Эллиптические и параболические уравнения типа p-Лапласиана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор наук Сурначев Михаил Дмитриевич

• Сурначев Михаил Дмитриевич
• доктор наук
• 2017

Оглавление диссертации доктор наук Сурначев Михаил Дмитриевич

2.1 Монотонность потока

2.2 Ь[ос теория задачи Коши во всём пространстве

2.3 Критерий равномерной стабилизации ограниченных решений задачи Коши

2.4 Улучшенные оценки решений и Ь1 теория

2.5 Критерий стабизации ограниченных решений задачи Коши-Дирихле

в неограниченной области

3 Вопросы единственности решений

3.1 Плотность гладких функций в весовом соболевском пространстве с переменным показателем

3.2 Единственность решений уравнения стационарной

диффузии в неограниченном несжимаемом потоке

Библиография

Приложение

Уравнения для автомодельных решений

Решения типа бегущей волны

Доказательство теоремы 3 раздела 1 главы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эллиптические и параболические уравнения типа p-Лапласиана»

Введение

Настоящая работа посвящена изучению решений эллиптических и параболических уравнений второго порядка. Эти уравнения моделируют процессы связанные с диффузией и диссипацией. Самым известным примером служит уравнение Лапласа определяющие гармонические функции

Аи = 0, Аи = их. х. = V и

в стационарном случае, и уравнение теплопроводности

щ = А и

в нестационарном. Основным фокусом нашего исследования является теория нелинейных уравнений, с нелинейностью в главной дифференциальной части. Следует отметить, что к настоящему времени теория линейных уравнений с частными производными эллиптического и параболического типов второго порядка достаточно хорошо изучена, хотя и там остаётся ряд открытых вопросов. Одному из таких вопросов посвящена последняя часть диссертации.

Обычно уравнения второго порядка разделяют на два класса — уравнения в дивергентной форме (например, (а^ (х)их= /) и недивергентные (например, а^ (х)ихх = ]). Дивергентные уравнения имеют вид

ди

—+ а1у Е = 0, Е = Е(х,Ь,и, Vu),

д ь

и возникают при рассмотрении законов сохранения или в стационарном случае как уравнения Эйлера-Лагранжа для экстремальных точек интегральных функционалов. Например, для функционала с интегрантом не зависящим от самой функции,

7М = / ^Vn) ^

получаем уравнение Эйлера-Лагранжа

а1у е = 0, е = Vт(х,£.

Для случая степенной зависимости интегранда ("энергии") от градиента, Т(х, £) : |£ 1Р/р, приходим к уравнению эллиптического р-Лапласиана

а1у (^и|р-^и) =0.

Функционалу Дирихле соответствует степерь р = 2. Если же степень зависит от положения точки в пространстве, Т(х,£) = |£|р(х)/р(х), приходим к уравнению эллиптического р(х) - Лапласиана

а1у (^и|р(х)"^и) =0.

Например, такого рода эффекты имеют место в математических задачах, связанных с моделированием композитных материалов [46], обработки изображений [148,198] и др.

Основным объектом изучения в настоящей работе служит уравнение с параболическим р-Лапласианом

и = а1у (^и|р-^и), р> 1, (1)

и его модификации.

Уравнение (1) можно называть уравнением неньютоновской упругой фильтрации. В этом случае оно описывает нестационарное течение в пористой среде жидкостей со степенной зависимостью касательного напряжения от скорости сдвига при упругом режиме (то есть, в предположении линейной зависимости давления от плотности).

Хорошо известна модификация уравнения Навье-Стокса, предложенная О.А. Ладыженской [94,95] и Ж.Л. Лионсом (например, [93]). Приведём эту модификацию в форме Лионса. Пусть ограниченная область О С и показатель р ^ (3п + 2)/(п + 2). Рассмотрим в О х (0,Т) систему уравнений (и — вектор скорости, и : О х (0, Т) ^ Кп)

и + uVu - а1у ((^о + ^1^и|р-2^и) = f -Vp, а1у и = 0. (2)

Здесь v\ > 0, v0 ^ 0. Пусть, для простоты, f G C^0 (Q x (0, +то)). Дополним это уравнение граничными и начальными условиями u(x, 0) = u0(x) G C0°(Q), u = 0 на dQ. Доказывается, что существует глобальное по времени решение из естественного энергетического пространства, характеризующееся условием

гт

/ |Vu|pdxdt + sup ||u(t)||L2(Q) < то для всех T> 0.

J0 tG(0,T)

Если, дополнительно, p ^ (n+2)/2, то такое решение единственно. В настоящей работе задачи математической гидродинамики, и, вообще, системы уравнений не рассматриваются, этот пример приведен лишь как иллюстрация физической применимости задач изучаемого типа.

Уравнение типа (2) определяет частный случай неньютоновской жидкости, то есть жидкости с нелинейной зависимостью тензора напряжений от тензора скоростей деформации. Подробное изложение классификации неньютоновских жидкостей можно найти в [125,142]. Значительный вклад в исследование неньютоновских жидкостей в магнитной реологии, в том числе и имеющих главную часть типа p-Лапласиана, был внесён в серии работ Л.К. Мартинсона, К.Б. Павлова, И.С. Граника, С.И. Голайдо и др. [22-25,103,108-115].

Значительное внимание в последнее время уделяется также и случаю, когда показатель нелинейности p в уравнениях типа (2) является переменной величиной, например, p = p(x,t). Это имеет место в случае математического моделирования так называемых электрореологических жидкостей, свойства которых зависят от приложенного электромагнитного поля. Эта модель изучалась К. Раджагопалом и М. Ружичкой [360,361]. Интересные математические исследования для этой модификации уравнений Навье-Стокса проводились М. Ружичкой [362,363], М. Ружичкой и Л. Динингом [251-253], В.В. Жиковым [52], В.В. Жиковым и С.Е. Пастуховой [57,58] и другими авторами.

При p =1 уравнение p-Лапласиана (1) превращается в уравнение

Vu

ut = div ——г-, |Vu|

которое носит принципиально иной характер. Это уравнение типа уравнения минимальной поверхности. Напомним, что уравнение минимальной поверхно-

сти имеет вид

div , VU =0,

у/1 + |Vu|2

и является уравнением Эйлера-Лагранжа для функционала площади

J[u] = I у/1 + |Vu|2 dx. Jq

Уравнения такого типа, соответствующие p =1, имеют геометрический характер, и их теория существенно отличается от теории для p > 1.

Ещё одной известной моделью нелинейной диффузии служит уравнение пористой среды (porous medium equation, PME), или же уравнение ньютоновской политропической фильтрации

U = div (|u|m-1Vu) , m > 0. (3)

Это уравнение имеет многочисленные физические приложения. Хорошо известным примером является уравнение Буссинеска, описывающее подводную фильтрацию воды под землёй, и соответствующее показателю m = 2:

dh

— = k div ((H + h)Vh), d t

где H = H(x) задаёт высоту подстилающей поверхности, h = h(x, t) — форма свободной поверхности жидкости, коэффициент k = дрд/m определяется по коэффициенту пропорциональности в законе Дарси д, плотности жидкости р, пористости грунта m и ускорению свободного падения g. В предположении H(x) = 0 П.Я. Полубариновой-Кочиной в 1948 году [124] было исследовано решение задачи Коши-Дирихле на положительной полуоси для этого уравнения с нулевыми начальными условиями и граничными условиями h(0,t) = H0, h(+TO, 0) (задача фильтрации с поддерживаемым на границе уровнем жидкости). Это решение имеет автомодельный вид h(x,t) = f (п), П = xt-1/2, причём функция f имеет компактный носитель.

В 1930х годах Л.С. Лейбензоном в СССР (см. монографию [100]) и М. Маскетом в США [116] уравнение (3) было предложено для записи уравнения движения газа в пористой среде. Уравнение неразрывности (р — плотность газа, u — скорость газа, £ — пористость)

ept + div pu = 0 (£ — пористость)

и закон Дарси (p — давление, ß — вязкость, k — проницаемость)

ßu = —kVp

вместе с уравнением состояния p = p0pY приводят к уравнению

sßPt = 7^ Ар1+7. 1 + Y

Другим хорошо известным уравнением, имеющим вид (1) или (3) является уравнение нелинейной теплопроводности. В общем случае уравнение теплопроводности имеет вид

дТ л

ОрР^— = div к AT, dt

где Т — температура, р — плотность среды, cp — удельная теплоёмкость при постоянном давлении. При этом коэффициент к может быть и переменным. Я.Б. Зельдович и Ю.П. Райзер [61] приводят следующую модель переноса тепла в сильно ионизированной плазме: к = aTm. Например, для основной модели лучистой теплопроводности m = 3, в полностью ионизированном газе m = 13/2, в области многократной ионизации m ~ 7, 5 — 8, 5. В физике плазмы возникают и другие уравнения подобного типа с различными параметрами m. Если же коэффициент теплопроводности зависит от градиента температуры, к ~ b|VT|в, то получается уравнение (1). Развитие физической теории связанной с уравнениями (1) и (3) тесно связано с именами Я.Б. Зельдовича, А.С. Компанейца, Г.И. Баренблатта, Ю.П. Райзера.

Применяются и более общие уравнения такого типа, с нестепенной зависимостью потока от решения (общий случай ньютоновской фильтрации), в общем случае имеющие вид

ut = A Ф(и).

Хорошо известным примером служит задача Стефана о фазовом переходе, которой соответствует Ф(и) = au, u < 0, Ф(и) = b(u — u0)+, u > 0.

Существуют физические модели, в которых необходимо использовать свойства как p-Лапласиана,так и уравнения пористой среды. При этом возникает так называемое уравнение с двойной нелинейностью:

ut = div (|u|m—1|Vu|p—2Vu) . (4)

или его более сложные аналоги c нестепенными зависимостями. Иногда, уравнение с двойной нелинейностью удобнее записывать в виде

(в(u))t = div (|Vu|p-2Vu) .

В частности, уравнение (4) соотвествует нестационарному течению в пористой среде жидкостей со степенной зависимостью касательного напряжения от скорости сдвига при политропическом режиме, что приводит к уравнению

ut = div (|Vum|p-2Vum) , m > 1, p> 1.

Например, подобная ситуация может возникнуть, если вместо закона Дар-си для течения в пористой среде использовать более сложную модель Форш-хаймера (Forchheimer flows). Исходная модификация Форшхаймера имеет вид

Дu + (Bu, u)u = -nVp,

k Vk

где F — коэффицент Форшхаймера, £ — пористость, p — плотность флюида, П — тензор проницаемости, |u|_g = \/(Bu, u). В общем случае, можно записать следующее уточнение закона Дарси — g-уравнение Форшхаймера:

g (x, |u|b) u = -nVp.

Закон Дарси соответствует g = д/k. При некоторых условиях, можно считать, что

u = -P (|Vp|)Vp. Используя уравнение состояния, запишем

£(p(p))t = div (P(|Vp|)Vp).

Эта модель изучалась в работах А.И. Ибрагимова, Л. Хоанга, Т. Кью и др. [175,304-307].

В книге Л.С. Лейбензона [100] приводятся следующие варианты законов для скорости движения жидкости в поровой трубке: "чисто квадратичный закон" u = k|Vp|" -1/2Vp, где коэффициент k не зависит от вязкости жидкости, и "закон фильтрации Смрекера" u = k'|Vp|-1/3Vp, где k' уже зависит от вязкости. В главе 3 той же книги приведено общее уравнение "турбулентной фильтрации

сжимаемой жидкостив пористой среде", имеющее в случае отсутствия массовых

сил вид

dp ,. / д f(DjVqj) \ f 1 ^ k3/2

^ = div ^ , ' , Vq , q = pdp, D =

dt V>/k jVqj У ' * J r 1 ' д2 '

где k — проницаемость, а д — вязкость жидкости. Это уравнение получается из уравнения неразрывности и общей формы записи связи двух безразмерных величин — числа фильтрации Q = pDP/h (P/h — отношение падения давления к расстоянию, на котором оно происходит) и числа Рейнольдса R = еирл/к/д, где u — значение скорости движения жидкости в порах.

В зависимости от значения показателей m и p в уравнениях типа пористой среды и p-Лапласиана решения этих уравнения могут проявлять различные свойства, достаточно неожиданные относительно классического уравнения теплопроводности. Например, для уравнения параболического p-Лапласиана для p > 2 имеет место феномент компактности носителя решения, а в случае p < 2 может наблюдаться полное затухание решения за конечное время.

Эти эффекты могут быть легко проиллюстрированы на примере автомодельных "баренблаттовских решений" уравнения (1). Пусть p > 2n/(n + 1), p = 2. Обозначим Л = n(p — 2) + p, тогда Л > 0. Для C > 0 функции

p-1

B(x, t; C) = t—n/A j C + pЛ1/(1—^ P-1 JP 2 (5)

(здесь и далее {ж}+ = max(x, 0)) являются решениями задачи Коши для уравнения (1) с начальной функцией

(p-1)A

B(x, 0; C) = K(n,p)C^¿(ж). (6)

Коэффициент K(n,p) выражается в явном виде через B-функцию. Несложно проверить, что для всех t > 0 выполняется

Г (p-1) A

B(x,t; C) dx = K(n,p)C(p-2)p. (7)

•Ум«

Предельным переходом проверяется, что

f |ж|2 ]

B(x,t;1) ^ exp < —— > при p ^ 2,

соответственно,

к(п,р) ^ (4п)п/2 при р ^ 2.

При р > 2 носитель В(х, £; С) при каждом фиксированном £ компактен, и является шаром радиуса г(£) = г0(С)£1/Л. На границе этого шара решение входит в ноль по параболе, таким образом поток через границу равен нулю.

При 2п/(п + 1) < р < 2 функция В(х, 0; С) > 0 при каждом х € и £ > 0. Однако, в отличие от гауссиана — фундаментального решения уравнения теплопроводности, Г(х,£) = (4п£)—п/2 ехр (—|х|2/4£), убывание "хвостов" В(х, 0; С) при х ^ то имеет полиномиальный характер, а не экспоненциальный.

Пусть теперь 1 < р < 2п/(п + 1). Тогда введённая выше величина Л < 0. Аналогично (5), для С, Т > 0 функция

В1(х, £; С) = (Т - £)+п/Л <| С + |Л|1/(1—р)

р

| х|

. р-1 --1 1

(8)

2 - р

1 1 J

является решением уравнения (1). Однако, при £ > Т решение, заданное (8) обращается в ноль. Так как при стремлении £ ^ Т — 0 выполняется

В1(х,£; С) ^ а(Т — £)1/(2—р),

решение входит в ноль гладким образом. Согласно принципу сравнения, подобная ситуация должна иметь место и для решений с начальными функциями не превосходящими значения В1(х, 0; С). Для уравнения теплопроводности и вообще линейных дивергентных равномерно параболических уравнений второго порядка такая ситуация, как и описанная выше ситуация для р > 2п/(п + 1), принципиально невозможна в силу неравенства Харнака.

В критическом случае автомодельное решение имеет не степенную, а экспоненциальную зависимость от времени. При п ^ 2, р = 2п/(п + 1) запишем следующее решение

/ „ и ^ ,\(1-«)/2 2П2п/(п+1)

Всг (х,£) = (|х|2п/(п—1) + еи) , Ь = _ .

п1

Вернёмся к случаю р > 2. Запишем ещё одно автомодельное решение

--1

В2(х,£; С) = (Т — £)-п/^ С + ^^2Л1/(1-р) (р^м)^}--2 ■ (9)

Это решение "взрывается" (стремится к +то) при t ^ T — 0. На самом деле, для p-Лапласиана это решение, растущее при x ^ то как |x|p/(p—2) показывает границу класса типа тихоновского. Для p-лапласиана, p > 2, в отличие от уравнения теплопроводности, допустимая скорость роста решения на бесконечности в теореме глобального существования полиномиальная, а не экспоненциальная. В работе А.С. Калашникова [78] приведён простой пример такого рода: для одномерного уравнения = (uX)x решением задачи Коши с начальным условием u(0,x) = Dx2, D = const > 0 является u(x,t) = Dx2(1 — 48D2t)—1/2, которое существует лишь для t < (48D2)-1.

Похожие формулы имеют место и для уравнения пористой среды (3). На самом деле, изначально в работах Я.Б. Зельдовича, А.С. Компанейца [60] (нелинейная теплопроводность, 1950) Г.И. Баренблатта [10-15] (фильтрация газа в пористой среде, 1952) и R.E. Pattle [355] (модель нелинейной диффузии, 1959) были получены формулы именно для уравнения (3). Для m > (n—2)+/n, m = 1, и произвольной константы C > 0 запишем

U(x,t) = t-C — m2m—r(txy ) = n(m — 1) + 2. (10)

В англоязычной литературе для таких решений достаточно распространённым названием является Barenblat-Pattle solution или ZKB (Z — Я.Б. Зельдович, K — А.С. Компанеец, B — Г.И. Баренблатт). Стоит отметить, что, в отличие от (5), решение (10) при m > 2 не обладает даже липшицевой непрерывностью на фронте, только гёльдеровской, при m = 2 график решения липшицев, при 1 < m < 2 график решения по крайней мере C1. Несложно проверить, что при m ^ 1 баренблаттовские автомодельные решения для уравнения пористой среды сходятся к решению уравнения теплопроводности с той же массой (т.е., соответствующие начальному точечному источнику той же мощности). При m ^ (n — 2)+/n соответствующие решения выписать не получается. Более того, Х. Брезис и А. Фридман в [191] показали, что в субкритическом диапазоне решение уравнения пористой среды, соответствующее начальной дельта-функции, не существует. А если брать последовательность начальных функций, сходящихся к дельта-функции, то соответствующие решения задачи Коши

сходятся к £(х) 0 1(£), то есть при каждом £ > 0 предел совпадает с дельта-функцией.

В случае "критического показателя" т = (п—2)/п, п ^ 3, решение зависит от времени экспоненциальным образом. Для произвольных а, к > 0 функция

исг (х,£) = (а|х|2 + (п+1)/2

является решением (3).

С другой стороны, для уравнения пористой среды строится ещё одно автомодельное решение (замена £ на —£, | х | на | х | ). Пусть т > 1. Запишем

( _ л / || N 2 ^ 1/(т—1)

и1(х,£) = (Т—£)—" 'и,{С + , " =п(т —1) + 2.

+ (11)

Для С > 0 это решение положительно для всех х € при £ < Т, а при £ ^ Т — 0 решение "взрывается" (стремится к При С = 0 получается

решение в разделяющихся переменных также "взрывающееся" при £ ^ Т — 0. При С < 0 получается неотрицательное решение, при каждом значении времени положительное вне некоторого шара и равное нулю в нём, при этом радиус шара стремится к нулю при £ ^ Т — 0.

Следующим шагом в развитии моделей является моделирование неоднородности среды. В линейном случае рассматриваются уравнения вида

ди

с(х,£)— = &у(А(х,£)Уи), д£

где матрица А(х,£) и коэффициент с(х,£) могут иметь вырождение или сингулярность. Самой простой интерпретацией такого рода уравнений служит процесс теплопереноса в среде, характеристики которой (теплоёмкость, плотность, коэффициент теплопереноса) зависят от пространства и времени. Может идти речь как о достаточно плавных изменениях коэффициентов, так и о наличие скачков коэффициентов на поверхности стыка фаз.

Другим очевидным приложением такого типа уравнений служат задачи возникающие в анализе на многообразиях. Уравнение теплопроводности на многообразиях в локальных координатах имеет вид

Й=^=—=^ £ щ). (12)

Здесь дг] — компоненты матрицы, обратной к метрическому тензору д^, |д| — определитель метрического тензора (\/|д[^х1... ¿хп — форма объёма).

Мы будем рассматривать следующие три варианта нелинейных уравнений с весами:

и = (х)|Уи|р—2Уи), (13)

с весом V из класса Макенхаупта А1+р/п,

V(х)и = а1у (V(х)|и|т—1|Ум|р—2Ум) , (14)

где V принадлежит классу так называемых р-допустимых весов, и

и£(х)м = div (х)|Ум|р—2Ум) , (15)

где (х>е(х) равен единице по одну сторону разделяющей гиперплоскости и принимает значение £ по другую сторону этой гиперплоскости. Естественно, возможны и более общие конфигурации весов.

Неоднородность среды может также проявляться и в зависимости показателя нелинейности уравнения от точки пространства или от времени. В этом случае возникает уравнение типа р(х)-Лапласиана в стационарном случае,

(|Ум|р(ж)—2Ум) =0 или р(х, £)-Лапласиана в нестационарном случае,

Известно, что непостоянство показателя ведёт к появлению необычных эффектов, например, так называемого эффекта Лаврентьева [46], связанного с различным значением решения задачи о минимизации функционала вида

Р[м, П] = / |Ум|р(х) ¿х

в случае, если инфимум берётся по гладким функциям, или по функциям с обобщенной производной, суммируемой в степени р(х). На языке уравнений это означает, что решение соответствующей краевой задачи неединственно, существуют так называемые Н и W решения. Класс Н решений при этом характеризуется как замыкание гладких функций по соответствующей норме. Интерес

представляет нахождение условий, при которых эффект Лаврентьева невозможен. Этот вопрос может быть поставлен как вопрос о плотности гладких функций в соболевском пространстве, или как вопрос о единственности решения некоторой краевой задачи. Аналогичный вопрос можно ставить и при наличии дополнительного вырождения или сингулярности по пространственной переменной. В настоящей работе вопрос о плотности гладких функций изучается применительно к соболевскому пространству, соответствующему функционалу энергии

Ещё один вопрос, которому будет уделено время в настоящей работе — единственность решений задачи о диффизии при наличии сноса. Дело в том, что в присутствии неограниченного сноса возможна неединственность решений и нарушение энергетического неравенства для некоторых решений.. Ставится вопрос о достаточных условиях единственности решения задачи Дирихле

с кососимметрической матрицей А.

Вплоть до 50х годов XX века основным объектом изучения теории уравнений с частными производными служили линейные уравнения. Центром этих исследований можно, наверное, назвать построение и изучение свойств фундаментальных решений, доказательство существования и исследование решений методами теории потенциала. Другим направлением являлось получение априорных оценок, например, знаменитых оценок Шаудера в пространствах Гёль-дера, и исследование разрешимости задач с помощью функциональных (например, метод сжимающих отображений, продолжение по параметру) или тополи-ческих методов (теорема Лерэ-Шаудера и т.д.).

К 50м годам была развита достаточно мощная теория существования решений линейных задач в частных производных эллиптического и параболического типов. Эта теория основывалась на получении оценок решений уравнений с постоянными коэффициентами, исследование соответствующих функций Грина, и последующем рассмотрении уравнений с переменными коэффициентами

а1у (Уи + АУи) = / € Н—1 (П), и € НО (П),

как возмущений уравнений с постоянными коэффициентами. В рамках шкалы пространств Гёльдера получающиеся таким образом априорные оценки носят название шаудеровских. Подобный подход был в дальнейшем распространён и на оценки в шкале лебеговых пространств, которые основаны на анализе сингулярных интегральных операторов. Для линейных эллиптических систем знаковыми являлись работы Ш. Агмона, А. Дуглиса, Л. Ниренберга [150,151,259]. В нестационарном случае эта теория была развита в работах В.А. Солонникова. Эти результаты подробно изложены в ряде книг, например К. Миранды [117], Д. Гилбарга и Н. Трудингера [20] , Ч. Морри [344] и др.

Надо отметить, что существенным ограничением этой теории являются требования на гладкость коэффициентов. В частности, оказалось, что даже линейные уравнения дивергентного типа с разрывными коэффициентами, например,

где на матрицу накладывается лишь условие ограниченности и равномерной эллиптичности, требуют принципиально иного подхода

Были и замечательные работы, посвящённые анализу нелинейных уравнений, в частности, знаменитая работа Ж. Лерэ 1934 года [331] посвящённая вопросу разрешимости задачи Коши для Навье-Стокса, заложившая основу современной математической теории разрешимости уравнения Навье-Стокса. Работа Лерэ основывалась на использовании фундаментальных решений Озина уравнения Стокса (линейной части) и исследовании "интегралов энергии" решения. В работе Э. Хопфа 1950 года [308] аналогичный результат был получен для задачи Коши-Дирихле.

Активное изучение нелинейных задач и линейных уравнений дивергентного типа с разрывными коэффициентами началось после того как был развит аппарат соболевских пространств [130], методы слабой сходимости, теория сингулярных операторов. Для нелинейных уравнений вопрос представляет доказательство существования решений. В 1962 году появилась работа М.И. Виши-ка [18] посвящённая доказательству теоремы существования решения для квазилинейных параболических уравнений дивергентной структуры. В 1963 году

вышла работа М.И. Вишика [19], посвящённая доказательству существования решений квазилинейных эллиптических уравнений дивергентной структуры. Результаты М.И. Вишика были усовершенствованны J. Leray и J.-L. Lions в [332] с помощью метода монотонности Минти-Браудера [193,194,339,340]. Само понятие монотонности было введено Р.И. Качуровским (см. обзор [85]).

С развитием аппарата соболевских пространств тесно связано и развитие энергетического метода. Многие эллиптические уравнения дивергентной структуры можно трактовать как уравнения Эйлера для экстремальной точки некоторого интегрального функционала — "функционала энергии'' (например, минимизант интеграла Дирихле — гармоническая функция). Зачастую существование минимизанта доказывается довольно просто, а вот его регулярность представляет вопрос. В частности, 19я проблема Д. Гильберта формулировалась так: являются ли решения регулярных вариационных задач аналитическими? Именно с этой проблемой была связана знаменитая работа Э. ДиДжорджи 1957 года [226], где была доказана аналитичность экстремалей интегральных функционалов. В не менее знаменитой работе Дж. Нэша 1958 года [351] (результат анонсирован в [352]) совершенно иными методами была доказана гёльдеровская непрерывность решений линейных дивергентных параболических уравнений второго порядка, из которой в свою очередь были получены оценки для решения эллиптических уравнений. Иными методами эти результаты для эллиптических уравнений были доказаны Ю. Мозером в 1960 году [345]. Выдающимся результатом Ю. Мозера было доказательство в 1961 году [346] для решений дивергентных эллиптических уравнений неравенства Харнака. Из неравенства Харнака легко выводится гёльдеровская непрерывность решений и сильный принцип максимума. В 1964-1971 годах Ю. Мозер перенёс эти результаты на параболический случай [347-349].

Ещё одно доказательство теоремы Э. ДиДжорджи в случае эллиптических уравнений было дано Е.М. Ландисом в 1967 году [91].

Позже было обнаружено, что на уравнения высших порядков и системы уравнений (экстремали векторных задач в случае вариационного исчисления) эти результаты, вообще говоря, не распространяются, что было показано в 1968

году независимо В.Г. Мазьёй [101], Э. Ди Джорджи [227], Э. Джусти и М. Миранда [293].

Методы, предложенные Э. ДиДжорджи и Ю. Мозером активно развивались Э. Джусти, Г. Стампаккья, О.А. Ладыженской Н.Н. Уральцевой, Дж. Сер-рином, Н. Трудингером, С.Н. Кружковым и многими другими авторами. Эти идеи оказались применимы к решениям дивергентных эллиптических и параболических уравнений, безотносительно их вариационной природы. В монографии О.А. Ладыженской и Н.Н. Уральцевой [96,97] была построена достаточно полная теория линейных и квазилинейных эллиптических уравнений с младшими членами, включая и уравнения типа эллиптического p-лапласиана. Для линейных параболических уравнений (и нелинейных, но с условием, что порядок коэрцитивности и роста главной части линейный) аналогичная теория содержится в книге О.А. Ладыженской, Н.Н. Уральцевой и В.А. Солоннико-ва [98].

Тем не менее, перенесение результатов линейной теории на нелинейные параболические уравнения заняло несколько десятков лет. Это связано с тем, что решения параболического p-Лапласиана или уравнения пористой среды могут проявлять существенно иные свойства по сравнению с решениями уравнения теплопроводности. В отличие от линейного случая, характерные времена, на протяжении которых в структуре решения происходят существенные изменения, зависят от величины самого решения. Масштаб, на котором надо рассматривать уравнение, меняется от точки к точке. Например, под действием замены

x = Ry, t = Тт, u = kv

уравнение (1) переходит в себя, если Т = k2-pRp. Это отражается в возникающих технических сложностях.

Теория сушествования решений эллиптических и параболических уравнений типа p-Лапласиана была развита в работах М.И. Вишика [18,19] и усовершенствована в известной работе Ж. Лерэ и Ж.-Л. Лионса [332]. Изложение этих результатов можно найти в книге Ж.-Л. Лионса [93].

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Сурначев Михаил Дмитриевич, 2017 год

Литература

[1] Алхутов Ю.А., Антонцев С.Н., Жиков В.В. Параболические уравнения с переменным порядком нелинейности // Сб1рник праць 1н-ту математики НАН УкраТни. 2008. Т. 1, № 3. С. 1-29. (Англ. перев.: Alkhutov Yu.A., Antontsev S.N., Zhikov V.V. Parabolic equations with variable order of nonlinearity // Zb. Prats' Inst. Mat. NAN Ukr. 2009. V. 6. P. 23-50.)

[2] Алхутов Ю.А., Гусейнов С.Т. Гёльдерова непрерывность решений равномерно вырождающегося на части области эллиптического уравнения // Дифференц. уравнения 2009. Т. 45, № 1. С. 54-59.

[3] Алхутов Ю.А., Денисов В.Н. Критерий стабилизации решения смешанной задачи для недивергентного параболического уравнения второго порядка // Докл. РАН. 2013. Т. 451, № 1. С. 7-10.

[4] Алхутов Ю.А., Денисов В.Н. Необходимое и достаточное условие стабилизации к нулю решения смешанной задачи для недивергентных параболических уравнений // Тр. ММО. 2014. Т. 75, № 2. С. 277-308.

[5] Алхутов Ю.А., Жиков В.В. О гёльдеровости решений вырождающихся эллиптических уравнений // Докл. РАН. 2001. Т. 378, № 5. С. 583-588.

[6] Алхутов Ю.А., Жиков В.В. О классе вырождающихся эллиптических уравнений // Тр. семин. им. И. Г. Петровского. 2003. Т. 23. С. 16-27.

[7] Алхутов Ю.А., Жиков В.В. Теоремы существования решений параболических уравнений с переменным порядком нелинейности //Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 21-32.

[8] Алхутов Ю.А., Жиков В.В. О гёльдеровости решений одного эллиптического уравнения // Современная математика и ее приложения. 2003. Т. 10. С. 8-21. (Англ. перев.: Alkhutov Yu.A., Zhikov V.V. On the Holder property of one elliptic equation // J. Math. Sci. 2005. V. 129, № 1. P. 3523-3536.)

[9] Алхутов Ю.А., Хренова Е.А. Неравенство Харнака для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Тр. МИАН. 2012. Т. 278. С. 7-15.

[10] Баренблатт Г.И. О некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде // ПММ. 1952. Т. 16, № 1. С. 67-78.

[11] Баренблатт Г.И. Об автомодельных движениях сжимаемой жидкости в пористой среде // ПММ. 1952. Т. 16, № 6. С. 679-698.

[12] Баренблатт Г.И. Об одном классе точных решений плоской одномерной задачи нестационарной фильтрации газа в пористой среде // ПММ. 1953. Т. 17, №6. С. 739-742.

[13] Баренблатт Г.И. Об автомодельных решениях задачи Коши для нелинейного параболического уравнения нестационарной фильтрации газа в пористой среде // ПММ. 1956. Т. 20, № 6. С. 761-763.

[14] Баренблатт Г.И., Вишик М.И. О конечной скорости распространения возмущений в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа // ПММ. 1956. Т. 20, № 3. С. 411-417.

[15] Баренблатт Г.И., Зельдович Я.Б. О решениях типа диполя в задачах нестационарной фильтрации газа при политропическим режиме // ПММ. 1957. Т. 21, № 5. С. 718-720.

[16] Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика: теория и приложения к геофизической гидродинамике. Изд. 2-е перераб. дополн. Л.: Гидроме-теоиздат, 1982.

[17] Быховский Э. Б., Смирнов Н. В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа // Тр. МИАН СССР. 1960. Т. 59. С. 5-36.

[18] Вишик М.И. О разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков // Матем. сб. 1962. Т. 59 (101) (дополнительный). С. 289-325.

[19] Вишик М.И. Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие дивергентную форму // Тр. ММО. 1963. Т. 12. С. 125-184.

[20] Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Пер. с англ. М.: Наука. Физматлит, 1989. 463 с.

[21] Голайдо С.И., Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Нестационарные задачи нелинейной теплопроводности с объёмным поглощением тепла // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13, № 5. С. 1351-1356.

[22] Голайдо С.И., Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Магнитогидродинамические сдвиговые течения жидкости со степенным реологическим законом в условиях поперечного сноса // Магнитная гидродинамика. 1974. Т. 2. С. 58-62.

[23] Граник И.С., Мартинсон Л.К. Некоторые нестационарные задачи магнитной реологии // Магнитная гидродинамика. 1973. Т. 2. С. 138-140.

[24] Граник И.С., Мартинсон Л.К. Плоское нестационарное движение проводящей неньютоновской жидкости // Магнитная гидродинамика. 1974. Т. 4. С. 141-151.

[25] Граник И.С., Мартинсон Л.К. О движении границы носителя обобщенного решения в задачах магнитной реологии // Магнитная гидродинамика. 1978. Т. 1. С. 13-16.

[26] Гущин А.К. Некоторые оценки решений краевых задач для уравнения теплопроводности в неограниченной области // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 91. С. 5-18.

[27] Гущин А.К. О стабилизации решения параболического уравнения // Тр. МИАН СССР. 1968. Т. 103. С. 51-57.

[28] Гущин А.К. О скорости стабилизации решения параболического уравнения в неограниченной области // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, № 4. С. 741-761.

[29] Гущин А.К. Об оценках снизу решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка в неограниченных по пространственным переменным областях // Докл. АН СССР. 1972. Т. 206, № 6. С. 1284-1287.

[30] Гущин А.К. Об оценках решений II и III краевых задач для параболического уравнения второго порядка в неограниченных по пространственным переменным областях // Докл. АН СССР. 1972. Т. 206, № 4. С. 788-791.

[31] Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка // Тр. МИАН СССР. 1973. Т. 126. С. 5-45.

[32] Гущин А.К. О поведении при t ^ то решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Докл. АН СССР. 1976. Т. 227, № 2. С. 273-276.

[33] Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1976. Т. 101(143), № 4(12). С. 459-499.

[34] Гущин А.К. Критерий равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1982. Т. 264, № 5. С. 1041-1045.

[35] Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1982. Т. 119(161), № 4(12). С. 451-508.

[36] Гущин А.К., Михайлов В.П., Михайлов Ю.А. О равномерной стабилизации решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1985. Т. 128(170), № 2(10). С. 147-168.

[37] Дакоронья Б. Существование и единственность решений dw = f с граничными условиями Дирихле // В кн. "Международная математическая серия. Том 1". Новосибирск: Изд-во Тамары Рожковской, 2002. С. 63-76. Пер. на англ. Dacorogna B. Existence and regularity of solutions of dw = f with Dirichlet boundary conditions // Nonlinear problems in mathematical physics and related topics, I. Int. Math. Ser. (N. Y.), 1. New York: Kluwer/Plenum, 2002. P. 67-82.

[38] Дубинский Ю.А. О некоторых краевых задачах и векторных потенциалах соленои-дальных полей // Проблемы Математического Анализа. 2013. Т. 74. С. 75-84. Англ. перев.: Dubinskii Yu. A. On Some Boundary Value Problems and Vector Potentials of Solenoidal Fields // J. Math. Sci. 2014. V. 196, № 4. P. 524-534.

[39] Денисов В.Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени // УМН. 2005. Т. 60, № 4. С. 141-212.

[40] Денисов В.Н. Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности // Докл. РАН. 2006. Т. 407, № 2. С. 163-166.

[41] Денисов В.Н. Об условиях стабилизации решения первой краевой задачи для параболического уравнения // Проблемы матем. анализа. 2011. Т. 58. С. 143-159.

[42] Денисов В.Н. Необходимые и достаточные условия стабилизации решения первой краевой задачи для параболического уравнения // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2013. Т. 29. С. 248-280.

[43] Дегтярев С.П., Тедеев А.Ф. Оценки решения задачи Коши с растущими начальными данными для параболического уравнения с анизотропным вырождением и двойной нелинейностью // Докл. РАН. 2007. Т. 417, № 2. С. 156-159.

[44] Дегтярев С.П., Тедеев А.Ф. L1—оценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными // Матем. сб. 2007. Т. 198, № 5. С. 45-66.

[45] Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений // Матем. сб. 1977. Т. 104, № 4. С. 597-616.

[46] Жиков В.В. Усреднение функционалов вариационного исчисления и теории упругости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50. Вып. 4. С. 675-710.

[47] Жиков В.В. Об эффекте Лаврентьева // Докл. РАН. 1995. Т. 345, № 1. С. 10-14.

[48] Жиков В.В. Диффузия в несжимаемом случайном потоке // Функц. анализ и его прил. 1997. Т. 31, вып. 3. С. 10-22.

[49] Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 8. С. 27-58.

[50] Жиков В.В. Замечания о единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка с младшими членами // Функц. анализ и его прил. 2004. Т. 38, вып. 3. С. 15-28.

[51] Жиков В.В. О плотности гладких функций в пространствах Соболева-Орлича // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2004. Т. 310. С. 67-81.

[52] Жиков В.В. Об одном подходе к разрешимости обобщенных уравнений Навье-Стокса // Функц. анализ и его прил. 2009. Т. 43, вып. 3. С. 33-53.

[53] Жиков В.В., Пастухова С.Е. Параболический принцип компенсированной компактности и некоторые его приложения // Докл. РАН. 2010. Т. 431, № 3. С. 306-312.

[54] Жиков В.В., Пастухова С.Е. О принципе компенсированной компактности // Докл. РАН. 2010. Т. 433, № 5. С. 590-595.

[55] Жиков В.В., Пастухова С.Е. Леммы о компенсированной компактности в эллиптических и параболических уравнениях // Тр. МИАН. 2010. Т. 270. С. 110-137.

[56] Жиков В.В. О вариационных задачах и нелинейных эллиптических уравнениях с нестандартными условиями роста // Проблемы матем. анализа. 2011. Т. 54. C. 23112. Англ. перев.: Zhikov V.V. On variational problems and nonlinear elliptic equations with nonstandard growth conditions // J. Math. Sci. 2011. V. 173, № 5. P. 463-570.

[57] Жиков В.В., Пастухова С.Е. Уравнения Навье-Стокса: теоремы существования и энергетические равенства // Докл. РАН. 2011. Т. 438, № 6. С. 727-733.

[58] Жиков В.В., Пастухова С.Е. Об уравнениях Навье-Стокса: теоремы существования и энергетические равенства // Тр. МИАН. 2012. Т. 278. С. 75-95.

[59] Жиков В.В. О плотности гладких функций в весовом соболевском пространстве // Докл. РАН. 2013. Т. 453, № 3. С. 247-251.

[60] Зельдович Я.Б., Компанеец А.С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сб. посвященный 70-летию акад. А.Ф. Иоффе. — М.: Изд-во АН СССР, 1950. — С. 61-71.

[61] Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. — 3-е изд., исправл. — М.: Физматлит, 2008. — 656 с.

[62] Иванов А.В. Оценки константы Гёльдера обобщенных решений вырождающихся параболических уравнений // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1986. Т. 152. С. 21-44.

[63] Иванов А.В. Гёльдеровские оценки для квазилинейных параболических уравнений с двойным вырождением // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1989. Т. 171. С. 70-105.

[64] Иванов А.В. Равномерные гёльдеровские оценки для обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений допускающих двойное вырождение // Алгебра и Анализ. 1991. Т. 3, вып. 2. С. 139-179.

[65] Иванов А.В. Классы Бт,1 и гёльдеровские оценки для квазилинейных параболических уравнений, допускающих двойное вырождение // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1992. Т. 197. С. 42-70.

[66] Иванов А.В. Квазилинейные параболические уравнения, допускающие двойное вырождение // Алгебра и Анализ. 1992. Т. 4, вып. 6. С. 114-130.

[67] Иванов А.В. Гёльдеровские оценки для уравнений типа быстрой диффузии // Алгебра и Анализ. 1994. Т. 6, вып. 4. С. 101-142.

[68] Иванов А.В. Оценки максимумов модулей обобщенных решений для дважды нелинейных параболических уравнений // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1995. Т. 221. С. 83-113.

[69] Иванов А.В. Гёльдеровские оценки для естественного класса уравнений типа быстрой диффузии // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1995. Т. 229. С. 29-62.

[70] Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН. 1962. Т. 17, № 3. С. 3-146.

[71] Ильин А.М. О поведении решения задачи Коши для параболического уравнения при неограниченном возрастании времени // УМН. 1961. Т. 16, вып. 2(98). С. 115-121.

[72] Ильин А.М., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение решений параболических уравнений и эргодическое свойство неоднородных диффузионных процессов // Матем. сб. 1963. Т. 60(102), № 3. С. 366-392.

[73] Ильин А.М. Об одном достаточном условии стабилизации решения параболического уравнения // Матем. заметки. 1985. Т. 37, № 6. С. 851-856.

[74] Калашников А.С. Задача Коши в классе растущих функций для уравнений типа нестационарной фильтрации // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1963. № 6. С. 17-27.

[75] Калашников А.С. О задаче Коши для уравнений типа нестационарной фильтрации в классе неограниченных решений // УМН. 1963. Т. 18, вып. 4 (112). С. 213-214.

[76] Калашников А.С. О возникновении особенностей у решений уравнения нестационарной фильтрации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. Т. 7, № 2. С. 440-444.

[77] Калашников А.С. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с бесконечной скоростью распространения возмущений // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем., механ. 1972. № 6. С. 45-49.

[78] Калашников А.С. О задаче Коши в классах растущих функций для некоторых квазилинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // Диффе-ренц. уравнения. 1973. Т. 9, № 4. С. 682-691.

[79] Калашников А.С. Об условиях единственности обобщенного решения задачи Коши для одного класса квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Диффе-ренц. уравнения. 1973. Т. 9, № 12. С. 2207-2212.

[80] Калашников А.С. О характере распространения возмущений в задачах нелинейной теплопроводности с поглощением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1974. Т. 14, № 4. С. 891-905.

[81] Калашников А.С. О дифференциальных свойствах обобщенных решений уравнений типа нестационарной фильтрации // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1974. № 1. С. 62-68.

[82] Калашников А.С. О влиянии поглощения на распространение тепла в среде с теплопроводностью, зависящей от температуры // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16, № 3. С. 689-696.

[83] Калашников А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // УМН. 1987. Т. 42, вып. 2(254). С. 135-176.

[84] Калашников А.С., Олейник О.А., Чжоу Юйлинь Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958. Т. 22, № 5. С. 667-704.

[85] Качуровский Р.И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах // УМН. 1968. Т. 23, вып. 2(140). С. 121-168.

[86] Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. Пер. с англ. М.:Мир, 1983. 256 стр.

[87] Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при Ь ^ ° решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Мат. сб. 2000. Т. 191, № 2. С. 91-131.

[88] Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Об убывании Ь2-нормы решения первой смешанной задачи для нелинейной системы параболических уравнений в области с нерегулярной границей // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 8. С. 1079-1084.

[89] Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. 2010. Т. 201, № 9. С. 3-26.

[90] Крылов Н.В., Сафонов М.В. Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44, вып. 1. С. 161-175.

[91] Ландис Е.М. Новое доказательство теоремы Е. Де Джорджи // Тр. ММО. 1967. Т. 16. С. 319-328.

[92] Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971. 288 с.

[93] Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Пер. с фр. М.:Мир, 1972. 588 с.

[94] Ладыженская О.А. О новых уравнениях для описания движений вязких несжимаемых жидкостей и разрешимости в целом для них краевых задач // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 102. С. 85-104.

[95] Ладыженская О.А. О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов скоростей // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1968. Т. 7. С. 126-154

[96] Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

[97] Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Изд. 2-е перераб. М.: Наука, 1973.

[98] Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н., Солонников В.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

[99] Ладыженская О.А. О построении базисов в пространствах соленоидальных векторных полей // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2003. Т. 306. С. 92-106.

[100] Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. ОГИЗ. Гостехиздат, 1947. 244 с.

[101] Мазья В.Г. Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами // Функц. анализ и его прил. 1968, Т. 2, вып. 3. С. 53-57.

[102] Мазья В.Г. О непрерывности в граничной точке решений квазилинейных эллиптических уравнений // Вестн. Ленингр. ун-та. 1970. Т. 13. С. 42-55.

[103] Макаров А.М., Мартинсон Л.К., Романовский В.Р., Симхович С.Л. Электрогидродинамическое течение вязкопластической жидкости // Магнитная гидродинамика. 1973. Т. 1. С. 56-60.

[104] Маркашева В.А., Тедеев А.Ф. Локальные и глобальные оценки решений задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений с нелинейным оператором типа Бао-уенди-Грушина // Матем. заметки. 2009. Т. 85, вып. 3. С. 395-407.

[105] Маркашева В.А., Тедеев А.Ф. Задача Коши для квазилинейного параболического уравнения с градиентным стоком // Матем. сб. 2012. Т. 203, № 4. С. 131-160.

[106] Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. К вопросу о пространственной локализации тепловых возмущений в теории нелинейной теплопроводности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1972. Т. 12, № 4. С. 1048-1053.

[107] Мартинсон Л.К. О конечной скорости сходимости распространения тепловых возмущений в средах с постоянным коэффициентом теплопроводности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16, № 5. С. 1233-1241.

[108] Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Плоское ламинарное течение неньютоновской жидкости в поперечном магнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1965. Т. 4. С. 61-66.

[109] Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Эффект магнитной пластичности в неньютоновских жидкостях // Магнитная гидродинамика. 1966. Т. 3. С. 69-75.

[110] Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. К теории магнитогидродинамических течений вязко-пластических жидкостей // Магнитная гидродинамика. 1966. Т. 3. С. 152.

[111] Макаров А.М., Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Магнитогидродинамическое течение Ку-этта вязко-пластических сред // Магнитная гидродинамика. 1966. Т. 4. С. 92-94.

[112] Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Нестационарные сдвиговые течения проводящей жидкости со степенным реологическим законом // Магнитная гидродинамика. 1971. Т. 2. С. 50-58.

[113] Мартинсон Л.К. Об автомодельных задачах магнитной гидродинамики неньютоновских жидкостей // Магнитная гидродинамика. 1974. Т. 1. С.148-150.

[114] Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Магнитная гидродинамика неньютоновских жидкостей // Магнитная гидродинамика. 1975. Т. 1. С. 59-67.

[115] Мартинсон Л.К. Установившиеся магнито- и электрогидродинамические течения неньютоновской жидкости // Магнитная гидродинамика. 1975. Т. 3. С. 21-28.

[116] Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 628 с.

[117] Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. Пер. с итал. М.: ИЛ, 1957. 256 с.

[118] Мукминов Ф.Х. О поведении при £ ^ то решений первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в неограниченных по пространственным переменным областях // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 11. С. 2021-2033.

[119] Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1980. Т. 111(153), № 4. С. 503-521.

[120] Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка //Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 10. С. 1772-1780.

[121] Мукминов Ф.Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1990. Т. 181, № 11. С. 1486-1509.

[122] Назаров А.И., Уральцева Н.Н. Неравенство Гарнака и связанные с ним свойства решений эллиптических и параболических уравнений с бездивергентными младшими коэффициентами // Алгебра и Анализ. 2011. Т. 23, вып. 1. С. 136-168.

[123] Олейник О.А. Об уравнениях типа уравнений нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1957. Т. 113, № 6. С. 1210-1213.

[124] Полубаринова-Кочина П.Я. Об одном нелинейном уравнении в частных производных, встречающемся в теории фильтрации // Докл. АН СССР. 1948. Т. 63, № 6. С. 623-626.

[125] Рейнер М. Реология. М.: Наука, 1965. 224 с.

[126] Сабинина Е.С. О задаче Коши для уравнения нестационарной фильтрации газа с многими пространственными переменными // Докл. АН СССР. 1961. Т. 136, № 5. С. 10341037.

[127] Сабинина Е.С. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143, № 4. С. 794-797.

[128] Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

[129] Самко С.Г. Плотность С0°°(Ега) в обобщенных пространствах Соболева W// Докл. РАН. 1999. Т. 369, № 4. С. 451-454.

[130] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950; Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962.

[131] Спивак М. Математический анализ на многообразиях. Пер. с англ. М.: Мир, 1968. 164 стр.

[132] Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

[133] Скрыпник И.В. Необходимое условие регулярности граничной точки для квазилинейного параболического уравнения // Матем. сб. 1992. Т. 183, № 7. С. 3-22.

[134] Скрыпник И.И., Тедеев А.Ф. Локальные оценки решения задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения второго порядка. Весовой случай. I // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, № 1. С. 193-207.

[135] Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 3. С. 490-498.

[136] Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при Ь ^ то решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 10. С. 1795-1806.

[137] Тедеев А.Ф. Стабилизация решения третьей смешанной задачи для квазилинейных параболических уравнений второго порядка в нецилиндрической области // Изв. вузов. Матем. 1991. № 1. С. 63-73.

[138] Тедеев А.Ф. Мультипликативные неравенства в областях с некомпактными границами // Укр. матем. журн. 1992. Т. 44, № 2. С. 260-268.

[139] Тедеев А.Ф. Качественные свойства решений задачи Неймана для квазилинейных параболических уравнений высокого порядка // Укр. матем. журн. 1993. Т. 45, № 11. С. 1571-1579.

[140] Тедеев А.Ф. Двусторонние оценки при Ь ^ то решений задачи Неймана для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Укр. матем. журн. 1996. Т. 48, №. 7. С. 989-998.

[141] Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. Пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 408 с.

[142] Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. М.: Мир, 1964. 216 с.

[143] Ушаков В. И. О поведении решений третьей смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка при Ь ^ то // Дифф. уравнения. 1979. Т. 15, № 2. С.310-320.

[144] Ушаков В. И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области // Матем. сб. 1980. Т. 111 (153). С. 95-115.

[145] Хасьминский Р. З. Эргодические свойства возвратных диффузионных процессов и стабилизация решений задачи Коши для параболических уравнений // Теория вероятн. и ее примен. 1960. Т. 5, вып. 2. С. 196-214.

[146] Черемных Ю.Н. О поведении решений краевых задач для параболических уравнений второго порядка при неограниченном возрастании t // Матем. сб. 1968. Т. 75, № 2. С. 241-254.

[147] Abdellaoui B., Peral Alonso I., Holder regularity and Harnack inequality for degenerate parabolic equations related to Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities // Nonlinear Anal. 2004. V. 57. P. 971-1003.

[148] Aboulaich R., Meskine D., Souissi A. New diffusion models in image processing // Comput. Math. Appl. 2008. V. 56. P. 874-882.

[149] Adams A., Fournier J.J. Sobolev Spaces, Academic Press, 2003.

[150] Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. I // Comm. Pure Appl. Math. 1959. V. 12. P. 623-727.

[151] Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II // Comm. Pure Appl. Math. 1964. V. 17. P. 35-92.

[152] Alikakos N., Rostamian R. Large time behaviour of solutions of Neumann boundary value problem for the porous medium equation // Indiana Univ. Math. J. 1981. V. 30, № 5. P. 749-785.

[153] Alikakos N. D., Rostamian R. Stabilization of solutions of the equation du/dt = Д^(и) — в(u) // Nonlinear Anal. 1982. V. 6,№ 6. P. 637-647.

[154] Alikakos N. D., Rostamian R. On the uniformization of the solutions of the porous medium equation in RN // Isr. J. Math. 1984. V. 47, № 4. P. 270-290.

[155] Alikakos N.D., Rostamian R. Large time estimates for solutions to the porous medium equation with nonintegrable data via comparison // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 1985. V. 100, № 1. P. 1-10.

[156] Alikakos N.D., Rostamian R. Gradient estimates for degenerate diffusion equations I // Math. Ann. 1982. V. 259. P. 53-70.

[157] Alikakos N.D., Rostamian R. Gradient estimates for degenerate diffusion equations II // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. 1982. V. 91. P. 335-346.

[158] Alkhutov Yu.A., Liskevich V. Gaussian upper bounds for fundamental solutions of a family of parabolic equations // J. Evol. Equ. 2012. V. 12, № 1. P. 165-179.

[159] Alkhutov Yu.A., Liskevich V. Holder continuity of solutions to parabolic equations uniformly degenerating on a part of the domain // Adv. Differential Equations. 2012. V. 17, № 7-8. P. 747-766.

[160] Acerbi E., Fusco N. A transmission problem in the calculus of variations // Calc. Var. Partial Differ. Equ. 1994. V. 2, № 1. P. 1-16

[161] Adams D.R. A note on Riesz potentials // Duke Math J. 1975. V. 42, № 4. P. 765-778.

[162] Aronson D.G., Peletier L.A. Large time behaviour of solutions of the porous medium equation in bounded domains // J. Differential Equations. 1981. V. 39, № 3. P. 378-412.

[163] Aronson D.G., Crandall M.G., Peletier L.A. Stabilization of solutions of a degenerate nonlinear diffusion problem // Nonlinear Anal. 1982. V. 6, № 10. P. 1001-1022.

[164] Andreu F., Mazon J.M. , Segura de Leon S., Toledo J. Existence and uniqueness for a degenerate parabolic equation with L1 data // Trans. Amer, Math. Soc. 1999. V. 351, № 1. P. 285-306.

[165] Andreucci D., DiBenedetto E. A new approach to initial traces in nonlinear filtration // Ann. Inst. Henri Poincare. 1990. V. 7, № 4. P. 305-334.

[166] Andreucci D., Tedeev A. F. A Fujita Type Result for a Degenerate Neumann Problem in Domains with Noncompact Boundary // J. Math. Anal. Appl. 1999. V. 231. P. 543-567.

[167] Andreucci D., Tedeev A. F. Sharp estimates and finite speed of propagation for a Neumann problem in domains narrowing at infinity // Adv. Differential Equations. 2000. V. 5. P. 833-860.

[168] Andreucci D., Cirmi G. R., Leonardi S., Tedeev A. F. Large Time Behavior of Solutions to the Neumann Problem for a Quasilinear Second Order Degenerate Parabolic Equation in Domains with Noncompact Boundary // J. Differential Equations. 2001. V. 174. P. 253-288.

[169] Aronson D.G. Regularity properties of flows through porous media // SIAM J. Appl. Math. 1969. V. 17, № 2. P. 461-467.

[170] Aronson D.G. Regularity properties of flows through porous media: the interface // Arch. Rational Mech. Anal. 1970. V. 37. P. 1-10.

[171] Aronson D.G. Regularity properties of flows through porous media: a counterexample // SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 19, № 2. P. 299-307.

[172] Aronson D.G., Benilan P. Regularite des solutions de l'equation des milieux poreux dans Rn // C. R. Acad. Sc. Paris. 1979. V. 288. P. 103-105.

[173] Aronson D.G., Caffarelli L.A. The initial trace of a solution of the porous media equation // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V. 280, № 1. P. 351-366.

[174] Aronson D.G., Serrin J. Local behaviour of solutions of quasilinear parabolic equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1967. V. 25. P. 81-123.

[175] Aulisa E., Bloshankaya L., Hoang L., Ibragimov A. Analysis of generalized Forchheimer flows of compressible fluids in porous media // J. Math. Phys. 2009. V. 50, № 10. 103102:44pp (2009)

[176] Bamberger A. Etude d'une equation doublement non-lineaire // J. Funct. Anal. 1977. V. 24, № 2. P. 148-155.

[177] Bendahmane M., Wittbold P., Zimmermann A. Renormalized solutions for a nonlinear parabolic equation with variable exponents and L1-data // J. Differential Equations. 2010. V. 249, № 6. P. 1483-1515.

[178] Bénilan Ph., Boccardo L. , Gallouët Th., Gariepy R., Pierre M., Vazquez J.L. An L1 theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4). 1995. V. 22. P. 241-273.

[179] Benilan P., Crandall M.G. The continuous dependence on ^ of solutions of ut — A^(u) = 0 // Indiana Univ. Math. J. 1981. V. 30, № 2. P. 161-177.

[180] Benilan P., Crandall M.G., Pierre M. Solutions of the porous medium equation in RN under optimal conditions on initial values // Indiana Univ. Math. J. 1984. V. 33, № 1. P. 51-87.

[181] Boccardo L., Gallouët T. Non-linear elliptic and parabolic equations involving measure data // J. Funct. Anal. 1989. V. 87. P. 149-169.

[182] Boccardo L., Dall'Aglio A., Gallouët T., Orsina L. Nonlinear parabolic equations with measure data // J. Funct. Anal. 1997. V. 147. P. 237-258.

[183] Blanchard D. Truncations and monotonicity methods for parabolic equations // Nonlinear Anal. 1993. V. 21, № 10. P. 725-743.

[184] Boccardo L., Murat F. Almost everywhere convergence of the gradients of solutions to elliptic and parabolic equations // Nonlinear Anal. 1992. V. 19, № 6. P. 581-597.

[185] Bonafede S., Skrypnik I.I. On Holder continuity of solutions of doubly nonlinear parabolic equations with weight // Ukr. Math. J. 1999. V. 51, № 7. P. 996-1012.

[186] Bonforte M., Grillo G., Vazquez J.L. Behaviour near extinction for the Fast Diffusion Equation on bounded domains // J. Math. Pures Appl. 2012. V. 97. P. 1-38.

[187] Bonforte M., Vazquez J.L. Global positivity estimates and Harnack inequalities for the fast diffusion equation // J. Funct. Anal. 2006. V. 240. P. 399-428.

[188] Bonforte M., Vazquez J.L. Reverse smoothing effects, fine asymptotics, and Har-nack inequalities for Fast Diffusion Equations // Bound. Value Probl. 2006. V. 2007. Article ID 21425. 31 pp. doi:10.1155/2007/21425. URL: https://link.springer.com/article/10.1155/2007/21425

[189] Bonforte M., Vazquez J.L. Positivity, local smoothing, and Harnack inequalities for very fast diffusion equations // Adv. Math. 2010. V. 223. P. 529-578.

[190] Bonforte M, Iagar R.G., Vazquez J.L. Local smoothing effects, positivity, and Harnack inequalities for the fast p-Laplacian equation // Adv. Math. 2010. V. 224. P. 2151-2215.

[191] Brezis H., Friedman A. Nonlinear parabolic equations involving measures as initial condition // J. Math. Pures Appl. 1983. V. 62, № 1. P. 73-97.

[192] Briane M., Casado-Diaz J. A class of second-order linear elliptic equations with drift: renormalized solutions, uniqueness and homogenization // Potential Anal. 2015. V. 43, № 3. P. 399-413.

[193] Browder F.E. Variational boundary value problems for quasi-linear elliptic equations of arbitrary order // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1963. V. 50. P. 31-37, 592-598, 794-798.

[194] Browder F.E. Non-linear elliptic boundary value problems // Bull. Amer. Math. Soc. 1963. V. 69, № 6. P. 862-874.

[195] Caffarelli L.A., Friedman A. Continuity of the density of a gas flow in a porous medium // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V. 252. P. 99-113.

[196] Caffarelli L.A., Friedman A. Regularity of a free boundary for the one-dimensional flow of gas in a porous medium // Amer. J. Math. 1979. V. 101, № 6. P. 1193-1218.

[197] Caffarelli L.A., Friedman A. Regularity of the free boundary of a gas flow in an n-dimensional porous medium // Indiana Univ. Math. J. 1980. V. 29, № 3. P. 361-391.

[198] Chen Y., Levine S., Rao M. Variable Exponent, Linear Growth Functionals in Image Restoration // SIAM J. Appl. Math. 2006. V. 66. P. 1383-1406.

[199] Chen Y.Z., DiBenedetto E. On the local behaviour of solutions of singular parabolic equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1988. V. 103, № 4. P. 319-345.

[200] Chen Y.Z., DiBenedetto E. Boundary estimates for solutions of nonlinear degenerate parabolic systems // J. Reine Angew. Math. 1989. V. 395. P. 102-131.

[201] Chen Y.Z., DiBenedetto E. Holder estimates of solutions of singular parabolic equations with measurable coefficients // Arch. Rational Mech. Anal. 1992. V. 118. P. 257-271.

[202] Chiarenza F., Frasca M. Boundedness for the solutions of a degenerate parabolic equation // Appl. Anal. 1984. V. 17. P. 243-261.

[203] Chiarenza F.M., Serapioni R.P. A Harnack inequality for degenerate parabolic equations // Comm. Partial Differential Equations. 1984. V. 9, № 8. P. 719-749.

[204] Chiarenza F., Serapioni R. Degenerate parabolic equations and Harnack inequality // Ann. Mat. Pura Appl. (4) 1984. V. 137. P. 139-162.

[205] Chiarenza F., Serapioni R. A remark on a Harnack inequality for degenerate parabolic equations // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1985. V. 73. P. 179-190.

[206] Chiarenza F., Serapioni R. Pointwise estimates for degenerate parabolic equations // Appl. Anal. 1987. V. 23, № 4. P. 287-299.

[207] Chiarenza F., Frasca M. A note on a weighted Sobolev inequality // Proc. Amer. Math. Soc.. 1985. V. 93, № 4. P. 703-704.

[208] Chiado Piat V.,Serra Cassano F. Some remarks about the density of smooth functions in weighted Sobolev spaces // J. Convex Anal. 1994. V. 2. P. 135-142.

[209] Chiado Piat V.,Serra Cassano F. Relaxation of degenerate variational integrals // Nonlinear Anal. 1994. V. 22, № 4. P. 409-424.

[210] Coifman R., Rochberg R. Another characterization of BMO // Proc. Amer. Math. Soc. 1980. V. 79, № 2. P. 249-254.

[211] Coifman R., Rochberg R., Weiss G. Factorization theorems for Hardy spaces in several variables // Ann. Math. 1976. V. 103. P. 611-635.

[212] Coifman R., Lions P. L., Meyer Y., Semmes S. Compensated compactness and Hardy spaces // J. Math. Pures Appl. 1993. V. 72. P. 247-286.

[213] Coifman R., Lions P. L., Meyer Y., Semmes S. Compacite par compensation et espaces de Hardy // Expose no. XIV in Seminaire Equations aux derivees partielles (dit "Goulaouic-Schwartz") (1989-1990). Ecole Polytechnique, Palaiseau. 1990. P. 1-8.

[214] Coifman R., Lions P. L., Meyer Y., Semmes S. Compacite par compensation et espaces de Hardy (Compensated compactness and Hardy spaces) // C. R. Acad. Sci. Paris. 1989. V. 309, № 18. P. 945-949.

[215] Colding T.H., Minicozzi II W.P. Liouville theorems for harmonic sections and applications // Comm. Pure. Appl. Math. 1998. V. 51, № 2. P. 113-138.

[216] Cruz-Uribe D., Fiorenza A., Martell J. M., Perez C. The boundedness of classical operators on variable Lp spaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 2006. V. 31, № 1. P. 239-264.

[217] Cruz-Uribe D., Diening L., Fiorenza A. A new proof of the boundedness of maximal operators on variable Lebesgue spaces // Boll. Unione Mat. Ital. (9). 2009. V. 2, № 1. P. 151-173.

[218] Cruz-Uribe D., Fiorenza A., Neugebauer C.J. The maximal function on variable Lp spaces // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 2003. V. 28. P. 223-238. Corrections in 2004. V. 29. P. 247-249.

[219] Dahlberg B.E., Kenig C.E. Non-negative solutions of generalized porous medium equations // Rev. Mat. Iberoam. 1986. V. 2. P. 267-305.

[220] Dahlberg B.E., Kenig C.E. Non-negative solutions to fast diffusions // Rev. Mat. Iberoam. 1988. V. 4. P. 11-29.

[221] Dahlberg B.E., Kenig C.E. Nonnegative solutions of the Initial-Dirichlet problem for gen-erqalized porous medium equations in cylinders // J. Amer. Math. Soc. 1988. V. 1, № 2. P. 401-412.

[222] Dahlberg B.E., Kenig C.E. Weak solutions of the porous medium equation // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V. 336, № 2. P. 711-725.

[223] Dahlberg B.E., Kenig C.E. Weak solutions of the porous medium equation in a cylinder // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V. 336, № 2. P. 701-709.

[224] Dahlberg B.E.J., Kenig C.E. Non-negative solutions of the porous medium equation // Comm. Part. Diff. Equat. 1984. V. 9, № 5. P. 409-437.

[225] Daskalopoulos P., del Pino M. On nonlinear parabolic equations of very fast diffusion // Arch. Rational Mech. Anal. 1997. V. 137, № 4. P. 363-380.

[226] De Giorgi E. Sulla differenziabilita e l'analicita delle estremali degli integrali multipli re-golari // Mem. Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. 1957. V. 3, № 3. P. 25-43.

[227] De Giorgi E. Un esempio di estremali discontinue per un problema variazionale di tipo ellittico // Boll. Unione Mat. Ital. Ser. (4). 1968. V. 1. P. 135-137,

[228] DiBenedetto E. Regularity results for the porous media equation // Ann. Mat. Pura. Appl. 1979. V. 121. P. 249-262.

[229] DiBenedetto E. Continuity of weak solutions to certain singular parabolic equations // Ann. Mat. Pura Appl. 1982. V. 130. P. 131-176.

[230] DiBenedetto E. Continuity of weak solutions to a general porous media equation // Indiana Univ. Math. J. 1983. V. 32, № 1. P. 83-118.

[231] DiBenedetto E. A boundary modulus of continuity for a class of singular parabolic equations // J. Differential Equations. 1986. V. 63, № 3. P. 418-447.

[232] DiBenedetto E., Vespri V. On the singular equation ß(u)t = Au // Arch. Rational Mech. Anal. 1985. V. 132. P. 247-309.

[233] DiBenedetto E., Gianazza U., Liao N. Two remarks on the local behavior of solutions to logarithmically singular diffusion equations and its porous-medium type approximations // Riv. Mat. Univ. Parma. 2014. V. 5, № 1. P. 139-182.

[234] DiBenedetto E., Gianazza U., Liao N. Logarithmically singular parabolic equations as limits of the porous medium equation // Nonlinear Anal. 2012. V. 75, № 12. P. 4513-4533.

[235] DiBenedetto E., Gianazza U., Liao N. On the local behavior of non-negative solutions to a logarithmically singular equation // Discr. Cont. Dynam. Syst. Ser. B. 2012. V. 17, № 6. P. 1841-1858.

[236] DiBenedetto E. On the local behaviour of solutions of degenerate parabolic equations with measurable coefficients // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4). 1986. V. 13, № 3. P. 487-535.

[237] DiBenedetto E., Herrero M.A. On the Cauchy problem and initial traces for a degenerate parabolic equation // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 314, № 1. P. 187-224.

[238] DiBenedetto E., Herrero M.A. Non-negative solutions of the evolution p-Laplacian equation. Initial traces and Cauchy problem when 1 < p < 2 // Arch. Rational Mech. Anal. 1990. V. 111, № 3. P. 225-290.

[239] DiBenedetto E. Intrinsic Harnack type inequalities for solutions of certain degenerate parabolic equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1988. V. 100. P. 129-147.

[240] DiBenedetto E., Kwong Y.C. Harnack estimates and extinction profile for weak solutions of certain parabolic equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1992. V. 330. P. 783-811.

[241] DiBenedetto E., Gianazza U., Vespri V., Harnack estimates for quasi-linear degenerate parabolic differential equations // Acta Math. 2008. V. 200, № 2. P. 181-209.

[242] DiBenedetto E., Gianazza U., Vespri V. Forward, backward and elliptic Harnack inequalities for non-negative solutions to certain singular parabolic partial differential equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (5). 2010. V. 9, № 2. P. 385-422.

[243] DiBenedetto E., Gianazza U., Vespri V. Harnack type estimates and Holder continuity for non-negative solutions to certain sub-critically singular parabolic partial differential equations // Manuscripta Math. 2010. V. 131. P. 231-245.

[244] DiBenedetto E., Gianazza U., Vespri V. A new approach to the expansion of positivity set of non-negative solutions to certain singular parabolic partial differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 2010. V. 138, № 10. P. 3521-3529.

[245] DiBenedetto E., Friedman A. Regularity of solutions of nonlinear degenerate parabolic systems // J. Reine Angew. Math. 1984. V. 349. P. 83-128.

[246] DiBenedetto E., Friedman A. Holder estimates for nonlinear degenerate parabolic systems // J. Reine Angew. Math. 1985. V. 357. P. 1-22.

[247] DiBenedetto E. Degenerate parabolic equations. Universitext. New York: Springer-Verlag, 1993.

[248] DiBenedetto E., Gianazza U., Vespri V., Local clustering of the non-zero set of functions in W1,1 (E) // Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur.Rend. Lincei Mat. Appl. 2006. V. 17, № 3. P. 223-225.

[249] DiBenedetto E., Urbano J.M., Vespri V. Current issues on singular and degenerate evolution equations // Handbook of Differential Equations: Evolutionary equations, V. I. P. 169-286. Amsterdam: North-Holland, 2002. DOI: 10.1016/S1874-5717(04)80005-7.

[250] DiBenedetto E., Gianazza U., Vespri V. Harnack's Inequality for Degenerate and Singular Parabolic Equations. Springer Monographs in Mathematics. New York: Springer Verlag. 2012. XIV, 278 PP.

[251] Diening L., Ruzicka M. Strong solutions for generalized Newtonian fluids // J. Math. Fluid Mech. 2005. V. 7, № 3. P. 413-450.

[252] Diening L., Ruzicka M. Non-Newtonian fluids and function spaces // Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications. Vol. 8 : Proc. of the Spring school held in Praha, May 30 - June 6, 2006 / ed. by Jin Rakosnik. — 2007. — 248 pp.; ISBN 978-80-85823-50-9. P. 95-143.

[253] Diening L., Ruzicka M. An existence result for non-Newtonian fluids in non-regular domains // Discr. Cont. Dynam. Syst. Ser. S. 2010. V. 3, № 2. P. 255-268.

[254] Diening L., Hasto P. Muckenhoupt weights in variable exponent spaces [preprint] // URL http://www.helsinki.fi/~hasto/pp/p75_submit.pdf

[255] Diening L. Maximal function on Museliak-Orlicz spaces and generalized Lebesgue spaces // Bull. Sci. Math. 2005. V. 129. P. 657-700.

[256] Diening L. Riesz potentials and Sobolev embeddings on generalized Lebesgue and Sobolev spaces Lp() and Wk'p() // Math. Nachr. 2004. V. 268. P. 31-43.

[257] Diening L. Maximal functions in generalized Lp(^ spaces // Math. Inequal. Appl. 2004. V. 7, № 2. P. 245-254.

[258] Diening L., Harjulehto P., Hasto P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents. Lect. Notes in Math 2017. Heidelberg: Springer, 2011.

[259] Douglis A., Nirenberg L. Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1955. V. 8. P. 503-538.

[260] Droniou J., Prignet A. Equivalence between entropy and renormalized solutions for parabolic equaitons with smooth measure data// Nonlinear Differ. Equ. Appl. 2007. V. 14. P. 181-205.

[261] Dubinskii Y.A. Some coercive problems for the system of Poisson equations // Russian J. Math. Phys. 2013. V. 20, № 4. P. 402-412.

[262] Esposito L., Mingione G., Stroffolini B. On the continuity of the solution of the singular equation (£(u))t = Au // Nonlinear Anal. 1999. V. 36. P. 1037-1048.

[263] Esteban J.R., Vazquez J.L. Regularite des solutions positives de l'equation parabolique p-laplacienne. (French) [Regularity of nonnegative solutions of the p-Laplacian parabolic equation] // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1990. V. 310, № 3. 105-110.

[264] Fabes E.B., Kenig C.E., Serapioni R.P. The local regularity of solutions of degenerate elliptic equations // Comm. Partial Differential Equations. 1982. V. 7, № 1. P. 77-116.

[265] Fabes E.B., Jerison D.S., Kenig C.E. The Wiener test for degenerate elliptic equations // Annales de l'institut Fourier. 1982. V. 32, № 3. P. 151-182.

[266] Fan X.L. Regularity of nonstandard Lagrangians f (x,£) // Nonlinear Anal. 1996. V. 27, № 6. P. 669-678.

[267] Fan X., Zhao D. On the Spaces Lp(x)(Q) and Wm'p(x)(Q) // J. Math. Anal. Appl. 2001. V. 263. P. 424-446.

[268] Fan X., Shen J., Zhao D. Sobolev Embedding Theorems for Spaces Wk'p(x)(Q) // J. Math. Anal. Appl. 2001. V. 262. P. 749-760.

[269] Fannjiang A., Papanicolaou G. Diffusion in turbulence. // Probab. Theory Related Fields. 199б. V. 105. P. 279-334.

[270] Fernandes J.C. Mean value and Harnack inequalities for a certain class of degenerate parabolic equations // Rev. Mat. Iberoamericana. 1991. V. 7, W 3. P. 247-28б.

[271] Fiorenza A., Karadzhov G.E. Grand and small Lebesgue spaces and their analogs // Z. Anal. Anwend. 2004. V. 23, W 4. P. б57-б81.

[272] Friedlander S., Rusin W., Vicol V. The magnetogeostrophic equations: a survey // Proc. St. Petersburg Math. Soc. Vol. XV. Advances in mathematical analysis of partial differential equations / ed. D. Apushkinskaya and A.I. Nazarov. 2014. P. 53-78.

[273] Filonov N. On the regularity of solutions to the equation —Au + bVu = 0 // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2013. Т. 410. С. 1б8-18б.

[274] Friedman A., Kamin S. The asymptotic behaviour of gas in an n-dimensional porous medium / Trans. Amer. Math. Soc. 197б. V. 13. P. 103-10б.

[275] Folland G.B. A fundamental solution for a subelliptic operator // Bull. Amer. Math. Soc. 1973. V. 79. P. 373-37б.

[276] Fornaro S., Sosio M. Intrinsic Harnack estimates for some doubly nonlinear degenerate parabolic equations // Adv. Differential Equations. 2008. V. 13, W 1-2. P. 139-1б8.

[277] Gariepy R., Ziemer W.P. Behavior at the boundary of solutions of quasilinear elliptic equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1977. V. б7. P. 25-39.

[278] Gianazza U., Vespri V. Continuity of weak solutions of a singular parabolic equation // Adv. Differential Equations. 2003. V. 8, W 11. P. 1341-137б.

[279] Gianazza U., Stroffolini B., Vespri V. Interior and boundary continuity of the solution of the singular equation (ß(u))t = Lu // Nonlinear Anal. 2004. V. 5б, W 2.P. 157-183.

[280] Gianazza U., Vespri V. A Harnack inequality for a degenerate parabolic equation // J. Evol. Equ. 200б. V. б, W 2. P. 247-2б7.

[281] Gianazza U., Vespri V. Parabolic De Giorgi classes of order p and the Harnack inequality // Calc. Var. Partial Differential Equations. 200б. V. 2б, W 3. P. 379-399.

[282] Gianni R., Tedeev A., Vespri V. Asymptotic expansion of solutions to the Cauchy problem for doubly degenerate parabolic equations with measurable coefficients // Nonlinear Anal. 201б. V. 138. P. 111-12б.

[283] Gilding B. H. Holder continuity of solutions of parabolic equations // J. London Math. Soc. 197б. V. 13. P. 103-10б.

[284] Gilding B. H. Properties of solutions of an equation in the theory of infiltration // Arch. Rational Mech. Anal. 1977. V. 4, № 3. P. 203-225.

[285] Gilding B. H. A nonlinear degenerate parabolic equation // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1977. V. 4, № 3. P. 393-432.

[286] Gilding B. H. Stabilization of flows through porous media // SIAM J. Math. Anal. 1979 V. 10, № 2. P. 237-246.

[287] Gilding B. H. Improved theory for a nonlinear degenerate parabolic equation // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Classe di Scienze, Ser. 4. 1989. V. 16, № 2. P. 165-224.

[288] Gilding B. H., Peletier L. A. The Cauchy problem for an equation in the theory of infiltration // Arch. Rational Mech. Anal. 1976. V. 61, № 2. P. 127-140.

[289] Gilding B. H., Peletier L. A. Continuty of solutions of the porous media equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1981. V. 8, № 4. P. 659-675.

[290] Gilding B. H., Peletier L. A. On a class of similarity solutions of the porous media equation // J. Math. Anal. Appl. 1976. V. 55. P. 351-364.

[291] Gilding B. H., Peletier L. A. On a class of similarity solutions of the porous media equation II // J. Math. Anal. Appl. 1977. V. 57. P. 522-538.

[292] Gilding B. H. On a class of similarity solutions of the porous media equation III // J. Math. Anal. Appl. 1980. V. 77. P. 381-402.

[293] Giusti E., Miranda M. Un esempio di soluzioni discontinue per un problema di minimo relativo ad un integrale regolare del calcolo delle variazioni // Boll. Unione Mat. Ital. Ser. 4. 1968. V. 2. P. 1-8.

[294] Griesinger R. The Boundary Value Problem rot u = f , u Vanishing at the Boundary and the Related Decompositions of and : Existence // Ann. Univ. Ferrara. 1990. V. 36, № 1. P. 15-43.

[295] Griesinger R. Decompositions of and with respect to the operator rot // Math. Ann. 1990. V. 288. P. 245-262.

[296] Grigor'yan A. Heat kernel and analysis on manifolds. AMS/IP studies in advanced mathematics V.47. Rhode Island: AMS, Boston: International Press, 2009. 482 pp.

[297] Grundy R.E. Large time solution of an inhomogeneous non-linear diffusion equation // Proc. Roy. Soc. London. 1983. V. A386, № 1791. P. 347-372.

[298] Gutierrez C.E., Wheeden R.L. Mean value and Harnack inequalities for degenerate parabolic equations // Colloq. Math. 1990. V. 60/61, № 1, P. 157-194.

[299] Gutierrez C.E., Wheeden R.L. Harnack's inequality for degenerate parabolic equations // Comm. Partial Diffferential Equations. 1991. V. 16 (485). P. 745-770 .

[300] Heinonen J., Kilpeläinen T., Martio O. Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations. Mineola, NY: Dover Publ. Inc., 2006. xii+404 pp.

[301] Harjulehto P., Hästo P., Koskenoja M., Varonen S. Sobolev capacity on the space W 1'p(^)(Rn) // J. Funct. Spaces Appl. 2003. V. 1. P. 17-33.

[302] Herrero M.A., Pierre M. The Cauchy problem for ut = Aum when 0 < m < 1 // Trans. Amer. Math. Soc. 1985. V. 291, № 1. P. 145-158.

[303] Herrero M.A., Vazquez J.L. Asymptotic behaviour of the solutions of a strongly nonlinear parabolic problem // Annales de la Faculte des Sciences Toulouse 5e serie. 1981. V. 3. P. 113-127.

[304] Hoang L., Ibragimov A., Kieu T. One-dimensional two-phase generalized Forchheimer flows of incompressible fluids // J. Math. Anal. Appln. 2013. V. 401, № 2. P. 921-938.

[305] Hoang L., Kieu T., Phan T. Properties of generalized Forchheimer flows in porous media // J. Math. Sci. 2014. V. 202, no. 2. P. 259-332. (исходно опубл. Проблемы матем. анализа. 2014. Т. 76. С. 133-194)

[306] Hoang L., Ibragimov A., Kieu T., Sobol Z. Stability of solutions to generalized Forchheimer equations of any degree // J. Math. Sci. 2015. V. 210, № 4. P. 476-544. (исходно опубл. Проблемы матем. анализа. 2015. Т. 81. С. 121-178)

[307] Hoang L., Celik E. Generalized Forchheimer flows in heterogeneous porous media // Non-linearity. 2016. V. 29, № 3. P. 1124-1155.

[308] Hopf E. Uber die Anfangswertaufgabe fur die hydrodynamishen Grundgleighungen // Math. Nachr. 1950-1951. V. 4. P. 213-231.

[309] Ishige K. On the existence of solutions of the Cauchy problem for a doubly nonlinear parabolic equation // SIAM J. Math. Anal. 1996. V. 27. P. 1235-1260.

[310] Ivanov A.V. The regularity theory for (m,/)-Laplacian parabolic equation //Зап. научн. сем. ПОМИ. 1997. Т. 243. С. 87-110.

[311] Iwaniec T., Sbordone C. On the integrability of the Jacobian under minimal hypotheses // Arch. Rational Mech. Anal. 1992. V. 119. P. 129-143.

[312] Iwaniec T., Sbordone C. Quasiharmonic fields // Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire. 2001. V. 18, № 5. P. 519-572.

[313] Kamenomostskaya S. The asymptotic behaviour of the solution of the filtration equation // Isr. J. Math. 1973. V. 14, № 1. P. 76-87.

[314] Kamin S. On stabilization of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect A. 1976. V. 76, № 1. P. 43-53.

[315] Kamin S. Similar solutions and the asymptotics of filtration equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1976. V. 60, № 2. P. 171-183.

[316] Kamin S. Some estimates for solution of the Cauchy problem for equations of a nonstation-ary filtration // J. Differential Equations. 1976. V. 20. P. 321-335.

[317] Kamin S. Source-type solutions for equations of non-stationary filtration // J. Math. Anal. Appl. 1978. V. 64, № 2. P. 263-276.

[318] Kamin S., Ughi M. On the behaviour as t ^ to of the solutions of the Cauchy problem for certain nonlinear parabolic equations // J. Math. Anal. Appl. 1987. V. 128, № 2. P. 456-469.

[319] Kamin S., Vazquez J.L. Asymptotic behaviour of the solutions of the porous medium equation wth changing sign // SIAM J. Math. Anal. 1991. V. 22. P. 34-45.

[320] Kamin S., Rosenau P. Propagation of thermal waves in an inhomogeneous medium // Comm. Pure Appl. Math. 1981. V. 34, № 6. P. 831-852.

[321] Kamin S., Rosenau P. Non-linear diffusion in a finite mass medium // Comm. Pure. Appl. Math. 1982. V. 35, № 1. P. 113-127.

[322] Kamin S., Vazquez J.L. Fundamental solutions and asymptotic behaviour for the p-Laplacian equation // Rev. Mat. Iberoamericana. 1988. V. 4, № 2. P. 339-354.

[323] Kato T., Mitrea M., Ponce G., Taylor M. Extension and representation of divergence-free vector fields on bounded domains // Math. Research Letters. 2000. V. 7. P. 643-650.

[324] Keith S., Zhong X. The Poincare inequality is an open ended condition // Ann. Math. 2008. V. 167, № 2. P. 575-599.

[325] Kilpelainen T., Maly J. Degenerate elliptic equations with measure data and nonlinear potentials // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa — Classe di Scienze. 1992. V. 19, № 4. P. 591-613.

[326] Kilpelainen T., Maly J. The Wiener test and potential estimates for quasilinear elliptic equations // Acta Math. 1994. V. 172. P. 137-161.

[327] Kovacik O, Rakosnik J. On Spaces Lp(x)(Q) and Wk'p(x)(Q) // Czechoslovak Math. J. 1991. V. 41. P. 592-618.

[328] Knerr B.F. The porous medium equation in one dimension // Trans. Amer. Math. Soc. 1977. V. 234, № 2. P. 381-415.

[329] Kress R. Die Behandlung zweier Randwertprobleme fur die vektorielle Poissongleichung nach einer Integralgleichungsmethode // Arch. Rational Mech. Anal. 1970. V. 39, № 3. P. 206-226.

[330] Kress R. Potentialtheoretische Randwertprobleme bei Tensorfeldern beliebiger Dimension und beliebigen Ranges // Arch. Rational Mech. Anal. 1972. V. 47. P. 59-80.

[331] Leray J. Sur le movement d'un liquide visquex emplissant l'espace // Acta Math. 1934. V.63, № 1. P. 193-248.

[332] Leray J., Lions J.-L. Quelques resultats de Visik sur les problemes elliptiques non lineaires par les methodes de Minty-Browder // Bull. Soc. Math. France. 1965. V. 93. P. 97-107.

[333] Lewis J.L. On very weak solutions of certain elliptic systems // Comm. Partial Differential Equations. 1993. V. 18, № 9-10. P. 1515-1537.

[334] Lions P.L. Jacobians and Hardy Spaces // Research Report No. 91-NA-001, May 1991, Center for Nonlinear Analysis, Department of Mathematics, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA 15213-3890. URL: http://repository.cmu.edu/math/302/

[335] McShane E.J. Extension of range of functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. V. 40. P. 837-842.

[336] Mazya V.G., Verbitskiy I.E. Form boundedness of the general second-order differential operator // Comm. Pure Appl. Math. 2006. V. 59, № 9. P. 1286-1329.

[337] Mikkonen P. On the Wolff potential and quasilinear elliptic equations involving measures // Ann. Acad. Sci Fennicae, Dissertationes. 1996. V.104. P. 1-71.

[338] Meyers N.G., Serrin J. H=W // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1964. V. 51, № 6. P. 1055-1056.

[339] Minty G.J. Monotone (non linear) operators in Hilbert spaces // Duke Math J. 1962. V. 29. P. 341-346.

[340] Minty G.J. On a <monotonicity> method for the solutions of non linear equations in Banach spaces // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1963. V. 50. P. 1038-1041.

[341] Mitrea M. Sharp Hodge decompositions, Maxwell's equations, and vector Poisson problems on nonsmooth, three-dimensional Riemannian manifolds // Duke Math J. 2004. V. 125, № 3. P. 467-547.

[342] Mitrea D., Mitrea M., Pipher J. Vector potential theory on nonsmooth domains in R3 and applications to electromagnetic scattering // J. Fourier Anal. Appl. 1997. V. 3, № 2. P. 131-192.

[343] Mitrea D, Mitrea M, Shaw MC. Traces of differential forms on Lipschitz domains, the boundary De Rham complex, and Hodge decompositions // Indiana Univ Math J. 2008. V. 57, № 5. P. 2061-2095.

[344] Morrey Ch. B. Multiple Integrals in the Calculus of Variations. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

[345] Moser J. A new proof of de Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1960. V. 13. P. 457-468.

[346] Moser J. On Harnack's theorem for elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1961. V. 14. P. 577-591.

[347] Moser J. A Harnack inequality for parabolic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1964. V. 17. P. 101-134.

[348] Moser J., Correction to: "A Harnack inequality for parabolic differential equations"// Comm. Pure Appl. Math. 1967. V. 20. P. 231-236.

[349] Moser J. On a pointwise estimate for parabolic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1971. V. 24. P. 727-740.

[350] Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: basic properties // Acta Math. 1985. V. 155. P. 103-147.

[351] Nash J. Continuity of Solutions of Parabolic and Elliptic Equations // Amer. J. Math. 1958. V. 80, № 4. P. 931-954.

[352] Nash J. Parabolic equations // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1957. V. 43, № 8. P. 754-758.

[353] Osada H. Diffusion processes with generators of generalized divergence form // J. Math. Kyoto Univ. 1987. V. 27, № 4. P. 597-619.

[354] Pankov A.A. G-convergence and homogenization of nonlinear partial differential operators. Dordrecht: Kluwer, 1997.

[355] Pattle R.E. Diffusion from an instanteneous point source with concentration dependent coefficient // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1959. V. 12. P. 407-409.

[356] Pick L., Ruzicka M. An example of a space on which the Hardy-Littlewood maximal operator is not bounded // Expo. Math. 2001. V. 19, № 4. P. 369-371.

[357] Pierre M. Uniqueness of the solutions of ut — A0(u) = 0 with initial datum a measure // Nonlinear Anal. 1982. V. 6. P. 175-187.

[358] Porzio M.M., Vespri V. Holder estimates for local solutions of some doubly nonlinear degenerate parabolic equations // J. Differential Equations. 1993. V. 103, № 1. P. 146178.

[359] Prignet A. Existence and uniqueness of "entropy" solutions of parabolic problems with L1 data // Nonlinear Anal. 1997. V. 28, № 12. P. 1943-1954.

[360] Rajagopal K., Ruzicka M. On the modeling of electrorheological materials // Mech. Research Comm. 1996. V. 23. P. 401-407.

[361] Rajagopal K., Ruzicka M. Mathematical modeling of electrorheological materials // Contin. Mech. Thermodyn. 2001. V. 13. P. 59-78.

[362] Ruzicka M. Electrorheological Fluids: Modeling and Mathematical Theory. Lecture Notes in Math. Vol. 1748. Berlin-New York: Springer-Verlag, 2000.

[363] Ruzicka M. Modeling, mathematical and numerical analysis of electrorheological fluids // Appl. Math. 2004. V. 49. P. 565-609.

[364] Sacks P.E. Continuity of solutions of a singular parabolic equation // Nonlinear Anal. 1983. V. 7, № 4. P. 387-409.

[365] Saloff-Coste L. Aspects of Sobolev-type inequalities. LMS Lecture Note Series V. 289. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009. 202 pp.

[366] Sanchez Calle A. Fundamental solutions and geometry of sum of squares of vector fields // Invent. Math. 1984. V. 78. P. 143-160.

[367] Seregin G., Silvestre L., Sverak V., Zlatos A. On divergence-free drifts // J. Differential Equations. 2012. V. 252. P. 505-540.

[368] Serrin J. Pathological solutions of elliptic partial differential equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 1964. V. 18. P. 385-387.

[369] Simon J. Compact sets in the space Lp(0,T; B) // Ann. Mat. Pura Appl. IV Ser. 1987. V. 146. P. 65-96.

[370] Skrypnik I.I. Regularity of solutions of degenerate quasilinear parabolic equations (weighted case) // Ukr. Math. J. 1996. V. 48, № 7. P. 1099-1118.

[371] Skrypnik I.I. Regularity of a boundary point for degenerate parabolic equations with measurable coefficients // Ukr. Math. J. 2000. V. 52, № 11. P. 1768-1786.

[372] Skrypnik I.I. Regularity of a boundary point for singular parabolic equations with measurable coefficients // Ukr. Math. J. 2004. V. 56, № 4. P. 614-627.

[373] Skrypnik I.I. A necessary condition for the regularity of a boundary point for degenerating parabolic equations with measurable coefficients // Ukr. Math. J. 2004. V. 56, № 6. P. 973-995.

[374] Stampacchia G. Le probleme de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinus // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1965. V. 15. P. 189-258.

[375] Stein E.M. Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press 1993, 716 pp.

[376] Tychonoff A. Theorèmes d'unicite pour l'equation de la chaleur // Матем. сб. 1935. Т. 42, № 2. С. 199-216.

[377] Trudinger N.S. Pointwise estimates and quasi-linear parabolic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1968. V. 21. P. 205-226.

[378] Trudinger N. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. 1967. V. 20. P. 721-747.

[379] Trudinger N. On the regularity of generalized solutions of linear, non-uniformly elliptic equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1971. V. 42, issue 1. P. 50-62.

[380] Urbano J.M. The method of intrinsic scaling. Lecture Notes in Mathematics 1930. Berlin: Springer-Verlag, 2008.

[381] Vazquez J.L. The interfaces of one-dimensional flows in porous media // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V. 285, № 2. P. 717-737.

[382] Vazquez J.L. Behaviour of the velocity of one-dimensional flows in porous media // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. V. 286, № 2. P. 787-802.

[383] Vazquez J.L. Regularity of solutions and interfaces of the porous medium equation via local estimates // Proc. Royal Soc. Edinburgh Sect. A. 1989. V. 112. P. 1-13.

[384] Vazquez J.L. Asymptotic behaviour and propagation properties of the one-dimensional flow of gas in a porous medium // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. V. 277. P. 507-527.

[385] Vazquez J.L. Asymptotic behaviour for the porous medium equation posed in the whole space // J. Evol. Equ. 2003. V. 3. P. 67-118.

[386] Vazquez J.L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Oxford: Clarendon Press, 2007. xxii+624 P.

[387] Véron L. Effets régularisants de semi-groupes non-lineaires dans des espaces de Banach // Annales de la Faculté des Sciences Toulouse 5e serie. 1979. V. 1, № 2. P. 171-200.

[388] Vespri V. On the local behaviour of solutions of a certain class of doubly nonlinear parabolic equations // Manuscripta Math. 1992. V. 75, № 1. P. 65-80.

[389] Vespri V. Harnack type inequalities for solutions of certain doubly nonlinear parabolic equations // J. Math. Anal. Appl. 1994. V. 181, № 1. P. 104-131.

[390] Widder D.V. Positive Temperatures on an Infinite Rod // Trans. Amer. Math. Soc. 1944. V. 55, № 1. P. 85-95.

[391] Widder D.V. Positive Temperatures on a Semi-Infinite Rod // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. V. 75, № 3. P. 510-525.

[392] XuX. On the initial-boundary value problem for ut-div (|Vu|p-2Vu) = 0 // Arch. Rational Mech. Anal. 1994. V. 127. P. 319-335.

[393] Xu X. On the Cauchy problem for a singular parabolic equation // Pacific J. Math. 1996. V. 174, № 1. P. 277-294.

[394] Ziemer W.P. Interior and boundary continuity of weak solutions of degenerate parabolic equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1982. V. 271. P. 733-748.

[395] Ziemer W.P. Behavior at the boundary of solutions of quasilinear parabolic equations // J. Differential Equations. 1980. V. 35. P. 291-305.

[396] Zhikov V.V. On Lavrentiev's phenomenon // Russian J. Math. Phys. 1995. V. 3, № 2. P. 249-269.

[397] Zhikov V.V. On some variational problems // Russian J. Math. Phys. 1997. V. 5, № 1. P. 105-116.

Работы автора по теме диссертациии

[398] Surnachev M. A Harnack inequality for weighted degenerate parabolic equations // J. Differential Equations. 2010. V. 248. P. 2092-2129.