О дискретности спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Светлов, Андрей Владимирович

  • Светлов, Андрей Владимирович
  • кандидат физико-математических науккандидат физико-математических наук
  • 2004, Волгоград
  • Специальность ВАК РФ01.01.01
  • Количество страниц 90
Светлов, Андрей Владимирович. О дискретности спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях: дис. кандидат физико-математических наук: 01.01.01 - Математический анализ. Волгоград. 2004. 90 с.

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Светлов, Андрей Владимирович

Введение

1 Эллиптические операторы на искривленных произведениях

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Дискретность спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на искривленных римановых произведениях

2 Эллиптические операторы на квазимодельных многообразиях

2.1 Оператор Лапласа — Бельтрами на простых искривленных произведениях порядка к.

2.2 Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами на квазимодельных многообразиях. Примеры.

2.3 Спектр оператора Лапласа — Бельтрами на весовых квазимодельных многообразиях

2.4 Условия дискретности спектра оператора Шрёдингера

2.5 Дискретность спектра оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О дискретности спектра некоторых эллиптических операторов на некомпактных римановых многообразиях»

Настоящая работа посвящена нахождению условий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами А = —divV (1) и ассоциированного с ним оператора Шрёдингера

L = —divV-f- с (2) на многообразиях специального вида.

Спектральный анализ операторов очень важен для математической физики. Более того, многие задачи этого раздела теории операторов обязаны своим возникновением квантовой механике, где, например, гамильтониан — это неограниченный самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве. Точечный спектр гамильтониана соответствует уровням энергии связанных состояний системы. Непрерывный спектр играет важную роль в теории рассеяния в системе.

В Rn задача о зависимости спектра эллиптического оператора от его коэффициентов была достаточно хорошо изучена многими авторами — многообразие имеющихся результатов вполне отражают известные монографии М.А. Наймарка [27] и И.М. Глазмана [9]. Среди этих результатов отметим здесь только лишь критерии дискретности спектра оператора Штурма — Лиувилля в R1, принадлежащие A.M. Молчанову [25], И.С. Кацу и М.Г. Крейну [16] — эти критерии мы используем при изучении спектров упомянутых операторов на многообразиях и их точные формулировки будут приведены ниже.

Что касается римановых многообразий, то первые исследования в этой области появились в 60-х годах XX века. В них изучались операторы на компактных многообразиях. Результатом исследований стала достаточно полная информация о структуре спектра оператора Лапласа — Бельтрами, что нашло выражение в известной монографии М. Берже, П. Годюшона и Е. Мазе [3]. В частности, хорошо известно, что спектр лапласиана на компактном римановом многообразии непременно дискретен, первое собственное число равно нулю и оно всегда имеет единичную кратность.

Первые исследования спектра эллиптических операторов на некомпактных многообразиях относятся к 70-м годам. Перечислим здесь некоторые результаты.

• Х.П. МакКин [23], С.Т. Яу [49] получили нижнюю оценку инфи-мума спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях отрицательной гауссовой кривизны. В случае кривизны, ограниченной снизу некоторым неположительным числом, верхнюю оценку точной нижней грани спектра получил С.Я. Ченг [45].

• М. Пински [28] указал двусторонние оценки инфимума спектра оператора Лапласа — Бельтрами и инфимума непрерывной части спектра в терминах метрики для двумерных поверхностей неположительной гауссовой кривизны. Для произвольных многообразий отрицательной кривизны его результаты обобщили X. Доннелли и П. Ли [12].

• В. Мюллер [26] исследовал структуру спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях с концами. Заметим, что многообразия, рассмотренные им, являются частным случаем квазимодельных многообразий, рассматриваемых в нашей работе.

• А. Бейдер [2] доказал критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на искривлённых римановых произведениях. Его результаты мы опишем подробнее немного ниже.

• Р. Брукс [5], [6] получил двусторонние оценки точной нижней грани Aqss непрерывной части спектра. Из этих оценок легко можно получить достаточное условие дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразии. Ниже мы приведём результаты Р. Брукса и исследуем их связь полученным нами критерием.

• В.А. Кондратьев, М.А. Шубин [17] нашли условия дискретности спектра оператора Шрёдингера на многообразиях ограниченной геометрии.

• Ж. Шен [48] получил критерий дискретности спектра оператора Шрёдингера в терминах поведения потенциала на бесконечности. При этом, правда, накладываются достаточно жёсткие условия на геометрию многообразия (которые, впрочем, выполнены на всяком многообразии ограниченной снизу кривизны Риччи) и сам потенциал. Ниже мы опишем их подробнее и обсудим их в сравнении с нашим результатом.

По проблематике диссертационная работа относится к очерченному направлению. Целью работы является исследование связей между геометрическим строением некомпактных римановых многообразий и структурой спектра эллиптических операторов на этих многообразиях. Следующие результаты диссертации являются новыми:

1. Доказан критерий дискретности спектра операторов Лапласа — Бельтрами и Шрёдингера на весовых искривленных произведениях. Результат является обобщением аналогичного критерия А. Бей-дера [2] для оператора Лапласа — Бельтрами.

2. На простых искривленных произведениях порядка к получен критерий дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами в терминах объёма и ёмкости некоторых областей на многообразии. Показано обобщение этого критерия для квазимодельных многообразий.

3. В случае, когда потенциал оператора Шрёдингера и метрика многообразия удовлятворяют некоторым условиям на их глобальное поведение, получен критерий дискретности спектра оператора Шрёдингера на простых искривленных произведениях и квазимодельных многообразиях в терминах поведения потенциала и метрики многообразия на бесконечности.

4. Исследован вопрос сохранения дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами при изменении метрики многообразия специальным образом.

Методы, использованные для получения представляемых результатов являются стандартными методами теории функций, теории уравнений в частных производных, теории операторов, а также спектрального анализа операторов.

Основные результаты диссертации докладывались на российских и международных конференциях: Молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001), 11-й Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2002), конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (Новосибирск, 2002), Казанской летней школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2003), а также на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2001-2003гг.) и конференциях профессорско-преподавательского состава ВолГУ (2001-2004гг.). Кроме того, все результаты докладывались в разное время на научном семинаре «Геометрический анализ и его приложения» кафедры МАТФ ВолГУ (рук. д.ф.-м.н. А.Г. Лосев и д.ф.-м.н. В.М. Миклюков).

Исследовательская работа, представленная на научную конференцию профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов ВолГУ (2001г.), отмечена дипломом I степени; работа «Критерии дискретности спектра оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях специального вида» удостоена поощрительной премии по направлению «Физика и математика» на VI региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (2001г.); работа «О спектре оператора Лапласа — Бельтрами» награждена дипломом за лучший доклад на «Лобачевских чтениях - 2001»; исследование, представленное на конкурс научных работ молодых учёных и студентов конференции ППС ВолГУ (2002г.), отмечена дипломом II степени; работа «Дискретность спектра оператора Шрёдингера на многообразиях специального вида» на VII Региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (2002г.) удостоена диплома I степени; работа «О дискретности спектра оператора Шрёдингера», представленная на конкурс научных работ молодых учёных и студентов конференции ППС ВолГУ (2003г.), по направлению «Математика» награждена дипломом I степени. Некоторые из представляемых результатов были получены автором в ходе работ по гранту РФФИ проект № 03-01-00304.

Диссертация содержит 90 страниц и состоит из введения и двух глав. Главы разделяются на параграфы с подчиненной нумерацией. В первой главе вводятся основные определения и формулируются известные ранее результаты, используемые в работе. Представляются также обобщения некоторых из известных фактов, также полезные в дальнейшем. Кроме того, в этой же главе доказываются критерии дис

Похожие диссертационные работы по специальности «Математический анализ», 01.01.01 шифр ВАК

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Светлов, Андрей Владимирович, 2004 год

1. Агмон С. (Agmon S.) Lectures on elliptic boundary value problems - Van Nostrand, 1965. - 242p.

2. Бейдер A. (Baider A.) Noncompact Riemannian manifolds with discrete spectra // J.Diff.Geom. 1979 - V. 14 - p. 41-57.

3. Берже M., Годюшон П., Мазе E. (Berger M., Gauduchon P., Mazet E.) Le spectre d'une variete Riemannienne Berlin-New York: Springer-Verlag, 1971. - 251p. - (Lecture Notes in Math.; V. 194)

4. Богачев В.И., Рёкнер М. Об LP-единственности симметричных диффузионных оператров на римановых многообразиях // Мат. сб. 2003 - т. 194, № 7 - с. 15-24.

5. Брукс P. (Brooks R.) A relation between growth and the spectrum of the Laplacian 11 Math. Z. 1981 - V. 178 - p. 501-508.

6. Брукс P. (Brooks R.) On the spectrum of non-compact manifolds with finite volume // Math. Z. 1984 - V. 187 - p. 425-432.

7. Гафни M. (Gaffney M.) The harmonic operator for exterior differential forms // Proc.Nat.Acad.Sci. USA 1951 - V. 37 -p. 48-50.

8. Гилбарг Д., Трудингер M. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка: пер. с англ. М.: Наука, 1989. - 464с.

9. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов -* М.: Физматгиз, 1963. 339с.

10. Григорьян А.А. О существовании положительных решений уравнения Лапласа на римановых мноообразиях // Мат. сб. -1985 Т. 128, № 3 - с. 354-363.

11. Григорьян A.A. (Grigor'yan A.A.) Analytic and geometricbackground of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds // Bulletin of Amer.Math.Soc. -1999 V. 36 - p. 135-249.

12. Доннелли X., Ли П. (Donnelly H., Li P.) Pure point spectrum and negative curvature for non-compact manifolds / f Duke Math.J. -1979 V. 46 - p. 497-503.

13. Донскер М.Д., Варадхан C.P.C. (Donsker M.D., Varadhan S.R.S.) On variational formula for principal eigenvalue for operators with maximum principle // Proc.Nat.Acad.Sci. USA 1975 - V. 72 -p. 780-783.

14. Дэвайс E. B.(Davies E. B.) L1 properties of second order elliptic щ operators // Bull. London Math. Soc. 1985. - V. 17, N 5.p. 417-436.

15. Иосида К. Функциональный анализ М.: Мир, 1967. - 430 с.

16. Кац И.С., Крейн М.Г. Критерий дискретности спектра сингулярной струны // Изв.вузов. Математика 1958 - № 2(3) -с. 136-153.

17. Кондратьев В.А., Шубин М.А. (Kondratev V., Subin М.) Discreteness of spectrum for the Schrodinger operators onmanifolds of bounded geometry Operator theory: Advances and Applications - 1999 - V. 110 - p. 185-226.

18. Кузьминов В.И., Шведов И.А. О нормальной разрешимости оператора внешнего дифференцирования на искривленных произведениях // Сиб. мат. журн. 1996 - Т. 37, № 2. -с. 324-337.

19. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля иДирака М.: Наука, 1988. - 432с.

20. Лосев А.Г. О некоторых лиувиллевых теоремах на некомпактных римановых многообразиях // Сиб. мат. журн. 1998 -т. 39, № 1. - с. 87-93.

21. Лосев А.Г. Стационарное уравнение Шрёдингера на квазимо-т дельных римановых многообразиях // Труды каф. мат. анализаи теории функций Волгоградского гос. ун-та. Волгоград Изд-во ВолГУ, 2002. - с. 94-124.

22. Лосев А.Г., Мазепа Е.А. Ограниченные решения уравнения Шрёдингера на римановых произведениях // Алгебра и анализ 2001 - т. 13, вып. 1 - с. 84-110.

23. МакКин Х.П. (McKean Н.Р.) An upper bound for the spectrum ofД on a manifold of negative curvature // J.Diff.Geom. 1970 -V. 4 - p. 359-366.

24. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными: пер. с япон. М.: Мир, 1977. - 504с.

25. Молчанов A.M. Об условиях дискретности спектра самосопряжённых дифференциальных уравнений второго порядка // Труды Моск.Матем.Об-ва 1953 - № 2 - с. 169-200.

26. Мюллер В. (Muller W.) Spectral theory for Riemannian manifolds with cusps and a related trace formula // Math.Nachr. 1983V. Ill p. 197-288.

27. Позняк Э.Г., Шикин E.B. Дифференциальная геометрия. Первое знакомство. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 384с.

28. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической фит зики: Т. 1. Функциональный анализ, пер. с англ.: в 4 т.М.: Мир, 1977. 360с.

29. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряжённость, пер. с англ.: в 4 т. М.: Мир, 1978. - 400с.

30. Садовничий В.А. Теория операторов М.: Дрофа, 2001. - 384с.

31. Саймон Б. (Simon В.) Essential self-adjointness of Schrddingeroperators with singular potentials // Arch.Rational Mech.Anal. -1973 V. 52 - p. 44-48.

32. Салоф-Косте Jl. (Saloff-Coste L.) Uniformly elliptic operators on Riemannian manifolds // J. Diff. Geom. 1992. No 36, p. 417-450.

33. Светлов А.В. О спектре оператора Лапласа — Бельтрами // Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 12 (Лобачевские чтения 2001) // Материалы международной молодежной научной школы-конференции - Казань, 2001. - с. 57-58.

34. Светлов А.В. Дискретность спектра оператора Лапласа —Бельтрами на весовых многообразиях // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. Саратов, 2002. - с. 188-189.

35. Светлов А.В. Об условиях дискретности спектра оператора Шрёдингера // Международная конференция-школа по геометрии и анализу, посвященная памяти А.Д. Александрова: Тез. докл. Новосибирск, 2002. - с. 65-66.

36. Светлов А. В. Критерий дискретности спектра оператора Лапласа-Бельтрами на квазимодельных многообразиях // Сиб. мат. ж. 2002 - Т. 43, № 6 - С. 1362-1371.

37. Светлов А. В. Спектр оператора Шрёдингера на скрещенныхФ произведениях // Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика 2002 - вып. 7 - с. 12-19.

38. Светлов А.В. О дискретности спектра оператора Шрёдингера // Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 19 (Теорияфункций, её приложения и смежные вопросы) // Материалы Казанской международной летней школы-конференции Казань,2003. с. 192-193.

39. Светлов А. В. Условия дискретности спектра оператора Шрёдингера // Труды по геометрии и анализу. Новосибирск. -Изд-во инст. математики 2003 - с. 376-383.

40. Светлов А.В. Спектр оператора Лапласа — Бельтрами и преобразование метрики // Геометрический анализ и его приложения. Тез. докл. междунар. шк.-конф. Волгоград, 2004. -с. 162-163.

41. Шехтер M. (Schechter M.) Spectra of partial differential operators Amsterdam: North-Holland, 1971. - 295p.

42. Шен Ж. (Shen Z.) The spectrum of Schrodinger operatorswith positive potentials in Riemannian manifolds // Proc. of Amer.Math.Soc. 2003 - V. 131, N. 11 - p. 3447-3456.

43. Яу С.Т. (Yau S.T.) Isoperimetric constants and the first eigenvalue of a complete Riemannian manifold // Ann.Sci.Ecole Norm.Sup. -1975 V. (4) 8 - p. 487-507.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.