Регулярность на метрических пространствах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.00, кандидат наук Тимошин, Сергей Анатольевич

• Тимошин, Сергей Анатольевич
• кандидат наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат наук Тимошин, Сергей Анатольевич

Аннотация 1

1 Введение 1

1.1 Об истории проблемы регулярности в вариационном исчислении на К"........................................................1

1.2 Новое развитие: Анализ на метрических пространствах с мерой..............................................................5

1.3 Основные результаты............................................6

1.3.1 Регулярность функций Соболева в смысле Хайлаша -Коскелы..................................................7

1.3.2 Регулярность в аксиоматических пространствах Соболева ......................................................9

1.3.3 Стратегия доказательства основных результатов . . 10

1.3.4 Некоторые дополнительные результаты ..............11

2 Предварительные Сведения об Аксиоматических Пространствах Соболева 15

2.1 ^-структура на метрическом пространстве с мерой..........15

2.2 Некоторые свойства Д-структуры. Аксиоматическое пространство Соболева........................ 17

2.3 Локальность в аксиоматических пространствах Соболева . 18

2.4 Вариационная ёмкость ..................... 22

3 Функции Соболева в смысле Хайлаша-Коскелы 27

4 Аргумент Де Джорджи в Абстрактной Постановке (внутренняя регулярность) 31

4.1 Перечень гипотез ........................ 32

4.2 Ограниченность.........................

4.3 Непрерывность по Гёльдеру..................

5 Аргумент Де Джорджи в Абстрактной Постановке (регулярность на границе) 43

6 Регулярность в Аксиоматических Пространствах Соболева 53

6.1 Внутренняя регулярность.................... 53

сп

6.2 Граничная регулярность....................

7 Регулярность в Классе Функций Пуанкаре - Соболева 67

7.1 Внутренняя регулярность....................

7.2 Граничная регулярность.................... 72

8 Неравенство Гарнака на Метрических Пространствах 75

9 Норма Кусочно-экстремальной Функции 81

87

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Регулярность на метрических пространствах»

1.1 Об истории проблемы регулярности в вариационном исчислении на Мп

Проблема регулярности решений дифференциальных уравнений в частных производных с заданными граничными значениями и регулярных вариационных проблем составляет одну из наиболее интересных глав в анализе. Ее основы были заложены, в основном, в 1900 году, когда Давид Гильберт сформулировал свои знаменитые 23 проблемы в обращении, предшествующем Международный Конгресс Математиков в Париже. Существенные части двадцатой проблемы о существовании решений и близко связанной с ней девятнадцатой проблемы собственно о регулярности звучат следующим образом:

19 ая проблема: "Всегда ли решения регулярных проблем вариационного исчисления являются аналитическими функциями?"

20ая проблема: "Не каждая ли регулярная вариационная проблема имеет решение при условии, что определенные предположения на данные граничные значения выполнены, а понятие решения расширено, если нужно, в подходящем смысле?"

Под регулярной вариационной проблемой Гильберт подразумевал проблему минимизации вариационного интеграла вида

= / Р{х,и{х),Уи(х))йх ¿п

на множестве функций и : —>• М из класса С1 (О), удовлетворяющих следующим граничным значениям Дирихле

и

(х) = </?(ж) for я; G сЮ .

для заданной на ¿Ю непрерывной функции граничных значений цз. Эта проблема называется проблемой Дирихле для функционала J. Здесь Г2 - открытое подмножество Rn и данная функция (интегранд) F(x,u,p) удовлетворяет следующему условию регулярности ("выпуклости"):

F е С2(П), (-^Ц^А >0 for хеП,иЕШ,реМ.п. \dpidpj J

Данная проблема связана с уравнениями в частных производных посредством своего уравнения Эйлера-Лагранжа. Именно, если и минимизирует интеграл J[u] и является достаточно гладкой, то и удовлетворяет следующему уравнению в частных производных

п d2F dF

г=1

или

у, d2F д2и у, f d2F ди d2F \ dF

dPidPj dxidxj ^ \dpidudxi dpidxi) du

(полученному из первого уравнения после дифференцирования), которое, при выполнении условия регулярности, упомянутого выше, является квази-линейным эллиптическим уравнением второго порядка.

В частности, для интеграла р-энергии Дирихле

\Vu{x)\pdx

in

соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа, при 1 < р < оо, суть

div(|Vii(x)|p_2Vu(a;)) = 0.

В 1904 году С. Бернштейн доказал, что С3 решение нелинейного эллиптического уравнения второго порядка в плоскости,

F{x,y,u, Du, D2u) = о

/

Jn

является аналитическим в случае, когда Т аналитическая. Несколько лет спустя он получил также существование решений аналитических квазилинейных уравнений второго порядка в двух переменных. В своих доказательствах С. Бернштейн установил оценки для производных любого возможного решения. Данный вид оценок, именно оценок справедливых для всех вероятных решений класса проблем, даже если гипотезы не гарантируют существование таких решений, получил имя "априорные оценки".

Фундаментальная роль "априорных оценок" в проблемах существования и регулярности для общих эллиптических уравнений была полностью понята и прояснена в работах Лерэ и Шаудера в 1934 году. В частности, применяя данные оценки ими и другими авторами в 1930-х годах было доказано, что каждое достаточно гладкое, скажем С°'а (непрерывное по Гёльдеру), решение проблемы Дирихле является аналитическим при условии, что .Р аналитична.

Другой подход к проблеме существования решений обеспечивают, так называемые, "прямые методы вариационного исчисления". В то время, как данный инструмент является очень мощным и весьма общим методом (первоначально применяемым, впрочем, в вариационном случае), решения, которые он дает, имеют производные лишь в обобщенном смысле и удовлетворяют уравнению лишь в соответствующей слабой формулировке.

Таким образом возникла проблема доказательства того, что такие "обобщенные решения" являются "регулярными", именно обладают достаточной гладкостью для того, чтобы удовлетворять дифференциальному уравнению в классическом смысле. В этом смысле двадцатая проблема Гильберта о существовании классических решений становится в точности проблемой регулярности обобщенных решений.

Данная проблема регулярности, под которой мы понимаем сейчас проблему установления того, что решения, или экстремальные точки, которые принадлежат пространству Соболева являются в действительности непрерывными по Гёльдеру, в течении долгого времени оставалась открытой и была разрешена лишь в 1957 году Э. Де Джорджи [4] и Дж. Нэшем [24], независимо друг от друга и при помощи разных методов. Позднее, т 1960 году, Дж. Мозер [23] дал еще одно доказатель-

ство данного результата. Аргумент Мозера был в последствии расширен Дж. Серрином, Н. С. Трудингером и другими. В то время, как данный подход (известный как техника итерации Мозера), который основан на дифференциальном уравнении, оказался очень полезным для исследования различных проблем в Евклидовых пространствах, он не совсем подходит, в определенном смысле, для обобщения на случай, когда мы хотим изучать вопросы регулярности на общих метрических пространствах (см., однако, [2]), т.к. концепция частной производной, вообще говоря, не имеет смысла на произвольном метрическом пространстве и, таким образом, мы не имеем дифференциального уравнения (уравнения Эйлера-Лагранжа). Не смотря на это, замена для модуля обычного градиента может быть определена на общем метрическом пространстве и мы можем использовать для наших целей (существенно вариационный) подход Де Джорджи. Этот метод был развит и обобщен для определенных случаев нелинейных уравнений О. Ладыженской, Н. Уральцевой, Г. Стампакия и другими. Позднее, в 1980-х годах, М. Джаквинта [6] (см. также [7]), а также, в 1990-х годах, Я. Малы, В. П. Цимер [20] дали методу более наглядную форму.

Основной целью вышеупомянутых работ было исследование поведения слабых решений во внутренности области минимизации. В 1924 году Н. Винер [35] установил критерий для характеризации непрерывности на границе для гармонических функций. Для более общего случая эллиптических уравнений первые шаги в поисках подобного критерия были сделаны В. Литтман, Г. Стампакия и X. Ф. Вайнбергер [19], которые доказали, что точка на границе произвольной области является регулярной одновременно для гармонических функций и слабых решений линейных уравнений с ограниченными, измеримыми коэффициентами. В своей работе о локальном поведении решений квази-линейных уравнений Дж. Серрин [25] обнаружил, что ёмкость, известная в наше время как р-ёмкость, является подходящим инструментом для описания устранимых множеств для слабых решений. Позднее В.Г. Мазья [21], [22] получил выражение типа Винера, включающее данную ёмкость и обеспечивающее достаточное условие для непрерывности на границе слабых решений уравнений с подобной /^лапласиану структурой. Используя другие методы, Р. Гарьепи и В. П. Цимер [12] показали, что условие Мазьи достаточно также для граничной непрерывности решений широкого класса квази-линейных уравнений в дивергентной форме. Спустя некоторое вре-

мя Цимер [36] обобщил данный результат для квази-минимизирующих функций - объектов, обобщающих понятие решения эллиптических уравнений и вариационных задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тимошин, Сергей Анатольевич, 2006 год

[1] L. Ambrosio and P. Tilli Topics on analysis in metric spaces. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 25. Oxford University Press, Oxford (2004).

[2] A. Björn and N. Marola Moser iteration for (quasi)minimizers on metric spaces. Preprint, Helsinki, 2005.

[3] J. Björn Boundary continuity for quasiminimizers on metric spaces. Illinois J. Math. 46 (2002), no. 2, 383-403.

[4] E. De Giorgi Sulla differenziabilità e l'analicità delle estremali degli integrali multipli regolati. Mem. Accad. Sei. Torino Cl. Sei. Fis. Mat. 3 (1957), 25-43.

[5] K. Gafaïti Thèse. EPF-Lausanne (2001).

[6] M. Giaquinta Multiple Integrals in the Calculus of Variations and Nonlinear Elliptic Systems. Annals of Math. Studies No. 105, Princeton Univ. Press, Princeton (1983).

[7] M. Giaquinta Introduction to Regularity Theory for Nonlinear Elliptic Systems. Birkhäuser Verlag, Basel (1993).

[8] V. Gol'dshtein, L. Gurov and A. Romanov Homeornorphisms that induce monomorphisms of Sobolev spaces. Israel J. Math. 91 (1995), 31-60.

[9] V. Gol'dshtein and Yu. Reshetnyak Quasiconformal mappings and Sobolev spaces. Translated and revised from the 1983 Russian original. Mathematics and its Applications (Soviet Series), 54. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht (1990).

[10] V. Gol'dshtein and M. Troyanov Axiomatic Theory of Sobolev Spaces. Exposition. Math. 19 (2001), 289-336.

[11] V. Gol'dshtein and M. Troyanov Capacities on Metric Spaces. Integr. Equ. Oper. Theory 44 (2002), no. 2, 212-242.

[12] R. Gariepy and W. P. Ziemer, A regularity condition at the boundary for solutions of quasilinear elliptic equations. Arch. Rational Mech. Anal. 67 (1977), 25-39.

[13] P. Hajlasz Sobolev spaces on an arbitrary metric space. Potential Anal. 5 (1996), no. 4, 403-415.

[14] P. Hajlasz and P. Koskela Sobolev meets Poincare. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 320 (1995), 1211-1215.

[15] P. Hajlasz and P. Koskela Sobolev met Poincare. Memoirs Amer. Math. Soc., no 688 (2000).

[16] J. Heinonen Lectures on analysis on metric spaces. Universitext. Springer-Verlag, New York (2001).

[17] J. Heinonen and P. Koskela Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry. Acta Math. 181 (1998), 1-61.

[18] J. Kinnunen and N. Shanmugalingam Regularity of Quasi-minimizer on Metric Spaces. Manuscripta Math. 105 (2001), 401-423.

[19] W. Littman, G. Stampacchia and H.F. Weinberger, Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa 17 (1963), 45-79.

[20] J. Maly and W.P. Ziemer Fine Regularity of Solutions of Elliptic Partial Differential Equations. American Mathematical Society, Providence, RI (1997).

[21] V. G. Maz'ya Regularity at the boundary of solutions of elliptic equations and conformal mapping. Dokl. Akad. Nauk SSSR 150 (1963), 1297-1300 (Russian). English transl.: Soviet Math. Dokl. 4 (1963), 1547-1551.

[22] V. G. Maz'ya On the continuity at a boundary point of solutions of quasi-linear elliptic equations. Vestnik Leningrad. Univ. Mat. Mekh. Astronom. 25 (1970), 42-55 (Russian). English transi.: Vestnik Leningrad Univ. Math. 3 (1976), 225-242.

[23] J. Moser A new proof of De Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations. Comm. Pure Appl. Math. 13 (1960), 457-468.

[24] J. Nash Contunuity of solutions of parabolic and elliptic equations. Amer. J. Math. 80 (1958), 931-954.

[25] J. Serrin, Local behavior of solutions of quasilinear equations. Acta Math. Ill (1964), 247-302.

[26] N. Shanmugalingam Harmonic Functions on Metric Spaces. Illionois J. Math. 45 (2001), no. 3, 1021-1050.

[27] N. Shanmugalingam Newtonian Spaces: An Extension of Sobolev Spaces to Metric Measure Spaces. Rev. Mat. Iberoamericana 16 (2000), no. 2, 243-279.

[28] S. Timoshin, Regularity on metric spaces: Holder continuity of extremal functions in axiomatic and Poincaré-Sobolev spaces, Max-PlanckInstitut für Mathematik, Bonn (2007), MPIM 2007-115.

http://www.mpim-bonn.mpg. de/Research/MPIM+Preprint+Series/

[29] S. Timoshin, Boundary regularity on metric spaces, Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn (2007), MPIM 2007-139.

[30] S. Timoshin, Axiomatic regularity on m,etric spaces, Michigan Math. J. 56 (2008), no. 2, 301-313.

[31] S. Timoshin, Wiener criterion on metric spaces: Boundary regularity in axiomatic and Poincaré-Sobolev spaces, Israel J. Math. (2009), принята к печати, 24 pp.

[32] S. Timoshin, Regularity on Metric Spaces. Thèse de doctorat, Lausanne (2006)

http://library.epfl.ch/en/theses/?nr=3571

[33] M. Troyanov and S. Vodop'yanov Liouville type theorems for mappings with bounded (co)-distortion. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 52 (2002), no. 6, 1753-1784.

[34] S. Vodop'yanov and A. Ukhlov Sobolev spaces and (P,Q)-quasiconformal mappings of Carnot groups. Siberian Math. J. 39 (1998), no. 4, 665-682.

[35] N. Wiener The Dirichlet problem. J. Math. Phys. 3 (1924), 127-146.

[36] W. P. Ziemer Bounary regularity for quasiminima. Arch. Rational Mech. Anal. 92 (1986), 371-382.