Эллиптические полилогарифмы. Общая теория и приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор наук Левин Андрей Михайлович

• Левин Андрей Михайлович
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Левин Андрей Михайлович

Оглавление.

Введение

1 Эллиптические полилогарифмы

1.1. Полилогарифмы Дебая

1.2. Определение и первые свойства эллиптических полилогарифмов.

6-7

1.3. Ряды Эйзенштейна-Кронекера и эллиптические полилогарифмы.

7-8

1.4. Модулярные свойства эллиптических полилогарифмов

1.5. Ходжева интерпретация эллиптических полилогарифмов. Абстрактно когомологический подход к эллиптическим полилогарифмам.

9-10

2. Полилогарифмические формы на торах

2.1. Полилогарифмы на семействах метризованных торов

2.2. Рациональность дзета значений для вполне вещественных полей.

11

2.3. Полилогарифмы на абелевых многообразиях

3. Эллиптические 1-2-3-логарифмы

3.1. Группа абстрактных 1-логарифмов

3.2. Эллиптический дилогарифм и значения L-функций эллиптической кривой

13

3.3. Эллиптический трилогарифм в CM-точке и классический дило-гарифм в алгебраических числах

4. Дифференциальные формы на степенях эллиптической кривой

4.1. Группы когомологий конфигурационных пространств

4.2. Эллиптические наборы

5. Список публикаций

6. Основные результаты

Список Литературы

Приложение А. ^атья 1. Topological polylogarithms and p-adic interpolation of L-values of totally real fields.

Приложение B. ^атья 2. Cohomology of the complement to an elliptic arrangement.

Приложение C. Статья

Приложение D. Статья

Приложение E. Статья

Приложение F. Статья

Приложение G. Статья

Kronecker double series and the dilogarithm. Polylogarithmic currents on abelian varieties. Zagier's conjecture on L(E,2). Elliptic polylogarithms: an analytic theory. The elliptic polylogarithm.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эллиптические полилогарифмы. Общая теория и приложения»

Введение.

Понятие эллиптической кривой было оформлено в XIX веке. Одновременно мультипликативная группа была проинтерпретрована как множество гладких точек особого слоя в семействе эллиптических кривых. Более того, многие естественные геометрические объекты на мультипликативной группе оказываются регуляризованными ограничениями некоторых объектов на эллиптических семейсвах. Мы применяем эту идеологию к случаю полилогарифмов.

Последние были предметом интенсивных исследований во все том же XIX веке.

Мы строим набор функций на Н х С \ {т, Zт ф Z} посредством взвешенного усреднения классических полилогарифмов и применением к этим расходящимся рядам процедуры £ регуляризации. Полученные так аналитические функции мы называем эллиптическими полилогарифмами.

Мы исследуем свойства этих функций в той же степени общности что и исвестные свойства классических полилогарифмов

В частности, мы показываем, что эллиптические полилогарифмы, также как и классические полилогарифмы, могут быть интерпретированы как периоды некоторого ходжева пучка. Этот факт дает возможность определить соответствующий ходжев пучок используя чисто когомологическую технику, а последнее позволяет определить полилогарифмы в боле широком контексте, как, например, для других теорий когомологий или /и размерностей торов Более того, понятие эллиптических полилогарифмов проясняет некоторые конструкции в теории классических полилогарифмов.

Обобщения полилогарифмов оказываются весьм полезным инструментов в геометрических доказательствах некоторых известных результатов, таких как теоремы Клинберга-Зигеля о значениях дзета функции или Манина-Дринфельда о периодах рядов Эйзенштейна.

1 Эллиптические полилогарифмы.[7] 1.1 Полилогарифмы Дебая.

Полилогарифмы впервые были определены Леонардом Эйлером как (аналитические продолжения) сходящихся в единичном диске рядов

^ з

з=1 7

Они изучались такими крупнейшими математиками прошлого как Абель, Лобачевский, Куммер и Рамануджан. В отличии от других высших трансцендентных функций Эйлера, полилогарифмы были практически забыты на долгое время. Лишь недавно они стали играть важную роль в различных областях математики и математической физики, например, в описании когомологий алгебраических групп или в теории кластерных многообразий.

По техническим причинам нам удобнее оперировать с вариантом полилогарифмов, известным как полилогарифмы Дебая.

Определение 1.1 пый полилогарифм Дебая Ли(р) это многозначная аналитическая функция на С \ Ъ заданная интегралом:

гги-1__¿г

и(р) = ./5 (п - 1)! ехр(—2пй) - 1. Легко проверить что:

п ри-к

a) Лп = (-2пг)-к Ык (г);

к = 1 ( )!

и (_р)и-к

b) Ьги(г) = (—2^)и £ Лк(р),

к=1 ( )!

где г = ехр(2пгр)

Полезно ввести производящую функцию

Л(р; К) = ]Г Ли(Р)Ки-1 = / —1 ^ £

ехр(кг) ¿г £ ехр(—2пй) — 1

При 'Э(р) > 0 выделена естественная ветвь этого объекта, для 'Э(р) < 0 зафиксируем две ветви Л± посредством выбора пути интегрирования пере-секаюшим вещественную ось внутри интервала (0, ±1).

Предложение 1.1 Производящая функция Л(р; К) ковариантна по отношению к сдвигам и заменам знакагв:

Л(р + з; К) = ехр(зК)Л(р; К), при 9(р) > 0

Л+(4 + г, К) = Л"(-4; -К) + ехр(4К) ехр(К)

К ехр(К) - 1

Более того, прямой образ этой функции под действием умножения на натуральное число совпадает с ней самой:

X; ехр (-К) Л(4 + N; К) = Л(Ж£; §)

3=0 ^ '

1.2 Определение и первые свойства эллиптических полилогарифмов.

Эллиптические полилогарифмы являются многозначными аналитическими функциями на проколотой эллиптической криввой. Мы реализуем эллиптическую кривую как фактор С по решетке Ь = Zт ф Z. Таким образом, эти функции описываются как функции на С \ Zт ф Z

Определение 1.2 Эллиптический полилогарифм (Дебая) Лт,п(4, т) с индексами (т, п) это многозначная функция на (С х Н) \ Ь, определенная рядом

1 / ^ ^

1 I X ^ .ОТ-, 1 I / . . ч / ^ ч ™ X ^ .т .

Лт,„(е,т) = - ^+^т) + (-1)т+-+^^л-(-е+^

т' \3=0

п к_к л И И \

+ у^ 4 т Вт+к + 1 + / 1)п+1 Вп Вт+1 \

+ ^ (п - к)'к! т + к + 1+( ) п!(т + 1) / '

к=0

Замечание 1.1 Однозначная версия эллиптического полилогарифма была введена Спенсером Блохом [В] для т + п = 3 и Загье ^2][Ргор.2(п),(т)] для произвольных т, п (см. также Теорему 4.2).

Теорема 1.1 Модифицированная производящая функция

Л(4,т; Х,У ) =

1

X Л.,„(«,т)(-у)"-1х" +, у**уу+ X) +

„>0,м <"У)<-ут + х) (ехрг -

ковариантна при сдвигах на 'решетку Zт ф Z:

А(4 + 1,т; Х,У)=ехр(-У) (л(4,т; Х,У) + ехрХу-г) */0 < О4 < От, А(4 + т,т; Х,У) = ехр(-X)А(4,т; Х,У)) ^0 < К43т - О^т < От.

Более того, прямой образ этой функции под действием умножения на натуральное число совпадает с ней самой:

N-1 ( 'Y \

Y, ехР jT Л(£ + N, т; X, Y) = Nt; X, N)) if 0 < Э£ < Эт. j=o V '

С очевидностью Л0 т) = —^ log(0(£, т)/п(т)),

2пг

w w

0(£,т) = iq8 (z-2 -z2) П ((1 - qjz)(1 - z-1)(1 - qj)) , п(т) = q24 П^')

j=1 j=l

1.3 Ряды Эйзенштейна-Кронекера и эллиптические полилогарифмы.

Напомним классические результаты Кронекера : БОбозначим через Ь решетку порожденную 1 и т. Любое число п € С определяет характер хп решетки Ь

Хп (С) = ехр(2пг^П-|П).

т — т

Тогда Z1] ряд Эйзенштейна-Кронекера веса 1 задается как

ХпЫ

Ki(e,n, 1) = Е

w + £ web s

(где e обозначает суммирование по Эйзенштейну [W]) и выражается как K1(£,n, 1) = 2П exp(2n¿£—П )F (£,п,т), (1)

1 1 w

F(£,П,т) = 1-----V (zmwn - z-mw-n)qmn

1 - z 1 - w

m,n=1

Эт > Э£ > 0, Эт > Sn > 0 Для неголоморфных рядов Эйзенштейна

, n v^' Xn(w)

efc,í(п,т) = е_^т

í wk wl

weL

модифицированная производящая функция по отношению к переменным П, n имеет вид

Ko(n,£,1) = Е • ^

weL

Теорема 1.2

a) ЛЛ(е, Т; X, Y) = e-Y«F(4, -YTn+X, т);

b) |тЛ(4,т; X,Y) = dXF(4, -

дТ Л1

(2) (3)

Теорема 1.3 Мнимая часть подкрученной производящей функции эллиптических полилогарифмов

равна - (2—2 Ко(П 4,1)

Замечание 1.2 Утверждение предыдущей теоремы означает что эллиптические аналоги полилогарифмов Блоха-Вигнера-Загье являются неголоморфными рядами Эйзенштейна.

1.4 Модулярные свойства эллиптических полилогариф-

Из выражения дифференциала производящей функции эллиптических полилогарифмов через функцию Кронекера ^ и модулярных свойств последней можно получить, что производящая функция эллиптических полилогарифмов модулярна с точностью до аддитивной константы - периода по 4 и т степенного ряда от X и У.

Поскольку модулярная группа сплетает действие решетки сдвигами, эти степенные ряды могут быть явно вычислены и оказываются рядами с рациональными коэффициентами. Сформулируем утверждение в точности:

Теорема 1.4 Модифицированная производящая функция А(4, т; X, У) ко-вариантна по отношению к действию модулярной группы:

CM является рядом Лорана от X и Y с рациональными коэффициентами, Более того, прямой образ этой функции под действием изогении совпадает с ней самой с точностью до прибавления ряда Лорана от переменных X and Y с рациональными коэффициентами:

Е e<K,(X,Y )>Л(4 + к, т; X, Y) = Л(Х ст+d, ; , )+Cm (X, Y),

мов.

Л(cT+d, ; aX + bY, cX + dY) = Л(4, т; X, Y) + Cm(X, Y),

ке/с

for к = ^ S J we Put < к, (X, Y) >= rY — sX, является рядом Лорана от X и Y с рациональными коэффициентами,

Вторая часть теоремы следует из первой и разложения любой изогении в композицию модулярных преобразований и умножений на натуральные числа. Точка N-кручения на универсальной эллиптической кривой является модулярной кривой уровня N и ограничение дифференциала модифицированной производящей функции А(£, т; X, Y) эллиптических полилогарифмов совпадает с модифицированной производящей функцией рядов Эйзенштейна этого уровня. Из этого и рациональности периодов одифици-рованной производящей функции А(£, т; X, Y) выводится новое доказательство следующей теоремы Ю.Манина и В.Дринфельда

Теорема 1.5 Периоды рядов Эйзенштейна любого уровня и веса большего чем 2 рациональны.

1.5 Ходжева интерпретация эллиптических полилогарифмов. Абстрактно когомологический подход к эллиптическим полилогарифмам[6]

Данные {QX © QY С CX © CY D C(X — tY)} являются структурой Ходжа на группе первых гомологий H эллиптической кривой. Действия генераторов +1 and +т фундаментальной группы кривой заданные как умножения на exp(—Y) и exp(— Y) соответственно на кольце Q[[X, Y]] формальных степенных рядов от X и Y определяет фильтрованную локальную (про)систему на эллиптической кривой Комплексификация этой локальной системы снабжается голоморфной фильтрацией Ходжа по правилу F-p =< (X — tY)qYp exp(— £Y) >C для любого натурального q и, тем самым, дает ходжев пучок L на кривой. Можно определить расширение P постоянной локальной системы H (с образующими X' and Y') посредством L над проколотой кривой явно заданным представлением, матричные элементы которого содержат периоды модифицированной производящей функции эллиптических полилогарифмов. На комплексификации этого расширения посредством производящей функции эллиптических полилогарифмов вводится ходжева фильтрация. Свойства А(£, т; X, Y) влекут то, что полученная фильтрация определяет ходжеву структуру на локальной системе P Этот ходжев пучок является расширением постоянного пучка H посредством L над проколотой эллиптической кривой. Этот пучок также называется эллиптическим полилогарифом. Это расширение может быть обобщено для любой "разумной"теории когомологий

Рассмотрим эллиптическую кривую E с нейтральным элементом 0. Обозначим через H постоянный пучок на E, чьи слои совпадают с первыми гомологиями кривой. обозначим через L группоид Пуанкаре путей из нейтрального элемента 0 в переменную точку. Определено отображение аугментации из L в тривиальный пучок отвечающее взятию гомологического класса пути.

Теорема 1.6 Сужествует нетривиальное 'расширение H посредством С на проколотой кривой E \ 0. Подобное расширение однозначно определяется расширением H тривиальным пучком, полученным применением отображения аугментации.

2 Полилогарифмические формы на торах.

Понятие полилогарифмов может быть обобщено для более общей ситуации. В этой секции пы предъявим два примера.

2.1 Полилогарифмы на семействах метризованных торов[1]

. Рассмотрим d-мерный тор T = V/H, где H свободная абелева группа ранга d, V = Hr = H (Z R Обозначим через 0 нейтральный элемент T = образ 0 G V. Фундаментальная группа ni(T, 0 с очевидностью равна H. Обозначим R = Q[H] групповую алгебру H и через I С R идеал аугментации, положим R - унипотентное поплнение R.

Подрешетка H' С H конечного индекса определяет изогенный тор T' = V/H', H/H' А T' А T. Имеются канонические вложения Q[H'] А Q[H] и

R' а R.

Пополненное регулярное представление H на R определяет локальную систему С на T. Имеется каноническое отображение прямого образа ф*С' А С.

Группы когомологий T с коэффициентами в С равны группам когомо-логий H с коэффициентами в регулярном представлении R, и потому они тривиальны за исключением старших, а эта последняя равна Q.

Последовательность Майера-Вьеториса для покрытия { формальная окрестность 0,T \ °} показывает, что H<d-1(T \ С = 0 и Hd 1 (T \ °, С) = I.

Имеется естественное вложение Hq а I, поэтому существует выделенный SL(H) инвариантный класс в Hd-1(T \ 0, Hom(H, С)). Этот класс совместим с прямыми образами при изогенияхТ

Этот класс может быть реализован следующим образом. Введем в рассмотрение стягиваемую область Bh положительно определенных метрик на V. Группа SL(H) действует на B х (T\°) и на локальной системе Hom(H, С), поднятой со второго сомножителя. Рассматриваемый класс когомологий представляется замкнутой Hom(H, С)к-значной дифференциальной (d — 1) формой P на факторе (B х (T \ °))/SL(H) в смысле орбиобразия. Эта форма легко строится как ряд Фурье по H \ 0.

Эта форма ковариантна по отношению к прямому образу при изогениях тора.

По построению класс этой формы рационален,стало быть ее периоды рациональны.

2.2 Рациональность дзета значений для вполне вещественных полей.[1]

Мы применим конструкцию предыдущей подсекции к подрешеткам кольца целых алгебраических чисел вполне вещественного поля, точнее к идеалам максимального порядка.

Пусть О - максимальный вполне вещественный порядок ранга Тогда О ® М = М®^ является координатным векторным пространством. Рассмотрим область В^;ав положительно определенных диагональных метрик объема 1 на О ® М. Группа единиц О* действует на Ва;ав; и фактор В^ав/О* является тором размерности ! — 1.Группа О* вложена в БЬ(О). Стал быть Ва^/О* может быть интерпретировано как ! — 1 цикл в Во/ЯЬ(О).

Пусть а - идеал О. Он и будет рассматриваемой решеткой. Полиномиальная функция Могшк на а задает отображение Д ^ <Ц>, обозначим через №(к) : Нош(Н, £) ^ Нош(а, а) отображение индуцированное а значной функцией Могшк И0 на а. Тем самым имеются формы 0к = ^(Ж(к)(Р)) на (В х (Т \ 0))/8Ь(Н). При к > 0 эти формы гладко продолжаются в нулевое сечение 0. Обозначим через г к ограничение этих форм на нулевое сечение 00 .

Теорема 2.1 Интеграл (! —1) формы гк по (!—1) циклу рационально пропорционален значению частичной С-функции класса идеалов идеала в а в точке 1 — к.

В сочетании с рациональностью класса Р мы получаем

Теорема 2.2 (К1тЬетдег-Б1еде1) Для вполне вещественного поля значения частичной С-функции класса идеалов в отрицательных целых рационально.

Можно апределить циклы интеграл гк по которым связан со значением дзета функции класса лучей.

Введение разумной целочисленной структуры на локальных системах выше позволяет получить условия сравнения для значений дзета функций.

2.3 Полилогарифмы на абелевых многообразиях.[4]

Понятие полилогарифма на абелевых многообразиях или, более общо, на смешанных многообразиях Шимуры было введено Вильдесхаусом (Рое^ '^ЫевЬаиэе). Мы предъявим соответствующие дифференциальные формы.

Абелево многообразие над С может быть описано следующим образом. Пусть Н свободная абелева группа четного ранга ! = 2п. Разложим Не в прямую сумму Не = Н(0'-1)©Н(-1'0) так что Н(0 >-1) = Н(-1'0). Тогда Ан = Не/(Н+Н°>-1) будет тором с комплексной структурой. Таким образом, как Смногообразие А может быть описано спообом из предыдущей подсекции с V = Н(-1>0). мы будем использовать обозначения из этой подсекции.

Мы построим дифференциальную форму РНс,аве на самействе абелевых многообразий совместимых с разложением Ходжа:

(РНса8е, РН'са8е) е Иош(Н0'-1, £) ( Л^-1 0 Иош(Н-1'0, £) (

таких,что PHodge = Pn'odge и Hodge -PH'odge = dG для некоторой (d-1, d-1) формы G.

Эта конструкция позволяет построить набор примеров зигелевых форм с рациональными периодами.

3 Эллиптические 1-2-3-логарифмы. 3.1 Группа абстрактных 1-логарифмов.[5]

Определение абстрактных 1-логарифмов основано на конструкции Делиня спаривания обратимых пучков на кривой. По конструкции 1-логарифмы порождают абелеву группу, являющуюся расшерением симметрического квадрата группы точек на кривой посредством мультипликативной группы поля.

Торсор [¿1, ¿2], называемый спариванием Делиня обратимых пучков ¿1 и ¿2 на алгебраической кривой билинейно и симметрично зависит от обратимых пучков. Для общих сечений о£ можно определить элемент < «1, «2 > торсора [¿1, Т2] подкрученного на подходящую степень проколотого касательного пространства в точке пересечения носителей дивизоров этих . Для эллиптической кривой касательные пространства в различных точках канопически изоморфны посредством сдвига.

Для точки а эллиптической кривой X обозначим через Та обратимый пучок 0(а — 0) где 0 обозначает нейтральный элемент эллиптической кривой, ва - каноническое мероморфное сечение этого пучка. "Квадрат" < ва, ва > этого канонического сечения ва принадлежит [Та,Та] ( Т2, То обозначает проколотое касательное пространство в нейтральном элементе.Двенадцатая степень То12 торсора То тривиализуется дискриминантом Д.

Наивно абстрактный 1-логарифм это логарифм абстрактной тэта-функции, что означает не более чем замену операции с "умножения"на "сложение".

Определение 3.1 Абстрактный 1-логарифм Ы^(а) от а определен как противоположный к половине логарифма нормализованного корня из <

«а, «а > ■

ехр(£г?" (а)) = Д А < «а, «а >-2 е [¿а, Ьа]-02

По билинейности спаривания [¿1,Т2] произведение [Та,Та]0"а является тривиальным торсором, если ^ паа2 = 0. Таким образом, для группы А к-точек X имеется отображение из ядра отображения <[А] А Буш2 А ( < в &*.

Обозначим ядро последнего отображения через

Определение 3.2 Группой абстрактных 1-логарифмов называется фактор ©1^) = <[А]/^Ь

3.2 Эллиптический дилогарифм и значения L-функций эллиптической кривой.[5]

Напомним что для поля F вторая K-группа определяется как K2(F) = Д F*/(аЛ(1 — а)), Для локального поля F с полем вычетов k ручным символом называется отображение т : K2(F) ^ k*,T(/Л#) = ( — 1)ord(f)ord(g)gord(/)/ford(S). Для кривой X ее K-группа состоит из элементов второй K-группы поля функций с тривиальными ручными символами во всех точках кривой.

Отображение / Л g ^ log |#|(д — д) log |/1 — log |/|(д — д) log |g| отображает K2 кривой в замкнутые потоки на римановой поверхности комплексных точек кривой. Класс когомологий этого потока называется регулятором Блоха. Обычно он распознается интегрированием его произведения с голоморфной формой.

В своей краеугольной работе С.Блох исследовал регулятор на эллиптической кривой. Он показал что интеграл выражается как линейная комбинация значений неголоморфных рядов Эйзенштейна ( интерпретируемыми как однозначные эллиптические дилогарифмы) в разностях точек дивизоров функций. Для этого он использовал теорию тэта-функций (=одинлога-рифмов) на римановой поверхности.

Известно, что для эллиптической кривой E над Q это значение с точностью до рационального множителя равно значению L-функции этой эллиптической кривой в s = 2

В духе идеологии гипотез Загие было бы естественно описать условия на аргументы эллиптических дилогарифмов.

Теорема 3.1 Для любой эллиптической кривой E над Q значение L(E, 2) ее L-функции в 2 с точностью до п рационального множителя равно значению однозначного эллиптического дилогарифма в дивизоре Р = Y1 niPi таком, что Y1 пР3 = 0. Более того, Этот дивизор удовлетворяет дополнительным кубическим соотношениям, включающим локальные высоты, кроме того, выполняются условия целостности для простых чисел в которых кривая имеет расшепляющуюся мультипликативную редукцию.

Доказательство основано на понятии абстрактного 1-логарифма, введе-ного в предыдущей подсекции. Разложим логарифм эллитической функции в алгебраическую комбинацию эллиптических 1-логарифмов. В результате ручной символ пары функций выражается как набор алгебраических комбинаций значений 1-логарифмов сконцентрированных в точках кривой. после факторизации по ручным символам с постоянными функциями получаем комбинацию элементов ©i(X) ® Jac(X) вида [а — b] ® (а — b), где а и b означают точки дивизоров функций. Таким образом, зануление ручного символа оказывается кубичным соотношением.

3.3 Эллиптический трилогарифм в СМ-точке и классический дилогарифм в алгебраических числах.[3]

Эта подсекция, как и предыдущая лежит в русле подхода Загие к значениям Ь-функций. Мы будем обсуждать значения ^-функции Дедекинда гильбертовых полей классов мнимо-квадратичных полей. Значения ^-функции Дедекинда в 2 непосредственно выражается через значения некоторых неголоморфные ряды Эйзенштейна , отвечающих эллиптическому трилогарифму. Согласно (доказанной для в = 2) гипотезе Загье, эти значения выражаются через значения дилогарифма Блоха-Вигнера в алгебраических числах. В связи с этим, естественно ожидать, что значения эллиптического трило-гарифма в СМ-точке равно алгебраической комбинации значений дилога-рифма Блоха-Вигнера в конкретных алгебраических числах. Мы докажем следующий точный результат:

Теорема 3.2 Значение "средней"компоненты однозначного эллиптического трилогарифма в СМ-точке с точностью до элементарнрго мультипликативного множителя равно алгебраической комбинации значений дилогарифма Блоха-Вигнера от отношений значений функций Вейерштрасса в точках кручения.

Доказательство инспирировано явными формулами Гончарова для регулятора Блоха-Белинсона на символной части К-теории. Как следствие этих формул, Гончаров предъявил интегральное представление дилогариф-ма Блоха-Вигнера. Областью интегрирования здесь является проективная прямая, а интегрантом результат применения регуляторной формулы к однозначным 1-логарифмам.

Основным трюком докозательства является аналогичное интегральное представление эллиптического трилогарифма интегралом по квадрату эллиптической кривой от применения регуляторной формулы к эллиптическим 1-логарифмам. Кроме того, мы вводим в рассмотрение дополнительную функцию - эллиптический (1,1)-логарифм как аналогичный интеграл по эллиптической кривой.

Эллиптический (1,1)-логарифм связан с дилогарифом Блоха-Вигнера посредством двойного накрытия эллиптической кривой проективной прямой. С другой стороны, СМ-кривая вкладывается в свой квадрат как график комплексного умножения и интеграл по кривой реализуется как интеграл по квадрату.

4 Дифференциальные формы на степенях эллиптической кривой.[2]

В этой секции мы обсуждаем результаты, не столь близкие в основной теме диссертации, основным техническим средством является дифференцмал производящеу функции эллиптических полилогарифмов.

4.1 Группы когомологий конфигурационных пространств.

Фиксируем целое число N. Обозначим через X Ж-ую сткпень кривой X^.

Для п < N рассмотрим п различных точек ъ = {¿1, • • • 5„} на X приходящих из точек ъ = {¿1, • • • на С.

Определение 4.1 Дискриминантный набор Сх это набор дивизоров -.7 к диагонали и Н,а вида X'7-1 х ¿^ х X^-

дополнение к этому набору это конфигурационное пространство Mj N точек на X \ р| za.

Стало быть, данные w = jwj} N комплексных чисел определяет одномерную локальную систему Lw задаваемую представлением фундаментальной р : {(jт + mj)} А exp(2ni jWj)

Можно дать явное условие общности положения такой локальной системы, отвечающие им данные w = {wj} мы называем дискриминантально удобным.

Теорема 4.1 Для дискриминантально удобного набора w = {wj} группы когомологий Hj(Mz, Lw) зануляются 0 < j < N и сопадают с группой HN(Mz, C) для аффиного набора Mz для j = N.

Доказательство основано на рассмотрении спектральной последовательности дополнкния к дивизору. Ее вырождение во втором члене следует из явной конструкции требуемых дифференциальных форм с логарифмическими особенностями. Эти формы определяются как произведения производных модифицированных производящих функций эллиптических полилогарифмов Ki(*, *, 1) из подсекции 1.3.

4.2 Эллиптические наборы.

Как и в предыдущей подсекции мы обозначаем через X Nую степень XN кривой X.

В этой эллиптической ситуации можно определить понятия эллиптическая N — k-плоскости, набора гиперплоскостей и трансверсального набора по аналогии с аффинным случаем. Кроме того, дается определение данных w = {wj} удобных для набора.

Для удобных данных имеется комбинаторное описание когомологий дополнения набора с коэффициентами в локальной системе [?, Theorem 5.1].

Теорема 4.2 Для удобных данных w когомологии дополнения к набору зануляются во всех размерностях, кроме старшей, старшая группа равна прямой сумме локальных алгебр Орлика-Соломона для каждого пересечения нулевой размернрсти. Более того, представляющие эти классы формы могут быть явно описаны аналогично случаю дискриминантального набора.

5 Список публикаций

1. Beilinson Alexander; Kings Guido; Levin Andrey Topological polylogarithms and p-adic interpolation of L-values of totally real fields. Math. Ann. 371 (2018), no. 3-4, 1449 -1495.

2. Levin Andrey; Varchenko Alexander Cohomology of the complement to an elliptic arrangement. Configuration spaces, 373-388, CRM Series, 14, Ed. Norm., Pisa, 2012.

3. Levin Andrey Kronecker double series and the dilogarithm. Number theory and algebraic geometry, 177-201, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 303, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003.

4. Levin Andrey Polylogarithmic currents on abelian varieties. Regulators in analysis, geometry and number theory, 207-229, Progr. Math., 171, Birkhauser Boston, Boston, MA, 2000.

5. Goncharov A. B.; Levin A. M. Zagier's conjecture on L(E,2). Invent. Math. 132 (1998), no. 2, 393-432.

6. Levin Andrey Elliptic polylogarithms: an analytic theory. Compositio Math. 106 (1997), no. 3, 267-282.

7. Beilinson A.; Levin A. The elliptic polylogarithm. Motives (Seattle, WA, 1991), 123-190, Proc. Sympos. Pure Math., 55, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence

6 Основные результаты.

Сформулируем основные конструкции и утверждения данной диссертации.

Я ввожу в рассмотрение новый набор функций - эллиптические полилогарифмы, которые которые одновременно обобщают как классические эйлеровы полилогарифмы, так и модулярные формы.

Конструкция основана на процедуре дзета-регуляризации полиномиально расходящихся рядов.

Я установил связи между этими новыми объектами и хорошо известными ранее рядами Эйзенштейна, точнее, ряды Эйзенштейна являются производными эллиптических полилогарифмов.

Опираясь на описанную выше связь, мы исследум модулярные свойства эллиптических полилогарифмов

Я реализовал перечисленные выше аналитические свойства как условия на периоды расширений ходжевых пучков.

Мы определили подобные расширения для широкого класся теорий ко-гомологий.

Предложено чисто алгебраическое определение 1-логарифма в терминах спаривания Делиня обратимых пучков на кривой.

Описаны условия на аргументы эллиптического дилогарифма для выражения значения Ь-функции в 2.

Представлен набор чисел из поля классов лучей мнимоквадратичного поля, таких что через значения дилогарифма Блоха-Вигнера в них выражается значение частичной дзета-функции класса идеалов гильбертова поля классов

Вычислена старшая групп когомологий дополнения до эллиптического набора для общей системы коэффициентов.

Список литературы

[B] Spencer Bloch, "Higher regulators, algebraic K-theory and zeta-functions of elliptic curves", Lecture Notes , U.C.Irvine, 1977

[AMS, Providence, RI]

[T] John Tate, Appendix to the book S.Lang Elliptic functions , Addison-Wesley Publishing Co.,Inc.,Reading,Mass.-London-Amsterdam, 1973.

[W] Andre Weil, Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker, [Springer-Verlag, Berlin-New York 1976].

[Z1] Don Zagier, "Periods of modular forms and Jacobi theta functions", Invent. Math., vol. 104(1991), pp. 449-465.

[Z2] Don Zagier, "The Bloch-Wigner-Ramakrishnan polylogarithm function" Math. Ann., vol. 286(1990), no. 1-3, pp. 613-624.

Приложение А.

Статья 1.

Beilinson Alexander; Kings Guido; Levin Andrey Topological polylogarithms and p-adic interpolation of L-values of totally real fields. Math. Ann. 371 (2018), no.

3-4, 1449 -1495.

Разрешение на копирование: Согласно Соглашению о копирайте автор статьи может использовать полную журнальную версию статьи в своей диссертации при условии, что указан источник.

Math. Ann. (2018) 371:1449-1495 https://doi.org/10.1007/s00208-018-1645-4

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Левин Андрей Михайлович, 2020 год

Список литературы

[B] Spencer Bloch, "Higher regulators, algebraic K-theory and zeta-functions of elliptic curves", Lecture Notes , U.C.Irvine, 1977

[AMS, Providence, RI]

[T] John Tate, Appendix to the book S.Lang Elliptic functions , Addison-Wesley Publishing Co.,Inc.,Reading,Mass.-London-Amsterdam, 1973.

[W] Andre Weil, Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker, [Springer-Verlag, Berlin-New York 1976].

[Z1] Don Zagier, "Periods of modular forms and Jacobi theta functions", Invent. Math., vol. 104(1991), pp. 449-465.

[Z2] Don Zagier, "The Bloch-Wigner-Ramakrishnan polylogarithm function" Math. Ann., vol. 286(1990), no. 1-3, pp. 613-624.

Приложение А.

Статья 1.

Beilinson Alexander; Kings Guido; Levin Andrey Topological polylogarithms and p-adic interpolation of L-values of totally real fields. Math. Ann. 371 (2018), no.

3-4, 1449 -1495.

Разрешение на копирование: Согласно Соглашению о копирайте автор статьи может использовать полную журнальную версию статьи в своей диссертации при условии, что указан источник.

Math. Ann. (2018) 371:1449-1495 https://doi.org/10.1007/s00208-018-1645-4

Mathematische Annalen

CrossMark

Topological polylogarithms and p-adic interpolation of L -values of totally real fields

Alexander Beilinson1 • Guido Kings2 • Andrey Levin3

Received: 10 November 2015 / Revised: 24 September 2017 / Published online: 23 January 2018 © Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature 2018

Abstract We develop the topological polylogarithm which provides an integral version of Nori's Eisenstein cohomology classes for GL„ (Z) and yields classes with values in an Iwasawa algebra. This implies directly the integrality properties of special values of L-functions of totally real fields and a construction of the associated p-adic L-function. Using a result of Graf, we also apply this to prove some integrality and p-adic interpolation results for the Eisenstein cohomology of Hilbert modular varieties.

Communicated by Vasudevan Srinivas.

The authors research was partially supported by the following grants: NSF Grant DMS-1406734 (A.B.), DFG Grant SFB 1085 Higher invariants (G.K.), Simons-IUM Fellowship, Laboratory of Mirror Symmetry NRUHSE, RF Government grant, Ag. No. 14.641.31.0001 (A.L.).

B Guido Kings

[e-mail]

Alexander Beilinson [e-mail]

Andrey Levin [e-mail]

Department of Mathematics, University of Chicago, Chicago, IL 60637, USA Fakultät für Mathematik, Universität Regensburg, 93040 Regensburg, Germany National Research University HSE, 7 Vavilova Str., Moscow, Russia

1 Introduction

In the beginning of the 1990s Nori [13] and Sczech [14] almost simultaneously and independently developed the so called Eisenstein cohomology classes for GLn (Z) with rational coefficients and showed that one can get the Klingen-Siegel theorem, about the rationality of zeta values of totally real fields at negative integers, as a direct consequence.

The approach by Nori involves the de Rham complex and is therefore restricted to rational coefficients. Sczech's construction is analytic in nature and he gets rational cohomology classes in the end by studying Dedekind sums.

In this paper we present a different approach, depending on the topological poly-logarithm, which is very much inspired by Nori's beautiful construction, but works with almost arbitrary coefficients. Moreover, the cohomology class we construct has values in the formal completion of the group ring of a finitely generated free abelian group and is hence exactly the Iwasawa algebra if one considers p-adic coefficients.

The main idea of our construction can be explained as follows. Nori's cohomology classes should be really considered not as classes on the locally symmetric space associated to GLn (Z) but rather on the universal family of topological metrized tori above it. On this universal family these classes are completely determined by a residue condition, so that the comparison map between de Rham and singular cohomology in Nori's approach becomes unnecessary. In particular, Nori's construction interpreted in this way works for almost arbitrary coefficients.

From our construction we get directly the integrality results of Deligne-Ribet and the p-adic interpolation of the special L-values of totally real fields. In fact we get directly cohomology classes with values in the Iwasawa algebra. We also explain a new result, building upon results of Graf [7], about the integrality and p-adic interpolation of Eisenstein cohomology classes for Hilbert modular varieties.

In recent years the question of finding integral versions of Sczech's Eisenstein cocycle or of Shintani's construction received considerable interest. Charollois and Dasgupta were able to refine Sczech's construction to the integral level in [4]. But because of problems with their smoothing construction they could only prove part of the integrality result of Deligne-Ribet for the L-values. Another approach to p-adic interpolation is via the Shintani cocycle of Hill [8] and Solomon, which was refined to give p-adic interpolation by Spiess [18] and subsequently Steele [19].

Our approach is completely different from all the above and relies only on the cohomological properties of the so called logarithm sheaf. Being purely topological, we do not need to choose any extra data as for the Shintani cocycle (which depends on a Shintani decomposition) nor do we have any severe restrictions on the coefficients as our approach is not analytic at all.

Moreover, in a geometric situation, where one replaces the tori by abelian varieties, a completely parallel story for other cohomology theories (and even for motivic cohomology) can be developed. This leads to p-adic interpolation of motivic cohomology classes and hence of non-critical L-values (see [10] and the applications of this theory in [11]). This gives a further argument for pursuing the approach by the topological polylogarithm.

The essential results on p-adic interpolation of L-values of this paper were obtained many years ago in the nineties but were never published. The only exception is the case of the Riemann zeta function which is covered in [2]. The newer results on the Eisenstein classes of Hilbert modular varieties and their p-adic interpolation depends on the purely topological construction of the Harder's Eisenstein cohomology in the thesis of Graf (forthcoming [7]).

2 A topological interpretation of the generating function for Bernoulli polynomials

To motivate and explain the constructions in this paper in the simplest case, we review here the topological construction of the Bernoulli polynomials and their p-adic interpolation which already appeared in [2, Section 2.3. and 2.5]. This is the case n = 1 of the construction in this paper.

Recall the generating function for the Bernoulli polynomials

for x e R with values in the power series z-1R[[z]]. Note that -= Z(x, —k) for 0 < x < 1 where Z(x, s) = Y,T=0 x +ny is the Hurwitz zeta function. The

function f (x, z) satisfies the differential equation jj^f (x, z)-zf (x, z) = 0 and has the residue property f (0, z) — f (1, z) = 1. We will construct a local system on the circle S1 = R/Z which has a connection of the form jx — z and single out certain horizontal sections by residue conditions. These sections we call topological polylogarithms because their definition is analogue to the one of polylogarithms over Gm. The function f (x, z) will appear as the special value at x e S1 of such a polylogarithm. The crucial point of our approach to rationality and integrality of L-values is the fact that this local system is of purely topological nature and hence can be constructed with arbitrary coefficients.

We give now some more details, to explain our method in this simplest case. Fix a commutative ring A (think of A = Zp, Q, R) and consider the group ring A[Z] which can be identified with the ring of Laurent polynomials A[t, t—*]. The completion with respect to the augmentation ideal J = (t — 1) of A[Z] is

with B0(x) = 1. In our approach we consider the function

R = Ra(Z) = lim A[t, t—1]/(t — 1)k = A[[t — 1]].

k

The group Z acts on R by multiplication with t .If Q c A one has a canonical isomorphism

exp* : R = A[[z]] t ^ ez = V Z

k>0

under which the Z-action becomes multiplication with ez. We now use the Z action on R to define a local system Log on the circle S1 = R/Z by letting Log be the sheaf of sections of the quotient

(R x R)/Z

where n e Z acts as (x, r )n := (x + n, t -nr). A global section of Log is then a map f : R ^ R which satisfies f (x + n) = t-nf (x).

For A = R we can consider the Cbundle LogOT associated to Log, which is a vector bundle with fibre R[[z]]. This has x ^ e-xz as a global section, which induces an isomorphism of Log^ with the sheaf of -sections of S1 x R[[z]]. The connection V on LogOT corresponds under this isomorphism to V0 := d - z, because Ve-xz = -ze-xzdx.

To describe the residue condition, we use the localization sequence in cohomology. Let D c R/Z be a non-empty set of torsion sections, to fix ideas we take D = 1Z/Z the c-torsion sections for an integer c > 2. From the explicit description of the Z-action one computes H0(Z, R) = 0 and H 1(Z, R) = A, hence

H0 (S1, Log) = 0 H 1(S1, Log) = A.

Consider the localization sequence for D c R/Z

0 ^ H0(Sx\D, Log) hD(S1, Log) ^ A ^ 0.

We can identify hD (S1, Log) = 0deD Logd. It is important to note that for c invertible in A, one has a canonical isomorphism Logd = R (the reason is that the c-multiplication is an isomorphism of R, see Proposition 3.5 below). With this identification the localization sequence reads

0 ^ H0(S1\D, Log) R ^ A ^ 0.

deD

Obviously, A[D] := 0deD A c 0deD R and for every a e A[D]0 := ker(A[D] ^ A) we get a unique section

pola e H°(S1\D, Log)

which has residue a(d) at d .If x e S1 is a non-zero f -torsion point, with f invertible in A, we can evaluate at x and get

pola(x) e A[[t - 1]].

If, for example, A = Z[1/cf ], then by embedding A into Q, one obtains that the coefficients of pola(x) in Q[[z]] are in A. This gives the desired integrality.

To compute these sections explicitly, we first consider a slight variant of pola. Let Q C A and LA := Az-1 be the rank one A-module with trivial Z-action. Then we can have the localization sequence for L A ® Log and D = {0}

0 —y H0(S1 \{0}, LA ® Log) —> LA ® R — LA a 0

and we ask for a section pol e H0(S1\{0}, LA ® Log) with residue

z-1 ® z e LA ® R = z-1 A[[z]].

Now let A = R, then x — e{x}z, where {x} is the fractional part of x, is a horizontal section of z-1LogOT over S1\{0} with residue 1 - ez at x = 0. Thus pol is the section

e{x }z

pol(x) = --- = f ({x}, z)

1 - ez

of z-1R[[z]]. From the definitions one sees that for a e A[D]0 one has pola(x) =^2 a(d) pol(x - d).

deD

If D = 1Z/Z are the c-torsion points, we can define an special element a[C] of A[D]0 by a(0) = c - 1 and a(d) = -1 for d = 0. Then one gets

c—1

a

pola[c] (x) = cf({x}, z) - J2 f ({x - -} , z) a=0

= cf ({x}, z) - f ({cx}, c-1 z)

~ zk = £(cz(x, -k) - c-kZ(cx, -k))-k=0 '

and, as explained above, the coefficients cZ(x, -k) - c-kZ(cx, -k) are in Z[1/cf] if x is a non-zero f -torsion point. A closer analysis shows that it is not necessary to assume f invertible in A, from which one obtains the usual integrality properties of cZ(x, -k) - c-kZ(cx, -k). For more details on this see the proof of Corollary 5.8.

3 The topological polylogarithm 3.1 Group rings of lattices

We consider free abelian groups L of finite rank n, which we call lattices. Let A be a commutative ring and A[L] the group ring of L with coefficients in A. We write 8: L ^ A[L]x, t ^ 8t for the universal group homomorphism. In particular, t e L acts on A[L] by multiplication with 8t so that 8¿(t') = (t + f). Let LA := A L.

Definition 3.1 The completion of A[L] with respect to the augmentation ideal J is denoted by

R := R(L) := lim A[L]/Jk.

k

We write I := JR and consider R with the filtration defined by the IkR and the induced L-action 8 : L ^ Rx, i.e. t acts by multiplication with 8t. In particular, I is stable under the L-action. We write R(k) := R/Ik+1 = A[L]/Jk+1 and RA if we need to express the dependence on A.

Remark 3.2 Let T(Lv) := Spec A[L] = Hom(L, Gm) be the algebraic torus with character group L over Spec A. The augmentation ideal J := ker(A[L] ^ A) defines the unit section ofthe smooth map T (L v) ^ Spec A and hence is a regular ideal. Note also that it is stable under the L-action. Then Spf R is the formal group associated to T(Lv). In particular, if t1,..., tn is a basis of L, then R is a power series ring in the

8fi - 1,..., 8tn - L

Lemma 3.3 There is an isomorphism

Sym' La = grI R = 0 Ik/Ik+L. (3.1)

k>0

The induced action ofL on grI R is trivial.

Proof As L isabelianwehaveanisomorphism LA = J/ J2 = I/12, which sends 1®f to 8t - 1 mod J2. As J and hence I is a regular ideal, the induced map Sym' LA ^ grI R is an isomorphism. If a e Ik then (8t - 1) • a = 0 mod Ik+1, so that 8t • a = a mod Ik+1, which implies that L acts trivially on grI R. □

The formation of R is functorial in L: For each homomorphism p: L ^ L' we have an A-algebra homomorphism A[L] ^ A[L'] compatible with the augmentation, which induces

pR : R ^ R',

where R' := R(L'), which respects the filtrations by I and I', i.e., maps Ik to (I')k.

Definition 3.4 A homomorphism of lattices y: L — L' is called an isogeny, if it is injective with finite cokernel. For an isogeny y we denote by degy := #(L' /y(L)) the degree of y.

Proposition 3.5 Let y: L — L' be an isogeny with deg y invertible in A, then

yR: R — R'

is an isomorphism.

Proof Both rings R, R' are complete and separated so that it suffices to show that

grJ yR : Sym La — Sym L'A

is an isomorphism. The A-module Ik / Ik+1 is generated by products of elements of the form (Sg - 1)r and yR maps these to (Syg - 1)r. This shows that grI yR = Sym yA, where yA : LA — L'A is the induced map. If deg y is invertible in A, yA and hence grI y is an isomorphism. □

For the closer investigation of R we need the completion of the divided power algebra of L A.

Definition 3.6 Let TLA = 0k>0 TkLA be the graded divided power algebra of LA. For g e La we write g[k] for the k-th divided power of g and write

TLa := lim TLa/1[r]

r

where I := T+LA is the augmentation ideal. We define an L-action on TLA by S : L — fL*, g — Ek>0 g[k].

Note that one has ln = n'g[n] and the formula

k

(g + g')[k]=^] g[m] g/[k-m] (3.2)

m=0

in TLa , which shows that S is a group homomorphism. As T(LA © LA) = TLA ® A TL a the diagonal makes the algebra TLa into a graded Hopf algebra. Its (graded) dual is (TLa)* = Sym L A, where L A is the A-dual of LA. As LA is free one has also a canonical isomorphism

T La = TSym La (3.3)

with the Hopf algebra of the symmetric tensors. The isomorphism LA = T1LA induces an A-algebra homomorphism

SymLa ^ TLa, (3.4)

where SymLA is the completion of Sym LA at its augmentation ideal. Explicitly, if we choose a basis i1,...,in of LA, this homomorphism is given by

41 ■■■lkn ^ ki!••• knaf1 ]---llkn(3.5) From this description it is clear that (3.4) is an isomorphism if A is a Q-algebra. Proposition 3.7 There is an A-algebra homomorphism

exp*: R ^ YLa

mapping Ik to (r+La)[k], which is functorial for isogenies and compatible with the L-actions. We write exp*: R ^ TkLA for the composition with the projection to TkLA.

Proof Consider the group homomorphism 8: L ^ (TLA)x. This induces an Aalgebra homomorphism A[L] ^ TLA which maps (8g - 1)r into (T+ LA)[r] and hence Jr to (T+ LA)[r]. Taking completions, this induces the desired A-algebra homomorphism exp*: R ^ TLA. □

Remark 3.8 The map exp* is induced from the exponential map of the formal group Spf R. For this one should think of Spf TLA as the divided power formal neighbourhood of 0 in the Lie algebra L A := HomA (LA, A) ofSpf R. The homomorphism exp* has also the following description. Let H := limr HomA(R/Ir, A) be the bigebra of translation invariant differential operators on Spf R. Then one has R = HomA (H, A) and one has a map U(L A) ^ H of the universal enveloping algebra of the Lie algebra L A to H. If we observe that U(L\) = Sym L A we get an A-algebra homomorphism

R = HomA(H, A) ^ HomA (U(L^), A) = Tla

which coincides with exp*. Proposition 3.9 If A is a Q-algebra, then

exp*: R ^ TLa

is an isomorphism.

Proof Identify grI R = Sym I/12 = Sym La . Then we claim that the associated graded of exp*: R ^ TLa

grI exp*: Sym La ^ TLa

coincides with the canonical map. But La = I/12 is generated by 8g - 1 which maps to (Y.k>0 ^[k]) - 1. This is congruent to £[1] modulo (T+ La)[2]. Thus grI exp* must

be induced from the isomorphism LA = TLA by the universal property of Sym LA. In particular, if A is a Q-algebra then grl exp* is an isomorphism. As R and TLA are complete and separated, this implies that exp* is an isomorphism. □

Usually it is more convenient to work with the power series ring SymLA than with f La.

Corollary 3.10 Let Abe a Q-algebra, then the isomorphism

exp*: R = TLa = SymLA

is induced by the group homomorphism exp: L a SymLA which maps I a 2-^k>0 k! '

Proof This is clear as a l[k] under SymLA = TLA. □

3.2 Iwasawa algebras of lattices

This section is not needed for the construction of the topological polylogarithm, but it is needed later in the construction of the p-adic measures.

Fix a prime number p. In this section A will be a p-adically complete and separated ring.

Definition 3.11 The Iwasawa algebra A[[LZp]] is the completed group ring

A[[LZp]] := lrn A[L/prL]

r

where the projective limit is taken with respect to A[L/pr +1 L] a A[L/prL].

The A-algebra R is canonically isomorphic to the Iwasawa algebra.

Proposition 3.12 The map 8: L a Rx induces a continuous A-algebra isomorphism

A[[Lzp]] Â R.

Proof Consider the composition L a A[L]x a (A[L]/(p, J)r+1)x. By induction on r one sees that Spr¿ - 1 = Sp - 1 e (p, I)r+1. This implies that this composition factors through L /pr L and one gets by the universal property of the group ring an A-algebra homomorphism A[L/prL] a A[L]/(p, J)r+1, such that the composition A[L] a A[L/prL] a A[L]/(p, J)r+1 is the quotient map. This induces a continuous homomorphism

A[[Lzplim A[L]/(p, J)r+1

which is an isomorphism on the subring A[L]. As A[L] is a dense subring on both sides and both rings A[[LZp]] and limr A[L]/(p, J)r+1 are complete and separated, the homomorphism itself must be an isomorphism. It remains to show that

R = hm A[L]/(p, J)r+1,

r

i.e., that R is (p, I)-adically complete and separated. As (p, I)2r c (p)r + Ir c (p, I)r the (p, I)-adic topology on the finitely generated A-module R/Ir = A[L]/Jr coincides with the (p)-adic one. Hence the R/Ir are complete in the (p, I)-adic topology, so that also R is (p, I)-adically complete. AsQr>0(p)r = 0andP|r>0 Ir = 0 it is also separated. □

Definition 3.13 Let A be a p-adically complete and separated ring. Then we call

mom: A[[L]] % R TLa = TSymLa the moment map. The projection onto its k-th component

momk: A[[L]] R % TSymk La we call the k-th moment map.

To explain the name "moment map" recall that A[[LA]] can be interpreted as the algebra of measures on LZ .

Definition 3.14 Let C(LZp) be the continuous A-valued functions on L Z . An A-valued measure is an A-linear map \x: C(LZp) % A. We write

Meas(L, A) := Homa(C(LZp), A)

for the space of all A-valued measures.

It is well-known that Meas(LZ , A) is a ring under convolution of measures which is canonically isomorphic to A[[LZp]].

Proposition 3.15 Identify Meas(LZ , A) = A[[LZ ]] and let

k

Meas(Lzp, A) = R TSymkLz

p

be the composition of the isomorphism in Proposition 3.12 with the k-th moment map. If we interpre on LA, then

If we interpret the A-dual (TSym LA)* = Sym L A as polynomial functions xf ••• xn

momk(*) = J2 * (xk1 ••• xkn ) if11"' 1

ki+-----+kn =k

where *(x'l1 ■ ■ ■ x¡¡") are the moments of the measure *

The proposition follows by a direct calculation, as we do not need it, we skip the proof.

3.3 Torsors and locally constant sheaves

We follow the principle "right action on spaces, left action on cohomology".

Let G be a group and n: X a S be a right G-torsor. For a left G-module M we define a G action on X x M by (x, m)g := (xg, g-1m) and write as usual

X xG M := X x M/G

for the orbits of G on X x M.

Definition 3.16 For a left G-module M, we define the locally constant sheaf M to be the sheaf of sections of X xG M over S (where M has the discrete topology). If the G-action is trivial then M is the constant sheaf M..

The sections over U c S open of the sheaf M are explicitly given by

M(U) = {f: n-1(U) a M | f (ug) = g-1 f (u) for all g e G, u e n-1(U)}.

(3.6)

If X is simply connected, then the functor

{G-modules} a {locally constant sheaves on S} M a M

is an equivalence of categories. The inverse functor is F a T(X, n*F). We apply this in the case of lattices.

Definition 3.17 Let L be a lattice. We write V := R ® L where i e L acts from the right on V by v a v + i. We denote by

T := T(L) := V/L

the associated compact real torus.

Over T we have the fundamental L-torsor V

0 a L a V A T a 0 (3.8)

with n-1(0) = L.

Definition 3.18 Let Rx := (1 +1)x c Rx be the subgroup of1 units. The Rf-torsor Logx on T is the push-out of the sequence (3.8) with S : L a Rf, so that one has an exact sequence of abelian groups

0 a Rjx a Logx -A T a 0. (3.9)

Note that we also have Logx := V xL Rx. The R^-torsor Logx is obviously rigidified over 0 e T by 1 e Rx. By [ 1 5, Expose VII, Proposition 1 .3.5] the group structure on Logx can be uniquely recovered from its R^-torsor structure together with its rigidification 1 of its fibre Log^ in 0 e T.

3.4 The logarithm sheaf

We will consider local systems on the compact torus

T := T(L) := V/L.

Proposition 3.19 There exists a local system Log = LogT on T of free rank one R-modules, such that the L-action L a Aut(0*Log) = Rx coincides with 8: L a Rx. Let 1 e 0*Log be a generator, then the pair (Log, 1) is unique up to unique isomorphism.

Proof Uniqueness: Let (L, s) be another pair with the properties of Log. Then there exists a unique L-equivariant isomorphism a: 0*Log = 0*L with a(1) = s. Hence there is a unique isomorphism of local systems Log = L.

Existence: We give two constructions. For the first consider R as L-module via 8: L a Rx and define Log := R. As generator 1 e 0*Log = R we choose the element 1 e R.

For the second let n A be the direct image with compact supports of the constant sheaf A on V. The sheaf n A is a local system of A[L]-modules of rank one and 0*ni A = A[L] has 1 e A[L] as generator. Hence we can take

Log := R ®a[l] n A (3.10)

with the induced generator 1 e 0*Log. □

Definition 3.20 We call (Log, 1) the logarithm sheaf and we let

Log := V x L R so that Log is the sheaf of sections of Log.

Proposition 3.21 The logarithm sheaf (Log, 1) has the following properties.

(1) Consider the filtration IkLog := Ik on Log. Then there is a unique identification of local systems of grI R = Sym LA modules

grI L og = Sym' La

that maps 1 mod I Log to 1 e Sym0 LA = A.

(2) Let y: L % L' be a homomorphism of lattices and y: T % T' be the induced map, then one has an homomorphism of local systems

VLog: LogT % y*LogT',

which is compatible with the filtrations and respects the generators 1,1'.

(3) If y: L % L' is an isogeny and deg y invertible in A, then

VLog: LogT % V*LogT',

is an isomorphism.

(4) Let + : T x T % T be the group structure on the torus, then one has a unique isomorphism

pr* Log pr2*Log = +*Log,

under which 1 ® 1 % 1, i.e., Log is a character sheaf.

(5) Consider the RX-torsor of local sections of Log that are modulo ILog equal to 1 e A. Then there is a canonical isomorphism of this RX-torsor with Logx such that 1 % 1. Under this isomorphism the group structure on Logx is given by the product induced by the isomorphism in (4).

Proof (1) follows immediately from Lemma 3.3 and the functoriality of the functor M % M. For (2) note that y*LogT' are the sections of V xL R', where L acts via y: L % L' and 5': L' % (R')x on R'. Then (3) follows from (2) and Proposition 3.5. The assertion (4) follows from the isomorphism 0* (pr* Log pr2*Log) =

0*(+*Log). Finally, as Log = R, the torsor in (5) is Rxx and there is a unique isomorphism with Logx sending 1 to 1. From the remark after Definition 3.18 it follows that the group structure on Logx is induced by the isomorphism in (4). □

3.5 Trivializations of the logarithm sheaf

Definition 3.22 Let H c T be a subgroup. A multiplicative trivialization of Log on H is a collection of generators 1h e Logh for all h e H such that 1h mod ILogh equals 1 e A and 1h ® 1h' = 1h+h' under the isomorphism in Proposition 3.21 for all h, h' e H.

We give two alternative descriptions of a multiplicative trivialization. First consider the group extension

0 —> Rf — Logx -— T —> 0

from Definition 3.18. A multiplicative trivialization is a group homomorphism q : H — Logx which is a section of pr1. In particular, the set of all multiplicative trivializations of Log is a Hom(H, R^-torsor.

For a second description consider the right translation action +: T x H — T. A multiplicative trivialization is an extension of this H-action to Logx, i.e., a map Logx x H — Logx satisfying the usual condition for an H-action, such that one has a commutative diagram

Logx x H

pri xid

— Logx prl

Tx H

Given a multiplicative trivialization q : H — Logx the map + : Logx x H — Logx is the composition of q with the group structure Logx x Logx — Logx.

Definition 3.23 Denote by Ttors := Lq/L c T the subgroup of torsion elements in T and by T(A) c Ttors the subgroup of elements whose order is invertible in A.

Proposition 3.24 There exists a unique multiplicative trivialization Qcan of Log over T( A). It is compatible with isogenies and for t e T [ N ] c T( A) it is explicitly given by the isomorphism

t *L og = t *[ N ]*L og = 0*[ N ]*L og = 0*Log,

where the outer isomorphisms are the pull-backs of Proposition 3.21(3) and the middle one comes from [N ] ot = [N ] o 0.

Proof Uniqueness: Let N be an integer which is invertible in A. It suffices to show that Qcan is uniquely determined on the N-torsion points T [N]. But the multiplicative trivializations on T[N] form an Hom(T[N], R^-torsor. But Rxx has a filtration by (1 + Ir)x such that gr>0 R^ = Sym>0 LA, which has no N-torsion as N is invertible in A. This implies that Hom(T[N], Rxx) = 0.

Existence: Let q |t[N] be the inverse of Logx[N] = T[N]. By construction these isomorphisms are compatible for different N. □

3.6 Cohomology of the logarithm sheaf

All unlabelled tensor products in this section and the following ones are taken over Z.

Let L be a lattice of rank n. Recall that one has a canonical isomorphism of algebras H. (L, Z) = A' L .We define

X := X(L) := AnL = Hn(L, Z). (3.11)

Theorem 3.25 Let L be lattice of rank n. One has

H(T, Log) =

i 0 for i = n

Hn (T, A) fori = n

induced by the map Log % Log/1Log = A. In particular, the cap-product induces an isomorphism

Hn(T, Log ® X) = A.

Proof From Log = R ® A[L] n A and because R is A[L]-flat one gets Hl (T, Log) = Hi (T, n,A) ® a[L] R. As

Hl (T,n A) = Hlc (V, A) = 0 * = n

I A i = n

this implies the vanishing result. The homomorphism Hn (T, Log) % Hn (T, A) induced by Log % A is surjective and because both groups are isomorphic to A it must be an isomorphism. The cap-product gives Hn(T, Log ® X) = Hn (T, A) ®

Hn (L, Z) = A. □

Corollary 3.26 Let D c T be a finite and non-empty subset. Then for i = n - 1

H (T\D, Log ® X) = 0

and one has a short exact sequence

0 % Hn-1(T\D, Log ® X) -% Log |d A % 0,

where Log |D = 0deD Logd is the restriction of Log to D and aD is the sum of the maps Logd % Logd /1Logd = A.

Proof Consider the localization sequence for the closed subset D c T

----> H (T, Log ® X) % H (T\D, Log ® X) % Hl1+1(T, Log ® X) %•••

For each d e D choose an open neighbourhood Ud such that Log is constant on Ud and the Ud for different d are disjoint. Then by excision

HD+1(T, Log ® X) = 0 H{I+1(Ud, Log lud ®X).

d eD

As Log | Ud is constant and hence isomorphic to Logd, one has a canonical isomorphism

H^Ud, Log \Ud ®X) = Logd and H{d+1(Ud, Log \ ud ®X) = 0 for i + 1 = n (see [12, Proposition 3.2.3]). □

3.7 Equivariant cohomology of the logarithm sheaf

We describe an equivariant version of the above construction.

Let V a GL (L) be a group action on L. We write L x V for the semi-direct product with multiplication

(t,y)(t',y') = (t + yi',yy')-

To follow our principle, we let (l,y) e L x V act from the right on v e V by v(t, y) := y-1v + y-1t. In particular, the L-torsor n: V a T is V-equivariant. From this we deduce a right action of V on Log by

Log xV a Log; ((v, r),y) a (y"V^-1 (r)) (3.12)

so that Log is a V-equivariant sheaf. We want to compute the V-equivariant coho-mology Hl (T, V; Log ® X) but for later needs, we compute a slightly more general cohomology group.

Theorem 3.27 Let D c T be a finite non-empty subset stabilized by V and M an A[V]-module, which is flat over A. Then:

(1) There are isomorphisms

Hl (T, V; M ®A Log ® X) = Hl-n (V, M)

and

H (T\D, V;M ®a Log ® X) = H-n+1(V, Hn-1(T\D, M ®a Log ® X)).

(2) One has a long exact sequence

----► H (T\D,V;M ®A Log ® X) H-n+x(V, M ®a Log \d)

-A Hi -n+!(V, M) a ...

Proof This is follows from the spectral sequence

Hi (V, Hj (X, M ®a Log ® X)) ^ Hi+j (X, V; M ®a Log ® X)

for X = T, T \ D, the isomorphism Hj (X, M®ALog ®X) = M ® AHj (X, L og ®X) of A[V]-modules, Theorem 3.25 and Corollary 3.26. □

As a special case, we get:

Corollary 3.28 One has H (T \ D, V; M ®A L og ® X) = 0 fori < n - 1 and a canonical isomorphism

res: Hn-1(T\D,V;M ®ALog ® X) = ker(M ®a Log |d-+ M)r.

3.8 The topological polylogarithm and Eisenstein classes Definition 3.29 For D c T finite and non-empty we define

A[D]0 := ker 10 A A J ,

\d s D '

where S is the summation map (ad)dsD ^ SdsDad. We view the elements a s A[D]0 as functions a: D ^ A. We also set

R[D]0 := ker(0 R -^ a\

\de D /

where aD is the sum of the augmentations R ^ R/IR = A.

Suppose that D c T(A) and that V stabilizes D. Then the trivialization £can from Proposition 3.24 induces an isomorphism R[D]0 = ker(Log |D —> A), so that we get

(A[D]0)V c (R[D]0)V = ker(Log |d-^ A)V. We apply this to Corollary 3.28 in the case M = A:

Definition 3.30 For D c T(A), stabilized by V and a s (A[D]0)V the unique coho-mology class

pola s Hn-1(T\D, V; Log ® X)

with res(pola) = a is called the topological polylogarithm associated with a.

Remark 3.31 Note that (A[D]0)V = 0 in general: Let N be invertible in A and D = T [N ] be the N-torsion points of T .Then D is stable under V and Nn S0 — J] dsT [N ] Sd s (A[ D]0)V.

Let t s T\D be any point stabilized by V. Then the pull-back of pola along t is a cohomology class

t* pola s Hn-1(V, Logt ® X). (3.13)

If t s T(A), we can use the trivialization £can to identify Logt = R.

Definition 3.32 Let D c T(A) and t e T(A)\D be both stabilized by V, then for a e (A[D]0)V the class

Eisa(t) := t* pola e Hn-1(V, R ® X)

is called the Eisenstein class associated to t and a. If we identify VLA = TSymLA then we also write

Eisa(t) := exp*(Eisa(t)) e Hn-1(V, TSymk La ® X) (3.14)

for the k-th component of exp*(Eisa(t)).

The following special case of the above definition was considered by Nori and Sczech.

Definition 3.33 Let D c T(A) be a finite non-empty subset such that 0 / D. The Eisenstein operator of Nori and Sczech is the map

(A[D]0)V a Hn-1(V, R ® X) a a Eisa(0).

Remark 3.34 Let us explain how our approach is related to Nori's construction. Nori uses A = Q and considers the singular chain complex C of V\S where S := (JdeDd+ L is a finite union of cosets of L, where D are representatives of torsion points in T. Let C be the kernel of the augmentation C a Q. On the other hand he considers a complex D which is quasi-isomorphic to An ® SymLQ[n - 1]. The stabilizer of this union of cosets of L is an arithmetic subgroup of V x GL(V), which he calls n and which has L as a normal subgroup. Write n = L x V. Nori is looking for n-equivariant maps in the derived category from C to AnLq ® SymLQ[n - 1]. Taking the local system defined by SymLq on L\(V\S) = T\D we get Log, so that such a n-equivariant map is the same as a V-equivariant cohomology class in Hn-1(T\D, V; Log ® X). In this sense our construction is just a reinterpretation of Nori's in terms of sheaf theory. In contrast to Nori we work with the completion of the group ring A[L] and not with SymLq. This change is crucial if one wants to have integral coefficients.

In the case where t is an N-torsion point, but N not invertible in A, one can define also an Eisenstein class depending on N. This is often useful for integrality questions. The isogeny [N]: L c L' := NL induces

[N]log: Logt a Log0 = R'.

Definition 3.35 Let D c T(A) and t e T\D an N-torsion point with N not necessarily invertible in A. Let [N]: L c L' := NL be the natural inclusion. Assume that D and t are stabilized by V. Then we let

NEisa (t) := [N]Logt* polœ e Hn-1(V, R' ® X)

and write

nEisJ;,(t) := exp*(NEiSa(t)) e Hn-1(V, TSymkL'A ® X).

Remark 3.36 (On integrality of Eis^ (t)) From the definitions it is clear that if we consider NEis^ (t) as a class with coefficients in A[1/N], i.e. in Hn-1 (r, TSymk LA[1/N X), then it coincides with the [N]Log (Eis^t)) = NkEisa (t). In particular, NkEisa (t) is a class with coefficients in A.

3.9 A variant of the polylogarithm I

For the study of the general Eisenstein distribution later the polylogarithm defined so far is not flexible enough. In this section we discuss the required slight generalization of the polylogarithm.

Let E c T be a finite subset then Log |E has an A[E]-module structure

A[E]® Log |e^ Log |e (3.15)

given on a stalk e s E by multiplication with the value f (e) for f s A[E]. Assume that E c Ttors, E n D = 0 and suppose that V stabilizes E and D. Let M = A[E], then from Corollary 3.28 we get the isomorphism

res: Hn-1(T\D, V; A[E] ®a Log ® X) = ker(A[E] ®a Log |d^ A[E])V.

(3.16)

From the definition of A[D]0 we get

(A[E] ®a A[D]0)V c ker(A[E] ®a Log |d^ A[E])V.

Definition 3.37 We define for h s (A[E] ®A A[D]0)V the polylogarithm polh to be the class

polh s Hn-1(T\D, V; A[E] ®a Log ® X)

which corresponds to h under the isomorphism (3.16).

The restriction of polh to E is a class in Hn-1(V, A[E] ®A Log |E ®X) and the image under the map from (3.15) gives a class

Eish s Hn-1(V, Log |E ®X). (3.17)

Definition 3.38 For E c Ttors and D c T(A) with E n D = 0 and such that V stabilizes E and D, we define the map

by h a Eish.

Remark 3.39 A more intuitive way to think about Eish is as follows. Suppose that V stabilizes each point of E. Then we can view h e (A[E] ®A A[D]0)V as a map h: E a (A[D]°)r, e a he with he(d) := h(e, d). With this notation one has Eish = eee e* polhe, with polhe as defined in Definition 3.30.

3.10 A variant of the polylogarithm II

The polylogarithm pola has the advantage of being defined for arbitrary coefficients and it has good trace compatibilities as we will show in the next section. The disadvantage is that it depends on functions a of degree zero. The variant pol discussed below can be evaluated on each non-zero torsion point but works only for Q-algebras A. It is also this version of the polylogarithm which plays the dominant role in the literature on the motivic polylogarithm.

We specialize Corollary 3.28 to the case D := {0} and M = L A := HomA (LA, A). Then we get

where I c R is the augmentation ideal. If A is a Q-algebra we have an isomorphism exp*: R = SymLA and we have a canonical class

corresponding to id: LA a La. Obviously, m e (LA ® I)V.

Definition 3.40 Let A be a Q-algebra, then the polylogarithm pol is the class

Eis: (A[E] ®a A[D]°)r a Hn-1(V, Log |e ®X)

res: Hn-1(T\{0}, V; L*A ®A Log ® X) = (L*A ®a I)V, (3.18)

m e LA ®a La c LA ®a I

(3.19)

pol e Hn-1(T\{0}, V; L*A ®a Log ® X)

corresponding to m under the isomorphism (3.18).

The contraction LA ® A Symk LA a Symk-1 LA induces a map

contr: LA ®aR a R.

(3.20)

Furthermore, the multiplication LA ® A R a R induces

mult: R a L A ® aR

(3.21)

and it is straightforward to show that contr o mult = id. The map mult extends to a homomorphism of sheaves

mult: Log ^ LA ®a Log (3.22)

Let t e rtors\{0| be stabilized by r. Then Qcaa allows us to identify t*Log = R. Definition 3.41 Let A be a Q-algebra and t e Ttors\{0} be stabilized by r. The class

Eis(t) := contr(t* pol) e Hn-1(r, R ® X)

is called the Eisenstein class associated to t. We also write

Eisk(t) := exp*(Eis(t)) e Hn-1(r, Symk La ® X).

Let us discuss one special case of the relation between Eisk (t) and the class Eis^, (t) defined in Definition 3.32, which will be used later (compare also [10, 12.4.4]).

Definition 3.42 Let y: L ^ L' be an isogeny and define the function on D :=

L 'ML)

av := (deg y)8o - ^ Sd.

dsD

Consider

mult(polap) s Hn-1(T\p—1(0), V; LA ®a Log ® X)

then using the isomorphisms Log = p*Log' and LA = L'A (because A is a Q-algebra) one also has (D = y-1(0))

P* pol's Hn-1 (T\D, V; L*a ® a Log ® X).

Finally, pol |T\D, the restriction of pol to T\D, gives a class in the same group. Proposition 3.43 One has the equality

mulUpol^) = (degp)pol |t\d -p* pol'.

in Hn-1(T\D, V; L*A ®a Log ® X).

Proof From Theorem 3.27 we have an isomorphism

res: Hn-1 (T\D,V;L*A ®a Log ® X) = (L*A ®a R[D]0)r.

We have res(mult(polttp)) = (deg p)S0m — J]dsD Sdm andres((deg p) pol |T\D) = (deg p)S0m. Moreover, res(p* pol') = Y,dsD m, which proves the claim. □

Corollary 3.44 For k > 0 the relation ofEisenstein classes

Eis^ (t) = (degf)Eisk(t) - Eis/k(f(t))

holds in Hn 1 (r, TSymk LA ® where we have used the isomorphism

Symk La = TSymk La = TSymk LA

to consider Eis/k(y(t)) as a class in this cohomology group. Proof One has

Eis^ (t) = expk (contr o mult (t * polay))

= (deg y) expk o contr (t* pol \T\D —t*y* pol' = (deg y)Eisk (t) — Eis'k (y(t)).

3.11 Trace compatibility

The polylogarithm classes are compatible with respect to isogenies yT: T' ^ T (note that in this section we interchange the role of L and L'). This is a geometric incarnation of the distribution property ofEisenstein series.

We use the following set up: Let L, L' be lattices of rank n with actions by T and let y: L' ^ L be an isogeny compatible with the T-action. Then one has a group homomorphism (y, id): L' x T ^ L x T.

We consider finite non-empty subsets D c T(A) and D' c TA) such that yT (D') c D. One has a cartesian square

f-1(D) -> T'

D

T

(3.23)

f

f

Proposition 3.45 Let M be an A[T]-module, then there is a trace map

Trf : Hn-1(T'\D', V;M ®A LogTX') ^ Hn-1(T\D, V; M ®a LogT ® X)

such that the diagram

Hn-l{T'\D',V;M ®A LogT,® X') -s > ker(M ®A R'[D']^ M)r

Trp PR

Hn-1(T\D,V;M ®ALogT ® X) -s > ker(M ®A R[D]^ M)r commutes.

Proof As p : T' ^ T is a topological submersion and a finite map we have p* (M ®a LogT) ® X' = p! (M ®a LogT) ® X (see [12, Section 3.3]). In particular, the trace map Rpp!(M ®a LogT) ^ M ®a LogT induces a map

p\p*(M ®a LogT) ® X' ^ M ®a LogT ® X.

This gives