О структуре K — групп эллиптических кривых тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Болбачан Василий Сергеевич

• Болбачан Василий Сергеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Болбачан Василий Сергеевич

Содержание

Введение 1 Определения

3 Эллиптический дилогарифм

5

10

2 Поднятые отображения взаимности

Приложение A. Статья 1. Chow dilogarithm and strong Suslin reciprocity law (Дилогарифм Чжоу и усиленный закон взаимности Суслина)

(Статья принята к печати)

Приложение B. Статья 2. Strong Suslin Reciprocity Law and the Norm Map (Усиленный закон взаимности Сус-лина и отображение нормы)

Приложение C. Статья 3. On functional equations for the elliptic dilogarithm (О функциональных соотношениях для эллиптического дилогарифма)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О структуре K — групп эллиптических кривых»

Введение

Одна из ключевых гипотез в ариметическиой геометрии — это гипотеза А. Бейлинсона, описывающая связь между значениями регулятора, определенного на мотивных когомолгиях арифметического многообразия и значениями его ¿-функции в целых точках. Простейший случай когда многообразие состоит из одной точки составляет содержание известной теоремы А. Бореля. С другой стороны Д. За-гье высказал гипотезу, что значения ¿-функции (которая в данном случае называется £-функцией) числового поля в целых точках выражаются через так называемые полилогарифмы. На данные момент эта гипотеза доказана только в случае 2 < п < 4 (где п — число в котором берется значение £-функции). Более того случай п = 4 был доказан только в этом году, и, в этом доказательстве были использованы результаты данной диссертации.

Указанные результаты мотивируют следующий вопрос: что можно сказать о значениях регультора произвольного арифметического многообразия и можно ли эти значения описать явным образом? Согласно С. Блоху, про мотивные когомолгии можно думать как про симплициальные группы Чжоу. На этом языке явная формула для отображения регулятора была построена в [6]. Первый нетривиальный случай этой конструкции (соответствующий ситуации когда многообразие является спектром поля, а так называемый мотив-ный вес равен 2) приводит к понятию дилогарифма Чжоу. Мотиви-руясь аналитическими свойствами дилогарифма Чжоу, А. Гончаров сформулировал гипотезу, обощающую так называемый строгий закон взаимности А. Суслина. Частичное продвижение в доказательстве этой гипотезы было получено [9]. Основным результатом данной диссертации является доказательство указанной гипотезы в полном объеме. Кроме этого, попутно доказывается новый закон взаимности, который формулируется для 4 ненулевых функций на алгебраической поверхности. Также в диссертации доказывается результат описывающий функциональные соотношения для так называемого эллиптического дилогарифма.

Диссертация состоит из 3 разделов. В первом разделе я даю необходимые определения. Во втором разделе я формулирую результаты связанные с гипотезой А. Гончарова, обощающий усиленный закон

взаимности А. Суслина. Эти результаты были получены в статьях [3], [4]. В третьем разделе я формулирую результаты, относящиеся к описанию функциональных соотношений для эллиптического дило-гарифма. Эти результаты были получены в [2].

1 Определения

Пусть к — алгебраически замкнутое поле характеристики ноль. Все многообразия предполагаются гладкими и опрделенными над к. Для каждой абелевой группы А определена ее рационализация := А о. Мы всюду заменяем каждую абелеву группу на ее рационализацию. Все внешние и тензорные степени берутся над о. Определим функцию Ып(г) по следующей формуле:

^ ь

гк

Ьгп(г) = ^ кп к= 1

Этот ряд сходится при |г | < 1, но может быть аналитически продолжен до многозначной мероморфной функции на всем р^с). Эта функция называется классическим полилогарифмом и изначально была введена Л. Эйлером. В [10] дается определение однозначной версии Сп функции Ып. Функция Сп является непрерывной вещественно значной функцией на всем р^с). Можно показать, что эта функция является вещественно аналитичекой на дополнении к конечному числу точек, в которых она имеет логарифмические особенности. Пусть ^ произвольное поле. Определим z[p1(F)]п как свободную абаелеву группу порожденную символами {х}п где х Е р1(^). (Эта группа фактически не зависит от п, но я ввожу это определение для дальнейншега удобства). В случае ^ = с, полилогарифм Сп задает линейное отображение Сп: z[p1(c)] ^ к, заданное на образующих по следующей формуле:

^-'п({г}п) £п(г).

На всю группу z[p1(c)]n это отображение продолжается по линейности. В [8] А. Гончаров определил подгруппу %п(Е) группы z[p1(F)]п так что в случае ^ = с эта подгруппа лежит в ядре отображения

Ln. Интуитивно, эта подгруппа описывает "универсальные" функциональные соотношения для функции Ln.

Определение 1.1 (Высшая группа Блоха). Определим группу Bn(F) как следующую фактор-группу:

Bn(F) := z[p1(F)]„/R„(F).

Эта группа называется n-ой группой Блоха.

Так как группа B2(F) будет играть важную роль на протяжении всей диссертации, дадим явное поределение группы R2 (F). Как было замечено в Разделе 4.2 статьи [8], эта группа порождается следующими элементами:

5

J](-1)4c.r.(x 1, . . . ,Xi, . . . ,Х5)}2, {0}2, {1}2, |^}2.

i=1

В этой формуле xi — это 5 различных точек на p1 и c.r.(-, •, •, •) — это двойное отношение четырех точек на проективной прямой.

Замечание 1.2. Не известно совпадает ли подгруппа Rn(F) из статьи [5] с аналогичной подгруппой, определенной в [8]. Утверждение об их совпадении тесно связанно с так называемой гипотезой А. Сус-лина о жесткости. В этой диссертации мы придерживаемся определения группы Rn(F) взятой из [8].

Определение 1.3 (Полилогарифмический комплекс). Определим комплекс r(F, n) следующим образом:

r(F,n): Bn(F) —• Bn-1(F) 0 Fx —• ... —• ^(F) 0 Лп-2^x —■ Лп^x.

Этот комплекс сосредоточен в степнях от 1 до n. Дифференциал определяется следующим образом: in({x}k0yk+1 Л- • •Лyn) = {x}k-10 xAyfc+1 Л- • •Луп для k > 2 и ¿n({x}20узЛ... yn) = хЛ(1-х)ЛузЛ- • -Луп.

Полилогарифмические комплексы комплексы были определены А. Гончаровым в статье [5]. В этой же статье была высказана гипотеза, что эти комплексы вычисляют мотивные когомологии поля F.

Пусть (F, v) — это поле дисретного нормирования. Обозначим Ov = {x е F|v(x) > 0},mv = {x е F|v(x) > 0} and Fv = Ov/mv.

Напомним, что элемент а Е Fх is называется униформизающим если v(а) = 1 и называется единицей если v(а) = 0. Для u Е Ov обозначим через U его класс в поле вычетов Fv.

Доказательство следующего предложения может быть найдено в

[5]:

Предложение 1.4. Пусть (F, v) — поле дискретного нормирования и n > 3. Существует единнственный морфизм комплексов

d(n): r(F, n) ^ r(Fv,n - 1)[-1] удовлетворяющий следующим условиям:

1. Для любого униформизующего п и едениц u2,... un Е F, выполнена следующая формула: d(n) (п Л u2 Л ■ ■ ■ Л un) = U2 Л ■ ■ ■ Л un.

2. Для любого а Е F\{0,1} удовлетворяющего v(а) = 0, целого числа k, такого что 2 < k < n и любого b Е Лп-кFх имеем: д(п)({а}к 0 b) = 0.

3. Для любой единицы u, целого числа k, такого что 2 < k < n и любого b Е Лп-кFх имеем: d(n)({u}k 0 b) = -{u}k 0 d(n-k)(b).

Мы будем называть морфизм комплексов dVn) из предыдущего предложения ручным символом.

Пусть D — это неприводимый дивизор на гладком многообразии X. Обозначим через vd соответствующее дискретное нормирование поля k(X). Для произвольного поля F обозначим через дискретное нормирование поля F(t), которое соответствует точке то Е p!(F).

Напомним, что мы зафиксировали алгебраически замкнутое поле k характеристики ноль. Обозначим через Fields^ категорию конечно порожденных расширений поля k степени трансцендентности d. Каждый морфизм в этой категории — это конечное расширение. Для поля F Е Fields^, обозначим через dval(F) множество дискретных нормирований заданных неприводимым девизором на какой-нибудь гладкой модели поля F. В случае когда F Е Fields! это множество совпадает с множеством всех дисертных нормирований, которые тривиальны на поле k. В этом случае мы обозначим это множество просто через val(F). Если X — это гладкое алгебраическое многообразие, вместе с изоморфизмом k(X) ^ F, обозначим через

ёуа1(^)х С ёуа1(^) подмножество дивизориальных нормирований, которые происходят из неприводимых дивизоров на X.

Дадим определение дилогарифма Чжоу, который впервые был определен в [6]. Пусть X - это кривая и /, /2, /з три ненулевые рациональные функции на X. Определим следующее 2-распределение на X(с) (см. [6]):

г2(х; Л,/2,/з) = 1 ^ вуга^г^; /СТ(1),/СТ(2)^(З)),

г2 (X; У1, У2, Уз) = 1og 1У11 й 1Og 1У2 1og 1 уз|- 31 у 11 й а^(у2)Л^ arg(уз). Дилогарифм Чжоу опрделяется по формуле

Р2(X; /1, /2, /з) = (2пг)-1 / r2(X; /1,/2,/з).

Jх( С)

Из определения легко следует, что дилогарифм Чжоу зануляется если две из трех функций являются константами, а тажже что для любого непостоянного регулярного отображения ф: X ^ У и трех неулевых функций /1, /2, /з на У выполняется равенство

Р2(У; /1, /2, /з) = ^ ф)-1^, ф/ ф/ ф*(/з)).

2 Поднятые отображения взаимности

Определение 2.1 (Поднятое отображение взаимности). Пусть ^ € ПеИБь Поднятое отображение взпимности на поле ^ — это линейное отображение к: Лз^х ^ В2(&) удовлетворяющее следующим двум условиям:

1. Следующая диаграмма коммутативна:

Вз(^) —^^ Й2(^) 0 ^х —Лз^х

е д

veval(F )

(3)

Н у

Е д<3)

veval(F )

#2^) -^^ Л2(^х).

2. Отображение к зануляется на элементах вида с Л /2 Л /з, с € ^,/2,/з € ^.

Мотивируясь аналитическими свойствами дилогарифма Чжоу, А. Гончаров высказал следующую гипотезу:

Гипотеза 2.2. На каждом поле F Е Fields! можно выбрать поднятое отображение взаимности HF так что выполняются следующие свойства:

1. Для любого вложения j: Fi ^ F2 выполнена формула

RecMaps(j )(HF2) = HFl.

2. В случае когда k = C выполнена следующая формула:

P2(X; fi, /2, /3) = -¿2(Hc(x)(/I Л /2 Л /а)).

Более того семейство поднятых отображений взаимности HF, F Е Fields1 однозначно определяется свойством 1.

Частичное продвижение в доказательстве этой гипотезы было получено Д. Руденко [9]. Основным результатом диссертации является следующая теорема:

Теорема 2.3. Гипотеза 2.2 верна.

Неформально эта гипотеза означает, что дилогарифм Чжоу может быть функториальным образом выражен через классический ди-логарифм L2. Доказательство этой гипотезы было анонсировано в [3]. Там же была представлена идея доказательства. Доказательство со всеми деталями будет опубликовано в [4] (статья принята к печати).

При доказательстве этой теоремы был получен следующий результат, который представляет самостаятельный интерес.

Теорема 2.4. Пусть L Е Fields2. Для любого b Е Л4Ьх и всех кроме конечного числа v Е dval(L), имеем H-v dV4) (b) = 0. Более того следующая сумма равна нулю:

£ H-v dV4)(b) = 0. (2)

vGdval(-)

Применяя к обоим частям отображение L2, мы восстанавливаем соотношение для дилогарифма Чжоу, полученного А. Гончаровым в [6, Section 1.4].

3 Эллиптический дилогарифм

Пусть Е = с/ (1, т) — эллиптическая кривая над с. Эллиптический дилогарифм был определен С. Блохом [1] (см. также [10]). Эквивалентное представление задается следующей формулой:

оо

Dt (С)= D(e2ni?+2nirn).

Г

и=—оо

Обозначим через z[E] свободную абелеву группу, порожденную точками Е. Для точки г Е Е обозначим через [г] соответствующий элемент в группе z[E]. Эллиптический дилогарифм задает линейное отображение БТ: z[E] ^ с, определенное по формуле Бт([г]) = Бт (г).

Для рациональной функции / на Е, обозначим через (/) ее деви-зор. Для некоторых мы имеем:

(f) = - Ы), (1 - f) = £([&] - Ы). i=1 i=1

Определим элемент п/ E z[E] с помощью следующей формулы

n

П/ = ^ ([а - вз] + в - Y] + [Yi - а]). (3)

i,j=1

Следующее определение взято из [7]:

Определение 3.1. Определим подгруппу R(E) группы z[E] как группу порожденню следующими элементами:

1. п/, где f E k(E),

2. [z] + [-z], где z E E,

3. 2 ■ (z - E [z']), где z E E.

2z'=z

Эллиптическая группа Блоха B3(E) определяется как фактор группа z[E ]/R(E).

Согласно [1, Theorem 9.2.1], (см. также [10], [7]) отображение Dr зануляется на подгруппе R(E).

Основной результат статьи [2] заключается в следующей теореме:

Теорема 3.2. Пусть Е — эллиптическая кривая над с. Для любой рациональной функции / на Е, элемент п/ € z[E] может быть представлен как линейная комбинация с целыми коэффициентами элементов вида п/ для функций / степени 3 и элементов вида [г] +

Эта теорема показывает что при определнии эллиптической группы Блоха достаточно брать элементы вида п/ для функций / степени 3.

Указанное утверждение было высказано в [7] в качетсве гипотезы.

Фактически в [2] это утверждение было выведено из следующей теоремы, которая представляет самостоятельный интерес:

Теорема 3.3. Пусть Е — это эллиптическая кривая над к. Группа В2(к(Е)) порждается элементами вида {/}2, где / € к(Е) функция степени не выше 3. (Мы считаем что степень константы равна нулю).

Список литературы

[1] S. Bloch. Higher Regulators, Algebraic K-theory, and Zeta Functions of Elliptic Curves, volume 11 of CRM monograph series. American Mathematical Society, Providence, 2000.

[2] V. Bolbachan. On functional equations for the elliptic dilogarithm (О функциональных соотношениях для эллиптического дилога-рифма). European Journal of Mathematics, 8(2):625-633, 2022.

[3] V. Bolbachan. Strong suslin reciprocity law and the norm map (Усиленный закон взаимности Суслина и оображение нормы). Mathematical Notes, 112(1):309-312, 2022.

[4] V. Bolbachan. Chow dilogarithm and strong suslin reciprocity law (Дилогарифм Чжоу и усиленный закон взаимности Суслина). Journal of algebraic geometry, 32(3):to appear, 2023.

[5] A. B. Goncharov. Geometry of configurations, polylogarithms and motivic cohomology. Advances in Mathematics, 114(2):197-318, 1995.

[6] A. B. Goncharov. Polylogarithms, regulators and Arakelov motivic complexes. Journal of the American Mathematical Society, 18(1):1-60, 2005.

[7] A. B. Goncharov and A. M. Levin. Zagier's conjecture on L(E, 2). Inventiones mathematicae, 132(2):393-432, 1998.

[8] Alexander B Goncharov. Polylogarithms and motivic galois groups. Motives (Seattle, WA, 1991), 55:43-96, 1994.

[9] D. Rudenko. The strong suslin reciprocity law. Compositio Mathematical, 157(4):649-676, 2021.

[10] Don Zagier and Herbert Gangl. Classical and elliptic polylogarithms and special values of L-series. In The arithmetic and geometry of algebraic cycles, pages 561-615. Springer, 2000.

Приложение A.

Статья 1. Chow dilogarithm and strong Suslin reciprocity law (Дилогарифм Чжоу и усиленный закон взаиности Суслина) Journal of algebraic geometry, 32(3):to appear, 2023

Авторские права:

В соответствии с соглашением об авторских правах, автор может пуб-ликвать изначальную версию его работы без разрешения издательства.

Chow dilogarithm and strong Suslin reciprocity law

Vasily Bolbachan

Abstract

We prove a conjecture of A. Goncharov concerning strong Suslin reciprocity law. The main idea of the proof is the construction of the norm map on so-called lifted reciprocity maps. This construction is similar to the construction of the norm map on Milnor K-theory. As an application, we express Chow dilogarithm in terms of Bloch-Wigner dilogarithm. Also, we obtain a new reciprocity law for four rational functions on an arbitrary algebraic surface with values in the pre-Bloch group.

Contents

(A table of contents should normally not be included)

1 Introduction 1

1.1 Definitions......................................................................3

1.2 Lifted reciprocity maps........................................................5

1.3 Main results....................................................................6

1.4 The outline of the paper......................................................7

1.5 Conventions....................................................................8

2 Preliminary results 8

2.1 Lifted reciprocity maps........................................................8

2.2 The construction of the lift ..................................................9

2.3 Parshin reciprocity law........................................................11

2.4 Lemma about finiteness......................................................14

3 The norm map 15

3.1 The definition of Nv..........................................................15

3.2 Property of Nv under extensions of scalars..................................17

3.3 The proof of Theorem 1.14 ..................................................19

4 The proofs of the main results 21

4.1 The proof of Theorem 1.8 ....................................................21

4.2 The proof of Corollary 1.13..................................................23

References 25

1. Introduction

Everywhere we work over Q. So any abelian group is supposed to be tensored by Q. For example, when we write A2kx this actually means (A2fcx) ( Q. All exterior powers and tensor products

2020 Mathematics Subject Classification Primary 19D45, 11G55; Secondary 19E15 Keywords: Milnor K - theory, reciprocity laws, polylogarithms

This paper was partially supported by the Basic Research Program at the HSE University and by the Moebius Contest Foundation for Young Scientists

are over Q.

Let k be a field and X be a smooth projective curve over k. For a field F denote by Kn(F) the n-th algebraic K-theory of F. For any closed point z G X one can define the residue map dz : Kn(k(X)) S Kn_i(k(z)) (we use this notation to distinguish this map from the residue map on polylogarithmic complexes which will be defined below), where k(z) is the residue field of the point z (see [Wei13, V.5]). Denote by trk(z)/k the push-forward map Kn-i(k(z)) S Kn-i(k) associated to the natural projection Spec(k(z)) S Spec(k). It follows from the basic properties of algebraic K-theory that for any a G Kn(k(X)) and all but finitely many z G X, we have dz(a) = 0 and moreover the following sum is equal to zero:

E

zex(!)

trk(z)/k ◦ dz(a) =

In this formula X(1) denotes the set of closed points of the curve X.

On the other hand, for any field F, A. Goncharov [Gon95] defined so-called polylogarithmic complexes T(F, n), n G N and conjectured that these complexes compute the graded pieces of the algebraic K-theory of F. More precisely the cohomology H®(r(F, n) ( Q) should be isomorphic to gr"K2n-i(F) ( Q. Here gr"K2n-i(F) ( Q is the associated graded space with respect to Y-filtration (see for example [Wei13]).

The complex T(F, n) looks as follows:

r(F, n): Bn(F) —S Bn-1(F) ( Fx —S ... —S B2(F) ( An-2Fx —S A"Fx.

This complex is concentrated in degrees [1, n]. The group Bn(F) is the quotient of the free abelian group generated by symbols {x}n, x G P1(F) by some explicitly defined subgroup Rn(F) (see [Gon94]). In the next section we will present the generators for the group R-2(F). The differential is defined as follows: £n({x}k ( yk+i A • • • A yn) = {x}^_i ( x A yk+i A • • • A yn for k > 2 and ¿„({x}2 ( y3 A .. . y„) = x A (1 - x) A y3 A • • • A yn.

Let us assume that the field k is algebraically closed. In this case A. Goncharov constructed the morphism of complexes c^ : r(F, n) S r(k, n — 1)[-1] which should correspond to the residue map on the algebraic K-theory. So, it is natural to suppose that there is a homotopy between the map d^z"'^ and the zero map. In this paper we will deal only with the case

zeX(')

n = 3. In this case the existence of such a homotopy was proved in [Rud21].

It turns out that this story is connected with so-called Chow dilogarithm defined by A. Goncharov in [Gon°5]. For any smooth projective curve X over C and three non-zero rational functions fi, /2, /3 on X, the Chow dilogarithm P2(X; fi, /2, /3) is defined by the formula

P2(X; /i, /2, /3) = (2ni)"^ r2(/i, /2, /3),

JX( C)

Ix(C) where

r2(/i,/2,/3) = 6 E S3n(a)ir2(/CTi ,/^2 ,/^3) <res3

T2(/i, /2, /3) = log |/i|dlog 1/21 A dlog 1/31 — 3 log |/i|darg(/2) A darg(/3).

On the other hand there is the canonical map £2: B2 (C) S R, given by the Bloch-Wigner dilogarithm (see [Gon95]). A. Goncharov conjectured that for any algebraically closed field k and any smooth projective curve X over k, there should exist the canonical map Hk(x): A3k(X) S

B2(fc) such that for k = C we have ; /i,/2,/a) = lC2(Hc(x)(/i A /2 A /3)). The word

"canonical" means that this map should be functorial under non-constant morphisms of curves. Moreover, motivated by the analytic properties of Chow dilogarithm, he conjectured that the map Hk(x) should additionally satisfy to the following two properties:

(i) It should vanish on the elements of the form c A /2 A /3,0 G k, /2, /3 G k(X),

(ii) This map should give a homotopy between the map d( ) and the zero map:

2eX (!)

B3(k(X) B2(k(X)) ( k(X)x A3k(X)>

E d(3)

exU)

K

k(X)

E d(3) (1)

=x(i)

B2(k) ^---► A2(kx).

In this paper we assume that the field k is an algebraically closed field of characteristic zero. In this case we prove the above conjecture. That is for any smooth projective curve over k, we construct the map %fc(x) : A3k(X)x ^ $2(k) such that all these maps satisfy the conditions stated above.

Remark 1.1. (i) We impose the condition on characteristic of the field k only for simplicity. It seems that the results of this paper can be generalized to the case of arbitrary characteristic. Meanwhile, the condition that k is algebraically closed is essential. If the field k were not algebraically closed, then in the case k C k(z) there would be no natural morphism of complexes r(F, n) ^ r(k, n — 1)[— 1]. The reason is that while there is the natural map r(F, n) ^ r(k(z),n — 1)[—1], the push-forward map T(k(z),n — 1)[— 1] ^ r(k, n — 1)[— 1] cannot be defined on the level of complexes.

(ii) Let ko be some subfield of k. It can be deduced from our main result, that if the curve X together with three functions /1, /2, /3 are defined over ko then the element %fc(x)(/i A /2 A /3) lies in the invariants B2(k)Gal(k/ko). However, it seems that in general the group B2(k)Gal(fc/fco) is strictly bigger than B2(k0).

(iii) By theorem of A. Suslin (Corollary 5.7 from [Sus91]) when the field k is algebraically closed, the group B2(k) is uniquely divisible. So it seems that the restriction that we work only Q-linearly is not essential.

1.1 Definitions

We recall that everywhere we work Q-linearly. Let F be an arbitrary field. We repeat the definition of the complex r(F, n) for convenience.

Definition 1.2. Define the complex r(F, n) as follows:

r(F,n): Bn(F) —^ Bn-i(F) (Fx —^ ... —^ ^(F) ( An-2Fx —^ AnFx.

This complex is concentrated in degrees [1,n]. The group Bn(F) is the quotient of the free abelian group generated by symbols {x}n, x G P1(F) by some explicitly defined subgroup Rn(F) (see [Gon94]). The differential is defined as follows: ¿n({x}k ( yk+i A • • • A yn) = {x}fc_i ( x A yfc+i A • • • A yn for k > 2 and ¿„({x}2 ( y3 A ... y„) = x A (1 — x) A y3 A • • • A y„.

Remark 1.3. (i) It is not known whether the definitions of the group Rn(F) from [Gon95] and [Gon94] are equivalent. While it is believed to be the case, this statement relies on

3

the so-called Suslin rigidity conjecture. In this paper we use the later definition, that is the definition from [Gon94].

(ii) Everywhere in this paper we can replace the complex r(F, n) with its canonical truncation r^n_ir(F, n). Therefore, only the definition of the group R-2(F) is relevant for us. As it was noted in Section 4.2 of [Gon94] this group is generated by the following elements:

5

£)( — 1)J{c.r.(xi, ...,£,..., x5)}2, {°}2, {1}2, M2.

i=i

In this formula xj are five different points on Pi and c.r.(-) is the cross ratio.

Let F be an arbitrary field. We recall that the n-th Milnor K-theory K"^(F) of the field F is defined as the quotient of the vector space A"Fx by the elements of the form ai A (1 — ai) A a3 A • • •Aan,, where aj G Fx and ai = 1. We have the canonical identification H"(r(F, n)) = K"^(F). If j: Fi S F2 is an embedding of fields, denote by j : K"^ (Fi) S K"^ (F2) the natural map given by the formula j*(ai A • • • A a„) = j(ai) A • • • A j(a„). Bass and Tate [BT73] constructed the norm map NVp2/F1 : K"^(F2) S K"^(Fi) which a priori depends on the choice of generators of F2 over Fi. A. Suslin [Sus79] proved that the norm map NVp2/F1 is independent of the choice of generators and is determined only by the embedding j .

Let (F, v) be a discrete valuation field. Denote Ov = {x G F|v(x) ^ 0}, mv = {x G F|v(x) > 0} and Fv = Ov. We recall that an element a G Fx is called a uniformiser if v(a) = 1 and a unit if v(a) = 0. For u G Ov denote by u its residue class in Fv.

The proof of the following proposition can be found in [Gon95]:

proposition 1.4. Let (F, v) be a discrete valuation Geld and n ^ 3. There is a unique morphism of complexes dV": r(F, n) S r(Fv, n — 1)[—1] satisfying the following conditions:

(i) For any uniformiser n and units U2,... u„ G F we have dV" (n A U2 A • • •A u„) = u2 A • • •A u".

(ii) For any a G F\{0,1} with v(a) = 0, an integer k satisfying 2 ^ k ^ n and any b G A"-kFx

we have 0VK)({a}k ( b) = 0.

(iii) For any unit u, an integer k satisfying 2 ^ k ^ n and b G A" kFx we have 0V")({u}k ( b) =

— {u}k ( dV"-k)(b).

We will call the map dv from the previous proposition the tame symbol map. The proof of this proposition can be found in [Gon95, Section 14].

We will need the following lemma which easily follows from the definition of the tame-symbol:

lemma 1.5. Let (F, v) be a discrete valuation Geld. Let k, n be two natural numbers satisfying the condition k < n. Let ai,.. ., a„ G Fx such that v(ak+i),..., v(a„) = 0. Then the following formula holds:

(ai A • • • A a„) = 0(k) (ai A • • • A ak) A ak+I A • • • A a".

When D is an irreducible divisor on a smooth variety X, we denote by vd the corresponding discrete valuation of the field k(X). For any field F denote by the discrete valuation of

F(t) given by the point to G Pi(F).

We recall that we have fixed some algebraically closed field k of characteristic zero. Denote by Fields^ the category of finitely generated extensions of k of transcendence degree d. Any

morphism in this category is a finite extension. For F G Fields^, denote by dval(F) the set of discrete valuations given by an irreducible Cartier divisor on some birational model of F. When F G Fieldsi this set is equal to the set of all discrete valuations that are trivial on k. In this case, we denote this set simply by val(F). If X is an algebraic variety together with the isomorphism k(X) ^ F we denote by dval(F)x C dval(F) the subset of divisorial valuations coming from divisors on X.

Let j: K ^ F be an extension from Fields^ and v G dval(K). Denote by ext(v, F) the set of extensions of the valuation v to F. Let v' G ext(v, F). Denote by jv'|v the natural embedding Kv ^ Fv'. The inertia degree /v'|v is defined as deg jv'|v. The ramification index ev'|v is defined by the formula ik = unj , where , nj are uniformisers of K, F and u is some unit. By [Neu13, Chapter II, §8] the set ext(v, F) is finite and, moreover, the following formula holds:

E /v'k = [F : K]. (2)

v' eext(v,F)

By the Theorem of O. Zariski [ZS13, Chapter VI, §14, Theorem 31] a discrete valuation on F is divisorial if and only if the corresponding residue field is finitely generated over k and has transcendence degree 1. This implies that for any v G dval(K), we have ext(v, F) C dval(F).

For any n ^ 0 there is the natural map j* : AnKx ^ AnFx given by the formula j*(a) = a. It is easy to see that for any v' G ext(v, F) the following formula holds:

dVn)j*(a) = ev|v • (jv'|v)*(dVn)(a)). (3)

1.2 Lifted reciprocity maps

We recall that we work Q-linearly.

Definition 1.6. Let F G Fieldsi. A lifted reciprocity map on the field F is a Q-linear map h: A3Fx ^ B2(k) satisfying the following conditions:

(i) The following diagram is commutative:

B3(F) B2(F) ( Fx —A3Fx

E 9<3)

v£val(F)

E dV3) (4)

veval(F) V '

* A B2(k) -¿^ A2(kx).

(ii) The map h vanishes on the image of the multiplication map A2Fx ( kx ^ A3Fx.

Remark 1.7. The set of all lifted reciprocity maps has a structure of affine space over Q as any set of homotopies.

Denote by Set the category of sets. Define a contravariant functor

RecMaps: Fieldsi ^ Set

as follows. For any F G Fieldsi the set RecMaps(F) is equal to the set of all lifted reciprocity maps on F .If j: K ^ F then RecMaps(j)(hj) is defined by the formula h-K (a) :=

--hj(j (a)). It is not difficult to show that the assignment preserves identities. We will present

deg j

the detailed proof that RecMaps is indeed a functor in Section 2.1.

h

5

1.3 Main results

The following theorem is a solution of Conjecture 6.2 from [Gon05].

Theorem 1.8. For any Geld F G Fieldsi one can choose a lifted reciprocity map Hf on the field F such that for any embedding j : Fi S F2 we have RecMaps(j)(H_F2) = Hf1 . Such a collection of lifted reciprocity maps is unique.

remark 1.9. One of the main results from [Rud21] states that for any field F G Fieldsi there is a map A3Fx S B2(k) satisfying the first condition of Definition 1.6. However, it is not clear why this map can be chosen functorial. The functoriality is our new result.

We remark that even the proof of existence of a homotopy is simpler because it does not rely on complicated lemmas 5.2 - 5.7 from [Rud21].

Remark 1.10. In [Gon05, Section 6], A. Goncharov proved that for any elliptic curve E over k there is a lifted reciprocity map on the field k(E). From the proof of Theorem 1.8 it is not difficult to show that his map coincides with ours. Therefore, Theorem 1.8 generalizes A. Goncharov's construction to curves of arbitrary genus.

1.3.1 Chow dilogarithm The definition of Chow dilogarithm can be found in Section 6 of [Gon05]. This function associates to any smooth projective curve X over C and three non-zero rational functions /i,/2,/3 on X the value P2(X; /i,/2,/3) G R. The remark after Conjecture 6.2 in loc. cit. implies that Theorem 1.8 has the following corollary:

corollary 1.11. For any smooth projective curve X over C and three non-zero rational functions /i, /2, /3 on X the following formula holds:

P2(X; /i, /2, /3) = —¿2(Hc(x) (/i A /2 A /3)).

Here ¿2 : B2(C) S R is a map given on the generators {x}2 by the formula

¿2({x}2) = ¿2(x),

where ¿2 is Bloch-Wigner dilogarithm.

remark 1.12. (i) The sign comes from the fact that we use a little bit different definition of the map dV3).

(ii) This statement is similar to Corollary 1.5 from [Rud21]. However the proof from loc. cit. is not correct: it relies on a remark after Conjecture 6.2 from [Gon05], which uses the functorial property. So Corollary 1.11 is new.

1.3.2 Two-dimensional reciprocity law From the proof of Theorem 1.8 we get the following corollary:

Corollary 1.13. Let L G Fields2. For any b G A4Lx and all but finitely many v G dval(L) we have dV4)(b) = 0. Moreover, the following sum is equal to zero:

E Hlv dV4)(b) = 0. (5)

vedval(L)

Applying ¿2 to both sides of (5) and using Corollary 1.11, we recover the functional equation for Chow dilogarithm proved by A. Goncharov in [Gon05, Section 1.4], see also [BGKLL18]. Actually Corollary 1.13 was our motivation behind the construction of the map H.

Chow dilogarithm and strong Suslin reciprocity law 1.4 The outline of the paper

In Section 2.1 we will show that there is the unique lifted reciprocity map on the field of rational functions k(t). Denote it by Hk(t). Let F G Fieldsi be any field. Choose an embedding j : k(t) ^ F. To define Hj, we extend a lifted reciprocity map Hk(t) from the field k(t) to the field F. For this we solve the more general problem: for any finite extension j': Fi ^ F2 in Fieldsi we construct the canonical map Nj2/f1 : RecMaps(Fi) ^ RecMaps(F2). More precisely we will prove the following theorem:

Theorem 1.14. For any embedding of fields j: Fi ^ F2 one can define the canonical map Np2/Fl : RecMaps(Fi) ^ RecMaps(F2) satisfying the following properties:

(i) RecMaps(j) o Nj2/f1 = id.

(ii) If Fi C F2 C F3 is a tower of extension from Fieldsi then Nj3/f1 = Nj3/f2 ◦ Nj2/f1.

Item (i) shows that Nj2/f1 is indeed an extension, while item (ii) shows that this extension is functorial.

Sections 2 and 3 are devoted to the proof of this theorem. The details will be given below. Now the proof of Theorem 1.8 is easy: the existence follows from Theorem 1.14 together with the fact that the element NF/k(t)(Hk(t)) does not depend on the embedding j: k(t) ^ F. The uniqueness follows from standard arguments. We will present this proof in Section 4.1. The proof of Corollary 1.13 will be given in Section 4.2.

Let us outline the proof of Theorem 1.14. The proof of this theorem is in many respect similar to the construction of the norm map on Milnor K-theory. (See [BT73, Sus79, Mil70, Kat80]). That is the reason why we denote it by the letter N. (Note that compared to the norm map in Milnor K-theory, in our case, the norm map is directed in the opposite direction. The reason for this is that while Milnor K-theory gives a covariant functor, the functor RecMaps is contravariant.) In Section 3.1 for any field F G Fieldsi and any v G dval(F(t)) we will construct the map Nv: RecMaps(F) ^ RecMaps(F(t)v). Using this map, for any extension Fi ^ F2 with a generator a we will define the norm map Nf2/f1j0 : RecMaps(Fi) ^ RecMaps(F2) (see Definition 3.8). Using ideas from [Sus79] we will show that this map does not depend on a and will have finished the proof of Theorem 1.14. This will be done in Section 3.2 and Section 3.3.

The most non-trivial part of this paper is the construction of the map Nv. Let us give the outline of this construction. Let F G Fieldsi . It is useful to divide the discrete valuations of the field F(t) into two classes, namely the general valuations and the special ones (see Definition 2.3). For the special valuations the definition of the map Nv is straightforward. To reduce the definition of the map Nv when v is general to the previous case, we use the notion of the lift. Let v G dval(F(t)) be a general valuation and n,j G N. A lift of an element a G r(F(t)v, n) j is an element b G r(F(t),n + 1)j+i, such that the tame-symbol dVn+i)(b) is equal to a and the tame-symbol of b at any other general valuation vanishes. The set of all lifts of the element a is denoted by L(a). In Section 2.2 we will show that in the case n = 3, j G {2, 3}, for any a G r(F(t)v, n)j the set L(a) is non-empty. Now, when v G dval(F(t)) is a general valuation, h G RecMaps(F) and a G A3F(t)v, we can choose some lift b G L(a) and define the element Nv(h)(a) by the following formula:

Nv (h)(a) = - £ Nii(h)(0^4)(b)).

^edval(F (t)) s p

Here dval(F(t))sp denotes the set of all special valuations. In this formula the lifted reciprocity

maps NV(h) are already defined because ^ are special. It remains to show that this expression does not depend on the choice of b and for fixed h gives a lifted reciprocity map on the field F(t)V. This can be done using the properties of the lift established in Section 2.2 and some version of the Parshin reciprocity law which will be proved in Section 2.3.

1.5 Conventions

If C is a chain complex denote by Cd the elements lying in degree d. The symbol means the differential in the polylogarithmic complex r(F, n). Although it depends on the field F we will omit the corresponding sign from the notation. In the same way, when (F, v) is a discrete valuation field we denote by dVn) the tame-symbol map r(F, n) ^ r(FV, n — 1)[— 1].

2. Preliminary results

2.1 Lifted reciprocity maps

Proposition 2.1. RecMaps is indeed a functor.

Proof. If ji, j2 are some embeddings from Fieldsi then the formula

RecMaps(j2 o ji) = RecMaps(ji) o RecMapsj'2)

follows from the fact that the ramification index is multiplicative. So it is enough to show that for any embedding j: K ^ F and hp € RecMaps(F) the map

hK := RecMaps(j)(hF) = -1-hF o j : A3Kx ^ B2(k)

deg j

is a lifted reciprocity map on K.

The statement that h^ is zero on the image of the map A2Kx ( kx ^ A3Kx follows from the corresponding statement for hp. Let us prove that diagram (4) is commutative.

For any v € val(K) and any v' € ext(v, F) we have fV'|V = 1. Therefore, formula (2) becomes ev'|v = [F : K]. Since in our case KV = FV' = k, the formula (3) takes the form

v'Gext(v,F)

ev'|v dV3)(«) = dV3)j;(o).

For any a € A3K x , we have:

(a)) = ]F1KT ¿2(hp (j*(a))) = [F^ E d(3)j,(a) =

[ : ] [ : ] v'£val(F)

= IF^r E E ^(a) =

L J vGval(K) v'eext(v,F)

= 7^ E E ev'|vdV3)(a)= E dV3)(a).

[ ] vGval(K) v'eext(v,F) vGval(K)

(3) (3)

Here in the fourth equality we have used the formula (j*(a)) = eV'|VdV (a) and in the last formula we have used the formula eV'|V = [F : K]. So the lower right triangle is

v'Gext(v,F)

commutative. The commutativity of the upper left triangle is similar. □

8

Proposition 2.2. On the Geld k(t) there is the unique lifted reciprocity map. We will denote it by Hfc(i)

Proof. Elementary calculation shows that the group A3k(t)x is generated by the image of the multiplication map k(t)x ( A2kx ^ A3k(t)x and by the image of ¿3. Uniqueness follows from this statement. Existence was proved in [Gon95, Theorem 6.5]. Let us give two remarks:

(3)

(i) Because we use another sign convention in the definition of d„ (see Proposition 1.4) we need to multiply the map h (see Proposition 6.6) from [Gon05] by -1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Болбачан Василий Сергеевич, 2023 год

L1 — f

—1

Let f1a = f /a, f2,a = (1 — a)/(1 — f), f3,a = (1 — a—1 )/(1 — f—1). Since the field k is infinite, it is enough to prove that for any j e {1, 2, 3} and all but finite values

of a the function fj,a is either a generic or the element [ fj,a] lies in the subspace FnB2 (K).

Let «1 ,a2 and Y1, Y2 be as in the first condition of Definition 3.1 for the function f. Let A0 C p1 be the set of critical values of the function f, and A = A0 U {f (a1 + a2 - Y1 )}U {0, to}. Let a e A. The set f-1 (a) has precisely n + 1 elements. Let P1, P2 e f -1 (a) be two different elements. It easy to see that for the function f /a the first, the second and the fourth conditions of Definition 3.1 hold. If the third condition also holds then f/a is a generic rational function. If it does not hold then according to Lemma 3.2 the element [f /a] lies in the subgroup FnB2(K). The cases of the functions f2,a, f3a are similar. □

4 Decreasing of the degree in the case of a generic function

Let us denote by p the function of degree 2 on E, satisfying p(z) = z-2 + o(z) as z ^ 0. It is easy to see that for arbitrary points a, P e E, a = P, the function p(z - a) - p(z - P) has the following divisor:

E [* ])

(p(z - a) - p(z - P)) =1 2^[x]|-2[a]-2[P]. (3)

2x ea+P

We recall that the cross ratio of four points on p1 is defined by the following formula:

a - c a - d (a - c)(b - d)

[a, b, c, d] =

b — c b — d (b — c)(a — d )

Let a, P,y, 8 be four mutually different points on E. We define the function ha%PYY%8 by the following formula:

ha,p,y,&(z) = [p(z — a), p(z — P),p(z — y),p(z — 5)]. It follows from (3) that

(ha,p,y,s) = J2 [x ] — J2 [x ]■ (4)

2x e{a+y,P+S} 2x e{a+S,P+y}

Since the points a, p,y, S are mutually different, the degree of the function h is equal to 8. The group E (2) = {z e E | 2z = 0} acts on E by translations. Hence the divisors of the functions h a,p,Y,S and 1 — ha,ptYtS = h a,Y,p,S are invariant under the group E [2]. Therefore the function ha,p,Y,S is also invariant under the group E[2]. We need the following:

Lemma 4.1 For any m e p1\{0, 1, to} there is ¡i e E, such that the following conditions hold:

• h a,p,Y,s(l) = m,

• i e {a, p},

• 2^ e {« + Y,/ + 8, a + 8,/ + Y,a + /,8 + Y}.

Proof As a map between two projective curves the map ha,p,Y,s is surjective. Therefore the set f—1 (m) is non-empty. Since the function ha,p,Y,s is invariant under the group E[2], the set hY 8 (m) is also invariant under the group E[2]. So there are at least four points satisfying the first condition of the lemma. We can pick from them a point ¡x different from a and /. So the first and the second conditions for the point ¡x hold. Since the point m does not lie in the set {0, 1, to}, the point ¡x does not lie on the divisors of the functions ha>pYj, 1 — ha/Yj = ha,Y,p,8. Now the third statement of the lemma follows from (4). □

Proposition 4.2 Let a, /, y , 8 be four mutually different points on E and let a, b, c, d be four mutually different points on p1. Then there is a function f of degree 2 on E such that f (a) = a, f (/) = b, f (y) = c, f (8) = d.

Proof Let m be the cross-relation of points a, b, c, d and ¡ be the point given by Lemma 4.1. Let us define the function f by the following formula:

f (z) = P(z — ¡x) — p(a — ¡x) P(z — ¡x) — p(fi — ¡x)'

The divisor of this function is equal to (f) = [a] + [2x — a] — [/] — [2x — /]. It follows from the statement of the previous lemma that the function f satisfies the following two conditions:

• The degree of f is equal to 2.

• f (Y), f (8) e {0, TO}.

We have

f (Y) P(Y — ¡x) — p(a — ¡x) P (8 — ¡x) — p(fi — ¡x)

-=-•-= ha / Y 8 (¡) = m.

f (8) P(Y — ¡x) — P(3 — ¡x) P (8 — ¡x) — P(a — ¡x) '''

So the function f given by the formula f (z) = f (z)/f (8) satisfies f (a) = 0, f (y) = m, f (8) = 1, f (/) = to. Since [0 , m, 1, to] = [a , c, d, b], there is an element g of the group PSL2 (k) transforming the points 0, m, 1, to to the points a, c, d, b. It is easy to see that the function g( f (z)) satisfies the statement of the proposition. □

We have the following:

Corollary 4.3 Let a1, a2, /1, /2 ,Y1, Y2 be points on E, such that the following conditions hold:

• The sets {ai}=1,2, {/}i=1,2, {Yi }i=1,2 do not intersect.

• The points /1 and /2 are different.

• The points a1 + a2 — Y1 — 31,a1 + a2 — Y1 — /2 are non-zero.

• The points a1 + a2,/ + /2 and Y1 + Y2 are mutually different.

Then there is a rational function g on E satisfying g(fi\) = g(/2) = 1 and one of following statements hold:

(a) The degree ofg is equal to 3 and its divisor is equal to [a1] + [a2] + [a'] -[y1 ]-[Y2] - [Y'], where a', y' are some points on E.

(b) The degree of g is equal to 2 and its divisor is equal to [a1] + [a2] - [Yj ] - [Y']> where j e {1, 2} and y' is some point on E.

(c) The degree of g is equal to 2 and its divisor is equal to [a j ] + [a'] -[y1]- [Y2], where j e {1, 2} and a' is some point on E.

(a) is the "generic " case and (b) and (c) are its degenerations.

Proof It follows from the first condition of the corollary that there is a function g1 of degree 2 with the divisor equal to [a1 ] + [a2] -[y1 ]-[a1 + a2 - y1 ]. From the first and the third conditions it follows that g1 (P1) e {0, to}. Let us denote by f1 the function g1 /g1 (P1). From the conditions of the corollary it follows that g1(P2) e {0,1, to}. According to Proposition 4.2 there is a function g2 of degree 2 on E taking the values 0, to, 1, g1 (P2)-1 at the points a1 + a2 - Y1, Y2, P1 ,P2, resp. Let g .= g1 g2. By the construction of the function g we have g(P1) = g(P2) = 1. Denote by [a1 + a2 -Y1 ] + [s] - [y2] - [t] the divisor of the function g2 for some s, t e E. We have

(g) = [a1 ] + [a2] + [s] - [Y1 ]- [Y2] - [t].

There are three cases:

• s / {Y1, Y2}, t / {a1, a2}. In this case the degree of the function g is equal to 3 and the first case of the proposition holds.

• s e {Y1, Y2}. In this case t e {a1, a2} and so the second case of the proposition holds.

• t e {a1, a2}. In this case s e {Y1, Y2} and so the third case of the proposition holds. □

Proof of Proposition 1.7 Let f be a generic rational function of degree n + 1 on E. Denote by a1, a2, P1, P2, y1 , Y2 the corresponding points from Definition 3.1. They satisfy the conditions of Corollary 4.3. Let g be a function satisfying one of the statements of Corollary 4.3. Let us substitute x = g, y = f into (1):

[g] - [f ] + [f /g] + [(1 - g)/(1 - f)] - [(1 - g-1 )/((1 - f-1))].

Similarly to the proof of Lemma 3.2 it is not difficult to show that all but the second term has degree ^ n. So [ f ] e FnB2(K). □

Acknowledgements The author is grateful to his supervisor Andrey Levin for setting the problem and useful discussions.

References

1. Bloch, S.J.: Higher Regulators, Algebraic K-theory, and Zeta Functions of Elliptic Curves. CRMMonograph Series, vol. 11. American Mathematical Society, Providence (2000)

2. Dupont, J.L., Poulsen, E.T.: Generation of C(x) by a restricted set of operations. J. Pure Appl. Algebra 25(2), 155-157 (1982)

3. Goncharov, A.B., Levin, A.M.: Zagier's conjecture on L(E, 2). Invent. Math. 132(2), 393-432 (1998)

4. Suslin, A.A.: K3 of a field and the Bloch group. Proc. Steklov Inst. Math. 183, 217-239 (1991)

5. Zagier, D., Gangl, H.: Classical and elliptic polylogarithms and special values of L-series. In: Gordon, B.B., et al. (eds.) The Arithmetic and Geometry of Algebraic Cycles. NATO Science Series C: Mathematical and Physical Sciences, vol. 548, pp. 561-615. Kluwer, Dordrecht (2000)

Publisher's Note Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.