Ёмкостные характеристики, порожденные полулинейным эллиптическим оператором на некомпактных римановых многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Филатов Владимир Владимирович

• Филатов Владимир Владимирович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Филатов Владимир Владимирович

Введение

Глава 1. Емкостные потенциалы и гармонические меры,

порожденные полулинейным оператором

1.1 Вводные определения и вспомогательные утверждения

1.1.1 Классические определения и утверждения

1.1.2 Определения и утверждения теории дифференциальных уравнений на некомпактных римановых многообразиях

1.1.3 Ь - массивные множества и их свойства

1.1.4 Принцип Дирихле для решений полулинейных уравнений

1.1.5 Интеграл энергии, ассоциированный со стационарным уравнением Шрёдингера

1.2 Массивные множества и решения полулинейного уравнения

1.3 Гармоническая мера и функция Лиувилля

1.4 Необходимое условие нетривиальное™ функции Лиувилля

1.5 Сохранение массивности при вариациях потенциала

1.6 Заключение первой главы

Глава 2. Емкостные потенциалы, порожденные оператором Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях

2.1 Оценка размерности пространств ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера с конечным интегралом энергии

2.2 Сходимость интеграла энергии функции Лиувилля

2.3 Взаимосвязь теорем типа Лиувилля для решений стационарного уравнения Шрёдингера с конечным интегралом энергии

2.4 Емкость компакта, ассоциированная со стационарным уравнением Шрёдингера

2.5 Заключение второй главы

Глава 3. Емкостные характеристики на модельных римановых

многообразиях

Стр.

3.1 Массивные множества на модельных римановых многообразиях

3.2 Достаточные условия выполнения теоремы типа Лиувилля для ограниченных решений полулинейного уравнения на модельных многообразиях

3.3 Массивные множества и конусы модельных многообразий

3.4 Заключение третьей главы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ёмкостные характеристики, порожденные полулинейным эллиптическим оператором на некомпактных римановых многообразиях»

Введение

Диссертационная работа посвящена нелинейной теории потенциала на некомпактных римановых многообразиях. А именно, изучаются ёмкостные характеристики, порожденные полулинейным дифференциальным оператором вида

Ь = А - д(ж,-),

где д(х, £) ^ 0 — липшицева функция в М х К, такая, что д(х, £1) ^ д(х, £2) для всех £1 ^ и д(х, —£) = —я(х, £)•

Данная диссертационная работа выполнена в рамках актуального направления современной математики, называемого «Геометрический анализ». Изучение эллиптических уравнений на некомпактных римановых многообразиях является относительно новым направлением в математике, лежащем на стыке математического анализа, теории уравнений с частными производными, геометрии, теории случайных процессов. Первые работы в этом направлении появились в начале 70-х годов XX века.

В работе [1] В. М. Миклюков отметил, что значительная часть результатов, полученных в данной области математики, «имеет своим прообразом хорошо известные теоремы геометрической теории функций комплексного переменного: теорему Лиувилля, различные формы граничной теоремы единственности, теоремы Фрагмена Линделёфа, теоремы Альфорса о числе асимптотических трактов целой голоморфной функции заданного порядка и другие».

Актуальность темы. В последние несколько десятилетий рядом авторов отмечалась глубокая взаимосвязь между геометрией некомпактных римановых многообразий и поведением на них решений дифференциальных уравнений в частных производных. К настоящему времени большая часть исследований была посвящена изучению решений уравнения Лапласа - Бельтрами

А и = 0

и стационарного уравнения Шрёдингера

А и — д(х)и = 0,

(1)

где д(х) — непрерывная, неотрицательная функция на многообразии. Изучению решений уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера на некомпактных рпмановых многообразиях посвящены десятки работ российских и зарубежных математиков М. Андерсона, А. А. Григориями. В. А. Кондратьева, П. Ли, А. Г. Лосева, Е. А. Мазепы, В. М. Миклюкова, Н. С. Надирашвили, Д. Суливана, В. Г. Ткачева, В. Хансена, Ш. Яу и других.

Одним из истоков данной тематики является классификационная теория двумерных некомпактных рпмановых поверхностей. Из теоремы об унифор-мизации следует, что всякая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одной из следующих модельных поверхностей

— сфере (поверхность эллиптического типа);

— комплексной плоскости (поверхность параболического типа);

— плоскости Лобачевского (поверхность гиперболического типа).

Отличительным свойством некомпактных поверхностей параболического

типа является выполнение на них теоремы типа Лиувилля, утверждающей, что всякая ограниченная снизу супергармоническая функция на таких поверхностях является тождественной постоянной. Данное свойство поверхностей параболического типа послужило основой для распространения понятия па-раболичности на римановы многообразия размерности выше двух. А именно, говорят, что некомпактное риманово многообразие имеет параболический тип, если всякая положительная супергармоническая функция на нём является константой. В противном случае, говорят, что некомпактное риманово многообразие имеет гиперболический тип.

Очевидно, что классификационная теория римановых многообразий имеет прямое отношение к теоремам типа Лиувилля. Традиционно классической формулировкой теоремы Лиувилля считается утверждение о том, что всякая ограниченная гармоническая функция в есть тождественная постоянная. В настоящее время к теоремам типа Лиувилля осуществляется следующий подход.

Пусть па римановом многообразии М задан класс функций А и эллиптический оператор Ь. Говорят, что на М выполнено (А,Ь) - лиувиллево свойство, если любое решение уравнения Ьи = 0, принадлежащее функциональному классу А, тривиально.

Термин «тривиальность» может пониматься в различных смыслах (решение тождественно равно нулю или решение является тождественной постоянной

или пространство решений имеет конечную размерность). Подробнее об этой тематике можно прочитать в обзорах А. А. Григорьяна [2], С. Т. Яу [3], а также в работах В. М. Миклюкова [4], А. Г. Лосева [5] и др.

К числу одних из первых эффектных геометрических результатов можно отнести известную теорему С.Я. Ченга и С.Т. Яу [6]. Согласно этой теореме, если па многообразии объем геодезического шара радиуса Л растет не быстрее, чем С В?, (С — некоторая константа) при Я ^ то, то многообразие имеет параболический тип, то есть на нем любая положительная супергармоническая функция является тождественной постоянной. Отметим, что обратное утверждение неверно. Несложно привести примеры многообразий параболического типа с произвольным ростом объема геодезического шара.

В значительной части работ римановы многообразия описывались в терминах различных кривизн, роста объёма, выполнения изопериметрических неравенств и так далее [7 10]. Большинство указанных характеристик являются достаточно традиционными в римановой геометрии, понятны большинству исследователей, но далеко не всегда в полной мере характеризуют поведение решений эллиптических уравнений на римановых многообразиях. Во многих случаях применение емкостной техники позволяет получать более точные результаты.

В настоящее время для определения параболичности типа риманова многообразия часто используется емкостный подход, основывающийся на критерии, установленном А. А. Григорьяном [11].

Для лучшего понимания приведем соответствующие определения. Пусть О С М — открытое подмножество и В — компакт в О. Будем называть пару (В, О) конденсатором и определим его емкость как

где Ь(В, О) - множество локально липшицевых функций ср на М с компактным носителем в О, таких, что 0 ^ ф ^ 1 и ф|в = 1. Пусть {Вк- гладкое исчерпание М, то есть последовательность предкомпактных открытых множеств с

гладкими границами, таких, что В^ С Вк^ ж У = М. Определим емкость

еар(В, О) = т£

ФеЬ(В,П)

п\в

ж

компакта В следующим образом

еар(Б) = Нш еар(В,В}^).

Учитывая, что с&р(В,Вк) не возрастает с увеличением к, данный предел существует всегда.

Сформулируем критерий параболичиости типа риманова многообразия, полученный А. А. Григорьяном.

Теорема. (А. А. Григорьян [11]) Некомпактное риманово многообразие М имеет параболический тип тогда и только тогда, когда емкость всякого (некоторого) компакта равна пулю.

Данная тематика нашла отражение в работах следующих математиков: С. К. Воподьянова, А. А. Григорьяна, Е. М. Ландиса, П. Ли, А. Г. Лосева, Е. А. Мазепы, В. М. Миклюкова, Н. С. Надирашвили, Д. Сулливана, В. Г. Ткачева [12 14] и ряда других авторов.

Следует отметить, что многие работы были посвящены исследованию многообразий с конечным числом концов (см. например [15 19]). Определим понятие конца многообразия. Пусть М - произвольное полное некомпактное риманово многообразие и В С М — компактное множество. Связную неограниченную компоненту Е С М \ В такую, что дЕ - компакт, называют концом М по отношению к В. Если число концов М при возрастании В равномерно ограниченно сверху целым числом, то говорят, что М имеет конечное число концов. В этом случае существует такой компакт В, что М \ В имеет ровно к неограниченных компонент.

В большинстве работ (см. например [16]) различают концы параболического и гиперболического типа. Конец Е является гиперболическим, если существует нетривиальная гармоническая функциям на Е, такая, что 0 ^ V < 1 и дЕ = 0. Такую функцию V обычно называют емкостным потенциалом конца Е.

Для иллюстрации полученных результатов на многообразиях с концами можно привести работу П. Ли, Л. Ф. Там [16]. В ней доказано, что если многообразие имеет т концов, то размерность пространства гармонических на М функций, которые ограничены либо сверху, либо снизу на каждом конце, не меньше, чем т. Там же было доказано, что если М имеет гиперболический тип, то размерность конуса неотрицательных гармонических на М функцией также не меньше, чем т. Стоит так же отметить, что в данной работе доказано, что размерность пространства ограниченных гармонических функцией с конечным интегралом энергии не меньше числа гиперболических концов.

Ясно, что ограничение на структуру многообразий с концами достаточно строгое. Развивая емкостную технику, которая успешно применялась для многообразий с концами, A.A. Григорьян [20] вводит понятие массивного множества. Приведем соответствующие определения.

Пусть М — произвольное некомпактное риманово многообразие с пустым краем. Пусть П С М — открытое собственное подмножество. Если на М существует нетривиальная субгармоническая функция v такая, что 0 ^ v < 1 и v = 0 в М \ П, то множество П называют массивным, а такую функцию v — допустимой для П. Если же на М существует нетривиальная субгармоническая функция и такая, ч то 0 ^ и < 1, и = 0 в М \ Пи

то в этом случае О называют ^ - массивным множеством, а функцию и — О

увилля для ограниченных гармонических функций, а так же получена оценка размерности пространств ограниченных гармонических функций. Приведём соответствующие формулировки.

Теорема. (А. А. Григорьян [ ]) На многообразии М существует нетривиальная ограниченная гармоническая функция, (с конечным, интегралом Дирихле) тогда и только тогда, когда существует гладкая, гиперповерхность Г, разделяющая, М на два массивных (И-массивных) подмножества.

Заметим, что приведённый результат обобщён на случай полулинейного уравнения в текущей диссертации. Учитывая, что уравнение Лапласа -Бельтрами является линейным, естественно возникает вопрос о размерности пространств ограниченных решений в случае существования непересекающихся массивных множеств. Сформулируем результат, полученный в работе [20].

Теорема. (А. А. Григорьян [20]) Размерность пространства ограниченных гармонических функций (с конечным интегралом, энергии) на М не менее т ^ 2, тогда и только тогда, когда на многообразии существует т попарно непересекающихся массивных (.И-массивных) подмножеств.

В ряде работ рассматривались аналогичные задачи для решений линейных эллиптических уравнений более общих, чем уравнение Лапласса-Бельтра-ми, например стационарное уравнение Шрёдингера (1). Стоит отметить, что случай д(х) = 0 особенный, для него теоремы формулируют отдельно, и они,

м

зачастую, принципиально отличаются от общего случая. Это связано с тем, что в случае стационарного уравнения Шрёдингера размерность пространства тривиальных решений равна нулю, а в случае уравнения Лапласа - Бельтра-ми размерность пространства тривиальных решений есть единица. В качестве иллюстрации можно привести работы А. Г. Лосева, Е. А. Мазепы, В. Ю. Чеба-ненко [22 24] и А. А. Григорьяна, В. Хансена [25].

В работе А. А. Григорьяна, А. Г. Лосева [26] были обобщены некоторые результаты, полученные в работе [20], на случай стационарного уравнения Шрёдингера. А именно, было введено понятие д - массивного множества и доказана следующая теорема.

Теорема. (А. А. Григорьян, А. Г. Лосев [26]) Размерность пространства ограниченных решений стационарного уравнения Шредингера (1) на многообразии не менее т ^ 1 тогда и только тогда, когда на многообразии существует т попарно непересекающихся д-массивных подмножеств.

Стоит отметить, что в отличие от работы [20], в работе [26] решения с конечным интегралом энергии не рассматривались. В представленной диссертации данная задача решена во второй главе.

Ряд работ был посвящён исследованию решений полулинейного уравнения

Ьи = Аи — д (х,и) = 0, (2)

где д(х,£) ф 0 — лиишицева функция на М х К, такая, что д(х,£1) ^ д(х,£о) и д(х, — £) = —д(х,£) для всех £1 ^ и £ £ К- Приведём различные важные частные случаи рассматриваемого полулинейного уравнения (2).

В частном случае, когда д(х,£) ф 0, полулинейное уравнение становится уравнением Лапласа - Бельтрами.

Если д(х,£) ф я(х)£, то рассматриваемое уравнение называется стационарным уравнением Шрёдингера. Это линейное уравнение также вызывает серьезный интерес среди исследователей [5; 22 27]. Отметим, что данное уравнение играет значимую роль в квантовой механике, атомной и молекулярной физике, квантовой химии, физике твердого тела и других разделах естествознания.

Приведём некоторые нелинейные частные случаи. При

д(х,£) = п(п — 2)£™-2,п ^ 3

полулинейное уравнения (2) называется уравнением Лиувилля. Уравнения Ли-увилля это класс нелинейных дифференциальных уравнений, которые играют

важную роль в математической физике, особенно в теории струн, а так же в теории конформных отображений. Они описывают различные физические явления, такие как распределение температуры или электростатические поля. Решения уравнений Лиувилля часто исследуются с точки зрения их симметрий, асимптотических свойств и сингулярностей. В качестве иллюстраций можно привести работы Ф. Г. Авхадиева и С. Цай, М. Лай [28; 29].

Ещё одним интересным частным случаем являются уравнения Эмде-на Фаулера

Аи = Ыа—1 и, а >-, п ^ 3.

1 1 п — 2'

Основные вопросы, связанные с этими уравнениями, включают существование и единственность решений, а также их асимптотические свойства и устойчивость решений. Данные уравнения встречается в различных областях знаний. Например, в теоретической физике, в частности, в теории струн и космологии, где оно может описывать определённые аспекты поля в пространстве-времени. Так же оно встречается в дифференциальной геометрии при изучении геометрических структур на многообразии. Кроме упомянутых областей, уравнения Эмдена-Фаулера также находят применение в биологии и химии, например, при моделировании процессов диффузии и реакции в сложных биохимических системах: уравнения помогают понять динамику распространения веществ и взаимодействие между различными химическими агентами. В качестве иллюстраций можно привести работы [30; 31].

Вернёмся к общему случаю. В работе Е. М. Ландиса [32] рассматривается разрешимость краевых задач и асимптотическое поведение решений полулинейного уравнения ( ) в В работе Е. А. Мазепы [ ] изучается постановка и разрешимость некоторых краевых задач для уравнения (2) на римановых многообразиях, так же обобщаются некоторые результаты, которые были получены в работе А. А. Григорьяна, Н. С. Надирашвили [34] на случай полулинейного уравнения. Кроме того, в упомянутых работах встречается ещё один частный вид полулинейного уравнения

Аи — иф(\и1) = 0

где ф - неотрицательная, монотонно неубывающая функция.

Целью работы является изучение свойств ёмкостных характеристик областей некомпактных римановых многообразий, порожденных полулинейным

и

эллиптическим оператором вида

Ь = А - д

В терминах данных характеристик устанавливается взаимосвязь между геометрией некомпактных римановых многообразий и выполнением теорем типа Лиувилля для ограниченных решений уравнения Ьи = 0, в том числе с конечным интегралом энергии.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Исследованы свойства ёмкостных характеристик многообразий, порождённых полулинейными эллиптическими операторами (внутренних потенциалов, ёмкостных потенциалов, гармонических мер, функций Лиувилля) в зависимости от геометрии риманова многообразия.

2. Найдены условия выполнения теорем типа Лиувилля для ограниченных решений полулинейных уравнений на некомпактных римановых многообразиях в терминах соответствующих ёмкостных характеристик.

3. Исследован вопрос сохранения свойства массивности множества при вариациях коэффициентов порождающих операторов.

4. Представлено применение ёмкостной техники в исследовании свойств ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера. За счёт линейности порождающего оператора получены точные оценки размерности пространств ограниченных решений с конечным интегралом энергии.

5. Исследован вопрос о сходимости интеграла энергии функции Лиувилля многообразия и функции Лиувилля внешности компакта.

6. Получены точные условия сходимости и расходимости интеграла энергии функций Лиувилля концов модельных римановых многообразий.

Научная новизна. Все основные результаты, сформулированные без ссылок на иных авторов и доказанные в данной диссертации, являются новыми, и либо существенно развивают и обобщают предшествующие достижения, либо не имеют явно выраженных аналогов достаточной степени общности.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы при дальнейших научных исследованиях в изучении ёмкостных характеристик и решений эллиптических

дифференциальных уравнений на некомпактных римановых многообразиях, а так же могут использоваться в специальных курсах по теории потенциала.

Методология и методы исследования. В исследованиях, проводимых в рамках данной диссертации, применялось сочетание и модификация классических методов теории потенциала (метод барьерных функций, емкостная техника и др.) и методов качественного анализа обобщенных решений краевых задач для квазилинейных уравнений эллиптического типа на римановых многообразиях.

В качестве задач диссертации подразумевается разработка теории емкостей, порожденных полулинейными эллиптическими операторами на некомпактных римановых многообразиях и исследование свойств емкостных потенциалов и гармонических мер, порожденных полулинейным эллиптическим оператором, в зависимости от геометрии риманова многообразия. При этом использовались современные подходы и техника, полученные при построении теории емкостей, порожденных оператором Лапласа-Бельтрами, оператором Шредингера и р-лапласианом на римановых многообразиях (исследования С. К. Водопьянова, М. Вуоринена, А. А. Григорьяна, В. А. Зорина, В. Г. Ма-зьи, В. М. Миклюкова, С. И. Похожаева, Ю. Г. Решетника и др. см. [35 42]). В основе предлагаемого метода лежит концепция нелинейной емкости, порождаемой нелинейным дифференциальным оператором.

Заметим, что понятие емкости возникло в теории потенциала в связи с изучением свойств гармонических функций и аналитических функций комплексной переменной. При определении классической винеровской емкости в областях евклидова пространства большинство исследователей предпочитают подход, основанный на минимизации интеграла Дирихле внешней краевой задачи с единичными граничными данными. Аналогичным образом вводятся и емкости, порождаемые эллиптическими операторами более общего вида. Естественно, вместо интеграла Дирихле рассматриваются другие функционалы, имеющие смысл интегралов энергии.

Соответственно, в основе исследований первой части диссертации лежало доказательство и использование принципа Дирихле для решений рассматриваемого полулинейного уравнения в ограниченных областях римановых многообразий. Доказательство данного принципа осуществлено вполне традиционными методами и опирается на использование формулы Тейлора, формулы Грина, формулы Лейбница и необходимого условия экстремума функционала.

При исследованиях свойств емкости, использовались соответствующие варианты теоремы единственности, слабого принципа максимума и теорем сравнения.

При изучении асимптотического поведения ёмкостных потенциалов и гармонических мер на «бесконечности», порожденных полулинейным оператором, а также при исследовании существования решений внешних краевых задач, использовались внутренние оценки Шаудера для доказательства компактности семейств ёмкостных потенциалов. Кроме того, применялись традиционные подходы, основанные на теоретико-множественных методах и представлениях.

В качестве отдельной задачи диссертации обозначено выявление условий выполнения теорем типа Лиувилля для решений полулинейного уравнения на некомпактных римановых многообразиях. Сразу отметим, что исторически первое определение многообразий параболического типа, основанное на теореме Лиувилля для положительных супергармонических функций, не предполагалось расширять и применять для случая полулинейных уравнений. В том числе это связано с существованием примеров некомпактных римановых многообразий параболического типа, содержащих нетривиальные положительные решения стационарного уравнения Шредингера (см. С.А. Корольков, А. Г. Лосев [15]). Последнее объясняется тем, что размерность тривиальных гармонических функций равна единице, а размерность пространства тривиальных решений стационарного уравнения Шредингера, как и решений рассматриваемого полулинейного уравнения, равна нулю. Исследования последних лет показали, что в качестве аналога тривиальной гармонической функции, т.е. константы, можно рассматривать функцию Лиувилля. При изучении решений стационарного уравнения Шредингера это показано в работе А. А. Григорьяна и А. Г. Лосева [26].

Несложно увидеть, что ёмкостный потенциал всякого компакта, порожденный даже оператором Шредингера, а тем более полулинейным оператором, является нетривиальной функцией. Поэтому получить прямой аналог соответствующей теоремы для гармонических функций (см. [11]) не представляется возможным. Однако, для решений стационарного уравнения Шредингера во второй главе данной диссертации удалось разработать модификацию стандартной емкости, использующую весовой оператор Лапласа, позволяющую частично решить этот вопрос.

В рамках данной диссертации впервые исследовались свойства емкостных характеристик, имеющих конечный интеграл энергии. Полученные результаты являются новыми как для емкостных характеристик, порожденных оператором Шрёдингера, так и для емкостных характеристик, порожденных рассматриваемым полулинейным оператором. Последнее потребовало серьезной модификации существовавших подходов.

В качестве модельного примера при построении общей теории эллиптических уравнений на некомпактных римановых многообразиях, выявления ее главных направлений, особенностей, построения примеров, в последние годы начали использовать не только теорию гармонических функций в евклидовом пространстве. Значительно больший эффект дает находящаяся в развитии, но уже достаточно хорошо разработанная, теория решений уравнения Ла-пласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера на модельных и квазимодельных римановых многообразиях, обобщающих сферически-симметричные. Разработка данной теории существенно опиралась на свойства рядов Фурье по собственным функциям оператора Лапласа на сфере. В рамках данной диссертационной работы впервые исследовались решения стационарного уравнения Шрёдингера с условиями на интегралы энергии. Естественно, потребовалась некоторая модификация ранее разработанных методов, предназначенная для исследования сходимости (расходимости) интегралов энергии соответствующих емкостных характеристик.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Критерий выполнения теоремы типа Лиувилля для ограниченных решений полулинейного уравнения (с конечным интегралом энергии) на некомпактных римановых многообразиях в терминах Ь (ЬИ) - массивных множеств.

2. Критерий выполнения теоремы типа Лиувилля для ограниченных решений полулинейного уравнения (с конечным интегралом энергии) на некомпактных римановых многообразиях в терминах Ь - гармонических мер и функции Лиувилля.

3. Оценка размерности пространств ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера с конечным интегралом энергии в терминах ЬИ - массивных множеств (ассоциированых с оператором Шрёдингера).

4. Новый критерий выполнения теоремы типа Лиувилля для ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера в терминах Н -ёмкостей.

5. Критерий сходимости интеграла энергии функции Лиувилля на модельных многообразиях.

Апробация работы. Все результаты представленные в тексте диссертации опубликованы в работах автора [43 55]. Результат о взаимосвязи теорем типа Лиувилля для стационарного уравнения Шрёдингера докладывался на международной школе-конференции «Геометрический анализ и его приложения»(г. Волгоград, 2016 г.), так же он опубликован в работе [44]. Результат о справедливости теоремы типа Лиувилля для полулинейного уравнения докладывался на всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения-2017» (г. Казань, 2017 г.). Теорема типа Лиувилля для ограниченных решений полулинейного уравнений с конечным интегралом Дирихле докладывался на международной конференции «Комплексный анализ и его приложения» (г. Геленджик, 2018 г.). Результат с оценкой размерности пространств ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера докладывался на конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г. Воронеж, 2021 г.). Результат о взаимосвязи между нетривиаль-ностыо функции Лиувилля и существованием нетривиальных ограниченных решений полулинейного уравнения докладывался на международной конференции «Комплексный анализ и его приложения» (г. Геленджик, 2021 г.). Результат с необходимым условием нетривиальное™ функции Лиувилля докладывался на конференции «XXI Международная Саратовская зимняя школа» (г. Саратов 2022 г.). Достаточные условия выполнения теорем типа Лиувилля для решений полулинейного уравнения докладывался на конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (г. Казань 2023 г.). Результат о взаимосвязи между различными массивными множествами докладывался на конференции «Современные проблемы теории функций и их приложения» (г. Саратов 2024 г.). Все результаты работы в разное время докладывались на семинаре «Эллиптические дифференциальные уравнения второго порядка на римановых многообразиях» (рук. проф. А.Г. Лосев). Часть результатов получена при финансовой поддержке РФФИ 15-41-02479 р_поволжье_а и 20-31-90110 Аспиранты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Филатов Владимир Владимирович, 2024 год

— ^ -

в к\в

Учитывая, что в Вк \ В выполнено

Акк - д{х)Нк = 0,

0(Вк \В,кк )= I (|Укк |2 + (1{фк Акк )(1х. вк\в

Применяя формулу Грина, имеем следующее

Б(Вк \В,кк)= I кк

д(Вк\В)

Заметим, что на дВк выполнено кк ^ аХк, кк ^ 0. Кроме того, в силу леммы о нормальной производной (см. [61] стр. 41) выполнено

дк к

—— > 0, х е дВк.

д V

Из последних замечаний следует справедливость неравенства

дк к к к к к дк к дк к кк^—а^ = кк^— ф + кк^—а^ + а Хк^а^-а Хк^а^ ^ ] ду ] ду ] оу ] оу ] оу

д(Вк\В) дВк дВ дВ дВ

дк к

^ а Хк -д^а^ + Тк.

д(Вк\В)

дк дк к Тк = кк-д^- Ф -а гк -д^ а^.

д В д В

Применяя формулу Грина, и учитывая, что Акк = д(х)кк, получаем

/дкк г

гк~д>у ^ + Тк = а ((Укк,УХк) + ХкАкк) «х + Тк =

д(Вк\В) Вк\В

= а J ((Укк ,У Хк) +д(х) Хк кк) (х + Тк = а ^ ((Укк ,У Хк) + кк А Хк) (х + Тк.

Вк\В Вк\В

А к = ( х) к.

формулу Грина, имеем

/I* д х

((Укк,У Хк) + кк А Хк) ((х + Тк = а ккд^ ^ + Тк.

Вк\В д(Вк\В)

Наконец, применяя неравенство Нк ^ ^ на дВк, получаем оценку

а [ Нк йр + Тк = а[нк ^ ф + а[нк ^ ф + Тк = ] ду ] ду ] ду

д(Вк\В) дВк дВ

[ 7 дхк 1 [ 1 дхк 1 2 [ дхк 1 2 [ дхк 1 _

= а Нк^— ар + а ар + а г^— ар -а г^— ар + Тк ^

] ду ] ду ] ду ] ду

д Вк д В д В д В

2 д к

ар + Ек.

Здесь

ду

д(Вк\В)

Ек = а ! Нк дк ар -а2 ! дк ар + Тк.

д В д В

Применяя формулу Грина, окончательно приходим к оценке

И(Вк \ В, Нк) ^ а2В(Вк \ В, хк) + Тк.

Заметим, что Тк ^ С при к ^ то, где С - некоторое число. Таким образом, из сходимости интеграла энергии И(М,Н) следует сходимость интеграла энергии И(М \ В, х). Учитывая, что пространство функций, имеющих конечный интеграл энергии является линейным и то, что ик = Хк + Нк, заключаем, что И(М \ В,ик) сходится. Теорема доказана.

2.3 Взаимосвязь теорем типа Лиувилля для решений стационарного уравнения Шрёдингера с конечным интегралом

энергии

Вопрос о взаимосвязи выполнения теорем типа Лиувилля вызывает отдельный интерес. Для удобства дальнейшего изложения, введём соответствующие обозначения. Пусть Ь - эллиптический оператор, а А - некоторый функциональный класс. Мы будем говорить, что на М выполнено (А, Ь) -лиувиллево свойство, если каждое решение уравнения Ьи = 0 из маеса А является тривиальным. Под тривиальностью мы подразумеваем тождественный ноль, кроме случая, когда Ь = А. В этом случае оператора Лапласа - Бельтра-ми под тривиальностью мы понимаем, что решение является тождественной

постоянной. Основные функциональные классы, которые мы будем рассматривать, включают В - пространство ограниченных функций, И - пространство функций с конечным функционалом энергии иР - пространство неотрицательных функций.

Очевидно, что выполнение (И, А) - лиувиллева свойства влечёт за собой выполнение (В И, А) - лиувиллева свойства. Действительно, если любая гармоническая функция с конечным интегралом энергии является тождественной постоянной, то и любая ограниченная гармоническая функция с конечным интегралом энергии также будет константой. Интересен вопрос о наличии обратного включения, то есть, следует ли из (В И, А) - лиувиллева свойства выполнение (И, А) - лиувиллева свойства?

Положительный ответ на данный вопрос даёт известная теорема Аль-форса Л.В. [69], которая утверждает, что если на многообразии существует нетривиальная гармоническая функция с конечным интегралом энергии, то на многообразии существует ограниченная нетривиальная гармоническая функция с конечным интегралом энергии.

В работе Е.А. Мазепы [64] показано, что из существования нетривиального ограниченного решения уравнения

Ьи = Аи — д(х,и) = 0

следует существование нетривиального неотрицательного ограниченного решения уравнения ( ). То есть доказана эквивалентность (В, Ь) и (В Р, Ь) -лиувиллевых свойств.

Цель данного раздела - получить аналог теоремы Альфорса для решений стационарного уравнения Шрёдингера

Ьи = Аи — (¡(х)и = 0

и, соответственно, показать эквивалентность (В И, Ь) и (И, Ь) - лиувиллевых теорем.

Перейдём к формулировке основной теоремы данного раздела.

Теорема 2.3.1 Если на М существует нетривиальное решение стационарного уравнения Шрёдингера (3) с конечным, интегралом Дирихле (4), то М

нения, с конечным, интегралом Дирихле (4).

Доказательство. Доказательство данного утверждения идейно близко к доказательству теоремы, представленной в [34], которая утверждает эквивалентность выполнения (И,А) - лиувиллевой теоремы и единственности решения внешней краевой задачи в классе функций с конечным интегралом Дирихле. Предположим, что па М любое ограниченное решение уравнения ( ) с конеч-

неограниченное нетривиальное решение уравнения (3) с конечным интегралом Дирихле.

Пусть {Вк - гладкое исчерпание. Так как у(х) = 0, то обозначим

/(^ + <1(х)г= а > в1

Из сходимости интеграла / + (¡(х)у2) ё,х следует, что существует N та-

м

кое, что

/ (|Ун|2 + с'(х)у 2) Лх *а/4

{х-.\у (х)\^ N }

Определим функцию-срезку vN функции V следующим образом:

vN (х) = {

v(x), если lv(х)| < N, N, если v(x) ^ N, —N, если v(x) ^ — N.

Обозначим через ик решение следующей краевой задачи

{

Ащ — q(x)uk = 0, х е Вк, ик \эвк = vN (х)1двк

Пусть G С М - некоторое предкомпактное подмножество. Используя принцип максимума, получаем

sup \ик\ ^ sup \ик\ = sup \ик\ = sup \vN\ ^ N

G Вк дВк дВк

для достаточно больших к. Следовательно, семейство решений {ик уравне-

G

сказать, что оно компактно в классе С2(G). Из этого следует, что существует

подпоследовательность последовательности \ик j^Lu сходящаяся к предельной функции и в норме С2(В) на M (см. лемма 1.1.3). После переобозначения, мы будем считать, что именно последовательность {иксходится к и.

Для функции и выполнено Lu = 0 на произвольном предкомпактном подмножестве M, кроме этого выполнено |и| ^ N. Покажем, что и имеет конечный интеграл Дирихле. Используя принцип Дирихле, получаем

J (|Vu*|2 + я(х)и2к) dx < J (\VN|2 + q(x)(vN)2) dx < J (\V\2 + q(x)v2) dx,

Bk Bk M

переходя к пределу при к ^ то, имеем

/(Р42 + 9(x)u2) < /(|V|2 + g(x)t,2)(te.

M M

и

и

и

Следовательно, {ик} сходится к нулю в норме С2(G) (в частности, при G = В2). Из этого следует, что

Нш / (|Vu2|2 + qfa)^) dx = 0. к к

|2 ,

у\\ик

В2

Иначе говоря, существует к\, такой, что при к ^ к\ выполнено

J (|^и2\2 + q(x)и2k) dx ^ а/6.

В2

Рассмотрим последовательность Хк = V — и^ Для Хк выполнено

(

АХк - q(x)Хк = 0, x G Вк

Zk \dBk = (V - VN )|

dBk

Покажем, что

| ^ (\VZk\2 + q(x)хк) dx.

B2

Добавляя и вычитая щ в интеграле / (^г'р + д(х)V2) Ах, имеем

в1

а = + q(х)v2) йх <

В1

-ик)+Щ)12 + д(х)((у -ик)+щ)2) Ах.

В2

Используя неравенство треугольника 1а + Ц ^ 1а1 + Щ, получаем

'|У((^ - ик) + ик)|2 + я(х)((у - ик) + ик)2) Ах <

В2

^ I + I)2 + д(х) (х2к + 2хкЩ +ик)) Ах =

В2

= ! (|УХкI2 + я(х)г2к) Ах + J (^щI2 + д(х)и2к) Ах+

В2 В2

+ 2J(|VzкЦУщI +я(х)Хкщ) Ах.

В2

Используя неравенство Коши 2аЬ ^ а2 + Ь2, получаем

2^ (\УхкЦ^щI + д(х)ХкЩ) Ах < В2

(IVХкI2 + д(х)гк) Ах + ^ (^щI2 + ч(х)и2к) Ах. В2 В2

Следовательно,

а =

В1

\IVvI2 + д(х)у2) ах <

< 2 1у (IVХкI2 + я(х)хк) Ах + у (|VukI2 + (¡(х)и2к) Ах В2 В2 а при к ^ получаем

а = ! (VI2 + д(х)у2) Ах < 2^ (IVхкI2 + д(х)Ах + 2а/6. В1 В2

Разделив на 2, имеем

| ^ / (IVХк\2 + д(х)dx.

В2

Покажем, что

I (IVХк\2 + д(х)х1) dx ^ |.

Вк

Используя принцип Дирихле, получаем

^ХкI2 + д(х)dx — Vм)\2 + д(х)(^ — Vм)2) (1х.

Вк Вк

Далее, получаем

'^(и — Vм)\2 + q(x)(v — Vм)2) dx ^ — Vм)\2 + — Vм)2) dx =

Вк м

= I (|V(v — Vм)\2 + д^)^ — Vм)2) dx+

{ж^ж^м }

+ I — Vм)\2 + д^)^ — Vм)2) dx.

{ж:^ (ж)\<м }

= м.

интеграла справедлива оценка

I — Vм)\2 + д^)^ — Vм)2) dx ^

{ж:^ (ж)^м }

2 , - - а

< I (\^\2 + g(x)г^2) dx <

{

В результате получаем

4'

{ж:^ (ж)^м }

а

^\2 + g(x)dx < 4

Вк

В итоге, при к ^ ^ получаем противоречие с нашим начальным предположением о том, что всякое ограниченное решение уравнения (3) с конечным интегралом энергии есть тождественный ноль:

Следовательно, наше предположение было неверно, и из существования произвольного решения уравнения (3) с конечным интегралом энергии следует существование такого же решения, которое, к тому же, ограничено. Теорема доказана.

2.4 Ёмкость компакта, ассоциированная со стационарным

уравнением Шрёдингера

Напомним некоторые факты теории потенциала для гармонических функций на некомпактных римановых многообразиях (см. [2]).

Пусть О Е М — открытое подмножество и В - компакт в О. Будем называть пару (В, О) конденсатором и определим его ёмкость как

где Ь(В,О) — множество локально липшицевых функций ф на М с компактным носителем в О, таких что 0 ^ ф ^ 1 и ф^ = 1. Пусть {Вк — гладкое М. В

Из принципа Дирихле следует, что точная нижняя грань в определении ёмко-

ф = и,

задачи Дирихле в О \ В

сар(В) := Нш сар(В, Вк).

к

Аи = 0, и^В = 1, и^п = 0.

Как следствие, получаем

сар(В,П) = |Vu|2dx. Jq\b

Такую функцию u называют ёмкостным потенциалом конденсатора (В, П).

А. А. Григорьян [2] доказал, что многообразие имеет параболический тип тогда и только тогда, когда ёмкость всякого (некоторого) компакта равна нулю. Заметим, что из парабол и чности типа риманова многообразия следует выполнение лиувиллевой теоремы для ограниченных снизу супергармонических функций. Если мы попробуем применить аналогичный подход и определим ёмкость, ассоциированную с стационарным уравнением Шрёдингера (3), как

cap „(B,Ü) = inf / (|Уф|2 + д(ж)ф2) dx, veL(B,n) Jq\b

то такая ёмкость будет иметь свойства аналогичные ёмкости, ассоциированной с уравнением Лапласа, однако получить теорему, аналогичную теореме A.A. Григорьяна невозможно, так как данная ёмкость всегда будет положительная. Действительно, из принципа Дирихле следует, что точная нижняя грань в определении ёмкости, ассоциированной с оператором Шрёдингера, достигается на функции ф = u, такой, что

Au — q(x)u = 0, u|öb = 1, uldü = 0.

В силу того, что ненулевая константа не является решением стационарного уравнения Шрёдингера, получаем, что ёмкостный потенциал всякого компакта будет нетривиален, и, соответственно, capq(B) > 0.

В данном разделе мы получим некий аналог теоремы А. А. Григорьяна, применяя понятие весовой ёмкости. Напомним определение функции Лиувилля внешности компакта. Пусть В - компакт и {Вк — гладкое исчерпание М. Без ограничения общности, можем считать, что В С Вк. Рассмотрим решения следующих задач Дирихле в Вк \ В

Ahk — q(x)hk = 0, hk |ÖB = 1 hk ldBk = Г

Предел hß = lim hk есть функция Лиувилля внешности компакта В.

к—»оо

Развивая идею, применённую в работе [26], рассмотрим следующий оператор

Анв1 = ^ <ЬУ(Н2В V /).

ПВ

Как уже показано в доказательстве теоремы 2.1.1, мы имеем

2

А,в / = А / + — {V).

Определим КВ - ёмкость конденсатора (В,О) следующим образом

caphB (В,П) = inf h2B |Уф|2 dx.

ф£Ь(В,П) Jn\ß

Пусть г является решением следующей задачи Дирихле в О \ В

АЪвг = 0, АдВ = 1, . z|дп = 0

Покажем, что для любой функции ф Е Ь(В,О) выполнено

/ Ь2ВIVфI2 Ах ^ КВ VI2 Ах. Jп\в Jп\в

К

на ф = .

Аналогично доказательству принципа Дирихле (см. лемма 1.1.5), обозначим у = ф — г. Рассмотрим

Т(Ъ)= ! КВ№(г + гу^Ах. п\в

Несложно получить, что

IV (г + Ьу)\2 = IV г\2 + £2\^у\2 + 2Ь {V х ^у)-

Таким образом,

Т(t)= J hß(IVzl2 + t2\VvI2 + 2t(Vz,Vv))dx.

n\B

Применяя дифференцирование по параметру, находим

т'(г) = 2 J Нвв(г|Уу|2 + (У г,Уу))<х. п\в

Заметим, что

т(0) = ^ у ь2в(Ух,Уу)<х. п\в

Заметим, что функция г является решением уравнения Днв % = 0. Умножая данное равенство на функцию у и интегрируя по О \ В, получаем

У уД^,в х<1х = 0. п\в

Применяя формулу Грина для весового оператора Лапласа (см. [70]), имеем следующее равенство

У уднв= - j Ь2в (Уу, Ух)<х = 0. п\в п\в

Из последнего следует, что

Т'ВД = 0.

Рассмотрим теперь вторую производную

т"(г) = 2 J Ь2в |Уу|2<х. п\в

Заметим, что вторая производная Т"(р) ^ 0 так как ^ ^ 0 и |Уу|2 ^ 0. Приме-

Т(£) ^ Т(0). Из последнего неравенства следует требуемое.

Пусть О С О^ Понятно, что множество локально липшицевых функций с компактным носителем в О1 содержит все локально липшицевы функции с компактным носителем в О, продолженные нулём вне О. Как следствие этого, Н - ёмкость сарь(В,О) уменьшается с увеличением О (и с уменьшением В) и мы можем определить Н - ёмкость компакта В как

саР^в (В) = Ит сар^в (В,Вк).

к—>оо

Пусть sк - решения следующих задач Дирихле в Вк \ В

Аsк - q(x)sк = 0, Sk \дВ = 1, .

8к\дВк = 0 к

значим sв = lim sк. Всюду далее будем называть функцию sв ёмкостным

к^ж

В

Лемма 2.4.1 Для всякого компакта В выполнено caphB (В) = 0 тогда и только тогда, когда sВ = hB.

Доказательство. Обозначим f\ = hr-. Справедливы следующие равен-

h В

ства

0 = А s. - q(x)sк = А() - q(x)= А(Дhß) - q(x)(¡кhß) =

hB hß

= hBАjk + 2(V/к,Vhß) + h(Ahß - q(x)hß) = hßAhB/к.

Следовательно, мы получили, что hBAhß jк = 0 к ния AhB /к = 0. Более тог о, f^ — h - ёмкостный потенциал конденсатора (В, Вк), так как Ahв/к = 0 и /к\дВ = 1 Iк\дВк = 0. Таким образом, f = lim Д — h -

к^ж

В

Пусть caph( В) = 0, тогда

J hß\Vf\2dx = 0.

м\В

Учитывая, что f Е С2(М \ В), получаем, что V f = 0 на М \В. Как следствие этого, получаем f = 1. Из последнего следует, что hв = sв.

Пусть теперь hв = sв- Тогда мы получаем, что f = Inf- ёмкост-

В

саръ(В) = 0. Лемма доказана.

Сформулируем главный результат данного раздела.

М

В

его hB - ёмкость равна нулю.

Доказательство. Пусть всякое ограниченное решение уравнения (3) на М к = h к - к, h

к

следующих задач Дирихле в Вк \ В :

А sк - q(x)sк = 0, sк\дв = 1, sk\эвк = 0.

Очевидно, что tk - решения стационарного уравнения Шрёдингера ( ) в Вк \ В и tk\дв = 0 t-k\двк = 1. Следовательно, по определению t = lim tk есть

к^то

гармоническая мера множества М \ В.

Учитывая следствие 1.3.1, мы получаем, что tк = 0. Откуда следует, что hв = sв и, как следствие леммы 2.4.1, получаем cap^(В) = 0.

В

выполнено cap^ (В) = 0, однако на М существуют нетривиальные ограниченные решения стационарного уравнения Шрёдингера. Заметим, что выполнение теоремы типа Лиувилля для ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера эквивалентно равенству нулю функции Лиувилля (см. теорема 1.3.2), учитывая наше предположение, получаем Ьм ф 0. Существование нетривиальной функции Лиувилля согласно теоремам 1.2.1 и 1.3.2 эквивалентно существованию Q С М — q - массивного множества. Учитывая, что множество М \ В имеет q - массивное подмножество мы делаем вывод, что и

М \ В Ь

ническая мера им\в > 0. В доказательстве предыдущей леммы было показано, что им\в = Ь1в — вв > 0, что по предыдущей лемме эквивалентно cap^ (В) = 0. Следовательно, мы нашли компакт В, для которого выполнено cap^ (В) = 0, что противоречит нашему предположению. Теорема доказана.

Сформулируем важное следствие данной теоремы и теорем 1.2.1, 1.3.1, 1.3.2 текущей диссертации.

М

1. всякое ограниченное решение уравнения (3) есть тождественный ноль;

2. функция, Лиувилля, ассоциированная, с оператором Шрёдингера есть тождественный ноль;

3. для, всякого множества Q С М его Ь - гармоническая мера (ассоциированная, с оператором, Шрёдингера) равна нулю;

В h в

М

2.5 Заключение второй главы.

Во второй главе текущей диссертации представлено применение емкостной техники в исследовании свойств ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера.

В этой главе были получены более точные результаты, по сравнению с первой главой, благодаря линейности стационарного оператора Шрёдингера. Применяемые подходы позволили получить оценку размерности пространств решений уравнения с конечным интегралом энергии.

Теорема 2.1.1, сформулированная и доказанная в этой главе, имеет особую важность. Она утверждает, что размерность пространства ограниченных решений уравнения Шрёдингера с конечным интегралом энергии на М не менее т ^ 1, если и только если на М существует т попарно непересекающихся дВ-массивных подмножеств. Этот результат является важным шагом в понимании структуры пространства ограниченных решений уравнения Шрёдингера.

М

функции Лиувилля внешности компакта следует сходимость интеграла энергии функции Лиувилля. Это наблюдение говорит о тесной связи между функцией Лиувилля и функцией Лиувилля внешности компакта. Этот результат может быть использован для оценки поведения решений уравнения Шрёдингера в случае, когда известны характеристики функции Лиувилля внешности компакта.

М

пне стационарного уравнения Шрёдингера с конечным интегралом Дирихле, то М

с конечным интегралом Дирихле. Данный результат обобщает известную теорему Л. Альфорса на случай решений стационарного уравнения Шрёдингера.

Теорема 2.4.1, а вернее её следствие, представляет из себя набор критериев выполнения теоремы типа Лиувилля для ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера.

Итак, вторая глава представляет собой исследование решений стационарного уравнения Шрёдингера. В результате были сформулированы и доказаны важные теоремы, которые расширяют наше понимание свойств решений уравнения Шрёдингера и структуры пространства этих решений.

Глава 3. Емкостные характеристики на модельных римановых

многообразиях

В данной главе мы будем рассматривать решения полулинейного уравнения

Ьфи = Аи — иф(\и\) = 0 и решения стационарного уравнения Шрёдингера

Ьи = Аи — (¡(х)и = 0

на модельных римановых многообразиях. Дадим соответствующие определения.

М

нения М = В и И, где В - некоторый компакт, а И изометрично прямому произведению (г0, + то) х Б, где Б — замкнутое (компактное с пустым краем) многообразие с метрикой

¿з2 = &г2 + д2(г)(1в2.

Здесь д(г) - положительная, гладкая на (г0; +то) функция, а А02 - метрика на Б. Примерами таких многообразий являются евклидово пространство (д(г) = г), пространство Лобачевского (д(г) = бИг), поверхности вращения и другие.

3.1 Массивные множества на модельных римановых

многообразиях

Основной целью данного раздела является получение условий на модельные многообразия, которые гарантируют сходимость (расходимость) интеграла энергии функции Лиувилля. Так же отметим, что в данном разделе будет

Ь

гообразиях.

Пусть на D выполнен о q(r ,6) = q(r) ^ 0 и r0 = const > 0,п = dim М. Введём обозначения:

Несложно показать, что выполнено в точности одно из условий:

а) I < то;

в) I = то 3 < то;

у) К = то;

б) 3 = то,К < то.

К

из себя величину, обратную ёмкости компакта В. Таким образом, его расходимость эквивалентна равенству нулю ёмкости компакта В, что в свою очередь, согласно теореме А. А. Григорьяна, эквивалентно параболичности типа рима-нова многообразия (см. [2]).

Так же стоит отдельно отметить важность интеграла 3. В работе А. Г. Лосева, Е. А. Мазепы [23] показано, что сходимость (расходимость) данного интеграла эквивалентна выполнению теоремы типа Лиувилля для ограниченных решений стационарного уравнения Шрёдингера. Данный результат поможет получить необходимое и достаточное условие существования Ь - массивных множеств (ассоциированных с оператором Шрёдингера) на модельных многообразиях. Сформулируем его.

Теорема. (А. Г. Лосев, Е. А. Мазепа [ ]) На М всякое ограниченное решение уравнения ( ) тривиально тогда и только тогда, когда 3 = то.

Как следствие данной теоремы и теоремы 1.2.1 текущей диссертации, мы

Ь

с оператором Шрёдингера). Напомним, что теорема 1.2.1 текущей диссерта-

М Ь

(ассоциированное с оператором Шрёдингера) тогда и только тогда, когда на

00

00

М существует нетривиальное ограниченное решение стационарного уравнения Шрёдингера.

Следствие 3.1.1 На М существует L - массивное множество, тогда и только тогда, когда J < то.

Непосредственно из данного следствия получаем, что концы типа а и ß L

дингера). Концы типа 6 и у не являются L - массивными.

Заметим, что непосредственно из этого получаем (это уже отмечено в

М

ресекающихся концов М = В U D\ U D2 U — U Dp и хотя бы один из концов имеет тип а ми ß, то на М существуют нетривиальные ограниченные решения уравнения (1).

Так же приведём важный результат, полученный в работе А. Г. Лосева, Е. А. Мазепы [23].

Теорема. (А. Г. Лосев, Е. А. Мазепа [23]) Возможны, следующие случаи.

— Если на D выполнено уеловие а), то для любых непрерывных на S функций Ф(0) и ^(0) существует решение уравнения ( ) на D такое, что

и(го,в) = У(0), lim u(r,0) = Ф(0).

г—то

D ß ) S

функции ^(0) и любой константы С на D существует ограниченное решение u(r,0) уравнения ( ) такое, что

и(гов) = Ф(0), lim u(r,0) = С.

— Если область D имеет тип у и удовлетворяет условию

<х>

R = J q(t)gn-l(t)dt = то

го

или, имеет тип 6, то для любой непрерывной на S функции Ф(0) су-

u( ,0)

и(го,0) = ф(0), lim и(г,0) = 0.

V—уто

После параграфа 2.1 текущей диссертационной работы остался открытым вопрос о сходимости интеграла энергии функции Лиувилля (напомним, что в параграфе 2.2 была получена взаимосвязь между сходимостью интеграла энергии функции Лиувилля внешности компакта и функции Лиувилля многообразия). В текущем параграфе полностью исследован вопрос о (ходимости интеграла энергии функции Лиувилля (ассоциированной с оператором Шрёдингера) на модельных многообразиях.

Перейдём к формулировке основной теоремы данного раздела.

Теорема 3.1.1

1. Если на И выполнено одно из условий:

() Я < то;

П) Я = то, К = то;

£,) 3 = то, К < то

то функция Лиувилля конца И имеет конечный интеграл энергии.

2. Если в области И вы,полнено одно из условий

ш) Я = то I < то;

р) Я = то, I = то, 3 < то

то функция, Ливилля конца И имеет расходящийся, интеграл энергии.

Доказательство. 1) () Пусть Я < то. Напомним, что (¡(х) = д(г), И = (го, + то) х Б и якобиан перехода к локальным координатам (г,0) на И равен дп~ 1(г). Напомним лемму 2.2.1 текущей диссертационной работы. Данная лемма утверждает, что если на М выполнено

то функция Лиувилля, ассоциированная с (3), имеет конечный интеграл энер-Рассмотрим интеграл / д(х)3х на модельном многообразии М. Делая за-

/?(х)" х< то,

м

м

мену переменных, получаем

м

в

Я (го,+то)

00

Здесь IS| - мера множества S. Всюду далее без ограничения общности, будем считать, что IS| = 1. Таким образом, с помощью леммы 2.2.1, получаем сходимость интеграла энергии функции Лиувилля. Учитывая, что теорема 2.2.1 текущей диссертации утверждает, что интеграл энергии функции Лиувилля и функции Лиувилля внешности компакта сходятся или расходятся одновременно, получаем нужное. Случай ц) рассмотрен.

Рассмотрим одновременно случаи п) и Е)- В этих случаях из результатов работы [ ] (случаи у и 6) следует, что для функции Лиувилля h(r,0) конца D выполнено lim h(r,0) = 0.

r—то

Пусть {гn}, rn > го - возрастающая числовая последовательность, такая, что rn — +то при п — то. И sn решение следующей задачи Дирихле в (го,гn) х S,

А Sn - q(r)Sn = 0, 3п(го,0) = 1,

Sn(fn,0) = 0.

Данная последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, следовательно, существует предел lim sn(r,0) = s(r,0). Напомним, что h(r,0) является

n—то

{h n}

Ahn - q(r)hn = 0,

h n( о,0) = 1,

h n( n,0) = 1.

В силу принципа сравнения получаем, что hn(r,0) ^ sn(г,0) и, следовательно, h(r,0) ^ s(r,0) ^ 0.

Так как lim h(r,0) = ^ то lim s(r,0) = 0. Рассмотрим функцию и = h — s,

r—то r—то

для неё выполнено

Au — q(x)u = 0, и(то,0) = 0, lim и(г,0) = 0.

—то

С помощью принципа максимума получаем, что и = 0 и, как следствие, s = h. Заметим, что s является ёмкостным потенциалом компакта В. С помощью леммы 2.2.2 (напомним, что она утверждает, что ёмкостный потенциал всякого компакта имеет конечный интеграл энергии) получаем (ходимость интеграла

h

2) Рассмотрим одновременно случаи ш) и р).

Аналогично случаю 1), пусть {гк} - числовая последовательность, такая, что гк ^ +то при к ^ то. Функция Н(г,9) является предельной для функциональной последовательности {Нк(г,9)}, такой, что АНк — д(г)Нк = 0, кк(го,9) = 1, кк(гк,9) = 1.

Заметим, что из граничных условий кк(то,9) = 1 и кк(гк,9) = 1 следует радиальная симметричность кк, то есть кк(г,9) = кк(г). Таким образом, Н(г,9) = к(г).

Из вида оператора Лапласа па И (см. раздел 1.1.1), получаем, что кк является решением обыкновенного дифференциального уравнения

К (г) + (п — 1) 9-ик (г) — Кк (г)д(г) = 0. Умножим данное уравнение на дп—1 = 0, получим уравнение К(г) дп—1 + (п — 1) дп—2д'Ык (г) = дп—1кк (г)д(г), которое эквивалентно уравнению

(К (г)д п-1)' = дп—1кк (г)д(г). о

г

,1'к {г)=йм /д"-1 шт+к'к (ГХ1Г о).

го

о

г / £

1 ( / ^—ь

дп—1(*)

го \го

Кк(г) = I ( I дп—1(г)кк(г)д(г)йг | сИ+

г

+Ык(го)д"—1(го) у ¥=щ + 1-

го

Заметим, что единица в последнем равенства возникла из - за условия кк(то,9) = 1. Так как Н(г) является предельной функцией последовательности {Кк(г)} в норме С2(М), то все рассуждения, приведённые для кк(г) справедливы и для функции Н(г).