Приложения автоморфных форм в алгебраической геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор наук Гриценко Валерий Алексеевич

• Гриценко Валерий Алексеевич
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Гриценко Валерий Алексеевич

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1 Модулярные многообразия, пространства модулей и автоморфные формы на ортогональной группе O(2, n)

2 Арифметический подъем форм Якоби и геометрический род пространства модулей поляризованных абелевых поверхностей

3 Рефлективные автоморфные формы: два автоморфных принципа в геометрии модулярных многообразий

4 Формы Якоби веса 0: автоморфные произведения в одномерном кас-пе, лоренцевы алгебры Каца—Муди, эллиптический род многообразий Калаби—Яу

5 Пространства модулей поляризованных КЗ поверхностей

6 Пространства модулей поляризованных неприводимых голоморфных симплектических многообразий

7 Тета-блоки и пространства модулей поляризованных поверхностей Кум-мера

Список литературы

Приложение А. Статья 1. Irrationality of the moduli spaces of polarized

Abelian surfaces

Приложение B. Статья 2. Рефлективные модулярные формы и их приложения

Приложение C. Статья 3. Lorentzian Kac-Moody algebras with Weyl groups

of 2-reflections

Приложение D. Статья 4. The Kodaira dimension of the moduli of K3 surfaces

Приложение E. Статья 5. Moduli spaces of irreducible symplectic manifolds

Приложение F. Статья 6. Moduli spaces of polarised symplectic O'Grady varieties

and Borcherds products

Приложение G. Статья 7. Uniruledness of orthogonal modular varieties

Приложение H. Статья 8. Elliptic genus of Calabi-Yau manifolds and Jacobi

and Siegel modular forms

Приложение I. Статья 9. Antisymmetric Paramodular Forms of Weights 2 and

Приложение J. Статья 10. Antisymmetric paramodular forms of weight

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Приложения автоморфных форм в алгебраической геометрии»

ВВЕДЕНИЕ

Термин «КЗ поверхность» был предложен А. Вейлем в 1957 г. в его известной программе по исследованию этих поверхностей и их модулей. В течение многих лет последним открытым вопросом программы Вейля был вопрос о геометрическом типе пространств модулей поляризованных КЗ поверхностей. В статье [D4] эта проблема была решена через 50 лет после ее постановки. Это один из главных результатов диссертации, кратко изложенный в §5. (Смотрите также доклад K. Вуазен на семинаре Бурбаки [Vo2] и наш большой обзор [GHS1] в первом томе монографии "Handbook of Moduli".)

В середине 1980-x годов были открыты многомерные аналоги K3 поверхностей -неприводимые голоморфные симплектические многообразия или гиперкэлеровые многообразия. Автоморфный подход к исследованию модулей K3 поверхностей успешно применяется и для модулей поляризованных гиперкэлеровых многообразий. Метод использует алгебраическую геометрию, модулярные формы относительно неопределенной ортогональной группы O(2, n), автоморфные произведения Борчердса, комбинаторику систем корней и арифметическую теорию квадратичных форм.

Необходимость изучения модулярных форм на ортогональных группах типа O(2, n) была впервые отмечена А. Вейлем в конце 50-х годов прошлого века в его программе по изучению K3 поверхностей: "One interesting feature here is the occurrence, in a problem of moduli, of the automorphic functions belonging to the group of unites of a quadratic form of signature (n, 2) (with n = 19 in the present case)." (См. "Final report on research contract AF 18(603)-57", [We, стр. 390-395].)

Ниже мы приводим результаты автора в теории автоморфных форм ортогонального типа, которые позволили решить некоторые классические проблемы в теории модулей поляризованных абелевых поверхностей и соответствующих им поверхностей Куммера, поляризованных K3 поверхностей и поляризованных гиперкэлеровых многообразий. Тексты статей [D1]-[D10], составляющих диссертацию, собраны в Приложениях A-J данной диссертации. Их точное библиографическое описание дано ниже на странице 4. Кратко сформулируем основные результаты диссертации.

Вопрос Зигеля о геометрическом типе пространства модулей поляризованных абелевых поверхностей. (См. §2.) В [D1] найдена простая конструкция пара-модулярных форм Зигеля рода 2, определяющая модулярную форму по первому коэффициенту Фурье-Якоби. Этот подъем, иногда называемый подъемом Гриценко, позволяет строить канонические дифференциальные формы на пространствe модулей (1,t)-поляризованных абелевых поверхностей At. В [D1] доказано, что геометрический род любой гладкой компактификации этого трехмерного многообразия At положителен, то есть H3'0(At) = {0}, для всех t кроме двадцати исключительных поляризаций t = 1, 2,..., 12,14,15,16,18, 20, 24, 30, 36. (См. Теорему 2.3 в §2, стр. 12) Конструкция подъема форм Якоби работает и для ортогональной группы типа O(2, n) (см. Теорему 2.2 в §2, стр. 10).

Модулярные формы и размерность Кодаиры модулярных многообразий: два автоморфных критерия. (См. §3.) Теория рефлективных модулярных форм на ортогональной группе O(2, n) вместе с исследованием особенностей модулярных многообразий позволила найти два общих автоморфных критерия, позволяющих определить геометрический тип многих пространств модулей. Первый критерий, "Low weight cusp form trick" из Теоремы 3.3 в §3 (стр. 15), доказанный в [D4], дает достаточное условие того, что модулярное ортогональное многообразие является многообразием общего типа.

Второй критерий из Теоремы 3.4 в §3 (стр. 15), полученный в [D2], позволяет доказать, что размерность Кодаиры многообразия равна —ж или 0, а Теорема 3.6 (стр. 16), доказанная в [D7], гарантирует по крайней мере унилинейчатость модулярного многообразия во втором критерии. В [D2] и [D3] найдено более 50 примеров модулярных многообразий ортогонального типа различных размерностей, которые являются по крайней мере унилинейчатыми. Список 33 из них приведен в Теоремах 4.3 и 4.4 в §4 на стр. 21.

Новая конструкция автоморфных произведений Борчердса в одномерных кас-пах в терминах форм Якоби. (См. §4.) Для эффективного применения автоморфных критериев, упомянутых выше, в [D2] предложен новый вариант конструкции автоморфных произведений Борчердса в терминах форм Якоби (см. Теорема 4.1 в §4 на стр. 18). Один из сюрпризов этого метода - открытие 23 новых конструкций знаменитой ав-томорфной формы Ф12 от 26 переменных (см. Теорема 4.2 в §4 на стр. 20), построенной Р. Борчердсом в 1994 году в рамках решения "Moonshine problem". Наш подход позволил найти примерно 100 рефлективных модулярных форм и более 50 (по крайней мере) унилинейчатых модулярных многообразий в [D2] и [D3], используя второй автоморфный критерий. Кроме того, этот метод позволяет найти функции знаменателя Каца-Вейля-Борчердса (см. Теорему 4.3 на стр. 21) и определить явно обобщённую матрицу Картана и кратности всех положительных корней 2-рефлективных автоморфных лоренцевых алгебр Каца-Муди в [D3].

Эллиптический род многообразий Калаби—Яу и связанное с ним автоморф-ное произведение. (См. §4). Эллиптический род от двух переменных многообразия Калаби-Яу является слабой формой Якоби веса 0 для простейшей системы корней Ai. Математическое доказательство этого факта из теории струн было дано в [D8]. В [D8] было доказано, что эллиптический род многообразия Калаби-Яу полностью определятся его y-родом Хирцебруха, если размерность многообразия меньше 12 (см. Теорему 4.5 в §4, стр. 22). В [D8] доказана также рефлективность автоморфного произведения Борчердса, построенного по эллиптическому роду K3 поверхности или трехмерного многообразия Калаби-Яу. В [D8] мы вычисляем явно (см. Теорема 4.6 в §4, стр. 23) это автоморфное произведение для многообразий Калаби-Яу размерностей 2, 3, 4 и 6 в терминах формул знаменателей автоморфных лоренцевых алгебр Каца-Муди ранга 3, найденных ранее Гриценко и Никулиным. В теории струны эти автоморфные произведения связаны с вторичным квантованием эллиптического рода многообразий Калаби-Яу.

Размерность Кодаиры пространства модулей поляризованных K3 поверхностей и пространств модулей поляризованных гиперкэлеровых многообразий типа K3[2] и модулей поляризованных десятимерных многообразий О'Грэди.

(См. §5 и §6.) Детальное исследование компактификации модулярных многообразий, первый автоморфный критерий, новые результаты о квазиограничении формы Борчерд-са Ф12 и арифметические аргументы из теории квадратичных форм и систем корней позволили в [D4] дать решение последнего открытого вопроса А. Вейля о модулях K3 поверхностей. Доказано, что пространство F2d модулей поляризованных K3 поверхностей степени 2d имеет общий тип для d = 46, 50, 54, 57, 58, 60 и для всех d > 61. Размерность Кодаиры F2d неотрицательна, если d > 40 и d = 41, 44, 45, 47.

Аналогичные результаты получены для пространств модулей

MsPiit (K3[2], 2d) поляризованных четырехмерных неприводимых голоморфных симплектических многообразий типа K3[2] = Hilb2(K3) (см. [D5]) и модулей Mspht(OGio, 2d) поляризованных десятимерных многообразий О'Грэди (см. [D6]). Эти пространства модулей являются модулярными многообразиями ортогонального типа размерностей 20 и 21 соответственно. Первое

пространство модулей Msplit(K3И, 2d) имеет общий тип для всех расщепимых поляризаций степени Богомолова-Бовиля 2d с d > 12, более того его размерность Кодаиры неотрицательна, если d = 9 и 11. Второе пространство модулей Msplit(OG10, 2d) имеет общий тип для любой расщепимой поляризации степени 2d = 2n+1.

Тета-блоки и канонические дифференциальные формы на пространствах модулей поляризованных поверхностей Куммера. (См. §7.) Эти недавние результаты в [D9]-[D10] о трехмерных модулярных многообразиях тесно связаны как с моим первым результатом о поляризованных абелевых поверхностях так и с результатами о гипер-кэлеровых многообразиях. Модулярная группа Г пространства модулей куммеровых поверхностей Kt, отвечающих (1, t)-поляризованным абелевым поверхностям, является расширением парамодулярной симплектической группы rt степени 2v(t), где v(t) - число простых делителей поляризации t. Вопрос о существовании параболических форм канонического веса 3 для Г оставался открытым с середины 90-х годов. Первые примеры таких форм (и, следовательно, канонические дифференциальные формы на зигелевом трифолде Kt) были недавно построены в [D9]-[D10], используя новую теорию тета-блоков Гриценко-Загира-Скоруппы [GSZ]. См. Теоремы 7.2 и 7.3 на стр. 32. Существование аналогичной формы веса 2 для p = 587 (см. Теорему 7.4 в §7, стр. 33) стало подтверждением модулярной гипотезы Брамера-Крэмера, которая является двумерным обобщением гипотезы Шимуры-Таниямы-Вейля (см. [BK] и [D9]).

Список публикаций, выносимых на защиту

[D1] V. Gritsenko, Irrationality of the moduli spaces of polarized Abelian surfaces. International Mathematics Research Notices 6 (1994), 235—243.

[D2] В. А. Гриценко, Рефлективные модулярные формы и их приложения. Успехи Математических Наук 73:5 (2018), 53—122; Reflective modular forms and applications. Russian Math. Surveys 73:5 (2018), 797-864.

[D3] V. Gritsenko, V.V. Nikulin, Lorentzian Kac-Moody algebras with Weyl groups of 2-reflections. Proceedings London Math. Soc. 116:3 (2018), 485-533. The

[D4] V. Gritsenko, K. Hulek, G. Sankaran, The Kodaira dimension of the moduli of K3 surfaces. Inventiones Mathematicae 169 (2007), 519—567.

[D5] V. Gritsenko, K. Hulek, G. Sankaran, Moduli spaces of irreducible symplectic manifolds. Compositio Mathematica 146 (2010), 404—434.

[D6] V. Gritsenko, K. Hulek, G. Sankaran, Moduli spaces of polarised symplectic O'Grady varieties and Borcherds products. J. of Differential Geometry 88 (2011), 61—85.

[D7] V. Gritsenko, K. Hulek, Uniruledness of orthogonal modular varieties. J. Algebraic Geometry 23 (2014), 711-725.

[D8] V. Gritsenko, Elliptic genus of Calabi-Yau manifolds and Jacobi and Siegel modular forms. Алгебра и Анализ 11:5 (1999), 100—125; St. Petersburg Math. Journal 11:5 (2000), 781—804, with Appendix of F. Hirzebruch, On the Euler characteristic of manifolds with c1 =0. A letter to V. Gritsenko. 805—807.

[D9] V. Gritsenko, C. Poor, D. S. Yuen, Antisymmetric Paramodular Forms of Weights 2 and 3. International Mathematics Research Notices, Issue 20 (2020), 6926—6946.

[D10] В. А. Гриценко, Х. Ванг, Антисимметричные парамодулярные формы веса 3. Математический Сборник 210:12 (2019), 43—64; Antisymmetric paramodular forms of weight 3. Sbornik: Mathematics, 210:12 (2019), 1702-1723.

1 Модулярные многообразия, пространства модулей и авто-морфные формы на ортогональной группе 0(2, п)

Во Введении мы отметили, что необходимость изучения модулярных форм на ортогональных группах типа 0(2, п) была впервые отмечена А. Вейлем в конце 50-х годов прошлого века в его программе по изучению КЗ поверхностей и их модулей. Методы теории модулярных форм на группе 0(2, п) и, в частности, теории автоморфных произведений Борчердса сыграли важную роль в решении последнего открытого вопроса программы А. Вейля. В первом параграфе мы даем все необходимые определения, связанные с модулярными формами относительно ортогональных групп.

1.1. Ортогональные модулярные многообразия, пространства модулей и ком-пактификация Бейли—Бореля.

Прежде всего мы определим важный для алгебраической геометрии класс многообразий, а именно, модулярные многообразия ортогонального типа.

Пусть Ь - целочисленная решетка, то есть свободный 2-модуль конечного ранга с четной целочисленной симметричной билинейной формой (■, ■) : Ь х Ь ^ Z сигнатуры (2, п). "Четность" решетки означает, что (1,1) € 22 для любого 1 € Ь. Определим ассоциированную с Ь классическую эрмитову однородную п-мерную область

V(L) = [[2] € Р(Ь ® С) | (2, 2) = 0, (2, 2) > 0}+,

где + означает одну из двух компонент связности. Обозначим через 0+(Ь) подгруппу индекса 2 целочисленной ортогональной группы 0(Ь), сохраняющую ^(Ь). Для неопределенной решетки Ь подгруппа 0+(Ь ® М) состоит из всех элементов вещественной спи-норной нормы 1 (см. [СИ82]).

Пусть Г - подгруппа конечного индекса в 0+(Ь). Любая такая группа действует на Т>(Ь) как дискретная группа автоморфизмов. Определим фактор-пространство

Мь(Г) = Г\ОД,

которое называется ортогональным модулярным многообразием.

Многие классические пространства модулей являются ортогональными модулярными многообразиями. Ниже приведены некоторые важные примеры:

(1) пространство модулей эллиптических кривых (группа 0+(2,1) изогенна 81/2(2));

(2) пространство модулей гильбертовых поверхностей (случай сигнатуры (2, 2));

(3) пространство модулей поляризованных абелевых или куммеровых поверхностей (зигелевы модулярные многообразия размерности 3 имеют ортогональный тип (2, 3));

(4) пространство модулей поляризованных и решеточно-поляризованных КЗ поверхностей (модулярные многообразия сигнатуры (2,п) с п < 19);

(5) пространство модулей поверхностей Энриквеса и поляризованных поверхностей Энриквеса (специальный случай сигнатуры (2,10));

(6) пространство модулей поляризованных неприводимых голоморфных симплекти-ческих многообразий (модулярные многообразия сигнатуры (2, 4), (2, 5), (2, 20) и (2, 21)).

По построению, ортогональное модулярное многообразие является комплексным аналитическим пространством. Его компактификация типа Сатаке, а именно компактифи-кация Бейли-Бореля, была построена в [ВВ]. Как риманово многообразие

V(Ь) ^ 80о(2,п)/80(2) х 80(п),

где 80о(2,п) - компонента единицы. Компактификация Бейли-Бореля определена для любого эрмитового симметричного пространства V = О/К и его фактор-пространства X = Г\Р по арифметической группе Г. В частности, компактификация V* области V четвертого типа является замыканием V в двойственной по Хариш-Чандра компактной области

Т)(Ь) = [х € Р(Ь ® С) | (х, х) = 0}.

Касательное пространство к О/К в К отождествляется, как комплексное многообразие, с открытым подмножеством в V. Граница компактификации V* распадается в дизъюнктное объединение компонент Гр, являющихся в свою очередь симметрическими пространствами, соответствующими рациональным параболическим подгруппам ортогональной группы сигнатуры (2, п), которые являются стабилизаторами изотропных пространств в Ь ® 0>. Так как sign(Ь) = (2,п), изотропные подпространства могут иметь размерность только один или два. Следовательно, компактификация М^(Г)* ортогонального модулярного многообразия Г\Р(Ь) может иметь компоненты границы размерностей 0 или 1. Точнее, имеет место следующий результат (см. [ВВ]): компактификация Бейли-Бореля Мь(Г)* является неприводимым нормальным проективным многообразием над С и распадется в объединение непересекающихся компонент

Мь(Г)* = Мь(Г) И Ц Хр И Ц (1)

р £

где £ и V пробегают конечное число представителей Г-орбит рациональных изотропных прямых и плоскостей в Ь ® 0>. Компонента Мь(Г) = Г\Т>(Ь) является отрытым по Зарискому множеством, каждая компонента Хр является модулярной кривой, а каждая < - точкой. < содержится в замыкании Хр тогда и только тогда, когда £ может быть выбрана так, что £ С V. Компоненты Хр и < обычно называются 1- и 0-мерными компонентами границы модулярного многообразия или его одномерными и нульмерными каспами.

1.2. Модулярные формы и геометрический род модулярного многообразия.

Теория модулярных форм является одним из главных инструментов для изучения геометрии модулярных многообразий ортогонального типа. Например, компактификация Бейли-Бореля Мь(Г)* может быть определена как Рго] (0к Мк(Г)), где Мк(Г) обозначает конечномерное пространство модулярных форм веса к с тривиальным характером. Дадим определение модулярных форм.

Определение 1.1. Рассмотрим решетку Ь сигнатуры (2, п) с п > 3 и аффинный конус Т>(Ь)т = [у € Ь ® С | х = С*у € Т>(Ь)} над Т>(Ь). Пусть к € 2 и х: Г ^ С* -характер подгруппы Г < 0+(Ь) конечного индекса. Голоморфная функция Г: Т>(Ь) ^ С называется модулярной формой веса к и характера х относительно группы Г, если

Г(¿2)= ГкГ(2), VI € С* и Г(£2)= х(9)Р(2), Vд € Г.

Модулярная форма называется параболической, если она обращается в ноль во всех каспах группы Г, то есть на всех граничных компонентах компактификации Бейли-Бореля модулярного многообразия Г\Т>(Ь).

Через Ык(Г,х) (соответственно, Бк(Г,х)) обозначаем линейное пространство всех модулярных (соответственно, параболических) форм веса к и характера Эти пространства конечномерны. Замечания к Определению 1.1.

1. В этой статье мы рассматриваем в основном случай п > 3. Для таких п порядок характера х в определении всегда конечен в силу свойства (Т) Д. Каждана (см. [Б4]).

2. Если п < 3, то в определение модулярных форм следует добавить условие голоморфности на границе, то есть в 0-мерных каспах. Согласно принципу Кёхера (см. [Ет], [Р-БЬ]) в случае п > 3 модулярная форма голоморфная на границе ("в бесконечности"), если она голоморфна внутри области.

3. Если Ык(Г, х) нетривиально, то известно, что к > (п-2)/2 (см. простое доказательство в [02] и [Б2, §2.3]). Минимальный вес к = (п — 2)/2 называется сингулярным. Любая параболическая форма имеет вес строго больший, чем (п — 2)/2. В 80-е годы прошлого века полагали, что сингулярных форм ортогонального типа не существует в размерности большей 6. Первый контрпример в размерности 10 был построен в автором в [01] в 1988 г. (см. также [02] и [Б2]).

4. Для геометрических приложений самыми важными арифметическими группами являются стабильная ортогональная группа и ее специальная подгруппа

О+(Ь) = [д е 0+(Ь) | д\ь-,/ь = 1ё}, ёО+(Ь) = ЯО(Ь) П О+(Ь), (2)

где Ьу - двойственная решетка и Ьу/Ь конечная дискриминантная группа порядка |ёе!(Ь)|.

5. Если решетка Ь содержит две ортогональных копии гиперболической плоскости (гиперболическая плоскость и = (11) - это четная унимодулярная решетка сигнатуры (1,1)) и редукция Ь по модулю 2 (соответственно, 3) имеет по крайней мере ранг 6 (соответственно, 5), тогда для О+(Ь) имеется только один нетривиальный характер ёе! (см. [0И82]).

Дифференциальные формы на модулярном многообразии могут быть интер-

претированы как модулярные формы относительно группы Г. Выберем комплексную форму объема dZ на ^(Ь). Тогда, если ^ - модулярная форма веса кп и характера (1еЛк для группы Г, то ^ (dZ)k является Г-инвариантным сечением плюриканоническо-го расслоения 0(Р(Ь)°)®к над открытой частью Р(Ь)°. Следовательно арифметическая информация о модулярных формах может быть использована для получения геометрической информации об модулярном многообразии М^(Г).

Вопрос о продолжении плюриканонических форм ^ (dZ)к на гладкую компактифи-кацию модулярного многообразия был исследован в [Б4] (см. ниже §5). Однако, в случае канонических форм вопрос решается достаточно просто.

Вес к = п называется каноническим в силу следующей Леммы Фрейтага (см. [Ет, Предложение 2.1 Главы 3])

Бп(Г, ёе!) = Н0 (Мь(Г), П(Мь(Г))),

где М^(Г) - любая гладкая компактификация модулярного многообразия М^(Г) и П(М^(Г)) - пучок канонических дифференциальных форм. Следовательно, имеется следующая важная формула для геометрического рода ортогонального модулярного многообразия в терминах размерности пространства параболических форм канонического

веса п:

рд (Мь(Г)) = 1гп'0(Мь(Г)) = ёт 5га(Г, ёе1).

(3)

Главная проблема: Как построить хотя бы одну параболическую форму канонического веса для модулярных групп из теории модулей алгебраических многообразий?

2 Арифметический подъем форм Якоби и геометрический род пространства модулей поляризованных абелевых поверхностей

2.1. Разложения Фурье и Фурье-Якоби модулярных форм. Формы Якоби.

Рассмотрим разложения Фурье модулярной формы в нульмерных и в одномерных каспах модулярного многообразия, описанных в (1). В нульмерном каспе мы получаем обычное разложение Фурье, а в одномерном - так называемое разложение Фурье-Якоби, коэффициенты которого являются функциями от двух переменных: модулярной переменной т из верхней полуплоскости каспа и векторной (абелевой) переменной из Ьо ® С, где Ь0(—1) некоторая отрицательно определенная подрешетка ранга п исходной решетки Ь сигнатуры (2,п). Разложения Фурье-Якоби были введены И. Пятецким-Шапиро в начале 60-х годов (см. [Р-БЬ]). Он заметил, что коэффициенты Фурье-Якоби являются абелевыми функциями по дополнительной переменной. Теперь подобные функции называются модулярными формами Якоби. Формы Якоби от многих абелевых переменных являются ключевым инструментом данной диссертации.

Для описания разложений Фурье мы рассмотрим аффинные реализации проективной однородной области ^(Ь), отвечающие компонентам границы компактификации Бейли-Бореля. В этой диссертации мы рассматриваем решетки, содержащие две гиперболические плоскости и,

Ь = и ® Ь = и ® (и ® Ьо(—1)), и = и = ( 00), (4)

где Ь0 - четная целочисленная положительно определенная решетка ранга п0 > 0, Ь имеет сигнатуру (1,п0 + 1), а Ь - сигнатуру (2,п0 + 2). (Ь(т) обозначает решетку Ь с квадратичной формой умноженной на т.)

Пусть [Я] € Т>(Ь). Используя базис (е, /)Ъ плоскости и (е2 = /2 = 0, (е, /) = 1), мы запишем Я = г'в + 2 + г/ с 2 € Ь1 ® С. Отметим, что Ь1 = е^/Ъе и г = 0. (Если г = 0, то вещественная и мнимые части 2 дают два ортогональных вектора отрицательной нормы в гиперболической решетки Ь1 ® М. Противоречие.) Следовательно, [Я] = [—2(2, 2)е + 2+/]. Это дает цилиндрическую модель в "бесконечности е", отвечающую примитивному изотропному вектору е,

Р(Ь) ^Н(Ь1) = [2 € Ь1 ® С | (1т 2, 1т 2)ь± > 0}+.

Иными словами, Н(Ь1) является комплексификацией положительного конуса (или конуса будущего)

V +(Ь1) = [У € Ь1 ® М | (Г, Г) > 0}+

гиперболической решетки. Это так называема труба будущего. Используя аналогичный базис (е1, /1)2 = и второй плоскости, мы получаем более детальное представление

области Р(Ь) в одномерном каспе, отвечающем изотропной плоскости (в, в1)

Н(Ь0 = Н(Ьо) = [Z = шв1 + з + т/1 е Ь1 ® С |

т, ш е Н1, з е Ьо ® С, 21тт ■ 1тш — (1тз, 1тз)Ьо > 0}. (5)

Цилиндрическая аффинная область Н(Ьо) является аналогом обычной верхней полуплоскости Н (случай сигнатуры (2,1)), произведения двух полуплоскостей Н х Н1 (случай сигнатуры (2, 2)) или полуплоскости Зигеля рода 2 (случай сигнатуры (2, 3))

Н2 = ^ = () е Ы2(С) | 1т Z> 0}. (6)

Зафиксируем изоморфизм [рг] : Н(Ь1) ^ ^(Ь), отвечающий 1-мерному каспу (в, в1),

Z = (шв1 + з + т/1) ^ рг(^ = (—в + шв1 + з + т/1 + /) ^ [рг(^] .

Для примитивного изотропного вектора с е Ь и любого а е с^ определена трансвекция Эйхлера

¿(с, а): V ——> V + (а, -и)с — (с, ^)а — ^(а, а)(с, ^)с е ЯО+(Ь).

Если Z е Н(Ь1) и I е Ь1 = в^/Ъв, то ¿(в, 1)(рг^]) = рг^+1]. Следовательно, ¿(в, I) задает линейный сдвиг в Н(Ь1). Более того, любая трансвекция ¿(с, а) действует тривиально на Ьу/Ь. Следовательно, любая модулярная форма ^ е Ы^(ЯО+(Ь)) периодична, то есть ^(Z + I) = ^(Z) для любого I е Ь1. Тем самым определено разложение Фурье по переменной Z е Н(Ь1) в нульмерном каспе, отвечающем изотропной решетке (в),

^(^= ^ /(¿)ехр(2пг (¿^)). (7)

Условие на гиперболическую норму > 0 индексов ненулевых коэффициентов Фу-

рье следует из голоморфности модулярной формы. (См. описание разложения Фурье в произвольном каспе в [0Ш, §2.3] и [0Ы81, §8.2-8.3].) Разложение Фурье-Якоби в одномерном каспе (в,в1) - это разложение Фурье по переменной ш из (5)

^(т, з,ш) = ^ <£т(т, з)ехр(2пгшш). (8

; тш)

т>0

Коэффициенты ^>т(т, з) называются коэффициентами Фурье-Якоби в 1-мерном каспе, задаваемом изотропной плоскостью Р = (в, в1). Они удовлетворяют определенным функциональным уравнениям. Коэффициенты Фурье-Якоби можно рассматривать как модулярные формы относительно группы Якоби Гр(Ь), которая является параболической подгруппой, сохраняющей изотропную плоскость Р = (в, в1),

Гр(Ь) = [д е !ЗО+(Ы) : дР = Р,д|ь= 1ё} < О+(Ы).

Группа Гр (Ьо) является полупрямым произведением БЬ2^) на унипотентную подгруппу Гейзенберга Н(Ьо) (центральное расширение подгруппы "абелевых сдвигов"). См. статьи автора [02] и [С02].

Мы определяем формы Якоби веса к и индекса т относительно решетки Ьо как авто-морфные формы типа <^(т, з) ехр (2П тш) относительно этой параболической подгруппы Гр(Ь). Это можно выразить при помощи функциональных уравнений двух типов, приведенных ниже.

Определение 2.1. (См. [D2, Определение 2.2], [G2] и [CG2].) Голоморфная функция ф : H х (Lo ® C) ^ C называется слабо голоморфной формой Якоби веса k G Z, индекса t G N относительно решетки L0, если она удовлетворяет функциональным уравнениям

far + b z \ / isk mt<ы1 , . w / a b \ пт /Г77Л

ч^'c^J=(ст+d)kecT+d ф(т,z), 4 c d JG sl2(z)'

ф(т, 3 + XT + y) = e-int((x'x)T+2(x'z)) ф(т,z), Vx,y G Lo, и обладает разложением Фурье типа

ф(т, 3) = Е Е fMqV, (9)

n>co ееь'^

где c0 G Z, q = e2niT и (£ = e2ni(i'3). Если ф удовлетворяет условию

f(n,^ = 0 2n - (•,•) > 0,

тогда ф называется голоморфной формой Якоби. Если ф удовлетворяет более сильному условию (f (n, •) = 0 2n — (•, •) > 0) тогда ф называется параболической.

Обозначим через J. l0 t (соответственно Jk,L0,t, и JClPJ векторное пространство слабо голоморфных (соответственно, голоморфных или параболических) форм Якоби веса k и индекса t относительно решетки L.

Замечания. 1. Ясно, что JkUsSPt С Jk,L0,t С Jk l0 t. Все пространства конечномерные.

2. Голоморфные модулярные формы Якоби веса k и индекса m в смысле Эйхлера-Загира, введенные в книге [EZ], совпадают с голоморфными формами Якоби Jk , , t решетки A1 = (Z, 2x2) ранга 1.

3. Если Jk , m(L0) = {0}, то k > 2 rank L0 (см. [G1]). Вес k = 2 rank L0 называется сингулярным. Известно (см. [G2, Лемма 2.1]), что f (n,^) зависит только от гиперболической нормы Nm(n,^) = 2nm —(•,•) и образа • в дискриминантной группе D(S(m)) = L0v/mL0. Более того, f (n, •) = (—1)kf (n, -•).

2.2. Арифметический подъем форм Якоби.

Теорема 2.2. (См. [D2, Теорема 3.1] и [G2].) Подъём формы Якоби фд(t,z) G Jk>1 (L0) (с f (0, 0) = 0 в (9)) веса k определяется действием формальной операторной L-функцией Гекке группы SL2 (Z), задаваемой следующей суммой

Lif%k)(t,z,w) = Е mk-1^k(t,z)e2™) |k T-(m)

m> i

ат + b

E m-^ E akф^^, az) e2™. (10)

m>1 ad=m

b mod d

Подъём имеет следующее разложение Фурье

—1 f (

d2 'd

Lift(фk)(Z)= Е Е dk-1f (^dm,d) e(nT + (•, z) + mw),

ttLo

2nm-(e ,£)>0

где d|(n,£, т) обозначает положительный общий делитель п, т и вектора £ е Ьц. Подъём есть модулярная форма веса к относительно стабильной ортогональной группы !ЗО+(Ь) (см. (2))

) е Ык(§О+(Ь)).

) - параболическая форма, если ^ параболическая форма Якоби.

Замечания. 1. Более сложные варианты этой теоремы для форм Якоби относительно конгруэнц-подгрупп, дробного индекса и с возможным характером исследованы в статьях автора [С01], [С02] и [Б2].

2. Я назвал данный подъем арифметическим, так как он задается операторным эйлеровым произведением - формальной Ь-функцией Гекке группы БЬ (или ее конгруэнц-погруппы) специального подкольца некоммутативного кольца Гекке параболической подгруппы Гр. (см. мою статью [03] о некоммутативных кольцах Гекке параболических подгрупп классических групп). Конструкция подъема была обобщена Борчердсом в форме аддитивного подъема в 1998 году (см. [Вот2]).

3. В случае парамодулярной группы Зигеля (см.ниже) данный подъем был введен в [Б1]. Его иногда называют подъёмом Гриценко. Отмечу, что эту конструкцию подъема я придумал для того, чтобы дать новый метод построения аналитического продолжения и функционального уравнение спинорной Ь-функции Зигелевых модулярных форм рода 2. Это дало очень короткое четырехстраничное доказательство. См. детали в [04]. Напомню, что оригинальное доказательство А.Н. Андрианова занимает 50 страниц журнального текста.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Гриценко Валерий Алексеевич, 2021 год

// O—

m

Q) -

l m

o

7r

CD

3

CD

F ^ (GfJ e^ Mkusp(r[m]). O

meN S

c_

Remark 2. There is a variant of this lifting for noncusp Jacobi forms. For a more general S

statement, see [G1].

w o

where the p-factor in the infinite product is the j_-image of the Hecke polynomial 1 -T (p)X+pT (p,p)X2 for SL2(Z). From this point of view, the function G^(Z) is a generalization of the classical even theta-function. To make this remark clear, let us define the theta-series in the same terms. Let H(r0) = H(r0(Z),r0(Q)) be the Hecke ring of the parabolic subgroup r0 = {(±1 } of the special linear group. As in the case of c Sp4(Z) (see (2)) we can define an embedding of the multiplicative semigroup N-1 or, more generally, the formal group ring Q[N-1] (we have to distinguish generators and coefficients) into the Hecke ring H(r0). By definition

n-1 [n-1]:= r„i " 01 W0 = J " 01 )e HOo). |

0 n / \ 0 n-1 / d

6(t) = 1 + 2 exp(2niT)

j-(Z(1)).

Theorem 3 shows us that there exist cusp forms of weight 2 with respect to some paramodular groups. Using this fact and the Tai criterion (see [AMRT]), we may prove the following.

Theorem 4. Let r be a neat subgroup of the paramodular group r(m)[ t ]. If the dimension of the space of Jacobi cusp forms of weight 2 and index t is positive, then the quotient space M = r \ H2 is of general type.

d o

o

We have a representation of the Hecke ring H(r0) on the space of periodic functions. For 3

instance, exp(2rn-r)| [n-1] = exp(2mn2-r). The ring Q[N-1] is the Hecke ring H({1},N-1) of p

the trivial group, consisting only of the identity. Thus we have the full analogy with the ||

situation described in (2). o

As a consequence, we can represent the classical even theta-function as a sum r

over a semigroup of the Hecke operators {[n-1], n e N} instead of as a sum over the lattice ° Z. Namely,

6(t) = exp(2nin2T) = 1 + 2 Y_ exp(2niT)| [n-1], S

neZ [n-1]eH({1}, N-1)

CD

or, using the same abuse of notation as in (3), -

Q)

o

7T

n(1 - [p-1])-1 = 1 + 2 exp(2niT)

p n

i

We see that the lifting (3) is a generalization of the last formal identity, where we have t

taken the formal operator Hecke L-function j-(LSL2(k-2)) instead of the operator Riemann e

zeta-function j-(Z(1)). (Note that these functions do not exist.) a

Using this analogy between the theta-series and the Jacobi lifting, we constructed e

in [G2] a holomorphic analytic continuation of the Spin-L-function of the Siegel modular i

form for Sp(4) taking the Rankin-Selberg convolution of a Siegel modular form with a §

lifted form. u

i\j o

We may formulate a natural conjecture.

Conjecture. The moduli space At of abelian surfaces with a polarization of type (1,t) is of general type if the dimension of the space of the Jacobi cusp forms of weight 2 and index t is positive.

The first such value of t is 37. The maximal t for which dimC ©2t = 0 is t = 180.

Acknowledgment

References

[BL] C. Birkenhake and H. Lange, Moduli spaces of abelian surfaces with isogeny, preprint, Forschungschwerpunkt "Komplexe Mannigfaltigkeiten", Heft 153, Erlangen, 1992, 18.

D o

o 0) Q. CD Q.

Author supported by Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn. o

o x

[AMRT] A. Ash, D. Mumford, M. Rapoport, and Y. Tai, Smooth Compactification of Locally Sym- —

metric Varieties, Math. Sci. Press, Brookline, 1975.

o

l u>

0

[EZ] M. Eichler and D. Zagier, The Theory of Jacobi Forms, Progr. Math. 55, Birkhäuser, Boston, g

a

1985. M

[F] E. Freitag, Siegelsche Modulfunktionen, Grundlehren Math. Wiss. 254, Springer-Verlag, -

Berlin, 1983. a

[G1] V. Gritsenko, Modular forms and moduli spaces of abelian and K3 surfaces, to appear in o

St. Petersburg Math. J. 6:4(1994). S

1

[G2] -, Andrianovsche (Spin) L-Funktion und Rankin-Selberg Konvolution, preprint, u

—t-

Forschungschwerpunkt "Arithmetik", Heft 9, Universität Heidelberg, 1993, 15. U

o

[G3] -, The action of modular operators on the Fourier-Jacobi coefficients of modular M

forms, Mat. Sb. 119 (1982), 248-277 (Russian); English transl. in Math. USSR-Sb. 47 (1984), h

237-268. 0

Q)

[G4] -, Induction in the theory of zeta-functions, St. Petersburg Math. J. 6:1 (1994), 1-61.

[HKW] K. Hulek, C. Kahn, and S. H. Weintraub, Moduli Spaces of Abelian Surfaces: Compactification, Degenerations and Theta-Functions, de Gruyter Exp. Math. 12, de Gruyter, Berlin, 1993.

[HS] K. Hulek and G. K. Sankaran, The Kodaira dimension of certain moduli spaces of abelian

surfaces, Compositio Math. 90 (1994), 1-36. [I] J. Igusa, Theta Function, Grundlehren Math. Wiss. 254, Springer-Verlag, Berlin, 1972.

[O'G] K. O'Grady, On the Kodaira dimension of moduli spaces of abelian surfaces, Compositio

Math. 72 (1989), 121-163. [SZ] N-P. Skoruppa and D. Zagier, Jacobi forms and a certain space of modular forms, Invent. Math. 94 (1988), 113-146.

7?

o

|\J o

Permanent: St. Petersburg Branch of the Steklov Mathematical Institute, Fontanka 27,191011 St. Petersburg, Russia; [e-mail]

Current: Max-Planck-Institut fur Mathematik in Bonn, Gottfried-Claren-Strasse 26, 53225 Bonn, Germany; [e-mail]

D o

o 0) Q. CD

Q. —

o 3

o

x —

o

l

(/> o—

a

0) -

I

a

o

7r

CD

3 0) i

7T o

|\J O

Приложение B

Статья 2

Валерий Гриценко,

Рефлективные модулярные формы и их приложения. Успехи Математических Наук 73:5 (2018), 53—122;

Reflective modular forms and applications. Russian Mathematical Surveys 73:5 (2018), 797-864.

Разрешение на копирование: Согласно Соглашению о копирайте автор статьи может использовать полную журнальную версию статьи в своей диссертации при условии, что указан источник.

2018 г. сентябрь — октябрь т. 73, вып. 5(443)

УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

УДК 511.38+515.178+512.554.32+512.721

Рефлективные модулярные формы и их приложения

В. А. Гриценко

Рефлективные модулярные формы ортогонального типа - это фундаментальные автоморфные объекты, обобщающие классическую эта-функ-цию Дедекинда. В этой статье мы опишем в терминах форм Якоби две конструкции для построения таких модулярных форм: автоморфные произведения и подъем Якоби. В частности, мы докажем, что первый коэффициент Фурье-Якоби модулярной формы Борчердса Ф12 (производящая функция для так называемой "Fake Monster Lie Algebra") в любом из 23 одномерных каспов совпадает с функцией знаменателя Каца-Вейля аффинной алгебры системы корней соответствующей решетки Нимейера. Мы даем новую простую конструкцию автоморфного дискриминанта пространства модулей поверхностей Энриквеса в форме подъема произведения восьми тета-функций и строим три башни рефлективных модулярных форм. Одна из них, башня D8, дает решение проблемы К.-И. Йошикавы (2009) о построении лоренцевых алгебр Каца-Муди по автоморфным дискриминантам, связанным с поверхностями дель Пеццо и аналитическими кручениями многообразий Калаби-Яу. Мы также формулируем условия на подрешетки, позволяющие строить семейства дочерних рефлективных форм по фиксированной форме. В итоге в статье построено около 100 подобных функций.

Библиография: 77 названий.

Ключевые слова: автоморфные формы, модулярные формы Якоби, системы корней, произведения Борчердса, алгебры Каца-Муди, аффинные алгебры Ли, размерность Кодаиры, пространства модулей, К3-поверх-ность, многообразия Калаби-Яу.

DOI: https://doi.org/10.4213/rm9853

Содержание

Введение......................................................................................................................................54

1. Модулярные многообразия и рефлективные модулярные формы..............60

1.1. Основные определения и объекты..............................................................60

1.2. Геометрическое значение рефлективных модулярных форм большого (малого) веса............................................................................................65

1.3. Разложения Фурье и Фурье-Якоби модулярных форм....................67

1.4. Разложение Фурье модулярной формы Борчердса Ф12....................69

1.5. Тета-функция Якоби и тета-функция Д1/2 Зигеля рода 2..............70

Работа выполнена при поддержке Лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ "ВШЭ" (грант Правительства РФ, договор № 14.641.31.0001).

© в. а. Гриценко, 2018

53

2. Формы Якоби и системы корней................................................................................72

2.1. Группа Якоби и ее характеры, модулярные формы Якоби............72

2.2. Ограничения форм Якоби и примеры форм для систем корней. 76

2.3. Формы Якоби и представление Вейля......................................................79

2.4. Свойства почти голоморфных форм Якоби............................................81

3. Подъем форм Якоби и 4Ах-башня............................................................................84

3.1. Подъем Якоби........................................................................................................84

3.2. 4Ах-башня автоморфных форм над рефлективной формой Д5 .. 86

4. Якоби-версия автоморфных произведений и 24 грани формы Борчерд-

са Ф12............................................................................................................................88

5. Подъемы Якоби с автоморфным произведением................................................94

5.1. 4А1-башня автоморфных форм над рефлективной формой Д5

(продолжение)......................................................................................................94

5.2. Новая конструкция функции Борчердса-Энриквеса..........................95

5.3. Приложения: ^-башня рефлективных форм и проблема Йоши-

кавы ..........................................................................................................................98

5.4. 3А2-башня рефлективных форм..................................................................101

5.5. Приложение: геометрия модулярных многообразий..........................102

6. Семейства рефлективных автоморфных форм....................................................104

6.1. Квазиограничение автоморфных форм....................................................104

6.2. (Мах2)-решетки и дивизор квазиограничения......................................107

6.3. Приложение: строго рефлективные модулярные формы с полным дивизором ....................................................................................................110

6.4. Приложения: лоренцевы алгебры Каца-Муди, унилинейчатые модулярные многообразия, новые собственные функции операторов Гекке............................................................................................................113

6.5. Приложения: новое семейство из более чем 50 рефлективных форм; параболическая рефлективная автоморфная форма максимального ранга................................................................................................115

6.6. Рефлективные автоморфные дискриминанты пространств моду-

лей КЗ-поверхностей и неприводимых голоморфных симплек-

тических многообразий ....................................................................................117

Список литературы................................................................................................................118

Введение

Необходимость изучения модулярных форм на ортогональных группах типа O(2, n) была впервые отмечена А. Вейлем в конце 50-х годов прошлого века в его программе по изучению КЗ-поверхностей и их модулей (см. "Final report on research contract AF 18(603)-57" [75; с. 390-395 и с. 546].) Методы теории модулярных форм на O(2, n) и, в частности, существование строго рефлективной модулярной формы Борчердса Ф12 от 26 переменных (см. [3]) сыграли важную роль в решении последнего открытого вопроса программы А. Вейля о геометрическом типе пространств модулей поляризованных КЗ-поверхностей (см. [33], [38], [73]).

Рефлективная форма - это модулярная форма на ортогональной группе сигнатуры (2, n), дивизор которой порожден зеркалами отражений из целочисленной ортогональной группы. Первой такой модулярной формой многих переменных была форма Игузы - параболическая форма Д10 наименьшего возможного

веса 10 относительно модулярной группы Зигеля Яр2(^) рода 2 (см. [17]). Целочисленная симплектическая группа Яр2 изогенна неопределенной ортогональной группе сигнатуры (2, 3), поэтому форму Игузы можно рассматривать как модулярную форму на ортогональной группе (см. [20]). Диагональный дивизор Дю кратности два определяется отражением и является дискриминантом пространства модулей комплексных кривых рода 2. Квадратный корень а/Дю раскладывается в произведение Борчердса и задает одну из базисных бесконечномерных лоренцевых алгебр Каца-Муди гиперболического ранга 3 с матрицей Картана

2 -2 —2\ -2 2 —2 1 —2 —2 2/

(см. [41]). Мероморфная форма Д—1 с полюсом второго порядка является вторичным квантованием эллиптического рода КЗ-поверхности (см. [13], [24]). Аналогичными свойствами обладают модулярные формы Зигеля рода 2 с простейшим рефлективным дивизором относительно конгруэнц-подгрупп парамо-дулярных групп Зигеля. Существует всего восемь таких форм (см. [10]).

Ниже мы перечислим только некоторые из приложений рефлективных модулярных форм.

1) В теории алгебр Ли строго рефлективная модулярная форма задает функцию знаменателя некоторой лоренцевой алгебры Каца-Муди, т. е. производящую функцию бесконечномерной (супер)алгебры Ли, содержащую информацию о группе Вейля алгебры и ее простых вещественных корнях, о простых мнимых корнях алгебры, включая возможную суперструктуру на них, и о крат-ностях (экспоненциального роста) всех положительных корней бесконечномерной алгебры (см. [3], [4], [39], [41]-[43], [69], [70], [45], [47]).

2) В алгебраической геометрии рефлективные модулярные формы позволяют строить плюриканонические дифференциальные формы на классических пространствах модулей таких, как модули поляризованных абелевых и кум-меровых поверхностей, поляризованных К3-поверхностей и неприводимых голоморфных симплектических многообразий (см. [20], [22], [29], [33], [36]-[38], [25], [26]). При этом сами рефлективные модулярные формы являются авто-морфными дискриминантами пространств модулей, включая модули решеточ-но-поляризованных КЗ-поверхностей (см. [4], [7], [40], [44], [46]). Более того, существование рефлективной формы иногда прямо указывает на то, что пространство модулей имеет специальную геометрию (см. [4], [25], [30]-[32]).

3) В теории чисел рефлективные модулярные формы, во-первых, указывают на то, что некоторые гиперболические решетки являются рефлективными. Это означает, что группа, порожденная отражениями, имеет конечный индекс в ортогональной группе всей решетки (см. [6], [42], [43]). Во-вторых, рефлективные модулярные формы дают содержательные обобщения дельта-функции Рамануджана

Д12(т) = 9 П (1 — 9")24' где т е Н1 и 9 = ехр(2п^т).

и>1

Иными словами, они определяют автоморфные представления на группах типа O(2,n), аналогичные форме Рамануджана (см. [26], [45; следствие 4.1]). Более общие автоморфные произведения также появляются в теории L-функций, например в рамках гипотезы Брамера-Крэмера, которая является обобщением на абелевы поверхности гипотезы Шимуры-Таниямы-Вейля об эллиптических кривых (см. [49]). Гипотетически, некоторые автоморфные произведения связаны с мотивными L-функциями семейств трехмерных многообразий Калаби-Яу.

4) В дифференциальной геометрии и математической физике рефлективные формы задают аналитическое кручения специальных многообразий Калаби-Яу (см. [76], [77]). Имеются многочисленные приложения рефлективных авто-морфных форм в теории струн. Пример вторичного квантования эллиптического рода многообразий Калаби-Яу был отмечен выше при описании свойств модулярной формы Игузы.

Существует много других важных приложений (см., например, [8]).

В данной статье мы опишем рефлективные модулярные формы в контексте их применения в задачах алгебраической геометрии и теории алгебр Каца-Му-ди. Для этого мы рассмотрим два различных, дополняющих друг друга метода построения рефлективных модулярных форм: подъем Якоби и автоморфные произведения в терминах форм Якоби. Автоморфные произведения были открытыми Р. Борчердсом в 1994 г. (см. [3]-[5]) в рамках решения знаменитой проблемы "Moonshine". Наш подход в разделе 4 несколько отличается от подхода Борчердса и базируется на формах Якоби.

Кратко опишем основные результаты этой статьи.

1. Геометрический смысл рефлективных модулярных форм большого веса. Модулярная форма относительно целочисленной ортогональной группы Г сигнатуры (2, n) определена на классической однородной области D четвертого типа в классификации Картана. Примерами модулярных ортогональных многообразий r\D являются классические пространства модулей (см. раздел 1). Рефлективные модулярные формы имеют маленький дивизор в том смысле, что его носитель содержится в дивизоре ветвления модулярной проекции однородной области. Форма называется строго рефлективной, если кратность дивизора равна 1. Если дивизор параболической формы большой (содержит дивизор ветвления), а вес формы маленький (меньше размерности многообразия), то модулярное многообразие имеет общий тип, т. е. его размерность Кодаиры максимальна. Это один из основных результатов, полученных в [33]. В теореме 1.5 мы покажем, что если вес строго рефлективной модулярной формы большой (больше размерности многообразия), то модулярное многообразия имеет размерность Кодаиры, равную —ж. Именно поэтому большинство строго рефлективных модулярных форм соответствуют модулярным многообразиям со специальной геометрией. В большинстве случаев эти многообразия являются пространствами модулей решеточно-поляризованных КЗ-поверхностей. В исключительных случаях вес строго рефлективной формы равен размерности многообразия. Тогда размерность Кодаиры модулярного многообразия равна 0 (см. пункт 4 ниже).

2. Давний вопрос Френкеля—Фейнгольда о простейшей гиперболической алгебре Каца—Муди. Хорошо известно, что функция знаменателя аффинной алгебры Ли является голоморфной модулярной формой типа Яко-би (см. [58] и формулы (20) и (27) настоящей статьи), аналогичной коэффициентам Фурье-Якоби модулярных форм в окрестности одномерной компоненты границы целочисленной ортогональной группы. В 1983 г. в работе И. Френкеля и А. Фейнгольда [16] был поставлен вопрос о возможных соотношениях между аффинными алгебрами Ли, простейшей гиперболической алгеброй Каца-Муди с матрицей Картана

2 -2 0^ -2 2 -1 0 -1 2 у

и модулярными формами Зигеля рода 2. Результаты раздела 4 дают авто-морфный ответ на этот вопрос в случае алгебры Борчердса ©fm гиперболического ранга 26 ("Fake Monster Lie Algebra"), а также двух других алгебр рангов 6 и 8. Производящей функцией алгебры ©fm будет строго рефлективная форма Борчердса веса 12 с бинарным характером

Ф12 е Mi2(O+(//2,26), det),

где //2,26 - четная унимодулярная решетка сигнатуры (2, 26) (см. ниже п. 1.4 и формулу (9)).

Теорема о 23 представлениях формы Ф12. Пусть N(R) - одна из 23 решеток Нимейера с нетривиальной системой корней R. Модулярная форма Борчердса Ф12 от 26 переменных обращается в нуль с кратностью h(R) вдоль одномерной компоненты границы модулярного многообразия, где h(R) - число Кокстера системы корней R. Первый коэффициент Фурье-Якоби Ф12 в окрестности этой одномерной компоненты совпадает, с точностью до знака, с функцией знаменателя Каца-Вейля соответствующей аффинной алгебры fl(R):

Ф12(т, 3,4) = ±п(т )24 П ^ (VZ)) e2n№ + ••• ,

iR+ п(т)

где $(т,г) - нечетная тета-функция Якоби (см. (10) в разделе 1), a произведение берется по всем положительным корням конечной системы корней R.

Отметим, что Борчердс нашел разложение Фурье формы Ф12 в нульмерном каспе (см. (9) в разделе 1) в терминах решетки Лича, которая не содержит корней. Именно поэтому в формуле Борчердса для Ф12 не появлялись функции для аффинных алгебр Ли. Теорема о 23 представлениях является следствием теоремы 4.2 из раздела 4, в которой дано описание автоморфных произведений в терминах форм Якоби.

3. Новая простая конструкция формы Борчердса—Энриквеса и решение проблемы Йошикавы. В [4] Борчердс построил специальное ав-томорфное произведение ФВЕ на группе O+(U © U(2) © E8(-2)) сигнатуры (2, 10), которое является автоморфным дискриминантом пространства модулей поверхностей Энриквеса и производящей функцией так называемой " Fake

Monster Lie Superalgebra" ©be. Функция ФВЕ называется формой Борчерд-са-Энриквеса. В 2009 г. К.-И. Йoшикава (см. [76], [77]) рассмотрел автоморф-ные произведения Фу на группах O+ (2, n) с 4 ^ n ^ 9, родственные форме Ф^ и являющиеся автоморфными дискриминантами модулей кэлеровых структур поверхностей дель Пеццо степени 1 ^ deg V ^ 6. Эти рефлективные модулярные формы задают лоренцевы алгебры Каца-Муди, родственные супералгебре Ли ©be, а их нормы дают аналитическое кручение специальных трехмерных многообразий Калаби-Яу. Отметим, что аналогичные супералгебры Ли были предсказаны в работе Дж. Харвея и Г. Мура [54; §7].

Йошикава (см. [77]) поставил вопрос о явном описании этих супералгебр Ли. Напомним, что обобщенная структура лоренцевой алгебры Каца-Муди (а именно, ee дополнительные образующие, мнимые простые корни и суперструктура на них) задается разложением Фурье рефлективного автоморфно-го произведения Фу. Это разложение Фурье, записанное с учетом действия гиперболической группы Вейля, является левой частью формулы знаменателя Каца-Вейля-Борчердса соответствующей супералгебры Ли. Автоморфное произведение Фу совпадает с правой частью формулы и дает явные значения кратностей всех положительных корней (см. [3], [41], [45], [47]). Следовательно, проблема Йошикавы эквивалентна

1) нахождению фундаментального многогранника гиперболической группы Вейля, что дает систему простых вещественных корней алгебры Каца-Муди и вещественную часть ее матрицы Картана;

2) явному вычислению разложения Фурье рефлективной формы Фу.

Первый вопрос имеет стандартное решение, использующее гиперболическую

технику Винберга-Никулина (см. [47], [65], [66] и [71]).

В разделе 5 мы дадим очень простую новую конструкцию формы Борчерд-са-Энриквеса в терминах подъема Якоби. Отметим, что автоморфное произведение определяется своими двумя первыми коэффициентами Фурье-Якоби (см. раздел 4), а подъем Якоби полностью задается первым коэффициентом Фурье-Якоби (см. раздел 3). В случае Ф^ этот коэффициент равен произведению восьми тета-функций Якоби, которые отвечают орбите всех минимальных весов конечномерной алгебры Ли Ds. Следовательно, формы типа ФВЕ в некотором смысле двойственны формам типа Ф12, которые задаются орбитой всех (—2)-корней.

Квазиограничения подъема Якоби для ФВЕ дают аналогичные рефлективные подъемы для каждого члена башни решеток систем корней

D8 > (D7 > • • • > D3 > D2) > Di = (4),

где первые шесть ограничений для D7,..., D2 дают явные формулы для коэффициентов Фурье модулярных форм Фу, 1 ^ deg V ^ 6, в терминах коэффициентов Фурье степеней п(т)3n эта-функции Дедекинда. Отметим, что последняя рефлективная форма для решетки Di является парамодулярной формой Дц, определяющей одну из базисных лоренцевых алгебр Каца-Муди в списке Гриценко-Никулина для гиперболических решеток ранга 3 (см. [42], [43]). Следовательно, все автоморфные дискриминанты Йошикавы принадлежат Ds-башне

рефлективных подъемов Якоби, которая начинается с формы Борчердса-Эн-риквеса и .заканчивается парамодулярной формой Гриценко-Никулина Дц.

Мы также строим 4А1-башню рефлективных форм, заканчивающуюся зи-гелевой формой Д5, отмеченной выше, и башню ЗА2, связанную с формой знаменателя Каца-Вейля аффинной алгебры 0(^2) (см. разделы 3 и 5 соответственно).

4. Рефлективные модулярные формы с простейшим дивизором и многообразия типа Калаби—Яу. Как объяснить тот факт, что строго рефлективная модулярная форма Борчердса-Энриквеса ФВЕ получается как подъем Якоби?

Рефлективные дивизоры модулярного многообразия сами являются ортогональными модулярными многообразиями меньшей размерности. В [34] была дана явная формула для объема Мамфорда-Хирцебруха таких многообразий. Для рефлективных векторов квадратичной решетки из разных орбит объем соответствующих подмногообразий может быть разным. Будем называть рефлективный дивизор простейшим, если его объем Мамфорда-Хирцебруха минимален. Сформулируем рабочий принцип, который подтверждается результатами этой статьи.

Принцип минимАльности. Если для ортогональной группы имеется несколько неэквивалентных рефлективных дивизоров, то рефлективная модулярная форма с простейшим дивизором, если она существует, является подъемом Якоби, т.е. полностью определяется своим первым коэффициентом Фурье-Якоби. (Мы отметили выше, что любое автоморфное произведение определяется своими двумя первыми коэффициентами Фурье-Якоби, см. раздел 4.)

Три башни рефлективных форм для решеток 4А.1, ЗА2 и дают интересные примеры модулярных многообразий комплексной размерности 4, 6 и 7 с размерностью Кодаиры, равной нулю. Единственная, с точностью до константы, каноническая дифференциальная форма на таком многообразии задается строго рефлективной формой канонического веса, равного размерности многообразия. Один подобный пример в размерности 3 был найден в статье [30]. Для соответствующего модулярного многообразия существует гладкая компактная модель, являющаяся трехмерным многообразием Калаби-Яу. Возникает вопрос о существовании гладкой модели, "близкой" к многообразию Калаби-Яу, для указанных в разделе 5 примеров.

5. Теорема о квазиограничении и семейства рефлективных форм. Автоморфные дискриминанты пространств модулей КЗ-поверхностей и неприводимых голоморфных симплектических многообразий. Одна рефлективная модулярная форма обычно порождает несколько других рефлективных форм при помощи ограничения на подрешетки. Если ограничение дает тождественный нуль, мы можем рассмотреть квазиограничение, т. е. первый ненулевой коэффициент Тейлора вдоль дивизора (см. раздел 6). В теореме 6.3 и следствии 6.5 найдены дополнительные условия на подрешетку, при которых дивизор квазиограничения вычисляется достаточно легко. Эта теорема обобщает результаты, полученные автором в [26], [31] и [47]. В частности, этим методом получаются 24 обобщенные функции Рамануджана, которые являются

1) функциями знаменателя лоренцевых алгебр Каца-Муди с максимальной 2-рефлективной группой Вейля;

2) автоморфными дискриминантами пространств модулей решеточно-поля-ризованных КЗ-поверхностей (отметим, что функция Рамануджана является дискриминантом пространства модулей эллиптических кривых и отвечает некоторому характеру простейшей аффинной алгебры Ли);

3) новыми (в смысле теории автоморфных представлений) собственными функциями всех операторов Гекке на группах типа 0(2, п).

Заметим, что 15 строго рефлективных форм из башен , 4 А и ЗА2 являются подъемами Якоби, т. е. старыми формами с точки зрения теории Ь-функций. Девять строго рефлективных форм веса 12 из теоремы 6.10 не являются параболическими.

Более того, теорема 6.3 позволяет строить и более общие рефлективные формы, имеющие различные кратности вдоль дивизоров. В теореме 6.15 мы получаем более 50 таких форм, например автоморфные дискриминанты пространств модулей поляризованных КЗ-поверхностей степени 2 и 4 и двух пространств модулей поляризованных неприводимых голоморфных симплектиче-ских многообразий размерности 4, деформационно эквивалентных К3[2] (см. раздел 6). Мы планируем дать новые приложения автоморфных дискриминантов в ближайшее время.

Данная работа написана частично по материалам препринтов автора [25], [26] и лекций, прочитанных в 2015-2017 гг. на автоморфных семинарах математического факультета НИУ "ВШЭ" в Москве и Университета Лилля (Франция).

1. Модулярные многообразия и рефлективные модулярные формы

1.1. Основные определения и объекты. Прежде всего мы определим важный для алгебраической геометрии класс многообразий - модулярные многообразия ортогонального типа.

Пусть Ь - целочисленная решетка, точнее свободный Z-модуль конечного ранга с четной целочисленной симметричной билинейной формой (•, •): Ь х Ь ^ Z сигнатуры (2, п). Это означает, что (1,1) € 2Z для любого 1 € Ь и sign(L < М) = (2, п). Определим ассоциированную с Ь классическую эрмитову однородную п-мерную область

0(Ь) = {[Я] € Р(Ь ® С) | (Я, Я) =0, (Я, Я) > 0}+,

где + означает одну из двух компонент связности. Обозначим через 0+(Ь) подгруппу индекса 2 целочисленной ортогональной группы 0(Ь), сохраняющую 0(Ь). Для неопределенной решетки Ь подгруппа 0+(Ь < М) состоит из всех элементов вещественной спинорной нормы 1 (см. [35]).

Пусть Г - подгруппа конечного индекса в 0+(Ь). Любая такая группа действует на 0(Ь) как дискретная группа автоморфизмов. Определим фактор-пространство

Мъ(Г) = Г\0 (Ь), которое называется ортогональным модулярным многообразием.

Перечислим некоторые важные примеры таких многообразий:

1) пространство модулей эллиптических кривых (группа 0+ (2,1) изоген-на 8Ь2(2));

2) пространство модулей гильбертовых поверхностей (сигнатура (2, 2));

3) пространство модулей поляризованных абелевых или куммеровых поверхностей (зигелевы модулярные многообразия размерности З имеют ортогональный тип (2, З));

4) пространство модулей поляризованных и решеточно-поляризованных КЗ-поверхностей (сигнатура (2, п) с п ^ 19);

5) пространство модулей поверхностей Энриквеса и поляризованных поверхностей Энриквеса (сигнатура (2,10));

6) пространство модулей поляризованных неприводимых голоморфных сим-плектических многообразий (сигнатуры (2,4), (2, 5), (2, 20) и (2, 21)).

По построению ортогональное модулярное многообразие является комплексным аналитическим пространством. Его компактификация типа Сатаке, а именно компактификация Бейли-Бореля, была построена в [2]. Как риманово многообразие, однородная область четвертого типа изоморфна следующей факторгруппе:

9(Ь) = 8О0(2,п)/Б0(2) х БО(п),

где БОо(2,п) - компонента единицы. Компактификация Бейли-Бореля определена для любого эрмитова симметричного пространства 9 = О/К и его факторпространства X = Г\9 по арифметической группе Г. В частности, компактификация 9* области 9 четвертого типа является замыканием 9 в двойственной по Хариш-Чандра компактной области

9 = {х е Р(Ь ® с) | (х, х) = 0}.

Касательное пространство к О/К в К отождествляется, как комплексное многообразие, с открытым подмножеством в 9. Граница компактификации 9* распадается в дизъюнктное объединение компонент Ер, являющихся в свою очередь симметрическими пространствами, соответствующими рациональным параболическим подгруппам ортогональной группы сигнатуры (2, п), которые являются стабилизаторами изотропных пространств в Ь<(. Так как sign(L) = (2, п), изотропные подпространства могут имеют размерность 1 или 2. Следовательно, компактификация Мъ(Г)* ортогонального модулярного многообразия Г\9(Ь) может иметь компоненты границы размерностей 0 или 1. Точнее, имеет место следующий результат (см. [2]): компактификация Бейли-Бореля Мъ(Г)* является неприводимым нормальным проективным многообразием над С и распадается в объединение непересекающихся компонент

Мь(Г)* = Мь(Г) ЫЦХр ЫЦ Яе, (1)

р I

где I и Р пробегают конечное число представителей из Г-орбит изотропных прямых и плоскостей в Ь < (. Компонента Мъ(Г) = Г\9(Ь) является отрытым по Зарискому множеством, каждая компонента Хр является модулярной кривой, а каждая Я - точкой. Я содержится в замыкании Хр тогда

и только тогда, когда I может быть выбрана так, что I С Р. Компоненты Хр и обычно называются одно- и нульмерными компонентами границы модулярного многообразия или его одномерными и нульмерными каспами.

Теория модулярных форм является одним из главных инструментов для изучения геометрии модулярных многообразий ортогонального типа. Например, компактификация Бейли-Бореля Мъ(Г)* может быть определена как

Рго] ( ф Мк(Г)) , где Мк(Г) обозначает конечномерное пространство модуляр-

^ к '

ных форм веса к с тривиальным характером. В определении модулярных форм мы следуем [3]. Эквивалентное аффинное определение, аналогичное классическому определению для группы ЯЬ2, см. в [20].

Определение 1.1. Рассмотрим решетку Ь сигнатуры (2, п) с п ^ 3 и аффинный конус

0(Ь)^ = {у € Ь < С | х = С*у € 0(Ь)}

над 0(Ь). Пусть к € Ъ и х: Г ^ С* - характер подгруппы Г < 0+(Ь) конечного индекса. Голоморфная функция Е: 0(Ь)^ ^ С называется модулярной формой веса к и характера х относительно группы Г, если

е(¿Я)= ¿-кЕ(Я) Vг € С*

и

Е(дЯ) = х(д)Е(Я) Vд € Г.

Модулярная форма называется параболической, если она обращается в нуль во всех каспах группы Г, т. е. на всех граничных компонентах компактификации Бейли-Бореля модулярного многообразия Г\0(Ь).

Через Мк(Г,х) (соответственно <5к(Г,х)) обозначаем линейное пространство всех модулярных (соответственно параболических) форм веса к и характера х. Эти пространства конечномерны.

Замечания к определению 1.1. 1) В этой статье мы рассматриваем в основном случай п ^ 3. Для таких п порядок характера х в определении всегда конечен в силу свойства (Т) Д. Каждана (см. [59]).

2) Если п < 3, то в определение модулярных форм следует добавить условие голоморфности на границе, т. е. в нульмерных каспах. Согласно принципу Кёхера (см. [17], [68]) в случае п ^ 3 модулярная форма голоморфна на границе ("в бесконечности"), если она голоморфна внутри области.

Если Мк(Г,х) нетривиально, то известно, что к ^ (п — 2)/2 (см. раздел 2). Минимальный вес к = (п - 2)/2 называется сингулярным. Любая параболическая форма имеет вес строго больший, чем (п — 2)/2. Первые формы сингулярного веса для п > 6 были построены автором в [19], [20].

Дифференциальные формы на Мъ(Г) можно интерпретировать как модулярные формы относительно группы Г. Выберем комплексную форму объема ¿Я на 0(Ь). Тогда, если Е - модулярная форма веса кп и характера ёе^ для группы Г, то Е (¿Я)к является Г-инвариантным сечением плюриканони-ческого расслоения П(0(Ь))®к. Следовательно, арифметическая информация

о модулярных формах может быть использована для получения геометрической информации об ортогональном многообразии Мъ(Г).

Вес к = п называется каноническим в силу следующей леммы Фрайтага (см. [17; предложение 2.1 в гл. 3]):

5П(Г, ёе^ = Н0(М(Г), П(Мь(Г))),

где Мъ(Г) - любая гладкая компактификация модулярного многообразия Мъ(Г) и П(Мъ(Г)) - пучок канонических дифференциальных форм. Таким образом, имеется следующая важная формула для геометрического рода ортогонального модулярного многообразия:

Рд(Мь(Г)) = ^"'0(Мъ(Г)) = ё1ш £„(Г, det). (2)

Мы можем использовать модулярные формы и для того, чтобы установить, является ли Мъ(Г) многообразием общего типа, или чтобы найти его важный инвариант - размерность Кодаиры. Пусть У - связное гладкое проективное многообразие размерности п. Размерность Кодаиры к(У) определяется как степень трансцендентности кольца плюриканонических дифференциальных форм:

к(У)=Тг.ёеё( 0 Н0(У, П(У)®т)) — 1;

к(У) = —то, если Н0(У, П(У)®т) = 0 для всех т > 0. Этот инвариант дает асимптотическую размерность

^°(У, П(У)®т) - тк(г)

для достаточно больших т. Известно, что

к(У) € {—то, 0,1,..., п = ё1шУ}.

Говорят, что У имеет общий тип, если к(У) = ё1ш У. Размерность Кодаиры является бимероморфным инвариантом, поэтому для любого неприводимого квазипроективного многообразия полагаем к(Х) = к(Х), где X - какая-то гладкая модель многообразия Х.

Основными препятствиями для продолжения плюриканонической дифференциальной формы Е(Я) (¿Я)т, определенной на открытом подмножестве модулярного многообразия, до глобального сечения Н0(Мъ(Г), П(Мъ(Г))®т) гладкой компактификации модулярного многообразия Мъ(Г) являются:

a) граница компактификации;

b) элементы конечного порядка в группе Г;

c) дивизор ветвления модулярной проекции.

Граница компактификации устраняется, если имеется ненулевая параболическая форма веса к, меньшего п. Это так называемый метод параболических форм маленького веса (см. [20], [33], [38], [50]). В работе [33] доказано, что при п > 8 все особенности конечного порядка Мъ(Г) канонические. Поэтому

основным препятствием для продолжения плюриканонических форм на гладкую компактификацию является дивизор ветвления модулярного многообразия. Для его описания нам потребуются рациональные квадратичные дивизоры области 9(Ь).

Для любого рационального вектора V е Ь < ( такого, что V2 = (V, V) < 0, определим рациональный квадратичный дивизор

= %(Ь) = {[я] е 9(Ь) | (ад = 0} = 9(V-),

где V- - четная решетка сигнатуры (2, п — 1). Отметим, что (Ь) = (Ь). Для любого неизотропного вектора г е Ь определим отражение аг относительно г:

^(1) = 1 — ^г е о(Ь < (),

(г, г)

которое будет элементом группы 0+(Ь<() тогда и только тогда, когда (г, г) < 0. В этом случае множество неподвижных точек аг совпадает с дивизором (Ь). Следующий результат доказан в [33; следствие 2.13].

Предложение 1.2. Дивизор ветвления К.ё1у(пг) модулярной проекции

пг : 9(Ь) ^ Г\9(Ь)

индуцируется всеми элементами д е Г такими, что д или — д является отражением относительно вектора решетки Ь:

К.^у(пг) = У (Ь),

где объединение берется по всем, с точностью до знака, примитивным г е Ь таким, что аг е Г или —стг е Г.

Для любой модулярной формы Е е М^(Г, х) и Я е 9(Ь)* условие Е(Я) = 0 влечет Е(¿Я) = 0 для любого £ е С*. Следовательно, множество нулей формы Е корректно определено как подмножество однородной области 9(Ь) или модулярного многообразия Г\9(Ь).

Определение 1.3. Модулярная форма Е е М^(Г, х) называется рефлективной, если

вирр^у(Е)) С И..^у(пг),

и строго рефлективной, если кратность всех неприводимых компонент <^у(Е) равна 1 .

Замечания. 1. Модулярные формы с маленьким или большим дивизором. Согласно определению, данному выше, модулярная форма Е е М^ (Г, х) является строго рефлективной тогда и только тогда, когда

^у(Е) < И..^у(пг),

т. е. дивизор строго рефлективной формы маленький. Будем говорить, что дивизор модулярной формы Е е М^ (Г,х) большой, если

diу(Е) > R.diу(пг).

2. Модулярные формы канонического веса. Малые и большие веса. Пусть sign(L) = (2, п). Рассмотрим модулярную форму канонического веса Е е Мп(Г,det). Если аг е Г, то Е(аг(Я)) = —Е(Я). Следовательно, Е обращается в нуль на дивизоре . Если — аг е Г, то

( —1)пЕ (аг (Я)) = Е ((—аг )(Я)) = det(—аг )Е (Я) = ( —1)"+1Е (Я),

поэтому Е также обращается в нуль на . Следовательно, дивизор произвольной модулярной формы канонического веса содержит дивизор ветвления R.div(пг). Канонический вес является пограничным в геометрических приложениях. Мы говорим, что вес к модулярной формы Е е М^ (Г, х) малый, если к ^ п, и большой, если к > п.

3. Конечность числа рефлективных форм. Рефлективные модулярные формы - исключительно важные и достаточно редкие объекты. В [42], [43] мы предположили, что для п ^ 3 существует только конечное (с точностью до элементарных преобразований) число рефлективных модулярных форм. В настоящее время эта гипотеза в основном доказана С. Ма (см. [62], [63] и [74]). Отметим, что все рефлективные формы обладают автоморфным произведением Борчердса (см. [9]).

Для геометрических приложений самыми важными группами являются стабильная ортогональная группа и ее специальная подгруппа:

о +(Ь) = {д е 0+(Ь) | д|ьу/ь = id} и Б0+ (Ь) = БО(Ь) П 0 +(Ь), (3)

где Ьу - двойственная решетка и Ьу/Ь - конечная дискриминантная группа порядка | det Ь| (см. (17)). Если г е Ь и г2 = —2, то аг е О +(Ь). Если Ь унимодулярная, то дивизор ветвления для О (Ь) совпадает с зеркалами всех (—2)-векторов. Для всех решеток в геометрических приложениях, упомянутых выше, дивизор ветвления стабильной модулярной группы обычно больше, чем объединение рациональных квадратичных дивизоров, определяемых всеми (—2)-векторами.

Если решетка Ь содержит две ортогональные копии гиперболической плоскости (гиперболическая плоскость П ^ (? 0) - это четная унимодулярная решетка сигнатуры (1,1)) и редукция Ь по модулю 2 (соответственно 3) имеет ранг, не меньший 6 (соответственно 5), то для О +(Ь) имеется только один нетривиальный характер det (см. [35]).

1.2. Геометрическое значение рефлективных модулярных форм большого (малого) веса. Значение модулярных форм малого веса к < п с большим дивизором в бирациональной геометрии пространств модулей было раскрыто в [33]: модулярное многообразие Мъ(Г) является многообразием общего типа, если существует параболическая форма маленького веса с большим дивизором. Точнее, была доказана следующая теорема, которая обычно называется методом параболических форм маленького веса.

Теорема 1.4 (см. [33; теорема 1.1] и [38; теорема 6.13]). Пусть sign(L) = (2,п) и п ^ 9. Модулярное многообразие Мъ(Г) имеет общий тип, если существует параболическая форма Е € Sk(Г, ёе^) (е = 0, 1) малого веса к < п такая, что ) ^ И,^у(пг).

В [33] применили эту теорему, чтобы ответить на последний открытый вопрос программы А. Вейля о К3-поверхностях (см. введение). Мы доказали, что пространство модулей поляризованных К3-поверхностей степени имеет общий тип для й > 61 (см. полную формулировку в [33]). Теорема 1.4 применялась и для изучения пространств модулей поляризованных неприводимых сим-плектических многообразий, деформационно эквивалентных или

10-мерным симплектическим многообразиям О'Греди (см. [36]-[38]).

В этой статье мы дадим новые приложения рефлективных модулярных форм к алгебраической геометрии, диаметрально противоположные по типу к результату теоремы 1.4. А именно, мы докажем, что размерность Кодаиры модулярного многообразия Мъ(Г) равна —то или 0, если существует модулярная форма большого веса с маленьким дивизором.

Теорема 1.5 (см. [25]). Пусть sign(L) = (2, п) и п ^ 3. Предположим, что Ек € Мк (Г, х) - строго рефлективная модулярная форма веса к и характера х относительно подгруппы Г < 0+(Ь) конечного индекса. Пусть к(Х) обозначает размерность Кодаиры многообразия X.

1) Если к > п, то к(Г\0(Ь)) = —то.

2) Пусть к = п. Предположим в этом случае, что Г имеет хотя бы один касп, т. е. Г\0(Ь) не является компактным многообразием. Если форма Е не является параболической, то к(Г\0(Ь)) = —то. Если Е - параболическая форма (с кратностью нуля на границе, не меньшей 1), то для подгруппы Гх = кег(х • ёе^ < Г имеем к(Гх\0(Ь)) = 0.

Доказательство. В первом утверждении теоремы требуется доказать, что не существует т-плюриканонических дифференциальных форм на гладкой ком-пактификации М^(Г). Любую такую форму можно получить, используя модулярные формы веса тп (см. выше рассуждения после определения размерности Кодаиры и книгу [1], где вес 1 соответствует весу п нашего определения). Предположим, что Епт € Мпт(Г, ёе^). Мы можем рассмотреть цилиндрическую реализацию однородной области 0(Ь), выбрав какой-то ее нульмерный касп (см. п. 1.3 ниже). Пусть ¿Я - гомоморфный элемент объема в соответствующих аффинных координатах. Тогда форма Епт (¿Я)т является Г-инвариантной. Следовательно, она определяет сечение плюриканони-ческого расслоения (Г))®т над открытой гладкой частью модулярного

многообразия вне дивизора ветвления п: 0(Ь) ^ М^(Г) и компонент границы (см. [1; гл. 4] и [38]). Как мы отметили выше, существуют три препятствия для продолжения Епт (¿Я)т до глобального сечения пучка плюриканониче-ских дифференциальных форм П(Мъ(Г))®т: эллиптическое, параболическое и дивизор ветвления. Следовательно, если Епт определяет глобальное сечение, то Епт имеет нуль степени не меньше т вдоль И,.ёгу(пг). Модулярная форма Ек € Мк(Г,х) строго рефлективна, следовательно, - голоморфная внутри 0(Ь) модулярная форма веса т(п — к) ^ 0. Отметим, что согласно

принципу Кёхера не существует голоморфных модулярных форм отрицательного веса. Следовательно, Fnm = 0, если k > n. Если k = n, то мы получаем, что Fnm = C • F„m Если строго рефлективная форма канонического веса Fn не является параболической, то F^ (dZ)®m не может быть продолжена на компактную модель ортогонального модулярного многообразия, так как F^ должна обращаться в нуль степени m на границе компактификации. Если Fn является параболической, то мы рассмотрим ее как параболическую форму относительно подгруппы Гх = ker(x-det) < Г, т. е. Fn £ Sn(rx, det). Тогда Fn dZ будет Гх-инвариантной и согласно критерию Фрайтага (см. (2)) может быть продолжена до глобальной канонической дифференциальной формы П(Мь(Гх)) на

любой гладкой компактной модели Ml(Гх) модулярного многообразия. Следовательно, K(rx\D(L)) неотрицательна. Более того, применяя опять принцип Кёхера, мы видим, что любая m-плюриканоническая форма совпадает, с точностью до константы, с формой F^1 (dZ)m. Теорема доказана.

Некоторые приложения этой теоремы будут даны ниже. Отметим, что имеется следующее ее алгебро-геометрическое уточнение. Напомним, что многообразие называется унилинейчатым, если существует доминантное рациональное отображение Y х P1 X, где Y - многообразие с dim Y = dimX — 1. Если X унилинейчатое, то к(Х) = —то. Гипотетически предполагается, что обратное тоже верно, однако это доказано только для dim X = 3.

Теорема 1.6. Пусть k > n в условиях теоремы 1.5. Тогда модулярное многообразие r\D(L) является, по крайней мере, унилинейчатым.

Более общую формулировку и доказательство см. в [31].

1.3. Разложения Фурье и Фурье—Якоби модулярных форм. Определим разложения Фурье и Фурье-Якоби модулярных форм. С этой целью мы рассмотрим аффинную реализацию проективной однородной области D(L), отвечающую компонентам границы компактификации Бейли-Бореля. В этой статье мы рассматриваем решетки, содержащие две гиперболические плоскости:

L = U © Li = U © (Ui © Lo(-1)), U = Ui = (0 J) , (4)

где Lo - четная целочисленная положительно определенная решетка ранга no > 0, Li имеет сигнатуру (1,no + 1), a L имеет сигнатуру (2, no + 2). (Через L(m) обозначается решетка L с квадратичной формой, умноженной на m.)

Пусть [Z] £ D(L). Используя базис (e, /}Z плоскости U (e2 = /2 = 0, (e, /) = 1), мы запишем

Z = z'e + Z + zf, Z £ L1 ® C.

Отметим, что Li = e^/Ze и z = 0. (Если z = 0, то вещественная и мнимая части Z дают два ортогональных вектора отрицательной нормы в гиперболической решетке Li ® R.) Следовательно,

[Z ] =

- 1(Z, Z)e + Z + /

Это дает модель в бесконечности, отвечающей примитивному изотропному вектору е:

0(Ь) = Н(Ь1) = {Я € Ь1 ® С | (1шЯ, 1шЯ)Ь1 > 0}+. Иными словами, Н(Ь1) является комплексификацией положительного конуса

V +(Ь1) = {У € Ь1 ® М | (У, У) > 0}+

гиперболической решетки. Используя аналогичный базис (е1, /1)2 = и второй плоскости, мы получаем более детальное представление области 0(Ь) в одномерном каспе, отвечающем изотропной плоскости (е, е1),

Н(Ь1) - Н(Ь0) = {Я = ше1 + 3 + т/1 € Ь1 <8> С | т, ш € Иь 3 € Ь0 ® С,

1шт • 1шш — (1ш3,1шз)^0 > 0}. (5)

Цилиндрическая аффинная область Н(Ь0) является аналогом обычной верхней полуплоскости Н1 (случай сигнатуры (2,1)) или полуплоскости Зигеля рода 2

И2 = | Ш) € М2(С) | 1шЯ> ^ (6)

(случай сигнатуры (2, 3)). Зафиксируем изоморфизм [рг]: Н(Ь1) ^ 0(Ь), отвечающий одномерному каспу (е, е1):

Я =(ше1 + 3 + т/1) —^ рг(Я)= ^^е + ше1 + 3 + т/1 + /) —^ [рг(Я)]. (7)

Для примитивного изотропного вектора с € Ь и любого а € е^ определена трансвекция Эйхлера

¿(с, а): V 1—> V + (а, «)с — (с, «)а — ц(а, а)(с, «)с € Я0 (Ь).

Если Я € Н(Ь1) и 1 € Ь1 = то

¿(е,1)(рг[Я ])=рг[Я + 1].

Следовательно, ¿(е, 1) задает линейный сдвиг в Н(Ь1). Более того, любая трансвекция ¿(с, а) действует тривиально на Ьу/Ь. Следовательно, любая модулярная форма Е € Мк(Я0 (Ь)) периодична, т.е.

Е(Я + 1) = Е(Я) для любого 1 € Ь1.

Тем самым определено разложение Фурье по переменной Я € Н(Ь1) в нульмерном каспе, отвечающем изотропной решетке (е):

Е(Я)= /(1) ехр(2пг(1, Я)).

Условие на гиперболическую норму индексов ненулевых коэффициентов Фурье (l, 1)¿1 ^ 0 следует из голоморфности модулярной формы. (Описание разложения Фурье в произвольном каспе см. в [42; §2.3] и [38; §8.2, 8.3].) Разложение Фурье-Якоби - это разложение Фурье по переменной w:

F(т, 3, w) = 3) ехР (2ni mw). (8)

Коэффициенты ут(т, 3) называются коэффициентами Фурье-Якоби в одномерном каспе, задаваемом изотропной плоскостью (e, ei). Функция ут(т, 3) будет модулярной формой Якоби веса k и индекса m относительно решетки Lo (см. раздел 2). Ниже мы рассмотрим первые примеры рефлективных модулярных форм.

1.4. Разложение Фурье модулярной формы Борчердса Ф12. Один из важнейших примеров строго рефлективных модулярных форм - это модулярная форма сингулярного веса от 26 переменных

Ф12 € Mi2(O+(//2,26), det),

построенная Р. Борчердсом в [3]. По определению, //2,26 - единственная, с точностью до изоморфизма, четная унимодулярная решетка сигнатуры (2, 26). Из уравнения (Z)) = — ) следует, что ) = 0 на дивизоре Dv(//2,26)

для любого v € //2,26 с v2 = —2. Известно, что это весь дивизор Ф12 и его кратность равна 1.

Отметим, что существует единственная 0+(//2,26)-орбита (—2)-векторов в //2,26 и что дивизор ветвления исчерпывается зеркалами всех (—2)-отражений. Это следует из критерия Эйхлера (см. предложение 4.1). Существует только один нетривиальный характер, а именно det, группы 0+(//2,26) (см. [35; теорема 1.1]). Для тривиального характера 0+(//2,26) имеется другая форма сингулярного веса, не являющаяся рефлективной (см. [19], [20]).

Тождество между разложением Фурье формы Ф12 и ее автоморфным произведением Борчердса в единственном нульмерном каспе определяет формулу знаменателя Каца-Вейля-Борчердса так называемой "Fake Monster Lie Algebra " 0pM.

Рассмотрим модель решетки //2,26 — 2U ф Л24( —1), где Л24 - решетка Ли-ча, т.е. четная унимодулярная положительно определенная решетка ранга 24 без корней. Гиперболическая решетка Л125 = U ф Л24( —1) является решеткой индексов коэффициентов Фурье формы Ф12. С другой стороны, это решетка корней алгебры Ли ©fm. Группа Вейля W = W_2^1,25) алгебры ©fm порождена отражениями относительно всех корней v € Л125 с v2 = —2. Она действует дискретно на гиперболическом пространстве L(Л1,25) = V +(Л1,25)/К>0. Бесконечное множество P вещественных простых корней алгебры ©fm состоит из всех (—2)-векторов решетки Л125, ортогональных стенкам фундаментальной области W в L(Л125). Например, зафиксируем р = e1, где e1 - первый изотропный вектор базиса U1. Тогда

P = {v € Л1,25 | (v,v) = —2 и (р, v) = 1},

а р является вектором Вейля системы простых корней Р. (Отметим, что в [3] рассматривались решетки сигнатуры (25,1) и (26, 2).)

Для описания разложения Фурье и автоморфного произведения формы Ф12 нам потребуются коэффициенты Фурье т (п) и р24(п) параболической формы Рамануджана

д(т ) = (1 - д")24 = Е т Мдт

п=1 т^0

и ее минус первой степени

^(т) _ р (п)-"-1

Д-1(т) = £ Р24(п)-"

г>0

Выполнено следующее тождество (см. [3; §10]), которое является формулой Каца-Вейля-Борчердса обобщенной гиперболической алгебры Каца-Муди ©рм:

= ехр(2пг(р, £)) ^ (1 - ехр(2пг(а, £)))р24(1-(а,а)/2)

аеА+

53 ёе^ад) 53 т(т) ехр(2п^(ад(тр), £)), £ е Н(Л24), (9)

т>0

где

Д+ = {а е Л1,25 | а2 = -2 и (а,р) > 0} и (Л^б П V + (ЛМ5) - {0})

- множество положительных корней алгебры ©рм. Показатель р24(1 - (а, а)/2) в автоморфном произведении совпадает с кратностью положительного корня а алгебры ©рм.

Модулярная форма Ф12 порождает целую серию "дочерних" рефлективных модулярных форм (см. раздел 6), которые задают 2-рефлективные лоренцевы (супер)алгебры Ли сигнатуры (1,п), где 2 ^ п ^ 18 (см. [47]) и являются авто-морфными дискриминантами различных пространств модулей решеточно-по-ляризованных КЗ-поверхностей (см. [46]).

1.5. Тета-функция Якоби и тета-функция Д1/2 Зигеля рода 2. Рассмотрим еще один пример рефлективной формы сингулярного веса и авто-морфной формулы знаменателя алгебры Каца-Муди. Тета-функция Д1/2 является строго рефлективной модулярной формой Зигеля веса 1/2 от трех переменных. Она была исследована в [41]. Для ее описания нам потребуется нечетная ^-функция Якоби, которая будет играть ключевую роль во многих конструкциях этой статьи.

Нечетная тета-функция $(т, г), или тета-функция Якоби характеристики (1/2,1/2), определена своим разложением Фурье или тройным произведением Якоби

0(т,г) = —] д"2/8гп/2 = -д1/8г-1/2 П (1-д"-1г)(1-дпг-1)(1-дп), (10) пех^ п ' и>1

где д = е2™т, т е Н1, г = е2п", г е С и

'-4\ /±1, п = ±1 тоё 4; |0, п = 0 тоё 2.

Функция $ удовлетворяет двум функциональным уравнениям

$(т,г + хт + у) = ( —1)х+у ехр(—пг(ж2т + 2хг))$(т, г), (ж, у) € Z2, (11)

$(А(т),г) = «?(А)(ст + й)1/2 ехр( П

\ ст + й

$(т,г),

А

а Ь с й

€ ЯЬ2 (Z), (12)

где уГ1 - система мультипликаторов порядка 24 эта-функции Дедекинда (см. (14)). Более того,

$(т, -г) = —$(т, г) и ёгу($(т, г)) = {г = хт + у | х, у € Z}.

Известно, что равенство (10) является тождеством Каца-Вейля простейшей аффинной алгебры Ли 0(А1), где А1 = (2) (см. [58], [59]).

Тета-функция Якоби позволяет определить одну из 10 четных тета-функций Зигеля рода 2, а именно самую "нечетную" четную тета-функцию Д1/2, имеющую $(т, г) своим первым коэффициентом Фурье-Якоби. Функция Д1/2 полностью определяется своим первым коэффициентом, т.е. является его подъемом. Эта конструкция " тривиального подъема" была впервые предложена в §1.4 статьи [43], где было доказано, что максимальная модулярная группа каждой тета-константы Зигеля сопряжена парамодулярной группе Г4 < Яр2^). Определим четную тета-функцию Зигеля полуцелой характеристики

1/2 1/2 1/2 1/2

переменной 2

€ Н2, где Н2 - верхняя полуплоскость Зигеля (см. (6)),

изоморфная ортогональной однородной области ^(2и ф (—8)):

Д1/2(Я )

2 ( п ) ( т

где в

В [43] доказано, что Д1/2 - модулярная форма относительно парамодулярной симплектической группы Г4 веса 1/2 с системой мультипликаторов порядка 8, которая сопряжена следующей подгруппе симплектической группы рода 2:

М € Яр2^), м =

1 0 1 0

0 1 0 1

1 0 1 0

0 1 0 1