Энергетическая теория хрупкого разрушения твердых тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Дунаев, Владислав Игоревич

• Дунаев, Владислав Игоревич
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Дунаев, Владислав Игоревич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ТЕРМОУПРУГОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

1.1. Уравнения термоупругости для изотропного тела.

1.2. Краевые и начальные условия.

1.3. Некоторые постановки задач теории термоупругости.

1.3.1. Задачи термоупругости в адиабатическом приближении.

1.4. Плоская задача теории термоупругости.

1.5 Применение теории функции комплексного переменного. в плоской задаче теории упругости.

Глава 2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ ТЕРМОУПРУГИХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.

2.1. Основные понятия термодинамики сплошных сред.

2.2. Законы термодинамики для термоупругих тел.

2.3 Термодинамические соотношения для твердых тел с учетом. образования новых поверхностей.

2.3.1 Основные гипотезы и предположения.

2.3.2 Законы термодинамики для тела с трещиной.

2.4. Энергетическое условие хрупкого разрушения при однократном статическом нагружении в изотермическом случае.

2.5. Об энергетическом условии разрушения Гриффитса.

Глава 3. АНАЛИЗ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРИ ОДНОКРАТНОМ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ И ПОСТОЯННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ.

3.1. Постановка краевых задач для вычисления термодинамических функций в условиях хрупкого разрушения.

3.2. Энергетические условия хрупкого разрушения для двух известных моделей образования изолированного дефекта.

3.3. Некоторые частные задачи для качественного анализа энергетического условия хрупкого разрушения.

3.3.1. Задача об образовании дефекта круглой формы в круглой пластине при осесимметричном нагружении.

3.3.2. Задача о хрупком разрушении сферы с центральным дефектом сферической формы при всестороннем растяжении-сжатии.

3.3.3. Об энтропийной составляющей внутренней энергии для тел, нагруженных объемными силами.

3.4. Энергетические условие образования изолированного дефекта при произвольном статическом нагружении.

3.5. Двумерные задачи хрупкого разрушения для бесконечных тел с изолированным дефектом.

3.6. Условие хрупкого разрушения при образовании краевого дефекта от внутренней границы тела.

3.7. Комплексное представление интегралов высвобождающейся внутренней энергии при образовании изолированного дефекта.

3.8. Об одном методе вычисления высвобождающейся внутренней энергии при образовании изолированного дефекта.

3.8.1. Постановка и метод решения задачи.

3.8.2. Вычисление интегралов внутренней энергии.

3.9. Анализ термодинамического условия хрупкого разрушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера.

3.9.1. Условия хрупкого разрушения при плоском напряженно-деформированном состоянии.

3.9.2. Задача о разрушении пластины при всестороннем растяжении-сжатии.

Глава 4. МАКРОСКОПИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ ПРОЧНОСТИ И

РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ В ХРУПКОМ СОСТОЯНИИ.

4.1. Общие понятия о макроскопическом критерии хрупкого разрушения.

4.2. Макроскопический критерий хрупкого разрушения при однократном статическом нагружении и постоянной температуре.

4.3. О модели трещины в виде математического разреза.

4.4 Определение ориентации трещины.

4.5. Условие несмыкания "берегов" трещины.

4.6. Критерий хрупкого разрушения при образовании изолированного дефекта, характеризуемого только одним параметром.

4.7. Макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

4.8. Макроскопический критерий хрупкого разрушения при статической усталости.

4.9. Теоретические и экспериментальные оценки физико-механических параметров кривой разрушения.

4.9.1 Идентификация макроскопического критерия хрупкого разрушения.

4.9.2 Макроскопический критерий хрупкого разрушения в общем случае однородного напряженно-деформированного состояния.

4.9.3. Теоретическая оценка критического размера дефекта через параметры структуры зернистых материалов.

4.9.4 Сопоставление теоретических и экспериментальных данных.

Выводы.

Глава 5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ РАЗРУШЕНИЯ С УЧЕТОМ МОМЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ.

5.1. Основные соотношения моментной теории упругости.

5.2. Энергетическое условие хрупкого разрушения для двух моделей образования дефекта.

5.3. Анализ условий хрупкого разрушения твердых тел с трещиной.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Энергетическая теория хрупкого разрушения твердых тел»

Актуальность проблемы

Построение физико-математических моделей в теории прочности и разрушения твердых тел представляет наиболее актуальную проблему механики деформируемого твердого тела (МДТТ) и ее приложений в технике. Исследования хрупкого и квазихрупкого разрушения занимают центральное место в решении этой проблемы, поскольку именно этот тип разрушения реализуется в многочисленных практических случаях. Одним из наиболее актуальных направлений математической теории хрупкого разрушения является обоснование концепций для вывода предельных условий (критериев), которые определяются "интегральными характеристиками процесса разрушения. Эти обоснования приводят к необходимости термодинамического анализа условий хрупкого разрушения и развития эффективных математических методов решения краевых задач МДТТ для вычисления интегральных значений термодинамических функций, входящих в условия разрушения. Несмотря на значительные успехи исследователей в этой* области, начиная с основополагающих работ А. Гриффитса, в последние десятилетия существенно расширился круг проблем и некоторых не решенных задач. Исследованию этих проблем и задач посвящена эта работа. Главный вклад в создании математической теории хрупкого разрушения на основе МДТТ принадлежит А. Гриффитсу, который в двух основополагающих статьях, опубликованных в 20-е годы прошлого столетия, впервые предложил энергетическую модель хрупкого разрушения. Идеи, изложенные в работах А. Гриффитса, породили многочисленные теоретические и экспериментальные исследования в области хрупкого и квазихрупкого разрушения. Наиболее полный обзор этих исследований, выполненных в период до 70-х годов прошлого столетия, содержится в семитомном издании «Разрушение», опубликованном в США под редакцией Г. Либовица. Для исследований выполненных в настоящей работе наибольший интерес представляет том «Математические основы теории разрушения», библиография приведенная в.этом томе и, особенно, три основополагающие работы Дж. Гудье-ра, Г.Си и Г. Либовица, Дж. Райса. В 1998 году Г.П. Черепанов (Fracture, A Topical Encyclopedia of . Current Knowledge, KRIEGER PUBLISHING COMPANY, MALABAR, FLORIDA) изложил свой взгляд на состояние проблемы хрупкого разрушения и опубликовал избранные статьи известных зарубежных исследователей (G.A. Maugin, T.Yokobori, T. Nishioka, G.С. Sih, H. Liebowitz). Многие отечественные и зарубежные ученные внесли свой вклад в развитие механики хрупкого разрушения. Аналитические И' численные методы решения краевых задач МДТТ, которые используются для исследования концентрации напряжений в деформированных телах с дефектами, были всесторонне изучены в работах В.И. Арнольда, В.А. Александрова, А.Е. Андрейкива, H.H. Афанасьева, В.А. Бабешко, Г.Г. Ба-ренблатта, Н.М. Бородачева, В.Г. Баженова, A.B. Белоконя, B.C. Владимирова, И.И. Воровича, А.О. Ватульяна, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, И.Г. Горячевой, A.M. Гузя, JT.M. Зубова, В.В. Калин-чука, Д.М. Климова, A.A. Каминского, М.Я. Леонова, Н.Ф. Морозова, Е.М. Морозова, В.И. Моссаковского, В.П. Матвеепко, Н.И. Мусхелишви-ли, Ф.А. Макклинтока, В.В. Новожилова, Л.В. Никитина, И.А. Одинга, В.З. Партона, В.В. Панасюка, О.Д. Пряхиной, Б.Е.Победри, Г.Я. Попова, Л.И. Седова, М.Г. Селезнева, A.B. Смирновой, C.B. Савина, А.Ф. Улитко, И.Б. Уолша, Г.В. Ужика, К.В. Фролова, Е.И. Шемякина и др.

Следуя энергетическому условию хрупкого разрушения А. Гриффитса для оценки прочности и разрушения хрупких материалов, на основе полученных решений краевых задач МДТТ для твердых тел с дефектами (трещинами) предложены эффективные методы вычисления энергии, высвобождающейся при образовании дефекта, особенно, с использованием так называемых коэффициентов интенсивности для модели дефекта в виде математического разреза. Однако, обще известно, что условие А. Гриффитса не применимо для оценки прочности* и разрушения хрупких материалов при сжатии, т.е: как раз в той области напряженно-деформированного состояния материала, где целесообразно и использовать, его высокие прочностные свойства. Отношение между прочностями при простом сжатии и растяжении по абсолютной величине, в частности, для горных пород колеблется от сорока до ста, для чугуна оно равно, приблизительно? трем-четырем, для органических стекол (полистирол, порошковые пластмассы) оно равно от трех до пяти. Однако, в соответствии с энергетическим условием А. Гриф-фитса, для задач о разрушении хрупких материалов при одноосном и двухосном-равномерном, растяжении (сжатии)-пластинки, при образовании» изолированного дефекта (развитии дефекта) пределы прочности при растяжении и сжатии одинаковы.по-абсолютной величине. Этот результат противоречит экспериментальным данным практически для всех материалов в, хрупком состоянии.

Для создания макроскопического критерия хрупкого разрушения материалов при сжатии А. Гриффите отказался от энергетического подхода к разрушению. Он рассмотрел задачу о двухосном сжатии главными напряжениями упругой пластины, ослабленной случайно ориентированной трещиной в виде «узкого» эллипса, большая полуось которой составляет некоторый угол с направлением одного из напряжений. При этом он предположил, что разрушение при сжатии происходит в точке на контуре трещины там, где нормальное растягивающее напряжение, направленное вдоль контура эллипса, достигает критического значения при растяжении (гипотеза «нормального отрыва»). После вычислений, А. Гриффите получил соотношение между прочностями на сжатие и растяжение по абсолютной величине равное восьми для всех материалов, что также противоречит, в общем случае, экспериментам. Эти недостатки энергетической теории хрупкого разрушения А. Гриффитса не были устранены в работах Ф. Макклинтока и И. Уолша, которые предположили, что трещина при сжатии закрывается и между ее поверхностями возникает трение скольжения. Однако, эти же авторы показали, что для объяснения с помощью этого предположения превышения прочности на сжатие по сравнению с прочностью на растяжение, коэффициент трения на поверхностях скольжения должен быть неправдоподобно большим.

Энергетический подход к хрупкому разрушению был обобщен в исследованиях основанных на термодинамике. Однако, в этих исследованиях авторы не привели фундаментальных физических и математических предположений из которых следует условие А. Гриффитса. В этих исследованиях необоснованны физические гипотезы и математические допущения, на основании которых приращение энтропийной компоненты внутренней энергии, входящей в первый закон термодинамики, было «априори» положено равным нулю.

Цель исследования

1. Постановка1 термодинамически «полных» (с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии) условий разрушения при образовании и движении дефекта (трещины). Учет энтропийной составляющей в задачах хрупкого разрушения является основной целью данной работы. с

2. Вывод энергетического условия хрупкого разрушения для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии для. двух известных моделей изолированного дефекта. Анализ и обобщение предложенного энергетического условия, применительно к указанным моделям образования изолированного дефекта, а также в случае образования изолированного дефекта при произвольном нагружении внешней границы тела.

3. Разработка эффективного метода вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии при образовании (развитии) дефекта (трещины) на основе комплексного представления этих интегралов.

4. Анализ предложенного термодинамического условия хрупкого разру-рушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера. Исследования асимптотического подхода при вычислении интегралов высвобождающейся внутренней энергии (энтропийной составляющей) в случае образования трещины в виде математического разреза.

5. Построение макроскопического критерия прочности и разрушения твердых изотропных тел в хрупком состоянии при однократном статическом нагружении и постоянной температуре. Определение ориентации трещины относительно направления действия главных напряжений. Сопоставление экспериментальных и теоретических данных.

6. Построение макроскопического критерия прочности и разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Разработка макроскопического критерия хрупкого разрушения для случая статической усталости.

8. Вывод энергетического условия хрупкого разрушения с учетом мо-ментных напряжений.

Научная новизна

В соответствии с целями диссертации научная новизна состоит в следующем:

1. На основе анализа соотношений термодинамики необратимых процессов получены энергетические условия образования новой поверхности (дефекта или трещины) с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии. Первое условие представляет собой первый закон термодинамики, второе-условие указывает на необратимость процесса разрушения и представляет второй закон термодинамики.

2. Получено энергетическое условие хрупкого разрушения для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

3. Разработан метод вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии при образовании изолированного дефекта криволинейной формы на основе комплексного представления интегралов внутренней энергии и решения плоских задач теории упругости через две функции комплексного переменного.

4. Получено термодинамически «полное» условие хрупкого разрушения на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера для геометрической формы трещины в виде математического разреза. Показано, что для вычисления энтропийной составляющей внутренней энергии необходимо учитывать, кроме первого, также и последующие члены асимптотики решения соответствующей задачи теории упругости, в окрестности конца трещины.

5. Получен макроскопический критерий прочности и разрушения для твердых изотропных тел в хрупком состоянии при однократном статическом на-гружении и постоянной температуре. Предложено условие для определения ориентации трещины относительно направления действия главных напряжений для изотропных тел.

6. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при статической усталости.

8. Выведено энергетическое условие хрупкого разрушения с учетом мо-ментных напряжений.

Научное и практическое значение результатов работы

Полученные энергетические условия хрупкого разрушения и макроскопический критерий разрушения твердых тел в хрупком состоянии могут быть непосредственно применены для решения инженерных задач о разрушении материалов и конструкций.

Достоверность результатов

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается применением соотношений термодинамики необратимых процессов, краевых задач МДТТ, а также проверкой полученных результатов на частных задачах, допускающих точные решения.

На защиту выносятся:

1. Термодинамическое условие образования новой поверхности (дефекта, трещины) с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии.

2. Энергетическое условие хрупкого разрушения при образовании изолированного дефекта для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

3. Метод вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии, входящих в условие хрупкого разрушения при развитии изолированного дефекта криволинейной формы.

4. Энергетическое условие хрупкого разрушения на основе подхода Ирви-на-Райса-Друкера, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

5. Макроскопический критерий прочности и разрушения твердых изотропных тел в хрупком состоянии при однократном статическом нагружении и постоянной температуре.

6. Макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Макроскопический критерий хрупкого разрушения в случае статической усталости.

8. Энергетическое условие хрупкого разрушения с учетом моментных напряжений.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на конференции «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 1998г), на V Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001 г), на Международной конференции «Fracture at Multiple Dimension» (Москва, 2003 г), на XXII Международном Конгрессе «Theoretical and Applied Mechanics» (Adelaide, 2008), на «7-lh EUROMECH. Solid Mechanics Conference» (Lisbon, 2009г), на конференции получателей грантов регионального конкурса «Юг» РФФИ и администрации Краснодарского края «Вклад фундаментальных исследований в развитии современной инновационной экономики Краснодарского края» (Проект №08-01-99014, Краснодар 2008-2009г), а также на семинарах института проблем механики и геоэкологии КубГУ.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка цитированной литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Дунаев, Владислав Игоревич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Впервые предложены термодинамические условия образования новой поверхности с учетом энтропийной составляющей внутренней энергии.

2. Получено энергетическое условие хрупкого разрушения при образовании изолированного дефекта для линейно термоупругих тел при однократном статическом нагружении и постоянной температуре, учитывающее энтропийную составляющую внутренней энергии.

3. Разработан эффективный метод вычисления интегралов высвобождающейся внутренней энергии, входящих в условие хрупкого разрушения при развитии изолированного дефекта криволинейной формы.

4. Исследовано термодинамически «полное» условие хрупкого разрушеI ния на основе подхода Ирвина-Райса-Друкера.

5. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при однократном статическом нагружении и постоянной температуре. Определена ориентация трещины относительно направления действия главных напряжений.

6. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения при образовании случайно ориентированного дефекта.

7. Получен макроскопический критерий хрупкого разрушения в случае статической усталости.

8. Получено энергетическое условие хрупкого разрушения с учетом мо-ментных напряжений.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Дунаев, Владислав Игоревич, 2010 год

1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872с.

2. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Из-во МГУ, 1990. 310с.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, т.1. 1976. 535с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964. 567с.

5. Можен Ж.А. Механика электромагнитных сплошных сред. М.: Мир, 1991. 560с.

6. Фрейденталь A.M. Статистический подход к хрупкому разрушению. // Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с.616-645.

7. Ильюшин A.A., Ленский Б.С. Сопротивление материалов. М.: Гос. из-во физ.-мат. лит., 1959. 371с.

8. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М.: Мир, 1966. 555с.

9. Dunaev I.M., Dunaev V.l. Analysis of the thermodynamic conditions for brittle fracture. Acade'mie des sciences. Published by Elsevier SAS. // Comptes Rendus Mecanique 332., 2004. p.789-794.

10. Эринген A.K. Теория микрополярной упругости. // Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с.646-751.

11. Эрдоган Ф. Теория распространения трещин. // Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с.521-615.

12. Гудьер Дж. Математическая теория равновесных трещин. // Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с. 13-82.

13. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения. // Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с.83-203.

14. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения. // Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с.204-335.

15. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Киев: Наукова Думка, Механика разрушения и прочность материалов. т.2. 1988. 618с.

16. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Энергетическое условие разрушения твердых тел. // Механика твердого тела. М.: 2003. №6. с.69-81.

17. Поль Б. Макроскопические критерии пластического течения и хрупкого разрушения. //Разрушение. М.: Мир, т.2. 1975. с.336-520.

18. Griffith A.A. The phenomena of rupture and flow in solids. // Philos. T. Roy. Soc. A. 211, 1920. p.163-198.

19. Griffith A. A. The theory of rupture. // Proc. of the 1-st Int. Congr. on Appl. Mech. Delft, 1924. J.Waltman, Jr., Delf, 1925. p.55-63.

20. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. 640с.

21. Папасюк В.В. а) О разрушении хрупких тел при плоском напряженном состоянии. // ПМ. М.: 1961. т. 1. №9. б) Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наукова Думка, 1968. 246с.

22. McClintok F.A., Walsh J.B. In Proceedings of the 4-th U.S. Nat. Congr. of Appl. Mech. 1962. рЛ015-1021.

23. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир, 1970.253с.

24. Cherepanov G. (Ed.) Fracture, a Topical Encyclopedia of Current Knowledge. Krieger, Malabur. Fl. USA. 1998. 483p.

25. Bui H.D. Me'canique de la Rupture Fragile, Masson, Paris. 1977. 215p.

26. Sih G.C., Liebowitz H. On the Griffith energy criterion for britle fracture. // Int. J. Solids. Pergamon Press Ltd. Vol 3. 1967. p.1-22.

27. Maugin G.A. The thermomechanics of Plasticity and Fracture. Cambridge university press, 1992. 350p.

28. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256с.

29. Дунаев В.И. Критерий хрупкого разрушения материалов при однократном нагружении. // Металловедение и термическая обработка металлов. М.: МиТОМ, 201. №11. с.31-32.

30. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Об энергетическом условии разрушения твердых тел. // Доклады РАН. 2000. т.372. №1. с.43-45

31. Dunaev I.M., Dunaev V.l. Thermomechanics of brittle fracture. // Int. J. of Fracture. Kluwer Acodemic Publishers, 128. 2004. p.81-93.

32. Дунаев В.И. Модель изолированного дефекта и критерий хрупкой прочности для конечных и бесконечных тел. // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 4-ой межд.конф. Ростов-на-Дону.: Из-во РТУ, 1998. с.133-136.

33. Дунаев В.И. Об одном критерии хрупкого разрушения типа Гриффитса. // Современные проблемы механики и прикладной математики. Тезисы докл. Воронеж.: Из-во ВГУ, 1998. с. 136.

34. Дунаев В.И. Теория хрупкого разрушения твердых тел типа Гриффитса и макроскопический критерий разрушения. // Наука Кубани. Проблемы физико-математического моделирования. Краснодар.: Из-во КубГТУ, №2. 1998.i

35. Лейбензон М.С. Курс теории упругости. М.: ОГИЗ, 1947. 464с.

36. Дунаев В.И. Двумерные задачи хрупкого разрушения для бесконечных тел с изолированным дефектом. // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. 1998. №3. с.36-39.

37. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, т.2. 1976. 573с.

38. Дунаев В.И. Об одном методе вычисления высвобождающейся внутренней энергии при образовании изолированного дефекта. // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. Краснодар.: 2008. №1.

39. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 255с.

40. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Общий энергетический анализ хрупкого разрушения для критерия типа Гриффитса. // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. 2000. №3. с.60-61.

41. Dunaev I.Mi, Dunaev V.I. Energy analysis of the brittle fracture of solid with cracks // Abstracts book XXII Int. Cong, of Theor. and Appl. Mech. ICITAM' 2008. ADELAIDE, ISBN.978-0-9805142-0-9 p.244.

42. Dunaev I.M., Dunaev V.I. Energy analysis of the brittle fracture of solid with cracks // CD-ROM Proceedings ICTAM 2008. ADELAIDE, ISBN* 978-09805142-1-6.

43. Дунаев В.И. Анализ энергетического условия хрупкого ^разрушения на основе подхода Райса-Друкера. // Экологический вестник научных центр Черноморского экономического сотрудничества. Краснодар: 2008. №4. с.43-50. •

44. Огибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. Механика полимеров. М.: Из-во МГУ, 1975. 527с.

45. Тамуж В.П., Куксенко B.C. Микромеханика разрушенияшолимерных материалов. Рига: Зинатне, 1978. 294с.

46. Dunaev I.M., DunaevV.I. Thermomechanics of brittle fracture // International Conference "Fracture at Multiple Dimensions", Moscow. 2003. p. 19.

47. Дунаев В.И., Тугуз T.K. O влиянии форм изолированного дефекта на макроскопический критерий хрупкого разрушения // Экологический вестник научных центров Черноморского Экологического сотрудничества. Краснодар: 2007. №2. с. 46-50.

48. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наукова Думка, 1968. 445с.

49. Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел (Термо-флуктуационный механизм разрушения). // Вестн. АН СССР М.: 1968. №3. с.46-52.

50. Журков С.Н., Нарзулаев Б.Н. Временная зависимость прочности твердых тел. // Журн. тех. физ. М.: 1953. т.23, вып. 10, с. 1677-1686.

51. Кошкин Н.И., Ширкевич M.Г. Справочник по элементарной физике. М.: Наука 1972. 255с,

52. Оберт Л. Хрупкое разрушение-горных парод. // Разрушение. М. : Мир, том 7.4.1 1976. с. 59-128. /

53. Каин. Р. Физическое металловедение. Вып. 1. М.: Мир, 1967. 333с.56; Китель Ч; Введение в физику твердого тела: М.: Гос. из-во физ. мат.лит., 1963. 696с.

54. ФридельЖ. Дислокации. М.: Мир, 1967. 643с.

55. Либовиц Е. Разрушение; М.: Металлургия, т.6. 1976. 496с.

56. Самсонов Г.В; Физико-химические свойства элементов. Справочник. Киев: Наукова Думка, 1965. 806с.64; Лахтин Ю.М., Леонтьева В.П; Материаловедение. ,М;: Машиностроение, 1980.492с.

57. Дунаев В.И; Определяющие соотношения типа Гриффитса в несимметричной теории упругости твердых тел. // Современные проблемы механики и прикладной математики. Материалы школы-семинара. 4.1. Воронеж: Из-во ВГУ, 2000. с; 132-135.

58. Дунаев И.М., Дунаев В.И. Общий энергетический анализ хрупкого разрушения с учетом моментных напряжений для критерия типа Гриффитса. // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион, 2001. Спец.выпуск, с. 64-66.