Явные конструкции оптимальных кривых рода три тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Алексеенко Екатерина Сергеевна

• Алексеенко Екатерина Сергеевна
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Алексеенко Екатерина Сергеевна

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Абелевы многообразия

1.2 Конструкция Серра и эквивалентность категорий

1.3 Поляризация

1.4 Спуск Галуа

1.5 Канонический подъем

1.6 Границы

1.7 Кривые рода один, два и три

1.8 Выводы к главе

Глава 2. Общая теория оптимальных кривых малых родов

2.1 Оптимальные кривые

2.2 Оптимальные кривые рода 1 и

2.3 Подход Ритценталера

2.4 Подход Топа

2.5 Выводы к главе

Глава 3. Оптимальные кривые рода три над конечными полями с дискриминантами -19, -43, -67,

3.1 Основные свойства кривых

3.2 Первый метод

3.3 Второй метод

3.4 Метод, основанный на идее Хау

3.5 Выводы к главе

Заключение

Список обозначений

В работе используются следующие обозначения:

^ - конечное поле из д элементов, где д = рп, р простое.

£(р) - пространство Римана-Роха, ассоциироваппое с дивизором Р.

#С) - число точек кривой С, определенной над

к - алгебраическое замыкание к.

Ла с(С) - якобиан кр ивой С.

Нот(Х, У) - множество морфизмов X ^ У.

сЬаг(к) - характеристика поля к.

Аи^(С) - группа автоморфизмов кривой С над полем к. А ~ В - изогения абелевых многообразий А и В. О к - кольцо алгебраических целых чис лового поля к. Quot(Я) - поле частных кольца Я. Са1(Ь/К) - группа Галуа расшпрения Ь/К. F* - мультипликативная группа поля Fq. БЖ(Ь/К) - дифферента расширения Ь/К. Соп^/к(Р) _ конорма точки Р в расширении Ь/К.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Явные конструкции оптимальных кривых рода три»

Введение

Алгебраические кривые над конечными полями берут свое начало из теории дпофантовых приближений и находят серьезные приложения в теории кодирования и позже в криптографии. В русле именно этого естественного исторического процесса мы изложим актуальность нашей задачи.

Проблема оценки числа решений диофантовых уравнений связана с оценкой нулей дзета-функции, что, в свою очередь, приводит к гипотезе Римана для алгебраических кривых над конечными полями. Доказательство гипотезы Римана позволило раскрыть необходимые детали арифметики кривых и послужило основой развития алгебраической и диофантовой геометрии. Изначально кривые рассматривались над полями комплексных чисел, однако, после 1910 года возникла необходимость в построении арифметической теории кривых над конечными полями, при этом аналитическая теория представляла Ь-функцип и дзета-функции согласно П. Дирихле и Ю. Дедекинду.

Алгебраические кривые над конечными полями можно рассматривать как объекты алгебраической теории чисел и теории римановых поверхностей. Однако феномен конечной характеристики дает возможность по-новому взглянуть на фундаментальные проблемы теории чисел и римановых поверхностей.

Одним из ключевых вопросов в теории чисел является гипотеза Римана, которая утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции

то 1

с (») = £-

п= 1

лежат на прямой Ие^) = 1/2. Эта гипотеза имеет свой аналог в теории кривых над конечными полями, который формулируется следующим образом:

дзета-функция кривой C рода g над конечным полем F,

q

00

Z(t) = zc(t) = exp(£ #СШП e €[[Î|]

П

n=1

является рациональной, и все ее нули лежат на окружности радиуса ^/д. Более точное утверждение говорит, что

zc (t) =

(1 - t)(1 - qtY

где Le (t) = П 2= 1(1 — ait) - многочлен степени 2g с коэффициентами в Z

и

|ai | = л/q. В 1936 году X. Хассе [13] доказал гипотезу Римапа для эллиптических кривых над конечными полями, используя технику экспоненциальных сумм. Абсолютно другой подход был использован А. Вейлем [50], чтобы доказать гипотезу Римана для кривых произвольного рода над конечными полями. Стоит заметить, что метод X. Хассе был обобщен С. А. Степановым [59] и Э. Бомбьери [2], которые расширили доказательство Хассе на

кривые произвольного рода.

Если 1 - все корни Ь-многочлена Ьс(^ кривой С рода д над

полем то из данной гипотезы очевидным образом следует оценка числа Е^-рациональных точек на кривой С. А именно, имеет место равенство

2 д

#C (Fqd )= qd + 1 — ^ af

i=1

и, следовательно, имеют место следующие оценки

|д* + 1 - #С^)| < 2дд*/2.

С другой стороны, данное семейство неравенств влечет за собой гипотезу Римапа для кривой С. Таким образом, гипотеза Римапа для кривой С/Еч эквивалентна семейству неравенств |#С(Е^) — (д* + 1)| < 2дд*/2 для всех натуральных 1. Поэтому можно сказать, что число точек на кривой над конечными полями является важным объектом исследования. Известно, что

неравенства в большинстве случаев являются строгими, следовательно, получение новых границ представляет большой интерес, в связи с чем вопрос их улучшения становится актуальным.

Теория кодирования позволила по-другому взглянуть на кривые с большим числом рациональных точек. Новый виток исследования арифметики кривых пришел из теории кодирования под влиянием идеи В. Д. Гоп-пы [56], [57]: он установил связь между кривыми над конечными полями и кодами, исправляющими ошибки. Рассмотрим кривую С рода д над полем ^ и обозпач им {Р1,..., Рп} - множество попарно различных то чек кривой С степени один, О = Р1 + ... + Рп и С - дивизоры кривой С с непересекающимися носителями. Теорема Римана-Роха позволяет оценить параметры кода Сс(О, С), ассоциированного с дивизорами получить нижнюю гра-

ницу для минимального расстояния таких кодов в общем случае. А именно, код Сс(О, С) является [п, к, (]-кодом с параметрами

( > п - degС, к = ^шС > degС + 1 - д,

где к - размерность кода, ( - его минимальное расстояние. При построении кодов Гоппа использовал функции пространства С(О), при этом число рациональных точек и род кривой играли важную роль в оценке параметров кода, а именно, чем выше отношение числа точек кривой к роду, тем лучшими характеристиками обладал построенный код. Такие коды принято называть алгебро-геометрическими кодами (АГ-коды ) [55].

Новая связь позволила глубже попять асимптотику теории кодирования. В свое время наилучшей нижней границей для оценки параметров Я = Я (С) = П и 5 = 5(С) = П [п, к, (]-кодов С над Fq в теории кодирования являлась граница Варшамова-Гилберта (ВГ), доказывающая существование кодов со скоростью

Яч(5) > 1 - Ич(5), 0 < 5 < 1 - д"1,

где Hq(x) = — (xlogqx + (1 — x)logq(1 — x)). В дальнейшем M. А. Цфасман, С. Г. Влэдуц и Т. Цинк [47] показали, что существуют кривые, для которых отношение числа точек к роду достигает границы Дринфельда-Влэдуца

A(q) = lim supNq(g) = J~q — 1,

д^ж g

при условии, что q - квадрат. Следовательно, для q > 49 граница Влэдуца-Цинка-Цфасмана

Rq(J) > 1 — ö — A(q)—1 = (1--— ö, 0 < ö < 1 — 1

" V' y/q—v 1 " y/q-1

лучше (то есть гарантируемое ей значение скорости больше), нежели граница ВГ. Улучшение границы ВГ оказалось существенным прорывом в теории кодирования. Как следствие, больше внимания стало уделяться кривым с большим числом точек и нахождению уравнений таких кривых для практического использования.

Кривым с большим числом точек посвящено много работ. Так, напри-

q

венство sup> 7q. И. Ихара [19] использовал суперсингулярные

точки па кривых Шимуры, чтобы доказать, что Yq = yfq — 1 - наибольшая

q

пользовали суперсингулярные точки модулярных кривых Дринфельда для доказательства этого же результата. А. Гарсиа и X. Штихтинот [8], [9] представили явные башни расширений Артина-Шрайера и Куммера с большим числом точек. Т. Цинк [54] показал, что определенные вырожденные многообразия Шимуры являются кривыми с большим числом точек степени 3 над простым полем.

Наличие кодов с хорошими параметрами (лучше, чем граница ВГ) породило исследования, посвященные построению алгоритмов декодирования таких кодов. Наилучший на сегодняшний день алгоритм был предложен В. Гурусвами и М. Суданом [12] в 1999 году. Он является полиномиаль-

h ы м и, более того, позволяет декодировать А Г-колы с исправлением числа ошибок, превышающем половину кодового расстояния.

Другая область применения возникла в криптографии с открытым ключом после предложенного Н. Коблицем и В. Миллером в 1985 году варианта системы RSA на эллиптических кривых над конечными полями. Проблема, касающаяся кривых в криптографии, сильно отличается от классических проблем исследования кривых и требует глубокого понимания структуры якобианов кривых малых родов над конечными полями. Особый интерес представляют кривые рода g < 4, поскольку внутренняя структура группы классов дивизоров кривых больших родов допускает атаку с помощью

метода исчисления индексов. Отметим, что существует алгоритм [7], вычис-

g

за время O(q2—2/g), при этом вычислительная сложность алгоритма равна O(qg/2). Следовательно, кривые большого рода не являются пригодными для криптографии. В связи с этим явные построения кривых малых родов с богатой структурой рациональных точек оказываются высоко востребованными. Требования теории кодирования и криптографии, предъявляемые к кривым, заключаются не столько в доказательстве существования кривых и определения их структурных свойств, сколько в представлении таких кривых в явном виде и выявлении их арифметических свойств.

На настоящий момент не существует общего метода построения кривых рода три с большим числом рациональных точек над конечными полями. Поэтому вопрос нахождения явных уравнений таких кривых и их практического применения как в теории кодирования, так и в криптографии является актуальным.

Целью данной работы является исследование и нахождение класса кривых рода три над конечными полями с дискриминантами — 19, —43, —67, —163, достигающих либо верхней, либо нижней границы Хассе-Вейля-Серра, а также нахождение методов построения данных кри-

вых с использованием наименьшего числа параметров, которые характеризуют эти кривые как подмножество пространства модулей кривых рода три с заданной группой автоморфизмов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Доказано, что оптимальная кривая рода три над конечным полем с дискриминантами —19, —43, —67, —163 не является гиперэллиптической.

2. Доказано, что одновременно не может существовать максимальной и минимальной кривой рода три над конечным полем с дискриминантами — 19, —43, —67, —163.

3. Найдена группа автоморфизмов оптимальной кривой с заданными параметрами.

4. Представлены два метода вывода явных уравнений оптимальных кривых рода три над конечными полями с дискриминантами —19, —43, —67, —163 с точки зрения функциональных полей и с помощью заданной группы автоморфизмов.

5. Предложен метод для вывода уравнения оптимальной кривой рода четыре над расширением простого поля.

Основными методами исследования являются методы теории алгебраических кривых, теории абелевых многообразий, эквивалентность категорий, предложенная Серром. Для вывода уравнений оптимальных кривых использовались методы теории функциональных полей. Апробация.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. IX Сибирская научная международная школа-семинар "Компьютерная безопасность и криптография" (Томск, Россия, 2010). Доклад:

3

2. Вторая международная конференция "Арифметические дни" (Санкт-Петербург, Россия, 2013). Доклад: "Новый метод постро-

3

полями".

3. Конференция "Arithmetic, Geometry, Cryptography and Coding Theory" (Марсель, Франция, 2013). Доклад: "New Method of Constructing

3

4. Семинар "Арифметика, геометрия и теория кодирования" под руководством М.А.Цфасмана в Независимом Московском Университете (2013). Доклад: "Явные конструкции оптимальных кривых рода три".

5. Семинар "Алгебраическая геометрия и ее приложения" при лаборатории "Математические методы защиты и обработки информации" совместно с кафедрой "Компьютерной безопасности" в Балтийском Федеральном Университете им. И.Канта (2013). Доклад: "Оптимальные кривые рода три, их свойства и уравнения".

6. XIV International Workshop on "Algebraic and Combinatorial Coding Theory" (Svetlogorsk, Russia, 2014). Доклад: "A Method of Finding explicit Equation for Optimal Curves of Genus 4".

7. Конференция "Встреча поколений" (Москва, Россия, 2015). Доклад:

3

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложениа на 92 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения. Библиография включает 65 наименований.

Первая глава диссертации посвящена общим вопросам, которые требуются для обоснования рассуждений в последующих главах диссертации, а также для составления общей картины теории кривых с большим числом точек.

Пусть C - проективная, абсолютно неприводимая, гладкая кривая рода g определенная над конечным полем k = Fq, с числом то чек #C (k).

В работе рассматриваются кривые рода 1 < д < 3. Одним из важнейших вопросов является вопрос существования кривых с числом точек, удовлетворяющим границе Хассе-Вейля-Серра

#С(к) = 1 + д ± д|_2^.

Чтобы доказать или опровергнуть существование таких кривых, необходимо:

1. Доказать существование (или несуществование) абелева многообразия А/к с соответствующим многочленом Вейля, причем Лае(С) = А.

2. Рассмотреть поляризацию р на абелевом многообразии А, такую, что (А, р)/к является над к якобианом кривой С.

3. Проверить, возможно ли спустить кривую С до крив ой С/к так, чтобы (Лае(С),0) ^ (А, р).

Пусть Е/к - обыкновенная эллиптическая кривая со следом т. Обозначим через п эндоморфизм Фробениуса кривой Е. Тогда имеет место изоморфизм

Я = Z[X]/(X2 — тХ + д) ^ Ж[п] С Епа(Е).

Ж. П. Серр в [23, Приложение] определил эквивалентность категорий Т

Е

и Я-модулями конечного типа без кручения. Функтор Т отображает объект А в Я-модуль Ь = Нот(Е, А), при этом ранг Ь равен размерности А. Обозначим через Ь кольцо антилинейных гомоморфизмов / : Ь ^ Я, тогда Т(А) = Ь. Таким образом, морфизм р : А ^ А определяет морфизм Н : Ь ^ Ь и, следовательно, эрмитову форму Н : Ь х Ь ^ Я. Ж. П. Серр доказал следующие факты:

1. р является поляризацией тогда и только тогда, когда эрмитова форма Н

2. р является главной поляризацией, если эрмитов модуль (Ь, Н) - уни-модулярный;

3. ^ неразложима тогда и только тогда, когда эрмитов модуль (Ь, Н)

неразложим.

Для изучения классов изоморфизма якобианов кривых используется классификация уни.модулярных неприводимых эрмитовых форм, представленная А. Шиманом в [34].

Во второй главе рассматривается вопрос существования оптимальных кривых рода д < 3, проанализированы подход К. Ритценталера [32] к доказательству существования оптимальной кривой рода 3 и подход Я. Топа [46] к получению явного представления кривой рода 3 (частный случай).

Подход К. Ритценталера на основе идеи Ж. П. Серра заключается в следующем. В случае существования препятствия Серра для главнопо-ляризованного абелева многообразия (А, над пол ем к с характеристикой, отличной от 2, которое в свою очередь является якобианом над к, можно сделать вывод, что (А, - якобиан над к. Этот вопрос решается с помощью вычисления квадратного корня модулярной формы Зигеля. Вычисление проведено явно для главнополяризованного абелева многообразия А ~ Е3, где Е - эллиптическая кривая с комплексным умножением. Полученные результаты можно использовать для доказательства существования

3

Рассмотрим поле к = ^ характеристики еЬаг(к) = 2 и абелево многообразие А/к размерности д(А) = 3. Чтобы доказать существование кривой С/к с определенным числом точек #С(к), необходимо построить абелево многообразие над к, чей эндоморфизм Фробениуса имеет след 1+д — #С(к), и доказать, что оно является якобианом.

Абсолютно неприводимое главнополяризованное абелево многообразие (А, над к является якобианом, если значение модулярной формы х18 Зигеля относительно базиса регулярных дифференциалов является квадратом в к. Однако, вопрос вычисления х18 в конечном поле остается открытым. Поэтому следует поднять (А, над числовым полем, где можно

использовать аналитическое выражение х18 в терминах тэта-нулей. Соответственно, можно рассматривать величину х18 как алгебраическое число. Редуцируя его в конечном поле, получим искомое препятствие Серра, с помощью которого можно определить, является ли (А, р) якобианом или нет.

В работе Я. Топа рассмотрены специальные кривые, а именно, неприводимые гладкие кривые Сд/к рода три, где еЬаг(к) = 2, и показана их оптимальность. Кривые Сд заданы уравнением вида

х4 + у4 + г4 = (Л + 1)(х2у2 + у2 г2 + г 2х2),

где Л Е к и Л = —3,1,0.

В третьей главе мы исследуем вопрос существования оптимальных кривых рода три над определенными конечными полями, а также их свойства. Основной результат работы заключается в получении явных уравнений таких кривых. Уравнения получены с помощью двух методов.

С д(С) = 3

полем ^ с дискриминантом ) Е { — 19, —43, —67, —163}. С помощью классификации эрмитовых модулей с такими дискриминантами доказано, что оптимальную кривую можно рассматривать как двойное накрытие эллинги ческой оптимальной кривой.

Кроме того, были доказаны следующие результаты:

1. Оптимальная кривая не является гиперэллиптической.

2. Над полем Fq одновременно не может существовать минимальной и максимальной кривых рода 3.

3. AutFq (С) = ^з, где - днэдральная группа порядка 6. Используя доказанные свойства и теорию функциональных полей, нами был разработан первый метод получения явных уравнений оптимальной кривой. А именно, были построены явные базисы пространств Римана-Роха, ассоциированных с дивизором, кратным бесконечно удаленной точке, относительно фиксированного морфизма в Р1. Используя данные базисы, были

найдены соотношения, которые в дальнейшем позволили наити явные уравнения кривых.

С

дующими уравнениями:

или

г2 = а0 + а1х + а2ж2 + в0У, у2 = х3 + аж + Ь,

г2 = а0 + а1ж + а2ж2 + (в0 + в1х)у, у2 = ж3 + аж + Ь,

или

г2 = а0 + а1ж + а2ж2 + а3 ж3 + (в0 + в1х)у, у2 = ж3 + аж + Ь,

гс^е а0, а1, а2, в0, въ а, Ь € Fд. Эллиптическая кривая Е задана уравнением у2 = ж3 + аж + Ь.

Используя инвариантность пространства Римана-Роха, которое строится, было найдено явное представление группы автоморфизмов относительно базисов этого пространства, ассоциированного с дивизором с носителем в бесконечно удаленной точке. Используя данное представление, были найдены зависимости между параметрами уравнения кривой. Теорема 0.0.2 ( [63, Теорема 5.1.]). Если, Fq - конечное поле с дискрими-

нантом й € { — 19, —43, —67, —163} то существует оптимальная кривая С

а(Х4 + У4 + ^4) + Ь(Х 3У + ХУ3 + X— У3^ + Х^3 — У^ 3) + + с(Х 2У2 + X2 + У2) + (ХУ^2 + ХУ2 ^ — X 2У^) = 0

для а, Ь, с € Fд.

Также в этой главе изложен метод нахождения уравнения кривой рода 4 над полем F57 с дискриминантом —19, основанный на идее Э. Хау. Кривая строится с помощью двойных накрытий рода два эллиптической кривой, определенной над F5.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Процедура вывода свойств оптимальной кривой рода три над конечным полем с дискриминантом —19, —43, —67, —163, а именно,

• оптимальная кривая не является гиперэллиптической;

• над полем с фиксированным дискриминантом не может одновременно существовать максимальной и минимальной кривой;

• группа автоморфизмов оптимальной кривой изоморфна диэд-ральной группе порядка шесть.

2. Построение явных базисов пространств Римана-Роха, ассоциированных с дивизором с носителем в бесконечно удаленной точке, как основы разработки первого метода нахождения явных уравнений оптимальных кривых.

3. Метод нахождения явных уравнений оптимальных кривых с помощью явного представления группы автоморфизмов относительно базисов пространства Римана-Роха, ассоциированного с дивизором с носителем в бесконечно удаленной точке.

4. Обоснование метода для получения уравнения оптимальной кривой рода четыре над расширением простого поля.

Благодарности.

Огромную благодарность я выражаю своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук, доценту Алексею Ивановичу Зайцеву за постановку задачи, за постоянное внимание к работе над диссертацией, всестороннюю помощь и поддержку, веру в меня.

Я благодарю Сергея Ивановича Алешникова за привитие мне любви к математике, за базовую математическую подготовку и за советы в написании диссертации.

Выражаю благодарность за ценные советы, полезные обсуждения и комментарии Михаилу Анатольевичу Цфасману и Григорию Анатольевичу Кабатянскому.

Также я благодарю своих научных коллег Юрия Фёдоровича Болтне-ва и Александра Валерьевича Лежнина за консультации, касающиеся вычислительных аспектов.

Благодарю всех сотрудников кафедры "Компьютерной безопасности" Б ФУ им. И. Канта за поддержку и дружескую атмосферу, способствующих написанию работы.

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Абелевы многообразия

Теория пространств модулей поляризованных абелевых многообразий позволяет классифицировать классы изоморфных абелевых многообразий. Теория Хонды-Тэйта дает классификацию классов изогеных абелевых многообразий над конечными полями. Основная идея берет свое начало из доказательства гипотезы Вейля для абелевых многообразий А над конечными полями к = Fq, которая будет представлена чуть позже.

Введем ряд понятий для определения "геометрического Фробениуса", которое в свою очередь позволит определить классы изогении абелевых мно-гооразий над конечным полем.

кА

к

странства, такое, что

• А/к определено полиномиальными уравнениями, с координатами в к;

• А/к - связно; А/к

А=0

кк В с А л,ибо В = 0, либо В = А.

Определение 1.1.3. Пусть р - простое число, (X, Ох) - схем,а, характеристики р. Абсолютным морфизмом Фробен,иуса, схемы (X, Ох) называется м,орфизм, (РаЬ, РаЬХ) : (X, Ох) ^ (X, Ох )7 такой, что

• ¥&ь - тождественен на топологическом пространстве X.

. РаЬЙ : Ох ^ Ох, / ^

В дальнейшем для простоты будем обозначать абсолютный морфизм Фробениуса, как РаЬ : X ^ X.

Пусть 5 = 8рес(^) - базовая схема и п : X ^ 5 - структурный морфизм. Определим п(р) : X(р) ^ 5 как прообраз п : X ^ 5 с помощью раЬ : 5 ^ 5_ Тогда X(р) = X 5 5 и следующая диаграмма коммутативна

X

рге1 ""--..

X (р

5-

4íx

5

р

Определение 1.1.4. Относительным морфизмом Фробениуса, схемы X над базовой схемой 5 называется морфизм 5-схем Рге1 : X ^ X(р).

Абсолютный и относительный Фробениусы могут быть итерированы. Отметим, что п-ой итерацией для абсолютного Фробениуса является морфизм (раЪ)п : X ^ X, для относительного Фробениуса - морфизм (рге1)«, : X ^ X(рП\ Определим п(рП) : X(рП) ^ 5 как прообраз п : X ^ определенный с помощью (РаЪ)п : 5 ^ 5. Тогда п-ая итерация абсолютного Фробениуса (раЪ)п действует следующим образом

X

(Рге1)п ( и\ а(п)

—Л X(рП) X.

Учитывая

X(Р2) = (X(р))(р), X(Р3) = (X(Р2))

(р)

п

щим образом

X

ге1

X (р)

ге1

X (р2)

ге1

...

X(рП) = X.

Определение 1.1.5. Пусть 5 = 8рес(^ \ где д = рп. Если X 5-схема, то геометрическим морфизмом Фробениуса X называется морфизм Б-схем пх =

_ (раЪ)п _ (рге1)п

п

А

гообразие над полем к = Fq. Эндоморфизм па £ Еп^А) является геометрическим морфизмом Фробениуса. Тогда, па - алгебраическое целое, и для любого вложения ф : О (па) ^ С имеем

1^(па)| = V?.

Для определения классов изогении вводится понятие д-числа Вейля. Определение 1.1.7. Пусть р — простое число, п £ и д — рп-

д-числом Вейля называется такое алгебраическое целоеп, что |ф(п)| = для любого вложения ф : Q(п) ^ С.

Будем говорить, что оп^^^^^^^^еты, и писать п ~ п', если 0(п) = = ).

Как было доказано А. Вейлем, геометрический ФробениуспА простого абелева многообразия над конечным полем Fq является д-числом Вейля. Следовательно,

А В ^ па ~ пв.

Т. Хонда и Дж. Тэйт доказали обратное, а именно, алгебраическое целое, являющееся д-числом Вейля определяет класс изогенных абелевых мпогооб-

А

над полем Fq отображение А ^ па сопоставляет А его геометрический Фро-бениус пА; класс многообразий, изогенных многообразию А, задает класс эквивалентности алгебраического целого па-

Теорема 1.1.8 (Хонды-Тэйта, [44, Теорема 1]). Зафиксируем поле к = Fq. Соответствие А ^ па индуцирует биекцию

{простые абелевы многообразия над к}/ -> W(д)

кк

зий, определенных над к, и множеством W(д) классов эквивалентности д-чисел Вейля.

Кроме того, Дж. Тэйт описал свойства алгебры эндоморфизмов простого абелевого многообразия над k = Fq. Пусть па - геометрический мор-физм Фробениуса абелева многообразия A, /а = /а,па - характеристический многочлен па- Обозначим 1гг<о>(па) = 1гг(па) £ Z[T] - минимальный многочлен па над Q.

Теорема 1.1.9 (Тэйта, [43, Теорема 5.3.]). 1. Пусть A - абелево многообразие над конечным полем k = Fq. Характеристический многочлен /апа = /а £ Z[T] эндоморфизма Фробениуса па £ End(A) имеет степень 2 • dim(A)7 его свободный член равен qdim(A) w /а(па) = 0.

2. Если абелево многообразие A является простым над k, то /а является степенью минимального многочлена 1гг(па) £ Z[T],

3. Пусть A и В - абелевы многообразия над k = Fq. A изогенно над k абелеву многообразию В тогда и только тогда, когда /а делит /в. В частности, A В тогда и только тогда, когда /а = /в-

Ak End0(A) = End(A) Q является полупростой Q-алгеброй. Кроме того, если A является k-простым, то End0(A) - простая Q-алгебра. Еели A ^^ В, то имеет место изоморфизм End0(A) = End0(В) для абелева многообразия В над k.

Теорема 1.1.10 (Вейля-Пуанкаре, [28, Теорема 1]). Для произвольного абе-

A = 0 k

гообразия Вг над k, такие, что A Пг В«.

Отметим, что классификация классов изоморфных обыкновенных абе-левых многообразий над конечными полями (используя канонический подъем Серра-Тэйта) обладает большим преимуществом по отношению к классификации классов изо генных абелевых многообразий по теории Хонды-Тэйта.

Пусть k = Fq - конечное поле характеристики p. Для целого а определим d = а2 — 4q и предположим, что

1. ор - взаимно просты;

2. 6 < 0;

3. 6 - дискриминант мнимого квадратичного поля Q(^/6)•

Положим Я = Ж[Х]/ (X2 — 0.x + д). Учитывая предыдущие предположения, Я является максимальным порядком, то есть кольцом целых мнимого квадратичного поля в котором р расщепляется.

Рассмотрим эллиптическую кривую Е, определенную над полем к, чьи собственные значения эндоморфизма Фробениуса равны пЕ = |(о ± л/6). Тогда по теореме Тэйта следующие условия эквивалентны: 1. А Е5, где д = &ш(А).

2- /а = /Е-

1.2. Конструкция Серра и эквивалентность категорий

Опишем тензорную конструкцию Серра с целью применения ее к абе-левым многообразиям. Пусть Я - коммутативное кольцо, Б - базовая схема, А - Я-модульная схема над Б, то есть А - коммутативная групповая схема с заданным гомоморфизмом колец Я ^ Еп^А). Пусть М - проективный Я-модуль конечного ранга. Ниже мы докажем, что функтор Т ^ М А(Т) на Б-схемах представим как Б-схема. Представляющий объект обозначается М А, операция А ^ М А называется тензорной конструкцией Серра.

Идея построения М А заключается в том, что если последовательность Ят ^ Яп ^ М ^ 0 есть представление, то необходимо рассмотреть М А как коядро отображения Б-групп Ат ^ Ап. В общем случае над БМ

Я

представление дуального модуля М*, и с помощью дуальности можно получить точную последовательность 0 ^ М* ^ Яп ^ Ят с соответствующими свойствами для построения М А.

Предложение 1.2.1. Функтор

Т ^ М ®д А(Т)

иа 5-схем,ах представим как Я-модульная схема над 5.

Доказательство. Пусть Т и МА теть 5-схемы. Рассмотрим эквивалентность категорий 5-схем:

1(5 — схемы} ^ {5 — схемы}, Т ^ М А(Т).

Покажем, что М А(Т) также является 5-схемой.

Рассмотрим случай, когда М = Я. Тогда М А(Т) = Я А(Т) = = А(Т) есть 5-схема.

В случае, если М - свободный Я-модуль, то есть М = Яп, откуда также заключаем, что М А(Т) = Яп А(Т) = Ап(Т) есть 5-схема.

М

довательности

Ят —Яп ——^ М -> 0.

Отметим, что М = Яп/а(Ят). Применяя тензорное произведение, получаем

Ят ® д А —Яп ® д А ——^ М ® д А -> 0

или

Ат Ап М ®д А -> 0.

Учитывая, что 1та = Кегв и М А = Ап/Кегв, получаем М А = = Ап/а(Ат) и, следовательно, М А(Т) является 5-схемой.

Докажем, что функтор ^представим. Зафиксируем 5-схему Т, тогда последняя точная последовательность примет вид

Нот(Т, Ат) Нот(Т,Ап) Нот(Т, Ап/а(Ат) -> 0,

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алексеенко Екатерина Сергеевна, 2016 год

Литература

1. R. Auer and J. Top. Legendre elliptic curves over finite fields. Journal of Number Theory 95: 303-312, 2002.

2. E. Bombieri. Counting points on curves over finite fields. Lecture Notes in Mathematics Volume 383, 234-241, 1974.

3. R. Carls. A generalized arithmetic geometric mean. PhD thesis, Groningen, 2004.

4. H. Cohen and G. Frey. Handbook of elliptic and hyperelliptic curve cryptography. Chapman & Hall/CRC, 2006.

5. P. Deligne. Variétés abéliennes ordinaires sur un corps fi,ni Invetn. Math. , 8: 238-243, 1969.

6. M. Deuring. Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkôrper. Abh. Math. Sem. Hansischen Univ.,14: 197-272, 1941.

7. C. Diem On arithmetic and the discrete logarithm problem in class groups of curves. Habil. Thesis, 2009.

8. A. Garcia and H. Stichtenoth. A tower of Artin-Schreier extension of function fields attaing the Drinfeld-Vladut bound Invent. Math., 121: 211— 222, 1995.

9. A. Garcia and H. Stichtenoth. On the asymptotic behavior of some towers of function fields over finite fields. J. Number Theory, 6: 248-273, 1996.

10. G. van der Geer and M. van der Vlugt. Tables for the function (g). Available from http://www. science, uva. nl/~geer/.

11. B. H. Gross. Arithmetic on elliptic curves with complex multiplication Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin-Hiedelberg-New-York, 776, 1980.

12. V. Guruswami, M. Sudan. Improved decoding of Reed-Solomon and algebraic-geometric codes. IEEE. Trans. Inform. Theory. V 45, №6: 17571767, 1999.

13. H. Hasse. Zur Theorie der abstrakten elliptAschen Funktionenkdrper. I, II, III. Crelle's Journal, 1936.

14. P. Henn. Die Automorphismengruppen der algebraischen Funktionenkdrper vom Geschlecht 3. Inaugural dissertation, Heidelberg, 1976.

15. E. W. Howe, F. Leprevost and B. Poonen. Large torsion subgroups of split Jacobians of curves of genus two or three. Forum Math. 12: 315-364, 2000.

16. W. L. Hoyt. On products and algebraic families of Jacobian varieties. Ann. of Math. 77: 415-423, 1963.

3

Tohoku Math. J. (2), 45(3): 311-329, 1993.

18. T. Ichikawa. Theta constants and Teichmiiller modular forms. J. Number Theory 61, no. 2: 409-419, 1993.

19. Y. Ihara. Some remarks on the number of rational points of algebraic curves over finite fields. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 28: 721-724, 1982.

20. E. Kani, M. Rosen. Idempotent relations and factors of Jacobians. Math. Ann. , 284(2): 307-327, 1989.

21. G. Lachaud, C. Ritzenthaler, A. Zykin. Jacobians among Abelian threefolds: a formula of Klein and a question of Serre, available at http://arxiv.org/abs/0802.4017. 2008.

22. K. Lauter. Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over finite fields. J. Algebraic Geom., 10(1): 19-36, 2001. With an appendix by J. -P. Serre.

23. K. Lauter. The maximum or minimum number of rational points on genus three curves over finite fields. Compositio Math. , 134(1): 87-111, 2002. With an appendix by J. -P. Serre.

24. J. Lubin, J. -P. Serre and J. Tate. Elliptic curves and formal groups. Lecture notes prepared in connection with the seminars held at the Summer Institute on Algebraic Geometry, Whitney State Woods Hole, Massachusets, 1964. http//ma. utexas. edu users volocli 1st. html.

25. T. Matsusaka. On a theorem of Torelli. Amer. J. Math. ,80: 784-800, 1958.

26. J. S. Milne. Abelian varieties, www. jmilne. org/math/, 2008.

27. J. S. Milne. Jacobian varieties. Arithmetic geometry (Storrs, Conn., 1984), Springer, New York: 167-212, 1986.

28. D. Mumford. Abelian varieties. Tata Inst. Fund. Research and Oxford Univ. Press, 1970.

29. F. Oort. Abelian varieties over finite fields. Summer school in Gottingen, 2007.

30. F. Oort and S. Tsutomu. The canonical lifting of an ordinary Jacobian variety need not be a Jacobian variety. J. Math. Soc. Jaoan, 38(3): 427437, 1986.

31. F. Oort and K. Ueno. Principally polarized abelian varieties of dimension two or three are Jacobian varieties. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 20: 377-381, 1973.

32. C. Ritzenthaler. Explicit computations of Serre's obstruction for genus 3 curves and application to optimal curves. LMS J. Comput. Math., (13): 192-207, 2010.

33. C. Ritzenthaler. Optimal curves of genus 17 2 and 3. http://arxiv.org/abs/1101.5871, 2010.

34. A. Schiemann. Classification of Hermitian forms with the neighbour method. J. Symbolic Comput. 26(4): 487-508, 1998. Tables available on lift}): www. math. uni-sb.de/ag/schulze/Hermitian-lattices/

35. J. -P. Serre. Nombres de points des courbes algébriques sur Fq. Seminar on number theory, 1982-1983 (Talence, 1982/1983), volume Exp. No. 22, 8. Univ. Bordeaux I, Talence, 1983.

36. J. -P. Serre. Rational points on curves over finite fields. Notes of lectures at Harvard University, 1985.

37. J. -P. Serre. Résumé des cours de 1983--1984. Annuaire du Collège de

France, 79-83, 1984.

38. J. -P. Serre. Sur le nombre des points rationnels d'une courbe algébrique sur un corps fini. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. , 296(9): 397-402, 1983.

39. J. -P. Serre. Corps locaux. Hermann, Paris, 1968. Deuxième édition,Publications de l'Université de Nancago, No. VIII.

40. V. Shabat. Curves with many points. Amsterdam, 2011. Ph. D. thesis.

41. J. H. Silverman. The arithmetic of eliptic curves. New York, etc. :Springer-Verlag, 2nd Edition, 2009.

42. H. Stichtenoth. Algebraic function fields and codes. Universitext, SpringerVerlag, 2009.

43. J. Tate. Edomorphisms of abelian varieties over finite fields. Invent. Math., 2; 134 144. 2003.

44. J. Tate. Classes d'isogénies de variétés abéliennes sur un corps fi,ni (d'âpres T. Honda). Sém. Bourbaki 21, Exp. 352, 1968/69.

3

14(2): 275-283, 2003.

3

Theory, Lecture Notes in Computer Science Vol 2369: 163-171, 2002.

47. M. A. Tsfasman, S. G. Vladut, T. Zink. Modular curves, Shimura curves and Goppa codes, better than the Varshamov-Gilbert bound Math. Nachr, 109: 21-28, 1982.

48. A. M. Vermeiden. Weierstrass points of weight two on curves of genus three. Ph. D. thesis, Amsterdam, 1983.

49. W. Waterhouse. Abelian varieties over finite fields. Ann. Sei. École Norm. Sup. (4), 2: 521-560, 1969.

50. A. Weil. Numbers of solutions of equations in finite fields. Bulletin of the American Mathematical Society, 55(5): 497 508. 1949.

51. A. Weil. Variétés abéliennes et courbes algébriques. Actualités Sei. Ind. , no. 1064 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 8(1946). Hermann & Cie.,Paris, 1948.

52. H. Xue. Serre's construction, math. Stanford edu.

53. A. Zaytsev. Optimal curves of low genus over finite fields, 2007. http://arxiv.org/abs/0706.4203.

54. Th. Zink. Degeneration of Shimura surfaces and a problem in coding theory. in "Fundamentals of Computation Theory". Lect. Notes in Coput. Sei. Springer-Verlag, New York, 199: 503-511, 1985.

55. С. Г. Влэдуц, Д. Ю. Ногин, M. А. Цфасман. Алгеброгеометрические коды. Основные понятия. МЦНМО, 2003.

56. В. Д. Тонна. Коды, ассоциированные с дивизорами. Проблемы передачи информации, 13(1): 33-39, 1977.

57. В. Д. Гоппа. Коды на алгебраических кривых. Докл. Акад. Наук СССР, 259(6): 1289-1290, 1981.

58. Ю. И. Минин и С. Г. Влэдуц. Линейные коды и модулярные кривые. Итоги науки и техники, 25: 209-257.

59. С. А. Степанов. Арифметика алгебраических кривых. Москва "Наука", Физматлит, 220-221, 1991.

60. Р. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. Москва "Мир", 389, 1981. Работы автора по теме диссертации

61. Е. С. Алексеенко, С. И. Алешников, А. И. Зайцев. Общие уравнения оптимальных кривых над конечным полем с дискриминантом -19. Вестник Российского государственного университета им. И.Канта, (10): 73-79, 2008.

62. Е. Алексеенко. Алгебро-геометрический код, ассоциированный с кривой рода 3 над конечным полем с дискриминантом -19. Вестник Российского государственного университета им. И.Канта, (10): 104 107, 2010.

63. Е. Alekseenko, S. Aleshnikov, N. Markin, A. Zaytsev. Optimal curves over

-19

17(4): 350-358, 2011.

64. E. Alekseenko. A method of finding explicit equation for optimal curve of genus 4. In proceedings of the 14th international workshop on Algebraic and Combinatorial Coding Theory, 14-17, 2014.

65. E. Alekseenko, A. Zaytsev. Explicit equations of optimal curves of genus 3

Volume: 637, 245-251, 2015.

В совместных работах Алексеенко Е.С. принадлежат основные результаты, соавторы помогали в постановке задачи, редактировании текста и доказательстве некоторых теорем.