поведении теплоемкости.

2. Параметром порядка в модели диполей на решетке квадратного спинового льда является размер наибольшего перколяционного кластера, внутри которого все парные энергии взаимодействия ближайших соседей минимизированы. Температура, соответствующая наибольшему наклону кривой температурного поведения параметра порядка, то есть наибольшей скорости его изменения, для модели квадратного спинового льда совпадает с температурой максимума теплоемкости.

3. Фазовый переход в системе точечных диполей на решетке квадратного спинового льда как в нефрустрированной модели конечного радиуса взаимодействия, так и во фрустрированной модели бесконечного радиуса взаимодействия, подтверждается наличием линейной зависимости высоты максимума теплоемкости от логарифма числа частиц. В пределе бесконечного числа диполей, максимальное значение теплоемкости стремится к бесконечности.

Достоверность. Результаты получены с помощью строгих математических и вычислительных методов, опираются на твердо установленные и экспериментально проверенные положения статистической физики, не противоречат известным экспериментальным результатам. Значения кратностей вырождения энергий для квадратного, гексагонального и шакти спинового льда размером до 40 диполей, получены методом исчерпывающего перечисления всех возможных состояний без каких-либо дополнительных упрощений, ограничений, предельных переходов, предположений и допущений. Результаты, представленные в диссертации, проверены с помощью независимых методов: Ванг-Ландау, Метрополис, исчерпывающее перечисление. Между результатами, полученными независимыми методами, достигнута сходимость.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены в виде устных и стендовых докладов на международных, российских и региональных конференциях:

1. Второй международный консорциум аспирантов «Инновации в области информационных и коммуникационных наук и технологий» (ПCST2012), Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники / университет Рецумейкан (Япония), Томск -2012;

2. Третий международный консорциум аспирантов «Инновации в области информационных и коммуникационных наук и технологий» (ПCST2013), Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники / университет Рецумейкан (Япония), Томск -2013;

3. Вторая международная конференция по вычислительным и теоретическим нанонаукам (1ССТ№013), Международная ассоциация управления науками и инженерными технологиями, Гонконг - 2013;

4. 3-я международная конференция по современным измерениям и испытаниям (АМТ-2013), Международная ассоциация управления науками и инженерными технологиями, Китай - 2013;

5. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Школы естественных наук ДВФУ, Дальневосточный федеральный университет, Владивосток - 2013;

6. 12-я региональная научная конференция «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование», Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск - 2013;

7. 3-я международная конференция «Высокопроизводительные вычисления» (НРС-иА 2013), Киевский политехнический институт, Украина -2013 (заочное участие);

8. Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых Школы естественных наук ДВФУ, Дальневосточный федеральный университет, Владивосток - 2014;

9. 10-я Международная научно-практическая конференция «Фундаментальная наука и технологии - перспективные разработки», Научно-издательский центр «Академический», США - 2015 (заочное участие);

10. 3-я азиатская школа-конференция по физике и технологиям нанострук-турных материалов (ASCO-NANOMAT 2015), Дальневосточное отделение Российской академии наук, Владивосток - 2015;

11. Международная научная конференция по параллельным вычислительным технологиям (ПаВТ'2015), Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина, Екатеринбург - 2015;

12. Международная конференция «Спиновая физика, спиновая химия и спиновые технологии» ^РСТ-2015), Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, Санкт-Петербург - 2015;

13. 14-я региональная научная конференция «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование», Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск - 2016;

14. 26-я международная научно-практическая конференция «Международное научное обозрение проблем и перспектив современной науки и образования», издательство «Проблемы науки», США - 2016 (заочное участие).

Личный вклад. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Задачи, представленные в диссертации, были решены автором лично. Вклад автора в работы, выполненные в соавторстве, считается равнозначным.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 21 печатном издании, 6 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 2 индексируются базой Web of Sciense, 7 индексируются базой Scopus, 4 являются авторскими свидетельствами о регистрации программ ЭВМ в Роспатенте, 15 — опубликованы в виде тезисов докладов и материалов конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 115 страниц, включая 40 рисунков и 7 таблиц. Список литературы содержит 155 наименований.

Глава 1. Обзор экспериментальных и теоретических данных

В данной главе приведен литературный обзор моделей магнитных систем, а также теоретических методов вычисления термодинамических свойств, относящихся к теме диссертационного исследования.

В первой части первой главы раскрыты определения, необходимые для описания основных термодинамических свойств магнитных равновесных систем при отсутствии внешнего магнитного поля: фрустраций, магнитной восприимчивости, теплоемкости, энтропии, критических индексов. Проанализированы определения фрустраций, встречающиеся в научной литературе, а также приведена авторская формулировка и предложен количественный параметр фрустраций . Показан пример вычисления pf для антиферромагнитной квазиодномерной цепочки спинов Изинга с четырьмя ближайшими соседями и получены значения Pf для фрустрированного спинового льда на квадратной, гексагональной, пиро-хлор и шакти решетках. Приведена известная классификация магнитных моделей и структур решеток на основе критических индексов.

Во второй части первой главы описаны геометрии решеток и модели систем взаимодействующих частиц, которые используются и применяются в проводимых исследованиях. Обозначены возможные подходы к моделированию систем с различным радиусом взаимодействия. Проведен литературный обзор магнитных структур искусственного и естественного спинового льда, спинового стекла.

1.1 Термодинамические свойства магнитных систем

Любая магнитная система обладает определенным набором степеней свободы и в конкретный момент времени может прибывать в одном из множества возможных состояний (конфигураций, конформаций). К степеням свободы можно отнести множество параметров, точно определяющих конкретно заданное состояние системы в рассматриваемой модели.

В исследовании используются магнитные системы, состоящие из конечного набора магнитных частиц, чье взаимное расположение в пространстве определяет геометрию решетки. При этом, позиции частиц фиксированы и не являются

степенью свободы. В зависимости от исследуемой модели, каждый диполь обладает собственными магнитными характеристиками: спином в модели Изинга и магнитным моментом в модели диполей. Эта характеристика и является степенью свободы каждой частицы в частности и магнитной системы в целом.

1.1.1 Явление фрустраций и фрустрированные решетки

Как Лайнус Полинг отметил в 1935 году [18], возможные конфигурации спинов протонов водорода водяного льда дают наглядный пример того, как геометрические фрустрации могут привести к огромному числу состояний с одинаковой энергией, результатом чего является ненулевая энтропия при температуре, стремящейся к абсолютному нулю. Это было одним из первых найденных примеров гораздо более широкого физического явления фрустраций, возникающих в самых разнообразных конденсированных системах. Как пример, фрустрации могут наблюдаться в жидких кристаллах, магнитных доменах, чередующихся структурах, в высокотемпературных сверхпроводниках, при сворачивании белка, и в нейронных сетях.

Термин фрустрации возник в психологии. Это негативное психическое состояние, возникающее в ситуации реальной или предполагаемой невозможности удовлетворения тех или иных потребностей, или, проще говоря, в ситуации несоответствия желаний имеющимся возможностям. Они проявляются, когда сознание начинает сопротивляться тому, что ожидания достижения цели не оправдываются индивидуумом. Это наглядное определение дает всю необходимую информацию для исследователей в области гуманитарных наук.

Ниже приведен список определений, использующихся в научной литературе:

- Фрустрации - это явления, которые проявляются, когда все конкурирующие взаимодействия внутри системы не могут быть одновременно удовлетворены, что приводит к сильному вырождению низкоэнергетиеских состояний [19].

- Проблема упорядочения водорода в водяном льду является, пожалуй, первым примером геометрической фрустрации, знакомой в наши дни концепции магнетизма, где подавление дальнего магнитного порядка возни-

кает из-за несовместимости локальных и глобальных симметрий. Простейший пример фрустраций - одноосные антиферромагнитно взаимодействующие спины на двумерной треугольной решетке. Такая система магнитно не упорядочена при любой конечной температуре и имеет, теоретически, конечное значение энтропии основного состояния. Во льду, геометрическая фрустрация возникает из-за несовместимости локальных расстояний связей и дальнодействующего упорядочения кислорода [8].

- Когда обменные взаимодействия, как правило, имеют антиферромагнитную природу, и гораздо сильнее, чем дипольные взаимодействия, то проявляются необычные магнитные состояния благодаря соответствующим нарушениям порядка подрешеток. Эти явления называются фрустрации [20].

- Это универсальное явление, которое проявляется, когда не все взаимодействия в системе могут быть одновременно удовлетворены [21].

- Фрустрации - явление, проявляющееся когда взаимодействия, благоприятствующие различным и несовместимым видам упорядочения, могут присутствовать одновременно [2; 22].

Приведенные выше определения не позволяют получить какую-либо однозначную оценку, является ли система фрустрированной, и, что важнее, насколько она фрустрирована. В точных науках исследователи строят теории и делают предсказания, которые в будущем могут быть проверены и подтверждены, либо опровергнуты с помощью количественных, или точных измерений. Таким образом, необходимо более развернутое определение фрустраций для получения ответов на следующие вопросы:

1. Насколько сильным и устойчивым может быть фрустрированное состояние?

2. Что является объективной количественной мерой фрустраций? В каких единицах измеряются фрустрированность?

3. Являются ли фрустрации свойством отдельной магнитной частицы или это характеристика коллективного поведения системы? Фрустрирован-ной будет частица или магнитная система? Может ли частица, взятая вне системы, быть фрустрированной?

4. Что является фундаментальной причиной фрустраций в магнитной системе? Как это связано с характеристиками окружения?

АФМ

52

?

Рисунок 1.1 — Пример фрустрации для трех спинов Изинга, взаимодействующих друг с другом. При наличии двух антинаправленных спинов с антиферромагнитным (АФМ) типом взаимодействия, третий спин всегда будет антинаправлен с одним спином и сонаправлен с другим.

Антиферромагнитная модель Изинга на треугольнике, рисунок 1.1 является элементарным примером фрустрированной системы. «Целью», «основным состоянием» или «нижайшим возможным энергетическим состоянием» Ет,п будет:

Ет1П = 3(-5051 - 5152 - 5250) = -33, (1.1)

но это запрещенное значение энергии для антиферромагнитной модели Изинга на треугольнике. На практике имеется дважды вырожденное значение минимальной энергии (основное состояние) EGS для трех возможных структур гамильтониана (сумм парных энергий):

EGS = 3(-5051 - 5152 + 525о) = -3, (1.2)

EGS = 3(-5051 + 5152 - 525о) = -3, (1.3)

EGS = 3(+5051 - 5152 - 5250) = -3, (1.4)

что соответствует шести конфигурациям.

Из примера выше можно сделать выводы о фрустрациях в системах многих тел. Более того, можно предложить меру фрустраций.

Первый вывод: можно увидеть, что -33 < -3. Это значит, возможно, что для фрустрированных систем всегда

^т < EGS•

(1.5)

Рисунок 1.2 — Изображение треугольной решетки, расположенной на

одномерной цепочке

Второй вывод: источником фрустраций может являться как минимум одно «неудовлетворенное» парное взаимодействие спинов. В формулах (1.2), (1.3), (1.4) это в2в0, 51 и йой! пары, соответственно.

Третий вывод: мерой фрустраций может быть положение энергии основного состояния Е^ на интервале от Ет,п до Етах, нормированное на длину интервала:

EGS — Етт EGS + Етах .. ^

Р = Е - Е =^2Е-' (1'6)

Етах Етт 2Етах

при этом, Етах = —Ет,п = \ |. Тогда pf <Е [0,1]. И для антиферромагнитной модели Изинга на треугольнике

»=—нзч- "■')

Для Ю, 2 Б и 3Б ферромагнетика Изинга на цепочке, квадратной и кубической решетках соответственно, pf = 0 - нет фрустраций. Конечно, наблюдения основаны на простейшей модели Изинга на треугольнике, но возможно сделать проверку для более сложных решеток.

Примером фрустраций систем многих тел может служить одномерная антиферромагнитная цепочка спинов Изинга с взаимодействием ближайших и следующих по дальности соседей (1 и 2 координационные сферы). Намного проще ее представить в виде псевдо-двумерной цепочки, состоящей из треугольников, рисунок 1.2. Такую цепочку еще называют «зиг-заг». Гамильтониан:

Н = Н1 + Н2

= «Л (-0-1 + в — + ... + йя— 1-О)

+ 052 + -1-3 + ... + йя-250 + -15х), (вг = ±1), (1.8)

где J1 > 0 и 32 > 0 - антиферромагнитное взаимодействие Суммарная энергия (на спин) принимает значения от —3 до +33. Периодические граничные условия учтены в уравнении (1.8).

Таблица 1 — Пример ненормированной плотности вероятности состояний (ПВС) для зиг-заг цепочки, N = 8

E/3

9^)

.16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16

0 0 4 88 90 56 16 0 2

Для N = 8 и учитывая периодические граничные условия

EGS = 3( + 5051 - 5052 - 5152 - 515з + 525з - 5254 - 5354-

-5355 + 5455 - 5456 - 5556 - 5557 + 5657 - 5б50 - 5750 - 5751) = -83,

EGS = 3(-5051 - 5052 + 5152 - 515з - 525з - 5254 + 5354-

-5355 - 5455 - 5456 + 5556 - 5557 - 5657 - 5б50 + 5750 - 5751) = -83. (1.9)

Общая энергия и число состояний представлены в виде таблицы 1. Ожидаемая цель энергии -243, но самые низкие значения, которые могут быть достигнуты системой не ниже -83, таким образом, система является фруст-рированной. Уровень фрустраций в таком случае:

-83 + 243 1 „ ^

р> = 483 =3 • (110)

Состояния с E = +33 являются ферромагнитными основными состояниями «все вверх» и «все вниз», вырождение равно двум.

Для N =16 и учитывая периодические граничные условия

EGS = 3( + 5051 - 5052 - 5152 - 5153 + 5253 - 5254 - 5354--5355 + 5455 - 5456 - 5556 - 5557 + 5657 - 5658 - 5753 - 5759 + + 5859 - 58510 - 59510 - 595ц + 5ю5ц - 510512 - 5П5^--511513 - 512513 + 512514 - 513514 - 513515 + 514515-51450 - 51550 - 51551) = -163,

EGS = 3(-5051 - 5052 + 5152 - 5153 - 5253 - 5254 + 5354--5355 - 5455 - 5456 + 5556 - 5557 - 5657 - 5658 + 5753 - 5759--5859 - 58510 + 59510 - 595ц - 5ю5ц - 510512 + 5П5^--511513 - 512513 - 512514 + 513514 - 513515 - 514515-51450 + 51550 - 51551) = -163 (1.11)

163 + 483 1 ^ = ^6^ = 3 • (1Л2)

Таблица 2 — Пример ненормированной плотности вероятности состояний (ПВС) для зиг-заг цепочки, N = 16

E /3 -32 -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0

9^) 0 0 0 0 4 896 7704 17200 18234

E/3 4 8 12 16 20 24 28 32

9^) 12176 5976 2512 560 240 32 0 2

Общая энергия и число состояний так же представлены в виде таблицы 2.

Как видно из таблиц 1 и 2, 9^0$) = 4 не зависимо от размера системы. В одномерной цепочке спинов Изинга с антиферромагнитным взаимодействием ближайших и следующих по дальности соседей, увеличение размера системы приводит к уменьшению значения энтропии на спин 1п g(EGs)/N, но значение параметра фрустраций не меняется.

Если рассматривать дальнодействующее диполь-дипольное взаимодействие, то фрустрации будут наблюдаться даже в одномерной цепочке диполей с антиферромагнитным упорядочением (в основном состоянии). Несмотря на то, что взаимодействие между ближайшими соседями (первой координационной сферой) минимизирует суммарную энергию в связи с антипараллельным упорядочением диполей в основном состоянии, более дальние соседи (вторая координационная сфера) все равно окажутся параллельными относительно рассматриваемого диполя, так как необходимо выполнить условие антипараллельности для диполей первой координационной сферы. Однако, предположение о существовании нефрустрированных периодических магнитных систем с дипольным взаимодействием, или даже суперферромагнетиков, требует дополнительных исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шевченко, Юрий Андреевич, 2017 год

Список литературы

1. Anderson P. W. Ordering and antiferromagnetism in ferrites // Physical Review. — 1956. — Vol. 102, no. 4. — P. 1008.

2. Toulouse G. Theory of the frustration effect in spin glasses: I // Spin Glass Theory and Beyond: An Introduction to the Replica Method and Its Applications. — 1987.— Vol. 9. —P. 99.

3. Ramirez A. P. Strongly geometrically frustrated magnets // Annual Review of Materials Science. — 1994. — Vol. 24, no. 1. — P. 453-480.

4. Geometrical Frustration in the Ferromagnetic Pyrochlore Ho2Ti2O7 / M. J. Harris [etal.] //Physical Review Letters. —1997. — Vol. 79, issue 13. —P. 2554-2557.

5. Bramwell S. T., Gingras M. J. Spin ice state in frustrated magnetic pyrochlore materials // Science. — 2001. — Vol. 294, no. 5546. — P. 1495-1501.

6. Diep H. T. Frustrated spin systems. — World Scientific, 2013.

7. How «spin ice» freezes / J. Snyder [et al.] // Nature. — 2001. — Vol. 413, issue 6851.—P. 48-51.

8. Zero-point entropy in «spin ice» / A. P. Ramirez [et al.] // Nature. — 1999. — Vol. 399, issue 6734. — P. 180401.

9. Investigation of magnetic fluctuations in Tb2 Sn2O7 ordered spin ice by highresolution energy-resolved neutron scattering /1. Mirebeau [et al.] // Physical Review B. — 2008. — Vol. 78, issue 17. — P. 174416.

10. Artificial «spin ice» in a geometrically frustrated lattice of nanoscale ferromagnetic islands / R. Wang [et al.] // Nature. — 2006. — Vol. 439, no. 7074. — P. 303-306.

11. Mol L. A. S., Pereira A. R., Moura-Melo W. A. Extending spin ice concepts to another geometry: The artificial triangular spin ice // Physical Review B. — 2012.— Vol. 85, issue 18. —P. 184410.

12. Morrison M. J., Nelson T. R., Nisoli C. Unhappy vertices in artificial spin ice: new degeneracies from vertex frustration // New Journal of Physics. — 2013. — Vol. 15, no. 4.—P. 045009.

13. Chern G.-W., Mellado P., Tchernyshyov O. Two-Stage Ordering of Spins in Dipolar Spin Ice on the Kagome Lattice // Physical Review Letters. — 2011. — Vol. 106, issue 20. — P. 207202.

14. Möller G., Moessner R. Magnetic multipole analysis of kagome and artificial spin-ice dipolar arrays // Physical Review B. — 2009. — Vol. 80, no. 14. — P. 140409.

15. Melting artificial spin ice / V. Kapaklis [et al.] // New Journal of Physics. — 2012. — Vol. 14, no. 3. — P. 035009.

16. Ground state lost but degeneracy found: The effective thermodynamics of artificial spin ice / C. Nisoli [et al.] // Physical Review Letters. — 2007. — Vol. 98, no. 21.—P. 217203.

17. Effective temperature in an interacting vertex system: theory and experiment on artificial spin ice / C. Nisoli [et al.] // Physical Review Letters. — 2010. — Vol. 105, no. 4. —P. 047205.

18. Pauling L. The structure and entropy of ice and of other crystals with some randomness of atomic arrangement // Journal of the American Chemical Society. — 1935. — Vol. 57, no. 12. — P. 2680-2684.

19. Thermally induced magnetic relaxation in building blocks of artificial kagome spin ice / A. Farhan [et al.] // Physical Review B. — 2014. — Vol. 89, no. 21. — P. 214405.

20. Dynamic spin ice: Pr 2 Sn 2 O 7 / H. Zhou [et al.] // Physical Review Letters. — 2008. — Vol. 101, no. 22. — P. 227204.

21. Building blocks of an artificial kagome spin ice: photoemission electron microscopy of arrays of ferromagnetic islands / E. Mengotti [et al.] // Physical Review B. — 2008. — Vol. 78, no. 14. — P. 144402.

22. Optimization by simmulated annealing / S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt, M. P. Vec-chi, [et al.] // science. — 1983. — Vol. 220, no. 4598. — P. 671-680.

23. Shevchenko Y., Makarov A., Nefedev K. Effect of long-and short-range interactions on the thermodynamics of dipolar spin ice // Physics Letters A. — 2017. — Vol. 381, no. 5. — P. 428-434.

24. Schroeder D. V. An introduction to thermal physics. — 1999.

25. Базаров И. П. Термодинамика // М.: Высшая школа. — 1991. — Т. 376.

26. Vaz C., Bland J., Lauhoff G. Magnetism in ultrathin film structures // Reports on Progress in Physics. — 2008. — Vol. 71, no. 5. — P. 056501.

27. Fisher M. E. The theory of equilibrium critical phenomena // Reports on progress in physics. — 1967. — Vol. 30, no. 2. — P. 615.

28. Sucksmith W., Thompson J. E. The magnetic anisotropy of cobalt // Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. Vol. 225. — The Royal Society. 1954. — P. 362-375.

29. Luborsky F., Wohlfarth E. Ferromagnetic Materials // Wohlfarth P, NH, Amsterdam. — 1980.

30. Siegmann H. Surface and 2D magnetism // Journal of Physics: Condensed Matter. — 1992. — Vol. 4, no. 44. — P. 8395.

31. Fisher M. E. The renormalization group in the theory of critical behavior // Reviews of Modern Physics. — 1974. — Vol. 46, no. 4. — P. 597.

32. Wilson K. G. Problems in Physics wi th Many Scales of Length // Scient. Am. — 1979.— Vol. 241.—P. 140-157.

33. Fisher M. E. Renormalization group theory: Its basis and formulation in statistical physics // Reviews of Modern Physics. — 1998. — Vol. 70, no. 2. — P. 653.

34. Stanley H. E. Scaling, universality, and renormalization: Three pillars of modern critical phenomena // Reviews of modern physics. — 1999. — Vol. 71, no. 2. — S358.

35. Ma Ma S. Modern Theory of Critical Phenomena. — 1976.

36. Renormalization, vortices, and symmetry-breaking perturbations in the two-dimensional planar model / J. V. José [et al.] // Physical Review B. — 1977. — Vol. 16, no. 3.—P. 1217.

37. Kosterlitz J., Thouless D. J. Two-dimensional physics // Progress in low temperature physics. — 1978. — Vol. 7. — P. 371-433.

38. Barber M. N. Phase transitions in two dimensions // Physics Reports. — 1980. — Vol. 59, no. 4. — P. 375-409.

39. Landau D. Computer simulation studies of magnetic phase transitions // Journal of magnetism and magnetic materials. — 1999. — Vol. 200, no. 1. — P. 231247.

40. Pelissetto A., Vicari E. Critical phenomena and renormalization-group theory // arXiv preprint cond-mat/0012164. — 2000.

41. Onsager L. Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Physical Review. — 1944. — Vol. 65, no. 3/4. — P. 117.

42. Thompson C. J. Classical equilibrium statistical mechanics. — Oxford University Press, USA, 1988.

43. Bramwell S., Holdsworth P. Universality in two-dimensional magnetic systems // Journal of applied physics. — 1993. — Vol. 73, no. 10. — P. 6096-6098.

44. Bramwell S., Holdsworth P. Magnetization and universal sub-critical behaviour in two-dimensional XY magnets // Journal of Physics: Condensed Matter. — 1993. — Vol. 5, no. 4. — P. L53.

45. Mermin N. D., Wagner H. Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one-or two-dimensional isotropic Heisenberg models // Physical Review Letters. — 1966. — Vol. 17, no. 22. — P. 1133.

46. Le Guillou J., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory // Physical Review B. — 1980. — Vol. 21, no. 9. — P. 3976.

47. Le Guillou J., Zinn-Justin J. Critical exponents for the n-vector model in three dimensions from field theory // Physical Review Letters. — 1977. — Vol. 39, no. 2.—P. 95.

48. Bloch F. Zur theorie des ferromagnetismus // Zeitschrift für Physik. — 1930. — Vol. 61, no. 3/4. — P. 206-219.

49. Wegner F. Spin-ordering in a planar classical Heisenberg model // Zeitschrift für Physik. — 1967. — Vol. 206, no. 5. — P. 465-470.

50. Hohenberg P. Existence of long-range order in one and two dimensions // Physical Review. — 1967. — Vol. 158, no. 2. — P. 383.

51. Ising E. Report on the theory of ferromagnetism // Zeitschrift fur Physik. — 1925. — Vol. 31. — P. 253-258.

52. Gould H., Tobochnik J. Statistical and thermal physics: with computer applications. — Princeton University Press, 2010.

53. Ferdinand A. E., Fisher M. E. Bounded and inhomogeneous Ising models. I. Specific-heat anomaly of a finite lattice // Physical Review. — 1969. — Vol. 185, no. 2. — P. 832.

54. Муртазаев А., Рамазанов М., Бадиев М. Критические свойства антиферромагнитной модели Изинга на квадратной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей // Low Temperature Physics. — 2011. — Т. 37, № 12.— С. 1258—1263.

55. Boulatov D., Kazakov V. The Ising model on a random planar lattice: the structure of the phase transition and the exact critical exponents // Physics Letters

B. — 1987. — Vol. 186, no. 3/4. — P. 379-384.

56. Baxter R. J., Wu F. Exact solution of an Ising model with three-spin interactions on a triangular lattice // Physical Review Letters. — 1973. — Vol. 31, no. 21. — P. 1294.

57. Kano K., Naya S. Antiferromagnetism. the kagome ising net // Progress of theoretical physics. — 1953. — Vol. 10, no. 2. — P. 158-172.

58. Муртазаев А., Камилов И., Бабаев А. Критическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2004. — Т. 126, № 6. —

C. 1377—1383.

59. Luttinger J. M., Tisza L. Theory of Dipole Interaction in Crystals // Physical Review. — 1946. — Vol. 70, issue 11/12. — P. 954-964.

60. Russier V. Calculated magnetic properties of two-dimensional arrays of nanopar-ticles at vanishing temperature // Journal of Applied Physics. — 2001. — Vol. 89, no. 2.—P. 1287-1294.

61. Fernández J. F., Alonso J. J. Ordering of dipolar Ising crystals // Physical Review B. — 2000. — Vol. 62, issue 1. — P. 53-56.

62. Mukhopadhyay G., Apell P., Hanson M. Study of planar lattice of magnetic particles // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1999. — Vol. 203, no. 1.—P. 286-288.

63. Castelnovo C., Moessner R., Sondhi S. L. Magnetic monopoles in spin ice // Nature. — 2008. — Vol. 451, no. 7174. — P. 42-45.

64. Measurement of the charge and current of magnetic monopoles in spin ice / S. Bramwell [et al.] // Nature. — 2009. — Vol. 461, no. 7266. — P. 956-959.

65. Jaubert L. D., Holdsworth P. C. Signature of magnetic monopole and Dirac string dynamics in spin ice // Nature Physics. — 2009. — Vol. 5, no. 4. — P. 258-261.

66. Hertog B. C. den, Gingras M. J. Dipolar interactions and origin of spin ice in Ising pyrochlore magnets // Physical Review Letters. — 2000. — Vol. 84, no. 15. — P. 3430.

67. Spin correlations in Ho 2 Ti 2 O 7: a dipolar spin ice system / S. Bramwell [et al.] // Physical Review Letters. — 2001. — Vol. 87, no. 4. — P. 047205.

68. Isakov S. V, Moessner R., Sondhi S. L. Why spin ice obeys the ice rules // Physical Review Letters. —2005. —Vol. 95, no. 21. — P. 217201.

69. Guruciaga P. C., Grigera S. A., Borzi R. A. Monopole ordered phases in dipolar and nearest-neighbors Ising pyrochlore: From spin ice to the all-in-all-out anti-ferromagnet // Physical Review B. — 2014. — Vol. 90, no. 18. — P. 184423.

70. Thermodynamics of the classical spin-ice model with nearest neighbour interactions using the Wang-Landau algorithm / M. V. Ferreyra [et al.] // The European Physical Journal B. — 2016. — Vol. 89, no. 2. — P. 1-9.

71. Magnetic-charge ordering and phase transitions in monopole-conserved square spin ice / Y.-L. Xie [et al.] // Scientific reports. — 2015. — Vol. 5.

72. Borzi R. A., Slobinsky D., Grigera S. A. Charge ordering in a pure spin model: dipolar spin ice // Physical Review Letters. — 2013. — Vol. 111, no. 14. — P. 147204.

73. Mol L., Moura-Melo W., Pereira A. Conditions for free magnetic monopoles in nanoscale square arrays of dipolar spin ice // Physical Review B. — 2010. — Vol. 82, no. 5.—P. 054434.

74. Bernal J., Fowler R. A theory of water and ionic solution, with particular reference to hydrogen and hydroxyl ions // The Journal of Chemical Physics. — 1933. —Vol. 1, no. 8.—P. 515-548.

75. Wu F. Exactly soluble model of the ferroelectric phase transition in two dimensions // Physical Review Letters. — 1967. — Vol. 18, no. 15. — P. 605.

76. Lieb E. H. Exact Solution of the Problem of the Entropy of Two-Dimensional Ice // Physical Review Letters. — 1967. — Vol. 18, no. 17. — P. 692-694.

77. Slater J. C. Theory of the transition in KH2PO4 // The Journal of Chemical Physics. — 1941. — Vol. 9, no. 1. — P. 16-33.

78. Stoner E. C., Wohlfarth E. A mechanism of magnetic hysteresis in heterogeneous alloys // Philosophical Transactions of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 1948. — Vol. 240, no. 826. — P. 599-642.

79. Nisoli C., Moessner R., Schiffer P. Colloquium: Artificial spin ice: Designing and imaging magnetic frustration // Reviews of Modern Physics. — 2013. — Vol. 85, no. 4. — P. 1473-1490.

80. Direct Observation of Thermal Relaxation in Artificial Spin Ice / A. Farhan [et al.] // Physical Review Letters. — 2013. — Vol. 111, issue 5. — P. 057204.

81. Thermal fluctuations in artificial spin ice / V. Kapaklis [et al.] // Nature nan-otechnology. — 2014. — Vol. 9, no. 7. — P. 514-519.

82. Nefedev K., Ivanov Y., Peretyatko A. Parallel algorithm for calculation of the nanodot magnetization // Lecture Notes in Computer Science (including sub-series Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformat-ics). — 2010. — Vol. 6083 LNCS. — P. 260-267.

83. Magnetic states of nanodot arrays. Physical and numerical experiments / K. Nefedev [et al.] // Solid State Phenomena. — 2011. — Vol. 168/169. — P. 325-328.

84. Effect of the shape anisotropy and configurational anisotropy on the magnetic structure of ferromagnetic nanodots / Y. Ivanov [et al.] // Physics of Metals and Metallography. — 2012. — Vol. 113, no. 3. — P. 222-227.

85. Magnetization reversal of nanodots with different magnetic anisotropy and mag-netostatic energy / Y. Ivanov [et al.] // Journal of Physics: Conference Series. — 2011. —Vol. 266, no. 1.

86. Comparing artificial frustrated magnets by tuning the symmetry of nanoscale permalloy arrays / J. Li [etal.] //PhysicalReviewB. —2010. —Vol. 81, no. 9. — P. 092406.

87. Direct observation of magnetic monopole defects in an artificial spin-ice system / S. Ladak [et al.] // Nature Physics. — 2010. — Vol. 6, no. 5. — P. 359-363.

88. Real-space observation of emergent magnetic monopoles and associated Dirac strings in artificial kagome spin ice / E. Mengotti [et al.] // Nature Physics. — 2011. —Vol. 7, no. 1.—P. 68-74.

89. A new look on the two-dimensional Ising model: thermal artificial spins / U. B. Arnalds [et al.] // New Journal of Physics. — 2016. — Vol. 18, no. 2. — P. 023008.

90. Chern G.-W., Morrison M. J., Nisoli C. Degeneracy and criticality from emergent frustration in artificial spin ice // Physical Review Letters. — 2013. — Vol. 111, no. 17.—P. 177201.

91. Emergent ice rule and magnetic charge screening from vertex frustration in artificial spin ice /1. Gilbert [et al.] // Nature Physics. — 2014. — Vol. 10, no. 9. — P. 670-675.

92. Emergent reduced dimensionality by vertex frustration in artificial spin ice / I. Gilbert [et al.] // Nature Physics. — 2015.

93. Marrows C. Experimental Studies of Artificial Spin Ice // arXiv preprint arXiv:1611.00744. — 2016.

94. Thermal ground-state ordering and elementary excitations in artificial magnetic square ice / J. P. Morgan [et al.] // Nature Physics. — 2011. — Vol. 7, no. 1. — P. 75-79.

95. Wills A., Ballou R., Lacroix C. Model of localized highly frustrated ferromagnetism: The kagome spin ice//Physical ReviewB.— 2002.—Vol. 66, no. 14.— P. 144407.

96. A new macroscopically degenerate ground state in the spin ice compound Dy2Ti2O7 under a magnetic field / K. Matsuhira [et al.] // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2002. — Vol. 14, no. 29. — P. L559.

97. Domain structures and magnetic ice-order in NiFe nano-network with honeycomb structure / M. Tanaka [et al.] // Journal of applied physics. — 2005. — Vol. 97, no. 10. — 10J710.

98. Energy minimization and ac demagnetization in a nanomagnet array / X. Ke [et al.] // Physical Review Letters. — 2008. — Vol. 101, no. 3. — P. 037205.

99. Magnetic vortex crystal formation in the antidot complement of square artificial spin ice / C. I. L. de Araujo [et al.] // Applied Physics Letters. — 2014. — Vol. 104, no. 9. —P. 092402.

100. Broken vertex symmetry and finite zero-point entropy in the artificial square ice ground state / S. Gliga [etal.] //Physical ReviewB. —2015. — Vol. 92, no. 6. — P. 060413.

101. Shevchenko Y., Nefedev K. V. Magnetic states and frustrations of square spin ice in 2D XY point dipoles model // Solid State Phenomena. Vol. 247. — Trans TechPubl. 2016. — P. 148-152.

102. Ashcroft N. W., Mermin N. D. Solid State Physics (Holt, Rinehart and Winston, New York, 1976) // Google Scholar. — 2005. — P. 403.

103. Stein D. L., Newman C. M. Spin Glasses and Complexity. — Princeton University Press, 2013.

104. Equation of State Calculations by Fast Computing Machines / N. Metropolis [et al.] // The Journal of Chemical Physics. — 1953. — Vol. 21, no. 6. —P. 10871092.

105. Melko R. G., Hertog B. C. den, Gingras M. J. P. Long-Range Order at Low Temperatures in Dipolar Spin Ice // Physical Review Letters. — 2001. — Vol. 87, issue 6. — P. 067203.

106. Otsuka H. Cluster algorithm for Monte Carlo simulations of spin ice // Physical Review B. — 2014. — Vol. 90, issue 22. — P. 220406.

107. Earl D. J., Deem M. W. Parallel tempering: Theory, applications, and new perspectives // Physical Chemistry Chemical Physics. — 2005. — Vol. 7, no. 23. — P. 3910-3916.

108. Sugita Y., Okamoto Y. Replica-exchange molecular dynamics method for protein folding // Chemical physics letters. — 1999. — Vol. 314, no. 1. — P. 141-151.

109. Rathore N., Chopra M., Pablo J. J. de. Optimal allocation of replicas in parallel tempering simulations // The Journal of chemical physics. — 2005. — Vol. 122, no. 2.—P. 024111.

110. Landau D. P., Binder K. A guide to Monte Carlo simulations in statistical physics. — Cambridge Univ. Press, 2000. — P. 384.

111. Belardinelli R., Pereyra V. Fast algorithm to calculate density of states // Physical Review E. — 2007. — Vol. 75, no. 4. — P. 046701.

112. Komura Y., Okabe Y. Difference of energy density of states in the Wang-Landau algorithm // Physical Review E. — 2012. — Vol. 85, no. 1. — P. 010102.

113. Convergence for the Wang-Landau density of states / G. Brown [et al.] // Physical Review E. —2011. — Vol. 84, no. 6. — P. 065702.

114. Joint Density of States Calculation Employing Wang-Landau Algorithm / M. S. Kalyan [et al.] // Journal of Statistical Physics. — 2016. — Vol. 163, no. 1.—P. 197-209.

115. Wang F., Landau D. Determining the density of states for classical statistical models: A random walk algorithm to produce a flat histogram // Physical Review E. — 2001. — Vol. 64, no. 5.—P. 056101.

116. Landau D., Tsai S.-H., Exler M. A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling // American Journal of Physics. — 2004. — Vol. 72, no. 10. — P. 1294-1302.

117. Силантьева И. А., Воронцов-Вельяминов П. Н. Расчет плотности состояний и термических свойств полимерных цепей и звезд на решетке методом Монте-Карло с использованием алгоритма Ванга-Ландау // вычислительные методы и программирование. — 2011. — Т. 12, № 4. — С. 397—408.

118. Щур Л. Алгоритм Ванга-Ландау: случайное блуждание по спектру энергии [Электронный ресурс]. — 2014. — Режим доступа: http://rscf158.comphys.ru/Articles/shchur-2014-tarusa.pdf.

119. Generic, hierarchical framework for massively parallel Wang-Landau sampling / T. Vogel [et al.] // Physical Review Letters. — 2013. — Vol. 110, no. 21. — P. 210603.

120. Scalable replica-exchange framework for Wang-Landau sampling / T. Vogel [et al.] // Physical Review E. — 2014. — Vol. 90, no. 2. — P. 023302.

121. Batten R. D., Stillinger F. H., Torquato S. Classical disordered ground states: Super-ideal gases and stealth and equi-luminous materials // Journal of Applied Physics. — 2008. — Vol. 104, no. 3. — P. 033504.

122. Barahona F. On the computational complexity of Ising spin glass models // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1982. — Vol. 15, no. 10. — P. 3241.

123. Millane R., Goyal A., Penney R. Ground states of the antiferromagnetic Ising model on finite triangular lattices of simple shape // Physics Letters A. — 2003. — Vol. 311, no. 4. — P. 347-352.

124. Hartmann A. K., Rieger H. Optimization algorithms in physics. Vol. 2. — Cite-seer, 2002.

125. Hartmann A. K., Rieger H. New optimization algorithms in physics. — John Wiley & Sons, 2006.

126. Berg B. A., Hansmann U. E., Celik T. Ground-state properties of the three-dimensional Ising spin glass//Physical Review B.— 1994. — Vol. 50, no. 22.— P. 16444.

127. Hukushima K., Nemoto K. Exchange Monte Carlo method and application to spin glass simulations // Journal of the Physical Society of Japan. — 1996. — Vol. 65, no. 6. — P. 1604-1608.

128. Binder K., Kob W. Glassy materials and disordered solids: An introduction to their statistical mechanics. — World Scientific, 2011.

129. Edwards S. F., Anderson P. W. Theory of spin glasses // Journal of Physics F: Metal Physics. — 1975. — Vol. 5, no. 5. — P. 965.

130. Shevchenko Y. A., Nefedev K. V., Kapitan V. Y. The inverse task for magnetic force microscopy data // Applied Mechanics and Materials. Vol. 328. — Trans Tech Publ. 2013. — P. 744-747.

V _

131. Zukovic M. Thermodynamic and magnetocaloric properties of geometrically frustrated Ising nanoclusters // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 2015. — Vol. 374. — P. 22-35.

132. Мультиканоническое семплирование пространства состояний H(2,n)-векторных моделей / Ю. Шевченко [и др.] // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2017. — Т. 151, № 6. — С. 1146.

133. Exact ground states of Ising spin glasses: New experimental results with a branch-and-cut algorithm / C. De Simone [et al.] // Journal of Statistical Physics. — 1995. — Vol. 80, no. 1/2. — P. 487-496.

134. Nonmonotonic zero-point entropy in diluted spin ice / X. Ke [et al.] // Physical Review Letters. — 2007. — Vol. 99, no. 13. — P. 137203.

135. Nonmonotonic residual entropy in diluted spin ice: A comparison between Monte Carlo simulations of diluted dipolar spin ice models and experimental results / T. Lin [et al.] // Physical Review B. — 2014. — Vol. 90, no. 21. — P. 214433.

136. Suppression of Pauling's residual entropy in the dilute spin ice (Dy 1- x Y x) 2 Ti 2 O 7 / S. Scharffe [et al.] // Physical Review B. — 2015. — Vol. 92, no. 18. — P. 180405.

137. Shinaoka H., Tomita Y., Motome Y. Effect of magnetoelastic coupling on spin-glass behavior in Heisenberg pyrochlore antiferromagnets with bond disorder // Physical Review B.—2014.—Vol. 90, no. 16.—P. 165119.

138. Aharony A., Harris A. B., Wiseman S. Critical disordered systems with constraints and the inequality v>2/d// Physical Review Letters. — 1998. —Vol. 81, no. 2. — P. 252.

139. Marqués M. I., Gonzalo J. A. Self-averaging of random and thermally disordered dilutedIsing systems//Physical ReviewE. — 1999. — Vol. 60, no. 2. —P. 2394.

140. Suematsu K., Kohno M. Estimation of critical points of branched polymers // Physical Review E. — 2000. — Vol. 62, no. 3. — P. 3944.

141. Nagle J. F. Lattice statistics of hydrogen bonded crystals. I. The residual entropy of ice // Journal of Mathematical Physics. — 1966. — Vol. 7, no. 8. — P. 14841491.

142. Wannier G. Antiferromagnetism. the triangular ising net//Physical Review B. — 1973. —Vol. 7, no. 11.—P. 5017.

143. Yao X. Dilute modulation of spin frustration in triangular Ising antiferromagnetic model: Wang-Landau simulation // Solid State Communications. — 2010. — Vol. 150, no. 3. —P. 160-163.

144. Sykes M. F., Essam J. W. Exact critical percolation probabilities for site and bond problems in two dimensions // Journal of Mathematical Physics. — 1964. — Vol. 5, no. 8.—P. 1117-1127.

145. Heyderman L. J., Stamps R. L. Artificial ferroic systems: Novel functionality from structure, interactions and dynamics // Journal of Physics Condensed Matter. — 2013. — Vol. 25, no. 36. — cited By 22.

146. Malozovsky Y., Rozenbaum V. M. Orientational ordering in two-dimensional systems with long-range interaction // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 1991. — Vol. 175, no. 1. —P. 127-145.

147. Thermal phase transitions in artificial spin ice / D. Levis [et al.] // Physical Review Letters. —2013. —Vol. 110, no. 20. — P. 207206.

148. Thermodynamics of elementary excitations in artificial magnetic square ice / R. C. Silva [et al.] // New Journal of Physics. — 2012. — Vol. 14, no. 1. — P. 015008.

149. Artificial Kagome Arrays of Nanomagnets: A Frozen Dipolar Spin Ice / N. Rougemaille [et al.] // Physical Review Letters. — 2011. — Vol. 106, issue 5. —P. 057209.

150. Politi P., Pini M. G., Stamps R. L. Dipolar ground state of planar spins on triangular lattices // Physical Review B. — 2006. — Vol. 73, issue 2. — P. 020405.

151. Bramwell S. T. Condensed-matter physics: Great moments in disorder // Nature. — 2006. — Vol. 439, no. 7074. — P. 273-274.

152. Siddharthan R., Shastry B. S., Ramirez A. P. Spin ordering and partial ordering in holmium titanate and related systems // Physical Review B. — 2001. — Vol. 63, issue 18. — P. 184412.

153. Shevchenko Y. A., Nefedev K. V., Makarov A. G. The lack of frustrations and excitations in the ground state of artificial spin ice on large square lattice // Spin physics, Spin chemistry and Spin technology 2015 conference proceedings. — 2015.—P. 126.

154. Shevchenko Y. A., Nefedev K. V., Kapitan V. Y. Specific Heat of Square Spin Ice in Finite Point Ising-like Dipoles Model // Solid State Phenomena. Vol. 245. — Trans Tech Publ. 2015. — P. 23-27.

155. Dynamics and hysteresis in square lattice artificial spin ice / G. M. Wysin [et al.] // New Journal of Physics. — 2013. — Vol. 15, no. 4. — P. 045029.

Список рисунков

1.1 Пример фрустрации для трех спинов Изинга, взаимодействующих друг с другом. При наличии двух антинаправленных спинов с антиферромагнитным (АФМ) типом взаимодействия, третий спин

всегда будет антинаправлен с одним спином и сонаправлен с другим. . 15

1.2 Изображение треугольной решетки, расположенной на одномерной цепочке.................................... 16

1.3 Схематичное расположение антиферромагнитной модели Изинга в минимальном энергетическом (основном) состоянии а) в одном измерении (Ш) в виде цепочки б) в двух измерениях (2D) в виде простой квадратной решетки. Пунктирной линией показаны парные спиновые взаимодействия, где значение J определяет тип

взаимодействия................................27

1.4 Зарядовая модель гантелей на примере гексагональной решетки. Черными и белыми точками отмечены противоположные магнитные заряды на концах магнитного диполя [13].................30

1.5 Элементарная ячейка решетки пирохлора, Ь = 1. Спины Изинга (Ж =16) размещены на вершинах тэтраэдров. Спины на противоположных границах продублированы для большей наглядности..................................32

1.6 Квадратный искусственный спиновый лед [93]. а) Снимок атомно силового микроскопа, показывающий упорядочение наномагнитов вдоль ребер квадратной решетки. б) Магнито-силовая микроскопия того же образца, показывающего магнитные поля каждого наномагнита в виде светлого и темного контраста. в) Шестнадцать возможных магнитных конфигураций вершин решетки квадратного спинового льда, разделенные на четыре типа по уровню энергии. . . . 35

1.7 Искуственный гексагональный спиновый лед [93]. а) Атомно силовая микроскопия показывающая упорядочение наномагнитов вдоль ребер гексагонального узора. б) Магнитно-силовая микроскопия того же образца, показывающая магнитные поля каждого наномагнита в виде темного или светлого контраста. в) Два эквивалентных типа структурной вершины гексагонального спинового льда. г) Восемь возможных магнитных конфигураций для вершин на гексагональной

решетке....................................37

2.1 Схематичное представление процесса обмена репликами в алгоритме параллельного отжига на примере 5 реплик................43

2.2 Теплоемкость двумерной модели Изинга 104 спинов, полученная двумя независимыми методами: аналитически, уравнение (1.37) [53],

и с помощью последовательного ВЛ-метода................46

2.3 Пример нормированной гистограммы 1п д(Е), полученной для квадратного спинового льда (КСЛ) 180 спинов параллельным ВЛ-методом с дальнодействующим взаимодействием между диполями. Энергетическое пространство разделено на к =9 равных интервалов с перекрытием 75%. Части gk(Е) сдвинуты вдоль оси ординат для наглядности........................... 47

2.4 Примеры численного дифференцирования д(Е) различными методами. Производная по двум точкам гистограмм КСЛ с учетом дальнодействия (а) и близкодействия (б). Дифференцирование гистограмм КСЛ с учетом дальнодействия методом пятиточечной аппроксимации с шириной охвата 1 (в) и 10 (г). Цветами помечены

различные энергетические интервалы...................51

2.5 Сравнение 1 и 2 методов расчета минимума энергии...........54

2.6 Сравнение 3 и 4 методов расчета минимума энергии...........55

2.7 Сравнение 1 и 5 методов расчета энергии....................................55

3.1 Схематичные изображения а) гексагональной и б) треугольной

решеток. Области, обведенные пунктирной линией имеют N = 18 и N =16 спинов на гексагональной и треугольной решетках, соответственно. Эти области используются для решений методом полного перебора, с учетом периодических граничных условий.....57

3.2 График 1пд(Е) как функции от Е для модели Изинга на решетке пирохлора. Размер системы Ь = 6 (Ы = 3456).............. 60

3.3 Температурная зависимость теплоемкости на спин антиферромагнитной модели Изинга на решетке пирохлора. Размер системы Ь = 6 (Ы = 3456)......................... 61

3.4 Температурная зависимость энтропии на спин антиферромагнитной модели Изинга на решетке пирохлора. Размер системы

Ь = 6(Ы = 3456)............................... 61

3.5 Зависимость концентрации разбавления от максимального значения теплоемкости на спин для антиферромагнитной модели Изинга на решетке пирохлора. Размеры систем Ь = 1 (Ы = 16) и

Ь = 6 (Ы = 3456). Перколляционный порог для решетки пирохлора (алмаза) хс = 0.61 [140] отмечен стрелкой.................62

3.6 График остаточной энтропии на спин чистой антиферромагнитной модели Изинга на решетке пирохлора как функция 1/N (Ы = Ыфщ). Размер системы Ь = 3 (Ы = 432), Ь = 4 (Ы = 1024),

Ь = 5 (Ы = 2000) и Ь = 6 (Ы = 3456). Точное решение Нэгла [141] (0.20501) показано красной стрелкой, где приближение Полинга [18] (0.20273) показано голубой стрелкой....................63

3.7 Зависимость концентрации разбавления остаточной энтропии на спин антиферромагнитной модели Изинга на решетке пирохлора. Результаты показаны в сравнении точного и Ванг-Ландау решений. Размеры системы Ь = 1 (Ы = 16) и Ь = 6 (Ы = 3456). Обобщенное приближение Полинга [134] так же изображено пунктирной линией. Перколляционный порог для решетки пирохлора (алмаза) хс = 0.61

[140] обозначен стрелкой..........................64

3.8 График 50 / как функция числа случайных образцов модели изинга на а) пирохлор, Ь = 6 (Ы = 3456), б) треугольной,

Ь = 48 (Ы = 2304), в) гексагональной Ь = 48 (Ы = 3456) решетках. Концентрация разбавления х = 0.5.....................65

3.9 График 1пд(Е) как функция от Е модели Изинга на треугольной решетке. Размер системы Ь = 48 (Ы = 2304)............... 67

3.10 Температурная зависимость теплоемкости на один спин антиферромагнитной модели на треугольной решетке. Размер

системы Ь = 48 (Ы = 2304)......................... 67

3.11 Температурная зависимость энтропии на спин в АФМ модели Изинга

на треугольной решетке. Размер системы Ь = 48 (Ы = 2304)...... 68

3.12 Зависимость максимального значения теплоемкости на спин от концентрации разбавления для антиферромагнитной модели Изинга на треугольной и гексагональной решетках. Результаты представлены в сравнении точного и ВЛ решений. Для точного решения, N =16 для треугольной решетки и N = 18 для гексагональной решетки. Для ВЛ решения, Ь = 48 (Ы = 2304 для треугльной решетки и N = 3456 для гексагональной решетки). Перколяционный порог для треугольной решетки х2с = 0.5 и для гексагональной решетки

х\ = 0.35 [144] отмечены стрелками....................68

3.13 Зависимость остаточной энтропии на спин для чистой (х = 0) модели Изинга на треугольной решетке, как функция 1/N (Ы = Ыфщ). Размер системы Ь = 24 N = 576), Ь = 32 N = 1024),

Ь = 48 N = 2304), и Ь = 64 N = 4092). Точное решение Ванье

[142] (0.323066) показано красной стрелкой................69

3.14 Зависимость остаточной энтропии на спин от концентрации разбавления в АФМ модели Изинга на треугольной и гексагональной решетках. Результаты представлены в сравнении точного и ванг-ландау решений. Для точного решения, N = 16 для треугольной решетки и N =18 для гексагональой решетки. Для Ванг-Ландау решения, Ь = 48 ^ = 2304) для треугольной решетки и N = 3456

для гексагональной решетки). Перколяционные пороги для

треугольной решетки хс = 0.5 и для гексагональной решетки

х\ = 0.35 [144] отмечены стрелками....................70

3.15 Зависимость 1пд(Е)) как функция Е модели Изинга на гексагональной решетке. Размер системы Ь = 48 N = 3456)...... 71

3.16 Температурная зависимость теплоемкости на один спин АФМ модели изинга на гексагональной решетке. Размер системы

Ь = 48^ = 3456).............................. 72

3.17 Темпратурная зависимость энтропии на один спин антиферромагнитной модели Изинга на гексагональной решетке.

Размер системы Ь = 48 N = 3456).................... 72

3.18 Остаточная энтропия чистой АФМ модели Изинга на гексагональной решетке как функция 1/Ы (Ы = Ы^щ). Размер системы Ь = 24 (Ы = 864), Ь = 32 (Ы = 1536), и Ь = 48 (Ы = 3456). Точное решение Кано и Ная [57] (0.50183) показано красной стрелкой.....73

4.1 Модели и образцы дипольных решеток в одном из основных состояний на решетках а) квадратного б) гексагонального в) шакти спинового льда. (г, д, е) - изображения сканирующего туннельного микроскопа соответствующих решеток. (ж,и) - изображения магнитно силового микроскопа, з) - изображение, полученное методом рентгеновского магнитного кругового дихроизма. Пунктирной линией ограничена зона короткодействия, а - параметр решетки. Рисунки (г, е, ж, и) взяты из работы [91], (д, з) из работы [19]. 77

4.2 Гистограммы кратности вырождения энергий фрустрированного спинового льда для дальнодействия (левый столбец) и короткодействия (правый столбец). а) Квадратный спиновый лед, 24 диполя. б) Гексагональная решетка, 30 диполей. в) Шакти решетка, 32 диполя. Данные получены исчерпывающим перечислением. Линиями обозначено нормальное распределение с параметрами, представленными в таблице 6........................80

4.3 Энтропия (сверху) и теплоемкость (снизу). а) Решетка квадратного спинового льда, 24 диполя. б) Гексоганальная решетка спинового

льда, 30 диполей. в) Шакти решетка спинового льда, 32 диполя.....81

4.4 Теплоемкость КСЛ Ы = 312. Сплошная линия и точки (1) - ВЛ семплирование и Метрополис для дальнодействия соответственно, ^ = 311. Точками (2) обозначены данные, полученные алгоритмом Метрополиса для близкодействия, ^ = 4. На вставке показано точное решение теплоемкости КСЛ для Ы = 24, объединенное с данными, полученными методами Метрополиса и ВЛ для дальнего и ближнего радиусов взаимодействия, кривые (3) и (4) соответственно.......85

4.5 Поведение высот пиков теплоемкости от числа наноостровков. На вставке показана зависимость критической температуры Тс от числа наноостровков. Кривые (1) и (3) были получены с помощью метода ВЛ в дальнодействующей модели взаимодействия. Кривые (2) и (4)

были получены с помощью метода Метрополиса для близкодействия. 86

4.6 Продольная (поперечная) магнитная восприимчивость в бесконечно малом внешнем поле для N = 312 КСЛ. Кривая (1) - дальнодействие, кривая (2) - близкодействие, полученные алгоритмом Метрополиса. На вставке изображено строгое решение для КСЛ с N = 24, кривые

(3) и (4) вычисляются как численно, так и с использованием

алгоритма Метрополиса для двух радиусов взаимодействия.......88

4.7 Пример кластеризации квадратного спинового льда, N = 24......89

4.8 Сравнение параметра порядка п КСЛ для N = 312. При х = 311, кривая (1) и х = 4, кривая (2), соответственно. Данные были получены с помощью алгоритма Метрополиса. На вставке показаны результаты точного решения для N = 24, и результаты Метрополис семплирования для двух исследуемых радиусов взаимодействия (3) и

(4 ).......................................90

Список таблиц

1 Пример ненормированной плотности вероятности состояний (ПВС)

для зиг-заг цепочки, N = 8......................... 17

2 Пример ненормированной плотности вероятности состояний (ПВС)

для зиг-заг цепочки, N = 16........................ 18

3 Значения pf для исследуемых в работе решеток............. 19

4 Значения критических индексов в, У и V для некоторых систем, где й - размерность пространства, п - число уровней свободы. Три критических экспоненты связаны через отношение масштабирования

у = ¿у — 2в. Данные взяты из работы [26, с. 11].............26

5 Зависимость концентрации разбавления, х, от остаточной энтропии на спин для решетки пирохлора. Размеры системы Ь = 4, 5, и 6. Числа

в скобках отличаются от образца к образцу (погрешность метода). . . 64

6 Параметры распределения Гаусса для линий, изображенных на

рисунке 4.2. БД - близкодействие, ДД - дальнодействие.........83

7 Сравнение свойств для рассмотренных выше решеток. Визуализация показана на рисунке 4.1. Вырождения ОС взяты из ПВС. Следует отметить, что для любого состояния в любой решетке всегда существует зеркальное состояние с той же энергией. Таким образом, уровень вырождения также будет кратен двум...............84