Адельная резольвента для пучков гомологий и бирасширения над группами Чжоу тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Горчинский, Сергей Олегович

• Горчинский, Сергей Олегович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Горчинский, Сергей Олегович

1 Введение

1.1 История вопроса.

1.2 Основные результаты диссертации.

1 Адельная резольвента для пучков гомологий

2 Общие свойства аделей

2.1 Определение и начальные свойства.

2.2 Связь с комплексом Кузена.

2.3 Формула проекции.

2.4 Пучки с контролируемым носителем.

2.5 1-чистые пучки.

2.6 А'-адельные группы.

3 Адели для пучков гомологий

3.1 Теории гомологий

3.2 Сильно локально стираемые пары.

3.3 Существование и сложение сильно локально стираемых пар

3.4 Заклеивающие системы.

3.5 Основная теорема

3.6 Явные коциклы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адельная резольвента для пучков гомологий и бирасширения над группами Чжоу»

1.1 История вопроса

Диссертация посвящена развитию теории многомерных аделей в алгебраической геометрии. Первоначально адели были определены А.Вейлем и К. Шевалле для одномерного случая, а именно, для глобальных полей, т.е. конечных расширений поля Q или поля Fq{T). Аппарат аделей был успешно применен к решению многих фундаментальных задач алгебраической теории чисел, таких, как конечность группы классов, теорема Дирихле о единицах, описание максимального абелева фактора группы Галуа глобального ноля (теория полей классов), функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда, нахождение ее специальных значений и вычетов. Попытка обобщить адельный подход на многомерный случай, т.е. для систем полиномиальных уравнений с рациональными или конечными коэффициентами, привела к созданию теории многомерных аделей, автором которой является А. Н. Паршин.

Классические адели определяются как элементы кольца Ак = JJ Kv. v где v пробегает все классы эквивалентности нормирований глобального поля К, Kv является пополнением поля К относительно нормирования v, а ограниченное произведение JJ означает, что рассматриваются лишь такие наборы {fv} € JJ Kv, что fv Е Ov для почти всех v, где Ov С Kv v обозначает полное локальное кольцо, соответствующее (неархимедовому) нормированию v. Группа обратимых элементов кольца аделей называется группой иделей и равна А*к = JJif*, где ограниченное произведение v берется в том же смысле, что и раньше, но с заменой групп Kv на К*, а л л групп Ov на О*.

Группа аделей по сложению и группа иделей по умножению обладают естественной топологией, возникающей из структуры ограниченного произведения. Имеет место следующий факт: диагонально вложенные подгруппы К С А к и if* С А*к дискретны, а фактор-группы Ак/К и (Ак)1/К* компактны, где (А^)1 обозначает множество таких иделей {/„} € А^, что ||{/г,}|| = П ИЛИ = 1) а II ' llv является нормализованным v нормированием к классе эквивалентности v. С другой стороны имеется связь группы иделей с группой классов идеалов С1(К) поля К, а именно, сюръективный гомоморфизм А^ —> С1(К), задаваемый по формуле {fv} Yluv(f) • М, где сумма берется но всем неархимедовым нормиv рованиям v поля К, а щ обозначает дискретное нормирование, соответствующее v. Компактность фактор-группы (А*к)1 /К позволяет вывести конечность группы классов С1(К), а также теорему Дирихле о единицах для поля К (см. [37]).

Группа иделей А*к играет центральную роль в классической одномерной теории нолей классов: определено отображение взаимности Артина вк : А*к/К* Galg из группы классов иделей в максимальный абелев фактор группы Галуа ноля К. Более того, в функциональном случае отображение в к имеет плотный образ и инъективно, а в числовом случае отображение вк сюръективно и его ядро равно связной компоненте единицы в группе классов иделей (см. loc.cit.).

Наконец, с аделями связан один эффективный подход к изучению дзета-функции Дедекинда. Важным свойством топологических групп и Ад- является их локальная компактность и вытекающее из нее существование на группах А к и А^ мер Хаара. Более того, оказывается, что группа А к двойственна по Понтрягину самой себе. Метод Тэйта-Ивасавы (см. [40]) выражает произведение дзета-функции Дедекинда (k{s) с гамма-множителем Coo(s) через интеграл по группе иделей: Ck(s)Coo(s) = /д* f(a)\\a\\sd*a, где a £ А^, d*a — мера Хаара на группе А*к, а / : А*к —» С является некоторой специальной функцией. Сочетание такого представления с анализом Фурье на самодвойственной группе А к позволяет получить функциональное уравнение для дзета-функции (k(s), а также информацию о некоторых ее специальных значениях и вычетах.

Результаты, полученные для тех глобальных нолей, которые являются конечными расширениями поля Fq{T), соответствуют фактам о кривых над конечными нолями. Ж.-П. Серр показал в [61] возможность применять адели для кривых над произвольными полями, а не только над конечными. Этим методом им было получено доказательство теоремы Римана-Роха в одномерном случае. Серром рассматривались неполные адели на алгебраической проективной гладкой кривой С над полем к, т.е. такие наборы fx} £ JJ что для почти всех замкнутых точек х € С выполняется хеС условие fx £ Ос,xi где Ос,х С к(С) обозначает локальное кольцо на кривой

X в точке х. Также можно рассматривать неполный вариант иделей А*с. При этом Серр использовал некоторый комплекс, состоящий из аделей, хотя явным образом этого не указывал.

Переход от кривых к поверхностям был осуществлен в работах А. Н. Паршина [53] и [54]. В [53] были определены неполные (названные рациональными) адели на поверхности и построил из них некоторый адель-ный комплекс. В [54] был определен мультипликативный вариант полных аделей на поверхности, связанный с ^-группами, сформулированы и частично доказаны утверждения, являющиеся двумерным обобщением теорем из классической теории полей классов. Однако до сих пор не найдена адельная формулировка теории нолей классов в высших размерностях. Открытыми остаются проблемы прямого многомерного обобщения для других классических применений аделей: конечность групп нуль-циклов и фукциональное уравнение для дзета-функции. Недавно в работе [52] был достигнут значительный прогресс в направлении адельного изучения дзета-функции, связанный с построением аналога гармонического анализа для адельных групп. Для создания полной картины многомерного обобщения, по-видимому, должен быть использован гипотетический аналог группы иделей в многомерном случае, связанный с if-группами Милнора.

На самом деле, доказательство конечности группы Чжоу нуль-циклов, а также построение теории полей классов в двумерном и даже в многомерных случаях было получено С. Блохом в [И], а также К. Като и С. Сайто в [38] и [39]. Однако предлагаемые в данных работах методы не являются прямым обобщением рассмотренного выше адельного подхода к одномерному случаю. В то же время доказательство функционального уравнения для дзета-функции является одним из центральных вопросов современной арифметической геометрии. Отметим, что для многообразий над конечным нолем функциональное уравнение дзета-функции было доказано П.Делинем в [21] методом, далеким от адельных рассмотрений. Также функциональное уравнение дзета-функции доказано для эллиптических кривых над числовым полем, для которых оно равносильно гипотезе модулярности Таниямы-Вейля (например, см. [19]); в частности, из него следует большая теорема Ферма.

А. А. Бейлинсон определил в [2] адельный комплекс А(Х, J7)* для любого многообразия X произвольной размерности и для квазикогерентного пучка Т на X. Также определен неполный, или рациональный, вариант а(Х,Ох)' адельного комплекса А(Х, Ох)' (см. [35]).

Опишем явно комплексы рациональных аделей в малых размерностях для структурного пучка. Для кривой X над полем к рациональный адельный комплекс а(Х, Ох)* имеет следующий вид:

О - к(Х) 0 Ц Ох* П °> хех хеХ где ограниченное произведение берется в указанном выше смысле, а дифференциал определяется по формуле (fx, {fx}) ^ {fx ~ fx}, использующей естественные вложения к(Х) С ]] к(Х) и f] Ох,х С Ц к(Х). хеХ хеХ хеХ

Для поверхности X рациональный адельный комплекс а(Х, Ох)' имеет следующий вид: о к(х) е Д Ох* е П х€Х СсХ

- П *(*) ф П *(*) © П П *ро °>

СсХ хеХ хес хеСсХ где ограниченные произведения определяются некоторым явным образом в терминах полюсов функций, а дифференциалы определяются по формулам fx, Ш, {fc}) " ({fc - fx}, {fx - fx], {fx - fc}), ({fxc}, {fxx}, {fcx}) {fcx - fxx + fxc}, использующим соответствующие естественные вложения.

Теорема Бейлинсона-Хубер (см. [2], [35]) утверждает, что для любой нетеровой схемы когомологии комплексов А(Х, J7)' и а(Хканонически изоморфны когомологиям Нг(Х,Т). Таким образом адельный комплекс позволяет строить резольвенты для квазикогерентных пучков на схемах. Важно, что структура аделей обеспечивает мультипликативность и контравариантность этих резольвент. Более точно, для любой схемы X и квазикогерентных пучков J7, Q на X определен морфизм комплексов т : А(Х, ТУ <8> А(Х, Q)' —> А(Х, Т ®ох Q)', и для любого морфизма схем / : X —> Y и квазикогерентного пучка Т на X определен морфизм комплексов /* : A (YJ^Y А

Больше деталей об аделыюм комплексе можно найти в монографии [24], где обсуждается идеология, согласно которой многие понятия и утверждения из алгебраической геометрии могут быть сформулированы и доказаны в терминах многомерных аделей. Примеры такого подхода представлены, в частности, в работах [29], [50], [51], [55], [57].

Представляется интересным применить адельный подход к построению резольвент для других пучков абелевых групп на схемах, например, для пучков /Г-групп К* = Кп(Ох), п >0. Возникающие при этом конструкции должны быть одним из шагов на пути к построению теории полных многомерных аделей, связанных с i^-группами Милнора. Случай поверхности X и пучка К$ был рассмотрен Д. В. Осиповым в [49].

Напомним, что пучки if-групи ассоциированы с нредпучками, задаваемыми по формуле U н-> Kn(k[U]), п > О, где U С X — произвольное открытое подмножество в схеме X, а Кп{—) обозначает i^-группы Квил-лена. Пучки К-групп во многом представляют интерес благодаря их связи с теорией алгебраических циклов. Так, формула Блоха-Квиллена для когомологий этих пучков Нп(Х, Кп(Ох)) = СНп(Х) (см. [б], [58]) позволяет получать информацию о структуре групп Чжоу (например, см. [10]), изучение которых связано со многими глубокими гипотезами алгебраической геометрии (стандартные гипотезы Гротендика, гипотезы Ходжа, Тэйта, Блоха-Бейлинсона и многие другие).

Для пучков if-групп на регулярной отделимой схеме X конечного типа над полем имеется резольвента Герстена, отражающая связь когомологий пучков К-трупп с (алгебраической) геометрией многообразий (см. [58]). При этом комплекс Герстена Gers(X, п)*, вычисляющий когомоло-гии пучков if-групи /С* п > 0, определяется по формуле Gers(X,n)p =

0 Kn-P(k(rj)), где k{rj) обозначает поле вычетов в точке ту коразмерности сти р на схеме X. Однако резольвента Герстена не является мультипликативной и обладает контравариантностью лишь по отношению к узкому классу морфизмов. Более точно, между пучками if-групп определено каноническое произведение /С* <g) /С* —> индуцированное произведением в самих /^-группах. Это произведение не может быть продолжено на комплекс Герстена: иначе существовала бы теория пересечений алгебраических циклов, не рассматривающая их ни по какому отношению эквивалентности. Также для любого морфизма многообразий / : X —> Y определен морфизм пучков /* : —> /*/Cjf. Данный морфизм продолжается на комплексы Герстена, лишь когда морфизм / плоский. Отсутствие мультипливативности и котравариантности является существенной трудностью при работе с резольвентой Герстена, что приводит к поиску специальных геометрических методов для каждой отдельной задачи. В частности, так Д. Грейсон доказал в [30], что произведение-пересечение на группах Чжоу совпадает с точностью до знака с естественным произведением между соответствующими группами /Г-когомологий. А. Жилле предложил в [26] другой метод, рассматривающий некоторую мультипликативную резольвенту для пучков iiT-групп. Данный подход во многом использовал специфику if-групп, например, их совпадение с когомологиями пучков симплициальных множеств, и не был достаточно явным.

В дальнейшем комплекс Герстена и утверждение о его локальной точности были обобщены для многих других функторов, помимо if-теории. Список некоторых из многочисленных работ на эту тему включает в себя [16], [18], [60], [5]. Отметим, что и в общем случае комплекс Герстена не обладает мультипликативностью и контравариантностью. Таким образом интересным вопросом представляется построение комплекса, квазиизоморфного комплексу Герстена, и обладающего мультипликативностью и контравариантностью. Отметим, что общая теория пучков позволяет строить контравариантные и мультипликативные симплициальные резольвенты, например, резольвенты Чеха или Годемана (см. [27]). Однако, по-видимому, такие резольвенты слишком общие, чтобы отражать алгебро-геометрическую структуру схемы, например, связь К-когомологий с алгебраическими циклами.

Приведенная выше формула Блоха-Квиллена дает определение индекса пересечения для групп Чжоу, не требующее геометрических конструкций, таких, как лемма о сдвиге или деформация к нормальному конусу. Это обстоятельство используется при построении теории пересечений на арифметических схемах (см. [63]). Отметим, что арифметический индекс пересечения является обобщением высотного спаривания между точками на эллиптической кривой, определитель которого входит в гипотезу Берча-Свиннертона-Дайера.

Альтернативные подходы к многомерному аналогу высотного спаривания были предложены в работах С. Блоха [9], [12] и в работе А. А. Бейлинсона [4]. В данных работах рассматривается точка зрения, утверждающая, что индекс пересечения для алгебраических циклов на арифметической схеме, т.е. на плоской схеме X —» Spec(Z), должен быть интерпретирован, как "индекс зацепления" между соответствующими циклами на общем слое X = Xq.

Индексом зацепления в алгебраической геометрии является инвариант, который можно сопоставить двум циклам Z, W коразмерности р и q на гладком проективном многообразии X размерности d над полем к, где р + q = d + 1 (например, двум кривым на трехмерном многообразии). Такой инвариант предлагается в работах [12] и [14]. Оказывается, что это уже не число, а £;*-торсор, т.е. множество, на которое свободно и тран-зитивно действует группа к*. Более того, строится бирасширение Р пары (CHp(X)i10m^CHq(X)i10m) группой к*, обобщающее линейное расслоение Пуанкаре на произведении многообразий Пикара и Альбанезе, где

CH*(X)hom обозначает группу классов рациональной эквивалентности гомологически тривиальных циклов на X. Для многообразий над числовым полем тривиализации бирасширения log|P|, возникающие при вложении числового поля в его пополнения, приводят к высотному спариванию между алгебраическими циклами, т.е. арифметическому индексу пересечения (см. [12]).

В [14] был поставлен вопрос о связи бирасширения Р с линейным расслоением Пуанкаре на произведении промежуточных якобианов для случая комплексных многообразий. Частичный ответ на данный вопрос был получен в [46] при помощи функториальных свойств высших групп Чжоу и отображения регулятора в когомологии Делиня. Кроме этого возникает естественный вопрос о нахождении описания бирасширения Р в терминах if-когомологий, аналогичного рассмотренному выше подходу к индексу пересечения. С другой стороны, индекс пересечения может быть выражен как ранг когомологий комплекса КГ(Х, Oz<8>oxOw). Так возникает вопрос о нахождении описания бирасширения Р в терминах данного комплекса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Горчинский, Сергей Олегович, 2007 год

1. Е. Arbarello, С. de Concini, V. G. Kac, "The 1.finite Wedge Representation and the Reciprocity Law for Algebraic Curves", Proc. Sympos. Pure Math. 49:1 (1989), 171-190.

2. А. А. Бейлинсон, "Вычеты и адели", Фуикц. анализ и прил., 14 (1980), 34-35.

3. A. A. Beilinson, "Notes on absolute Hodge cohomology", Contemp. Math., 55 (1986), 35-68.

4. A. A. Beilinson, "Height pairing between algebraic cycles", Contemp. Math., 67 (1987), 1-24.

5. A. Beilinson, V. Vologodsky, "A guide to Voevodsky's motives", arXiv:math/0604004v4.

6. S.Bloch, "K2 and algebraic cycles", Ann. of Math., 99:2 (1974), 349-379.

7. S. Bloch, "Algebraic if-theory and crystalline cohomology", Publications Mathematiques de I'l.H.E.S., 47 (1977), 187-268.

8. S. Bloch, "Torsion algebraic cycles and a theorem of Roitman", Compositio Mathmatica, 39:1 (1979), 107-127.

9. S. Bloch, "A note on height pairing, Tamagawa numbers, and the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture", Inventiones Math., 58 (1980), 65-76.

10. S. Bloch, "Lectures on algebraic cycles", Duke Univ. Math. Ser. ТУ (1980).

11. S. Bloch, "Algerbaic K-theory and class field theory for arithmetic surface", Ann. of Math., 114 (1981), 229-265.12