Геометрические свойства решений уравнений в частных производных тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Половинкин, Игорь Петрович

• Половинкин, Игорь Петрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Половинкин, Игорь Петрович

Оглавление

I Формулы средних значений решений линейных уравнений в частных производных различных типов

1 Теорема о среднем значении для волнового уравнения в евклидовом пространстве и ее следствия

1.1 Теорема о среднем значении для волнового уравнения в евклидовом пространстве

1.2 Обращение теоремы о среднем значении для волнового уравнения в евклидовом пространстве

1.3 Некоторые следствия из теоремы о среднем

для волнового уравнения

1.3.1 Двухточечная теорема о среднем для гармонической функции

1.3.2 Формула среднего для телеграфного уравнения

1.3.3 Двухточечная теорема о среднем для уравнения Гельмгольца

2 Свойства средних значений решений некоторых линейных уравнений в частных производных в неевклидовых пространствах

2.1 Формулы средних значений для присоединенных функций оператора Лапласа-Бельтрами в римановой метрике с постоянной кривизной

2.2 Формулы средних значений для присоединенных функций оператора Лапласа-Бельтрами в метрике евклидова пространства, сферы и пространства Лобачевского

3 Символический подход к теоремам о среднем

3.1 Понятие сопровождающего распределения оператора

3.2 Связь теоремы о среднем для линейного однородного дифференциального оператора с

его символом

3.3 О получении новых формул средних для гармонических функций и для уравнения теплопроводности

3.4 Свойства средних для операторов, раскладывающихся на множители

3.5 Сопровождающие распределения линейных однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными

3.6 Замечания об обращении теорем о среднем

3.7 О получении новых формул средних для уравнений вида Р{Б)ик + Хщ = щ-1 и Р(Б)ио + А^о = 0

4 Свойства средних значений решений

некоторых сингулярных дифференциальных

уравнений

4.1 О сопровождающих распределениях

сингулярных дифференциальных уравнений

4.2 Некоторые сведения о сферических средних, порожденных обобщенным сдвигом

4.3 Весовые сферические средние функции £)

4.4 Дифференциальное уравнение для весовых сферических средних

4.5 Сингулярное ультрагиперболическое уравнение и теорема типа теоремы Асгейрссона

II Некоторые приложения методов дифференциальной геометрии к

исследованию свойств линейных

уравнений в частных производных

5 О структуре множества кратных

нулей решения линейного однородного

эллиптического уравнения

5.1 О свойствах главной части решения эллиптического уравнения в окрестности кратного нуля

5.2 Предварительные результаты о размерности многообразия кратных нулей

5.3 Окончательные результаты о размерности многообразия кратных нулей

6 О границах применимости геометрических

методов

6.1 Постановка проблемы

6.2 К-однородная метрика, связанная с пространствами Кипрянова

6.3 Вычисление геометрических характеристик

для К-однородной метрики

6.4 Исследование геодезических линий для К-однородной метрики

6.5 Исследование возможности изометрических

преобразований для K-однородной метрики

III Приложение рассмотренных методов к исследованию непрерывных экономико-математических моделей

7 Линейная модель Т. Пу распространения

дохода

7.1 Вывод линейного уравнения дохода

7.2 Формула среднего для уравнения дохода с постоянными темпами инвестиций и сбережений

7.3 Стационарное линейное уравнение дохода

7.4 Множество безнадежности в модели Т. Пу

7.5 О принципе Гюйгенса в модели Т. Пу

7.6 Приближение волн, удовлетворяющих принципу Гюйгенса волнами, обладающими диффузией

7.7 Об одном семействе сингулярных гиперболических уравнений, удовлетворяющих принципу Гюйгенса

8 О достаточных условиях устойчивости

стационарных решений некоторых нелинейных

уравнений в частных производных

8.1 Об устойчивости стационарного решения уравнения Хотеллинга

8.2 Об устойчивости стационарного решения уравнения Пу

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические свойства решений уравнений в частных производных»

Введение

Настоящая работа посвящена некоторым геометрическим аспектам изучения качественных математических свойств моделей, построенных на основе использования дифференциальных уравнений в частных производных. Наше исследование проводится в следующих направлениях.

Вывод и изучение теорем о среднем значении. В

разных разделах и прикладных задачах под этим понятием часто подразумевают несколько разнородные факты. Так или иначе, многообразные результаты для различных типов уравнений объединяет то, что в них участвует среднее и, х, г) достаточно гладкой функции и(х), по сфере 5 (ж, г) с центром в точке х и радиусом г:

<2(щх,г) =-Ф (0.0.1)

где - элемент площади поверхности сферы 5,(х,г) , соп =

2тгп/2/Г(п/2) - площадь поверхности единичной сферы в Мп . Наиболее широко известны теоремы о среднем для эллиптических уравнений. Базовым для использования в приложениях является следующий классический результат (см., напр., [24], [63], [73]), восходящий к Гауссу: для того, чтобы непрерывная в области Г2 С Йп функция и(х) была гармонической в Г2, необходимо и достаточно, чтобы для всякой точки х € О и всякого значения г > 0, такого, что замыкание шара В(х,г) = {£ е : — х\ < г} вложено в О,, ее значение в точке х равнялось среднему (0.0.1). Это утверждение называют теоремой (Гаусса) о среднем для уравнения Лапласа. Этот факт обобщается на эллиптические уравнения второго порядка. В работах В. А. Ильина и Е. И. Моисеева (см. [54] - [58], [79] - [82]) устанавливались формулы среднего для эллиптических операторов более общего вида. Эти формулы использовались авторами при изучении вопросов, связанных со спектральным разложением по собственным функциям эллиптических операторов. Теорема о среднем для уравнения Лапласа в круговом секторе доказана в [84]). Теорема о среднем переносится и на обыкновенные дифференциальные уравнения. В связи с этим см. работы В. А. Ильина [56] и Е. И. Моисеева [81]. Кроме того, теорема о среднем указанного типа переносится и на римановы многообразия (см. [92]). Обратная теорема о среднем для собственных и присоединенных функций оператора Лапласа в евклидовом пространстве доказана в [71]. Следует также отметить работы [17], [18], в которых существенно ослаблено условие обратной теоремы о среднем для гармонической функции.

Второй большой круг вопросов, связанных со средними

значениями, основан на том, что среднее (0.0.1) удовлетворяет уравнению Дарбу (см. [63], [73], [95], [117]). Отправляясь от этого факта, получаются формулы Кирхгоффа для решений волновых уравнений и уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (см. [73], [117]). Эти формулы, выражающие решение задачи Коши от начальных функций, позволяют непосредственно усмотреть характер зависимости решения от начальных функций, в частности, установить условия гладкости классического решения и наличие принципа Гюйгенса. Мы придерживаемся определения принципа Гюйгенса по Ж. Адамару [107] в терминологии И. Г. Петровского [89]: Задача Коши для гиперболического оператора удовлетворяет принципу Гюйгенса, если для каждой точки размерность области зависимости решения от начальных данных меньше размерности пространства. Подробное описание вопросов, связанных с принципом Гюйгенса, а также библиографию см. в монографии Н. X. Ибрагимова [34], в комментарии А. М. Габриэлова и В. П. Паламодова [19] к работе И.Г. Петровского [89] в работе Р. Шимминга [114]. Методы исследования, связанные с принципом Гюйгенса для сингулярных уравнений и, прежде всего, уравнения ЭйлерагПуассона-Дарбу, как правило, основаны на классическом методе А. Вайнштейна [117]. Как известно, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу имеет вид

д2и кди . ,п л .

где и = и(х, £), х е Мп, А = д2/дх\ +... 4- д2¡дх\ — оператор Лапласа в Мп . Это уравнение содержит в левой части оператор Бесселя по переменной t. Изучение дифференциальных уравнений с оператором Бесселя берет начало от И. А. Киприянова [64]. Следует отметить качественную особенность, возникшую при рассмотрении уравнения (0.0.2): появление принципа Гюйгенса для уравнений с четным числом пространственных переменных (см. в этом направлении [39] - [43], [28] - [33], [108]). Дальнейшее рассмотрение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу связано с именами К. Штельмахера [116], Д. Фокса [102], П. Гюнтера [104] - [106], X. Хорниха [108], Ж. Соломона [115]. Для римановых пространств с постоянной кривизной М. Н. Олевским [86] доказано, что среднее по геодезической сфере удовлетворяет уравнению Дарбу. Это в свою очередь позволило рассмотреть задачу Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и для так называемого обобщенного волнового уравнения [87], [88]. Известно [93], что теорема о среднем такого типа имеет место и в произвольном однородном симметрическом пространстве. Дальнейшее развитие проблемы принципа Гюйгенса связано с теорией рассеяния и именами П. Лакса, Р. Филлипса [111].

Проблеме принципа Гюйгенса посвящены работы И. А. Киприянова и Л. А. Иванова [35] - [52]. Ими уточнено понятие волнового уравнения и уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и получены аналоги формул Кирхгофа в пространствах с постоянной кривизной.

Наконец, третье направление исследований с использованием средних значений связано с известной теоремой Асгейрссона (см. [63], [73], [95]). Аналоги теоремы Асгейрссона для неевклидовых пространств доказаны в [86], [93]. Известен следующий результат (теорема о среднем для уравнения колебаний струны, или одномерный принцип Асгейрссона): если функция двух переменных и(х,Ь) является регулярным решением уравнения

Щг=ихх, (0.0.3)

то она удовлетворяет равенству

и(х1,Ь) + и(х3^3) = и(х2^2) + и(х4^4), (0.0.4)

где (х1,и) , г =1,2,3,4, суть последовательно пронумерованные вершины прямоугольника, образованного характеристическими для уравнения (3) линиями

х±г = хг ±и, ¿=1,2,3,4 (0.0.5)

Справедливо и обратное утверждение: если функция и(х, £) б С2(В,2) удовлетворяет равенству (0.0.4) для всякого прямоугольника, образованного линиями (0.0.5), то она является регулярным решением уравнения (0.0.3) (обратная теорема о среднем).

Многомерное обобщение формулы (0.0.4) для класса уравнений переменного типа в области гиперболичности см. в [9] - [11]. В тех случаях, когда справедлив принцип Гюйгенса, эта теорема связывает сумму значений решения в двух точках с его интегралом по пересечению характеристических конусов с вершинами в этих точках, размерность которого на два меньше общего числа переменных. Если принцип Гюйгенса не выполняется, то вместо интеграла по пересечению конусов появляется интеграл по поверхности, размерность которой на единицу меньше общего числа переменных. Теорема о среднем для уравнения для уравнения колебаний струны на случай двумерного гиперболического уравнения была обобщена В. Барановым и Ж. Кюнецом [3], а затем Е. И. Моисеевым, В. В. Тихомировым и Е. А. Козловым [83].

Теоремы о среднем такого типа применяются для исследования корректности и решения задач для гиперболических уравнений и

уравнений смешанного типа, для построения приближенных методов решения гиперболических уравнений.

Изучение геометрической структуры множества кратных нулей решений линейных эллиптических уравнений. Исследуется вопрос об оценке сверху размерности такого множества.

Приложение геометрических методов к изучению некоторых математических моделей макроэкономики. Здесь исследования также разветвляются на следующие направления.

Прежде всего к изучению свойств указанных моделей применяются доказанные в диссертации теоремы о среднем значении для некоторых эллиптических и гиперболических уравнений, которые описывают распределение дохода в достаточно большом регионе при условии межрегиональной торговли.

Далее для указанных уравнений указываются случаи, когда имеет место принцип Гюйгенса. Дается экономическая интерпретация принципа Гюйгенса и обсуждаются последствия его реализуемости для хозяйствующих субъектов.

Отдельно рассматривается случай стационарного уравнения распределения дохода. Здесь кроме теорем о среднем значении изучается вопрос о размерности множества кратных нулей решения однородного эллиптического уравнения. Для рассматриваемого случал это интерпретируется как проблема нулевого дохода и отсутствия тенденций к изменению дохода.

Рассматриваются уравнения роста и распространения популяций с учетом и без учета производства и обсуждается вопрос об устойчивости их стационарных решений. С помощью учета геометрических свойств области удалось ослабить достаточное условие устойчивости, доказанное в [91]

Перейдем к краткому изложению диссертации. Сохраним при этом нумерацию формул и теорем из основного текста диссертации.

Первая часть диссертации посвящена формулам среднего значения для решений линейных уравнений в частных производных различных типов.

Глава 1 посвящена теореме о среднем значении для волнового уравнения (см. [9] - [11]). В разделе 1.1 эта теорема цитируется для полноты дальнейшего изложения. Приведем ее и здесь.

Рассмотрим в пространстве Мп+1 пару точек где

Х^ = • •., Хп^), з = 1,2, удовлетворяющих условию

(1.1.1)

Построим матрицу А по следующему правилу. Зафиксируем некоторый индекс г 6 {1,..., п} и положим

Остальные элементы этой матрицы достроим из условий

ААТ = I, (ЫА = 1,

где Ат — матрица, транспонированная к матрице А , I — единичная матрица. Пусть Аг обозначает матрицу, полученную из матрицы А заменой г -го столбца нулями. Обозначим через Р величину, определяемую равенством

2 Р = ^/(¿(1)-£(2))2_|Х(1)-Х(2)|2. (1.1.2)

Следуя [9] - [11], введем оператор усреднения по формуле:

& = 5?17 = 7(п) I у^т) ёшь \ХМ-Х&\ >0, (1.1.3)

КМ

где 7(п) = \/7г1—тг,

Ц~ - - ¿(2))2 - - Х(2)|2 +

ХЮ+Х™ +—2— + ¿(1)+£(2) \xw-xw\ti

т = -

2 л/^(1)_^(2))2_|Х(1)_Х(2)|2'

— элемент площади поверхности сферы |£| = £ в Еп . При X^ = оператор ^ определим формулой

Бг = 8?у = 1(п) I (1.1.4)

Далее введем оператор -Е?£ по формулам

п-1

Вг = В? у = г 2 п = 1(шоё2), (1.1.5)

— ^

в<==^ Ш 7 »=0(то<12)' (ы-б)

о

Теорема 1.1.1. (теорема о среднем для волнового уравнения [9] - [11]). Если функция у{х\, ..., хп, £) является регулярным б1п+1 решением волнового уравнения

д2у _ -А дЧ

то для любой пары точек j = 1,2, удовлетворяющих

условию (1.1.1), имеет место равенство

у. (1.1.8)

Раздел 1.2 посвящен обращению теоремы о среднем значении для волнового уравнения. Пусть

п + 3

I = тах{п - 1, ——-}, п = 1(тос12) (1.2.9)

I = тах{п,

2

п + 3

+ 1

}, п = 0(тос12) (1.2.10)

Теорема 1.2.1. (обратная теорема о среднем для волнового уравнения). Пусть функция у (х,Ь) е С1(Шп+1) для любой пары точек з = 1,2, удовлетворяющих условию (1.1.1), удовлетворяет и соотношению (1.1.8). Тогда она является регулярным решением волнового уравнения (1.1.7).

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В условии теоремы 1.2.1 к функции у(х,у) предъявляется требование, более высокое, чем требование непрерывности. Более того, условие теоремы требует, чтобы функция имела частные производные более высокого порядка, чем входящие в уравнение (1.1.7). Это существенно отличает обратную теорему о среднем значении для волнового уравнения от обратной теоремы о среднем для уравнения Лапласа. Приведем пример, иллюстрирующий, что такое требование существенно. Будем при этом исходить из методики обнаружения фокусировки волн, приведенной в [100]. Функция

представляет собой сферическую волну в трехмерном пространстве и для любой пары функций а(г), (3(г) 6 С2(М) является регулярным решением волнового уравнения (1.1.7) всюду в четырехмерном пространстве переменных (х\,х2, £3, £) , кроме, может быть, оси |ат| = О . Положим в формуле (1.2.31)

а(г) = ^г(рк{г), /3(г) = ^г<рк(г), (1.2.32)

где (рк(г) £ С3(М), к = 1,2,..., - четные функции. Подставляя при п = 3 (1.2.32) в (1.1.7), мы получим функцию

= + М-*).

2

^(pk{\x\+t)-cpk{\x\-t)

+t 2|ж| , я; ^ и,

vk(x,t) = ipk(t)+tcp'k(t), x = Q. (1.2.33)

При ipk € С3 (М) функция (1.2.33) является регулярным решением уравнения (1.1.7) при п = 3 и поэтому удовлетворяет формуле среднего (1.1.8). Пусть теперь последовательность функций (рк £ С3(М) сходится равномерно к функции ср € C2(R) . Тогда функция, определенная условиями

^ _ р(М + *) + Р(М ~ *) , ММ + *) ~ Р(М ~ *) ^ / П

V\X,Z) — 2 -г с 5 ж 7е и)

t) = ip(t) + tip'(t), x = 0, (1.2.34)

удовлетворяет формуле среднего (1.2.33). Однако при этом функция г» € С1(М3) П С2(Е3 \ {0}) , определенная условиями (1.2.34), может и не являться регулярным решением уравнения (1.1.7). Чтобы в этом убедиться, достаточно взять

<р(г) = г3 sign г.

<р'(г) = 3r2signr, cp"(r) = 6rsignr, (p'"(r) = 6signr,

поэтому частная производная d2v(x:t)/dt2 терпит разрыв при х = 0.

Раздел 1.3 посвящен следствиям из теоремы о среднем для волнового уравнения. Эти следствия представляют собой двухточечные формулы средних значений для эллиптических уравнений, получаемые с помощью метода спуска Адамара, а также формулы средних значений

для некоторых гиперболических уравнений. В п. 1.3.1 доказана двухточечная теорема о среднем значении для гармонической функции: Теорема 1.3.1. Пусть область О. С Яп содержит точки О и а — (ах, 0..., 0) . Пусть область, ограниченная эллипсоидом Ф, определенным уравнением

+т+^о _, (1.3.44)

вместе со своим замыканием лежит в области Г2 . Тогда справедлива двухточечная формула среднего значения

и(а) + и(0) = Ври. (1.3.40),

где оператор = В™и определен формулами 1.1.5 и 1.1.6, 2Р = у/г2 — а2 , но оператор определен формулой

&« = 7(п) [ +(1.3.38)

Теорема 1.3.3. При XЮ = Х& = х^ в случае п = 1(то<12) формула среднего (1.3.40) совпадает с известной формулой среднего Гаусса для гармонической функции для сферы радиуса г/2 ;

и{х(0)) = Щб^ / 5 = г/2- (1,3'47)

Теорема 1.3.4. (обратная двухточечная теорема о среднем для гармонической функции). Пусть функция и(х) € С1(£1), П £ Мп, п = 1(тос12) для любой пары точек Х&) е П, з = 1,2, для любого г > 0 , такого, что замыкание области, ограниченной эллипсоидом, задаваемым в системе координат, где выполняются равенства (1.3.41), уравнением (1.3.44)> вложено в О,, удовлетворяет и соотношению (1.1.8). Тогда она является гармонической в О, .

В п. 1.3.2 доказана формула среднего значения для регулярного решения й(х1,х2,£) гиперболического уравнения

д2й д2й д2й 2

которая имеет вид

гг(0,0,0) + й(а, 0, г) =

2 д I 1 [ рсЦс^/г2 - р2)

\

тгдг \ г ] л/г2 _

\ о v

7Г

//а рсоъв . л г ар сое в , ,л , , , „ „ ч

ц/.ч--^—^—_) авар I, (1.3.72)

2 у/г2 — а2 2 а/г2 — ск2.

— 7Г

где г = Р = у/г2- а2/2 . Для уравнения

д2« 9 Л

+ Л = 0 (1.3.73)

дж2 д£2

получена формула среднего значения, имеющая вид

и{х, £) + и(х, —€) =

х+г

= 11 «К, 0)(/0(слЛ2 - к - х)2)) - Ысу/г2 - к - *)2)) ¿е, (1.3.76)

х—Ь

где

(г/2)2т+1/

оо

ш = £

771=

т!Г(т + I/ + 1)

модифицированная функция Бесселя первого рода порядка у ,

— (¿/2)2т+1/+1 ГСт +

т=0

Л> ¿^Г(т + 3/2)Г(т + г/ + 3/2)

- модифицированная функция Струве порядка и .

В п. 1.3.3 доказана двухточечная формула среднего для уравнения Гельмгольца

д2и д2и 9 . „

Щ + Щ + 'си =0 (1-3-77)

в М2 . Она имеет вид

и(0,0) + и(а, 0) = 2 д ¡1 [ рсЦсу/г2 - р2)

и

ъдь \ Ь ] д/г2 _ р2 к о у

7Г

X

— 7Г

+ , (1.3.79)

где Ь — Р = у/г2 — а2/2 .

Глава 2 посвящена свойствам средних значений решений некоторых линейных уравнений в частных производных в неевклидовых пространствах.

В разделе 2.1 рассматривается п-мерная область £7 с заданной римановой метрикой

п п

йв2 = (2.1.1) ¿=1 з=\

где д^ 6 С2(Г2),г = 1,...,п,€7 = 1, ...,тг,\\д^\\ - положительно определенная в $7 квадратная матрица п х п . Пусть \\дг^ || - матрица, обратная к матрице Ц^'Ц,^ = 9(х) — . Как обычно, оператор

Бельтрами в метрике (2.1.1) определяется формулой

_1 7Т 71 г\ г\

Будем расстояние в метрике (2.1.1) между множествами (? и ^ обозначать через ¿¿((2,0) , а если множество (2 состоит из одной точки х , то будем писать <1 (х, ф) • Через дО, обозначим границу области О .

Зафиксируем точку х Е и обозначим через ¿>г(:г)

геодезическую сферу с центром в точке х радиуса г . Через А(г, х) обозначим площадь сферы. Будем предполагать, что площадь сферы зависит только от ее радиуса.

Следуя работе В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [58], введем в рассмотрение семейство функций (рк(х) с помощью рекуррентных соотношений:

1. </?о(г, х, Л) - регулярное решение уравнения

которое удовлетворяет условию

Нт х, А) = 1. (2.1.6)

1—>+о

2. срт(г,х, А) = -^р, т = 1,2,... (2.1.8)

Обозначим теперь через Мк(г,х) = М(г,х,ик) сферическое среднее от функции Чк-

Теорема 2.1.1. Система функций щ(х), иг(х),... из класса С2 (О,) тогда и только тогда удовлетворяет уравнениям

Аит + Хит = ит-1, х 6 П, т = 0,1,2,..., (2.1.11)

где

и-1 = 0, жеА, (2.1.12)

когда она связана с системой функций <рт(г, х, Л), т = 0,1,2,..., соотношениями

т ^

мт(г,х) = ^—(рк(г,х,\)ит-к(х), 771 = 0,1,2,... (2.1.13)

к=0

В разделе 2.2 рассмотрены примеры применения теоремы 2.1.1 к евклидовым пространствам, а также к сфере и к пространству Лобачевского.

В главе 3 предлагается символический подход к теоремам о средних значениях.

В разделе 3.1 приводятся примеры, приводящие к излагаемому подходу, в частности, к понятию сопровождающего распределения и дается определение сопровождающего распределения линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами.

Следуя [22], будем через К обозначать пространство финитных основных функций переменных х = (х1,...,хп) е , через в — пространство Шварца быстро убывающих основных функций, через К', Б' — соответствующие двойственные пространства распределений.

а

Через / будем обозначать преобразование Фурье распределения

л

/ € 5. Этим же символом /(и>) мы будем пользоваться и для обозначения преобразования Фурье - Лапласа распределения / с компактным носителем, представляющего собой в этом случае целую аналитическую функцию комплексной переменной ги 6 Сп (см. [95]). Далее, пусть

Dj = ъ— , 2 = ~ (-^1 ч • • - 1 -^га)5 = ... хпп.

Всюду в работе предполагается, что мультииндекс а имеет неотрицательные целые координаты. Через Sr(xо) мы обозначаем сферу в Мп, через |5П| — площадь поверхности единичной сферы в Rn . Через 5(х — хо) обозначается мера Дирака, сосредоточенная в точке хо , через 5sn(x0) (х) ~ мера Дирака, сосредоточенная на сфере Sr(Xо) .

Предлагаемый в главе 3 подход к теоремам о среднем значении можно выразить следующим образом. Тот или иной факт, затрагивающий средние значения решения линейного однородного дифференциального уравнения, мы связываем с существованием некоторого специально подобранного распределения, действие которого на решения уравнения равно нулю. Более точно, примем следующее определение.

Пусть P{w) - многочлен порядка т . Рассмотрим уравнение

P(D)u = 0. (3.1.1)

Определение 3.1.1. Распределение Ф с компактным носителем назовем сопровождающим уравнение (3.1.1), если для любого решения и{х) 6 С°°(МП) имеет место равенство

(Ф,и) = 0. (3.1.2)

Будем также в этом случае называть распределение Ф сопровождающим оператор P(D) или, короче, сопровождением оператора P{D) и уравнения (3.1.1). Отметим сразу же, что для любого многочлена P(D) существуют тривиальные сопровождающие распределения вида Q(D)P(D)5(x — rr0) , где д(х — хо) —мера Дирака, сосредоточенная в точке xq , Q{D) — произвольный многочлен. Между тем теорема о среднем для бесконечно дифференцируемых решений эквивалентна существованию некоторого нетривиального сопровождающего распределения.

Пример 3.1.1 Для уравнения колебаний струны

(313)

дх2 ду£ ~ с ;

имеет место следующее утверждение (теорема о среднем): для того, чтобы функция и(х,у) Е С2(М2) являлась решением уравнения (3.1.3), необходимо и достаточно, чтобы для каждого прямоугольника, образованного прямыми х ± у = const, выполнялось равенство

и(Мг) + и(М3) - и{М2) - и{МА) = 0, (3.1.4)

где Mfc = (Хк,Ук) (к = 1,2,3,4) суть последовательно пронумерованные вершины этого прямоугольника. Подвергнув решение уравнения (3.1.3) более жесткому требованию и(х) G С°°(М2) , нетрудно заметить, что необходимость равенства (3.1.4) эквивалентна утверждению о том, что распределение

4

^(-1 )к-Ч{М-Мк), (3.1.5)

к=1

где М = (х, у) Е М2, является сопровождающим для уравнения (3.1.3).

Пример 3.1.2. Теорема о среднем для уравнения Лапласа имеет следующий вид: Для того, чтобы функция и G C(Rn) являлась решением уравнения Лапласа

п Q2

AU = Y^ тпг = 0, xeRn, (3.1.6)

fc=i °xk

необходимо и достаточно, чтобы для любого R > 0 и для любой точки £ имело место равенство

4*0) = isn\Rn-i / <x)dS*> {3.2.9)

SR(xq)

где dSx — элемент площади поверхности сферы Sr(xо) с центром в точке xq и радиусом R , l^l — площадь поверхности единичной сферы в Rn . Отсюда непосредственно вытекает, что распределение

6(х - х0) - Щ^ГТ(3.1.8)

является сопровождающим для оператора Лапласа А .

В разделе 3.2 установлена связь теоремы о среднем для линейного однородного дифференциального оператора с его однородным символом.

Теорема 3.2.1. Для того, чтобы распределение Ф с компактным носителем являлось сопровождающим уравнение (3.1.1), необходимо и достаточно, чтобы функция

ФШ _п

P(—w)

была целой аналитической.

Примечание. Пусть М = (Мх,...,Мп) — вектор с натуральными компонентами, ¡1 — борелевская мера с носителем в замкнутом шаре В\{0) , <7 — область в йп , п > 1 ,

х е G, г > 0, BM{x,r) = {х + rMt : t е #i(0)} С G,

оператор P(D) удовлетворяет следующему условию однородности относительно вектора М : для каждой частной производной, входящей в рассматриваемое уравнение, скалярное произведение вектора, составленного из порядков этой производной по всем переменным, на вектор М, не зависит от порядка этой производной. При этих предположениях в работе [90] доказан результат, аналогичный теореме 3.2.1. Вообще же подход, связанный с сопровождающим распределением, можно считать восходящим к работе JI. Зальцмана [118] 1973 г., хотя можно указать и на более раннюю работу [3] 1962 г., авторами которой являются В. Баранов, Ж. Кюнец, в которой символический подход применен к выводу формулы среднего для уравнения гиперболического типа.

Раздел 3.3 посвящен проблеме получения новых формул среднего для оператора Лапласа. Теорема 3.2.1 теоретически дает возможность получения новых формул средних для линейных однородных дифференциальных операторов. Для получения такой формулы нужно задать целую аналитическую функцию, которая делится нацело на символ заданного оператора и применить к ней обратное преобразование Фурье, в результате чего мы и получим сопровождающее распределение оператора, а значит, формулу среднего для него. На практике эта схема может натолкнуться на технические трудности. Но она может быть сравнительно легко реализована для оператора Лапласа на основании следующей теоремы.

Теорема 3.3.1. Пусть распределение с компактным

носителем удовлетворяет условиям сферической симметрии и

четности по переменной г = \х — = \1 Yh (xk ~ • Тогда

(43)

k=1

распределение

Ф(х) = Б{х) - а05(х),

где

а0 = (Е, 1),

представляет собой сопровождение оператора Лапласа, то есть имеет место формула следующая среднего для гармонической функции:

(Ф (х),и) = 0.

С помощью теоремы 3.3.1 получена следующая формула среднего для гармонической функции:

|5„|

2Нп+2 п2 + 2п

\х—х(°)\<Н

В разделе 3.4 рассматривается вопрос о возможности получения новых формул среднего значения для операторов, раскладывающихся на множители.

Пусть = Р\{В)Р2(0), где Р\ и Р2 суть однородные

многочлены. Пусть Фг — распределение с компактным носителем, сопровождающее оператор / = 1,2.

Теорема 3.4.1. Распределение

Ф = ф1 * ф2

является сопровождающим оператор Р(О) = Р\(0)Р2(П).

С помощью теоремы 3.4.1 доказаны следующие формулы среднего значения:

— для уравнения

г, , д4и д4и

формула среднего значения имеет вид

/

(3.4.16)

ЕС-!)*-1

к=1

\

и

\

5к(М0 )

= 0;

— для бигармонической функции формула среднего значения имеет вид

и(хо)----г I и(х) — -—Д-т [ и(х) ¿Зх-Ь

^ \Sn\Rr1 1 \Sn\RT У

(х0)

5Я2 (Я0)

5Л2(0) 5Л1(у)

В разделе 3.5 на основании теоремы 3.4.1 показано, что в случае дифференциального оператора с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными с однородным символом теоремы о среднем значении могут быть получены из простейших формул среднего для операторов первого порядка и для эллиптических операторов второго порядка. Более точно, для оператора

|а|=т

с постоянными коэффициентами аа, а = (o?i, а2) , можно указать сопровождающее распределение, представляющее собой свертку сопровождающих распределений, составляющих этот оператор сомножителей первого порядка и эллиптических операторов второго порядка, причем таких сопровождений бесконечно много. Кроме того, имеет место

Теорема 3.5.1. В рассматриваемом случае двух переменных можно указать разностный оператор Т (вообще говоря, с комплексными точками и комплексными коэффициентами), применение которого к решению и(х,у) уравнения (3.1.1) приведет к равенству

Ти = 0.

Другими словами, при выполнениии условий теоремы дифференциальному уравнению соответствует точная разностная схема.

В разделе 3.6 затрагивается вопрос об обращении теорем о среднем. Пусть имеется некоторое семейство сопровождений оператора P(D) , зависящих от точки ге^ Е Ш.п и от некоторого параметра fi Е А . Обозначим через Ф„ж(о)(ж) сопровождение из этого семейства. Относительно множества А мы будем предполагать, что имеет смысл предельный переход по этому множеству при ¡л —> //о , где /¿о — предельная точка множества А .

Теорема 3.6.1. Пусть функция и{х) G С°°(МП) для каждого сопровождения ФМ)2;(о) (х), хЕ Rn, /и Е А удовлетворяет соотношению

(Ф^х(о)(х),и(х)) = 0,

причем семейство сопровождений Ф^^о) (ж), G Мп, д G Л

удовлетворяет условию

lim 3>^x(0)(x) = P(D)ö(x-xM).

о

Тогда функция и(х) является решением уравнения

P(D)u = 0, хе Ш.п.

В разделе 3.7 обсуждается возможность получения новых формул среднего значения для уравнений вида

P(D)uk + Лик = ик-1, /с = 0,1,2,..., u_i = 0 (3.7.29)

с однородным символом Р(ги) . Пусть известно некоторое сопровождение Ф(ж) = P(—D)ip(x), i[> G £ оператора P(D) . Тогда распределение вида

фк = (P(-D) + А)*Ф0> Фо = Ф + А^, (3.7.30)

удовлетворяет на решениях ик{х) G C°°(IRn) уравнения (3.7.29) равенству

(Ф*,и*) = 0, (3.7.31)

которое естественно называть формулой среднего для уравнения (3.7.29).

С помощью такой методики получена формула среднего значения для уравнения

d2U d2U , „

- + = 0, (3.7.38)

которая имеет вид

и(хо, уо + К) + и(х0,уо ~h)~ и(х0 + h, у0) - и(х0 - h, у0)+ +Л/2 J J и(х, у) dx dy = 0.

\x—x0\ + \y~y0\<h

Для уравнения Гельмгольца

An + Xu = 0 (3.7.41)

Установлена формула среднего вида

Фо) ~ J и(У) dSy+

Sr(xo)

+А J (е{\х-х0\)-е(11))и{у)(1у = 0, (3.7.43)

Вц{х0)

где е(р) = 1/(|5п|(2 — п)рп~2), если п > 3, е(р) = \пр/(2тг), если п = 2 , е(\х\) — фундаментальное решение оператора Лапласа.

В главе 4 некоторые классические результаты, связанные со свойствами средних значений решений уравнений в частных производных перенесены на случай сингулярных уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Половинкин, Игорь Петрович, 2014 год

Литература

[1] Алдашев, С. А. О свойствах решений уравнений в частных производных, распадающихся на множители с особенностями / С. А. Алдашев // Дифференц. уравнения.

— 1984. — Т. 20, т. — С. 168 - 171.

[2] Андреев, А. А. О корректности начальных задач для некоторых уравнений с отклоняющимся аргументом / А. А. Андреев. — Уравнения неклассического типа. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1986. — С. 10 - 14.

[3] Баранов В. Синтетические сейсмограммы с многократными отображениями / В. Баранов, Ж. Кюнец. — Проблемы сейсмической разведки. — М., 1962. — С. 179 - 188.

[4] Березин Ф. А. Операторы Лапласа на полупростых группах Ли / Ф. А. Березин // Труды Московского математического общества. - 1957. - Т. 6. - С. 371 - 463.

[5] Березин Ф. А. Несколько замечаний к теории сферических функций на симметрических римановых многообразиях / Ф. А. Березин, И. М. Гельфанд // Труды Московского математического общества. — 1956. — Т. 5. — С. 311 - 351.

[6] Беренстейн К. А. Комплексный анализ и уравнения в свертках / К. А. Беренстейн, Д. Струппа // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М. : ВИНИТИ, 1989. — Т. 54. - С. 5 - 111.

[7] Бицадзе, А. В. Уравнения смешанного типа / А. В. Бицадзе.

- М. : Издательство АН СССР, 1959. — 164 с.

[8] Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. — М. : Наука, 1981. — 488 с.

[9] Бицадзе, А. В. О корректной постановке задач для уравнения смешанного типа в многомерных областях / А. В. Бицадзе, А. М. Нахушев // Доклады АН СССР. — 1972. - Т. 205, т. — С. 9 - 12.

[10] Бицадзе, А. В. К теории вырождающихся гиперболических уравнений в многомерных областях / А. В. Бицадзе, А. М. Нахушев // Доклады АН СССР. — 1972. — Т. 204, №6. — С. 1289 - 1291.

[11] Бицадзе, А. В. К теории уравнений смешанного типа в многомерных областях / А. В. Бицадзе, А. М. Нахушев // Дифференциальные уравнения. — 1974. — Т.10, №12. — С. 2184 - 2191.

[12] Боровиков, В. А. Фундаментальные решения линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами / В. А. Боровиков // Труды Московского математического общества. — 1959. — Т. 8. — С. 199 - 257.

[13] Боровиков, В. А. Некоторые достаточные условия отсутствия лакун / В. А. Боровиков // Математический сборник. — 1961. — Т. 55, №3. — С. 237 - 254.

[14] Вайнберг, Б. Р. Об усиленном принципе Гюйгенса для одного класса дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами / Б. Р. Вайнберг, С. Г. Гиндикин // Труды Московского математического общества. — 1967. — Т. 16. — С. 151 - 180.

[15] Васильева, JI. Е. Итерированная задача для уравнений, распадающихся на множители Эйлера-Пуассона-Дарбу / JI. Е. Васильева, JL А. Иванов. — Воронежский лесотехнический институт. Воронеж, 1982. — 9 с. — (Деп. в ВИНИТИ 01.04.82, №1496 - 82).

[16] Васильева, JI. Е., Трансляционное представление для решения волнового уравнения в римановом пространстве / JI. Е. Васильева, JI. А. Иванов // Операторные уравнения в функциональных пространствах: Сб. науч. тр. — Воронеж: ВГУ. - 1986. - С. 27 - 32.

[17] Волчков, В. В. Новые теоремы о двух радиусах в теории гармонических функций / В. В. Волчков // Известия РАН. Серия мат. - 1994. — Т. 58, №1. - С. 192 - 194.

[18] Волчков, В. В. Окончательный вариант теоремы о среднем в теории гармонических функций / В. В. Волчков //

Математические заметки. — 1996. — Т. 59, №3. — С. 351 -358.

Габриэлов, А. М. Принцип Гюйгенса и его обобщения /

A. М. Габриэлов, В. П. Паламодов. — В кн. Петровский И.Г. Избранные труды: Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. — М. : Наука, 1986. - С. 449 - 456.

Гальперн, С. А. Фундаментальные решения и лакуны квазигиперболических уравнений / С. А. Гальперн // Успехи математических наук. — 1976. — Т. 29, №2. — С. 154 - 165. Гальперн, С. А. Задача Коши для операторов, распадающихся на волновые множители / С. А. Гальперн,

B. Е. Кондратов // Труды Московского математического общества. — 1967. — Т. 16. — С.109 - 136 Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд , Г. Е. Шилов. - М. : Государственное издательство физико - математической литературы, 1958. — 440 с.

Гельфанд, И. М. Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций / И. М .Гельфанд, Г. Е. Шилов — М.: Государственное издательство физико - математической литературы, 1958. — 308 с.

Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, П. Трудингер. — М. : Наука, 1989. — 464 с. Глушак, А. ¿.Операторная функция Бесселя / А. В. Глушак // Докл. РАН. - 1997. - Т. 352, - № 5. - С. 587 - 580. Громова, Л. Г. О характере зависимости решений некоторых гиперболических уравнений от начальных функций / Л. Г. Громова Л. Г. // Доклады АН СССР. — 1966. — Т. 166, №2. - С. 271 - 274.

[27] Жегалов, В. И. О краевых задачах со смещениями для уравнений параболического и смешанного типа / В. И. Жегалов // Дифференциальные уравнения и их применения: Труды третьей конференции., 30 июня - 6 июля 1985. - Руссе, Болгария, 1985. — С. 139 - 142.

[28] Зайцев, В. А. О принципе Гюйгенса для некоторых уравнений с особенностями / В. А. Зайцев // Доклады АН СССР. - 1978. - Т. 242, №1. - С. 28 - 31.

Зайцев, В. А. О слабых лакунах для уравнения, распадающегося на волновые линейные множители / В. А. Зайцев //5 Всесоюзная конференция по качественной теории дифференциальных уравнений: Тез. докл., Бендеры, 22-24 авг. 1979 г. — Кишинев: Штинца, 1979. — С. 79 - 80. Зайцев, В. А. О принципе Гюйгенса порядка (р,д) / В. А. Зайцев // Динамика жидкости со свободными границами: Сб.тр. - Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1980. - С. 160 - 165.

Зайцев, В. А. О существовании редких волн для одной системы первого порядка / В. А. Зайцев // Некоторые вопросы теории управления движением: Сб.тр. — Саранск, 1980. - С. 69 - 71.

Зайцев, В. А. Слабые лакуны для одномерных строго гиперболических уравнений / В. А. Зайцев // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб.тр. - Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1981. - С. 66 - 68.

Зайцев, В. А. Слабые лакуны для одномерных уравнений с постоянными коэффициентами / В. А. Зайцев // Сибирский математический журнал. — 1984. — Т. 25, №4. — С. 54 - 62. Ибрагимов, Н. X. Группы преобразований в математической физике. — М. : Наука, 1983. — 280 с.

Иванов, Л. А. О лакунах для операторов, распадающихся на множители Эйлера-Пуассона-Дарбу / Л. А. Иванов // Доклады АН СССР. — 1977. - Т. 233, №4. — С. 235 - 238. Иванов, Л. А. О задаче Коши для операторов с особенностями, распадающихся на множители / Л. А. Иванов // Доклады АН СССР. — 1977. — Т. 234, №3. — С. 521 - 524.

Иванов, Л. А. О задаче Коши для операторов распадающихся на множители- Эйлера-Пуассона-Дарбу / Л. А. Иванов // Дифференциальные уравнения. - 1978. — Т. 14, №4. - С. 736 - 739.

Иванов, Л. А. О принципе Гюйгенса для уравнений, распадающихся на множители / Л. А. Иванов // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 245, №4. - С. 829 - 832. Иванов, Л. А. О принципе Гюйгенса в четномерном пространстве для некоторых уравнений с особенностями /

Л. А. Иванов // Украинский математический журнал. — 1979. - Т. 31, №5. - С. 547 - 550.

[40] Иванов, Л. А. Уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу на сфере и их гюйгенсовость / Л. А. Иванов // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений: Сб. тр. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1981. — С. 69 - 71.

[41] Иванов, Л. А. О формулах Кирхгофа в симметрических пространствах ранга 1 / Л. А. Иванов // Доклады АН СССР.

- 1981. — Т. 247, Ш. — С. 783 - 785.

[42] Иванов, Л. А. Задача Коши для некоторых операторов с особенностями / Л. А. Иванов // Дифференциальные уравнения. — 1982. — Т. 18, №6. — С. 1020 - 1028.

[43] Иванов, Л. А. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений / Л. А. Иванов // Дифференциальные уравнения и их применения: Сб. тр. -Вильнюс: ИМК Лит. ССР, 1982. — Вып. 32. — С. 31 - 45.

[44] Иванов, Л. А. Итерированная задача для уравнений, распадающихся на множители Эйлера-Пуассона-Дарбу / Л. А. Иванов / / Неклассические задачи уравнений математической физики: Сб. тр. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. - С. 78 - 80.

[45] Иванов, Л. А. О волновом уравнении в римановом прстранстве с постоянной кривизной / Л. А. Иванов // Краевые задачи для нелинейных уравнений. II: Сб. тр. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1982. - С. 137 - 139.

[46] Иванов, Л. А. Уравнение упругих волн в римановых пространствах / Л. А. Иванов // VIII Школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. I, Рига, 27 окт. - 4 нояб. 1983г. — Рига: Лит. ГУ, 1983. — С. 98 -99.

[47] Иванов, Л. А. О принципе Гюйгенса в однородных компактных двухточечных пространствах / Л. А. Иванов / / Применение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям математической физики: Сб. тр.

- Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1983. - С. 147 - 151.

[48] Иванов, Л. А. О принципе Гюйгенса для некоторых сингулярных уравнений в симметрическом пространстве / Л. А. Иванов // IX Школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл., Тернополь, 1319 сент. 1984 г. - Тернополь, 1984. — С. 50 - 51.

[49] Иванов, Л. А. Потенциалы, связанные с конусами / Л. А. Иванов //XI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез. докл. — Челябинск,

1986. - С. 44.

[50] Иванов, Л. А. Уравнение упругих волн на однородных пространствах / Л. А. Иванов // Уравнения неклассического типа: Сб. тр. — Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1986. — С. 70 - 73.

[51] Иванов, Л. А. Волновое уравнение в плоском пространстве Лоренца / Л. А. Иванов. — Воронеж, гос. ун-т. Воронеж,

1987. - Деп. в ВИНИТИ 25.08.87, №5991 - В87.

[52] Иванов, Л. А. О теореме Харди-Литтлвуда-Соболева / Л. А. Иванов // XII Школа по теории операторов в функциональных пространствах: Тез.докл., Тамбов, 14-20 сент. 1987г. — Тамбов, 1987. — 4.1. — С. 83.

[53] Иванов, Л. А. Теоремы о среднем для некоторых уравнений с отклоняющимся аргументом / Л. А. Иванов, И. П. Половинкин. — Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1988. — 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.08.87, №6210 - В87.

[54] Ильин, В. А. О рядах Фурье по фундаментальным системам функций оператора Бельтрами / В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения. — 1969. — Т. 5, №11. — С. 1940 - 1978.

[55] Ильин, В.А. Некоторые свойства регулярного решения уравнения Гельмгольца в плоской области / В. А. Ильин // Математич. заметки. — 1974. — Т. 15, №6. — С. 885 - 890.

[56] Ильин, В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора / В. А. Ильин // Математич. заметки. - 1977. - Т. 22, №5. - С. 679 - 699.

[57] Ильин, В. А. Об одном обобщении формулы среднего значения для регулярного решения уравнения Шредингера / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // ИПМ АН СССР, 1977. - С. 157 - 166.

[58] Ильин, В. А. Формула среднего значения для присоединенных функций оператора Лапласа / В. А. Ильин , Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 1981. - Т. 17, №10. — С. 1908 - 1910.

[59] Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Доклады АН СССР. — 1986. — Т. 291, №3. — С. 534 - 539.

[60] Ильин, В. А. Оператор Штурма-Лиувилля с нелокальным краевым условием второго рода / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Доклады АН СССР. — 1987. — Т. 294, №6. — С. 1340 - 1345.

[61] Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 1987. — Т. 23, №7. — С. 1198 - 1207.

[62] Ильин, В. А. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля / В. А. Ильин , Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 1987. — Т. 23, №8. — С. 1422 - 1431.

[63] Йон, Ф. Плоские волны и сферические средние / Ф. Йон. — М. : Издательство иностранной литературы, 1958. — 158 с.

[64] Киприянов, И.А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов / И. А. Киприянов // Тр.МИРАН. - 1967. - Т. 89, - С. 130 - 213.

[65] Киприянов, И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И. А. Киприянов. — М. : Наука, 1997. — 199 с.

[66] Киприянов, И. А. О фундаментальном решении волнового уравнения с многими особенностями и о принципе Гюйгенса / И. А. Киприянов, Ю. В. Засорин // Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28, № 3. — С. 452 - 462.

[67] Киприянов, И. А. Получение фундаментальных решений для однородных уравнений с особенностями по нескольким переменным / Л. А. Иванов // Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики: Тр. сем. С.Л. Соболева. - 1983. — № 1. — С. 55 - 77.

[68] Киприянов, И. А. Теорема Пэли-Винера-Шварца для преобразования Фурье-Бесселя / И. А. Киприянов , А. А. Куликов //Доклады Академии наук СССР. — 1988.

- Т. 298, N 1. — С. 13 - 17.

[69] Киприянова, Н. И. Формула среднего значения для собственной функции сингулярного дифференциального оператора / Н. И. Киприянова // Дифференц. уравнения.

- 1985. — Т. 21, № 11. — С. 1998-2001.

[70] Кац, М. Несколько вероятностных задач физики и математики / М. Кац. — М. : "Наука", главная редакция физико-математической литературы, 1967. — 176 с.

[71] Каштанов, О. В. Обратная теорема о среднем значении для присоединенных функций ьго порядка оператора Лапласа / О. В. Каштанов // Дифференциальные уравнения. — 1993.

- Т. 29, №10. — С. 1822 - 1824.

[72] Курант, Р. Уравнения математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. Т. 1. — Москва, Ленинград : ОГИЗ, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951. — 600 с.

[73] Курант, Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. Т. 2. - Москва, Ленинград: ОГИЗ, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1945. — 620 с.

[74] Левитан, Б. М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя / Б. М. Левитан // УМН. — 1951. — Т. 6, №2 — С. 102 - 143.

[75] Ляхов, Л. Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом / Л. Н. Ляхов. — Воронеж: ВГТА, 1997. — 144 с.

[76] Ляхов, Л. Н. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию функциональных классов Киприянова и к интегральным уравнениям с В-потенциальными ядрами / Л. Н. Ляхов. — Липецк, 2007. — 232 с.

[77] Ляхов, Л. Н. ЯК^ -преобразование с 7 £ (0,2] весовых сферических средних функций. Соотношение Асгейрссона / Л. Н. Ляхов // Докл. РАН. - 2011. - Т. 439, № 5. - С. 589

- 592.

[78] Мешков, В. 3. Теорема единственности для эллиптических уравнений второго порядка / В. 3. Мешков // Математический сборник. — 1986. — Т. 129(171), №3.

- С. 386 - 396.

[79] Моисеев, Е. И. Формула среднего для собственных для собственных функций эллиптического самосопряженного оператора второго порядка / Е. И. Моисеев // Докл. АН СССР. - 1971. - Т. 197, №3. - с. 524 - 525.

[80] Моисеев, Е. И. Формула среднего для собственных для собственных функций эллиптического самосопряженного оператора второго порядка / Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 1971. — Т. 7, №6. — С. 1490 - 1502.

[81] Моисеев, Е. И. Формула среднего значения для регулярного решения обыкновенного дифференциального уравнения / Е. И. Моисеев // Докл.АН СССР. — 1975. — Т. 223, №3. - С. 562 - 565.

[82] Моисеев, Е. И. Асимптотическая формула среднего значения для регулярного решения дифференциального уравнения / Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т. 16, №5. - С. 827 - 844.

[83] Моисеев, Е. И. Формула среднего значения для регулярного решения гиперболического уравнения / Е. И. Моисеев,

B. В. Тихомиров, Е. А. Козлов // Дифференциальные уравнения. - 1983. — Т. 19, №10. — С. 1802 - 1803.

[84] Моисеев, Т. Е. Формула среднего значения для гармонической функции в круговом секторе / Т. Е. Моисеев // ДАН. 2010. Т. 432, №5. С. 592 - 593.

[85] Никифоров, А. Ф. Специальные функции математической физики / А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров . — М. : Наука, 1984. - 344 с.

[86] Олевский, М. Н. Некоторые теоремы о среднем в пространствах постоянной кривизны / М. Н. Олевский // Докл.АН СССР. - 1944. - Т. 45, №3. - С. 103 - 106.

[87] Олевский, М. Н. Решение задачи Коши для волнового уравнения в п-мерном пространстве постоянной кривизны / М. Н. Олевский // Докл.АН СССР. - 1945. - Т. 46, №1. -

C. 3 - 7.

[88] Олевский, М. Н. О связях между решениями обобщенного волнового уравнения и обобщенного уравнения теплопроводности / М. Н. Олевский // Докл.АН СССР. — 1955. - Т. 101, №1. - С. 21 - 24.

[89] Петровский, И. Г. О диффузии волн и лакунах для гиперболических уравнений // Петровский И. Г. Избранные труды: Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. — М. : Наука, 1986. — С. 259 -354.

Покровский, А. В. Теоремы о среднем для решений линейных дифференциальных уравнений с частными производными / / А. В. Покровский // Математические заметки. — 1998. — Т. 64, вып. 2. — С. 260 - 272. Пу, Т. Нелинейная экономическая динамика / Т. Пу

— Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 2000. - 200 с.

Хелгасон, С. Преобразование Радона / С. Хелгасон. — М. : Мир, 1983. - 152 с.

Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства / С. Хелгасон. — М. : Мир, 1964. - 534 с.

Хелгасон, С. Группы и геометрический анализ / С. Хелгасон.

- М. : Мир, 1987. - 736 с.

Хермандер, Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными / JL Хермандер. Т.1.

- М. : Мир, 1986. — 464 с.

Хермандер, JL Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными / JL Хермандер. Т. 3.

— М. : Мир, 1987. — 696 с.

Эйзенхарт, JL Т. Риманова геометрия /Л. Т. Эйзенхарт. — М. : Государственное издательство иностранной литературы, 1948. - 316 с.

Asgeirsson, L. Uber eine Mittelwerteigenschaft von Losungen homogener linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten / L. Asgeirsson // Math. Ann. - 1937. - 113. - C. 321 - 346.

Atiyah, M. F. Lacunas for hyperbolic differential Operators with constant coefficients. I / M. F. Atiyah, R. Bott R., L. Garding // Acta Mat. — 1970. - 124. — С. 109 - 189.

[100] Bers, L. Partial differential équations / L. Bers, F. John, M. Schechter. — New York: Int. Publ., 1964.

[101] Carleman, T. Sur un problème d'unicité pour les systèmes d'équations aux derivees patielles a deux variables indépendantes / T. Carleman // Ark. Mat., 1939, (17), V. 26 В, P. 1 - 9.

[102] Fox, D. N. The solution and Huygens' principle for a singular Cauchy problem / D. N. Fox // J. Math. Mech. — 1959. — V. 8, m. - P. 197 - 219.

t

ф

104

105

106

107

108

109

110 111 112

113

114

Garding, L. The solution of Cauchy's problem for two totally hyperbolic differential equations by means of Riecz integrals /L. Garding// Ann. Math. — 1947. — 38, №4. — P. 785 - 826. Günter, P. Uber einige specielle Probleme aus der Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung / P. Günter // Ber. Verch. Sachs. Acad. Wiss. Leipzig. - 1957.

- 102. — С. 1 - 50.

Günter, P. Uber die Darbouxsche Differentialgleichung mit variable Koeffizienten / P. Günter // Math. Nachr. — 1960. — 22, №5 - 6. — C. 285 - 521.

Günter, P. Das iterirte Anfangswertproblemen bei Darbouxsche Differentialgleichung / P. Günter // Math. Nachr. — 1963. — 25.

- C. 293 - 310.

Hadamard, J. Lectures on Cauchy's problem in linear partiall differential equations. — New Haven: Yall Univ. Press. — 1923. Hornich, H. Huygessche Differential-gleichungen im R2 / H. Hornich // Monatshefte für Math. — 1963. — Bd. 67. — Heft 5. - P. 433 - 435.

Narasimhan, R. Introduction to theory of analitic spaces. / R. Narasimhan // Lecture Notes in Math., Berlin, Springer,

1966, V. 25, P. 1 - 143.

Lagnese, J. E. A method of generating classes of Huygens' operators / J. E. Lagnese,K. L. Stellmacher //J. Math. Mech. —

1967. - V. 17, №5. P. 461 - 472.

Lax, P. D. An axample of Huygens' principle / P. D. Lax, R. S. Phillips //omm. Pure and Appl. Math. — 1978. — V. 31, №4. - P. 415 - 421.

Plis, A. A smooth linear elliptic differential equation witu hout any solution in sphere / A. Plis // Comm. Pure Appl. Math., 1961, 14, P. 599 - 617.

Plis, A. On non-uniqueness in Caushv problem for an elliptic second order differenu; tial equations / A. Plis // Bull. Acad. Polon. Sei". , 1963, V. 11, P. 95 - 100.

Schimming, R. A review of Huygens' principle for linear hiperbolic differential operators /R. Schimming / / Международный симпозиум "Теоретико-групповые методы в механике": Сборник трудов под ред. Н.Х. Ибрагимова, JI.B. Овсянникова. - Новосибирск: Институт гидромеханики и Вычислительный центр СОАН СССР. — 1978. — С. 214 -225.

[115] Solomon, J. M. Huygens' principle for a class of singular Cauchy Problems /J. M. Solomon // J. Diff. Equations. — 1971. — V. 10, №2. - P. 219- 239.

[116] Stellmacher, K. L. Ein Beispiel eine Huygensschen Differentialgleichung / K. L. Stellmacher // Nachr. Akad. Wiss., Göttingen, Math. - Phis. К.1. IIa, 1953. — Bd 10. - P. 133 - 138.

[117] Weinsten, A. On the wave equation end equation of Euler-Poisson /А. Weinsten // Proc. Fieth. Symp. Appl. Math. — AMS. - 1957. — P. 137 - 147.

[118] Zalcman, L. Mean values and differential equations / L. Zal-cman // Israel J.Math. — 1973. — V. 14. — P. 339 - 352.

[119] Половинкин, И. П. Обращение теоремы о среднем значении для волнового уравнения / И. П. Половинкин // Дифференциальные уравнения. — 1991. — Т. 27, №11. — С. 1987 - 1990.

[120] Иванов, JI. А. О некоторых свойствах оператора Бельтрами в римановой метрике / JI. А. Иванов, И. П. Половинкин// Доклады Академии наук РФ. — 1999, — Т. 365, №3. — С. 306 -309.

[121] Meshkov, V. Z. Mean value properties of solutions of linear partial differential equations / V. Z. Meshkov, I. P. Polovinkin // Journal of Mathematical Sciences. — 2009. — Vol. 160, №1.

- P. 45 - 52.

[122] Мешков, В. 3. О получении новых формул среднего значения для динейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / В. 3. Мешков, И. П. Половинкин / / Дифференциальные уравнения.

- 2011. — Т. 47, №12. — С. 1724 - 1731.

[123] Половинкин, И. П. Дополнения к свойствам средних значений решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / И. П. Половинкин // Дифференциальные уравнения. — 2011. — Т. 47, №11. — С. 1669 - 1671.

[124] Половинкин, И. П. К исследованию линейной модели Т.Пу динамики доходов с учетом межрегиональной торговли / И. П. Половинкин // Дифференциальные уравнения. — 2012.

- Т. 48, №6. - С. 902 - 903.

[125] Половинкин И.П. О стационарных нулях решений линейных эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49, №1. — С. 132 - 136.

[126] Половинкин, И. П. К теоремам о среднем значении для линейных уравнений в частных производных / И. П. Половинкин / / Труды семинара имени И. Г. Петровского. — 2013. — Вып. 29. — М. : Издательство Московского государственного университета, 2013. — С. 396 -404.

[127] Ляхов, Л. Н. Об одной задаче И.А. Киприянова для сингулярного ультрагиперболического уравнения / Л. Н. Ляхов, И. П. Половинкин, Э. Л. Шишкина // Дифференциальные уравнения. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 516 - 528.

[128] Мешков, В. 3. Об устойчивости стационарного решения уравнения Хотеллинга / В. 3. Мешков, И. П. Половинкин, М. Е. Семенов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2002. — Т. 9, вып. 1. — С. 226 - 227.

[129] Половинкин, И. П. О свойствах одного семейства римановых метрик / И. П. Половинкин // Вестник Воронежского государственного университета. - Серия: Физика. Математика. — 2005. — Ш. — С. 208 - 209.

[130] Половинкин И.П. Двухточечные теоремы о среднем для некоторых уравнений второго порядка / И. П. Половинкин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006. - Т. 13, вып. 3. - С. 533

[131] Половинкин, И. П. О некоторых аспектах принципа Гюйгенса в экономико - математических приложениях / И. П. Половинкин / / Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2006. — Т. 13, вып. 3.

- С. 533 - 534.

[132] Половинкин, И. П. Приближение волн, удовлетворяющих принципу Гюйгенса, диффундирующими волнами / И. П. Половинкин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2007. — Т. 14, вып. 2.

- С. 333 - 335.

[133] Мешков, В. 3. О свойствах средних значений решений линейных уравнений в частных производных / В. 3. Мешков, И. П. Половинкин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. — Т. 15, вып. 1. — С. 161 - 162.

[134] Половинкин, И. П. О множестве безнадежности в линейной непрерывной модели Пу распределения дохода / И. П. Половинкин // Системы управления и информационные технологии. — 2008. — №1.2(31). — С. 253

- 256.

[135] Половинкин, И. П О принципе Гюйгенса в линейной непрерывной модели Пу распределения дохода. / И. П. Половинкин / / Системы управления и информационные технологии. — 2008. — №3(33). — С. 18 - 20.

[136] Половинкин, И. П. Об одном семействе сингулярных гиперболических уравнений, удовлетворяющих принципу Гюйгенса / И. П. Половинкин // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2005. — Т. 12, вып. 3. — С. 762.

[137] Мешков, В. 3. О символическом подходе к изучению свойств средних значений решений линейных дифференциальных уравнений / В. 3. Мешков, И. П. Половинкин // Системы управления и информационные технологии. — 2009. — №3.1(37).-С. 167- 170.

[138] Половинкин, И. П. О некоторых следствиях из теоремы о среднем A.B. Бицадзе и A.M. Нахушева для волнового уравнения и их применениях / И. П. Половинкин // Системы управления и информационные технологии. — 2009. — №3.1(37).-С. 193- 195.

[139] Половинкин, И. П. К свойствам решений линейных уравнений в частных производных / И. П. Половинкин / / Вестник Челябинского университета. Математика. Механика. Информатика. Выпуск 12. — 2010. — №23 (204).

- С. 59 - 66.

[140] Половинкин, И. П. О стационарных нулях решений линейных эллиптических уравнений в частных производных / И. П. Половинкин // "Научные ведомости БелГУ". серия "Математика. Физика". — 2011 — №5 (100), выпуск 22. — С. 99 - 105.

[141] Половинкин, И. П. Об одном следствии из теоремы о среднем A.B. Бицадзе и A.M. Нахушева / И. П. Половинкин // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. — 2011. — Т. 13, №11. — С. 49 - 56.

[142] Половинкин, И. П. К исследованиям линейной непрерывной модели Т. Пу распределения дохода / И. П. Половинкин // "Научные ведомости БелГУ". серия "Математика. Физика". - 2011 — №17 (112), выпуск 24. — С. 111 - 124.

[143] Половинкин, И. П. Обращение теоремы о среднем для присоединенных функций оператора Лапласа / И. П. Половинкин // Весенняя Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения - V": Тез. докл., 25-29 апр. 1994г. - Воронеж, 1994. — С. 117.

[144] Половинкин, И. П. Формулы среднего значения для присоединенных функций оператора Бельтрами в плоскости Лобачевского / И. П. Половинкин // Вестник факультета прикладной математики и механики: Вып. 1. — Воронеж: ВГУ, 1998. - С. 147 - 151.

[145] Мешков, В. 3. Математическая модель построения синтетических сейсмограмм /В. 3. Мешков, Л. А. Иванов, И. П. Половинкин, С. А. Гладких С. А. Джабанишвили / / Математическое моделирование систем: методы, приложения и средства. Сборник научных трудов. — Воронеж, ВГУ, 1999. — С. 119 - 121.

[146] Половинкин, И. П. Формулы средних для оператора Лапласа-Бельтрами в римановой метрике / И. П. Половинкин / / Математическое моделирование систем: методы, приложения и средства. Сборник научных трудов. — Воронеж, ВГУ, 1999. — С. 137 - 142.

[147] Мешков, В. 3. К свойствам решений линейных уравнений в частных производных / В. 3. Мешков, И. П. Половинкин // Черноземный альманах научных исследований. — Серия "Фундаментальная математика". — 2007. — Вып. 1 (5). — С. 3-11.

[148] Половинкин, И. П. О некоторых следствиях из теоремы о среднем A.B. Бицадзе и A.M. Нахушева для волнового уравнения / И. П. Половинкин // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2007. — Т. 9, т. - С. 69-72.

[149] Половинкин, И. П. Формула среднего значения в модели Пу межрегиональной торговли / И. П. Половинкин / / Современные проблемы механики и прикладной

математики: сборник трудов международной школы-семинара; Воронежский государственный университет. — Воронеж: Научная книга, 2007. — С. 288 - 290.

[150] Половинкин, И. П., О структуре множества кратных нулей решения эллиптического уравнения и о множестве безнадежности в непрерывной модели Пу распределения дохода / И. П. Половинкин // Черноземный альманах научных исследований. - Серия "Прикладная математика и информатика". — 2007. — Вып. 2 (6), — С. 9 - 17.

[151] Половинкин, И. П. О некоторых следствиях из теоремы о среднем A.B. Бицадзе и A.M. Нахушева для волнового уравнения и их приложениях к исследованию непрерывной модели Пу распределения дохода при условии межрегиональной торговли / И. П. Половинкин / / Системное моделирование социально-экономических процессов: труды 30-ой международной научной школы-семинара, г. Руза Московской области. 27 сентября — 1 октября 2007 г. : Ч. 2 — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007. — С. 234 - 237.

[152] Половинкин, И. П. Обращение теоремы о среднем для волнового уравнения / И. П. Половинкин / / Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции: Междунар.науч.конф., 24-31 мая 1992г. : Тез. докл. — Самара, 1992. — С. 201.

[153] Половинкин, И. П. Формула среднего для присоединенных функций оператора Бельтрами / И. П. Половинкин // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез.докл. (28 янв. - 4 февр. 1997г.) — Воронеж, 1997. — С. 133. — (Воронежская зимняя математическая школа).

[154] Половинкин, И. П. Формула среднего значения в модели Пу межрегиональной торговли / И. П. Половинкин / / Современные проблемы механики и прикладной математики: сборник трудов международной школы-семинара; Воронежский государственный университет. — Воронеж: Научная книга, 2007. — С. 288 - 290.

[155] Половинкин, И. П. О свойствах одного семейства римановых метрик / И. П. Половинкин // Прикладные задачи математики и механики: материалы XVIII

международной научно-технической конференции 13 -17 сентября 2010 г. — Севастополь: Издательство СевНТУ,

2010. — С. 202 - 205.

[156] Половинкин, И. П. О размерности множества кратных нулей решения эллиптического уравнения / И. П. Половинкин // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: тезисы докладов. Суздаль, 2-7 июля 2010 г. — М., 2010. — С. 149 - 150.

[157] Половинкин, И. П. К свойствам решений сверточных уравнений / И. П. Половинкин // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XXI".

— Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2010. — С. 151.

[158] Мешков, В. 3. Изучение свойств средних значений решений линейных дифференциальных уравнений с помощью преобразования Фурье / В. 3. Мешков, И. П. Половинкин // Прикладные задачи математики и механики: материалы XIX международной научно-технической конференции 12 -16 сентября 2011 г. — Севастополь: Издательство СевНТУ,

2011. — С. 130 - 131.

[159] Половинкин, И. П. Некоторые формулы среднего со спектральным параметром / И. П. Половинкин / / Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 17 -21 октября 2011 г.) — Белгород: ИПК НИУ "БелГУ", 2011.

- С. 92 - 93.

[160] Мешков, В. 3. Символический подход к свойствам средних значений решений линейных уравнений в частных производных / В. 3. Мешков, И. П. Половинкин // Международная конференция, посвященная 110-й годовщине И.Г. Петровского. XXIII совместное заседание математического общества и семинара И.Г. Петровского. Москва, 30 мая - 4 июня 2011 г. : Тезисы докладов. — М. : Изд-во МГУ и ООО "ИНТУИТ.РУ", 2011. - С. 274.

[161] Мешков, В. 3. К свойствам средних значений решений уравнений в частных производных / В. 3. Мешков, И. П. Половинкин // Современные проблемы математики, механики и их приложений. Материалы международной конференции, посвященной 70-летию академика В. А. Садовничего. — М. : Изд-во "Университетская книга", 2009.

- С. 190.

[162] Половинкин, И. П. О средних значениях решений дифференциальных уравнений / И. П. Половинкин // Международная конференция "Анализ и особенности", посвященная 75-летию Владимира Игоревича Арнольда. Москва, МИАН, 17 - 21 декабря 2012 г. : тезисы докладов.

— М. : МИАН, 2012. — С. 92 - 94.

[163] Половинкин, И. П. О линейной модели Т.Пу / И. П. Половинкин // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 29 июня - 4 июля 2012 г. : Тезисы докладов. — Суздаль, 2012. — С. 139 - 140.

[164] Ляхов, Л. Н. О сопровождающих распределениях сингулярных дифференциальных уравнений / Л. Н. Ляхов, И. П. Половинкин, Э. Л. Шишкина // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды международной научной конференции 26 - 30 июня 2013, г. Стерлитамак. — Уфа: РИЦ БашГУ. — 2013. — С. 179 - 184.